Доклад Доронин

Решение проблемы академика Александрова А.Д. в классе прямых
круговых конусов
М. Доронин
Постановка задачи и гипотеза А. Д. Александрова.
Какова максимальная площадь поверхности выпуклого тела с
единичным внутренним диаметром?
Эта проблема остается открытой, вместе с тем, А. Д. Александров
выдвинул гипотезу о том, что искомой фигурой является двусторонний круг
единичного диаметра.
Данную задачу, а также задачу поиска геодезического диаметра фигуры
будем рассматривать для класса прямых круговых конусов.
Определим расстояние между двумя точками, лежащими на поверхности
конуса, как длину минимальной кривой, соединяющей эти точки.
Среди всех расстояний выбираем максимальное и называем его
геодезическим (внутренним) диаметром конуса.
Лемма. Для произвольной точки X поверхности конуса наиболее
удалённая от неё точка Х* находится на осевом сечении, проходящем через
точку Х.
Доказательство. Рассмотрим два случая расположения точки Х на
поверхности конуса.
1 случай: точка Х на основании конуса.
Для произвольной точки основания конуса определим её положения на
трёх развёртках (см. рис. 1), затем будем рассматривать три круга с центрами
в полученных точках и равными радиусами. Заметим, что каждый круг
накрывает множество всех точек, которые находятся на расстоянии равном
его радиусу от точки Х, значит, область, развёртки покрываемая кругами
(хотя бы одним) - это множество таких точек поверхности конуса.
Будем постепенно увеличивать радиус кругов ("раздувать" их), в какойто момент они все пересекутся в одной точки, покрыв при этом всю
поверхность. Заметим, что это и есть искомая точка Х*, т. к. все остальные
находятся внутри какого-то круга (расстояние от них до Х меньше значения
радиусов кругов в этот момент).
Правый и левый круги симметричны друг другу относительно прямой l
(высекаемой на развёртке осевым сечением). Следовательно, могут
пересекаться только на ней. Значит, и третий круг может пересекать эти два
только на прямой l. То есть точка Х* точно находится на осевом сечении
конуса.
2 случай: точка X на боковой поверхности конуса.
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
В этом случае рассмотрим три положения точки Х на одной развёртке.
Аналогично, "раздувая" круги с центрами в данных точках, докажем
утверждение леммы
рис. 1
рис. 2
Из леммы следует, что для любой точки поверхности конуса наиболее
удалённая от неё точка А* находится от неё на расстоянии равном
полупериметру треугольника, образованного на поверхности конуса осевым
сечением. Это расстояние равно R+l, где R - радиус основания конуса, а l длина образующей. Значит и диаметр конуса равен R+l.
Теперь приблизимся к основной задаче.
Рассмотри конус единичного внутреннего диаметра (R+l = 1, где R радиус основания конуса, а l - длина образующей). Площадь всей его
поверхности вычисляется: S = πR2 + πRl. Так как R+l = 1, то S = πR(R+l) = πR.
При этом R ≤ l (равенство достигается тогда, когда конус вырождается),
следовательно, R ≤ 0,5 и максимальная площадь Smax= π/2. Это площадь
двойного круга с радиусомR. Таким образом, имеет место
Теорема. Максимальную площадь поверхности в классе прямых
круговых конусов единичного внутреннего диаметра является вырожденный
конус – двусторонний круг единичного диаметра.
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com