Содержание 1. Введение…………………………………………………………………...4 2. Предварительные сведения……………………………………………….5

Содержание
1. Введение…………………………………………………………………...4
2. Предварительные сведения……………………………………………….5
3. Индикатриса нормальной кривизны F 2  E 4 …………………………….8
4. Алгоритм программы для F 2  E 4 ………………………..……………...12
5. Листинг программы……………………..………………………………..14
6. Индикатриса нормальной кривизны F 3  E 6 ...………………………….22
7. Аффинная классификация точек F 3  E 6 ………………………………..27
8. Алгоритм программы для F 3  E 6 …….…………………………………29
9. Листинг программы……………...……………………………………….31
10. Охрана труда.……………………………………………………………..35
11. Заключение……………………………………………………………….40
12.Аннотация…………………………………………………………………41
13.Список литературы……………………………………………………….42
-3-
Введение
Тема данной дипломной работы – «Аффинная классификация точек для
трехмерных поверхностей в шестимерном евклидовом пространстве». Общая
задача состоит в написании программы для построения индикатрисы
нормальной кривизны поверхности в заданной точке, а также доказательстве
теоремы об аффинной классификации точек, тип которых определяется по
точечной и расширенной точечной коразмерности поверхности.
В представленной работе рассмотрена трехмерная регулярная поверхность
в шестимерном евклидовом пространстве. Для нее написана программа в
пакете Maple, в которой реализовано вычисление ее внешних характеристик
и построение индикатрисы нормальной кривизны в точке. Также
представлены другие программы, в которых приведены примеры
поверхностей, дающие основание для теоремы об аффинной классификации
точек.
Предлагаемая в работе классификация состоит из двух типов точки невырожденного и вырожденного, каждый из которых имеет свой индекс,
состоящий из точечной и расширенной точечной коразмерностей. Точечной
коразмерностью поверхности в данной точке называется размерность
пространства вторых квадратичных форм в этой точке. Расширенной
точечной коразмерностью мы называем размерность пространства вторых
квадратичных форм в совокупности с первой квадратичной формой.
Индексом точки мы называем пару (p,r), где p – точечная коразмерность и r –
расширенная точечная коразмерность. Для поверхности F3 в E6
максимальный индекс имеет вид (3,4) и в этом случае мы называем точку
невырожденной.
Основной результат работы составляет следующее
утверждение.
Теорема Каждая точка регулярной поверхности F 3  E 6 , с точностью до
аффинно-проективных преобразований, относится к одному из 10 типов
точек:
Индекс точки
(3,4)
(3,3)
(2,3)
(2,2)
(1,2)
(1,1)
(0,1)
Тип индикатрисы нормальной кривизны
 Римская поверхность
 Скрещенный колпак
 Скрещенная чаша
 Т-поверхность
часть плоскости, не проходящая через начало координат
часть плоскости, которая проходит через начало координат
Отрезок прямой, не проходящий через начало координат
Отрезок прямой, проходящей через начало координат
точка, не совпадающая с началом координат
точка, совпадающая с началом координат
-4-
1. Предварительные сведения
Рассмотрим трёхмерное подмногообразие F 3 в шестимерном евклидовом
пространстве E 6 . В качестве пространства, в котором изменяются параметры
(u1 , u 2 , u 3 ) возьмём пространство
E 3 , причём можно считать, что
u i  декартовы координаты в E 3 . Предполагаем, что эти параметры
изменяются в некоторой области D  E 3 , где D - область определения
u i , i  1, 2,3 . Пусть ( x1 , x 2 , x3 , x 4 , x5 , x6 )  декартовы координаты в E 6 . Координаты
x i точки M , расположенной на подмногообразии F 3 , зависят от параметров
u  непрерывным образом, то есть являются некоторыми гладкими
функциями xi  f i (u1 , u 2 , u 3 ) . Вектор-функцию r точки M можно записать в
следующем виде:
 x1  
 2 
x  
 x3  
r  4
x  
 5 
x  
 6 
x  
f 1 (u1 , u 2 , u 3 ) 

f 2 (u1 , u 2 , u 3 ) 
f 3 (u1 , u 2 , u 3 ) 

f 4 (u1 , u 2 , u 3 ) 

f 5 (u1 , u 2 , u 3 ) 

f 6 (u1 , u 2 , u 3 ) 
Такое задание подмногообразия будем называть параметрическим.
Кратко вектор-функцию можно записать в векторном виде r  r (u1 , u 2 , u 3 ) .
Считаем, что заданная поверхность задана параметрически векторфункцией r  r (u1 , u 2 , u 3 ) .
Определение
Регулярной
параметризованной
поверхностью
3
6
связное подмножество, допускающее локальную
F  E называется
параметризацию r : D(u1 , u 2 , u 3 )  E 6 такую что:
- r  C m (m  1) ;
- rg  r  3 , r  матрица Якоби отображения r .
То есть матрица Якоби имеет следующий вид J  (1 r,  2 r, 3 r ) , где
1 r,  2 r, 3 r  вектор-столбцы частных производных вектор-функции r по
соответствующим параметрам (касательные вектора поверхности).
Важной геометрической характеристикой поверхности является его первая
квадратичная форма.
Пусть   кривая, лежащая на поверхности. Вдоль  параметры u1 , u 2 , u 3
являются некоторыми функциями от одного параметра t , параметризующего
кривую  , то есть
u i  u i (t ), i  1, 2,3 .
Вектор-функция кривой  имеет вид
r  r (u1 (t ), u 2 (t ), u 3 (t ))  r (t ) .
-5-
Выражение длины дуги для кривой  в евклидовом пространстве запишем в
виде:
t2
' 2
s
r t dt .
t1
Дифференцируя r (t ) как сложную функцию, находим
3
r t   rui
'
i 1
du i
.
dt
Следовательно,
' 2
rt 
3
 (rui , ru j )
i , j 1
du i du j
.
dt dt
Коэффициентами первой квадратичной формы называются величины
gij  (rui , ru j ), i  1,3, j  1,3 ,
а первой квадратичной формой (метрикой) называется форма
3
g  ds 2   gij du i du j .
i , j 1
Найдём для заданной поверхности вторые квадратичные формы.
Рассмотрим в каждой точке M некоторой окрестности x0 нормальное
пространство N M . Выберем в каждом нормальном пространстве N M базис из
единичных взаимно ортогональных векторов нормалей n1 , n 2 , n3 , причём так,
чтобы эти вектор-функции от x являлись регулярными функциями от
координат u1 , u 2 , u 3 . Нормалей у нас будет три, так как коразмерность равна 3,
следовательно вторых квадратичных форм тоже будет три, относительно
каждой из них. С помощью каждого вектора нормали определим вторую
квадратичную форму:
B  (n , r uiu j )du i du j ,   1, 2,3, i  1,3, j  1,3 ,
коэффициенты которой обозначим bij  (n , r u u ) .
i
j
Для каждой полученной второй квадратичной формы найдём нормальную
кривизну поверхности.
Возьмём произвольную точку M (u10 , u20 , u30 ) и произвольное касательное
направление X  x11 r  x2 2 r  x33 r . Тогда нормальная кривизна на
-6-
поверхности, проходящая через точку M в направлении
X относительно каждой из вторых квадратичных форм равна:
вектора
(1)
i
j
B1 ( X , X ) bij X X
k (M , X ) 

g ( X , X ) gij X i X j
1
n
(2)
i
j
B 2 ( X , X ) bij X X
k (M , X ) 

g( X , X )
gij X i X j
2
n
(3)
i
j
B3 ( X , X ) bij X X
.
k (M , X ) 

g( X , X )
gij X i X j
3
n
Через точку M  F 3 в некотором касательном направлении X проведём
кривую  , лежащую на F 3 . Пусть s  длина дуги на  .
Рассмотрим вектор кривизны k кривой  : k  r ss .
Вектором нормальной кривизны k n ( M , X ) поверхности F 3 в направлении X в
точке M называется проекция вектора кривизны k кривой  на нормальное
пространство N M .
Покажем, что вектор k n ( M , X ) определяется лишь поверхностью F 3 и
направлением X и не зависит от конкретного выбора кривой  , касающейся
X . Пусть u i  u i ( s), i  1, 2,3 - уравнения  . Тогда r ss  r uiu j du
i
du j
ds ds
 r ui
d 2u i
, i, j  1, 2,3 .
ds 2
Проекция вектора k на нормальное пространство N M имеет вид
3
3
 1
 1
k n   (k , n )   (r ss , n )n .
Используя выражение для r ss , можем записать
3
k n (M , X )   (r uiu j , n )
 1
3
du i du j
B n
.
n  
2
ds ds
 1 ds
То есть вектор нормальной кривизны поверхности равен
k n ( M , X )  k n  k n 2  k n3 
1
n 1
2
n
3
n
bij(1) X i X j
gij X i X j
 n1 
-7-
bij(2) X i X j
gij X i X j
 n2 
bij(3) X i X j
gij X i X j
 n3
(1)
2. Индикатриса нормальной кривизны
F 2  E4
Для двумерной поверхности F 2  E 4 индикатриса нормальной кривизны –
это эллипс нормальной кривизны, для его построения возьмём теоретические
сведения из книги Аминова Ю.А. «Геометрия подмногообразий».
Выбрав на поверхности F 2 два поля единичных взаимно ортогональных
нормалей n1 , n 2 , получили соответствующие им две квадратичные формы:

B  b11 (du1 ) 2  2b12 du1du 2  b22
(du 2 ) 2 ,   1, 2 .
Найдём вид индикатрисы нормальной кривизны. В точке M  F 2 каждому
направлению X  TM соответствует вектор нормальной кривизны k n ( X ) ,
расположенный в нормальном пространстве N M . Пусть начало его будет в
точке M . Тогда конец этого вектора задаёт точку p индикатрисы
нормальной кривизны. При вращении направления X в касательной
плоскости TM точка p опишет некоторую замкнутую кривую. Запишем
вектор нормальной кривизны для некоторого направления X , которое
определяется дифференциалами (du1 , du 2 ) :
k(X ) 
B1
B2
n

n2 .
1
ds 2
ds 2
(2)
В нормальной плоскости N M введём декартовы координаты x1 , x2 с началом
в точке M и базисными ортами n1 , n 2 . Тогда координаты точки p
индикатрисы имеют вид
x1 
B1 2 B 2
,x  2 .
ds 2
ds
Возьмём на поверхности F 2 координаты u1 , u 2 так, чтобы в точке M
коэффициенты метрического тензора имели вид gij   ij . Тогда в этой точке
ds 2  (du1 )2  (du 2 )2 . Обозначим
cos  
du1
(du1 ) 2  (du 2 ) 2
,sin  
du 2
(du1 ) 2  (du 2 ) 2
.
Угол  образован направлением X и координатной линией u1 . Для
координат точки индикатрисы можем записать
i
xi  b11i cos 2   2b12i cos  sin   b22
sin 2  .
-8-
Преобразуем это выражение следующим образом:
xi 
i
b11i  b22
bi  bi
i
 11 22 cos 2  b22
sin 2  , i  1, 2 .
2
2
Обозначим
1
b111  b22
b112  b222
 ,
.
2
2
Так как gij   ij в точке M , то  и  являются компонентами вектора
средней кривизны H в координатной системе, введённой в N M , т.е.
H   n1   n 2 .
Пусть q  N M с координатами ( ,  ) . Перенесём начало координат в q . В
i
новой системе координат x уравнения индикатрисы имеют вид
i
x 
i
b11i  b22
cos 2  b12i sin 2 , i  1, 2 .
2
Это уравнение эллипса с центром в точке q . Повернём оси координат на F 2
так, чтобы конец вектора нормальной кривизны для направления
координатной линии u1 лежал в одной из вершин эллипса нормальной
кривизны.
2
При   0 координата x  0 . Поэтому b112  b222 . Кроме того, так как функция
1
dx
x ( ) достигает экстремума при   0 , то
 0 при   0 . Следовательно,
d
b121  0 . Поэтому
1
1
2
b112  b22
x 
cos 2 , x  b122 sin 2 .
2
1
Обозначим a и b - полуоси эллипса нормальной кривизны. Имеем
1
b111  b22
 a, b122  b .
2
Находим выражения для коэффициентов вторых квадратичных форм:
b111    a , b112   ,
b121  0 ,
b122  b ,
1
b22
   a , b222   .
-9-
Запишем выражение Гауссовой кривизны K поверхности через величины
a, b,  ,  . Имеем в точке M
K
R1212
1
2
 b111 b22
 (b121 ) 2  b112 b22
 (b122 )2  (  a )(  a )   2  b 2   2   2  a 2  b 2 .
g11 g 22
Итак, получаем формулу Картана для Гауссовой кривизны поверхности:
K   2   2  a 2  b2 .
(3)
Гауссовым кручением называют величину k Г  2ab , пропорциональную
площади эллипса нормальной кривизны.
Для поверхности F 2 , лежащей в некоторой трёхмерной плоскости E 3 ,
эллипс нормальной кривизны вырождается в отрезок прямой, проходящей
через точку M . Действительно, в этом случае для любого касательного
направления в точке M вектор нормальной кривизны k n коллинеарен
нормали n к F 2 . Следовательно, конец этого вектора лежит на прямой,
проходящей через M и проведённой в направлении n .
Нахождение параметров эллипса нормальной кривизны
Параметрическое уравнение построенного эллипса нормальной кривизны не
позволяет находить его параметры, поэтому координаты центра и полуоси
найдём из неявного уравнения кривой второго порядка. Для нахождения
этого уравнения есть способ восстановления его по пяти заданным точкам.
Мы знаем, что кривая второго порядка вполне определяется пятью своими
точками, если никакие четыре из них не лежат на одной прямой. Возьмём
пять произвольных различных точек и подставим их в общее уравнение
кривой второго порядка вида
a11 x 2  2a12 xy  a22 y 2  2b1 x  2b2 y  c  0 ,
получаем систему уравнений, решив которую, находим
a 
b 
a
A   11 12  , b   1  , а c  const .
 a21 a22 
 b2 
Если det A  0 , то есть эллипс данной поверхности невырожден, то
координаты центра мы находим, как c   A1b . Полуоси вычисляем через
инварианты. Запишем каноническое уравнение кривой второго порядка в
виде
1 x 2  2 y 2 
- 10 -
I3
 0,
I2
где 1 , 2  собственные значения матрицы A . Тогда, преобразовав это
уравнение, получаем
x2
y2

1  0 .
I3
I3


1 I 2
2 I 2
Так как каноническое уравнение эллипса
(4)
x2 y 2

 1,
a 2 b2
ab0,
то из
полученного уравнения (4) находим полуоси
a 
 a11 a12
где I 2  det A, I3  det B , B   a21 a22
b
 1 b2
I3
I
,b   3 ,
1 I 2
2 I 2
b1 

b2  .
c 
Если det A  0 , то есть эллипс нормальной кривизны поверхности
вырождается в отрезок, то восстановить неявное уравнение кривой второго
порядка по пяти точкам не получится, так как они будут лежать на одной
прямой. В этом случае нужно деформировать поверхность добавлением к ней
функции деформации
r  (u1 , u 2 )  r (u1 , u 2 )    w(u1 , u 2 )
для того, чтобы получить невырожденный эллипс. Для полученной, уже
деформированной, поверхности полуоси и координаты центра вычисляются
вышеописанным образом. Эти величины будут зависимы от параметра  ,
поэтому в предельном переходе при   0 получаем центр и полуоси для
вырожденного эллипса.
В нашем конкретном случае функция деформации выглядит следующим
образом
w(u1 , u 2 )  (0, 0, 0, u1u 2 ) .
Эта деформация не является универсальной, но в рассмотренных мною
примерах такой деформации было достаточно.
- 11 -
3. Алгоритм программы для
F 2  E4
Описание алгоритма программы, написанной в пакете Maple, для
построения эллипса нормальной кривизны, нахождения центра и полуосей в
случае его вырожденности и невырожденности, вычисления Гауссовой
кривизны и Гауссово кручения поверхностей F 2  E 4 .
Алгоритм:
1. На вход подаём вектор-функцию
r  r (u1 , u 2 )   f 1 (u1 , u 2 ); f 2 (u1 , u 2 ); f 3 (u1 , u 2 ); f 4 (u1 , u 2 )  .
2. Находим 1 r ,  2 r и составляем матрицу Якоби J  r  (1 r,  2 r ) , где
1 r ,  2 r - вектор-столбцы.
3. Находим первую квадратичную форму gij  i r ,  j r , i  1, 2; j  1, 2 , но в
данной программе мы вычисляем её с помощью матрицы Якоби
g  Jt J .
4. Решаем систему линейных уравнений вида i r , N  0 , где N  ( N1 , N2 ) и
следовательно находим нормали N1 , N 2 .
5. По ортогонализации Грамма-Шмидта ортонормируем найденные
нормали n1 
N1
N1
; n2 
N 2  N 2 , n1 n1
N 2  N 2 , n1 n1
.
6. Находим вторую квадратичную форму Bi  ( Jm)t J , i  1, 2 , относительно
первой и второй нормали, где Jm  (n1 , n2 ) , n1 , n2 - вектор-столбцы.
Вторую
квадратичную
форму
можно
еще
найти,
как
i
(i )
B  (bik )  (  ik r , ni ), i  1, 2 .
7. Находим нормальные кривизны относительно первой и второй
нормали kn1 ( M , T ) 
B1 (T , T ) bik(1)T iT j 2
B 2 (T , T ) bik(2)T iT j

,
k
(
M
,
T
)


,
n
g (T , T ) gikT iT j
g (T , T )
gikT iT j
где M  (u0 , v0 ) - произвольная точка, а T  x11 r  x2 2 r - касательное
направление.
8. Строим эллипс нормальной кривизны в заданной точке по вектору
нормальной кривизны
Возьмём
k n (M , T )  kn1 (M , T )  n1  kn2 (M , T )  n2 .
касательное направление T  cos t 1 r  sin t 2 r,0  t  2 . Если оно в
касательной плоскости опишет кривую, гомеоморфную окружности,
то конец вектора k n ( M , T ) в нормальной плоскости опишет замкнутую
кривую, которая является эллипсом и называется эллипсом нормальной
кривизны.
9. Находим центр и полуоси полученного эллипса нормальной кривизны
(так как параметрическое уравнение полученного эллипса не позволяет
найти его параметры, то для их вычисления мы будем восстанавливать
неявное уравнение кривой второго порядка по пяти точкам):
- 12 -
- для невырожденного эллипса поверхности:
а) На вход подаём пять произвольных точек.
b) Выполняем проверку различности данных точек (если точки
совпадают, то неявное уравнение кривой второго порядка мы выписать
не сможем, они обязательно должны быть различны).
c)
В
общее
уравнение
кривой
второго
порядка
2
2
a11 x  2a12 xy  a22 y  2b1 x  2b2 y  c  0 подставляем пять данных точек и
получаем систему уравнений, решаем её средствами Maple.
d) Составляем матрицы из найденных коэффициентов
 a11 a12
 a11 a12 
 b1 

A
 , b    , B   a21 a22
 a21 a22 
 b2 
b
 1 b2
b1 

b2  .
c 
e) Находим координаты центра  ,  , как C   A1  b .
f) Находим собственные значения 1 , 2 матрицы А средствами Maple.
g) Находим инварианты I1  a11  a22 , I 2  det A, I3  det B .
h) Вычисляем полуоси a  
I3
I
,b   3 .
I 2  1
I 2  2
i) Вычисляем Гауссову кривизну по формуле Картана:
K   2   2  a 2  b2
j) Вычисляем Гауссово кручение, как ϰ  2ab .
- для вырожденного эллипса поверхности:
Для поверхности, эллипс нормальной кривизны которой вырождается в
отрезок, вышеописанный алгоритм не работает, поэтому восстановить
неявное уравнение кривой второго порядка по пяти точкам не получится,
так как они будут лежать на одной прямой. Для нахождения центра и
полуосей мы деформируем данную поверхность с помощью добавления к
ней функции деформации, то есть r *(u1 , u 2 )  r (u1 , u 2 )    w(u1 , u 2 ) и
добиваемся невырожденности. В нашем случае мы деформируем данную
поверхность следующим образом r *(u1 , u 2 )  r (u1 , u 2 )   0, 0, 0,   u1u2  . Для
полученной изменённой поверхности мы проделываем ту же процедуру,
что и для невырожденного случая и получаем координаты центра и
полуоси, зависящие от  , поэтому в предельном переходе при   0
находим параметры уже вырожденного эллипса нормальной кривизны
поверхности.
- 13 -
4. Листинг программы
>
>
>
>
>
> #Процедура нахождения матрицы Якоби: на вход подаём векторфункцию и размерность поверхности; дифференцируем вектор-функцию
по каждому параметру в цикле; составляем матрицу, формируя её
изначально из одного вектора r1, затем к нему добавляем
определённое количество векторов, в зависимости от размерности,
проделываем всё это в цикле и на выходе получаем матрицу Якоби.
>
>
> #Процедура для нахождения первой квадратичной формы: на вход
подаём вектор-функцию, размерность поверхности; матрицу Якоби
задаём через вышепроделанную процедуру; 1-ую квадратичную форму
ищем через матричное умножение транспонированной матрицы Якоби
на саму матрицу Якоби; на выходе получаем 1-ую квадратичную
форму.
>
>
- 14 -
> #Процедура для нахождения второй квадратичной формы: на вход вектор-функция,
размерность
поверхности,
размерность
пространства; вычисляем матрицу Якоби через ранее написанную
процедуру;
считаем
ядро
матрицы
Якоби,
равное
нормали
поверхности; отделяем каждую нормаль из ядра в цикле; составляем
матрицу из частных производных нормалей и считаем вторую
квадратичную форму по заданной формуле для каждой из нормалей;
на выходе получаем соответствующее количество нормалей и вторые
квадратичные формы для каждой из них соответственно.
>
> # Процедура построения эллипса нормальной кривизны для
заданной
поверхности:
на
вход
подаётся
вектор-функция,
размерность пространства и точка. Сначала дифференцируем векторфункцию по соответствующим параметрам, вычисляем ядро матрицы
Якоби, равное нормали поверхности, отделяем каждую нормаль и
ортонормируем их; считаем вторую квадратичную форму для каждой
из нормалей, а также вычисляем первую квадратичную форму;
находим нормальные кривизны для каждой нормали и строим по этим
кривизнам эллипс нормальной кривизны.
- 15 -
- 16 -
>
> #Та же процедура, что и для построения эллипса нормальной
кривизны, только без графика. Отсюда мы берём только нормальные
кривизны для дальнейшего использования. Процедура нам нужна,
чтобы увидеть уравнения нормальных кривизн.
- 17 -
>
>
#Процедура для нахождения координат центра и полуосей
невырожденного эллипса нормальной кривизны. На вход подаём пять
точек, по которым восстанавливается неявное уравнение кривой
второго порядка. Сначала проверяем не совпадают ли заданные
точки, так как из-за их совпадения нахождение искомых величин не
выполнится; составляем систему уравнений Ax+b+с=0, решаем её;
составляем матрицы из найденных величин и находим центр; находим
собственные числа матрицы А, составленной из найденных величин и
через инварианты находим полуоси.
- 18 -
В этой процедуре также представлены нахождение Гауссова кручения
ϰ
=
ab
и
Гауссовой
кривизны
K=alpha^(2)+beta^(2)-a^(2)-b^(2).
- 19 -
по
формуле
Картана
> #Процедура для нахождения координат центра и полуосей
вырожденного
эллипса нормальной кривизны. На вход подаём
размерность поверхности, произвольную точку и пять точек, по
которым восстановим неявное уравнение кривой второго порядка.
Деформируем заданную поверхность с помощью добавления к ней
функции деформации, в данном случае - добавление к четвёртой
координате заданной поверхности epsilon*u1*u2. Проверяем не
совпадают ли данные точки, так как из-за их совпадения
нахождение искомых величин не выполнится; составляем систему
уравнений Ax+b+с=0, решаем её; составляем матрицы из найденных
величин и находим центр; находим собственные числа матрицы А,
составленной из найденных величин и через инварианты находим
полуоси. В предельном переходе при epsilon, стремящемуся к 0,
получаем параметры для вырожденного эллипса. В этой процедуре
представлены нахождение Гауссова кручения ϰ = ab и Гауссовой
кривизны по формуле Картана K=alpha^(2)+beta^(2)-a^(2)-b^(2).
- 20 -
>
- 21 -
5. Индикатриса нормальной кривизны
F 3  E6
Определение Индикатрисой нормальной кривизны поверхности F 3  E 6 в
точке M называется образ отображения ind : TM F 3  N M F 3 , задаваемый
вектор-функцией
 B1 ( X , X ) B 2 ( X , X ) B3 ( X , X ) 
ind (M , X )  
,
,
,
 g( X , X ) g( X , X ) g( X , X ) 
(5)
где X  TM F 3 .
Индикатриса нормальной кривизны в произвольной точке M (u10 , u20 , u30 ) и
касательном направлении X строится следующим образом: выберем в
нормальном пространстве базис из единичных взаимно ортогональных
векторов нормалей n1 , n 2 , n3 , так как коразмерность равна 3, следовательно
вторых квадратичных форм тоже будет три, относительно каждой из
нормалей B1 , B2 , B3 . Для каждой II квадратичной формы находим нормальную
кривизну kn1 ( M , X ) , kn2 ( M , X ) , kn3 ( M , X ) , тогда полученный вектор нормальной
кривизны
k n (M , X )  kn1 n1  kn2 n2  kn3 n3
опишет в нормальном пространстве поверхность, которая будет
индикатрисой нормальной кривизны. Уравнение индикатрисы зависит от
параметризации поверхности и её нормалей.
По построению, областью определения отображения ind является
множество всевозможных направлений в касательном пространстве
поверхности, то есть множество точек вещественной проективной плоскости
RP2 . Областью значений отображения ind является множество точек в R3,
заданное рациональными функциями вида (5). Заметим, что при этом
четверка
многочленов
и
{B1 ( X , X ), B 2 ( X , X ), B3 ( X , X ), g ( X , X )}
1
2
3
{ B ( X , X ),  B ( X , X ),  B ( X , X ),  g ( X , X )} задают одну и ту же точку
индикатрисы. Следовательно, областью значений отображения ind является
множество точек в вещественном проективном пространстве RP3 с
однородными координатами [ y0 : y1 : y2 : y3 ] , причем эти онородные
координаты являются многочленами от однородных координат на
проективной плоскости RP2. Таким образом, индикатриса нормальной
кривизны для поверхности F 3  E 6 задается отображением
ind : RP 2  RP 3 ,
Координатные функции которого являются однородными многочленами
степени 2. Такие поверхности известны как поверхности Штейнера.
Определение Пусть p0 , p1 , p2 , p3 - квадратичные многочлены от двух
переменных u1 , u2 . Пусть один из них ненулевой, например p0  0 . Тогда
поверхностью Штейнера называется поверхность в E 3 , которая допускает
параметризацию
- 22 -
 p1 (u1 , u2 ) p2 (u1 , u2 ) p3 (u1 , u2 ) 
,
,


 p0 (u1 , u2 ) p0 (u1 , u2 ) p0 (u1 , u2 ) 
(6)
такую, что:
- p0 , p1 , p2 , p3 - линейно независимы;
- квадратичные многочлены p0 , p1 , p2 , p3 не имеют базовых точек.
Определение Точка M называется базовой точкой параметризации (6),
если точка M является общим корнем многочленов pi , i  0,3 , то есть
pi (u1 , u2 )  0, i  0,3 .
Наличие или отсутствие базовых точек существенно влияет на степень
многочлена, задающего неявное аффинное уравнение поверхности
Штейнера.
Теорема
Пусть S - поверхность P 3 (проективного пространства), параметризованная
рациональным отображением  вида (6) и deg pi  d . Тогда
deg( S )  d 2   b
bZ
где Z  t  P | p0 (u )  p1 (u )  p2 (u )  p3 (u )  0 - это множество базовых точек, а
2
b - произведение пересечений двух общих комбинаций полиномов pi (i  0,3)
в базовой точке b .
В определении индикатрисы нормальной кривизны многочлен p0 является
положительно определенным, поэтому индикатриса нормальной кривизны
отвечает поверхностям Штейнера, не имеющим базовых точек.
Это
означает, что аффинное неявное уравнение индикатрисы нормальной
кривизны задается полиномом степени 4.
Две поверхности Штейнера называются эквивалентными, если существует
преобразование координат в области определения и в области значений,
переводящее уравнение одной из них в другое. Более точно, рассмотрим
G  GL(3)  GL(4) действующую на произведении RP2  RP3 . Две
групу
поверхности Штейнера (u, p(u )) и (v, q (v)) эквивалентны, если существуют
такие преобразования g1  GL(3) и g2  GL(4) , что v  g1 (u) , q  g 2 ( p) .
Классификация поверхностей Штейнера состоит в отысканию орбит группы
G и выбору простейших представителей в соответствующих орбитах.
A. Coffman, A. Schwartz, and C. Stanton, The algebra and geometry of Steiner and other
quadratically parametrizable surfaces, Computer Aided Geometric Design (3) 13 (April
1996), 257-286 показали, что действием группы G уравнения поверхностей
Штейнера приводятся к одному из 6 типов уравнений:
- 23 -
- Римская поверхность [u12  u22  u32 : u2u3 : u1u3 : u1u2 ]
- Параболическая поверхность [u12  u22  u32 : u2u3 : u1u3 : u1u2 ]
- 24 -
- Скрещенный колпак [u12  u22  u32 : u2u3 : 2u1u2 : u12  u22 ]
- Параболическая поверхность [u12  u22  u32 : u32  u22 : u2u3 : u1u2 ]
- 25 -
- Т- поверхность
[u12  u22  u32 : 2u1u3 : 2u1u2 : u12  u22  u32 ]
- Скрещенная чаша [u12  2u22  u32 : 2u22  u32 : u32  2u1u3 : u2u3  u1u2 ]
В доказательстве классификационной теоремы предполагается линейная
независимость p0 , p1 , p2 , p3 .
- 26 -
6. Аффинная классификация точек
F 3  E6
Аффинная классификация точек поверхности в работе базируется на
точечной и расширенной точечной коразмерности.
Определение Точечной коразмерностью поверхности F 3  E 6 в данной
точке называется размерность пространства II квадратичных форм F 3 в этой
точке.
Линейная независимость многочленов B1 , B2 , B3 эквивалентна тому, что
точечная коразмерность поверхности в данной точке равна 3. Если же
точечная коразмерность меньше 3, то с алгебраической точки зрения это
означает линейную зависимость многочленов B1 , B2 , B3 , а с геометрической
это означает существование базиса нормалей, относительно которого одна
или больше вторых квадратичных форм обратится в 0.
Определение Расширенной точечной коразмерностью
поверхности
3
6
F  E называется размерность пространства II квадратичных форм вместе с
I квадратичной формой.
Если расширенная точечная коразмерность равна 4, то многочлены,
задающие индикатрису нормальной кривизны, линейно независимы и это
есть условие применимости теоремы Коффмана.
Если же расширенная точечная коразмерность меньше 4, то это означает,
что при соответствующем выборе базиса нормали, одна или больше вторых
квадратичных форм будут пропорциональны первой. В этом случае говорят,
что поверхность омбилична относительно выбранной нормали.
Точки поверхности можно разделить на два аффинных типа:
невырожденный и вырожденный. К невырожденному типу относятся точки,
в которых индикатриса нормальной кривизны является одной из 4
поверхностей Коффмана. Остальные будем относить к вырожденному типу.
Точки вырожденного типа можно разделить, в свою очередь, на 6 типов в
соответствии с соотношением точечной коразмерности и расширенной
точечной коразмерности. Назовем индексом точки пару:
(точечная коразмерность, расширенная точечная коразмерность).
Заметим, что индекс невырожденной точки (3,4).
Рассмотрим точки
вырожденного типа:
1) (3,3) – это означает, что B1 , B2 , B3 линейно независимы, а
g  1 B1  2 B 2  3 B 3 . Линейная комбинация II квадратичных форм
выражает II квадратичную форму линейной комбинации нормалей.
Следовательно, существует другой базис нормалей, относительно
которого B1 , B 2 , B3 таковы, что B3   g . Для индикатрисы нормальной
кривизны это означает, что третья координата является константой, то
есть индикатриса вырождается в часть плоскости, не проходящей через
начало координат.
2) (2,3) – это означает, что одна из II квадратичных форм линейно
зависима, то есть B3  1 B1  2 B 2  0 . Третья координата индикатрисы
нормальной кривизны 0, поэтому получаем вырождение ее в часть
плоскости, проходящей через начало координат.
- 27 -
3) (2,2) – это означает, что одна из II квадратичных форм линейно
зависима, например B3  1 B1  2 B 2  0 , а g  1 B1  2 B 2  3 B 3 . То есть
существует другой базис нормалей, относительно которого B1 , B 2 , B3
таковы, что B 2   g . Для индикатрисы нормальной кривизны это
означает, что вторая координата является константой, а третья 0, то
есть индикатриса вырождается в отрезок, не проходящий через начало
координат.
4) (1,2) – это означает, что две II квадратичные формы линейно зависимы,
поэтому мы их обнуляем. Получаем индикатрису, вырожденную в
отрезок, который лежит на прямой, проходящей через начало
координат.
5) (1,1) – это означает, что две II квадратичных формы линейно зависимы,
мы их обнуляем. А g  1 B1  2 B 2  3 B 3 , то есть существует другой базис
нормалей, относительно которого B1 , B 2 , B3 таковы, что B1   g .
Индикатриса вырождается в точку, не совпадающую с началом
координат.
6) (0,1) – это означает, что мы обнуляем все три II вторых квадратичных
формы, так как они линейно зависимы и получаем индикатрису,
вырожденную в точку, совпадающую с началом координат.
Таким образом получаем следующую теорему.
Теорема Каждая точка регулярной поверхности F 3  E 6 , с точностью до
аффинно-проективных преобразований, относится к одному из 10 типов
точек:
- невырожденный тип
 (3,4) – поверхность, которая относится к 4 типам поверхностей
Коффмана.
- вырожденный тип
 (3,3) – часть плоскости, не проходящая через начало координат;
 (2,3) – часть плоскости, которая проходит через начало координат;
 (2,2) – отрезок, не проходящий через начало координат;
 (1,2) – отрезок, который лежит на прямой, проходящей через начало
координат;
 (1,1) – точка, не совпадающая с началом координат;
 (0,1) – точка, совпадающая с началом координат.
- 28 -
7. Алгоритм программы для
F 3  E6
Описание алгоритма программы, написанной в пакете Maple, для
построения индикатрисы нормальной кривизны любой регулярной
поверхности F 3 в пространстве E 6 в заданной произвольной точке.
Алгоритм:
1. На вход подаём вектор-функцию
r  r (u1 , u 2 , u 3 )   f 1 (u1 , u 2 , u 3 ); f 2 (u1 , u 2 , u 3 ); f 3 (u1 , u 2 , u 3 ); f 4 (u1 , u 2 , u 3 ); f 5 (u1 , u 2 , u 3 ); f 6 (u1 , u 2 , u 3 ) 
2. Находим 1 r, 2 r, 3 r и составляем матрицу Якоби J  r  (1 r,  2 r, 3 r ) , где
1 r,  2 r, 3 r - вектор-столбцы.
3. Находим первую квадратичную форму gij  i r ,  j r , i  1, 2,3; j  1, 2,3 , но в
данной программе мы вычисляем её с помощью матрицы Якоби g  J t  J .
4. Решаем систему линейных уравнений вида i r , N  0 , где N  ( N1 , N2 , N3 ) и
следовательно находим нормали N1 , N2 , N3 .
5. По ортогонализации Грамма-Шмидта ортонормируем найденные нормали
n1 
N1
N1
; n2 
N 2  N 2 , n1 n1
N 2  N 2 , n1 n1
; n3 
N3  N3 , n1 n1  N 3 , n2 n2
N3  N3 , n1 n1  N 3 , n2 n2
.
6. Находим вторую квадратичную форму Bi  ( Jm)t J , i  1, 2,3 , относительно
нормалей, где Jm  (n1 , n2 , n3 ) , n1 , n2 , n3 - вектор-столбцы. Вторую квадратичную
форму можно еще найти, как Bi  (bik(i ) )  ( ik r, ni ), i  1, 2,3 .
7. Вычисляем точечную коразмерность поверхности, то есть ранг матрицы
M  ( B i ), i  1,3 , где Bi  матрица II квадратичной формы.
8. Вычисляем расширенную точечную коразмерность поверхности, то есть
ранг матрицы
 Bi 
MG    , где
g 
Bi  матрица II квадратичной формы, а
g  матрица I квадратичной формы.
9. Находим I и II квадратичные формы в заданной точке и затем вычисляем
точечную коразмерность и расширенную точечную коразмерность
поверхности в этой точке.
Строим индикатрису нормальной кривизны заданной поверхности:
10. Находим 1 r, 2 r, 3 r и составляем матрицу Якоби J  r  (1 r, 2 r, 3 r ) , где
1 r,  2 r, 3 r - вектор-столбцы.
- 29 -
11. Решаем систему линейных уравнений вида i r , N  0 , где N  ( N1 , N2 , N3 ) и
следовательно находим нормали N1 , N2 , N3 .
12. По ортогонализации Грамма-Шмидта
нормали n1 
N1
N1
; n2 
N 2  N 2 , n1 n1
N 2  N 2 , n1 n1
; n3 
ортонормируем
N3  N3 , n1 n1  N 3 , n2 n2
N3  N3 , n1 n1  N 3 , n2 n2
найденные
.
13. Находим вторую квадратичную форму Bi  (bik(i ) )  ( ik r, ni ), i  1, 2,3 .
14. Находим первую квадратичную форму gij  i r ,  j r , i  1, 2,3; j  1, 2,3 .
15. Находим нормальные кривизны в заданной точке относительно каждой
нормали
kn1 ( M , T ) 
B1 (T , T ) bik(1)T iT j 2
B 2 (T , T ) bik(2)T iT j 3
B 3 (T , T ) bik(3)T iT j
,

,
k
(
M
,
T
)


,
k
(
M
,
T
)


n
n
g (T , T ) gik T iT j
g (T , T )
gikT iT j
g (T , T )
gikT iT j
где M  (u0 , v0 , s0 ) - произвольная точка, а T  x11 r  x22 r  x33 r - касательное
направление.
16. Строим трёхмерный график индикатрисы по найденным нормальным
кривизнам в заданной точке.
К дипломной работе прикладываются 4 программы, которые имеют один и
тот же вышеприведенный алгоритм, но в каждой из них приведены разные
примеры поверхностей:
 Examples Coffman – программа, в которой приведено 9 типов
поверхностей F 3  E 6 из статьи А.Коффмана, о которых говорилось в
работе ранее.
 Indicatrix – программа для построения индикатрисы нормальной
кривизны заданной поверхности F 3  E 6 в точке.
 Indicatrix Coffman – программа, в которой приведено 4 типа
поверхностей А.Коффмана из 9 представленных в первой программе,
которые рассматриваются в данной работе. Эти поверхности имеют
точечную и расширенную точечную коразмерность – (3,4), то есть
невырожденную индикатрису нормальной кривизны.
 Indicatrix others – программа, в которой приведено примеры
поверхностей F 3  E 6 , индикатриса нормальной кривизны которых
вырождается.
- 30 -
8. Листинг программы
>
>
> #Процедура нахождения матрицы Якоби: на вход подаём векторфункцию и размерность поверхности; дифференцируем вектор-функцию
по каждому параметру в цикле; составляем матрицу, формируя её
изначально из одного вектора r1, затем к нему добавляем
определённое количество векторов, в зависимости от размерности,
проделываем всё это в цикле и на выходе получаем матрицу Якоби.
>
>
> #Процедура для нахождения первой квадратичной формы: на вход
подаём вектор-функцию, размерность поверхности; матрицу Якоби
задаём через вышепроделанную процедуру; 1-ую квадратичную форму
ищем через матричное умножение транспонированной матрицы Якоби
на саму матрицу Якоби; на выходе получаем 1-ую квадратичную
форму.
>
>
> #Процедура для нахождения второй квадратичной формы: на вход вектор-функция,
размерность
поверхности,
размерность
пространства ; вычисляем матрицу Якоби через ранее написанную
процедуру;
считаем
ядро
матрицы
Якоби,
равное
нормали
поверхности; отделяем каждую нормаль из ядра в цикле; составляем
матрицу из частных производных нормалей и считаем вторую
квадратичную форму по заданной формуле для каждой из нормалей;
на выходе получаем соответствующее количество нормалей и вторые
квадратичные формы для каждой из них соответственно.
- 31 -
>
#Процедура нахождения точечной коразмерности и расширенной
точечной коразмерности поверхности. На вход подаём матрицу А и
матрицу G, в нашей программе - матрицы первой и второй
квадратичной формы, формируем матрицу М с помощью матрицы II
квадратичной формы и формируем матрицу MG с помощью полученной
матрицы М и I квадратичной формы.Находим ранги сформированных
матриц М (точечный ранг) и MG (расширенный точечный ранг).
>
> #Вычисление
точке.
>
первой
и
второй
квадратичной
формы
в
заданной
>
>
Процедура построения индикатрисы нормальной кривизны для
заданной
поверхности:
на
вход
подается
вектор-функция,
размерность пространства, точка и пределы изменения параметров.
Сначала
дифференцируем
вектор-функцию
по
соответствующим
параметрам, вычисляем ядро матрицы Якоби, равное нормали
поверхности, отделяем каждую нормаль и ортонормируем их; считаем
вторую квадратичную форму для каждой из нормалей, а также
вычисляем первую квадратичную форму; находим нормальные кривизны
для каждой нормали и строим по этим кривизнам индикатрису
нормальной кривизны.
- 32 -
- 33 -
>
>
>
- 34 -
9. Охрана труда в области компьютерных технологий
Охрана труда - это система правовых, социально-экономических,
организационно-технических, санитарно-гигиенических и лечебнопрофилактических мероприятий и способов действия, направленных на
сохранение жизни, здоровья и работоспособности людей в процессе
трудовой деятельности.
В связи с автоматизацией процессов производства и управления,
развитием
вычислительной
техники
и
разработкой
систем
автоматизации проектных, исследовательских и технологических работ
широкое распространение получили компьютеры. Компьютеры
используются в информационных и вычислительных центрах, на
предприятиях связи, полиграфии, в диспетчерских пунктах управления
технологическими процессами и транспортными перевозками, а так же
в быту, для обучения, игры и т. д. Как всякий новый этап в развитии
общества, компьютеризация несет с собой и новые проблемы. И одна
из наиболее важных - экологическая. Много слов в печати сказано о
вредном влиянии компьютера на здоровье пользователей.
У экологической проблемы компьютеризации две составляющие.
Первая определяется физиологическими особенностями работы
человека за компьютером. Вторая - техническими параметрами средств
компьютеризации. Эти составляющие - "человеческая" и "техническая"
тесно переплетены и взаимозависимы. Исследует подобные проблемы наука эргономика, научная дисциплина, изучающая взаимодействие
человека и других элементов системы, а также сфера деятельности по
применению теории, принципов, данных и методов этой науки для
обеспечения
благополучия
человека
и
оптимизации
общей
производительности системы.
Для правильной работы за компьютером необходимо знать
определенные правила и нормы, установленные законом. Организация
рабочего места пользователя ПК должна обеспечивать соответствие
всех элементов рабочего места и их взаимного расположения
эргономичным требованиям ГОСТ 12.2.032 - 78 "ССБТ. Рабочее место
при выполнении работ сидя. Общие эргономические требования".
Площадь, выделенная для одного рабочего места с ПК, должна
составлять не меньше 6 м 2 , а объем - не меньше 20т 3 . При размещении
рабочих мест необходимо придерживаться таких требований:
1.рабочие места с ПК размещаются на расстоянии не меньше 1 м от
стен со световыми прорезами;
2.расстояние между боковыми поверхностями видеотерминалов должны быть не меньше за 1,2 м;
3.расстояние между тыльной поверхностью одного видеотерминала и
экраном другого не должно быть меньше 2,5 м;
4.проходы между рядами рабочих мест должны быть не меньше 1 м.
При потребности высокой концентрации внимания во время
выполнения работ с высоким уровнем напряженности смежные
рабочие места с ПК необходимо отделять друг от друга перегородками
высотой 1,5-2 м.
Требования к конструкции рабочего стола, стула, подставки для ног на
рабочих местах с ПК определяются ДНАОП 0.00— 1.31 —99.
- 35 -
Конструкция рабочего стола должна отвечать современным требованиям
эргономики и обеспечивать оптимальное размещение на рабочей
поверхности всего оборудования и приспособлений, которые используются,
с учетом их размеров и конструктивных особенностей. Высота рабочей
поверхности стола для ПК должна быть в пределах 680 — 800 мм.
Рекомендованные размеры стола: высота - 725 мм, ширина - 600 — 1400 мм,
глубина -800 — 1000 мм. Рабочий стол должен иметь пространство для ног
высотой не меньше 600 мм, шириной не меньше 500 мм, глубиной на уровне
колен не меньше 450 мм, на уровне извлеченной ноги - не меньше 650 мм.
Рабочий стол для ПК, как правило, должен быть оборудован подставкой
для ног шириной не меньше 300 мм и глубиной не меньше 400 мм, с
возможностью регулирования по высоте в пределах 150 мм и угла наклона
опорной поверхности - в пределах 20°. Подставка должна иметь рифленую
поверхность и бортик на переднем крае высотой 10 мм. Применение
подставки для ног теми, у кого ноги не достают до пола, когда рабочее
сидение находится на высоте, нужной для обеспечения оптимальной рабочей
позы, является обязательным.
Рабочий стул пользователя ПК должен иметь такие основные элементы:
сидение, спинку и стационарные или съемные подлокотники.
Конструкция рабочего стула должна обеспечивать поддержание
рациональной рабочей позы во время выполнения основных
производственных операций, создавать условия для изменения позы.
Поэтому стул должен быть подъемно-поворотным и регулироваться по
высоте и углам наклона сидения и спинки, а также расстояния спинки от
переднего края сидения, высоте подлокотников. Регулирование каждого
параметра должно быть независимым, плавным или ступенчатым, иметь
надежную фиксацию. Усилие при этом не должно превышать 20 Н. Ход
ступенчатого регулирования элементов сидения должен представлять для
линейных размеров 15 — 20 мм, для угловых -2 — 5°.
Ширина и глубина сидения должны быть не меньшими за 400 мм. Высота
поверхности сидения должна регулироваться в пределах 400 — 500 мм, а
угол наклона поверхности - от 15° вперед до 5° назад. Поверхность сидения
должна быть плоской, передний край - округленным.
Высота спинки сидения должна составлять 300 ± 20 мм, ширина - не
меньше 380 мм, радиус кривизны в горизонтальной плоскости - 400 мм.
Угол наклона спинки должен регулироваться в пределах 0 — 30°
относительно вертикального положения. Расстояние от спинки до
переднего края сидения должна регулироваться в пределах 260 — 400 мм.
Для снижения статического напряжения мышц рук необходимо применять стационарные или съемные подлокотники длиной не меньше 250 мм,
шириной -50 — 70 мм, что регулируются по высоте над сидением в
пределах 230 ± 30 мм и по расстоянию между подлокотниками в пределах
350 — 500 мм.
Сидение, спинка и подлокотники стула должны быть полумягкими, с нескользким, таким, что не электризуется и воздухопроницаемым покрытием,
материал которого обеспечивает возможность легкого очищения от
загрязнения.
Конструкция производственной мебели для пользователя ПК должна быть
такой, чтобы обеспечивать ему поддержание оптимальной рабочей позы с
такими эргономичными характеристиками: ступни ног - на полу или на
подставке для ног; бедра - в горизонтальной плоскости; верхние (плечевые)
- 36 -
части рук - вертикальные; угол локтевого сустава (между плечом и
предплечьем) -70 — 90°; запястья, согнутые под углом не больше 20°
относительно горизонтальной плоскости, наклон головы вперед в пределах
15 — 20° к вертикали.
Расположение экрана ПК должно обеспечивать удобство зрительного наблюдения в вертикальной плоскости под углом ±30° от линии зрения
пользователя.
Наилучшие зрительные условия и возможность распознавания знаков
достигается такой геометрией размещения, когда верхний край видеотерминала находится на высоте глаз, а взгляд направлен вниз на центр экрана.
Поскольку при работе за ПК наиболее благоприятным считается наклон головы вперед, приблизительно на 20° от вертикали (при таком положении
головы мышцы шеи расслабляются), то экран видеотерминала также должен
быть наклоненным назад на 20° от вертикали.
Необходимо размещать клавиатуру на поверхности рабочего стола, не
допуская ее качание. Вместе с тем должна быть предусмотрена возможность
ее перемещения и поворотов. Положение клавиатуры и угол ее наклона
должны отвечать пожеланиям пользователя. Угол наклона клавиатуры
должен быть в пределах 5 - 10°. Если в конструкции клавиатуры не
предусмотрено пространство для опоры ладоней, то ее следует располагать
на расстоянии не меньше как 100 мм от края стола. Допускается размещать
клавиатуру на специальной, регулированной по высоте, рабочей
поверхности отдельно от стола.
Требования относительно допустимых значений неионизирующего
электромагнитного излучения:
1.напряженность электромагнитного поля на расстоянии 50 см вокруг
ПК по электрической составляющей не должна превышать: в диапазоне
частот 5 Гц - 2 кГц - 25 В/м, в диапазоне частот 2 — 400 кГц -2,5 В/м;
2.плотность магнитного потока не должна превышать: в диапазоне частот 5 Гц - 2 кГц - 250 нТл, в диапазоне частот 2 — 400 кГц - 25 нТл;
3.поверхностный
электростатический
потенциал
не
должен
превышать 500 В;
4.мощность дозы рентгеновского излучения на расстоянии 5 см от
экрана и других поверхностей ПК не должна превышать 100 мкР/ч.
Принято считать, что при выводе на экран только текста
(компьютерная подготовка текстовых оригиналов, компьютерный
набор,
редактирование
текста)
целесообразно
использовать
монохромное изображение. Применение цветного изображения,
которое вызывает большее напряжение зрительного анализатора, имеет
преимущество лишь в том случае, когда многоцветность помогает
воспринимать и различать изображение. Кроме того, при наборе текста
из документа лучше использовать положительное изображение на
экране. Это даст возможность уменьшить переадаптацию зрительного
анализатора, а значит и его утомляемость, поскольку на всех трех
объектах (документе, клавиатуре и экране) будет одинаковый контраст
"черное по белому". Отрицательное изображение целесообразно
использовать в тех случаях, когда освещенность рабочего места
- 37 -
является невысокой и если зрительная работа ограничивается экраном
ПК.
Для создания благоприятных условий зрительной работы, которые
бы
исключали
быструю
утомляемость
глаз,
возникновение
профессиональных
заболеваний
и
оказывали
благоприятное
воздействие
по
повышению
производительности
работы,
производственное
освещение
должно
отвечать
следующим
требованиям:
1.создавать на рабочей поверхности освещенность, которая отвечает
характеру зрительной работы и находится в пределах установленных
норм;
2.не совершать ослепляющего действия, как от тех ярких предметов,
которые находятся в поле зрения пользователя (прямые блики), так и
тех, что находятся за его спиной и могут отразиться на экране
(отраженные блики);
3. обеспечить достаточную равномерность и постоянность уровня
освещенности, во избежание частой переадаптации зрительного
анализатора;
4.не создавать на рабочем месте резких и глубоких теней;
5.ограничить до минимума пульсацию светового потока;
6.не уменьшать необходимый контраст фона и объектов, изображенных на
экране ПК;
7.не создавать опасных и вредных производственных факторов (шум,
тепловые излучения, поражение током и др.;
8.быть надежным и простым в эксплуатации, экономичным и
эстетичным.
Для обеспечения нормированных значений микроклимата, и
концентрации положительных и отрицательных ионов в помещениях
для работы с ПК должны быть оборудованы системами отопления,
кондиционирования воздуха или приточно-вытяжной вентиляцией.
Определить объем воздуха, который необходимо подать в помещение с
ПК, можно по следующим соотношениям:
1.при объеме помещения до 20м 3 на одного работающего, на каждого
работника необходимо подавать не меньше 30м3/t;
2.при объеме помещения 20 — 40м 3 на одного работающего - не
меньше 20м3/t;
3.при объеме помещения больше 40 м 3 на одного работающего,
наличии окон и отсутствии выделений вредных веществ допускается
естественная вентиляция помещения.
Инструкция по технике безопасности
1.При пользовании компьютером следует носить чистую и сухую
одежду и обувь.
2.Если монитор не имеет защиты от излучения, следует пользоваться
защитным экраном. Излучение монитора в сторону противоположную
экрану может быть значительно больше, поэтому нельзя его заднюю
часть обращать к соседям по офису или комнате.
3.При обнаружении неисправности ПК или появлении необычных звуков в процессе работы следует выключить компьютер.
- 38 -
4.Для устранения последствий скачков напряжения в сети, компьютер
должен быть подключен к электросети через стабилизатор напряжения
(бесперебойный источник питания).
Запрещается
1.включать и выключать компьютер без необходимости (это может
при вести к его неисправности);
2.трогать разъемы соединительных кабелей, проводов, вилки и
розетки;
3.прикасаться к экрану и к тыльной стороне блоков компьютера;
4.работать на ПЭВМ мокрыми руками;
5.работать на ПЭВМ, имеющих нарушения целостности корпуса, нарушения изоляции проводов, неисправную индикацию включения питания, с
признаками электрического напряжения на корпусе;
6.класть на ПЭВМ посторонние предметы (кружки с жидкостями, жирные
предметы, книги и предметы, излучающие электромагнитные поля).
- 39 -
Заключение
В данной работе приведена аффинная классификация точек трёхмерных
поверхностей в шестимерном евклидовом пространстве, написана программа
в пакете Maple для построения индикатрисы нормальной кривизны для
заданной трёхмерной поверхности, дана аффинная классификация точек,
которая разделена на невырожденный и вырожденный тип, а также
приведены примеры поверхностей для иллюстрирования каждого типа точки.
- 40 -
Аннотация
Работа посвящена представлению аффинной классификации точек для
трехмерных поверхностей в шестимерном евклидовом пространстве.
Написана программа для построения индикатрисы нормальной кривизны и
представлены другие программы, в которых проиллюстрированы примеры
типов точек теоремы.
Анотація
Робота присвячена представленню афінної класифікації точок для
тривимірної поверхні в шестивимірному евклідовому просторі. Написана
програма для побудови індикатриси нормальної кривини і представлені інші
програми, в яких проілюстровані приклади точок теореми.
Abstract
The thesis contains the affine classification of points for three-dimensional
surfaces in the six-dimensional Euclidean space. The Theorem is supported with
the MAPLE procedures plotting the indicatrix of the normal curvature for 3dimensional surface in 4-dimensional Euclidean space. The other procedures plot
the normal curvature ellipse and find its geometrical parameters.
- 41 -
Список литературы
1. Аминов Ю.А. Геометрия подмногообразий. – К.: Наукова думка, 2002450с.
2. Борисенко А.А. Дифференциальная геометрия и топология. – Х.:
Основа, 1995-304с.
3. Борисенко А. А. Внутренняя и внешняя геометрия многомерных
подмногообразий. М. Экзамен., 2003. -671 с.
4. F. Aries, B. Mourrain and J-P. Tecourt. Surfaces Parameterized in Degree
2: Algorithms and Applications. – Preprint.
5. Ямпольский А.Л. Дифференциальная геометрия. Электронный
конспект лекций. – Х.: 2011-96с.
6. F. Aries, E. Briand and C. Bruchou, Some covariants related to Steiner
surfaces. – Proc. Workshop COMPASS II, Preprint
- 42 -