Некоторые обобщения теоремы косинусов в n

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ
РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ
“ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГИМНАЗИЯ №1 г. ВИТЕБСКА”
Научно-исследовательская работа по математике на тему
“Некоторые обобщения теоремы
косинусов в n-мерном пространстве”
Выполнил: ученик 11”B” класса
Бесов Дмитрий Владимирович
Научный руководитель
Горбаль Лидия Леонидовна
г. Витебск, 2008
Оглавление
Введение
1. Применение теоремы Пифагора в n-мерном пространстве
2. Применение теоремы косинусов (при известных сторонах и углах
между каждой парой сторон)
3. Применение теоремы косинусов (при известных сторонах и других
видах углов)
Выводы
2
Введение:
Существует теорема Пифагора в двухмерном пространстве, теорема Пифагора в
трѐхмерном пространстве в следующих видах a 2  a12  a22 , S 2  S12  S 22  S 32 .
Целью нашей работы является рассмотрение аналогичной теоремы в несколько другом
аспекте, обобщение еѐ.
Рассмотрев в двухмерном пространстве выражение диагонали прямоугольника d через его
стороны a1, a2: d2= a12  a22 , в трѐхмерном – диагонали прямоугольного параллелепипеда
через 3 его измерения a1, a2, a3 : d 2  a12  a22  a32 , обобщим эти утверждения для n-мерного
пространства, то есть укажем способ нахождения диагонали в геометрическом теле с парами
параллельных сторон, у которой грани являются параллелограммами (для плоскости –
параллелограмм, для трѐхмерного пространства – это параллелепипед), т.к. общего названия
у них нет, то я назову такие фигуры "параллелефигурами", взяв за основу следующее
определение пространства:
«Евклидову плоскость можно представить как множество R2 всех упорядоченных пар (x,
y) действительных чисел. Подобным же образом трѐхмерное пространство можно
рассматривать как множество R3 всех упорядоченных троек (x, y, z) действительных чисел.
Наконец линия R – это одномерное пространство. Следовательно, n-мерное пространство –
Rn – множество n-наборов (x1, …, xn).»(Ян Стюарт)
1. Применение теоремы Пифагора в n-мерном
пространстве
а) Для двухмерного пространства введѐм два вектора
e1 , e2 ; где e1  e2 ,тогда d  a1  a2 ,где a1  a1 e1 ; a2  a2 e2 , и
(a1;a2) – координаты вектора d в этом базисе, в этом случае
d2= a12  a22 .
a2
d
а1
e1
Т.к. d  a1 e1  a2 e2
2
a2
e2

d  a12e12  a22e22  2a1a2 cos e1e2  a12  a22 , e12  e22  1 .
б) Для трѐхмерного пространства с базисом e1 , e2 ,
e3 , где e1 , e2 , e3 взаимно перпендикулярны.
Т.к. d  a1 e1  a2 e2  a3 e3 и углы между каждым из
векторов по 900, то тогда d 2  a12  a22  a32 .
в) Тогда в n-мерном пространстве с базисом
e1 , e2 ,..., en , где e1 , e2 ,..., en взаимно перпендикулярны.
d  a1 e1  a2 e2  ...  an en , так как cos 90 0 = 0, то
d 2  a12  a22  a32  ...  an2 ,
координаты вектора d .
где
(a1;a2;..;an)
d
a3
e3
e1
a1
–
e2
a2
2. Применение теоремы косинусов (при известных сторонах и углах между каждой
парой сторон)
а) Теорема косинусов для плоскости: квадрат любой стороны треугольника равен сумме
квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла
между ними.
3
Доказательство: Пусть АВС – данный треугольник. Имеем векторное равенство
BC  AC  AB . Возводя это равенство скалярно в квадрат, получим
C
C
α
A
α
D
D
B
A
B
BC 2  AC 2  AB 2  2 AB  AC
или
BC2=AB2 +AC2 –2AB ∙AC∙cos A.
А теперь рассмотрим "теорему косинусов" для нахождения диагонали параллелограмма
Имеем векторное равенство AC  AD  AB ;
B
Возведя это равенство в квадрат получим
C
AC 2  AD2  AB 2  2 AB  AD
или
AC2=AB2 +AD2 +2AB ∙AD∙cos A
или
d
a1
d 2  a12  a22  2a1a2 cos .
A
б) Применение "теоремы косинусов" для
трѐхмерного пространства: квадрат любой
диагонали в параллелепипеде равен сумме
квадратов
сторон
и
удвоенных
произведений этих сторон на косинус угла
между ними.
α
a2
D
B1
C1
A1
D1
a3
d
Доказательство:
Имеем
векторные
равенства
AC  AB  AD ;
AC1  AA1  AC  AA1  AB  AD ;
Возводя это равенство
квадрат, получим
2
AC1
скалярно
a2
в
a1
A
2
2
C
B
D
2
 AA1  AD  AB  2 AA1  AB  2 AA1  AD  2 AD  AB
или
4
AC12  AA1  AD2  AB2  2 AA1  AD  cos A1 AD  2 AA1  AB  cos A1 AB  2 AD  AB  cos BAD
2
или
d 2  a12  a22  a32  2a1a3 cos 2  2a2 a3 cos 3  2a1a2 cos1 , где  αn – угол между парой
сторон, употреблѐнных в произведении с углом, d – искомый отрезок, an – стороны
параллелефигуры.
в) Аналогично для четырѐхмерного пространства:
d 2  a12  a22  a32  a42  2a1a3 cos 2  2a2 a3 cos 4  2a1a2 cos1  2a1a4 cos 3  2a2 a4 cos 5  2a3a4 cos 6
г) подобным образом выводится общая формула:
d 2  a12  ...  an2  2a1a3 cos  2  2a2a3 cos  4  2a1a2 cos 1  ...  2an1an cos  C .
2
n
Не сложно подсчитать, что количество произведений равно количеству сочетаний Cn2 .
3. Применение теоремы косинусов (при известных сторонах и других углах)
Пусть  BCD = α1,  A1AC =α2.
c 2  a12  a22  2a1a2 cos ADC . Так как ABCD
B1
– параллелограмм, то cos ADC   cos BCD ,
анологично
cos A1 AC   cosC1CA ;
D1
A1
2
2
2
c  a1  a2  2a1a2 cos 1 ;
C1
d 2  a32  c 2  2a3c cos 2 ;
Подставляем во второе равенство первое,
получаем
d 2  a12  a22  a32  2a1a 2 cos1  2a3c cos 2 ;
Аналогично
для
четырѐхмерного
пространства
d 2  a12  a22  a32  a42  2a1a 2 cos1 
 2a3c1 cos 2  2a4c2 cos 3 , где cn – отрезок
d
a3
B
a2
с
C
a1
равный
скалярной
сумме
векторов A
D
предыдущих пространств, который можно
рассчитать, рассуждая аналогично;  αn – угол при каждой последующей стороне и сумме
векторов предыдущих, d – искомый отрезок, an – стороны параллелефигуры.
Аналогично
рассуждая,
можно
вывести
общую
формулу
для
n-мерного
пространства:
d 2  a12  a22  ...  an2  2a1a 2 cos 1  2a3c1 cos  2  2a4c 2 cos  3  ...  2an1c n3 cos  n2  2ancn2 cos  n1 .
5
Выводы
1.
В n-мерном пространстве работает «теорема Пифагора» и принимает вид:
d 2  a12  a 22  a 32  ...  a n2 ,
где d – искомая сторона, a аn – стороны параллелефигуры.
2. В n-мерном пространстве, при известных сторонах и углах между каждой парой
сторон, работает «теорема косинусов» и принимает вид:
d 2  a12  ...  an2  2a1a3 cos  2  2a2a3 cos  4  2a1a2 cos 1  ...  2an1an cos  C 2 , где
n
 αn – угол между парой сторон, употреблѐнных в произведении с косинусом угла, d –
искомый отрезок, an – стороны параллелефигуры.
3. В n-мерном пространстве, при известных сторонах и углах при каждой последующей
стороне и векторной сумме предыдущих, работает «теорема косинусов» и принимает вид:
d 2  a12  a22  ...  an2  2a1a 2 cos 1  2a3c1 cos  2  2a4c 2 cos  3  ...  2an1c n3 cos  n2  2ancn2 cos  n1
где cn – сторона треугольника, находящаяся в измерении идущем перед стороной, на
которую она умножается, которую можно рассчитать, рассуждая аналогично;  αn – угол
при каждой последующей стороне и сумме векторов предыдущих, d – искомый отрезок, an –
стороны параллелефигуры.
Использована литература:
А.В. Погорелов "Геометрия 7-11"
Ян Стюарт "Концепции современной математики"
6