Филиппов Сергей Николаевич

Московский физико-технический институт (государственный университет)
На правах рукописи
Филиппов Сергей Николаевич
Квантовые состояния и динамика
спиновых систем и электромагнитного поля
в представлении томографической вероятности
01.04.02 – Теоретическая физика
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Долгопрудный – 2012
Работа выполнена на кафедре теоретической физики Московского физикотехнического института (государственного университета).
Научный руководитель:
доктор физико-математических наук,
профессор Манько Владимир Иванович
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук
Амосов Григорий Геннадьевич
(Математический институт им. В.А. Стеклова РАН)
кандидат физико-математических наук
Андреев Владимир Андреевич
(Физический институт им. П.Н. Лебедева РАН)
Ведущая организация:
Институт общей физики им. А.М. Прохорова РАН
Защита состоится 25 мая 2012 г. в 1000 часов на заседании диссертационного
совета Д 212.156.07 при Московском физико-техническом институте (государственном университете), расположенном по адресу:
141700, Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., 9.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского физикотехнического института (государственного университета).
Автореферат разослан «
»
2012 г.
Отзывы и замечания по автореферату в двух экземплярах, заверенные
печатью, просьба высылать по вышеуказанному адресу на имя ученого
секретаря диссертационного совета.
Ученый секретарь
диссертационного совета Д 212.156.07,
кандидат физико-математических наук
Коршунов С.М.
Общая характеристика работы
Актуальность работы. Экспериментальная физика и теоретическая
физика неразрывно связаны друг с другом общей целью — всесторонним
изучением явлений природы, свойств материи и её динамики. В квантовой
физике эта связь проявляется особенно ярко: опытные факты привели к
разработке постулатов квантовой механики, сформулированных на математическом языке и позволивших объяснить известные и установить новые зависимости между физическими величинами, характеризующими то или иное
квантовое явление. Область практического применения квантовой механики
постоянно расширяется, вовлекая в себя такие актуальные направления как
квантовые вычисления и квантовая теория информации.
Значительный прогресс в технике и методах экспериментальной физики
позволяет в настоящее время не только наблюдать за квантовыми свойствами
одиночных объектов (атомов, электронов, фотонов) и их ансамблей, но даёт
принципиальную возможность контролируемым образом воздействовать на
такие объекты, манипулировать ими, а также создавать и управлять исскуственными атомами. Такими возможностями обладают современные квантовая оптика, атомная физика, квантовая электродинамика резонаторов и
электрических цепей, наноэлектроника и другие смежные направления. На
первый план в этих экспериментах выходит понятие «состояния» квантового
объекта: оно описывает все свойства объекта, эволюционирует в соответствии
с прикладываемыми внешними воздействиями (в картине Шредингера) и подлежит экспериментальному наблюдению. Последнему обстоятельству долгое
время не уделялось должного внимания ввиду сложности самого понятия
квантового состояния — волновой функции ψ(x) = ⟨x|ψ⟩ для изолированной
системы или оператора плотности ρ̂ для общего случая открытой системы или
ансамбля частиц. Данные объекты не наблюдаются непосредственно в эксперименте. Наблюдению подлежат распределения вероятностей, например,
|ψ(x)|2 и ⟨x|ρ̂|x⟩, связанные с измерением некоторой физической величины
(координаты x). Такие распределения не содержат информации о фазе волновой функции и недиагональных элементах матрицы плотности, поэтому
каждое из подобных измерений в отдельности не определяет квантовое состояние. Задача квантовой томографии, впервые сформулированная Паули,
состоит в нахождении некоторого числа измерений, позволяющих точно определить квантовое состояние, а также в нахождении самого соотношения, связывающего |ψ⟩ или ρ̂ с измеряемыми распределениями вероятностей. Такие
распределения вероятностей называют томографическими, а их совокупность
— квантовой томограммой.
Актуальность квантовой томографии заключается в том, что она совершенно необходима для полного анализа воздействия окружения на динами3
ку системы, контроля за качеством управления квантовыми состояниями, а
также в квантовых вычислениях для считывания конечного результата вычисления. Так как томограмма содержит полную информацию о квантовом
объекте и доступна экспериментальному наблюдению, естественно рассматривать квантовые явления на языке измеряемых характеристик, т.е. в представлении томографической вероятности. Актуальная задача теории состоит тогда в установлении зависимостей между томограммой и физическими
характеристиками состояния (такими как энергия, параметр чистоты Trρ̂2 ,
запутанность), а также в нахождении уравнений динамики для томограмм.
Для анализа состояний спиновых систем в 1997 г. была разработана
спиновая томография, однако до настоящего времени не было найдено физического представления операторов, используемых для восстановления оператора плотности, не рассматривались вопросы минимизации избыточной
информации, вычисления в явном виде некоторых характеристик состояния и
интегральных ядер, уменьшения ошибок восстановленного состояния, сравнения квантовых состояний по экспериментально наблюдаемым распределениям вероятностей. Требовали рассмотрения также общая схема построения томографических отображений, процедура восстановления состояний на основе
измерений симметричного набора физических величин, а также построение
томограмм составных спиновых систем и установление связи между спиновой
томограммой и измеряемыми величинами в мюонных экспериментах.
В весьма тонких экспериментах по гомодинному детектированию квантовых состояний электромагнитного излучения, позволяющих экспериментально определить оптическую томограмму, ввиду статистической природы
исходов квантовых измерений до сих пор не была решена проблема оценки
ошибок и операционного использования данных. С другой стороны, говорить об измерениях имеет смысл только тогда, когда известна их точность.
Кроме того, активное изучение сверхпроводниковых квантовых битов (искусственных атомов) вызвало необходимость исследования квантовых состояний
электромагнитного поля микроволнового диапазона длин волн (сверхвысокой частоты), где паразитные (тепловые) шумы выходят на первый план.
Влияние шумов на измеряемые характеристики и их эволюцию, а также
извлечение полезного сигнала из зашумлённого являются важными шагами
для дальнейшего развития методов детектирования квантовых состояний.
В течение нескольких последних десятилетий было разработано и экспериментально продемонстрировано много приложений, в основе которых
лежит явление квантовой запутанности — уникального физического ресурса,
находящего применение в квантовой теории информации (секретное распределение ключа, сверхплотное кодирование, квантовая телепортация и другие). Подобные квантово–информационные протоколы работают эффективно только при условии, что подсистемы запутанны друг с другом (в этом
4
случае состояние всей системы не определяется состояниями подсистем). Однако, каждая из подсистем неизбежно взаимодействует с окружением, которое превносит шум. В результате этого воздействия в эксперименте имеют
дело с зашумлённым состоянием, запутанность которого может существенно
отличаться от первоначальной. При достаточно большом уровне шума может
возникнуть такая ситуация, когда любое состояние составной системы будет
становиться незапутанным. В таком случае применение любого квантового
протокола, основанного на запутанности, станет невозможным. Это приводит к задаче поиска предельно допустимого уровня шума для различных
физических воздействий со стороны окружения.
Необходимость решения этих вопросов, имеющих большую важность для
науки и практики, определяет актуальность проведённого исследования.
Цель диссертационной работы состоит в усовершенствовании методов квантовой томографии спиновых систем и электромагнитного поля
с учётом особенностей эксперимента, установлении математических соотношений между физическими характеристиками состояний и экспериментальными данными, нахождении уравнений динамики таких систем в терминах
измеряемых величин.
Для достижения поставленной цели были поставлены и решены следующие задачи:
1) нахождение общей схемы построения томографических отображений,
включая отображения с внутренней симметрией, и их классификация;
2) выражение операторов деквантования и квантования в спиновой томографии через физический оператор (Ĵ · n) проекции углового момента на
направление n и получение в явном виде параметра чистоты и интегрального
ядра спин-томографических символов;
3) построение томографии с конечным числом направлений {nk }N
k=1 и нахождение оптимальных направлений, приводящих к малым ошибкам в востановленном операторе плотности;
4) сравнение квантовых состояний по статистике исходов наблюдений и
вывод формул для мер различия квантовых состояний (следовой метрики,
степени совпадения и других) через доступные экспериментальному наблюдению томограммы;
5) установление связи между спиновой томограммой и измеряемыми угловыми распределениями распадных частиц в экспериментах с мюонами, исследование унитарной эволюции и запутанности двухспиновой системы «мюон–электрон» в мюонии;
6) решение проблемы обработки экспериментальных данных гомодинного детектирования: нахождение оптимального шага для гистограмм гомодинных
квадратур, разработка метода оценки ошибок, выражение параметра чистоты и его ошибки через экспериментальные томограммы, — а также проверка
5
фундаментальных квантовых соотношений неопределённостей в экспериментах по гомодинному детектированию;
7) разработка теории измерения квантовых состояний излучения СВЧ-диапазона с учётом влияния шума линейных усилителей, используемых для их
детектирования;
8) извлечение упорядоченных моментов операторов рождения и уничтожения фотонов, полностью характеризующих квантовые состояния СВЧ-излучения, при детектировании с помощью синфазного квадратурного смесителя,
нахождение уравнений динамики таких моментов;
9) исследование возможности детектирования запутанности двухмодовых
состояний электромагнитного поля по томограмме счёта фотонов;
10) нахождение предельно допустимого уровня шума, действующего со стороны окружения на систему из двух квантовых битов, при котором их запутанность сохраняется (для различных квантовых каналов, моделирующих
шум).
Научная новизна полученных результатов состоит в следующем:
1) впервые проведена полная классификация томографических отображений для систем с дискретными переменными, каждой томографической схеме (переполненной, минимальной, самодуальной) поставлена в соответствие
матрица деквантования (прямоугольная, квадратная, изометрическая или
унитарная);
2) развивая ранее известную спиновую томографию, впервые получено ортогональное разложение деквантайзеров и квантайзеров, слагаемыми в котором
являются специальные функции дискретной переменной и оператора (Ĵ·n), а
также найдено новое выражение для параметра чистоты спинового состояния
в терминах спиновой томограммы и открыто реккурентное соотношение для
интегральных ядер спин-томографических символов;
3) введено новое понятие спин-s портрета, представляющего собой огрубление результатов измерения проекции спина на выделенное направление и используемого для построения обратного отображения и исследования его оптимальности в спиновой томографии с конечным числом направлений {nk }N
k=1 ;
4) впервые рассмотрена задача безошибочного сравнения квантовых состояний по статистике исходов наблюдений, что выгодно отличает данную постановку от известных ранее, поскольку позволяет сравнивать не только чистые
состояния, но и смешанные; введены новые количественные характеристики
универсальности и качества сравнения, а также найдены новые выражения
для мер различия квантовых состояний на языке томограмм;
5) впервые рассмотрена связь между спиновой томограммой мюона и угловым распределением заряженных частиц, испускаемых при его распаде,
на основе чего было развито томографическое описание мюония (составной
системы «мюон+электрон») и введена новая мера запутанности, выражаемая
6
лишь через двухспиновую томограмму;
6) теоретически предсказанная симметрия оптической томограммы по отношению к сдвигу фазы локального осциллятора в гомодинном детектировании
впервые использована для оценки ошибок экспериментальных данных, включающих в себя как случайную, так и статистическую составляющую;
7) впервые получено новое интегральное неравенство, которому должна удовлетворять оптическая томограмма любого состояния; это и другие известные
ранее фундаментальные соотношения впервые проверены для когерентного
состояния с добавленным фотоном;
8) получено новое соотношение, связывающее экспериментально измеряемые квадратурные распределения усиленного (зашумлённого) микроволнового квантового состояния с томограммой самого квантового состояния, и
впервые найдено обратное преобразование;
9) уравнения динамики электромагнитного поля (с диссипацией) впервые
сформулированы в терминах упорядоченных моментов операторов рождения
и уничтожения фотонов;
10) введено новое понятие двухкубитного портрета томограммы счёта фотонов двухмодового электромагнитного поля, в результате чего удалось свести
задачу детектирования запутанности двух мод излучения к хорошо известной
задаче запутанности двух кубитов;
11) впервые рассмотрена задача эволюции запутанности двухкубитных состояний в случае воздействия на них локальных шумов самого общего вида; для
решения задачи введено понятие локальных двухкубитных каналов, аннигилирующих сцепленность, отличающееся от известного ранее понятия канала,
разрушающего сцеленность.
Практическая значимость. Часть результатов, изложенных в диссертации, уже нашла практическое применение: экспериментальная группа
квантвой оптики из Национального института оптики (г. Флореция, Италия)
под руководством M. Bellini использует разработанный автором метод оценки ошибок оптической томографии для повышения точности своих данных
(постселекция результатов с малой систематической ошибкой), а также применяет операционный способ вычисления параметра чистоты состояний. Другие результаты также могут найти практическое применение в ближайшем
будущем. Оптимальные направления {nk } в спиновой томограмме с конечным числом измерений и явное выражение для параметра чистоты спинового
состояния в терминах экспериментально наблюдаемых томографических распределений вероятности полезны в различных модификациях эксперимента
Штерна–Герлаха для минимизации ошибок восстановления оператора плотности и прямого подсчёта интересующих величин. Разработанный алгоритм
сравнения квантовых состояний по статистике исходов специально организованного измерения позволяет калибровать источники квантовых состояний.
7
Найденные уравнения движения редуцированной томограммы мюонной подсистемы в мюонии полезны для определения вида гамильтониана взаимодействия мюона с электроном в присутствии магнитных полей (например, коэффициента анизоторопии). Динамика упорядоченных моментов операторов
рождения и уничтожения фотонов может использоваться для мониторинга
и прогнозирования эволюции микроволновых квантовых состояний. Решение
задачи аннигиляции запутанности при воздействии на систему из двух кубитов локальных шумов позволяет рассчитать предельно допустимую длину
квантовых линий связи.
Апробация работы. Основные результаты работы прошли апробацию
на следующих всероссийских и международных конференциях: 54-й научной конференции МФТИ «Проблемы фундаментальных и прикладных естественных и технических наук в современном информационном обществе»
(г. Долгопрудный, 10–30 ноября 2011 г.); 8th Canadian Student Conference
on Quantum Information (г. Жуванс, Квебек, Канада, 16–17 июня 2011 г.);
8th Central European Quantum Information Processing Workshop (г. Зноймо,
Чехия, 2–5 июня 2011 г.); 7-м семинаре, посвящённом памяти Д.Н. Клышко
(МГУ им. М.В. Ломоносова, г. Москва, 25–27 мая 2011 г.); 1-й международной научной школе для молодёжи и преподавателей «Прикладные математика и физика: от фундаментальных исследований к инновациям» (г. Долгопрудный, 1–13 июля 2010 г.); 51-й, 52-й и 53-й научных конференциях МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук» (г. Долгопрудный, г. Троицк, 2008–2010 гг.); International Conference on Quantum
Information and Computation (г. Стокгольм, Швеция, 4–8 октября 2010 г.);
17th Central European Workshop on Quantum Optics (г. Сэнт-Эндрюс, Великобритания, 6–11 июня 2010 г.); 11th International Conference on Squeezed
States and Uncertainty Relations (г. Оломоуц, Чехия, 22–26 июня 2009 г.); 16th
Central European Workshop on Quantum Optics (г. Турку, Финляндия, 23–27
мая 2009 г.).
Результаты докладывались также на научных семинарах кафедры
теоретической физики МФТИ (г. Долгопрудный, 2009–2012 гг.), семинарах
Исследовательского центра по квантовой информатике Института физики
Словацкой академии наук (г. Братислава, Словакия, 2009–2011 гг.), семинаре
«Квантовая вероятность, статистика, информация» Математического института им. В.А. Стеклова РАН (г. Москва, 2011–2012 гг.), семинаре по оптике
Института физики Университета Росток (г. Росток, Германия, 2012 г.).
Результаты работ, являющихся частями настоящей диссертации, были
удостоены наград в конкурсах научно-исследовательских работ студентов и
аспирантов в рамках 52-й, 53-й и 54-й научных конференций МФТИ, конкурсе
«Лучшие аспиранты РАН», проводимого Региональным общественным Фондом содействия отечественной науке (2010 г.), конкурсе физиков-теоретиков
8
в рамках программы поддержки аспирантов и молодых ученых без степени
фонда «Династия» (2011 г.), а также удостоены cтипендии Президента
Российской Федерации (2011–2012 гг.).
Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 29 работах, из
них 18 статей в рецензируемых журналах из перечня ведущих периодических
изданий ВАК [1–18], 9 тезисов докладов в сборниках трудов конференций [19–
27], 2 препринта статей, отправленных в редакции научных журналов [28, 29].
Личный вклад автора. Все теоретические результаты, представленные в диссертации, получены автором самостоятельно. Эксперимент по гомодинному детектированию когерентных состояний с добавленным фотоном
выполнен M. Bellini, A.S. Coelho и A. Zavatta. Обработка экспериментальных
данных и их интерпретация выполнена автором. Постановка большей части
задач выполнена научным руководителем. Часть задач поставил M. Ziman.
Обсуждение результатов исследований проводилось совместно с соавторами.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения,
трёх глав, заключения, списка литературы и двух приложений. Общий объем
диссертации 172 страницы, из них 155 страниц текста, включая 37 рисунков
и 2 таблицы. Библиография включает 246 наименований на 13 страницах.
Содержание работы
Во Введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и поставлены задачи для её достижения, аргументирована
научная новизна исследований, показана практическая значимость полученных результатов, описана структура диссертации, представлена информация
об апробации результатов исследования, приведены списки основных обозначений и сокращений, выражены благодарности.
Первая глава посвящена томографии спиновых систем. Изложение построено по дедуктивному принципу, поэтому сначала вводится понятие символа fA (k) оператора Â как функции переменной k, определяемой формулой fA (k) = Tr(Ûk† Â). Оператор Ûk называется при этом деквантайзером.
Пусть Â = ρ̂ — оператор плотности спиновой системы и деквантайзеры —
одномерные проекторы, т.е. Ûk = |ψk ⟩⟨ψk |, тогда fρ (k) = ⟨ψk |ρ̂|ψk ⟩ — вероятность обнаружить систему в состоянии |ψk ⟩, которая может быть измерена
экспериментально, если |ψk ⟩ — собственный вектор оператора, отвечающего
некоторой измеряемой величине. Основной задачей томографического анализа является восстановление оператора плотности ρ̂ по известным (экспериментально измеренным) символам fρ (k). Если отображение операторов на
символы является взаимно однозначным, то его называют томографическим,
∑
и произвольный оператор Â может быть записан в виде Â = N
k=1 fA (k)D̂k ,
где операторы D̂k называются квантайзерами. Для d–уровневой системы из9
Íåïðåðûâíàÿ
ïàðàìåòðèçàöèÿ
Òîìîãðàôè÷åñêèå âåðîÿòíîñòè
Óíèòàðíàÿ
òîìîãðàììà
Ñïèí - 1/2 ïîðòðåò
Ñïèíîâàÿ
òîìîãðàììà
w(m,n)
Óãëîâàÿ
òîìîãðàììà
Ñàìîäóàëüíàÿ
ñõåìà Ñòðàòîíîâè÷à
wang(n)=w(j,n)
fStr(n)
Îáðàòíûé
ñïèí-j ïîðòðåò
Äèñêðåòíàÿ
ïàðàìåòðèçàöèÿ
Ñàìîäóàëüíàÿ
ñõåìà f sd(m,n)
w(j,u)
w(m,u)
Òîìîãðàììà ñ
êîíå÷íûì ÷èñëîì
SU(N=2j+1)
âðàùåíèé
2j+2
{w(m,uk )}k=1
Îáðàòíûé
ñïèí-1/2
ïîðòðåò
Òîìîãðàììà ñ
êîíå÷íûì ÷èñëîì
SU(2) âðàùåíèé
4j+1
{w(m,nk)}k=1
MUB - ñõåìà
{
Êâàçèðàñïðåäåëåíèÿ
Ñõåìà
2j
2j+1
{wMUB(aa)}a=0 a=0 Íüþòîíà
è Þíãà
}
(qk =q)
Ïðÿìîóãîëüíàÿ
Ñàìîäóàëüíûå ñõåìû
ïåðåïîëíåííûå
ìèíèìàëüíûå
Ñõåìà
Àìüå è Âàéãåðòà
(2j+1)2
{wang(nk)}k=1
Êâàäðàòíàÿ
Ïåðåïîëíåííàÿ ñõåìà
SIC - ñõåìà
(2j+1)2
{wSIC(i)}i=1
Èçîìåòðè÷åñêàÿ
Óíèòàðíàÿ
Ìèíèìàëüíàÿ ñõåìà
Âèä ìàòðèöû äåêâàíòîâàíèÿ
Рис. 1. Томографические отображения спин-j состояний.
мерение с N исходами будет томографическим, если rankU = d2 , где U
— матрица деквантования размера d2 × N , столбцами которой являются
координатные представления деквантайзеров Ûk в некотором ортонормированном базисе из операторов. Построенная аналогичным образом матрица
квантования D должна удовлетворять условию D † U = Id2 . Далее проводится классификация томографических схем по виду матрицы U . Доказывается, что не существует томографической схемы, где и деквантайзеры,
и квантайзеры были бы неотрицательными операторами. Отсюда следует,
что все самодуальные схемы (например, схема Стратоновича) порождают
квазираспределения, а не истинные распределения вероятностей, измеряемые
экспериментально. Затем найденная классификация применяется к спиновым
системам (рис. 1).
Для частиц со спином j размерность гильбертова пространства d =
= 2j+1. Состояния |jm⟩ с определённой проекцией спина m = −j,−j+1, . . . , j
на ось z задают стандартный базис (Ĵ2 |jm⟩ = j(j + 1)|jm⟩, Jˆz |jm⟩ = m|jm⟩).
Унитарная спиновая томограмма w(j) (m, û) есть символ оператора плотности
10
ρ̂ в схеме с бесконечным числом деквантайзеров вида Û (m, û) = û† |jm⟩⟨jm|û,
где û пробегает все унитарные преобразования, соответствующие неприводимым представлениями группы SU (N ), N = 2j + 1. Избыточность информации, содержащейся в унитарной спиновой томограмме, может быть минимизирована выбором 2j+2 унитарных преобразований {uk }2j+2
k=1 , удовлетворяющих
условию невырожденности матрицы Грама, явный вид которой приведён в
тексте диссертации (стр. 57).
Пусть û = R̂(n), где R̂ — оператор поворота, выражающийся через единичный вектор n = (cos φ sin θ, sin φ sin θ, cos θ) по формуле R̂(n) = e−i(n⊥ · Ĵ)θ ,
n⊥ = (− sin φ, cos φ, 0). Cпиновая томограмма w(j) (m, n) есть символ оператора плотности ρ̂ в схеме с бесконечным числом деквантайзеров вида Û (m, n) =
= R̂† (n)|jm⟩⟨jm|R̂(n). Физический смысл w(j) (m, n) — вероятность получить число m при измерении проекции спина на направление n. Используя
неприводимые тензорные операторы для группы SU (2) и свойства коэффициентов Клебша–Гордана, доказывается, что деквантайзер и квантайзер спи∑2j
(j)
(j)
новой томографии представляются в виде Û (m, n) =
L=0 fL (m)ŜL (n),
∑2j
(j)
(j)
(j)
D̂(m, n) =
L=0 (2L + 1)fL (m)ŜL (n), где fL (x) — полином степени L
переменной x, значения которого в точках x = m, m = −j, −j + 1, . . . , j,
(j)
задаются дискретным полиномом Чебышева tn (x, N ) по формуле fL (m) =
[
]1/2
)
(j)
(j) (
(2L+1)(2j−L)!
=
t
(j
+
m,
2j
+
1),
а
оператор
Ŝ
(n)
=
f
(
Ĵ
·
n)
. С поL
L
L
(2j+L+1)!
(j)
мощью свойств D-функций Вигнера показывается, что операторы ŜL (n) =
)
( (j)
(j) ′ )
(j) (
(n)
Ŝ
= fL (Ĵ·n)
удовлетворяют
свойству
ортогональности
Tr
Ŝ
L′ (n ) =
L
(
)
′
= δL,L′ PL (n · n ) , где PL (x) — полином Лежандра степени L. Полученные результаты сразу позволили найти математические формулы, связывающие различные схемы квантования на рис. 1. Показана эквивалентность найденного квантайзера
известному
ранее )экспоненциальному
представлению
[(
]
∫
2j+1 2π
2 γ
D̂(m, n) = π 0 sin 2 exp i m−(Ĵ · n) γ dγ. Тригонометрические преобразования позволили записать квантайзер D̂(m, n) в виде линейной комбинации
операторов Û (m − 1, n), Û (m, n) и Û (m + 1, n), в результате чего была получена формула для параметра чистоты состояния Trρ̂2 на языке спиновых
томограмм, представленная в результате №2, выносимом на защиту.
Полученное ортогональное разложение деквантайзера по операторам
(j)
ŜL (n) позволило найти минимальное число направлений nk , при которых
вероятности w(j) (m, nk ) содержат полную информацию о спиновой системе,
т.е. rankU = (2j +1)2 . Минимальное число направлений равно 4j +1, причём
должна быть невырождена каждая из 2j квадратных матриц ∥GL ∥ порядка
L=
являются полиномы Лежандра: ∥GL ∥ij =
( 1, . . . , )2j, элементами которой
(j)
PL (ni ·nj ) . Если вероятности w (m, nk ) определены с конечной точностью,
то восстановленной оператор плотности будет содержать тем меньшие ошиб11
(a)
(b)
90
2
70
(c)
1
90
1
70
4
50
30
10
9
50
4
13
5
2
3
8
3
3
30
10
10
12
1
90
70
50
30
10
2
5
11
6
7
Рис. 2.
Полярная азимутальная проекция оптимальных направлений {nk }4j+1
k=1 ,
обеспечивающих малую погрешность при восстановлении оператора плотности ρ̂, если
вероятности w(j) (m, nk ) измерены с конечной точностью: (a) j = 21 , (b) j = 1, (c) j = 3.
ки, чем меньше числа обусловленности матриц ∥GL ∥. Примеры оптимальных
направлений для различных спинов показан на рис. 2.
В первой главе также установливается связь между спиновой томограммой мюона (µ± ) и угловым распределением Γ(n)( заряженных
частиц (e± ),
)
±
образующиxся в результате распада мюона: w(µ ) m = ± 21 , n = 23 Γ(n) − 1 и
)
± (
w(µ ) m = ∓ 12 , n = 2 − 32 Γ(n). Также рассматриваются схемы томографии,
основанные на симметричном наборе векторов (SIC) и взаимно равнонаклонённых базисах (MUB) в гильбертовом пространстве, устанавливается связь
между ними и другими схемами томографии спинов (см. рис. 1).
Далее исследуется важный вопрос выражения мер различия квантовых
состояний в терминах измеряемых характеристик состояния — томограмм. В
качестве таких мер обычно используют расстояние в метрике Гильберта–
[
]1/2
Шмидта ∥ρ1 − ρ2 ∥HS ≡ 12 tr(ρ1 − ρ2 )2
, расстояние в следовой метрике
√
[
]
1
† A, степень совпадения F (ρ , ρ ) = tr √ρ ρ √ρ 1/2 ,
tr|ρ
−ρ
|,
где
|A|
≡
A
1
2
1
2
1
2
1
2
операторную норму ∥ρ1 − ρ2 ∥ = sup ∥(ρ1 − ρ2 )ψ∥. Все эти величины выраже∥ψ∥=1
ны через томограммы, и явный вид некоторых из них приведён в результате
№5, выносимом на защиту.
Знание томограмм позволяет сравнивать состояния, однако возможно ли
безошибочное сравнение состояний, если измерение не является томографическим? В работе получен утвердительный ответ на этот вопрос, а основная
идея сравнения, основанного на статистике исходов измерения, показана на
рис. 3, где PE+ и PE− — образы множеств состояний η ⊗η и ρ⊗ξ (ρ ̸= ξ). Конкретные результаты представлены в положении №4, выносимом на защиту.
В первой главе также уделяется внимание детектированию «квантовости» состояния по известным томограммам. Поскольку измеряются распределения вероятностей, то правомерен вопрос: не описывается ли система в
рамках классической статистической модели? Пусть A и B − A — неотрица12
1
p1
p2
...
pn
POVM
E
pn
+
PE
PE
0
1
p2
p1
1
Рис. 3. Сравнение квантовых состояний, основанное на наблюдаемых вероятностях. Если
наблюдаемое распределение вероятностей p⃗E принадлежит PE− \ PE+ , то состояния ϱ и ξ с
достоверностью различны.
тельные физические величины, тогда в классической статистической модели
⟨B 2 −A2 ⟩ > 0, в то время как в квантовой возможно ⟨B 2 −A2 ⟩ < 0. Показывается, что в рамках томографического представления квантовость возникает
из-за различия унитарных преобразований, приводящих эрмитовы операторы
 и B̂ к диагональному виду.
Для составной системы из двух спинов вводятся локальная двухспиновая томограмма и полная двухспиновая томограмма, связь между которыми
отражает правила сложения угловых моментов. Составные системы могут
обладать свойством запутанности: оператор плотности всей системы ρ̂, опре⊗ (k)
⊗
∑
делённый на
H
,
не
представим
в
виде
выпуклой
суммы
p
d
k
i
i ρ̂i
i
k
∑
состояний подсистем (pk > 0,
k pk = 1). Для системы из двух кубитов
1
(j1 = j2 = 2 ) введена мера запутанности E = |C3 |+|C4 |−C3 −C4 , являющаяся
выражением критерия Переса–Городецких в терминах томограмм:
{ [ ∑величины
∑
1
1
C3 = 6 m1 ,m2 [w − 3w ⋆ w + 2w ⋆ w ⋆ w](m1 , n1 , m2 , n2 ) и C4 = 24 3
m1 ,m2 [w ⋆
Γ
Γ Γ
Γ
}
]2 ∑
⋆w](m1 ,n1 ,m2 ,n2 ) + m1 ,m2 [w−6w⋆w+8w⋆w⋆w−6w⋆w⋆w⋆w](m1 ,n1 ,m2 ,n2 )
Γ
Γ
Γ
Γ
Γ
Γ
Γ
выражаются через локальную двухспиновую томограмму w(m1 ,n1 ,m2 ,n2 ), а
символ ⋆ обозначает звёздочное произведение с интегральным ядром K Γ =
Γ
= Kj=1/2 (m1 , n1 ; m′1 , n′1 ; m′′1 , n′′1 )Kj=1/2 (m2 , −n2 ; m′2 , −n′2 ; m′′2 , −n′′2 ), явный вид
которого представлен на стр. 44 диссертации.
Во второй главе исследуются квантовые состояния электромагнитного
поля, моды которых строго фиксированы, однако статистика фотонов в модах
может быть произвольной. Сначала даётся краткий обзор существующих методов детектирования таких состояний (оптическая гомодинная томография,
томография с помощью восьмиканального интерферометра) и метода, который может быть реализован в ближайшее время (томография счёта фотонов).
Оптическая томограмма w(X, θ) = ⟨Xθ |ρ̂|Xθ ⟩ представляет собой совокупность плотностей распределения вероятностей квадратурной компоненты
13
1,0
1.8
1.6
0,8
R
1.4
w
0,6
1.2
0,4
1
0,2
0.8
-1
-0.8 -0.6 -0.4 -0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
r
-1
0
1
2
3
Рис. 5.
Проверка соотношения неопределённостей для энтропии Реньи. Точки
Рис. 4. Пример гистограмм h(X, π) (сплош- снизу соответствуют когерентному состоные линии) и h(−X, 0) (штриховые линии), янию, точки сверху — SPACS-состоянию.
построенных для измерения SPACS-состоя- Сплошная линия отвечает теоретической
√
ний ( ηα = 0, 64).
границе.
X
X для всевозможных фаз (локального
осциллятора
)
(
)θ ∈ [0, 2π], где X̂θ =
1
1
†
†
= Q̂ cos θ + P̂ sin θ, Q̂ = √2 â + â , P̂ = √2i â − â и X̂θ |Xθ ⟩ = X|Xθ ⟩.
Найден явный
∑Nвид оптической томограммы суперпозиций фоковских состояний |ψ⟩ = n=0 cn |n⟩ и их некогерентной смеси с равновесным тепловым
состоянием. Исследована зависимость параметра чистоты от температуры и
удельного веса шума в такой модели.
Далее на примерах когерентного
состояния |α⟩ и когерентного состояния
√
†
с добавленным фотоном â |α⟩/ 1 + |α|2 (SPACS) исследован вопрос повышения точности гомодинного детектирования и операционного использования оптических томограмм. Найден оптимальный шаг для построения гистограмм квадратурных распределений, минимизирующий суммарную ошибку
(статистическую и субдискретизационную). Учтено влияние конечной квантовой эффективности η детекторов, приводящей к тому, что параметр чистоты
2 2
регистрируемого SPACS-состояния уменьшается: µdet
↠|α⟩ = 1−2η(1−η)/(1+|α| ) .
Согласно теории, томограмма w(X, θ) с необходимостью удовлетворяет соотношению симметрии w(X, θ) = w(−X, θ + π), однако это не всегда выполняется на практике (рис. 4). Различие распределений w(X, θ) и w(−X, θ + π)
служит показателем точности экспериментальных данных и позволяет учесть
как систематические, так и случайные ошибки. Погрешность определения
физических характеристик состояния выражается через экспериментальные
данные (выражение для параметра чистоты приведено в результате №6, выносимом на защиту). Далее для квадратур Q и P производятся проверки
соотношения неоределённостей Гейзенберга и его аналога для смешанных состояний, соотношения неопределённостей
для
неравенства для
{∫
} пар состояний,
{∫
}
−1
1+r
1−r
π (1−r)−1
(1+r)
энтропий Реньи: r ln [w(X, 0)]
dX − r ln [w(X, 2 )]
dX ≡
≡ R(r) > ln π+ 2r1 [(1+r) ln(1+r)−(1−r) ln(1−r)] (рис. 5). На основе известных
14
ранее соотношений выведено и проверено новое неравенство, представленное
в результате №7, выносимом на защиту.
Далее исследуются методы детектирования квантовых состояний электромагнитного поля СВЧ-диапазона. Используемые для регистрации излучения линейные усилители превносят шум
из мод
√ h и †дают на выходе
√ одну
√
√
†
(в картине Гейзенберга): b̂s = gâ + g − 1ĥ или b̂i = g − 1â + g ĥ,
где g – коэффициент усиления. Результатом измерения усиленного сигнала синфазным квадратурным√смесителем является двумерная гистограмма
Q(q, p). Пусть S = (q + ip)/ 2, тогда экспериментально могут быть определены
упорядоченные моменты усиленной моды ⟨b̂k (b̂† )l ⟩ =
∫∫ антинормально
=
dqdp(S ∗ )l S k Q(q, p), из которых можно выделить нормально или антинормально упорядоченные моменты исходного СВЧ-сигнала (стр. 111–112 в
диссертации). Далее детально разрабатывается формализм упорядоченных
моментов (вычисление моментов для важных физических состояний, связь
моментов с томограммой и функцией Вигнера, схема звёздочного произведения); выражение для параметра чистоты в терминах нормально упорядоченных моментов составляет содержание результата №9, выносимого на защиту.
Далее рассматривается задача детектирования запутанности двухмодовых состояний поля при томографии счёта фотонов, для скорой практической
реализации которой имеются предпосылки. Двухмодовая томограмма счёта
фотонов задаваётся формулой w(n1 ,n2 ,α1 ,α2 ) = ⟨n1 n2 |D̂(α1 ,α2)ρ̂D̂† (α1 ,α2)|n1 n2 ⟩,
где |n1 n2 ⟩ = |n1 ⟩|n2 ⟩ — состояние с n1 фотонами в первой моде и n2 фотонами
во второй, D̂(α1 , α2 ) = D̂1 (α1 )D̂2 (α2 ), D̂1 (α1 ) и D̂2 (α2 ) — операторы сдвига,
относящиеся к разным модам. Основная идея предложенного метода заключается в сведении задачи, сформулированной для бесконечномерного пространства состояний, к хорошо изученной задаче детектирования запутанности
двух кубитов. Такое отображение осуществляется с помощью двухкубитного
портрета томограммы∑
счёта фотонов:
w(+, +, α1 , α2 ) = (n1 ,n2 ) ∈ A1 ×A2 w(n1 , n2 , α1 , α2 ),
∑
w(+, −, α1 , α2 ) = (n1 ,n2 ) ∈ A1 ×(Z+ \A2 ) w(n1 , n2 , α1 , α2 ),
∑
w(−, +, α1 , α2 ) = (n1 ,n2 ) ∈ (Z+ \A1 )×A2 w(n1 , n2 , α1 , α2 ),
∑
w(−, −, α1 , α2 ) = (n1 ,n2 ) ∈ (Z+ \A1 )×(Z+ \A2 ) w(n1 , n2 , α1 , α2 ),
где A1 и A2 — произвольные подмножества целых неотрицательных чисел Z+ .
Фиксируя четыре комплексных параметра α1 , α2 , β1 , β2 , строятся четыре
двухкубитных портрета, а индикатором запутанности служит нарушение неравенства типа неравенства Белла (стр. 125 в диссертации). Не все портреты
(выбор A1 и A2 ) одинаково результативны для детектирования запутанности.
На примере Шредингеровского кота из когерентных состояний показано, что
различение чётного и нечётного числа фотонов ni в каждой из мод позволяет
эффективно детектировать запутанность такого состояния.
15
(a)
E1
(b)
E1
1
1
1
2
2
E2
E2
2
1
2
Рис. 6. Первоначально запутанное состояние составной системы и воздействие шумов Ei
на подсистемы. Конечное состояние сохраняет запутанность при слабом уровне шума (a)
и становится сепарабельным при большом уровне шума (b).
В третьей главе исследуется динамика спиновых систем и состояний
электромагнитного поля. Для составной спиновой системы (мюония) находится уравнение движения подсистемы (редуцированной томограммы мюона)
для различных взаимодействий между подсистемами (сверхтонкое, изотропное, анизотропное) и с внешним магнитным полем. Поскольку при регистрации квантовых состояний СВЧ-диапазона экспериментально определяются
упорядоченные моменты, то во втором параграфе выводятся уравнения движения для моментов, причём в основу кладутся разработанный формализм
звёздочного произведения и уравнение эволюции оператора плотности в потенциале гармонического осциллятора с трением (модель диссипации). Если
γ — скорость потерь, ν — равновесное число фотонов, то динамика нормально упорядоченных моментов ⟨(↠)m ân ⟩ принимает вид разностного уравне∂
ния ∂t
⟨(↠)m ân ⟩ = [i(m − n) − γ(m + n)] ⟨(↠)m ân ⟩ + 2γνmn⟨(↠)m−1 ân−1 ⟩, где
участвуют всего два узла решётки (m, n) (локальной характер динамики).
Далее исследуется динамика запутанности двух кубитов при воздействии
на них локальных шумов, описываемых квантовым каналом E1 ⊗ E2 (рис. 6).
Пользуясь редукционным критерием запутанности, для унитальных (не изменяющих максимально смешанное состояние) и экстремальных (не представимых в виде выпуклой комбинации других каналов) каналов E1 ⊗ E2
найдены необходимые и/или достаточные условия аннигиляции запутанности
(стр. 139–153 в диссертации). Конкретные результаты в виде общих утверждений и примеров важных с физической точки зрения квантовых шумов
(деполяризация, затухание амплитуды) составляют содержание результата
№11, выносимого на защиту.
В Заключении представлены выводы и сформулированы результаты,
выносимые на защиту.
16
Исследования, выполненные в главах 1 и 2, позволили
— найти связь между известными ранее томограммами и квазираспределениями,
— получить новые математические соотношения между экспериментальными данными (томограммами) и физическими характеристиками состояний (чистота, запутанность, квантовость, меры различия),
— усовершенствовать существующие томографические методы с учётом особенностей эксперимента (уменьшение избыточности информации, нахождение минимального количества томографических измерений для спинов, оптимизация направлений квантования в спиновой томографии для
уменьшения ошибок в восстановленном операторе плотности, рассмотрение свойств симметричных конструкций для томографии, количественная оценка точности экспериментальных данных, влияние конечной квантовой эффективности детекторов и шумов усилителей).
Исследования 3-й главы позволили
— найти общий вид унитарной эволюции двухспиновых томограмм и рассмотреть примеры эволюции редуцированных мюонных томограмм, связь
которых с угловым распределением распадных частиц была установлена,
— получить явные уравнения унитарной и неунитраной эволюции квантовых состояний электромагнитного поля в терминах упорядоченных
моментов операторов рождения и уничтожения фотонов,
— решить задачу сохранения и аннигиляции запутанности двух кубитов
при воздействии на них локальных шумов в квантовых каналах передачи
информации, что имеет важное значение для полноценного использования уникальных свойств квантовых линий связи, основанных на запутанности пересылаемых через них физических объектов.
На защиту выносятся следующие основные результаты:
1. Для системы со спином j деквантайзер и квантайзер спиновой томографии раскладываются по ортогональным операторам:
2j
2j
∑
∑
(j)
(j)
(j)
(j)
(2L + 1)fL (m)ŜL (n),
Û (j) (m, n) =
fL (m)ŜL (n) и D̂(j) (m, n) =
L=0
L=0
[
]1/2
(j)
где fL (m) = (2L+1)(2j−L)!
tL (j + m, 2j + 1) — нормированный полином
(2j+L+1)!
)
(j)
(j) (
Чебышева дискретной переменной m, ŜL (n) = fL (Ĵ · n) — тот же самый
полином от оператора (Ĵ · n) проекции углового момента на направление n.
2. Параметр чистоты состояния µ = Trρ̂2 выражается через спиновую
томограмму w(j) (m,[n) по формуле
]
∫
j
j−1
∑
dn ∑
µ = (2j + 1)
w2 (m, n) −
w(m, n)w(m + 1, n) .
m=−j
S 2 4π m=−j
3.
Совокупность вероятностей w(j) (m, nk ) получить число m при из17
мерении проекции спина на направление nk , k = 1, . . . , 4j + 1, содержит
полную информацию о системе со спином j и позволяет восстановить оператор плотности, если невырождена каждая из 2j квадратных матриц ∥GL ∥
порядка L = (1, . . . , 2j,)элементами которой являются полиномы Лежандра:
∥GL ∥ij = PL (ni · nj ) . Если вероятности w(j) (m, nk ) определены с конечной точностью, то восстановленной оператор плотности будет содержать тем
меньшие ошибки, чем меньше числа обусловленности матриц ∥GL ∥.
4. Для безошибочного сравнения двух произвольных квантовых состояний ρ и ξ необходимо провести томографическое измерение каждого из них.
Однако существуют специальные измерения с двумя исходами, не являющиеся томографическими и позволяющие безошибочно сравнивать все состояния
ρ и ξ (ξ ̸= ρ) за исключением множества состояний меры нуль (почти универсальное сравнение). Почти универсальное сравнение с бо́льшим количеством
исходов реализуется при измерениях типа Штерна–Герлаха над каждой подсистемой. Фактор качества сравнения, производимого с помощью измерения
N
∫∫
∑
N
E = {Ej }j=1 , задаётся формулой ⟨DE ⟩ = µ(dϱ)µ(dξ) inf
|tr[Ej (ϱ⊗ξ −η⊗η)]|
ρ̸=ξ
η j=1
и вычислен в случае кубитов для меры Гильберта–Шмидта µHS и меры
Буреша µB .
5. Расстояние ∥ρ1 −ρ2 ∥HS между двумя состояниями ρ1 и ρ2 в метрике
Гильберта–Шмидта связано с их спиновыми томограммами w1 (m, n) и
[
)2 ]1/2
j (
∑
6 ∥ρ1−ρ2 ∥HS .
w2 (m, n) неравенством 0 6 max 12
w1 (m, n)−w2 (m, n)
n
m=−j
1
2 tr|ρ1 −ρ2 |
Расстояние в следовой метрике
равно максимальному по унитарным матрицам u расстоянию Колмогорова между унитарными спиновыми
то√√
√
ρ1 ρ2 ρ1
мограммами w1 (m, u) и w2 (m, u). Степень совпадения состояний tr
равняется минимальному по унитарным матрицам u коэффициенту Бхаттаj
√
∑
чария
w1 (m, u) w2 (m, u).
m=−j
6. Точность данных гомодинного детектирования определяется по различию экспериментально измеренных оптических томограмм w(X, θ) и
w(−X, θ+π). Погрешность параметра чистоты вычисляется по формуле ∆µ =
+∞
∫ +∞
∫∫
∫π [
]
1
=
rdr dXdY cos[(X+Y )r] dθ w(X, θ)w(−Y, θ)−w(X, θ+π)w(−Y, θ+π) .
2π
0
−∞
0
∫+∞
∫π
7. Энтропия HX,θ = − −∞ dX 0 dθ
π w(X, θ) ln w(X, θ) безразмерной оптической томограммы w(X, θ) как функции двух переменных удовлетворяет
неравенству HX,θ > 12 [ ln π + 1] для любого квантового состояния.
Данное и известные ранее соотношения впервые проверены и выполняются
18
(с указанной точностью) для экспериментальных данных по детектированию
когерентных состояний и когерентных состояний с добавленным фотоном.
8. Усилители, используемые при детектировании квантовых состояний электромагнитного поля СВЧ-диапазона, превносят в измеряемые характеристики сильный тепловой шум, однако информация о самом квантовом
состоянии извлекается из зашумлённого сигнала по моментам гомодинных
квадратур ⟨Xθr ⟩ или моментам операторов рождения и уничтожения фотонов
(нормально упорядоченным ⟨(↠)m ân ⟩ или антинормально упорядоченным
⟨âk (↠)l ⟩). Уравнения движения квантовых состояний поля излучения (с учётом диссипации) записываются в виде разностных уравнений для моментов
и носят локальный характер в соответствующем фазовом пространстве —
двумерной решётке из узлов (m, n) или (k, l).
9. Параметр чистоты одномодового состояния электромагнитного поля
выражается через нормально упорядоченные моменты операторов рождения
∞
∑
(−1)m+k (n+k)!
δn+k,m+l ⟨(↠)n âm ⟩⟨(↠)k âl ⟩.
и уничтожения фотонов: µ =
n!m!k!l!
n,m,k,l=0
10. Запутанность двухмодовых состояний электромагнитного поля эффективно детектируется по томограмме счёта фотонов w(n1 , n2 , α1 , α2 ) с помощью двухкубитного портрета такой томограммы, построенного по принципу различения чётного и нечётного числа фотонов ni в каждой из мод.
11. Локальный двухкубитный унитальный квантовый канал E1 ⊗ E2 , описывающий взаимодействие каждого из кубитов со своим окружением, переводит любое запутанное состояние в сепарабельное, если однокубитные каналы
E12 и E22 по отдельности разрушают сцепленность. Если каналы E1 и E2 экстремальные, то E1 ⊗E2 будет аннигилировать сцепленность тогда и только тогда,
когда хотя бы один из каналов E1 и E2 разрушает сцепленность. Допустимые
уровени шумов r1 и r2 в деполяризующих каналах E1 и E2 , при действии
которых запутанность некоторых двухкубитных состояний сохраняется, удовлетворяют условию (1 − r1 )(1 − r2 ) > 31 . Для канала E ⊗ E, где однокубитный
канал E = Ap,γ=0,5 описывает затухание амлитуды с неподвижной точкой в
центре шара Блоха, запутанность
некоторых состояний будет сохраняться
√√
при уровне шума p <
2 − 1 ≈ 0, 64.
Список публикаций по теме диссертации
1. Филиппов С. Н., Манько В. И. Эволюция микроволновых квантовых
состояний на языке измеряемых упорядоченных моментов операторов
рождения и уничтожения // Оптика и спектроскопия. 2012. Т. 112, № 3.
С. 405–413.
19
2. Filippov S. N., Man’ko V. I. Star product and ordered moments of photon
creation and annihilation operators // Journal of Physics A: Mathematical
and Theoretical. 2012. Vol. 45, no. 1. P. 015305.
3. Filippov S. N., Rybár T., Ziman M. Local two-qubit entanglement-annihilating channels // Physical Review A. 2012. Vol. 85. P. 012303.
4. Filippov S. N., Man’ko V. I. Measuring microwave quantum states: Tomogram
and moments // Physical Review A. 2011. Vol. 84. P. 033827.
5. Belousov Yu. M., Filippov S. N., Man’ko V. I., Traskunov I. V. Relaxation
equations for the qubit in the tomographic representation // Journal of
Russian Laser Research. 2011. Vol. 32, no. 6. Pp. 584–595.
6. Filippov S. N., Man’ko V. I. Optical tomography of Fock state
superpositions // Physica Scripta. 2011. Vol. 83. P. 058101.
7. Filippov S. N., Man’ko V. I. Unitary and non-unitary matrices as a source
of different bases of operators acting on Hilbert spaces // Journal of Russian
Laser Research. 2011. Vol. 32, no. 1. Pp. 56–67.
8. Filippov S. N., Man’ko V. I. Mutually unbiased bases: tomography of spin
states and star-product scheme // Physica Scripta. 2011. Vol. T143.
P. 014010.
9. Belousov Yu. M., Filippov S. N., Gorelkin V. N., Man’ko V. I. MuSR
method and tomographic-probability representation of spin states // Journal
of Russian Laser Research. 2010. Vol. 31, no. 5. Pp. 421–442.
10. Filippov S. N., Man’ko V. I. Distances between quantum states in the
tomographic-probability representation // Physica Scripta. 2010. Vol. T140.
P. 014043.
11. Filippov S. N., Man’ko V. I. Symmetric informationally complete positive
operator valued measure and probability representation of quantum
mechanics // Journal of Russian Laser Research. 2010. Vol. 31, no. 3.
Pp. 211–231.
12. Filippov S. N., Man’ko V. I. Inverse spin-s portrait and representation of qudit
states by single probability vectors // Journal of Russian Laser Research.
2010. Vol. 31, no. 1. Pp. 32–54.
13. Filippov S. N., Man’ko V. I. Probability representation and quantumness tests
for qudits and two-mode light states // Journal of Russian Laser Research.
2009. Vol. 30, no. 5. Pp. 443–450.
20
14. Filippov S. N., Man’ko V. I. Chebyshev polynomials and Fourier transform of
SU(2) irreducible representation character as spin-tomographic star-product
kernel // Journal of Russian Laser Research. 2009. Vol. 30, no. 3. Pp. 224–241.
15. Filippov S. N., Man’ko V. I. Spin tomography and star-product kernel for
qubits and qutrits // Journal of Russian Laser Research. 2009. Vol. 30, no. 2.
Pp. 129–145.
16. Filippov S. N., Man’ko V. I. Quantumness tests and witnesses in the
tomographic-probability representation // Physica Scripta. 2009. Vol. 79.
P. 055007.
17. Filippov S. N., Man’ko V. I. Qubit portrait of the photon-number tomogram
and separability of two-mode light states // Journal of Russian Laser
Research. 2009. Vol. 30, no. 1. Pp. 55–72.
18. Filippov S. N., Man’ko V. I. Geometrical interpretation of density matrix:
mixed and entangled states // Journal of Russian Laser Research. 2008.
Vol. 29, no. 6. Pp. 564–580.
19. Филиппов С. Н., Манько В. И. Уравнения квантовой динамики
упорядоченных моментов операторов рождения и уничтожения фотонов
в формализме звёздочного произведения // Труды 54-й научной
конференции МФТИ «Проблемы фундаментальных и прикладных
естественных и технических наук в современном информационном
обществе». Общая и прикладная физика. ISBN 978-5-7417-0407-3. Москва:
МФТИ, 2011. С. 114–116.
20. Филиппов С. Н. Положительные и вполне положительные отображения
в задаче нахождения квантовых каналов, разрушающих или аннигилирующих сцепленность // Труды 54-й научной конференции МФТИ
«Проблемы фундаментальных и прикладных естественных и технических наук в современном информационном обществе». Управление и
прикладная математика. Том 1. ISBN 978-5-7417-0400-4. Москва: МФТИ,
2011. С. 30–31.
21. Filippov S. N., Man’ko V. I. SIC-POVM: star product and relation
to other probability representations // Book of abstracts, International
Conference on Quantum Information and Computation (October 4-8, 2010,
Stockholm, Sweden). ISBN 978-91-7415-727-7 / Ed. by I. Bengtsson, G. Björk,
M. Bourennane. Stockholm: Kungliga Tekniska Högskolan, 2010. P. P2.15.
22. Филиппов С. Н., Манько В. И. Свойства симметричного набора векторов
и взаимно равнонаклонённых базисов в конечномерных гильбертовых
21
пространствах и формализм звёздочного произведения // Труды 53-й научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных
и прикладных наук»: Часть VII. Управление и прикладная математика.
Том 1. ISBN 978-5-7417-0399-1. Москва: МФТИ, 2010. С. 32–33.
23. Филиппов С. Н., Манько В. И. Вероятностно-томографическое описание
мюония: эволюция и запутанность // Труды 53-й научной конференции
МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук»:
Часть II. Общая и прикладная физика. ISBN 978-5-7417-0328-1. Москва:
МФТИ, 2010. С. 177–180.
24. Филиппов С. Н., Манько В. И. Ядро звездочного произведения
спин-томографических символов и его связь с преобразованием Фурье
полиномов Чебышева // Труды 52-й научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук»: Часть VII.
Управление и прикладная математика. Том 2. ISBN 978-5-7417-0312-0.
Москва: МФТИ, 2009. С. 171–174.
25. Филиппов С. Н., Манько В. И. Кубитовый портрет томограммы
счета фотонов и критерий сепарабельности двухмодовых состояний
света // Труды 52-й научной конференции МФТИ «Современные
проблемы фундаментальных и прикладных наук»: Часть VIII. Проблемы
современной физики. ISBN 978-5-7417-0290-1. Москва: МФТИ, 2009.
С. 224–226.
26. Filippov S. N. Qudit and light states: peculiarities of the tomographic-probability representation and the qubit-portrait method // Report Series in
Physics, Ser. L 32. Book of abstracts, 16th Central European Workshop on
Quantum Optics (May 23-27, 2009, Turku, Finland). ISBN 978-951-29-3947-3,
ISSN 0788-9305 / Ed. by K. Härkönen, S. Maniscalco, J. Piilo et al. Turku:
University of Turku, 2009. P. 111.
27. Филиппов С. Н., Манько В. И. Использование геометрических свойств
матрицы плотности для описания смешанных и запутанных состояний //
Труды 51-й научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук»: Часть VIII. Проблемы современной
физики. ISBN 978-5-7417-0281-9. Москва: МФТИ, 2008. С. 212–215.
28. Filippov S. N., Ziman M. Probability-based comparison of quantum states //
arXiv:1202.1015v1 [quant-ph]. 2012.
29. Bellini M., Coelho A. S., Filippov S. N. et al. Towards higher precision and
operational use of optical homodyne tomograms // arXiv:1203.2974v1. 2012.
22