новая интерпретация диаграммы вышнеградского

СБОРНИК НАУЧНЫХ ТРУДОВ НГТУ. – 2011. – № 1(63). – 137–142
УДК 681.511.26
НОВАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ДИАГРАММЫ
ВЫШНЕГРАДСКОГО*
А.А. ВОЕВОДА, В.В. ВОРОНОЙ
Дается новая интерпретация диаграммы Вышнеградского, а именно в пространстве коэффициентов полинома выделяются множества точек, соответствующих полиномам с заданным набором корней, а далее производится факторизация подобных полиномов.
мсПоказано, что более естественной интерпретацией является сфера в трехмерном пространстве с отождествленными диаметрально противоположными точками. На этой сфере области с различным расположением корней имеют конечные размеры. Кроме того,
она позволяет исследовать всевозможные комбинации корней. Приводится пример синтеза системы управления с использованием диаграммы.
Ключевые слова: обобщение диаграммы Вышнеградского, проективная сфера, расположение корней, линейная система, устойчивость.
ВВЕДЕНИЕ
При исследовании систем автоматического управления третьего порядка
используется диаграмма Вышнеградского – полином преобразуют к нормированному виду, а именно старший и младший коэффициенты приравниваются
к единице. Это позволяет исследовать закономерности расположения корней
на плоскости, так как остается лишь два коэффициента. Четверть плоскости,
на которой размещена диаграмма, отражает лишь часть всего множества полиномов, для исследования всего множества необходимо перейти ко всей
плоскости. Кроме того, необходимо рассмотреть случай, когда старший коэффициент равен –1 и случай, когда свободный член равен нулю [1]. Аналогично
можно построить диаграмму для системы четвертого порядка [2]. На этой
сфере области с различным расположением корней имеют конечные размеры.
Кроме того, она позволяет исследовать всевозможные комбинации корней.
Приводится пример синтеза системы управления третьего порядка с использованием диаграммы.
* Получена 11 января 2011 г.
Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки ГК № П694
от 12.08.2009.
А.А. Воевода, В.В. Вороной
138
1. ПРОЕКТИВНАЯ СФЕРА
Полиному третьей степени
a( s)  a3 s3  a2 s 2  a1s  a0
можно сопоставить взаимно однозначный вектор коэффициентов
a  (a3 , a2 , a1 , a0 ) .
В пространстве 4 прямая L , проходящая через точку a и начало координат, описывает семейство полиномов с одним и тем же набором корней,
т. е. пространство 4 можно факторизовать (разбить) на семейство прямых,
проходящих через начало координат, каждая из них соответствует своему
набору корней. Построим сферу S 3 радиуса один (рис. 1).
Рис. 1. Пространство ( a3 , a2 , a1, a0 ). Проективная сфера в R 4
Тогда каждая прямая L пересекается с выбранной сферой в двух точках:
A и A . Если эти две точки отождествить, обозначим как A A , то получим взаимно однозначное соответствие «набор корней – склеенные диаметрально противоположные точки сферы A A ». Такую сферу называют проективной сферой. Если в
4
через точку a3  1 провести плоскость П1
Обобщенная диаграмма Вышнеградского для системы четвертого порядка
139
(трехмерную), перпендикулярную оси a3 , то каждая прямая L будет пересекаться с заданной плоскостью П1 в единственной точке A – получили взаимно однозначное соответствие между точками проективной сферы и точками
плоскости П1 . Плоскость П1 – это пространство
3
с координатами
(a2 , a1, a0 ) , точке (a2 , a1, a0 ) в этом пространстве (рис. 2) соответствует полином s 3  a2 s 2  a1s  a0 , а множество подобных полиномов, т. е. полиномов,
корни которых отличаются множителем, лежат на «параболе». В качестве
иллюстрации понятия «подобные полиномы» дадим
Рис. 2. Пространство ( a2 , a1, a0 ). Диаграмма
Вышнеградского
Пример. Возьмем полином
( s  1)(s 2  s  1)  s3  2s 2  2s  1
{1,  0.5  0.866 j} .
В фигурных скобках даны корни. Введем масштаб времени s  ts :
t 3 s 3  2t 2 s 2  2t 1s  1 ,
пусть t  2 :
s 3  4 s 2  8s  8
{2,  1  1.732 j} .
А.А. Воевода, В.В. Вороной
140
Значения корней изменились в два раза.
В полиноме третьей степени введем множитель s  ts : s 3  ta2 s 2 
t 2 a1 s  t 3a0 , откуда следует, что в пространстве (a2 , a1, a0 ) множество
(ta2 , t 2 a1 , t 3a0 ) при   t   описывает подобные полиномы (можно назвать классом полиномов). Множество подобных полиномов лежат на параболах. В этом пространстве возьмем сферу радиуса, например, один. Тогда
указанные параболы имеют по две точки пересечения B  B  с данной сферой (рис. 2). Эти точки будем рассматривать как эквивалентные (опять получили проективную сферу). Имеем взаимно однозначное соответствие: точки
сферы – множество классов полиномов. Другими словами, на поверхности
сферы будет по одному представителю из каждого класса подобных полиномов. На поверхности этой сферы можно строить области, соответствующие
различным возможным комбинациям корней. Если же через точку a0  1
провести плоскость П 2 , перпендикулярную оси a0 , то каждая парабола, соответствующая одному классу полиномов, также будет иметь по одному пересечению B c плоскостью П 2 . Четверть плоскости П 2 , соответствующая
a2  0 , a1  0 , как раз и дает диаграмму Вышнеградского.
Более естественно было бы рассматривать диаграмму Вышнеградского не
на плоскости, а на поверхности сферы S 2 – все области были бы конечного
размера, случай a0  0 соответствует «экватору» сферы. На диаграмме Вышнеградского эти точки удалены в бесконечность. Для случая a3  0 , что соответствует a0  0 , следует рассматривать нижнюю часть сферы.
2. ПРИМЕР СИНТЕЗА
Проиллюстрируем возможность использования диаграммы на простом
примере стабилизации объекта
Wo (s )  (s  1) / ( s 2  1) .
С помощью ПИ-регулятора WR ( s )  (  s ) / s . Выпишем характеристический полином системы
s 3  s 2  (1    )s 2   .
Обобщенная диаграмма Вышнеградского для системы четвертого порядка
141
Из условия положительности коэффициентов полинома (необходимое условие устойчивости) найдем область параметров, в которой находится область
устойчивости (рис. 3, а):
  0,   0,   1   .
Для приведения к нормированному виду введем масштаб времени
s  t 1s , тогда характеристический полином преобразовался к виду
s 3  ts 2  t 2 (1    )s  t 3 .
Масштаб t выбираем из условия a0  1 , т. е. t  () 1/3 . Получим
s 3  a2 s 2  a1s  1 ,
где a2  t , a1  t 2 (1    ) , t  () 1/3 .
а
б
Рис. 3. Коэффициенты характеристического полинома
Просканируем область (рис. 3, а) с шагом 0,1 и вычислим значения коэффициентов a2 и a1 (рис. 3, б), где показана сетка из двух семейств линий, в
которые отобразилась прямоугольная сетка (рис. 3, а). Наложив эту сетку на
диаграмму Вышнеградского, получим все множество ПИ-регуляторов, обеспечивающих то или иное расположение полюсов системы. Эти же вычисления
можно провести и на проективной сфере.
А.А. Воевода, В.В. Вороной
142
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В статье показано, что диаграмму Вышнеградского можно интерпретировать как проекцию областей с различным расположением корней с проективной сферы на плоскость, касательную к сфере и проведенную через «северный
полюс». Использование проективной сферы дает представление о всех возможных вариантах корней полинома третьей степени как с положительным
коэффициентом «1» при старшей степени, так и «–1», а также при равенстве
нулю свободного члена
[1] Воевода А.А., Вороной В.В. Об обобщении диаграммы Вышнеградского
// Сб. науч. тр. НГТУ. – 2010. – № 3(61). – С. 155–158.
http://sbornik.infoterra.ru/
[2] Вороной В.В. Обобщенная диаграмма Вышнеградского для системы
четвертого порядка // Сб. науч. тр. НГТУ. – 2010. – № 4(62). – С. 172–177.
Воевода Александр Александрович – профессор кафедры автоматики
Новосибирского государственного технического университета. E-mail:
ucit@ucit.ru.
Вороной Вадим Владимирович – аспирант кафедры автоматики Новосибирского государственного технического университета. E-mail: vorongo@yandex.ru.
A.A.Voevoda, V.V. Voronoy
New interpretation of Vyshnegradsky’s diagram
Given a new interpretation of the Vyshnegradsky’s diagram, namely, in the polynomial
coefficients space are allocated a set of points corresponding to polynomials with a given set of
roots, and then performed the factorization of such polynomials. Shown that more natural
interpretation of a sphere in three-dimensional space with identified diametrically opposite points.
Regions with different location of the roots at this sphere have finite dimensions. In addition, it
allows to investigate all possible roots combinations. Given an example of control system
synthesis using a diagram.
Key words: generalization of Vyshnegradsky’s diagram, projective area, roots location, linear
system, stability.