1.5 Лабораторная работа № ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНОВ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

Лабораторная работа №
1.5
ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНОВ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
НА МАЯТНИКЕ ОБЕРБЕКА
Цель работы: 1) экспериментальная проверка основного уравнения динамики вращательного движения, 2)сравнение найденного в опыте момента инерции с его значением, вычисленным теоретически.
Краткая теория.
Рассмотрим твердое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной оси, например, диск. На рис. 1 ось вращения OZ проходит через центр диска.
Вращение может быть вызвано только такой силой F, которая лежит в плоскости, перпендикулярной к оси вращения
и направлена по касательной к окружности, описываемой
точкой приложения силы.
Рис. 1
Моментом Mz силы относительно неподвижной оси OZ
называется скалярная величина, равная произведению модуля
силы на ее плечо, т.е. на длину перпендикуляра, проведенного от оси до прямой, вдоль которой действует сила. В нашем случае плечо силы F равно радиусу r диска, то есть
Mz = Fr.
(1)
Основное уравнение динамики тела, вращающегося вокруг неподвижной
оси, имеет вид
Mz = Jz,
(2)
где Jz – момент инерции тела относительно оси OZ,
 – модуль углового ускорения.
Моментом инерции тела относительно некоторой оси называется величина, равная сумме произведений элементарных масс mi всех частиц тела на
квадраты их расстояний ri от этой оси:
n
J z   mi ri
2
.
(3)
i 1
На рис 2 а и б масса вращающейся крестовины с грузами одна и та же. Но она по-разному
распределена в двух опытах. Чем дальше от оси
вращения находятся грузы, тем больше сумма
произведений масс на квадраты их расстояний
Рис. 2.
от оси – момент инерции (3).
Опыт показывает, что раскрутить крестовину
при воздействии одного и того же вращающего момента в случае б труднее.
Для раскручивания стержней с грузами до одной и той же угловой скорости
в случае рис .2, б требуется большее время, чем в случае рис .2, а.
Из формулы (2) следует, что
1

Mz
,
I
(4)
т.е. угловое ускорение , приобретаемое телом под действием данного вращающего момента Мz, прямо пропорционально величине этого момента и обратно пропорционально моменту инерции тела относительно оси вращения
Момент инерции твердого тела относительно какой-либо неподвижной оси
является мерой инертности этого тела во вращении вокруг данной оси: чем
больше в формуле (4) момент инерции тела, тем меньшее угловое ускорение оно
приобретает под действием одного и того же момента внешних сил.
Инертность тел при поступательном движении учитывается с помощью
массы m. При вращательном движении мерой инертности служит другая
величина – момент инерции тела.
В настоящей работе применяется прибор (крестообразный маятник Обербека), схематически изображенный на рис. 3.
Он состоит из четырех стержней и двух шкивов различного радиуса, укрепленных на одной горизонтальной оси. Относительно этой оси маятник может
вращаться. Стержни, на которых нанесены деления, размещены взаимно перпендикулярно, образуя крестовину. По стержням могут перемещаться и закрепляться в нужном положении четыре (по одному на каждом стержне) грузанасадки одинаковой массы m0. Перемещая насадки вдоль стержней, можно изменять момент инерции маятника.
При помощи грузов различной массы m, прикрепляемых к концу намотанной
на тот или иной шкив нити, маятник может приводиться во вращение.
На груз массы m, подвешенный на нити, действуют две силы (рис. 3):
mg – сила тяжести и Т – сила натяжения нити.
Под действием этих сил груз движется вниз поступательно с ускорением а.
Запишем II закон Ньютона в проекциях на вертикаль
mg – T = ma
(5)
По третьему закону Ньютона сила, равная по модулю силе натяжения Т, но
направленная противоположно ей, приложена ко второму из взаимодействующих тел – к шкиву (по касательной). Она обозначена на рисунке –Т.
Эта сила и создает вращающий момент М
M = Tr
(6)
(для простоты индексы z в дальнейших формулах опущены).
Моментом сил трения пренебрегаем.
Ускорение а может быть найдено из формулы пути при равноускоренном
движении без начальной скорости. Если h - расстояние, пройденное опускающимся грузом за время t, то
at 2
2h
h
, откуда
,
(7)
a
2
t2
Измеряя время t, в течение которого груз m из состояния покоя опустится на расстояние h, по этой формуле можно определить линейное ускорение. Учитывая связь линейного а и углового  ускорения, выразим угловое
ускорение через линейное и радиус шкива r:
2
a 2h
.

r rt 2
Из уравнений (5), (6) и (7) находим значение вращающего момента М
2h
M  mr ( g  )
t2

(8)
(9)
и формулу для расчета момента инерции маятника
gt 2
(10)
I  mr 2 (
 1)
2h
Измерения.
Задание 1. Экспериментальная
проверка основного уравнения динамики
вращательного движения.
Необходимо экспериментально
установить характер зависимости углового ускорения ε вращения маятника от момента силы М (М1, М2, М3),Укрепляют насадки на стержнях маятника на некотором одинаковом расстоянии R от оси вращения и записывают его
значение. Каждый раз, закрепляя насадки
на стержнях на определенном расстоянии
от оси вращения, необходимо проверить,
правильно ли сбалансирована система,
т. е. находится ли она в безразличном
равновесии.
Оставляя неизменным момент инерции системы I = сonst, определяют значения угловых ускорений при различных значениях вращающего момента.
Для этого:
1. Определяют высоту h опускания груРис .3.
за на нити.
2. Штангенциркулем измеряют радиусы шкивов r1 и r2.
3. На конец нити прикрепляют груз m1, нить наматывают на шкив радиуса r1.
4. Измеряют время t опускания груза m1 с высоты h. По формуле (8) находят
угловое ускорение ε.
5. После этого изменяют массу груза, подвешенного к нити – привязывают
грузы m2 и m3 и повторяют опыты.
6. Затем нить перебрасывают на другой шкив (радиуса r2 ) и повторяют все
опыты.
3
Результаты экспериментов заносят в таблицу и представляют в виде графика
ε = f(M).
Задание 2. Сравнение значения момента инерции, найденного в опыте, с
теоретическим. Из данных первого опыта по построенному графику определяют среднее значение момента инерции J системы при раздвинутых насадках.
Затем найденное значение J сравнивают с его теоретическим значением. Согласно теории, момент инерции Jтеор маятника равен сумме моментов инерции
крестовины и четырех насадок, масса которых m0.
Jтеор = J кр + 4m0R2,
(11)
R – расстояние от оси вращения до центра масс насадок. Момент инерции J кр
крестовины маятника - это момент инерции двух больших взаимно перпендикулярных стержней, образующих крест, относительно оси, проходящей через
их середину
1
J кр  2  mстl 2 .
(12)
12
Здесь mст - масса стержня, l - его длина написаны на приборе.
Теоретическое значение момента инерции вычисляют по формулам (11) и (12).
J=
Положение
насадок
m, кг
r1 = ,
t, c
1
mстl2 + 4m0R2.
6
M,Н·м
ε, c-1
r2 = ,
t, c
(12)
M,Н·м
ε, c-1
m1 = 0,051
m2 = 0,101
m3 = 0,151
m1 = 0,051
m2 = 0,101
m3 = 0,151
m1 = 0,051
m2 = 0,101
m3 = 0,151
Контрольные вопросы.
1. Что называется моментом инерции тела относительно данной оси? . Чему равен момент
силы относительно оси? Какова роль момента инерции во вращательном движении?
5. Напишите основной закон динамики тела при вращении вокруг неподвижной оси.
Сравните формулы I = M и ma = F. В чем состоит аналогия между этими выражениями?
3. В чем суть динамического метода определения момента инерции?
6. Момент какой силы заставляет маятник вращаться?
7. Как можно изменить момент инерции маятника.
8. Как можно изменить момент вращающей силы (2 способа).
9. Выведите формулу (9).
4