Радиоавтоматика - Белорусский государственный университет
advertisement
Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
«Белорусский государственный университет
информатики и радиоэлектроники»
Кафедра радиотехнических систем
С.А.Ганкевич
РАДИОАВТОМАТИКА
Учебное пособие по курсу «Автоматика информационных систем»
для студентов специальности «Радиоинформатика»
Минск 2006
1. Общая характеристика систем радиоавтоматики (РА)
1.1.
Понятие систем РА
Системы РА используются в системах радиолокации, радионавигации, радиоуправления и передачи информации. Среди них наибольшее распространение получили системы фазовой и частотной автоподстройки, системы слежения
за временным положением импульсов и угловым положением источника радиосигнала. Системы РА используются в качестве следящих измерителей, демодуляторов частотно-модулированных и фазоманипулированных сигналов,
узкополосных перестраиваемых по частоте фильтров, пространственных селекторов, синтезаторов частот и т.д.
К системам РА относится также система автоматической регулировки усиления (АРУ), широко используемая в технике радиоприема.
Кроме перечисленных, в радиотехнических системах находят применение
автоматические системы контроля состояния с целью перехода от режима поиска к режиму слежения, от дежурного режима к режиму активной работы, а
также автоматические системы поддержания температуры, давления, влажности, которые условно относят к системам радиоавтоматики.
Системы РА относятся к более широкому классу систем автоматического
управления и имеют как общие свойства, так и особенности. Выделение их в
отдельный класс связано с тем, что в системах радиоавтоматики производится
обработка радиосигнала, принимаемого на фоне помех радиотехническими методами и с помощью радиотехнических устройств.
1.2.
Принципы построения и классификация систем РА
Классификация систем РА производится по ряду признаков.
По принципу управления различают:
- системы с управлением по рассогласованию;
- системы с управлением по воздействию;
- системы с комбинированным управлением.
Управление по рассогласованию. Функциональная схема, реализующая
принцип управления по рассогласованию, представлена на рис. 1.1.
Uвх(t)
ЭС
х(t)
ПЭ
У
ОУ
УУ
Ly(t)
U
l у(t)
2
Рис. 1.1. Функциональная схема системы с управлением по рассогласованию: ЭС – элемент сравнения; ПЭ – преобразующий элемент; У – усилитель;
УУ – устройство управления; ОУ – объект управления
Входная величина λ(t) – задающее действие; y(t) – управляемая величина.
Задачей системы является обеспечение равенства
λ(t)=y(t).
Для выполнения этой задачи используется принцип отрицательной обратной связи или принцип управления по рассогласованию.
ЭС определяет рассогласование x(t)= λ(t) - y(t). Эта разность с помощью
ПЭ преобразуется в управляющее воздействие, усиливается в усилителе и через
Уст.Упр. воздействует на ОУ. Uу(t) является управляющим воздействием. Под
воздействием Uу(t) изменяется y(t) и это изменение приводит к уменьшению
первоначального рассогласования x(t).
ЭС и ПЭ составляют одно устройство, которое называется дискриминатором.
В радиотехнических системах слежения объектом управления может быть
генератор, управляемая линия задержки, антеннаи т.д. Конкретный вид схемы
определяется назначением системы.
Приведенная схема соответствует обобщенной схеме автоматической системы. Для систем РА входным сигналом является радиосигнал Uс(t, λ), одним
из параметров которого является задающее воздействие λ(t) (частота, фаза, задержка и т.д.). Управляемая величина является одним из параметров опорного
сигнала Uоп(t, у).
Управление по воздействию. Управление по воздействию обеспечивается
системой без обратной связи (ОС) (рис.1.2). Выбирая параметры регулятора
(Рег) и ОУ, можно добиться нужного значения управляемой величины.
Достоинством является принципиальная возможность получения желаемого изменения y(t)с нулевой ошибкой.
Недостатки:
С течением времени изменяются параметры Рег и ОУ, кроме того, Рег и
ОУ находятся под случайным воздействием, в результате которого можно не
получить нужного значения y(t). Если в предыдущем случае ошибка управления вне зависимости от вызвавших ее причин контролируется, то здесь нет, что
приводит к снижению точности.
(t)
Uу(t)
Рег
ОУ
y(t)
Рис. 1.2. Система с управлением по воздействию
Комбинированное управление. Комбинированное управление сочетает в
себе оба принципа, что является его достоинством.
3
По характеру задающего воздействия различают:
- системы стабилизации – задающее воздействие является величиной постоянной;
- системы программного управления – задающее воздействие изменяется
по известному закону;
- следящие системы – задающее воздействие является величиной случайной.
По параметру радиосигнала, используемому в качестве задающего воздействия:
- системы фазовой автоподстройки частоты (ФАПЧ);
- системы частотной автоподстройки (ЧАП);
- системы слежения за временным положением (за задержкой) (ССЗ);
- системы слежения за угловым положением источника радиосигнала (угломерные следящие системы).
По виду дифференциального уравнения, описывающего работу системы:
- линейные и нелинейные;
- стационарные и нестационарные;
- непрерывные и дискретные.
По поведению в условиях априорной неопределенности статистических характеристик задающего воздействия и помех:
- минимаксные (системы, проектируемые как оптимальные для минимального отношения сигнал/помеха на входе);
- адаптивные ( изменяют свои параметры с изменением статистических характеристик процессов на входе);
- инвариантные ( не учитывают характера процессов на входе системы).
По принципу обработки сигналов и используемой элементной базе:
- аналоговые;
- цифровые.
4
2. ОПИСАНИЕ СИСТЕМ РАДИОАВТОМАТИКИ
2.1.Система частотной автоподстройки (ЧАП)
2.1.1 Функциональная схема
Система ЧАП используется в супергетеродинных приемниках для автоматической подстройки частоты гетеродина с целью обеспечения заданного значения промежуточной частоты , в качестве узкополосных перестраиваемых по
частоте фильтров, демодуляторов ЧМ колебаний с обратной связъю по частоте и т.д.
Работу системы ЧАП рассмотрим на примере ее применения для стабилизации промежуточной частоты в супергетеродинном приемнике (рис. 2.1 ).
К другим каскадам
приемника
Uвх(t)
Смесит.
Гетерод.
УПЧ
ЧД
ФНЧ
Рис. 2.1. Функциональная схема системы ЧАП: ЧД – частотный дискриминатор; Гетерод. – гетеродин (подстраиваемый генератор)
С помощью смесителя формируется промежуточная частота ωпр как разность частот входного сигнала и подстраиваемого генератора (гетеродина). Ее
номинальное значение постоянное. УПЧ, имеющий избирательную систему,
настроенную на номинальное значение промежуточной частоты, усиливает этот
сигнал. Далее сигнал подается на ЧД, измеряющий разность между текущим
значением ωпр и ее номинальным значением ωпр0, на которое он настроен, и
формирует напряжение, пропорциональное измеренной разности. Сигнал
ошибки через ФНЧ воздействует на контур ПГ и изменяет его частоту. В результате этого ошибка уменьшается. ФНЧ сглаживает высокочастотные составляющие сигнала и помехи.
Одновременно такую систему можно рассматривать как узкополосный перестраиваемый по частоте фильтр ( так как параметры ФНЧ подбирают так,
чтобы система следила за медленными уходами частоты).
Систему можно использовать также как демодулятор ЧМ колебаний, при
этом полученный сигнал можно снимать с выхода ПГ. В частности это может
быть использовано в доплеровских системах автоматического измерения скорости.
5
2.1.2. Элементы системы и их математическое описание. Структурная схема
Будем иметь в виду, что смеситель (СМ), УПЧ и ЧД являются безинерционными по сравнению с ФНЧ.
С помощью смесителя формируется промежуточная частота
ωпр= ωс – ωг;
(2.1)
Так как УПЧ безынерционный, он на частоту не влияет.
Отклонение промежуточной частоты от ее номинального значения:
Δω= ωпр – ωпр0,
(2.2)
где ωпр – текущее значение, ωпр0 – номинальное значение.
В качестве ЧД используется дискриминатор с расстроенными контурами и
другие типы дискриминаторов.
Напряжение на выходе дискриминатора можно представить в виде суммы
его среднего значения и центрированной случайной составляющей:
Uд(t)=M[Uд(t)] + ξ(t,Ω) = F(Ω) + ξ(t,Ω),
(2.3)
где M[Uд(t)] – математическое ожидание; ξ(t,Ω) – флюктуационная составляющая; F(Ω)=M[Uд(t)] – дискриминационная характеристика (ДХ); Ω – частотная расстройка . равная
Ω wпр wп ,
(2.4)
где wп – переходная частота дискриминатора (центральная частота, на кото
рую настроен дискриминатор).
Дискриминационная характеристика – зависимость математического ожидания напряжения на выходе дискриминатора от частотной расстройки.
Дискриминационная характеристика F(Ω) представлена на рис. 2.2.
F()
Рис. 2.2. Дискриминационная характеристика
6
Форма F(Ω) определяется отношением сигнал/помеха (с/п), схемной реализацией, полосой пропускания в цепях, предшествующих дискриминатору и
другими факторами.
Дискриминатор настраивается на номинальное значение промежуточной
частоты ωп = ωпр0 , но из-за воздействия дестабилизирующих факторов появляется ошибка, и в этом случае можно записать:
ωп = ωпр0 + ωп ,
ωп – нестабильность переходной частоты дискриминатора.
Учитывая (2.2), (2.4), (2.5)
Ω = Δω - ωп ;
2.
(2.6)
С выхода дискриминатора напряжение поступает на ФНЧ. При реализации
ФНЧ на RC-цепи уравнение, описывающее его работу,
dU ф (t )
(2.7)
Tф
U ф (t ) U д (t ) ,
dt
где Тф – постоянная времени фильтра; Uф (t)- напряжение на выходе ФНЧ.
d
Выполнив переход
p , уравнение (2.7) можно записать в виде:
dt
1
U ф (t )
U д(t ) W ( p)U д(t ) ,
1 pTф
где W ( p)
1
- операторный коэффициент передачи фильтра.
1 pTф
Для сложных ФНЧ, используемых, например, в радиолокации W(p) можно
записать следующим образом:
ku (1 pT )
W ( p) 2
.
p2
Тип фильтра определяет качественные характеристики следящих систем.
Таким образом, фильтр описывается операторным коэффициентом передачи (передаточной функцией) – W(р).
С выхода фильтра напряжение подается на вход подстраиваемого генератора.
Чтобы напряжение влияло на частоту генератора, в генераторе используется
реактивный элемент, изменяющий свои параметры под воздействием управляющего напряжения. Таким реактивным элементом может быть варикап. Упрощенная схема включения варикапа представлена на рис.2.3
7
R3
D
C1
L
Uф(t)
C2
R2
C1
-Uп
R1
Рис. 2.3. Схема включения варикапа
Делитель R1, R2 обеспечивает обратное смещение на варикапе как при
положительном, так и при отрицательном напряжении на входе;
С1,С2 – блокировочные конденсаторы; R3 – нагрузка; LC – контур генератора.
Частота на выходе генератора равна:
г гс S pU ф ,
(2.8)
где S p – крутизна регулировочной характеристики;
гс – собственная частота генератора.
d г
при Uф = 0;
Sp
dU ф
Регулировочная характеристика – зависимость частоты генератора от
управляющего напряжения (рис. 2.4).
гс
2
г
Uф
Рис. 2.4. Регулировочная характеристика генератора
гс г 0 гс С 0 пр 0 гс ,
(2.9)
где гс - нестабильность собственной частоты генератора;
С 0 , пр 0 - номинальные значения частоты входного сигнала и промежуточной частоты.
Уравнения (2.1-2.9) определяют математическую модель системы ЧАП. Ее
можно представить в виде структурной схемы (рис. 2.5). Под ней мы будем по8
нимать схему, каждое звено которой определяет соответствующую математическую операцию.
,t
пр0
с
пр
F()
р
W(p)
Sр
г
Рис.2.5. Структурная схема системы ЧАП
Схему можно упростить, если вместо ωгс и ωг использовать отклонения от
номинального значения:
с с с 0 ;
г г г 0 .
При условии, что п = 0, схема может быть представлена в следующем
виде (рис. 2.6):
с
,t
F()
W(p)
р
Sр
г
Рис. 2.6. Упрощенная структурная схема
При работе системы на линейном участке (ошибка слежения мала) дискриминационную характеристику можно описать линейной зависимостью
F () S д ,
dF ()
где S д
(при Ω = 0) – крутизна дискриминационной характеристики
d
Рассмотренная схема обеспечивает слежение в установившимся режиме с
точностью до частоты. При этом информация о фазе теряется.
9
2.2. Система фазовой автоподстройки частоты (ФАПЧ)
2.2.1. Функциональная схема
Система ФАПЧ используется для восстановления колебаний с несущей частотой в системах передачи информации с одной боковой полосой, с подавленной несущей, в системах, использующих фазомодулированные колебания, в
качестве узкополосного перестраиваемого по частоте фильтра, в синтезаторах
частот для создания высокостабильных колебаний и т.д. – в тех случаях, когда
необходимо восстановить принимаемое колебание с точностью до фазы.
Функциональная схема приведена на рис. 2.7.
Uв х t
ФД
ФНЧ
Uоп t
ПГ
Рис. 2.7. Система ФАПЧ. Функциональная схема
На вход фазового дискриминатора (ФД) подется входное напряжение и
напряжение, поступающее с опорного генератора. Фазовый дискриминатор
определяет рассогласование по фазе, и пропорционально его величине и знаку
вырабатывает напряжение, которое поступает на ФНЧ. Фильтр сглаживает этот
процесс, и напряжение с выхода фильтра воздействует на контур ПГ. В результате этого происходит изменение частоты генератора. Но так как dt ,то
t
изменяется и фаза. Это изменение приводит к уменьшению фазового рассогласования.
2.2.2. Математическое описание работы системы. Структурная схема
На вход системы ФАПЧ поступает напряжение
U вх(t ) u c (t ) u ш (t )
Пусть
u с (t ) U с sin с ,
(2.10)
с с0 0 с dt ;
(2.11)
где
t
с – фаза сигнала; с 0 – начальная фаза сигнала.
Напряжение на выходе подстраиваемого генератора:
u г (t) U г cos г
(2.12)
10
Фазовый дискриминатор определяет разность фаз
с г
(2.13)
Если качестве фазового дискриминатора использован перемножитель сигналов, напряжение на выходе фазового дискриминатора равно:
U U
(2.14)
U д с г sin
2
В общем случае напряжение на выходе ФД можно представить выражением:
U д (t ) M [U д (t )] (t ) F ( ) (t )
(2.15)
F ( ) M [U д (t )] - дискриминационная характеристика (рис. 2.8); ξ (t)флюктуационная составляющая.
Если в системе нет ограничения, то ξ не зависит от φ.
При нулевой расстройке разность фаз φ между входным и опорным сигналами составляет
и автоматически устанавливается в системе.
2
F
Рис. 2.8. Дискриминационная характеристика
Если бы входной и опорный сигналы описывались одинаковыми функциями – cos с и cos г или sin с и sin г , то в результатом перемножения была бы
четная функция cosφ, и при нулевой расстройке присутствовало бы управляющее напряжение, изменяющее фазу опорного сигнала на
г г 0 0 г dt
t
.
2
(2.16)
Сигнал с ФД поступает на ФНЧ с операторным коэффициентом передачи
W(p), затем воздействует на контур генератора и изменяет его частоту. Работа
генератора описывается тем же уравнением, что и для системы ЧАП.
На основании уравнений (2.10 ─ 2.16) может быть составлена структурная
схема (рис. 2.9).
11
t,
с
гс
W(p)∙ Sp
F(Ω)
г
1/ p
го
Рис. 2.9. Структурная схема ФАПЧ
С помощью интегратора обеспечивается операция перехода от частоты к
фазе.
Эта схема обеспечивает, в отличие от системы ЧАП, слежение с точностью
до фазы, т.е. частотная ошибка в стационарном режиме в среднем равна нулю.
В качестве примера применения системы ФАПЧ рассмотрим схему, осуществляющую амплитудное синхронное детектирование ( рис. 2.9).
Uвх(t)
t
Uвх(t)
ФД
ФНЧ
ПГ
Uг(t)
t
Uоп(t)
Uг(t)
АСД
UАСД(t)
UАСД(t)
К ФНЧ
t
Рис. 2.9. Схема ФАПЧ в составе амплитудного синхронного детектора
12
2.3. Система слежения за временным положением импульсного сигнала
2.3.1. Функциональная схема
Система слежения за временным положением импульсного сигнала
используется в импульсных радиолокационных системах и системах передачи
информации, использующих импульсные сигналы.
Работу системы рассмотрим на примере ее применения в качестве следящего автодальномера импульсной РЛС. Функциональная схема части приемника РЛС представлена на рис. 2.10.
АСД
1
Смесит.
АД
УПЧ
ВУ
ВД
3
2
Г
4
ФНЧ
ГСН
УРЗ
Uоп
Рис. 2.10. Схема следящего автодальномера:
АСД – система автоматического слежения по дальности (следящий автодальномер); ВД – временной дискриминатор;УРЗ – устройство регулируемой
задержки; ГСИ – генератор следящих импульсов; Г – гетеродин; АД – амплитудный детектор; ВУ – видеоусилитель.
1
2
Uвх(t)
3
4
Рис.2.11. Временные диаграммы
Смеситель, гетеродин, УПЧ, АД, ВУ составляют часть схемы супергетеродинного приемника радиолокационной станции. В этих цепях осуществляется
преобразование, усиление и детектирование сигнала. В результате на выходе
ВУ формируется огибающая отраженного от цели импульсного радиосигнала
(рис. 2.11- 1). ГСИ вырабатывает стробирующий импульс (рис.2.11-4) и два
опорных импульса (рис. 2.11-2,3), совмещенные фронтом и срезом; таким образом, эти импульсы образуют общий фронт.
13
Селекторный импульс 4, связанный с импульсами 2 и 3 по временному
положению, открывает приемник только в момент прихода отраженного радиосигнала. В оставшееся время приемник заперт. Это предотвращает проникновение помех при отсутствии на входе радиосигнала. Открывать и закрывать приемник желательно во входных широкополосных цепях, где мала длительность
переходных процессов. Таким образом, селекторный импульс совмещен по
длительности с импульсами 2 и 3, и в режиме слежения совмещен с отраженным радиосигналом. При этом общий фронт импульсов 2 и 3 должен быть
совмещен с центром импульса 1. Величина Δτ – ошибка слежения, возникающая при несовпадении фронтов импульсов 2 и 3.
Следящая система функционирует следующим образом.
На вход ВД поступает импульс 1 и опорные импульсы 2 и 3. ВД определяет рассогласование Δτ между общим фронтом импульсов 2 и 3 и центром импульса 1 и вырабатывает напряжение, пропорциональное величине и знаку измеренного рассогласования. Напряжение с выхода ВД, пройдя через ФНЧ, поступает на управляющий вход УРЗ. На сигнальный вход УРЗ подается опорная
импульсная последовательность. Под воздействием управляющего напряжения
опорная импульсная последовательность задерживается пропорционально
управляющему напряжению. Далее опорная последовательность используется
для запуска ГСИ, формирующего следящие импульсы и стробирующий импульс. Таким образом, временное положение импульсов 2, 3 и 4 зависит от величины напряжения, поступающего с выхода ФНЧ. Под воздействием этого
напряжения импульсы 2, 3 и 4 смещаются по временной оси так, что первоначальная ошибка Δτ уменьшается. Опорная импульсная последовательность
связана по временному положению с зондирующим сигналом передатчика.
Для обеспечения такого режима необходимо произвести начальный ввод в
синхронизм, чтобы совместить временное положение отраженного и опорного
сигналов. Эта операция производится с помощью схемы поиска, которая не
изображена на рис. 2.10.
Функциональная схема временного дискриминатора приведена на рис.
2.12.
2 Uсл1(t)
Кс1
Uвх(t)
1
4
6
D1
Сброс
Uд(t)
9
8
Кс1
5
D1
7
3 Uсл1(t)
Рис. 2.12. Функциональная схема временного дискриминатора:
Кс – каскады совпадений; D1,D2 – детекторы
14
На вход подается импульс 1 (рис. 2.13), на другие входы подаются
опорные (следящие) импульсы 2 и 3. Кс1 и Кс2 определяют степень совпадения
(перекрытия) входного и опорных импульсов. В результате через Кс проходит
только часть входного напряжения,
1
Uвх(t)
t
2
3
t
t
4
t
5
t
6
7
t
t
8
t
9
t
Рис.2.13. Временные диаграммы работы временного дискриминатора
совпадающая по времени со следящим импульсом. Эта часть показана на диаграмме 4 и 5 (рис. 2.13). Далее напряжение поступает на детекторы, выполняющие роль интеграторов. Перед приходом сигнала на вход ВД детекторы D1 и
D2 сбрасываются (разряжаются) импульсом 9. Напряжение с выходов детекторов с разными знаками подается на сумматор (вычитающее устройство). На выходе вычитающего устройства формируется напряжение, пропорциональное по
величине и знаку величине ошибки Δτ, которое через ФНЧ, подается на вход
устройства регулируемой задержки.
2.3.2. Математическое описание. Структурная схема системы слежения за
временным положением
Ошибка слежения определяется выражением
0 сл ,
где 0 – временное положение отраженного импульса на входе следящей системы; сл – временное положение следящего (опорного) импульса
( 0 и сл измерены относительно опорного сигнала)
На вход дискриминатора подается импульсная последовательность, но так
как полоса пропускания следящей системы намного уже частоты следования
15
импульсов, анализ можно проводить как для непрерывных процессов. Напряжение на выходе дискриминатора , усредненное за период повторения импульсов, может быть представлено в виде:
U д M [U д (t )] (t , ; )
U д F ( ) (t , ),
где (t , ) ─ флюктуационная составляющая;
F ( ) = M [U д (t )] ─ дискриминационная характеристика , определяемая как
зависимость среднего значения напряжения на выходе дискриминатора от
рассогласования (ошибки слежения).
Форма этой характеристики определяется формой входного сигнала, полосой пропускания УПЧ, отношением сигнал-помеха на входе приемника, наличием флюктуаций сигнала и другими факторами.
При прямоугольных опорных и зондирующих сигналах дискриминационная характеристика имеет треугольную форму следующего вида (рис. 2.14) и
формируется как разность двух взаимокорреляционных функций входного и
опорного сигналов (рис.2.15).
F()
Рис. 2.14. Дискриминационная характеристика
Uвх(t)
t
Uсл(t)
t
t
Рис. 2.15
Здесь длительность зондирующего импульса, равна длительности следящего импульса. Существует системы, в которых используется принцип укороченного строба. В этом случае опорные сигналы представляют собой короткие δимпульсы (рис.2.16). При этом дискриминационная характеристика имеет вид
характеристики релейного типа. Это в основном используется в цифровой технике, в аналоговой технике трудно обеспечить достаточное усиление.
16
Uвх(t)
t
Uсл1(t)
t
Uсл2(t)
t
F()
Рис. 2.16
Напряжение с дискриминатора поступает на ФНЧ с операторным коэффициентом передачи Wф (р ) . Напряжение на выходе ФНЧ может быть представлено в виде:
U ф Wф ( p) U д(t ) ,
d
.
dt
Далее это напряжение подается на вход устройства регулируемой задержки, на выходе которого получаем:
сл сл0 S p U ф ,
где p
где Sp – крутизна регулировочной характеристики устройства регулируемой задержки.
d
S p сл при Uф = 0;
dU ф
сл 0 - величина задержки опорного сигнала при нулевом напряжении на
управляющем входе устройства регулируемой задержки.
На основании полученных уравнений можем построить следующую структурную схему (рис.2.17).
t,
с
F()
W(p)
Sp
сл
сл0
Рис. 2.17. Структурная схема системы слежения за временным положением
импульсного сигнала
17
Нетрудно показать, что напряжение на выходе ФНЧ пропорционально расстоянию до зондируемого объекта (цели), то есть рассмотренная схема выполняет функцию следящего автодальномера.
В режиме слежения цели величина ошибки слежения Δτ близка к нулю,
тогда:
c 0
2D
,
c
где τ0 – задержка зондирующего сигнала передатчика относительно опорного
сигнала;
D – расстояние до цели;
с – скорость распространения радиоволн;
2D
- задержка сигнала при распространении к цели и обратно.
c
c сл , т.е. 0
2D
сл S p U ф ;
c
тогда
Uф
0 сл0
Sp
2D
c .
Таким образом, при известных значениях величин τ0 ,τсл0 и Sp напряжение
Uф – пропорционально дальности цели.
2.4. Система слежения за направлением прихода радиосигнала
(Угломерная следящая система)
Угломерные следящие системы используются в системах радионавигации,
радиоуправления для слежения за угловым положением источника излучаемого
или отраженного радиосигнала.
Функциональная схема системы имеет вид (рис.2.18):
Цель
РСН
Пр - к
Антенна
Пеленгатор
ФНЧ
У
ИУ
Рис. 2.17. Функциональная схема угломерной следящей системы:
Пр-к – приемник; ФНЧ – фильтр нижних частот; У – Усилитель; ИУ – исполнительное устройство
18
С помощью антенной системы формируются парциальные диаграммы
направленности. РСН ─ равносигнальное направление; сигнал, принимаемый с
этого направления двумя антеннами, имеет одинаковую интенсивность .
Местоположение источника излучения (цели) определяется двумя координатами: азимутом и углом места.
С помощью пеленгатора определяется рассогласование по углу между
направлением на цель и РСН, и на выходе приемника формируется напряжение,
пропорциональное величине и знаку этого рассогласования. Это напряжение,
пройдя ФНЧ, который сглаживает высокочастотные составляющие, усиливается с помощью усилителя У и подается на исполнительное устройство. ИУ воздействует на антенную систему , в результате чего РСН изменяет свое положение в пространстве, уменьшая первоначальную ошибку. В качестве исполнительных устройств используются электромеханические, электронные и гироскопические ИУ.
Проведем математическое описание и составим структурную схему для
слежения по одной координате. Обозначим:
и –угловое положение источника радиосигнала относительно опорного
направления;
а – угловое положение антенны (равносигнального направления);
Тогда ошибка слежения
(2.17)
= и ─ а .
Напряжение на выходе пеленгатора :
U д (t ) M [U д (t )] (t , ) F ( ) (t , )
(2.18)
где F ( ) M [U д (t )] ;
(2.19)
F( )– зависимость среднего значения напряжения на выходе пеленгатора
от ошибки слежения (пеленгационная характеристика).
Будем полагать, что пеленгатор безынерционен.
Работу ФНЧ можно описать дифференциальным уравнением в сокращенной форме
U ф (t ) Wф ( p ) U д (t ) .
(2.20)
Далее сигнал поступает на безинерционный усилитель У, а затем на исполнительное устройство. При использовании электромеханического ИУ ( электродвигателя) его операторный коэффициент передачи определяется выражением
K
Wиу ( p)
p(1 pTэм )
где К – крутизна зависимости угловой скорости вращения антенны в установившемся режиме от величины управляющего напряжения U ф (t ) ;
Tэм ─ электромеханическая постоянная двигателя.
Исполнительное устройство в первом приближении можно считать линейным и описать уравнением
19
a Wиу ( p) U ф (t ) .
(2.21)
На основании формул (2.17) – (2.21) построим структурную схему
(рис.2.19).
t,
н
Wф(p)
Wну(p)
F()
а
Рис. 2.19. Структурная схема угломерной следящей системы
На практике находят применение пеленгаторы с последовательным и одновременным сравнением сигналов. К первому типу относятся пеленгаторы,
использующие принцип конического сканирования и переключения диаграммы
направленности. Ко второму типу – моноимпульсные, формирующие четыре
парциальные диаграммы направленности (по две в каждой из плоскостей).
Принцип конического сканирования: ось диаграммы направленности смещена относительно оси вращения и таким образом диаграмма направленности
образует конус. Его медиана является равносигнальным направлением (РСН).
При этом огибающая принимаемого радиосигнала приобретает амплитудную
модуляцию с частотой, равной частоте вращения антенны. Амплитуда огибающей определяет величину угла отклонения РСН от направления на цель, а фаза
– направление отклонения.
2.5. Обобщенные функциональная и структурная схемы радиотехнических следящих систем
Изучение основных типов систем позволяет определить общие функции и
реализующие их функциональные узлы во всех рассмотренных выше системах
и составить обобщенные функциональную и структурную схемы.
Обобщенная функциональная схема приведена на рис. 2.20 и состоит из
дискриминатора Дис., фильтра, опорного (подстраиваемого) генератора ОГ.
Uв х t
Uдt Фильтр
Дис
Uг t ,y
ОГ
Uфt
Рис.2.20. Обобщенная структурная схема радиотехнической следящей системы
20
На вход поступает смесь сигнала и шума
U вх (t ) U c (t , ) U iu (t ) .
Одним из параметров сигнала является задающее воздействие λ(t).
ОГ генерирует сигнал, одним из параметров которого является оценка отслеживающего параметра. Выходной сигнал ОГ зависит от назначения системы.
В результате нелинейного преобразования входного и опорного сигналов в
дискриминаторе формируется напряжение, пропорциональное разности
x y,
где λ – задающее воздействие; y – управляемая величина.
Напряжение на выходе дискриминатора:
U д (t ) F ( x) (t , x) ,
где F(x) – зависимость среднего значения напряжения на выходе дискриминатора от ошибки слежения, называемая дискриминационной характеристикой; ξ(t, x) – флюктуационная составляющая (результат нелинейного преобразования опорного и входного сигналов в дискриминаторе).
Форма дискриминационной характеристики приведена на рис. 2.21.
F(x)
q12
q22
q32
х1
x
Рис.2.21. Дискриминационная характеристика
При малых значениях ошибки слежения х дискриминационная характеристика может быть аппроксимирована линейной зависимостью:
F ( x) S д x ,
где
dF ( x)
при х=0.
dx
Sд – крутизна, которая зависит от типа дискриминатора, отношения сигSд
нал/шум q 2 и других факторов.
P
q2 c ,
2
ш
где Рс – мощность сигнала; σ2ш – дисперсия шума.
21
q12 q22 q32 .
Крутизна дискриминационной характеристики зависит от амплитуды сигнала. Для исключения этой зависимости на входе производят ограничение либо
автоматическую регулировку усиления ( АРУ). Дискриминационная характеристика имеет ограниченный раствор по оси х. Если ошибка превышает граничную, обратная связь размыкается и система выходит из режима слежения
( x xг ). Для ввода в синхронизм используется устройство ввода , обеспечивающее x xг .
Фильтр осуществляет сглаживание высокочастотных составляющих. Он
может содержать интегрирующие звенья, его передаточная функция определяет
качественные характеристики системы.
Обобщенная структурная схема приведена на рис. 2.22.
t,
x
F(x)
W(p)
y
Рис. 2.21. Структурная схема радиотехнической следящей системы
Математический эквивалент дискриминатора включает элемент сравнения, нелинейное безинерционное звено F(x) и сумматор.
Звено W(p) определяется передаточной функцией опорного генератора и
фильтра.
Характеристики составляющей шума ξ(t, x) зависят от параметров дискриминатора и предшествующих цепей, отношения сигнал/шум, метода нормировки сигнала и шума по амплитуде, характера амплитудных флюктуаций сигнала.
Изменение ошибки во времени описывается нелинейным стохастическим
дифференциальным уравнением
х(t) + W(p)F(x) + ξ(t,x) - λ(t) = 0.
Нелинейность уравнения определяется нелинейностью функции F(x) и нелинейной зависимостью характеристик процесса ξ(t,x) от ошибки слежения х .
Стохастичность – наличием случайного процесса
ξ(t,x)
и случайной составляющей задающего воздействия λ(t).
Если напряжение флюктуационной составляющей имеет равномерную
спектральную плотность в полосе, значительно превышающей полосу пропускания следующих за дискриминатором цепей, шум ξ(t,x) можно считать белым
и характеризовать его величиной спектральной плотности на нулевой частоте S
ξ( w,x) = S ξ( o,x) , в общем случае зависящей от ошибки слежения. Зависи22
мость спектральной плотности флюктуационной составляющей от ошибки
слежения называется флюктуационной характеристикой дискриминатора.
Эквивалент дискриминатора можно существенно упростить при условии
малости ошибки слежения х. При малой ошибке слежения дискриминационная характеристика линейна, а спектральную плотность флюктуационной составляющей можно принять с достаточным приближением не зависящей от
ошибки слежения, то есть S ξ( о,x) = S ξ(x) , ξ(t,x) = ξ(t) . В этом случае следящая система описывается линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами, что упрощает ее анализ.
2.6. Системы автоматической регулировки усиления (АРУ)
Системы автоматической регулировки усиления предназначены для стабилизации уровня выходного сигнала усилителя. Необходимость в АРУ обусловлена значительным динамическим диапазоном сигнала на входе приемника
(60…100дБ), что без принятия мер по стабилизации уровня сигнала привело бы
к перегрузке каскадов приемника и искажению полезной амплитудной модуляции сигнала. Если на вход системы слежения поступает сигнал с таким динамическим диапазоном, то это приведет к увеличению коэффициента усиления
контура и может служить причиной нарушения устойчивости.
Таким образом, система АРУ необходима для расширения динамического
диапазона, чтобы избежать перегрузки каскадов и искажения амплитудной модуляции и обеспечить устойчивость следящей системы.
В качестве примера рассмотрим построение схемы АРУ с управлением по
рассогласованию (рис. 2.23).
U1(t)
РУ
U2(t)
Uр
ФНЧ
Дет.
Uзад
Рис.2.23. Функциональная схема АРУ
Выходное напряжение регулируемого усилителя РУ детектируется (Дет.) и
через фильтр нижних частот ФНЧ поступает на РУ в виде регулирующего
напряжения Up, которое изменяет крутизну усиления активного элемента, шунтирует нагрузку или управляет аттенюатором, в конечном итоге уменьшая уровень выходного сигнала РУ при его увеличении и увеличивая при уменьшении.
23
Например, при использовании транзистора в качестве активного элемента
Up подается на базу транзистора (рис. 2.24) и, изменяя его крутизну (прямую
проводимость), изменяет коэффициент усиления.
Напряжение задержки Uзад используется для того, что бы повысить уровень
стабилизируемого напряжения (рис. 2.25).
Uб
Рис.2.24
1
U2
2
3
U1
Uзад
U пор
Рис.2.25. Зависимость выходного напряжения U 2 от входного U1 :
1 – АРУ отсутствует; 2 ─ Uз = 0; 3 – Uз 0
АРУ начинает работать при превышении входным сигналом напряжения U1 порогового напряжения (UПОР). Вариант построения детектора АРУ с задержкой
приведен на рис. 2.26.
Д
C3
-Uсм+Uд
L1
C1
C2
L2
C4
R1
R2
R3
R4
-U
Рис.2.26. Схема детектора АРУ с задержкой
С помощью делителя R1R2 формируется за напряжение Uзад, поступающее
на детектор Д.
24
Для исследования характеристик АРУ найдем уравнения, описывающие
работу функциональных узлов системы, и составим структурную схему. Зависимость коэффициента усиления усилителя от регулирующего напряжения:
k py k 0 S py U p ,
(2.22)
где k0 – величина коэффициента усиления при нулевом значении напряжения
регулирования;
dk py
─ крутизна регулировочной характеристики;
S py
dU p
U 2 (t ) k py U1 (t )
(2.23)
k (U 2 U 3 )
,
(2.24)
Uд д
0
где
kд – коэффициент передачи детектора.
Первое условие выражения (2.24) выполняется при U 2 U 3 , второе – при
U2 U3 .
ФНЧ характеризуется своей передаточной функцией, поэтому напряжение
на выходе ФНЧ определяется выражением:
U p Wф ( p) U д .
(2.25)
По полученным уравнениям можно построить структурную схему (рис.
2.27).
U3
-kд
x
f(x)
Wф(p)
U2
U2
U1
Sру
k0
Рис. 2.27. Структурная схема АРУ
Здесь
f ( x) x при х 0; f ( x) 0 при х 0.
Система АРУ является нелинейной системой с переменными параметрами,
что делает сложной задачей ее анализ. При оценке отдельных качественных характеристик производят соответствующие упрощения.
25
3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОПИСАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ
СТАЦИОНАРНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ
3.1.Общая характеристика методов
Всякая система, рассматриваемая с точки зрения зависимости выходных и
входных величин как функций времени, носит название динамической системы. Система слежения и ее отдельные звенья относятся к динамическим системам. Для исследования динамических систем используются временные и частотные методы.
Временные методы используют дифференциальные уравнения и полученные с их помощью передаточные функции, переходные и весовые функции.
Частотные – используют частотные передаточные функции и логарифмические частотные характеристики.
Временные методы используются при исследовании линейных нестационарных систем. Для стационарных систем предпочтительно применение частотных методов.
Задачей исследования системы является определение реакции системы на
входное воздействие, либо определение параметров систем.
3.2. Использование дифференциальных уравнений
Для составления дифференциального уравнения (ДУ), связывающего
входные и выходные величины в системе, составляют дифференциальные (или
алгебраические) уравнения, для всех звеньев, входящих в систему, на основе
физики происходящих в них процессов. Число таких дифференциальных уравнений равно числу звеньев системы. Затем, оставляя входную и выходную величины в качестве основных, избавляются от промежуточных величин, производя последовательную подстановку одного уравнения во второе. Для упрощения процесса подстановки уравнения записывают в сокращенной форме.
В общем виде ДУ можно записать следующим образом:
N
k 0
a N k x2(k ) (t )
M
bM i x1
(i )
(t ) , при M N
(3.1)
i 0
x2(t), x1(t) – выходные и входные величины соответственно; a,b – коэффициенты.
ДУ может быть записано в сокращенной форме.
d
Введем обозначение p .
dt
Теперь мы можем формально вынести за знак суммы значения x2(t) и x1(t).
x2 (t )
или
N
k 0
a N k p k x1 (t )
x2 A( p) x1 B( p)
M
bM i p i
i 0
(3.2)
26
k
a
p
N k
k 0
дифференциальные полиномы.
M
B( p) bM i p i
i 0
B( p )
,
x 2 (t ) x1 (t )
A( p)
или же можно записать в сокращенной форме:
x2 (t ) x1 (t ) W ( p) ,
A( p)
где W ( p)
N
B( p)
─ операторный коэффициент передачи.
A( p)
Приведенную форму записи определяют как алгебраизированную (символическую).
Общее решение ДУ определяет изменение во времени управляемой величины при заданном входном воздействии, и позволяет, таким образом, полностью описать процессы в следящей системе. Общее решение ДУ является суммой общего решения однородного ДУ, получаемого из уравнения (1) приравниванием нулю его правой части, и частного решения неоднородного ДУ.
Однородное ДУ определяет характер собственных колебаний в системе.
Его решение позволяет исследовать систему на устойчивость.
Неоднородное ДУ определяет реакцию системы на внешние воздействия.
Его решение позволяет оценить точность воспроизведения задающего воздействия.
3.3. Использование передаточных функций
Для получения алгебраической формы записи надо перейти в область
изображений по Лапласу.
Пусть система описывается уравнением (3.1) .
Применим преобразование Лапласа к обеим частям уравнения (3.1), учитывая, что:
x2 ( s) x2 (t ) e st dt L[ x2 (t )] ,
0
где s c j ─ переменная Лапласа;
и
L[ x (k ) (t )] s k L[ x(t )]
при
нулевых
начальных
условиях
(* x(0) x(0) x(0) ... x (k ) (0) .
x2 ( s )
N
k 0
a N k s k x1 ( s)
M
bM i s i ,
i 0
отсюда найдем х2
27
M
bM i s i
x2 ( s ) i 0
N
bN k s k
x1 ( s ) W ( s) x1 ( s) ,
k 0
где W(s) – передаточная функция ─ реакция системы на входное воздействие в
области изображений Лапласа.
Таким образом, передаточная функция W(s) определяется как отношение
изображений по Лапласу выходной и входной величин при нулевых начальных
условиях.
В последующем изложении W(s) и W(p) мы будем именовать передаточной функцией, имея в виду, что s- комплексная переменная, а p- оператор дифференцирования.
В данном случае мы получили алгебраическую форму записи ДУ. Формально она может быть получена из упрощенной символической формы заменой оператора дифференцирования на переменную s и оригиналов на изображения:
x2 (t ) W ( p) x1 (t );
Х 2 ( s) W ( s) Х1 ( s).
Для нахождения оригинала может быть использовано обратное преобразование Лапласа:
c j
1
x2 (t )
x2 ( s) e st ds .
2 j c j
Обратное преобразование выполняют путем разложения изображения на
простейшие дроби и последующего использования таблиц.
3.4. Использование переходной и весовой функций
Переходной функцией называют реакцию системы на ступенчатую единичную функцию, которую определяют как 1(t) (рис. 3.1):
0, t 0
.
1(t )
1
,
t
0
1(t )
1
t
Рис. 3.1. Единичная ступенчатая функция
28
Переходная функция используется при исследовании переходных режимов
следящих систем. Переходная характеристика – графическое изображение переходной функции. Типовые переходные характеристики следящих систем
изображены на рис. 3.2.
Устойчивые системы
а)
q (t )
q (t )
б)
t
t
Неустойчивые системы
q (t )
в)
г)
q (t )
t
t
Рис. 3.2. Переходные характеристики
Переходная характеристика может быть найдена аналитически. Запишем
реакцию системы на 1(t) в виде ДУ в сокращенной форме:
q(t ) W ( p) 1(t ) ,
где W(p) – операторный коэффициент передачи.
Перейдя в область изображений по Лапласу, получим следующие выражения:
Q( s) W ( s) L(1(t ));
1
L(1(t )) .
s
Осуществив обратное преобразование Лапласа, получим переходную
функцию q(t).
W ( s)
q(t ) L1(Q( s)) L1
.
s
Весовая функция (импульсная характеристика) – реакция системы на воздействие в виде δ-функции, определяемой как
0, t 0;
(t )
, t 0;
d1(t )
(t )
.
dt
29
Отметим некоторые свойства δ-функции:
t
(t1)dt1 1(t ) ;
0
(t )dt 1.
Весовая функция h(t) равна:
h(t ) W ( p) p 1(t ) .
Переходя в область изображений, получим следующие выражения:
L(h(t )) W ( s );
h(t ) L1 (W ( s )).
Таким образом, весовая и передаточная функции связаны преобразованием Лапласа.
Весовая функция используется для определения выходной величины с помощью интеграла Дюамеля:
t
x2 (t ) h(t ) x1 ( ) d .
(3.3)
0
В соответствии с условием физической реализуемости: реакция системы на
входное воздействие появляется не раньше воздействия, т. е
h(t ) 0 , при t<0,
можно записать:
x2 (t ) h(t ) x1 ( ) d .
(3.4)
0
Для определения установившегося значения можно полагать, что воздействие началось в момент t и для расчета использовать выражение:
x2 (t ) h( ) x1 (t ) d .
0
3.5. Использование частотных передаточных функций
Частотная передаточная функция (комплексный коэффициент передачи)
определяет реакцию системы на гармоническое входное воздействие и используется для анализа следящих систем. Ее можно найти, используя ДУ (3.1), если полагать, что x1 (t ) – гармоническое воздействие в комплексной форме
определяется выражением
x1 (t ) x1m e j ( t 1 ) x1m e j t ,
где x1m x1m e j 1 - комплексная амплитуда.
Будем искать частное решение неоднородного ДУ (1) в виде:
(3.5)
30
x2 (t ) x2m e j t ,
(3.6)
где x2m x2m e j 2 .
Подставляя (3.5), (3.6) в (3.1) и учитывая, что
d k (e j t )
k
( j ) k e j t ,
d t
получим:
x2 (t ) W ( j ) x1 (t ) ,
b0 ( j ) M b1 ( j ) M 1 ... bM
где
─ частотная передаточная
W ( j )
N
N 1
a0 ( j ) a1 ( j )
... a N
функция (комплексный коэффициент передачи).
Частная передаточная функция – это отношение комплексных амплитуд
входных и выходных гармонических воздействий при нулевых начальных
условиях.
W(jω) можно получить формально из W(s), заменой s на jω.
W(jω)можно представить а показательной и алгебраической форме:
W ( j ) W ( j ) e j arg(W ( j )) ;
W ( j ) U ( ) j V ( ).
x2m W ( j ) x1m
W ( j ) A( ) - модуль частотной передаточной функции.
W(jω) на комплексной плоскости изображается в виде вектора. При изменении частоты в интервале ( : ) конец вектора прочерчивает кривую,
называемую амплитудно-фазовой характеристикой (АФХ) (рис. 3.3).
jV
U
U
V
Рис. 3.3. Амплитудно-фазовая характеристика
A( ) U 2 ( ) V 2 ( ) – амплитудно-частотная характеристика (АЧХ).
31
АЧХ – зависимость амплитуды выходного сигнала от частоты при неизменной амплитуде входного сигнала.
V ( )
─ фазочастотная характеристика (ФЧХ).
Ψ ( ) arctg
U ( )
ФЧХ определяет зависимость фазового сдвига выходного сигнала относительно входного от частоты. Она симметрично относительно начала координат.
U ( ) A( ) cosΨ(ω);
V ( ) A( ) sin Ψ(ω).
Годограф – кривая, прочерчиваемая концом вектора, при изменении частоты ω в интервале ( : ).
3.6. Использование логарифмических частотных характеристик
Метод логарифмических частотных характеристик (ЛЧХ) используется как
для анализа, так и для синтеза следящих систем. Метод построения ЛЧХ состоит в графическом изображении АЧХ и ФЧХ в логарифмическом масштабе.
Особенно удобен метод, использующий асимптотические логарифмические
амплитудно-частотные характеристики ( ЛАЧХ). Для некоторых систем, называемых мимнимально-фазовыми, достаточно построить лишь ЛАЧХ, так как
она определяет все свойства системы. К минимально-фазовым относят системы, у которых корни характеристических уравнений, составленных из числителя и знаменателя передаточной функции имеют отрицательные вещественные
части.
Метод построения асимптотических ЛАХ состоит в следующем. Выражение для ЛАЧХ и ЛФЧХ записываются в виде
L( ) 20 lg A( );
V(ω)
.
U(ω)
Частота откладывается по оси абсцисс в логарифмическом масштабе, а
усиление – в децибелах (дБ) по оси ординат. Логарифмическая фазочастотная
характеристика (ЛФЧХ) строится под ЛАЧХ с общей осью частот.
Метод построения асимптотических ЛАХ рассмотрим на примере.
Пусть передаточная функция разомкнутой системы определяется выражением
K (1 pT2 )
W ( p)
.
p(1 pT1 ) (1 pT3 )
Заменой переменной перейдем к частотной передаточной функции
Ψ(ω) arctg
W ( j )
K (1 jT2 )
,
j (1 jT1 ) (1 jT3 )
32
где Т1, Т2, Т3 – постоянные времени соответствующих звеньев; К – коэффи
циент усиления или добротность (имеет размерность частоты).
Модуль частотной передаточной функции А(ω) последовательно включенных звеньев определяется как произведение модулей этих звеньев. а аргумент – как сумма фазовых сдвигов звеньев.
n
W ( j ) A( ) Ai ( ) ;
i 1
n
( ) i ( ).
i 1
Обычно полагают, что T1 T2 T3 . Пусть Т1 > Т2, > Т3.
1
Обозначим
i – сопрягающая частота; i 1, n . Тогда
Ti
K 1
2
W ( j )
2
2
1 1
1
3
2
;
2
2
L( ) 20 lg W ( j ) 20 lg 20 lg 1 20 lg 1
1
2
K
2
20 lg 1 ;
3
( )
arctg
arctg
arctg
.;
1
2
3
2
При построении асимптотических ЛАХ используется следующее правило:
2
Если i , то пренебрегают вторым слагаемым, т.е. 1 1 .
1
2
2
Если i , то пренебрегают единицей, 1
1
1
При этом в точке сопряжения ошибка не превышает нескольких дБ.
Асимптотическая ЛАХ для n последовательно включенных звеньев состоит из n+1 асимптоты, каждая из которых строится в диапазоне частот:
1ая: 0 1 ;
2ая: 1 2 ;
……………
33
n+1: k .
Построим L(ω) (рис. 3.4).
Уравнение для первой асимптоты ( 0 1 ):
K
L( ) 20 lg 20 lg ,
K
при ω = K, L(ω) = 0.
Наклон асимптоты будет равен –20 дБ на декаду.
K
L1 ( ) 20 lg .
Вторая асимптота строится в диапазоне частот ( 1 2 )
в соответствии с уравнением:
L( )
80
60
L1
40
20
L2
2
1
L3
0,1
1
, с 1
3
10
100
1k
Рис. 3.4. Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика
K 1 1
20 lg
1
1
.
K
20 lg
40 lg
L 40 lg
1
1 1
1
L( ) 20 lg
K
20 lg
Наклон асимптоты будет равен –40 дБ на декаду.
K 1
L2 ( ) 20 lg
.
2 2
34
Третья асимптота строится в диапазоне частот ( 2 3 ). Уравнение
третьей асимптоты:
K
L( ) 20 lg 20 lg
20 lg
1
2
Это уравнение прямой, проходящей через точки L (ω2) и L (ω3),
K 1 3
K 1
где L3 L3 ( ) 20 lg
20 lg
..
3 3 2
3 2
Таким образом, можно записать:
L( ) L2 ( ) 20 lg
2
В точке L2 асимптота изменяет свой наклон на +20 дБ, итоговый наклон
третьей асимптоты составляет –20 дБ.
Четвертая асимптота строится в диапазоне частот ( 3 ) в соответствии
с уравнением:
K
K 3
L( ) 20 lg 20 lg
20 lg
20 lg
20 lg 1
1
2
3
2
K1 3 3
K1
20 lg
20 lg
40 lg
L3 ( ) 40 lg
.
2 3
3
3
2 2 3
Таким образом, при переходе через сопрягающую частоту ω3 асимптота
меняет свой наклон на –20 дБ, и в итоге имеет наклон –40 дБ/дек.
Выводы:
1.При переходе текущего значения частоты через очередную сопрягающую
частоту наклон асимптоты изменяется на +20 дБ,
если множитель
2
находится в числителе выражения для расчета АЧХ и изменяется
1
k
на –20 дБ, если этот множитель находиться в знаменателе.
2. Наклон каждой асимптоты кратен 20 дБ /дек.
По ЛАЧХ можно восстановить частотную передаточную функцию.
3.7. Передаточные функции следящих систем
Из изложенного выше следует, что любая из передаточных функций: операторный коэффициент передачи W(p), передаточная функция W(s) и частотная
передаточная функция (комплексный коэффициент передачи) W(jw) может
быть получена путем замены переменных в известном выражении для одной из
вышеназванных передаточных функций.
Определим передаточные функции, связывающие входные и выходные переменные в замкнутой следящей системе, представленной математической моделью (рис. 3.5).
35
(, )
(t )
x(t )
Sд
W ( p)
y (t )
Рис. 3.5. Структурная схема следящей системы
Исходные соотношения:
(3.7)
x(t ) (t ) y(t ) – ошибка слежения.
В свою очередь
y (t ) [ x(t ) S д (t )] W ( p)
(3.8)
Подставим (3.8) в (3.7) и сгруппируем слагаемые. В результате получим
1 (t )
W ( p) (t )
x(t )
;
1 S д W ( p) 1 S д W ( p)
x(t ) H x ( p) (t ) Hx ( p) (t ) ,
1
W ( p)
и H x ( p )
─ соответственно переда1 S д W ( p)
1 S д W ( p)
точные функции от воздействия к ошибке и от возмущения к ошибке.
Найдены, таким образом, передаточные функции, связывающие ошибку
слежения с входным воздействием и с флюктуационной составляющей.
Теперь подставим (3.7) в (3.8) и сгруппируем слагаемые
S W ( p)
W ( p)
y (t ) д
(t )
(t );
1 S д W ( p)
1 S д W ( p)
x(t ) H y ( p) (t ) Hy ( p) (t ),
где H x ( p)
S д W ( p)
W ( p)
и H y ( p )
.
1 Sд W ( p)
1 S д W ( p)
H y ( p ) и Hy ( p) – передаточные функции от воздействия к управляемой
величине (связывающие входную и выходную величины) и от возмущения к
управляемой величине.
Можно значительно упростить процесс определения передаточной функции, если использовать следующую формулу:
Wпр ( p)
,
H uv ( p)
1 W р ( p)
где u – входное воздействие, а v – выходная величина;
Wпр ( p ) – передаточная функция прямой цепи, связывающей входное воз-
где H y ( p)
действие и выходную величину.
36
W р ( p ) – передаточная функция разомкнутой системы (размыкается в точ-
ке подачи обратной связи и определяется как передаточная функция от ошибки
x(t) к управляемой величине y(t) .
3.8. Передаточные функции в обобщенной структурной схеме радиотехнической следящей системы
Основная передаточная функция – передаточная функция замкнутой системы. Определяется отношением изображений по Лапласу управляемой величины и задающего воздействия:
H y ( s)
где
Y ( s) L[ y( s)]; ( s) L[ ( s)].
H y ( s)
Y ( s)
,
( s )
Sд W ( s)
;
1 Sд W ( s)
Передаточная функция разомкнутой системы – отношение изображений по
Лапласу управляемой величины и ошибки слежения.
Y ( s)
W p ( s)
; W p ( s) S д W ( s);
X ( s)
W p ( s)
H y ( s)
;
1 W p ( s)
W p ( s)
H y
;
1 H xy
Передаточная функция от воздействия к ошибке – отношение изображений
ошибки и задающего воздействия:
1
H x ( s)
;
1 W p ( s)
H y (s ) – передаточная функция от возмущения к управляемой величине:
H y ( s )
W ( s)
.
1 W p ( s)
3.9. Типовые динамические звенья следящих систем
Для упрощения анализа следящих систем сложные динамические звенья,
описываемые дифференциальным уравнениями высоких порядков, разбивают
на ряд простых таким образом, чтобы дифференциальные уравнения, описывающие их работу, были не выше второго порядка:
37
(a0 a1 p a2 p 2 ) x2 (t ) (b0 b1 p) x1 (t ) .
Этому уравнению соответствует передаточная функция
b0 b1 p
x (t )
W ( p) 2
;
x1 (t ) a0 a1 p a2 p 2
Всё множество динамических звеньев, независимо от назначения, конструктивных особенностей, элементной базы классифицируется по виду дифференциального уравнения, описывающего работу звена или его передаточной
функции. По этому признаку классификации различают следующие типы динамических звеньев:
- позиционные;
- интегрирующие;
- дифференцирующие.
К позиционным звеньям относятся: безынерционное, апериодическое звено 1-ого порядка, апериодическое звено 2-ого порядка, колебательное звено.
К дифференцирующим звеньям относятся: идеальное дифференцирующее, инерционное дифференцирующее, форсирующее.
К интегрирующим звеньям относятся: идеальное интегрирующее, инерционное интегрирующее, изодромное.
Апериодическое звено 1ого порядка описывается ДУ следующего вида:
dx (t )
T 2 x2 (t ) kx1 (t ) или (T p 1) x2 (t ) kx1 (t ),
dt
где x2 (t ) – выходная величина; x1 (t) – входная величина; Т─ постоянная времени звена; k─ коэффициент передачи.
Передаточная функция
x (t )
k
;
W ( p) 2
x1 (t ) T p 1
W ( s)
k
,
T s 1
d
; s c j .
dt
К этим звеньям относятся исполнительные двигатели, усилители мощности, магнитные усилители , RC – фильтры.
АЧХ звена определяется выражением:
где p
A( ) W ( j )
k
1 T
2 2
k
1
1
2
,
38
1
– сопрягающая частота.
T
ФЧХ звена: ( ) arctg (T ).
Переходная характеристика:
где 1
t
q(t ) k (1 e T ) 1(t ).
Весовая функция
t
k
h(t ) e T .
T
Графическое изображение переходной и весовой функции (рис. 3.6):
q (t )
L( ), дБ
T
20 lg K
t
1
T
tп
Рис. 3.6. Переходная и весовая характеристики апериодического звена
Логарифмическая амплитудно - частотная характеристика
2
L( ) 20 lg A( ) 20 lg k 20 lg 1 .
1
Длительность переходного процесса tп = 3T; q(tп) = 0,95q.
1
Полоса пропускания п .
T
При уменьшении постоянной времени Т увеличивается ωп, и при Т = 0 переходная характеристика будет повторять входной процесс,и в результате получим звено, описываемое уравнением
x2 (t ) kx1 (t ) ;
такое звено называется безынерционным ( п ). ;
Передаточная функция, АЧХ и ФЧХ звена соответственно равны:
W(s) = k; A(ω) = k;Ψ(ω) = 0.
39
К безынерционным звеньям обычно относят звенья, ширина спектра сигналов, на входах которых значительно уже полосы пропускания.
Рассмотрим пример RC – цепи (рис.3.7)
Такая цепь относится к апериодическому звену и имеет передаточную
функцию
k
W ( p)
;
1 Tp
где T =R1R2C/R1+R2.
R2
k
.
R1 R 2
R1
C
U1
R2
U2
Рис.3.7. Пример апериодического звена
При C 0 : T 0 и апериодическое звено трансформируется в безынерционное звено.
К колебательным звеньям относят звенья, описываемые дифференциальным уравнением следующего вида:
(T 2 p 2 2 T p 1) x2 (t ) k x1 (t );
где ξ – коэффициент затухания (для звеньев автоматических систем ξ = 0,5…0.7).
К таким звеньям относятся RLC контура, акселерометры и др.
1
Обозначим 0 (собственная частота) и разделим почленно все слагаеT
мы числителя и знаменателя на Т2; в результате получим:
( p 2 2 0 p 02 ) x2 (t ) k 02 x1 (t );
W ( p)
k 02
p 2 2 p 0 02
; A( )
L( ) 20 lg k 20 lg
k
2 2
;
2
1 2 4
02
0
1
2 2
2
;
2
2
1 2 4
02
0
40
2
Ψ ( ) arctg
1
q(t ) k[1 e 0 t (cost
0
;
0
0
sin t )] 1(t ),
где 1 2 – частота затухающих колебаний;
h(t )
k 02 0 t
e
sin t 1(t ) .
L( )
q (t )
а)
б)
40
2
t
дБ
дек
Рис. 3.8. Переходная и логарифмическая амплитудно-частотная характеристики колебательного звена.
По мере увеличения ξ, длительность переходного процесса увеличивается,
частота колебаний уменьшается и при 1 процесс может быть описан ДУследующего вида:
(Ta p 2 Tb p 1) x2 (t ) k x1 (t ) или
(T1T2 p 2 T1 T2 p 1) x2 (t ) k x1 (t ) ,
2
T
T
где T b 2T a , T1,2 b b Ta2 .
2
4
Такое звено называется апериодическим звеном 2-го порядка. Передаточная функция звена определяется выражением
k
W ( p)
.
(1 pT1 )(1 pT2 )
Апериодическое звено 2ого порядка может быть представлено как два последовательно соединенных апериодических звена 1ого порядка. Характеристики звена:
k
A( )
;
2
2
1 1
1
2
41
1
1
1
и 2
– сопрягающие частоты.
T2
T1
2
ЛАЧХ (рис.3.9): L( ) 20 lg k 20 lg 1 20 lg 1
1
2
ФЧХ: ( ) arctg T1 arctg T2 .
Переходная характеристика (рис.3.9):
t
t
T1 T1
T2 T2
e
e
q(t ) k 1
1
1(t ) .
T
T
T
T
1
2
1
2
2
L( ), дБ
q (t )
T1 T2
20 lg K
20
дБ
дек
40
tп
T2
дБ
дек
t
1
T1
1
T2
Рис. 3.9. Переходная и логарифмическая амплитудно-частотная характеристики
апериодического звена 2-го порядка
Дифференцирующие звенья. К идеальным дифференцирующим звеньям
относят звенья, выходная величина которых пропорциональна производной
входной величины:
x2 (t ) k x1 (t );
x2 (t ) k p x1 (t );
x (t )
W ( p) 2 k p.
x1 (t )
x (t )
W ( p) 2 k p.
x1 (t )
В автоматических системах единственным примером идеального дифференцирующего звена является тахогенератор.
Величина k имеет размерность времени, называется постоянной времени
дифференцирования и обозначается Т.
Она может быть определена, если входные и выходные величины имеют
одну и ту же физическую природу следующим образом: постоянная времени
42
определяется как интервал времени от момента подачи на вход линейно изменяющегося напряжения до момента времени, когда напряжение на выходе
сравняется с напряжением на входе (рис. 3.10).
x1 (t )
x2 (t )
t
t
k
Рис.3.10. К определению постоянной времени идеального дифференцирующего звена
Характеристики идеального дифференцирующего звена:
A( ) k ; L( ) 20 lg k ; ( ) arctg
W ( j ) k j .
2
; q(t) = k δ(t);
L( ), дБ
20
дБ
дек
1
k
Рис. 3.11. ЛАЧХ идеального дифференцирующего звена
К инерционным дифференцирующим звеньям относятся звенья, имеющие следующие характеристики:
kp
k
; A( )
;
W ( p)
2
1 pT
1 (T )
L( ) 20 lg k 20 lg 1 (T ) 2 ; ( )
2
arctgT .
43
q (t )
t
Рис.3.12. Переходная характеристика инерционного
дифференцирующего звена
L( ), дБ
0
20
дБ
дек
дБ
дек
1
k
1
T
Рис. 3.13. ЛАЧХ инерционного дифференцирующего звена
Примером инерционного дифференцирующего звена является RC цепь
(рис. 3.13).
C
U1 (t )
R
U 2 (t )
Рис. 3.14. Схема инерционного дифференцирующего звена
Форсирующее звено представляет собой параллельное соединение безынерционного и идеального дифференцирующего звеньев:
k
W ( p) k k1 p k (1 1 p) k (1 T p) .
k
Звено используется для коррекции передаточных функций систем (компенсирует запаздывание фазы, вносимое интегрирующими звеньями).
Характеристики звена (рис.3.14):
A( ) k 1 (T ) 2 ;
L( ) 20 lg k 20 lg 1 (T ) 2 ; ( ) arctgT .
44
L( ), дБ
q (t )
20
20 lg K
дБ
дек
t
1
T
Рис. 3.15. Характеристики форсирующего звена
Интегрирующие звенья. К идеальным интегрирующим звеньям относят
звенья, выходная величина у которых равна интегралу от входной величины:
t
x2 (t ) k x1 (t ) dt ;
0
dx2
k x1 (t ),
dt
где k
1
; Т – постоянная времени звена.
T
Если физическая природа входной и выходной величин одинакова (например, напряжение) постоянная времени определяется как интервал времени от
момента подачи на вход постоянного напряжения до момента времени, когда
напряжение на выходе сравняется с напряжением на входе ( рис.3.15).
x2 (t )
x1
x1 (t )
x1 (t )
t
t
T
Рис.3.16. К определению постоянной времени идеального
интегрирующего звена
Характеристики идеального интегрирующего звена (рис. 3.16) определяются следующими выражениями:
h(t ) kt 1(t ) ; W ( p)
k
k
k
; W ( j )
; A( ) . ;
p
j
45
L( ) 20 lg
k
; ( )
.
2
Примером такого звена является исполнительный двигатель, у которого
угол поворота ротора равен интегралу от входного напряжения.
L( ), дБ
q (t )
20
kt
дБ
дек
t
k
Рис.3.17. Характеристики идеального интегрирующего звена
К инерционным интегрирующим звеньям относятся звенья, передаточная
функция которых определяется выражением:
k
;
W ( p)
p(1 pT )
Другие характеристики звена (рис.3.17):
k
k
; A( )
;
W ( j )
2
j (1 jT )
1 (T )
k
20 lg 1 (T ) 2 ; (t )
arctgT
2
Это звено можно рассматривать как последовательное соединение апериодического звена 1-го порядка и идеального интегратора.
L( ) 20 lg
L( ), дБ
20
q (t )
дБ
дек
kt
40
дБ
дек
t
1
T
Рис.3.18. Характеристики инерционного интегрирующего звена
46
Изодромное звено представляет параллельное соединение безынерционного и идеального интегрирующего звеньев:
k
k
1
1
W ( p) k1 2 = k 2 ( 1 p 1) k2 (1 pT )
k2
p
p
p
где T
k1
.
k2
Характеристики звена:
k
k
A( ) 2 1 (T ) 2 ; L( ) 20 lg 2 20 lg 1 (T ) 2 ;
( )
arctgT .
2
Переходная характеристика и ЛАЧХ звена изображены на рис.3.18.
L( ), дБ
q (t )
20
kt
k
дБ
дек
0
дБ
дек
t
1
T
Рис.3.19. Характеристики изодромного звена
Звено временного запаздывания не входитв приведенную выше классификацию, однако вследствие широкого применения в схемах следящих систем
целесообразно привести его характеристики:
W ( p) e pT ;
A( ) 1 ; ( ) T . .
Звено может быть представлено как n последовательно соединенных апериодических звеньев 1 – го порядка.
47
4. УСТОЙЧИВОСТЬ РАДИОЭЛЕКТРОННЫХ СЛЕДЯЩИХ
СИСТЕМ
4.1 Понятие устойчивости
Устойчивость - способность системы возвращаться в состояние равновесия
после прекращения возмущающего воздействия, которым система была выведена из состояния равновесия.
Устойчивость является одним из основных показателей качества следящих
систем. Система, не обладающая устойчивостью, практически неработоспособна. Устойчивость определяется характером собственных колебаний в системе при отсутствии внешних воздействий.
Дифференциальное уравнение, описывающее работу следящей системы:
(an p n an 1 p n 1 ... a1 p a0 ) y (t ) (bm p m bm 1 p m 1 ... b0 ) (t ) ,
(4.1)
где (t ) - задающее воздействие; y(t) – управляемая величина.
Решение дифференциального уравнения представляется суммой общего
решения однородного дифференциального уравнения и частного решения неоднородного дифференциального уравнения:
y (t ) yc (t ) yв (t ) ,
где yc (t ) - общее решение однородного дифференциального уравнения, определяющее характер собственных колебаний в системе при отсутствии внешних воздействий; yв (t ) - частное решение неоднородного
дифференциального уравнения, определяющее реакцию системы на
внешнее воздействие.
Таким образом, характер собственных колебаний определяется решением
уравнения, которое имеет вид:
(an p n an 1 p n 1 ... a1 p a0 ) y(t ) 0 ,
n
yc (t ) Ci e si t ,
(4.2)
i 1
где Ci - коэффициенты, определяемые начальными условиями ( начальные
условия – значения выходной величины и её n-1 производных при t=0 ); si корни характеристического уравнения, получаемого из знаменателя передаточной функции:
an s n an 1s n 1 ... a0 0 .
Если все вещественные корни характеристического уравнения отрицательные, а комплексные корни имеют отрицательные вещественные части, то, как
48
следует из (3.2), собственные колебания системы являются затухающими и система является устойчивой.
Таким образом, для оценки устойчивости системы следует решить характеристическое уравнение и определить положение его корней на комплексной
плоскости. Если все корни принадлежат левой полуплоскости комплексной
плоскости – система устойчива. Если хотя бы один из корней находится в правой полуплоскости – система неустойчива. Однако вследствие сложности выражений для корней характеристических уравнений высоких порядков этот метод практически непригоден для анализа устойчивости. В связи с этим разработаны критерии устойчивости, позволяющие оценить устойчивость без решения характеристического уравнения. Существуют алгебраические и частотные критерии устойчивости.
4.2.Алгебраические критерии устойчивости
Алгебраически критерии устойчивости состоят в проверке системы неравенств, составленных из коэффициентов характеристического уравнения.
Для систем, описываемых дифференциальными уравнениями не выше 2-го
порядка, необходимым и достаточным условием устойчивости является положительность коэффициентов характеристического уравнения:
a i >0; i 0, n ; n 2 ,
где n ─ порядок характеристического уравнения.
Для n > 2 это условие является необходимым, но не достаточным. В этом
случае из коэффициентов характеристического уравнения необходимо составить матрицу Гурвица, из матрицы составить определители и вычислить.
Если все n определителей, составленных из матрицы Гурвица. положительны при положительном значении коэффициента a n , система устойчива.
Если хотя бы один из определителей отрицательный – система не устойчива. Система находится на границе устойчивости, если n-й определитель равен
нулю.
Достоинством метода является его простота, недостатком – необходимость
всякий раз при изменении параметров системы составлять матрицу и вычислять
определители. Метод не позволяет также определить запасы устойчивости.
Рассмотрим пример. Пусть n=5.
Матрица составляется по следующему правилу.
По главной диагонали записывают коэффициенты от a 0 до a n1 . Затем заполняются строки
a4 a5
a a
2 3
a0 a1
0 0
0 0
0
a4
a2
a0
0
0 0
a5 0
a3 a4
a1 a1
0 a0
49
коэффициентами в порядке возрастания индексов слева направо от элемента,
стоящего на главной диагонали и в порядке убывания индексов справа налево
от элемента, стоящего на главной диагонали. Если индекс больше n или меньше нуля, то на соответствующей позиции записывают нуль.
После составления матрицы вычисляют определители Гурвица, симметричные относительно главной диагонали. Фактически необходимо вычислить
n-2 определителя:
a4 a5
1 an 1 a4 ; 2
a4 a3 a2 a5 ;
a
a
2 3
a4 a5 a0
2 a2 a3 a4 и т.д. ( 4 , 5 ) .
a0 a1 a2
При этом n a0 n 1
Если a 0 > 0 то n определяется n 1 .
4.3.Частотные критерии устойчивости
К частотным критериям ним относятся критерии Михайлова и Найквиста.
Критерий Михайлова базируется на исследовании характеристического
комплекса замкнутой системы - знаменателя частотной передаточной функции
замкнутой системы.
Как всякая комплексная функция, характеристический комплекс может
быть представлен вектором на комплексной плоскости. При изменении частоты
конец вектора описывает кривую, называемую годографом характеристического комплекса.
При изменении от до аргумент характеристического комплекса
приобретает приращение, величина которого определяется порядком характеристического комплекса и устойчивостью системы.
Если при изменении от до n ,то система является устойчивой. Если < n то система неустойчива.
U ( ) - содержит четные степени. При изменении от 0 до система будет устойчива, если n
и не устойчива, если n
.
2
2
Применительно к поведению годографа характеристического комплекса
критерий может быть сформулирован следующим образом: замкнутая система
устойчива, если при изменении частоты от 0 до годограф характеристического комплекса последовательно прочерчивает n – квадрантов. Если последовательность нарушается, система неустойчива. Если годограф проходит через
начало координат, система находится на границе устойчивости (рис. 4.1).
50
Практическое применение критерия на обязательно требует построения
годографа.
Пример.
Пусть порядок характеристического комплекса n=6. Разделим характеристический комплекс на действительную и мнимую части, действительная содержит коэффициенты с четными индексами, а мнимая – с нечетными:
U ( ) a6 6 a4 4 a2 2 a0 ;
V ( ) a5 5 a3 3 a1 .
Устойчивая система
n2
jV
Неустойчивая система
jV
U
A
a0
U
n4
a0
n3
Рис. 4.1. Годографы характеристического комплекса
Находим корни мнимой части характеристического комплекса, приравнивая его нулю: Im( ) = 0. Найденные значения корней подставим в действительную часть и вычислим ее. Если действительная часть меняет знак при последовательной подстановке корней в порядке увеличения их значений, то система устойчива. Иначе говоря, в устойчивой системе корни мнимой и действительной частей характеристического комплекса перемежаются.
Поскольку в замкнутой системе все передаточные функции, связывающие
входные и выходные величины, не отличаются знаменателем, то для определения устойчивости можно использовать характеристический комплекс любой
частотной передаточной функции замкнутой системы.
Коэффициент ( a 0 ) является коэффициентом усиления разомкнутой системы K , при увеличении a 0 годограф смещается вправо и при критическом значении a 0 пройдет через начало координат. Поэтому величина А (рис. 4.1)
определяет запас устойчивости по амплитуде.
Критерий Найквиста базируется на исследовании поведения годографа
частотной передаточной функции (амплитудно-фазовой характеристики) разомкнутой системы.
51
jV
U
(1; j 0)
Уст. Сист.
Неуст. Сист.
Рис.4.2. Годографы частотной передаточной функции
разомкнутой системы
Если годограф частотной передаточной функции разомкнутой системы,
устойчивой в разомкнутом состоянии, при изменении частоты от 0 до не
охватывает точку с координатами (-1;j0) , то система устойчива, в противном
случае система не устойчива (рис. 4.2).
Если годограф проходит через точку с координатами (-1;j0), то система
находится на границе устойчивости. Это означает, что на некоторой частоте
фазовый сдвиг равен ,а модуль частотной передаточной функции А(ω)=1.
Поскольку в замкнутой системе имеет место отрицательная обратная связь, то
при таком фазовом сдвиге обратная связь становится положительной и выполняются условия самовозбуждения.
Для систем, содержащих интегрирующие звенья, годограф уходит в «бесконечность» при 0 . Тогда, чтобы решить охватывает или нет годограф точку с координатами (-1;j0), его дополняют дугой бесконечно большого радиуса,
которая начинается на положительной полуоси вещественных чисел и заканчивается на пересечении с годографом. Дуга проводится в направлении по часовой стрелке.
Необходимость в дополнении годографа дугой обусловлена следующим.
Вывод критерия Найквиста базируется на критерии устойчивости Михайлова,
из которого следует: если в точку с координатами (-1;j0),поместить начало
вектора, соединяющего эту точку с кривой АФХ разомкнутой системы
(рис.4.3), то для устойчивой системы этот вектор при изменении частоты от
0 до , описав АФХ этой системы, не должен совершить ни одного оборота
вокруг точки с координатами (-1;j0). Если же АФХ охватывает эту точку, то
полное приращение аргумента вектора составит 360 градусов.
Критерий позволяет оценить запас устойчивости по фазе и амплитуде (рис.
4.4). Запас устойчивости по фазе показывает на какую величину необходимо
увеличить запаздывание в системе, чтобы она оказалась на границе устойчивости и рассчитывается по формуле:
з ( среза ) ,
где ср ─ частота среза определяемая из условия: A( ср ) 1
52
jV
U
(1; j 0)
Рис.4.3.Годограф, дополненный дугой
Запас устойчивости по фазе для хорошо демпфированных систем должен
составлять 30... 60 .
Запас устойчивости по амплитуде В показывает во сколько раз необходимо
увеличить усиление в системе, чтобы она оказалась на границе устойчивости:
1
, ( кр ) .
B
A( кр )
jV
jV
(1; j 0)
B
(1; j 0)
U
U
(ср )
A(ср )
Рис 4.4. Определение запасов устойчивости
4.4.Определение устойчивости с помощью ЛАЧХ разомкнутой системы
Устойчивость минимально-фазовых систем, может быть определена по
ЛАЧХ. Необходимым и достаточным условием устойчивости в этом случае является пересечение ЛАЧХ оси частот с наклоном -20дБ/дек.). Запас считается
достаточным, если протяженность этого участка не менее одной декады.
Если система не является минимально-фазовой, то для определения устойчивости и запаса устойчивости, необходимо использовать ЛФЧХ.
Условие устойчивости: значение фазы на частоте среза меньше 180 :
( ср ) 180 .
53
Запас устойчивости по фазе:
з ( ср ) 180 или з ( ср ) 180 .
Запас
устойчивости
по
амплитуде
определяется
на
кр :
( кр ) 180 ;
Запас устойчивости по амплитуде L показывает на сколько дБ необходимо увеличить усиление в системе, чтобы она оказалась на границе устойчивости (рис. 4.5)
L( ), дБ
12
3дБ
2
ЛАХ
ЛАЧХ
9
1
6
с
0
ср
100
ФЧХ
с
ср
, Гц
кр
1000
20
дБ
дек
Lз
1
2
кр
( )
А
кр
з
, Гц
Б
Рис.4.5. Логарифмические характеристики разомкнутых систем: 1 – ЛЧХ
устойчивой системы; 2 – ЛЧХ неустойчивой системы.
4.5. Абсолютно и условно устойчивые системы
Проанализируем АФХ разомкнутой системы (рис. 4.6), содержащей в своем составе апериодические и интегрирующие звенья. АФХ соответствует передаточной функции:
K
W р ( s)
,
s (1 sT1 ) (1 sT2 )
где К – коэффициент усиления или добротность системы.
Система устойчива, так как годограф не охватывает точку c координатами
(-1, j0). С увеличением К запас устойчивости уменьшается и при некотором
54
jV ( )
U ( )
(1; j 0)
(3)
(1)
Рис. 4.6. Годографы передаточной функции абсолютно устойчивых систем
значении коэффициента усиления K 3 ( K 3 K1 на графике, рис.4.6) система теряет устойчивость.
Системы, добротность которых ограничена условиями устойчивости лишь
сверху, называются абсолютно устойчивыми: K K кр .
Как правило, величину коэффициента усиления выбирают из условия
обеспечения заданной точности, а для достижения устойчивости вводят корректирующие звенья. В результате годограф деформируется (рис. 4.7).
jV ( )
кр 3
(1; j 0)
U ( )
кр1
кр 2
ср
Рис. 4.7. Годограф частотной передаточной функции разомкнутой системы
с корректирующими звеньями
При этом кр кр 2 ср кр1 .
3
55
Если для такой системы увеличивать К, то при некотором его значении система станет не устойчива (рис. 4.8).
При этом ср кр1,2,3 .
jV ( )
ср
U ( )
кр1
(1; j 0)
кр 2
Рис.4.8. Годограф частотной передаточной функции
неустойчивой системы
Если К уменьшать, то годограф сжимается к оси ординат и система также
становится неустойчивой (рис. 4.9). При этом
кр 3 cр ; кр1,2 cр .
Системы, добротность которых ограничена условием устойчивости как
снизу, так и сверху называют условно устойчивыми. Для условно устойчивых
систем число критических частот, меньших чем cр , четно.
jV ( )
ср
кр 3
U ( )
(1; j 0)
Рис.4.9. Годограф неустойчивой системы
56
Рассмотрим логарифмические характеристики систем такого типа
(рис.4.10).
При увеличении К ЛАХ поднимается вверх, при этом каждая из асимптот
перемещается вертикально; критические частоты не изменяются, а частота среза увеличивается. В результате все три значения критических частот оказываются меньше частоты среза и система становится не устойчивой. При уменьшении коэффициента усиления частота среза уменьшается, при этом одно значение критической частоты ( кр 3 ) становится меньше частоты среза и система
станет также не устойчивой.
L( )
, с 1
L
кр 3
180
L
кр1
кр 2
( )
Рис. 4.10. Логарифмические характеристики условно устойчивой системы
57
5. АНАЛИЗ КАЧЕСТВЕННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК СЛЕДЯЩЕЙ
СИСТЕМЫ
5.1.Показатели качества следящей системы
Качество работы следящей системы оценивается следующими показателями качества: точности, запаса устойчивости и быстродействия.
По переходной характеристике могут быть оценены : быстродействие и
перерегулирование, определяющее запас устойчивости.
Перерегулирование определяется как относительная величина максимального отклонения управляемой величины y(t) от установившегося значения в
переходном процессе (рис. 5.1):
%
ymax y уст
100% .
y уст
Рис.5.1. Переходная характеристика
Рекомендуемые значения перерегулирования составляют (10…30) %. Дополнительно к величине перерегулирования иногда задается число колебаний
на длительности переходного процесса (от 1-2 до 3-4). По числу колебаний может быть качественно оценен запас устойчивости.
Быстродействие системы оценивается длительностью переходного процесса. Длительность переходного процесса – интервал времени от момента подачи
на вход системы единичного сигнала, до момента, после которого выполняется
неравенство (5.1).
y(t ) y() ; t t п ;
(5.1)
где (0.01...0.05) y уст .
t п (1..2)
2
ср
;
(5.2)
58
Рис. 5.2. Амплитудно-частотная характеристика замкнутой системы
К частотным показателям качества относятся: запас устойчивости по фазе
и амплитуде и показатель колебательности. Показателем колебательности
называют абсолютный максимум АЧХ замкнутой системы (рис.5.2), отнесенный к ее значению на нулевой частоте. Для систем, содержащих интегрирующие звенья, у которых Н(0) = 1, показателем колебательности является абсолютный максимум АЧХ (рис. 5.2):
M H max ( j ) .
Рекомендуемые значения показателя колебательности - 1,1…1.5.
5.2. Анализ установившейся (динамической) ошибки
Оценка показателей качества следящей системы производится при следующих типовых воздействиях:
(t ) 1t 1(t ) - линейное;
(t ) 2 t 2 1(t ) - квадратичное;
(t ) ( 0 1t ... n t n )1(t ) - полиномиальное.
Линейное воздействие имеет место, в частности, в системе слежения за задержкой при слежении за объектом, перемещающимся с постоянной радиальной скоростью, в системе ФАПЧ при постоянной частотной расстройке входного и опорного сигналов.
Квадратичное – при слежении за объектом, перемещающимся с ускорением, в системе ФАПЧ – при линейно изменяющейся частотной расстройке и т.д.
При проектировании систем возникает необходимость оценки ошибки
слежения в установившемся режиме при полиноминальном входном воздействии, являющемся аппроксимацией реальных воздействий на ограниченном
интервале времени. В зависимости от вида передаточной функции фильтра системы эта ошибка может иметь конечное значение или изменяться с течением
времени.
Если ошибка имеет конечное установившееся значение, для ее оценки используют теорию преобразований Лапласа, в частности, теорему о предельном
значении оригинала:
59
x уст lim s H x ( s ) ( s ) ,
S 0
где (S ) L (t ) ; H x (s ) - передаточная функция от воздействия к ошибке.
Если ошибка изменяется с течением времени, для ее расчета используется
метод разложения ошибки по производным входного воздействия. Рассмотрим
этот метод.
Величина x(t ) может быть определена с помощью интеграла свертки:
t
x(t ) (t )h( )d .
(5.3)
0
Передаточная функция связана с весовой функцией преобразованием
Лапласа:
H x ( S ) h( )e s d .
(5.4)
0
Представим задающее воздействие степенным рядом с ограниченным числом членов:
(t ) (t ) (t ) (t ) ... (1)l (l ) .
1!
2!
l
(5.5)
Подставив формулу (5.5) в (5.3), получим:
t
t
(l ) t
(t ) t 2
l
x(t ) (t ) h( )d (t ) h( )d
h
(
)
d
...
(
1
)
l h( )d . (5.6)
2! 0
1! 0
0
0
Если t t уст ( t уст ─ длительность переходного процесса), то в этом случае
h( ) 0 и можно заменить верхний предел интегралов в (5.6) на бесконечность,
поскольку увеличение предела не изменяет значения интеграла. Тогда (5.6)
можно записать в виде:
1
1
x(t ) C0 (t ) C1 (t ) C2 (t ) ... Cl (l ) (t ) ,
(5.7)
2
l!
где Сk – коэффициенты ошибки:
0
0
0
0
C0 h( )d ; C1 h( )d ; C2 2h( )d ; Cl (1)l l h( )d .
C0 - коэффициент ошибки по положению;
C1 - коэффициент ошибки по скорости;
C2 - коэффициент ошибки по ускорению;
C l - коэффициент ошибки по l-ой производной входного воздействия.
C0 (t ) - ошибка по положению; C1 (t ) - ошибка по скорости;
60
1
C2 (t ) - ошибка по ускорению.
2
Нетрудно видеть, что
Ck
dH (kx) ( s)
ds k
s0
.
5.3. Понятие астатизма системы
С величиной коэффициентов ошибки связано понятие астатизма системы
Порядок астатизма системы определяется индексом первого, отличного от
нуля коэффициента ошибки. Если C0 0 система обладает астатизмом 0-го порядка и называется статической, если C0 0 ; C1 0 ─ система обладает астатизмом 1-го порядка.
C0 0 ; C1 0 ; C 2 0 - система с астатизмом 2-го порядка и т. д.
Астатические системы обладают следующим свойством: если на вход системы с астатизмом k-го порядка подается входное воздействие, описываемое
полиномом k-ой степени, значение ошибки в установившемся режиме постоянно и не равно нулю.
Если порядок астатизма больше степени полинома, установившееся значение ошибки равно нулю ( x уст 0 ). Если порядок астатизма меньше степени
полинома, определяющего задающее воздействие, ошибка изменяется с течением времени и в пределе будет равна бесконечности.
Порядок астатизма определяется числом интегрирующих звеньев в контуре
следящей системы. Следовательно, для уменьшения ошибки необходимо увеличивать количество интегрирующих звеньев. Но это увеличение имеет ограничение, так как с увеличением числа звеньев ухудшается устойчивость системы (каждое интегрирующее звено вносит фазовый сдвиг, равный
). Поэтому
2
для систем, имеющих порядок астатизма выше второго, для обеспечения
устойчивости необходимо использовать специальные методы коррекции.
Порядок астатизма также зависит от точки приложения воздействия (рис. 5.3).
Рис. 5.3. К определению порядка астатизма системы
Если астатизм определяется по отношению к воздействию (t ) , то его порядок определяется суммой интегрирующих звеньев в W1 (s)и W2 (s).
61
Относительно 1 (t ) порядок астатизма определяется числом интегрирующих звеньев в W1 (s) и не зависит от их числа в W2 (s). Соответствующие передаточные функции, связывающие задающее воздействие и ошибку слежения,
определяются выражениями
W2 ( s)
1
; H x
.
H 1 x
1 W1 ( s)W2 ( s)
1 W1 ( s)W2 ( s)
Таким образом, порядок астатизма системы определяется числом интегрирующих звеньев, включенных в цепь обратной связи между точкой приложения
воздействия и точкой измерения ошибки слежения.
5.4. Методы вычисления коэффициентов ошибки
Представим передаточную функцию H x ( p ) в виде
b p n bn 1 p n 1 ... b0
.
H x ( p) n
n
n 1
an p an 1 p
... a0
В разложении ошибки по производным входного воздействия
(t )
(t )
(l ) (t )
x(t ) C0 (t ) C1 (t ) C2
C3
... Cl
2!
3!
l!
заменим операцию дифференцирования символом р , т.е.
формально общий множитель (t ) за скобки:
(5.8);
d
= p и вынесем
dt
p2
p3
p (l )
(5.9);
x(t ) (C0 C1 p C2
C3
... Cl
) (t )
2!
3!
l!
С другой стороны x(t ) можно определить дифференциальным уравнением,
записанным в сокращенной форме:
x(t ) H x ( p) (t ) .
(5.10)
Подставив (5.8) в (5.10), приравняем выражения (5.9) и (5.10)
p2
p3
p (l )
(C0 C1 p C2
C3
... Cl
) (an p n an 1 p n 1 ... a0 )
(5.11)
2!
3!
l!
bn p n bn 1 p n 1 ... b0 .
Приравняв слагаемые, имеющие одинаковые степени р в правой и левой
частях (5.11), получим:
b
C0 a0 b0 ; C0 0 ;
a0
b C0 a1
C0 a1 C1a0 b1 ; C1 1
a0
2!
1
C0 a2 C1a1 C2 a0 b2 ; C2 (b2 C1a1 C0 a2 ) .
2!
a0
62
На основании полученных выражений можно записать формулу для расчета коэффициентов ошибки:
k
C
k!
(5.12)
Ck
bk ai k i .
a0
(
k
i
)!
i 1
Коэффициенты ошибки могут быть также вычислены по формулам, составленным из коэффициентов полиномов числителя и знаменателя передаточной функции разомкнутой системы:
k d m p m d m 1 p m 1 ... d1 p1 d 0
W p ( p)
,
(5.13)
p v bn p n bn 1 p n 1 ... b1 p1 b0
где k – добротность системы ; v – порядок астатизма.
Приведенные в табл. 5.1 формулы получены по вышеизложенной методике
подстановкой в выражение
1
H x ( s)
;
1 W p ( s)
передаточной функции разомкнутой системы в виде (5.13).
5.5. Динамические ошибки в следящих системах с астатизмом различного
порядка
Для анализа используем обобщенную структурную схему (рис. 5.4).
Рис. 5.4. Обобщенная структурная схема следящей системы
В качестве фильтров используем пропорционально-интегрирующий
фильтр (рис. 5.5) с последовательно включенным интегратором:
k (1 pT1 )
W ( p) u
(5.14)
p(1 pT2 )
и фильтр с двумя интеграторами, обеспечивающий системе астатизм второго порядка:
k (1 pT1 )
W ( p) u
.
(5.15)
2
p
63
Рис. 5.5. Схема пропорционально-интегрирующего фильтра
( (T1 R1 C ; T2 ( R1 R2 )C )
Таблица. 5.1
Значения коэффициенов ошибки
V
0
1
Расчетные формулы
Ci
C0
1
1 k
C1
b d
k 1 1
(1 k ) 2
C2
b d2
b (d b )
d (d b )
2 k 2
k 1 1 1 k2 1 1 1
2
(1 k )3
(1 k )3
(1 k )
C1
0
C2
1
k
C3
b d1 1
2 1
k2
k
C0
0
C1
0
C2
2
k
2
64
Это достаточно распространенный тип фильтра (на ВЧ – делитель, на НЧ –
интегрирующая цепь); звено обеспечивает запаздывание по фазе.
Второй фильтр – соединенные последовательно форсирующее звено и два
интегратора.
Пусть задающее воздействие определяется выражением
(t ) 1t ,
а в качестве фильтра используем фильтр с передаточной функцией (5.14).
Величину установившейся ошибки определим по теореме о предельном
значении оригинала
x уст lim H x ( s ) ( s ) s.
S 0
H x ( p )
1
;
k u S д (1 pT1 )
1
p (1 pT2 )
H x ( s)
( s)
1
s2
s(1 sT2 )
s s 2T2 ku S д (1 sT1 )
;
(5.16)
─ изображение входного воздействия определяем по таблицам.
Обозначим S д ku K v (добротность по скорости).
s( s s 2T2 )
x уст lim
1 1.
s 0 s 2T2 s (1 K vT1 ) K v s 2 K v
Таким образом, динамическая ошибка прямо пропорциональна скорости
1 изменения задающего воздействия и обратно пропорциональна коэффициенту усиления разомкнутой системы.
Для ФАПЧ 1 ─ значение расстройки номинальной частоты генератора и
входного сигнала, следовательно,
уст
..
k
Для нахождения x уст можно использовать и другие методы.
Известно, что
C
x уст С0 С1 (t ) 2 (t ) .
2!
В системе с астатизмом первого порядка C0 0 ; (t ) 1t ; (t ) 0 .
Следовательно,
x уст (t ) C1 (t ) .
C1 можно определить, используя передаточную функцию замкнутой си-
стемы H x (s ) (5.16):
65
b
1
.
C1 1
a0 K v
1
x уст
(t ) 1
Следовательно,
Kv
Kv
Используя передаточную функцию разомкнутой системы, C1 можно также
определить по табл. 5.1.
С фильтром (5.15) система является астатической с астатизмом 2-го порядка и при линейном воздействии (t ) 1t установившаяся ошибка равна нулю.
Пусть (t ) 2t 2 .
Определим величину установившейся ошибки, используя ее разложение по
производным входного воздействия:
C
C
x уст С 0 С1 (t ) 2 (t ) 3 (t ) ... ;
2!
3!
Поскольку C0 C1 0 ; (t ) (4) (t ) ... 0 ,
1
x уст C 2 (t ) .
2!
2
по табл. 4.1 определяем C2
и вычисляем (t ) 2 2
K
Таким образом,
1
,
x уст 2 2
Ка
где K a S д ku 2 .
66
6. АНАЛИЗ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЛИНЕЙНЫХ
СИСТЕМАХ РАДИОЭЛЕКТРОННЫХ СЛЕДЯЩИХ СИСТЕМАХ
6.1.Определение статистических характеристик случайных процессов в
линейных системах
Задающее воздействие (t ) и внутренние возмущения (флуктуации частоты, фазы, задержки) являются случайными процессами с нормальным законом
распределения, который не изменяется при прохождении процессов через линейные цепи. Флюктуационная составляющая напряжения на выходе дискриминатора (t) также процесс случайный, и хотя не всегда имеет нормальный
закон распределения, но при прохождении через последующие узкополосные
линейные цепи нормализуется.
Случайный процесс с нормальным законом распределения определяется
математическим ожиданием и корреляционной функцией. Методы определения
математического ожидания рассмотрены в предыдущем разделе. Рассмотрим
методы определения корреляционной функции и связанной с ней дисперсией
случайных процессов.
Спектральная плотность процесса на выходе и входе линейной системы
связаны зависимостью
2
S v ( ) H ( j ) Su ( ) ,
где H ( j ) - частотная передаточная функция системы;
Su ( ) - спектральная плотность процесса на входе.
Преобразовав по Фурье правую и левую часть можно определить корреляционную функцию:
1
2
R( )
Su ( ) H ( j ) e j d .
2
Дисперсия случайного процесса на выходе линейной системы:
1
v2 R(0)
2
Su ( ) H ( j ) d
2
или:
1
v2
(6.1)
(6.2)
S v ( )d ,
2
где Sv(w) –двусторонняя спектральная плотность процесса на выходе системы.
При использовании односторонней спектральной плотности N(f) выражение (6.2) может быть записано в виде:
67
v2
где N ( f ) 2 S v ( ) ; 2f .
N ( f )df ,
6.2.Расчет дисперсии случайного процесса с помощью стандартных интегралов
Для упрощения вычисления интеграла (6.1) его приводят к стандартному
виду:
2
G n ( j )
1
1
S
(
)
H
(
j
)
d
d
In ,
u
2
2 H n ( j ) H n ( j )
где Gn ( j ) b0 ( j ) 2n2 b1 ( j ) 2n4 ... bn1 ─ полином четной степени
частоты ;
H n ( j ) a0 ( j ) n a1 ( j ) n 1 ... an - полином, корни которого принадлежат верхней полуплоскости комплексной переменной ;n – степень
полинома H n ( j ) .
Вычисление производят по формулам:
a 2 b0 a 0 b1 a 0 a1b2 / a 2
b0 2a 0 b1 / a 2
b0
I1
; I2
; I3
.
2a0 a1
2a 0 a1
2a 0 ( a 0 a3 a1a 2 )
При n>3 формулы для расчетов можно найти в справочнике.
Условие применения стандартных интегралов: полином под интегралом
должен быть дробно-рациональной функцией переменной и система должна
быть устойчивой.
Рассмотрим пример расчета дисперсии ошибки слежения в системе, представленной структурной схемой (рис. 6.1).
Рис. 6.1. К примеру расчета дисперсии ошибки слежения
Исходные данные:
(t ) ─ флюктуационная составляющая, определяемая спектральной плотностью S ( ) S (0) const .
Рассчитаем дисперсию ошибки слежения по формуле дисперсию по формуле:
68
1
v2
2
S (0) H X ( j ) d .
2
Передаточная функция от воздействия к ошибке
k (1 sT 1)
u
ku (1 sT 1)
s(1 sT 1)
;
H x ( j )
S д ku (1 sT 1) s s 2T 2 sT S k
1 g u
1
s(1 sT 1)
ku (1 jT1 )
; K v Sд k u .
Hx ( j )
2
( j ) T2 (1 K vT1 ) j K v
Выполним расчет:
X2 S (0)k u2 I 2 ;
1 ( j ) 2 T12 d
1
I2
;
2
2
( j ) 2 T2 (1 K v T1 ) j K v
G2 ( j ) 1 ( j ) 2 T12 ; H 2 ( j ) ( j ) 2 T2 (1 K vT1 ) j K v ;
b0 T12 ;
b1 1 ; a0 T2 ; a1 1 K vT1 ; a 2 K v ;
2
2
2 T1 T2 / K v
.
x S (0) ku
2T2 (1 K vT1 )
(6.3)
Приведем S (0) ко входу дискриминатора и упростим выражение (6.3)
2
2 S (0) K v 1 K vT2l
x
,
S g2 2 1 K vT2l
где l
T1
;
T2
S ( 0)
S g2
(6.4)
- спектр приведенного ко входу дискриминатора случайного
процесса.
Таким образом, дисперсия ошибки слежения пропорциональна коэффициенту усиления разомкнутого контура следящей системы и спектральной плотности флюктуационной составляющей.
Если вместо пропорционально-интегрирующего фильтра использовать интегратор, то: T1 T2 0 , и
S (0) K v
;
x2
2
2
Sg
Если на вход инерционного звена с передаточной функцией
1
W ( p)
1 pT
69
подать шум со спектральной плотностью S (0) , то дисперсия на выходе будет равна
S ( 0)
;
x2
2T
Таким образом шум вызывает одинаковый эффект на выходе инерционной
цепи и в следящих системах, содержащих одно интегрирующее звено с добротностью, обратной постоянной времени K v
1
.
T
Если следящая система содержит в качестве фильтра последовательное соединение инерционного звена и интегратора, то в этом случае
S (0) K v
T2 0 ;
T1 0 ;
.
l 0;
x2
2
2
Sg
Следовательно, постоянная времени инерционного звена не влияет на величину флюктуационной ошибки (дисперсию). Это объясняется тем, что при
увеличении T2 инерционного звена сужается полоса системы, но одновременно
увеличивается максимум АЧХ, а площади под кривыми не изменяются
(рис.6.2).
Рис. 6.2. Зависимость АЧХ от постоянной времени инерционного звена
Используя (6.4) можно оптимизировать параметры системы, в частности l
по критерию минимума флюктуационной ошибки. С этой целью продифференцируем (6.4) по l и приравняем производную нулю.
d x2 2 K vT2 l (1 K vT2 l ) K vT2 (1 K vT2 l ) 2
0;
dl
(1 K vT2 l ) 2
2 K vT2 l 2( K vT2 l ) 2 K vT2 ( K vT2 l ) 2 0 ;
( K vT2 l ) 2 (2l 1) K vT2 0 ;
2
K v T2 l onm
2l onm 1 0 ;
при K vT2 1 : lonm
lonm
2 4 4 K vT2
2 K vT2
1 1 K vT2
K vT2
;
T
1
T2
1
; 1
;
T1onm
Kv
K vT2
K vT2 T2 onm
70
Подставив lonm в (6.4), получим
X2
где
S (0) K v
,
T2
S g2
Kv
- собственная частота следящей системы.
T2
Если задающее воздействие представлено спектральной плотностью неточность его воспроизведения также оценивается дисперсией. Рассмотрим
пример (рис. 6.3).
Рис. 6.3
Пусть (t ) 0 ;
S ( )
2
,
2 2
2
где ─ дисперсия задающего воздействия;
- параметр, определяющий ширину спектра.
Определим величину дисперсии ошибки слежения x2 , обусловленную неточностью воспроизведения задающего воздействия.
1
x2
2
S ( ) H x ( j ) d ;
2
1
j
,
H x
S д ku
j K v
1
j
k и - коэффициент передачи интегратора;
где K v S д ku ;
S д - крутизна дискриминационной характеристики.
1
x2
2
1
S ( ) H x ( j ) d ;
2
2
2
X
2 X2 j
(
2
2
2 ) j K v
2
d ;
приведем выражение к стандартному виду:
Gn ( j ) 2 2 ( j ) 2 ;
H n (jw)=( +jw)(Kv+jw)=(jw)2 +( +Kv)jw+ Kv;
b0 2 2 ;
a0 1 ;
a1 K v ;
b1 0 ;
a2 K v ; n 2 ;
71
I2
b0 2a 0 b1 / a 2
2 2
; x2
2 ( K v ) ;
2a 0 a1
( K v )2
При увеличении K v
x2 увеличивается.
x2 уменьшается, в то время как в первом примере
6.3.Эквивалентная шумовая полоса следящих систем
Под эквивалентной шумовой полосой следящей системы понимают полосу
пропускания эквивалентной системы, имеющей прямоугольную АЧХ, одинаковое с исходной системой ее значение на нулевой частоте и одинаковую дисперсию на выходе при воздействии на входы систем белого шума (рис. 6.4).
Рис.6.4. АЧХ исходной и эквивалентной систем
Чтобы определить полосу пропускания Fэ используем условие равенства
дисперсий:
1
2
H (0) S (0) 2Fэ
S (0) H ( j ) d .
2
2
Отсюда
Fэ
1
2
2
H ( j ) d .
2 H (0)
Использование значения эквивалентной шумовой полосы позволяет упростить вычисление дисперсии:
x2 S (0) H (0) 2 2Fэ ; S (0) S ( ) 0 .
2
Если H (0) 1 , то x2 S (0)2Fэ , или x2 N (0)Fэ ,
где N (0) 2S (0) ─ односторонняя спектральная плотность.
Формулы для расчета эквивалентной шумовой полосы систем приведены в
табл. 6.1
72
Таблица 6.1
Формулы для расчета эквивалентной шумовой полосы
Fэ
W р ( p)
k
p
k
4
k
1 pT
k2
4T (1 k )
k
4(T1 T2 kT1T2 )
k
p (1 pT1 )(1 pT2 )
k (1 pT1 )
p (1 pT2 )
k (1 pT1 )
p2
k (T2 T12 k )
4T (1 kT1 )
1 kT12
4T1
6.4.Оптимизация параметров следящих систем
Для решения задачи оптимизации необходимо определить структуру системы, предъявляемые требования и ограничения, накладываемые на систему,
описать воздействия и возмущения , выбрать критерий оптимизации и метод.
Оптимизируем параметры kи2 и T1 в системе (рис. 6.5), в которой задающее
воздействие λ(t) – детерминированная функция, а возмущение ─ случайный
процесс ξ(t).
В качестве критерия оптимизации используем критерий минимума среднего квадрата ошибки:
x 2 mx2 x2 min ;
где m x2 - квадрат математического ожидания ошибки слежения.
(6.5)
Рис.6.5. Структурная схема оптимизируемой системы
Исходные данные:
(t ) 2t 2 1(t ) ; S ( ) S (0) const .
Необходимо определить kи 2 опт и Т1 опт по критерию (6.5).
73
Величина математического ожидания (динамической ошибки) определяется выражением
2 2
.
mx
S д ku 2
Величина дисперсии ошибки:
2
2 S (0) 1 S д ku 2T1
x
.
2
2
T
Sд
1
2
S (0) 1 S д ku 2T12
2 2
.
(6.6)
x
2T1
S д2
Sд ku 2
Для определения оптимальных значений параметров воспользуемся методом дифференцирования:
d x 2 S (0) 2T1S д ku 2 1 S д ku 2T12
0.
dT1
S д2
T2
2
1
Из этого уравнения определяем
T1onm
1
S д ku 2 onm
.
(6.7)
Подставив в исходное уравнение (6.6) вместо T1 его оптимальное значение (6.7) и продифференцировав по переменной kи2 , найдем ее оптимальное
значение
ku 2 onm 5
256 24
2
.
S д S (0)
Пусть задающее воздействие является случайным процессом с нулевым
математическим ожиданием и спектральной плотностью
S ( )
2 2
2 2
Флюктуационная составляющая характеризуется спектральной плотностью
S ( ) S (0) const .
В качестве фильтра используется идеальный интегратор:
k
Wф ( p) u .
p
Найдем оптимальное значение коэффициента передачи интегратора
kи 2 опт по критерию минимума суммарной ошибки слежения:
74
x21 x22 min ,
где x21─ величина дисперсии ошибки, обусловленная неточным воспроизведением входного воздействия; x22 ─ величина дисперсии ошибки
обусловленная воздействием флюктуационной составляющей.
x2
2
x1
;
Kv
S
(
0
)
k
u
x22
.
S д 2
x21 x22
S (0)ku 2
x2
min
.
Kv
Sg 2
(6.8)
Продифференцируем (6.8) по kи 2 опт и приравняем производную нулю. В
результате получим
2 x2
ku 2 onm
..
S (0) S д
6.5. Память следящих систем
Радиотехнические системы работают в условиях многолучевого распространения радиоволн, поэтому при приеме сигнала наблюдается эффект замирания сигнала. Попадание на вход приемника мощной широкополосной помехи
приводит к смещению рабочей точки характеристики активного элемента на
нелинейный участок характеристики и в результате – к подавлению полезного
сигнала мощной помехой. Сигнал на входе следящей системы пропадает, что
эквивалентно размыканию контура. На структурной схеме (рис. 6.6) это явление можно отобразить введением двух ключей Кл1 и Кл2. Пропадание сигнала
приводит к размыканию ключа Кл1 и переводу ключа Кл2 в положение 2, поскольку меняется характер флюктуаций.
Рис. 6.6. Структурная схема следящей системы с учетом пропадания полезного сигнала на входе
75
Если в режиме слежения закон распределения ошибки нормальный с нулевым математическим ожиданием (рис. 5.7) и в момент времени t 0 следящая
система разомкнулась, то через время t1 , характер распределения ошибки слежения изменится: увеличится математическое ожидание и дисперсия. Если в
момент t1 значение ошибки не выходит за пределы апертуры дискриминационной характеристики (рис. 5.8), то появление сигнала приведет к восстановлению режима слежения. Если же x xг , то происходит срыв слежения.
Вероятность того, что через t1 после пропадания сигнала ошибка слежения
не превышает x г определяет память следящей системы:
P (t1 )
xг
W ( x t1 )dx .
xг
Рис.6.7. Распределение плотности вероятности ошибки слежения
Рис. 6.8. Дискриминационная характеристика
Рассмотрим пример.
Пусть следящая система имеет два интегратора (рис. 6.9).
Рис. 6.9. Структурная схема системы
76
Задающее воздействие определяется линейной зависимостью
(t ) 1t 1(t ) ;
Поскольку система является астатической с астатизмом второго порядка
установившееся значение ошибки равно нулю, т.е.
x ycm 0 .
Следовательно,
y (t ) (t ) ; U1 (t ) 0 , а
U 2 (t )
1 dy 1
,
k 2 dt k 2
т.е. напряжение на входе второго интегратора пропорционально скорости
изменения задающего воздействия 1 .
Таким образом, система отслеживает скорость изменения входного процесса не по рассогласованию а по памяти. При пропадании сигнала на вход система будет отслеживать его изменение, если скорость не изменятся. При восстановлении сигнала ошибка будет минимальной, или равной нулю (в реальной
ситуации срыв может произойти в результате флюктуаций управляемой величины под воздействием помех).
Память следящих систем определяется числом интегрирующих звеньев.
Одно звено обеспечивает память по положению, два – по скорости, три – по
ускорению.
Таким образом, система с астатизмом n –го порядка обладает памятью по
n-1 производной задающего воздействия.
77
7. ПРОЕКТИРОВАНИЕ СИСТЕМ РАДИОАВТОМАТИКИ
7.1. Постановка задачи
Задачей проектирования является определение структуры, методов реализации, технических параметров и характеристик на основе заданных требований с учетом назначения и условий функционирования системы.
Существуют различные подходы к проектированию. Если известны характеристики задающего и возмущающего воздействий (корреляционная функция
или спектральная плотность), то задачей проектирования является определение
структуры системы, при которой минимален средний квадрат ошибки.
В качестве математического аппарата используются интегральные уравнения Винера-Хопфа и уравнения Калмана.
Эта теория носит название оптимальной линейной фильтрации.
В иной постановке задачей синтеза может быть обеспечение минимума
функционала качества:
T
I [U x (t ) UU (t )]dt min ,
0
где U x (t ) x 2 (t ) 1[ x(t )]2 ... n [ x (n) (t )]2 ─ квадратичная форма относительно сигнала ошибки x(t ) ;
UU (t ) U 2 (t ) q1[U (t )] 2 ... q n [U (n) (t )] 2 ─ квадратичная форма относительно сигнала управления; Т – время работы системы; { };{q} - коэффициенты.
Задача синтеза: выбрать и технически реализовать сигнал управления, который обеспечивает перевод системы из начального состояния в конечное и
минимизирует функционал качества.
Для решения этой задачи используются методы вариационного исчисления, метод динамического программирования. Вследствие своей сложности математический аппарат мало пригоден для решения инженерных задач проектирования. Этот аппарат используется в основном в научных целях с целью
определения потенциально возможных характеристик системы.
Синтез систем из условия обеспечения показателей качества называют динамическим синтезом.
При проектировании системы целесообразно получать более простую реализацию. Для оптимизации по этому критерию может быть использован функционал сложности
2
1 2
I
W p ( j ) d min ,
2
где – порядок астатизма; W p ( j ) - частотная передаточная функция.
78
При проектировании системы кроме названных характеристик учитываются требования надежности, габаритов, веса, стабильности характеристик в
условиях изменения температуры, влажности, давления и т.д.
7.2. Определение желаемой ПФ разомкнутой системы
При динамическом синтезе по известным характеристикам управляющих
и возмущающих воздействий задаются в виде системы неравенств показатели
качества: допустимые величины составляющих ошибки, полоса пропускания,
колебательность.
Первым этапом решения задачи синтеза является определение желаемой
передаточной функции.
Типовые передаточные функции разомкнутой системы имеют вид:
При нулевом порядке астатизма
K
;
(7.1)
W pж1 ( p)
n
(1 pT1 )(1 pT3 ) (1 pTi )
i4
K (1 pT2 )
W pж 2 ( p)
;
n
(7.2)
(1 pT1 ) 2 (1 pT3 ) (1 pTi )
i4
Множители (1 pTi ) в передаточных функциях (7.1) и (7.2) (1 pTi ) характеризуют звенья с малыми постоянными времени.
Системы с первым порядком астатизма
K (1 pT2 )
W pж1 ( p)
;
n
p(1 pT1 )(1 pT3 ) (1 pTi )
i4
K (1 pT2 ) 2
.
W pж 2 ( p)
n
p(1 pT1 ) 2 (1 pT3 ) (1 pTi )
i 4
Системы со вторым порядком астатизма
W pж ( p)
K (1 pT2 ) 2
n
.
p 2 (1 pT3 ) (1 pTi )
i4
Типичная ЛАЧХ, соответствующая желаемым передаточным функциям, изображена на рис. 7.1. На характеристике различают три диапазона частот:
(1) – диапазон НЧ;
(2) – диапазон СЧ;
79
(3) – диапазон ВЧ.
Параметры ЛАЧХ:
- в диапазоне НЧ характеризуют точность системы;
- в диапазоне СЧ ─ устойчивость системы и запас устойчивости по фазе,
полосу пропускания, показатели качества переходного процесса;
- в диапазоне ВЧ ─ запас устойчивости.
После определения вида желаемой передаточной функции необходимо
определить ее параметры K и постоянные времени Ti .
Рассмотрим метод определения параметров желаемой ПФ на примере системы с астатизмом первого порядка, имеющей передаточную функцию следующего вида:
K (1 pT2 )
.
W p ( p)
n
p(1 pT1 )(1 pT3 ) (1 pTi )
i4
Если заданы ошибки по положению, скорости и ускорению, можно определить коэффициенты:
C 0 0 ; C1
C2
2 x yck
(t )
xck
- скоростная ошибка;
(t )
- ошибка по ускорению;
1
─ коэффициент усиления разомкнутой системы.
C1
Определим T1 ; T2 ; T3 . Для этого используется ЛАЧХ разомкнутой системы
(рис. 7.1).
Определим связь между 1 , 2 , cp и K .
K
L(ω)
ω1
ωcp
ω2
ω,c-1
ω3
Рис.7.1. ЛАЧХ разомкнутой системы
80
Определим T1 ; T2 ; T3 . Для этого используется ЛАЧХ разомкнутой системы,
определим связь между 1 , 2 , cp и K .
Составим уравнение для третьей асимптоты
K
L ( ) 20 lg
20 lg
20 lg
.
1
2
Величина усиления на частоте среза cp равна
L ( ср ) 20 lg
K
ср
20 lg
ср
20 lg
1
ср
2
0 .
(7.3)
Из (7.3 ) следует,что
T
KT
2 1 ; T1 2 .
cp 1 T2
cp
Постоянные времени T1 и T2 определяются из выражения для коэффициента ошибки по ускорению:
n
Т1 Т 2 Т i Т 2
2 Т1 Т 2 .
i 4
(7.4)
С2 2
К
К
Из (7.3) и (7.4) находим
K
T2
KC2cp
2( K cp )
; Т1
КТ 2
ср
.
Запас устойчивости по фазе определяется исходя из заданного значения колебательности М:
1
arcsin .
M
Частота cp определяется исходя из заданного значения полосы пропускания
п
cp
п
2 cos
;
T3 определяется с помощью выражения:
2
arctgcpT1 arctgcpT2 arctgcpT3
n
arctgcpTi ;
i 4
81
Аналогично определяются параметры и других желаемых передаточных
функций.
7.3. Методы коррекции передаточных функций
Коррекция систем осуществляется с целью обеспечения необходимого запаса устойчивости и параметров переходных процессов, а также полосы пропускания системы.
Коррекция ПФ осуществляется путем включения корректирующих звеньев. В принципе обеспечение необходимого запаса устойчивости может быть
получено уменьшением K , при этом частота среза разомкнутой системы
cp уменьшается, а kp не изменяется. Но в этом случае ухудшается точность
и это не всегда приемлемо.
Корректирующие звенья необходимы в случае, если система имеет астатизм второго или более высокого порядка, так как два интегрирующих звена
производят сдвиг фазы на 180ºи система является структурно неустойчивой.
Коррекция систем производится в цепях переменного и постоянного тока
включением корректирующих звеньев, в качестве которых используются RC –
цепи, тахогенераторы и трансформаторы.
Различают последовательное и параллельное включение корректирующих
звеньев.
Последовательное включение производится последовательно с корректируемыми звеньями, параллельное – в цепь обратной связи, охватывающей всю
систему или часть звеньев.
По типу используемой обратной связи различают системы с жесткой обратной связью и с гибкой обратной связью.
При жесткой обратной связи на вход корректирующего звена подается выходная величина; при этом ПФ обратной связи
Woc ( p) 0 .
При гибкой обратной связи на вход подается производная выходной величины
p v (1 pT1 )(1 pT2 )...
.
Woc ( p)
(1 pTa )(1 pTb )...
Передаточная функция системы, включающей последовательные корректирующие звенья
Wж ( p) Wп ( p)W ( p) .
(7.5)
Передаточная функция системы с параллельными корректирующими звеньями
Wохв ( p)
Wж ( p) W1 ( p)
.
(7.6)
1 Wохв ( p)Wос ( p)
Чтобы определить связь между последовательными и параллельными корректирующими звеньями, надо приравнять передаточные функции (7.5) и (7.6)
систем. Учитывая, что
82
W1 ( p ) Wохв ( p) W ( p ) ,
в результате получим:
Wп ( p)W ( p)
Wп ( p)
Wос ( p )
W ( p)
;
1 W ( p)Wос ( p)
1
;
1 W ( p)Wос ( p)
1 Wп ( p )
1 1
1 .
Wп ( p )W ( p ) W ( p ) Wп ( p )
(7.7)
(7.8)
На основании уравнений (7.7) и (7.8) можно сделать следующие выводы.
1. Последовательные и параллельные корректирующие звенья оказывают
качественно противоположное воздействие на ПФ корректируемого звена;
2. Тип ПФ параллельного корректирующего звена, эквивалентного по воздействию последовательному звену, зависит от ПФ охватываемого звена;
3. Параллельное корректирующее звено уменьшает ошибки, связанные с
нестабильностью параметров охватываемых звеньев, тогда как нестабильность
последовательного корректирующего звена полностью входит в нестабильность системы. С этой точки зрения использование параллельных корректирующих звеньев предпочтительнее.
7.4. Типы параллельных и последовательных корректирующих звеньев
Наиболее широко распространены корректирующие звенья в виде RCцепей.
В качестве последовательных корректирующих звеньев используется звено
с опережением по фазе (рис. 7.2) звено с отставанием по фазе (рис. 7.4) и интегро-дифференцирующее звено (рис. 7.6), обеспечивающее опережение по фазе
в одном диапазоне частот и отставание – в другом.
Рис.7.2. Схема звена с опережением по фазе
Характеристики звена с опережением по фазе:
1 pT
R2
;
; T R1 C1;
W ( p)
R1 R 2
1 pT
83
W ( p)
1 (T1 ) 2
1 ( T )
2
; ( ) arctgT arctgT ;
L( ) 20 lg 20 lg 1 (T ) 2 20 lg 1 (T ) 2 ;
Логарифмические АЧХ и ФЧХ изображены на рис. 7.3.
Рис.7.3. Логарифмические характеристики звена с опережением по фазе
Звено используется для расширения полосы пропускания следящей системы. Максимальный фазовый сдвиг
1
max arcsin
1
на частоте
1
.
T
Звено с отставанием по фазе (пропорционально-интегрирующее звено):
Рис. 7.4. Схема звена с отставанием по фазе
Характеристики звена:
1 pT
R2
;
;
W ( p)
R1 R 2
1 pT
T R2 C R1 C ; A( )
1 ( T ) 2
1 (T )
2
;
84
( ) arctgT arctgT ; L( ) 20 lg 1 (T ) 2 20 lg 1 (T ) 2
Логарифмические характеристики звена приведены на рис. 7.5.
Звено обеспечивает отрицательный фазовый сдвиг на всех частотах, кроме
0 и . Максимальный фазовый сдвиг равен
1
max arcsin
1
на частоте
1
.
T
Рис. 7.5. Логарифмические характеристики звена с отставанием по фазе
Комбинированное (интегро-дифференцирующее) звено:
Рис.7.6. Схема и логарифмические характеристики комбинированного звена
Передаточная функция звена:
W ( p)
(1 pT2 )(1 pT3 )
,
(1 pT1 )(1 pT4 )
где T1 T2 T3 T4 ; T1 R1 C1 ( R1 R 2)C 2 ; T2 R2 C2 ; T3 R1 C1 ;
85
T4
R1 C1 R 2
.
R1 R 2
Рассмотрим влияние жесткой и гибкой обратных связей на параметры
охватываемых звеньев.
Охватим жесткой обратной связью апериодическое звено (рис.7.7).
Рис. 7.7. Схема апериодического звена, охваченного жесткой обратной
связью
Определим передаточную функцию звена:
k1
k1
k1
1
1 pT
W3 ( p)
; W3
; W3 ( p)
.
0 k1
1 pT 0 k1
1 0 k1 1 p T
1
1 0 k1
1 pT
(7.8)
Как следует из (7.8), характер звена не изменился, но коэффициент усиления уменьшился в 1 0 k раз, и во столько же раз уменьшилась постоянная времени. Такой же эффект имеет место, если последовательно с апериодическим
звеном включить звено, обеспечивающее опережение по фазе (рис.7.8).
Рис.7.8. Эквивалентная схема с последовательно включенных звеном с
опережением по фазе
Здесь
1
1 0 k1
.
Охватим жесткой обратной связью идеальное интегрирующее звено (рис.
7.9).
86
Рис.7.9. Схема идеального интегрирующего звена, охваченного
жесткой обратной связью
k1
W3 ( p )
где T
k1 0
k1
k1 / j
; W3 ( j )
; W3 ( j )
,
k1 0
j k1 0
T
1
1 j
j
0
(7.9)
1
.
k1
Эквивалентная схема с последовательно включенным инерционным дифференцирующим звеном, обеспечивающим расширение полосы и опережение
по фазе, приведена на рис. 7.10.
Рис. 7.10. Эквивалентная схема с последовательно включенным инерционным дифференцирующим звеном
Здесь T
1
k1 0
.
Эти два примера показывают, что использование жесткой обратной связи
приводит к расширению полосы пропускания следящей системы и одновременному снижению коэффициента усиления системы, что является недостатком жесткой обратной связи.
При гибкой обратной связи на вход охватываемого звена подается производная входного воздействия. В качестве звеньев в цепях обратной связи используются тахогенераторы, RC – цепи, трансформаторы.
Охватим электродвигатель гибкой обратной связью (рис. 7.11).
В цепь обратной связи включен тахогенератор (идеальное дифференцирующее звено). Передаточная функция тахогенератора W(jw) = kтг(jw).
Рис. 7.11. Схема электродвигателя, охваченного гибкой обратной связью
Частотная передаточная функция:
87
kдв
j (1 jTэм )
W3 ( j )
;
j kдв k
1
j (1 jTэм )
kдв
kдв
1
.
W3 ( j )
j (1 jTэм kдв k ) (1 kдв k ) j (1 j Тэм
(1 kдв k )
Следовательно, при охвате электродвигателя гибкой обратной связью
уменьшается коэффициент усиления kдв и электромеханическая постоянная
Т эм в (1 k дв k ) раз. Такой же эффект имеет место при охвате инерционного
звена жесткой обратной связью.
Охватим гибкой обратной связью безынерционное звено (рис. 7.12)
В цепи ОС включено инерционное дифференцирующее звено.
Рис. 7.12. Схема безынерционного звена, охваченного обратной связью
Определим передаточную функцию:
k (1 jToc )
k1
W ( j )
1
,
k1 jToc
1 jToc (1 k1 )
1
1 jToc
Такое включение эквивалентно последовательному включению с апериодическим звеном, звена обеспечивающего запаздывание по фазе (рис.7.13).
Здесь
T Toc ;
1
;
1 k1
Рис.7.13. Эквивалентная схема с последовательно включенным звеном с
отставанием по фазе
88
Включение инерционного дифференцирующего звена последовательно
обеспечивает расширение полосы. Включение этого же звена в цепь обратной
связи проводит к качественно противоположному эффекту.
Охватим безынерционное звено обратной связью, посредством апериодического звена первого порядка (рис. 7.14)
Рис.7.15. Схема безынерционного звена, охваченного обратной связью
W ( j )
k (1 jToc )
k1
1
;
k1
1 jToc k
1
1 jToc
k1 (1 jToc )
.
Toc
(1 k )(1 j
)
1 k
Эквивалентная схема с последовательно включенным корректирующим
звеном приведена на рис. 7.16.
Здесь
W ( j )
T Toc ;
1
;
1 k1
Рис.7.16. Эквивалентная схема с последовательно включенным корректирующим звеном
Апериодическое звено первого порядка, включенное последовательно
обеспечивает сужение полосы и дополнительное запаздывание фазы. Это же
звено, включенное в цепь ОС, обеспечивает расширение полосы и положительный сдвиг фазы.
89
8. НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ РАДИОАВТОМАТИКИ
8.1. Методы исследования нелинейных систем
К нелинейным относят системы, описываемые нелинейными дифференциальными уравнениями.
Система является нелинейной вследствие наличия в ее составе звеньев,
описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями, или имеющих
нелинейную статическую характеристику (например, дискриминационную).
Нелинейный режим работы имеет место в системе при выходе ошибки
слежения за пределы линейного участка (переходной режим, срыв слежения,
большой уровень помех и т.д.).
Методы анализа нелинейных систем:
Метод кусочно-линейной аппроксимации. Нелинейная характеристика
разбивается на ряд линейных участков, в пределах каждого из которых система
описывается линейным дифференциальным уравнением. Далее на каждом из
этих участков система исследуется линейными методами; находятся решения,
описывающие работу системы, которые затем «сшиваются». Метод удобен при
небольшом числе участков разбиения. Недостаток метода в громоздкости вычислений при увеличении количества участков.
Метод гармонической линеаризации. Нелинейный элемент (НЭ) заменяется его линейным эквивалентом. Критерий эквивалентности состоит в равенстве первой гармоники напряжения на выходе НЭ и его линейного эквивалента
по амплитуде и фазе при подаче на входы НЭ и его эквивалента гармонического сигнала. Метод эффективен, когда все высшие гармоники подавляются последующими цепями.
Метод фазовой плоскости. Применяется для исследования нелинейных
систем, описываемых дифференциальными уравнениями первого и второго порядков. Состоит в построении и исследовании фазового портрета системы в координатах исследуемой величины и ее производной.
Используется для анализа переходных режимов работы, оценки устойчивости системы, возможности возникновения периодических колебаний
Моделирование на аналоговых и цифровых вычислительных машинах. Не имеет ограничений на количество и вид нелинейностей, порядок дифференциального уравнения, позволяет исследовать поведение системы при детерминированных и случайных воздействиях.
Отсутствие возможностей найти аналитические зависимости для исследуемых явлений является недостатком метода.
Метод статистической линеаризации. Состоит в замене НЭ его статистическим линейным эквивалентом. Используется для исследования нелинейных систем, описываемых дифференциальными уравнениями произвольного
90
порядка. Метод является приближенным. Имеет место неоднозначность в решениях при использовании различных критериев эквивалентности замены.
Метод, основанный на использовании марковской теории случайных
процессов позволяет исследовать системы, описываемые дифференциальными
уравнениями первого и второго порядков, работающие в условиях действия
случайных возмущений, и получить аналитические выражения для этих систем,
что является его достоинством.
На практике используют комбинацию различных методов.
8.2.Анализ нелинейного режима работы системы ЧАП
Для определения некоторых характеристик системы, произведем качественный анализ системы ЧАП (рис. 8.1)
Рис. 8.1. Структурная схема нелинейной системы
Исходные данные:
S p ─ крутизна регулировочной характеристики генератора;
F () ─ дискриминационная характеристика;
г 0 ─ нестабильность частоты генератора;
(t , ) 0 ─ флюктуационная составляющая;
с const ─ отклонение от частоты от номинального значения..
Т ф ─ постоянная времени фильтра.
Составим ДУ описывающее поведение системы:
с г
Sp
г F ()
;
1 pT
(8.1)
(8.2)
Подставив (8.2) в (8.1), получим
с F () S p
Tф
1
;
1 pTф
d
S p F () с .
dt
В установившемся режиме const ;
(8.3)
d
0 , следовательно,
dt
91
F ()
C
Sp
.
(8.4);
Решение уравнения (8.4) может быть найдено графическим способом (рис.
8.2).
Рис.8.2
с
1
- прямая проходящая через точку C , с наклоном
.
Sp
Sp
Абсциссы точек 1 , 2 , 3 и есть решение этого ДУ.
Исследуем на устойчивость в «малом» систему в точках 1 , 2 , 3 .
С этой целью линеаризируем дискриминационную характеристику в
окрестности точек равновесия системы и представим ее зависимостью
F () F ( i ) S дi ( i ) ;
(8.5)
92
где
S дi - крутизна дискриминационной характеристики;
S дi
dF ()
i 1,2,3 .
d
i
Подставим (8.5) в (8.3) и введем новую переменную x i ; в результате получим дифференциальное уравнение следующего вида:
dx
(8.6)
Tф
(1 S p S дi ) x 0 .
dt
Уравнение (8.6) описывает поведение системы в окрестности точек равновесия системы. Определим исходя из алгебраического критерия условия устойчивости системы:
T 0 ; (1 S p S дi ) 0 .
В точке, соответствующей решению 1 , S д 0, следовательно,
1
Sд
Sр
Таким образом 1 соответствует устойчивому состоянию равновесия.
1
В точке, соответствующей 3 , S д 0 , но S д
, поэтому 3 соответSp
ствует устойчивому состоянию равновесия.
В точке, соответствующей 2 , S д 0 и S д
1
, здесь условие устойSp
чивости не выполняется.
Если задать ряд значений начальной частотной расстройки, можно получить ряд решений, определяющих ошибку , и построить зависимость установившегося значения ошибки от величины начальной расстройки по частоте
(рис. 8.3).
Для разомкнутой системы эта зависимость линейна.
93
Рис. 8.3. Зависимость частотной ошибки от первоначальной частотной
расстройки
Для замкнутой системы при увеличении с увеличивается и , и в точке
Б система скачком переходит в точку В: происходит срыв слежения. При дальнейшем увеличении с система будет вести себя как и разомкнутая. При
уменьшении с система войдет в режим синхронизма в точке Г, ошибка скачком уменьшится, при этом C будет меньше, чем при срыве слежения.
Диапазон первоначальных расстроек частот входного сигнала и генератора, в пределах которого сохраняется режим слежения называют полосой удержания. Диапазон первоначальных расстроек, в пределах которого система выведенная из синхронизма способна войти в режим синхронизма называют полосой захвата 3 .
Участок В– Г соответствует решению типа 3 (устойчивому состоянию).
Участок Б – Г соответствует решению типа 2 (неустойчивому состоянию).
Участок Б – Б соответствует решению типа 1(устойчивому состоянию).
Аналогичную зависимость можно получить для системы ФАПЧ (рис. 8.4),
Где с г - расстройка между частотой входного сигнала и частотой собственных колебаний опорного генератора;
- ошибка слежения по частоте.
94
Не для всех систем y 3 . Это определяется типом фильтра и дискриминатора. Для цифровых следящих систем y 3 и называется полосой
синхронизации.
Рис. 8.4. Зависимость частотной ошибки от первоначальной частотной
расстройки
8.3. Метод фазовой плоскости
Предположим, что поведение следящей системы описывается нелинейным дифференциальным уравнением второго порядка
d 2x
dx
x,
.
(8.7)
2
dt
dt
Обозначим
х = х1;
dx1
x2 ;
dt
dx 2
x1 , x2 .
(8.8)
dt
Состояние системы, описываемой уравнениями (8.8), определяется в
каждый момент времени величинами x1 и x 2 т.е. величиной координаты
x x1 и скоростью ее изменения. Это состояние системы можно отобразить
95
точкой на плоскости с координатами x1 , x2 , называемой фазовой плоскостью.
При изменении состояния системы изображающая точка перемещается на фазовой плоскости по кривым, которые называют фазовыми траекториями. Совокупность фазовых траекторий для различных начальных условий называют фазовым портретом.
Чтобы получить уравнение фазовых траекторий, исключим из (2) время,
поделив для этого второе из них на первое:
dx2 x1 , x2
(8.9)
x2 .
dx1
Его решение x2 x1 . Каждой комбинации начальных условий x1í , x2 í
соответствует свое решение уравнения (3) и своя фазовая траектория.
В качестве примера рассмотрим затухающий колебательный процесс, показанный на рис.8.5.
Рис.8.5. Затухающий колебательный процесс
Цифрами отметим характерные точки кривой и сопоставим их с фазовой
траекторией. В точке 1 х 1 (0) 0, х 2 (0)=0, поэтому фазовая траектория начинается на положительной полуоси абсцисс (рис.8.6). В точке 2 х 1 =0, х 2 0, поэтому эта точка расположена на отрицательной полуоси абсцисс. В точке 3
х 1 0, х 2 (0)=0, и на фазовой плоскости она расположена на отрицательной части горизонтальной оси и т.д. В результате для затухающего колебательного
процесса фазовая траектория имеет вид сходящейся спирали.
96
Рис.8.6. Фазовая траектория затухающего колебательного процесса
Для затухающего монотонного процесса (рис.8.7а) фазовая траектория
приведена на рис.8.7б.
Eсли в системе возникают периодические колебания, на фазовой плоскости они отображаются в виде замкнутой кривой, называемой предельным циклом. Предельный цикл является устойчивым, если при некоторых отклонениях
от него фазовая траектория вновь стремится к предельному циклу. При расхождении фазовых траекторий предельный цикл называется неустойчивым.
Построение фазовых траекторий позволяет судить о свойствах нелинейных систем по переходному процессу.
Рис.8.7. Апериодический процесс и его фазовая траектория
97
Построение фазового портрета системы обычно начинают с определения
его характера вблизи точек равновесия системы, в которых производные
x1 x2 0 . Координаты точек равновесия x10 , x20 определяются, как
следует из (8.8), равенствами x20 0 , x10 ,0 0 . Точки равновесия при построении фазового портрета системы называют особыми.
Поведение фазовых траекторий вблизи особых точек зависит от характера корней s1, 2 соответствующего характеристического уравнения
s 2 2s 0 2 0 ,
где
2 d
dx2 |
x1 x10
2
, 0 d
x2 x20
dx1 |
x1 x10
;
x2 x20
x1 x10 x - отклонение от состояния равновесия.
Если 0 и , то процесс xt является затухающим
2
2
0
колебанием
гармоническим
xt Ae t sin t í ,
(8.10)
где A и í - амплитуда и начальная фаза колебания; - его частота, равная
0 2 2 .
Продифференцировав выражение (8.10) для xt по времени, получим
x2 t Ae t cost н sin t н .
(8.11)
Фазовая траектория, построенная по приведённым выражениям для процессов
xt и x2 t , имеет вид скручивающейся спирали (см. рис. 8.8), получившей
название – устойчивый фокус.
При 0 и 2 2 процесс xt является гармоническим колебанием с
нарастающей амплитудой. Особая точка соответствует при этом неустойчивому
состоянию равновесия и называется неустойчивым фокусом (см. рис. 8.9).
При выполнении условия 0 0 корни s1, 2 действительные и
имеют одинаковый знак. Если они отрицательны, то особая точка является
2
2
устойчивым узлом (см. рис. 8.10). Положительным корням s1, 2 соответствует
2
особая точка типа неустойчивого узла (см. рис.8.11 ). При 0 0 корни s1, 2
действительные и имеют разные знаки. Особая точка называется седлом (см.
рис. 8. 12).
98
Рис.8.8. Устойчивый фокус
Рис.8.10. Устойчивый узел
фокус
Рис.8.9. Неустойчивый фокус
Рис.8.11. Неустойчивый
Рис.8.12. Особая точка типа седла
99
Для построения фазового портрета необходимо определить изоклины. Изоклиной называют геометрическое место точек в котором касательные к фазовым траекториям имеют постоянный наклон.
Уравнение изоклины:
( x1 , x 2 )
dx
k 2.
x2
dx1
Для горизонтальных касательных уравнение изоклины:
( x1 , x 2 ) 0 ;
для вертикальных:
( x1 , x 2 ) .
Ось абсцисс является изоклиной вертикальных касательных. Для особых
точек типа узла и седла существуют изоклины, совпадающие с фазовыми траекториями: ( C1 , C2 , C3 , C4 ). Они называются сепаратрисcами.
Рассмотрим пример.
Определим условия вхождения в синхронизм системы, представленной структурной схемой (рис.8.13), если задающее воздействие изменяется по линейному закону (t) = at и в момент включения системы при t = 0 начальная ошибка имеет
конечное значение х(0) = х 0 .
(t )
x(t)
F(x)
k
p
y(t)
Рис.8.13. Модель нелинейной системы
100
а)
б)
Рис.8.14. Дискриминационная характеристика (а) и фазовый портрет (б)
Обозначим ошибку слежения
х(t)= х 1 = (t) – y(t).
Тогда производная этой функции
dx1 d
dy
dy
=
–
=a–
.
dt
dt
dt
dt
Так как в качестве фильтра системы используется интегрирующее звено, то
y(t) = k F(x 1 )/p.
В результате уравнение ошибки примет вид
Обозначим
dx1
= а – k F(x 1 ).
dt
dx1
= х2
dt
101
и, пользуясь уравнением
х 2 = а – k F(x 1 ),
построим фазовый портрет системы в координатах (x 1 , х 2 ) для различных
значений скорости изменения задающего воздействия а.
При различных значениях а кривая х 2 =f(x 1 ) перемещается параллельно самой себе. На рис.8.14 изображено семейство кривых для положительной
скорости а. Обозначим максимальное значение функции F(x) = F m . Направление движения изображающей точки обозначим в соответствии с правилами: в
верхней полуплоскости слева направо; в нижней – справа налево. Проанализируем фазовый портрет.
При а=0 ошибка слежения х 1 0 при начальных значениях | х 1 (0)| ,
что следует из направления движений на фазовой траектории. Если 0 а k F m ,
то x 1 стремится к устойчивой точке 1, если начальное рассогласование х 1 (0)
меньше величины , соответствующей точке 2. Когда х 1 (0) , захвата не происходит, так как x 1 неограниченно растет. Если скорость /а/ k F m , то захвата
не будет ни при каких начальных условиях, поскольку нет устойчивых точек на
фазовой траектории. Таким образом, условия захвата сигнала, изменяющегося с
постоянной скоростью а, состоят в выполнении неравенства kF m а. При этом
область захвата х(0) . Величина находится из уравнения а – kF( ) =0.
Первый корень этого уравнения соответствует точке 1 устойчивого равновесия,
а второй корень, соответствующий точке 2, является искомой величиной .
8.4. Метод статистической линеаризации
Метод основан на замене нелинейного преобразования процессов статистически эквивалентными им линейным преобразованиями. Нелинейный элемент заменяется линейным эквивалентом (рис. 8.15). В результате замены система линеаризуется, что позволяет использовать методы исследования линейных систем.
Замена нелинейного преобразования линейным является приближенной и
справедливой лишь в некоторых отношениях. Поэтому не существует однозначной эквивалентности при использовании различных критериев.
В частности, если нелинейность определяется безынерционной зависимостью вида
v y (x) ,
(8.12)
используется два критерия эквивалентности.
Рис. 8.15
102
Первый критерий предполагает равенство на выходе нелинейного элемента и его линейного эквивалента математических ожиданий и дисперсий процессов.
Второй критерий – минимум среднего квадрата разности процессов на выходе нелинейного элемента и его линейного эквивалента.
Процесс на входе и выходе нелинейного элемента представим в виде:
x(t ) mx (t ) x (t ) ;
v(t ) mv (t ) v (t ) ,
где
(8.13)
(8.14)
mv (t ) ─ математическое ожидание процесса на выходе НЭ;
v (t ) ─ центрированная случайная составляющая.
Процесс на выходе линейного эквивалента представляется в следующем
виде:
u (t ) k0 mx (t ) k1x (t ) ,
(8.15)
где k 0 ─ коэффициент передачи линейного эквивалента по математическому
ожиданию; k1 ─ коэффициент передачи по центрированной случайной составляющей.
Воспользуемся первым критерием эквивалентности:
mv k0 m x
(8.16)
.
v2 k12 x2
Из этих уравнений находим
mv
1
k0
y( x)W ( x)dx ;
mx mx
k1 k11
1
y
x
2
( x)W ( x)dx mv2 ,
где W (x ) ─ плотность вероятности процесса на входе нелинейного элемента.
k11 - коэффициент передачи линейного эквивалента по центрированной
случайной составляющей (по первому критерию).
По второму критерию эквивалентности:
M (v u) 2 (v u) 2 min ;
v(t ) mv (t ) v (t ) ;
u (t ) k0 mx (t ) k1x (t ) ;
mv2 v2 k02 mx2 k12 x2 2k0 mv mx 2k1 xv min .;
103
Для определения k 0 и k1 , при которых выполняется условие эквивалентности, найдем частные производные и приравняем их нулю:
m
[]
2k0 m x2 2mv m x 0; k0 v ;
k0
mx
xv
[]
2
k
k
;
2 x k1 2 x v 0 ; 1 12
k1
x2
1
k1 k12
( x mx ) y ( x)W ( x)dx .
2
x
При расчете этих коэффициентов полагают, что распределение на входе нормальное:
W ( x)
1
2 x
e
( x mx ) 2
2 x2
;
Определив величины
k0 k0 (mx , x2 ) ; k1 k1 (m x , x2 ) .
для типовых нелинейностей, заменяют последние коэффициентами передачи
линейного эквивалента и анализируют систему линейными методами.
.
Для основных типов нелинейностей и нормальном распределении входного процесса коэффициенты рассчитаны и представлены в виде табличных значений. В частности, для характеристики релейного типа (рис.8.16)
Рис.8.16. Характеристика релейного типа:
104
1; x 0;
y( x) Asign x ; signx
1; x 0.
коэффициенты равны:
m
A
k0
2 x ;
mx
x
m 2X
2 A 1 2 X2
k12
e ;
X 2
Z
1
( z )
e
2 0
y2
2
dy ;
8.5. Метод гармонической линеаризации
8.5.1. Основы метода
Метод используется для исследования нелинейных систем, описываемых
дифференциальными уравнениями различного порядка. Эффективен для расчета параметров собственных колебаний в системе, используется также для анализа точности при гармоническом задающем воздействии.
Рассмотрим метод применительно к расчету параметров собственных колебаний в нелинейной системе.
Разделим систему на линейную часть и нелинейное звено (рис.8.17).
Рис.8.17. Модель нелинейной системы
Уравнение линейной части:
x Wл ( p) y ,
(8.17)
При возникновении автоколебаний процесс x на выходе линейной части
не является строго гармоническим, но мы будем полагать, что линейное звено
является фильтром нижних частот и подавляет все гармоники, за исключением
первой. Это предположение называется гипотезой фильтра. Если она не подтверждается, то ошибки при применении гармонической линеаризации могут
быть значительными.
x
R( p )
y.
Q( p )
105
Пусть
y F (x) ; x a sin t .
(8.18)
Представим y в виде ряда Фурье:
y C0 D1 sin t C1 cos t D21 sin 2t C2 cos 2t ... ;(8.19)
Полагаем, что
1 2
C0
F (a sin t )d (t ) 0 .
2 0
Это справедливо, если F (x) симметрична относительно начала координат и отсутствует внешнее воздействие. Полагая, что высшие гармоники подавляются,
будем искать только D1 и C1
Из уравнения (8.18) находим:
x
px
.
(8.20)
sin t ; cos t
a
a
Подставив (8.20) в (8.19) и ограничив ряд слагаемыми первой гармоники,
получим:
y q0 x q1
px
,
a
(8.21)
где
D1
1 2
q0
F (a sin ) sin d ;
a a 0
t;
(8.22)
C1
1 2
q1
F (a sin ) cos d .
a a 0
Таким образом, нелинейное уравнение для y заменили приближенным
линейным уравнением (8.21) для первой гармоники.
q 0 и q1 называют гармоническими коэффициентами передачи нелинейного звена. Коэффициенты q 0 и q1 в рассматриваемом случае зависят от амплитуды, при более сложной нелинейной зависимости зависят еще и от частоты.
Рассчитанные значения коэффициентов гармонической линеаризации для
типовых нелинейностей можно найти в учебниках и справочной литературе.
106
Передаточная функция разомкнутой системы может быть представлена в
следующем виде:
R( p)
p
q
q
; W p ( p, a) W л ( p) Wн (a) ;
0
1
Q( p )
p
где Wн (a) q0 q1
─ эквивалентная передаточная функция нелинейноW p ( p, a )
го звена.
Частотная передаточная функция разомкнутой системы
R( j )
q0 jq1 .
W ( j , a)
Q( j )
Характеристическое уравнение
S
Q( s) R( s) q0 q1 0 .
Модуль частотной передаточной функции нелинейного звена
W (a)
Фазочастотная характеристика
q0 2 q1 2 .
q
(a) arctg 1 ; ( q0 q0 (a);
q0
q1 q1 (a) )
Модуль определяет отношение амплитуд, а (a) фазовый сдвиг на выходе
относительно входного сигнала.
Если F (x) симметрична относительно начала координат, однозначна и не
имеет гистерезиса, то q1 (a) 0; (a) 0 и тогда
Wн (a) q0 (a) .
Часто при анализе используется величина обратная Wн (a) . Она называется
гармоническим импедансом нелинейного звена:
z н (a)
1
u (a) jv(a ) .
Wн (a)
8.5.2. Расчет автоколебаний по критерию Найквиста
В соответствии с критерием Найквиста строится годограф частотной передаточной функции разомкнутой системы
W ( j , a) W1 ( j )Wн (a).
107
Условием возникновения в системе колебаний является прохождение амплитудно-фазовой характеристики через точку (-1,j0) комплексной плоскости.
Для определения условий прохождения годографа через эту точку приравняем
W ( j , a) 1.
Чтобы решить это уравнение можно, задавая значение амплитуды, строить
амплитудно-фазовую характеристику(рис. 8.18)Значение амплитуды а=А, при
которой АФХ пройдет через точку (-1,j0) будет соответствовать амплитуде собственных колебаний. Значение частоты определяют по частоте в точке (-1,j0).
Рис. 8.18. Амплитудно-фазовая характеристика нелинейной системы
Тогда искомое колебание
x A sin t .
При нелинейной зависимости вида y F (x) передаточную функцию
разомкнутой системы можно представить в виде
W л ( j )
1
z н (a) .
Wн (a)
(8.23)
jV
U
Рис.8.19. Графический метод решения уравнения (8.23)
Это уравнение решается графическим методом (рис.8.19).
Строим амплитудно-фазовую характеристику линейного звена и кривую
импеданса нелинейного звена. Определяем точку пересечения. Частоту
определим по АФХ линейного звена в точке пересечения. Амплитуду А определим по кривой импеданса нелинейного звена.
Чтобы определить являются ли колебания устойчивыми автоколебаниями,
нужно задать приращение амплитуды a ; при этом точка на импедансе смеща108
ется влево вниз. Это будет соответствовать уменьшениюWн (а ) , следовательно,
кривая годографа ПФ разомкнутой системы не будет охватывать точку с координатами (1; j 0) . Поэтому амплитуда колебаний начнет уменьшаться, и система вернется в исходное состояние. То же будет и при отрицательном приращении.
Критерий устойчивости периодического режима сводится к тому, чтобы
часть кривой z н (a) соответствующая меньшим амплитудам, охватывалась
амплитудно-фазовой характеристикой линейной части.
При отсутствии в системе периодических режимов (решения уравнения
(8.23)) можно предположить, что система будет устойчива.
Условие устойчивости равновесного состояния (отсутствия автоколебаний): при устойчивой или нейтральной в разомкнутом состоянии линейной части её АФХ не охватывает годограф z н (a) .
109
9. ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ РАДИОАВТОМАТИКИ
9.1. Системы с прерывистым входным сигналом. Функциональные схемы
В радиотехнических системах часто в качестве носителя информации используют импульсный сигнал (импульсные РЛС, сканирование диаграммы
направленности или переключение процесса слежения с одного объекта на
другой и т.д.). В этом случае на вход дискриминатора поступает периодический
импульсный сигнал (рис.9.1).
Рис.9.1. Импульсный сигнал на входе дискриминатора
Функциональные схемы следящих систем при наличии прерываний
входного сигнала приведены на рис.9.2, 9.3. Схема (рис.9.2) отличается от
обобщенной функциональной схемы радиоэлектронной следящей системы
наличием ключа Кл, размыкаемого во время пауз. На рис. 9.3 представлена
схема с фиксатором, который препятствует пропаданию напряжения на входе
фильтра в промежутке между импульсами.
Рис. 9.2. Функциональная схема следящей системы с прерывистым входным сигналом: Дис – дискриминатор; ОГ – опорный генератор
Фиксатор ( экстраполятор нулевого порядка ) состоит из сумматора , линии задержки на время T и и интегратора Инт. В фиксаторе во время действия импульса полезного сигнала на входе интегратор заряжается до некоторого уровня, который сохраняется до прихода очередного импульса. Перед
приходом очередного импульса интегратор разряжается задержанным на время
T и отрицательным импульсом, поступающим через линию задержки.
110
Рис. 9.3. Функциональная схема следящей системы с фиксатором
Временные диаграммы, поясняющие принцип работы фиксатора, приведены на рис.9.4.
Рис. 9.4. Временные диаграммы, поясняющие принцип работы фиксатора
Использование фиксатора позволяет обеспечить необходимый коэффициент усиления контура.
Передаточная функция фиксатора:
k
s (T и )
W ( s) u (1 e
)
(9.1)
s
Если T и ,
111
k
sT
(9.2)
W ( s) u (1 e
),
s
где k u ─ коэффициент передачи интегратора (величина обратная постоянной
времени).
9. 2. Структурные схемы систем
Структурная схема системы с прерывистым входным сигналом без фиксатора отличается от схемы системы с непрерывным входным сигналом наличием ключа перед звеном с передаточной функцией Wф(р) (рис. 5). При использовании фиксатора схема дополняется звеном с передаточной функцией, определяемой выражениями (9.1) или (9.2).
Sд ─
Рис. 9.5. Структурная схема системы с прерывистым входным сигналом:
крутизна дискриминационной характеристики; (t ) ─ флюктуационная составляющая
Коэффициент передачи ключа (рис. 9.6)
1 при 0 t и ;
k (t )
0 при t 0, t и .
Рис. 9.6. Коэффициент передачи ключа
Наличие ключа делает процесс регулирования прерывистым, а системы –
системами с переменными во времени параметрами.
Анализ таких систем определяется соотношениями между длительностью
импульса, полосой пропускания следящей системы и частотой повторения импульсов.
112
Если частота повторения импульсов много больше полосы системы, то
анализ может быть осуществлен методами анализа непрерывных систем.
Если же это условие не выполняется и за время и происходит значительное изменение ошибки слежения, то такие системы называют системами с конечным временем съема данных, или импульсными системами. Анализ их осуществляется отдельно в момент отсутствия и наличия сигнала на входе, затем
решения сшиваются.
Если же за время и ошибка меняется незначительно, анализ системы
можно существенно упростить, представив систему прерывистого регулирования как дискретную. Дискретными называют системы, в которых сигналы подвергаются дискретизации по времени.
Рассмотрим методику перехода к дискретной системе на примере системы
прерывистого регулирования без фиксатора.
Чтобы получить структурную схему дискретной системы, вместо ключа
вводят импульсный элемент (рис. 9.7), коэффициент передачи которого является последовательностью дельта-функций
k (t )
(t kT ) .
k 0
Рис. 9.7. Изображение импульсного элемента на структурной схеме
Импульсный элемент преобразует непрерывную функцию в последовательность модулированных по площади дельта-функций:
u * (kT )
u (kT ) (t kT ) ,
(9.3)
k 0
где u(kT ) (t kT ) ─ модулированная по площади дельта-функция (рис. 9.8);
u (kT ) ─ дискретная функция (рис. 9.9).
Рис. 9.8. Модулированная
последовательность дельта-функций
Рис. 9.9. Дискретная функция
113
Дискретная функция в тактовых точках равна исходной непрерывной, а в
промежутках между тактовыми точками равна нулю (см. рис.9.9).
Импульсный элемент преобразует непрерывную функцию в дискретную и
модулирует ее по площади.
Импульсы напряжения на выходе ключа имеют конечную длительность, и
коэффициент передачи его равен единице в замкнутом состоянии, а на выходе
импульсного элемента формируется последовательность дельта-функций.
Чтобы обеспечить подобие процессов на выходе ключа и выходе заменяющего его импульсного элемента, необходимо последовательно с импульсным
элементом включить формирующий фильтр.
Импульсная характеристика формирующего фильтра hфф (t ) ─ реакция
системы на последовательность дельта-функций. Она должна быть равна коэффициенту передачи ключа:
hфф (t ) k (t ) .
Передаточная функция формирующего фильтра является преобразованием
Лапласа от импульсной характеристики:
1 e s и
.
W ( s) L hфф (t )
s
Процесс ее формирования можно представить как преобразование Лапласа разности двух ступенчатых функций (разность изображений по Лапласу
единичной ступенчатой функции и этой же функции, задержанной на длительность импульса).
Условием эквивалентности ключа и импульсного элемента с формирователем является незначительное изменение ошибки в моменты действия импульса.
С учетом проведенных преобразований структурная схема может быть
представлена в виде рис. 9.10.
Рис. 9.10. Структурная схема дискретной системы
W ПH (s ) называется передаточной функцией приведенной непрерывной
части системы:
WПН ( s ) Wфф ( s )Wф ( s ) ;
при наличии фиксатора передаточная функция звена
114
W(s)
1 esи ku
(1 esи ) .
s
s
Если e s и 1, то e s и можно приближенно записать в виде
e s и 1 s и ;
.
Обычно полагают, что и ku 1 .
Тогда
1
Wфф ( s) (1 e s и ) .
s
Эквивалентная флюктуационная составляющая отличается от флюктуационной составляющей непрерывной системы. Ее дисперсия равна
э2 S (0) / и .
Таким образом, в дискретной системе закон изменения параметров определяется только периодом повторения импульсов.
9.3. Математическое описание дискретных систем
9.3.1. Z-преобразование и его свойства
Для описания и анализа дискретных систем используется соответствующий математический аппарат: интегрирование заменяется суммированием,
дифференцирование – конечной разностью, вместо дифференциальных уравнений используются разностные уравнения. Наряду с разностными уравнениями
при анализе систем используются также дискретные преобразования Фурье и
Лапласа, z-преобразование и другие.
Дискретное преобразование Лапласа:
X д ( s)
x(kT )e skT ,
k 0
где X д (s ) ─ изображение; x(kT ) ─ оригинал.
Для анализа систем преобразование Лапласа неудобно, так как изображение является трансцендентной функцией переменной. Поэтому путем замены
переменной
e sT z
переходят к z-преобразованию:
115
X ( z ) Z x(kT )
x(kT ) z k .
k 0
Основные свойства z-преобразования определяются рядом теорем:
- теорема обращения, позволяющая по изображению определить оригинал:
1
x(kT )
X ( z ) Z k 1dz ;
2j l
- z-изображение суммы или разности дискретных процессов:
Z x1 (kT ) x 2 (kT ) X 1 ( z ) X 2 ( z ) ;
- z-изображение произведения постоянной величины и дискретного процесса:
Z x1 (kT ) X ( z ) ;
- теорема о конечном значении оригинала:
lim x(kT ) lim ( z 1) X ( z ) ;
k
Z 1
- теорема о начальном значении оригинала:
lim x(kT ) lim X ( z ) ;
k 0
z
- теорема свертки оригиналов:
Z
x1 (t iT ) x2 (iT ) X 1 ( z ) X 2 ( z ) ;
i 0
- теорема запаздывания: при ненулевых начальных условиях ─
k
Z x(t kT ) z k X ( z ) z m x(mT ) ; x( t ) 0; при t 0 ;
m 1
при нулевых начальных условиях ─
k
Z x(t kT ) z k X ( z ) ;
- z- преобразование непрерывной функции времени:
Z x(t ) Z x(kT ) X ( z ) ,
где x(t ) ─ непрерывная величина.
Z-преобразование изображения по Лапласу непрерывного процесса по
определению совпадает с z-преобразованием процесса x(t ) :
Z x( s ) Z x(kT );
116
Z x(t ) Z x(kT ) X ( z ) ,
где x(t ) ─ непрерывная величина.
Таким образом,
Z x(t ) Z x(kT ) Z x( s ) X ( z ) .
9.3.2. Передаточные функции дискретных систем
Передаточная функция дискретной системы определяется как отношение
z-изображений выходной и входной величин при нулевых начальных условиях:
X ( z)
Y ( z)
;
.
H x ( z )
H y ( z )
( z )
( z )
Передаточные функции дискретной системы (рис. 9.10) при нулевом значении флюктуационной составляющей определяются выражениями
1
;
(9.4)
H х ( z )
1 S дW ПН ( z )
S дW ПН ( z )
.
(9.5)
1 S дW ПН ( z )
Если в системе используется фиксатор, то передаточная функция приведенной непрерывной части системы определяется выражением
H у ( z )
1 e sT
WПН ( s)
Wф ( s) ,
s
1 e sT
где
─ передаточная функция последовательного соединения фиксатоs
ра и формирующего фильтра.
WПН ( s) (1 e sT )
Wф ( s)
s
;
e sT W ( s)
Wф ( s)
ф
WПН ( z ) Z
Z
.
s
s
Умножение изображения по Лапласу на e sT соответствует задержке оригинала на величину Т. С учетом теоремы сдвига и обозначения
Wф ( s )
Z
(9.6)
K ( z)
s
117
получим
WПН ( z ) K ( z ) z 1K ( z )
z 1
K ( z ).
z
(9.7)
Wф ( s )
K ( z) Z
─ определяется по таблицам z- изображений.
s
9.3.3. Разностные уравнения
Разностные уравнения определяют связь между дискретными значениями
выходной и входной величин в тактовых точках.
Чтобы составить разностное уравнение, надо представить дискретную передаточную функцию в следующем виде:
b0 b1 z 1 b2 z 2 ... bm z m
.
H ( z)
1 a1 z 1 a 2 z 2 ... a n z n
Если V (z ) ─ значение выходной величины, а (z) ─ входной в виде
z-изображения, то связь между ними определяется выражением
V ( z ) H ( z ) ( z ) .
Подставим (9.8) в (9.9):
(9.8)
(9.9)
V(z)(1 a1z1 a2z2 ... anzn) (b0 b1z1 b2z2 ... bmzm)Λ(z).
(9.10)
Применим к левой и правой частям уравнения (9.10) теорему обращения. С
учетом теоремы запаздывания оригинала можно записать
U k a1U k 1 a2U k 2 ... anU k n b0 k b1k 1 ... bm k m ,
(9.11)
где U k U (kT ) ;
U k n U (kT nT ) .
Из уравнения (9.11) можно определить значения оригинала в тактовых
точках:
Uk
m
n
bi k i aiU k i .
i 0
(12)
i 0
Уравнение (9.12) является разностным уравнением, определяющим связь
между входной и выходной величинами в тактовых точках.
118
9.3.4. Операторный коэффициент передачи дискретной системы
Для составления операторного коэффициента передачи вводится оператор
запаздывания – с.
Действие его на временную функцию приводит ее к сдвигу по времени на
величину Т :
cv( kT ) v( kT T );
c2v( kT ) v( kT 2T ) ;
…………………………
cnv( kT ) v( kT nT ).
При использовании оператора с разностное уравнение записывается в виде
y(kT ) H (c) (kT ) ,
где
H (c )
b0 b1c b2c 2 ... bmc m
1 a1c a2c 2 ... an c n
.
Чтобы перейти от дискретной ПФ к операторному коэффициенту передачи,
необходимо сделать замену:
z 1 c .
9.3.5. Комплексный коэффициент передачи дискретной системы
Комплексный коэффициент передачи дискретной системы (частотную передаточную функцию) можно получить из передаточной функции дискретной
системы путем замены z e jT :
H д ( j ) H (e jT ) H ( z )
jT
.
ze
Комплексный коэффициент передачи дискретной системы определяется
как отношение комплексных амплитуд управляемой величины Y(kT) и задающего воздействия в тактовых точках kT. По формированию значений выходного процесса в тактовых точках дискретная система эквивалентна непрерывной с
комплексным коэффициентом передачи Hд(jw).
Комплексный коэффициент передачи является периодической функцией
переменной с периодом изменения, равным
2
.
T
119
9.3.6. Устойчивость дискретных систем
Устойчивость дискретной системы связана с расположением полюсов ее
передаточной функции на комплексной плоскости. Если все полюса расположены в левой полуплоскости, система устойчива. Таким образом, заменив в передаточной функции H(z) z на esT и решив характеристическое уравнение, можно определить устойчивость.
При переходе от s-плоскости к z-плоскости левая полуплоскость плоскости
s трансформируется в круг единичного радиуса. Поэтому дискретная система
устойчива, если полюсы ее передаточной функции H(z) расположены внутри
окружности единичного радиуса, т.е. удовлетворяют условию
|zi| < 1 , i = 1,2… n,
где zi ─ корни характеристического уравнения:
A(z) = an zn + an-1z n-1 + …+ a0 = 0.
Характеристическое уравнение составляется путем приравнивания к нулю
знаменателя передаточной функции:
H ( z)
B( z )
.
A( z )
Для определения устойчивости дискретных систем используют алгебраические и частотные критерии.
Алгебраический критерий состоит в проверке выполнения системы неравенств, составленных из коэффициентов характеристического уравнения.
При n = 1:
При n = 2:
a1 a0 0
.
a1 a0 0
a2 a1 a0 0
a2 a1 a0 0 .
a 2 a0 0
При n=3 указанная система неравенств принимает вид
120
a3 a 2 a1 a0 0;
a3 a 2 a1 a0 0;
a32 a02 a0 a 2 a1a3 0;
3(a3 a0 ) a 2 a1 0;
3(a3 a0 ) a 2 a1 0.
Частотный критерий (критерий Найквиста): если годограф комплексного
коэффициента передачи разомкнутой системы при изменении частоты от 0 до
2π/Т не охватывает точку c координатами (-1; j0), то система устойчива.
Проанализируем устойчивость системы, представленной структурной схемой (рис. 9.11).
Рис. 9.11. Структурная схема дискретной системы
Передаточная функция от воздействия к ошибке
z 1
,
H x ( z )
z 1 K vT
Характеристическое уравнение:
A( z ) z 1 KV T 0 .
Учитывая общую форму записи характеристического уравнения
a n z n a n1 z n1 ... a0 0 ,
найдем коэффициенты
n 1; a1 1; a0 K v T 1;
Условие устойчивости для систем с n = 1:
K v T 0
K v T 2
Таким образом, в дискретной системе накладываются ограничения на период дискретизации Т и на коэффициент усиления Kv.
Непрерывная система с одним интегратором не имеет таких ограничений.
Пусть (t ) 0 при t = 0, а на выходе интегратора имеется напряжение U,
равное х(0); тогда при t = 0 получим:
x(0) y(0) – на входе интегратора;
y (t ) y (0) S д k u t x(0) – на выходе интегратора.
121
Соответственно
x(t ) y (t ) x0 S д k u t x(0) ,
а через такт, при t = T:
x(T ) x(0) [1 K vT ];
График зависимости х(t) приведен на рис. 9.12.
Рис. 9.12. Графики изменения ошибки в переходном режиме
9.3.7.Анализ детерминированных процессов в дискретных системах
Задачей анализа является определение динамической ошибки x уст или зависимости выходной величины от входной. Анализ может быть произведен с
помощью z-преобразований.
Если имеем z-изображение
Y ( z ) H y ( z ) ( z )
и необходимо определить оригинал по z-изображению выходной величины, то
можно воспользоваться теоремой обращения:
1
y(kT )
Y ( z ) z k 1dz.
2 j
Для вычисления интеграла обращения используют теорему о вычетах, в
соответствии с которой для простого полюса
f ( z ) lim ( z zi ) f ( z ) .
z zi
Для полюса порядка m:
122
1
d m 1
f ( z ) lim
( z zi ) m f ( z ) .
z z i ( m 1)! dz m 1
Для определения установившегося значения величины используют теорему о предельном значении оригинала:
y (kt ) lim ( z 1) Y ( z ).
z 1
В некоторых случаях можно использовать таблицы, если выражение, определяющее z-изображение, простое, или разложить его на простые слагаемые и
затем использовать таблицы.
Для определения реакции системы на детерминированное воздействие
можно также использовать разностное уравнение. При высоком порядке разностного уравнения для его решения применяют вычислительные средства.
9.3.8. Анализ случайных процессов дискретных систем
Наиболее часто используемой характеристикой является дисперсия случайного процесса, в частности, дисперсия ошибки слежения. Дисперсия выходного процесса в тактовых точках (t= kT ) и стационарном случайном воздействии u(t) на входе с известной корреляционной функцией и спектральной
плотностью S(w) определяется выражением
1
2
du.
2
1 u
.
1 ju
z
1 - ju
Подынтегральное выражение является дробно-рациональной функцией переменной jw. Вычисление интеграла производится по методике, используемой
при расчете дисперсии в линейных непрерывных системах.
1
2
2
S ( z) H ( z)
2
123
10. ЦИФРОВЫЕ СИСТЕМЫ РАДИОАВТОМАТИКИ
10.1.Общая характеристика цифровых систем
В цифровых системах радиоавтоматики обработка сигналов производится
цифровыми методами, а их реализация – на элементах цифровой схемотехники.
Рассмотрим достоинства и недостатки цифровых систем.
К достоинствам можно отнести высокую технологичность настройки, высокую надежность, возможность реализации оптимальных алгоритмов обработки, достаточно низкую стоимость, гарантированную точность, стабильность
параметров.
Недостатки цифровых систем связаны с дискретизацией по времени и
квантованию по уровню, что приводит к возникновению шумов квантования.
Функциональная схема цифровой системы представлена на рис. 10.1
Рис. 10.1. Функциональная схема цифровой следящей системы:
ЦД – цифровой дискриминатор; ЦФ – цифровой фильтр; ЦГОС – цифровой генератор опорного сигнала.
Цифровые системы радиоавтоматики классифицируют по тем же признакам, что и аналоговые системы. Дополнительным признаком классификации
является место аналого-цифрового преобразования. Различают системы, в которых АЦП производится вне контура регулирования и внутри его. В первом
случае на дискриминатор поступают цифровые сигналы, во втором – аналоговые, при этом в дискриминаторе производится аналого-цифровое преобразование и на выходе дискриминатора формируется цифровой сигнал.
10.2. Аналого-цифровая следящая система
Рис. 10.2. Функциональная схема аналого-цифровой следящей системы
Функциональная схема аналого-цифровой следящей системы приведена на
рис. 10.2.
124
Фильтр Ф ограничивает ширину спектра сигнала на выходе дискриминатора, что необходимо для дальнейшего аналого-цифрового преобразования.
Основная фильтрация производится цифровым фильтром ЦФ, который позволяет обеспечить идеальное интегрирование, реализовать оптимальные алгоритмы фильтрации. Рассмотрим функции АЦП.
АЦП предназначен для преобразования напряжения, пропорционального
сигналу ошибки, в цифровой код. АЦП выполняет две операции:
дискретизацию по времени, при этом U(t) – непрерывная функция преобразуется в дискретную функцию U(kT);квантование по уровню:
U кв (kT ) U кв n(kT ),
где ΔUкв – дискрет квантования по уровню; n – число, соответствующее данному уровню.
Операция квантования по уровню и замена квантованного напряжения кодом, может быть представлена как нелинейная операция (рис. 10.3)
Рис.10.3.
Цифровой фильтр ЦФ преобразует последовательность чисел, поступающую на вход n(kT ) , в сглаженную последовательность n1( kT ) . Без учета операции округления его работу можно описать разностным уравнением
n1(kT ) W (c) n(kT ) ,
где W(c) – операторный коэффициент передачи цифрового фильтра;
n(kT) – преобразованная последовательность чисел; c z 1.
ЦАП осуществляет преобразование кода в напряжение
U вых (t ) n1 (kT ) U h(t kT ) ,
k
125
где ΔU – шаг преобразования, определяет приращение напряжения на выходе
при изменении кода на единицу; h(t - kT) – импульсная характеристика фиксатора.
Если применяется фиксатор нулевого порядка то
U (1 e sT )
W ( s)
s
Процесс цифро-аналогового преобразования можно разделить на две операции:
формирование последовательности δ-функций, модулированных входным
числом;
подача этих модулированных δ-функций на фильтр, реакцией которого является импульсная характеристика (весовая функция).
Все остальные элементы системы функционируют аналогично непрерывной системе.
Структурная схема аналого-цифровой следящей системы приведена на
рис.10.4.
Рис.10.4. Структурная схема аналого-цифровой следящей системы
10.3. Цифровые временные дискриминаторы
При аналого–цифровом преобразовании внутри контура регулирование
находит применение схема (рис. 10.5).
126
Рис. 10.5. Схема временного дискриминатора
Временные диаграммы работы схемы приведены на рис. 10.6.
Рис.10.6. Временные диаграммы функционирования дискриминатора
Если временная ошибка слежения равна нулю, то импульсы 4 и 5 будут
равной длительности. Величина ошибки пропорциональна разности длительностей импульсов 4 и 5. Для преобразования ошибки в код используется генератор счетных импульсов ГСИ, формирующий частоту заполнения. На выходе
реверсивного счетчика формируется код, пропорциональный разности длительностей 4 и 5,т.е. величине ошибки слежения.
Схема, используемая при аналого-цифровом преобразовании вне контура
регулирования, приведена на рис. 10.7.
127
Рис. 10.7. Схема дискриминатора при аналого-цифровом преобразовании вне
контура регулирования: Uз – импульс запуска, привязанный по времени к излучаемому сигналу; Uу – импульс приемника.
Перед началом измерения в счетчик заносится оценка задержки, формируемая в фильтре (n1 ). Счетчик вычисляет разность n N n1 ,
где
1
;
N 3
Tсч
3 ─ задержка отраженного импульса; Tсч ─ период счетных импульсов.
Задержанным импульсом, привязанным к сигналу приемника, производится считывание числа n и запись нового значения n1. Эквивалентная схема приведена на рис. 10.8.
Рис. 10.8. Эквивалентная схема дискриминатора
10.4. Цифровые фазовые дискриминаторы
Из достаточно большого количества существующих схем цифровых фазовых дискриминаторов познакомимся с двумя схемами, формирующими дискриминационные характеристики треугольной и релейной формы.
Фазовый дискриминатор (рис. 10.9) реализован на схеме сумматора по модулю два. Временные диаграммы, поясняющие принцип формирования дискриминационной характеристики, представлены на рис. 10.10.
128
Рис. 10.9. Схема цифрового фазового
дискриминатора
Рис.10.10. Временные диаграммы
работы дискриминатора
Установившемуся (синфазному) режиму соответствует постоянное фазовое
рассогласование между входным и опорным сигналами, равное
, и в кон2
трольной точке 3 длительности импульсов равны длительностям пауз. Чтобы
определить разность длительностей импульсов и пауз, пропорциональную величине ошибки, эти длительности преобразуются в код путем их заполнения
счетными импульсами, формируемыми генератором счетных импульсов ГСИ.
Счетно-импульсный код поступает на реверсивный счетчик РСч, на выходе которого формируется код ошибки.
Эквивалентная схема приведена на рис.10.11. Схема состоит из двух последовательно включенных звеньев: дискретного элемента ДЭ и нелинейного
звена с характеристикой n( ).
Рис. 10.11. Эквивалентная схема цифрового фазового дискриминатора
Схема и временные диаграммы дискриминатора, формирующего характеристику релейного типа, приведены на рис. 10.12.
129
Рис. 10.12. Схема и временные диаграммы функционирования Цифрового
фазового дискриминатора релейного типа
Сигнал с выхода квантователя поступает на элементы “И” непосредственно и через инвертор. На другие входы элементов “И” подается последовательность коротких импульсов, следующих с частотой сигнала. В зависимости от
знака рассогласования фазы между входным и опорным напряжениями на соответствующий элемент И подается высокий уровень напряжения и на его выход проходят импульсы опорного сигнала.
Формируя релейную характеристику (рис.10.13), дискриминатор определяет только знак фазового рассогласования.
Рис. 10.13. Характеристика дискриминатора релейного типа
Схема дискриминатора, приведенная на рис. 10.14 может использоваться в
системах тактовой синхронизации для формирования сигнала тактовой частоты
с цель определения границ элементарных посылок цифрового двоичного сигнала.
Рис. 10.14. Схема и временные диаграммы функционирования дискриминатора для системы тактовой синхронизации
130
С помощью триггера Т1 регенерируется входной сигнал методом стробирования. В синфазном режиме стробирование соответствует середине элементарной импульсной посылки. Информация с Т1 записывается в Т2 , таким образом,
на выходе Т1 и Т2 мы имеем 2 импульсных потока сдвинутых на полтакта. С
помощью схем сумматоров по модулю два определяется фазовое рассогласование (эпюры 6,7), преобразуемое в счетно-импульсный код, поступающий на
реверсивный счетчик.
10.5. Цифровые частотные дискриминаторы
Известны два типа частотных дискриминаторов:
- цифровая реализация аналогового прототипа дискриминатора с расстроенными контурами;
- частотный дискриминатор, реализующий принцип частотомера или периодомера.
Схема цифрового частотного дискриминатора с расстроенными контурами
приведена на рис. 10.15.
+
Рис. 10.15. Цифровой частотный дискриминатор
АЦП преобразует сигнал в код.Частота выборки определяется спектром
сигнала. Далее сигнал в цифровом виде поступает на два цифровые фильтра со
смещенными резонансными частотами, являющиеся аналогом расстроенных
контуров; смещение резонансных частот должно обеспечивать необходимую
крутизну дискриминационной характеристики.
Рис. 10.16 иллюстрирует формирование дискриминационной характеристики.
Рис.10.16. Формирование дискриминационной характеристики:
z1(f) и z2(f) – модули комплексного сопротивления фильтров
131
Далее сигнал подается на квадратичные преобразователи, сумматор и
накопитель, позволяющий накапливать выборки входного сигнала.
Дискриминатор, использующий принцип счета пересечений нулевого
уровня (рис. 10.17) функционирует на принципе частотометра, используя метод
счета числа пересечений сигналом нулевого уровня за фиксированный интервал времени и сравнения числа с эталоном.
Рис. 10.17. Схема и временные диаграммы работы частотного дискриминатора
Число накапливаемых импульсов на интервале Tн
n N N 0 Tн ( F F0 ) ; N 0 Tн F0 ; N TH F ,
где Tн – время накопления.
За время Tн подсчитывается число пересечений N и сравнивается с эталонным числом N0, предварительно записанным в счетчик. Далее код разности чисел считывается со счетчика и подается на цифровой фильтр. Устройство
управления обеспечивает сброс счетчика и запись нового числа. Дискрет квантования частоты можно определить следующим образом
Пусть количество импульсов, записанных в счетчик с частотой F1, равно
N F1 Tн ,
(10.1)
а число импульсов с частотой F2 равно
N 1 F2 Tн
(10.2)
Вычтем (10.1) из (10.2):
1 ( F2 F1 ) Tн .
(10.3)
Из выражения (10.3) определим дискрет квантования частоты, определяющий точность преобразования частоты в код
F2 F1 = F
1
.
TH
132
Уменьшение дискрета квантования обеспечивается при использовании
принципа периодомера, при котором определяется интервал времени соответствующий фиксированному числу периодов входного сигнала посредством заполнения этого интервала счетными импульсами высокой частоты. Затем этот
интервал сравнивается с эталонным, соответствующим переходной частоте
дискриминатора.
10.6. Цифровые фильтры
Синтез передаточной функции цифрового фильтра. Для синтеза передаточной функции цифрового фильтра часто используется метод дискретизации аналогового фильтра-прототипа.
На основе теории аналоговых фильтров определяется передаточная функция, удовлетворяющая заданным требованиям. Затем производится дискретизация в соответствии с приведенной схемой (рис. 10.18). Непрерывный фильтр
преобразуется в дискретную систему путем включения на его входе импульсного элемента и формирующего фильтра. Включение на входе импульсного
элемента и формирующего фильтра обеспечивает подобие процессов на выходе
цифрового фильтра и аналогового фильтра-прототипа.
Рис. 10.18. Схема дискретизации аналогового фильтра-прототипа
Передаточная функция
цифрового фильтра определяется как zизображение передаточной функции полученного соединения звеньев:
W ( z ) z{Wфф ( s ) Wф ( s )}
При использовании в качестве формирующего фильтра фиксатора:
1 e sT
z 1 Wф ( s)
; W ( z)
z
Wфф ( s)
.
z
s
s
Второй метод синтеза на основе использования передаточной функции
аналогового фильтра-прототипа состоит в замене операций непрерывного дифференцирования и интегрирования операциями дискретного дифференцирования и интегрирования.
Аналоговое интегрирование производится в соответствии с выражением
t
V (t ) U (t )dt
0
1
U (t ) ,
p
(10.4)
где 1/р ─ оператор интегрирования;
а дискретное интегрирование по методу прямоугольников ─ в соответствии с выражением
133
Vn Vn1 U n1T ,
где T – основание прямоугольника (рис. 10.19).
(10.5)
Рис. 10.19. Дискретное интегрирование по методу прямоугольников
Введем оператор запаздывания с, в результате выражение (10.6) запишется
в виде:
c T
(10.6)
Vn
U n W (c ) U n ,
1 c
где W (c)
c T
.
1 c
Сравнив (10.4) и (10.6) определим эквивалентные операторы интегрирования и дифференцирования.
Чтобы определить передаточную функцию цифрового фильтра необходимо произвести следующие замены:
1 c
- операция дифференцирования ─ p
;
c T
- операция интегрирования ─
1 c T
.
p 1 c
1
Произведя замену операторов ( c z
), получим соответствие:
1
z z 1.
p
1
T
T
z
Аналогично производится замена переменной s на переменную z в соответствии с равенством
1
z 1
s
T
Интегрирование методом трапеций, выполняемое в соответствии с равенством
Vn Vn1 0,5U nT 0,5U n1T ,
также позволяет определить соответствующие операторы.
134
Реализация цифровых фильтров. Цифровые фильтры могут быть реализованы в прямой, канонической, параллельной и последовательной формах.
Прямая форма базируется на разностном уравнении
n1 (kT )
N
ai n(kT iT ) bi n1 (kT iT ) ,
i 0
где n1 (kT ) – код числа на выходе фильтра; n(kT ) – код числа на входе фильтра;
ai, bi – коэффициенты.
Структурная схема фильтра представлена на рис. 10.20.
Каноническая форма отличается тем, что для задержки входной и выходной последовательностей используется одна линия задержки.
При последовательной форме реализации сложные звенья или сложная передаточная функция разбивается на ряд простых звеньев, так чтобы каждое
звено описывалось дифференциальным уравнением не выше второго порядка.
Передаточные функции этих звеньев, включенных последовательно, образуют
необходимую передаточную функцию фильтра.
При параллельной форме реализации сложные передаточные функции
фильтров формируются как сумма передаточных функций звеньев, включенных параллельно; каждое звено описывается дифференциальным уравнением
не выше второго порядка. Каждое из таких элементарных звеньев реализуется
по прямой или канонической форме.
Рис.10.20. Схема цифрового фильтра
В качестве фильтров часто используют реверсивные или обычные двоичные счетчики. При этом используются следующие схемы включения:
- реверсивный счетчик без сброса;
- реверсивный счетчик со сбросом после переполнения;
- реверсивный счетчик с накоплением и сбросом
. Реверсивный счетчик без сброса является цифровым интегратором. Определим его передаточную функцию и операторный коэффициент передачи.
135
n1 (kT ) n1 (kT T ) n(kT )
n1 (kT ) c n1 (kT ) n(kT )
n1 (kT )
1
.
1 c
Произведя замену переменной
1
n(kT ) W (c) n(kT )
1 c
где W (c)
c z 1,
получим передаточную функцию
z
z 1
На счетчик с накоплением и сбросом за время Tн на вход поступает r чисел
с периодом Т, затем содержимое счетчика сбрасывается. Эквивалентная схема
счетчика представляет последовательное соединение элемента с конечной памятью TH и дискретного элемента (рис. 10.21).
Разностное уравнение, описывающее работу счетчика:
W ( z)
nc (kT )
n 1
n(kT iT ) ;
i 0
nc (kT ) W (c) n(kT ) ,
где W(c) – передаточная функция:
1 cr
.
Wc
1 c
Дискретный элемент замыкается через время TH.
Рис. 10.21. Эквивалентная схема реверсивного счетчика с накоплением и
сбросом
10.7. Цифровые генераторы опорного сигнала
Генератор опорного сигнала в цифровых системах фазовой и частотной
синхронизации реализует функцию синтезатора частот. Синтезируемая частота
определяется выражением
f f 0 n1 f ,
(10.7)
136
где f – частота выходного сигнала генератора; f0 – номинальная частота генератора; Δf – дискрет перестройки по частоте;n1 – код управления, поступающий с выхода фильтра.
Такой генератор может реализован с использованием цифро-аналогового
преобразователя и генератора, управляемого напряжением. Недостатком такого
генератора, называемого генератором с непосредственным управлением, является невысокая стабильность при обеспечении достаточного диапазона перестройки по частоте. Использование для повышения стабильности кварцевой
стабилизации существенно снижает диапазона перестройки.
Поэтому широкое применение нашли генераторы с косвенным управлением частотой, позволяющие избавиться от этого недостатка. При этом можно
использовать кварцевую стабилизацию частоты и одновременно обеспечить
широкий диапазон перестройки частоты.
Генератор на основе управляемого делителя (рис. 10.22).
Рис. 10.22. Цифровой управляемый генератор
Дешифратор ДШ определяет нулевое состояние, при этом на выходе формируется импульс, по которому с помощью устройства управления УУ в счетчик записывается число nд. Если в качестве делителя используется реверсивный счетчик, то импульсы с частотой fзг поступают на вход вычитания, в результате чего число nд считывается до нуля. На выходе формируется импульсная последовательность с частотой f:
f
f зг .
(10.8)
nд
Недостатком является нелинейная зависимость частоты от кода nд.
Для обеспечения линейной зависимости необходимо производить пересчет
управляющего кода. Для определения формулы пересчета приравняем выражения (10.7) и (10.8):
f зг
f 0 f n1 .
(10.9)
nд
Из выражения (10.9) находим nд:
f зг
nд
.
f 0 f n1
Цифровой опорный генератор с управляемым дискретным фазовращателем (рис.10. 23.) Высокостабильный кварцевый задающий генератор
формирует последовательность импульсов, которая поступает на вход устрой137
ства добавления и исключения импульсов. Исключение или добавление импульса в последовательность приводит к сдвигу фазы на 2π. Уменьшение дискрета подстройки достигается подключением делителя, который формирует
2
опорный сигнал. В результате дискрет подстройки по фазе составит
.
nд
Рис. 10.23. Цифровой опорный генератор с управляемым дискретным фазовращателем
Генератор опорного сигнала для системы слежения за задержкой импульсного сигнала. При использовании в качестве опорного сигнала последовательности следящих импульсов основным элементом опорного генератора
является преобразователь код-временная задержка. Этот преобразователь преобразует число n1 , формируемое в фильтре, во временную задержку следящих
импульсов. Преобразование кода во временную задержку реализуется на
управляемой линии задержки или счетчике-формирователе. Рассмотрим схему,
выполненную на счетчике-формирователе (рис. 10.24).
Рис. 10.24. Генератор опорного сигнала для системы слежения за задержкой импульсного сигнала
В регистр памяти записывается код n1 , соответствующий оценке задержки.
Синхроимпульсом, связанным по времени с излучением зондирующего импульса, RS – триггер устанавливается в состояние «0». При этом на вход схемы И подается разрешающий уровень напряжения и с генератора счетных импульсов проходят импульсы на вход счетчика. Как только число в счетчике
сравнивается с числом n1 (рис.10.25),
138
Рис. 10.25. Временные диаграммы
на выходе схемы сравнения формируется импульс запуска генератора следящих импульсов. Этим же импульсом восстанавливается начальное состояние
триггера и обнуляется счетчик.
Выходной величиной преобразователя является временной сдвиг запускающих импульсов, равный
Тз = n1Tcч,
где Tcч ─ период счетных импульсов, определяющий шаг квантования и точность преобразователя ( см. рис. 10.25).
Цифровой опорный генератор на линии задержки с отводами. Рассмотренные выше схемы опорных генераторов требуют для обеспечения необходимого (достаточно малого) дискрета подстройки, определяющего точность
слежения, чтобы частота задающего генератора существенно превышала частоту входного сигнала. Это ограничивает применение схемы при высокой частоте входного сигнала, вследствие ограниченного быстродействия элементной
базы. Ниже рассматриваются схемы опорных генераторов, позволяющие расширить частотный диапазон применения.
Опорный генератор на линии задержки с отводами (рис. 10.26) обеспечивает
формирование опорного сигнала с частотой, равной частоте задающего генератора.
139
Рис. 10.26.
Параметры линии задержки определяются соотношениями:
лз (n 1) ;
лз Tзг .
2
Дискрет подстройки фазы равен
.
n
На выходах линии задержки формируется многофазная импульсная последовательность (рис. 10.27).
Рис. 10.27. Многофазная импульсная последовательность
Мультиплексор коммутирует импульсную последовательность в соответствии с адресом, поступившим с реверсивного счетчика. Схема привязки обеспечивает привязку момента смены показаний счетчика к выходному сигналу
(для предотвращения их совпадения).
В анализируемой схеме задержка формируется по закону унитарного кода
Рассмотрим схему, в которой формирование задержки производится по
принципу позиционной системы счисления. Величина дискрета задержки в
разрядах (вес разряда) определяется положением разряда, а количество дискретов задержки в разряде – выбранным основанием (базисом).
Пусть k n = t зг / t ,
140
где k выбранный базис системы счисления; n ─ число разрядов позиционного кода. Суммарная задержка ( t зг - t ) может быть набрана с помощью
последовательно включенных n линий задержки. Дискрет задержки каждой
последующей линии возрастает пропорционально выбранному базису k . Дискрет коррекции фазы опорного сигнала определяется величиной дискрета задержки t первой линии, образующей младший разряд. Задержка первой линии
равна t ( k 1) . Дискрет задержки второй линии ─ k t , а суммарная задержка ─
k (k 1)t и т.д. Дискрет задержки n-й линии равен k n 1 t , а суммарная величина
задержки ─ k n1 (k 1)t. Необходимая величина относительной нестабильности
линии задержки составляет 2 10 2 10 2 .
Схема дискретного фазовращателя приведена на рис.10.28.
Задающий генератор генерирует сигнал стабильной частоты. С помощью
элементов задержки и переключателей производится задержка сигнала задающего генератора по закону управляющего кода. В качестве переключателей могут быть использованы элементы 2И-ИЛИ. Реверсивный счетчик предназначен
для формирования управляющего кода. Запоминающее устройство обеспечивает хранение управляющего кода и привязку моментов его изменения к выходным сигналам элементов задержки, что исключает возможность переключения входов и выходов элементов задержки в момент присутствия на входах переключателей сигналов.
Дискрет подстройки фазы управляемого сигнала равен 2 / k n . Объем
оборудования, необходимый для построения цифрового фазовращателя, определяется в основном числом отводов, являющихся входами мультиплексоров.
Число входов определяет сложность мультиплексоров, коэффициенты пересчета счетчиков, формирующих управляющий код. В соответствии с этим критерием оптимальным является дискретный фазовращатель с линией задержки
сформированной по принципу формирования двоичного кода.
141
Рис.10.28. Функциональная схема дискретного фазовращателя:
Зг - задающий генератор; Эз1,…,Эзn – элементы задаржки; П1,…,Пn – переключатели; РС – реверсивный счетчик; ЗУ – запоминающее устройство.
Рассмотренные технические решения обеспечивают работу задающего
генератора на частоте входного сигнала, что позволяет существенно расширить
частотный диапазон применения ЦСФС . Однако для реализации систем необходимо наличие линий задержки с широким перечнем номиналов. Использование аналоговых линий задержки, кроме того требует применения схем согласования со входами цифровых элементов.
Формирование опорного сигнала методом временной трансформации. Рассмотрим сущность метода, иллюстрируемого схемой (рис.10.29)
Рис.10.29. Схема опорного генератора: ЗГ – задающий генератор; УДИ –
устройство добавления-исключения; Дел – делитель; ГОС 1, ГОС 2 – генераторы опорного сигнала; ИЛИ – логический элемент.
142
Из высокостабильного сигнала задающего генератора ЗГ делением его
частоты формируется управляемый синхросигнал, которым периодически фазируются коммутируемые генераторы опорного сигнала (ГОС). Фаза управляемого сигнала корректируется с помощью УДВ. В качестве ГОС используются
генераторы ударного возбуждения, запуск которых производится по срезу
управляемого синхросигнала, а гашение колебаний – по фронту. ГОС генерирует сигнал при наличии на управляющем входе уровня логического нуля.
Частоты опорного сигнала (ОС) и сигнала задающего генератора определяются одним из следующих соотношений:
fос (m 1) f зг / m
(10.10)
f ос mf зг /(m 1) ,
(10.11)
или
где
m>>1,
число, определяющее величину дискрета подстройки.
Пусть соотношения частот f зг и f ос определяются выражением
f зг =
m
m 1
t ос ,
f ос или t зг =
m
m 1
(10.12)
где t зг 1/ f зг ─ период сигнала ЗГ; tос 1/ fос ─ период ОС.
Период регулирования формируется путем деления импульсной последовательности задающего генератора на 2m. При этом период синхросигнала
при отсутствии коррекции равен 2mt зг , а период регулирования ГОС – mt зг ,
т.е.
Tр mt зг (m 1)t ос
(10.13)
Таким образом, при выполнении соотношений (10.3),(10.4) период синхросигнала равен целому числу (m) периодов сигнала ЗГ и целому числу ( m 1 )
периодов ОС.
Поэтому при отсутствии импульсов коррекции на входе УДИ периодическое фазирование ГОС синхросигналом не приведет к разрыву фазы опорного
сигнала.
Добавление с помощью УДИ импульса коррекции в последовательность,
формируемую ЗГ, приведет к уменьшению периода регулирования на величину
t зг :
Tр (m 1)t зг mtос
1
t ос .
m
(10.14)
Как следует из соотношения (10.6), уменьшение T p в единицах периода
ГОС составит:
143
m 1
1
t ос t ос t ос.
m
m
(10.15)
Поскольку фаза ОС жестко «привязана» к фронту синхросигнала, то изменение периода следования последнего на величину t зг приведет к сдвигу на
опережение временного положения фронта синхросигнала относительно нулевой фазы ОС, в силу периодичности ОС, как следует из (2.6), на величину:
t
1
t ос ,
m
что соответствует сдвигу по фазе опорного сигнала на дискрет, равный
2
.
m
Вычитание импульса из последовательности ЗГ приведет к увеличению
периода регулирования на t зг :
Tр (m 2)t зг (m 2) t ос
1
t ос .
m
что приведет к сдвигу на отставание временного положения фронта синхросигнала относительно нулевой фазы ОС на величину
- t
1
t ос ,
m
что соответствует сдвигу по фазе опорного сигнала на дискрет, равный
2
.
m
В качестве фазируемых ГОС могут быть использованы генераторы ударного возбуждения, поочередно коммутируемые синхросигналом, генераторы
прямоугольных импульсов, в том числе генераторы релаксационного типа.
Необходимость фазирования внешним сигналом, обеспечения малой длительности переходных процессов, простоты реализации предполагают использование ГОС с невысокими требованиями к их стабильности.
Требования к стабильности частоты генераторов. Определим требования к стабильности ГОС.
Пусть T р определяется выражением (10.5). Тогда на временном интервале,
равном T р ГОС работает в режиме свободных колебаний. При этом «набег» фазы ОС относительно ЗГ 0 (t ) обусловленный взаимной нестабильностью частот
f зг и f ос растет по линейному закону.
Периодическая функция 0 (t ) может быть определена следующим образом:
144
0 (t ) 2 t / tос , при 0 t TC ,
(10.16)
где - взаимная нестабильность частот f зг и f ос . При высокой стабильности
задающего генератора величина определяет относительную нестабильность ГОС.
Максимальный набег фазы на интервале периода регулирования составит
величину
м 2 (m 1).
Среднее значение процесса 0 (t ) и дисперсию 2 найдем усреднением
0 (t ) по времени.
0
1
0 (t )
TC
2
0
1
TC
2
0 0 (t )dt TC toc
TC
TC
tdt (m 1) ;
(10.17)
(m 1) .
0 (t ) 0 (t ) dt
(10.18)
0
2
TC
2
3
0
Среднеквадратическое отклонение «набега» фазы:
2
0
0
(m 1)
3
.
(10.19)
Максимальное отклонение относительно среднего значения равно
~ (t ).
м
м
0
Таким образом, максимальное отклонение набега фазы относительно
среднего значения равно
м (m 1)
Интенсивность флуктуаций фазы относительно среднего значения в отсутствие шумов на входе определяет ошибку синхронизации в системе, построенной на основе анализируемого цифрового управляемого генератора, поскольку в стационарном режиме система отслеживает среднее значение.
Известно, что максимальная ошибка
синхронизации ЦСФС, обусловленная дискретностью коррекции фазы в отсутствие шумов на входе равна величине дискрета подстройки фазы (2 / m ).
Приняв величину 2 / m за максимально допустимое отклонение относительно среднего значения:
(m 1) 2 /m,
определим допустимую нестабильность частоты ГОС
2 / m (m 1) ,
где – относительная нестабильность частот ЗГ и ГОС.
145
Выполнение этого условия позволит при расчете динамической ошибки
слежения учитывать нестабильность задающего генератора.
Расчетные величины относительной нестабильности представлены в табл.
10.1. Выполнение этого условия позволит в формуле для расчета динамической
ошибки слежения учитывать нестабильность задающего генератора.
Результаты расчета показывают, что приемлемая точность может быть
достигнута при относительной нестабильности 10 3 10 4 , что может быть
обеспечено при использовании LC-генераторов.
Если частота эталонного сигнала меньше предельной частоты переключения элементной базы, цифровой управляемый генератор может быть выполнен по комбинированной схеме с использованием делителя. При этом увеличением дискрета подстройки снижаются требования к стабильности ГОС. Для сохранения заданной величины дискрета подстройки пропорционально увеличивается частота ЗГ и ГОС и производится последующее деление опорного сигнала до частоты эталонного.
Таким образом, использование метода временной трансформации позволяет значительно (в десятки раз) расширить частотный диапазон работы
ЦСФС.
Таблица.10.1
Зависимость допустимых значений относительной нестабильности синхронизируемых генераторов от величины дискрета подстройки по фазе.
№
п/п
1
2 / 256
3*10-5
2
2 /100
2*10-4
3
2 / 64
4,8*10-4
4
2 / 32
1,9*10-3
146
10.8. Примеры реализации цифровых следящих систем
В качестве примеров рассмотрим схемы цифровых систем ФАПЧ с астатизмом второго порядка, реализующие методы дискретного управления фазой
и дискретного управления частотой.
Схема ЦФАПЧ с дискретным управлением фазой приведена на рис. 10.30.
Рис. 10.30. Схема ФАПЧ с дискретным управлением фазой
Система состоит из двух колец регулирования: пропорционального и интегрирующего, Интегрирующее включает реверсивные счетчики РСч1 и РСч2 и
преобразователь код-частота. Расстройка между частотой входного и опорного сигналов приводит к преобладанию импульсов счетно- импульсного кода на
одном из выходов ЦФД. В результате этого реверсивный счетчик УУ будет переполняться по одному из входов и на вход интегратора РСч1,РСч2 будут поступать импульсы переполнения. В интеграторе накопится код, пропорциональный частотной расстройке. Этот код является управляющим для преобразователя код-частота. В результате на выходе ПКЧ сформируется последовательность импульсов с постоянной частотой, пропорциональной частотной расстройке. Имульсы поступают на УДИ и осуществляют коррекцию частоты
опорного сигнала, равную в установившемся режиме первоначальной частотной расстройке. В качестве ПКЧ может быть использован цифровой синтезатор
частот с суммированием импульсных последовательностей (рис. 10.31).
147
Рис. 10.31. Схема цифрового синтезатора частот с суммированием импульных последовательностей: ДЦ – дифференцирующая цепь.
Цифровая схема ФАПЧ с дискретным управлением частотой приведена на
рис.10.32.
Рис.10.32. Схема ФАПЧ с дискретным управлением частотой
Сумматор кодов содержит полный код частоты, который управляет частотой цифрового синтезатора частоты. Реверсивный счетчик 2 постоянно подключен к сумматору кодов, а РС 3 периодически подключается к сумматору и
его код переписывается в сумматор, а затем сбрасывается (запись и сброс производится импульсом с делителя).
Таким образом, информация РС 3 обновляется каждый период (с частотой
регулирования Fp ). Сумматор кодов должен обладать памятью, т.е. является
сумматором накапливающего типа.
148
11. ПОИСК СИГНАЛА. ЗАДАЧИ И МЕТОДЫ ПОИСКА
При включении системы между текущим параметром, за которым осуществляется слежение и оценкой этого параметра на выходе системы сушествует рассогласование, превышающее полосу захвата, и система не может сама перейти в режим слежения. Чтобы перейти в режим слежения надо определить оценку параметра с точностью, обеспечивающей захват.
Так, в системе ФАПЧ ширина дискриминационной характеристики охватывает весь диапазон возможных значений фазового рассогласования, но, если
частота сигнала будет вне полосы захвата, то необходимо производить поиск по
частоте.
Следовательно, этапу слежения должен предшествовать поиск по параметрам. При работе в шумах может произойти срыв слежения, чтобы его возобновить необходимо также производить поиск. Таким образом, для нормальной работы следящей системы последняя должна быть дополнена устройством
поиска.
Существуют различные методы поиска:
- параллельный поиск;
- последовательный поиск;
- многоэтапный поиск.
При последовательном поиске последовательно аннализируется диапазон
возможных значений отслеживаемого параметра.
При параллельном поиске весь диапазон возможных значений параметра
разбивается на отрезки, ширина этих отрезков выбирается из условия обеспечения необходимой точности оценки отслеживаемого параметра, таким образом, чтобы при условии определения наличия сигнала в данной ячейке (отрезке), система была способна перейти в режим слежения. Параллельный поиск
осуществляется с помощью многоканальных устройств.
149
ЛИТЕРАТУРА
1. Коновалов Г.Ф. Радиоавтоматика: Учебник для вузов. – М.: Высш. шк.,
1990.
2. Первачев С.В. Радиоавтоматика: Учебник для вузов. – М.: Радио и
связь, 1982.
3. Радиоавтоматика: Учебн. пособие для студ.вузов спец. Радиотехника»/
Под ред. В.А. Бесекерского .– М.: Высш. шк., 1985.
4. Цифровые системы фазовой синхронизации/ Под ред. М.И. Жодзишского – М.: Сов.радио, 19805. Бесекерский В.А., Попов Е.Г. Теория систем автоматического регулирования. – М.: Наука, 1975.
6. Артемьев В.М. Справочное пособие по методам исследования радиоэлектронных следящх систем. – Мн.: Выш. шк., 1984.
7. Артемьев В.М Локационные системы роботов: Справочное пособие. –
Мн.: Выш. шк., 1988.
8. Гитис З.И, Данилович Г.А., Самойленко В.И. Техническая кибернетика: Учебник для радиотехнических вузов – М.: Сов. радио, 1969.
150
СОДЕРЖАНИЕ
1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА СИСТЕМ РАДИОАВТОМАТИКИ (РА) . 2
1.1. Понятие систем РА ........................................................................................ 2
1.2. Принципы построения и классификация систем РА ................................. 2
2. ОПИСАНИЕ СИСТЕМ РАДИОАВТОМАТИКИ ........................................... 5
2.1.Система частотной автоподстройки (ЧАП)..................................................... 5
2.1.1 Функциональная схема................................................................................ 5
2.2. Система фазовой автоподстройки частоты (ФАПЧ) ................................... 10
2.2.1. Функциональная схема............................................................................. 10
2.2.2. Математическое описание работы системы. Структурная схема ....... 10
2.3. Система слежения за временным положением импульсного сигнала ...... 13
2.3.1. Функциональная схема............................................................................. 13
2.3.2. Математическое описание. Структурная схема системы слежения за
временным положением ..................................................................................... 15
2.4. Система слежения за направлением прихода радиосигнала ...................... 18
2.5. Обобщенные функциональная и структурная схемы радиотехнических
следящих систем..................................................................................................... 20
2.6. Системы автоматической регулировки усиления (АРУ) ............................ 23
3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОПИСАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ
СТАЦИОНАРНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ ............................................ 26
3.1.Общая характеристика методов ...................................................................... 26
3.2. Использование дифференциальных уравнений ........................................... 26
3.3. Использование передаточных функций........................................................ 27
3.4. Использование переходной и весовой функций .......................................... 28
3.5. Использование частотных передаточных функций..................................... 30
3.6. Использование логарифмических частотных характеристик .................... 32
3.7. Передаточные функции следящих систем................................................... 35
3.8. Передаточные функции в обобщенной структурной схеме
радиотехнической следящей системы.................................................................. 37
3.9. Типовые динамические звенья следящих систем ........................................ 37
4. УСТОЙЧИВОСТЬ РАДИОЭЛЕКТРОННЫХ СЛЕДЯЩИХ СИСТЕМ .. 48
4.1 Понятие устойчивости ..................................................................................... 48
4.2.Алгебраические критерии устойчивости ....................................................... 49
4.3.Частотные критерии устойчивости ............................................................... 50
4.4.Определение устойчивости с помощью ЛАЧХ разомкнутой системы ...... 53
4.5. Абсолютно и условно устойчивые системы................................................. 54
5. АНАЛИЗ КАЧЕСТВЕННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК СЛЕДЯЩЕЙ
СИСТЕМЫ................................................................................................................ 58
5.1.Показатели качества следящей системы........................................................ 58
5.2. Анализ установившейся (динамической) ошибки ...................................... 59
5.3. Понятие астатизма системы ........................................................................... 61
5.4. Методы вычисления коэффициентов ошибки ............................................. 62
151
5.5. Динамические ошибки в следящих системах с астатизмом различного
порядка .................................................................................................................... 63
6. АНАЛИЗ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ
РАДИОЭЛЕКТРОННЫХ СЛЕДЯЩИХ СИСТЕМАХ .................................... 67
6.1.Определение статистических характеристик случайных процессов в
линейных системах ................................................................................................ 67
6.2.Расчет дисперсии случайного процесса с помощью стандартных
интегралов ............................................................................................................... 68
6.3.Эквивалентная шумовая полоса следящих систем ....................................... 72
6.4.Оптимизация параметров следящих систем.................................................. 73
6.5. Память следящих систем ................................................................................ 75
7. ПРОЕКТИРОВАНИЕ СИСТЕМ РАДИОАВТОМАТИКИ ......................... 78
7.1. Постановка задачи ........................................................................................... 78
7.2. Определение желаемой ПФ разомкнутой системы ..................................... 79
7.3. Методы коррекции передаточных функций ................................................. 82
7.4. Типы параллельных и последовательных корректирующих звеньев........ 83
8. НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ РАДИОАВТОМАТИКИ .............................. 90
8.1. Методы исследования нелинейных систем .................................................. 90
8.2.Анализ нелинейного режима работы системы ЧАП .................................... 91
8.3. Метод фазовой плоскости .............................................................................. 95
8.4. Метод статистической линеаризации ......................................................... 102
8.5. Метод гармонической линеаризации .......................................................... 105
8.5.1. Основы метода ........................................................................................ 105
8.5.2. Расчет автоколебаний по критерию Найквиста................................... 107
9. ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ РАДИОАВТОМАТИКИ .............................. 110
9.1. Системы с прерывистым входным сигналом. Функциональные схемы . 110
9. 2. Структурные схемы систем......................................................................... 112
9.3. Математическое описание дискретных систем ......................................... 115
9.3.1. Z-преобразование и его свойства .......................................................... 115
9.3.2. Передаточные функции дискретных систем ....................................... 117
9.3.3. Разностные уравнения ............................................................................ 118
9.3.4. Операторный коэффициент передачи дискретной системы .............. 119
9.3.5. Комплексный коэффициент передачи дискретной системы.............. 119
9.3.6. Устойчивость дискретных систем ........................................................ 120
9.3.7.Анализ детерминированных процессов в дискретных системах ....... 122
9.3.8. Анализ случайных процессов дискретных систем.............................. 123
10. ЦИФРОВЫЕ СИСТЕМЫ РАДИОАВТОМАТИКИ................................. 124
10.1.Общая характеристика цифровых систем ................................................. 124
10.2. Аналого-цифровая следящая система ....................................................... 124
10.3. Цифровые временные дискриминаторы ................................................... 126
10.4. Цифровые фазовые дискриминаторы ....................................................... 128
10.5. Цифровые частотные дискриминаторы .................................................... 131
10.6. Цифровые фильтры ..................................................................................... 133
10.7. Цифровые генераторы опорного сигнала ................................................. 136
10.8. Примеры реализации цифровых следящих систем ................................. 147
152
Uвх t
К другим каскадам
приемника
Смесит.
УПЧ
ЧД
11. ПОИСК СИГНАЛА. ЗАДАЧИ И МЕТОДЫ ПОИСКА ........................... 149
Гетерод.
ФНЧ
153