Зав. кафедрой

«УТВЕРЖДАЮ»
Проректор по учебной работе
___________________В.Г. Прокошев
“___”___________ 2011 г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ
"Геометрия и топология"
Направление подготовки 010500 «Математическое обеспечение и
администрирование информационных систем»
Профиль подготовки «Математическое обеспечение и
администрирование информационных систем»
Квалификация (степень) выпускника
Бакалавр________________
(бакалавр, магистр, дипломированный специалист)
Форма обучения_____________очная_______________________________
(очная, очно-заочная, заочная)
Трудоемкость
Семестр
(зач. ед,
/час.)
Лекций,
(час.)
Практ.
занятий,
(час.)
Лаборат.
работ,
(час.)
СРС,
(час.)
Форма
контроля
(экз./зачет)
Зачет
Экзамен
2
3
2/72
5/180
36
34
34
-
36
76
Итого
7/252
70
34
-
112
Владимир 2011
1.
ЦЕЛИ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
Дисциплина "Геометрия и топология" обеспечивает подготовку по следующим
разделам математики: линейная алгебра и аналитическая геометрия,
дифференциальная геометрия и топология.
1.
2.
3.
4.
Целями освоения дисциплины "Геометрия и топология" являются:
Формирование навыков логического мышления
Формирование практических навыков использования математических
методов линейной алгебры и векторного анализа,
Ознакомление с основами теоретических знаний по классическим
геометрическим разделам математики.
Подготовка в области построения и использования различных
математических моделей на основе методов линейной алгебры и геометрии.
2.МЕСТО ДИСЦИПЛИНЫ В СТРУКТУРЕ ООП ВПО
Дисциплина "Геометрия и топология" относится к
дисциплинам
математического и естественнонаучного цикла:
 Код УЦ ООП учебного цикла основной образовательной программы
(раздела) – Б2;
 Математический и естественнонаучный цикл
 Вариативная часть.
Взаимосвязь с другими дисциплинами
Курс "Геометрия и топология" основывается на знании школьного курса
арифметики, алгебры и геометрии.
Полученные знания могут быть использованы во всех без исключения
профессиональных дисциплинах, а также дисциплинах естественнонаучного
цикла.
3. КОМПЕТЕНЦИИ ОБУЧАЮЩЕГОСЯ, ФОРМИРУЕМЫЕ
В РЕЗУЛЬТАТЕ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
В результате освоения дисциплины обучающийся должен обладать
следующими общекультурными компетенциями (ОК):
2
В результате освоения дисциплины обучающийся должен обладать
следующими профессиональными компетенциями (ПК):
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
Знать:
основы линейной алгебры и аналитической геометрии, дифференциальной
геометрии и векторного анализа, а также топологии многообразий.
Уметь:
- применять теоретические знания при решении математических задач;
- проводить анализ и обработку математических задач с целью их линеаризации и
геометризации;
Владеть:
- основными приемами решения классических задач линейной алгебры,
аналитической геометрии и векторного анализа на простейших многообразиях.
4. СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
4.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС
СЕМЕСТР 2
3
ГЛАВА «СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. МАТРИЦЫ. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ.
4.1.1. Определители и системы линейных уравнений малых порядков. Свойства
определителей, правило Крамера. Геометрическая интерпретация решения системы линейных
уравнений.
Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Совместные, несовместные;
определенные, неопределенные системы. Равносильные системы. Элементарные
преобразования систем. Ступенчатый вид. Теорема о приведении системы к ступенчатому виду.
Исследование системы по ступенчатому виду. Случай однородной системы.
4.1.2 Матрицы. Понятие матрицы, квадратные матрицы; строки, столбцы. Сложение матриц и
умножение матриц на число. Транспонирование матриц. Свойства этих операций.
Произведение матриц. Определитель произведения двух квадратных матриц.
4.1.3 Обратная матрица и ее вычисление. Вычисление обратной матрицы по Гауссу.
ГЛАВА «ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА»
4.1.4 Понятие векторного пространства. Примеры векторных пространств. Линейная
независимость векторов, базис, размерность. Операции над векторами в координатной форме.
4.1.5 Скалярное произведение. Определение, физический смысл скалярного произведения.
Неравенство Коши – Шварца. Норма и угол. Разложение вектора по ортонормированному
базису. Скалярное произведение, норма и угол в терминах координат относительно
ортонормированного базиса.
4.1.6 Векторное произведение. Определение, физический смысл, свойства и запись в
координатах. Геометрический смысл определителя 2-го порядка.
Смешанное произведение. Определение, свойства и метод вычисления. Геометрический
смысл смешанного произведения. Геометрический смысл определителя 3-го порядка.
ГЛАВА «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ»
4.1.7 Прямая линия на плоскости. Общее уравнение прямой на плоскости. Параметрическое
уравнение прямой. Нормаль к прямой. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой.
Плоскость в пространстве. Общее уравнение плоскости. Нормаль к плоскости. Двугранный
угол между плоскостями. Расстояние от точки до плоскости.
4.1.8 Эллипс, гипербола, парабола, геометрическое определение. Приведение к
каноническому виду. Общее уравнение кривой второго порядка. Классификация кривых
второго порядка на плоскости.
4.1.9 Поверхности второго порядка : эллипсоид, однополостный гиперболоид, двуполостный
гиперболоид, эллиптический параболоид, гиперболический параболоид. Цилиндрические и
конические поверхности второго порядка. Сечение поверхности второго порядка плоскостью.
4
ГЛАВА «ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ »
4.1.10 Линейные операторы. Примеры линейных операторов. Матрица линейного оператора.
Вычисление образа вектора с использованием матрицы оператора. Матрица поворота
плоскости.
Собственные числа и собственные векторы. Теорема о вычислении собственных чисел и
векторов. Проблема диагонализации линейного оператора. Диагонализация линейного
оператора, имеющего простой спектр.
4.1.11 Самосопряженные линейные операторы. Спектральная теорема для самосопряженных
операторов. Приведение квадратичных форм к каноническому виду.
ГЛАВА «СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ»
4.1.12 Ранг матрицы. Метод окаймляющих миноров.
4.1.13 Системы линейных уравнений. Теорема Кронекера - Капелли.
ГЛАВА «ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ»
4.1.14 Прямая на плоскости. Способы задания прямой. Нормаль к прямой. Расстояние от
точки до прямой. Угол между прямыми.
4.1.15 Прямая в пространстве.
ГЛАВА "ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ"
4.1.16 Плоскость в трехмерном пространстве. Нормаль к плоскости. Расстояние от точки до
плоскости. Двугранный угол между плоскостями.
СЕМЕСТР 3
Глава «ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И МАТРИЦЫ»
4.1.17 Ортогональные операторы. Ортогональные матрицы.
Глава «ЭКСПОНЕНТА И ЛОГАРИФМ КВАДРАТНОЙ
МАТРИЦЫ»
4.1.18 Определение экспоненты квадратной матрицы. Определитель экспоненты. Вычисление
экспоненты. Экспонента кососимметрической матрицы и логарифм ортогональной матрицы.
Простейшие примеры алгебр Ли и групп Ли. Теорема о соответствии между алгебрами Ли и
5
группами Ли.
Глава "АФФИННАЯ ГРУППА"
4.1.19 Аффинная группа. Группа движений евклидова пространства. Классификация изометрий
прямой, плоскости и трехмерного пространства. Аффинная классификация кривых второго
порядка.
Глава "РИМАНОВА МЕТРИКА"
4.1.20 Риманова метрика. Вычисление длин и углов в терминах римановой метрики. Римановы
метрики на евклидовой плоскости, сфере и плоскости Лобачевского..
4.1.21 Плоские кривые, кривизна, формулы Френе.
4.1.22 Риманова метрика (1-ая квадратичная форма) на поверхности в трехмерном
пространстве. Вычисление площади. Теория кривизны и вторая квадратичная форма. Гауссова
кривизна.
Глава "ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ"
4.1.23 Дифференциальные формы на дифференцируемом многообразии. Теорема Стокса.
Лемма Пуанкаре. Теорема Де Рама.
4.3. ТРУДОЕМКОСТЬ И ФОРМИРУЕМЫЕ КОМПЕТЕНЦИИ
Общая трудоемкость дисциплины составляет 7 зачетных единиц (252 часа): 2
зачетных единицы во втором семестре и 5 в третьем семестрах.
Распределение трудоемкости по видам занятий в семестрах представлено в
табл. 1.
6
Раздел
дисциплины
1
2
3
4
5
4.1.1
4.1.2
4.1.3
4.1.4
4.1.5-4.1.6
6
4.1.7-4.1.8
7
8
9
4.1.9
4.1.10
4.1.11-4.1.12
10
4.1.13-4.1.15
2
11
4.1.16
Всего часов во 2
семестре
1
4.1.17-4.1.19
2
4.1.20
3
4.1.21
4
4.1.22-4.1.23
Всего часов в 3
семестре
Всего часов
3
Неделя
семестра
№
п/п
Семестр
Таблица 1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
Виды учебной
работы и
трудоемкость
(в часах)
Лек. Практ. СРС
2
0
2
2
0
2
2
0
2
2
0
2
2
0
2
2
0
2
2
0
2
2
0
2
2
0
2
2
0
2
2
0
2
2
0
2
2
0
2
2
0
2
2
0
2
2
0
2
2
0
4
34
0
36
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
34
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
34
5
5
5
5
5
5
5
5
4
4
4
4
4
4
4
4
4
76
68
34
112
Формы текущего контроля
успеваемости (по неделям)
Форма промежуточной
аттестации (по семестрам)
В семестре выполняются
контрольные работы
с оценками, учитываемыми
в рейтинг контроле.
Выдаются типовые расчеты
Рейтинг контроль №1
Рейтинг контроль №2
Рейтинг контроль №3
ЗАЧЕТ
В семестре выполняются
контрольные работы
с оценками, учитываемыми
в рейтинг контроле.
Выдаются типовые расчеты
Рейтинг контроль №1
Рейтинг контроль №2
Рейтинг контроль №3
ЭКЗАМЕН
Матрица соотнесения разделов учебной дисциплины и формируемых в них
профессиональных компетенций представлена в табл. 2
7
ПК-4
Σ ( общее
количество
компетенций )
3
3
4
3
3
3
3
3
3
3
0,4
ПК-1
ПК-2
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
0,2
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
0,4
ОК-10
ОК-2
ОК-1
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
0,3
8
8
2
2
4
2
6
26
16
28
0,2
4.1.1-4.1.4
4.1.5- 4.1.8
4.1.9
4.1.10
4.1.11-4.1.12
4.1.13
4.1.14-4.1.15
4.1.16-4.1.19
4.1.20-4.1.21
4.1.22-4.1.23
Вес
Компетенции (λ)
Компетенции
0,3
Разделы
дисциплины
Колич.
часов
(аудит.)
Таблица 2
5. ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
5.1. Активные и интерактивные формы обучения
С целью формирования и развития профессиональных навыков студентов в
учебном процессе используются активные и интерактивные формы проведения
занятий в сочетании с внеаудиторной работой: (контрольные аудиторные работы,
индивидуальные домашние работы). Объем занятий, проводимых в
интерактивных формах, составляет 28 часов консультационных занятий (вне
расписания), контрольные работы 10 часов на практических занятиях (из расчета
2 контрольные работы во втором и третьем семестрах ).
5.2. Самостоятельная работа студентов
Самостоятельная (внеаудиторная) работа студентов включает закрепление
теоретического материала при подготовке к выполнению контрольных заданий, а
также при выполнении индивидуальной домашней работы. Основа
самостоятельной работы - изучение литературы по рекомендованным источникам
и конспекту лекций, решение выданных преподавателем практики задач.
5.3. Мультимедийные технологии обучения
Некоторые из лекционных и практических занятий проводятся в виде
презентаций в мультимедийной аудитории с использованием компьютерного
проектора.
Студентам предоставляется компьютерный курс лекций. Компьютерные
технологии используются для оформления типовых расчетов.
5.4. Лекции приглашенных специалистов
В рамках учебного курса «Геометрия и топология» предусмотрены встречи
8
с представителями российских и зарубежных университетов

5.5. Рейтинговая система обучения
Рейтинг-контроль проводится три раза за семестр. Он предполагает оценку
суммарных баллов по следующим составляющим: баллы на контрольных
занятиях; качество выполнения домашних типовых заданий. Баллы рейтинговой
системы аттестации студентов по семестрам приведены в табл. 3.
Таблица 3
Рейтинг
Семестр 2
Вид занятий
Число
часов
Контрольные
Типовые расчеты
Рейтинг-контроль
Зачет
Всего
4
10
-
Семестр 3
Вид занятий
Число
часов
1
2
3
Контрольные
Типовые расчеты
Рейтинг-контроль
Экзамен
Всего
4
10
-
20
-
-
-
20
-
20
-
1
20
-
2
20
-
3
20
-
Рейтинг
Баллы
(макс.)
40
20
60
40
100
Баллы
(макс.)
40
20
60
40
100
6. ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ УСПЕВАЕМОСТИ, ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО ИТОГАМ
ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
6.1 Экзаменационные билеты и задачи
-- см. приложение 1,2,3
6.2 Тесты для проверки остаточных знаний по дисциплине
-- см. приложение 4,5,6
9
7.УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ И ИНФОРМАЦИОННОЕ
ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
Учебники
Архангельский А.В. Конечномерные векторные пространства. — Москва : Изд-во
МГУ, 1982 .— 248 с.
Бугров Я. С. Высшая математика : учебник для вузов по инженерно-техническим
специальностям : в 3 т. / Я. С. Бугров, С. М. Никольский .— 8-е изд., стер. — Москва :
Дрофа, 2006 .— Т. 1: Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии .—
2006 .— 284 c.
Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия . — Москва :
Наука, 1986 .— 780 с.
Заманский М. Введение в современную алгебру и анализ . — Москва : Наука, 1974 .—
487 с.
Ильин В. А. Линейная алгебра : учебник для вузов / В. А. Ильин, Э. Г. Позняк .— 2-е
изд. — Москва : Наука, 1978 .— 302 с.
Кострикин А.И. Введение в алгебру. — Москва : Наука, 1977 .— 496 с.
Новиков С. П, Лекции по дифференциальной геометрии (в двух частях), Изд-во
Московского университета, Москва, 1972.
Задачники
Сборник задач по алгебре (под редакцией Кострикина А.И.) — Москва : Наука,
1987 .— 352 с.
Бугров Я. С. Сборник задач по высшей математике : учебник для инженернотехнических специальностей вузов / Я. С. Бугров, С. М. Никольский .— Изд. 3-е .—
Москва : Физматлит, 2001 .— 300 c.
Данко П. Е.. Высшая математика в упражнениях и задачах : в 2 ч. / П. Е. Данко, А. Г.
Попов, Т. Я. Кожевникова .— 6-е изд. — Москва : Оникс 21 век : Мир и Образование,
2003. Ч. 1 .— 2003 .— 304 с.
Проскуряков И. В. Сборник задач по линейной алгебре , М.: Наука, 1967.
Пособия
Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике / М. Я. Выгодский .— Изд. 14-е .—
Москва : Джангар : Большая медведица, 2001 .— 863 c. : ил .— Алф. указ.: с.845-863 .
8. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ
10




Материально-техническое обеспечение дисциплины включает:
кафедральные мультимедийные средства (ауд. 230-3);
электронные записи лекций;
оборудование специализированной лаборатории (230-3);
компьютеры со специализированным программным обеспечением виртуальных
приборов.
Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО по
направлению «Математическое обеспечение и администрирование
информационных систем» и профилям подготовки бакалавров
«Математическое обеспечение и администрирование информационных
систем».
Автор: профессор каф. АиГ _________________
Танкеев С.Г.
Рецензент: зав. кафедрой ФиПМ _______________ Аракелян С.М.
Программа одобрена на заседании каф. АиГ
Протокол № ___________
От ___________________
Программа переутверждена:
на____________учебный год, протокол №__________от ______________
Зав. кафедрой ____________________________
на____________учебный год, протокол №__________от ______________
Зав. кафедрой ____________________________
на____________учебный год, протокол №__________от ______________
Зав. кафедрой ____________________________
на____________учебный год, протокол №__________от ______________
Зав. кафедрой ____________________________
11