Характеристики случайных функций

Лекция 4.31. Понятие о случайной функции. Характеристики случайных функций. Определение характеристик случайной функции из
опыта.
6.6. Понятие о случайной функции
Вспомним определение случайной величины. Случайной величиной называется
величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, неизвестно
заранее - какое именно. Дадим аналогичное определение случайной функции.
Случайной функцией называется функция, которая в результате опыта может принять
тот или иной конкретный вид, неизвестно заранее - какой именно.
Конкретный вид, принимаемый случайной функцией в результате опыта, называется
реализацией случайной функции. Если над случайной функцией произвести группу опытов,
то мы получим группу или «семейство» реализации этой функции.
Приведем несколько примеров случайных функций.
Пример 1. Самолет бомбардировщик на боевом курсе имеет, теоретически постоянную
воздушную скорость V. Фактически его скорость колеблется около этого среднего
номинального значения и представляет собой случайную функцию времени. Полет можно
рассматривать как опыт, в котором случайная функция V(t) принимает определенную
реализацию (рис. 6.23). От опыта к опыту вид реализации меняется. Если на самолете
установлен самопишущий прибор, то он в каждом полете запишет новую, отличною от
других реализацию случайной функции. В результате нескольких полетов можно получить
семейство реализации случайной функции V(t) (рис. 6.24).
До сих пор мы говорили только о случайных функциях, аргументом которых является
время t. В ряде задач практики встречаются случайные функции, зависящие не от времени, а
от других аргументов. Например, характеристики
прочности
неоднородного
стержня
могут
рассматриваться как случайные функции абсциссы
сечения х. Температура воздуха в различных слоях
атмосферы может рассматриваться как случайная
функция высоты Н.
На практике встречаются также случайные
Рис. 6.23.
функции, зависящие не от одного аргумента, а
от нескольких. Например, аэрологические
данные,
характеризующие
состояние
атмосферы (температура, давление, ветер),
представляют собой в общем случае
случайные функции четырех аргументов: трех
координат х. у, z и времени t.
Рассмотрим
некоторую
случайную
функцию Х(t). Предположим, что над ней
Рис. 6.24.
произведено п независимых опытов, в
результате которых получено п реализации
(рис. 6.25). Обозначим их соответственно номеру
опыта x1 (t ), x2 (t ),..., xn (t ) .
Каждая реализация, очевидно, есть обычная
(неслучайная) функция. Таким образом, в
результате каждого опыта случайная функция
X(t) превращается в обычную, неслучайную
функцию.
Зафиксируем теперь некоторое значение
аргумента t и посмотрим. во что превратится при
этом случайная функция Х (t). Очевидно. она
Рис. 6.25.
145
Лекция 4.31. Понятие о случайной функции. Характеристики случайных функций. Определение характеристик случайной функции из
опыта.
превратится в случайную величину в обычном смысле слова. Условимся называть эту
случайную величину сечением, случайной. функции, соответствующим данному t. Если
провести «сечение» семейства реализации при данном t (рис.6.25), мы получим п значений,
принятых случайной величиной Х (t) в п опытах.
Мы видим, что случайная функция совмещает в себе черты случайной величины и
функции. Если зафиксировать значение аргумента, он превращается в обычную случайную
величину; в результате каждого опыта она превращается в обычную (неслучайную)
функцию.
Характеристики случайных функций
Рис.6.26.
В отличие от числовых характеристик случайных величин, представляющих собой
определенные числа, характеристики случайных функций представляют собой в общем
случае не числа, а функции.
Математическое ожидание случайной функции Х (t) определяется следующим образом.
Рассмотрим сечение случайной функции Х(t) при фиксированном t. В этом сечении мы
имеем обычную случайную величину; определим ее математическое ожидание. Очевидно, в
общем случае оно зависит от t, т. е. представляет собой некоторую функцию t:
mx (t ) = M [ X (t )]
(6.76)
Таким образом, математическим ожиданием случайной функции Х (t) называется
неслучайная функция mx (t ) , которая при каждом значении аргумента t равна
математическому ожиданию соответствующего сечения случайной функции.
По смыслу математическое ожидание случайной функции есть некоторая средняя
функция, около которой различным образом варьируются конкретные реализации случайной
функции.
На рис. .26 тонкими линиями показаны реализации случайной функции, жирной
линией — ее математическое ожидание.
Аналогичным образом определяется дисперсия случайной функции. Дисперсией
случайной функции Х (t) называется неслучайная функция Dx (t ) , значение которой для
каждого t равно дисперсии соответствующего сечения случайной функции:
Dx (t ) = D[X (t )]
(6.77)
Дисперсия случайной функции при каждом t характеризует разброс возможных
реализации случайной функции относительно среднего, иными словами, «степень
случайности» случайной функции.
146
Лекция 4.31. Понятие о случайной функции. Характеристики случайных функций. Определение характеристик случайной функции из
опыта.
Рис.6.27.
Очевидно, Dx (t ) есть неотрицательная функция. Извлекая из нее квадратный корень,
получим функцию δ x (t ) —среднее квадратическое отклонение случайной функции:
δ x (t ) = Dx (t )
(6.78)
Математическое ожидание и дисперсия представляют собой весьма важные
характеристики случайной функции; однако для описания основных особенностей
случайной функции этих характеристик недостаточно. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим
две случайные функции X 1 (t ) и X 2 (t ) , наглядно изображенные семействами реализации на
рис.6.27 и 6.28.
Рис.6.28.
У случайных функций X 1 (t ) и X 2 (t ) примерно одинаковые математические ожидания и
дисперсии; однако характер этих случайных функций резко различен. Для случайной
функции X 1 (t ) (рис.6.27) характерно плавное, постепенное изменение. Если, например, в
точке t случайная функция X 1 (t ) приняла значение, заметно превышающее среднее, то
весьма вероятно, что и в точке t' она также примет значение больше среднего. Для случайной
функции X 1 (t ) характерна ярко выраженная зависимость между ее значениями при
различных t, Напротив, случайная функция X 2 (t ) (рис.6.28) имеет резко колебательный
характер с неправильными, беспорядочными колебаниями. Для такой случайной функции
характерно быстрое затухание зависимости между ее значениями по мере увеличения
расстояния по t между ними.
Очевидно, внутренняя структура обоих случайных процессов совершенно различна, но
это различие не улавливается ни математическим ожиданием, ни дисперсией; для его
описания необходимо ввести специальную характеристику. Эта характеристика называется
корреляционной функцией (иначе—автокорреляционной функцией). Корреляционная
функция характеризует степень зависимости между сечениями случайной функции,
относящимися к различным t.
147
Лекция 4.31. Понятие о случайной функции. Характеристики случайных функций. Определение характеристик случайной функции из
опыта.
Рис.6.29.
Пусть имеется случайная функция X (t ) (рис. 6.29); рассмотрим два ее сечения,
относящихся к различным моментам: t и t', т. е. две случайные величины X (t ) и X (t ′) .
Очевидно, что при близких значениях t и t' величины X (t ) и X (t ′) связаны тесной
зависимостью: если величина Х (t) приняла какое-то значение, то и величина X (t ′) с
большой вероятностью примет значение, близкое к нему. Очевидно также, что при
увеличении интервала между сечениями t, t' зависимость величин X(t) и X(t') вообще должна
убывать.
Степень зависимости величин Х(t) и Х(t') может быть в значительной мере
охарактеризована их корреляционным моментом, очевидно, он является функцией двух
аргументов t и t'. Эта функция и называется корреляционной функцией.
Таким образом, корреляционной функцией случайной функции Х(t) называется
неслучайная функция двух аргументов K x (t , t ′) - которая при каждой паре значений t, t' равна
корреляционному моменту соответствующих сечений случайной функции;
D
D

K x (t , t ′) = M  X (t ) X (t ′)
(6.79)


D
D
где X (t ) = X (t ) − mx (t ) и X (t ′) = X (t ′) − mx (t ′) .
Вернемся к примерам случайных функций X 1 (t ) и X 2 (t ) (рис. 6.27 и 6.28). Мы видим
теперь, что при одинаковых математических ожиданиях и дисперсиях случайные функции
X 1 (t ) и X 2 (t ) имеют совершенно различные корреляционные функции. Корреляционная
функция случайной функции X 1 (t ) медленно убывает по мере увеличения промежутка (t, t');
напротив, корреляционная функция случайной функции X 2 (t ) быстро убывает с
увеличением этого промежутка.
Выясним, во что обращается корреляционная функция K x (t , t ′) , когда ее аргументы
совпадают. Полагая t ′ = t , имеем:
 D

K x (t , t ′) = M ( X (t )) 2  = Dx (t ) ,
(6.80)


т. е. при t ′ = t корреляционная функция обращается в дисперсию случайной функции.
Таким образом, необходимость в дисперсии как отдельной характеристике случайной
функции отпадает: в качестве основных характеристик случайной функции достаточно
рассматривать ее математическое ожидание и корреляционную функцию.
Так как корреляционный момент двух случайных величин Х(t) и Х(t') не зависит от
последовательности, в которой эти величины рассматриваются, то корреляционная функция
симметрична относительно своих аргументов, т. е. не меняется при перемене аргументов
местами:
K x (t , t ′) = K x (t ′, t )
(6.81)
148
Лекция 4.31. Понятие о случайной функции. Характеристики случайных функций. Определение характеристик случайной функции из
опыта.
Определение характеристик случайной функции из опыта
Пусть над случайной функцией Х(t) произведено п независимых опытов (наблюдений)
и в результате получено п реализации случайной функции (рис.6.30).
Рис.6.30.
Требуется найти оценки для характеристик случайной функции: ее математического
ожидания mx (t ) , дисперсии Dx (t ) и корреляционной функции K x (t , t ′) .
Для этого рассмотрим ряд сечений случайной функции для моментов времени
t1 , t2 ,..., t m и зарегистрируем значения, принятые функцией X(t) в эти моменты времени.
Каждому из моментов t1 , t2 ,..., t m будет соответствовать n значений случайной функции.
Значения t1 , t2 ,..., t m обычно задаются равноотстоящими; величина интервала между
соседними значениями выбирается в зависимости от вида экспериментальных кривых так,
чтобы по выбранным точкам можно было восстановить основной ход кривых. Часто бывает
так, что интервал между соседними значениями t задается независимо от задач обработки
частотой работы регистрирующего прибора (например, темпом киноаппарата).
Зарегистрированные значения Х(t) заносятся в таблицу, каждая строка которой
соответствует определенной реализации, а число столбцов равно числу опорных значений
аргумента
t
…
…
…
t1
t2
tk
tl
tm
x(t )
…
…
…
x1 (t )
x1 (t1 )
x1 (t 2 )
x1 (t k )
x1 (t m )
x1 (tl )
…
…
…
x2 (t1 )
x2 (t 2 )
x2 (tk )
x2 (tl )
x2 (tm )
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
xi (t )
xi (t1 )
xi (t 2 )
xi (t k )
xi (tl )
xi (tm )
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
xn (t )
xn (t1 )
xn (t2 )
xn (t k )
xn (tl )
xn (t m )
В таблице в i-й строке помещены значения случайной функции, наблюденной в i-й
реализации (i-ом опыте) при значениях аргумента t1 , t2 ,..., t m . Символом xi (t k ) обозначено
значение, соответствующее i-й реализации в момент tk .
Полученный материал представляет собой не что иное, как результаты п опытов над
системой т случайных величин X (t1 ), X (t2 ),..., X (tm ) .
Прежде всего находятся оценки для математических ожиданий по формуле
x2 (t )
n
~ (t ) =
m
x k
∑ x (t )
i =1
i
n
k
,
(6.82)
затем—для дисперсий
149
Лекция 4.31. Понятие о случайной функции. Характеристики случайных функций. Определение характеристик случайной функции из
опыта.
n
~
Dx (t k ) =
∑ [x (t ) − m~ (t )]
2
i =1
i
k
x
k
n −1
(6.83)
и, наконец, для корреляционных моментов
n
~
K x (t k , t l ) =
∑ [x (t
i =1
i
k
~ (t )][x (t ) − m
~ (t )]
)−m
x k
i l
x l
.
(6.84)
n −1
В ряде случаев бывает удобно при вычислении оценок для дисперсий и
корреляционных моментов воспользоваться связью между начальными и центральными
моментами и вычислять их по формулам:
2

 n
x
t
[
]
(
)

∑ i k
~
~ (t )]2  n ;
Dx (tk ) =  i=1
− [m
(6.85)
x k
 n −1

n




n


xi (t k ) xi (tl )
∑


~
~ (t )m
~ (t ) n .
−m
K x (t k ) =  i =1
(6.86)
x k
x l
n

 n −1


При пользовании последними вариантами формул, чтобы избежать разности близких
чисел, рекомендуется заранее перенести начало отсчета по оси ординат поближе к
математическому ожиданию.
После того, как эти характеристики вычислены, можно, пользуясь рядом
~ (t ), m
~ (t ),..., m
~ (t ) , построить зависимость m
~ (t ) (рис.6.30). Аналогично
значений m
x 1
x 2
x m
x
~
строится зависимость Dx (t ) . Функция двух аргументов K x (t , t ′) воспроизводится по ее
значениям в прямоугольной сетке точек. В случае надобности все эти функции
аппроксимируются какими-либо аналитическими выражениями.
150