Document 2538131

Лекция № 3
Потенциал электрического поля
Работа сил электрического поля.
Консервативность электростатических сил
Пусть точечный заряд q1 создает электрическое поле, в котором по произвольной
траектории из точки 1 в точку 2 перемещается точечный заряд q2.
F
900
dr
1
dl
2
q2 α
r
r1
q1q2
1
dr
⇐
dl cosα = dr .
4πε 0 r 2
Работа,
совершаемая при перемещении
заряда q2 из точки 1 в точку 2:
r
q1q2 r dr
qq 1 r
=− 1 2
=
A12 = ∫ dA =
∫
2
r
r
r
4
πε
4
πε
r
0 r
0
=
r2
+q1
На заряд q2 действует сила F, которая при
элементарном перемещении dl заряда
совершает работу:
r r
1 q1q2
dA = F ⋅ dl = Fdl cos α =
dl cos α =
4πε 0 r 2
2
2
1
1
2
1
=
1 ⎛ q1q2 q1q2 ⎞
⎜
⎟.
−
r2 ⎟⎠
4πε 0 ⎜⎝ r1
Работа А не зависит от траектории перемещения, а определяется только
положением начальной и конечной точек.
Следовательно,
электростатическое
поле
точечного
заряда
потенциальным, а электростатические силы – консервативными.
Работа,
совершаемая
при
перемещении
электрического
электростатическом поле по любому замкнутому контуру ∫ dA = 0 .
является
заряда
в
L
Потенциальная энергия взаимодействия двух зарядов
Работа сил консервативного поля равна разности потенциальных энергий
взаимодействия зарядов, взятой с обратным знаком:
dA = −dU ,
A1, 2 = −∆U = −(U 2 − U 1 ) = U 1 − U 2 .
Следовательно, работу сил электростатического поля по перемещению заряда q2 в
поле заряда q1 можно представить, как разность взаимной потенциальной энергии
1
взаимодействия зарядов для двух различных положениях заряда q2 (точки 1 и 2)
или, другими словами, разность потенциальной энергии заряда q2 в поле заряда q1
A12 = U 1 − U 2 =
1
4πε 0
⋅
q1 q 2
1 q1 q 2
−
⋅
.
4πε 0 r2
r1
Для нахождения абсолютного значения
потенциальной энергии взаимодействия двух
в поле заряда q1)
зарядов (заряда q2
необходимо установить в какой точке поля
считать
потенциальную
энергию
взаимодействия равной нулю. Если принять,
что при удалении заряда q2 в поле заряда q1 в
бесконечность (r2 = ∞) потенциальная энергия
1 q1q2
⋅
= 0, то потенциальная
U=U2 =
4πε 0 ∞
энергия заряда q2, находящегося в поле заряда
q1 на расстоянии r, будет ( поскольку символ
выбран произвольно, его можно отбросить)
U
q1·q2>0
0
r
q1·q2<0
U=
1
4πε 0
⋅
q1q2
.
r
Потенциальная энергия заряда в
поле системы зарядов
Система точечных зарядов: q1, q2, …qn.
Расстояние от каждого заряда до некоторой точки пространства: r1, r2, …rn.
Работа, совершаемая над зарядом q электрическим полем остальных зарядов при
его перемещении из одной точки в другую, равна алгебраической сумме работ,
совершенных каждым из зарядов в отдельности:
n
А12 = ∑ Аi .
(1)
i =1
qi q
1 qi q
−
⋅
,
4πε 0 ri1 4πε 0 ri 2
ri1 – расстояние от заряда qi до начального положения заряда q,
ri2 – расстояние от заряда qi до конечного положения заряда q.
Ai =
где
1
⋅
(2)
Уравнение (1) с учетом (2) представим в виде:
2
n
qi q
1 n qi q
A12 =
∑ −
∑ .
4πε 0 i =1 ri1 4πε 0 i =1 ri 2
1
(3)
ri2 → ∞ ⇒ U 2 = 0.
dA = − dE p , dA = A12 , dE p = U 2 − U1 .
A12 =
qi q n
Ui = U .
∑ =∑
4πε 0 i =1 ri
i =1
1
n
Потенциал электростатического поля
n
Потенциальная энергия заряда q в поле n зарядов qi : U = q ∑
qi
i =1 4πε 0 ri
.
(1)
Отношение U/q не зависит от величины заряда q и является энергетической
характеристикой электростатического поля, называемой потенциалом.
U
(2) → Потенциал в некоторой точке электростатического поля –
q0 +
численно равен потенциальной энергии единичного положительного заряда,
помещенного в эту точку. Это скалярная величина.
ϕ=
В системе СИ φ измеряется в вольтах [В = Дж/Кл].
1 В – потенциал такой точки поля, в которой заряд 1 Кл обладает потенциальной
энергией 1 Дж.
В системе СИ
напряженность Е электрического поля измеряется в
[Н/Кл = Н·м/Кл·м = (Дж/Кл)·(1/м) = В/м].
Потенциал поля точечного заряда
qq0 +
U
q
=
=
.
(3)
q0 + 4πε 0 r q0 + 4πε 0 r
Потенциал как скалярная величина является
более удобной величиной для измерений по
сравнению с напряженностью Е электрического
поля, которая является
величиной:
r
r векторной
r
r
E = Exi + E y j + Ez к .
φ
ϕ=
0
r
Поэтому E = E x2 + E y2 + E z2 , то есть требуется
измерять три величины (три проекции).
3
Принцип суперпозиции для потенциалов
U
1 n qi n
ϕ= =
∑ = ∑ϕi .
q
4πε 0 i =1 ri i =1
Если электрическое поле создано системой точечных зарядов, то потенциал φ в
данной точке равен алгебраической сумме потенциалов φi, созданных в этой точке
каждым из зарядов в отдельности.
Разность потенциалов.
Физический смысл потенциала
По определению потенциала: ϕ =
U
.
q0 +
перемещении
заряда
q0+
в
φ2 При
электростатическом поле из точки 1 в точку 2
необходимо совершить работу
φ1
r2
r1
0
A12 = − ∆E p = U 1 − U 2 = q0+ ⋅ (ϕ1 − ϕ 2 ) .
Если точка 2 находится в бесконечности
(r2 = ∞ → U2 = U∞ = 0):
A1∞ = U 1 − U ∞ = q0 + ⋅ ϕ1 − 0 = q0 + ⋅ ϕ1 .
A
⇒
ϕ= ∞ .
A∞ = q0 + ⋅ ϕ1
q0 +
Потенциал – величина, определяемая работой сил электростатического поля по
перемещению единичного положительного заряда из данной точки поля в
бесконечность.
Когда говорят о потенциале, то имеют ввиду разность потенциалов ∆φ между
рассматриваемой точкой и точкой, потенциал φ которой принят за 0. Обычно за
φ = 0 принимают потенциал Земли.
Вообще, физический смысл имеет величина, которая может быть измерена.
Поэтому говорят, что потенциал φ в данной точке физического смысла не имеет,
так как нельзя измерить работу в данной точке. Физический же смысл имеет
разность потенциалов.
4
Эквипотенциальные поверхности
(поверхности равного потенциала)
Для графического изображения распределения
эквипотенциальные
потенциала
используют
поверхности – поверхности,
1) во всех точках которых потенциал φ имеет одно и то
же значение,
2) вектор напряженности электрического поля Е
всегда нормален к эквипотенциальным поверхностям,
3) разность потенциалов ∆φ между двумя любыми
эквипотенциальными поверхностями одинакова
● Эквипотенциальные поверхности поля точечного
заряда представляют собой концентрические сферы.
φ = const.
ϕ=
q
4πε 0 r
,
r=
q
4πε 0 ϕ
.
r = const.
φ1 φ2
φn
●
Для
однородного
поля
эквипотенциальные поверхности –
параллельные линии.
Е
Примеры различных эквипотенциальных поверхностей.
а
б
Эквипотенциальные поверхности поля двух равных одноименных зарядов (а) и диполя (б).
Пунктиром показаны силовые линии.
5
• Покажем, как указано выше, что вектор напряженности электростатического
поля
r
Е перпендикулярен к эквипотенциальной поверхности ( Е ⊥ эквипотенциальной
поверхности).
Работа по перемещению заряда по эквипотенциальной
поверхности равна нулю.
φ1 = φ2.
A = q (ϕ 1 − ϕ 2 ) = q ⋅ ∆ϕ = 0 , так как
Перемещаем заряд q по эквипотенциальной поверхности
на расстояние dl (вектор перемещения dl). При этом
должна быть
совершена работа
r r
r r
(1)
A = Fdl = qE ⋅ dl cos(∠E , dl )
С другой стороны, A = q ⋅ ∆ϕ = 0. (2)
r r
(1) →
qE ⋅ ∆l cos(∠E , dl ) = 0,
→
q ≠ 0,
E ≠ 0,
∆l ≠ 0
r
r r
r r π
r
cos(∠E , dl ) = 0 ⇒ ∠E , dl = , E ⊥ dl .
2
Вектор перемещения dl направлен по касательной к эквипотенциальной
поверхности, следовательно, вектор напряженности Е и силовые линии
электростатического поля перпендикулярны эквипотенциальной поверхности.
Теорема о циркуляции
вектора напряженности электрического поля Е
r r
Циркуляция вектора А по произвольному замкнутому контуру L = ∫ Adl = ∫ Al dl .
L
L
Работа по перемещению заряда в электростатическом поле из точки 1 в точку 2.
2 r r
2 r r
A12 = ∫ Fdl = q ∫ Edl . (1)
1
1
(2)
A12 = q ⋅ (ϕ1 − ϕ 2 ) ,
где φ1, φ2 – потенциалы в точках 1 и 2, соответственно.
Если
замкнутый контур и
Из уравнения
точки 1 и 2 совпадают, имеем
Следовательно,
φ1 = φ2.
A12 = q ⋅ (ϕ1 − ϕ 2 ) = 0 .
(1) следует
r r
E
∫ dl = 0 .
L
Циркуляция вектора Е напряженности электрического поля равна нулю.
6
Энергия взаимодействия системы зарядов
Потенциальная энергия заряда q2, находящегося в поле заряда q1 на расстоянии r
1 q1q2
.
U=
⋅
4πε 0
r
Энергия взаимодействия системы зарядов
1 n n 1 qi qk
W = ∑∑
⋅
; i ≠ k.
2 i =1 k =14πε 0 rik
В формуле суммирование производится по индексам i и k. Оба индекса пробегают,
независимо друг от друга, все значения от 1 до n. Слагаемые, для которых значение
индекса i совпадают со значением индекса k, не принимаются во внимание.
Коэффициент ½ введен потому, что при суммировании по всем i и k от 1 до n
энергия взаимодействия каждой пары зарядов учитывается дважды.
i ≠ k, так как в случае
i=k
заряд взаимодействует сам с собой.
Связь вектора напряженности Е и
разности потенциалов электрического поля.
Третий способ определения напряженности электрического поля Е
Работа по перемещению заряда в электрическом поле:
r r
r r
dA = Fdr = qEdr ,
dA = − dE p = −dU .
(1)
В общем случае потенциальная энергия заряда в электрическом поле зависит от
координат x, y, z и является функцией U(x,y,z).
При перемещении заряда на расстояние dr его координаты изменяются и
становятся (x+dx), (y+dy), (z+dz).
При этом изменяется и потенциальная энергия заряда:
∂U
∂U
∂U
dU =
dx +
dy +
dz.
(2)
∂x
∂y
∂z
r r
Fdr = Fx dx + Fy dy + Fz dz.
(3) →
r r
Из (1) следует: Fdr = −dU .
∂U
,
Fx = −
∂x
r
∂U
r
r
r
Fy = −
,
F = Fx i + Fy j + Fz к .
(5)
(4)
∂y
∂U
r
Fz = −
.
⎛ ∂U r ∂U r ∂U r ⎞
F = −⎜⎜
i +
j+
к ⎟⎟ . (6)
∂z
x
y
z
∂
∂
∂
⎝
⎠
7
∂ r ∂
Оператор набла или оператор Гамильтона: ∇ = i +
∂y
∂x
r
F = −∇U = −∇E p ,
Следовательно, получаем:
r
r F
U
E= , ϕ=
q
q
r ∂ r
j + к.
∂z
r
E = −∇ϕ = − gradϕ . (7)
∂ϕ r ∂ϕ r ∂ϕ r
i +
j+
к.
∂z
∂x
∂y
Градиент потенциала векторная величина,
всегда направлен в сторону возрастания
функции (потенциала).
В уравнении (7) знак «–» показывает, что
вектор Е направлен в сторону убывания
потенциала.
∇ϕ = gradϕ =
8