3. Когерентность, интерференция, дифракция Урок 11

3. Когерентность, интерференция, дифракция
3.
71
Когерентность, интерференция, дифракция
Урок 11
Видность
3.1. (Задача 3.12.) На экране наблюдается картина интерференции от двух
Y`
параллельных щелей, расположенных на расстоянии d
друг от друга в постановке опыта Юнга. Источник некоd/2
герентного света находится на большом расстоянии a Z
α
d от щелей и представляет собой равномерно светящуюся полосу углового размера α0 1 (см. рисунок),
-d/2
параллельную щелям. Расстояние от экрана до щелей –
b d, длина волны – λ. Найти зависимость видности
b
a
V = (Imax − Imin )/(Imax + Imin ) от d для интерференционных полос на экране.
Решение Рассмотрим результат прихода в точку P экрана с координатой y 0
(расположенную под углом β к оси Z) двух лучей, выY`
Y
шедших
из точки S полосы с координатой y (располоP
r′
женную
под
углом α к оси Z). С учетом малости попеd/2
r
речных
размеров
по сравнению с продольными y, y 0 S
r′
Z
a, b имеем для путей r1 , r10 и r2 , r20 следующие соотноβ
α
шения:
r
Y
0
1
1
2
α0
2
-d/2
a
r1 ≈ a − αd/2; r10 ≈ a + αd/2;
b
r2 ≈ b − βd/2; r20 ≈ b + βd/2.
Тогда
0
0
Ep = E0 eik(r1+r1 ) +eik(r2+r2 ) = E0 eik(a+b) eik(α+β)/2 +e−ik(α+β)/2 =
= 2E0 eik(a+b) cos[kd(α + β)/2].
Поскольку излучение полосы некогерентное, надо складывать интенсивности:
dIp = |Ep |2 dα/α0 = 4E02 cos2 [kd(α + β)/2]dα/α0 =
= 2I0 (1 + cos[kd(α + β)])dα/α0 ,
Ip =
α0 /2
h α
i
0
dIp = 2I0 1+sin kd
+β −
2
−α0 /2
Z
72
i h α
0
kα0 d =
− sin kd − +β
2
sin u
= 2I0 1 +
cos kdβ ,
u
где u = kdα0 /2 = πdα0 /λ.
Максимальное значение cos kdβ = +1, а минимальное значение cos kdβ = −1.
Отсюда
IP max = 2I0 (1 + sin u/u),
IP min = 2I0 (1 − sin u/u).
Таким образом,
sin u sin πdα0 /λ Imax − Imin
.
=
V =
=
Imax + Imin
u πdα0 /λ В частности, V = 0 при u = π, т. е. при α0 = λ/d. Отсюда виден способ
измерения малых угловых величин.
3.2. (Задача 3.18.) Звездный интерферометр Майкельсона представляет собой
интерференционную схему Юнга, в которой расстояние d между отверстиями может
изменяться. Найти зависимость видности интерференционных полос в интерферометре Майкельсона от расстояния между отверстиями и длины волны λ при наблюдении:
а) двойной звезды с угловым размером α (каждая компонента двойной звезды может
рассматриваться как точечный источник, светимости обеих компонент одинаковы);
б) звезды с большим угловым размером α (рассматривать ее как равномерно излучающий диск или даже как полосу, исправив результат).
Решение a) Двойная звезда с угловым размером α. Этому случаю соответствует
решение задачи 3.7 для двух некогерентных источников. Для получения соответствующей формулы необходимо в выражении для интенсивности из задачи 3.7 заменить
2d на d, а 2h/a заменить на угол α/ Тогда интенсивность запишется в виде
kdx
kdα
I = 4I0 1 + cos
cos
.
L
2
Видность по определению
Imax − Imin kdα 2πdα πdα .
V =
= cos = cos = cos Imax + Imin 2 2λ λ б) Звезда с большим угловым размером α. Для вычисления суммарной интен-
73
3. Когерентность, интерференция, дифракция
d
R
сивности от круга рассмотрим его как последовательность полос, находящихся на расстоянии ξ от центра и
шириной dξ (см. рис.). Тогда интенсивность от 2-х таких симметричных полос (см. пункт а)) можно записать
в виде
p
I0
kdx
kdξ
dI = 4 2 1 + cos
cos
2 R2 − ξ 2 dξ,
πR
L
a
где a – расстояние до звезды, а R – ее радиус.


Z1
Z1

p
I0  2 p
kdx
kdR
I = 4 2 4R
1 − t2 dt + 4R2 cos
cos
t 1 − t2 dt .

πR 
L
a
0
0
Первый интеграл равен π/4, а второй интеграл рассмотрим отдельно


Z1

p
I0  2
kdx
kdRt
I = 4 2 πR + 4R2 cos
1 − t2 dt .
cos

πR 
L
a
0
Вспоминая определение функции Бесселя
n
Z1
2 x2
2n−1
Jn (x) =
(1 − t2 ) 2 cos(xt)dt,
1
1
Γ( 2 )Γ(n + 2 )
0
мы видим, что второе слагаемое можно свести к этой функции c n = 1
Z1
0
cos
Γ( 12 )Γ( 32 )
kdRt p
J1
1 − t2 dt =
a
2 kdR
2a
kdR
a
=
π/2
J1
πdα/λ
πdα
λ
Собирая вместе оба члена, получим
2λ
πdα
kdx
I = 4I0 1 +
J1
cos
.
πdα
λ
L
Тогда видность
2λ
πdα V =
J1
πdα
λ 1 λ
παd
√
а) V = cos παd
, где J1 – функция Бесселя.
λ ; б) V = 2 π αd J1
λ
.
74
3.3. (Задача 3.19.) В звездном интерферометре Майкельсона при наблюдении:
а) двойной звезды (система Капелла на расстоянии 44,6 световых лет) и б) красного гиганта (α-Бетельгейзе на расстоянии 652 световых года) видность интерференционных полос при увеличении расстояния между отверстиями ослабевает и при
D = D0 обращается в нуль. Определить: а) расстояние
ρ0 между компонентами
) и б) диаметр
двойной звезды (D0 = 70,
8
см,
λ
=
5
000
красного гиганта
(D0 = 720 см, λ = 6 000 ).
Указание: первый корень функции Бесселя J1 (x) равен x1 = 3, 83...,
Rπ
J1 (x) = π1 cos(t − x sin t)dt.
0
Решение
dI = 2I0 (1 + cos φ (x, ξ)) ξ · dξ
x
ξ
cos φ (x, ξ) = cos
+
kd
L a
p
ξ = 2 R2 − r2 dr


ZR
 R2

x
ξ
I = 2I0
2π + 2π
cos kd
+
ξdξ

 2
L a
−R

=
2
π
RR
2R2
I = 2I0 πR2 +
πR2
ZR
−R
q
x
cos kd L
cos kdξ
1−
a
−R
R1
=
4
πR
=
4
π

r
x
ξ
ξ2 
cos kd
+
1 − 2 dξ
L a
R
ξ 2 dξ
R2 R
−
RR
−R
kdx
1 − t2 cos kdR
a tdt · cos L =
0
kdR
a
1
3
a
cos kdx
L kd Γ( 1 )·Γ( 3 ) · Γ 2 · Γ 2 · J1
2
2
q
x
sin kd L
sin kdξ
1−
a
kdR
a
n
Z1
2n−1
2 x2
Jn (x) =
1 − t2 2 cos xtdt
1
1
Γ 2 ·Γ n+ 2
0
1 λ
V = √
J1
2 π αd
а) 1, 6 · 106 км; б) 6, 2 · 108 км.
παd
λ
ξ2
R2 dξ
=