Формализация и интерпретация в решении аффинных задач с

Формализация и интерпретация в решении аффинных задач с
использованием метода математического моделирования
А. А. Луканина
Руководитель: к.п.н., доцент А.В. Бобровская
ГОУ ВПО «Шадринский государственный педагогический
институт», г. Шадринск
При исследовании вопроса об использовании математического моделирования
в геометрии необходимо учитывать, что можно рассматривать и внутриматематическое моделирование, когда строится модель объекта, уже являющегося
математическим, и внешне-математическое моделирование, когда строится модель
объекта, не являющегося математическим.[1] Соответственно в математике
используются два вида перевода: с одного вида математического языка на другой
(языка алгебры, математических образов, символов, логического языка) и перевод с
языка, не являющегося математическим, на язык математики ("внешний перевод").
Первый тип перевода называют внутренним, он наиболее часто встречается в
практике, где используется перевод с языка геометрии на язык алгебры или перевод
с «родного» языка задачи на язык математический.[2] Перевод задачи с языка
геометрических образов на язык векторной алгебры существенно облегчает ее
решение, поскольку позволяет сводить решение задач с векторами к
автоматическому решению их по готовым правилам векторной алгебры.
Все геометрические задачи, решаемые векторным методом, мы условно
разделили на следующие группы:
1. аффинные задачи (на доказательство параллельности прямых,
коллинеарность точек, равенство длин коллинеарных отрезков);
2. метрические задачи (на доказательство равенства длин неколлинеарных
отрезков, перпендикулярности прямых; на отыскание длин отрезков, углов между
прямыми, площадей параллелограммов и треугольников, объемов параллелепипедов
и тетраэдров).
Этапы формализации и интерпретации – самые ответственные в реализации
метода математического моделирования. Перевод
с языка задачи на язык
математический требует основательной разработки схем и правил "внутреннего"
перевода. Блок разработанных нами переводных теорем для решения аффинных
задач содержится в таблице 1.
№
1.
Свойство
фигуры
 AB  CD
Геометрическая
модель
(1 способ)
А
В
С
2.
C   AB 
А
0
D
В
Перевод на
векторный язык
(1 способ)
AB   CD,   R,
Таблица 1. Аффинные теоремы
Геометрическая
Перевод на
модель
векторный язык (2
(2 способ)
способ)
А
AC   AB ,   R
С
OC  OA    AB, O
В
3.
C  AB 
А
С
В
О
AC    CB, 0    1 А
С
OC    OA 
 1     OB ,
O,0    1
С
О
4.
5.
A, B, C
коллинеарны
C   AB 
В
А
С
AB    AC
А
В
С
AC    AB,   0
В
AB    BC
А
В
О
С
OC    OB 
1     OA , O,   1
6.
 AB, C   p ,
q
А
p
 1
q
С
В
AC 
p
CB
q
А
С
В
С
В
OC 
q  OA  p  OB
pq
OC 
1
OA  OB , O
2
О
7.
C – середина  AB 
А
С
В
AC  CB
А

О
8.
A,B,C – любые точки
А
В
AC  AB  BC
С
9.
A,B,C,D – любые точки
11.
M и N симметричны
относительно S
A
AD  AB  BC  CD
B
C
N
S
C и D симметричны
относительно середины
A
AB 
M SM  SN
CD  CA  CB
C
E
D
А
В
D
10.
С
B
AB  CB  CA

M принадлежит
полуплоскости с
границей  AB 
12.
О
  0, O   AB 
А
13.
M принадлежит
плоскости, содержащей
неколлинеарные точки
A,B,C
AM    AB    AO
М
В
А
AM   AB   AC
В
M принадлежит полосе,
ограниченной
параллельными
прямыми  AB  и CD

A
B
D
C
A
AM   AB   AC ,
B
0   1
M
C
15.
M
C
M
14.
D
D
ABC равносторонний
OA  OB  OC  0
O
–
центр
описанной
окружности
B
D
O
A
C
OM  p  OA 
 q  OB 
 1  p  q   OC
16.
M – точка пересечения
медиан ABC
MA  MB  MC  0
B
D
E
17.
N
ABCD параллелограмм
ABCD –трапеция
 AD  BC 
A
C
C AB  DC или
BC  AD или
AC  AB  AD
D
B
M
C
B
A
18.
A
O
B
A
С
D

1
OA  OB 
B
3
 OC , O
OM 

F
M
A
O
AD   BC,   R
 1
C
D
OA  OC  OB  OD
Приведем примеры доказательства двух переводных теорем из
представленной таблицы.
Теорема 1. Прямые AB и CD параллельны тогда и только тогда, когда
существует   R и   0 такое, что AB  CD .
Доказательство.
А
В
 AB  CD ,
I.
Необходимость.
Пусть
С
докажем, что AB  CD (рис. 1). Так как
 AB  CD , то векторы AB и CD , соответственно
принадлежащие данным прямым, коллинеарны.
D
Рис. 1
Следовательно, существует   R и   0 , такое что AB  CD
(необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов).
II. Достаточность. Пусть AB  CD , докажем, что прямые AB и CD
параллельны (рис. 1). Векторы AB и CD коллинеарны по определению
умножения вектора на число. По определению коллинеарности векторов
прямые, содержащие векторы AB и CD , - параллельны.
Теорема 2. Точка С - середина отрезка АВ тогда и только тогда, когда
1
OC  OA  OB , O .
2
Доказательство.


А
С
В
О
Рис. 2
Пусть C – середина
AB , докажем, что OC  1 OA  OB (рис. 2).
2
Выберем произвольную т. О. По правилу
треугольника OC  OA  AC и OC  OB  BC .
Сложив
эти
равенства,
получим
2 OC  OA  AC  OB  BC .
I. Необходимость.


Так как т. C – середина  AB , то AC  BC  0 . Таким образом
1
OC  OA  OB .
2
А
II.
Достаточность.
Пусть
D
1
OC  OA  OB , докажем, что C – середина
2
С
AB  (рис. 3). Выберем произвольную точку О



О
В

и отложим векторы OA и OB . Сложим
векторы
Рис. 3
OA и OB по правилу параллелограмма, вектор суммы OD - диагональ
1
полученного параллелограмма, то есть OC  OD . Следовательно, векторы
2
лежат на одной прямой и точка С - середина OD. Так как АВ также является
диагональю полученного параллелограмма и по свойству диагоналей
параллелограмма АВ и OD пересекаются и точкой пересечения делятся
пополам, а точка С - середина OD, то точка C – середина  AB .
Таким образом, разработанный нами блок теорем позволяет
осуществлять этапы формализации и интерпретации метода математического
моделирования при решении аффинных задач.
Литература.
1. Блох А.Я. Школьный курс алгебры.// Методические разработки для
слушателей ФПК. М.: МГПИ им. В.И.Ленина, 1985. – 90 с.
2. Бобровская А. В.. Обучение методу математического моделирования
средствами курса геометрии педагогического института: Дисс…канд.
пед. наук : СПб., 1996 . - 232 c.