МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ ШАКАРИМА г. Семей
Документ СМК 3 уровня
УМКД
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
УМКД
Учебно-методические
Редакция № 1 от
материалы по дисциплине
2.09.2014 г.
«Аналитическая геометрия»
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС
ДИСЦИПЛИНЫ
«Аналитическая геометрия»
для специальности 5В010900 - «Математика»
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Семей
2014
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 2 из 179
Содержание
1
Глоссарий .............................................................................................................. 3
2
Лекции.................................................................................................................. 9
3
Практические занятия ...................................................................................... 133
4
Самостоятельная работа обучающегося ........................................................ 179
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 3 из 179
1 ГЛОСАРИЙ
Матрицей размера mn, где m- число строк, n- число столбцов,
называется таблица чисел, расположенных в определенном порядке.
Квадратной матрицей называется матрица у которой число столбцов
равно числу строк (m=n).
Единичной матрицей называется матрица вида:
1

0
 ...

0

0 ... 0 

1 ... 0 
= E.
... ... ...

0 ... 1 
Симметрическая матрица - матрица у которой amn = anm.
Диагональная матрица - квадратная матрица вида
 a11

 0
 ...

 0

0
a 22
...
0
0 

... 0 
... 0 

... a nn 
...
Суммой (разностью) матриц является матрица, элементами которой
являются соответственно сумма (разность) соответствующих элементов
исходных матриц.
Умножение (деление) матрицы любого размера на произвольное число
сводится к умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число.
Произведением матриц называется матрица, элементы которой могут
быть вычислены:
 a11 a12 a13 
 b11 


 
A a21 a22 a23  B b21 
a

 
 31 a32 a33  ,  b31 
 a11  b11  a12  b21  a13  b31 


A  B   a21  b11  a22  b21  a23  b31 
 a b  a b  a b 
 31 11 32 21 33 31 
Матрицу В называют транспонированной для матрицы А, а переход от
А к В транспонированием, если элементы каждой строки матрицы А записать
в том же порядке в столбцы матрицы В.
 а11

a
А   21
...

a
 m1
a12
a22
...
am 2
... a1n 

... a2 n 
... ... 

... amn 
;
 a11

a
Т
В  А   12
...

a
 1n
a21 ... am1 

a22 ... am 2 
... ... ... 

a2 n ... amn 
.
Если в матрице А выделить несколько произвольных строк и столько же
произвольных столбцов, то определитель, составленный из элементов,
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 4 из 179
расположенных на пересечении этих строк и столбцов называется минором
матрицы А.
Алгебраическим дополнением минора матрицы называется
его
дополнительный минор, умноженный на (-1) в степени, равной сумме номеров
строк и номеров столбцов минора матрицы.
В матрице порядка mn минор порядка r называется базисным, если он
не равен нулю, а все миноры порядка r+1 и выше равны нулю, или не
существуют вовсе, т.е. r совпадает с меньшим из чисел m или n.
Порядок базисного минора матрицы называется рангом матрицы и
обозначается rang А.
Если система имеет хотя бы одно решение, то она называется
совместной.
Если система не имеет ни одного решения, то она называется
несовместной.
Система называется определенной, если она имеет только одно решение
и неопределенной, если более одного.
Отрезок, имеющий определенную длину и направление в пространстве,
называется вектором.
Векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной
прямой, либо на параллельных прямых.
Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют
одинаковую длину и одинаковое направление.
Суммой a  b двух векторов a и b называется вектор, идущий из начала
вектора a в конец вектора b , при условии, что вектор b приложен к концу
вектора a .
Разностью a  b векторов a и b называется такой вектор c , который в
сумме с вектором b дает вектор a .
Произведением  a (или a ) вектора a на действительное число 
называется вектор b , коллинеарный вектору a , имеющий длину, равную   a ,
и имеющий направление, совпадающее с направлением вектора a в случае
  0 и противоположное направлению вектора a в случае   0 .
Определитель второго порядка – число, равное a1b2  a2b1 , где a1 , a 2 , b1 , b2
– элементы матрицы, обозначается

a1
b1
a2
b2
 a1b2  a 2 b1
Определитель третьего порядка – число, равное
а11
а12
А    а 21 а 22
а31
а32
а13
а 23  а11а 22 а33  а12 а 23 а31  а 21а32 а13  а13 а 22 а31  а11а32 а 23  а 21а12 а33
а33
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 5 из 179
Векторы a1 , a 2 ,...a n называются линейно зависимыми, если найдутся
такие вещественные числа 1 , 2 ,..., n , из которых хотя бы одно отлично от
нуля, что линейная комбинация векторов a1 , a 2 ,...a n с указанными числами
обращается в нуль, т.е.  1 a1  2 a2  ...  n an  0 .
Векторы a1 , a 2 ,...a n называются линейно независимыми, если равенство
нулю их линейной комбинации (1) возможно лишь в случае, когда все числа
1 ,  2 ,..., n равны нулю.
Векторы называются компланарными, если они лежат либо в одной
плоскости, либо в параллельных плоскостях.
Скалярным произведением двух векторов называется число, равное
произведению длин этих векторов на угол между ними:
 .
ab  a b cos ab
Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор c


c   a, b 
обозначаемый символом
, длина которого равна произведению длин
векторов a и b на синус угла  между ними, т.е.
c  a  b  sin   a, b 
.
Репер – упорядоченная тройка точек A, B, C плоскости, не лежащие на
одной прямой, обозначается R=(A, B, C).
Аффинная система координат – тройка, состоящая из точки O и базиса
 

 
e1 , e2 , обозначается Oe1e2 или O, e1 , e2  .
Уравнением линии
называется соотношение y = f(x) между
координатами точек, составляющих эту линию.
Общее уравнение прямой - Ах + Ву + С = 0, причем постоянные А, В не
равны нулю одновременно, т.е. А2 + В2  0.
Преобразование (непустого) множества X называется любое биективное
отображение множества X на себя.
Отображение. Пусть X и Y – непустые множества. Если каждому
элементу x множества X поставлен в соответствие определенный элемент y
множества Y, то говорят, что дано отображение множества X в множество Y
или дана функция.
Сюръекция. Если f ( X )  Y , т.е. каждая точка множества Y является
образом по крайней мере одной точки множества X, то f называется
отображением множества X на множество Y или сюръективным отображением
(сюръекцией)
Инъекция. Если для любых двух различных элементов x1 , x2  X имеем:
f ( x1 )  f ( x2 ) , то отображение f называется инъективным отображением или
инъекцией.
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 6 из 179
Биекция.
Если
отображение
является
f ( X )  Y одновременно
инъективным и сюръективным, то оно называется взаимно однозначным
отображением множества X на множество Y или биективным отображением
множества X на множество Y (коротко биекцией).
Подобие. Преобразование плоскости называется преобразованием
подобия или просто подобием, если существует такое число k  0 , что для
любых двух точек A и B и их образов A и B  выполняется равенство AB  kAB
. Число k называется коэффициентом подобия.
Гомотетия. Зададим точку M0 и вещественное число m  0 . Каждой точке
________
________
M плоскости поставим в соответствие точку M/ так, чтобы M 0 M   m M 0 M .
Такое отображение является преобразованием плоскости и называется
гомотетией.
Движение – преобразование плоскости, сохраняющее расстояния.
Инверсия. Зададим на плоскости окружность (O, r) и обозначим через E0
множество всех точек плоскости без точки O. Каждой точке M множества E0
поставим в соответствие точку M/ так, чтобы она лежала на луче OM и
OM  OM   r 2 . Получаем преобразование множества E0, которое называется
инверсией относительно окружности (O, r) или просто инверсией.
Аффинные преобразования. Преобразование плоскости называется
аффинным, если оно любые три точки M1, M2 и M3, лежащие на одной прямой,
переводит в три точки M1/, M2/ и M3/, лежащие на одной прямой, и сохраняет их
простое отношение, т.е. M 1 M 2 , M 3   M 1M 2 , M 3 .
Эллипсом называется кривая, заданная уравнением
x2 y2

1
a2 b2
.
Фокусами называются такие две точки, сумма расстояний от которых до
любой точки эллипса есть постоянная величина.
Форма эллипса определяется характеристикой, которая является
отношением фокусного расстояния к большей оси и называется
эксцентриситетом.
Величина k = b/a называется коэффициентом сжатия эллипса, а
величина 1 – k = (a – b)/a называется сжатием эллипса.
Гиперболой называется множество точек плоскости, для которых модуль
разности расстояний от двух данных точек F1,F2, называемых фокусами есть
величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами, и равная длине
данного отрезка PQ, причем PQ<F1F2.
e
c
1
a
называется
Отношение
эксцентриситетом гиперболы, где с –
половина расстояния между фокусами, а – действительная полуось.
Две прямые, перпендикулярные действительной оси гиперболы и
расположенные симметрично относительно центра на расстоянии a/e от него,
называются директрисами гиперболы.
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 7 из 179
Параболой называется множество точек плоскости, каждая из которых
находится на одинаковом расстоянии от данной точки F, называемой фокусом,
и от данной прямой d, называемой директрисой и не проходящей через фокус F.
Величина р (расстояние от фокуса до директрисы) называется
параметром параболы.
Плоскостью называется поверхность, все точки которой удовлетворяют
общему уравнению:
Ax + By + Cz + D = 0.
Направляющими
косинусами прямой называются направляющие

косинусы вектора S , которые могут быть вычислены по формулам:
cos  
m
n
; cos  
p
m n  p
m n  p
;
.
Углом между прямой и плоскостью называется любой угол между
прямой и ее проекцией на эту плоскость.
Цилиндрическими координатами точки М называются числа (r, , h),
которые определяют положение точки М в пространстве.
Сферическими координатами точки М называются числа (r,,), где  угол между  и нормалью.
Преобразование плоскости, сохраняющее расстояние, называется
движением (или перемещением).
Преобразование подобия есть такое преобразование плоскости, при
котором AB  kAB .
Уравнением фигуры Ф в выбранном репере называют такое уравнение,
которому удовлетворяют координаты любой точки этой фигуры и не
удовлетворяют координаты точек, на принадлежащих этой фигуре.
Эллипсоидом называется геометрическое место точек пространства,
координаты которых в некоторой прямоугольной системе координат
удовлетворяет
m2  n2  p2
cos  
уравнению
2
2
x2 y2 z2


 1.
a2 b2 c2
2
Это
2
уравнение
2
2
называется
каноническим уравнением эллипсоида.
Однополостным гиперболоидом называется поверхность, которая в
некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением
x2 y2 z2


 1.
a2 b2 c2
Это
уравнение
называется
каноническим
уравнением
однополостного гиперболоида.
Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, которая в
некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением
x2 y2 z 2


 1 .
a2 b2 c2
Это
уравнение
называется
каноническим
уравнением
двуполостного гиперболоида.
Эллиптическим параболоидом называется поверхность, которая в
некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
x2 y2

 2z .
a2 b2
Это
x2 y2

 2z .
a2 b2
Это
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
уравнение
называется
стр. 8 из 179
каноническим
уравнением
эллиптического параболоида.
Гиперболическим параболоидом называется поверхность, которая в
некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением
уравнение
называется
каноническим
уравнением
гиперболического параболоида.
Сфера. Уравнение второй степени
( x  a) 2  ( y  b) 2  ( z  c) 2  R 2 ,
представляет сферу радиуса R , с координатами центра a, b, c .
Конусом или конической поверхностью с вершиной в точке M0
называется поверхность, которая обладает тем свойством, что вместе с каждой
своей точкой M, отличной от точки M0, эта поверхность содержит прямую
M0M.
Поверхностью вращения называется поверхность, которая вместе с
каждой своей точкой содержит всю окружность, полученную вращением этой
точки вокруг некоторой фиксированной прямой d.
Цилиндрической
поверхностью
или
цилиндром
называется
поверхность, обладающая тем свойством, что вместе с каждой точкой M она
содержит всю прямую, проходящую через M, параллельную данному

ненулевому вектору p .
Центральная проекция. Рассмотрим в евклидовом пространстве Е3 две
плоскости     е . S  , S   . M   SM   , M   . Соответствие, относящее
точке M плоскости  точку M  плоскости  называют центральной проекцией
или центральным проектированием из точки S .
Параллельная проекция. Возьмем в евклидовом пространстве E3

некоторую плоскость σ и какой-нибудь ненулевой вектор p , не параллельный
этой плоскости. Пусть A - произвольная точка пространства. Проведем через

эту точку прямую, параллельную вектору p , и обозначим через A0 точку, в
которой эта прямая пересекает плоскость σ. Точка A0 называется проекцией

точки A на плоскость σ при проектировании параллельно вектору p , или,
кратко, параллельной проекцией точки A .
Трехвершинником
называется
фигура,
состоящая
их
трех
неколлинеарных точек, называемых вершинами, и трех прямых, называемых
сторонами, инцидентных парам этих точек.
Преобразованием проективной плоскости называется проективным,
если точкам любой прямой соответствуют точки, лежащие на некоторой
прямой так, что сохраняются сложное отношение четырех точек, т.е.
(М1М 2 , М 3 , М 4 )  ( М1М 2 , М 3 , М 4 )
.
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 9 из 179
2 ЛЕКЦИИ
ЛЕКЦИЯ 1: ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
1. Определители второго, третьего порядка и их свойства.
Рассмотрим таблицу, состоящую из четырех чисел:
 a1

 a2
b1 

b2 
(1)
– квадратная матрица второго порядка.
a 2 , b2
Она имеет две строки и два столбца. Числа a1 , b1 ,
– элементы
этой матрицы.
Выражение a1b2  a2b1 , где a1 , a 2 , b1 , b2 – элементы матрицы, называется
определителем второго порядка и обозначается

a1
b1
a2
b2
 a1b2  a 2 b1
(2)
Для матриц и их определителей применяются и другие обозначения:
a
А   1
 a2
b1 

b2 
c
В   1
 c2
d1 

d 2 
,
а определители этих матриц обозначают так:
А
a1 , a 2 , b1 , b2
, В
или det A, det B.
– элементы определителя. Диагональ a1b2 – главная, a 2 b1 –
побочная.
Пример:
Определитель и матрица – это существенно разные понятия. Матрица –
это таблица (1), а определитель – это число, вычисляемое по правилу (2).
Рассмотрим основные свойства определителей второго порядка.
Свойство 1: Определитель не меняет своего значения, если его строки
заменить соответствующими столбцами:
a1
b1
a2
b2

a1
a2
b1
b2
Это свойство может быть сформулировано иначе, если ввести понятие
транспонирования матрицы.
Матрица
 a1

матрице (1)  a2
номерами.
 a1

 b1
а2 

b2 
называется транспонированной по отношению к
b1 

b2 
. Она получена из (1) заменой строк на столбцы с теми же
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 10 из 179
Если матрица А* является транспонированной по отношению к А, то
│А│= │А*│. Т.е. строки и столбцы определителя равноправны.
Свойство 2: Если в определителе элементы некоторого столбца (строки)
равны нулю, то определитель тоже равен нулю.
Свойство 3: При перестановке столбцов (строк) определитель умножается
на (-1).
Свойство 4: Определитель с одинаковыми столбцами (строками) равен
нулю.
Свойство 5: Если элементы двух столбцов (строк) определителя
пропорциональны:
а) a1  a2  0
б) a1  0 ,
b2 
b1
 a2  0
a1
b1

a1
b2   a 2
b1  a1
Теорема 1: Для того, чтобы определитель второго порядка был равен
нулю, необходимо и достаточно, чтобы столбцы (строки) определителя были
пропорциональны.
Определители третьего порядка.
 a11 a12

А   a 21 a 22
a
 31 a32
a13 

a 23 
a33 
(3)
– квадратная матрица третьего порядка.
а11
а12
А    а 21 а 22
а31
а32
а13
а 23  а11а 22 а33  а12 а 23 а31  а 21а32 а13  а13 а 22 а31  а11а32 а 23  а 21а12 а33
а33
(4)
называется определителем третьего порядка матрицы (3).
Минором Mij элемента aij определителя  называется определитель
матрицы, которая получится из матрицы (3), если в ней вычеркнуть строку и
столбец, на пересечении которой находится элемент aij.
Алгебраическим дополнением Аij элемента aij называется число
Aij  (1) i  j M ij
.
Теорема 2: Определитель
равен сумме произведений всех элементов
любого столбца (строки) на их алгебраические дополнения, т.е.

  а11 А11  а12 А12  а13 А13
  а1 j А1 j  а 2 j А2 j  а3 j А3 j
  аi1 Аi1  аi 2 Аi 2  аi 3 Аi 3
(5)
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 11 из 179
Формулы (5) применяется для практического вычисления определителя
третьего порядка. Они называются разложением (или раскрытием)
определителя по элементам соответствующего столбца (строки).
Свойства определителей третьего порядка.
Свойство 1: Определитель не меняет своего значения, если его строки
заменить соответствующими столбцами. (Значение определителя третьего
порядка при транспонировании матрицы не меняется).
а11
а12
а13
а11
а 21
а31
  а 21
а 22
а 23
  а12
а 22
а32
а31
а32
а33
а13
а 23
а33
*
=*
Свойство 2: Если в определителе  элементы некоторого столбца
(строки) равны нулю, то и  =0.
Свойство 3: При перестановке двух любых столбцов (строк) в матрице
(3), значение определителя этой матрицы умножается на (-1).
Свойство 4: Если у определителя соответствующие элементы двух
столбцов (строк) равны, то определитель равен нулю.
Свойство 5: Если элементы некоторой строки (столбца) умножить на
алгебраическое дополнение соответственных элементов другой строки
(столбца), то полученная сумма равна нулю.
Свойство 6: Если j-й столбец определителя (4) есть линейная комбинация
некоторых столбцов
a* j  1b*1  2 b*2  ...  k b*k
, то   11  2  2  ...  k  k ,
где 1 ,  2 , …,  k – получены из исходного определителя заменой j-того
столбца соответствующими столбцами линейной комбинации
 a11 
 
a*1   a 21 
a 
 31 
 a12 
 
a*2   a 22 
a 
 32 
,
Например:
 a13 
  a1i 
 a1i  a1k 
 




a*3   a 23 
a*i    a 2i  a*i  a*k   a 2i  a 2 k 
a    a a a
 a 
a  a 
 33  .
 3i 
*1 *2 *3
3k 
 3i
,
b*  1a*1  2 a*2  ...  k a*k
Свойство 7: Общий множитель всех элементов некоторого столбца
(строки) можно вынести за знак определителя.
Свойство 8: Определитель равен нулю, если какой-либо столбец (строка)
есть линейная комбинация других столбцов (строк).
Свойство 9: Если к элементам некоторого столбца (строки) прибавить
одну и ту же линейную комбинацию соответственных элементов других
столбцов (строк), то его значение не изменится.
Свойство 10: Если определитель равен нулю, то один из его столбцов
(строк) является линейной комбинацией остальных столбцов (строк).
Теорема 3: Для того, чтобы определитель третьего порядка был равен
нулю, необходимо и достаточно, чтобы некоторый столбец (строка) этого
определителя был линейной комбинацией остальных столбцов (строк).
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 12 из 179
2.Определители n-ного порядка.
Пусть
1 ,  2 ,..., n
– некоторая перестановка чисел 1,2,…, n. Рассмотрим числа  i и
j
(1)
. Говорят,
что  i и  j образуют инверсию или беспорядок, если большее из них
расположено левее меньшего, т.е. если i<j, а  i >  j . В противном случае числа
 i и  j инверсии не образуют.
Обозначим через I (1 ,  2 ,...,  n ) число всех беспорядков перестановки (1).
Если I (1 ,  2 ,...,  n )  2k , то (1) – четная.
Если I (1 ,  2 ,...,  n )  2k  1, то (1) – нечетная.
Последовательность чисел 3,2,1,4. И число инверсий I (3, 2,1, 4)  3 .
 a11

 a 21
 ...

a
А =  n1
a12
a 22
...
a n3
... a1n 

... a 2 n 
... ... 

... a nn 
(2)
– квадратная матрица n-ного порядка, aij – элементы матрицы.
Выберем из n2 элементов (2) какие-либо n элементов так, чтобы они
находились в разных строках и одновременно в разных столбцах.
а11 , а 2 2 ,..., а n n
- выбранные элементы.
(1) I (1 ,2 ,..., n ) а11 , а2 2 ,..., аnn
Определителем матрицы (2) называется алгебраическая
состоящей из n! всевозможных произведений вида (3).
n!
   (1)
(3)
сумма,
I (1 , 2 ,...,  n )
a11a 2 2 ...a nn
1
a11
 .
a12
.
an1 an 2
a13
.  det A  det(aij )
an3
a11
a12
a13
a14
a21
a22
a23
a24
a31
a32
a33
a34
a
a
a
a
41
42
43
44
Пример: Вычислить определитель:
Свойства определителя n-го порядка аналогичны свойствам,
сформулированным и доказанным для определителя третьего порядка.
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 13 из 179
ЛЕКЦИЯ 2: МАТРИЦЫ
1. Понятие матрицы.
Определение. Матрицей размера mn, где m- число строк, n- число
столбцов, называется таблица чисел, расположенных в определенном порядке.
Эти числа называются элементами матрицы. Место каждого элемента
однозначно определяется номером строки и столбца, на пересечении которых
он находится. Элементы матрицы обозначаются aij, где i- номер строки, а jномер столбца.
 a11

 a 21
 ...

a
А =  m1
a12
a 22
...
a m3
... a1n 

... a 2 n 
... ... 

... a mn 
Матрица может состоять как из одной строки, так и из одного столбца.
Вообще говоря, матрица может состоять даже из одного элемента.
Определение. Если число столбцов матрицы равно числу строк (m=n), то
матрица называется квадратной.
Определение. Две матрицы А и В называются равными, если  i j  bij и
они имеют одинаковый тип.
Определение. Матрица вида:
1

0
 ...

0

0 ... 0 

1 ... 0 
... ... ...

0 ... 1  = E,
называется единичной матрицей.
Определение. Если amn = anm , то матрица называется симметрической.
 2 1 5


1 3 6
 5 6 4

 - симметрическая матрица
Пример.
Определение. Квадратная матрица вида
 a11

 0
 ...

 0

называется диагональной матрицей.
Определение. Матрица вида
0
a 22
...
0
0 

... 0 
... 0 

... a nn 
...
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
0

0
 ...

0
стр. 14 из 179
0 ... 0 

0 ... 0 
0
... ... ... 

0 ... 0 
называется нулевой матрицей.
2. Действия над матрицами.
Сложение и вычитание матриц сводится к соответствующим операциям
над их элементами. Самым главным свойством этих операций является то, что
они определены только для матриц одинакового типа.
Определение. Суммой (разностью) матриц является матрица,
элементами
которой
являются
соответственно
сумма
(разность)
соответствующих элементов исходных матриц.
сij  aij  bij
С = А + В = В + А.
(A+B)+C=A+(B+C)
 b11
 a11 a12 a13 



A a21 a22 a23  B b21
b


Т.е. если даны  a31 a32 a33  ,  31
 a11  b11

A  B   a21  b21
a b
 31 31
b12
b22
b32
b13 

b23 
b33 
a12  b12
a22  b22
a32  b32
, то
a13  b13 

a23  b23 
a33  b33 
Операция умножения (деления) матрицы любого размера на
произвольное число сводится к умножению (делению) каждого элемента
матрицы на это число.
 a11

 a
A   21
...

 a
 m1
a12
a 22
...
a m 2
... a1n 

... a 2 n 
...
... 

... a mn 
 (А+В) =А  В
()А = А  А
1 A  A
0 A  0
1 3 4
 1 2 3




А   2 1 4 В   5 7 8 
1 2 4
 3 2 3

 , найти 2А + В.

;
Пример. Даны матрицы
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
 2 4 6


2А   4 2 8 
 6 4 6

,
стр. 15 из 179
 3 7 10 


2 А  В   9 9 16 
 7 6 10 

.
Операция умножения матриц.
Определение: Произведением матриц называется матрица, элементы
которой могут быть вычислены по следующим формулам:
AB = C;
n
сij   aik  bkj
.
Из приведенного определения видно, что операция умножения матриц
определена только для матриц, число столбцов первой из которых равно
числу строк второй.
k 1
 a11 a12 a13 
 b11 


 
A a21 a22 a23  B b21 
a

 
 31 a32 a33  ,  b31 
 a11  b11  a12  b21  a13  b31 


A  B   a21  b11  a22  b21  a23  b31 
 a b  a b  a b 
 31 11 32 21 33 31 
Свойства операции умножения матриц.
1)Умножение матриц не коммутативно, т.е. АВ  ВА даже если
определены оба произведения. Однако, если для каких – либо матриц
соотношение АВ=ВА выполняется, то такие матрицы называются
перестановочными или абелевыми.
Самым характерным примером может служить единичная матрица,
которая является перестановочной с любой другой матрицей того же размера.
Перестановочными могут быть только квадратные матрицы одного и того
же порядка.
АЕ = ЕА = А
Очевидно, что для любых матриц выполняются следующее свойство:
AO = O; OA = O,
где О – нулевая матрица.
2) Операция перемножения матриц ассоциативна, т.е. если определены
произведения АВ и (АВ)С, то определены ВС и А(ВС), и выполняется
равенство:
(АВ)С=А(ВС).
3) Операция умножения матриц дистрибутивна по отношению к
сложению, т.е. если имеют смысл выражения
А(В+С) и (А+В)С, то
соответственно:
А(В + С) = АВ + АС
(А + В)С = АС + ВС.
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 16 из 179
4) Если произведение АВ определено, то для любого числа  верно
соотношение:
(AB) = (A)B = A(B).
5) Если определено произведение АВ , то определено произведение ВТАТ
и выполняется равенство:
(АВ)Т = ВТАТ,
гдеиндексом Т обозначается транспонированная матрица.
6) Заметим также, что для любых квадратных матриц det (AB) =
detAdetB.
Определение. Матрицу В называют транспонированной для матрицы А,
а переход от А к В транспонированием, если элементы каждой строки
матрицы А записать в том же порядке в столбцы матрицы В.
 а11

a
А   21
...

a
 m1
... a1n 

... a2 n 
... ... 

... amn 
;
a12
a22
...
am 2
 a11

a
Т
В  А   12
...

a
 1n
a21 ... am1 

a22 ... am 2 
... ... ... 

a2 n ... amn 
;
другими словами, bji = aij.
В качестве следствия из предыдущего свойства (5) можно записать, что:
(ABC)T = CTBTAT,
при условии, что определено произведение матриц АВС.
 1 0 3


 2 4 1


Пример. Даны матрицы А =  1  4 2  , В =
1
 
 3
 2
 
,С=
  1
 
2
1
 
и число  = 2.
Т
Найти А В+С.
1 2 1 


 0 4  4


AT =  3 1 2  ;
  2
 
 4 
 2 
 
C =
;
1 2 1  1
 1 1  2  3  1 2 

  


 0 4  4  3
 0 1  4  3  4  2 

  


ATB =  3 1 2    2  =  3  1  1  3  2  2  =
 9    2
7
   
 
4  4 
8
   
 
АТВ+С = 10  +  2  = 12  .
Пример. Найти произведение матриц
1
 
А В   4
 3
   2 4 1 
1
 
А   4
 3
 
и В  2 4 1 .
 1 2 1 4 11   2 4 1 

 

 4  2 4  4 4  1   8 16 4 
 3  2 3  4 3  1  6 12 3 

 
.
9
 
4
10 
 ;
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 17 из 179
1
 
 4
 
В  А  2 4 1  3  = 21 + 44 + 13 = 2 + 16 + 3 = 21.
3 4

В  
5
6


А

1
2


Пример. Найти произведение матриц
,
3 4
  (3  10 4  12)  13 16
А  В  (1 2)  
5 6
Определители.( детерминанты).
Определение. Определителем квадратной матрицы
 а11

 a 21
 ...

a
А=  n1
... a1n 

... a 2 n 
... ... 

... a nn 
a12
a 22
...
an2
называется число, которое может быть вычислено по элементам матрицы по
формуле:
n
 (1)
k 1
k 1
a1k M 1k
det A =
,
где М1к – детерминант матрицы, полученной из исходной вычеркиванием
первой строки и k – го столбца. Следует обратить внимание на то, что
определители имеют только квадратные матрицы, т.е. матрицы, у которых
число строк равно числу столбцов.
Предыдущая формула позволяет вычислить определитель матрицы по
первой строке, также справедлива формула вычисления определителя по
первому столбцу:
n
 (1)
k 1
k 1
a k1 M k1
det A =
Вообще говоря, определитель может вычисляться по любой строке или
столбцу матрицы, т.е. справедлива формула:
n
 (1)
detA = k 1
различные
k i
aik M ik
, i = 1,2,…,n.
матрицы могут иметь
Очевидно, что
одинаковые
определители.
Определитель единичной матрицы равен 1.
Для указанной матрицы А число М1к называется дополнительным
минором элемента матрицы a1k. Таким образом, можно заключить, что каждый
элемент матрицы имеет свой дополнительный минор. Дополнительные миноры
существуют только в квадратных матрицах.
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 18 из 179
Определение. Дополнительный минор произвольного элемента
квадратной матрицы aij равен определителю матрицы, полученной из исходной
вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.
Свойство1. Важным свойством определителей является следующее
соотношение:
det A = det AT;
Свойство 2. det ( A  B) = det A  det B.
Свойство 3. det (AB) = detAdetB
Свойство 4. Если в квадратной матрице поменять местами какие-либо
две строки (или столбца), то определитель матрицы изменит знак, не
изменившись по абсолютной величине.
Свойство 5. При умножении столбца (или строки) матрицы на число ее
определитель умножается на это число.
Определение: Столбцы (строки) матрицы называются линейно
зависимыми, если существует их линейная комбинация, равная нулю,
имеющая нетривиальные (не равные нулю) решения.
Свойство 6. Если в матрице А строки или столбцы линейно зависимы, то
ее определитель равен нулю.
Свойство 7. Если матрица содержит нулевой столбец или нулевую
строку, то ее определитель равен нулю. (Данное утверждение очевидно, т.к.
считать определитель можно именно по нулевой строке или столбцу.)
Свойство 8. Определитель матрицы не изменится, если к элементам
одной из его строк(столбца) прибавить(вычесть) элементы другой
строки(столбца), умноженные на какое-либо число, не равное нулю.
Свойство 9. Если для элементов какой- либо строки или столбца
матрицы верно соотношение: d = d1  d2 , e = e1  e2 , f = f1  f2 , то верно:
a b
c
a
b
c
a
b
c
d
e
f  d1
e1
f1  d 2
e2
f2
k
l
m
l
m
l
m
k
k
 1 2 1


 0  2 3


Пример. Вычислить определитель матрицы А =  3 1 1 
1 2 1
2 3
0 3
0 2
0  2 3  1
 2
 1
 (2  1  1  3)  2(0  1  3  3)  (0  1  3  2) 
1 1
3 1
3 1
3 1 1
= -5 + 18 + 6 = 19.
1 2


3
4

, В =
Пример:. Даны матрицы А =
5 2


 1 3  . Найти det (AB).
1-й способ: det A = 4 – 6 = -2; det B = 15 – 2 = 13;
det (AB) = det A det B = -26.
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 19 из 179
 1 5  2 1 1  2  2  3   7 8 

  

3

5

4

1
3

2

4

3
19
18



,
2- й способ: AB =
det (AB) = 718 - 819 = 126 – 152 = -26.
Элементарные преобразования матрицы.
Определение. Элементарными преобразованиями матрицы назовем
следующие преобразования:
1) умножение строки на число, отличное от нуля;
2) прибавление к элементам одной строки элементов другой строки;
3) перестановка строк;
4) вычеркивание (удаление) одной из одинаковых строк (столбцов);
5) транспонирование;
Те же операции, применяемые для столбцов, также называются
элементарными преобразованиями.
С помощью элементарных преобразований можно к какой-либо строке
или столбцу прибавить линейную комбинацию остальных строк ( столбцов ).
Миноры.
Выше было использовано понятие дополнительного минора матрицы.
Дадим определение минора матрицы.
Определение. Если в матрице А выделить несколько произвольных строк
и столько же произвольных столбцов, то определитель, составленный из
элементов, расположенных на пересечении этих строк и столбцов называется
минором матрицы А. Если выделено s строк и столбцов, то полученный минор
называется минором порядка s.
Заметим, что вышесказанное применимо не только к квадратным
матрицам, но и к прямоугольным.
Если вычеркнуть из исходной квадратной матрицы А выделенные строки
и столбцы, то определитель полученной матрицы будет являться
дополнительным минором.
Алгебраические дополнения.
Определение. Алгебраическим дополнением минора матрицы
называется его дополнительный минор, умноженный на (-1) в степени, равной
сумме номеров строк и номеров столбцов минора матрицы.
В частном случае, алгебраическим дополнением элемента матрицы
называется его дополнительный минор, взятый со своим знаком, если сумма
номеров столбца и строки, на которых стоит элемент, есть число четное и с
противоположным знаком, если нечетное.
Теорема Лапласа. Если выбрано s строк матрицы с номерами i1, … ,is,
то определитель этой матрицы равен сумме произведений всех миноров,
расположенных в выбранных строках на их алгебраические дополнения.
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 20 из 179
3. Ранг матрицы.
Как было сказано выше, минором матрицы порядка s называется
определитель матрицы, образованной из элементов исходной матрицы,
находящихся на пересечении каких - либо выбранных s строк и s столбцов.
Определение. В матрице порядка mn минор порядка r называется
базисным, если он не равен нулю, а все миноры порядка r+1 и выше равны
нулю, или не существуют вовсе, т.е. r совпадает с меньшим из чисел m или n.
Столбцы и строки матрицы, на которых стоит базисный минор, также
называются базисными.
В матрице может быть несколько различных базисных миноров,
имеющих одинаковый порядок.
Определение. Порядок базисного минора матрицы называется рангом
матрицы и обозначается rang А.
Очень важным свойством элементарных преобразований матриц является
то, что они не изменяют ранг матрицы.
Определение. Матрицы, полученные в результате элементарного
преобразования, называются эквивалентными.
Надо отметить, что равные матрицы и эквивалентные матрицы понятия совершенно различные.
Теорема1 . Наибольшее число линейно независимых столбцов в матрице
равно числу линейно независимых строк.
Теорема 2 . Любой столбец матрицы
 a11

 a 21
 ...

a
А =  m1
a12
a 22
...
a m3
... a1n 

... a 2 n 
... ... 

... a mn 
является линейной комбинацией её базисных столбцов.
Доказательство: Предположим, что
а11
а12
а13
М  ...
...
...  М  0
аr1
аr2
аr3
(1)
Рассмотрим определитель ( r  1 )-го порядка
a11
a12
... a1r
a1s
a21
a22
... a2 r
ars
Dks  ...
...
...
...
...
ar1
ar 2
... arr
ars
ak 1
ak 2 ... akr
aks
1 k  m
1 s  n
Dks  0
(2)
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 21 из 179
Dks  0 , если k  r две строки совпадают, если s  r
Для любых k и s
два
D
столбца совпадают, если k  r и s  r , то ks - минор ( r  1 )-го порядка матрицы
(1) поэтому 0  k  0 . Итак, Dks  0
Dks  ak1 Ak1  ak 2 Ak 2  ...  aks Aks
Akj
(3)
не зависит от k.
Aks  M
C1  
M 0
Ak1
M
C2  
Ak 2
M
Cr  
…
Akr
M
C1ak1  C2 ak 2  ...  Cks aks  aks
Полагая
k  1, 2,3,..., n , получаем
(4)
следующую систему соотношений:
c1a11  c2 a12  ...  cr a1n  a1s
c a  c a  ....  c a  a
 1 21 2 22
r 2n
2s

..............................................
c1am1  c2 am 3  ...  cr anr  ans
(5)
(5) показывает, что
столбец
матрицы (1) является линейной
r
комбинацией первых
столбцов этой же матрицы с коэффициентами
s
C1  C2  ...  Cr
.
Т.к. s - любое от 1 до m, то теорема доказана.
Теорема 3. Пусть
 a11

 a 21
 ...

a
А =  m1
a12
a 22
...
a m3
... a1n 

... a 2 n 
... ... 

... a mn 
 a11

a
А   21
...

a
 m1
a12
a 22
...
a m3
... a1n b1 

... a 2 n b2 
... ... ... 

... a mn bm 
rangA=r, rang A =R, причем первые n столбцов этих матриц совпадают. Если
последний столбец матрицы A линейно выражается через остальные столбцы,
то r  R .
Доказательство: Пусть M r - базисный минор матрицы А, так как M r минор A , то r  R . M r 1 - произвольный минор ( r  1 )-го порядка матрицы A ,
если в этот минор не входят элементы последнего столбца этой матрицы, то
M r 1  0 , т.к. rangA=r. Если в этот минор входят элементы последнего столбца
матрицы A , то в силу линейного свойства определителей M r 1 можно
представить как сумму n определителей ( r  1 )-го порядка матрицы А
числовым множителем. Отсюда следует, что все эти определители равны нулю,
поэтому M r 1  0 . Мы приходим к выводу, что r  R .
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 22 из 179
Т.к. элементарные преобразования не изменяют ранг матрицы, то можно
существенно упростить процесс нахождения ранга матрицы.
Пример. Определить ранг матрицы.
1 0 0 0 5 


0 0 0 0 0 
 2 0 0 0 11

 
1 0 0 0 5  1 5 

 

2
0
0
0
11
2
11


,
1
5
2 11
 11  10  1  0 
RgA = 2.
Пример: Определить ранг матрицы.
3 5 7


1 2 3
1 3 5


 4 8 12 


1 2 3 
1 3 5 


1 2 3 


1 2 3  1 2 3 
1 3 5  1 3 5 

 
,
1 2
1 3
 3 2 1 0 
Rg = 2.
Пример. Определить ранг матрицы.
1 2 1 3 4


3 4 2 6 8  1 2 1 3 4 1 2
 1 2 1 3 4   3 4 2 6 8  3 4  4  6  2  0.


,
 Rg = 2.
Если с помощью элементарных преобразований не удается найти
матрицу, эквивалентную исходной, но меньшего размера, то нахождение ранга
матрицы следует начинать с вычисления миноров наивысшего возможного
порядка. В вышеприведенном примере – это миноры порядка 3. Если хотя бы
один из них не равен нулю, то ранг матрицы равен порядку этого минора.
4. Обратная матрица.
Определим операцию деления матриц как операцию, обратную
умножению.
Определение. Если существуют квадратные матрицы Х и А одного
порядка, удовлетворяющие условию: XA = AX = E, где Е - единичная матрица
того же самого порядка, что и матрица А, то матрица Х называется обратной к
матрице А и обозначается А-1.
Каждая квадратная матрица с определителем, не равным нулю имеет
обратную матрицу и притом только одну.
Рассмотрим общий подход к нахождению обратной матрицы.
Исходя из определения произведения матриц, можно записать:
n
 aik  x kj  eij
AX = E  k 1
eij = 0,
eij = 1,
, i=(1,n), j=(1,n),
i  j,
i=j.
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 23 из 179
Таким образом, получаем систему уравнений:
a11 x1 j  a12 x 2 j ... a1n x nj  0

................................................

a j1 x1 j  a j 2 x 2 j ... a jn x nj  1

................................................
a n1 x1 j  a n2 x 2 j ... a nn x nj  0

,
Решив эту систему, находим элементы матрицы Х.
 1 2


Пример. Дана матрица А =  3 4 , найти А-1.
 a11 a12   x11

 
 a21 a22   x21
a11 x11  a12 x 21  e11  1
a x  a x  e  0
 11 12
12 22
12

a 21 x11  a 22 x 21  e21  0
a 21 x12  a 22 x 22  e22  1
x12   1 0
 
.
x22   0 1
 x11  2

 x12  1

 x 21  3 / 2
 x 22  1 / 2
 x11  2 x 21  1
x  2x  0
 12
22

3 x11  4 x 21  0
3 x12  4 x 22  1
1 
 2


Таким образом, А-1=  3 / 2 1 / 2 .
Однако, такой способ не удобен при нахождении обратных матриц
больших порядков, поэтому обычно применяют следующую формулу:
xij 
1i  j M ji
det A
,
где Мji- дополнительный минор элемента аji матрицы А.
 1 2


3
4

 , найти А-1.
Пример. Дана матрица А =
M11=4;
x11= -2;
det A = 4 - 6 = -2.
M12= 3;
M21= 2;
x12= 1;
x21= 3/2;
1 
 2


-1  3 / 2 1 / 2
Таким образом, А =
M22=1
x22= -1/2
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 24 из 179
Свойства обратных матриц.
Укажем следующие свойства обратных матриц:
1) (A-1)-1 = A;
2) (AB)-1 = B-1A-1
3) (AT)-1 = (A-1)T.
3 2


Пример. Дана матрица А =  1 4  , найти А3.
3 2 3 2

 

1
4
1
4
2



 =
А = АА =
11 14 


 7 18  ;
3 2


1
4

 и
Отметим, что матрицы
 3 2  11 14 

 

1
4
7
18
3



=
A =
11 14 


 7 18  являются перестановочными.
1
0
2
1 1 2
0
3
2 1
Пример. Вычислить определитель 2
1
4 3.
1
0
2
1 1 2
1 1 2
0
3
2 1
3
2
1
4 3 = -1 1
 47 78 


 39 86  .
3 4
3 4
2 1 2
2 1 1
2 1  3 0
3
1  4 0
3
2
4 3
1
3
1
4
1 1 2
3
2 1
+ 1
- 1(9 – 1) + 2(12 – 2) = -2 – 8 + 20 = 10.
4 3
2
2 1 2
0  2 1
0
3
1
0
3
1
2
1
3
= 2
1
3
2 1 1
0 2 3
0
3
2
0
3
2
2
1
4
= 2
1
4
2
= -1(6 – 4) –
= 2(0 – 2) – 1(0 – 6) = 2.
= 2(-4) – 3(-6) = -8 + 18 = 10.
Значение определителя: -10 + 6 – 40 = -44.
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 25 из 179
ЛЕКЦИЯ 3: СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
1. Системы линейных уравнений.
Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными.
a1 x  b1 x  c1

a 2 x  b2 x  c2
(1)
Лемма: Если x 0 , y 0 – решение системы (1), то
x0     x и
y0     y
Решение и исследование системы.
x0 
x

y0 
y

I.   0
(2)
Теорема 1: Если определитель системы (1) двух линейных уравнений с
двумя неизвестными, не равен нулю, то система совместна и имеет
единственное решение, которое определяется по формулам (2)
II.   0  x  0,  y  0 , то система несовместна.
III.   0 ,  x   y  0 , то система совместна.
Системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными.
a11 x  a12 y  a13 z  b1

a 21 x  a 22 y  a 23 z  b2
a x  a y  a z  b
23
33
3
 31
(3)
Решение и исследование системы.
а) при   0 система имеет не более одного решения
б)   0
в) b1  b2  b3  0
2. Критерии совместимости систем линейных уравнений.
a11 x1  a12 x 2  ...  a1n x n  b1
a x  a x  ....  a x  b
 21 1
22 2
2n n
2

..............................................
a m1 x1  a m 3 x 2  ...  a mn x  bm
(4)
Пусть дана система m – линейных уравнений с n неизвестными.
Теорема 2: Система (4) совместна тогда и только тогда, когда ранг
расширенной матрицы этой системы равен рангу основной матрицы.
Доказательство: Пусть (4) совместна, т.е. имеется хотя бы одно решение
x1  c1
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 26 из 179
x2  c2
………
xn  cn
Подставив в (4):
a11c1  a12 c 2  ...  a1n c n  b1
............................................
a m1c1  a m 2 c 2  ...  a mn c n  bm
rangA  rangA .
(5)
Согласно теореме (3) т.2.п3.
Обратно, пусть ранги равны r . Рассмотрим r базисных столбцов
матрицы А. Они будут также базисными столбцами матрицы A . Т.о. в матрице
A существуют базисные столбцы. По теореме (2)т.2.п3. последний столбец
является линейной комбинацией столбцов матрицы A . Обозначив
коэффициент этой линейной комбинации через с1 , с2 ,..., сn мы приходим к
выводу, что выполняется (5). Т.о. система совместна.
Система двух линейных уравнений с тремя неизвестными.
a11 x1  a12 x2  a13 x3  b1

a21 x1  a 22 x2  a 23 x3  b2
 а11 а12 а13 

А  
 а21 а22 а23 
rangA  r
 а11 а12 а13 b1 

А  
 a 21 a 22 a 23 b2 
rangA  R
а) r  2 , тогда и R  2 Бесконечное множество решений
б) r  R  1
в) r  R
3. Способы решения систем линейных уравнений.
Матричный метод решения систем линейных уравнений.
Матричный метод применим к решению систем уравнений, где число
уравнений равно числу неизвестных.
Метод удобен для решения систем невысокого порядка.
Метод основан на применении свойств умножения матриц.
Пусть дана система уравнений:
a11 x1  a12 x 2  ...  a1n x n  b1
a x  a x  ...  a x  b
 21 1
22 2
2n n
2

...............................................
a n1 x1  a n 2 x 2  ...  a nn x n  bn
Составим матрицы:
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
 a11

 a 21
 ...

a
A =  n1
a12
a 22
...
an2
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
... a1n 

... a 2 n 
... ... 

... a nn 
;
стр. 27 из 179
 b1 
 
 b2 
 ... 
 
b 
B =  n ;
 x1 
 
 x2 
 ... 
 
 
X =  xn  .
Систему уравнений можно записать:
AX = B.
Сделаем следующее преобразование: A-1AX = A-1B, т.к. А-1А = Е, то
ЕХ = А-1В
Х = А-1В
Для применения данного метода необходимо находить обратную
матрицу, что может быть связано с вычислительными трудностями при
решении систем высокого порядка.
Пример. Решить систему уравнений:
5 x  y  z  0

 x  2 y  3z  14
4 x  3 y  2 z  16

 x
0
 5  1  1
 
 


 y
14 
1 2 3 
 
 


Х =  z  , B = 16  , A =  4 3 2 
Найдем обратную матрицу А-1.
5 1 1
1
2
3 
 = det A = 4
3
2
1 1
2 3
M11 = 3 2 = -5;
1 3
M12 = 4 2
1 2
M13 = 4 3
5
;
30
10
 ;
30
5
 ;
30
a111 
1
a 21
1
a31
Cделаем проверку:
5(4-9) + 1(2 – 12) – 1(3 – 8) = -25 – 10 +5 = -30.
 10;
 5;
M21 = 3
2 = 1;
5 1
 14;
4
2
M22 =
5 1
 19;
4
3
M =
23
1
1
;
a131  ;
30
30
14
16
1
1
a 22
 ;
a 23
 ;
30
30
19
11
1
1
a32
 ;
a33
 ;
30
30
a121 
1 1
M31 = 2
3
= -1;
5 1
M32 = 1 3
5 1
M33 = 1
1
 1

30
 6
 1  7
 3
15
 1
19

30
A-1 =  6
2
 16;
 11;
1 

30 
8 
15 
11 
 
30  ;
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
 5

 5  1  1 30

 10
 1 2 3  
 4 3 2  30

 5

 30
AA-1 =
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
1
30
14

30
19
30
стр. 28 из 179
1 

30 
 25  10  5 5  14  19 5  16  11 

16  1 
  5  20  15 1  28  57 1  32  33 
30  30 

11 
 20  30  10 4  42  38 4  48  22 
 
30 
=E.
Находим матрицу Х.
1
 1

30
 6
1
7

 x


 3
 
15
 1
 y
19

 
30
Х =  z  = А-1В =  6
1 

30 
8 
0
15   
11  14 
   
30   16  =
14 16 
 1

 0

6
30
30   1 

  1 0  98  128    2 
 
 3
15 15   
1
266 176   3 

 0

30
30 
6
.
Итог решения системы: x =1; y = 2; z = 3.
Метод Крамера.
(Габриель Крамер (1704-1752) швейцарский математик)
Данный метод также применим только в случае систем линейных
уравнений, где число переменных совпадает с числом уравнений. Кроме того,
необходимо ввести ограничения на коэффициенты системы. Необходимо,
чтобы все уравнения были линейно независимы, т.е. ни одно уравнение не
являлось бы линейной комбинацией остальных.
Для этого необходимо, чтобы определитель матрицы системы не
равнялся 0.
det A  0;
Действительно, если какое- либо уравнение системы есть линейная
комбинация остальных, то если к элементам какой- либо строки прибавить
элементы другой, умноженные на какое- либо число, с помощью линейных
преобразований можно получить нулевую строку. Определитель в этом случае
будет равен нулю
Теорема. (Правило Крамера): Система из n уравнений с n неизвестными
a11 x1  a12 x 2  ...  a1n x n  b1
a x  a x  ...  a x  b
 21 1
22 2
2n n
2

...............................................
a n1 x1  a n 2 x 2  ...  a nn x n  bn
в случае, если определитель матрицы системы не равен нулю, имеет
единственное решение и это решение находится по формулам: xi = i/, где
 = det A, а i – определитель матрицы, получаемой из матрицы системы
заменой столбца i столбцом свободных членов bi.
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 29 из 179
a11 ...a1i 1
b1
a1i 1 ...a1n
a 21 ...a 2i i
b2
a 2i 1 ...a 2 n
...
...
...
i = a n1 ...a ni1 bn a ni1 ...a nn
Пример.
a11 x1  a12 x 2  a13 x3  b1

a 21 x1  a 22 x 2  a 23 x3  b2
a x  a x  a x  b
32 2
33 3
3
 31 1
A=
 a11 a12

 a 21 a 22
a
 31 a32
a13 

a 23 
a33 
b1
a12
a13
a11
b1
a13
a11
a12
b1
b2
a 22
a 23
a 21 b2
a 23
a 21 a 22
b2
; 1= b3 a32 a33 ; 2= a31 b3 a33 ; 3= a31 a32 b3 ;
x1 = 1/detA;
x2 = 2/detA;
x3 = 3/detA;
Пример. Найти решение системы уравнений:
5 x  y  z  0

 x  2 y  3z  14
4 x  3 y  2 z  16

5 1 1
=
1
2
3
4
3
2
= 5(4 – 9) + (2 – 12) – (3 – 8) = -25 – 10 + 5 = -30;
0
1 1
14
2
3
1 = 16
3
2
= (28 – 48) – (42 – 32) = -20 – 10 = -30.
x1 = 1/ = 1;
5
0
1
1 14
3
2 = 4 16
2
5 1
0
1
2
14
3 = 4
3
16
= 5(28 – 48) – (16 – 56) = -100 + 40 = -60.
x2 = 2/ = 2;
= 5( 32 – 42) + (16 – 56) = -50 – 40 = -90.
x3 = 3/ = 3.
Как видно, результат совпадает с результатом, полученным выше
матричным методом.
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 30 из 179
Если система однородна, т.е. bi = 0, то при 0 система имеет
единственное нулевое решение x1 = x2 = … = xn = 0.
При  = 0 система имеет бесконечное множество решений.
Для самостоятельного решения:
 x  3 y  6 z  12

3x  2 y  5 z  10
2 x  5 y  3z  6

;
Ответ: x = 0; y = 0; z = -2.
Решение произвольных систем линейных уравнений.
Как было сказано выше, матричный метод и метод Крамера применимы
только к тем системам линейных уравнений, в которых число неизвестных
равняется числу уравнений. Далее рассмотрим произвольные системы
линейных уравнений.
Определение. Система m уравнений с n неизвестными в общем виде
записывается следующим образом:
a11 x1  a12 x 2  ...  a1n x n  b1
a x  a x  ...  a x  b
 21 1
22 2
2n n
2

...............................................
a m1 x1  a m 2 x 2  ...  a mn x n  bm
,
где aij – коэффициенты, а bi – постоянные. Решениями системы являются n
чисел, которые при подстановке в систему превращают каждое ее уравнение в
тождество.
называется несовместной.
Определение. Система называется определенной, если она имеет только
одно решение и неопределенной, если более одного.
Определение. Для системы линейных уравнений матрица
 a11

 a 21
 ...

a
А =  m1
... a1n 

... a 2 n 
... ... 

... a mn 
a12
a 22
...
am2
называется матрицей системы, а матрица
 a11

 a 21
 ...


*  a m1
А=
a12
... a1n
a 22
... a 2 n
...
...
am2
...
... a mn
b1 

b2 
... 

bm 
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 31 из 179
называется расширенной матрицей.
Определение. Если система имеет хотя бы одно решение, то она
называется совместной. Если система не имеет ни одного решения, то она
называется несовместной.
Определение. Если b1, b2, …,bm = 0, то система называется однородной.
однородная система всегда совместна, т.к. всегда имеет нулевое решение.
Элементарные преобразования систем.
К элементарным преобразованиям относятся:
1)Прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих
частей другого, умноженных на одно и то же число, не равное нулю.
2)Перестановка уравнений местами.
3)Удаление из системы уравнений, являющихся тождествами для всех х.
Метод Гаусса.
(Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) немецкий математик)
В отличие от матричного метода и метода Крамера, метод Гаусса может
быть применен к системам линейных уравнений с произвольным числом
уравнений и неизвестных. Суть метода заключается в последовательном
исключении неизвестных.
Рассмотрим систему линейных уравнений:
a11 x1  a12 x 2  ...  a1n x n  b1
a x  a x  ...  a x  b
 21 1
22 2
2n n
2

...............................................
a m1 x1  a m 2 x 2  ...  a mn x n  bm
Разделим обе части 1–го уравнения на a11  0, затем:
1) умножим на а21 и вычтем из второго уравнения
2) умножим на а31 и вычтем из третьего уравнения и т.д.
Получим:
 x1  d12 x 2  ...  d1n x n  d1
d x  d x  ...  d x  d
 22 2
23 3
2n n
2

..............................................
d m 2 x 2  d m 3  ...  d mn x n  d m
,
где
d1j = a1j/a11, j = 2, 3, …, n+1.
dij = aij – ai1d1j
i = 2, 3, … , n;
j = 2, 3, … , n+1.
Далее повторяем эти же действия для второго уравнения системы, потом
– для третьего и т.д.
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 32 из 179
Пример. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.
2 x1  x 2  x3  5

 x1  2 x2  3x3  3
7 x  x  x  10
2
3
 1
Составим расширенную матрицу системы.
3
 3  1  2 3  3 
 2 1  1 5   1  2 3  3  1  2

 
 
 

 7 11  ~  0 5  7 11 
 1  2 3  3 ~  2 1  1 5  ~  0 5

 
 
 

А* =  7 1  1 10   7 1  1 10   0 15  22 31   0 0  1  2 
Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:
 x1  2 x2  3x3  3

5 x 2  7 x3  11
 x  2
 3
,
откуда получаем: x3 = 2; x2 = 5; x1 = 1.
Пример. Решить систему методом Гаусса.
5 x  y  z  0

 x  2 y  3z  14
4 x  3 y  2 z  16

Составим расширенную матрицу системы.
3
14   1 2
3
14 
 5  1  1 0   1 2 3 14   1 2

 
 
 

 1 2 3 14  ~  4 3 2 16  ~  0  5  10  40  ~  0  5  10  40 
 4 3 2 16   5  1  1 0   0  11  16  70   0 0
6
18 

 
 
 
Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:
 x  2 y  3z  14

 5 y  10 z  40
6 z  18

,
откуда получаем: z = 3; y = 2; x = 1.
Полученный ответ совпадает с ответом, полученным для данной системы
методом Крамера и матричным методом.
Для самостоятельного решения:
 x1  x 2  x3  x 4  4
2 x  x  3 x  2 x  1
 1
2
3
4

x

x

2
x

6
3
4
 1
3 x1  x 2  x3  x 4  0
Ответ: {1, 2, 3, 4}.
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 33 из 179
ЛЕКЦИЯ 4-5: ВЕКТОРЫ
1. Понятие вектора. Линейные операции над векторами.
Понятие вектора.
Величины, характеризующиеся числовым значением, называются
скалярными.
Величины, характеризующиеся числовым значением и направлением в
пространстве, называются векторными.
Определение1: Отрезок, имеющий определенную длину и направление в
пространстве, называется вектором.
Вектор обозначается AB или a . А – начало вектора, точка его
приложения. Длина вектора AB , a .
В
Если A  B , то AB - нулевой, его длина
а
AB  0
. Это позволяет отождествить нулевой
вектор с действительным числом 0.
А
Определение2: Векторы называются коллинеарными, если они лежат
либо на одной прямой, либо на параллельных прямых.
Определение3: Два вектора называются равными, если они коллинеарны,
имеют одинаковую длину и одинаковое направление. Все нулевые векторы
считаются равными.
a
a
a
a
b
b
b
b
Из определения 3 следует: каковы бы ни были вектор a и точка Р,
существует, и притом единственный, вектор PQ с началом в точке Р, равный
вектору a .
Точка приложения вектора a может быть выбрана произвольно (мы не
различаем двух равных векторов, имеющих разные точки приложения и
получающихся один из другого параллельным переносом).
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 34 из 179
В соответствии с этим, векторы, изучаемые в геометрии, называют
свободными (скользящие) и связанные.
Линейные операции над векторами.
Линейными операциями принято называть операцию сложения векторов
и операцию умножения векторов на вещественные числа.
Определение 4: Суммой a  b двух векторов a и b называется вектор,
идущий из начала вектора a в конец вектора b , при условии, что вектор b
приложен к концу вектора a .
Правило сложения векторов, основанное на этом определении,
называется правилом треугольника.
b
ab
a
Свойства
1. a  b = b  a
2. (a  b)  c  a  (b  c)
3. Существует нулевой вектор 0 такой, что a  0  a для любого вектора a .

4. Для каждого вектора a существует противоположный ему вектор a

такой, что a + a  0 .

Определим вектор a , противоположный вектору a , как вектор,
коллинеарный
вектору a , имеющий с ним одинаковую длину
и
противоположное направление.
Доказательство первого и второго свойства следует из рисунков.
В
a
b
b
С
ab
ba
c
a
bc
ab
О
b
a
А
( a  b)  c
a  (b  c)
При доказательстве свойства 1 обосновано ещё одно правило сложения
векторов, называемое «правилом параллелограмма»: если векторы a и b
приложены к общему началу и на них построен параллелограмм, то сумма
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 35 из 179
a  b ( b  a )этих
векторов представляет собой диагональ указанного
параллелограмма, идущей из общего начала векторов a и b .
Если a и b коллинеарны, то первое правило нужно применять для
нахождения a  b .
Доказанные свойства позволяют нам оперировать с суммой векторов так
же, как суммой действительных чисел.
Сумма любого числа векторов может быть построена с помощью
следующего правила: Если приложить вектор a 2 к концу вектора a1 , вектор a 3
n
 ai
a n к концу вектора a n1 , то n 1
будет
представлять собой вектор, идущий из начала вектора a1 в конец вектора a n .
к концу вектора a 2 , …, вектор
a2
a1
Правило замыкания ломаной
до многоугольника.
a3
a
i
О
an
a n 1
An
Определение 5: Разностью a  b векторов a и b называется такой вектор
c , который в сумме с вектором b дает вектор a .
С помощью свойств 1-4 доказывается, что существует, и притом
единственный, вектор c , представляющий собой разность a  b , причем, этот


вектор равен c = a  b , где b - вектор противоположный вектору b .
Действительно,
существует.
c = a  b ,
c  b  (a  b )  b  a  (b  b )  a  0  a , т.е.




c
Пусть существует d  b  a , d  b  b  a  b  c , d  b  b  d  (b  b )  d , c  d
Из определения 5 и правила 1 следует правило построения разности a  b :
разность a  b приведенных к общему началу векторов a и b , представляет
собой вектор, идущий из конца вычитаемого вектора b , в конец уменьшаемого
вектора a .
a
a b
b
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 36 из 179
Определение 6: Произведением  a (или a ) вектора a на
действительное число  называется вектор b , коллинеарный вектору a ,
 a
имеющий длину, равную
, и имеющий направление, совпадающее с
направлением вектора a в случае   0 и противоположное направлению
вектора a в случае   0 .
Замечание: Если   0 или a  0 , то  a - нулевой вектор.
Геометрический смысл: при умножении вектора a на число  вектор a
«растягивается» в  раз.
Свойства операции:
 ( a  b)   a   b
5
(распределительное
сомножителя относительно суммы векторов)
свойство
числового
(   )a   a   a
6
(распределительное
сомножителя относительно суммы чисел)
свойство
векторного
 (  a )  ( )a (сочетательное свойство относительно числовых
7
сомножителей)
Доказательство пятого и шестого свойств следуют из рисунков:
a
 ( a  b)
ab
a
a
b
(   )a
b
пятое свойство
шестое свойство
Линейные операции над векторами обладают свойствами 1-7.
Теорема 1: Если вектор b коллинеарен ненулевому вектору a , то
существует действительное число  такое, что b =  a .
Доказательство:
О
a
b
А
В
Пусть О – общее начало. Т.к. a ненулевой, A  O , возможны два случая:
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
a
О
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
b
(если b нулевой, то   0 )
если b ненулевой, A  B
b
стр. 37 из 179
a
 1
BO
 
Точка О делит BA в некотором отношении: (1) OA
BO   OA
OB   OA
(2)
ОВ, ОА – величины направленных отрезков.
В первом случае О лежит вне ВА и   0 , если a и b имеют разные
направления,   0 .
Докажем, что в обоих случаях b =  a .
Докажем, что b и  a а) коллинеарны; б) имеют одинаковую длину и в)
направление.
а) это следует из коллинеарности a и b и определения 6

б) b = a . Из определения 6 и 5.
в) из определения 6.
2. Линейная зависимость векторов.
(1) 1 a1   2 a2  ...   n a n - линейная комбинация n - векторов.
1 ,  2 ,...,  n  D
Определение 1: Векторы a1 , a 2 ,...a n называются линейно зависимыми,
если найдутся такие вещественные числа 1 , 2 ,..., n , из которых хотя бы одно
отлично от нуля, что линейная комбинация векторов a1 , a 2 ,...a n с указанными
числами обращается в нуль, т.е.  1 a1  2 a2  ...  n an  0
Векторы a1 , a 2 ,...a n не являющиеся линейно зависимыми будем называть
линейно независимыми.
Определение 2: Векторы a1 , a 2 ,...a n называются линейно независимыми,
если равенство нулю их линейной комбинации (1) возможно лишь в случае,
когда все числа 1 , 2 ,..., n равны нулю.
Теорема 2: Если хотя бы один из векторов a1 , a 2 ,...a n является нулевым,
то эти векторы являются линейно зависимыми.
Доказательство: Пусть a1  нулевой.
 1 a1  2 a2  ...  n an  0
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 38 из 179
При 1  1  2   3  ...   n  0
Теорема 3: Если среди n векторов какие-либо (n-1) векторов линейно
зависимы, то и все n векторов линейно зависимы.
Доказательство: Пусть a1 , a 2 ,...a n 1 линейно зависимы, т.е.
1 a1  2 a2  ...  n1 an1  0
(4)
И хотя бы одно из чисел  i  0
1 a1  ...  n1 an1  0  an  0
Теорема верна, если среди n векторов линейно зависимыми являются не
(n-1), а любое меньшее n число векторов.
Линейные комбинации двух и трех векторов.
Теорема 4: Необходимым и достаточным условием линейной
зависимости двух векторов является их коллинеарность.
Доказательство: Необходимость. Пусть a и b линейно зависимы.
a  b  0

b a

 0
b   a , т.е. a и b коллинеарны.
Достаточность. Пусть a и b коллинеарны. Если a или b нулевой, то в
силу теоремы 1 a и b линейно зависимы.
 a   1 b  0
b  a
 1  0 , то a и b линейно зависимы.
Следствие 1: Если векторы a и b не коллинеарны, то они линейно
независимы.
Следствие 2: Среди двух неколлинеарных векторов не может быть
нулевого вектора.
Определение 3: Векторы называются компланарными, если они лежат
либо в одной плоскости, либо в параллельных плоскостях.
Теорема 5: Необходимым и достаточным условием линейной
зависимости трех векторов является их компланарность.
Доказательство: Необходимость.
a  b  c  0


c  a b


c   a  b
 0
Если все три вектора приложены к общему началу 0, то c – диагональ
параллелограмма, стороны которого  a и  b , но это означает, что a, b, c лежат в
одной плоскости, т.е. компланарны.
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 39 из 179
Достаточность. Если какая-либо пара из указанных трех векторов
коллинеарна, то теорема доказана. Пусть в тройке векторов ни одна пара не
коллинеарна (отсутствует нулевой вектор). Тогда
c
b
b
a
a
c   a  b
 a   b  (1)c  0
 1  0 , т.е.
a , b, c
– линейно зависимы.
Следствие 1: Каковы бы ни были неколлинеарные векторы a и b для
любого вектора c , лежащего в одной плоскости с векторами a и b , найдутся
такие действительные числа  и  , что справедливо равенство:
c   a  b .
Следствие 2: Если векторы a, b, c не компланарны, то они линейно
независимы.
Следствие 3: Среди трех некомпланарных векторов не может быть двух
коллинеарных векторов и не может быть ни одного нулевого вектора.
Линейная зависимость четырех векторов.
Теорема 6: Любые четыре вектора линейно зависимы.
Доказательство: Пусть ни одна тройка векторов из четырех не является
компланарной (нет ни одной пары коллинеарных векторов и ни одного
нулевого вектора). Приведем векторы a, b, c и d к общему началу О и проведем
через D плоскости, параллельные плоскостям, определяемым парами векторов
bc, ac, ab .
D
OD  OA  OB  OC
OD  OC  OE
OE  OB  OA
d
B
C
c
E
b
OD  OC  OB  OA
d   a   b  c
 a   b  c  (1)d  0
 1  0 , то
O
a
A
a , b, c и
d
– линейно
зависимы.
Следствие 1: Каковы бы ни были некомпланарные вектора
любого вектора d найдутся такие вещественные числа  ,  , , что
a, b, c , для
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 40 из 179
d   a   b  c
Понятие базиса.
Определение 4: Говорят, что три линейно независимых вектора a, b, c
образуют в пространстве базис, если любой вектор d может быть представлен в
виде некоторой линейной комбинации векторов a, b, c , т.е. если для любого
вектора d найдутся такие  ,  ,  , что d   a   b  c .
Определение 5: Говорят, что два лежащих в плоскости  линейно
независимых вектора a и b образуют на этой плоскости базис, если любой
лежащий в плоскости  вектор с может быть представлен в виде линейной
комбинации векторов a и b , т.е.
c   a  b .
Теорема 7: а) Любая тройка некомпланарных векторов a, b, c образует
базис в пространстве.
б) Любая пара лежащих в данной плоскости неколлинеарных векторов a и
b образует базис на этой плоскости.
Доказательство: Пусть a, b, c – произвольный базис в пространстве. Тогда
для любого d
d   a   b  c .
(1)
Принято называть равенство (1) разложением вектора d по базису a, b, c , а
числа  ,  ,  - координатами вектора d относительно базиса a, b, c .
Теорема 8: Каждый вектор d может быть единственным способом
разложен по базису a, b, c (или координаты каждого вектора d относительно
базиса a, b, c определены однозначно).
d   a  b  c
d   a   b  c
(   )a  (   )b  (  )c  0
a , b, c
– линейно независимы.
    0
    0
    0
  
  
  
Линейные операции над векторами при задании базиса становятся
обычными линейными операциями над числами – координатами этих векторов.
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 41 из 179
Теорема 9: При сложении двух векторов d 1 и d 2 их координаты
(относительно любого базиса a, b, c ) складываются. При умножении вектора d 1
на любое число его координаты умножаются на это число.
d 1  1 a  1 b  1 c
d 2  2 a   2 b  2 c
d 1 + d 2 = (1  2 )a  (1   2 )b  ( 1  2 )c
 d 1  (1 )a  (1 )b  (1 )c
2.Скалярное произведение векторов
Определение 1: Скалярным произведением двух векторов называется
число, равное произведению длин этих векторов на угол между ними.
 
ab  a b cos ab
Теорема 1: Необходимым и достаточным условием ортогональности
двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения.
Под углом между двумя векторами будем подразумевать тот угол,
который не превосходит  .
Теорема 2: Два ненулевых вектора a и b составляют острый (тупой) угол
тогда и только тогда, когда их скалярное произведение больше нуля (меньше
нуля).
Свойства скалярного произведения векторов:
1) ab  ba
2) ( a)b   (ba)
3) (a  b)c  ac  bc
4) aa  0 если a  0
т.к.
и aa  0 если a - нулевой вектор.


 


 
a  2, b  3, ab .
Пример. Найти (5 a + 3 b )(2 a - b ), если
2
2
 
 
 
 
a  3 b  40  27  13
10 a  a - 5 a  b + 6 a  b - 3 b  b = 10
,




2
  2

a  a  a  4, b  b  b  9, a  b  0
.
Выражение скалярного произведения в декартовых координатах
а   x1 , y1 , z1 ,
b   x2 , y2 , z2 ,
ab  x1 x2  y1 y2  z1 z2
a  x1i  y1 j  z1k
b  x2i  y2 j  z2k
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 42 из 179
ab  x1 x2 ii  y1 y2 j j  z1z2 kk  x1 y2 i j  x1z2 ik  y1x2 ji  y1z2 jk  z1x2 ik  z1 y2 k j
ii  1 ji  0
jj  1 jk  0
kk  1 ik  0
Следствие 1: Необходимым и достаточным условием ортогональности
векторов a и b является равенство x1 x2  y1 y2  z1 z2  0
Следствие 2: Угол  между векторами a и b определяется по формуле
cos  
x1 x 2  y1 y 2  z1 z 2
x12  y12  z12  x 22  y 22  z 22
cos  
;
ab
ab
3.Векторное произведение векторов и его свойства.
Правые и левые тройки векторов и системы координат.
Определение 1: Три вектора называются упорядоченной тройкой (или
просто тройкой), если указано, какой из этих векторов является первым, какой
– вторым и какой – третьим. Их обычно располагают по порядку.
Определение 2: Тройка некомпланарных векторов a, b, c называется
правой (левой), если выполнено одно из следующих условий:
1) если будучи приведены к общему началу эти векторы располагаются так,
как могут быть расположены соответственно большой, не согнутый
указательный и средний пальцы правой (левой) руки;
2) если после приведения к общему началу вектор c располагается по ту
сторону от плоскости, определенной векторами a и b , откуда кратчайший
поворот от a к b кажется совершающимся против часовой стрелки (по
часовой стрелке);
3) если, находясь внутри телесного угла, образованного приведенными к
общему началу векторами a, b, c , мы видим поворот от a к b и от него к c
совершающимся против часовой стрелки (по часовой стрелке)
1, 2, 3 – эквивалентны между собой.
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 43 из 179
c
a
c
b
a
Рассматривают
ориентации:
тройки
одной
abc
bac
b
ориентации
bca
acb
и
противоположной
cab
cba
Определение 3 Аффинная или декартова система координат называется
правой (левой), если 3 базисных вектора образуют правую (левую) тройку.
Будем рассматривать правые системы координат.
Определение 4: Векторным произведением вектора a на вектор b
называется вектор c обозначаемый символом
следующим требованиям:
c   a, b 
и удовлетворяет
1. Длина вектора c равна произведению длин векторов a и b на синус угла
 между ними, т.е.
c  a  b  sin   a, b 
.
2. Вектор c ортогонален к каждому из векторов a и b , т.е.
c  a, c  b
3. Вектор c направлен так, что тройка abc является правой.
c   a, b 
Понятие
родилось в механике. Если вектор b изображает
приложенную к некоторой точке М силу, а вектор a идет из некоторой точки О
c   a, b 

 представляет собой момент силы b относительно точки
в точку М, то
О.
Теорема 1: Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух
векторов является равенство нулю их векторного произведения.
 a, b 
Теорема 2: Длина (модуль) векторного произведения   равняется
площади S параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу
векторах a и b .
Определение 5: Ортом произвольного ненулевого вектора c назовем
единичный вектор, коллинеарный с c и имеющий одинаковое с c направление.
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 44 из 179
 a, b 
Следствие 1 из теоремы 2: Если e - орт   , а S – площадь, то
 a, b 

 = Se .


abc является правой, ибо является правой тройка ab  a, b  .
Теорема 3: Если c - какой-нибудь вектор,  - любая плоскость,
содержащая его, e - единичный вектор, e   и ортогонален к c , g - единичный
вектор, ортогонален к плоскости  и направленный так, что тройка ecg
является правой, то для любого лежащего в плоскости  вектора справедлива
формула:
 a, b 

 =пре a c g .
a, b   S
 a, b 


 и пре a c g имеют одинаковую длину 
.
Свойства
векторного произведения векторов:
 
 
1) b  a  a  b ;





a
b

0
b
b
a
a
2)
, если 
или = 0 или = 0;

  

b = a (m b ) = m( a  b );
3) (m a )
  
   
4) a ( b + с ) = a  b + a  с ;


5) Если заданы векторы a (xa, ya, za) и b (xb, yb, zb)  в декартовой
 
i
прямоугольной системе координат с единичными векторами , j , k , то

i

j

k
xa


a  b = xb
ya
za
yb
zb
6) Геометрическим смыслом векторного произведения
векторов является
 
площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b .
4.Смешанное произведение векторов и его свойства.
Смешанным произведением векторов
 a, b, c  называется число a, b  c .
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.

стр. 45 из 179

a, b
Теорема 1: Смешанное произведение   c
равно объему
параллелепипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах
a , b, c ,
взятому со знаком +, если тройка a, b, c левая. Если же вектора a, b, c


a, b
компланарны, то   c = 0.
 a, b 
 a, b 
Следствие 1:   c = a  
Следствие 2: Необходимым и достаточным условием компланарности
трех векторов является равенство нулю их смешанного произвдедения.
Следствие 3: Смешанное произведения трех векторов, два из которых
совпадают равно нулю.
Свойства векторного произведения.
1. a, b  b, a;
2. (a)b   ab ;
3. (a  b)c  ac  bc;
4. a, a  0
Выражение векторного произведения в декартовых координатах.
a  x1 , y1 , z1 , b  x2 , y2 , z 2 ,
ab  y1 z2  y2 z1 , z1 x2  z2 x1 , x1 y2  x2 y1
i
j k
ab  x1 y1 z1
x2 y 2 z 2
Доказательство: Составим из i,j,k.
ii   0
 ji  k
ki  j
ij   k  jj  0
kj  i
ik    j
 jk   i
kk  0
ab  x1 x2 ii   x1 y2 ij   ...  z1 z2 kk  ( y1 z2  y2 z1 )i  ( z1 x2  z2 x1 ) j  ( x1 y2  x2 y1 )k
Следствие: Если два вектора коллинеарны,
пропорциональны.
Свойства смешанного произведения:
1)Смешанное произведение равно нулю, если:
а) хоть один из векторов равен нулю;
б) два из векторов коллинеарны;
в)
векторы
компланарны.






2) (a  b )  c  a  (b  c )
то
координаты
их
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 46 из 179
  
  
  
  
  
  
(
a
,
b
,
c
)

(
b
,
c
,
a
)

(
c
,
a
,
b
)


(
b
,
a
,
c
)


(
c
,
b
,
a
)


(
a
, c, b )
3)

  
  
  
4) (a1  a 2 , b , c )   (a1 , b , c )   (a 2 , b , c )



5) Объем треугольной пирамиды, образованной векторами a , b и c ,
равен


1   
a, b , c
6



b

(
x
,
y
,
z
),
c
 ( x3 , y3 , z3 ) , то
a

(
x
,
y
,
z
)
2
2
2
1
1
1
6)Если
,
x1
  
(a , b , c )  x 2
y1
z1
y2
z2
x3
y3
z3
Пример. Доказать, что точки А(5; 7; 2), B(3; 1; -1), C(9; 4; -4), D(1; 5; 0)
лежат в одной плоскости.
Найдем координаты векторов:
AB  (2;6;1)
AC  (4;3;2)
AD  (4;2;2)
Найдем смешанное произведение полученных векторов:
2 6
AB  AC  AD  4
1
2
6
3 2  0
4 2
2
1
0
6
1
 15 0  0  15 0  0
0
10
0
0
10
0
Таким образом, полученные выше векторы компланарны, следовательно точки
A, B, C и D лежат в одной плоскости.
Выражение смешанного произведения в декартовых координатах.
x1
  
(a , b , c )  x 2
y1
z1
y2
z2
x3
y3
z3
Следствие: Необходимым и достаточным условием компланарности трех
векторов является равенство
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
x1
y1
z1
x2
y2
z2  0
x3
y3
z3
стр. 47 из 179
Двойное векторное произведение.
abc 
Теорема2: abc  bac  cab
5.Приложение операций над векторами к решению задач.
Векторную алгебру можно с успехом применять к доказательству теорем
и решению задач.
Задача 1: точка М – середина отрезка АВ, а О – произвольная точка
пространства. Доказать, что
OM 
1
(OA  OB )
2
.
Решение: По правилу треугольника OM  OA  AM
(1)
и OM  OB  BM .
Сложив эти равенства, получим: 2OM  OA  OB  ( AM  BM ) . Так как М –
середина отрезка АВ, то AM  BM  0 . Т.о. справедлива формула (1).
Задача 2: Точка М – центр тяжести (точка пересечения медиан)
треугольника АВС, а О – произвольная точка
O
пространства. Доказать, что
В
М
N
А
1
OM  (OA  OB  OC )
3
С Рис 1
Решение:
AM 1
2
M
A
M

AA
1 1
1 , так что
Возьмем 1
, отсюда AM 1  2M 1 A1 .
OM 1  OA  2(OA1  OM 1 )
3OM 1  OA  2OA1  OA  OB  OC
(2)
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 48 из 179
BM 2
2
M
B
M

BB
2
1
2
1
Возьмем точку
, такую, что
тогда по аналогии
3OM 2  OB  2OB1  OA  OB  OC
CM 3
2
M

CC
M
C
3
1
3
1
Возмем точку
, так что
, тогда по аналогии
3OM 2  OC  2OC1  OA  OB  OC
Сравнивая полученные равенства, видим, что OM1  OM 2  OM 3 , т.е. точки
M1  M 2  M 3 .
Медианой тетраэдра называется отрезок, соединяющий вершину
тетраэдра с точкой пересечения медиан противолежащей грани.
Доказать, что все медианы тетраэдра пересекаются в одной точке, которая
делит каждую из них в отношении 3:1, считая от соответствующей вершины.
Решение: M1  AA1
AM 1 3

M 1 A1 1
OM 1  OA  3(OA1  OM 1 )
4OM 1  OA1  3OA
1
4OM 1  OA1  3 (OB  OC  OD )
3
Аналогично, находим для
4OM 1  OA  OB  OC  OD
1
OM 1  (OA  OB  OC  OD )
4
1
OM 2  (OA  OB  OC  OD )
M 2  BB1 :
4
и
1
OM 3  (OA  OB  OC  OD )
4
Для M 2  CC1 :
Сравнивая полученные равенства, видим, что OM1  OM 2  OM 3 , т.е. точки
M1  M 2  M 3 .
Задача 3: В треугольнике АВС вычислить длину медианы m a , зная угол А
и две стороны: AB  c и AC  b .
Решение: Пусть М – середина стороны ВС. По формуле (1)
AM 
1
( AB  AC )
2
. Возведя в квадрат это равенство, получим:
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
AM 2 
стр. 49 из 179
1
( AB  AC )( AB  AC )
4
.
Отсюда
ma2 
1 2
1 2
(b  c 2  2bc cos A)
ma 
b  c 2  2bc cos A
4
2
, или
.
Задача 4: Доказать, что угол  между противолежащими ребрами
тетраэдра вычисляется по формуле
cos  
c 2  c  2  b 2  b 2
2aa 
(3)
Где aa - длины рассматриваемых ребер, а b и b , c и c - длины двух
других пар противоположных ребер.
Решение: Пусть ОАВС – данный тетраэдр, ОА и ВС – рассматриваемые
ребра .(рис 2)
С
с
b
В
О
a
А
Рис 2
2
Введем обозначения: OA  a , OB  b ,
OA  a, OB  b, OC  c ,
OC  c ,
BC  a , AC  b, AB  c  .
Формулу (3) можно записать в
следующем виде:
2aa  cos   c 2  c  2  b 2  b 2
или
2
2
2a  BC  c  b  AB 2  AC 2 ,
т.е.
2
2a(c  b)  c  b  (b  a) 2  (c  a) 2
Но это равенство является тождеством, в чем легко убедиться, если
раскрыть скобки. Следовательно, справедлива и формула (3).
Задача 5: Доказать, что если в тетраэдре две пары противолежащих ребер
взаимно перпендикулярны, то и третья пара ребер взаимно перпендикулярна.
Решение: Пусть ОАВС – данный тетраэдр, у которого OA  BC и OB  AC
. (рис 2). Надо доказать, что OC  AB . Введем обозначения: OA  a , OB  b ,
OC  c . Т.к. OA  BC , то OA  BC  0 или a(b  c)  0 . Аналогично, т.к. OB  AC , то
b(c  a)  0 . Вычитая из второго равенства первое, находим: c(b  a)  0 , т.е.
OC  AB  0 . Отсюда следует, что OC  AB .
См. в тетр
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
ЛЕКЦИЯ 6-8: МЕТОД КООРДИНАТ
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ
стр. 50 из 179
НА
ПЛОСКОСТИ.
1.Аффинная и прямоугольная система координат на плоскости.
Аффинными координатами любой точки М называются координаты
вектора OM (относительно базиса a, b, c ) они определяются заданием базиса и
точкой О. Декартовы координаты – это частный случай аффинных координат.
(соседний – смежный), когда берется тройка взаимно ортогональных и
единичных базисных векторов.
Проекция вектора на ось и её свойства.

а  AB
u – ось.

Проекцией вектора a  AB на ось u называется величина
направленного отрезка AB оси u.
В
А
А

v
u

A B 

В
Угол наклона а к оси u может быть определен как угол  между двумя
выходящими из произвольной точки М лучами, один из которых имеет
направление, совпадающее с направлением вектора а , а другой - направление
совпадающее с направлением оси u.
Теорема 1: Проекция вектора а на ось u равна длине вектора а ,
умноженной на косинус  угла наклона вектора а к оси u.
AB  AC
прvВ=С
AC  а cos 
а cos 
прu a =
При сложении двух векторов d 1 и d 2 их проекции на произвольную ось u
складываются. При умножении вектора d 1 на любое число  проекция этого
вектора на произвольную ось u также умножается на число  .
Декартова прямоугольная система координат как частный случай
аффинной системы координат.
  
i , j, k i  j  k  1
  
i
Углы между единичными векторами , j , k равны по 900.
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 51 из 179
d  xi  y j  z k
d  x, y, z
M x, y, z
d  OM
Теорема 2: Декартовы прямоугольные координаты x, y, z вектора d
равны проекциям этого вектора на оси OX, OY, OZ.
Доказательство: аналогично теореме 6
Обозначим через  ,  ,  углы наклона к осям OX, OY, OZ.
d
y
z

k
o i
x
cos  , cos  , cos  - направляющие косинусы вектора d .
x  d cos 
y  d cos 
z  d cos 
d  x2  y2  z 2
cos  
x
cos  
d
y
cos  
d
z
d
+ cos   1
Сумма квадратов направляющих косинусов любого вектора равна 1.
Вектор d однозначно определяется заданием трех его направляющих
косинусов и его длины.
При сложении двух векторов d 1 и d 2 их проекции на произвольную ось u
складываются. При умножении вектора d 1 на любое число  проекция этого
вектора на произвольную ось u также умножается на число  .
2
cos 2  + cos 
2
прu (d 1  d 2 ) = прu d 1 + прu d 2 .
прu ( d 1 ) =  прu d 1
2. Формулы
пространстве.
преобразования
координат
на
плоскости
и
в
x  x0  c11 x  c12 y
y  y0  c21 x  c22 y
(*)
Если система координат
является прямоугольной декартовой, т.е. базисом
 
является тройка 0, i , j то можно

компонентов b (*) (0, i , j )  (0' , i ' , j ' )
рассмотреть
геометрический
смысл
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 52 из 179
0 (х , у )

 0 0
i '  C11i  C21 j




j '  C12 i  C22 j * i ,
(i ' i )  C11i 2  C21 ( j , i )
cos(i ', i )  C11
cos(i ', j )  C21
cos( j , i )  C12
cos( j , j )  C22
Если системы координат имеют одинаковую ориентацию, тогда первая
система координат может быть совмещена со второй посредством
параллельного переноса вдоль вектора 00 и последующего поворота в
плоскости вокруг начала на угол  .
j
c22  cos 
a21  sin  ,
a12   sin 
М
i
j
c11  cos 
i
j

O
i
i
 
( j p , j')   
a11  cos 

a21  cos(   )  sin 
2
j
j
a22   cos 
a12  sin 
Будем рассматривать только правые системы координат, тогда
x  x0  x 'cos   y 'sin 
y  y0  x 'sin   y 'cos 
Если   0,
Если x0  y0  0,
то
 x  x0  x'

 y  y0  y'
то
 x  x 'cos   y 'sin 

 y  y 'sin   y 'cos 
В трёхмерном пространстве базис можно задать с помощью тройки
некомпланарных векторов.
  
(0, е1 , е2 , е3 ) 
аффинная система координат
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 53 из 179
(0, i , j , k )  (0', i ', j ', k ')
0'( x0 , y0 , z0 )
00'  x0i  y0 j  z0
i '(C11 , C21 , C31 )
j '(C12 , С22 , С32 )
k '(C13 , C23 , C33 )
OM  OO ' OM
xi  yj  zk  x0i  y0 j  z0 k  x '(C11i  C21 j  C31k )  y '(C12i  C22 j  C32k )  z '(C13i  C23 j  C33k )
 x  x0  C11 x ' C12 y ' C13 z '

 y  y0  C21 x ' C22 y ' C23 z '
 z  z  C x ' C y ' C z '
0
31
32
33

3. Полярные координаты.
Аффинная система координат дает удобный, но не единственный способ
определять положения точек плоскости при помощи чисел. Если указано
правило, по которому положения точек плоскости можно определить с
помощью упорядоченных пар вещественных чисел, то говорят, что на
плоскости задана система координат.

0, i Пара, состоящая из точки О и вектора
М координат и обозначается так:
системой

О

i,
называются полярной


0, i или ( 0, i )
Р
О –полюс, ОР- полярная ось
  (i , OM )
  OM
M ( , )
   0;   
  полярный радиус,   полярный угол.
Иногда бывает целесообразно считать, что полярный угол точки
М (  ;  ) равен также   2 если  <0
  2 если  >0. В этом случае полярный угол каждой точки, отличной от
полюса, имеет два значения и изменяется от [0;  2 ]
Присоединяем
к полярной
системе координат
ориентированную прямоугольную систему координат 0i j

0i
положительно
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
у
M(  ;  )
М
M(x;y)
j
О
 x y
2
2
стр. 54 из 179
x   cos 
i
cos  
р
y   sin 
х
x
x y
2
2
sin  
y
x  y2
2
 0
Обобщенные полярные координаты.
(  ;  ) – упорядоченная пара.
      , то этой парой определяется точка с
Если   0 и
полярными координатами, указанными в предыдущем пункте.
Если   0 и    или    , то выразим  в виде    0  2 , R  Z
   0   .
Будем считать, что парой (  ;  ) определяется точка М(  ;  0 ).
Если   0 , то будем считать, что парой (  ;  ) определяется точка М,


симметричная точке М  ( ;  ) относительно точки О. Точка М (-1; 4 )
М
М
Такие координаты точки называются обобщенными полярными
координатами. В обобщенной системе координат две пары чисел (  ;  ) и (   ;
   ) определяют одну и ту же точку плоскости.
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 55 из 179
ЛЕКЦИЯ 9-10: ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ
Уравнение линии на плоскости.
Как известно, любая точка на плоскости определяется двумя
координатами в какой- либо системе координат. Системы координат могут
быть различными в зависимости от выбора базиса и начала координат.
Определение. Уравнением линии называется соотношение y = f(x)
между координатами точек, составляющих эту линию.
Отметим, что уравнение линии может быть выражено параметрическим
способом, то есть каждая координата каждой точки выражается через
некоторый независимый параметр t.
Характерный пример – траектория движущейся точки. В этом случае роль
параметра играет время.
Уравнение прямой на плоскости.
Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана
уравнением первого порядка Ах + Ву + С = 0, причем постоянные А, В не
равны нулю одновременно, т.е. А2 + В2  0. Это уравнение первого порядка
называют общим уравнением прямой.
В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие
частные случаи:
- C = 0, А  0, В  0 – прямая проходит через начало координат
- А = 0, В  0, С  0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох
- В = 0, А  0, С  0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу
- В = С = 0, А  0 – прямая совпадает с осью Оу
- А = С = 0, В  0 – прямая совпадает с осью Ох
Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в
зависимости от каких – либо заданных начальных условий.
Уравнение прямой по точке и вектору нормали.
Определение. В декартовой прямоугольной системе координат вектор с
компонентами (А, В) перпендикулярен прямой , заданной уравнением Ах + Ву
+ С=0.
Пример. Найти уравнение
прямой, проходящей через точку А(1, 2)

n
перпендикулярно вектору (3, -1).
Составим при А = 3 и В = -1 уравнение прямой: 3х – у + С = 0. Для
нахождения коэффициента С подставим в полученное выражение координаты
заданной точки А.
Получаем: 3 – 2 + C = 0, следовательно С = -1.
Итого: искомое уравнение: 3х – у – 1 = 0.
Уравнение прямой, проходящей через две точки.
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 56 из 179
Пусть в пространстве заданы две точки M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2), тогда
уравнение прямой, проходящей через эти точки:
x  x1
y  y1
z  z1


x2  x1 y 2  y1 z 2  z1
Если какой- либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю
соответствующий числитель.
На плоскости записанное выше уравнение прямой упрощается:
y  y1 
y 2  y1
( x  x1 )
x2  x1
если х1  х2 и х = х1, еслих1 = х2.
y 2  y1
Дробь x2  x1 = k называется угловым коэффициентом прямой.
Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точки А(1,2) и В(3,4).
Применяя записанную выше формулу, получаем:
42
( x  1)
3 1
y  2  x 1
y2
x  y 1  0
Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту.
Если общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0 привести к виду:
y

A
C
 k ;   b; т.е.
B
B
A
C
x
B
B
y  kx  b
и обозначить
, то полученное
называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k.
уравнение
Уравнение прямой по точке и направляющему вектору.
По аналогии с пунктом, рассматривающим уравнение прямой через
вектор нормали можно ввести задание прямой через точку и направляющий
вектор прямой.

Определение. Каждый ненулевой вектор а (1, 2), компоненты которого
удовлетворяют условию А1 + В2 = 0 называется направляющим вектором
прямой Ах + Ву + С = 0.

Пример. Найти уравнение прямой с направляющим вектором а (1, -1) и
проходящей через точку А(1, 2).
Уравнение искомой прямой будем искать в виде: Ax + By + C = 0. В
соответствии с определением, коэффициенты должны удовлетворять условиям:
A + (-1)B = 0, т.е. А = В.
Тогда уравнение прямой имеет вид: Ax + Ay + C = 0, или x + y + C/A = 0.
При х = 1, у = 2 получаем С/A = -3, т.е. искомое уравнение: х + у - 3 = 0
Уравнение прямой в отрезках.
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 57 из 179
Если в общем уравнении прямой Ах + Ву + С = 0 С  0, то, разделив на –
А
В
x y
C
C
х  у 1
 1
a ; b
С
A
B
С, получим: С
или a b , где

Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а
является координатой точки пересечения прямой с осью Ох, а b – координатой
точки пересечения прямой с осью Оу.
Пример. Задано общее уравнение прямой х – у + 1 = 0. Найти уравнение
этой прямой в отрезках.

х у
 1
1 1
,
С = 1,
а = -1, b = 1.
Нормальное уравнение прямой.
Если обе части уравнения Ах + Ву + С = 0 разделить на число

1
A2  B 2 ,
которое называется нормирующем множителем, то получим
xcos + ysin - p = 0
– нормальное уравнение прямой.
Знак  нормирующего множителя надо выбирать так, чтобы С < 0. р –
длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а  - угол,
образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.
Пример. Дано общее уравнение прямой 12х – 5у – 65 = 0. Требуется
написать различные типы уравнений этой прямой.
Уравнение этой прямой в отрезках:
12
5
х
у 1
65
65
х
y

1
(65 / 12) (13)
Уравнение этой прямой с угловым коэффициентом: (делим на 5)
y
12
65 12
x

x  13.
5
5
5
Нормальное уравнение прямой:

1
12 2  (5) 2

1
13
12
5
х у 5  0
13
13
;
cos = 12/13; sin = -5/13; p = 5.
Cледует отметить, что не каждую прямую можно представить
уравнением в отрезках, например, прямые, параллельные осям или проходящие
через начало координат.
Пример. Прямая отсекает на координатных осях равные положительные
отрезки. Составить уравнение прямой, если площадь треугольника,
образованного этими отрезками равна 8 см2.
Уравнение прямой имеет вид:
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 58 из 179
x y
 1
a b
,
a = b = 1; ab/2 = 8;
a = -4 не подходит по условию задачи.
a = 4; -4.
x y
 1
Итого: 4 4
или х + у – 4 = 0.
Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(-2, -3) и
начало координат.
Уравнение прямой имеет вид:
x  x1
y  y1

x2  x1 y 2  y1 ,
где х1 = у1 = 0; x2 = -2; y2 = -3.
x0
y0

;
20 30
x
y

;
2 3
3x  2 y  0.
Угол между прямыми на плоскости.
Определение. Если заданы две прямые y = k1x + b1, y = k2x + b2, то
острый угол между этими прямыми будет определяться как
tg 
k 2  k1
1  k1k 2
.
Две прямые параллельны, если k1 = k2.
Две прямые перпендикулярны, если k1 = -1/k2.
Теорема. Прямые Ах + Ву + С = 0 и А1х + В1у + С1 = 0 параллельны,
когда пропорциональны коэффициенты А1 = А, В1 = В. Если еще и С1 = С,
то прямые совпадают.
Координаты точки пересечения двух прямых находятся как решение
системы уравнений этих прямых.
Уравнение
прямой,
проходящей
через
данную
перпендикулярно данной прямой.
Определение. Прямая, проходящая через точку М1(х1,
перпендикулярная к прямой у = kx + b представляется уравнением:
точку
у1)
и
1
y  y1   ( x  x1 )
k
Расстояние от точки до прямой.
Теорема. Если задана точка М(х0, у0), то расстояние до прямой Ах + Ву
+ С =0 определяется как
d
Ax0  By 0  C
A2  B 2
.
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 59 из 179
Доказательство. Пусть точка М1(х1, у1) – основание перпендикуляра,
опущенного из точки М на заданную прямую. Тогда расстояние между точками
М и М1:
d  ( x1  x0 ) 2  ( y1  y0 ) 2
(1)
Координаты x1 и у1 могут быть найдены как решение системы уравнений:
 Ax  By  С  0

 A( y  y 0 )  B( x  x0 )  0
Второе уравнение системы – это уравнение прямой, проходящей через
заданную точку М0 перпендикулярно заданной прямой.
Если преобразовать первое уравнение системы к виду:
A(x – x0) + B(y – y0) + Ax0 + By0 + C = 0,
то, решая, получим:
A
( Ax0  By 0  C ),
A  B2
B
y  y0   2
( Ax0  By 0  C )
A  B2
x  x0  
2
Подставляя эти выражения в уравнение (1), находим:
d
Ax0  By 0  C
A2  B 2
.
Теорема доказана.
Пример. Определить угол между прямыми: y = -3x + 7; y = 2x + 1.
2  (3)
1
1

(

3
)
2
tg =
;  = /4.
k1 = -3; k2 = 2
Пример. Показать, что прямые 3х – 5у + 7 = 0 и 10х + 6у – 3 = 0
перпендикулярны.
Находим: k1 = 3/5, k2 = -5/3, k1k2 = -1, следовательно, прямые
перпендикулярны.
Пример. Даны вершины треугольника А(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Найти
уравнение высоты, проведенной из вершины С.
Находим уравнение стороны АВ:
x  0 y 1

;
6  0 5 1
x y 1

6
4 ;
y
2
x  1.
3
4x = 6y – 6; 2x – 3y + 3 = 0;
Искомое уравнение высоты имеет вид: Ax + By + C = 0 или y = kx + b.
3
3
 xb
k = 2 . Тогда y = 2
. Т.к. высота проходит через точку С, то ее
3
 1   12  b,
2
координаты удовлетворяют данному уравнению:
откуда b = 17.
3
y   x  17
2
Итого:
. Ответ: 3x + 2y – 34

УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 60 из 179
ЛЕКЦИЯ 11-15: КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА
1. Каноническое уравнение эллипса, его свойства.
Определение. Эллипсом называется кривая, заданная уравнением
x2 y2

1
a2 b2
.
Определение. Фокусами называются такие две точки, сумма расстояний
от которых до любой точки эллипса есть постоянная величина.
у
М
r1
r2
F1
O
F2
х
F1, F2 – фокусы. F1 = (c; 0); F2(-c; 0)
с – половина расстояния между фокусами;
a – большая полуось;
b – малая полуось.
Теорема.
соотношением:
Фокусное
Доказательство:
расстояние
и
полуоси
эллипса
связаны
a2 = b2 + c2.
В случае, если точка М находится на пересечении
эллипса с вертикальной осью, r1 + r2 = 2 b  c (по теореме Пифагора). В
случае, если точка М находится на пересечении эллипса с горизонтальной
осью, r1 + r2 = a – c + a + c. Т.к. по определению сумма r1 + r2 – постоянная
величина, то , приравнивая, получаем:
a2 = b2 + c2
r1 + r2 = 2a.
Определение. Форма эллипса определяется характеристикой, которая
является отношением фокусного расстояния к большей оси и называется
эксцентриситетом.
е = с/a.
Т.к. с < a, то е < 1.
Определение. Величина k = b/a называется коэффициентом сжатия
эллипса, а величина 1 – k = (a – b)/a называется сжатием эллипса.
Коэффициент сжатия и эксцентриситет связаны соотношением:
k2 = 1 – e2.
2
2
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 61 из 179
Если a = b (c = 0, e = 0, фокусы сливаются), то эллипс превращается в
окружность.
Как зависит форма эллипса от эксцентриситета:
b 2  a 2  c 2  a 2   2 a 2  a 2 (1   2 )
с  а
b
 1  2
a
,
т.е., чем больше  и чем больше стремится к 1, тем меньше b, стремящемся к
нулю при постоянном а . С увеличением эксцентриситета увеличивается
«ширина» эллипса.
Если для точки М(х1, у1) выполняется условие:
x12 y12

1
a2 b2
, то она
x12 y12
 2 1
2
находится внутри эллипса, а если a b
, то точка находится вне эллипса.
Теорема. Для произвольной точки М(х, у), принадлежащей эллипсу верны
соотношения:
r1 = a – ex, r2 = a + ex.
Доказательство. Выше было показано, что r1 + r2 = 2a. Кроме того, из
геометрических соображений можно записать:
r1  ( x  c) 2  y 2
r2  ( x  c) 2  y 2
( x  c ) 2  y 2  ( x  c ) 2  y 2  2a
После возведения в квадрат и приведения подобных слагаемых:
( x  c ) 2  y 2  4a 2  4a ( x  c ) 2  y 2  ( x  c ) 2  y 2
4cx  4a 2  4a ( x  c) 2  y 2
c
( x  c) 2  y  a  x  a  ex.
a
Аналогично доказывается, что r2 = a + ex. Теорема доказана.
С эллипсом связаны две прямые, называемые директрисами. Их
уравнения:
x = a/e; x = -a/e.
Теорема. Для того, чтобы точка лежала на эллипсе, необходимо и
достаточно, чтобы отношение расстояния до фокуса к расстоянию до
соответствующей директрисы равнялось эксцентриситету е.
Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через левый фокус и
нижнюю вершину эллипса, заданного уравнением:
x2 y2

 1.
25 16
1) Координаты нижней вершины: x = 0; y2 = 16; y = -4.
2) Координаты левого фокуса: c2 = a2 – b2 = 25 – 16 = 9; c = 3; F2(-3; 0).
3) Уравнение прямой, проходящей через две точки:
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
x0
y4

;
30 0 4
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
x
y4

;
3
4
стр. 62 из 179
4 x  3 y  12;
4 x  3 y  12  0
Пример. Составить уравнение эллипса, если его фокусы F1(0; 0), F2(1; 1),
большая ось равна 2.
Уравнение эллипса имеет вид:
x2 y2

1
a2 b2
.
Расстояние между фокусами:
2
2
2c = (1  0)  (1  0)  2 ,
таким образом, a2 – b2 = c2 = ½
2
2
по условию 2а = 2, следовательно а = 1, b = a  c  1  1/ 2  2 / 2.
x2
y2

1
2
Итого: 1 1 / 2 .
Частным случаем эллипса является окружность. В окружности (x – a)2 +
(y – b)2 = R2 центр имеет координаты (a; b).
Пример. Найти координаты центра и радиус окружности, если ее
уравнение задано в виде:
2x2 + 2y2 – 8x + 5y – 4 = 0.
Для нахождения координат центра и радиуса окружности данное
уравнение необходимо привести к виду, указанному выше в п.9. Для этого
выделим полные квадраты:
x2 + y2 – 4x + 2,5y – 2 = 0
x2 – 4x + 4 –4 + y2 + 2,5y + 25/16 – 25/16 – 2 = 0
(x – 2)2 + (y + 5/4)2 – 25/16 – 6 = 0
(x – 2)2 + (y + 5/4)2 = 121/16
Отсюда находим О(2; -5/4); R = 11/4.
Построение эллипса. Параметрические уравнения эллипса.
у
М
М
1
М(х;у)
2
х
 x  a cos t

 y  b sin t
x2 y2

1
a2 b2
M 1 (a cos t ; a sin t )
M 2 (b cos t ; b sin t )
M (a cos t ; b sin t )
Точка М ( х; у ) принадлежит эллипсу.
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 63 из 179
2. Каноническое уравнение гиперболы, ее свойства.
Определение. Гиперболой называется множество точек плоскости, для
которых модуль разности расстояний от двух данных точек F1,F2, называемых
фокусами есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами, и
равная длине данного отрезка PQ, причем PQ<F1F2.
M(x, y)
b
r1
r2
x
F1
a
F2
c
F1F2 - фокальное расстояние.
F1,F2>PQ>0
F1,F2 – различные точки.
Если точка М(х,у) принадлежит гиперболе, то F1М, F2М – фокальные
радиусы точки М
Выведем уравнение гиперболы в прямоугольной системе координат

0i j
По определению r1 – r2= 2a. F1, F2 – фокусы гиперболы. F1F2 = 2c.
Выберем на гиперболе произвольную точку М(х, у). Тогда:
r1  ( x  c) 2  y 2
r2  ( x  c) 2  y 2
( x  c ) 2  y 2  ( x  c ) 2  y 2  2a
( x  c ) 2  y 2  4a 2  4a ( x  c ) 2  y 2  ( x  c ) 2  y 2
4a ( x  c) 2  y 2  4a 2  4 xc
a 2 ( x  c) 2  a 2 y 2  a 4  2a 2 xc  x 2 c 2
a 2 x 2  2a 2 xc  a 2 c 2  a 2 y 2  a 4  2a 2 xc  x 2 c 2
a 2 x 2  a 2c 2  a 2 y 2  a 4  x 2c 2  0
 x 2 (c 2  a 2 )  a 2 (c 2  a 2 )  a 2 y 2  0
x 2 (c 2  a 2 )  a 2 y 2  a 2 (c 2  a 2 )
обозначим с2 – а2 = b2 (геометрически эта величина – меньшая полуось)
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 64 из 179
a 2b 2  b 2 x 2  a 2 y 2
x2 y2

1
a2 b2
(*)
Получили каноническое уравнение гиперболы.
Покажем обратное. Пусть М(х,у) удовлетворяет (*), тогда
y2 x2

1
b2 a2
x2  a2
y2  b2
a2
b2 (x 2  a 2 )
F1 M  ( x  c) 2 

a2
a 2 x 2  2a 2 cx  a 2 c 2  x 2 b 2  a 2 b 2

a2

a 2 x 2  2a 2 cx  a 2 c 2  x 2 c 2  a 2 x 2  a 2 c 2

a2

a 4  2a 2 cx  x 2 c 2

a2
a 2 (a 2  2cx  c 2 )

a2
(a 2  cx) 2
c
c
c
 (a  x) 2  a  x  x  a
2
a
a
a
a
c
F2 M  a  x
a
c
1
x a
a
xa
x0
c
xa
a
c
xa0
a
с
xa
a
с
F1 M   x  a
a
F1 M  F2 M  2a
F1 M 
с
xa
a
с
F2 M   x  a
a
F2 M 
x0
x0
, т.е. М принадлежит гиперболе.
с
 a x  a,
xa
с
F1 M  x  a  
a
 c x  a ,
 a
x  a
с
 a x  a, x  a
с
F2 M  x  a  
a
 c x  a ,
 a
x  a
Гипербола симметрична относительно середины отрезка, соединяющего
фокусы и относительно осей координат.
Ось 2а называется действительной осью гиперболы.
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 65 из 179
Ось 2b называется мнимой осью гиперболы.
2
x
y2

1
a2 b2
- каноническое уравнение гиперболы. a и b - действительные и
мнимые полуоси гиперболы.
y  kx
x2
y  ( 2  1)b 2
a
b2
y 2  2 (x 2  a 2 )
a
b
y
x2  a2
a
2
x
k 2 x2
 2 1
2 2
a2
b
/ a b
2
b 2 x 2  a 2 k 2 x 2  a 2b 2
x 2 (b 2  a 2 k 2 )  a 2 b 2
x
ab
b2  a2k 2
b2  a2k 2  0
Две точки:


ab
kab

M 1 
;
2
2 2
2
2 2 
b k a 
 b k a


ab
kab

M 2  
;
2
2 2
2
2 2 
b k a
b k a 

2
2 2
b k a 0
b2  k 2a2  0
k 2a2  b2
b2
b
k2  2 k 
a
a
b
b
b
b
 k
  tg 
a
a
a
a
2
2 2
b k a 0
b
b
k
y   x.
a
a
y
b
x.
a
Т.е. гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых
Пусть M ( x, y1 ) принадлежит гиперболе, а N ( x, y2 ) принадлежит прямой
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
y
стр. 66 из 179
b
x.
a
b
b 2
b
b( x 2  ( x 2  a 2 ))
ba
x
x  a 2  (x  x 2  a 2 ) 

a
a
a
a( x  x 2  a 2 ) x  x 2  a 2
Если x   , то MN  0 .
c
e  1
a
Определение. Отношение
называется
эксцентриситетом
MN  y 2  y1 
гиперболы, где с – половина расстояния между фокусами, а – действительная
полуось.
С учетом того, что с2 – а2 = b2:
c2 a2  b2 b2
e  2 
 2
a
a2
a
b
 e2 1
a
2
2
b
c  a2 c2

 2 1   2 1
2
2
a
a
a
2
b
  2 1
a
tg   2  1 .
Чем меньше  , том больше  , т.е. тем больше гипербола вытянута вдоль
оси ОУ.
2 , то гипербола называется равнобочной
Если а = b, e =
(равносторонней).
x2  y2  a2
2 2
 2
ab
y   x - асимптоты если их принять за оси, то xy  m , откуда
m
y
m
x , где
a2
2 .
Определение. Две прямые, перпендикулярные действительной оси
гиперболы и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии
a/e от него, называются директрисами гиперболы. Их уравнения:
x
a
e.
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 67 из 179
Теорема. Если r – расстояние от произвольной точки М гиперболы до
какого- либо фокуса, d – расстояние от той же точки до соответствующей
этому фокусу директрисы, то отношение r/d – величина постоянная, равная
эксцентриситету.
Доказательство. Изобразим схематично гиперболу.
a/e
у
d
M(x, y)
r1
0
a
F1
x
OF1 = c
Из очевидных геометрических соотношений можно записать:
a/e + d = x, следовательно d = x – a/e.
(x – c)2 + y2 = r2
Из канонического уравнения:
y2 
x 2b 2
 b2
a2
, с учетом b2 = c2 – a2:
r 2  x 2  2 xc  c 2 
x 2b 2
 b2 
2
a
c2 x2
c

 x  2 xc  c  2  x 2  c 2  a 2   x  a 
a
a

c
r  xa
a
2
2
Тогда т.к. с/a = e, то r = ex – a.
Итого:
r ex  a

e
a
d
x
e
.
2
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 68 из 179
Для левой ветви гиперболы доказательство аналогично. Теорема
доказана.
Пример. Найти уравнение гиперболы, вершины и фокусы которой
x2 y2

1
находятся в соответствующих вершинах и фокусах эллипса 8 5
.
Для эллипса: c2 = a2 – b2.
Для гиперболы: c2 = a2 + b2.
3
5
3
8
x2 y2

1
Уравнение гиперболы: 3 5
.
8
Пример. Составить уравнение гиперболы, если ее эксцентриситет равен 2,
x2 y2

 1.
а фокусы совпадают с фокусами эллипса с уравнением 25 9
Находим фокусное расстояние c2 = 25 – 9 = 16.
Для гиперболы:
c2 = a2 + b2 = 16,
e = c/a = 2;
c = 2a;
2
b = 16 – 4 = 12.
c2 = 4a2;
a2 = 4;
x2 y2

1
Итого: 4 12
- искомое уравнение гиперболы.
3. Каноническое уравнение параболы, ее свойства.
Определение. Параболой называется множество точек плоскости,
каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки F,
называемой фокусом, и от данной прямой d, называемой директрисой и не
проходящей через фокус F.
Расположим начало координат посередине между фокусом и
директрисой.
у
А
М(х, у)
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
О
p/2
стр. 69 из 179
F
x
p/2
Величина р (расстояние от фокуса до директрисы) называется
параметром параболы. Выведем каноническое уравнение параболы.
Из геометрических соотношений: AM = MF; AM = x + p/2;
MF2 = y2 + (x – p/2)2
(x + p/2)2 = y2 + (x – p/2)2
x2 +xp + p2/4 = y2 + x2 – xp + p2/4
y2 = 2px
Уравнение директрисы: x = -p/2.
Пусть M ( x, y ) .
(*)
p
F ( ;0)
y2 = 2px, 2
2
p
p2
p
p


MF   x 2    2 px  x 2  px 
  x    x    (M , d )
2
4
2
2


,
т.е. М принадлежит параболе.
Уравнение (*) y2 = 2px – каноническое уравнение параболы.
О(0;0) принадлежит параболе, О – центр параболы. x  0 .
Если M ( x, y ) принадлежит параболе, то M ( x, y ) также принадлежит
параболе, т.е. ось ОХ – ось симметрии параболы.
k 2 x 2  2 px  0
y  kx
x1  0
2p
x 2  2 x(k 2 x  2 p)  0
2
y  2 px
k
Прямая y  kx имеет с параболой две общие точки:
 2p 2p 
M 2 ;

k  и О(0;0).
k
Если x   , то y   .
Чем больше фокальный параметр р, тем больше парабола «вытянута»
вдоль оси ОУ.
Пример. На параболе у2 = 8х найти точку, расстояние которой от
директрисы равно 4.
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 70 из 179
Из уравнения параболы получаем, что р = 4.
r = x + p/2 = 4; следовательно:
x = 2; y2 = 16; y = 4. Искомые точки: M1(2; 4), M2(2; -4).
4. Фокусы и директрисы линий второго порядка.
Определение. Директрисой эллипса (или гиперболы), соответствующей
данному фокусу, называется прямая, параллельная второй оси, отстоящая от
a
неё на расстояние  и лежащая с данным фокусом по одну сторону от второй
оси эллипса (гиперболы).
d1 , d 2 - директрисы, соответствующие фокусам F (с;0) и F (-с;0).
1
2
Уравнения d1 :
d2 :
a
x
x

a

0
0
A1 (a;0)
d1  OX  D1
A2 (a;0)
d 2  OX  D2
Для эллипса
Так как   1
x2 y2

1
a2 b2
,
 (0; D1 )   (0; D2 ) 
а
a

то
А1 лежит между точками 0 и D1
А2 лежит между точками 0 и D2
Для гиперболы
x2 y2

1
a2 b2
Так как   1 ,
 (0; D1 )   (0; D2 ) 
а
a

то
D1 лежит между точками 0 и A1
D2 лежит между точками 0 и A2

с
а
Если (при данном а ) эксцентриситет
эллипса (гиперболы)
уменьшается, то директриса эллипса (гиперболы) всё дальше располагаются от
второй оси.
Окружность не имеет директрисы.
Теорема: Эллипс (гипербола) есть геометрическое место точек плоскости
таких, что отношение расстояния от каждой точки М  
до фокуса к
расстоянию от неё до соответствующей директрисы равно эксцентриситету  .
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 71 из 179
x2 y2
x2 y2


1
 2 1
2
a2 b2
Обозначаем эллипс
(  1 ), а гиперболу a b
( 2 )
I.
Пусть M ( x, y)   1 или M ( x, y)   2
 (M , F1 )  a  x
 (M , F2 )  a  x
 ( M , d1 )  x 
 (M , d 2 )  x 
a

a

 ( M , F1 )  ( M , F2 )



(
M
,
d
)

(
M
,
d
)
1
2
отсюда имеем
;
М


Следовательно,
 ( M , F1 )
 (M , F2 )


 (M , d 2 )
II. Пусть М   , т.е.  (M , d1 )
( x  c) 2  y 2

a
x

( x  c) 2  y 2
a

x  


2
( x  c) 2  y 2
x  a 2
или
( x  c) 2  y 2

a
x

( x  c) 2  y 2
2
или
a

x  


2
( x  c) 2  y 2
1
или
x  a 2
2
2
1
2
c

c

( x  c) 2  y 2   x  a 
( x  c) 2  y 2   x  a 
a
 или
a

2
2
c
c
x 2  2 xc  c 2  y 2  2 x 2  2cx  a 2
x 2  2 xc  c 2  y 2  2 x 2  2cx  a 2
a
a
или
a2  c2 2
x  y2  a2  c2
a2
b2 2
x  y 2  b2
2
a
2
2
x
y
 2 1
2
a
b
, т.е. M ( x, y)   1 , если   1
2
2
2
Если   1 , то b  c  a

b2 2
x  y 2  b 2
2
a
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 72 из 179
x2 y2

1
a2 b2
, т.е M ( x, y)   2 .
 (M , F )
1
Если  3 - парабола и M ( x, y)   3 , то  (M , d )
Число  =1 назовем эксцентриситетом параболы.
F1(с;0) – правый фокус  1 ( 2 )
F2(-с;0). – левый фокус  1 ( 2 ) .
Прямая проходящая через фокус F1 перпендикулярно фокальной оси,
b2
b2
M 1 ( с, ) M 2 ( с ,  )
a ,
a
пересечет эллипс  1 (гиперболу  2 ) в точках
xc
 c2 
y 2  b 2 1  2 
 a 
2
2
2
4
b (a  c ) b
y2 
 2
a2
a
c2 y2

1
a2 b2
Число
(гиперболы).
P
1
b2
 (M 1 , M 2 ) 
2
a
называется фокальным параметром эллипса
5. Общее понятие кривых второго порядка.


В репере R  0; e1 , e2 общее уравнение линии второго порядка имеет вид:
F ( x; y )  a11 x 2  2a12 xy  a 22 y 2  2a10 x  2a 20 y  a00  0
,
(1)
причем a11 , a12 , a22 одновременно не равны нулю.
Два уравнения вида (1) определяют одну и ту же линию второго порядка
т. к. одно из них получается из другого умножением на   R ,   0 .
Следовательно, линия второго порядка определяется, если задать
коэффициенты с точностью до числового множителя и указать репер R .
 
Пусть в ортонормированном репере R  0; i, j линия второго порядка


задана уравнением (1) и репер R  0; i , j  - получен из R поворотом плоскости
вокруг точки О на угол  .
Кривая второго порядка может быть задана уравнением
Ах2 + 2Вху + Су2 + 2Dx + 2Ey + F = 0.
Существует
система
координат
(не
обязательно
декартова
прямоугольная), в которой данное уравнение может быть представлено в одном
из видов, приведенных ниже.
x2 y2
 2 1
2
1) a b
- уравнение эллипса.
2
2
x
y
 2  1
2
2) a b
- уравнение “мнимого” эллипса.
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 73 из 179
x2 y2
 2 1
2
3) a b
- уравнение гиперболы.
4)
5)
6)
7)
8)
9)
a2x2 – c2y2 = 0 – уравнение двух пересекающихся прямых.
y2 = 2px – уравнение параболы.
y2 – a2 = 0 – уравнение двух параллельных прямых.
y2 + a2 = 0 – уравнение двух “мнимых” параллельных прямых.
y2 = 0 – пара совпадающих прямых.
(x – a)2 + (y – b)2 = R2 – уравнение окружности.
Общее уравнение линии второго порядка и приведение его к
каноническому виду.
Линия второго порядка в любой аффинной системе координат задается
уравнением
a11 x 2  2a12 xy  a22 y 2  2a10 x  2a20 y  a00  0
(1)
где одновременно a11 , a12, a22  0 .
Два уравнения такого вида определяет одну и ту же линию тогда и только
тогда, когда одно из них получается из другого умножением на вещественное
число   0 .
Значит, линия второго порядка определяется, если задать систему
координат Oi j и все коэффициенты a ij с точностью до числового множителя.
 
Пусть имеем Oi j и (1). Пусть дана Oi j , которая получена из Oi j
поворотом на угол  . Найдем уравнение линии  в репере R  .
x  x cos   y sin 
y  x sin   y cos 
Подставим (2) в (1), тогда получим
a11 ( x cos   y sin  ) 2  2a12 ( x cos   y sin  )( x sin   y cos  ) 
 a22 ( x sin   y cos  )2  2a10 ( x cos   y sin  ) 
2a20 ( x sin   y cos  )  a00  0
(1)
или
 x2  2a12
 xy  a22
 y2  2a10
 x  2a20
 y  a00
 0
a11
где
  a11 cos 2   2a12 cos  sin   a22 sin   0
a11
  a11 cos  sin   a12 cos 2   a12 sin 2   a22 sin  cos   0
a12
  a11 cos   2a12 cos  sin   a22 cos   0
a22
  a10 cos   a20 sin 
a10
2
2
  a10 sin   a20 cos 
a20
  a00
a00
Если a12  0 , то найдем угол  , удовлетворяющий условию a12  0 , т.е.
a11 cos  sin   a12 cos 2   a12 sin 2   a22 sin  cos   0
(3)
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 74 из 179
(a11 cos   a12 sin  )sin   (a12 cos   a22 sin  ) cos   0
a11 cos   a12 sin  a12 cos   a22 sin 
0
cos

sin

т.е.
существует такое   0 , что
a11 cos   a12 sin    cos 

a12 cos   a22 sin    sin 
(4)
или
(a11   ) cos   a12 sin   0

a12 cos   (a22   )sin   0
(a11   ) cos   a12 sin   0

a21 cos   (a22   )sin   0
Отсюда
a11  
a12
a21
a22  
0
(5)
- характеристическое уравнение.
(a11   )(a22   )a12 a21  0
  (a11  a22 )  a11a22  a122  0
2
  a11  a22
Из (3) следует a11  a22
  a22
  a12
 2  a11  a22  a122
a11
Следовательно, корни 1 и  2 уравнения 5 не зависят от выбора репера
R  (O; i; j ) . Уравнение (5) называется характеристическим уравнением линии
второго порядка, его можно записать в виде.
2  I1  I 2  0 , где I1  a11  a22
I 2  a11  a22  a122
Т.к. a12  0 , то
2
D  (a11  a22 ) 2  4(a11a22  a122 )  a112  2a11a22  a22
 4a122 
 (a11  a22 ) 2  4a122  0
И имеем 1  2 .
Из (4) находим:
tg1 
Т.к. 1  2  a11  a22
1  a11
a12
tg 2 
2  a11
a12
1  2  a11a22  a122 , то
1  a11 2  a11 12  a11 (1  2 )  a112
a122


 1
tg1  tg 2 

a12
a12
a12
a12 =
tg( 2  1 ) 
tg 2  tg1
1  tg 2 tg1
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
 2  1 
стр. 75 из 179

4.
Найдем уравнение линии  в репере R  O; i; j  таком, что координаты

i
 cos  1 i  sin  2 j
векторов



j  cos  2 i  sin  1 j
Удовлетворяет условиям (4) при   1 ,   2 , где 1 и  2 - корни
уравнения (5).
Из (3) и (4) следует
  (a11 cos 1  a12 sin 1 ) sin 1  (a12 cos 1  a22 sin 1 ) cos 1 
a12
 1 cos 1 sin 1  1 sin 1 cos 1  0
  (a11 cos 1  a12 sin 1 ) cos 1  (a12 cos 1  a22 sin 1 ) sin 1 
a11
 1 cos 2 1  1 sin 2 1  1
  a11
  1  2 , то a22
  2 .
a22


Уравнение линии  в репере R  O; i; j  имеет вид
 x   2a 20
 y   a00
 0
1 x  2  2 y  2  2a10
Таким образом, для каждой линии второго порядка


(6)
 , заданной
уравнением (1) в репере R  O; i; j  существует ортонормированный репер


R  O; i ; j  в котором  имеет уравнение вида (6), причем, 1 и  2 не равны
нулю одновременно.
Возможны следующие случаи:
a11 x 2  2a12 xy  a22 y 2  2a10 x  2a20 y  a00  0
2
1. 1  0 , 2  0 , I 2  a11  a22  a12  0


 a 
 a 
a
a 2 
a
a 2 
1  x 2  2 10 x  102   2  y  2  2 20 y   202   1  10   2  20   a 00  0
1
2
1 
2 
 2 
 1 


2
2
 
 


a10
a 20
 2 a 20
2
a10
   2  y  
 
1  x  

1 
2 
a00  1
2


2
2
a10
  a00  1
Обозначив a00

2
2
a 20
 2 и совершив преобразование координат по
2
a10
формулам x  X  1
y  Y 

2
a 20
2 ,
 a 20
 
 a10
 

;








R

O
;
i
;
j

1
2

 в виде
O
получим уравнение линии в репере
, где
2
2
  0
1 X  2Y  a00


(7)
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 76 из 179
  0
Если a00
, то уравнение (7) можно записать в виде

  0
Если a00
, то

X

a 00
2
1 +
X
1

2


1
2
Y

a00
1
2
Y
1
(8)
2
0
2
(9)
Итак, если 1 и  2 не равны нулю одновременно, то  является одной из
следующих линий:
№
Каноническое
уравнение
1
2
3
0
4
5
0
x2
a2
x2
a2
x2
a2
x2
a2
x2
a2
y2
b2
y2
 2
b
y2
 2
b
y2
 2
b
y2
 2
b

Название линии
Эллипс
1
Мнимый эллипс
 1
0
 1
0
Точка (пара мнимых
пересекающихся прямых)
Гипербола
Пара
пересекающихся прямых
2. Случай, когда 1  0 , ( 2  0 ), a10  0 .
3.
 x   2a 20
 y   a00
 0
2 y  2  2a10
2

a 
a 2
 2  y   20  
 20  0
2 
 x   a00 2
2a10


a2

a00  20
2

  x 
2a10
2


a 
2a10

 2  y   20  

2 





0



УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 77 из 179
2

a 20
 a 00

 x   X  2

2a10


a
 y   Y  20

2

 a 20

 a 00


 
a 20
  2
;


2a10
2 



Получим уравнение линии  в репере R  O; i; j  , где O 


в виде
Y 2  2
 X 0
2Y  2a10
или
2

a10
2
X
 0
или если 2  0 , a 20
, то уравнение (6) приводится к виду
X 2  2
Итак, если 1  0 , a10  0 или 2  0 ,
параболы.

a20
1
Y
.
 0
a 20
,
то
1  0 , a10  0
 y   a00
 0
2 y  2  2a 20
2

a 
2
a 20
 2  y   20  
0
2 
a00  2

x  X


a 20
 
y  Y  
2 ,


a 
a
 0; 20 
Y 2  00  0
2  (6) в виде
2
O 

a00
0
2
2

2
И если
,  a 0
  a  а  а  0
(6)
есть
уравнение
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 78 из 179
ЛЕКЦИЯ 16-20: ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
1. Общее уравнение плоскости.
Определение. Плоскостью называется поверхность, все точки которой
удовлетворяют общему уравнению:
Ax + By + Cz + D = 0,

 
N

A
i

B
j

C
k
где А, В, С – координаты вектора
-вектор нормали к плоскости.
Возможны следующие частные случаи:
А = 0 – плоскость параллельна оси Ох
В = 0 – плоскость параллельна оси Оу
С = 0 – плоскость параллельна оси Оz
D = 0 – плоскость проходит через начало координат
А = В = 0 – плоскость параллельна плоскости хОу
А = С = 0 – плоскость параллельна плоскости хОz
В = С = 0 – плоскость параллельна плоскости yOz
А = D = 0 – плоскость проходит через ось Ох
В = D = 0 – плоскость проходит через ось Оу
С = D = 0 – плоскость проходит через ось Oz
А = В = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью хОу
А = С = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью xOz
В = С = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью yOz
Уравнение плоскости, проходящей через три точки.
Для того, чтобы через три какие- либо точки пространства можно было
провести единственную плоскость, необходимо, чтобы эти точки не лежали на
одной прямой.
Рассмотрим точки М1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3) в общей
декартовой системе координат.
Для того, чтобы произвольная точка М(x, y, z) лежала в одной плоскости
с точками М1, М2, М3 необходимо, чтобы векторы M 1 M 2 , M 1 M 3 , M 1 M были
компланарны.
( M 1M 2 , M 1M 3 , M 1M ) = 0
M 1 M  {x  x1 ; y  y1 ; z  z1 }
M 1 M 2  {x 2  x1 ; y 2  y1 ; z 2  z1 }
M 1 M 3  {x3  x1 ; y 3  y1 ; z 3  z1 }
Таким образом,
Уравнение плоскости, проходящей через три точки
x  x1
y  y1
z  z1
x2  x1
y 2  y1
z 2  z1  0
x3  x1
y3  y1
z 3  z1
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 79 из 179
Уравнение плоскости по двум точкам и вектору, коллинеарному
плоскости.

a
Пусть заданы точки М1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2) и вектор  (a1 , a2 , a3 ) .
Составим уравнение плоскости, проходящей через
данные точки М1 и М2

a
и произвольную точку М(х, у, z) параллельно вектору .
M 1 M  {x  x1 ; y  y1 ; z  z1 }

Векторы M 1 M 2  {x2  x1 ; y 2  y1 ; z 2  z1} и вектор a  (a1 , a2 , a3 ) должны быть
компланарны, т.е.

( M1M , M1M 2 , a ) = 0
Уравнение плоскости:
Уравнение плоскости
коллинеарным плоскости.
x  x1
y  y1
z  z1
x2  x1
y 2  y1
z 2  z1  0
a1
a2
по
a3
одной
точке

a  (a1 , a 2 , a3 )
и
двум
векторам,

b
и  (b1 , b2 , b3 ) , коллинеарные
Пусть заданы два вектора
плоскости. Тогда для произвольной точки М(х, у, z), принадлежащей
 
a
плоскости, векторы , b , MM 1 должны быть компланарны.
Уравнение плоскости:
x  x1
y  y1
z  z1
a1
a2
a3
b1
b2
b3
0
Уравнение плоскости по точке и вектору нормали.
Теорема. Если в пространстве задана точка М0(х0, у0, z0), то уравнение
плоскости, проходящей через точку М0 перпендикулярно вектору нормали N (A,
B, C) имеет вид:
A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0.
Доказательство. Для произвольной точки М(х, у, z), принадлежащей
плоскости, составим вектор M 0 M  ( x  x0 , y  y0 , z  z 0 ) . Т.к. вектор N - вектор
нормали, то он перпендикулярен плоскости, а, следовательно, перпендикулярен
и вектору M 0 M . Тогда скалярное произведение
M 0M N
 =0
Таким образом, получаем уравнение плоскости
A( x  x0 )  B( y  y0 )  C ( z  z 0 )  0
Теорема доказана.
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 80 из 179
Уравнение плоскости в отрезках.
Если в общем уравнении Ах + Ву + Сz + D = 0 поделить обе части на (-D)

заменив

A
B
C
x  y  z 1  0
D
D
D
,
D
D
D
 a,   b,   c
A
B
C
, получим уравнение плоскости в отрезках:
x y z
  1
a b c
Числа a, b, c являются точками пересечения плоскости соответственно с
осями х, у, z.
Уравнение плоскости в векторной
форме.
 
r  n  p,

 

где r  xi  yj  zk - радиус- вектор текущей точки М(х, у, z),

 
n  i cos   j cos   k cos 
- единичный вектор, имеющий направление,
перпендикуляра, опущенного на плоскость из начала координат, ,  и  - углы,
образованные этим вектором с осями х, у, z; p – длина этого перпендикуляра.
В координатах это уравнение имеет вид:
xcos + ycos + zcos - p = 0.
Расстояние от точки до плоскости.
Расстояние от произвольной точки М0(х0, у0, z0)
до плоскости
Ах+Ву+Сz+D=0 равно:
d
Ax0  By 0  Cz0  D
A2  B 2  C 2
Пример. Найти уравнение плоскости, зная, что точка Р(4; -3; 12) –
основание перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость.
OP  (4;3;12);
OP  16  9  144  169  13
4
3 12
N  ( ; ; )
13 13 13
Таким образом, A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, воспользуемся формулой:
A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0.
4
3
12
( x  4)  ( y  3)  ( z  12)  0
13
13
13
4
16 3
9 12
144
x  y  z
0
13
13 13
13 13
13
4
3
12
169
x y z
0
13
13
13
13
4 x  3 y  12 z  169  0.
Пример.
Найти уравнение плоскости, проходящей через две точки
P(2; 0; -1) и Q(1; -1; 3) перпендикулярно плоскости 3х + 2у – z + 5 = 0.
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 81 из 179
Вектор нормали к плоскости 3х + 2у – z + 5 = 0 N  (3;2;1) параллелен
искомой плоскости.
Получаем:
x2
1 2
y0
z 1
1 0 3 1  0
3
1
2
x2
y
z 1
1
1
4
3
2
1
0
( x  2)(1  8)  y (1  12)  ( z  1)( 2  3)  0
 7( x  2)  11 y  ( z  1)  0
 7 x  14  11 y  z  1  0
 7 x  11 y  z  15  0
Пример. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки А(2, -1, 4)
и В(3, 2, -1) перпендикулярно плоскости х + у + 2z – 3 = 0.
Искомое уравнение плоскости имеет вид: Ax + By + Cz + D = 0, вектор
нормали к этой плоскости n1 (A, B, C). Вектор AB (1, 3, -5) принадлежит
плоскости. Заданная нам плоскость, перпендикулярная искомой имеет вектор
нормали n2 (1, 1, 2). Т.к. точки А и В принадлежат обеим плоскостям, а
плоскости взаимно перпендикулярны, то

i

j

k

 3  5 1  5 1 3


n1  AB  n2  1 3  5  i
j
k
 11i  7 j  2k .
1 2
1 2
1 1
1 1 2
Таким образом, вектор нормали n1 (11, -7, -2). Т.к. точка А принадлежит
искомой плоскости, то ее координаты должны удовлетворять уравнению этой
плоскости, т.е. 112 + 71 - 24 + D = 0; D = -21.
Итого, получаем уравнение плоскости: 11x - 7y – 2z – 21 = 0.
Пример. Найти уравнение плоскости, зная, что точка Р(4, -3, 12) –
основание перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость.
Находим координаты вектора нормали OP = (4, -3, 12). Искомое
уравнение плоскости имеет вид: 4x – 3y + 12z + D = 0. Для нахождения
коэффициента D подставим в уравнение координаты точки Р:
16 + 9 + 144 + D = 0
D = -169
Итого, получаем искомое уравнение: 4x – 3y + 12z – 169 = 0
Пример. Даны координаты вершин пирамиды А1(1; 0; 3), A2(2; -1; 3),
A3(2; 1; 1), A4(1; 2; 5).
1) Найти длину ребра А1А2.
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
A1 A2  {2  1;1  0;3  3}  {1;1;0};
стр. 82 из 179
A1 A2  1  1  0  2 (ед).
2) Найти угол между ребрами А1А2 и А1А4.
A1 A4  {1  1;2  0;5  3}  {0;2;2}
A1 A4  2 2 (ед)
A1 A2  A1 A4  (1;1;0)(0;2;2)  2
A1 A2  A1 A4  A1 A 2 A1 A4 cos   2 2 2 cos   4 cos 
cos  
A1 A2  A1 A4
A1 A2 A1 A4

2
1
 ;
4
2
  120 0
3) Найти угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3.

Сначала найдем вектор нормали к грани А1А2А3 N как векторное
произведение векторов A1 A3 и A1 A2 .

i

N1

j
1
1 1
A1 A3 = (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

k






 2  i (0  2)  j (0  2)  k (1  1)  2i  2 j  2k ;

N  (2;2;2)
0

N 2 3
Найдем угол между вектором нормали и вектором A1 A4 .

N  A1 A4  N  A1 A4 cos   2 3  2 2 cos 
N  A1 A4  -4 – 4 = -8.
Искомый угол  между вектором и плоскостью будет равен  = 900 - .
sin   cos  
8
4 6

2
6

6
.
3
  arcsin
6
3
4) Найти площадь грани А1А2А3.
S
1
1 
A1 A2  A1 A3  N  3 (ед 2 )
2
2
5) Найти объем пирамиды.
V 
1
(( A1 A2  A1 A3 )  A1 A4 ) 
6
1 
N  A1 A4
6

4
3 (ед3).
6) Найти уравнение плоскости А1А2А3.
Воспользуемся формулой уравнения плоскости, проходящей через три
точки.
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
x 1
y0
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
z 3
x 1
y
z 3
2 1 1 0 3  3 
1
1
0
2 1
1
1
2
1 0
1 3
стр. 83 из 179
 ( x  1)  2  y (2)  ( z  3)(1  1) 
 2x  2  2 y  2z  6  0
2x + 2y + 2z – 8 = 0, x + y + z – 4 = 0.
2. Прямая в пространстве.
Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему
вектору.

S (m, n, p), параллельный
Возьмем произвольную
прямую
и
вектор

данной прямой. Вектор S называется направляющим вектором прямой.
На прямой возьмем две произвольные точки М0(x0, y0, z0) и M(x, y, z).
z

S
M1
M0
r0
0

r
y
x


Обозначим радиус- векторы этих точек как r0 и r , очевидно, что r - r0 =
М 0М .


М 0 М и S коллинеарны, то верно соотношение М 0 М = S
Т.к. векторы
t, где t – некоторый параметр.


Итого, можно записать: r = r0 + S t.
Т.к. этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки прямой,
то полученное уравнение – параметрическое уравнение прямой.
Это векторное уравнение может быть представлено в координатной
форме:
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 84 из 179
 x  x 0  mt

 y  y 0  nt
 z  z  pt
0

Преобразовав эту систему и приравняв значения параметра t, получаем
канонические уравнения прямой в пространстве:
x  x0 y  y 0 z  z 0


m
n
p .
Определение. Направляющими
косинусами прямой называются

направляющие косинусы вектора S , которые могут быть вычислены по
формулам:
cos  
m
m2  n2  p2
cos  
n
; cos  
p
m n  p
m n  p
;
.
Отсюда получим: m : n : p = cos : cos : cos.

Числа m, n, p называются угловыми коэффициентами прямой. Т.к. S ненулевой вектор, то m, n и p не могут равняться нулю одновременно, но одно
или два из этих чисел могут равняться нулю. В этом случае в уравнении прямой
следует приравнять нулю соответствующие числители.
2
2
2
2
2
2
Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки.
Если на прямой в пространстве отметить две произвольные точки
M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2), то координаты этих точек должны удовлетворять
полученному выше уравнению прямой:
x 2  x1 y 2  y1 z 2  z1


m
n
p .
Кроме того, для точки М1 можно записать:
x  x1 y  y1 z  z1


m
n
p .
Решая совместно эти уравнения, получим:
x  x1
y  y1
z  z1


x2  x1 y 2  y1 z 2  z1 .
Это уравнение прямой, проходящей через две точки в пространстве.
Общие уравнения прямой в пространстве.
Уравнение прямой может быть рассмотрено как уравнение линии
пересечения двух плоскостей.
Как было рассмотрено выше, плоскость в векторной форме может быть
задана уравнением:
 
N  r + D = 0,


N
где - нормаль плоскости; r - радиус- вектор произвольной точки плоскости.
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 85 из 179
N 1  r + D = 0 и
1
N 1 (A , B , C ),
1
1
1
Пусть в пространстве заданы две плоскости:
N 2  r + D = 0, векторы нормали имеют координаты:
2
N 2 (A , B , C ); r (x, y, z).
2
2
2
Тогда общие уравнения прямой в векторной форме:
 N1  r  D1  0


 N 2  r  D2  0
Общие уравнения прямой в координатной форме:
 A1 x  B1 y  C1 z  D1  0

 A2 x  B2 y  C2 z  D2  0
Практическая задача часто состоит в приведении уравнений прямых в
общем виде к каноническому виду.
Для этого надо найти произвольную точку прямой и числа m, n, p.
При этом направляющий вектор прямой может быть найден как
векторное произведение векторов нормали к заданным плоскостям.

i

j

S  N1  N 2  A1
B1
A2
B2

k
B
C1  i 1
B2
C2
A
k 1
C2
A2
C1
A
j 1
C2
A2
C1
B1
B2



 i m  j n  k p.
Пример. Найти каноническое уравнение, если прямая задана в виде:
2 x  y  3z  1  0

5 x  4 y  z  7  0
Для нахождения произвольной точки прямой, примем ее координату х =
0, а затем подставим это значение в заданную систему уравнений.
 y  3z  1
 y  3z  1
 y  3z  1  y  2




4 y  z  7  0 12 z  4  z  7  0  z  1
 z  1 , т.е. А(0, 2, 1).
Находим компоненты направляющего вектора прямой.
m
B1
C1
B2
C2

1
3
4
1
 11; n  
A1
C1
A2
C2

2
3
5 1
 17;
p
A1
B1
A2
B2

2 1
5
4
 13.
Тогда канонические уравнения прямой:

x
y  2 z 1


.
11
17
13
Пример. Привести к каноническому виду уравнение прямой, заданное в
виде:
2 x  3 y  16 z  7  0

3x  y  17 z  0
Для нахождения произвольной точки прямой, являющейся линией
пересечения указанных выше плоскостей, примем z = 0. Тогда:
2 x  3 y  16 z  7  0
;

3x  y  17 z  0
y  3x
;
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 86 из 179
2x – 9x – 7 = 0;
x = -1; y = 3;
Получаем: A(-1; 3; 0).
Направляющий вектор прямой:

i

j

k




S  n1  n2  2 3  16  35i  14 j  7k
3 1  17
x 1 y  3
z


;
Итого:  35  14  7
.
x 1 y  3 z

 ;
5
2
1
Угол между плоскостями.
N2

1
0
N1
Угол между двумя плоскостями в пространстве  связан с углом между
нормалями к этим плоскостям 1 соотношением:  = 1 или  = 1800 - 1, т.е.
cos = cos1.
Определим угол 1. Известно, что плоскости могут быть заданы
соотношениями:
 N1  r  D1  0


 N 2  r  D2  0
,
где N 1 (A1, B1, C1), N 2 (A2, B2, C2). Угол между векторами нормали найдем из их
скалярного произведения:
cos  1 
N1  N 2
N1 N 2
.
Таким образом, угол между плоскостями находится по формуле:
cos   
A1 A2  B1 B2  C1C 2
A12  B12  C12 A22  B22  C 22
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 87 из 179
Выбор знака косинуса зависит от того, какой угол между плоскостями
следует найти – острый, или смежный с ним тупой.
Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.
На основе полученной выше формулы для нахождения угла между
плоскостями можно найти условия параллельности и перпендикулярности
плоскостей.
Для того, чтобы плоскости были перпендикулярны необходимо и
достаточно, чтобы косинус угла между плоскостями равнялся нулю. Это
условие выполняется, если:
A1 A2  B1 B2  C1C2  0 .
Плоскости параллельны, векторы нормалей коллинеарны: N 1  N 2 .Это
A1 B1 C1


A
B
C2 .
2
условие выполняется, если: 2
Угол между прямыми в пространстве.
Пусть в пространстве заданы две прямые. Их параметрические
уравнения:

l1: r  r1  S1t

l2: r  r2  S 2 t

r  ( x, y, z); r1  ( x1 , y1 , z1 ); r2  ( x2 , y2 , z 2 ); S1  (m1 , n1 , p1 ); S 2  (m2 , n2 , p2 ).
Угол между прямыми  и угол между направляющими векторами  этих
прямых связаны соотношением:  = 1 или  = 1800 - 1. Угол между
направляющими векторами находится из скалярного произведения. Таким
образом:
cos   
S1  S 2
S1 S 2

m1 m2  n1 n2  p1 p 2
m12  n12  p12 m22  n22  p 22
.
Условия параллельности и перпендикулярности прямых в
пространстве.
Чтобы две прямые были параллельны необходимо и достаточно, чтобы
направляющие векторы этих прямых были коллинеарны, т.е. их
соответствующие координаты были пропорциональны.
m1 n1
p

 1
m2 n 2 p 2
Чтобы две прямые были перпендикулярны необходимо и достаточно,
чтобы направляющие векторы этих прямых были перпендикулярны, т.е.
косинус угла между ними равен нулю.
m1m2  n1n2  p1 p2  0
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 88 из 179
Угол между прямой и плоскостью.
Определение. Углом между прямой и плоскостью называется любой
угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.

N

S





 
r

r

S
t . Из
0
N

r

D

0
Пусть плоскость задана уравнением
, а прямая -
геометрических соображений (см. рис.) видно, что искомый угол  = 900 - ,
где  - угол между векторами N и S . Этот угол может быть найден по
формуле:
 
N S
cos    
N S
 
N S
 
sin    cos    N S
Am  Bn  Cp
sin   
A2  B 2  C 2 m 2  n 2  p 2
В координатной форме:
Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости
в пространстве.
Для того, чтобы прямая и плоскость были параллельны, необходимо и
достаточно, чтобы вектор нормали к плоскости и направляющий вектор прямой
были перпендикулярны. Для этого необходимо, чтобы их скалярное
произведение было равно
нулю.
 
 
NS ,
N  S  0, sin   0,
Am  Bn  Cp  0.
Для того, чтобы прямая и плоскость были перпендикулярны, необходимо
и достаточно, чтобы вектор нормали к плоскости и направляющий вектор
прямой были коллинеарны. Это условие выполняется, если векторное
произведение этих векторов было равно нулю.
 
N  S  0;
A B C
 
m n p
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 89 из 179
ЛЕКЦИЯ 21-23: ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
1. Уравнение поверхности второго порядка.
Уравнением поверхности в некоторой системе координат в пространстве
называется уравнение
F ( x, y , z )  0
(1),
которому удовлетворяют координаты любой точки поверхности и не
удовлетворяют координаты ни одной точки, не принадлежащей этой
поверхности. Все поверхности делятся на два класса: алгебраические и
неалгебраические (или трансцендентные).
Определение. Поверхность S называется алгебраической, если в какойнибудь аффинной системе координат ее уравнение можно записать в виде (1), в
котором F ( x, y, z ) – многочлен относительно x, y, z т.е. алгебраическая сумма
p q r
конечного множества членов вида ax y z , где коэффициент a
–
p
q
r
действительное число, отличное от нуля, а , и – неотрицательные целые
p q r
числа. Число p  q  r называется степенью члена ax y z , где a  0 . Степенью
многочлена называется наивысшая из степеней его членов.
Определение. Порядком алгебраической поверхности называют степень
её уравнения в какой-либо аффинной системе координат.
Определение. Поверхностью второго порядка называется множество
всех точек пространства, координаты которых в какой-либо аффинной системе
координат удовлетворяют уравнению второй степени:
a11x 2  a22 y 2  a33 z 2  2a12 xy  2a13 xz  2a23 yz  2a10 x  2a20 y  2a30 z  a00  0
(2)
где a11, a22 ,...a00 – действительные числа, причем не все коэффициенты при
членах второй степени равны нулю.
2. Метод сечений.
Метод сечений применим к любой поверхности, а не только к
поверхности второго порядка, при этом оказывается удобно пользоваться
прямоугольной системой координат. Сущность метода сечений состоит в
следующем.
Пусть поверхность S задана в прямоугольной системе координат
уравнением (1). Поверхность S пересекаем плоскостями, параллельными
координатным плоскостям (или самими координатными плоскостями), и
находим линии пересечения поверхности с этими плоскостями. По виду этих
линий и выносится суждение о форме поверхности S . Применение метода
сечений основано на следующей теореме.
Теорема. Пусть в прямоугольной системе координат Oi j k заданы
поверхность S уравнением (1) и плоскость  , параллельная плоскости Oxy или
совпадающая с ней, уравнением z  h . Если поверхность S пересекается с
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 90 из 179
плоскостью  по линии  , то проекция  на плоскость Oxy в системе
координат Oi j имеет уравнение
F ( x, y, h)  0
(3).
Доказательство: Пусть   – проекция линии  на плоскость Oxy .
Докажем, что на плоскости Oxy координаты любой точки линии  
удовлетворяют уравнению (3), а координаты точки плоскости Oxy , не лежащей
на линии   , не удовлетворяют этому уравнению.
Возьмем произвольную точку M     , которая в системе координат Oi j на
плоскости Oxy имеет координаты x, y . Эта же точка в системе координат Oi j k
в пространстве имеет координаты ( x, y,0) . Т.к. точка M     , то она является
проекцией некоторой точки М кривой  . Ясно, что точка М в пространстве
имеет координаты ( x, y, h) . Но точка М лежит и на поверхности S , поэтому
координаты точки М удовлетворяют уравнению (1): F ( x, y, h)  0 . Мы получили,
что координаты произвольной точки M  , лежащей на кривой   , удовлетворяют
уравнению (3).
*
*
Возьмем теперь на плоскости Oxy произвольную точку P( x , y )    .
Проведем через точку P  прямую с направляющим вектором k и обозначим
через Р точку пересечения этой прямой с плоскостью  . Т.к. точка P  имеет в
*
*
*
*
пространстве координаты ( x , y ,0) , то точка Р имеет координаты ( x , y , h) . Но
точка P  не лежит на кривой   , поэтому точка Р не может лежать на кривой  .
Следовательно, координаты точки Р не удовлетворяют уравнению (3)
поверхности S : F ( x, y, h)  0 . Значит, если точка плоскости Oxy не лежит на
линии   , то её координаты не удовлетворяют уравнению (3).
Следствие: Линия  пересечения поверхности S с плоскостью  ,
параллельной плоскости Oxy , равна проекции   этой линии на плоскость Oxy .
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 91 из 179
3. Цилиндрические и конические поверхности.
Определение: Поверхность, обладающая тем свойством, что вместе с
точкой М она содержит всю прямую, проходящую через М, параллельную
данному ненулевому вектору p , называется цилиндрической поверхностью или
цилиндром.
Прямые, параллельные вектору p и принадлежащие цилиндрической
поверхности, называются образующими этой поверхности.
Цилиндрическая поверхность может быть образована следующим
образом. Пусть  – некоторая линия, а p – ненулевой вектор. Поверхность,
образованная всеми прямыми, каждая из которых проходит через некоторую
точку линии  параллельно вектору p будет цилиндрической. В этом случае
линия  называется направляющей этой поверхности.
Теорема:
прямоугольная
p

Пусть
система
в
пространстве
координат
Oi j k
дана
и
в
плоскости Oxy в системе координат Oi j задана
линия  своим уравнением
F ( x, y )  0 .
(1)
Тогда уравнение (1) определяет в пространстве цилиндрическую
поверхность S с направляющей линией  и образующими, параллельными
вектору k .
Рассмотрим поверхности, в уравнении которых отсутствует
составляющая z, т.е. направляющие параллельны оси Оz. Тип линии на
плоскости ХOY (эта линия называется направляющей поверхности) определяет
характер цилиндрической поверхности. Рассмотрим некоторые частные случаи
в зависимости от уравнения направляющих.
Если уравнение (1) является уравнением второй степени относительно x
и y (т.е. если  – линия второго порядка), то цилиндрическая поверхность с
направляющей  и образующими, параллельными вектору k , является
цилиндрической поверхностью второго порядка (короче, цилиндром второго
порядка). Этот цилиндр называется эллиптическим, гиперболическим,
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 92 из 179
параболическим в зависимости от того, является ли его направляющая (1)
эллипсом, гиперболой или параболой.
Возможен также случай, когда направляющая  цилиндрической
поверхности распадется на прямые d1 и d 2 (пересекающиеся, параллельные или
слившиеся). Проведя через каждую точку линии  прямую, параллельную
вектору k , мы получим плоскости  1 и  2 , проходящие через прямые d1 и d 2 и
параллельные вектору k . В этом случае мы скажем, что цилиндр второго
порядка распадается на пару плоскостей  1 и  2 .
Если прямоугольную систему координат Oi j k выбрать так, чтобы
образующие цилиндрической поверхности второго порядка были параллельны
вектору k , а направляющая  в системе Oi j имела каноническое уравнение, то
указанные выше цилиндрические поверхности определяются следующими
уравнениями.
x2 y2
 2 1
2
1) a b
- эллиптический цилиндр.
x2 y2
 2 1
2
2) a b
- гиперболический цилиндр.
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 93 из 179
3) x2 = 2py – параболический цилиндр.
x2 y2
 2 0
2
4) a b
– цилиндр, распавшийся на пару пресекающихся по оси Oz
плоскостей.
z
k
y
i
j
0
x
x2  a2  0
5) a  0
– цилиндр, распавшийся на пару параллельных плоскостей.
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 94 из 179
z
y
k
x
j
i
0
x2  0
p – цилиндр, представляющий собой пару слившихся плоскостей.
Определение. Конической поверхностью или конусом с вершиной в
точке М0 называется поверхность, которая обладает тем свойством, что вместе
с каждой своей точкой М, отличной от точки М0, эта поверхность содержит
прямую М0М.
Прямые, проходящие через вершину конуса и лежащие на нем,
называются образующими этого конуса.
Коническую поверхность можно получить следующим образом.
Рассмотрим в пространстве линию  и точку М 0 , не лежащую на линии  .
Поверхность, образованная всеми прямыми, каждая из которых проходит через
точку М 0 и через некоторую точку линии  , является конической
поверхностью с вершиной М 0 .
Внизу изображена коническая поверхность с вершиной в начале
прямоугольной системы координат Oi j k , направляющей которой служит
эллипс  :
x2 y 2

1
a 2 b2
, z  c , ( c  0)
М0
(1)
M1 ( x1, y1, z1 )
эллипс

N1 ( x2 , y2 , c)
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 95 из 179
Найдем каноническое уравнение этой поверхности. Пусть точка M ( x, y, z )
отличная от точки О, принадлежит конусу Ф. Тогда прямая ОМ пересечет
направляющую  в некоторой точке N ( x1, y1, c) . Т.к. OM  0 и векторы ON и OM
коллинеарны, то найдется такое вещественное число t , что ON = tOM , или в
координатах: x1  tx , y1  ty , c  tz .
(c  0) , находим:
x1 
cx
cy
y1 
z .
z ,
Отсюда, учитывая, что z  0 , т.к.
Подставив полученные выражения x1 , y1 в первое из равенств (1). После
очевидных преобразований найдем:
x2 y 2 z 2

 0
a 2 b2 c2
(2).
4. Поверхности вращения.
Определение. Поверхность, которая вместе с каждой своей точкой
содержит всю окружность, полученную вращением этой точки вокруг
некоторой фиксированной прямой d , называется поверхностью вращения с
осью вращения d.
Вращение точки вокруг оси
Если уравнение поверхности в прямоугольной системе координат имеет
вид: происходит в плоскости, перпендикулярной оси. В сечении поверхности
вращения получаются окружности, которые называются параллелями.
Плоскости, проходящие через ось вращения, пересекают поверхность вращения
по линиям, называемым меридианами.
F(x2 + y2, z) = 0, то эта поверхность – поверхность вращения с осью
вращения Оz.
Аналогично: F(x2 + z2, y) = 0 – поверхность вращения с осью вращения
Оу,
F(z2 + y2, x) = 0 – поверхность вращения с осью вращения Ох.
Запишем уравнения поверхностей вращения для некоторых частных
случаев:
x2  y2 z2
 2 1
a2
c
1)
- эллипсоид вращения
2
2
2
x y
z
 2 1
2
a
c
2)
- однополостный гиперболоид вращения
2
2
2
x y
z
 2  1
2
a
c
3)
- двуполостный гиперболоид вращения
x2  y2
 2z
p
4)
- параболоид вращения
Аналогично могут быть записаны уравнения для рассмотренных выше
поверхностей вращения, если осью вращения являются оси Ох или Оу.
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 96 из 179
Однако, перечисленные выше поверхности являются всего лишь
частными случаями поверхностей второго порядка общего вида, некоторые
типы которых рассмотрены ниже:
2
2
2
2
Сфера: ( x  a)  ( y  b)  ( z  c)  r
x2 y2 z2
 2  2 1
2
Трехосный эллипсоид: a b c
В сечении эллипсоида плоскостями, параллельными координатным
плоскостям, получаются эллипсы с различными осями.
x2 y2 z2
 2  2 1
2
Однополостный гиперболоид: a b c
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 97 из 179
x2 y2 z 2
 2  2  1
2
Двуполостный гиперболоид: a b c
x2 y2

 2 z, где p  0, q  0
Эллиптический параболоид: p q
x2 y2

 2z
Гиперболический параболоид: p q
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 98 из 179
x2 y2 z2
 2  2 0
2
Конус второго порядка: a b c
Цилиндрическая и сферическая системы координат.
Как и на плоскости, в пространстве положение любой точки может быть
определено тремя координатами в различных системах координат, отличных от
декартовой прямоугольной системы. Цилиндрическая и сферическая системы
координат являются обобщением для пространства полярной системы
координат, которая была подробно рассмотрена выше.
Введем в пространстве точку О и луч l, выходящий из точки О, а также

nl ,

n 1
вектор
. Через точку О можно
провести единственную плоскость,

n
перпендикулярную вектору нормали .
Для введения соответствия между цилиндрической, сферической и
декартовой прямоугольной системами координат точку О совмещяют с
началом декартовой прямоугольной системы координат, луч l – с
положительным направлением оси х, вектор нормали – с осью z.
Цилиндрическая и сферическая системы координат используются в тех
случаях, когда уравнение кривой или поверхности в декартовой прямоугольной
системе координат выглядят достаточно сложно, и операции с таким
уравнением представляются трудоемкими.
Представление уравнений в цилиндрической и сферической системе
позволяет значительно упростить вычисления, что будет показано далее.
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 99 из 179
М


h

0
x
r
M1
y
OM  ;
ОМ1 = r; MM1 = h;
Если из точки М опустить перпендикуляр ММ1 на плоскость, то точка М1
будет иметь на плоскости полярные координаты (r, ).
Определение. Цилиндрическими координатами точки М называются
числа (r, , h), которые определяют положение точки М в пространстве.
Определение. Сферическими координатами точки М называются числа
(r,,), где  - угол между  и нормалью.
Связь цилиндрической и декартовой прямоугольной системами
координат.
Аналогично полярной системе координат на плоскости можно записать
соотношения, связывающие между собой различные системы координат в
пространстве. Для цилиндрической и декартовой прямоугольной систем эти
соотношения имеют вид:
x
x y
2
h = z;
x = rcos;
y = rsin; cos =
y
2
x  y2
2
; sin =
.
Связь сферической системы координат с декартовой прямоугольной.
В случае сферической системы координат соотношения имеют вид:
z   cos ;
  arctg
y   sin  sin ; x   sin  cos ;  
x2  y2
y
;   arctg
; cos  
x
z
z
x2  y2  z 2
x2  y2  z2 ;
; sin  
x2  y2
x2  y2  z2
;
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 100 из 179
ЛЕКЦИЯ 24-26. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ
Определение: Если каждому элементу x  X поставлен в соответствие
определенный элемент y  Y , говорят, что дано отображение множества Х в
множество У или дана функция. Обозначают :
f : X Y
f
X

Y
или Х – область определения, f ( X ) - область значения функции. Ясно, что
f (X )  Y .
В геометрии рассматриваются множества Х и У различной природы, не
только числовые и чаще всего применяется термин «отображение», а не
«функция». Мы будем рассматривать только такие отображения, в которых
область определения и область значений являются точечными множествами.
x - прообраз, а y  f (x) - образ.
Пусть f : X  Y - данное отображение.
Определение:
1) Если для любых двух различных элементов x1  x2  X имеем
f ( x1 )  f ( x2 ) , то отображение f называется инъективным.
2) Если У  f ( x) , то f называется сюръективным.
3) Если f есть инъекция и сюръекция, то оно называется биекцией
или биективным отображением.
4) Если в отображении f : X  Y множество Y  f ( x)  X , то говорят,
что дано отображение множества Х на себя.
5) Преобразованием (непустого) множества Х называется любое
биективное отображение множества Х на себя.
Движение плоскости.
Определение1: Преобразование плоскости, сохраняющее расстояние,
называется движением (или перемещением).
Примеры движений: параллельный перенос, симметрия относительно
плоскости, прямой, относительно некоторой точки и др.
Теорема 1. В любом движении репер переходит в репер, в частности
ортонормированный репер в ортонормированный.
Теорема 2: Пусть R  ( A, B, C ) и R   ( A, B , C ) произвольные
ортонормированные реперы плоскости  . Тогда существует одно и только
одно движение, которое репер R переводит в репер R  . При этом движении
любая точка M с данными координатами в репере R переходит в точку M  с
теми же координатами в репере R  .
Из этих теорем следует:
1. Движение переводит прямую в прямую, а параллельные прямые – в
параллельные прямые.
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 101 из 179
2. Движение переводит полуплоскость с границей а в полуплоскость с
границей а , где а - образ прямой а .
3. Движение сохраняет простое отношение трех точек прямой.
Пусть в репере R : A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , C ( x, y )
Если   ( AB; C ) , то
x
x1  x2
1 
y1  y 2
1 
A  A( x1 , y1 )
y
(1)
R  R , то
B  B( x2 , y2 )
C  C ( x, y )
*
( AB ; C ) = ( AB; C ) , AC В
Тогда из (1) следует, что
т. и т. т., когда ( AB; C )  0 .
4. Движение сохраняет отношение «лежать между».
5. Движение переводит отрезок АВ в отрезок АВ  , где А и В  - образы
точек А и В . При этом середина отрезка АВ переходит в середину
отрезка АВ  .
6. Движение переводит луч в луч, а угол в равный ему угол.
7. Движение переводит взаимно перпендикулярные прямые во взаимно
перпендикулярные прямые.
Два вида движения. Аналитическое выражение движения.
Определение2: Говорят, что реперы R  (О, A, B) и R  (О, A, B) одинаково
(противоположно) ориентированы, если базисы ОА , ОВ и ОА , ОВ одинаково
(противоположно) ориентированы.
Определение3: Говорят, что преобразование точек плоскости сохраняет
(меняет) ориентацию плоскости, если любой репер и его образ одинаково
(противоположно) ориентированы.
Теорема 3: Любое движение либо сохраняет, либо меняет ориентацию
плоскости. В первом случае движение называется движением первого рода, во
втором – движением второго рода.
Движение первого рода задается формулами:
 x  x cos   y sin   x0

 y  x sin   y cos   y0
Движение второго рода задается формулами:
 x  x cos   y sin   x0

 y  x sin   y cos   y0
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
Классификация движения.
Название
движения
и
его Инвариантные
аналитическое выражение
точки

1.
Поворот на угол
Центр поворота






0
а)
и
стр. 102 из 179
Инвариантные
прямые
нет
x  x cos   y sin 
y  x sin   y cos 
б) Тождественные преобразования Любая
точка Любая
прямая
плоскости
плоскости
(  0 )
в) Центральная симметрия
Центр симметрии Любая
прямая,
проходящая
через
  
центр симметрии
2.
Параллельный перенос
x  x  x0
y  y  y0
а) Параллельный перенос на p  0
нет
Любая
прямая
параллельная вектору
p
б) Тождественное преобразование Любая
точка Любая прямая
плоскости
p0
Движения второго рода
3.
Осевая симметрия
Все точки оси
Ось симметрии и
x  x cos  y sin   x0
любая
прямая
перпендикулярная к
y  x sin   y cos   y0
ней
4.
Скользящая
симметрия нет
Одна прямая
(произведение
параллельного
переноса на осевую симметрию )
Преобразование подобия.
Определение1: Преобразование подобия есть такое преобразование
плоскости, при котором AB  kAB . При k  1 есть движение, а при k  1 есть
гомотетия.
k  1 преобразование есть движение.
k  1, то центральная симметрия.
SA  k SA
Аффинные преобразования.
Преобразование плоскости называется аффинным, если оно любые три
точки М1, М 2 , М 3 , лежащие на одной прямой переводит в три точки М1, М 2 , М 3
лежащие на одной прямой (М1М 2 ; М 3 )  (М1М 2 ; М 3 )
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 103 из 179
Любое движение и подобие есть аффинное преобразование.
Инверсия.
w(O; r )
M  M
O, M , M   l
OM  OM   r 2
Построение инверсных точек.
O (0;0)
M ( x; y )
M ( x; y)
M  M
OM  OM   r 2
OM   k OM
x  kx
y  ky , k  0
xx  yy  r 2
k ( x2  y 2 )  r 2
k
r2
x2  y 2
x 
r2
x
x2  y 2
x
r2
x
x2  y2
y 
r2
y
x2  y 2
y
r2
y
x2  y2
Теорема 1: Прямая, проходящая через центр инверсии, переходит в себя,
а прямая, не проходящая через центр инверсии, переходит в окружность,
проходящую через центр инверсии.
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 104 из 179
Аx  Вy  1  0
Axr 2
Byr 2

1  0
x2  y2 x2  y2
x2  y2  Аr 2 x  Вr 2 y  0
Окружность.
Следствие: Если прямая d , не проходящая через центр О инверсии
переходит в окружность (С ; r ) , то прямые ОС и d перпендикулярны.
 Ar 2 Br 2 

С  
;
2  O (0;0)
 2
,
.
 Ar 2 Br 2 

OС 
;
2 
 2
Аx  Вy  C  0
l ( B; A)
OС l  0
Теорема 2: Окружность, проходящая через центр О инверсии (без точки
О) переходит в прямую, не проходящую через точку О, причем точка О лежит
на линии центров этих окружностей.
x 2  y 2  Аx  Вy  С  0
2
2
2
2
 xr 2   yr 2 
 2
   2
  Axr  Byr  С  0
2 
2 
x2  y2 x2  y2
 x  y    x  y  
С ( x2  y2 ) 2  ( Аr 2 x  Вr 2 y)( x2  y2 )  r 4 ( x2  y2 )  0
С ( x2  y2 )  Аr 2 x  Вr 2 y  r 4  0
 A B
O1   ; 
С  0 прямая  2 2 
 Ar 2 Br 2 

O2  
;
2C 
 2C
O(0;0)  l .
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 105 из 179
ЛЕКЦИЯ 27-30. ЭЛЕМЕНТЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ
1. В начале XIX в параллельно с активным развитием оснований
геометрии возникла и стала успешно развиваться новая ветвь геометрии –
проективная геометрия. Источником её явились потребности архитектуры и
графики. Первое время проективная геометрия имела ограниченную сферу
приложений. Постепенно были замечены и прослежены глубокие связи между
проективной геометрией и вопросами обоснования элементарной геометрии,
что привело к тесному объединению обоих разделов геометрии в конце XIX в.
Результатом этого объединения было построение в рамках проективной
геометрии глубокой теории, которая включила в единую схему геометрии
Евклида, Лобачевского и Римана.
Содержание проективной геометрии связано с работой французского
геометра Понселе (1788-1867) «Трактат о проективных свойствах фигур», в
котором впервые в качестве самостоятельного объекта исследования выделены
геометрические свойства фигур, не изменяющиеся при центральном
проектировании. Важную роль в развитии проективной геометрии сыграли
работы М. Шаля (1793-1880), Я. Штейнера (1769-1863) и Х. Штаудта (17981867).
Рассмотрим в евклидовом пространстве Е3 две плоскости     е .
S  , S   .
S
M
Q

М
Q

M   SM  
M  
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 106 из 179
S

Соответствие, относящее
точке M плоскости  точку M 

плоскости
называют
центральной проекцией или

центральным проектированием
S.
из точки
Центральное
проектирование определено для
любой пары плоскостей  и  ,
не проходящих через точку S .
Если Q
–
некоторая
фигура на  , то центральное
проектирование из точки S переводит Q в некоторую фигуру Q  плоскости  .
Фигура Q  называется центральной проекцией фигуры Q .
Если фиксировать фигуру Q и варьировать выбор точки S и плоскости 
, то при помощи центрального проектирования фигуры Q мы получим
бесконечно много фигур Q  , в некоторых отношениях похожих на Q , но во
многих других существенно отличающихся от неё. Например, проектируя
равносторонний треугольник, мы можем получить треугольник произвольной
формы; проектируя окружность, мы можем получить эллипс, параболу или
даже гиперболу.
Т.о., принимая за центр проектирования различные точки, и, изменяя
положение плоскости  , для одной и той же фигуры Q получаем разные
фигуры Q  . При этом многие свойства фигуры Q меняются: длины отрезков,
величины углов, вид фигуры. С другой стороны, фигуры обладают и такими
свойствами, которые сохраняются при центральном проектировании. Эти
свойства фигур Понселе называл проективными. Таким свойством, например,
является свойство точек лежать на одной прямой и свойство точек лежать на
одной линии второго порядка. Интересно отметить, что свойство точек лежать
между двумя другими не является проективными. Не является проективными
также свойства, связанные с параллельностью прямых. Итак, проективная
геометрия изучает свойства фигур, инвариантные относительно центрального
проектирования.
В превращении проективной геометрии в самостоятельную дисциплину
важную роль играют понятия бесконечно удаленных (несобственных)
геометрических элементов. Рассмотрим центральное проектирование
плоскости  на плоскость  из точки S . Если   , то f - взаимно
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 107 из 179
однозначное отображение плоскости  на плоскость  . Если же  не
параллельна  , то f не взаимно однозначно.
На плоскости  имеются точки, которые не имеют образов на плоскости
 . Например, точка Р, где SP  и на плоскости  имеются точки, которые не
имеют прообразов на плоскости  . Например, точка Q  , где SQ  . Т.е. на
плоскостях  и  имеется по одной прямой p и q , из-за которых нарушается
взаимная однозначность отображения f . Чтобы превратить центральное
проектирование во взаимно однозначное отображение, можно поступить так.
Дополним пространство Е3 новыми точками, а именно ко всем обычным точкам
каждой прямой мысленно добавим ещё одну, так называемую несобственную
точку. Будем считать, что две параллельные прямые имеют одну и ту же
несобственную точку, а не параллельные прямые имеют различные
несобственные точки. Обычные точки будем называть собственными точками.
Прямую, дополненную несобственной точкой, назовем расширенной прямой.
Если расширенная прямая лежит в плоскости, то будем считать, что
несобственная точка этой прямой лежит в той же плоскости. Т.о. каждая
плоскость дополняется множеством несобственных точек. Условимся считать,
что все несобственные точки плоскости образуют одну несобственную
прямую, а все несобственные точки пространства Е3 – одну несобственную
плоскость. Плоскость, дополненную несобственной прямой,
назовем
расширенной плоскостью, а пространство Е3, дополненное несобственной
плоскостью – расширенным евклидовым пространством.
Из принятых соглашений следуют следующие утверждения:
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 108 из 179
а) Любые две прямые, лежащие в плоскости пересекаются, т.е. имеют
общую (собственную или несобственную) точку.
б) Любая прямая, не лежащая в плоскости, пересекает плоскость, т.е.
имеет с ней общую (собственную или несобственную) точку.
в) Любые две плоскости пересекаются по прямой, т.е. имеют общую
(собственную или несобственную) прямую.
Важно отметить, что при центральном проектировании несобственные
точки могут переходить в собственные. В проективной геометрии нет различия
между собственными или несобственными точками.
Аналогично можно ввести понятия расширенного аффинного
пространства. Применив изложенную схему к А3 – трехмерному аффинному
пространству, мы приходим к понятиям расширенной аффинной плоскости и
расширенного аффинного пространства. Построенное таким образом аффинное
или евклидово пространство можно использовать для изучения проективной
геометрии. Мы рассматриваем построение проективного пространства
аксиоматически.
2. Понятие проективного пространства.
Вспомним понятие векторного пространства. Как известно из курса
алгебры, векторное пространство над полем действительных чисел (или просто
векторное пространство) есть непустое множество V элементов, называемых
векторами ( a, b... ), на котором определены операции сложения векторов и
умножения векторов на действительные числа так, что выполняются
следующие условия:
I1 a  b = b  a
I2 ( a  b )  c  a  ( b  c )
I3 Существует нулевой вектор 0 такой, что a  0  a для любого вектора a
.

I4 Для каждого вектора a существует противоположный ему вектор a

такой, что a + a  0 .
I5 Для любого a , существует единичный элемент, такой, что 1 a  a
I6  (a  b)   a   b (распределительное свойство числового сомножителя
относительно суммы векторов)
I7 (   )a   a   a (распределительное свойство векторного сомножителя
относительно суммы чисел)
I8  (  a)  ( )a (сочетательное свойство относительно числовых
сомножителей)
II1 В пространстве V существует система n линейно независимых
векторов
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 109 из 179
II2 Любая система n  1 векторов линейно зависима. Число n называется
размерностью пространства V . Само пространство называется n -мерным
векторным пространством.
Пусть V - векторное пространство n  1 измерений над полем R , а V  множество всех ненулевых векторов этого пространства. Непустое множество
Р, называется проективным пространством n измерений (порожденным
векторным пространством V ), если задано отображение
f :V   P ,
удовлетворяющее
следующим
условиям
(аксиомам
проективного пространства):
1. Отображение f сюръективно, т.е. любой элемент из Р имеет хотя бы
один прообраз.
2. Равенство
f ( x)  f ( y )
выполняется тогда и только тогда, когда векторы x
и y коллинеарные.
Элементы множества Р называются точками проективного пространства
и обозначаются большими буквами латинского алфавита: А,В,С…
Если f ( x)  X , то говорят, что вектор x порождает точку Х. Из второй
аксиомы следует, что множество всех векторов пространства V , порождающих
одну и ту же точку, есть одномерное векторное пространство без нулевого
n измерений содержит бесконечное
вектора. Проективное пространство
множество точек. Если поле конечно, то полученное n -мерное проективное
пространство будет состоять лишь из конечного множества точек.
Пусть имеем векторное пространство L k измерений пространства V ,
где k =2,3.
Множество всех точек из Р, которые порождаются ненулевыми
векторами подпространства L , называют прямой, если k =2 и плоскостью, если
k =3. говорят, что подпространство L порождает прямую (плоскость).
Прямые обозначают малыми буквами: a, b, c... , а плоскости –  ,  ,  ... .
Так как подпространство L содержит бесконечное множество попарно
неколлинеарных векторов, а неколлинеарные векторы порождают различные
точки, то каждая прямая или плоскость являются бесконечным множеством
точек.
В трехмерном проективном пространстве существуют тройки точек,
лежащие на одной прямой и четверки точек, не лежащие в одной плоскости.
3. Свойства взаимного расположения точек, прямых и плоскостей
проективного пространства.
1. Через любые две точки А и В проходит одна и только одна прямая.
Доказательство: Пусть a и b - векторы, которые порождают точки А и В.
Т.к. a и b неколлинеарные, то точки А и В различны. Рассмотрим двумерное
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 110 из 179
векторное подпространство L ( a , b ), натянутое на эти векторы. Прямая l ,
порожденная подпространством L ( a , b ), очевидно проходит через точки А и В.
l - единственная прямая, так если l - произвольная прямая, проходящая
через А и В, а L  - двумерное подпространство, которое порождает прямую l ,
то A  l и B  l , a  L и b  L , поэтому L  - подпространство натянутое на
векторы a и b . Т.о. L и L  одно и то же векторное подпространство, т.е. l и l
совпадают.
2Через любые три точки, не лежащие на одной прямой проходит одна и
только одна плоскость.
3. Если две точки А и В лежат в плоскости  , то прямая АВ лежит в
плоскости  , т.е. каждая точка прямой АВ лежит в плоскости  .
4. Любые две прямые, лежащие в одной плоскости пересекаются.
5. Любая плоскость и не лежащая в ней прямая имеют одну и только одну
общую точку.
6. Любые две плоскости имеют общую прямую, на которой лежат все
общие точки этих плоскостей.
Можно показать, что любую плоскость трехмерного проективного
пространства можно рассматривать как двумерное проективное пространство.
И любую прямую проективного пространства двух (трех) измерений можно
рассматривать как одномерное проективное пространство.
4.Координаты точек на проективной плоскости и на проективной
прямой.
Пусть  - проективная плоскость. Упорядоченную систему точек
A1 , A2 , A3 , E общего положения плоскости  называют проективным репером или
проективной системой координат на плоскости и обозначают так:
R  ( A1 , A2 , A3 , E ). Точки A1 , A2 , A3 называют вершинами, точку Е –
единичной точкой репера, а прямые A1 A2 , A2 A3 , A3 A1 - координатными прямыми.
Если векторы a1 , a 2 , a 3 и e , порождающие вершины и единичную точку
проективного репера R выбраны так, что e = a1  a2  a3 , то будем говорить, что
система векторов a1 , a 2 , a 3 , e согласована относительно репера R .
Существует бесконечное множество систем векторов, каждая из которых
согласована относительно данного репера.


 
Лемма1: Если каждая из систем векторов a1 , a 2 , a 3 , e и a1 , a 2 , a 3 , e
согласована относительно данного репера R  ( A1 , A2 , A3 , E ), то существует   0 ,




такое что a1   a1 , a 2   a2 , a 3   a3 , e   e .




Доказательство: a1  1 a1 , a 2  2 a2 , a 3  3 a3 , e  4 e .
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 111 из 179




Т.к. векторы a1 и a1 , a 2 и a 2 , a 3 и a 3 , e и e порождают одни и те же
точки.


 

Система векторов a1 , a 2 , a 3 , e согласована относительно R , значит e =
a1  a2   a3 
, т.е. 4 e  1 a1  2 a2  3 a3 , т.к. 4  0 , то

1

a1  2 a2  3 a3
4
4
e = 4
или т.к. e = a1  a2  a3 имеем

1

1 2 1 3 1
4
, 4 , 4
1  2  3  4   , т.е. a1   a1 , a 2   a2 , a 3   a3 , e   e ч.т.д.
Введем понятие координат на проективной плоскости.
Пусть Х – произвольная точка плоскости  , на которой задан
проективный репер R  ( A1 , A2 , A3 , E ). Рассмотрим вектор x , порождающий точку
Х, и систему векторов a1 , a 2 , a 3 , e , согласованную относительно репера R .
Примем векторы a1 , a 2 , a 3 за базис трехмерного векторного пространства
V , порождающего плоскость  , и разложим вектор x по этому базису:
x = x1 a1 + x 2 a2 + x3 a3 .
x1 , x 2 , x3
Числа
координатами точки Х в репере R , причем
x1 - первая координата.
x 2 - вторая координата.
x3 - третья координата.
называются
проективными
Пишут Х( x1 , x2 , x3 ) или Х ( x1, x2 , x3 ) R
Т.к. x  0 , то все координаты точки одновременно не равны нулю.
Проективные координаты точки Х зависят как от выбора вектора x , так и
системы векторов a1 , a 2 , a 3 , e , согласованную относительно репера R .
Действительно, Х( x1 , x2 , x3 ) в R .



 
Если x другой вектор, порождающий точку Х, а a1 , a 2 , a 3 , e другая
система, согласованная относительно репера R , то
a1   a1
,
x   x
a   a
2
2



, a 3   a3

Х( x 1 , x 2 , x3 )



x = x 1 a 1  x2 a2  x3 a3 или
 x  x1  a1  x2  a2  x3 a3 , т.к.   0 , то
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
x 1 
x= 
a1 
x2 

a2 
x3

стр. 112 из 179
a3




x1
x2
x3
0
x1 =  , x2 =  , x3 =  , где 
Т.о. заданием проективного репера R координаты произвольной точки
плоскости  определяются с точностью до общего множителя.
Координаты вершин:
A1 (1;0;0)
A3 (0;0;1)
A2 (0;1;0)
E (1;1;1)


 
Лемма: Если ( x1 , x2 , x3 ) – координаты точки Х в репере R , а a1 , a 2 , a 3 , e
какая-нибудь система векторов согласованная относительно репера R , то
вектор y = x 1 a1  x2 a2  x3 a3 порождает точку Х.
Доказательство: Х( x1 , x2 , x3 ) в репере R , то существует система векторов,



согласованная относительно репера R , что x = x 1 a 1  x2 a2  x3 a3 порождает точку
Х.
По лемме 1 существует   0 , что выполняется равенства:
a1   a1 a 2   a2
,

, a 3   a3
x =  ( x 1 a1  x2 a2  x3 a3 )   y , т.о. вектор y порождает точку Х.
Теорема 1: Три точки
Х( x1 , x2 , x3 )
У( y1 , y2 , y3 )
Z ( z1 , z2 , z3 ),
заданные координатами в репере R , лежат на одной прямой тогда и только
x1
y1
z1
x2
y2
z2  0
x
y
z
тогда, когда 3 3 3
Доказательство: Пусть a1 , a 2 , a 3 , e система, согласованная относительно
репера R . По лемме 2 векторы
x = x 1 a1  x2 a2  x3 a3
y = y 1 a1  y2 a2  y3 a3
z = z 1 a1  z2 a2  z3 a3
порождают соответственно точки Х,У, Z . Эти точки
лежат на одной прямой т. и. т.т., к. векторы x , y , z принадлежат двумерному
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 113 из 179
векторному подпространству, т.е. когда они компланарны. Из условия
компланарности
x1
y1
z1
x2
y2
z2  0
x3
y3
z3
Если Х( x1 , x2 , x3 )  A2 A3 , то x1  0 и если Х  A3 A1 , то x2  0 .
По аналогии с предыдущим, введем понятие координат точек на
проективной прямой.
Упорядоченную систему точек A1 , A2 , E проективной прямой l называют
проективным репером прямой и обозначают: R =( A1 , A2 , E ). Точки A1 , A2
называют вершинами репера, Е – единичной точкой.
Если векторы a1 , a 2 , e , порождающие точки A1 , A2 , E выбраны так, что e =
a1  a2 , то будем говорить, что система векторов
a1 ,
a2 , e
согласована
относительно репера R .
Если x = x 1 a1  x2 a2 , то числа x 1 , x2 называют проективными координатами
точки Х в репере R . Х( x1 , x2 ).
Заданием проективного репера R на прямой l координаты произвольной
точки прямой определяется с точностью до общего множителя.
A1 (1;0)
A2 (0;1)
E (1;1)
R  ( A1 , A2 , A3 , E ).
X 3  A1 A2  A3 X ,
X3
где
проекция точки Х из центра A3 на
прямую A1 A2 .
Проекция точки прямой A1 A2
совпадает сама с собой. Если на
плоскости задан репер R , то на
каждой из координатных прямых
возникает свой репер.
R2  ( A1 , A3 , E2 )
R1  ( A2 , A3 , E1 )
R3  ( A1 , A2 , E3 )
Теорема 2: (О координатах проекции точки на координатную прямую)
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 114 из 179
Если произвольная точка Х плоскости, отличная от точки A3 , в репере R
имеет координаты x1 , x2 , x3 , то проекция Х 3 точки Х из центра A3 на прямую
A1 A2 в репере R , имеет координаты x1 , x2 .
Х( x1 , x2 , x3 ) в R .
R3  ( A1 , A2 , E3 )
Х 3 ( y1 , y 2 , y3 )  A1 A2 , то y3  0 .
Х, A3 , Х 3 принадлежат одной прямой.
x1
0
y1
x2
0
y2  0
x3
1
y3
x1
y1
x2
y2
0
.
x1 y2  x2 y1  0
Отсюда
, т.е. точка Х 3 ( x1 , x2 ,0 ) в репере R .
По аналогии E3 (1;1;0) .
Возьмем систему векторов a1 , a 2 , a 3 , e , согласованную относительно
репера R . Т.к. Х 3 и E3 имеют координаты ( x1 , x2 ,0 ) и (1;1;0) , то векторы
e 3  a1  a2
(1)
x3  x1 a1  x2 a2
(2)
и
порождают точки Х 3 и E3 (1) означает, что система
векторов e 3 , a1 , a2
согласована относительно R3 . Из (2) следует, что точка Х 3 на прямой A1 A2 в
репере R3 имеет координаты Х 3 ( x1 , x2 ) .
5. Модели проективной плоскости и проективного пространства.
Если найдено конкретное отображение f : V   P , удовлетворяющее
аксиомам проективного пространства, то говорят, что построена интерпретация
(реализация) данной системы аксиом.
Само множество P называется моделью проективного пространства.
Пусть A3 - трехмерное аффинное пространство над векторным
пространством V . Обозначим через P2 - множество всех прямых пространства
A3
, проходящих через некоторую фиксированную точку О (связка прямых с
центром в точке О).
Рассмотрим отображение f : V   P2 по следующему закону: ненулевому
вектору a из V поставим в соответствие прямую, проходящую через точку О и
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 115 из 179
параллельную вектору a . Это отображение удовлетворяет аксиомам
проективного пространства и поэтому P2 – модель проективной плоскости.
В этой модели проективными точками являются прямые связки с центром
в точке О, а проективными прямыми – множество всех прямых, проходящих
через точку О и лежащих в некоторой плоскости.
Аналогично можно построить модель трехмерного проективного
пространства.
Пусть A4 – четырехмерное аффинное пространство над векторным
пространством V . Обозначим через P3 - множество всех прямых пространства
A4 , проходящих через некоторую точку О.
Рассмотрим отображение f : V   P3 , при котором ненулевому вектору a
из V ставится
в соответствие прямая, проходящая через точку О и
параллельная вектору a . Это отображение удовлетворяет аксиомам
проективного пространства и поэтому P3 – модель трехмерного проективного
пространства.
В этой модели проективными точками являются прямые пространства A4 ,
проходящие через точку О, а проективными прямыми (плоскостями) –
множество всех прямых, проходящих через точку О и лежащих в двумерной
(трехмерной) плоскости пространства A4 .
Построим другую модель проективной плоскости, основанную на
понятии расширенного аффинного или евклидова пространства.
Пусть  - расширенная плоскость трехмерного расширенного аффинного
или евклидова пространства над векторным пространством V . Возьмем
собственную точку О этого пространства, О   , и рассмотрим отображение
f :V   
по следующему закону: каждому ненулевому вектору a из V
поставим в соответствие точку, в которой прямая проходящая через точку О,
параллельно вектору a , пересекает плоскость  .
Так как любая прямая, проходящая
через точку О, параллельно вектору a ,
пересекает плоскость  в собственной или
несобственной
точке,
то
каждому
ненулевому вектору ставится в соответствие
некоторая собственная или несобственная
точка плоскости  .
Примем теперь новое соглашение:
собственные или несобственные точки плоскости  будем считать
равноправными. Их будем называть просто проективными точками.
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 116 из 179
Если через P2 обозначим множество всех проективных точек, то f есть
отображение множества векторов V  на множество P2 , или f : V   P2 . Это
отображение удовлетворяет аксиомам проективного пространства и поэтому P2
– модель проективной плоскости. В этой модели точками являются
проективные точки, т.е. собственные или несобственные точки расширенной
плоскости  , а прямыми – проективные прямые, т.е. обычные (собственные)
прямые плоскости  , каждая из которых пополнена несобственной точкой и
несобственной прямой плоскости  .
Т.к. на проективной плоскости все точки равноправны, то мы не должны
различать собственные или несобственные элементы.
Лемма: На расширенной прямой d выбран репер R   ( A , B, E ) , где A –
несобственная точка этой прямой.
Если собственная точка М прямой d в репере R  имеет координаты
( x1 , x2 ) , то та же точка в системе координат B, BE аффинной прямой d имеет
x1
координату x 2 .
M (x)
BM  x BE
d
В
Е
М
А
OE  OB  BE ,
OE , OB, BE
т.к.
порождают вершины проективного репера
R .
OM  OB  BM
OM  x  BE  OB
M (x;1)
в репере R 
x
x
1

x 1
x2 .
M ( x1 ; x2 ) по условию, следовательно x 2 x 2 или
Определение:
Расширенное
трехмерное
аффинное
или
евклидово
пространство A3 является моделью проективного пространства, если в нем
считать равноправными собственные и несобственные точки. В этой модели
проективными точками являются собственные и несобственные точки
пространства A3 , проективными прямыми – обычные собственные прямые,
каждая из которых пополнена несобственной точкой, и несобственные прямые.
А проективными плоскостями – обычные плоскости, каждая из которых
пополнена несобственной прямой и несобственная плоскость.
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 117 из 179
Пересечением двух проективных плоскостей является проективная
прямая.
6.Преобразование координат точек на плоскости и на прямой.
На проективной плоскости рассмотрим два проективных репера.
R  ( A1 , A2 , A3 , E )
R  ( A1, A2 , A3 , E)
Пусть A1(a11 , a21 , a31 )
.
A2 (a12 , a22 , a32 )
A3 (a13 , a23 , a33 )
E (a10 , a20 , a30 ) в репере R .
Матрицу
 а11 а12 а13 а10 


A   а21 а22 а23 а20 
а

 31 а32 а33 а30 
назовем матрицей перехода от репера R к реперу R  .
(1)
Пусть система векторов a1 , a 2 , a 3 , e согласована относительно репера R ,
тогда векторы
a1  а11 а1  а21 a2  a31 a3
a   а а а a a a
2
12 1
22
2
32 3
a 3  а13 а1  а23 a2  a33 a3
e  а10 а1  а20 a2  a30 a3
Порождают вершины репера R  и его единственную точку E  .
(2)
Из
равенств имеем
a1  a2  a3  e  (a11  a12  a13  a10 )a1  (a21  a22  a23  a20 )a2  (a31  a32  a33  a30 )a3
   
Тогда система векторов a1 , a 2 , a 3 , e согласована относительно репера R  ,




т.е. a1 + a 2 + a 3 = e тогда и только тогда, когда четвертый столбец матрицы А
является суммой первых трех столбцов.
В том случае будем говорить, что столбцы матрицы А перехода от R к
R  согласованы.
Если столбцы А не согласованы, то мы всегда можем добиться, чтобы
столбцы этой матрицы были согласованы, решив систему уравнений:
a11k1  a12 k2  a13k3  a10
a21k1  a22 k2  a23k3  a20
a31k1  a32 k2  a33k3  a30
Эта система имеет единственное решение, причем k1  0 , k2  0 , k3  0 .
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 118 из 179
Так как если k1  0 , то E  лежит на прямой A2 A3 , что невозможно, т.к. R  репер.
Тогда матрица
 k1а11

 k1а21
k а
 1 31
k2 а12
k3 а13
k2 а22
k3 а23
k2 а32
а10 

а20 
а30 
k3 а33
Является матрицей перехода от R к R  , причем столбцы этой матрицы
уже согласованы.
Решим следующую задачу:
1. X ( x1 , x2 , x3 ) в R
X ( x1, x2 , x3 ) в R 
Выразить x1 , x2 , x3 через x1, x2 , x3 , если дана матрица А перехода от R к R  ,
столбцы которой согласованы.
   
Решение: Пусть система векторов a1 , a 2 , a 3 , e согласована относительно




репера R . По лемме 2 векторы a1 , a 2 , a 3 , e определяемые формулами (2),
порождают вершины R  .
Т.к. столбцы матрицы А согласованы, то эти векторы согласованы
относительно R  .
Пусть y (вектор, порождающий точку Х) и
y( y1 , y2 , y3 ) в базисе a1 , a 2 , a 3 .
y( y1, y2 , y3 ) в базисе a1 , a 2 , a 3 .
y1  a11 y1  a12 y2  a13 y3
y2  a21 y1  a22 y2  a23 y3
y3  a31 y1  a32 y2  a33 y3
(3)
т.к. y1 , y2 , y3 и x1 , x2 , x3 - координаты точки Х в R , то эти числа пропорциональны
y1   x1
y2   x2
y3   x3   0
y1   x1
y2   x2
y3   x3    0
Подставим эти значения в (3) тогда
 x1  a11 x1  a12 x2  a13 x3
 x2  a21 x1  a22 x2  a23 x3
 x3  a31 x1  a32 x2  a33 x3
Или
 x1  a11 x1  a12 x2  a13 x3
 x2  a21 x1  a22 x2  a23 x3
 x3  a31 x1  a32 x2  a33 x3
(4)
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.

стр. 119 из 179


(4) искомые формулы преобразования координат точек проективной
плоскости.
Пример: З;аписать формулы преобразования координат точек
проективной плоскости, если матрица перехода от R к R  имеет вид
 2 4 0 5


 1 3 0 4
 0 0 1 3


2k1  4k 2  5

k1  3k 2  4  2
k  3
 3
 2k 2  3
2k 2  6  5
2k1  1
k2 
3
2
k1  
1
2
 1 6 0 5
 1 9


0 4
 2 2

 0 0 3 3
x1   x1  6x2
1
2
x 2   x1 
9
x 2
2
– формулы преобразования
x3  3x3
По аналогии решается задача преобразования координат точек на
проективной прямой.
R  ( A1 , A2 , E)
R  ( A1, A2 , E )
 a11 a12

 a21 a22
A1 (a11 , a21 )
A2 (a12 , a22 )
A3 (a10 , a20 )
a10 

a20 
Матрица
есть матрица перехода, тогда формулы


преобразования x( x1 , x2 ) и x( x1 , x2 )
x1  a11x1  a12 x2
– формулы преобразования координат точек
проективной
x2  a21x1  a22 x2
прямой.
7. Уравнение прямой. Координаты прямой.
Пусть Ф – фигура (т.е. любое множество точек).
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 120 из 179
Определение: Уравнением фигуры Ф в выбранном репере называют такое
уравнение, которому удовлетворяют координаты любой точки этой фигуры и
не удовлетворяют координаты точек, на принадлежащих этой фигуре.
Если в качестве фигуры на проективной плоскости возьмем линию, то
уравнение фигуры будет уравнением линии.
Запишем уравнение прямой, проходящей через две точки А и В.
A(a1 , a2 , a3 ) в R .
B(b1 , b2 , b3 ) , А и В принадлежат прямой d .
Точка M ( x1 , x2 , x3 )  AB тогда и только тогда, когда
x1
a1
b1
x2
a2
b2  0
x3
a3
b3
(1)
Это и есть уравнение прямой d . Т.к. А и В различные точки, то
 a1
rang a2
 a3
b1 
b2   2
b3 
x1  a1  b1
Тогда
(2)
x2  a2  b2 где  и  одновременно не равны нулю.
x3  a3  b3
(2) – параметрические уравнения прямой.
Каковы бы ни были числа  и  (не равные нулю одновременно), точка
с координатами x1 , x2 , x3 , удовлетворяющими (2), лежит на прямой d .
Обратно, если ( x1 , x2 , x3 ) - тогда прямой d , то всегда найдутся числа  и
 такие, что x1 , x2 , x3 выражаются через a1 , a2 , a3 , b1 , b2 , b3 при помощи равенств
(2).
Запишем уравнения координатных прямых репера R  ( A1 , A2 , A3 , E )
A1 (1;0;0)
A2 (0;1;0)
x1 1 0
x2 0 1  0
x3 0 0
x3  0
A3 (0;0;1)
( A1 , A2 )
( A1 , A3 )
( A2 , A3 )
x2  0
x1  0
Запишем (1) в виде:
a2
b2
a3
b3
x1 
a1
b1
a3 b3
x2 
a1
b1
a2
b2
Или u1 x1  u2 x2  u3 x3  0 , где хотя бы один из ui  0 .
x3  0
(3)
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 121 из 179
Т.о. уравнение любой прямой в произвольном проективном репере
является однородным уравнением первой степени.
Справедливо и обратное:
Теорема1: Фигура на проективной плоскости, заданная в проективном
репере однородным уравнением первой степени (3), есть прямая.
Пусть даны две прямые:
u1 x1  u2 x2  u3 x3  0
(4)
v1 x1  v2 x2  v3 x3  0
(5)
Теорема2: Прямые, заданные уравнениями (4) и (5) совпадают тогда и
только тогда, когда
u u u 
rang  1 2 3   1
 v1 v2 v3 
.
Следствие: Прямые, заданные уравнениями (4) и (5), пересекаются тогда
и только тогда, когда
 u u u3 
  2
rang  1 2
 v1 v2 v3 
Если прямая d задана уравнением (3), то коэффициенты u1 , u2 , u3 называют
координатами прямой d в репере R и пишут: d (u1 , u2 , u3 ) .
Координаты прямой d одновременно не равны нулю и определяются с
точностью до числового множителя.
Из теоремы 1 заключаем, что любые три числа, не равные нулю
одновременно, являются координатами некоторой прямой.
Понятия координат точек и координат прямой обладают аналогичными
свойствами. В этом находит свое проявление так называемый принцип
двойственности на проективной плоскости.
Координаты координатных прямых.
A3 (0;0;1) , то
A1 (1;0;0)
A2 (0;1;0)
A1 A2
0  x1  0  x2  1  x3  0
A1 A2 (0;0;1)
A1 A3 (0;1;0)
A2 A3 (1;0;0)
8. Принцип двойственности.
Пусть дана проективная плоскость  . Рассмотрим отображение f , при
котором образом каждой точки А является прямая a с теми же координатами и
наоборот, т.е.
f : A(a1 , a2 , a3 )  a(a1 , a2 , a3 )
.
Так, например, образом прямой 2 x1  x2  3x3  0 будет точка (2;1;3) .
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 122 из 179
Из определения отображения f ясно, что оно зависит от выбора системы
координат и что таких отображений, следовательно, существует бесконечно
много. Т.к.  представляет собой совокупность принадлежащих ей точек и
прямых, отображение f является отображением  на себя. (Такого рода
преобразование проективной плоскости называется корреляциями).
f обладает замечательным свойством, оно сохраняет
Отображение
отношение принадлежности. Если A  b  f (b)  f ( A) . В самом деле, условие
принадлежности точки A(a1 , a2 , a3 ) и прямой b(b1, b2 , b3 ) имеет вид
b1a1  b2 a2  b3a3  0 . Но точно так же записывается и условие принадлежности
прямой f ( A) и точки f (b) .
Будем называть фигуры (под фигурами будем понимать множество,
состоящее из точек и прямых) двойственными, если одна из них может быть
получена из другой посредством отображения f .
1)Точка и инцидентная ей прямая.
Примем данную точку за координатную точку A1 , а координатные точки
A2 , A3 поместим на данной прямой. Тогда координаты данной точки и данной
прямой одни и те же – (1;0;0) .
2) Множество точек, лежащих на прямой, и пучок прямых, центр
которого инцидентен данной прямой. Двойственность этих фигур вытекает из
первого примера и сохранения принадлежности при отображении f .
3) Фигурой, двойственной трехвершиннику, будет некоторый
трехвершинник. (трехсторонник) .
Определение: Трехвершинником называется фигура, состоящая их трех
неколлинеарных точек, называемых вершинами, и трех прямых, называемых
сторонами, инцидентных парам этих точек.
Если вершины данного трехвершинника принять за координатные точки,
то очевидно, что трехвершинник двойственен самому себе.
Из того, что отображение f сохраняет инцидентность точек и прямых,
вытекает следующее замечательное свойство проективной плоскости:
Принцип двойственности.
Если справедливо утверждение  , в котором говорится о точках, прямых
на проективной плоскости и об их взаимной принадлежности, то справедливо и
*
так называемое двойственное предложение  , которое получается заменой
слова «точка» словом «прямая» и слова «прямая» словом «точка».
Этот принцип позволяет принять без доказательства одно их
двойственных предложений, если доказано другое предложение.
В трехмерном проективном пространстве имеет место другой принцип,
который называется принципом двойственности в пространстве. Он
заключается в следующем:
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 123 из 179
Теорема: Если справедливо предложение  , в котором говорится о
точках, прямых и плоскостях проективного пространства и об их взаимной
принадлежности, то справедливо и так называемое двойственное предложение
* в пространстве которое получается из  при замене слов «точка», «прямая»,
«плоскость» соответственно словами «плоскость», «прямая», «точка».
Например.
1. Для любой прямой и не принадлежащей ей точки существует одна и только
одна плоскость, принадлежащая им обеим (т.е. проходящая через точку и
прямую).
1* Для любой прямой и не принадлежащей ей плоскости существует одна
и только одна точка, принадлежащая им обеим.
2. Каковы бы ни были две точки, существует одна и только одна прямая,
принадлежащая этим точкам.
2* Каковы бы ни были две плоскости, существует одна и только одна
прямая, принадлежащая этим плоскостям.
Обоснование принципа двойственности в пространстве мы опускаем.
9. Теорема Дезарга.
Теорема 1: Если прямые, проходящие через соответственные вершины
двух трехвершинников проходят через одну точку, то соответственные стороны
этих трехвершинников пересекаются в точках, лежащих на одной прямой.
Если О лежит на одной из прямых АВ, ВС, СА, то утверждение теоремы
очевидно. Если какие-нибудь из соответственных вершин АВС и АВС
совпадают, то утверждение теоремы также очевидно.
Докажем теорему для случая, когда A и A , В и В  , С и С различные
точки.
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 124 из 179
Рассмотрим репер R  ( A, B, C , O)
A(1;0;0)
В (0;1;0)
С (0;0;1)
О (1;1;1)
x1
1 1
x2
0 10
ОA : x3 0 1
x2  x3  0
A  OA и не совпадает с точкой A , поэтому её координаты можно
обозначить
A(a;1;1)
x1
0 1
x2
1 10
ОВ x3 0 1
x1  x3  0
B (1; b;1)
x1 0 1
x2
0 10
ОС x3 1 1
x1  x2  0
С (1;1; с )
Найдем координаты точек M, N, P в репере R .
Запишем уравнение ВС и ВС
x1
0 0
x2
1 0 0
x3
0 1
x1
1 1
x2
b 1 0
x1  0 (ВС)
(bc  1) x1  (c  1) x2  (1  b) x3  0
x3 1 c
Поэтому M (0;1  b; c  1)
M  ВС  BC
N  AС  AC
x1
1 0
x2
0 0 0
x3
0 1
x2  0 (АС)
x1
a 1
x2
1 1 0
x3
1 c
(c  1) x1  (ac  1) x2  (a  1) x3  0
N (1  a;0; c  1)
( АС )
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 125 из 179
P  AВ  AB
x1
1 0
x2
0 1 0
x3
0 0
x1
a 1
x2
1 b 0
x3
1 1
0
1 b
x3  0 (АВ)
(1  b) x1  (a  1) x2  (ab  1) x3  0
P(a  1;1  b;0)
1 a a 1
0
c 1 c 1
1  b  (1  a)(1  b)(c  1)  (1  b)(c  1)( a  1)  0
0
Т.о. точки M, N, P лежат на одной прямой.
Теорема Дезарга верна и в том случае, когда данные трехвершинники
лежат в разных плоскостях трехмерного проективного пространства.
Теорема2: (Обратная теорема Дезарга). Если точки пересечения
соответственных сторон двух трехвершинников лежат на одной прямой, то
прямые, проходящие через соответственные вершины этих трехвершинников,
проходят через одну точку.
Теорема не требует доказательства, т.к. справедливость её
непосредственно устанавливается по принципу двойственности на плоскости.
10. Сложное отношение четырех точек прямой и его свойства.
Пусть d – проективная прямая.
Точка А, В, С, D принадлежат d , причем А, В, С – различные и D≠А.
рассмотрим проективный репер R0  ( А, В, С ) прямой d и обозначим координаты
точки D в этом репере: D( x1 x2 ) , т.к. D≠А, то x2  0 .
Число
x1
x2
называется сложным (двойным или ангармоническим)
( AB, CD) 
x1
x2 .
отношением точек А, В, С, D и обозначается:
Теорема1: Если А, В, С – различные точки прямой, а  – любое
действительное число, то на данной прямой существует одна и только одна
точка Х, такая, что ( AB, CX )   .
Доказательство: На данной прямой введем репер R  ( А, В, С ) и в этом
репере рассмотрим точку X ( ,1) .
( AB, CX )   (по определению). Покажем, что Х – единственная. Пусть
x1
x1 


X ( x1x2 ) и ( AB, CX )   , тогда x2
или x2 1 .
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 126 из 179
Координаты точек Х и X  пропорциональны. Поэтому X  X  .
Следствие: Если на прямой даны точки А, В, С, D и D , такие, что
( AB, CD)  ( AB, CD) , то точки D и D совпадают.
Теорема1: Если точки А, В, С, D, лежащие на некоторой прямой в
репере R имеют координаты A(a1, a2 ) , B(b1, b2 ) , C(c1, c2 ) , D(d1, d2 ) причем точки А,
В, С – различные и точка D не совпадает с точкой А, то
a1
a2
a1
( AB, CD)  a2
c1 b1 d1

c2 b2 d 2
d1 b1 c1

d 2 b2 c2
.
Доказательство: рассмотрим репер R0  ( А, В, С ) и запишем формулы
преобразования координат при переходе от репера R к R0 . Координаты точек А
и В могут быть записаны в виде A(k1a1, k2a2 ) и B(k1b1, k2b2 ) .
Матрицы перехода от репера R к R0 имеет вид:
 k1a1

 k1a2
k3c1 

k3c2 
k2b1
k2b2
Подберем k1 , k2 так, чтобы столбцы этой матрицы были согласованы.
k1a1  k2b1  c1

k1a2  k2b2  c2
c1
b1
c2 b2
a1 b1
k1 
a2
k2 
b2
a1
c1
a2
a1
c2
b1
a2
b2
Тогда формулы преобразования принимают вид:
k1a1x1  k2b1x2  x1
k1a2 x1  k2b2 x2  x2
Пусть D( y1, y2 ) в R0 , тогда
k1a1 y1  k2b1 y2  d1
k1a2 y1  k2b2 y2  d2
Отсюда
y1 
d1 k2b1
d 2 k2b2
k1a1
k2b1
k1a2
k2b2
k 2

k1k 2
d1
d 2
a1k1
y2 
a2 k1
k1k2
a1
b1
a2
b2
d1
b1
d 2 b2

a1 b1
a2
b2


k2
a1

k1
d1
a2 d 2
a1 b1
a2
b2
d1
b1
d2
a1
b2
b1
a2
b2
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
d1
y1
( AB, CD)  y 2

Редакция № 1 от2.09.2014 г.
b1
d 2 b2
a1 b1
k1
a2
k2
b2
a1
b1
d1
a2 b2
d
 2
a1 d1
a1
a2
d2
a2
b1 a1

b2 a2
d1 c1

d 2 c2
стр. 127 из 179
c1
a1
c2
a
 2
b1
a1
b2
a2
c1 b1 d1

c2 b2 d 2
d1 b1 c1

d 2 b2 c2
ч.т.д.
Имеют место следующие свойства сложного отношения четырех точек
прямой:
1. ( AB, CD)  (CD, AB) ;
1
2. ( AB, CD)  ( AB, DC ) ;
1
( AB, CD)  ( BA, CD) , если ( AB, CD)  0 ;
3. ( AB, CD)  ( BA, DC ) ;
4. ( AB, CC )  1 , ( AB, CB)  0 ;
5. ( AB, CD)  ( AC, BD )  1
Докажем пятое свойство.
R0  ( А, В, С ) , D(d1 , d 2 )
А(1;0), В(0;1), С(1;1), тогда
1 0 1

0 1 1

1 d1 1

( AС , BD ) 0 d 2 1
Т.е. ( AB, CD)  ( AC, BD )  1
Если известно ( AB, CD) , то
d1
d 2 d 2  d1
d

1 1 1
0
d2
d2
1
( AB, CD)
пользуясь формулами 1-5 можно найти
сложное отношение тех же точек, заданных в любом другом порядке.
Определение: Говорят, что пара точек А, В разделяет пару точек С, D,
если ( AB, CD)  0 и не разделяет пару точек С, D, если ( AB, CD)  0 .
Имеет место следующая теорема.
Теорема: Две точки А и В проективной прямой d разделяют множество
всех остальных точек прямой на два ненулевых подмножества так, что если
точки M и N , принадлежат разным подмножествам, то пара А,В разделяет
пару M , N , а если они принадлежат одному подмножеству, то пара А,В не
разделяет пару M , N .
Каждые из этих подмножеств вместе с точками А и В называются
проективным отрезком с концами А и В.
Т.о. на проективной прямой две точки определяют не один отрезок, как
на евклидовой прямой, а две аналогично тому, как две точки окружности на
евклидовой плоскости определяют две дуги с концами в этих точках.
Геометрический
расширенной прямой.
смысл
сложного
отношения
четырех
точек
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 128 из 179
Теорема 3: Если А, В, С, D – собственные точки, а P - несобственная
( АB, C )
точка расширенной прямой, то ( AB, CD)  ( AB, D) и ( AB, CP )  ( AB, C) , где
( AB, C ) , ( AB, D ) – простые отношения соответствующих точек.
Доказательство: Н а расширенной прямой выберем репер R  ( P , A, B)
A(1;0)
B(1;1)
P (1;0)
C(c1; c2 )
D(d1; d 2 ) ,
0

Тогда ( AB, CD)
1
0
1
c2  0 ,
d2  0
c1 1 d1
c1
c1 c1 d1

(d 2  d1 )

c2 1 d 2 c1 (d 2  d1 ) c2 d 2
c2 c2 d 2




d1
d1 d1 c1
d1 1 c1
d1 (c2  c1 )
(
c

c
)


2
1
c2 d 2
d 2 d 2 c2
d 2 1 c2
c1  d1 
1  
c2  d 2  c(1  d )


d1  c1  d (1  c)
c1
d1
1  
c
d
d 2  c2 
c
d
2
2
, где
0 c1 1 1
c1

1 c2 1 0
c1
c1
c
c


 2 
0 1 1 c1  (c2  c1 ) c1  c2 c1
1 1  c

c
2
( AB, CP )  1 0 1 c2
По лемме A(0) , B (1) , C (c ) , D (d )
( M 1M 2 , M ) 
x  x1
x2  x
( AB, C ) 
( AB, D) 
M 1M
MM 2
c0
c

1 c 1 c
d 0
d

1  d 1  d , отсюда следует заключение теоремы.
11.Сложное отношение четырех прямых пучка.
Рассмотрим
две

прямые g и g проективной
плоскости и точку О, не
принадлежащую
этим
прямым.
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 129 из 179
M g
M   OM  g 
M
– проекция М на прямую g  (из центра)
Теорема: Если А, В, С, D – точки прямой g , а A, B, C , D – их проекции
на прямую g  из точки О, то ( AB, CD)  ( AB, C D)
Доказательство:
R  ( A, B, O, E )
R  ( A, B, O, E ) ,
где E  OC , Е
отлична от точек О, С и С .
A(1;0;0)
B(0;1;0)
O(0;0;1)
E (1;1;1)
A(1;0;0)
B (0;1;0)
O(0;0;1)
E (1;1;1)
x1
1 0
x2
0 0 0
ОА : x3
0 1
x2  0
А  ОА и совпадает с А, А(1;0; а)
В  ОВ и совпадает с В, В(0;1; b)
x1
0 0
x2
0 1 0
ОВ : x3 1 0
x1  0
Запишем матрицу перехода от репера R к R 
0
0 1
 k1


k 2 0 1
 0
 k a k b k 1
2
3
 1

Подберем k1 , k2 , k3 так, что
k1  1

k2  1
k a  k b  k  1
2
3
 1
k1  1

k 2  1
k  1  a  b
 3
Тогда формулы преобразований принимают вид
x1  x1

x2  x2
x  xa  x b  x (1  a  b)  1
1
2
3
 3

R
R
Если точка D в реперах и
имеет соответственные координаты
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 130 из 179
D( y1, y2 ,0) R
y1 y1

D( y1, y2 , y3 ) R , то из первых двух равенств получаем y2 y2 .
По теореме (Если произвольная точка Х плоскости, отличная от точки A3
в репере R имеет координаты x1 , x2 , x3 , то проекция x3 точки х из центра A3 на
прямую A1 A2 в репере R3 имеет координаты x1, x2 ).
Точка D на прямой g в репере R  ( А, В, С ) имеет координаты y1, y2 , а
точка D( y1, y2 ) . Тогда ( AB, CD)
( AB, C D)

d
А
b
В
c
С
y1
y2 .
y1
y2 и следовательно, ( AB, CD)  ( AB, C D) .
О
а

g
D
Сложным отношением прямых a, b, c, d
называется (ab, cd )  ( AB, CD) .
Из доказанной теоремы следует, что
( ab, cd ) не зависит от выбора прямой g .
Свойства:
1. (ab, cd )  (сd , ab)
1
1
(ab, cd ) 
(ba, cd ) , если (ab, cd )  0
(ab, dc) и
2.
3. (ab, cd )  (ba, dc)
4. (ab, cc)  1 , (ab, cb)  0
(ab, cd ) 
5. (ab, cd )  (aс, bd )  1
12. Проективные преобразования плоскости.
Определение. Преобразованием проективной плоскости называется
проективным, если точкам любой прямой соответствуют точки, лежащие на
некоторой прямой так, что сохраняются сложное отношение четырех точек, т.е.
(М1М 2 , М 3 , М 4 )  ( М1М 2 , М 3 , М 4 )
.
Примером
проективного
преобразования
плоскости
является
тождественное преобразование.
Лемма1: Пусть R  (М1 , М 2 , М 3 , E ) и R  (М1, М 2 , М 3 , E) – проективные
реперы проективной плоскости. Тогда отображение f , которое каждой точке с
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 131 из 179
заданными координатами в репере R ставит в соответствие точку с теми же
координатами в репере R  , является проективным преобразованием.
Доказательство: f : М ( x1, x2 , x3 ) R  М ( x1 , x2 , x3 ) R
Докажем, что f – проективное преобразование, т.е., что f сохраняет
сложное отношение четырех точек.
А(а1 , а2 , а3 ) R  А(а1 , а2 , а3 ) R
В(b1 , b2 , b3 ) R  B(b1 , b2 , b3 ) R
C (c1 , c2 , c3 ) R  C(c1 , c2 , c3 ) R
D(d1 , d 2 , d3 ) R  D(d1 , d 2 , d3 ) R
A, B, C , D  d , а A, B, C , D  d 
Лемма2:
Если
проективные
преобразования f1 и f 2 три точки A, B, C
g
некоторой
прямой
переводят

соответственно в точки A , B, C  , то
f1 (М )  f 2 (M ) , где
М – любая точка
g
прямой .
1.
2.
3.
4.
a)
Свойства проективных преобразований.
При проективном преобразовании три точки, не лежащие на одной
прямой, переходят в три точки, также не лежащие на одной прямой.
При проективном преобразовании любой репер переходит в репер.
При проективном преобразовании прямая переходит в прямую, пучок
прямых – в пучок прямых.
Множество всех преобразований проективной плоскости  является
группой, т.е. Н – множество всех проективных преобразований.
Если f1  H и f 2  H , то f 2 f1  H .
1
b) Если f  H , то f  H .
Любое проективное преобразование плоскости определяется формулами.
 x1  a11x1  a12 x2  a13 x3
 x2  a21 x1  a22 x2  a23 x3
 x3  a31x1  a32 x2  a33 x3
С определителем отличным от нуля.
f – проективное преобразование.
R  ( М1 , М 2 , М 3 , E )
М ( x1 , x2 , x3 ) R
M  М ( x1 , x2 , x3 ) R
R  (М1, М 2 , М 3 , E)
А1(а11 , а21 , а31 ) R
(1)
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 132 из 179
А2 (а12 , а22 , а32 ) R
А3 (а13 , а23 , а33 ) R
E (а10 , а20 , а30 ) R
Столбцы матрицы перехода согласованы. Справедливо обратное
утверждение:
Определение: Если отображение проективной плоскости в некотором
репере R задано формулами (1), где
проективным преобразованием.
det aij  0
, то это отображение является
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 133 из 179
3 ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ
ЗАНЯТИЕ 1: ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
Определители второго, третьего порядка и их свойства.
1. Вычислить определитель второго порядка:
а)
5
2
 20  6  14
3 4
sin  cos 
б)
 sin  cos   sin  cos   sin(    )
sin  cos 
3 4
в)
 6  4  10
1 2
г)
a 1
bc
a  a ab  ac
a 1
2
д)
a
2
a
 (a  b)( ab  ac)  (a 2  a)(b  c)  a 2b  ab  a 2c  ac  a 2b  ab  a 2c  ac  0
 a2  a2  0
2. Решить уравнения:
а)
2 x4
1
4
0
Решение: чтобы найти неизвестное, раскроем определитель и приравняем
полученное выражение нулю, согласно условию:
8 x  4  0
x  12
б)
x
x 1
 4 x 1
0
Поступаем аналогично предыдущему примеру:
x2  x  4x  4  0
x2  5x  4  0
Получили квадратное уравнение, найдем его корни:
x1; 2 
 5  25  16  5  3

;
2
2
x1  4 ; x2  1
3. Вычислить определитель третьего порядка
3 2 4
а) 4 1  2  9  20  32  20  24  12  4
5 2 3
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
1 2
б) 0 1
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 134 из 179
0
3  1  0  30  0  0  0  29
5 0 1
0 a a
в) a 0 a  a 3  a 3  2a 3
a a 0
4. Решить уравнения:
1
3
а) 4
5
x
1  0
2 1
5
Решение: чтобы найти неизвестное, раскроем определитель и приравняем
полученное выражение нулю, согласно условию:
25  4 x  6  10 x  1  60  0
 14 x  42
x  3
б)
4
3
x
2
1
3 0
x  10
1
1
Поступаем аналогично предыдущему примеру:
 3  8  3x( x  10)  4( x  10)  9  2 x  0
 3  8  3x 2  30 x  4 x  40  9  2 x  0
 3x 2  36 x  60  0
Разделим полученное квадратное уравнение на (-3) и найдем его корни:
x 2  12 x  20  0
x1; 2  6  36  20  6  4
x1  10 ;
x2  2
Домашнее задание.
1. Вычислить определители:
2 1 3
a b
c
1
1
1
а) 5 3 2 , б) c a b , в) a
b
c
a2
b2
c2
1
x
1 4 3
b
c
a
2. Решите уравнение:
x 1
x
x
x 0
x 2
sin 2  1 cos 2 
3. Выяснить, равен ли нулю определитель: sin 2  1 cos 2 
sin 2 
1 cos 2 
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 135 из 179
ЗАНЯТИЕ 2: МАТРИЦЫ
1 3 4
 1 2 3




1. Даны матрицы А   2 1 4  ; В   5 7 8  , найти 2А + В.
1 2 4
 3 2 3




 2 4 6
 3 7 10 




2А   4 2 8  ,
2 А  В   9 9 16  .
 6 4 6
 7 6 10 




 1 0 3
1
  1
 
 


2. Даны матрицы А =  2 4 1  , В =  3  , С =  2  и число  = 2. Найти
 2
1
 1  4 2
 
 


АТВ+С.
1 2 1 


A =  0 4  4 ;
3 1 2 


  2
 
C =  4  ;
 2 
 
T
1 2 1  1

  
A B =  0 4  4   3 =
3 1 2   2

  
 9    2
   
Т
А В+С =  4  +  4 
10   2 
   
T
 1 1  2  3  1 2   9 

  
 0 1  4  3  4  2  =  4  ;
 3  1  1  3  2  2  10 

  
7
 
=  8 .
12 
 
1
 
3. Найти произведение матриц А   4  и В  2 4 1 .
 3
 
1
 
А  В   4   2 4 1 
 3
 
 1 2 1 4 11   2 4 1 

 

 4  2 4  4 4  1   8 16 4  .
 3  2 3  4 3  1  6 12 3 

 

1
 
В  А  2 4 1   4  = 21 + 44 + 13 = 2 + 16 + 3 = 21.
 3
 
3 4

4. Найти произведение матриц А  1 2 , В  
5 6
3 4
  (3  10 4  12)  13 16
А  В  (1 2)  
5 6
5. Определить ранг матрицы.
3 5 7


1 2 3 
1 3 5


 4 8 12  1 2 3 

 
 1 2 3 
 ,
 1 2 3   1 2 3   
 1 3 5  1 3 5  1 3 5 

 

6. Определить ранг матрицы.
1 2
1 3
 3  2  1  0  Rg = 2.
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 136 из 179
1 2 1 3 4

 1 2 1 3 4 1 2
 ,
 4  6  2  0.  Rg = 2.
 3 4 2 6 8   
1 2 1 3 4 3 4 2 6 8  3 4


 1 2
-1
7. Дана матрица А = 
 , найти А .
 3 4
 a11 a12   x11

 
 a21 a22   x21
a11 x11  a12 x 21  e11  1
a x  a x  e  0
 11 12
12 22
12

a
x

a
x

e
22 21
21  0
 21 11
a 21 x12  a 22 x 22  e22  1
1 
 2
Таким образом, А-1= 
.
 3 / 2  1 / 2
x12   1 0
 
.
x22   0 1
 x11  2 x 21  1
x  2x  0
 12
22

3
x

4
x
21  0
 11
3 x12  4 x 22  1
 x11  2

 x12  1

 x 21  3 / 2
 x 22  1 / 2
 1 2
-1
 , найти А .
 3 4
8. Дана матрица А = 
det A = 4 - 6 = -2.
M11=4;
x11= -2;
M12= 3;
x12= 1;
M21= 2;
x21= 3/2;
M22=1
x22= -1/2
1 
 2

 3 / 2  1 / 2
Таким образом, А-1= 
3 2
 , найти А3.
1 4
 3 2   3 2  11 14 
 3 2  11 14   47 78 
 
 = 
 ;
 
 = 
 .
А2 = АА = 
A3 = 
 1 4   1 4   7 18 
 1 4   7 18   39 86 
 3 2  11 14 
 и 
 являются перестановочными.
Отметим, что матрицы 
 1 4   7 18 
9. Дана матрица А = 
10. Вычислить определитель
1
0
2
1 1 2
0
3
2 1
2
1
4 3
3 4
.
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
1
0
2
1 1 2
0
3
2 1
2
1
4 3
3 4
1 1 2
= -1 3
1
стр. 137 из 179
2 1 2
2 1 1
2 1  3 0
3
1  4 0
3
2 = 
4 3
1
3
1
4
2
2
1 1 2
(1) 3
1
2 1 2
2 1  -(-1(6 – 4) – 1(9 – 1) + 2(12 – 2)) = 2 +8 - 20 = -10.
4 3
0  2 1
3 0
3
1 = 0
3
1 = 6(0 – 2) – 3(0 – 6) = 6.
2
1
3
2
1
3
2 1 1
0 2 3
(4)  0
3
2= 0
3
2 = (-8)(-4) +12(-6) = 32 - 72 = -40
2
1
4
2
1
4
Значение определителя: -10 + 6 – 40 = -44.
Домашнее задание.
1. Произвести умножение матриц в указанном порядке:
5 2


 1  2  0 7 8 

 , 2) 1  3  2  1 7 
1) 
 4 6  2 6  3 
1 0


2. Вычислить выражение:
 4 1 
 , 2)
1) 
 5  2
5
 2 1 


 3  2
n
3. Найти матрицу:
  1 3
 , Е – единичная матрица.
1) A2  12 E , где A  
 4 1
 0 1
1 0 
 , B  

2) A2  B 2 , где A  
 0 1
1 0 
4. Найти A1 , если:
 1 3
 2  1
 cos 
 , 2) A  
 , 3) A  
4
3 2 
 sin 
1) A  
 2
5. Найти A1 , если:
 1 2  3
 1 2  3




1) A    1  1 2  , 2) A   0 1 2 
 2 4  5
0 0 1 




 sin  
.
cos  
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 138 из 179
ЗАНЯТИЕ 3: СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
1. Решить по формулам Крамера.
5 x  y  z  0
а)  x  2 y  3z  14
4 x  3 y  2 z  16

5 1 1
 = 1 2 3 = 5(4 – 9) + (2 – 12) – (3 – 8) = -25 – 10 + 5 = -30;
4 3 2
0
1 1
1 = 14
2
3 = (28 – 48) – (42 – 32) = -20 – 10 = -30.
16
3
2
x1 = 1/ = 1;
5
0
2 = 1 14
4 16
1
3 = 5(28 – 48) – (16 – 56) = -100 + 40 = -60.
2
x2 = 2/ = 2;
5 1
0
3 = 1
2
14 = 5( 32 – 42) + (16 – 56) = -50 – 40 = -90.
4
3
16
x3 = 3/ = 3.
2 x  y  z  2

б) 3 x  2 y  2 z  2
x  2 y  z  1

Решение: запишем определитель основной матрицы, состоящей из
коэффициентов при переменных:
2
 3
1 1
2
2  426283  5
1 2 1
Теперь найдем определитель матрицы, состоящей из столбца свободных
членов данных уравнений и второго и третьего столбца основной:
2
x   2
1
1 1
2
2  4  4  2  2  8  2  10
2 1
Аналогично находим значения определителей, заменяя второй, а затем и
третий столбец на столбец, содержащий свободные члены данных уравнений.
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
2
2
стр. 139 из 179
1
 y  3  2 2  4  3  4  2  4  6  5
1
2
z  3
1
1
1
2
 2  4  12  2  4  8  3  15
2
1 2
1
Теперь находим значения переменных по формулам:
x
 x 10

2

5
y
у


5
 1
5
z
 z  15

 3

5
Ответ: (2;-1;-3)
3x  5 y  13
2 x  7 y  81
в) 

x 
13  5
81
7
3 5
2
7
 91  405  496
x
 x 496

 16

31
 21  10  31
y 
y
y

3 13
2 81

 243  26  217
217
7
31
3 y  4 x  1
3x  4 y  18
г) 
Запишем данную систему таким образом, чтобы переменная
находилась под переменной x , а переменная y - под переменной y .
 4 x  3 y  1

3x  4 y  18
4 3

 16  9  25
3 4
1 3
4 1
x 
 50
y 
 75
18 4
3 18

 75

 50
x x 
2
y y 
3
  25
  25
x  2 y  z  4
д) 3x  5 y  3z  1
2 x  7 y  z  8

1
2
  3 5
1
3  5  21  12  10  21  6  33
2  7 1
4
2
x  1  5
1
3  20  7  48  40  84  2  33
8  7 1
x
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
1 4
стр. 140 из 179
1
y  3 1
3  1  24  24  2  24  12  33
2 8 1
1
2
4
 z  3  5 1  40  84  4  40  7  48  33
2 7 8
Вычисляя далее по формулам, получаем: x  y  z  1
2. Решить матричным способом:
2 x  y  z  1

4 y  2 z  0
x  y  z  1

Решение: пусть матрица А состоит из коэффициентов при переменных, В
– матрица свободных членов, матрица Х – матрица переменных.
12 
 x
 2 1  1
 
 


A  0 4 2  ; B   0  ; X   y
1
z
1 1 1 
 
 


По формуле x  A1  B
 A11

1
A1    A12
A 
 A13
2 1 1
A0 4
1 1
A31 

A32 
A33 
A21
A22
A23
2  8  2  1  4  4  10
1
 2  2 6   0,2  0,2 0,6 

 

1
A1    2
3  4    0,2
0,3  0,4 
10 
 

  4  1 8    0.4  0,1 0,8 
1
Матрица на которую умножается
получается следующим образом:
10
чтобы получить A11 в матрице А вычеркиваем первый столбец и первую строку,
вычисляем
4 2
1 1
определитель
получившейся
матрицы
второго
порядка:
 4  2  2 . Чтобы получить A21 вычеркиваем вторую строку и первый
столбец, получаем определитель второго порядка:
1 1
1
и т.д. Далее
1
 1  1  0
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
 0,2  0,2 0,6 


0,3  0,4  
x   0,2
  0.4  0,1 0,8 


стр. 141 из 179
12 
 3 




 0  2 
 1 
  4




Ответ: x=3, y=2, z=-4.
5 x  y  z  0
3.  x  2 y  3z  14
4 x  3 y  2 z  16

 x
 
Х =  y , B =
z
 
0
 
14  , A =
16 
 
 5  1  1


1 2 3 
4 3 2 


Найдем обратную матрицу А-1.
5 1 1
 = det A = 1
2
3  5(4-9) + 1(2 – 12) – 1(3 – 8) = -25 – 10 +5 = -30.
4
3
2
M11 =
M12 =
M13 =
a111
1
a 21
1
a31
2 3
3 2
1 3
4 2
1 2
= -5;
 10;
M21 =
M22 =
1 1
3
2
5 1
4 2
5 1
= 1;
 14;
M23 =
 5;
 19;
4 3
4 3
5
1
1
 ;
a121  ;
a131  ;
30
30
30
10
14
16
1
1
 ;
a 22
 ;
a 23
 ;
30
30
30
5
19
11
1
1
 ;
a32
 ;
a33
 ;
30
30
30
M31 =
1 1
2
3
5 1
M32 =
 16;
1 3
5 1
M33 =
 11;
1 2
1
 1

30
 6
1
7
-1

A =  
 3
15
 1
19

30
 6
= -1;
1 

30 
8 
;
15 
11 
 
30 
Cделаем проверку:
 5

 5  1  1 30

 10
AA-1 =  1 2 3  

 4 3 2  30

 5

 30
1
30
14

30
19
30
1 

30 
 25  10  5 5  14  19 5  16  11 

16  1 
  5  20  15 1  28  57 1  32  33  =E.
30  30 

11 
 20  30  10 4  42  38 4  48  22 
 
30 
Находим матрицу Х.
1
 1

30
 x
 6
 
1
7
Х =  y  = А-1В =   
 3
15
z
 1
19
 

30
 6
1 

30   0 
8   
 14  =
15   
11  16 
 
30 
Итог решения системы: x =1; y = 2; z = 3.
14 16 
 1

 0

30 30   1 
 6
  1 0  98  128    2  .
 
 3
15 15   
1
266 176   3 

 0

30
30 
6
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 142 из 179
ЗАНЯТИЯ 4-5: ВЕКТОРЫ
1. Пусть ABCD – параллелограмм, О – точка пересечения диагоналей, а Е
и F – соответственно середины параллельных сторон ВС и AD. Построить на
чертеже следующие векторы:
a)
AB  DC ;
AE  DF
b)
c)
OC  CD  OB
В
С
O
А
D
Решение:
a)
AB  DC , AB  DC , ибо выполняются условия:
1) AB  DC (по свойству параллелограмма противоположные стороны
равны).
2) AB и DC сонаправленные .
Отсюда, AB  DC  2 АВ
А
1
В
С
O
А
b)
D
AE  DF
DF  EB ,
т.к. ВС=AD, (по свойству параллелограмма) соответственно
равны и их половины, и выполняется второе условие, векторы
сонаправленные.
Из чертежа видно, что AE  DF  АВ .
c)
OC  CD  OB
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 143 из 179
OC  CD  OD
Но, OD  OB , т.к. точкой О диагональ делится пополам, OD  OB и
векторы противоположно направленные. В таком случае, OC  CD  OB  0
2. Пусть ABCD – параллелограмм, О – точка пересечения диагоналей, а
точки M, N, P и Q – соответственно
середины
сторон AB, BC, CD и DA. Построить
на
чертеже следующие векторы:
a)
MO  OA
OQ  OB
b)
Решение:
a)
Правило построения разности a  b : разность a  b приведенных к
общему началу векторов a и b , представляет собой вектор, идущий из конца
вычитаемого вектора b , в конец уменьшаемого вектора a . Т.е. MO совместим с
вектором OР (т.к. они равны по модулю и сонаправлены). Т.о. разность
MO  OA  АР
b)
OQ  OB  ВQ .
3. Начертить произвольный вектор a и построить векторы:
a.
2a
b.
a 2
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 144 из 179
Решение:
a
a
a 2
2a
a)
b)
4. Даны векторы a  {4;2;4} , b  {6;3;2} .
Вычислить:
a)
a2  a , a  x 2  y 2  z 2 .
a  4 2  (2) 2  (4) 2  36  6
b)
b2  b , b  x 2  y 2  z 2
b  6 2  (3) 2  2 2  49  7
c)
(2a  3b)( a  2b)
2a  3b  {8  18;4  9;8  6}  {10;5;14}
a  2b  {16;2  6;4  4}  {16;8;0}
(2a  3b)( a  2b)  10  16  5  (8)  (14)  0  200
d)
( a  b) 2
a  b  {4  6;2  3;4  2}  {10;5;2}
(a  b) 2  100  25  4  129
e)
( a  b) 2
a  b  {4  6;2  3;4  2}  {2;1;6}
(a  b) 2  4  1  36  41
5. вычислить скалярное произведение векторов:
ab  x1 x2  y1 y2  z1 z2
ab  24  6  8  22
6. Доказать теорему косинусов. Квадрат стороны треугольника равен
сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих
сторон на косинус угла между ними.
Доказательство: Возьмем треугольник
АВС (рис. 8) и введем обозначения:
В
 BAC   ,  CBA   ,  ACB   ,
BC  a , AC  b , AB  c .
c
a
Отсюда следует, что a  b  c .
hb
Умножим скалярно каждую часть на
саму себя и получим:

(a) 2  (b  c) 2  (b) 2  2bc  (c) 2 , т.е.
А
Н
С
b
a 2  b 2  c 2  2bc cos  .
Рис 8
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 145 из 179
Аналогичным путем мы моем получить две новые формулы:
b 2  c 2  a 2  2ca cos 
c 2  a 2  b2  2ab cos  .
Обращаем внимание на то, что эти формулы и каждая из последующих
формул, применяемых при решении треугольников, могут быть получены друг
от друга при помощи так называемого «правила циклической замены».
Сущность этого правила заключается в том, что в каждой из этих формул
можно без нарушения истинности формулы заменить одновременно букву а
буквой b , букву b буквой c и букву c буквой а . Одновременно с этим
производится замена  на  ,  на  и  на  .
Причина такой возможности объясняется той симметрией в обозначении
сторон и углов, которая была введена вначале.
Заметим, что при   900 имеем cos   0 и теорема косинусов дает теорему
Пифагора:
c2  a2  b2 .
7. Применение скалярного произведения векторов к вычислению
элементов некоторых фигур. Первым примером возьмем вывод зависимости
между
сторонами
и
диагоналями
А
С
параллелограмма.
n
m
Сумма квадратов диагоналей
a
параллелограмма равна сумме квадратов
всех его сторон.
Рассмотрим параллелограмм ОАСВ
В
О
b
Рис 9
(рис. 9) в котором ОС  m  a  b , AB  n  b  a .
Беря скалярные произведения самих на себя обеих частей этих равенств,
получим:
2
2
2
2
2
2
m  a  b  2ab
n  a  b  2ab
Складывая, получим требуемое равенство:
m 2  n 2  2a 2  2b 2 .
При помощи свойств скалярного произведения можно доказать более
общее предложение:
Сумма квадратов диагоналей четырехугольника равна сумме квадратов
всех его сторон минус учетверенный квадрат расстояния между серединами
диагоналей.
Для доказательства рассмотрим четырехугольник ABCD, вершины
которого определены раудиусами-векторами OA  a , OB  b , OC  c , OD  d .
Тогда стороны будут равны разностям:
AB  b  a , BC  c  b , CD  d  c , DA  a  d .
А диагонали равны разностям: AC  c  a , BD  d  b .
Середины диагоналей определяются векторами
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 146 из 179
ac
bd
и
,
2
2
ac bd
А расстояние между ними – вектором
.

2
2
Сумма квадратов сторон равна:
a2  b2  2ab  b2  c2  2bc  c2  d 2  2cd  a2  d 2  2ad .
Сумма квадратов диагоналей равна:
a 2  c2  2ac  b2  d 2  2bd .
Учетверенный квадрат расстояния между серединами диагоналей равен:
a2  b2  c2  d 2  2ac  2bd  2ab  2ad  2bc  2cd .
Складывая два последних выражения получим:
2a2  2b2  2c2  2d 2  2ab  2ad  2bc  2cd .
Мы видим, что полученное выражение равно сумме квадратов сторон
четырехугольника, и, значит, предложение доказано.
Приведем еще некоторые интересные приложения скалярного
произведения. Нетрудно проверить тождественное равенство нулю выражения:
a(b  c)  b(c  a)  c(a  b)  0
(1)
Положим теперь, что из точки Н к вершинам треугольника АВС
направлены векторы:
HA  a , HB  b , HC  c (рис. 10).
Тогда имеем также, что
А
Рис 10
CB  b  c , AC  c  a , BA  a  b .
a
Пусть далее нам дано, что АН и ВН совпадают
с высотами треугольника: AH  BC , BH  CA .
c
Н
Отсюда следует, что a(b  c)  0 и b(c  a)  0 , но тогда
в силу тождества (1) получим, что и c(a  b)  0 , т.е.,
b
С
В
что CH  AB , и значит, СН тоже высота
треугольника. Итак, мы получили предложение о том, что три высоты
треугольника пересекаются в одной и той же точке.
Рассмотрим теперь площадь треугольника АВС, в котором ВС  a ,
СА  b , АВ  c . Обозначим эту площадь символом S ABC , согласно известной
формуле имеем:
S ABC 
1
bc sin  .
2
От этой формулы перейдем к косому векторному произведению.
Обозначив вершины треугольника так, чтобы обход контура АВС совершался в
положительном направлении, получим:
S ABC 
 
1
1
bc  bc sin 
2
2
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 147 из 179
Действительно, помещая начало вектора b в точку А, получим АС  b ,
1
2
 
1
2
при этом мы имеем: S ABC = S ABC , САВ     , и значит, S ABC = bc  bc sin(    ) .
Но sin(    )  sin  . Итак, S ABC  bc   bc sin  .
1
2
1
2
Путем циклической замены получим: S ABC 
 
 
1
1
c a , S ABC  ab .
2
2
8. Доказать, что для того, чтобы два скрещивающихся ребра тетраэдра
были взаимно перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы суммы
квадратов двух других пар скрещивающихся ребер были равны между собой.
Решение: решим вначале иным способом. Пусть дан тетраэдр DABC, в
котором DB  AC .
Опустим D тетраэдра перпендикуляр DB1 на ребро AC . По признаку
перпендикулярности прямой и плоскости AC  DBB1 , следовательно, BB1  AC .
На этом основании можно записать следующие равенства:
AB2  DC 2  AB2  DB12  B1C 2  BB12  AB12  DB12  B1C 2 ,
AD2  BC 2  DB12  AB12  BC 2  DB12  AB12  BB12  B1C 2
Правые части этих равенств равны, следовательно, равны и левые.
Итак, если в тетраэдре два скрещивающихся ребра перпендикулярны, то
суммы квадратов двух других пар скрещивающихся ребер равны между собой.
Докажем обратное утверждение. Пусть дан тетраэдр DABC, у которого
2
AB  DC 2  AD 2  BC 2 . Около тетраэдра DABC опишем параллелепипед
A1DC1BAD1CB1 .
Через попарно скрещивающиеся ребра проводим параллельные
плоскости (таких будет шесть плоскостей), в результате такого пересечения
получится параллелепипед A1DC1BAD1CB1 . (рис сверху, справа). Воспользуемся
теоремой о сумме квадратов диагоналей
параллелограмма. Запишем
следующие равенства:
AB2  BC 2  AD2  A1D12  2 AA12  2 A1D2 , AB2  DC 2  AB2  A1B12  2 AA12  2 A1B 2 .
Левые части этих равенств равны по условию. Следовательно, равны и
правые.
2 AA12  2 A1D 2  2 AA12  2 A1B 2 .
D
D
A1
В
C1
B
С
В1
D1
C
А
A
B1
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 148 из 179
Получим, что A1D  A1B . Следовательно, параллелограмм A1DC1B является
ромбом.
А тогда диагонали DB и A1C1 перпендикулярны. Следовательно, DB
перпендикулярна AC .
II способ. Векторный.
Дан тетраэдр DABC, причем DA2  BC 2  DC 2  AB2 , т.е. суммы квадратов
двух пар скрещивающихся ребер равны. Докажите, что ребра третьей пары
взаимно перпендикулярны. Введем векторы (рис. ниже)
D
DB , DC , AB, BC , CA .
DA,
Выразим векторы
и BC  DC  DB .
Возведем в квадрат:
AB  DB  DA
2
2
2
2
2
2
AB  DB  DA  2 DB  DA ,
С
А
BC  DC  DB  2 DC  DB .
В
От этих равенств перейдем к новым,
прибавив к обеим частям равенства одну и ту же
величину: в первом случае DC 2 , во втором случае – DA2 .
AB2  DC 2  DB 2  DA2  DC 2  2DB  DA ,
BC 2  DA2  DC 2  DB 2  DA2  2DC  DB .
Левые части двух последних равенств равны по условию. Из равенства
правых частей вытекает:
DB  DA  DC  DB  DB ( DA  DC )  0  DB  CA  0
Следовательно, DB перпендикулярен CA , так как эти векторы не
являются нулевыми. Чтобы доказать обратное утверждение, достаточно все
рассуждения провести в обратной последовательности.
9. Докажите, что диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке.
Решение:
воспользуемся
следующим чертежом.
D1
С1
B1
A1
M1
С
D
А
В
Пусть М1 – середина диагонали
АС1.
используя
правило
параллелепипеда, можно записать
AC1  AB  AD  AA1 ,
тогда
AM1 
1
1
AC1  ( AB  AD  AA1 ) .
2
2
М2 – середина диагонали BD1 ,
следовательно, выражаем вектор
AM 2 :
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
AM 2 
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 149 из 179
1
1
( AB  AD1 )  ( AB  AD  AA1 ) При сравнении векторов AM 1 и AM 2
2
2
видим, что они равны. Следовательно, точки М1 и М2 совпадают.
Задача 3. Дан произвольный треугольник. На его сторонах вовне
построены равносторонние треугольники, центры, которых служат вершинами
треугольника  . Центры равносторонних треугольников построенных на
сторонах исходного внутрь его, служат вершинами другого треугольника  .
Доказать, что центры треугольников  и  совпадают с центром тяжести
исходного.
Решение: докажем более общее утверждение. Если на сторонах АВС во
внешнюю (или внутреннюю) сторону построены подобные треугольники А1ВС ,
АВ1С , АВС1 так, что А1ВС  B1CA  C1 AB , А1СB  B1 AC  C1BA , то точки
пересечения медиан треугольников АВС и А1В1С1 совпадают. Заметим сначала,
что если М – точка пересечения медиан АВС , то MA  MB  MC  0 . И обратно,
если выполняется это равенство, то М – точка пересечения медиан АВС .
MA1  MB1  MC 1  0 ,
Осталось
проверить,
что
или
( MA  АС1 )  ( MB  ВА1 )  ( MC  СВ1 )  0 .
Но
Кроме того,
MA  MB  MC  0 .
АС1  ВА1  СВ1  0 , поскольку, каждый из векторов АС1 , ВА1 , СВ1 получается из
AВ, BС , CА поворотом на один и тот же угол ( А1ВС ) и умножением на одно и то
же число.
10. Вычислить площадь треугольника, вершинами которого являются
точки:
А(2;-3),
В(3;2),
C(-2;5)
Решение: воспользуемся определением векторного произведения.
S
S
1 x2  x1
2 x3  x1
y2  y1
y3  y1
1 3 2 23 1 1 5

 14 (кв. ед)
2 22 53 2 4 8
11. Дан параллелепипед ABCDD1 A1B1C1 . В котором известны AB{4;3;0} ,
AD{2;1;2} , AA1{3;2;5} . Найти 1) объем; 2) площади граней; 3) высоту
параллелепипеда; 4) угол между ребром B1 A1 и диагональю параллелепипеда
B1D .
Решение:
B1
C1
A
1
D
В
А
1
D
1)
4
3
0
V  ( AB, AD, AA1 )  2
1
2  20  12  0  30  16  12
3 2 5
С
(куб. ед)
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 150 из 179
2) S ABCD  S A B C D1  [ AB, AD]
1 1 1
3 0 4 0 4 3
[ AB, AD]  
;
;
  {6;8;2}
1 2 2 2 2 1 
[ AB, AD]  36  64  2  104  2 26
3) S AA B B  SCC D D  [ AB, AA1 ]
1 1
1 1
 3 0 4 0 4
3 
[ AB, AA1 ]  
;
;
  {15;20;1}

2
5

3
5

3

2


[ AB, AA1 ]  225  400  1  626
4) S AA D D  SCC B B  [ AA1 , AD]
1 1
1 1
 1 2 2 2 2
1 
[ AA1 , AD]  
;
;
  {9;16;1}
 2 5 3 5 3  2
[ AA1 , AD]  81  256  1  338
5) A1H 
V
S ABCD

12
6 26

26
2 26
6) Косинус угла
cos  
x1 x2  y1 y2  z1 z2
между векторами можно вычислить по формуле:
x  y12  z12  x22  y22  z22
2
1
.
Для чего найдем координаты вектора B1 D . Координаты вектора AB{4;3;0}
известны по условию.
B1D  DB  BB1 , DB  DA  AB , отсюда B1D  DA  AB  BB1   AD  AB  BB1 .
B1D  {2  4  3;1  3  2;2  0  5}  {1;0;3}
cos  
4(1)  3  0  0  3
(1)  0  3  4  3  0
2
2
3
2
  arccos
2
2

4
4
.

10  25 5 10
4
5 10
12. Дана призма ABCC1B1 A1 , в которой известны
AA1{3;2;2} .
Найти объем и высоту призмы.
Решение:
А
С1
1
В1
С
А
В
AB{0;1;1} , AC{2;1;4} ,
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 151 из 179
0 1 1
1
1
17
(куб. ед)
V  ( AB, AС , AA1 )  2  1 4  (12  4  3  4) 
2
2
2
3 2 2
V
.
h
S ABC
1
2
Найдем площадь основания: S ABC  [ AB, AC ] 
h
17
2
17 2

 17
2 17
13. Установить, компланарны ли векторы a , b , c , если даны координаты
векторов.
x1
y1
z1
Решение: Если смешанное произведение трех векторов abc  x2 y2 z2
x3
y3
равно нулю, то эти векторы компланарны.
1) a{2;3;1} , b{1;1;3} , c{1;9;11} .
2
3
a bc  1  1
1
9
1
3  22  9  9  1  54  33  0 , векторы компланарны.
 11
2) a{3;2;1} , b{2;1;2} , c{3;1;2} .
3 2
abc  2
3
1
1
2  6  2  12  3  6  8  37  0 , векторы не компланарны.
1  2
3) a{2;1;2} , b{1;2;3} , c{3;4;7} .
2
ab c  1
1
2
3 4
2
 3  28  8  9  12  24  7  0 , векторы компланарны.
7
z3
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 152 из 179
ЗАНЯТИЯ 6-7: МЕТОД КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ.
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ.
1. Найти координаты точек, симметричных точкам A(1;1) , B (3;2) , С (3;0) ,
D(4;3) , E (2;1) , относительно начала координат.
Решение:
А(1;1
)
А/(-1;A(1;1) ,
1)
Аналогично B(3;2) , С (3;0) , D(4;3) , E (2;1)
2. Даны две смежные вершины квадрата А(3;-7), В(-1;4). Найти его
площадь.
Решение: вспомним, что площадь квадрата равна квадрату его стороны.
Найдем значение отрезка АВ: АВ  ( x2  x1 )2  ( y2  y1 )2
АВ  (1  3)2  (4  (7)) 2  137
Площадь, соответственно равна: S  ( 137 ) 2  137 кв. ед.
3. Даны три вершины А(3;-7), В(5;-7), С(-2;5) параллелограмма ABCD,
четвертая вершина которого D противоположна В. Определить длину
диагоналей этого параллелограмма.
Решение: По определению параллелограмма сторона CD равна и
параллельна АВ. Координаты АВ: АВ(3  5;7  7)  (2;0)
Составим уравнения, чтобы найти точку D: x  2  2 y  5  0
x  4
y5
По формулам найдем длины диагоналей:
АС  (2  3)2  (5  7)2  169  13
BD  (4  5)2  (5  7)2  225  15
Ответ: 13, 15.
4. Даны две смежные вершины параллелограмма А(-3;5), В(1;7) и точка
пересечения диагоналей М(1;1). Определить две другие вершины:
Решение: Точка пересечения диагоналей делит их пополам. Найдем
координаты векторов:
В(1;7)
А(-3;5)
С
M(1;1
)
D
x A  xC
y A  yC
 xM
 yM
2
2
xC  2 xM  xA  2  3  5
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 153 из 179
yC  2 yM  y A  2  3  3
C(5;-3)
xD  2xM  xB  2  3  1
yD  2 yM  yB  2  7  5
D(1;-5)
5. Даны две противоположные вершины квадрата: P(3;5) , Q(1;3) . Найти
площадь квадрата.
Решение:
Зная противоположные стороны квадрата, мы можем найти диагональ. А
1
2
затем по формуле S  d 2 найти площадь.
PQ  (1  3)2  (3  5)2  68
2
1
S
68  34 кв. ед.
2
 
6. Вычислить площадь правильного треугольника, две вершины которого
суть А(-3;2) и В(1;6)
Решение: зная сторону треугольника, площадь можно найти по формуле:
S
a2 3
4
АВ  (1  3)2  (6  2)2  32
 32 
S
2
3
4

32 3
 8 3 кв.ед.
4
7. Вычислить площадь треугольника, вершинами которого являются
точки: A(2;3) , B(3;2) , C (2;5)
Решение: Каковы бы ни были три точки A( x1; y1 ) , B( x2 ; y2 ) , C ( x3 ; y3 ) ,
площадь треугольника АВС дается формулой: S 
S
1 x2  x1
2 x3  x1
y 2  y1
y3  y1
.
1 3 2 23 1 1 5 1

 (8  20)  14 (кв. ед.)
2 22 53 2 4 8 2
8. Даны вершины треугольника А(1;-3), В(3;-5), С(-5;7). Определить
середины его сторон.
Решение: Пусть М – середина отрезка АВ, N – середина отрезка ВС, а Р –
середина отрезка АС.
По формулам:
x
x1  x2
;
2
найдем координаты середин отрезков:
y
y1  y2
2
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
Mx 
1 3
2
2
Nx 
Px 
Mу 
53
 1
2
 5 1
 2
2
стр. 154 из 179
35
1
2
Nу 
75
1
2
Nу 
73
2
2
9. Написать формулы преобразования координат, если начало координат
(без изменения направления осей) перенесено в точку
a)
А(3;4)
b)
В(-2;1)
Решение:
a)
b)
x  x  3
y  y  4
x  x  2
В:
y  y  1
А:
c)
10. Начало координат перенесено (без изменения направления осей) в
точку O(3;4) . Координаты точек А(1;3), В(-3;0), С(-1;4) определены в новой
системе. Вычислить координаты этих же точек в старой системе координат.
А :
x  3 1  4
y  4  3  1
В :
x  33  0
y  4  0  4
С :
x  3 1  2
y  4  4  0
Ответ: А (4;-1), В  (0;-4), С (2;0).
11. Оси координат повернуты на угол   600 . Координаты точек
А(2 3;4) , В( 3;0) , С (0;2 3 ) определены в новой системе. Вычислить
координаты этих точек в старой системе.
Решение: Воспользуемся формулами:
x  x cos   y sin 
.
y  x sin   y cos 
1
3
3
3
x  2 3   4
3 3
x
0
2
2
2
2
A :
B :
3
1 3
3
1
y  3
 0 
y  2 3
 4  1
2
2 2
2
2
 3 3
Ответ: A(3 3;1) , B ;  , C (3; 3 ) .
 2 2
3
3
2
C :
1
y  02 3   3
2
x  02 3

13. Даны вершины треугольника в полярных координатах: A10;  ,

 5 
 7 
B16;
 , C  6;
 . Доказать, что треугольник АВС – равносторонний.
6 

 6 
2
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 155 из 179
Решение: Известно, что если даны M1  ( 1;1 ) и
M 1M 2  12   22  2 1  2 cos(1   2 ) . Найдем АВ, ВС и АС.
M 2  ( 2 ;2 ) , то
 5  
AB  100  256  2 10 16 cos
   196  14
 6 2
BC  256  36  2  16  6 cos
AC  100  36  2 10  6 cos

3

3
 196  14
 196  14
АВ=ВС=АС, т.е. треугольник правильный.

14. Даны вершины треугольника в полярных координатах: A 2 3;  ,

3
2 
2 


B 3 ;
 , C  4  3;
 . Доказать, что треугольник АВС –прямоугольный.
3 
3 


Решение:
AB  12  3  2  3  2 3 cos

3
 9
BC  3  16  8 3  9  2  3  (4  3) cos 0  22
AС  12  16  8 3  9  2  2 3  (4  3 ) cos
( 22 ) 2  ( 9 ) 2 

3
 31
 31 , т.е. выполняется теорема Пифагора, из чего следует, что
2
треугольник АВС – прямоугольный.
15. В полярной системе координат даны две смежные вершины квадрата
 

  
M 12;  и N  3;  . Определить его площадь.
10 

 15 
Решение: Найдем длину отрезка MN и по возведя в квадрат, получим
площадь квадрата. MN  144  9  2 12  3 cos


3
 153  36 3
  153  72 
2
 10 15 
S  ( MN ) 2  153  36 3  9(17  4 3 ) кв. ед.

16. В полярной системе координат даны две вершины правильного

7
треугольника АВС: A 4;  , B 8;  . Найти площадь этого треугольника.

12 

12 
Решение: AB  4  8  2  4  8 cos 

 12
 112 
S
2
4

7 
 2 
  80  64 cos 
  112
12 
 3 
3
 28 3 кв. ед.
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 156 из 179
ЗАНЯТИЯ 8-9: ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ
1.
Дана прямая 2 x  3 y  3  0 . Определить какие из точек принадлежат
данной прямой: (3;1), (2;3), (6;3), (-3;-3).
Решение: чтобы узнать, принадлежат ли точки данной прямой, подставим
их координаты в уравнение, если выполнится верное равенство, то
принадлежат. В обратном случае – нет.
1) 2  3  3 1  3  0 принадлежит,
2) 2  2  3  3  3  8  0 не принадлежит
3) 2  6  3  3  3  0 принадлежит
4) 2  (3)  3  (3)  3  0 принадлежит
2.
Найти точку пересечения прямых 3x  4 y  29  0 , 2 x  5 y  19  0 .
Решение: Чтобы найти точку пересечения, решим систему уравнений.
Воспользуемся методом Гаусса.
3x  4 y  29  0 | (2)


2 x  5 y  19  0 | 3
 6 x  8 y  58


6 x  15 y  57
23 y  115  6 x  58  40
y  5
x3
т.е. точка пересечений двух прямых имеет координаты: М(3;-5)
3. Даны уравнения двух сторон параллелограмма: АВ: x  3 y  12  0 ,
ВС: x  3 y  8  0 , и диагональ АС: 2 x  y  4  0 . Определить координаты вершин
этого параллелограмма.
Решение:
В
Точка А является точкой пересечения прямых АВ и АС.
С Решив методом Гаусса систему уравнений, получим:
А
О
D
 x  3 y  12  0 | (2)


2 x  y  4  0
 5 y  20  0
x  12  3 y
y  4
x0
А(0;-4)
Точка С является точкой пересечения прямых ВС и АС:
 x  3 y  8  0 | (2)


2 x  y  4  0
 5 y  20  0 x  8  3 y
С(-4;4)
y4
x  4
Точка О середина отрезка АС:
xO 
40
 2
2
yO 
44
 0.
2
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 157 из 179
Выведем уравнение АО: AC  {4  0;4  (4)}  {4;8}
 4( x  2)  8( y  0)
4x  8 y  8  0
x  2y  2  0
 x  3 y  12  0
Решим систему уравнений: 

x  2 y  2  0
y  10
В(18;-10)
x  18
yD  yO  yB
xD  2 xO  xB
xD  4  18  22
xD  0  10  10
D(-22;10)
Ответ: А(0;-4), В(18;-10), С(-4;4), D(-22;10).
4. Стороны треугольника лежат на прямых x  5 y  7  0 , 3x  2 y  4  0 ,
7 x  y  19  0 . Вычислить его площадь.
Решение: Найдем координаты вершин треугольника.
 x  5 y  7  0 | (3)

3x  2 y  4  0
x  7  5y
А: 
 17 y  17
y 1
x2
7 x  y  19  0 | (2)
В: 

3x  2 y  4  0
y  19  7 x
17 x  34
y  5
x  2
 x  5 y  7  0 | (3)
А: 

7 x  y  19  0
y  19  7 y
 34 x  102
y2
x  3
1 x2  x1 y2  y1
S
2 x3  x1 y3  y1
S
А(2;1)
В(-2;-5)
С(-3;2)
1  2  2  5 1 1  4  6

 17 кв. ед.
2  3  2 2 1
2 5 1
Ответ: 17 кв. ед.
5. Определить угловой коэффициент k и отрезок b, отсекаемый на оси
ОУ для каждой из прямых.
5x  y  3  0
a)
2x  3y  6  0
b)
Решение:
a)
Выведем у из уравнения: y  5 x  3 , откуда k  5 , b  3 .
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
b)
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 158 из 179
2
3
2
3
Выведем у из уравнения: y   x  2 , откуда k   , b  2 .
6. Дана прямая, заданная уравнением 2 x  3 y  4  0 . Составить уравнение
прямой, проходящей через M 0 (2;1)
a)
Параллельно данной прямой;
b)
Перпендикулярно данной прямой.
Решение:
a)
Признаком параллельности является равенство коэффициентов:
k1  k2 .
Ax  By  C  0 , k  
A
.
B
2
.
3
Теперь составим уравнение: y  y0  k ( x  x0 ) .
2
y  1   ( x  2)
3
2
7
y   x  | 3
3
3
3y  2x  7  0
Из уравнения 2 x  3 y  4  0 найдем k: k  
b)
Признаком
коэффициентов: k2  
перпендикулярности
является
соотношение
1
.
k1
Ax  By  C  0 , k  
A
2
. Из уравнения 2 x  3 y  4  0 найдем k: k1   .
B
3
Найдем
k2 
3
. Теперь составим уравнение: y  y0  k ( x  x0 ) .
2
3
y  1  ( x  2)
2
2 y  2  3x  6  0
2 y  3x  4  0
7. Даны вершины треугольника M1 (2;1) , M 2 (1;1) и M 3 (3;2) . Составить
уравнения его высот.
Решение: Составим уравнения прямых, содержащих стороны этого
x  x1
y  y1
.

x2  x1 y2  y1
x 1 y 1

M 2M 3 :
3 1 2 1
3( x  1)  4( y  1)
3x  4 y  1  0
треугольника. Уравнение прямой проходящей через две точки:
x2
y 1

1  2 1 1
 2( x  2)  3( y  1)
3y  2x 1  0
M1M 2 :
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 159 из 179
x  2 y 1

3  2 2 1
x  2  y 1
x  y 1  0
M 1M 3 :
Высота есть суть отрезок, перпендикулярный данной стороне и
проходящий через противоположную ей вершину.
Обозначим высоты через M1N1 , M 2 N 2 , M 3 N3 .
M1 N1 – это отрезок, лежащий на прямой, перпендикулярной M 2 M 3 и
проходящей через точку M1 .
M 2 M 3 : 3x  4 y  1  0 , k1 
3
4
1
, k2   , k2   , точка M1 по условию имеет
4
3
k1
координаты M1 (2;1) .
4
y  1   ( x  2)
3
3 y  3  4 x  8
3 y  4 x  11  0
– это отрезок, лежащий на прямой, перпендикулярной M1M 3 и
проходящей через точку M 2 .
M 1M 3 : x  y  1  0 , k1  1, k2  1 , точка M 2 по условию имеет координаты
M 2 (1;1) .
M 2 N2
y 1  x 1
x y2  0
– это отрезок, лежащий на прямой, перпендикулярной M1M 2 и
проходящей через точку M 3 .
M 3 N3
M1M 2 : 3 y  2 x  1  0 ,
k1 
2
,
3
3
k2   ,
2
точка
M3
по условию имеет
координаты M 3 (3;2) .
3
y  2   ( x  3)
2
2 y  4  3x  9
3x  2 y  13  0
Ответ: 3 y  4 x  11  0 , x  y  2  0 , 3x  2 y  13  0 .
8. Даны вершины треугольника А(1;-1), В(-2;1), С(3;5). Составить
уравнение перпендикуляра опущенного из вершины А на медиану,
проведенную из вершины В.
Решение:
В
Найдем середину отрезка АС.
M
А
N
С
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
N: x
стр. 160 из 179
1 3
1 5
 2, y 
2
2
2
Составим уравнение прямой BN:
x  2 y 1

2  2 2 1
x  2  4( y  1)
x  4y  6  0
Теперь составим уравнение искомого уравнения:
1
, k2  4 .
4
y  1  4( x  1)
k1 
y  4x  3  0
9. Определить угол  между двумя прямыми:
5 x  y  7  0 и 3x  2 y  0 .
Воспользуемся формулой: tg 
Ответ:  

4
k 2  k1
.
1  k1k 2
3
k1  5 , k2   .
2
3
 5
13  2 
2
tg 
     1
2  13 
 3
1  5  
 2
tg  1


4
.
10. Выяснить пересекаются, параллельны или совпадают данные прямые.
Если прямые пересекаются, найти их общую точку.
x  5 y  35  0 , 3 x  2 y  27  0 ;
a)
14 x  9 y  24  0 , 7 x  2 y  17  0 ;
b)
2x  4 y  3  0 , x  2 y  0 ;
c)
3 x  5 y  4  0 , 6 x  10 y  8  0 ;
d)
3 x  5 y  4  0 , 6 x  10 y  7  0 .
e)
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 161 из 179
Решение: если две прямые заданы уравнениями:
A2 x  B2 y  C2  0 , то при
A1x  B1 y  C1  0
и
A1
B
 1 – прямые пересекаются.
A2 B2
A1
B
C
 1  1 – прямые параллельны.
A2 B2 C2
A1
B
C
 1  1 – прямые совпадают.
A2 B2 C2
a)
1 5
 , т.е. прямые пересекаются. Найдем их общую точку:
3 2
 x  5 y  35  0 | (3)


3x  2 y  27  0
 13 y  78  0
x  35  5 y
y6
x5
Точка пересечения имеет координаты (6;5).
b)
14 9
 , т.е. прямые пересекаются. Найдем их общую точку:
7 2
14 x  9 y  24  0


7 x  2 y  17  0 \ (2)
 5 y  10  0
17  2 y
x
3
y2
7
Точка пересечения имеет координаты (3;2).
c)
d)
e)
1 2 0
  , т.е. прямые параллельны.
2 4 4
3 5 4

 , т.е. прямые совпадают.
6 10 8
3 5
4

  , т.е. прямые параллельны.
6 10
7
11. Составить для данных прямых уравнения «в отрезках».
2x  3y  6  0
c
6
m   , m  
3
a
 2 
a)
c
6
n   , n  
  2 , уравнение
b
 3 
x y
выглядит следующим образом:   1 . В нашем случае:
m n
x y
 1
3 2
b)
4 x  3 y  24  0
«в отрезках»
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 162 из 179
 24 
 24 
m     6 , n  
8
 4 
 3
x
y
 1
6 8
12. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку С(1;1) и
отсекает от координатного угла треугольник с площадью, равной 2 кв. ед.
Решение: Напишем уравнение искомой прямой «в отрезках»:
x y
 1
m n
(1).
Наша задача определить значения параметров m и n . Точка С(1;1) лежит
на искомой прямой, следовательно, ее координаты должны удовлетворять
уравнению (1). Подставим в уравнение (1) вместо текущих координат
координаты точки С; после приведения к общему знаменателю получим:
m  n  mn (2).
Теперь заметим, что площадь треугольника S , отсекаемого прямой от
координатного угла, определяется формулой  S 
mn
, S
2
в том случае, когда
отрезки m и n одного знака, и  S в том случае, когда отрезки m и n разных
знаков. Согласно условию нашей задачи будем иметь:
(3)
mn  4 .
m  n  4
mn  4
Решим систему уравнений (2) и (3): 
m  n  4
, тогда получим:

mn  4
Таким
образом, условию задачи удовлетворяют три прямые. Подставим в уравнение
m1  2 , n1  2 ; m2  2  2 2 , n2  2  2 2 ; m3  2  2 2 ,
(1) полученные значения параметров m и n :
n3  2  2 2 .
x
y
x y
  1,

 1,
2 2
22 2 22 2
x
y

 1.
22 2 22 2
После упрощения этих уравнений получим:
x  y  2  0 , (1  2 ) x  (1  2 )  2  0 , (1  2 ) x  (1  2 )  2  0
13. Привести общее уравнение прямой к нормальному виду в каждом из
следующих случаев:
4 x  3 y  10  0 ,
a)
12 x  5 y  13  0
b)
Решение. Если дано общее уравнение прямой, то чтобы привести его к
нормальному виду, нужно все члены этого уравнения умножить на
нормирующий множитель  , определенный формулой:   
1
A2  B 2
. Знак
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 163 из 179
нормирующего множителя выбирается противоположным знаку свободного
члена нормируемого уравнения.
4 x  3 y  10  0 .
1
1
 2
  . Берем
2
5
4  (3)
a)
знак «+», т.к. знак свободного члена «-».
4
3
x y2  0
5
5
12 x  5 y  13  0 .
1
1

  . Берем
2
2
13
12  (5)
b)
знак «-», т.к. знак свободного члена «+».

12
5
x  y 1  0 .
13
13
14. Вычислить расстояние d от точки до прямой.
a)
А(2;-1), 4 x  3 y  10  0 ;
b)
В(0;-3), 5 x  12 y  23  0 ;
c)
С(-2;3), 3x  4 y  2  0 .
d)
Решение: расстояние от точки до прямой вычисляется по формуле:
 (M , l ) 
ax0  by0  c
a 2  b2
a)
 ( A, l ) 
b)
 ( B, l ) 
c)
 (С , l ) 
.
4  2  3(2)  10
42  32

15  0  12(3)  23
52  122
13  (2)  4  3  2
32  42
15
3
5

13
1
13

20
4
5
15. Точка А(2;-5) является вершиной квадрата, одна из сторон которого
лежит на прямой x  2 y  7  0 . Вычислить площадь этого квадрата.
Решение.
Найдем
расстояние
от
точки
А
до
прямой:
 ( A, l ) 
1  2  2  (5)  7
1 2
2
2

5
5
2
 5 
Отсюда S     5 кв. ед.
 5
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 164 из 179
ЗАНЯТИЯ 10-11: КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА
1.
Составить уравнение окружности в каждом из следующих случаев:
a)
Точки А(3;2) и В(-1;6) являются концами одного из диаметров
окружности.
b)
Центр совпадает с точкой С (1;-1) и прямая l : 5 x  12 y  9  0 является
касательной к окружности.
Решение: уравнение ( x   )2  ( y   )2  R 2 определяет окружность радиуса
R 2 с центром C ( ;  ) .
a)
Чтобы найти центр окружности найдем середину отрезка АВ,
который по условию является диаметром.
О: x 
3 1
26
2 и y
 4 . Т.е. координаты центра окружности будут
2
2
О(2;4).
Теперь найдем радиус окружности АО: (1  1) 2  (6  4) 2  8 .
Т.о. уравнение окружности запишется следующим
образом:
( x  1)  ( y  4)  8
2
2
b)
Чтобы найти радиус окружности, вычислим расстояние от центра
окружности до касательной.  (С, l ) 
Т.о.
уравнение
5 1  12  (1)  9
25  144
окружности
2
запишется
следующим
образом:
( x  1)  ( y  1)  4
2
2
2.
Определить уравнение линии центров двух окружностей, заданных
уравнениями: ( x  3) 2  y 2  9 и ( x  2)2  ( y  1)2  1 .
3.
Решение: из уравнений найдем координаты центров окружностей: O1 (3;0)
и O2 (2;1) . Теперь напишем уравнение прямой, проходящей через две точки:
x 3
y0
x  x1
y  y1
l:


,
 2  3 1 0
x2  x1 y2  y1
l : x  3  5 y
l : x  5y  3  0
Ответ: x  5 y  3  0 .
3. Составить уравнение диаметра окружности x 2  y 2  4 x  6 y  17  0 ,
перпендикулярного к прямой 5 x  2 y  13  0 .
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Решение:
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
преобразуем
стр. 165 из 179
уравнение
окружности:
x  4 x  4  4  y  6 y  9  9  17  0
2
2
( x  2)2  ( y  3)2  30
Из этого уравнения найдем центр О(-2;3).
Теперь составим уравнение прямой проходящей через точку О и
A
B
5
2
перпендикулярную прямой 5 x  2 y  13  0 . Коэффициент k 1  , k 1  , k2  
1
,
k1
2
5
т.е. k 2  ,
( y  3) 
2
( x  2)
5
5 y  2 x  15  4  0
5 y  2 x  19  0
Ответ: 5 y  2 x  19  0
4. Определить, как расположена прямая относительно окружности
(пересекает, касается или проходит вне ее), если прямая и окружность заданы
следующими уравнениями:
a)
l : y  2 x  3 и x 2  y 2  3x  2 y  3  0
Решение:
Преобразуем
уравнение
окружности
x  2 1,5x  2,25  2,25  y  2 y  1  1  3  0
2
2
( x  1,5) 2  ( y  1) 2  6,25
Радиус равен 6,25  2,5 . Центр окружности О (1,5;-1).
Найдем расстояние от центра окружности до прямой l : y  2 x  3 и
сравним с радиусом.  (O, l ) 
0,42  2,5 , т.е. прямая
b)
y
1  (1)  2  1,5  3
1 4

1
 0,42
5
пересекает окружность.
1
1
x  и x 2  y 2  8x  2 y  12  0
2
2
Решение:
Преобразуем
уравнение
x  2  4 x  16  16  y  2 y  1  1  12  0
2
2
( x  4)2  ( y  1)2  5
Радиус равен 5 . Центр окружности О (4;-1).
окружности
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 166 из 179
Найдем расстояние от центра окружности до прямой l : 2 y  x  1  0 и
сравним с радиусом.  (O, l ) 
2  (1)  (1)  4  1
1 4

5
 5
5
5  5 , т.е. прямая является касательной к окружности.
c)
l : y  x  10
и x2  y 2  1  0
Решение: x 2  y 2  1. Радиус равен 1 . Центр окружности О (0;0).
Найдем расстояние от центра окружности до прямой l : y  x  10  0 и
сравним с радиусом.  (O, l ) 
7,1  1 , т.е. прямая
1 0  (1)  0  10
11

10
 7,1
2
проходит вне окружности.
5. Дан эллипс 9 x 2  25 y 2  225 . Найти его 1) полуоси; 2) фокусы; 3)
эксцентриситет; 4) уравнения директрис.
Решение: приведем данное уравнение к каноническому виду:
x2 y2

 1.
a2 b2
x2 y 2

 1.
25 9
полуоси равны a  25  5 и b  9  3 ;
Для этого разделим уравнение на 225:
1)
2)
расстояние между фокусами равно 2с, т.е. чтобы найти координаты
фокусов надо найти с: с  a 2 b2  25  9  16  4 . F1 (4;0) и F2 (4;0) .
c
a
4
5
3)
Эксцентриситет равен   ,    0,8
4)
Т.к. a  b , директрисы определяются уравнениями: x   , т.е.
a

25
x
4
6. Вычислить площадь четырехугольника, две вершины которого лежат в
фокусах эллипса x 2  5 y 2  20 , а две другие совпадают с концами его малой оси.
Решение:
Приведем уравнение эллипса к каноническому виду:
x2 y 2

1.
20 4
c  a 2  b2  20  4  16  4
Т.е. фокусы имеют координаты: F1 (4;0) и
F2 (4;0) . Фокусы находятся на одинаковом расстоянии
от начала координат. Малая ось равна 2b , т.е. 2  2  4 .
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 167 из 179
ОА=ОВ, отсюда делаем вывод, что четырехугольник AF1BF2 есть ромб.
А(0;2) и
В(0;-2).
1
d1d 2 . Зная координаты точек ромба видим, что d1  8 , а d2  4 .
2
1
Подставим найденные значения в формулу и получим: S   8  4  16 кв. ед.
2
S
Ответ: 16 кв. ед.
x2 y 2
5
7. Дана точка M 1  2;  на эллипсе

 1 ; составить уравнения

3
9
5
прямых, на которых лежат фокальные радиусы точки M1 .
Решение: фокальные радиусы есть отрезки F1M1 и F2 M1 . Чтобы найти
уравнения прямых, содержащих фокальные радиусы, достаточно найти
координаты фокусов и по формулам
x  x1
y  y1
найти искомые уравнения.

x2  x1 y2  y1
c  a2  b2  9  5  4  2 . Т.е. фокусы имеют координаты: F1 (2;0) и F2 (2;0) .
x2
y0
x2
y0
l1 :

l2 :

5
22  5 0
22  0
3
3
5
5
l1 :  ( x  2)  4 y | 3
l2 :  ( x  2)  0
3
3
l1 : 5 x  12 y  30  0
l2 : x  2  0
Ответ: l1 : 5x  12 y  30  0 и l2 : x  2  0
8. Найти точки пересечения прямой 2 y  x  7  0 и эллипса x 2  4 y 2  25 .
2 y  x  7  0
Решение: решим систему уравнений: 
2
2
 x  4 y  25
x  7  2 y
 2
2
 x  4 y  25
(7  2 y) 2  4 y 2  25  0
49  28 y  4 y 2  4 y 2  25  0
2 y2  7 y  6  0
y1; 2 
3
Ответ: (3;2) и  4; 

2
7  49  48
7 1
7 1 3
 2 , y2 
 .
, y1 
4
2
4
4
3
x2  7  2   4
x1  7  2  2  3
2
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 168 из 179
9. Дана гипербола 16 x 2  9 y 2  144 . Найти 1) полуоси, 2) фокусы; 3)
эксцентриситет; 4) уравнения асимптот; 5) уравнения директрис.
Решение: запишем уравнение гиперболы в каноническом виде, т.е. в виде
формулы
x2 y 2

 1.
a 2 b2
x2 y 2

 1.
9 16
1) a  9  3 и b  16  4 ;
2) c  a2  b2  9  16  25  5 ; т.е. фокусы имеют координаты F1 (5;0) и
F2 (5;0)
c
a
5
3
3)   ,   ;
b
a
a
4
3
4) y   x , y   x ;
5) x   , x  

9
5
10. Эксцентриситет гиперболы   3 , расстояние от точки М гиперболы до
директрисы равно 4. Вычислить расстояние от точки М и до фокуса,
одностороннего с этой директрисой.
Решение: Каждая директриса обладает следующим свойством: если r –
расстояние от произвольной точки гиперболы до некоторого фокуса, d –
расстояние от той же точки до односторонней с этим фокусом директрисы, то
отношение
r
есть постоянная величина, равная эксцентриситету гиперболы:
d
r
.
d
Отсюда r  d   , т.е. r  4  3  12
Ответ: 12.
11. Составить уравнение гиперболы, если известны ее эксцентриситет

5
, фокус F (5;0) и уравнение соответствующей директрисы 5x 16  0
4
Решение: x  
a

(1), а из 5x 16  0 выведем: x  
В то же время  
16
.
5
c
(2). т.к. фокус имеет координаты F (5;0) , то с  5 (3).
a
Из (2) и (3) выводим, что a  4 . Найдем b  c2  a 2  25 16  3 .
x2 y 2
Теперь запишем каноническое уравнение гиперболы:   1
16 9
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 169 из 179
12. Определить величину параметра и расположение относительно
координатных осей следующих парабол:
1) y 2  6 x ; 2) x 2  5 y .
Решение: запишем каноническое уравнение параболы: y 2  2 px или
x 2  2 py .
1) y 2  6 x распишем так: y 2  2  3  x . Отсюда p  3 . Параметр
p
положительный, следовательно
парабола располагается в верхней
полуплоскости, относительно оси ОХ.
2) x 2  5 y распишем так: x 2  2  2,5  y , отсюда p  2,5 . Параметр p
положительный, следовательно
парабола располагается в верхней
полуплоскости, относительно оси ОУ.
13. Вычислить фокальный радиус точки М параболы y 2  20 x , если
абсцисса точки М равна 7.
Решение: фокальный радиус произвольной точки M ( x; y ) параболы может
p
.
2
Из y 2  20 x найдем p : y 2  2 10 x , т.е. p  10 .
10
r  7
 12
2
быть вычислен по формуле: r  x 
Ответ: 12
14. Определить точки пересечения прямой x  y  3  0 и параболы x 2  4 y .
Решение: решим систему уравнений.
x  y  3  0
 2
x  4 y
y  3  y
 2
 x  4(3  y )  0
x 2  12  4 x  0
x1; 2  2  4  12  2  4
x1  6 , x1  2
y1  3  6  9 , y1  3  2  1
Ответ: (-6;9) и (2;1).
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 170 из 179
ЗАНЯТИЯ 12-13: ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
1. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку
М(2;1;-1) и имеет нормальный вектор n  {1;2;3}
Решение: Уравнение A( x  x0 )  B( y  y0 )  C ( z  z 0 )  0 определяет плоскость,
проходящую через точку M 0 ( x0 , y0 , z0 ) и имеющую нормальный вектор
n  { A; B; C} .
Т.о. 1 ( x  2)  2( y  1)  3( z  1)  0
x  2  2 y  2  3z  3  0
x  2 y  3z  3  0
2. Даны две точки M1 (3;1;2) и M 2 (4;2;1) . Составить уравнение
плоскости, проходящей через точку M1 перпендикулярно вектору M 1M 2 .
Решение: Общее уравнение плоскости имеет вид: Ax  By  Cz  D  0
найдем координаты вектора M 1M 2  {4  3;2  1;1  2}  {1;1;3}
Задача свелась к составлению уравнения плоскости, проходящей через
точку и имеющей нормальный вектор:
1  ( x  3)  ( y  1)  3( z  2)  0
x  3  y  1  3z  6  0
x  y  3z  2  0
3. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку
M1 (3;4;5) параллельно двум векторам a1  {3;1;1} и a 2  {1;2;1} .
Решение: Уравнение плоскости, которая проходит через точку M
параллельно двум векторам записывается в следующем виде:
x3
Т.о.
x  x0
y  y0
z  z0
l1
m1
n1
l2
m2
n2
 0.
y4 z 5
3
1
1
2
1  0
1
x  3  6( z  5)  ( y  4)  ( z  5)  2( x  3)  3( y  4)  0
x  3  6 z  30  y  4  z  5  2 x  6  3 y  12  0
 x  4 y  7 z  16  0
x  4 y  7 z  16  0
4. Составить уравнение плоскости, которая
M1 (2;1;3) и M 2 (3;1;2) параллельно вектору a  {3;1;4}
проходит через точки
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 171 из 179
Решение: Уравнение плоскости, которая проходит через две точки M1 и
M 2 параллельно вектору записывается в следующем виде:
x2
x  x1
y  y1
z  z1
x2  x1
y2  y1
z2  z1  0 .
l
m
n
x2
y 1 z  3
3  2 11 2  3  0
y 1 z  3
1
2
1  0
3
1
4
3
1
4
8( x  2)  ( z  3)  3( y  1)  6( z  3)  ( x  2)  4( y  1)  0
8 x  16  z  3  3 y  3  6 z  18  x  2  4 y  4  0
7x  7 y  7z  0
x yz  0
5. Составить уравнение плоскости, которая проходит через три точки
M1 (3;1;2) , M 2 (4;1;1) и M 3 (2;0;2) .
Решение: Уравнение плоскости, которая проходит через три точки M1 ,
M 2 и M 3 записывается в следующем виде:
x3
y 1
x  x1
y  y1
z  z1
x2  x1
y2  y1
z2  z1  0 .
x3  x1
y3  y1
z3  z1
z2
x  3 y 1 z  2
4  3 11 1 2  0
23
1
0
0 1 2  2
1
1
0  z  2  3( y  1)  0  3( x  3)  0  0
z  2  3 y  3  3x  9  0
3x  3 y  z  8  0
3  0
0
6. Установить, какие из следующих пар следующих пар уравнений
определяют параллельные плоскости.
Решение: Условие параллельности двух плоскостей
1) 2 x  3 y  5 z  7  0 , 2 x  3 y  5 z  3  0
2 3 5 7

 
плоскости параллельны.
2 3 5
3
2) 4 x  2 y  4 z  5  0 , 2 x  y  2 z  1  0
4 2 4
5
 

плоскости не параллельны.
2 1
2
1
3) x  3z  2  0 , 2x  6z  7  0
A1 B1 C1 D1
.



A2 B2 C2 D2
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 172 из 179
1 3
2
плоскости параллельны.
 
2 6 7
7. Установить, какие из следующих пар следующих пар уравнений
определяют перпендикулярные плоскости.
Решение:
Условие
перпендикулярности
двух
плоскостей
A1 A2  B1B2  C1C2  0
1) 3x  y  2 z  5  0 , x  9 y  3z  2  0
3 1  9  (1)  2  (3)  3  9  6  0 плоскости перпендикулярные.
2) 2 x  3 y  z  3  0 , x  y  z  5  0
2  1  3  (1)  1  (1)  2  3  1  0 плоскости перпендикулярные.
3) 2 x  5 y  z  0 , x  2z  3  0
2 1  5  0  2 1  4  0 плоскости не перпендикулярные.
8. Составить уравнение плоскости, которая проходит через
M1 (2;1;1) перпендикулярно к плоскостям: 2x  z  1  0 и y  0 .
Решение:
x2
2
x  x0
y  y0
z  z0
A1
B1
C1
A2
B2
C2
точку
0
y 1 z 1
0
1  0
0
1
0
2( z  1)  x  2  0
2z  2  x  2  0
2z  x  4  0
9. Составить уравнение плоскости, которая
M1 (3;2;7) параллельно к плоскости: 2x  3z  5  0 .
проходит через
Решение: Условие параллельности двух плоскостей
точку
A1 B1 C1 D1
, т.е.



A2 B2 C2 D2
2( x  3)  3( z  7)  5  0
2x  3z  27  0
10. Дано уравнение плоскости x  2 y  3z  6  0 . Написать для нее
уравнение «в отрезках».
Решение: Данное уравнение является общим уравнением прямой:
Ax  By  Cz  D  0 .
b
D
D
, c .
B
C
Уравнение «в отрезках» имеет вид:
x y z
D
   1 , где a   ,
a b c
A
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 173 из 179
D
D
D
6
6
6
 
  6 , b    
  2
  3 , c    
C
A
B
 1 
 3
 2 
x y
z
Т.о. уравнение «в отрезках» будет иметь вид:  
 1.
6 3 2
a
11. Найти отрезки, отсекаемые плоскостью
координатных осях.
Решение: a  
D
D
D
, b , c
A
B
C
3x  4 y  24 z  12  0
на
есть величины отрезков, которые
плоскость отсекает на координатных осях (считая каждый от начала
координат).
a
D
D
D
 12 
 12 
 12  1
    4 , b    
  3 , c    

B
C
A
4
  24  2
3
12. Привести к нормальному виду общее уравнение плоскости:
1) x  2 y  2 z  12  0
2) 12 y  5 z  39  0
Решение: общее уравнение плоскости приводится к нормальной форме
следующим образом: Ax  By  Cz  D  0 / : A2  B2  C 2
A
 A2  B 2  C 2
x
B
 A2  B 2  C 2
y
C
 A2  B 2  C 2
z
D
 A2  B 2  C 2
0
Если D положительно, то перед корнем ставим знак «-», и наоборот.
1) A2  B2  C 2  1  4  4  3 берем положительный знак, т.к. D число
отрицательное.
x 2
2
 y z40
3 3
3
2) B2  C 2  122  52  169  13 . Берем отрицательный знак, т.к. D число
положительное.
12
5
y  z 3 0.
13
13
13. Составить уравнение прямой:
1
3
1) Проходящей через две точки M 1  2;3;  и M 2  3;5; 
2


x  x1
y  y1
z  z1


x2  x1 y2  y1 z2  z1
x2 y 3


1
8
z
2
1
2
1
2) Если дана точка, принадлежащая прямой и направляющий вектор.
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 174 из 179
M 0 2;1;3 и p  {1;3;1}
x  x0 y  y0 z  z0
- каноническое уравнение.


l
m
n
x  2 y 1 z  3


1
3
1
14. Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через
точку M1 1;1;3 параллельно:
1) вектору p  {2;3;4}
x 1 y 1 z  3


t
2
3
4
 x  lt  x0

Параметрические уравнение прямой имеют вид:  y  mt  y0
 z  nt  z
0

 x  2t  1

Т.о.  y  3t  1
 z  3  4t

2) параллельно прямой
x 1 y  2 z 1


.
2
4
0
 x  2t  1

 y  4t  1
 z  3

 x  3t  1
3) параллельно прямой  y  2t  3
 z  5t  2

 x  3t  1

 y  2t  1
 z  5t  3

15. Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через две
данные точки M1 3;1;2 и M 2 2;1;1 .
Решение:
x2
y 1 z 1


3  2 1 1 2 1
x  2 y 1 z 1


1
2
1
x  t  2

 y  2t  1
z  t  1

УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 175 из 179
16. Показать, что плоскости 2 x  y  z  4  0 , x  y  z  2  0 , 2 x  y  3z  6  0
пересекаются в одной точке. Найти ее координаты.
Решение:
2 x  y  z  4  0

x  y  z  2  0
2 x  y  3 z  6  0

3 x  6  0
6

x 2
x  y  z  2  0
3
2 x  y  3 z  6  0

4  y  z  4  0
 yz 0

2  y  z  2  0
yz
4  y  3z  6  0

4  y  3y  6  0
2y  2
y  z 1
Ответ: (2;1;1)
17. Вычислить расстояние d от точки P(1;1;2) до плоскости,
проходящей через точки M1 (1;1;1) , M 2 (2;1;3) и M 3 (4;5;2) .
Решение: расстояние от точки до плоскости вычисляется по формуле:
 (M , ) 
Ax0  By 0  Cz0  D
A2  B 2  C 2
x 1
y 1
z 1
Найдем уравнение плоскости  :  2  1
4 1
11
3 1  0
 5 1  2 1
x 1 y 1 z 1
3
2
2 0
3
4 3
 6( x  1)  12( z  1)  6( y  1)  6( z  3)  8( x  1)  9( y  1)  0
 6 x  6  12 z  12  6 y  6  6 z  18  8 x  8  9 y  9  0
 2 x  3 y  6 z  14  0
 2  (1)  6 1  3  (2)  14 28
 ( P, ) 

4
7
4  36  9
Ответ: 4.
18. Определить двухгранный угол между следующими плоскостями:
1) 16 x  8 y  2 z  1  0 и 2 x  2 y  z  5  0 .
Решение
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
A1 A2  B1B2  C1C2
: cos  
cos  
стр. 176 из 179
A12  B12  C12  A22  B22  C22
32  16  2
256  64  4  4  4  1
1
  arccos
3
18
1

18  3 3

6x  3z  2  0
2) 2 x  5 y  4 z  15  0
cos 
12  12
4  25  16  36  9


2
0
.
19. Установить расположение плоскости 2 x  2 y  z  9  0 относительно
сферы в каждом из следующих случаев:
a)
( x  3) 2  ( y  3) 2  ( z  3) 2  36
Решение: из уравнения сферы находим координаты центра сферы, затем
находим расстояние от точки до плоскости и сравниваем с радиусом сферы.
С(3;-3;3)
 (С , ) 
2  3  2  (3)  1  3  9
4  4 1

18
6
3
r  36  6
6  6 , плоскость является касательной к сфере.
b)
( x  1) 2  ( y  2)2  ( z  11) 2  5
Решение: С(-1;-2;11)
 (С, ) 
Внутри окружности
2  (1)  2  (2)  111  9
4  4 1
r 5
5 0

0
0
3
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 177 из 179
ЗАНЯТИЕ 14: ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
1. Составить уравнение сферы, если:
1) Сфера проходит через точку А(2;-1;-3) и имеет центр С(3;-2;1).
Решение: В декартовых координатах сфера, имеющая центр С ( ;  ;  ) и
радиус r , определяется уравнением ( x   )2  ( y   )2  ( z   )2  r 2 . Чтобы найти
радиус сферы, вычислим длину отрезка АС по формуле:
d  ( x2  x1 ) 2  ( y2  y1 ) 2  ( z2  z1 ) 2
d  (3  2) 2  (2  1) 2  (1  3) 2  1  1  16  18
Уравнение сферы запишется в виде: ( x  3)2  ( y  2)2  ( z  1)2  18
2) Сфера имеет центр С(3;-5;-2) и плоскость  : 2 x  y  3z  11  0 является
касательной к сфере.
Решение: чтобы найти радиус сферы вычислим расстояние от точки С до
плоскости  .
 (С , ) 
Ax0  By 0  Cz0  D
A  B C
2
2
2

2  3  1  (5)  3  (2)  11
4 1 9

28
14
Уравнение сферы запишется в виде: ( x  3)2  ( y  5)2  ( z  2)2  56
2. Составить уравнение сферы радиуса r  3 , касающейся плоскости
 : x  2 y  2 z  3  0 в точке M1 (1;1;3) .
Решение: Расстояние от центра сферы до плоскости равно
 (С , ) 
Ax0  By 0  Cz0  D

x  2 y  2z  3
A  B C
x  2 y  2z  3  9
x  2 y  2z  6  0
2
2
2
4 1 4
3
Возьмем точку M1 (1;1;3) , C  {1  1;2  1;3  2}  {2;3;1}
Уравнение сферы запишется в виде: ( x  2)2  ( y  3)2  ( z  1)2  9
3. Установить как расположена точка А(2;-1;3) относительно каждой из
следующих сфер (внутри нее, вне или на поверхности сферы):
1) ( x  3)2  ( y  1)2  ( z  1)2  4
Из уравнения видно, что радиус r  2 , центр сферы С(3;-1;1). Чтобы
определить положение точки относительно сферы, вычислим расстояние от нее
до центра и сравним с величиной радиуса.
АС: d  (3  2) 2  (1  1) 2  (1  3) 2  1  0  4  5
5  2 , значит, точка находится вне сферы.
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 178 из 179
2) ( x  14)2  ( y  11)2  ( z  12)2  625
Из уравнения видно, что радиус r  25 , центр сферы С(-14;11;-12). Чтобы
определить положение точки относительно сферы, вычислим расстояние от нее
до центра и сравним с величиной радиуса.
АС: d  (14  2) 2  (11  1) 2  (12  3) 2  256  144  225  625  25
25  25 , значит, точка находится на поверхности сферы.
3) ( x  6)2  ( y  1)2  ( z  2)2  25
Из уравнения видно, что радиус r  5 , центр сферы С(6;1;2). Чтобы
определить положение точки относительно сферы, вычислим расстояние от нее
до центра и сравним с величиной радиуса.
АС: d  (6  2) 2  (1  1) 2  (2  3) 2  16  4  1  21
21  5 , значит, точка находится внутри сферы.
4. Определить вид поверхности второго порядка.
1) 2 x 2  3 y 2  2 z 2  8x  6 y  12 z  21  0
Приведем к каноническому виду:
2 x 2  8x  3 y 2  6 y  2 z 2  12 z  21  0
2( x 2  4 x  4)  3( y 2  2 y  1)  2( z 2  6 z  9)  34  0
2( x  2) 2 3( y  1) 2 2( z  3)


1
34
34
34
( x  2) 2 3( y  1) 2 ( z  3)


 1 данная поверхность есть эллипсоид.
17
34
17
2) x 2  2 y 2  4 z 2  8z  8  0
x 2 y 2 4( z 2  2 z  4)


 12
1
1
1
x 2 y 2 ( z 2  2 z  4)


 1 данная поверхность есть гиперболоид.
12 12
4
УМКД 042-18-37.1.112/03-2014
Редакция № 1 от2.09.2014 г.
стр. 179 из 179
ЗАНЯТИЕ 15. ЭЛЕМЕНТЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ
1.
В(2;1;3).
Найти уравнение прямой, проходящей через точки А(1;4;3) и
Найти уравнение прямой, проходящей через
2.
точку пересечения
 x1  x2  x3  0
и точку А(4;-2:5).
2 x1  x2  4 x3  0
двух прямых: 
3.
Найти уравнение прямой, проходящей через точки пересечения
a : x1  x2  4 x3  0

b : x1  x2  x3  0
4.
c : 2 x1  3x2  x3  0

d : 5 x1  x2  3x3  0
Найти точку М, если A(3;0;-1), B(0;4;2), C(-2;1;-3), D(1;-1;1)
AB  CD  M
Даны четыре прямые: a : x1  x2  0 , b :  x2  2 x3 , c : x1  x2  2 x3  0 ,
d ;2x1  x2  0 ,
A  a b , B  b  c , C  c  d , D  d  a .
Найти: АС – ?
BD – ?
5.
Даны три точки А(0;1;-1), С(-4;2;-1) и D(0;1;0)
b : x1  x2  3x3  0 , B  b  CD
AB - ?
6.
7.
Найти сложное отношение точек (AB,CD), если координаты их
равны:
1) А(1;-1), B(3;-1), C(7;3), D(5;-3)
2) А(1;0), B(7;-4), C(1;-1), D(3;-1)
4 САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА ОБУЧАЮЩЕГОСЯ