Первообразные корни и индексы.

Первообразные корни и индексы.
03.12.2012
Первообразные корни.
1. Найти порядок а) 1 ∈ Zm ; б) −1 ∈ Zm ; в) 2 ∈ Z3 ;
2. Выпишите порядки элементов Zm при m = 4, 5, 6, 7.
3. Пусть ord(g) = k, g ∈ Zm . Докажите, что а) 1, g, g 2 , . . . , g k−1 ∈ Zm — попарно различные
′
числа б) Если k|l − l′ , то g l = g l в Zm . в) g s = 1 ⇔ k|s.
ord(g)
.
4. Докажите, что ord g l =
(l, ord(g))
Обозначим через ϕ(m) (функция Эйлера) количество чисел, меньших m и взаимно простых
с m.
5. а) Найдите ϕ(p) для p — простого.
б) Докажите, что ϕ(m) = m · (1 − p11 ) . . . (1 − p1s ), где m = pl11 . . . plss .
Определение 1. Число g называется первообразным корнем по модулю m, если ord(g) = ϕ(m).
6. Найдите первообразные корни для Zm , m 6 7.
7. Может ли быть квадратичный вычет в Zp быть первообразным корнем?
8. Существует ли m такое, что не существует первообразных корней по модулю m?
9. Если ord(g) = k, то k|ϕ(m).
10. Найти первообразный корень по модулю а) 11; б) 17.
11. Пусть g — первообразный корень по модулю m. Докажите, что g l — первообразный корень
тогда и только тогда, когда (l, ord(g)) = 1.
12. Найти количество первообразных корней по модулю p.
13. Найдите все первообразные корни по модулю а) 11; б) 17; в) 23; г) 27; д) 49; е) 289.
14. Составьте таблицы индексов по модулям 17, 23.
15. Решите сравнения x8 ≡ 5 (mod 17), x4 ≡ 4 (mod 17).
Дополнительные задачи.
Здесь и далее везде p — нечётное простое число.
16. Пусть a ∈ Z, a > 1. Доказать, что простые нечётные делители числа ap − 1 делят a − 1 или
имеют вид 2px + 1.
n
17. Пусть n ∈ Z, n > 0. Доказать, что простые делители числа 22 + 1 имеют вид 2n+1 x + 1.
18. Пусть a, n ∈ Z, a > 1, n > 0. Доказать, что ϕ(an − 1) кратно n.
19. Доказать, что 3 — первообразный корень простого числа 2n + 1 при n > 1.
20. Доказать, что 2 — первообразный корень простого числа вида 4p + 1.
21. Пусть n — целое, n > 0, S = 1n + 2n + · · · + (p − 1)n . Доказать, что

−1 (mod p) , если n кратно p − 1
S≡
0 (mod p)
, иначе
22. Докажите теорему Вильсона, используя предыдущую задачу.