Глава 7 (pdf

Ãëàâà 7
Íåðàâíîâåñíûå ñîñòîÿíèÿ.
7.1
Ââåäåíèå
 ýòîì ñåìåñòðå ìû ïåðåéäåì ê îïèñàíèþ íåðàâíîâåñíûõ ñîñòîÿíèé â ñòàòèñòè÷åñêîé ìåõàíèêå. Âîîáùå ãîâîðÿ, îïèñàíèå êëàññè÷åñêèõ è êâàíòîâûõ ñèñòåì
îòëè÷àåòñÿ, îäíàêî ñ ôîðìàëüíîé ñòîðîíû ïîñòðîåíèÿ ñàìèõ óðàâíåíèé ÷àñòî
ýòî ðàçëè÷èå îòñóòñòâóåò è ñòàíîâèòñÿ ñóùåñòâåííûì óæå ïðè áîëüøåé äåòàëèçàöèè óðàâíåíèé.  îáåèõ ñëó÷àÿõ îïèñàíèå ñòàòèñòè÷åñêèõ ñèñòåì äîëæíî
ñâîäèòüñÿ ê îïðåäåëåíèþ ìàêðîñêîïè÷åñêèõ âåëè÷èí. Ìàêðîñêîïè÷åñêàÿ âåëè÷èíà, õàðàêòåðèçóþùàÿ ñòàòèñòè÷åñêóþ ñèñòåìó, ïî îïðåäåëåíèþ îïèñûâàåò
ñâîéñòâà âñåé ñèñòåìû, ñîñòîÿùåé èç áîëüøîãî ÷èñëà ýëåìåíòàðíûõ ïîäñèñòåì, äëÿ êîòîðûõ îïðåäåëåíû ñîîòâåòñòâóþùèå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ (êëàññè÷åñêèå èëè êâàíòîâûå). Äðóãîå äåëî, ÷òî êëàññè÷åñêèå óðàâíåíèÿ îïèñûâàþò
èçìåíåíèå (äâèæåíèå) ñàìèõ ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí, à êâàíòîâûå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ îïðåäåëÿþò ýâîëþöèþ ñîñòîÿíèÿ, à ôèçè÷åñêàÿ âåëè÷èíà åñòü ñðåäíåå
îò ñîîòâåòñòâóþùåãî îïåðàòîðà â äàííîì ñîñòîÿíèè. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, êîãäà
ìû ðàññìàòðèâàåì ñòàòèñòè÷åñêóþ ñèñòåìó, îíà ñîñòîèò èç áîëüøîãî ÷èñëà,
êàê ïðàâèëî, îäèíàêîâûõ ïîäñèñòåì, ò.å. àíñàìáëÿ ñèñòåì, à àíñàìáëü ñèñòåì
â êâàíòîâîé ìåõàíèêå óæå îïèñûâàåòñÿ â îáùåì ñëó÷àå íå âåêòîðîì ñîñòîÿíèÿ
ñîñòîÿíèÿ, à ìàòðèöåé ïëîòíîñòè. Çíàíèå ìàòðèöû ïëîòíîñòè ïîçâîëÿåò âû÷èñëÿòü (îïðåäåëÿòü) ìàêðîñêîïè÷åñêèå âåëè÷èíû àíñàìáëÿ, ò.å. ñòàòèñòè÷åñêîé
ñèñòåìû:
F = hfˆi = T r(ρfˆ).
Ìû ïîìíèì, ÷òî äèàãîíàëüíûå ýëåìåíòû ìàòðèöû ïëîòíîñòè â êàêîì-ëèáî
ïðåäñòàâëåíèè îïðåäåëÿþò âåðîÿòíîñòè íàõîæäåíèÿ ñèñòåì àíñàìáëÿ â äàííûõ ñîñòîÿíèÿõ ýëåìåíòàðíûõ ïîäñèñòåì ρnn = wn .  êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå
íåò òàêîé íåîäíîçíà÷íîñòè â âûáîðå ñïîñîáà îïèñàíèÿ ñîñòîÿíèÿ ýëåìåíòàðíîé ïîäñèñòåìû, îäíàêî ïîíÿòíî, ÷òî â ñòàòèñòè÷åñêîì àíñàìáëå ïîäñèñòåìû
áóäóò íàõîäèòüñÿ â ðàçëè÷íûõ (êëàññè÷åñêèõ) ñîñòîÿíèÿõ íî ñ îïðåäåëåííûìè
âåðîÿòíîñòÿìè wn . Ñîîòâåòñòâåííî, ìàêðîñêîïè÷åñêàÿ âåëè÷èíà åñòü ñðåäíåå
äàííîé âåëè÷èíû ïî àíñàìáëþ ïîäñèñòåì, ñîñòàâëÿþùèõ áîëüøóþ ñòàòèñòè-
÷åñêóþ ñèñòåìó:
F =
X
fn w n .
n
 îáîèõ ñëó÷àÿõ ìàòðèöà ïëîòíîñòè è íàáîð âåðîÿòíîñòåé èãðàþò îäíó è òó
æå ðîëü ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ. Èíûìè ñëîâàìè, äëÿ îïðåäåëåíèÿ ìàêðîñêîïè÷åñêèõ ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí íåîáõîäèìî çíàòü ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ è åå
âðåìåííóþ ýâîëþöèþ. Ñîâåðøåííî î÷åâèäíî, ýòè çàìå÷àíèÿ ñïðàâåäëèâû êàê
äëÿ ðàâíîâåñíûõ, òàê è äëÿ íåðàâíîâåñíûõ ñîñòîÿíèé ñòàòèñòè÷åñêèõ ñèñòåì.
Ðàçíèöà áóäåò ñîñòîÿòü â òîì, â ïåðâîì ñëó÷àå ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ íå èçìåíÿåòñÿ âî âðåìåíè, ëèáî â êâàíòîâîé ñèñòåìå íàõîäèòñÿ â ñòàöèîíàðíûõ (ñ
îïðåäåëåííîé ýíåðãèåé) ñîñòîÿíèÿõ, à âî âòîðîì ñëó÷àå îáÿçàòåëüíî èçìåíÿåòñÿ âî âðåìåíè. Èìåííî âî âòîðîì ñëó÷àå ïðîÿâëÿåòñÿ ïðèíöèïèàëüíàÿ îñîáåííîñòü ñòàòèñòè÷åñêèõ ñèñòåì, à èìåííî: íåîáðàòèìîñòü èçìåíåíèÿ âî âðåìåíè ìàêðîñêîïè÷åñêèõ âåëè÷èí. Ñ îäíîé ñòîðîíû ëåãêî ïîíÿòü, ÷òî íåîáðàòèìîñòü âîçíèêàåò â ðåçóëüòàòå óñðåäíåíèÿ ïî ñîñòîÿíèÿì àíñàìáëÿ ïîäñèñòåì:
ìû óñòðàíÿåì èíäèâèäóàëüíîñòü êàæäîé ïîäñèñòåìû. Ñ äðóãîé ñòîðîíû õîòåëîñü áû ïîëó÷èòü óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ìàêðîñêîïè÷åñêèõ ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí,
èñõîäÿ èç èçâåñòíûõ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ ïîäñèñòåì. Îäíàêî óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ïîäñèñòåì îáðàòèìû êàê â êëàññè÷åñêîì, òàê è â êâàíòîâîì ñëó÷àå. Êàê
ïåðåéòè îò îáðàòèìîé ýâîëþöèè ê íåîáðàòèìîé? Êîãäà è êàê òåðÿåòñÿ îáðàòèìîñòü?
Íåïðåðûâíîãî ïåðåõîäà îò îáðàòèìîé ýâîëþöèè ïîäñèñòåì ê íåîáðàòèìîé
ýâîëþöèè ñòàòèñòè÷åñêîé ñèñòåìû íåò, îíà ïîñòóëèðóåòñÿ, ïîñòóëèðîâàíèå
èìååò ðàçëè÷íûé õàðàêòåð äëÿ êëàññè÷åñêèõ è êâàíòîâûõ ïîäñèñòåì. Ïðåæäå
÷åì ïåðåéòè ê îïèñàíèþ íåîáðàòèìîé ýâîëþöèè ñòàòèñòè÷åñêèõ ñèñòåì ðàññìîòðèì ïîäðîáíåå ïîíÿòèÿ, ñâÿçàííûå ñ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ.
7.2
Óðàâíåíèå Ëèóâèëëÿ äëÿ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ êëàññè÷åñêîé ñèñòåìû
Ñîñòîÿíèå êëàññè÷åñêîé ñèñòåìû îáû÷íî õàðàêòåðèçóåòñÿ òî÷êîé ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà, çàäàâàåìîãî îáîáùåííûìè èìïóëüñàìè è êîîðäèíàòàìè. Äëÿ ïîäñèñòåì àíñàìáëÿ îïðåäåëåíû äèíàìè÷åñêèå ôóíêöèè (ñì. Ãë.1), êîòîðûå ìîæíî
ïðåäñòàâèòü â âèäå àíàëèòè÷åñêèõ ôóíêöèé îáîáùåííûõ êîîðäèíàò è èìïóëüñîâ. Ïîäñèñòåìû ìîãóò íàõîäèòüñÿ â ðàçíûõ âíåøíèõ ìàêðîñêîïè÷åñêèõ óñëîâèÿõ, ÷òî áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ çàäàíèåì ñîîòâåòñòâóþùèõ âíåøíèõ ïàðàìåòðîâ
x.
Òàêèì îáðàçîì, äèíàìè÷åñêèå ôóíêöèè, îïðåäåëåííûå â Ãë.1 áóäóò òàêæå
çàâèñåòü òåïåðü îò ýòèõ âíåøíèõ ïàðàìåòðîâ:
b(p, q) −→ b(p, q; x).
(2.1)
Äèíàìè÷åñêèì ôóíêöèÿì (2.1) ñòàâèòñÿ â ñîîòâåòñòâèå ìàêðîñêîïè÷åñêàÿ âåëè÷èíà, íå çàâèñÿùàÿ îò p, q :
B(x) ≡ hb(p, q; x)i.
(2.2)
 ôîðìóëå (2.2) óãîëêîâûå ñêîáêè îçíà÷àþò óñðåäíåíèå ïî âñåì ñîñòîÿíèÿì
ïîäñèñòåì, ò.å. ïî âñåì âîçìîæíûì âåðîÿòíîñòÿì íàõîäèòüñÿ ïîäñèñòåìàì â
îïðåäåëåííîé òî÷êå ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà. Âåðîÿòíîñòü íàõîæäåíèÿ â îïðåäåëåííîé òî÷êå îáëàñòè íåïðåðûâíûõ ïåðåìåííûõ ðàâíà íóëþ, ïîýòîìó âîçíèêàåò íåîáõîäèìîñòü ââåäåíèÿ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ, êîòîðàÿ ïî ñâîåìó ñìûñëó
åñòü ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè. Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ìîæåò çàâèñåòü òîëüêî îò
îáîáùåííûõ êîîðäèíàò è èìïóëüñîâ ïîäñèñòåì. Îáîçíà÷èì åå f (p, q), òîãäà
Z
(2.3)
B(x) = dpdq b(p, q; x)f (p, q),
ïðè÷åì âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå íîðìèðîâêè:
Z
dpdq f (p, q) = 1. Î÷åâèäíî
f (p, q) ≥ 1.
(2.4)
Ñîñòîÿíèå ñèñòåìû ìîæåò ñî âðåìåíåì èçìåíÿòüñÿ, ðàññìîòðèì, êàê áóäåò èçìåíÿòüñÿ ìàêðîñêîïè÷åñêàÿ âåëè÷èíà. Äèíàìè÷åñêèå âåëè÷èíû èçìåíÿþòñÿ â
ñîîòâåòñòâèè ñ óðàâíåíèåì (?) Ãëàâû 1:
¶
N µ
X
∂b
∂b
ḃ(q, p) =
q̇n +
ṗn =
∂qn
∂pn
n=1
¶
N µ
X
∂b ∂H
∂b ∂H
−
=
= [b, H]P .
∂qn ∂pn ∂pn ∂qn
n=1
(2.5)
Çàäàâàÿ çíà÷åíèå äèíàìè÷åñêîé ôóíêöèè â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè, ìîæíî
âûðàçèòü ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ â îïåðàòîðíîì âèäå ÷åðåç ïðîïàãàòîð U (t) :
b(p, q; x, t) = U (t)b(p, q; x).
Ïðîïàãàòîð óäîâëåòâîðÿåò îïåðàòîðíîìó óðàâíåíèþ:
¶
N µ
X
∂H ∂
∂
∂H ∂
U (t) ≡ ∂t U (t) =
−
= −[H, . . . ]P .
∂t
∂p
∂q
∂q
∂p
n
n
n
n
n=1
(2.6)
(2.7)
Äëÿ ïðîïàãàòîðà U (t) ñóùåñòâóåò îáðàòíûé1 :
b(p, q; x) = U −1 (t)b(p, q; x, t),
U −1 (t)U (t) = 1.
(2.8)
Ïîýòîìó äëÿ ìàêðîñêîïè÷åñêîé ïåðåìåííîé ìîæåì çàïèñàòü:
Z
B(x, t) = dpdq (U (t)b(p, q; x)) f (p, q).
(2.9)
 óðàâíåíèè (2.9) ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ íå çàâèñèò îò âðåìåíè òàê æå, êàê
è â óðàâíåíèè (2.3), à âñÿ âðåìåííàÿ ýâîëþöèÿ îïðåäåëÿåòñÿ âðåìåííîé çàâèñèìîñòüþ äèíàìè÷åñêîé ôóíêöèè. Íàñ æå èíòåðåñóåò ýâîëþöèÿ âî âðåìåíè
1 Ìû
çäåñü íå áóäåì âäàâàòüñÿ â òîíêîñòè ìàòåìàòè÷åñêîé ñòðîãîñòè, àïåëëèðóÿ òîëüêî
ëèøü ê îáðàòèìîñòè óðàâíåíèé äâèæåíèÿ.
ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ. Çàìåòèì, ÷òî çàâèñèìîñòü äèíàìè÷åñêîé ôóíêöèè îò
âðåìåíè ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ çàâèñèìîñòüþ îò âðåìåíè îáîáùåííûõ êîîðäèíàò è èìïóëüñîâ. Äåéñòâèòåëüíî, â êà÷åñòâå äèíàìè÷åñêîé ôóíêöèè ìîæíî
ðàññìîòðåòü ëèáî îáîáùåííóþ êîîðäèíàòó, ëèáî èìïóëüñ, òîãäà ïîëó÷àþùàÿñÿ
ïàðàìåòðè÷åñêàÿ çàâèñèìîñòü îò âðåìåíè åñòü ðåøåíèå ñèñòåìû êàíîíè÷åñêèõ
óðàâíåíèé Ãàìèëüòîíà:
q(t) = U (t)q,
p(t) = U (t)p.
Ñîîòâåòñòâåííî
U (t)b(p, q; x) = b(U (t)p, U (t)q; x).
(2.10)
(2.11)
Ðåøåíèå óðàâíåíèé Ãàìèëüòîíà (2.10) ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê êàíîíè÷åñêîå
ïðåîáðàçîâàíèå êîîðäèíàò ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà, ïðè êîòîðîì ýëåìåíò îáúåìà íå èçìåíÿåòñÿ: dqdp = dq(t)dp(t), ò.å. ÿêîáèàí òàêîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ðàâåí
åäèíèöå. Ñäåëàåì îáðàòíóþ çàìåíó ïåðåìåííûõ â óðàâíåíèè (2.9):
Z
B(x, t) = dp(t)dq(t) b(p(t), q(t); x)f (p, q) =
Z
¡
¢¡
¢
= dpdq U −1 (t)U (t)b(p, q; x) U −1 (t)f (p, q) =
Z
Z
¡ −1
¢
= dpdq b(p, q; x) U (t)f (p, q) = dpdq b(p, q; x)f (p, q; t). (2.12)
Êàê âèäèì, âðåìåííàÿ çàâèñèìîñòü ïåðåíîñèòñÿ íà ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ ñ
ïîìîùüþ îáðàòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ. Òàêèì îáðàçîì ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ
óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ:
¶
N µ
X
∂H ∂f
∂H ∂f
∂t f (p, q; t) = Lf (p, q; t) ≡ [H, f ]P =
−
(2.13)
.
∂qn ∂pn ∂pn ∂qn
n=1
Çàìåòèì, ÷òî óñëîâèå íîðìèðîâêè (2.4)âûïîëíÿåòñÿ äëÿ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè. Ýòî óòâåðæäåíèå ïðîâåðÿåòñÿ ñîîòâåòñòâóþùèì êàíîíè÷åñêèì ïðåîáðàçîâàíèåì ïåðåìåííûõ â ïîäûíòåãðàëüíîì âûðàæåíèè (2.4).
Óïðàæíåíèå Ïîëó÷èòü â ÿâíîì âèäå óðàâíåíèå Ëèóâèëëÿ äëÿ êëàññè÷åñêîãî ãàçà ñâîáîäíûõ áåññòðóêòóðíûõ ÷àñòèö.
2.3
Óðàâíåíèå Ëèóâèëëÿ ñèñòåìû âçàèìîäåéñòâóþùèõ ïîäñèñòåì âî âíåøíåì ïîëå
Ðàññìîòðèì îïèñàíèå ñèñòåìû âçàèìîäåéñòâóþùèõ ìåæäó ñîáîé ïîäñèñòåì, íàõîäÿùèõñÿ ïîä âíåøíèì âîçäåéñòâèåì.  îáùåì ñëó÷àå ãàìèëüòîíèàí ìîæíî
ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóììû òðåõ îïåðàòîðîâ2 :
H = H 0 + V int + V ext ,
2 Äëÿ
êâàíòîâûõ ïîäñèñòåì ñëåäóåò ïîíèìàòü âåçäå ñîîòâåòñòâóþùèå îïåðàòîðû.
(3.1)
ãäå H 0 ãàìèëüòîíèàí íåâçàèìîäåéñòâóþùèõ ïîäñèñòåì, V int ýíåðãèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó ïîäñèñòåìàìè è V ext ýíåðãèÿ ïîäñèñòåì âî âíåøíåì ïîëå.
Î÷åâèäíî, ÷àñòü ãàìèëüòîíèàíà íåâçàèìîäåéñòâóþùèõ ïîäñèñòåì ðàâíà ïðîñòî
ñóììå ãàìèëüòîíèàíîâ:
X
H0 =
Ha0 .
(3.2)
a
Ýíåðãèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ ñ âíåøíèì ïîëåì òàêæå ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â
âèäå ñóììû íåçàâèñèìûõ ýíåðãèé:
X
V ext =
Vaext .
(3.3)
a
Åñëè âíåøíåå âîçäåéñòâèå ñîçäàåòñÿ ýëåêòðè÷åñêèì ïîëåì ñ ïîòåíöèàëîì ϕ(r),
äëÿ çàðÿæåííûõ ÷àñòèö ïîëó÷àåì çàâèñèìîñòü ýòîãî ñëàãàåìîãî òîëüêî îò êîîðäèíàò:
X
V ext =
ea ϕ(ra ).
(3.4)
a
Åñëè çàðÿæåííûå ÷àñòèöû íàõîäÿòñÿ âî âíåøíåì ìàãíèòíîì ïîëå, ïîÿâëÿåòñÿ
òàêæå çàâèñèìîñòü è îò èìïóëüñà. Ïîñêîëüêó äëÿ âíåøíèõ ïîëåé ñïðàâåäëèâ
ïðèíöèï ñóïåðïîçèöèè, â ëþáîì ñëó÷àå âçàèìîäåéñòâèå ïîäñèñòåì ñ âíåøíèì
ïîëåì âõîäèò â ãàìèëüòîíèàí àääèòèâíî.
Âçàèìîäåéñòâèå ìåæäó ïîäñèñòåìàìè íîñèò ìåíåå îïðåäåëåííûé õàðàêòåð.
×àùå âñåãî ìîæíî îãðàíè÷èòüñÿ ïàðíûì âçàèìîäåéñòâèåì, ò.å. ñëó÷àåì, êîãäà
êàæäàÿ ïîäñèñòåìà âçàèìîäåéñòâóåò ñ äðóãèìè íåçàâèñèìî. Ýòî ñïðàâåäëèâî äëÿ ðàçðåæåííûõ ãàçîâ, êîãäà âçàèìîäåéñòâèå îïðåäåëÿåòñÿ òîëüêî ïîëÿìè
(íàïðèìåð, ýëåêòðîìàãíèòíûìè).  òàêîì ñëó÷àå ìîæíî çàïèñàòü:
1X
1X
Vab =
V (ra , rb ).
V int =
(3.5)
2
2
a6=b
a6=b
Ïîñêîëüêó äëÿ òîæäåñòâåííûõ ïîäñèñòåì äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ óñëîâèå Vab =
Vba , îáû÷íî 1/2 ïåðåä ñóììîé íå ïèøóò, íî èñêëþ÷àþò ïîâòîðíîå ñóììèðîâàíèå
îäèíàêîâûõ ñëàãàåìûõ:
X
X
V int =
Vab =
V (ra , rb ).
(3.6)
a>b
a>b
Óïðàæíåíèÿ
1. Ïîëó÷èòü âûðàæåíèå îïåðàòîðà Ëèóâèëëÿ ñèñòåìû ñâîáîäíûõ ÷àñòèö ñ ìàññîé m.
Äëÿ ñâîáîäíûõ ÷àñòèö ãàìèëüòîíèàí åñòü ñóììà êèíåòè÷åñêèõ ýíåðãèé:
H0 =
X p2
a
,
2m
a
ïîýòîìó ïîëó÷àåì
L0 = −[H 0 , . . . ]P = −
X
X ∂H 0 ∂
=
L0a ,
∂p
∂r
a
a
a
a
ãäå
L0a = −
pa
∇a = −(va ∇a )
m
(3.7)
2. Ïîëó÷èòü âûðàæåíèå îïåðàòîðà Ëèóâèëëÿ ñèñòåìû ÷àñòèö, âçàèìîäåéñòâóþùèõ ìåæäó ñîáîé ïî çàêîíó V (|ra − rb |).
Çàïèøåì òîëüêî ÷àñòü îïåðàòîðà Ëèóâèëëÿ, îòâåòñòâåííóþ çà âçàèìîäåéñòâèå ìåæäó ÷àñòèöàìè. Ïîñêîëüêó âçàèìîäåéñòâèå çàâèñèò òîëüêî îò êîîðäèíàò, ñêîáêè Ïóàññîíà ñâîäÿòñÿ òîëüêî êî âòîðîìó ñëàãàåìîìó:
int
L
= −[V
int
X ∂V int ∂
,...] =
.
∂rc ∂pc
c
×àñòíûå ïðîèçâîäíûå ïî êîîðäèíàòàì (ãðàäèåíòû) ðàâíû:
∂ X
V (|ra − rb |) = (∇a V (|ra − rb |))δc,a + (∇b V (|ra − rb |))δc,b .
∂rc a,b
 ñèëó òðåòüåãî çàêîíà Íüþòîíà èìååì:
(∇a V (|ra − rb |)) = −(∇b V (|ra − rb |)) = ∇V (r),
ïîýòîìó ìîæåì çàïèñàòü
int
L
=
X
µ
Lint
ab ,
Lint
ab
ãäå
= (∇a V (|ra − rb |))
a,b
∂
∂
−
∂pa ∂pb
¶
.
(3.8)
3. Ïîëó÷èòü âûðàæåíèå îïåðàòîðà Ëèóâèëëÿ ñèñòåìû ÷àñòèö âî âíåøíåì ïîëå.
 ýòîì ñëó÷àå âñå ïðîñòî. Çàìåòèì, ÷òî ãðàäèåíòû îïðåäåëÿò ñèëû, äåéñòâóþùèå íà ÷àñòèöû ñî ñòîðîíû ïîëÿ Fa , à ïðîèçâîäíûå ïî èìïóëüñàì îñòàâèì íà
ñëó÷àé, êîãäà âíåøíåå âçàèìîäåéñòâèå îïðåäåëÿåòñÿ òàêæå ìàãíèòíûìè ïîëÿìè, ïîýòîìó èìååì:
Lext =
X
Lext
a ,
ãäå Lext
a = −
a
∂Vaext
∂
∇a − Fa
.
∂pa
∂pa
(3.9)
 çàêëþ÷åíèå ýòîãî ïàðàãðàôà çàïèøåì óðàâíåíèå Ëèóâèëëÿ äëÿ ñèñòåìû
âçàèìîäåéñòâóþùèõ ïîäñèñòåì âî âíåøíåì ïîëå:
X
X
)f
+
Lint
∂t f =
(L0a + Lext
(3.10)
ab f
a
a
3.4
a,b
s-÷àñòè÷íûå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ
Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ïîçâîëÿåò âû÷èñëÿòü ìàêðîñêîïè÷åñêèå âåëè÷èíû ñòàòèñòè÷åñêîé ñèñòåìû è çàâèñèò îò (êàíîíè÷åñêèõ) ïåðåìåííûõ âñåõ ïîäñèñòåì.
Âìåñòå ñ òåì, ïðè âû÷èñëåíèè ñðåäíèõ (ìàêðîñêîïè÷åñêèõ) âåëè÷èí èñïîëüçóþòñÿ äèíàìè÷åñêèå ôóíêöèè, îïðåäåëÿþùèå âçàèìîäåéñòâèÿ (èëè äðóãèå ñâîéñòâà) îäíîâðåìåííî êîíå÷íîãî ÷èñëà ïîäñèñòåì. Íàïðèìåð, êîãäà ìû ðàññìàòðèâàëè ãàìèëüòîíèàí âçàèìîäåéñòâóþùèõ ïîäñèñòåì, ìû îãðàíè÷èëèñü òîëüêî
ïàðíûì âçàèìîäåéñòâèåì. Ýòî, êîíå÷íî, íå èñêëþ÷àåò ñóùåñòâîâàíèÿ òðåõ÷àñòè÷íûõ è äðóãèõ áîëåå ñëîæíûõ âçàèìîäåéñòâèé. Âàæíî îñîçíàâàòü, ÷òî ïðàêòè÷åñêè èçó÷àþòñÿ è ó÷èòûâàþòñÿ âçàèìîäåéñòâèÿ êîíå÷íîãî ÷èñëà ïîäñèñòåì.
Ââåäåì äëÿ óäîáñòâà, êàê ýòî îáû÷íî äåëàåòñÿ, îáîçíà÷åíèå êàíîíè÷åñêèõ ïåðåìåííûõ, îòíîñÿùèõñÿ ê äàííîé ïîäñèñòåìå, îäíîé áóêâîé:
(4.1)
xa ≡ (qa , pa ).
Ñòàòèñòè÷åñêàÿ ñèñòåìà ñîñòîèò èç àíñàìáëÿ N îäèíàêîâûõ ïîäñèñòåì, ïîýòîìó âñå äèíàìè÷åñêèå ôóíêöèè äîëæíû áûòü ñèììåòðè÷íû îòíîñèòåëüíî
ïåðåñòàíîâêè ïåðåìåííûõ ðàçëè÷íûõ ïîäñèñòåì:
b(q, p) ≡ b(x, p) = b(x1 , . . . xa , . . . , xb , . . . , xN ) = b(x1 , . . . xb , . . . , xa , . . . , xN ).
Ñîîòâåòñòâåííî, ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ òàêæå áóäåò çàïèñàíà â âèäå:
f (p, q) ≡ f (x1 , . . . xa , . . . , xb , . . . , xN ) = f (x1 , . . . xb , . . . , xa , . . . , xN ).
Ïðè ýòîì óñëîâèå íîðìèðîâêè ïðèìåò âèä:
Z
Z
dqdpf (q, p; t) = dx1 dx2 . . . dxN f (x1 , x2 , . . . , xN ) = 1.
(4.2)
(4.3)
Ïðîèçâîëüíóþ äèíàìè÷åñêóþ ôóíêöèþ ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóììû:
b(x1 , . . . , xN ) =b0 +
N
X
b1 (xa ) +
a=1
N
X
+
N
X
b2 (xa , xb )+
a<b=1
b3 (xa , xb , xc ) + · · · + bN (x1 , x2 , . . . , xN ).
(4.4)
a<b<c=1
 ãàìèëüòîíèàíå ñ ïàðíûì âçàèìîäåéñòâèåì ìû îãðàíè÷èëèñü ïåðâûìè òðåìÿ
÷ëåíàìè â ðàçëîæåíèè (4.4).
Âû÷èñëèì òåïåðü ñðåäíåå äëÿ äèíàìè÷åñêîé ôóíêöèè (4.4). Äëÿ ÷ëåíà b0 âñå
òðèâèàëüíî. Ðàññìîòðèì îäíî÷àñòè÷íûé ÷ëåí, ñîäåðæàùèé òîëüêî ïåðåìåííûé
îäíîé ïîäñèñòåìû. Èñïîëüçóÿ ñâîéñòâà ñèììåòðèè îòíîñèòåëüíî ïåðåñòàíîâêè
ïåðåìåííûõ, ïîëó÷àåì:
à N
!
Z
X
B1 = dx1 . . . dxN
b1 (xa ) f (x1 , . . . , xN )
Z
=N
a=1
dx1 dx2 . . . dxN b1 (x1 )f (x1 , x2 , . . . , xN ).
(4.5)
Èç âûðàæåíèÿ (4.5) âèäíî, ÷òî äëÿ âû÷èñëåíèÿ îäíî÷àñòè÷íîãî ñðåäíåãî íàì
äîñòàòî÷íî çíàòü íå ïîëíóþ, à âñåãî ëèøü îäíî÷àñòè÷íóþ ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ, êîòîðóþ îïðåäåëèì êàê
Z
f1 (x1 ) = N dx2 . . . dxN f (x1 , x2 , . . . , xN ).
(4.6)
Òàêèì îáðàçîì, âûðàæåíèå (4.5) ïåðåïèøåòñÿ â áîëåå ïðîñòîì è êîìïàêòíîì
âèäå
Z
B1 = dx1 b1 (x1 )f1 (x1 ).
(4.7)
Ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íî ìîæíî ââåñòè s-÷àñòè÷íóþ ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ âû÷èñëåíèÿ ñðåäíåãî îò s-÷àñòè÷íîãî âçàèìîäåéñòâèÿ. Çàïèøåì ïî
îïðåäåëåíèþ:
!
à N
Z
X
bs (xa , xb , . . . , xc ) f (x1 , x2 , . . . , xN ) =
Bs = dx1 . . . dxN
N!
=
(N − s)!s!
Z
a<b···<c=s
dx1 . . . dxs . . . dxN bs (x1 , x2 , . . . , xs )f (x1 , . . . , xs , . . . , xN ).
Ìû çäåñü ó÷ëè ÷èñëî ñïîñîáîâ, êîòîðûìè ìîæíî îáðàçîâàòü s-÷àñòè÷íûå êîìs
áèíàöèè èç N ÷àñòèö CN
. Îïðåäåëåíèå s-÷àñòè÷íîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ
î÷åâèäíî:
Z
N!
fs =
(4.8)
dxs+1 . . . dxN f (x1 , . . . , xs , xs+1 , . . . , xN ).
(N − s)!
Î÷åâèäíî âñå s-÷àñòè÷íûå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ñèììåòðè÷íû îòíîñèòåëüíî ïåðåñòàíîâêè êîîðäèíàò ÷àñòèö. Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ (4.8) s-÷àñòè÷íàÿ
ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ íîðìèðîâàíà íå íà 1:
Z
N!
dx1 . . . dxs f (x1 , . . . , xs ) =
.
(4.9)
(N − s)!
Ñ ïîìîùüþ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ (4.8) ëåãêî çàïèñàòü îïðåäåëåíèå ñðåäíåãî
äëÿ s-÷àñòè÷íîãî âçàèìîäåéñòâèÿ:
Z
1
Bs =
dx1 . . . dxs bs (x1 , . . . , xs )f (x1 , . . . , xs ).
(4.10)
s!
Îêîí÷àòåëüíî äëÿ ñðåäíåãî îò äèíàìè÷åñêîé ôóíêöèè (4.4) ìîæíî çàïèñàòü:
Z
N
X
1
dx1 . . . dxs bs (x1 , . . . , xs )f (x1 , . . . , xs ).
B = hbi =
Bs =
s!
s=0
s=0
N
X
(4.11)
Äëÿ ïîñòðîåíèÿ îáùåé òåîðèè ýâîëþöèè ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé ñèñòåìû àíñàìáëÿ N ïîäñèñòåì óäîáíî ðàññìîòðåòü ñîâîêóïíîñòü âñåõ
âîçìîæíûõ s-÷àñòè÷íûõ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ â âèäå åäèíîãî îáúåêòà: N +1ìåðíîãî âåêòîðà ðàñïðåäåëåíèÿ ñèñòåìû:
f = {f0 , f1 (x1 ), f2 (x1 , x2 ), . . . , fN (x1 , . . . , xN )}.
(4.12)
Íàðÿäó ñ îïðåäåëåíèåì (4.12) ìîæíî ââåñòè òàêæå âìåñòî ôîðìóëû (4.4) îïðåäåëåíèå N + 1-ìåðíîãî âåêòîðà s-÷àñòè÷íûõ âçàèìîäåéñòâèé:
b = {b0 , b1 (x1 ), b2 (x1 , x2 ), . . . , bN (x1 , . . . , xN )}.
(4.13)
Ñ ó÷åòîì îïðåäåëåíèé (4.12 è (4.13 âûðàæåíèå äëÿ ñðåäíåãî ïðîèçâîëüíîé äèíàìè÷åñêîé ôóíêöèè ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ:
B = hbi = (b, f ).
4.5
(4.14)
Öåïî÷êà óðàâíåíèé ÁÁÃÊÈ
Íåñìîòðÿ íà óäîáñòâî s-÷àñòè÷íûõ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ ïðè âû÷èñëåíèè
ñðåäíèõ çíà÷åíèé â ñòàòè÷åñêîì, íå çàâèñÿùåì îò âðåìåíè ñëó÷àå, âîçíèêàþò
îïðåäåëåííûå òðóäíîñòè ïðè îïðåäåëåíèè èõ âðåìåííîé ýâîëþöèè. Äåéñòâèòåëüíî, óðàâíåíèå Ëèóâèëëÿ îïèñûâàåò ýâîëþöèè ïîëíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ âñåé ñèñòåìû, äëÿ êîòîðîé îïðåäåëåí ñîîòâåòñòâóþùèé ãàìèëüòîíèàí
èëè îïåðàòîð Ëèóâèëëÿ (3.10). Âèäíî, ÷òî â ðåçóëüòàòå äàæå ïàðíûõ âçàèìîäåéñòâèé â ñèñòåìå íå óäàñòñÿ ñâåñòè âðåìåííóþ ýâîëþöèþ ïîëíîé ôóíêöèè
ðàñïðåäåëåíèÿ ê ýâîëþöèè ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ íå áîëåå ÷åì äâóõ÷àñòè÷íûõ, ïîñêîëüêó âçàèìîäåéñòâèå ïåðåìåøèâàåò è ñâÿçûâàåò ïåðåìåííûå âñåõ
ïîäñèñòåì. Çàïèøåì óðàâíåíèå ýâîëþöèè s-÷àñòè÷íîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ
â ñîîòâåòñòâèè ñ óðàâíåíèåì Ëèóâèëëÿ (3.10), ïðîèíòåãðèðîâàâ åãî ïî îñòàâøèìñÿ s + 1 ïåðåìåííûì:
∂t fs (x1 , . . . , xs ) =
à N
Z
X
N!
=
dxs+1 . . . dxN
(L0a + Lext
a )+
(N − s)!
a=1
!
N
X
f (x1 , . . . , xs , xs+1 , . . . , xN ).
+
Lint
ab
(5.1)
a<b=2
Äëÿ äàëüíåéøåãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ôîðìóëû (5.1) íåîáõîäèìî ïîëó÷èòü âñïîìîãàòåëüíûå ñîîòíîøåíèÿ.
Ïîñêîëüêó ïîëíàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ íîðìèðîâàíà, è óñëîâèå íîðìèðîâêè íå çàâèñèò îò âðåìåíè, ïîäåéñòâîâàâ íà íåãî îïåðàòîðîì Ëèóâèëëÿ, ïîëó÷èì óðàâíåíèå:
Z
∂t dx1 . . . dxN f (x1 , . . . , xN ) =
!
à N
Z
N
X
X
Lint
f (x1 , . . . , xN ) = 0.
(5.2)
dx1 . . . dxN
(L0a + Lext
ab
a )+
a=1
a<b=2
Ïîñêîëüêó óðàâíåíèå (5.2) ñïðàâåäëèâî äëÿ ëþáîé ñèñòåìû, äîëæíû âûïîëíÿòüñÿ óñëîâèÿ ðàâåíñòâà íóëþ âñåõ ñëàãàåìûõ â òðåõ íåçàâèñèìûõ ñóììàõ:
Z
dxa L0a f (x1 , . . . , xN ) = 0,
Z
dxa Lext
(5.3)
a f (x1 , . . . , xN ) = 0,
Z
dxa dxb Lint
ab f (x1 , . . . , xN ) = 0.
Ñ îäíî÷àñòè÷íûìè îïåðàòîðàìè â ôîðìóëå (5.1) ðàçîáðàòüñÿ ëåãêî. Äåéñòâèòåëüíî, èõ âñåãäà ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóììû:
N
N
N
X
X
X
0
ext
0
ext
(La + La ) =
(La + La ) +
(L0a + Lext
a ).
a=1
a=1
(5.4)
a=s+1
Åñëè òåïåðü â ôîðìóëå (5.1) ñòîèò ïåðâàÿ ÷àñòü ñóììû (5.4), îíà ìîæåò áûòü
âûíåñåíà èç-ïîä çíàêà èíòåãðàëà, è îñòàåòñÿ ñîîòâåòñòâóþùàÿ ñóììà s-÷àñòè÷íûõ
ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ. Äëÿ âòîðîé ÷àñòè ñóììû ñîãëàñíî óñëîâèÿì (5.3) ïîëó÷àåì íóëü. Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî çàïèñàòü:
s
X
a=1
N!
(L0a + Lext
a )
(N − s)!
Z
dxs+1 . . . dxN f (x1 , . . . , xs , xs+1 , . . . , xN ) =
N
X
=
(L0a + Lext
a )fs (x1 , . . . , xs ).
(5.5)
a=1
Ïðåîáðàçîâàíèå ÷ëåíîâ, ó÷èòûâàþùèõ ïàðíûå âçàèìîäåéñòâèÿ â óðàâíåíèè (5.1), òðåáóþò áîëåå äëèííîãî àíàëèçà. Îäíàêî ñóòü ïðåîáðàçîâàíèé ïîïðåæíåìó áóäåò îñíîâûâàòüñÿ íà ðàçáèåíèå ïîäñèñòåì íà ãðóïïû è ó÷åòå óñëîâèÿ (5.3). Ñëåäóåò ðàññìîòðåòü òðè âîçìîæíûõ ñëó÷àÿ ðàçáèåíèÿ íà ãðóïïû.
1. Îáå ïîäñèñòåìû a è b ïðèíàäëåæàò s-÷àñòè÷íîé ãðóïïå: 1 ≤ a, b ≤ s.
Äëÿ ýòîé ãðóïïû ïîäñèñòåì îïåðàòîð Lint
ab âûíîñèòñÿ èç-ïîä çíàêà èíòåãðàëà.
Îñòàâøèéñÿ èíòåãðàë ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ äàåò s-÷àñòè÷íóþ ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ, è ìû ïîëó÷àåì ñëàãàåìîå âèäà
N
X
Lint
ab f (x1 , . . . , xs ).
(5.6)
a<b=2
2. Îáå ïîäñèñòåìû a è b íå ïðèíàäëåæàò s-÷àñòè÷íîé ãðóïïå: s+1 ≤ a, b ≤
N.
 ýòîì ñëó÷àå â ñèëó óñëîâèé (5.3) èíòåãðàëû ðàâíû íóëþ.
3. Îäíà èç ïîäñèñòåì ïðèíàäëåæèò s-÷àñòè÷íîé ãðóïïå, à äðóãàÿ íåò,
íàïðèìåð, 1 ≤ a ≤ s, s + 1 ≤ b ≤ N. Ýòîò ñëó÷àé íå ñâîäèòñÿ íè ê îäíîìó
èç ðàññìîòðåííûõ è òðåáóåò îïðåäåëåííîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ñîîòâåòñòâóþùåãî
âûðàæåíèÿ â ôîðìóëå (5.1). Çàïèøåì öåïî÷êó âûêëàäîê:
Z
s
N
X
X
N!
dxs+1 . . . dxN
Lint
ab f (x1 , . . . , xs , xs+1 , . . . , xN ) =
(N − s)!
a=1 b=s+1
Z
s
X
N!
(N − s)Lint
dxs+1 . . . dxN
=
a,s+1 f (x1 , . . . , xN ) =
(N − s)!
a=1
Z
s
X
N!
=
dxs+1 dxs+2 . . . dxN
Lint
a,s+1 f (x1 , . . . , xN ) =
(N − s − 1)!
a=1
Z
s Z
X
N!
int
dxs+2 . . . dxN f (x1 , . . . , xN ) =
=
dxs+1 La,s+1
(N
−
s
−
1)!
a=1
s Z
X
=
dxs+1 Lint
a,s+1 fs+1 (x1 , . . . , xs+1 ).
(5.7)
a=1
Ïîäñòàâèì ðåçóëüòàòû ïðåîáðàçîâàíèé (5.5-5.7) â óðàâíåíèå (5.1) è ïîëó÷èì
ñèñòåìó N çàöåïëÿþùèõñÿ óðàâíåíèé, êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ öåïî÷êîé ÁÁÃÊÈ ïî
èìåíè àâòîðîâ Áîãîëþáîâà, Áîðíà, Ãðèíà, Êèðêâóäà è Èâîíà:
N
X
∂t fs (x1 , . . . , xs ) =
(L0a + Lext
a )fs (x1 , . . . , xs )+
+
+
a=1
N
X
a<b=2
s Z
X
Lint
ab f (x1 , . . . , xs )+
dxs+1 Lint
a,s+1 fs+1 (x1 , . . . , xs+1 ).
(5.8)
a=1
Óïðàæíåíèå. Çàïèñàòü ïåðâûå ÷åòûðå óðàâíåíèÿ öåïî÷êè ÁÁÃÊÈ.
Ñèñòåìó óðàâíåíèé (5.8) ìîæíî çàïèñàòü â ìàòðè÷íîé ôîðìå, óäîáíîé äëÿ
àíàëèçà åå ñâîéñòâ ïðîâåäåíèÿ ÷èñëåííûõ ðàñ÷åòîâ. Äëÿ ýòîãî âîñïîëüçóåìñÿ
ïðåäñòàâëåíèåì íàáîðà s-÷àñòè÷íûõ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ â âèäå âåêòîðà
ðàñïðåäåëåíèÿ (4.12):
∂t f (t) = Lf (t) = (L0 + Lext + Lint )f (t).
(5.9)
Ìàòðèöó â óðàâíåíèè (5.9) ìîæíî çàïèñàòü â ÿâíîì âèäå. Óäîáíî âîñïîëüçîâàòüñÿ îáîçíà÷åíèÿìè, àíàëîãè÷íûìè äèðàêîâñêèì îáîçíà÷åíèÿì â êâàíòîâîé
ìåõàíèêå äëÿ âåêòîðîâ ñîñòîÿíèé: â íàøåì ñëó÷àå ñîñòîÿíèå îïðåäåëÿåòñÿ ÷èñëîì ïîäñèñòåì â ãðóïïå è åìó ñîîòâåòñòâóåò âåêòîð-ñòîëáåö |si. Âåêòîðó-ñòðîêå
ñîîòâåòñòâóåò âåêòîð áðà hs|. Ïåðåïèøåì óðàâíåíèå (5.9) â íîâûõ îáîçíà÷åíèÿõ:
∂t fs (t) =
N
X
hs|(L0 + Lext + Lint )|s0 ifs0 (t).
(5.10)
s0 =0
Óïðàæíåíèå. Ïîêàçàòü, ÷òî ìàòðèöà â óðàâíåíèè (5.10) èìååò êâàçèäèàãîíàëüíûé âèä ñ îòëè÷íûìè îò íóëÿ ÷ëåíàìè òîëüêî íà ãëàâíîé è ñîñåäíåé ñ
íåé ñâåðõó äèàãîíàëÿõ.
5.6
Ôàêòîðèçàöèÿ s-÷àñòè÷íîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ. Êîððåëÿöèè
Ìû âèäåëè, ÷òî ñèñòåìà óðàâíåíèé (5.8) ñâÿçàíà áëàãîäàðÿ íàëè÷èþ âçàèìîäåéñòâèé ìåæäó ïîäñèñòåìàìè.  îñòóòñòâèå âçàèìîäåéñòâèé s-÷àñòè÷íûå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ìîæíî áûëî áû ïðåäñòàâèòü ïðîñòî â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ
îäíî÷àñòè÷íûõ, íàïðèìåð:
f20 (x1 , x2 , t) = f10 (x1 , t)f10 (x2 , t).
(6.1)
Çäåñü âåðõíèé èíäåêñ 0 óêàçûâàåò íà îòñóòñòâèå âçàèìîäåéñòâèé â èäåàëüíîì
ñòàòèñòè÷åñêîì àíñàìáëå. Íà ñàìîì äåëå âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó ïîäñèñòåìàìè íå ïîçâîëÿþò ôàêòîðèçîâàòü ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ, îäíàêî ìîæíî ââåñòè
ìåðó âêëàäà âçàèìîäåéñòâèé â s-÷àñòè÷íûå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ, äîáàâëÿÿ ê ôàêòîðèçîâàííîìó ïðåäñòàâëåíèþ äîïîëíèòåëüíûå ôóíêöèè, êîòîðûå
íàçîâåì êîððåëÿöèîííûìè.  ÷àñòíîñòè, äâóõ÷àñòè÷íóþ ôóíêöèþ ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê
f2 (x1 , x2 , t) = f1 (x1 , t)f1 (x2 , t) + g2 (x1 , x2 , t),
(6.2)
ãäå g2 (x1 , x2 , t) êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ, ó÷èòûâàþùàÿ êîððåëÿöèè (âçàèìîäåéñòâèÿ) äâóõ ÷àñòèö (ïîäñèñòåì). Äëÿ òðåõ÷àñòè÷íîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò ó÷åñòü íå òîëüêî ïàðíûå, íî è òðîéíûå êîððåëÿöèè, ïîýòîìó
èìååì:
f3 (x1 , x2 , x3 , t) =f1 (x1 , t)f1 (x2 , t)f1 (x3 , t)+
+g2 (x1 , x2 , t) + g2 (x1 , x3 , t) + g2 (x2 , x3 , t) + g3 (x1 , x2 , x3 , t). (6.3)
Òàê ïðîöåäóðó ôàêòîðèçàöèè ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ ìîæíî ïðîäîëæèòü äî
êàêîãî óãîäíî ïîðÿäêà.
Óïðàæíåíèå. Ôàêòîðèçîâàòü 4-÷àñòè÷íóþ ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ.
Çàìåòèì, ÷òî âî âñåõ âûðàæåíèÿõ âðåìåííàÿ çàâèñèìîñòü îïðåäåëÿåòñÿ ãàìèëüòîíîâîé äèíàìèêîé ïîäñèñòåì àíñàìáëÿ.
 çàêëþ÷åíèå ëåêöèè ñäåëàåì íåêîòîðûå çàìå÷àíèÿ îòíîñèòåëüíî âðåìåííîé ýâîëþöèè ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ. Åñòåñòâåííî, ìû âèäèì, ÷òî êàê óðàâíåíèå Ëèóâèëëÿ (3.10), òàê è ýêâèâàëåíòíàÿ åìó öåïî÷êà óðàâíåíèé ÁÁÃÊÈ (5.8)
îáðàòèìû ïî âðåìåíè, ïîñêîëüêó îñíîâàíû íà îáðàòèìûõ óðàâíåíèÿ äèíàìèêè ïîäñèñòåì. Â òàêèõ ñèñòåìàõ íå âîçíèêàåò ðåëàêñàöèè è, ñîîòâåòñòâåííî,
óñòàíîâëåíèÿ (òåðìîäèíàìè÷åñêîãî) ðàâíîâåñèÿ. Êàê ìû óæå ãîâîðèëè, òàêàÿ
íåîáðàòèìîñòü ïîñòóëèðóåòñÿ, ââîäèòñÿ ðóêàìè. Ñ îäíîé ñòîðîíû ïîíÿòíî,
÷òî äëÿ ìàêðîñêîïè÷åñêèõ âåëè÷èí, ïîëó÷åííûõ â ðåçóëüòàòå óñðåäíåíèÿ äèíàìè÷åñêèõ ôóíêöèé ìû íå ìîæåì ïîòðåáîâàòü îáðàòèìîñòè, ïîñêîëüêó îíè ïîëó÷åíû â ðåçóëüòàòå ïðèìåíåíèÿ ïîñòóëàòà î ñóùåñòâîâàíèè ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ è åå âåðîÿòíîñòíîì ñìûñëå. Ñëåäîâàòåëüíî, ìû ìîæåì ïðåäïîëîæèòü,
÷òî ââåäåíèå ýëåìåíòîâ âåðîÿòíîñòíîé òðàêòîâêè ïðèâîäèò ê íåîáðàòèìîñòÿì.
Ñ äðóãîé ñòîðîíû ââåäåíèå ýëåìåíòîâ âåðîÿòíîñòíîãî ïîäõîäà ïîäðàçóìåâàåò
÷àñòè÷íóþ ïîòåðþ èíôîðìàöèè î ñâîéñòâàõ ñèñòåìû.  ÷àñòíîñòè, äëÿ ìàêðîñêîïè÷åñêîé ñèñòåìû äåòàëüíàÿ ìèêðîñêîïè÷åñêàÿ èíôîðìàöèÿ íå òîëüêî
íåâàæíà, íî åñëè äàæå ïðåäïîëîæèòü, ÷òî îíà íàì îêàçàëàñü äîñòóïíîé, ñêîðåå âñåãî çà îãðîìíûì (ìàêðîñêîïè÷åñêèì!) îáúåìîì èíôîðìàöèè ñêðûëàñü áû
ñóùåñòâåííàÿ èíôîðìàöèÿ î ïîâåäåíèè ìàêðîñêîïè÷åñêîãî îáúåêòà êàê öåëîãî.
Òàêèì îáðàçîì, íåîáðàòèìîñòü âîçíèêàåò âñÿêèé ðàç, êîãäà ìû îòêàçûâàåìñÿ
îò ÷àñòè íåñóùåñòâåííîé äëÿ íàñ èíôîðìàöèè.
Ïåðåíîñÿ ðàññóæäåíèÿ íà ñâîéñòâà ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ, ìîæíî ñêàçàòü,
÷òî çäåñü ïîäîáíîãî ðîäà ïðèáëèæåíèÿ ìîãóò áûòü ñâÿçàíû ñ êîððåëÿöèîííûìè ôóíêöèÿìè. Èõ íåäîñòàòî÷íî îáîðâàòü ðóêàìè íà êàêîì-òî ýòàïå.  òàêîì
ñëó÷àå ñèñòåìà óðàâíåíèé ïðîñòî ñòàíåò îãðàíè÷åííîé. Íåîáõîäèìî ïðåäëîæèòü ïîñòóëàòû îá èõ âðåìåííîé ýâîëþöèè . Îáû÷íî ïîñòóëèðóåòñÿ îáðàùåíèå
â íóëü êîððåëÿöèîííûõ ôóíêöèé ïî ïðîøåñòâèè äîñòàòî÷íî áîëüøîãî (ïî ñðàâíåíèþ ñ íåêîòîðûìè õàðàêòåðíûìè âðåìåíàìè ýâîëþöèè ïîäñèñòåì) âðåìåíè.
Ýòî óòâåðæäåíèå íèêàê íå ñëåäóåò èç óðàâíåíèÿ Ëèóâèëëÿ, à íàêëàäûâàåòñÿ
èç ôèçè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé.  äàëüíåéøåì ìû óâèäèì, êàê ïîñòóëèðóåòñÿ
íåîáðàòèìîñòü â ðàçëè÷íûõ ìîäåëÿõ è ïðèáëèæåíèÿõ.