ïðàêòè÷åñêîå çàíÿòèå1

3. Практикум (рекомендации к практической части)
МОДУЛЬ 1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
Практическое занятие №1
Тема: Линейные операции над векторами
1.
2.
3.
4.
План
Понятие вектора. Основные отношения векторов.
Сложение векторов.
Вычитание векторов.
Умножение вектора на число.
Структурно-логическая схема
Длина вектора
Основные
отношения В
Направленный
отрезок
Понятие вектора (В)
Линейные
операции над В
Равенство
Умножение
на число
Сонаправле
нность
НДУ№1 коллинеарности
Векторное
пространство
Сложение
Вычита-ние
Базис (Б) и
размерность ВП
Линейная
зависимость
(ЛЗ)
Коорди
наты
ВвБ
Свойства
ЛЗ
НДУ№
2
коллинеарности
Коллинеарность
Геометрически
й смысл ЛЗ
Компланарность
Ортон
ормир
ованны
йБ
(ОБ)
Длина
В в ОБ
Ключевые термины и понятия
Вектор, скаляр, длина и направление вектора, единичный и нулевой векторы, орт,
коллинеарные векторы, сонаправленные и противоположные векторы, равные векторы,
сумма векторов, разность векторов, произведение вектора на число, линейная комбинация
векторов, линейная зависимость/ независимость, коллинеарность, компланарность,
векторное пространство, свободный, скользящий и связанный векторы, базис, размерность
векторного пространства, разложение вектора по базису, координаты вектора в базисе,
аффинный базис.
Основные факты
Отрезок называется направленным, если учитывается порядок задания его концов.
Если А и В – концы отрезка, причем А – первая точка, В – вторая точка, то направленный
отрезок с таким порядком задания его концов обозначается так: AB .
Направленный отрезок можно обозначать также малой латинской буквой с чертой
наверху, например: a .
На чертеже направление отмечают стрелкой,
114
В
обращенной острием к концу отрезка (рис. 1).
A
Рис. 1
Если концы А и В совпадают, то такой направленный отрезок называют нулевым.
Направление нулевого направленного отрезка не определено.
Длиной направленного отрезка AB называется длина отрезка АВ: | AB |=АВ.
Длина нулевого направленного отрезка считается равной нулю.
Ненулевые отрезки
направленными, если:
AB и CD называются одинаково (противоположно)
1) AB || CD или совпадают;
2) точки В и D лежат по одну сторону – рис. 2а (по разные стороны - рис. 2б) от
прямой АС.
Рис. 2
Замечание. В случае совпадения прямых АВ и CD направленные отрезки
AB и
CD называются одинаково (противоположно) направленными, если пересечение лучей
[АВ) и [CD) есть луч (отрезок, точка или пустое множество).
Направленные отрезки AB и CD называются эквиполентными, если они
одинаково направлены и имеют равные длины.
AB называется совокупность всех направленных
отрезков, эквиполентных направленному отрезку AB . Вектор можно обозначать также
малой латинской буквой со стрелкой наверху, например: a .
Вектором (свободным вектором)
Множество всех свободных векторов называется векторным пространством и
обозначается V.
Совокупность всех направленных отрезков, эквиполентных направленному отрезку
AB и лежащих на одной прямой, называется скользящим вектором.
Направленный отрезок называют иногда связанным вектором.
Направленный отрезок AB называется представителем вектора AB . На чертеже
вектор можно задать любым его представителем.
Нуль-вектором назовем вектор, определяемый нулевым направленным отрезком
AA . Обозначение: 0 .
Длиной вектора
AB называется длина отрезка АВ.
| AB |=АВ=| AB |.
Длина нулевого вектора равна нулю. Вектор называется единичным, если его длина
равна единице.
115
AB и CD назовем коллинеарными, если прямые АВ и CD параллельны
или совпадают. Обозначение: AB || CD .
Векторы
Нуль-вектор считается коллинеарным любому вектору.
AB и CD называют одинаково (противоположно) направленными, если
одинаково (противоположно) направлены отрезки AB и CD . Обозначения: AB ↑↑ CD ,
Векторы
если векторы одинаково направлены; AB ↑↓ CD , если векторы противоположно
направлены.
Векторы называют равными, если:
AB ↑↑ CD ;
2) | AB |=| CD |.
1)
Векторы называют противоположными, если:
AB ↑↓ CD ;
2) | AB |=| CD |.
Векторы AB и BA противоположны. Обозначение: BA = - AB .
1)
a и b называется вектор c = AC , где AB = a , BC = b ,
А – произвольная точка, В и С – точки, полученные после откладывания векторов a и b
(рис. 3.). Сумма векторов a и b обозначается a + b .
Суммой векторов
Рис. 3
Рис. 4
В определении заложен алгоритм сложения (построения суммы) векторов, который
называется правилом треугольника.
Из этого правила следует, что для любых трех точек А, В и С имеет место
равенство: AB + BC = AC .
Сумму двух векторов можно также построить по правилу параллелограмма: для
a и b нужно построить на этих векторах, отложенных
от общего начала, параллелограмм; тогда суммой a + b является вектор диагонали этого
того чтобы сложить два вектора
параллелограмма, исходящий из того же начала (рис. 4).
Свойства сложения векторов:
1) a + b = b + a
(коммутативный закон);
116
2) a +( b + c )=( a + b )+ c
(ассоциативный закон);
a +0 =a ;
4) a +(- a )= 0 .
3)
Рис. 5
a и b , заданных в определенном порядке, называется такой
вектор q , который в сумме с вектором b дает вектор a : b + q = a . Разность векторов a
Разностью векторов
и
b обозначается a - b .
Для построения разности двух векторов
a и b достаточно отложить эти векторы
a - b является вектор, соединяющий концы данных
векторов и направленный в сторону уменьшаемого вектора (от b к a ) (рис.5).
Произведением действительного числа α≠0 на вектор a ≠ 0 называется вектор b ,
от общего начала; тогда разностью
удовлетворяющий двум условиям:
1)
| b |=|α|⋅| a |;
2)
b ↑↑ a , если α>0 и
b ↑↓ a , если α<0.
Обозначение: b =α⋅ a или b =α a .
Свойства умножения вектора на число:
1) 1⋅ a = a , (-1) ⋅ a =- a ;
2) α (β⋅ a )=(αβ)⋅ a (ассоциативный закон);
3) (α+β)⋅ a =α⋅ a +β⋅ a (дистрибутивный закон относительно сложения скаляров);
4) α⋅( a + b )=α⋅ a +α⋅ b (дистрибутивный закон относительно сложения векторов).
Необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов (НДУ№1): Для
a и b были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы
существовало число α∈ℜ, такое что: b =α⋅ a .
того чтобы векторы
Три вектора
плоскости.
a , b и c называются компланарными, если они параллельны одной
Примеры решения типовых задач
Задача 1
В треугольнике АОВ точка М является серединой стороны АВ. Доказать, что
ОМ = 1 ( OA + OB ) (рис. 6).
2
Решение
1
1
1
Т.к. АМ= АВ, то AМ = AB = ( OB - OA ),
2
2
2
117
ОМ = OA + AМ = OA + 1 ( OB - OA )=
2
1
= ( OA + OB ), ч.т.д.
2
Рис. 6.
Задача 2
Доказать, что если М – точка пересечения медиан треугольника АВС, а
1
О – произвольная точка пространства, то ОМ = ( OA + OB + OC ).
3
Решение
По теореме о точке пересечения медиан треугольника
медиана треугольника АВС (рис. 7).
ОМ = OA 1 - MA 1 .
Из треугольника ОМА1:
Из треугольника ОМА:
AМ =2 MA 1 , где АА1 –
ОМ = OA + AМ .
Сложив эти равенства почленно и разделив
обе части полученного равенства на 2, имеем:
ОМ = 1 ( OA + OA 1 + AМ - MA 1 )=
2
1
1
1
= ( OA + OA 1 + MA 1 )= ( OA + OA 1 + AA 1 ).
2
2
3
Учитывая, что
AA 1 = OA 1 - OA , получим:
ОМ = 1 ( OA + OA 1 + 1 ( OA 1 - OA ))= 1 ( OA +2 OA 1 ).
2
3
Но, учитывая результат задачи 1, из треугольника ОВС имеем:
поэтому
ОМ
Рис. 7
3
OA 1 = 1 ( OB + OC ),
2
1
= ( OA + OB + OC ), ч.т.д.
3
Задача 3
Доказать, что для параллелограмма ABCD, в котором точка М – его центр тяжести, и для
1
любой точки О пространства выполняется равенство. OM = (OA + OB + OC + OD) .
4
O
Решение.
C
B
M
1
AC ; Из треугольника ОАС найдем вектор AC : AC = OC − OA . Подставим в
D
A
2
1
1
AM = AC ; AM = (OC − OA) . Из треугольника ОАМ найдем
2
2
1
1
1
1
OM = DA + AM , OM = OA + (OC − OA), OM = OA + OC − OA = (OC + OA) (1).
2
2
2
2
AM =
118
1
1
BD . Из треугольника OBD найдем BD : BD = OD − OB , BM = (OD − OB) .
2
2
Из треугольника ОМВ найдем
1
1
1
1
OM = OB + BM , OM = OB + (OD − OB) = OB + OD − OB = (OD + OB) (2).
2
2
2
2
Сложим равенства (1) и (2) почленно и разделим обе части полученного равенства на 2:
1
1
1
OM + OM = (OA + OB + OC + OD),2OM = (OA + OC + OB + OD), OM = (OA + OB + OC + OD)
2
2
4
BM =
Задачи для самостоятельного решения
1. В параллелограмме АВСD О – точка пересечения диагоналей. Укажите, какие из
следующих пар векторов равны, а какие коллинеарны, но не равны:
а)
AB и CD ;
б)
AB и DC ;
в)
BC и CB ;
г) AO и BC ;
д) OA и CO .
2. В произвольном треугольнике АВС точки М, N и P – соответственно середины
сторон АС, АВ и ВС. Среди указанных ниже пар векторов найти пары равных и пары
коллинеарных, но не равных векторов:
AN и MP ;
BC ;
а)
б)
NP и CA ;
в)
BM и PC ;
г)
PC и
д) AM и MC ;
е) NP и CM ;
ж) AB и NP .
3. Пусть А, В, С, D – произвольные точки, и пусть M, N, P, Q – середины отрезков АВ,
ВС, CD, DA соответственно. Доказать, что векторы MN и QP равны.
4. В параллелограмме ABCD О - точка пересечения диагоналей, а E и F – соответственно
середины сторон BC и AD. Построить на чертеже следующие векторы:
a)
AB + CD ;
б)
AE + DF ;
в)
AO - AB ;
г) OC + CD + OB ;
д) ED + FA + FO ;
е) AB + BE - OE + CD .
5. В параллелограмме ABCD
О - точка пересечения диагоналей, а точки M, N, P, Q –
середины сторон АВ, ВС, CD, DA соответственно. Построить на чертеже следующие
векторы:
а)
MO - OA ;
б) OC - CP ;
в)
OQ - OB ;
г) AN + MQ ;
д) OA - NP ;
е) AB - OC .
6. В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 O – точка пересечения диагоналей, а M, N, P, Q –
середины сторон AA1, BB1, CC1, DD1 соответственно. Доказать, что:
а) MO = OP ;
б) QO = ON ;
7. Дан тетраэдр ABCD. Построить сумму векторов:
в)
MN = QP .
а) BC + CD + DA ; б) AD + DC + CB ; в) AB + BC + CD + DA .
8. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Построить сумму векторов:
а)
BC + CC 1 + C 1 B 1 ;
б)
CB + B 1 A 1 + AD 1 + D 1C 1 ;
в) AC 1 + D 1 A + BD 1 + D 1 D ;
г) D 1C + AA 1 + CB + C 1 C .
9. Дана призма ABCA1B1C1. Построить сумму векторов:
119
а)
AB + BB 1 + B 1C ;
б) AC 1 + C 1 B + BA 1 ;
с)
AB +
BC + CC 1 + C 1 B 1 + B 1 A 1 .
10. В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 O – точка пересечения диагоналей, а M, N, P, Q
– середины сторон AA1, BB1, CC1, DD1 соответственно. Построить векторы, каждый из
которых имеет начало и конец в данных по условию точках, равные соответственно
следующим векторам:
a)
AD + CC 1 ;
б)
в)
AM + D 1C 1 + NC ;
г) OC 1 - B 1O + BA - AA 1 .
AO + MO ;
12. Каким условием должны быть связаны векторы p и q , чтобы вектор p + q делил
угол между ними пополам? (Предполагается, что все три вектора отнесены к общему
началу).
13. Доказать, что четырехугольник ABCD является параллелограммом тогда и только
тогда, когда имеет место соотношение:
OA + OC = OB + OD , где О – произвольная точка пространства.
14. Точка М – середина отрезка АВ, а О – произвольная точка пространства. Доказать,
1
что OM = OA + OB .
2
15. Доказать, что если точка М – центр тяжести (точка пересечения медиан) треугольника
АВС, то
MA + MB + MC = 0 .
1
3
и для любой точки О справедливо равенство OM = ( OA + OB + OC ).
16. В треугольнике АВС точки М, Н, Р являются серединами сторон. Доказать, что для
любой точки О плоскости выполняется равенство OA + OB + OC = OM + OH + OP .
17. Центры тяжести треугольников АВС и A1B1C1 пространства совпадают. Доказать, что
векторы AA 1 , BB 1 , CC 1 компланарны.
18. Доказать, что для параллелограмма ABCD, в котором точка М – его центр тяжести, и
для любой точки О пространства выполняется равенство
1
OM = ( OA + OB + OC + OD ).
4
19. Пусть О и О1 – центры параллелограммов ABCD и A1B1C1D1 соответственно. Доказать,
1
что OO1 = ( AA 1 + BB 1 + CC 1 + DD 1 ).
4
20. Пусть М, N, P, Q – середины сторон AB, CD, BC, DE пятиугольника ABCDE, а К, L –
середины отрезков MN, PQ. Доказать, что
KL =
1
AE .
4
21. Какому условию должны удовлетворять векторы a и b , чтобы имели место
следующие соотношения:
а)  a + b  =  a - b ;
б)  a + b  >  a - b ;
b ;
120
в)  a + b  <  a -
г)
a
|a|
=
b
д)  a + b  = a + b ;
;
е)  a + b  =  a  - b ;
|b|
ж)  a - b =  a + b .
22. Построить следующие векторы:
1
a;
-2 a ;
2 a;
2
1
a -3 b ;
a+ 3 b;
2a + b ;
4
23. В треугольнике АВС вектор
Построить векторы:
-
3
a;
5
1
- ( b + a );
2
5a;
3( a - b ).
AB = m и вектор AC = n .
m+n m−n n−m
m+n
;
;
; −
.
2
2
2
2
24. В правильном пятиугольнике ABCDE:
AB = m , BC = n , CD = p , DE = q , EA = r . Построить векторы:
а) m – n + p – q + r ;
б) m +2 p +
1
r;
2
в) 2 m +
1
n -3 p – q + 2 r .
2
25. В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 заданы векторы AB = m ; AD = n ; AA 1 = p .
Построить следующие векторы:
1
1
1
а) m + n + p ; б) m + n + p ;
в) m + n + p ;
2
2
2
1
г) m + n – p ; д ) - m – n + p .
2
26. В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точки E, F, G – середины сторон AA1, AD и CC1
соответственно. Построить векторы, имеющие начало и конец в данных по условию
точках, равные следующим векторам:
1
1
1
1
а) a + b + c ;
б) c + b + a ;
в) a - b - c ; г) a + b + c ,
2
2
2
2
где a = AA 1 , b = AD , c = AB .
27. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Доказать, что выполняются следующие
равенства: DC + CC 1 + C 1 B 1 = DA 1 + CB 1 + A 1C =- BA + CB + CC 1 .
28. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Найти какие-нибудь векторы, суммой
(разностью) которых является вектор: а) AC 1 ; б) BD ; в) C 1 D 1 .
29. Дан тетраэдр ABCD, центр грани BCD которого – точка О. Найти:
а) какие-нибудь векторы, определенные точками A, B, C, D, O, суммой которых является
каждый из векторов DC , AO , BC , BD ;
б) какие-нибудь векторы, определенные точками A, B, C, D, O, разностью которых
является каждый из векторов AO , AB , DC , BC .
30. Дано изображение параллелепипеда ABCDA1B1C1D1. Построить точку М, такую, что:
1
1
а) CM = CB 1 - CA 1 ;
2
2
1
1
б) C 1 M = C 1C -2 CB - A 1C .
2
2
31. Дано изображение тетраэдра РАВС. Построить точку М, такую, что:
121
1
PC ;
2
1
1
б) CM =2 CA - CB + CP .
2
2
а) PM =2 PA -
32. Пользуясь параллелограммом, построенным на векторах a и b , проверить на
чертеже справедливость тождеств:
а) ( a + b )+( a - b )=2 a ;
a b a+b
+ =
;
2
2 2
a −b
a+b
д)
+b =
;
2
2
б) ( a + b )-( a - b )=2 b ;
е) ( a +
в) a +( b - a )= b ;
г)
b
a 1
b
a 3
)–( a + )= ( a - b ); ж) ( a + )+( b + )= ( a + b ).
2
2
2 2
2 2
33. Даны неколлинеарные векторы a и
b . При каких значениях α и β для векторов u =α
a +2β b , v =-2β a +3α b , w =4 a - b выполняется равенство 2 u - v = w ?
34. В треугольнике АВС медианы АА1 и СС1 пересекаются в точке М. Найти множитель m,
если:
а) AC 1 = m BC ;
б) C 1 B = m C 1 A ;
в) AM = m MA 1 .
35. Найти вектор, определяющий направление биссектрисы угла между ненулевыми
векторами a и b .
36. На какое число нужно умножить ненулевой вектор a , чтобы получить вектор b ,
удовлетворяющий следующим условиям:
а) b ↑↑ a и  b  = 2;
б) b ↑↓ a и  b  =3; в) b ↑↓ a и  b  = n ?
122