ЛЕКЦИЯ № 3 Задание плоскости на комплексном чертеже

ЛЕКЦИЯ № 3
Задание плоскости общего положения на комплексном чертеже. Принадлежность прямой и точки
заданной плоскости. Главные линии плоскости. Признаки параллельности. Плоскости частного
положения. Комплексный чертеж окружности. Геометрическое построение эллипса.
Задание плоскости на комплексном чертеже
Определитель геометрического образа – это совокупность элементов,
однозначно определяющих геометрический образ.
Определителем прямой являются две точки.
Определителем плоскости являются три точки, не лежащие на одной прямой.
В общем случае плоскость, в отличие от линии, не может быть задана своими
проекциями, т.к. эти проекции, как и сама плоскость, являются бесконечными.
Поэтому плоскость на КЧ следует задавать определителем.
Способы задания плоскости общего положения на КЧ определителем
Тремя точками A, B, C
Прямой a и точкой C
Σ (А, В, С)
Σ (a, С)
Двумя пересекающимися
прямыми a и b Σ ( a || b)
Треугольником АВС
Σ (АВС)
Двумя параллельными
прямыми Σ (a x b)
Любой плоской фигурой,
например, четырехугольником АВСD Σ (АВСD)
От одного способа задания плоскости всегда можно перейти к другому.
1
Принадлежность точки и прямой данной плоскости
Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит какой-либо линии,
принадлежащей этой плоскости.
Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через две точки,
принадлежащие этой плоскости.
Задача 2.1
Дано: Σ (АВС)
Задать любую прямую a, принадлежащую плоскости Σ.
Условие
Решение
Задача 2.2
Дано: Σ (АВС), К (К1, К2), М2
Проверить принадлежит ли точка К плоскости Σ.
Найти недостающую проекцию точки М, принадлежащей плоскости Σ.
Условие
Решение
Ответ: точка К не принадлежит плоскости Σ
2
Главные линии плоскости
Горизонталь
h || П1
Фронталь
f || П2
Линия ската – линия наибольшего угла
наклона данной плоскости к
горизонтальной плоскости проекций П1
m1 ⊥ h1
Линия наибольшего угла наклона
данной плоскости к фронтальной
плоскости проекций П2
k2 ⊥ f2
Одной плоскости принадлежит бесконечное множество горизонталей, фронталей
и линий наибольшего угла наклона к плоскостям проекций.
Все горизонтали (или фронтали) одной плоскости параллельны между собой.
Все линии ската (или линии наименьшего угла наклона к П2) одной плоскости
параллельны между собой..
Плоскость можно задавать любой парой перечисленных линий.
Например, фронталью и горизонталью, горизонталью и линией ската и т.п.
В одной плоскости фронтали пересекаются с горизонталями, горизонтали
пересекаются с линиями ската и т.п.
3
Признак параллельности прямой и плоскости:
Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой,
принадлежащей этой плоскости.
Задача 2.3
Дано: плоскость Σ (a x b) и точка М
Задать прямую с || Σ и Λ ⊃ М
Решение: с || a, a ∈ Σ
Признак параллельности двух плоскостей:
Две плоскости параллельны между собой, если какие-либо две пересекающиеся
прямые одной плоскости попарно параллельны двум пересекающимся прямым
другой плоскости.
Задача 2.4
Дано: плоскость Σ (a x b) и точка М
Задать плоскость Λ || Σ и Λ ⊃ М
Решение: Λ (c x d), c || a, d || b
4
Плоскости частного положения – плоскости перпендикулярные или
параллельные плоскостям проекций. Их можно задавать определителем или
главной (вырожденной) проекцией.
Проецирующие плоскости – плоскости перпендикулярные какой-либо плоскости
проекций.
Горизонтально-проецирующая плоскость (Ω ⊥ П1)
Плоскость задана вырожденной
проекцией Ω1
Плоскость задана определителем
Ω (АВС)
Фронтально-проецирующая плоскость (∆
∆ ⊥ П2)
Плоскость задана вырожденной
проекцией Γ2
Плоскость задана определителем Γ (axb)
5
Плоскости уровня (частный случай проецирующих плоскостей) – плоскости
параллельные какой-либо плоскости проекций
Горизонтальная плоскость уровня (Г || П1, Г ⊥ П2)
Плоскость задана вырожденной
проекцией Σ2
Плоскость задана определителем
Σ (a || b)
Фронтальная плоскость уровня (∆
∆ || П2, ∆ ⊥ П1)
Плоскость задана вырожденной
проекцией ∆1
Плоскость задана определителем
Σ (a || b)
6
Задача 2.5
Задать: 1)фронтально проецирующую плоскость Λ определителем
2) горизонтально проецирующую плоскость Σ определителем
Определителями плоскостей выбрать фронтали и горизонтали.
Решение.
1) Λ (f x h)
2) Σ (f x h)
Комплексный чертеж ОКРУЖНОСТИ
Окружность – плоская кривая второго порядка, которая определяет плоскость.
Также в любой плоскости можно задать окружность.
Окружность, расположенная в плоскости уровня, является фронталью или
горизонталью и на одну из плоскостей проекций проецируется в натуральном
виде.
Окружность, расположенная в проецирующих плоскостях и в плоскости общего
положения, проецируется на одну из плоскостей проекций или обе в виде
эллипса.
При построении такой проекции следует помнить, что:
БОЭ (большая ось эллипса) на П1 совпадает по направлению с h1, а на П2
совпадает по направлению с f2. Длина БОЭ всегда = 2R (диаметру окружности).
МОЭ (малая ось эллипса) всегда перпендикулярна БОЭ.
Окружности, принадлежащие плоскостям уровня
Окружность – горизонталь h
Окружность – фронталь f
(окружность в горизонтальной
(окружность во фронтальной плоскости
плоскости уровня)
уровня)
7
Окружности, принадлежащие проецирующим плоскостям
Окружность n, принадлежащая
Окружность m, принадлежащая
плоскости проецирующей на П1
плоскости проецирующей на П2
Окружность k в плоскости общего положения Г (h x f)
ПОСТРОЕНИЕ ЭЛЛИПСА ПО БОЛЬШОЙ И МАЛОЙ ОСЯМ
Дано: Длина БОЭ = 2R и длина МОЭ
1. Построить окружности с диаметрами
равными БОЭ и МОЭ
2. Разделить окружности на равные части
(например, на 12 частей)
3. Из точек деления большой окружности
провести прямые линии параллельные
МОЭ. Из точек деления малой окружности
провести прямые линии параллельные
БОЭ. В попарном пересечении этих линий
находятся точки эллипса.
8