Геометрия и топология

Геометрия и топология
I. Элементы векторной алгебры в пространстве
1) Геометрическое векторное пространство. Линейная зависимость и линейная независимость векторов и их геометрический смысл. Базис векторного пространства. Координаты
векторов относительно базиса. Теорема о размерности геометрического векторного пространства.
2) Скалярное произведение векторов. Свойства и применение к решению задач. Векторное и смешанное произведения векторов. Их свойства.
Площадь параллелограмма и треугольника. Объем параллелепипеда и тетраэдра. Приложения к решению задач.
II. Плоскости и прямые пространства
3) Способы задания плоскостей и прямых пространства. Взаимное расположение плоскостей. Взаимное расположение прямых, взаимное расположение прямой и плоскости.
4) Расстояние от точки до плоскости, расстояние между скрещивающимися прямыми.
5) Приложения теории плоскости и прямой к решению задач школьного курса геометрии.
III. Линии и поверхности второго порядка
6) Эллипс, гипербола и парабола и их основные свойства.
7) Асимптотические направления линий второго порядка. Центры и диаметры линий
второго порядка и их основные свойства. Главные направления и главные диаметры линий
второго порядка. Классификация линий второго порядка.
8) Типы поверхностей второго порядка. Поверхности вращения, цилиндрические и конические поверхности. Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка.
IV. Преобразования плоскости и их приложение к решению задач
9) Движения плоскости и их свойства. Классификация движений. Группа движений и ее
подгруппы. Применение движений к решению задач.
10) Преобразования подобия и их свойства. Применение подобия к решению задач.
Группа подобий и ее подгруппы.
11) Аффинные преобразования плоскости и их свойства. Группа аффинных преобразований и ее подгруппы. Перспективно-аффинные преобразования, их свойства и типы. Применение аффинных преобразований к решению задач.
V. Методы изображений
12) Изображения плоских фигур в параллельной проекции и их связь с аффинными
отображениями плоскостей. Теорема Польке-Шварца.
13) Изображение пространственных фигур в параллельной проекции. Аксонометрическое проектирование. Позиционные задачи на изображение в параллельной проекции. Примеры построения сечений многогранников.
VI. Квадратичные формы и квадрики
14) Квадратичная форма и ее ранг. Приведение квадратичной формы к нормальному виду. Закон инерции. Положительно определенные квадратичные формы.
15) Аффинное n-мерное пространство. Аксиомы Вейля. k-плоскости. Квадрики в аффинном пространстве. Аффинная классификация квадрик.
16) Евклидово n-мерное пространство. Основные понятия евклидова пространства по
Вейлю. Понятия равенства отрезков и длины отрезка. Примеры доказательства теорем.
Квадрики в трехмерном евклидовом пространстве.
VII. Проективная геометрия
17) Проективная плоскость и ее свойства. Модели проективной плоскости.
Проективный репер и проективные координаты точек и прямых. Принцип двойственности.
Прямая и обратная теоремы Дезарга.
18) Двойное отношение четверки коллинеарных точек и его свойства. Гармонические
четверки точек и их связь с полными четырехвершинниками.
19) Проективные преобразования проективной плоскости и их свойства.
1
20) Гомология и ее свойства
21) Аналитическое задание проективных преобразований.
22) Проективные и перспективные отображения прямых и пучков. Инволюция.
23) Линии второго порядка на проективной плоскости. Полюс и поляра. Поляритет.
Прямая и обратная теоремы Штейнера.
VIII. Элементы геометрии Лобачевского
24) Плоскость Лобачевского. Параллельные и расходящиеся прямые на плоскости Лобачевского и их свойства. Угол параллельности и функция Лобачевского. Свойства треугольников на плоскости Лобачевского.
25) Три типа пучков прямых на плоскости Лобачевского. Окружность, эквидистанта и
орицикл и их основные свойства.
26) Гиперболическое пространство Лобачевского. Модель Кэли-Клейна плоскости Лобачевского. Непротиворечивость системы аксиом плоскости Лобачевского.
IX. Топология
27) Топология и топологические пространства. Примеры. Метрическая и евклидова топологии. Подпространства топологического пространства.
28) Внутренние, внешние и граничные точки подмножеств топологического пространства. Оператор замыкания и его свойства.
29) Связные и несвязные топологические пространства и их свойства. Примеры. Строение несвязных топологических пространств. Компоненты связности и их свойства.
30) Базы топологии. Определение топологии посредством базы. Первая и вторая аксиомы счетности. Примеры пространств, удовлетворяющих этим аксиомам. Сепарабельность и
ее связь со второй аксиомой счетности.
31) Аксиомы отделимости. Примеры и свойства T0 – и T1 –пространств, нормальных
пространств. Нормальность метрических пространств.
32) Компактные топологические пространства и их основные свойства.
33) Счетная компактность и ее связь с компактностью. Критерии счетной компактности.
Критерии компактности подмножеств метрических и евклидовых пространств.
X. Дифференциальная геометрия
34) Кручение и кривизна пространственной кривой. Формулы Френе. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Первая и вторая квадратичные формы поверхности.
35) Нормальная кривизна линии на поверхности. Индикатриса Дюпена. Главные
направления и главные кривизны. Теорема Родрига. Линии кривизны. Средняя и полная
кривизны поверхности.
36) Деривационные формулы. Внутренняя геометрия поверхности. Теорема egregium.
37) Геодезические линии. Полугеодезическая система координат.Дефект геодезического
треугольника. Формула Гаусса - Бонне.
2