На правах рукописи Чаусова Ольга Владимировна Специальность 03.00.16 – экология (физико-математические науки)

На правах рукописи
Чаусова Ольга Владимировна
ТЕОРИЯ ЗАХВАТА УМЕРЕННО КРУПНЫХ ЛЕТУЧИХ
АЭРОЗОЛЬНЫХ ЧАСТИЦ НА ОБЛАЧНЫХ КАПЛЯХ
Специальность 03.00.16 – экология (физико-математические науки)
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Москва 2008г
2
Работа выполнена на кафедре теоретической физики Московского
государственного областного университета
Научный руководитель:
доктор физико-математических наук,
доцент Баринова Маргарита Федоровна
Официальные оппоненты
доктор физико-математических наук,
доцент Кузьмин Михаил Кузьмич
кандидат физико-математических наук
Зенкина Ольга Николаевна
Ведущая организация
Московский государственный
технический университет
имени Н.Э.Баумана
Защита состоится «4» декабря 2008 г. в 13 часов
на заседании диссертационного совета Д.212.155.12 в Московском
государственном областном университете по адресу: 105005, г.Москва, ул.
Радио, д. 10а.
С диссертацией можно ознакомиться в
государственного областного университета.
библиотеке
Московского
Автореферат разослан «…..»………..2008 г
Ученый секретарь
диссертационного совета,
кандидат биологических наук,
доцент
А.В.Сердюкова
3
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность
темы.
Широко
развитая
сеть
атомных
электростанций, химической, нефтехимической, металлургической,
перерабатывающей промышленностей представляют потенциальную
угрозу населению, поэтому ученые уделяют особое внимание
экологической безопасности промышленных объектов. Исследование
динамики частиц поможет в изучении состояния атмосферы, а также
ликвидации возможных аварий и предотвращения распространения
вредных выбросов. Было замечено, что в ряде случаев атмосфера
сохраняет способность к самоочищению за счет облачных капель,
образующихся при конденсации водяного пара на взвешенных в облаках
аэрозольных частицах. Оказывается, что в окрестности достаточно
крупных капель при их испарении или конденсационном росте может
происходить процесс захвата взвешенных аэрозольных частиц. Процессы
вымывания аэрозольных частиц могут происходить не только в облачной
атмосфере, но и при пропускании загрязненного газа через различные
очистные сооружения. Для описания процессов, которые происходят в
объемах, содержащих капли и аэрозоль необходима строгая теория,
описывающая физические процессы движения аэрозольных частиц. Ранее
учеными проводились исследования процессов захвата аэрозольных
частиц, однако, до настоящего времени не бралось в рассмотрение
вымывание умеренно крупными летучими каплями. Для построения этой
теории необходимо изучить динамику умеренно крупных летучих капель,
а затем применить полученные результаты для нахождения времени
полной очистки заданного объема от аэрозоля.
Цель работы
1) Построение теории термофоретического движения умеренно
крупной капли, на поверхности которой происходит фазовый переход
первого рода. Оценка влияния коэффициента испарения на термофорез
капли.
2) Построение теории диффузиофоретического движения умеренно
крупной летучей капли, с прямым учетом коэффициента испарения.
3) Расчет времени полной очистки заданного объема от умеренно
крупного аэрозоля.
4) Решение задачи о термофорезе умеренно крупной твердой
сфероидальной частицы.
Научная новизна работы состоит в том, что впервые приводятся
достаточно корректные оценки влияния коэффициента испарения на
динамику умеренно крупных летучих капель. Исследована зависимость
времени полной очистки заданного объема от коэффициента испарения и
4
радиусов сферических частиц. Разработана методика исследования
движения умеренно крупных сфероидальных летучих частиц в
неоднородных по температуре полях при прямом учете коэффициента
испарения. В приведенном решении задачи о термофорезе сфероида
учтено незначительное отклонение формы поверхности от правильной
сфероидальной, что ранее в литературе не описывалось.
Практическая и научная ценность работы. Полученные
результаты являются дальнейшим развитием физики аэродисперсных
систем.
Методики решения уравнений Стокса и Лапласа применимы в
электродинамике при расчете электрических полей.
Предложенная методика решения задачи о термофорезе летучего
сфероида открывает возможности для решения широкого класса задач,
посвященных движению несферических частиц.
Известно, что наилучшим способом локализации антропогенных
загрязнений является вымывание взвешенных частиц туманом, облаками и
осадками. В работе приводятся оценки времени очистки заданного объема
в зависимости от радиусов капель, а также от коэффициента испарения.
Результаты главы IV могут найти широкое применение в экологии,
метеорологии.
Полученные в диссертации формулы представляют интерес для
специалистов, занимающихся проблемами физики аэрозолей, а также для
инженеров, проектирующих приборы и установки для очистки газов от
примесей.
На защиту выносятся:
1) Теория термофоретического движения умеренно крупной летучей
аэрозольной частицы с учетом коэффициента испарения.
2) Теория диффузиофоретического движения умеренно крупной
летучей аэрозольной частицы с учетом коэффициента испарения.
3) Теория захвата умеренно крупных аэрозольных частиц
атмосферными каплями.
4) Теория термофоретического движения умеренно крупной летучей
частицы сфероидальной формы.
Апробация работы
Основные результаты работы неоднократно докладывались на:
 конференциях студентов, аспирантов и преподавателей
Московского Государственного Областного университета;
 заседаниях и семинарах кафедры теоретической физики
Московского Государственного Областного Университета.
5
Опубликовано учебное пособие, предназначенное для студентов
старших курсов физико-математических специальностей ВУЗов и
включающее в себя исследования по изучению динамики умеренно
крупных аэрозольных частиц в неоднородных по температуре и
концентрациям компонентов средах и применении полученных
результатов в экологии (при расчете времени полной очистки заданного
объема от наиболее вредных для здоровья людей дымов промышленных
предприятий, автомобильных выхлопов, и других загрязнений,
оказывающих негативное воздействие на окружающую среду):
 Яламов Ю.И., Ставцева О.В., Баринова М.Ф., Костицына Л.И.
Теория термо- диффузиофоретического переноса умеренно
крупных летучих аэрозольных частиц с учетом влияния
коэффициента испарения. Учебное пособие. – М.: МГОУ, 2007
г., 65 с.
Данное пособие может быть использовано в аудиторной и
самостоятельной работе студентов и аспирантов при изучении
специальных курсов по физике.
Публикации. По материалам диссертации опубликовано 6 работ, в
том числе 2 работы в изданиях, рекомендованных Высшей аттестационной
комиссией.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения,
пяти глав, заключения и списка литературы. Материал изложен на 95
страницах машинописного текста, включая 14 иллюстраций, 1 таблицу, 77
библиографических наименований.
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении к диссертации обоснована актуальность темы
диссертации, сформулированы цели исследования, охарактеризованы
научная новизна, а также практическая и научная ценность работы.
Первая глава диссертации посвящена обзору литературы.
Впервые задача о термофорезе крупной сферической аэрозольной
частицы была решена Эпштейном [1]. Автор получил формулу для
скорости в виде
3  (e)
2 ( e )
(Э)
UT  
T ( e )  ,
(e) (e)
(e)
(i )
4  T0 2  


где η(e) – вязкость газовой среды, κ(e), κ(i) – коэффициенты
теплопроводности газовой среды и частицы соответственно, T0( e ) невозмущенное значение температуры (температура в центре капли),
6
T 
(e )

- постоянный градиент температуры на большом расстоянии от
частицы.
Следующим этапом развития физики аэрозолей явились работы
Брока, в которых автор учел влияние коэффициента изотермического
скольжения и скачков температуры на поверхности сферической частицы
[2]:
 (e)
( e) 
    (i )CT
 T ( e ) 
(e)

R 
3 
(Б)

UT  
.
4  ( e )T ( e )  ( e )  (i )
 
(i )
(e)  
 
  CT 1  2Cm


2
R
R




Здесь СТ – коэффициент скачка температуры, λ(e) – средняя длина пробега
газовых молекул, R – радиус аэрозольной частицы, С m(e ) - коэффициент
изотермического скольжения.
Изучение диффузиофоретического движения частиц началось с
исследования Брока [3]. В данной работе автор учел эффект
диффузионного скольжения, и получил формулу для скорости
диффузиофореза

U D   K Sl D12 C1e  .
Здесь K Sl - коэффициент диффузионного скольжения бинарной газовой
смеси вдоль плоской поверхности раздела «газовая смесь – аэрозольная
частица», D12 - коэффициент взаимной диффузии компонентов смеси,
C1e  - постоянный градиент концентрации первого компонента на
большом удалении от частицы.
Первым теоретическое описание процесса испарения неподвижной
крупной капли, протекающего в диффуизонном режиме в 1877 г. провел
Максвелл Дж.К. [4] Автор получил формулу для потока испаряемых
частиц от капли
W  4DR  1R   1 .
Здесь D – коэффициент диффузии пара в воздухе, γ1R – концентрация
насыщенного пара вблизи капли, γ1∞ - концентрация пара на достаточно
большом расстоянии от капли.
В 1934 году Фуксом [5] были получены формулы, позволяющие
приближенно учитывать влияние слоя Кнудсена на процесс испарения
капель.
Исследование влияния слоя Кнудсена на динамику частицы можно
проводить путем включения в число граничных условий задачи
соотношений, позволяющих учитывать скачки концентрации и
температуры вблизи поверхности капли.
Основными работами по исследованию динамики сфероидальных
частиц являются работы Хаппеля [6] и Ламба [7]. В своей работе Хаппель


7
исследовал обтекание крупного сплюснутого нелетучего сфероида
потоком жидкости, параллельной его оси. Ламб решал задачу о движении
эллипсоида при помощи потенциала притяжения твердых тел.
В работе [8] проведен анализ общих свойств движения жестких
частиц произвольной формы в неоднородной по температуре и
концентрации бинарной газовой смеси. В гидродинамическом и свободномолекулярном режимах получен явный вид тензоров, описывающих
движение нелетучих эллипсоидальных аэрозольных частиц в
неоднородной по температуре и концентрации газовой смеси. Найдены
интерполяционные формулы для скорости термо- и диффузиофореза
нелетучих эллипсоидальных частиц. Показано, что форма и ориентация
аэрозольных частиц существенно влияет на величину и направление
скорости термодиффузиофореза.
Работы [9],[10] посвящены движению твердой крупной частицы
сфероидальной формы внутри которой действуют источники (стоки) тепла
в несжимаемой вязкой жидкости.
Вторая глава посвящается описанию термофоретического движения
умеренно крупной летучей капли сферической формы с учетом влияния
коэффициента испарения α.
Распределения скоростей, давления и концентраций вне и внутри
капли описываются осесимметричными дифференциальными уравнениями
Стокса, непрерывности и Лапласа:


 (i ) v (i )  p (i ) ,
 ( e ) v ( e )  p ( e ) ,


div v (i )  0,
div v ( e )  0,
(1)
(e)
(i )
T  0,
T  0,
(e)
C1  0,
n1( e )
, n0( e )  n1( e )  n2( e ) , n1( e ) , n 2( e ) - численные концентрации
(e)
n0
газовых молекул первого и второго сорта соответственно. Индекс «e»
относится к величинам, характеризующим среду вне капли, а индекс «i» внутри капли.
На бесконечности справедливы условия: осесимметричный
поток

внешней среды однороден в пространстве и имеет скорость |U | ; скалярное
распределение температуры T (e ) есть функция координаты z  r cos ;
относительная концентрация C1( e ) летучего компонента смеси газов
невозмущена.
где С1( e ) 
8


vr( e ) | U | cos , v( e )   | U | sin  ,
p ( e )  p0( e ) , T ( e )  T0( e )  AT r cos ,
r :
(2)
(e)
C1( e )  C01
.
На поверхности капли выполняются условия:
o скольжения (разность касательных составляющих скоростей
вне и внутри капли равна сумме изотермического, теплового и
диффузионного скольжений);
o непрерывности радиальной и касательной составляющей
тензора напряжений;
o непрерывности потока вещества первого компонента при
фазовом переходе;
o непроницаемости поверхности частицы для молекул второго
сорта бинарной газовой смеси;
o непрерывности потока тепла;
o скачка температуры (разность температур на границе слоя
Кнудсена и внутри частицы пропорциональна локальному
радиальному градиенту температуры);
o условие для радиальной составляющей скорости (показывает
отсутствие конвективного потока вещества с поверхности
капли):
r=R:
v( e )  v(i ) 
   v ( e )  1 vr( e )  K TSl   T  T ( e )
 C * r    


  ( e ) 1 

r
r
r


R


T
R


0




K DSl D12   D  C1( e )

,
1 

R
R  

(e)
2 
(e)
( e ) v r
 p  2 0

r
R T (i )
  p (i )  2
T T0( i )
(i )
C1( i ) C01
(i )
T
(i )

 T0(i ) 
2
R
(3)
T ( i ) T0( i )
(i )
C1( i ) C01

(4)
(i )
( i ) v r
0
,
r
(e)
v( e ) v( e )  1 
( e )  1 v r

 0 


 R T (i )
r



r
r


1
v
v 
  0(i ) 
    ,
r
r 
 r 
vr(i )
(i )
(i )
T ( i ) T0( i )
(i )
C1( i )  C01
T (i )


(5)
9
2
n1( e ) vr( e )
2
D12 n0( e ) m2 C1( e ) D12 n0( e ) m2 K TD T ( e )



r
 0( e)
 0( e)
T0( e ) r


(6)
 n0( e ) C s(1e )  C1( e ) ,
2
n2( e ) vr( e )
D n ( e ) m C ( e) D (n ( e ) ) 2 m K T ( e)
 12 0( e ) 1 1  12 0( e ) ( e )1 TD
 0,
r
r
0
 0 T0


(i )
T ( e )
( i ) T

 0
 n0( e )Lm1 C s(1e )  C1( e ) ,
r
r
(e)
(e)
(i )
(T ) T
T  T  KT
,
r
vr(i )  0.
(e)
0
(7)
(8)
(9)
(10)
Здесь  0( e ) ,  0(i ) ,  0( e ) ,  0(i ) ,  0( e ) - коэффициенты динамической
вязкости, теплопроводности вне и внутри капли, плотности газа (индекс
«0» показывает, что коэффициенты перноса берутся как постоянные
величины при температуре на бесконечности T0( e ) ); D12 – коэффициент
взаимодиффузии смеси; σ – коэффициент поверхностного натяжения

капли,
- учитывает температурную зависимость коэффициента
T (i )
поверхностного
натяжения;
С*,
KTSl,
KDSl
–
коэффициенты
изотермического, теплового и диффузионного скольжений; βT, βD –
величины, учитывающую кривизну поверхности, KTD – коэффициент
объемной теромдиффузии; K T(T ) – коэффициент скачка температуры; m1,
m2 – массы газовых молекул первого и второго сорта,
Относительную концентрацию вблизи поверхности капли можно
разложить в ряд Тейлора с удержанием линейный членов по T(i):
C s(1е ) (i )
(е)
(е)
C s1  C s10 
(T  T0(i ) ),
(i )
T
(е)
где С s1 - насыщающая концентрация паров летучего вещества у
поверхности капли.
Далее, известные решения уравнений Стокса, неразрывности и
Лапласа подставляются в граничные условия. Получается система
линейных алгебраических уравнений, из решения которой находится
выражение для скорости термофоретического переноса капли:
10
1

 ( e ) 3C * 3   1   T  1 
U T    0(i ) 
    ( e ) 1 
1 
 K TSl 
R
2
R
Z

T



 0
  0 
R  K (T )   2 K T(T )  1  
  
  (i ) 
 D12 1  D  3 K DSl  (i ) 1  T   1 
R
Z
R
R
3



 
 Z  T
0 
(11)
D12 n0( e ) m1  0( e ) 3C * 1  21 


 
 1 AT .

R
2  Z
 0( e ) R  0(i )

Здесь введены обозначения:
 
 K TD
 K T(T )  C s(1e ) 
(e) 2


 (i )  
1    D12 n0 Lm1  ( e )  21 
 T 

R
T
 


 0

2
 (e)
 K T(T )  
(
i
)
  0   0 1 
 ,
 



R


 


  3D n ( e ) 2 K Lm
 (e)
( e ) ( e )  C s1
12 0
TD
1


 2   
 3 0 n2

 T (i )
T0( e )
 

3D n ( e ) K  ( i ) 
 12 0 ( e ) TD 0 ,
T0 R

 
 K TD  2 K T(T )  C s(1e ) 
(e) 2

 (i )  
Z    2 D12 (n0 ) Lm1  ( e )  1 
 T
R
 T0

 



 n2( e ) 

(e)
0
 n2( e )  2 0( e )

(i ) 

0 1 

K T(T )    2 D12 n0( e )
 
R   
R
(i ) 

0 1 
2 K T(T )    2 D12 n0( e )

R   
R
(T )  
 (e)


 2 0   0(i ) 1  2 K T  .


R  





Анализ результатов
Формула (11) представляет собой выражение для скорости
термофоретического переноса умеренно крупной аэрозольной капли.
Полученное выражение показывает, что скорость может меняться не
только по величине, но и по направлению, в зависимости от конкретных
значений физических величин.
Первый и второй члены (пропорциональные коэффициентам KTSl и
KDSl) формулы (11) связаны соответственно с тепловым и диффузионным
скольжением газовой среды. Третье слагаемое обусловлено переменным
межфазным поверхностным натяжением на поверхности капли. Четвертый
член описывает реактивную часть импульса, который действует на частицу
и связан с фазовым переходом.
За счет первого и четвертого членов (обусловленных тепловым
скольжением и фазовым переходом) капля стремится двигаться в сторону
11
падения температуры во внешней среде, т.е. из области с более высокой
температурой в область с более низкой температурой. В силу того, что

поверхностное натяжение уменьшается с ростом температуры (
 0 ),
T
третье слагаемое дает вклад в скорость, направленный в сторону роста
температуры во внешней к капле среде. За счет диффузионного
скольжения капля может двигаться как в сторону роста, так и в сторону
падения температуры, в зависимости от масс молекул компонентов
бинарной газовой смеси. Если масса молекул компонента внешней смеси,
испытывающей фазовый переход на поверхности капли, меньше, чем
масса молекул компонента, непроходящего через поверхность капли, то
KDSl>0. В противном случае KDSl<0.
Делая предельный переход к крупной нелетучей капле, получим уже
известную формулу [11]:

 0(i )
 
(e) 
2 0 3K TSl

R

T (i )  
 0 T0(e)


UT  
AT .
2 0(e)   0(i ) 2 0( e)  3 0(i )
При численном анализе исследовалась зависимость скорости от
коэффициента испарения для смеси «С2Н5ОН – N2». Характер этой
зависимости представлен на рисунке 1. При построении использовались
следующие значения параметров, входящих в формулу [11], [12], [13]:
K
Вт
R  10 5 м; T0(e)  300 K ; AT  100 ;  0(e)  0,0257
;
м
мК
Вт
 0(i )  1,2 10 3
;  0( е )  1,79 10 6 Па  с;  0(i )  1,01 10 3 Па  с;
мК
2

5 Н
5 Дж
4 м
 9 10
; L  9,05 10
; D12  0,102 10
;
мК
кг
с
T (i )
1
1
1
n0( e )  2,42 10 25 3 ; n2( e )  4,84 10 23 3 ; n1( e )  2,37 10 25 3 ;
м
м
м
(e)
Cs1
1
м
 1,67  10 3 ;   119 ; m1  4,65  10 26 кг; m2  7,64  10 26 кг.
(i )
К
с
T
(e)

K TSl  1,16  0(e) ; K DSl  3,03; C *  1,126   ; K T(T )  1,875   ;
0



 D  1,572   ;  T  3,731  .
График берет свое начало из точки α=0, что соответствует скорости
нелетучей капли.
Из рисунка 1 видно, что при некотором значении α направление
движения капли изменяется на противоположное. Действительно, при
12
подстановке указанных числовых значений в формулу (11) получим
выражение
5,968  0,2
U  2,25  10 6 
.
2,403  0,622
Очевидно, что знаменатель данной дроби всегда больше нуля, а
числитель обращается в нуль при α* = 0,0469. Т.е. при малых значениях α
(0 < α < α*) скорость U T падает не изменяя своего первоначального
направления. Это объясняется тем, что в данном случае роль эффектов
теплового и диффузионного скольжений преобладает и капля движется в
сторону падения температуры, а при α > α* возрастает роль реактивного
эффекта испарения и термокапиллярных эффектов (связанных с
 0 ), и капля движется в
переменным поверхностным натяжением 
T
сторону роста температуры.
На рисунке 2 можно видеть, как меняется скорость термофореза
капли в зависимости от ее радиуса R  10 7 м, 6  10 5 м . Направление
движения частицы меняется в зависимости от радиуса, это связано с тем,
что при маленьких радиусах частицы основной вклад в скорость вносят
составляющие, обусловленные термофоретическими и реактивными
силами (направлены в сторону убывания температуры). С ростом R растет
влияние термокапиллярных сил (направлены в сторону роста температуры)


Рис.1. График зависимости скорости термофореза умеренно крупной летучей
капли от коэффициента испарения α.
13
Риc.2 График зависимости скорости термофореза умеренно крупной летучей
аэрозольной капли от радиуса. R  107 м; 6 105 м


В третьей главе исследуется движение умеренно крупной
сферической капли, взвешенной в неоднородной по концентрациям
компонентов бинарной газовой смеси. Относительные концентрации
компонентов смеси определяются как
n1( e)
n2( e)
(e)
(e)
C1  ( e) ,
C2  ( e) ,
n0
n0
где n1( e ) и n 2( e ) - числа молекул соответственно летучего и несущего
компонентов газовой смеси в единице объема; n0( e )  n1( e )  n2( e ) .
На большом расстоянии от частицы поддерживаются постоянными
градиенты концентрации

AC  C1(e)    C2(e)  .
Исходя из геометрии задачи, решение целесообразно проводить в
сферической системе координат, начало которой жестко связано с центром

капли, а ось Oz направлена вдоль вектора градиента концентрации AC .


Распределения


скоростей
( vr( e ) , vr(i ) ),
температур
( T ( e ) , T (i ) ),
концентраций ( C1( e ) , C 2( e ) ) и давлений ( p ( e ) , p (i ) ) вне и внутри капли при
14
малых числах Рейнольдса ищутся из решений уравнений Стокса,
непрерывности и Лапласа (1).
На бесконечности условия для концентрации и температуры имеют
вид:
(e)
C1( e )  C10
 AC r cos  , T ( e )  T0( e ) .
r :
Условия для скорости и давления на бесконечности аналогичны (2).
Условия на поверхности капли аналогичны условиям (3)-(10), но в
данной постановке опускается эффект термодиффузии, а условие скачка
температуры (9) записывается как
(e)
(e)
(i )
(T ) ( e ) C1
T  T  K n T0
.
r
Решение уравнений Стокса, неразрывности и Лапласа с
поставленными граничными условиями дает выражение для скорости
диффузиофореза умеренно крупной летучей аэрозольной капли:
1

 3 3C *  0( e )  

2 0( e ) K n(T )T0( e ) n2( e )  C s(1e )
(e) 2
 (i ) 
U D   
 (i )  3  D12 n0 Lm1 
 T
2
R
R



0  




3D12 n0( e )

2 0( e )   0(i )
R
 n2(e)
1  R  D
D


12 K DSl

 1  2n2( e ) 0( e ) K n(T )T0( e )

2
 3  ( e ) 
 n0( e ) D12 Lm1  
R
 T0 

(T )
T 
(e)
( i ) K n 
2 0   0
 K TSl 
 1 
R 
R 


 
2
R  2n2(e) 0(i ) K n(T )T0(e)
 (i ) 
 n0( e) D12 Lm1  (i ) 
R
0 
 T

 3 2 0( e )   0(i )

2
 1 3C *  0( e )  D12 n0( e ) m1  AC
 
 (i ) 
,

2
R
 0   0(e)  Z


(12)
где
 (e)

2n2( e ) K n(T )T0( e ) 0( e )  C s(1e ) 
(e)
(i )
(e) 2


 (i )  
Z  n2 2 0   0  2 D12 n0 Lm1 
 T 

R








2 D12 n0( e )
2 0( e )   0(i ) .
R
Анализ результатов.
Формулу
в виде:

 (12)можно
 представить

U D  U DSl  U TSl  U   U  .

Здесь
15



2 0( e ) K n(T )T0( e ) n2( e )  C s(1e )
(e) 2
 (i ) 
U DSL  3  D12 n0 Lm1 
 T
R





3D12 n0( e )
A
 

2 0( e )   0(i ) 1  D  D12 K DSl C
R
R 
Z

- скорость, обусловленная диффузионным скольжением,

 1  2n2( e ) 0( e ) K n(T )T0( e )

2
U TSl  3  ( e ) 
 n0( e ) D12 Lm1  
R

T0 

(T )
A
T 
(e)
(e)
(i ) K n 
 n2 2 0   0
 K TSl C
 1 
R 
R 
Z
- скорость, возникающая из-за теплового скольжения,



2
A
R  2n2(e) 0(i ) K n(T )T0(e)


U   (i ) 
 n0( e ) D12 Lm1  (i ) C
R
Z
0 
 T
- скорость, появляющаяся вследствие действия термокапиллярных сил, и

(e)
(e) 2
*




D
n
m
A
1
3
C
U   3 2 0(e)   0(i )  
 0(i )  12 0(e) 1 C
R
Z
0  0
2
- реактивная составляющая скорости диффузиофореза.
Из формулы (12) видно, что скорость диффузиофореза меняется как
по абсолютной величине, так и по направлению в зависимости от
значений, входящих в нее параметров. Численный анализ проводился
аналогично второй главе для смеси: «Этиловый спирт - Азот».
На рисунке 3 представлена зависимость скорости диффузиофореза от
радиуса капли спирта. Очевидно, что скорость меняется не только по
величине, но и по направлению. Рассматривая удельный вклад каждого
слагаемого в формулу для скорости можно сказать, что при маленьких
радиусах частицы основной вклад в скорость вносят составляющие,
обусловленные термофоретическими и реактивными силами (направлены
в сторону убывания температуры). С ростом R растет влияние
термокапиллярных сил (направлены в сторону роста температуры)
График зависимости скорости диффузиофореза при R =10-5 м от
коэффициента испарения приводится на рисунке 4. Очевидно, что с ростом
коэффициента испарения (увеличивается реактивная составляющая
скорости) скорость умеренно крупной капли в поле градиента
концентрации увеличивается. График берет свое начало из точки,
соответствующей скорости нелетучей капли (α=0)






16
Рис.3. График зависимости скорости диффузиофореза умеренно крупной
летучей капли от радиуса. R  107 м; 105 м .


Рис.4. График зависимости скорости диффузиофореза умеренно крупной
летучей капли от коэффициента испарения α.
17
Четвертая глава посвящена исследованию вымывания летучих
аэрозольных частиц из атмосферы более крупными по размеру каплями.
Наилучшим способом локализации загрязнения является вымывание
взвешенных частиц туманом, облаками и осадками. Вымыванием
аэрозольных частиц из аэродисперсной системы называется процесс
захвата аэрозольных частиц более крупными по размерам каплями.
Среднее расстояние между каплями, вымывающими аэрозольные
частицы во встречающихся на практике аэрозолях, как правило,
значительно больше радиусов этих капель. В связи с этим, каждая из
капель вымывает аэрозольные частицы независимо от других капель.
Поэтому при изучении роли каждого из механизмов переноса аэрозольных
частиц к поверхности капель можно ограничиться анализом движения
частиц в окрестности только одной капли.
Рассматривается летучая капля радиуса Rd , взвешенная в бинарной
газовой смеси. Первый (летучий) компонент газовой смеси образуют
молекулы вещества частицы, а второй (несущий) компонент не проникает
внутрь нее. Вследствие фазового перехода вокруг капли возникают
сферически симметричные градиенты T (e) , C1( e ) , C 2( e ) . Испарение или
конденсация капли происходит при малых значениях концентрации
летучего компонента и при небольших температурных перепадах в ее
окрестности. Необходимо отметить, что изменение объема летучей капли
должно быть таким, чтобы ее размер оставался конечным.
В окрестности капли находятся умеренно крупные летучие
аэрозольные частицы. Находясь в неоднородной по концентрации и
температуре среде, частицы будут двигаться либо в направлении капли,
либо от нее.
Необходимо рассчитать время полной очистки некоторого объема V
от аэрозоля. Для определенности будем считать, что капля и аэрозольные
частицы состоят из одного и того же вещества.
Исходя из геометрии задачи, рационально проводить решение в
сферической системе координат, начало которой помещается в центр
капли. Распределения температуры и концентрации находятся из решения
стационарных уравнений теплопроводности и диффузии:
 r T ( e )  0,  r C1( e )  0.
На поверхности капли имеют место условия для концентрации и
температуры:
C1( e )  C s(1e ) ,
T ( e )  T0( e ) ,
18
где C s(1e ) - концентрация насыщенных паров летучего компонента. А на
большом удалении от капли при
каплю области):
C1(e)
 C1(e) ;
r  RV ( RV - радиус окружающей
r  RV
T (e)
r  RV
 T( e ) .
Скорость движения умеренно крупных частиц складывается из
скорости массового движения газообразной среды, термо- и
диффузиофоретической скоростей:
U r  U r( g )  U r(T )  U r( D ) .
Скорость движения центра инерции газа рассчитывается по формуле,
приведенной в [15]:
2
 (g)
n0( e ) m1
U   D12 ( e ) ( e ) C1( e ) .
(13)
n2  0
Используя методику решения задач, изложенную в предыдущих
главах, можно найти выражения для скоростей термо- и диффузиофореза с
учетом скачков температуры и концентрации, без учета эффекта
термодиффузии.
Далее найденные выражения подставляются в формулу для скорости
Ur. Градиенты температуры и концентрации определяются формулами:
R
 r C1( e )   C1(e )  C s(1e ) d2 ,
RV
R
 r T ( e )   T( e )  T0( e ) d2 .
RV
Находим, что:

R 
U r  1   2  d2 n ,
RV

 


 

Уравнение теплового баланса
2
(i )


n0( e ) m2
C1( e )
T ( e )
( i ) T
   0( e )

 0
 Lm1
D12
r
r  r  R
r
 0(e)

d
.
r  Rd
позволяет найти связь между перепадами температуры и концентрации
первого компонента на поверхности капли и границей заданного вокруг
нее объема:
T( e )
 T0( e )

Lm1m2 n0( e )
2


D12 C s(1e )  C1(e ) .
 
С учетом вышесказанного можно записать:
(e)
0
(e)
0
19
 3 3C *  ( e )  1 

 2 K T(T ) 
(e) 2
0 




1   2   
 (i )  3  D12 n0 Lm1 R1 

2
R
R
 0  




2
( e ) (T ) ( e ) ( e )
0 K n T0 n2

 3D12 n0( e )  2 0( e )



 C s(1e )
 (i ) 
 T

(i ) 

0 1 

2 K T(T )    D 
  1 
 D12 K DSl 
R  
R 

2
  K
 3 D12 n0( e ) Lm1 R  n2( e ) K n(T )T0( e ) 0(i ) 1  T  TSl

R  T0( e )

 
 2 K T(T ) 
R  ( e ) 2
  2n2( e ) 0( e ) K n(T )T0( e )  (i ) 
 (i ) n0 D12 Lm1 R1 
R 
 0 
 T

(e)
(e) 2
(T ) 
*

 (e)





D
n
2
K
1
3
C
0  12 0 m1 
T  
 3R 2 0   0(i ) 1 



(i ) 
(e)
  2
R
R




 
0 
0

2
 3 3C *  0( e ) 
n0( e ) m1
  
 (i )  ZD12 ( e ) ( e ) 
2
R
0 
n2  0

 1  
  ( e ) 1  T
R
T0 
(e)
  ( e ) ( e ) (T ) ( e ) C s1

  6n2 T0 K n  0
T (i )
 
2
 6 D12 n0( e ) Lm1 K T(T )

 6 D12n0( e) 


(e)
0

(T ) 
C s(1e )
(e)  (e)
(i ) K T  
  
 3n2 R  0   0

R
T (i )


(i )
0
KT(T ) 
 KTSl 
R 
C ( e )
  
 3D12 1  D 0( e ) n2( e ) R s(1i ) K DSl 
R 
T


 0(e) R   (e) (e) (T ) Cs(1e)
(e) 
( e )  

 (i )    2n2 T0 K n

n
R

2
D
n

2
12 0 
(i )

0  
T (i )

T


2
2
2 D12 n0( e ) m10( e ) R   0( e ) 3C * 1  C1(se )  Lm1m2 n0( e ) D12  C1(e )  C s(1e )
 (i ) 

  (i ) 
.

(e) (e)

R
2
Z
 0(e)

T




0
0
 0


Направление процесса (захват или вымывание) зависит от знака суммы
(φ1+φ2). Если сумма больше нуля, то будет происходить захват
аэрозольных частиц каплями. Если же напротив, (φ1+φ2)<0 – то
вымывание.
20

Зная скорость U r , можно рассчитать полное время очистки
заданного объема V. Для этого воспользуемся соотношением:
RV
dr RV2 RV  Rd 
t 

.


U



R
r
1
2
d
Rd
Так как Rd<<RV это выражение можно записать в виде:
RV3
(14)
t
.
1   2 
Анализ результатов
Проведем численный анализ для паро-воздушной смеси
« N 2  H 2 O ». Подставим в (14) следующие числовые значения величин
[12], [13], [14], [15]:
T0( e )  300 K ;  0( e )  1,79  10 6 Па  с;  0(i )  8,2  10 4 Па  с;
Вт
Вт
1
 0(e)  2,4  10 2
;  0(i )  5,9  10 1
; n0( e )  1,86  10 25 3 ;
м К
мК
м
1
кг
n2( e)  4,84  10 24 3 ; d m  3,8  10 8 м;  0( e )  1,25  10 3 3 ;
м
м
kT0( e )
Дж
m1  2,006  10 27 кг ; L  2,48  10 6
; D12  2,3  10 5 ;
;
2m1
кг
1

; C *  1,126; K T(T )  1,85 ; K n(T )  5,91 ; 1  3,731 ;
2 (e)
2d m n0
C s(1e )
1
 2  1,5723 ;
 6,5  10  4 ; K TSl  1,16; K DSL  0,3;
(i )
К
T

Н
 0,168
.
(i )
мК
T
Рассмотрим зависимость времени полной очистки заданного объема
от радиуса аэрозольных частиц. Предположим, что крупная капля имеет
радиус Rd=100 мкм, коэффициент испарения α = 0,5, радиус очищаемой
7
5
области R = 1 см, радиус аэрозольных частиц R  10 м, 5 10 м .
V


Из рисунка 5 видно, что существует некоторый радиус аэрозольный
частиц, при котором время полной очистки заданного объема минимально.
21
Этот результат согласуется с результатами, полученными в главах II и III.
Рис. 5. График зависимости времени полной очистки заданного
объема от радиуса аэрозоля
В пятой главе рассматривается термофоретическое движение
сфероидальной летучей умеренно крупной твердой частицы
Задачу целесообразно решать в правой ортогональной системе
координат вытянутого сфероида  , ,  . Связь между сфероидальными
координатами  ,  и круговыми цилиндрическими координатами  , z 
меридиональной плоскости определяется при помощи конформного
преобразования [6]
z  i  c ch  i , c  0.
Распределения
скоростей,
температуры
и
концентрации
описываются осесимметричными дифференциальными уравнениями
Стокса, неразрывности и Лапласа:


 0(e ) v ( e)  p ( e) ; div v ( e )  0; T ( e)  0; T (i )  0; C1( e )  0 .
Задача решается при следующих граничных условиях:
K 
 
 


s v ( e )  TSl 1  T  s T ( e )  K DSl D12 1  D  s C1( e ) ;
(15)
T0 
c 
c 


n1( e ) n v ( e )
2
2


D n (e) m 
D n (e) m K 
 12 0( e ) 2 n C1( e )  12 0( e ) 2 TD n T ( e )  n0( e ) C s(1e )  C1( e ) ;
T0
0
0
(16)
22
2
2
D12 n0( e ) m1 
D12 n0( e ) m1 K TD  ( e )
(e)

n C1 
n T  0;
(17)
T0
 0( e )
 0( e )


  0( e ) nT ( e )   0(i ) nT (i )  n0( e ) Lm1 C s(1e )  C1( e ) ;
(18)


T ( e )  T (i )  K TT nT ( e )  K nT T0 nC1( e ) ;
(19)
Fz  0,
(20)
 
где n, s - нормальный и касательный орты.
Условие (15) – условие скольжения, учитывает тепловое и
диффузионное скольжение; (16) – непрерывность потока вещества с
учетом фазового перехода; (17) – непроницаемость летучего компонента
внутрь капли; (18) – непрерывность потока тепла с учетом фазового
перехода на поверхности частицы; (19) – условие скачка температуры на
поверхности частицы (KTT – скачок температуры, KnT – скачок
концентрации, обусловленные неоднородностью температуры); (20) –
условие равенства нулю силы, действующей на сфероид.
Условия на бесконечности:


T ( e )  T0  AT z; C1( e )  C10( e ) ; v ( e )  Uiz
Решение уравнения Лапласа в сфероидальных координатах имеет
вид

n2( e ) n v ( e )

  0 : T
(i )


  A'n Pn ( ) Pn (  );
n 0

  0 : T (e)   An Pn ( )  BnQn ( )Pn ( );
n 0

C1(e)   Rn Pn ( )  K n Qn ( )Pn (  ).
n 0
Здесь Qn(x) функции Лежандра второго рода.
С учетом условий на бесконечности A0=T0, A1=ATc, An=0 (n>1),
(e)
R0= C10 (n>0), распределение температуры и концентрации вне частицы
имеет вид:

T (e)  T0  AT c   Bn Qn ( ) Pn (  );
n 0

C1(e)  R0   K nQn ( ) Pn (  ).
n 0
Решение уравнения Стокса в сфероидальных координатах удобно
проводить в терминах «функция тока». Вводится она в условиях
несжимаемости и осесимметричности следующим образом


v1  h2 h3
, v2  h1h3
.
q2
q1
23
(здесь (q1, q2, φ) криволинейные координаты вращения в произвольной
правой ортогональной системе, с метрическими коэффициентами (h1, h2,
h3)).
Решение уравнения Стокса представляется в виде
1 
 1
 1


   С1  C2  1  2 ln
 2   C3 2  1  1   2 .
4 
 1

 2

Граничные условия записываются в терминах «функция тока», в них
подставляются найденные из решения уравнений Стокса, неразрывности и
Лапласа разложения для скорости, температуры, концентрации и давления,
решается система линейных алгебраических уравнений и получается,
выражение для скорости:





1
Q c
  1
 
 

| U T |  1  c   1  T c  AT  B1 К TSl  D12 1  D Q1 K1 K DSl 
c 
c 

 Q'1
  T0 
2
2

AT c  B1Q'1 Q1 D12 n0( e ) m1
Q1 D12 n0( e ) m1 

K TD 
K1 .
 0( e )T0 n2( e ) c 2 Q1  Q'1 
 0( e) n2(e )

(21)
Здесь
1
 1
Q1 ( )   ln
 1,
2
 1
dQ1 ( ) 1   1

.
 ln
 2
d
2  1  1

K1  2 .

Q'1 ( ) 
B1 
1
,

3

C s(1e )
2  1n0( e ) Lm1c 2 L1Q1 D12Q'1 
2
2
(e) 3
     1 n0 Lm1cL1 L2Q'1 D12
K nT 
K 
 TD
Ti
T0


 2
C s(1e ) 2  1 n0( e ) 0(i ) L2Q'1 L1Q1c 
2
(e) 3

 K TT 
    1 n0 Lm1cL1 L2Q'1 D12



T

i






 


2


2
 1 n0( e )T0 0( e ) Q'1

C s(1e )
C s(1e )
2
(e) 3
2
cL1 L2
K nT    1n0 Lm1c L1Q1 D12Q'1

Ti
Ti

2  1n0( e ) 0( e ) Q'1 c 2 L1Q1  2  1n0( e ) 0(i ) Q12 c 2 L1  



2
2

2
 1 2  1n0( e )  0(i ) L2Q'1 D12


2
2
 1 n0( e ) 0( e ) Q'1

cD12
2


2

K nT K TD



2


2
 1 n0( e )  0(i ) Q1cD12Q'1

2
 1 2  1n0( e )  0(i ) L2Q'1 D12
;
2
K TT 
24
C s(1e )
1 
(e)
(e)
2
K nT 
    1  0 cn0 L1T0Q'1 L2
AT c 
T (i )
 2  1  0(i ) L2 cn0( e ) L1Q1
C s(1e ) 
(e) 3
2
   1 n0 Lm1cL1 L2 D12Q'1 (i )  K TT 
 

T 







3
  2  1n0( e ) Lm1c 2 L1 D12 Q'1
C s(1e )

T (i )

 2  1n ( e ) 3 Lm c 2 L Q D
C s(1e )
(e) 3
2
1 1 12
1
0

K nT  K TD 
   1 n0 Lm1cL1 L2 D12 Q'1

(i )


T0
T





2  1с 3 n0( e ) 0(i ) L1Q1  2  1c 3 n0( e ) 0( e ) L1Q1  

2


 1 2  1

2
n0( e ) 0(i ) L2 D12Q'1


2
K nT K TD




2

 1 2  1

2
n0( e )  0(i ) L2 D12Q'1 K TT 
2
 2  1  0(i ) cD12 n0( e ) Q'1  2  1  0( e ) cD12 n0( e ) Q'1 ;
С s(1e )
2  2
2 (e) 3
    1Q'1 Q1 c n0 Lm1 L1 D12
K TD 
AT c 
T (i )
   1
2
С s(1e ) 
2  1Q'1 Q1 cn0( e )  0(i ) D12


.

T0
T (i ) 
2


Q'1 Q1 c 2 n0( e ) 0( e ) L1
Анализ результатов
В предельном случае, при α=0; KTD=0; KDSl=0; KTD=0; KTC=0; βT=0;
βD=0. Тогда, после указанных преобразований, формула (21) для скорости
примет вид


K 'TSl AT  0*  1 0
 1
 1  2 ln 0
UT 
 20 ,
0  1


 1

0 0*  0 2  1 ln 0
 20   2 
0  1



где  0* 
 0( e )

 0(i )




 1.
Эта формула хорошо сочетается с соответствующим результатом
работы [16].
Очевидно, что вклад в скорость движения (см. формулу (21))
частицы вносят члены, обусловленные тепловым скольжением,
диффузионным скольжением, эффектом термодиффузии и реактивным
эффектом.
25
График зависимости скорости термофореза от коэффициента
испарения α приведен на рисунке 6. Видно, что с увеличением α скорость
термофореза увеличивается.
График зависимости скорости термофореза сфероидальной частицы
от эксцентриситета приводится на рисунке 7.
В рамках построенной теории не корректно делать предельный
переход к иглообразной частице, поскольку иглообразная – подразумевает
бесконечно тонкая, а значит, необходимо для расчета скорости такой
частицы использовать законы физической кинетики.
Рис.6 График зависимости скорости умеренно крупной летучей сфероидальной
частицы от коэффициента испарения α
26
Рис.7 График зависимости скорости термофореза частицы от
эксцентриситета
Основные результаты и выводы:
1) Построена теория термофоретического движения умеренно
крупной капли, на поверхности которой происходит фазовый переход
первого рода. Записаны граничные условия, позволяющие учитывать
влияния коэффициента испарения. Построены графики зависимости
скорости от коэффициента испарения α, и скорости от радиуса капли.
Проанализирован вклад каждого слагаемого, входящего в формулу для
скорости. Объяснено изменение направления движения капли при
увеличении ее радиуса.
2) Построена теория диффузиофоретического движения умеренно
крупной летучей капли, с прямым учетом коэффициента испарения.
Проанализированы слагаемые, входящие в формулу для скорости
диффузиофореза умеренно крупной капли. Построены графики
зависимости скорости диффузиофореза от радиуса и от коэффициента
испарения.
3) Исследован термодиффузиофоретический захват умеренно
крупных летучих аэрозольных капель растущими или испаряющимися
атмосферными каплями. Получены критерии, при которых атмосферные
облачные капли будут притягивать к себе летучие аэрозольные частицы,
что будет приводить к самоочищению облаков от взвешенных в них
аэрозольных частиц
27
4) Решена задача о термофорезе умеренно крупной твердой
сфероидальной частицы.
Цитируемая литература
1. Epstein P.S. Zur Theorie des Radiometres. // Z.Physik, 1929, Bd
54, №4, p.p. 537-563.
2. J.R.Brock. On the Theory of Thermal Forces Acting on Aerosol
Particles, - I.Colloid Sci, 1962, vol. 17, p.p. 768 – 770.
3. Brock J. Forces on aerosols in gas mixture. Journ.Coll.Dci., 1963,
V.18, No 6, 489-501.
4. Maxwell J.K. Collected Scientific Papers, Cambridge. 1890. – V.11.
– p.625.
5. Фукс Н.А. О скорости испарения капелек в атмосфере газа //
ЖЭТФ, 1934. – Т.4, вып.7. 747-759.
6. Happel J. and Brenner H. Low Reynolds number hydrodynamics.
Prentice - Hall, 1965. Хаппель Дж., Бренер Г. Гидродинамика при малых
числах Рейнольдса. Пер. с англ. / Под ред. Ю. А. Буевича. М., 1976, 626 с.
7. Ламб Г. Гидродинамика. Том II. – Москва – Ижевск: НИЦ
«Регулярная и хаотическая динамика», 2003, 482 стр.
8. Редчиц В.П. Динамика несферических аэрозольных частиц в
неоднородных газах и газовых смесях. – Дисс. на соискание уч.степени
к.ф.м.-н. Калинин. 1980. 160с.
9. Н.В.Малай, Е.Р.Щукин, Ю.И.Яламов. Движение твердой
нагретой сфероидальной частицы в вязкой жидкости с однородным
внутренним тепловыделением // ЖТФ. 2001. т.71. вып.8. с.13-16.
10. Н.В. Малай, Е.Р.Щукин К вопросу о термофорезе твердой
частицы сфероидальной формы // ЖТФ. 2003. т.73. вып. 9. с.39-43
11. Галоян В.С., Яламов Ю.И. Динамика капель в неоднородных
вязких средах. Ер.: Луйс, 1985.-с.208.
12. Варгафтик Н.Б. Справочник по теплофизическим свойствам
газов и жидкостей. М.: Наука, 1971. 720 с.
13. Физические
величины:
Справочник/
А.П.Бабичев,
Н.А.Бабушкина, А.М.Братковский и др.; под ред. И.С.Григорьева,
Е.З.Мейлихова. – М.: Энергоатомиздат, 1991. – 1232 с.
14. Краткий справочник физико-химических величин под
редакцией К.П.Мищенко и А.А. Равделя, Седьмое издание: Л.: Химия,
1974 г. – 200 стр.
15. Яламов Г.Ю. Теория термодиффузиофореза аэрозольных
частиц при прямом влиянии коэффициента испарения. - Кандидатская
диссертация. – Москва, 2005 г.
28
16. Ставцева О.В. Термофоретическое движение твердой частицы
сфероидальной формы. Выпускная квалификационная работа. Орел. 2005.
40с.
Основные результаты диссертации опубликованы в следующих
работах:
1.
Яламов Ю.И.,
Баринова М.Ф.,
Ставцева О.В.
Влияние
коэффициента испарения на движение летучей аэрозольной частицы в
поле градиентов концентраций с учетом поправок на число Кнудсена в
бинарной газовой смеси // Вестник Московского государственного
областного университета. Труды фундаментальных исследований. Физика.
№1. Москва. Издательство МГОУ. 2007г. С.71 – 78.
2.
Яламов Ю.И.,
Баринова М.Ф.,
Ставцева О.В.
Влияние
коэффициента испарения на движение летучей аэрозольной частицы в
поле градиента температуры с учетом поправок на число Кнудсена в
бинарной газовой смеси // Вестник Московского государственного
областного университета. Труды фундаментальных исследований. Физика.
№1. Москва. Издательство МГОУ. 2007г. С.79 – 88.
3.
Баринова М.Ф., Ставцева О.В., Яламов Ю.И. Теория движения
умеренно крупной испаряющейся капли в поле градиента температуры //
Деп. в ВИНИТИ 22.03.2007. № 280-В2007. МГОУ. Москва. 2007 г. 14 с. 2
илл. библ. 8 назв.
4.
Баринова М.Ф., Ставцева О.В., Яламов Ю.И. Теория движения
умеренно крупной испаряющейся капли в поле градиентов концентрации //
Деп. в ВИНИТИ 22.03.2007. № 281-В2007. МГОУ. Москва. 2007 г. 13 с. 6
илл. библ. 10 назв.
5.
Ставцева О.В.
Термодиффузиофоретическое
вымывание
умеренно крупных летучих аэрозольных частиц каплями // Деп. в
ВИНИТИ 16.07.2007. № 733-В2007. МГОУ. Москва. 2007. 12 с. библ. 5
назв.
6.
Чаусова О.В. Термофоретическое движение умеренно крупной
летучей частицы сфеоридальной формы // Деп. в ВИНИТИ 19.09.2008 №
738-В2008. МГОУ Москва. 2008 18 с. библ. 7 назв.