ïðàêòè÷åñêîå çàíÿòèå3

Практическое занятие №3
Тема: Скалярное произведение векторов
План
1. Угол между векторами.
2. Скалярное произведение векторов.
3. Направляющие косинусы вектора.
Структурно-логическая схема модуля
НДУ
ортогон
альност
и
Скалярное
произведение
Угол
между
векторам
и
Определение и
свойств
а
Направляющие
косинусы
вектора
СП в ортонормированно
м базисе (ОБ)
Геометрический
смысл
координат
вектора в ОБ
Форм
ула
СП в
ОБ
(СП)
Нелинейные операции
над векторами
Смешанное
произведение(СмП)
СмП
в ОБ
Определение и
свойств
а
НДУ
компла
нарност
и
Приложение
к вычислению
объемов
Векторное произведение
(ВП)
Определение и
свойств
а
Приложени
е
вычислени
ю
НДУ№4
коллине
арности
Координаты
ВП в
ОБ
Ключевые термины и понятия
Угол между векторами, взаимно перпендикулярные векторы, скалярное
произведение, скалярный квадрат, направляющие косинусы вектора, векторное
произведение векторов, правый и левый базис плоскости и пространства; определитель,
составленный из координат векторов; параллелограмм, построенный на двух векторах,
смешанное произведение векторов; параллелепипед, построенный на трех векторах, левая
и правая тройка векторов.
Основные факты
Пусть
a и b - ненулевые векторы.
Отложим от произвольной точки О векторы OA = a ,
OB = b и рассмотрим лучи [ОА) и [ОВ) (рис.12).
Углом между векторами a и b называется угол Рис.
∧
12между лучами [ОА) и [ОВ). Обозначение: ( a ,b ).
Рис. 12.
132
∧
Если
∧
a ↑↑ b , то ( a ,b )=0; если a ↑↓ b , то ( a ,b )=π.
∧
Если ( a ,b )=
Обозначение:
π
2
, то векторы называются ортогональными (перпендикулярными).
a ⊥b .
Скалярным произведением векторов a и b называется число, равное
произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:
∧
a ⋅ b =| a |⋅| b |⋅cos( a ,b ).
Из определения следует НДУ ортогональности векторов:
Свойства скалярного произведения:
a ⊥ b ⇔ a ⋅ b =0.
a ⋅ b = b ⋅ a (коммутативный закон);
2) (α ⋅ a )⋅ b = a ⋅(α ⋅ b )=α ⋅( a ⋅ b ), где α∈ℜ;
3) ( a + b )⋅ c = a ⋅ c + b ⋅ c (дистрибутивный закон относительно сложения).
1)
a и b , заданных своими
координатами в ортонормированном базисе: a (а1, а2, а3), b (b1, b2, b3), равно сумме
Теорема. Скалярное произведение векторов
парных произведений их соответственных координат:
a ⋅ b =а1⋅b1+а2⋅b2+а3⋅b3.
a задан своими координатами
(а1, а2, а3) в ортонормированном базисе ( i , j , k ). Введем
Пусть вектор
∧
∧
∧
обозначения: ( a , i )=α, ( a , j )=β, ( a , k )=γ (рис. 13).
Геометрический смысл координат вектора в
ортонормированном базисе выражается следующими
формулами: а1=| a |⋅cosα, а2=| a |⋅cosβ, а3=| a |⋅cosγ.
Числа cosα, cosβ, cosγ называются направляющими
косинусами вектора
a в базисе ( i , j , k ).
Для любого вектора
a верно соотношение: cos2α+cos2β+cos2γ=1.
Рис. 13
Примеры решения типовых задач
Задача 1
В прямоугольном базисе векторы заданы своими координатами:
a (4,3),
b (1,-1). Найти угол между векторами a и b .
Решение
∧
Воспользуемся формулой:
Найдем скалярное произведение
a ⋅ b =| a |⋅| b |⋅cos( a ,b ).
a ⋅ b и длины векторов a и b по их координатам:
133
∧
a ⋅ b =4⋅1+3⋅(-1)=1; | a |= 4 + 3 =5, | b |= 1 + (−1) = 2 . Тогда cos( a ,b )= 1 .
2
2
2
2
5 2
Задача 2
a , b , c - произвольные ненулевые векторы, причем вектор a
не перпендикулярен вектору c , то существует такое число х, что векторы a и ( b +х⋅ c )
Доказать, что если
взаимно перпендикулярны.
Решение
a и ( b +х⋅ c ) перпендикулярны тогда и только тогда, когда
a ⋅ ( b +х⋅ c )=0, a ⋅ b +х⋅( a ⋅ c )=0. Так как по условию a и c не перпендикулярны, то
Векторы
a ⋅ c ≠0.
Тогда х= −
a ⋅b
a⋅c
- искомое число.
Задача 3
a и b , если известно, что
вектор a +3 b перпендикулярен вектору 7 a -5 b , а вектор a -4 b перпендикулярен
вектору 7 a -2 b ?
Какой угол составляют между собой ненулевые векторы
Решение
По условию ортогональности векторов имеем:
( a +3 b )⋅(7 a -5 b )=0, ( a -4 b )⋅(7 a -2 b )=0.
Отсюда 7 a 2+16 a ⋅ b -15 b 2=0, 7 a 2-30 a ⋅ b +8 b 2=0 или
∧
2
∧
2
7| a | +16| a |⋅| b |⋅cos( a ,b )-15| b | =0,
2
7| a | -30| a |⋅| b |⋅cos( a ,b )+8| b |2=0.
∧
Разделив эти соотношения на | a | и введя обозначение λ=| b |/| a |, ϕ=( a ,b ),
получим: 7+16λ⋅cosϕ-15λ2=0, 7-30λ⋅cosϕ+8λ2=0. Исключив из этих двух соотношений λ,
получим одно уравнение для определения cosϕ. Вычитая из первого соотношения второе,
получим: 46λ⋅cosϕ-23λ2=0, или 2cosϕ=λ. Подставив это значение в одно из предыдущих
1
уравнений, будем иметь: 7+32 cos2ϕ-60 cos2ϕ=0, откуда cosϕ=± .
2
Значит, условию задачи удовлетворяют два значения угла ϕ: ϕ=60° и ϕ=120°.
2
Задача 4
В трапеции ABCD длины сторон АВ, ВС и CD равны 1, длина стороны AD равна 2, а
угол при основании равен 60°. Найти скалярное произведение
стороны ВС.
Решение
Введем на плоскости базис
AK ⋅ BD , где К – середина
AD , AB ; заметим, что | AD |=2, | AB |=1,
AD ⋅ AB =| AD |⋅| AB |⋅cos60°=1.
1
1
Так как BC = AD , то AK = AB + BK = AD + AB ; BD = AD - AB . Поэтому
2
4
134
1
1
AD ⋅ AD + AB ⋅ AD 4
4
1
3
1
3
3
= | AD |2-| AB |2+ AD ⋅ AB = ⋅4-1+ ⋅1= .
4
4
4
4
4
AK ⋅ BD =(
1
4
AD + AB )⋅ ( AD - AB )=
AD ⋅ AB - AB ⋅ AB =
Задача 5
Дан треугольник АВС. Выразить вектор
где АН – высота треугольника АВС.
Решение
h = AH через векторы AB = b и BC = c ,
BH || BC , поэтому BH =λ BC =λ( c - b ), h = AB + BH = b +λ( c - b )
(*)
Так как
h ⊥ BC , то по условию ортогональности имеем: h ⋅ BC =0 или
( b +λ( c - b ))⋅( c - b )=0, откуда λ=
(b − c) ⋅ b
(c − b ) 2
.
Подставляя найденное значение λ в выражение (*), получим:
h =b +
(b − c) ⋅ b
(c − b ) 2
⋅ ( c - b ).
Задачи для самостоятельного решения
∧
106. Векторы a и b образуют угол ( a ,b )=
а) a ⋅ b ;
2π
. Зная, что | a |=3, | b |=4 вычислить:
3
в) (3 a +2 b )2.
б) (3 a -2 b )( a +2 b );
∧
107. Векторы a и b образуют угол ( a ,b )=60°. Зная, что | a |=6, | b |=3, вычислить
(2 a + b )⋅(2 a -3 b ).
∧
108. Векторы a и b образуют угол ( a ,b )=150°. Зная, что | a |=2, | b |=3, вычислить
( a + b )⋅4 a .
109. Векторы a , b , c попарно перпендикулярны. Зная, что | a |=3, | b |=4, | c |=8,
вычислить:
а) (3 a -2 b )⋅( b +3 c );
б) ( a + b + c )2;
в) ( a +2 b -3 c )2.
∧
110. Известно, что | a |=3, | b |=4, ( a ,b )=120°. Вычислить:
а) (2 a - b )⋅(3 a + b );
б) |3 a + b |;
в) длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах a и b как на сторонах;
г) длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах a и b -2 a как на
сторонах;
д) длины медиан и углы треугольника, две стороны которого совпадают с векторами a и
b.
135
111. Вычислить скалярное произведение a ⋅ b , если a =3 p -2 q и b = p +4 q , где
p и q - единичные взаимно перпендикулярные векторы.
1
112. Найти числовое значение выражения 3 m 2-2 m ⋅ n +4 n 2, если | m |= , | n |=6,
3
∧
( m , n )=
π
3
.
113. Упростить выражение a 2+3 a ⋅ b -2 b ⋅ c +1, если a =4 m - n , b = m +2 n ,
∧
2
2
π
c =2 m -3 n , где m =4, n =1 и ( m , n )= .
6
114. Вычислить скалярное произведение двух векторов p ⋅ q , зная их разложение по трем
единичным взаимно перпендикулярным векторам a , b , c :
p =3 a + b -2 c ; q = a -4 b -
5c.
115. Чему равна сумма a ⋅ b + b ⋅ c + c ⋅ a , если a , b , c - единичные векторы,
удовлетворяющие условию a + b + c = 0 .
116. Найти a ⋅ b , ( a + b )2, (2 a -3 b )⋅( a +2 b ), если:
а) a (4,-2,1), b (1,2,3);
б) a (1,-1,3) , b (1,1,0);
в) a (2,3,-4) ,
b (1,1,1).
117. В ортонормированном базисе векторы заданы своими координатами:
a (3,-2), b (-1,2), c (2,4). Вычислить | a + b + c | и ( a + b + c )⋅(2 a - b - c ). Найти
координаты вектора ( a ⋅ c )⋅ b -( a ⋅ b )⋅ c .
118. Найти угол между векторами a и b в ортонормированном базисе, если:
а) a (1,0), b (2,2);
б) a (1,1), b (-1, 3 );
в) a (- 3 ,3), b (0,1);
г) a (2,0), b (1, - 3 ).
119. Найти угол между векторами в ортонормированном базисе:
а) a (2,-2,1), b (-4,1,1); б) a (1,1,0), b (0,1,1); в) a (2,-4,4), b (-3,2,6).
120. Определить угол между векторами: a = i +2 j +3 k и b =6 i +4 j -2 k .
121. Определить, перпендикулярны ли векторы a и b , если в некотором
ортонормированном базисе:
а) a (2,5), b (-10,4); б) a (1,2), b (1,-3); в) a (3,1), b (2,-6).
122. Перпендикулярны ли векторы:
а) a (1,-1,3) , b (3,1,-2);
б) a (3,2,1) , b (2,-3,0).
123. Доказать, что векторы a и b перпендикулярны, если
a =3 i +4 j +7 k и b =2 i -5 j +2 k .
124. При каком значении α векторы a (α,3,4) , b (4, α,-7) взаимно перпендикулярны?
136
125. Определить, при каком значении коэффициента α векторы p =α a +17 b и q =3 a ∧
b взаимно перпендикулярны, если | a |=2, | b |=5, ( a ,b )=
2π
.
3
126. Даны векторы a (1,3), b (-1,-2), c (6,0), d (0,3), e (2,- 5 ). Определить координаты
векторов, полученных из данных векторов поворотом на +90°.
127. Дан треугольник АВС с вершинами А (-1,-2,4), В (-4,-2,0), С (3,-2,1). Определить
его внутренний угол при вершине В.
128. Вычислить внутренние углы треугольника АВС с вершинами А (1,2,1), В(3,-1,7),
С(7,4,-2) и убедиться, что этот треугольник равнобедренный.
129. Дан четырехугольник АВСD с вершинами А (1,-2,2), В(1,4,0), С (4, 1,1),
D (-5,-5,3). Выяснить, перпендикулярны ли его диагонали АС и ВD.
∧
130. Найти | a + b | и | a - b |, если | a |=3, | b |=5, ( a ,b )=
2π
.
3
131. Вычислите угол между векторами a + b и a - b , если угол между векторами a и b
равен 30°, | a |= 3 , | b |=1.
132. Какой угол составляют между собой ненулевые векторы a и b , если известно, что
вектор a +3 b перпендикулярен вектору 7 a -5 b , а вектор a -4 b перпендикулярен
вектору 7 a -2 b ?
133. Найти a - b , если | a |=13, | b |=19, | a + b |=24.
134. Определить | a + b |, если | a |=11, | b |=23, | a - b |=30.
135. Векторы a и b взаимно перпендикулярны, причем | a |=5, | b |=12. Определить
| a + b | и | a - b |.
∧
2π
.
3
137. Вычислить длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах
136. Найти | a + b | и | a - b |, если | a |=3, | b |=5, ( a ,b )=
a и b:
∧
а) a =5 p +2 q , b = p -3 q , если | p |=2 2 , | q |=3, ( p , q )=
∧
б) a =2 p - q , b = p +3 q , если | p |=3, | q |=2, ( p , q )=
π
3
π
4
;
.
138. Параллелограмм построен на векторах a (-1,1,0) и b (3,4,1). Найти длины диагоналей
и угол между ними.
139. Даны три вектора a , b и c , удовлетворяющие условию a + b + c = 0 . Вычислить
значение выражения a ⋅ b + b ⋅ c + c ⋅ a , если | a |=3, | b |=1, | c |=4.
140. Векторы a , b и c попарно образуют друг с другом углы, каждый из которых равен
600. Определить модуль вектора p = a + b + c , если | a |=4, | b |=2, | c |=6.
137
141. Определить, при каком значении α векторы a +α b
и a -α b
взаимно
перпендикулярны, если | a |=3, | b |=5.
142. Какому условию должны удовлетворять векторы a и b , чтобы векторы a + b и a -
b были взаимно перпендикулярны?
143. Используя определение скалярного произведения, доказать обратную теорему
Пифагора.
144. Даны две смежные вершины квадрата А(-2,1) и В(3,3). Найти координаты двух других
вершин С и D этого квадрата.
145. Даны две вершины равностороннего треугольника АВС: А(-3,2), В(1,4). Найти
координаты вершины С.
146. Длины сторон треугольника АВС равны: АВ=3, АС=2, ВС=4. Точка М – середина
стороны АС, точки K и L лежат на сторонах АВ и ВС соответственно так, что BK=CL=AM.
Найти скалярное произведение LK ⋅ LM .
147. В треугольнике АВС
AB = b , AC = c . Разложить по базису b , c векторы высот
AD и BH этого треугольника.
148. Векторы a и b образуют угол ϕ =
π
6
. Вычислить угол между векторами p = a + b
и q = a - b , если | a |= 3 , | b |=1.
149. Зная разложение вектора q =6 m -2 n +3 p по трем взаимно перпендикулярным
ортам m , n и p , вычислить длину вектора q и углы, которые он образует с каждым из
ортов.
150. Какой угол образуют единичные векторы m и n , если известно, что векторы
p = m +2 n и q =5 m -4 n взаимно перпендикулярны?
151. Вектор x , коллинеарный вектору a (6;-8;-7,5), образует острый угол с осью Оz.
Найти координаты вектора x , если | x | =50.
152. Найти вектор x , коллинеарный вектору a (2, 1, -1) и удовлетворяющий условию
x ⋅ a =3 .
153. Вектор x , перпендикулярный к векторам a =3 i +2 j +2 k и b =18 i -22 j -5 k ,
образует с осью О у тупой угол. Найти координаты вектора x , если | x |=14.
154. Найти вектор x , зная, что он перпендикулярен к векторам a (2,3,-1) , b (1,-2,3) и
удовлетворяет условию x ⋅(2 i - j + k )=-6.
155. Даны два вектора: a (2,-2,5) и b (3,1,1). Найти вектор x при условии, что он
параллелен плоскости Оху и удовлетворяет условиям: x ⋅ a =1, x ⋅ b =3.
156. Даны два вектора: a (3,-1,5) и b (1,2,-3). Найти вектор x при условии, что он
перпендикулярен к оси О z и удовлетворяет условиям: x ⋅ a =9, x ⋅ b =-4.
138
157. Даны три вектора: a =2 i - j +3 k , b = i -3 j +2 k и c =3 i +2 j -4 k . Найти вектор x ,
удовлетворяющий условиям: x ⋅ a =-5, x ⋅ b =-11, x ⋅ c =20.
158. Найти координаты вектора a в ортонормированном базисе, если:
а) | a |=4, α=60°, β=45°, γ=60°;
б) | a |=2, α=45°, β=60°, γ=120°;
в) | a |=8, α=135°, β=60°, γ=60°;
г) | a |=2, α=120°, β=45°, γ=120°.
159. Найти вектор, длина которого равна 8, зная, что он образует с осью Ох угол 45°, с
осью Oz – угол 60°, с осью Оу – острый угол.
160. Вычислить направляющие косинусы векторов a (1,1,1), b (12,-15,-16), c (9,-6,2).
161. Может ли вектор составлять с осями прямоугольной системы координат следующие
углы:
а) α =45°, β =60°, γ=120°;
б) α =45°, β =135°, γ=30°.
162. Вектор a составляет с осями Ох и Оz прямоугольной системы координат углы 120°
и 135° соответственно. Определить угол, который образует вектор a с осью Оу.
163. Вектор a составляет с осями Ох и Оу прямоугольной системы координат углы 60°
и 45° соответственно. Найти координаты вектора a , если | a |=4.
164. Первая координата вектора a равна 6, вторая – равна 3, а | a |=2 13 . Определить
третью координату вектора a .
165. Векторы a (2,-3,6) и b (-1,2,-2) имеют общее начало. Найти вектор c , направленный
по биссектрисе угла между ними при условии | c |=3 42 .
139