АОО «Назарбаев Интеллектуальные школы» Образец Экзаменационная (письменная) работа по математике

АОО «Назарбаев Интеллектуальные школы»
Образец
Экзаменационная (письменная) работа по математике
итоговой аттестации выпускников основной школы
Назарбаев Интеллектуальной школы
химико-биологического направления
2012-2013 учебного года
1. Структура письменной работы
В качестве измерителя уровня подготовки по математике выпускников основной школы
используются задания экзаменационной работы. Экзаменационная работа состоит из двух
частей и содержит 18 заданий, которые различаются по содержанию, сложности и числу
заданий.
Часть 1 содержит 14 заданий базового уровня, они обозначены Б1, Б2, …, Б14.
Задания Б1-Б10 – тестовые задания с выбором одного верного ответа из пяти предложенных.
Задания Б11-Б14 – задания открытого типа с кратким ответом.
Часть 2 содержит 4 задания открытого типа с развернутым ответом продвинутого уровня,
они обозначены П15, П16, П17, П18.
2. Система оценивания письменной работы
Максимальный балл за всю работу – 34 балла.
Критерии оценивания заданий части 1
Правильное решение каждого из заданий Б1-Б10 части 1 оценивается 1 баллом, а задание
Б11-Б14 оцениваются 2 баллами.
Критерии оценивания заданий части 2
Полное и правильное решение каждого из заданий П15-П18 оценивается 4 баллами. Общие
требования к выполнению заданий с развёрнутым ответом: решение должно быть
математически грамотным, с необходимыми пояснениями и обоснованиями, полным, в
частности, все возможные случаи должны быть рассмотрены. Методы решения, формы его
записи и формы записи ответа могут быть разными. За решение, в котором обоснованно
получен правильный ответ, выставляется максимальное количество баллов. Правильный ответ
при отсутствии текста решения оценивается в 0 баллов. Полнота и обоснованность
рассуждений оцениваются независимо от выбранного метода решения.
3. Шкала перевода баллов в оценку
Оценка «5»
Оценка «4»
Оценка «3»
Оценка «2»
90 – 100%
75 – 89%
51 – 74%
0 - 50%
31 - 34 б
26 - 30 б
18 - 25 б
0 - 17 б
4. Время выполнения работы
Время выполнения контрольной работы - 180 минут или 3 часа.
Образец экзаменационной работы
Часть 1
Б1. Значение выражения 1,3 + 1,6 ∙ (1 3 : 2,5 − 2) равно:
2
58
A) − 15
5
B) − 6
23
C) 3 30
D) 0,1
E) 0
Б2. На рисунке изображён график движения туриста, который отправился от станции до озера,
а затем возвратился обратно. До озера турист шёл со скоростью:
A)
B)
C)
D)
E)
2 км/ч
3 км/ч
6 км/ч
1 км/ч
4 км/ч
1
1
𝑎2 +𝑏 2
Б3. Упростите выражение ((
3
3
𝑎2 +𝑏 2
−1
)
1
а=1,21; b=4.
A) 1
B) 1,1
C) 2
D) 2,1
E) 2,2
2
1
Б4. Выражение 10√5 − 0,5√160 + 3√1 9 равно:
A)
B)
C)
D)
E)
√10
3√10
0
7√10
−√10
1 5
𝑎3 ∙ √𝑎3
Б5. Выражение (
A)
B)
C)
D)
E)
1
2,5
3,5
4
5,5
15
√𝑎8
−5
)
1
2
− (𝑎2 − 𝑏 2 ) ) ∙ (√𝑏)
при 𝑎 = 0,5 равно:
−1
и найдите его значение при
Б6. Вершины треугольника АВС лежат на окружности с центром в точке О, угол В
треугольника равен 400 , ∠С: ∠А = 3: 4. Градусные меры дуг АВ, АС, ВС соответственно равны:
A) 1200 , 400 , 1600
B) 1200 , 800 , 1600
C) 800 , 1200 , 1600
D) 1000 , 1000 , 1600
E) 1600 , 400 , 1200
Б7.
A)
B)
C)
D)
E)
Решением неравенства −𝑥 2 + 4𝑥 − 3 ≤ 0 является:
(−∞; 1) ∪ (3;∞)
[1;3]
(1; 3)
(−∞; −3] ∪ [−1; ∞)
(−∞; 1] ∪ [3; ∞)
Б8.
A)
B)
C)
D)
E)
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐷
⃗⃗⃗⃗⃗ равна:
Даны точки А(-2;0), В(2;2), С(4;-2), D(0;-4). Длина вектора 3𝐴𝐵
80
4√5
8√5
4√3
16√5
Б9. Вкладчик положил в банк 50 тыс. тенге. Известно, что вклад возрастает ежемесячно на 20%
от накопленной суммы. Через три месяца сумма вклада составит:
A) 86,4 тыс. тенге
B) 30 тыс. тенге
C) 36,4 тыс. тенге
D) 16,4 тыс. тенге
E) 10 тыс. тенге
Б10. Вероятность того, что при бросании двух игральных кубиков сумма очков на них
окажется равной 4, равна:
A) 0,5
5
B) 36
1
C) 12
D) 0,25
E) 0,3
Б11. Найдите область определения функции у  3х 2  7 х  4  2  х .
1

Ответ: x    ;  1    1; 2 .
3

Б12. Двое рабочих, работая вместе, могут оклеить комнату обоями за 6 ч. За сколько часов
может оклеить комнату каждый, если первый сделает это на 5 ч быстрее второго?
Ответ: 10 ч и 15 ч.
Б13. Высота, проведённая из тупого угла прямоугольной трапеции, отсекает квадрат, площадь
которого равна 16 см2 . Найдите площадь и большую диагональ трапеции, если её тупой угол
равен 1350 .
Ответ: 24 см2 и 4√5 см.
Б14. Решите систему уравнений: {
4
10
11
11
2𝑥 2 − 3𝑥𝑦 = −4,
3𝑥 + 𝑦 = 5.
Ответ: ( ; 3 ), (1; 2)
Критерии оценивания заданий части 1
Правильное решение каждого из заданий Б1-Б10 части 1 оценивается 1 баллом, а задание
Б11-Б14 оцениваются 2 баллами.
Задания
Баллы
Б1
Б2
Б3
Б4
Б5
Б6
Б7
Б8
Б9
Б10
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
№ задания
Критерии оценивания
Б11
Верно определена одна часть промежутка
Верно определена вторая часть промежутка
Верно определено время первого рабочего
Верно определено время второго рабочего
Верно определена площадь
Верно определена большая диагональ
Верно найдена одна пара (точка) решения
Верно найдена вторая пара (точка) решения
Б12
Б13
Б14
Баллы Максимальный
балл
1
2
1
1
2
1
1
2
1
1
2
1
Часть 2
П15. В треугольнике АВС стороны АВ и ВС равны соответственно 14 см и 18 см. Сторона АВ
продолжена за точку А на отрезок АМ, равный АВ. Сторона ВС продолжена за точку С на
отрезок КС, равный половине ВС. Найдите площадь треугольника МВК, если площадь
треугольника АВС равна 126 см2.
Решение:
Если высоты двух треугольников равны, то площади относятся как основания.
∆АВС и ∆АСМ имеют общую высоту, а основания АВ и АМ равны, поэтому 𝑆𝐴𝐶𝑀 = 𝑆𝐴𝐵𝐶 =
126см2 , тогда 𝑆𝑀𝐵𝐶 = 252см2 .
∆МВС и ∆МСК имеют общую высоту, а основание ВС в два раза больше основания СК,
поэтому 𝑆𝑀𝐶𝐾 = 𝑆𝑀𝐵𝐶 : 2 = 252: 2 = 126(см2 ).
𝑆𝑀𝐵𝐾 = 𝑆𝑀𝐵𝐶 + 𝑆𝑀𝐶𝐾 = 252 + 126 = 378(см2 ).
Ответ: 378 см2.
№
задания
П15
Критерии оценивания
Верно записано условие задачи и безошибочно и
аккуратно выполнены необходимые для решения
чертежи
Верно выбран возможный способ решения задачи и
приведена верная последовательность всех шагов
решения и обоснованы все моменты решения
Верно найдены промежуточные дополнительные
элементы или приведены доказательства на
промежуточных этапах.
Верно выполнены все вычисления, получен верный
ответ или верно сделан вывод в задаче на
доказательство
Баллы Максимальный
балл
1
4
1
1
1
П16. Бак ёмкостью 2400 м3 наполняется топливом. При опорожнении этого бака
производительность насоса на 10 м3 /мин выше, чем производительность насоса при
заполнении. В результате время опорожнения бака на 8 мин меньше времени заполнения.
Определите производительность насоса при заполнении бака.
Решение:
Пусть х м3 /мин – производительность насоса при опорожнении бака. Тогда (х-10) м3 /мин
– производительность насоса при заполнении бака.
2400
ч – время, затраченное при опорожнении бака,
𝑥
2400
ч – время, затраченное при заполнении бака.
Учитывая, что время опорожнения бака на 8 мин меньше времени заполнения, получим и
решим уравнение:
2400
2400
2400
2400
−
=8⟺
−
−8=0⟺
𝑥 − 10
𝑥
𝑥 − 10
𝑥
2400𝑥 − 2400𝑥 + 24000 − 8𝑥 2 + 80𝑥
−8𝑥 2 + 80𝑥 + 24000
⟺
=0⟺
=0⟺
𝑥(𝑥 − 10)
𝑥(𝑥 − 10)
−8𝑥 2 + 80𝑥 + 24000 = 0,
𝑥 2 − 10𝑥 − 3000 = 0,
⟺{
⟺{
⟺
𝑥(𝑥 − 10) ≠ 0;
𝑥(𝑥 − 10) ≠ 0;
10 − √100 + 12000
𝑥=
,
𝑥 = −50,
2
[
𝑥 = 60;
𝑥 = −50,
⟺ 𝑥 = 10 + √100 + 12000 ; ⟺ {
⟺[
𝑥
≠
0,
𝑥 = 60.
[
2
[
𝑥
≠
10,
𝑥 ≠ 0,
[
{
𝑥 ≠ 10,
Так как значение -50 не подходит по смыслу задачи, то производительность насоса при
опорожнении бака равна 60 м3 /мин. Следовательно, производительность насоса при
заполнении бака равна 50 м3 /мин.
𝑥−10
Ответ: 50 м3 /мин.
№
задания
П16
Критерии оценивания
Верно составлена математическая модель задачи
Верно составлено уравнение
Верно решено полученное уравнение
Верно интерпретирован и записан ответ
Баллы Максимальный
балл
1
4
1
1
1
П17. Решите систему неравенств:
{
2𝑥 2 − 10𝑥 + 5 < 0,
𝑥 2 + 3𝑥 + 2 > 0.
Решение:
2𝑥 2 − 10𝑥 + 5 < 0,
{ 2
𝑥 + 3𝑥 + 2 > 0;
Найдём корни квадратного трёхчлена 2𝑥 2 − 10𝑥 + 5.
10 − √100 − 40
10 − 2√15
5 − √15
𝑥=
,
𝑥=
,
𝑥=
,
4
4
2
2𝑥 2 − 10𝑥 + 5 = 0 ⟺
⟺
⟺
10 + √100 − 40
10 + 2√15
5 + √15
;
𝑥=
;
𝑥=
;
[𝑥 =
[
[
4
4
2
Найдём корни квадратного трёхчлена 𝑥 2 + 3𝑥 + 2.
𝑥 2 + 3𝑥 + 2 = 0.
По теореме Виета 𝑥1 ∙ 𝑥2 = 2, а 𝑥1 + 𝑥2 = −3. Следовательно, 𝑥1 = −1, 𝑥2 = −2.
5−√15
Так как 2𝑥 2 − 10𝑥 + 5 = 2 (𝑥 − 2 ) (𝑥 −
и решим следующую систему неравенств:
5+√15
2
), 𝑥 2 + 3𝑥 + 2 = (𝑥 + 1)(𝑥 + 2), то получим
5 − √15
5 + √15
5 − √15
5 + √15
<
𝑥
<
,
2 (𝑥 −
) (𝑥 −
) < 0,
2
2
{
⟺
{
⟺
2
2
𝑥 > −1,
[
(𝑥 + 1)(𝑥 + 2) > 0;
𝑥 < −2;
⟺
5 − √15
5 + √15
<𝑥<
.
2
2
5−√15 5+√15
Ответ: (
2
№
задания
П17
;
2
).
Критерии оценивания
Верно найдены корни первого квадратного
трёхчлена
Верно найдены корни второго квадратного
трёхчлена
Верно найдены решения каждого из
полученных неравенств
Верно найдено решение системы неравенств и
записан ответ
Баллы Максимальный
балл
1
4
1
1
1
П18. Упростите выражение:
− cos (
Решение:
3π
− 2α) + cos(2π − 2α) ∙ ctg(π + α).
2
3𝜋
cos 𝛼
− 2𝛼) + cos(2𝜋 − 2𝛼) ∙ 𝑐𝑡𝑔(𝜋 + 𝛼) = sin 2𝛼 + cos 2𝛼 ∙
=
2
sin 𝛼
2
2
2
2
2𝑠𝑖𝑛 𝛼 ∙ cos 𝛼 + (1 − 2𝑠𝑖𝑛 𝛼) ∙ cos 𝛼 cos 𝛼 ∙ (2𝑠𝑖𝑛 𝛼 + 1 − 2𝑠𝑖𝑛 𝛼)
=
=
=
sin 𝛼
sin 𝛼
cos 𝛼
=
= 𝑐𝑡𝑔𝛼
sin 𝛼
Ответ: 𝑐𝑡𝑔𝛼
− cos (
№ задания
П18
Критерии оценивания
Верно выбраны тригонометрические формулы,
необходимые для преобразования выражения
Верно выполнены преобразования по
тригонометрическим формулам
Верно выполнены алгебраические
преобразования
Верно получен и записан ответ или сделан
вывод о равенстве правой и левой частей
тождества
Баллы Максимальный
балл
1
4
1
1
1
Ответы письменной работы по математике
Часть 1
№ задания
Ответ
Б1
В
Б2
С
Б3
В
Б4
А
Б5
D
Б6
В
Б7
Е
Б8
В
Б9
A
Б10
С
Б11
1

x    ;  1    1; 2
3

Б12
10 ч и 15 ч.
Б13
24 см2 и
4√5 см.
4
10
Б14
( ; 3 ), (1; 2)
11
Часть 2
№ задания
П15
П16
П17
П18
11
Ответ
378 см2
50 м3 /мин
5 − √15 5 + √15
(
;
)
2
2
𝑐𝑡𝑔𝛼