Рамиль Альварес Х. Алгоритмы деления и извлечения

УДК 519.6
Х. Рамиль Альварес
АЛГОРИТМЫ ДЕЛЕНИЯ И ИЗВЛЕЧЕНИЯ КВАДРАТНОГО
КОРНЯ В ТРОИЧНОЙ СИММЕТРИЧНОЙ СИСТЕМЕ
(лаборатория ЭВМ факультета ВМиК, e-mail: ramil@cs.msu.su)
Предложена модификация алгоритма деления Брусенцова для троичной симметричной
системы, основанный на использовании половины модуля делителя. Рассмотрен алгоритм извлечения квадратного корня в этой системе на базе известного метода в "столбик" и применения алгоритма деления.
В работах [1, 2], в которых описана созданная в 1840 г. английским изобретателем Томасом Фаулером троичная механическая вычислительная машина, приведены примеры деления в троичной симметричной системе. Однако в них не
рассмотрены самые тонкие моменты процесса, вследствие чего их нельзя считать
описанием алгоритма. Поэтому следует признать, что первые алгоритмы точного
вычисления частного в троичной симметричной системе предложены Брусенцовым Н.П. в [3]. Алгоритмы деления предполагают, что значения делимого и делителя - нормализованные троичные числа, определенные в [4], т.е. равны нулю
или их абсолютные величины принадлежат интервалу (0.5 ; 1.5).
1. Модификация алгоритма деления Брусенцова. Рассмотрим первый из
предложенных алгоритмов [3] division1, результат которого выдается в виде пары
чисел: нормализованной мантиссы е и порядка q, соответствующих представлению частного в виде e⋅3 q . Точность, с которой вычисляется мантисса e, задается
целочисленным параметром k, указывающим количество троичных разрядов в
представлении e.
procedure division1 (c, d, e, q, k);
value k; integer k, q; real c, d; integer array e;
comment с - делимое и d - делитель равны нулю или их абсолютные величины принадлежат интервалу (0.5 ; 1.5). Частное представляется посредством мантиссы е[1 : k] и порядка q в виде 3 q ⋅Σ e p ⋅3 1-p;
begin integer p; se, sd; real g;
prepare (c, d, e, q, k, sd);
comment Обнуление массива e. Удвоение делимого (c) и вычисление модуля (d) и
знака (sd) делителя d;
for p := 1 step 1 until k
begin if c > 0 then sc := 1 else sc := -1; g := c * sc - d ;
if g > 0 then begin e[p] := sc * sd ; c := (g - d) * sc end;
c := c * 3
end
end division1;
Приведем описание процедуры prepare, которая заранее определяет значение
порядка q и корректирует значение делимого с или делителя d так, что вычисляемая мантисса частного e получается нормализованной:
procedure prepare (с, d, e, q, k, sd);
value k; integer k, q, sd; integer array e; real c, d;
comment Оператор stop прерывает процедуру, если d=0;
begin integer p;
if d > 0 then sd := 1 else if d < 0 then sd := -1 else stop;
d := abs(d); с := c + c;
for p:= 1 step 1 until k do e[p] := 0;
if abs(c) - d * 3 > 0 then begin q := l; d := d * 3 end
else if abs(c) - d > 0 then q:= 0
else begin q := -1; c:= c * 3 end
end prepare;
Отметим, что в алгоритме используется удвоенное значение делимого, из которого на каждом шаге вычитается делитель и результат сравнивается с нулем и при
необходимости из результата снова вычитается делитель.
Предлагаемая модификация алгоритма (процедура terndiv) основана на том, что
первоначально вычисляется половина делителя и в дальнейшем на каждом шаге
производится сравнение промежуточного делимого с этой половиной делителя и
при необходимости из делимого производится вычитание полного делителя.
procedure terndiv (c, d, e, q, k);
value k; integer k, q; integer array e; real c, d;
comment с - делимое, d - делитель, равны нулю или их абсолютные величины
принадлежат интервалу (0.5 ; 1.5). Частное представляется посредством
мантиссы е[1 : k] и порядка q в виде 3 q ⋅ Σ ep ⋅3 1-p ;
begin integer i, sc, sd; real m;
prepare1 (c, d, e, q, k, sd);
comment Обнуление массива e. Вычисление модуля (d) и знака (sd) делителя d.
Вычисление m, равного половине модуля делителя d;
for i := 1 step 1 until k do
begin if c < 0 then sc := -1 else sc := 1;
if compar(c, sc, m) > 0 then
comment compar - сравнение с и m с учетом знака sc, т.е. sign(c * sc - m);
begin e[i] := sc * sd; c := c - sc * d end ;
c := c * 3
end
end terndiv ;
Процедура prepare1 по сравнению с процедурой prepare включает вычисление
половины модуля делителя. Следует отметить, что процедура compar(c, sc, m) –
сравнение с и m с учетом знака sc, т.е. sign(c * sc - m) сводится к поразрядному сравнению слева направо до первого несовпадающего, что существенно проще, чем вычитание.
procedure prepare1 (с, d, e, q, k, sd);
value k; integer k, q, sd; integer array e; real c, d;
comment Оператор stop прерывает процедуру, если d=0;
begin integer p;
if d > 0 then sd := 1 else if d < 0 then sd := -1 else stop;
d := abs(d); media (d, m, k);
comment Вычисление m, равного d/2;
for p:= 1 step 1 until k do e[p] := 0;
if abs(c) - m * 3 > 0 then begin q := l; d := d * 3; m := m * 3 end
else if abs(c) - m > 0 then q:= 0
else begin q := -1; c:= c * 3 end
end prepare1;
Приведем описание процедуры получения половины делителя (m = d/2) для троичной симметричной системы. Алгоритм деления на 2 является частным случаем
общего алгоритма деления. При этом учитывается то, что d>0 и не требуется вычислять половину делителя, так как это 1. Описание процедуры media (d, m, k) лучше
привести в предположении, что операнд d и результат m являются массивами тритов.
procedure media (d, m, k);
value k; integer k; integer array d, m;
comment Для d принадлежит интервалу (0.5 ; 1.5);
begin integer i, sd, di;
for i := 1 step 1 until k do m[i] := 0;
di := 0;
for i := 1 step 1 until k do
begin di := di * 3 + d[i];
if di < 0 then sd := -1 else sd := 1;
if sd * di > 1 or (sd * di = 1 and sign (d, i+1) = sd) then
comment Функция sign (d, i+1) определяет знака числа d, начиная с (i+1)-го разряда;
begin m[i] := sd;
if sd > 0 then di := di - 2 else di := di + 2
end
end;
end media;
2. Алгоритм извлечения квадратного корня. Рассмотрим алгоритм извлечения
квадратного корня известным методом в "столбик" [5]. Использование алгоритма
деления в алгоритме извлечения квадратного корня позволяет упростить его.
Приведем алгоритм извлечения квадратного корня для системы счисления с
основанием S и с неотрицательными значениями цифр от 0 до S–1. Предварительно подкоренное выражение N разбивается на пары цифр влево и вправо от
запятой. Обозначим через Ni – целое число, получаемое из первых слева направо
i пар цифр, Ai – целое значение корня из этого числа, Di – i-я пара цифр, di – значение i-й цифры результата.
Алгоритм извлечения квадратного корня в "столбик" можно описать следующими формулами:
Ni = Ai2 + Bi ,
B1 = D1 – d12 ,
A1 = d1 ,
Bi+1 = (Bi⋅S2 + Di+1 ) – (2⋅Ai⋅S + di+1)⋅di+1 ,
Ai+1= Ai⋅S + di+1 ,
где di+1 – наибольшее значение, при котором Bi+1 неотрицательно. Отметим, что
действия производятся над целыми числами, а запятая в результате будет поставлена после k-й цифры, если в подкоренном выражении она стояла после k-й
пары.
Приведенные формулы были использованы в [6] для разработки двоичного устройства извлечения квадратного корня.
Заметим, что (Bi⋅S2 + Di+1) при ручном использовании алгоритма является приписыванием справа к значению Bi двух цифр пары Di+1, а 2⋅Ai⋅S + di+1 и Ai⋅S + di+1
– приписыванием цифры di+1 к числам соответственно 2⋅Ai и Ai.
Для троичной симметричной системы (S=3) и аналогично тому, как это делается в алгоритме деления, сводя к выбору на каждом шаге между 0 и 1, формулы
для вычисления квадратного корня можно записать в виде
Ci+1' = Bi⋅32 + Di+1 ,
Ci+1 = |Ci+1'| – 2⋅Ai⋅3⋅di+1 – di+1'2 ,
где di+1' равно 0 или 1,
Bi+1= Ci+1⋅sign(Ci+1') ,
di+1= sign(Ci+1')⋅di+1' ,
Ai+1= Ai⋅3 + di+1 ,
Формулу для Ci+1 можно записать при di+1' ,равном 1, в виде
Ci+1 = (|Ci+1'|–1)– 2⋅Ai⋅3⋅di+1' ,
Отсюда di+1' есть частное от деления |Ci+1'|–1 на 2⋅Ai⋅3, т.е. вследствие алгоритма деления в троичной системе di+1' равно единице, если
2⋅(|Ci+1'|–1) ≥ 2⋅Ai⋅3,
или проще
|Ci+1'| > Ai⋅3.
Однако в случае |Ci+1'| = Ai⋅3 имеем
Ci+1 = |Ci+1'| – 2⋅Ai⋅3⋅½ – (½)2
Поэтому, если ni+1 (остаток необработанной части числа N, рассматриваемой как
число с запятой перед первой цифрой) больше ¼, то необходимо принять значение di+1' равным единице. Равенство невозможно, так как ¼ в троичной симметричной системе точно не представимо.
Описание процедуры вычисления квадратного корня приведено в предположении, что операнд a и результат b являются массивами тритов.
procedure ternsqrt (a, b, k, l);
value a, k, l; integer k, l; integer array a, b;
comment Вычисление квадратного корня a[1: k] - b[1: l], принадлежат интервалу (0.5 ; 1.5) или равны нулю и представляются посредством мантиссы m[1 : n]
в виде Σ mi⋅3 1-i,, m1 = 1;
begin integer i, j, ls, sc, g;
ls := 0; b[1] := 1;
for i := 1 step 1 until l-1 do
begin ls := ls * 9 ; j := 2 * i;
if j ≤ k then ls := ls + a[j] * 3;
if j+1 ≤ k then ls := ls + a[j + 1];
if ls < 0 then sc := -1 else sc := 1;
g := ls * sc - tern(i) * 3 ;
comment tern(i)- функция вычисления значения массива b, с 1-го по i-й разряды, как
целого;
if g > 0 or (g = 0 and trinary(i + 1) > 0.25) then
comment trinary(i)- функция вычисления остатка массива a, начиная с i-го разряда,
как дробного;
begin b[i + 1] := sc; ls := (g - tern(i) * 3) * sc -1 end
else b[i + 1] :=0;
end
end ternsqrt ;
Реализация функций tern(i) и trinary(i) очевидна. Следует заметить, что выражение trinary(i+1)>0.25 может быть реализовано как последовательное сравнение пары
k-го и (k+1)-го тритов массива a с 11 (1 обозначает трит, равный минус единице) до
первого несовпадения и знак этой разницы и будет значением выражения.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Glusker M., Hogan D., Vass P. The ternary calculating machine of Thomas
Fowler // IEEE Annals of the History of Computing. 2005. 27. N. 3. P. 4–22.
2. http://www.mortati.com/glusker/fowler/ternary.htm
3. Брусенцов Н.П. Алгоритмы деления для троичного кода с цифрами 0, 1, –1 //
Вычислительная техника и вопросы кибернетики. Вып. 10. Л.: Изд–во ЛГУ,
1974. С. 39–44.
4. Брусенцов Н.П., Маслов С.П. и др. Малая цифровая вычислительная машина "Сетунь". – М.: Изд–во МГУ, 1965.
5. Гусев В.А, Мордкович А.Г. Математика: Справочные материалы. М.: Просвещение, 1990.
6. Карцев М.А. Арифметика цифровых машин. М.: Наука, 1969.
Поступила в редакцию
10.09.07
Опубликовано в:
Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычислительная математика и кибернетика. 2008. № 2. С. 42-45.
На английском языке:
J. Ramil Alvarez Algorithms of division and square root extraction in balanced ternary system // Moscow University
Computational Mathematics and Cybernetics, Volume 32, Number 2, 2008. Pp. 103-107