108 Свойство и признак вписанного четырёхугольника

1С:Математический конструктор 5.5
108
•
Методические указания к интерактивным моделям
Свойство и признак
вписанного четырёхугольника
Класс: 8
Тема: Окружность
Назначение: «Открытие» свойства вписанных углов, опирающихся на одну и ту же дугу. «Открытие» свойства и
признака вписанного четырехугольника, поиск доказательства.
Как изучать: Под руководством учителя, самостоятельно в классе
***
Модуль содержит модель из двух листов.
На первом листе (рис.1) дан четырёхугольник ABCD, три вершины A, B, C которого лежат на данной
окружности, а четвертую вершину D можно как помещать на окружность, так и снимать с нее.
Измерены углы четырёхугольника и сумма его противоположных углов. Также имеется кнопка,
вызывающая дополнительное построение к самому распространенному (и не вполне верному!)
доказательству достаточности условия вписанности четырёхугольника и пояснения к этому
доказательству.
На втором листе приводится другое, оригинальное доказательство признака вписанного
четырёхугольника, лишенное недостатков «обычного» доказательства.
Модель оснащена инструментами для проведения прямых и отрезков, измерения углов и вычисления
сумм, которые можно использовать для самостоятельного экспериментирования.
Рис.1
1С:Математический конструктор 5.5
•
Методические указания к интерактивным моделям
Методические рекомендации по работе с модулем
Данный модуль предназначен для использования в 8 классе при изучении теоремы о вписанном угле
и свойства вписанного четырёхугольника. Оптимальный режим его использования – фронтальная или
индивидуальная работа в классе под руководством учителя. Работа состоит из нескольких этапов.
Этап 1. «Открытие» теоремы
После запуска модели мы увидим на экране вписанный четырёхугольник ABCD, измеренные
величины его углов и суммы углов ABC и CDA. Мы можем подвигать, например, вершину D по
окружности и посмотреть, что при этом происходит с углами.
Легко заметить, что угол B остается постоянным, но это и понятно, его стороны не двигаются. Углы
A и C изменяются, что тоже не удивительно. А вот то, что при их изменении остается постоянной
остается неизменной величина угла D, несмотря на то, что его стороны и вершина движутся, – уже
сюрприз.
Можно подвигать и другие вершины, превращая четырёхугольник в произвольную ломаную,
вписанную в окружность.
Из наблюдений следует, что пока точка D находится на дуге AC, величина угла ADC остается
постоянной (теорема о равенстве вписанных углов, опирающихся на одну и ту же дугу). Также мы
видим, что сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180°. Оба эти
утверждения появляются как экспериментальные факты; конечно, их нужно четко сформулировать и
доказать. Это доказательство в данной модели не рассматривается. Отметим, что апплет позволяет
самостоятельно построить модель для исследования рассматриваемой ситуации, и это может
оказаться даже полезней, чем работа с готовой моделью, хотя сделать кнопки, снимающие точку с
окружности и сажающие ее обратно, и не получится.
Этап 2. Признак вписанного четырёхугольника. Попытка доказательства
После формулировки свойства вписанного четырёхугольника:
если четырёхугольник ABCD можно вписать в окружность, то ∠ABC + ∠CDA = 180° (*), естественно
задаться вопросом, является ли условие (*) достаточным для того, чтобы около четырёхугольника
можно было описать окружность. Ответ, как всем известно, положительный, но в большинстве
доказательств есть тонкости, которыми в учебниках обычно пренебрегают. И динамическая модель
позволяет выявить их особенно легко.
Одно из стандартных доказательств достаточности проводится так.
Поскольку через вершины A, B, C можно всегда провести единственную окружность, достаточно
доказать, что если точка D не лежит на этой окружности, то суммы противоположных углов
четырёхугольника не равны 180°.
1С:Математический конструктор 5.5
•
Методические указания к интерактивным моделям
Пусть точка D находится внутри окружности (рис.2). Продолжим сторону CD до пересечения с
окружностью в точке D1 (построив луч CD), тогда ∠CDA – внешний для треугольника ADD1, и
потому ∠ABC + ∠CDA > ∠ABC + ∠CD1A = 180°.
A
A
A
D1
D1
D
D
B
C
D
Рис.2
B
C
Рис.3
Рис.4
B
C
Аналогично рассматривается и случай точки вне окружности: та же сумма оказывается меньше 180°.
На первый взгляд, все в порядке. Но нетрудно найти такое расположение вершин A. B, C и точки D,
что ни луч CD, ни луч AD пересекать окружность вторично не будут (рис.3), и приведенное
рассуждение не пройдет. Существуют разные способы обойти эту небольшую неприятность, но,
пожалуй, лучше всего – перестроить схему доказательства.
Этап 3 Доказательство признака вписанного четырёхугольника
Этот этап работы происходит на листе 2. В представленном на нем чертеже (рис.4) проведен луч BD,
пересекающий окружность вторично в точке D1. Рассмотрим сумму углов нашего четырёхугольника
при вершинах A и C (а не при B и D, как раньше) и сравним ее с аналогичной суммой, равной 180°,
для вписанного четырёхугольника ABCD1. Очевидно, эти две суммы равны только в том случае,
когда D = D1, т.е. когда D лежит на окружности. Заметим, что на сей раз точка D1 определена для
любого выпуклого четырёхугольника ABCD. (Выпуклость обеспечена условием (*).)