N_4(31)

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ
МОДЕЛИРОВАНИЕ
ВЕСТНИК ТОГУ. 2013. № 4(31)
УДК 624.1; 624.9; 627.4; 627.5
 Н. Я. Цимбельман, Д. А. Потянихин, А. И. Мамонтов, Т. И. Чернова,
Е. В. Квон, И. Г. Кузнецов, 2013
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОБОЛОЧКИ С НАПОЛНИТЕЛЕМ
К РАСЧЁТУ ГИДРОТЕХНИЧЕСКИХ СООРУЖЕНИЙ
Цимбельман Н. Я. - канд. техн. наук, доцент, зав. кафедрой «Гидротехника, теория
зданий и сооружений», Советник РААСН, е­mail: nikzimb@mail.ru (Инженерная
школа ДВФУ); Потянихин Д. А.- канд. физ.-мат. наук, доцент, е­mail:
potyanikhin@mail.ru (ИАПУ ДВО РАН); Мамонтов А. И. – канд. техн. наук, доцент
кафедры «Кораблестроение и океанотехника», е­mail: mamontov.ai@e.dvfu.ru; Чернова Т. И. – асп., ведущий инженер кафедры «Гидротехника, теория зданий и сооруже­
ний», е­mail: ch_t_i@mail.ru; Квон Е. В. – асп. кафедры «Гидротехника, теория зданий
и сооружений», е­mail: genekvon@gmail.com; Кузнецов И. Г.- асп. кафедры «Гидро­
техника, теория зданий и сооружений», е­mail: king_vl@mail.ru (Инженерная школа
ДВФУ)
В данной статье приводится описание конечно-элементной модели оболо­
чечной конструкции с наполнителем. Рассмотрена тонкая цилиндрическая
оболочка большого диаметра, торцом опирающаяся на сжимаемое грунто­
вое основание. Отдельно рассмотрены модели каждого из компонентов
конструкции (металлической или железобетонной оболочки, сыпучего или
связного наполнителя оболочки и грунта основания, воспринимающего
нагрузку от конструкции). Указаны условия на контакте между наполните­
лем и внутренней поверхностью оболочки, а также между материалом ос­
нования и торцевым краем оболочки. Приведён пример расчёта напряжён­
но-деформированного состояния оболочки по предложенной конечноэлементной модели, поставлены задачи её развития и уточнения.
Ключевые слова: оболочечная конструкция, упругий наполнитель, исследуе­
мая модель, математическая модель, моделирование работы системы, сум­
марные деформации, деформированное состояние.
Введение
Экономичные комбинированные конструкции, позволяющие наиболее
эффективно использовать положительные свойства составляющих их эле­
ментов, находят всё более широкое применение в строительной практике. В
гидротехническом строительстве при возведении причальных набережных,
пирсов, молов и других сооружений зачастую оказывается экономически эф­
фективным применение тонких стальных или железобетонных оболочек с
грунтовым наполнителем (рис. 1).
43
ВЕСТНИК ТОГУ. 2013 № 4 (31)
а)
Цимбельман Н. Я., Потянихин Д. А., Мамонтов А. И.,
Чернова Т. И., Квон Е. В., Кузнецов И. Г.
б)
Рис. 1. Примеры сооружений из оболочек большого диаметра: а – процесс строитель­
ства причала из стальных оболочек, б – из железобетонных оболочек
Оболочка удерживает грунт в проектном положении: вместе они состав­
ляют массивную конструкцию, которая является основанием для верхнего
строения причальных набережных.
Создание математического аппарата описания взаимодействия оболочки
с наполнителем началось в 40-х годах XX века (В.З.Власов, А.Л. Гольденвей­
зер, А.И. Лурье, С.П. Тимошенко и другие). Основные расчётные модели за­
мкнутых оболочек создавались для решения задач машино- и ракетостроения,
в строительстве до 70-х годов ХХ столетия применялись в основном разо­
мкнутые оболочки вращения в качестве большепролетных покрытий.
Применение замкнутых оболочек вращения с внутренним наполнителем
было затруднено ввиду сложности расчёта до 60-х годов ХХ века и активно
развивалось с появлением высокопроизводительных компьютеров. Прово­
дятся экспериментальные исследования на моделях заполненных оболочек с
целью уточнения расчётной схемы сооружения, определения возможности
плоского сдвига внутри заполнителя, влияния различных факторов на устой­
чивость конструкции [3].
Традиционные методы расчёта
В настоящее время для описания напряженно-деформированного состо­
яния наполнителя используют модель упругого тела, трактующую наполни­
тель как однородную среду, для которой соблюдается линейная зависимость
между напряжениями и деформациями.
Традиционная расчётная схема оболочки с наполнителем в строитель­
стве предполагает введение множества допущений, среди которых основные:
- моделирование внутреннего наполнителя как внешней нагрузки для
оболочки (метод Янсена) [2, 5];
- гипотеза о равномерном распределении давления по подошве сооруже­
ния [8];
44
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОБОЛОЧКИ
С НАПОЛНИТЕЛЕМ К РАСЧЁТУ
ГИДРОТЕХНИЧЕСКИХ СООРУЖЕНИЙ
ВЕСТНИК ТОГУ. 2013. № 4(31)
- упрощение условий на контакте стенки и оболочки при деформирова­
нии системы [3];
- усреднение напряжений в оболочке на контакте с грунтовым основани­
ем [10].
Вводимые допущения часто приводят к расхождениям расчётных и экс­
периментальных данных исследований [3], а также к сужению области при­
менения оболочечных конструкций. Существенно ограничен набор конструк­
тивных решений, позволяющих повысить эффективность работы наполните­
ля в составе конструкции в различных эксплуатационных условиях.
Обозначенные вопросы подтверждают недостаточную изученность ха­
рактера напряженно-деформированного состояния оболочечных конструкций
с упругим наполнителем, как в натурных условиях, так и на моделях. Специ­
альные конструктивные мероприятия, которые необходимы для исключения
недопустимых деформаций, значительно удорожают процесс строительства и
служат решением проблем только для узкого круга задач. В связи с этим про­
блема развития математического аппарата взаимодействия оболочечной кон­
струкции с упругим наполнителем является актуальной.
Описание математической модели
Модель оболочки. В качестве математической модели конструкции при­
нята безмоментная цилиндрическая оболочка конечных размеров. Материал
оболочки моделируем как изотропный линейно упругий. Его свойства опре­
деляются двумя экспериментально определяемыми параметрами: модулем
упругости E и коэффициентом Пуассона ν. Зависимость между напряжения­
ми и деформациями выражается соотношениями
(
)(
)
(
)
(1)
где
- компоненты тензора напряжений,
- компоненты тензора дефор­
маций,
- символ Кронекера.
Модель заполнителя. Математическая формулировка определяющих
уравнений теории пластичности грунтов должна отображать некоторые спе­
цифические для грунтовых материалов особенности механического поведе­
ния. Сдвиговые пластические деформации грунтов сопровождаются объем­
ными деформациями (дилатансия). Дилатансионная часть объемных дефор­
маций может быть как положительной (разрыхление), так и отрицательной
(уплотнение). Наличие остаточных объемных деформаций в грунте пред­
определяет замкнутую форму поверхности нагружения [5].
Внутренний заполнитель рассматривается как упругопластический ци­
линдр, а основание – как упругопластическое полупространство. Грунтовый
заполнитель и основание рассматриваются как пластически сжимаемые упру­
гопластические тела.
45
Цимбельман Н. Я., Потянихин Д. А., Мамонтов А. И.,
Чернова Т. И., Квон Е. В., Кузнецов И. Г.
ВЕСТНИК ТОГУ. 2013 № 4 (31)
В упругой стадии грунт ведет себя как линейно упругий материал, его
поведение определяется модулем общей деформации E и коэффициентом
Пуассона ν. Классической моделью пластического деформирования грунта,
широко распространенной в инженерных расчетах, является модель c с усло­
вием текучести Кулона-Мора [2, 7]:
(
) (
)
(2)
где
и
наибольшее и наименьшее главные напряжения, - угол
внутреннего трения, - удельное сцепление. В пространстве главных напря­
жений условие Мора-Кулона представляет неправильную гексагональную
пирамиду. Преимущество модели заключается в ясном физическом смысле ее
параметров, которые определяются относительно несложно. Из условия (2)
видно, что промежуточное главное напряжение не влияет на прочность грун­
та, поэтому условие прочности Мора-Кулона не отражает реальное поведение
грунтов. Друкер и Прагер [10] предложили критерий пластического течения в
виде
√
(3)
где
- линейный инвариант тензора напряжений,
- квадратичный инвариант девиатора тензора напряжений:
((
-
)
(
-
)
(
-
) )
Условие текучести Друкера-Прагера учитывает влияние среднего главного
напряжения на прочность грунтов, поэтому оно лучше описывает их трех­
мерное деформирование [5]. В формуле (3) A и B – экспериментально опре­
деляемые параметры. Поверхность текучести Друкера-Прагера в простран­
стве главных напряжений представляет собой правильный круговой конус
относительно оси гидростатического давления
и является ап­
проксимацией поверхности текучести Кулона-Мора [2]. Значит, критерий (3)
может выражаться через сцепление c и угол внутреннего трения φ [1, 8]:
√ ( -
)
√ ( -
)
.
(4)
Модель может быть реализована с помощью современных вычислитель­
ных комплексов, основанных на методе конечных элементов. В качестве
примера предлагается моделировать оболочку с наполнителем в конечноэлементном программном комплексе ANSYS.
Пример расчёта
Модель деформированного основания и заполнителя оболочки использу­
ет 8-узловые конечные элементы SOLID65, которые допускают использова­
ние модели Друкера-Прагера. При моделировании стальной оболочки выбра­
ны 4-узловые конечные элементы SHELL63. Для того, чтобы учесть прогиб
основания под действием оболочки и заполнителя, учитываем плотность ма­
46
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОБОЛОЧКИ
С НАПОЛНИТЕЛЕМ К РАСЧЁТУ
ГИДРОТЕХНИЧЕСКИХ СООРУЖЕНИЙ
ВЕСТНИК ТОГУ. 2013. № 4(31)
териала заполнителя и оболочки. Основание моделируется как параллелепи­
пед, жестко закрепленный снизу.
Рис. 2. Конечно-элементная модель оболочки с внутренним наполнителем
Приведем иллюстрацию работы предложенной модели. Рассматривается
цилиндрическая оболочка наружным диаметром D=10 м и высотой H=14,5 м,
толщина стенки оболочки 0,02 м. Модуль упругости металлической оболочки
E=200 ГПа, коэффициент Пуассона ν=0,3, плотность материала оболочки
7800 кг/м3. Для основания выбраны параметры: модуль общей деформации
E=30 МПа, коэффициент Пуассона ν=0,3, удельное сцепление c=0, угол
внутреннего трения φ=210. Для грунта внутреннего наполнителя заданы ха­
рактеристики: E=40 МПа, ν=0,25, c=0, φ=320, плотность засыпки (грунт) 2000 кг/м3.
В качестве нагрузки принимается активное давление грунта (со стороны
берега) плотностью 2000 кг/м3 на половину площади боковой поверхности
оболочки. На глубине 14,5 м (высота оболочки) нормальное давление
95,7кПа, у верхней кромки цилиндра 0 кПа (рис. 3).
Рис. 3. Давление грунта, Па
Анализ решения показывает, что под действием заданной нагрузки и соб­
ственного веса оболочка с грунтовой засыпкой сместилась в вертикальном
направлении (рис. 4) и в горизонтальном направлении (наклон) (рис. 5). Сум­
марное смещение представлено на рис. 6. Максимальное отклонение кон­
струкции от первоначального положения не превышает 0,2 м.
47
ВЕСТНИК ТОГУ. 2013 № 4 (31)
Цимбельман Н. Я., Потянихин Д. А., Мамонтов А. И.,
Чернова Т. И., Квон Е. В., Кузнецов И. Г.
Рис. 4. Вертикальное смещение, м
Рис. 5. Горизонтальное смещение, м
Рис. 6. Суммарное смещение, м
Ввиду несимметричного загружения конструкции возникает неравномер­
ная осадка оболочки. Для предложенной модели оболочка «вдавливает»
грунт основания, но не «прорезает» его. В данном примере величина осадки
сооружения изменяется от 0,0005 м до 0,1 м. (рис. 7).
48
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОБОЛОЧКИ
С НАПОЛНИТЕЛЕМ К РАСЧЁТУ
ГИДРОТЕХНИЧЕСКИХ СООРУЖЕНИЙ
ВЕСТНИК ТОГУ. 2013. № 4(31)
Рис. 7. Деформация основания, м
Напряжения, возникающие в теле стальной оболочки, представлены на
рис. 8. При заданных нагрузках они не превышают 100 МПа.
Рис. 8. Напряжения в оболочке, Па
Заключение
Представленная конечно-элементная модель стальной оболочки с внут­
ренним заполнителем на грунтовом основании, может быть применена для
решения ряда инженерных задач, возникающих при проектировании гидро­
технических и шельфовых сооружений. Модель может быть модифицирована
и усложнена, в неё могут быть введены дополнительные компоненты для то­
го, чтобы она полнее отражала свойства конкретных конструкций. Проводя
расчеты в пакете ANSYS, задавая различные нагрузки (ветровые, волновые,
ударные, сейсмические и др.), можно предсказывать поведение конструкций
при эксплуатации, давать рекомендации при их строительстве, моделировать
чрезвычайные ситуации и искать способы их предотвращения.
Библиографические ссылки
1. Анализ некоторых теорий прочности применительно к оценке устойчивости
откосов и бортов карьеров. / А.Н. Шашенко, А.С. Ковров. // Ground control in mining,
49
ВЕСТНИК ТОГУ. 2013 № 4 (31)
Цимбельман Н. Я., Потянихин Д. А., Мамонтов А. И.,
Чернова Т. И., Квон Е. В., Кузнецов И. Г.
- 2010. - №18. P. 5-32.
2. Вычислительные методы в теории пластичности. / Семёнов А.С. - Изд-во
СПбГПУ, 2008.
3. Модельные исследования оболочек большого диаметра с наполнителем. / Цим­
бельман Н.Я., Чернова Т.И. // Вестник МГСУ. – 2012. - №12. – C. 71 - 77.
4. Основы механики грунтов. / Флорин В.А. // т. 1. M., 1961.
5. Статика и динамика грунтовых плотин. / Зарецкий Ю.К., Ломбардо В.Н.. //
М.: Энергоатомиздат, 1983. 256 с.
6. Теория подобия. / Кирпичёв М.В. // M.: СССР, Академия науки, 1953.
7. Computational Methods for Plasticity. / Neto E.A., Peric D., Owen D.R.J. // John
Wiley & Sons. 2008.
8. Numerical analysis of piles in elasto-plastic soils under axial loading. / Wang G., Sitar N. 2004. // Proc. 17th ASCE Eng. Mech. Conf., University of Delaware, 1-8.
9. The mode of deformation status of the offshore pile structures with low-rigid raft
foundations. / Bekker A.T., Tsimbelman N. Ya. // The Proceedings of the Ninth (2010)
ISOPE Pacific/Asia Offshore Mechanics Symposium (PACOMS-2010) Busan, Korea.
10. Soil mechanics and plastic analysis or limit design. Quaterly of Applied Mathematics. / Drucker, D.C., Prager, W. // 1952. 10, 157-165.
11. Soils and foundation of hydraulic structures. / Ivanov, PL. // M: HS, 1985.
Title: Mathematical Model of a Shell with Filling Agent Applied to Hydroengineering
Constructions
Authors’ affiliation:
Tsimbelman N.Ya. - FEFU, School of Engineering, Vladivostok, Russian Federation
Potianikhin D.A. - Institute of Automation and Control Processes, Far Eastern Branch,
Russian Academy of Sciences, Vladivostok, Russian Federation
Chernova T.I. - FEFU, School of Engineering, Vladivostok, Russian Federation
Mamontov A.I. - FEFU, School of Engineering, Vladivostok, Russian Federation
Kvon E.V. - FEFU, School of Engineering, Vladivostok, Russian Federation
Kuznetsov I.G. - FEFU, School of Engineering, Vladivostok, Russian Federation
Abstract: The paper gives a description of the finite element model of a thin shell with
elastic filler. A thin big-diameter cylinder shell that leans on a compressible foundation soil
with its end is considered. Models of each structure component are considered separately
(metal or reinforced concrete shell, granular or elastic filler of the shell and soil of foundation, which undergoes the load). Conditions on the contact between the filler and the shell
inner surface and between the material of foundation and the shell edge are given. As an
example the calculation of stress-strain state for the shell according to the finite element
model proposed is provided; task of the model development is posed.
Keywords: shell design, elastic filler, model under investigation, mathematical model, simulation of system opearation, total deformations, strain state.
50