ЛЕКЦИЯ 9 КИНЕТИКА ФЕРМИ-ЖИДКОСТИ. КВАНТОВЫЙ РОСТ

ЛЕКЦИЯ 9
КИНЕТИКА
ФЕРМИ-ЖИДКОСТИ.
КВАНТОВЫЙ РОСТ ЗАРОДЫША
1. Спектр ферми-жидкости и плазмы
Ферми-жидкость — это образование, в чьём фазовом пространстве все заполнено ниже
поверхности Ферми. Небольшое количество газа, который движется вблизи поверхности
Ферми, не сохраняет число своих частиц: оно зависит от температуры. Чем больше
температура, тем больше слой, в котором эти частицы возбуждены.
Будем рассматривать не только ферми-заряженную жидкость, то есть электроны
в плазме, электроны в металле, но и нейтральные ферми-жидкости, то есть 3 He. Будем исходить из кинетического уравнения, причем столкновения будем считать редкими (𝜔𝜏 ≫ 1), и поэтому сначала нужно написать кинетическое уравнение без интеграла
столкновений.
𝜕𝑓
𝜕𝑓
+ (𝑣∇)𝑓 + 𝑝̇
= 0.
𝜕𝑡
𝜕𝑝
Речь идет о ферми-жидкостях при низких температурах, то практически все фермичастицы занимают область фазового пространства под поверхностью Ферми, а все возбуждения двигаются только в узкой области в районе поверхности Ферми, и поэтому
можно сказать, что энергия выражается следующим образом:
𝜖 = 𝑣f |𝑝 − 𝑝f |.
В небольшой окрестности аппроксимируем квадратичный спектр линейным.
Будем искать функцию распределения как сумму равновесной функции и малой добавки к ней:
𝑓 = 𝑓 (0) + 𝑓 (1) ,
а 𝑓 (1) представим как
𝑓 (1) = ∣
𝜕𝑓 (0)
∣ 𝜒,
𝜕𝜉
!
Конспект не проходил проф. редактуру, создан студентами и,
возможно, содержит смысловые ошибки.
Следите за обновлениями на lectoriy.mipt.ru.
2
Рис. 9.1
где энергия 𝜉 отсчитывается от поверхности Ферми.
Перепишем слагаемое с производной по импульсу:
𝑝̇
𝜕𝑓 (0)
𝜕𝑓 (0)
= −𝑝𝑣̇ ∣
∣.
𝜕𝑝
𝜕𝜉
Сила, которая действует на частицы, слабая, поэтому можно писать 𝑓 (0) . Знак «минус» после знака «равно» появляется из-за того, что 𝑓 (0) — это убывающая функция.
!
Для подготовки к экзаменам пользуйтесь учебной литературой.
Об обнаруженных неточностях и замечаниях просьба писать на
pulsar@ phystech. edu
3
!
Конспект не проходил проф. редактуру, создан студентами и,
возможно, содержит смысловые ошибки.
Следите за обновлениями на lectoriy.mipt.ru.
Рис. 9.2
Теперь запишем уравнение Больцмана через Фурье-образы:
𝜕𝑓 (𝑝)
(−𝑖𝜔 + 𝑖𝑘⃗ 𝑣)𝑓
⃗ u� (𝑝) + (𝑝u�̇ )u� 0
= 0.
𝜕𝑝u�
Важно уточнить следующее: раньше был рассмотрен случай с внешним электрическим потенциалом, когда 𝑝̇ полагали равным 𝑒𝐸. Теперь же речь идет о фермижидкости. В ней вся эволюция происходит благодаря тому, что на данную частицу
действуют окружающие квазичастицы в огромном количестве (самосогласованное поле: взаимное влияние частиц друг на друга).
Учитывая интегральный характер взаимодействия, переписываем 𝑝̇ в следующем виде:
𝜕
𝑑 3 𝑟′ 𝑑 3 𝑝′
𝑝̇ = − ∫
𝑈 (𝑟 − 𝑟′ )𝑓 (1) (𝑟′ , 𝑝′ )
𝜕𝑟
(2𝜋ℏ)3
— под интегралом стоит 𝑓 (1) , поскольку равновесная функция не дает вклада: если квазичастицы со всех сторон расположены симметрично, то суммарная сила равна нулю.
Если рассматривать нейтральные частицы, то
𝑈 (𝑟 − 𝑟′ ) = 𝑈0 𝛿(𝑟 − 𝑟′ ).
После интегрирования имеем:
(𝑝u�̇ )u� = −𝑖𝑘u� 𝑈0 𝑔f <𝜒>,
где 𝑔f — плотность состояний, <𝜒> — среднее по углам.
Если рассматривать случай заряженной, а не нейтральной частицы, то 𝑈 =
тогда
4𝜋𝑒2
𝑈u� = 2 ;
𝑘
(0)
𝜕𝑓 (𝑝)
𝜕𝑓 (0)
(−𝑖𝜔 + 𝑖𝑘⃗ 𝑣)⃗ ∣
∣ 𝜒u� − 𝑖𝑘u� 𝑣u� 𝑔f 𝑈u� ∣
∣ <𝜒> = 0.
𝜕𝜉
𝜕𝜉
u�2
,
u�
(0)
Сократим на ∣ u�u�u�u� ∣ и усредним:
<𝜒> = 𝑈u� 𝑔f ⟨
𝜔 − 𝑘⃗ 𝑣 ⃗
1 = 𝑈u� 𝑔f ⟨
!
𝑘⃗ 𝑣 ⃗
𝑘⃗ 𝑣 ⃗
⟩<𝜒>,
𝜔 − 𝑘⃗ 𝑣 ⃗
⟩
Для подготовки к экзаменам пользуйтесь учебной литературой.
Об обнаруженных неточностях и замечаниях просьба писать на
pulsar@ phystech. edu
и
!
Конспект не проходил проф. редактуру, создан студентами и,
возможно, содержит смысловые ошибки.
Следите за обновлениями на lectoriy.mipt.ru.
4
— отсюда получаем дисперсионное уравнение для 𝜔 = 𝜔(𝑘).
𝐽 =⟨
1
𝑘⃗ 𝑣 ⃗
𝜔 + 𝑘⃗ 𝑣 ⃗
⟩=∫
−1
𝑘𝑣 cos 𝜃
cos 𝜃
𝑑
.
𝜔 − 𝑘𝑣 cos 𝜃
2
Введём обозначение: 𝜔/𝑘𝑣 = 𝑠.
1
1
1
1
cos 𝜃𝑑 cos 𝜃
1
(𝑠 − 𝑥)𝑑𝑥 1
𝑑𝑥
1
𝑠+1
𝐽= ∫
=− ∫
+ 𝑠∫
= −1 − 𝑠 ln
.
2
𝑠 − cos 𝜃
2
𝑠−𝑥
2
𝑠−𝑥
2
𝑠−1
−1
−1
−1
1
𝑠+1
1
−1 + 𝑠 ln
=
.
2
𝑠−1
𝑈0 𝑔f
Тогда 𝜔He3 = 𝑠𝑣f 𝑘 — линейный звуковой спектр для 3 He (нуль-звук). Его скорость
порядка 𝑣f . Для 3 He отношение u� 1 u� велико, величина 𝑠 близка к единице, и 𝑣f небольшая,
0 f
поэтому и скорость нуль-звука тоже невелика.
В случае ферми-газа нужно заменить 𝑈0 на 𝑈u� :
1
𝑈u� 𝑔f
=
𝑘2
.
4𝜋𝑒2 𝑔f
Теперь же рассмотрим длинноволновую часть спектра: 𝑠 ≫ 1. Разложим 𝐽 (𝑠) в ряд
до второго члена:
𝑘2
1
1
= 2 + 4.
2
4𝜋𝑒 𝑔f
3𝑠
5𝑠
Если пренебречь вторым членом, то получим спектр:
𝑠2 =
4 𝜋𝑒2 𝑔f
3 𝑘2
⇒
𝑠∼
1
.
𝑘
Отсюда
𝜔плазм ∼ const.
2. Учёт квантовых явлений в задаче о росте зародышей в пересыщенных средах
Рассмотрим фазовую диаграмму 4 He.
Когда переходим через фазовую кривую, разделяющую сверхтекучее и твердое состояния, при низких температурах, повышая давление через 26 атмосфер, то происходит
фазовый переход в жидком сверхтекучем (или не сверхтекучем) 4 He (рис. 9.4). В жидком
состоянии возникают зародыши твердой фазы, то есть маленькие кристаллики. Найдем
зависимость, с какой скоростью происходит рост твердых кристалликов в зависимости
от температуры.
Явление заключается в том, что энергия есть функция от радиуса. Когда зародыш
очень маленький, главную роль у него играет энергия поверхностного натяжения 4𝜋𝜎𝑟2 ,
!
Для подготовки к экзаменам пользуйтесь учебной литературой.
Об обнаруженных неточностях и замечаниях просьба писать на
pulsar@ phystech. edu
5
!
Конспект не проходил проф. редактуру, создан студентами и,
возможно, содержит смысловые ошибки.
Следите за обновлениями на lectoriy.mipt.ru.
Рис. 9.3
то есть энергия растет, и образование зародышей является невыгодным. Однако, если
увеличить радиус, то, поскольку изменение химического потенциала есть отрицательная
величина, надо к поверхностной энергии, добавить −𝛿𝜇 на число частиц в зародыше, то
есть 43 𝜋𝑟3 𝑛ж .
Начиная с некоторого размера 𝑅C , функция начинает падать, и образование зародыша становится выгодным. Если пренебречь диффузией, то все кристаллики, зародыши твердой фазы меньше критического размера схлопываются (им выгодно уменьшать
энергию). Если нет диссипативных процессов, то большие кристаллы превратятся в один
огромный кристалл, а маленькие просто уйдут в жидкую фазу.
Рис. 9.4
Но в действительности также есть поток справа налево благодаря тому, что есть еще
диффузионный член в кинетическом уравнении. Это просто гидродинамический поток
u�u�
в пространстве размеров. Также еще есть коэффициент 𝐷 u�u�
— диффузия. Благодаря диффузионному члену возникают флуктуационные процессы во все направления,
и поэтому даже если в начале все кристаллы были слева, они постепенно, благодаря
тепловым флуктуациям, перетекают через максимум. Например, весь жидкий 4 He под
давлением становится твердым.
Для теплового движения и перескока через барьер нужна температура. Если температура достаточно низкая, то зародыши с энергией образования больше, чем температура, запрещены, то есть нет возможности перепрыгнуть через барьер.
Рассмотрим ситуацию с точки зрения квантовой механики.
Гамов обратил внимание, что случай 𝛼-распада объясняется простым образом.
𝛼-частица вначале имеет положительную энергию, и поэтому это есть квазистационарное состояние (неустойчивое). Частица может перейти на другую сторону (а в ядре
!
Для подготовки к экзаменам пользуйтесь учебной литературой.
Об обнаруженных неточностях и замечаниях просьба писать на
pulsar@ phystech. edu
!
Конспект не проходил проф. редактуру, создан студентами и,
возможно, содержит смысловые ошибки.
Следите за обновлениями на lectoriy.mipt.ru.
6
Рис. 9.5
температура равна нулю, и поэтому флуктуационный процесс невозможен) только квантовым переходом.
Применим теорию Гамова к образованию твердых кристаллов гелия в жидком гелии.
Энергия тела складывается из кинетической и потенциальной энергий:
𝑝2
.
2𝑚
Благодаря кинетической энергии есть вероятность просочиться через потенциальный
барьер:
𝐻 = 𝜖(𝑟) +
2
⎜− ∫ |𝑝|𝑑𝑟⎞
⎟.
𝑤 ∼ exp ⎛
⎝ 1
⎠
Потенциальная энергия 𝑈 = Π(𝑅) зародыша радиуса 𝑅 имеет вид энергии одного
атома Π(𝑅) (рис. 9.5), умноженной на на число атомов в зародыше (𝑀 = 43 𝜋𝑅3 𝑛sol ).
Надо учесть, что закритический зародыш растет. И, следовательно, со всех сторон
на этот зародыш налетают молекулы жидкости. Кинетическая энергия зародыша равна
суммарной энергии атомов, диффундируюших к растущему зародышу.
Уравнение непрерывности:
𝜕𝑛
+ div 𝑛𝑣 = 0.
𝜕𝑡
Рассматривается квазистационарный процесс с постоянной плотностью жидкости,
поэтому:
1 𝜕
∇ ⋅ 𝑣 = 2 (𝑟2 𝑣) = 0.
𝑟 𝜕𝑟
В этой задаче
𝑅 2
𝑣(𝑟) = − ( ) 𝑣(𝑅).
𝑟
Берём от этого выражения интеграл и находим 𝜖(𝑟). И тогда полная энергия:
𝐻 = 𝑀 Π + 𝐸kin .
∞
𝐸kin
∞
𝑚 2
𝑚𝑣2 (𝑅)
𝑅 4
2
2
= ∫ 4𝜋𝑟 𝑛sol 𝑑𝑟 𝑣 = 4𝜋𝑛sol
∫ 𝑟 𝑑𝑟 ( ) =
2
2
𝑟
u�
u�
= 4𝜋𝑛sol
!
𝑚𝑣2 (𝑅)𝑅3
𝑚𝑣2 (𝑅)𝑅3
=3
𝑀,
2
2
Для подготовки к экзаменам пользуйтесь учебной литературой.
Об обнаруженных неточностях и замечаниях просьба писать на
pulsar@ phystech. edu
7
!
Конспект не проходил проф. редактуру, создан студентами и,
возможно, содержит смысловые ошибки.
Следите за обновлениями на lectoriy.mipt.ru.
где 𝑀 — число частиц внутри зародыша.
Поскольку 𝑣(𝑅) = 𝑅̇ u�u�
, где 𝛿𝑛 — разность плотностей,
u�
1
𝐸kin = 𝛼𝑅̇ 2 𝑀 (𝑅),
2
𝛼∼
𝛿𝑛
.
𝑛
Обозначим 𝑥 = 𝑅/𝑅C . Тогда
1
𝐸kin = 𝑀0 𝑥3 (𝑥)̇ 2 ,
2
4
𝑀0 ∼ 𝛼 𝜋𝑅C3 𝑛sol .
3
Отсюда нетрудно найти лагранжиан
𝐿 = 𝐸kin − 𝑈
и гамильтониан:
Вычисляем импульс:
1
𝐻 = 𝐸kin + 𝑈 = 𝑀0 𝑥3 (𝑥)̇ 2 + 𝑈 = 𝐸.
2
𝜕𝐸
𝜕𝑥
и подставляем выражение для импульса в формулу для вероятности. Основной вклад в
показатель экспоненты дает окрестность максимальной высоты потенциального барьера:
𝑝=
𝑤 ∼ exp [− ∫ |𝑃 |𝑑𝑥] ∼ exp [−𝛾 √𝑈max − 𝐸] .
Проникновение частиц на ту сторону барьера достигается либо туннелированием при
низких температурах, либо благодаря тепловым флуктуациям. При некоторой температуре оба процесса сравниваются, когда вероятность туннелирования и вероятность
перехода через барьер одинакова. Это происходит при некоторой температуре 𝑇 ∗ .
Эта задача была исследована экспериментально. Ученые Паршин и Цимболенко исследовали зависимость скорости процесса 𝑤 от температуры и увидели, что в начале,
как и должно быть,
𝐴
𝑤 ∼ exp (− )
𝑇
— закон Аррениуса.
Рис. 9.6
При температурах, стремящихся к нулю, скорость процесса становилась не экспоненциальной, а гораздо более медленной.
!
Для подготовки к экзаменам пользуйтесь учебной литературой.
Об обнаруженных неточностях и замечаниях просьба писать на
pulsar@ phystech. edu