КЛАССЫ АФФИННОЙ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ

РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ
ОБРАЗОВ КОНЕЧНЫХ АВТОМАТОВ
Д.О. Матов
Саратовский государственный университет, Саратов, Россия
При задании поведения конечных детерминированных автоматов
геометрическими образами естественно возникает ряд задач и вопросов,
связанных с геометрическими преобразованиями образов. В данной статье
формулируются методы решения некоторых задач, опираясь на ранее
полученные теоретические результаты.
Пусть
автомат
A  ( S , X , Y , ,  ) , X  n, Y  m .
С
инициальным
автоматом ( A, s) связано автоматное отображение sA . Геометрическое
пространство  для автомата ( A, s) определяется по следующему
алгоритму [1]:
1. Сопоставим элементам множества X натуральные числа от 1 до n,
т.е. осуществим взаимно однозначное отображение f : X  {1,2,...n} .
~
2. Определим координатную ось абсцисс X для пространства  как
отрезок числовой оси 0, n  1.
p  xi1 xi 2 ...xik
3. Каждому
слову
сопоставим
вектор
   f ( xi1 ), f ( xi 2 ),..., f ( xik )  , т.е. осуществим взаимно однозначное
соответствие g : X *  VN , где V N – пространство конечномерных
векторов, элементами которых являются натуральные числа.
4. Каждому такому вектору   1 ,  2 ,..., k  взаимно однозначно
~
x R
сопоставим
точку
на
оси
абсцисс:
3
k
1
2
~
x



...

.
(n  1) 0 (n  1)1 (n  1) 2
(n  1) k 1
Аналогично определяется нумерация элементов множества Y , ось
~
ординат Y пространства  и отображение h : Y *  VN .
Каждой паре ( p, q )  sA в пространстве  сопоставляется точка с
p
x, ~
y ) , где ~
координатами ( ~
x 
ci
i 1 (n  1)
q
~
y
bi
i 1 ( m  1)
i 1

i 1


, c1 , c2 ,...c p  g ( p) ,

, b1 , b2 ,...b q  h(q) . Введем обозначения для построенных
отображений из слов в числа: пусть
~
g~ : X *  R , h : Y *  R . Под
геометрическим образом  sA автомата ( A, s) понимается множество пар
~
g~ ( p), h (q) ,  p, q   s .


A
Будем рассматривать те аффинные преобразования, путем
применения которых ко всем точках некоторого образа  i можно
получить некоторый другой образ  j . В данной статье рассматривается
подкласс преобразований, задаваемых формулой
~
x  ~
x, ~
y   k~
y b,
x, ~
y  координаты ~
x , ~y 
выражающей для каждой данной точки M ~
преобразованной точки M  (в той же системе координат). Про образы  i ,
 j будем говорить, что они совместимы.
Легко показать, что отношение совместимости есть отношение
эквивалентности на множестве геометрических образов.
Класс автоматов, содержащий все автономные автоматы с
фиксированным числом N состояний, числом L входных сигналов и
числом M выходных сигналов, обозначается K ( N , L, M ) . Множество всех
различных геометрических образов всевозможных автоматов из класса
K ( N , L, M ) будем обозначать ( N , L, M ) . Множество пар коэффициентов
преобразований образов из ( N , L, M ) будем обозначать F ( N , L, M ) . В
случае автономных автоматов будем опускать в обозначении L .
Рассмотрим следующие задачи.
1. Для заданных геометрических образов  ( A) ,  (B ) автоматов A и B
выяснить, являются ли они совместимыми.
2. Для заданного геометрического образа  ( A) автомата A найти все
образы, совместимые с ним.
3. Построить разбиение заданного класса образов ( N , L, M ) на классы
эквивалентности по совместимости.
Каждую из обозначенных задач можно сформулировать для случая, когда
автоматы являются автономными.
Приведем необходимые для решения теоретические результаты.
Теорема 1 [3]. Пусть A  ( S , X , Y ,  A ,  A , s A ) и B  (T , X , Y ,  B , B , s B ) – два
a, b  R 
инициальных
автомата.
Тогда,
если
такие,
что
p  X * , p  S  T  1 верно
~
~
h (q A )  a  h (q B )  b , где q A   A ( p), q B   B ( p) ,
то (1) верно p  X * , т.е. образы автоматов A и B совместимы.
(1)
Теорема 2 [3]. Если (a, b)  F ( N , L, M ) , то
p
p
a  a , b  b , где pa , pb , qa , qb  Z , причем
qa
qb
1  pa  M , 1  qa  M , 0  pb  M 2  1, 1  qb  M .
Теорема 3. Пусть  A  ( N , M ) . Тогда размер класса эквивалентности по
совместимости, в котором лежит  A , не превосходит M 2 .
Решение задачи 1.
Пусть заданы автоматы A  ( S , X , Y ,  A ,  A , s A ) и B  (T , X , Y ,  B , B , s B ) с
их геометрическими образами. Основываясь на теореме 1, можно
установить факт совместимости двух образов, перебрав все входные слова
длины не более S  T  1 и проверив для них соотношение (1). Учитывая,
~
что вычисление функции h ( q ) занимает q шагов, то временную

сложность алгоритма можно оценить как O S  T  X
S T
.
Решение задачи 2.
Случай 1: автомат автономный. Тогда существует алгоритм, который
находит все образы, совместимые с данным, за время, пропорциональное
их количеству. Тогда, в соответствии с теоремой 3, его время работы есть
O M 2 , где M  Y .
Случай 2: автомат произвольный. Пока неизвестен алгоритм, решающий
эту задачу принципиально быстрее, чем решение задачи 3.
 
Решение задачи 3.
Пусть Q  ( N , L, M ) . Переберем все автоматы из K ( N , L, M ) . Пусть
зафиксирован автомат A . Основываясь на теореме 2, переберем все пары
чисел a, b , которые могут задавать коэффициенты совмещающего
преобразования. Таких пар, согласно теореме, не более M 5 . Применив
каждое из этих преобразований к (A) проверим, будет ли получившееся
множество точек геометрическим образов некоторого автомата из
K ( N , L, M ) . Для этого по теореме 1 можно проверять лишь конечные части
образов. Предварительно сохранив необходимые части всех образов в
некотором упорядоченном множестве, можно отвечать на запрос на поиск
образа в этом множестве за Olog Q  сравнений.
Основываясь на этих идеях, можно реализовать алгоритм со сложностью
2
O Q  log Q  LN  N 2  M 5  .


Для случая, если речь идет об автономных автоматах, можно
воспользоваться методом из решения задачи 2, получив алгоритм со
сложностью O Q  N 2 M 2 .


СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Тяпаев Л. Б. Решение некоторых задач для конечных автоматов на
основе анализа их поведения // Известия Саратовского университета.
Саратов, 2006. Т. 6. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып.
2. С. 121-133.
2. Тяпаев Л. Б., Матов Д. О. Базисы геометрических образов для
динамических систем, определяемых некоторыми классами
автоматов //Компьютерные науки и информационные технологии:
Материалы междунар. науч. конф. – Саратов, 2009. С.201-204.
3. Матов Д. О. Аффинные преобразования геометрических образов
конечных автоматов // Проблемы теоретической кибернетики:
Материалы междунар. науч. конф. – Нижний Новгород, 2011. С.303306.