ГЛАВА 6. ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ. 6.1. Закон Фарадея

ГЛАВА 6. ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ. 6.1. Закон Фарадея. r r Закон электромагнитной индукции Фарадея вскрыл глубокую связь между E и B ­полями. Фарадей обнаружил, что индукционный ток можно вызвать в контуре двумя способами (рис. 84): 1) путем перемещения контура (или его частей) в магнитном поле неподвижной катушки; 2) путем изменения магнитного поля (либо, изменяя ток в катушке, либо перемещая катушку) при неподвижном контуре. Общим для того и другого способа является изменение магнитного потока Ф через поверхность "натянутую" на контур. а) I способ б) II способо Рис. 84
6.2. Природа элект ромаг нит ной индукции. Закон Фарадея гласит, что какова бы ни была причина изменения магнитного потока Ф, в контуре возникает ЭДС индукции: dF
e = . (123) dt Рассмотрим плоский проводящий контур в однородном магнитном поле. В этом случае выражение для магнитного потока Ф записывается наиболее просто:
F = B × S cos a , r где a – угол между B и нормалью к плоскости контура. Подставив формулу для Ф в закон Фарадея, получим:
d ( BS cos a ) ¶B ¶S ¶a
e = =× S × cos a - B ×
cos a + BS sin a
(124) dt ¶t ¶t ¶t 6.2.1. Второе и третье слагаемые отличны от 0, если со временем меняется площадь, ограниченная контуром, либо меняется ориентация контура в магнитном поле. И в том и другом случае в магнитном поле происходит перемещение частей контура. На заряды, находящиеся в этих движущихся частях контура, действует сила Лоренца, она то и приводит к перемещению зарядов по контуру, то есть к возникновению индукционного тока. Рассмотренные слагаемые (и причина их появления) соответствует первому способу формирования индукционного тока. 6.2.2. Первое слагаемое в (124) описывает возникновение индукционного тока в неподвижном контуре. В этом случае магнитная сила (сила Лоренца) не может привести в движение r заряды, ведь V = 0 . Остается (вслед за Фарадеем) предположить, что индукционный ток обусловлен электрическим полем, возникающим в контуре при изменении магнитного поля. Причем возникновение электрического поля не связано с наличием проводящего контура – контур, благодаря индукционному току, лишь позволяет обнаружить наличие этого электрического поля. Циркуляция электрического поля по контуру, численно равная работе по переносу единичного заряда по этому контуру, и есть ЭДС индукции, то есть: r r
¶F
(125) ò Ed l = - ¶t . ¶ F
dF Здесь (в отличие от ) подчеркивает, что контур и натянутая на него поверхность ¶t
dt неподвижны, а изменение потока Ф связано только с явной зависимостью индукции поля от времени.
6.2.3. Уравнение (125), описывающее закон электромагнитной индукции, можно записать r r
несколько иначе, если вспомнить, что F = ò Bd S . Действительно,
r
¶ F ¶ r r
¶B r
= ò B d S = ò
d S , ¶t
¶t ¶rt r r
¶B r
то есть
ò Ed l = - ò ¶t d S . (126) Последнее уравнение с помощью теоремы Стокса может быть записано в дифференциальной форме:
r
r r
r r
¶B r
ò Ed l = ò rot E d S = -ò ¶t d S r
æ r ¶B ö r
÷d S = 0 , или ò çç rotE +
¶t ÷ø
è
что в силу произвольности поверхности, натянутой на контур, дает r
r ¶B rot E = . (127) ¶t Уравнение (127) – закон электромагнитной индукции в дифференциальной форме, выражает локальную связь между электрическим и магнитным полями, а именно, скорость изменения r r r
B в данной точке определяет rot E (или Ñ ´ E ) в этой же точке. Примечание: r r
Так как ò Ed l ¹ 0 , то возникающее в контуре электрическое поле не является потенциальным. Его называют вихревым. Значит, электрическое поле бывает двух типов – потенциальным (в электростатике) и вихревым (при наличии меняющегося со временм магнитного поля). 6.2.4. Таким образом, "сторонними" силами, вызывающими ток индукции в контуре, могут являться две разные по своей природе силы:
r
rr
– сила Лоренца – F Л = q V B , работа которой по перемещению единичного заряда r r r
по контуру ò VB d l есть вклад в ЭДС индукции от второго и третьего слагаемого [ ] [ ]
в (124); – сила со стороны вихревого электрического поля, работа которой по перемещению r r
единичного заряда по контуру ò E вихр d l есть вклад в ЭДС индукции от первого слагаемого в (124). Следовательно,
r
rст ор r
rr r
r
ò E d l º e индукции = ò V B d l + ò E вихр d l , (128) [ ]
или (для напряженности поля "сторонних" сил)
r
rr r
E ст ор = V B + E вихр (129) [ ] 6.3. Самоиндукция. Изменение магнитного потока через контур может быть вызвано не только изменением внешнего магнитного поля или перемещением контура во внешнем поле. Если в некотором контуре течет переменный ток, то этот ток создает переменное магнитное поле, которое, пересекая поверхность, натянутую на контур, формирует переменный магнитный поток, то есть ведет к возникновению ЭДС индукции в этом контуре. Это явление называют самоиндукцией. 6.3.1. Индуктивность. r Из закона Био­Савара­Лапласа следует, что созданное током I магнитное поле B
r r
пропорционально этому току. Но это значит, что и магнитный поток F = ò Bd S также пропорционален току: F = LI , (130) где L – коэффициент пропорциональности, называемый индуктивностью контура. Если вблизи контура нет ферромагнетиков, а сам контур является жестким (не меняющим формы), то индуктивность не зависит от I, а определяется только размерами и формой контура. Единицей измерения индуктивности в СИ является генри (Гн): Вебер Вб 1Гн = 1 º 1 . Ампер А 6.3.2. Потокосцепление (полны й магнитны й поток). Если контур, в котором индуцируется ЭДС, состоит не из одного витка, а (как, например, в катушке) из N витков, то каждый из витков пересекается полем, и в каждом из них индуцируется ЭДС, которые, складываясь, дают результирующую ЭДС, индуцируемую в контуре eрез. Суммарный магнитный поток через ее витки и называется потокосцеплением
N
N
d F i dY
Y = å F i . При этом, e рез = = -å
= å e i , dt i =1 i = 1 dt где ei – ЭДС индукции в i­м витке. В частности, если магнитные потоки через каждый из витков равны друг другу F i = F 1 , где Ф1 – поток через один виток, то Y = N F 1 , и d F
e рез = - N 1 .
dt 6.3.3. Индуктивность длинного соленоида. Соотношение (130) используется для расчета индуктивности с заданной конфигурацией. В качестве примера рассмотрим длинный прямой соленоид (если соленоид длинный, то можно r пренебречь краевыми эффектами, из­за которых потоки B
через крайние витки отличаются r от потоков B через витки в средней части соленоида) (см. рис. 85). Магнитный поток через один виток: F 1 = B × S . Потокосцепление: Y = NF 1 = NBS . Так как поле внутри длинного соленоида N B = m 0 I , l L – длина соленоида N – число витков S – площадь поперечного сечения Рис. 85 то Y = m 0 N
N S × I . l Y
, то есть I N 2 N 2 L = m 0
S = m 0 2 lS = m 0 n 2 × V , (131) l l вит ки N где n = – плотность намотки ( [ n] = ) l мет р V = lS – объем соленоида. Из (130) следует, что L = 6.4. Переходны е процессы в цепях с индукт ивност ью . В пп. 4.5.1 и 4.5.2 нашего пособия (просмотрите их еще раз) были рассмотрены два случая переходных процессов в цепях с конденсатором. Сейчас, после усвоения понятия индуктивности и ЭДС самоиндукции, применим уже известные законы постоянного тока для описания квазистационарных токов в цепях, содержащих индуктивность. 6.4.1. Отклю чение источника ЭДС от индуктивности. Отключение источника ЭДС в данной задаче мы будем понимать как его внезапное закорачивание (см. рис. 86) в силу каких либо причин. На схеме рис. 86 закорачивание производится ключом Кл в момент t = 0 , при этом источник ЭДС отключается от "R­L цепочки". После замыкания ключа контур 1–2–3–Кл–4 становится замкнутым и к нему можно применить один из законов постоянного тока – второе правило Кирхгофа: IR = +e L (132) где eL – ЭДС самоиндукции, наводимая в L (единственная ЭДС, действующая в цепи), dI e L = - L . dt Рис. 86
После переноса всех слагаемых в левую часть (132) и деления на L получим dI R + I = 0 . dt L Это (см. п 4.5.1) – однородное дифференциальное уравнение первой степени. Его решение: I ( t ) = Ae lt , R
где l = - – корень характеристического уравнения. L Константа А находится, как обычно, из начального условия – непосредственно перед e
замыканием источника (Кл разомкнут) ток в цепи I 0 = . R Rt
- L I 0 = Ae то есть =
A = e
, R e
R R ×0
- L (так как e = 1 ). Имеем, I ( t ) =
R - t
L e e (134) R Графически решение (134) представлено на рис. 87. Рис. 87
6.4.2. Подклю чение источника ЭДС к индуктивности. Схема выглядит так же, как на рис. 86, но теперь при t = 0 ключ размыкается и в цепи 1–2–3–
e–4 последовательно с R и L оказывается включенный источник ЭДС:
dI IR = - L + e
dt Сейчас в цепи (замкнутом контуре) действуют две ЭДС – ЭДС самоиндукции и батарея e. После обычных преобразований, получаем неоднородное линейное дифференциальное уравнение первого порядка (см. (96)) dI R e
+ I = (135) dt L L Общее решение однородного уравнения как уже известно (см. п.4.5.2), а частное решение неоднородного уравнения легко угадывается: I част н. = неодн . e
. R Действительно, подставляя I част н. = неодн . R
- t
I ( t ) = Ae L +
e
e
R в (135) обращает (135) в тождество. Итак, . R Для определения А используем начальное условие – до подключения источника ЭДС к "R–L" цепочке ток равнялся нулю ( I 0 = 0 ): e
e
I 0 = 0 = A + , т.е. A = - , R R R - t ö
e æ
и
I (t ) = çç1 - e L ÷÷ (136) R è
ø
Графическое изображение (136) дано на рис. 88. Рис. 88
ГЛАВА 7. ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ. Как мы уже знаем (см. п. 4.5.1) при разряде конденсатора ток, протекающий через t U 0 - RC сопротивление, не спадает равномерно: I ( t ) = e . За время разряда на сопротивлении R выделится джоулево тепло. Это наводит на мысль, что с заряженным конденсатором связана некоторая энергия. Это – энергия электрического поля. Другой процесс – процесс уменьшения тока при отключении ЭДС от индуктивности (см. п. e - Rt 6.4.1) по закону I ( t ) = e L , приводящий тоже к выделению джоулева тепла на R сопротивлении R, в свою очередь наводит на мысль об энергии, связанной с протекающим по катушке током, – об энергии магнитного поля. Попытаемся понять откуда берутся эти энергии и, как они связаны с параметрами электрического и магнитного полей. 7.1. Энерг ия элект рическог о поля. Рассмотрим процесс заряда конденсатора, описываемый уравнением (см. (95): e = RI + U C , (137) q dq где U C = , I = . C dt Домножим обе части уравнения (137) на Idt: dq e Idt = I 2 Rdt + U C
dt dt или e Idt = I 2 Rdt + U C dq (138) Так как Idt = dq , то eIdt = edq . Но, если вспомнить, что ЭДС численно равна работе сторонних сил по переносу единичного заряда по цепи, то eIdt = edq есть не что иное, как работа источника по переносу заряда dq по цепи. Правая часть (138) говорит о том, что часть этой работы тратится на джоулево тепло (слагаемое I 2 R × dt ), выделяемое в цепи за время dt. Но есть еще одно слагаемое, связанное с конденсатором ( U C dq ). Так как U C dq есть работа, которую нужно совершить, чтобы перенести заряд dq против сил электрического поля с одной обкладки на другую, то слагаемое U C dq – это та часть работы, совершенной источником, которая тратится на процесс заряда конденсатора (конденсатор заряжается за счет источника ЭДС). q Проинтегрируем последнее слагаемое с учетом того, что U C = , а конечное C (установившееся) значение на конденсаторе U C кон = e (при этом q кон = eC ): 2 C e 2 CU C кон ò0 U C dq = C ò0 U C dU C = 2 = 2 eC e
Так как для плоского конденсатора*) : e eS C = 0
и U C кон = E × d ,
d *) Плоский конденсатор взят нами для простоты выкладок, но полученный результат является общим.
где S – площадь пластины конденсатора; d – расстояние между пластинами; Е – напряженность электрического поля заряженного конденсатора; CU C 2 кон e 0 eE 2 e 0 eE 2 то = d × S =
× V C . 2 2 2 Здесь V C – объем, занимаемый электрическим полем. Итак, источник ЭДС в процессе заряда конденсатора совершает работу, при этом в конденсаторе запасается энергия (энергия электрического поля), распределенная с r e eE 2 постоянной плотностью (в силу однородности поля E плоского конденсатора) w E = 0 2 по объему, занимаемому полем (мы, как всегда, пренебрегаем краевыми эффектами). Если r
r
учесть, что D = e 0eE , то для плотности энергии электрического поля получим формулу: rr
E D w E =
(139). 2 7.2. Энерг ия маг нит ног о поля. Рассмотрим процесс установления тока в катушке при подключении к ней источника ЭДС. Этот процесс описывается уравнением (см. (135)): e = RI - e L (140) dI где e L = - L – ЭДС самоиндукции катушки с индуктивностью L. dt Домножим уравнение (140) на Idt: dI e Idt = I 2 Rdt + LI dt dt 2
или e Idt = I Rdt + LIdI . Слагаемое в левой части – работа источника ЭДС по переносу заряда dq ( dq = Idt ) за время dt. Первое слагаемое в правой части – джоулево тепло, выделившееся в цепи за время dt. Дополнительная работа, совершаемая источником, выражена слагаемым LidI – это работа источника по увеличению ток I, протекающего по катушке на величину dI. Проинтегрируем последнее слагаемое с учетом того, что конечное (утсановившееся) значение тока в катушке e
I кон = : R e R 2 LI кон L e 2 (141) LIdI =
=
ò 2 2 R 0
Для длинной (пренебрегаем краевыми эффектами) катушки*) B I кон = , m 0 mn где n – погонная (на 1 метр длины) плотность намотки, и L = m 0 mn 2 V (V – объем катушки). То есть, 2 LI кон
m 0 mB 2 n 2 V B 2 =
=
× V .
2 2 m 0 2 m 2 n 2 2 m 0 m
*) Мы выбрали длинный прямой соленоид для упрощения выкладок, но полученные резальтаты являются общими, если только соленоид не заполнен ферромагнетиком. В последнем случае L являлась бы функцией тока.
Итак, источник ЭДС, подключенный к индуктивности, в процессе установления тока совершает работу, при этом в катушке индуктивности запасается энергия (энергия r магнитного поля), распределенная с постоянной плотностью (в силу однородности поля B в B 2 длинном прямом соленоиде) w B = по объему, занимаемому полем (мы пренебрегли 2 m 0 m
r
v
краевыми эффектами). Если учесть, что в однородных изотропных магнетиках B = m 0 mH , то для плотности энергии магнитного поля получим формулу: rr
B H w B =
(142) 2 r r Заметим, что формулы (139) и (142) верны и в случае неоднородного поля, когда E
и B не r r постоянны в объеме, занимаемом полями E и B . В этом случае (139) и (142) дают плотности энергии электрического и магнитного полей в точке, и для расчета энергии полей во всем пространстве нужно интегрировать (а не просто умножить на V):
e eE B 2 W E = ò 0 dV , W B = ò
dV (143) 2 2 m 0 m
Более убедительно существование энергии электрического и магнитного полей дает о себе знать при рассмотрении вопросов распространения, отражения и поглощения электромагнитных волн, плотность энергии которых: rr r r
e 0 eE 2 B 2 E D B H . (144)
w E , H =
+
=
+
2 2 m 0 m
2 2 ГЛАВА 8. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА. В этой главе мы соберем основные законы электромагнетизма и запишем их в виде системы уравнений, достаточной для описания всех наблюдаемых явлений в области электромагнетизма, – системы уравнений Максвелла. 8.1. Закон полног о т ока. Завершение построения теории электромагнитного поля Максвеллом стало возможным только после того, как им (Максвеллом) была выдвинута и математически оформлена идея о симметрии во взаимозависимости электрического и магнитного полей. До Максвелла была известна лишь открытая Фарадеем возможность создания электрического поля переменным во времени магнитным полем –
закон электромагнитной индукции: r
r r
¶B rot E º Ñ ´ E = . ¶t Максвелл предположил, что и, наоборот, переменное электрическое поле должно создавать магнитное поле. К этой мысли можно прийти, анализируя процесс протекания тока по участку цепи, содержащему конденсатор, при разряде последнего (см. рис. 89). r
В соответствии с теоремой о циркуляции вектора H
r r
r r
(145) òr Hd Г = ò j d S . Здесь, j – плотность тока, текущего по проводникам (плотность тока проводимости); SГ – поверхность, натянутая на контур Г. По форме поверхности SГ в доказательстве теоремы нет никаких оговорок (требований) – SГ – это любая поверхность (например, S1 или S2 на рис. 89). Но ток I пересекает поверхность S1 и не пересекает поверхность S2. Но тогда получается, что при выборе в качестве SГ r поверхности S1, циркуляция H по Г не равна нулю, r r
а при выборе S2 ò Hd Г = 0 . В формуле (145) надо что­то изменить (добавить), r чтобы выбор SГ не влиял на циркуляцию H . Рассмотрим замкнутую поверхность S1 + S 2 . Через S1 в объем, ограниченный этой поверхностью втекает ток проводимости. Процесс изменения заряда внутри замкнутой поверхности описывается уравнением непрерывности: r r
¶q Рис. 89
ò j d S = - ¶t (146) С другой стороны, поверхность S2 пронизана силовыми линиями электрического поля r конденсатора. Запишем теорему Гаусса для вектора электрического смещения D : r r
D
ò d S = q (147) Считая замкнутую поверхность не зависящей (не меняющей формы) от времени, найдем производную по времени от (147): r ¶D r ¶q ò ¶t d S = ¶t (148) Складывая (146) и (148), получим: r
æ r ¶D ö r
ò ççè j + ¶t ÷÷ød S = 0 . Но это не что иное, как уравнение непрерывности для квазист
ационарного тока с r
r r ¶D плотностью j полн = j +
. ¶t Максвелл назвал этот ток полным т оком:
r
r
r æ r ¶D ö r
÷ d S (149) I полн = ò j полн d S = ò çç j +
¶t ÷ø
è
r Здесь, j полн – плотность полного тока; r
¶ D r
= j см – плотность тока смещения; ¶
t r j – плотность тока проводимости. Согласно уравнению непрерывности линии полного тока являются непрерывными: в тех местах, где линии тока проводимости прерываются, их замыкают линии тока смещения (см. рис. 90). Проблема с выбором поверхности SГ в Рис. 90
теореме о циркуляции была снята Максвеллом, который в правую часть закона вместо плотности тока проводимости ввел плотность полного тока:
r
r r
æ r ¶D ö r
ò Hd Г = ò ççè j + ¶t ÷÷ød S . (150) В связи с важностью введения понятия полного тока в теорию электромагнетизма последнее уравнение, как правило, называют не теоремой о циркуляции, а законом полного т ока. 8.2. Сист ема уравнений Максвелла. Введение тока смещения Максвеллом завершило создание классической теории электромагнетизма, которая не только объяснила все (разрозненные) явления электричества и магнетизма, но и предсказывала целый ряд новых явлений (например, существование электромагнитных волн), которые вскоре были открыты экспериментально. Теория электромагнетизма Максвелла в настоящее время представляется четырьмя так называемыми фундаментальными уравнениями: r r
r 1) ò Dd S = ò rdV (теорема Гаусса для D ) r Поток вектора D через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме свободных зарядов, находящихся в объеме, ограниченном данной поверхностью. Физический смысл данного уравнения заключается в том, что источником потенциального электрического поля является электрический заряд. Именно из заряда выходит (или входят в него) силовые линии электрического поля. r
r r
¶B r
2) ò Ed l = - ò
d S (закон электромагнитной индукции) ¶t r Циркуляция вектора E по замкнутому контуру, равна потоку взятой с отрицательным r знаком производной индукции магнитного поля B по времени через произвольную поверхность, натянутую на контур. r При этом под E понимается как вихревое (индукционное) электрическое поле, так и потенциальное (электростатическое). Для последнего r r
E пот d l = 0
ò r r
3) ò Bd S = 0
Поток вектора магнитной индукции через произвольную замкнутую поверхность всегда равен нулю. Физически это уравнение описывает тот факт, что в Природе отсутствуют магнитные заряды r (нет точек, в которые входили бы (или выходили) силовые линии поля B ). r
r r
æ r ¶D ö
÷dS (закон полного тока) 4) ò Hd Г = ò çç j +
¶t ÷ø
è
r Циркуляция вектора H по замкнутому контуру равна полному току, протекающему через произвольную поверхность, натянутую на данный контур. Смысл уравнения в том, что источником вихревого магнитного поля (а другим оно в силу r r
B
ò d S = 0 быть не может) являются не только токи проводимости, но и переменное электрическое поле (токи смещения). Рассмотренные четыре уравнения не составляют еще полной системы уравнений электромагнитного поля. Их нужно дополнить уравнениями, характеризующими свойства среды, – так называемыми мат ериальными уравнениями: r r r
r
5) D = e 0 eE – связь D и E через диэлектрическую проницаемость среды e. r r r
r
6) B = m 0 mH – связь B и H через магнитную проницаемость среды m. r r
r
7) j = s E + E ст – обобщенный закон Ома, выражающий плотность тока проводимости r через удельную электропроводность среды (s) и напряженности E – электрического поля и r E ст – поля сторонних сил, обусловленных механическими, химическими или тепловыми процессами. Запишем компактно систему уравнений Максвелла и обведем ее рамочкой (!).
r r
r r
D
d S =
r
dV B ò
ò r ò d S = 0 r
r r
r r
æ r ¶D ö r
¶B (151) ò E d l = -ò ¶t dS ò H d Г = ò ççè j + ¶t ÷÷ød S r
r
r
r
r r
r
D = e 0 eE B = m 0 mH j = s E + E ст Это – так называемая интегральная форма записи системы уравнений Максвелла. (
) (
) 8.3. Дифференциальная форма уравнений Максвелла Уравнения Максвелла могут быть записаны в локальной (дифференциальной) форме. Для перехода нужно применить теорему Остроградского (см. математическое приложение) к уравнениям
r r
r r
ò Dd S = ò rdV , ò Bd S = 0 ; получим:
r r div D = r ; divB = 0 , r r или ÑD = r ; ÑB = 0 ; и теорему Стокса к уравнениям
r
r
r r
r r
æ r ¶D ö
¶B r
ò Ed l = - ò ¶t d S и ò Hd Г = ò ççè j + ¶t ÷÷ø , r
r
r r æ r ¶D ö
¶B ÷ . или Ñ ´ E = , Ñ ´ H = çç j +
÷
¶t ¶
t è
ø
Дополняются полученные уравнения теми же материальными уравнениями. Итак, дифференциальная форма записи системы уравнений Максвелла:
r
r
Ñ D = r ÑB = 0 r
r
r
r æ r ¶D ö
¶B ÷
Ñ ´ E = Ñ ´ H = çç j +
(152) ¶t ¶t ÷ø
è
r
r
r
r
r r
r
D = e 0 eE B = m 0 mH j = s E + E ст (
) Замечание (о симметрии системы уравнений Максвелла): Симметрия между электрическим и магнитными полями не является полной. Это связано с отсутствием в Природе магнитных зарядов. Однако, если рассмотреть однородную, немагнитную ( m = 1 ) без зарядов (т.е. и непроводящую) среду, для которой r = 0 , j = 0 , то r r уравнения Максвелла становятся симметричными в отношении полей E
и B : r r
ÑD = 0 r
ÑB = 0 r
r
r ¶D ¶B Ñ ´ E = Ñ ´ H =
¶t ¶t Различие в знаках правых частей нижних уравнений связано с тем, что вихревое r r ¶B
электрическое поле E образует левовинтовую систему с вектором , а вихревое ¶t r r ¶D
магнитное поле H – правовинтовую систему с вектором (см. рис. 91). ¶t " левы й в инт " " прав ы й в инт " Рис. 91
ГЛАВА 9. r
r
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПОЛЕЙ E И B ПРИ ПЕРЕХОДЕ ОТ ОДНОЙ ИНЕРЦИАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА К ДРУГОЙ. Исторически теория электромагнетизма оказалась первой релятивистски инвариантной теорией. То, что в ней еще до Эйнштейна должны были быть учтены релятивистские эффекты прямо следует из того факта, что возмущения в электромагнитных полях распространяются со скоростью света (последний факт был установлен Максвеллом при анализе его уравнений). В этой главе мы без вывода рассмотрим законы преобразований (аналогичных лоренцевым r r преобразованиям координат и времени) полей E и B при изменении ИСО. r
9.1. Закон преобразования поля E . r То, что поле E , действующее на электрический заряд, меняется при переходе от одной ИСО к другой почти очевидно. Действительно, рассмотрим две ИСО: r – в одной из них S (неподвижной) заряд q движется со скоростью V ( V << c ); – вторая ИСО – система S ¢ (подвижная) выбрана так, чтобы заряд в ней покоился r (для этого S ¢ должна двигаться относительно S со скоростью V ). В S­системе на заряд действует совместно кулоновская (электрическая) сила и сила Лоренца (магнитная):
r
r
rr
F = q E + q V B , r r где E и B – соответственно напряженность электрического и индукция магнитного полей в системе S. В S ¢ ­системе заряд покоится , то есть на него действует только кулоновская сила: r r
F ¢ = q E ¢ . r r
При V << c (как в нашем случае) сила инвариантна (см. часть I курса), то есть F = F ¢ . Поэтому,
r r rr
E ¢ = E + V B (155) – закон преобразования электрического поля в нерелятивистском случае ( V << c ). r Если перейти к общему (релятивистскому)случаю, то формула преобразования поля E
принимает вид (без вывода):
r r
ìE|| ¢ = E || ï
r
rr
ïr
E ^ + V B (156) íE ^ ¢ =
ï
V 2 1 - 2 ï
c î
r где E || и E|| ¢ ( E ^ и E ^¢ ) – соответственно продольная и поперечная по отношению к V
[ ] [ ] [ ]
составляющие электрического поля в S и S ¢ ­системах.
9.2. Закон преобразования маг нит ног о поля. r Аналогичные формулы для поля B¢ имеют вид (без вывода):
r r
ìB|| ¢ = B || ï
r
1 rr
ïï
B ^ - 2 V E r
(157) í ¢
c ïB ^ =
V 2 ï
1 - 2 c îï
[ ]
Замечание: r Если, как мы делали в механике теории относительности, скорость V направлена вдоль положительного направления оси х системы S, а направление осей систем S и S ¢ совпадают, то законы преобразования (156) и (157) можно записать для проекций полей:
ì
ïB ¢ = B ì
x ï x ïE ¢ = E x
x ï
V ï
B y + 2 E z ï
ï
E y - VB z c ïB ¢y =
ïE ¢y =
2 ï
ï
V V 2 (158) 1 - 2 1 - 2 í
í
c c ï
ï
ï
ï
E + VB y V B z - 2 E y ïE z ¢ = z ï
c ï
ïB ¢z =
V 2 1 ï
ï
V 2 c 2 î
1 ï
c 2 î
Если вернуться к нерелятивистскому случаю ( V << c ), то формулы (156) и (157) примут вид:
r r rr
r r 1 rr
E ¢ = E + V B , B¢ = B - 2 V E (159) c Первая из формул нам уже известна. r Если требуется обратное преобразование, то оно производится изменением знака перед V :
r r
rr
r r 1 rr
E = E ¢ - V B ; B = B ¢ + 2 V E ¢ . (160) c [ ] [ ] [ ] [ ] 9.3. Релят ивист ская природа маг нет изма. Формулы (156) и (157) содержат в себе один замечательный факт – природа магнетизма (возникновение магнитного поля) является чисто релятивистским эффектом, то есть следует из факта существования предельной скорости c @ 3 × 10 8 м/с – скорости света в вакууме.*) Рассмотрим один пример – поле движущегося с нерелятивистской скоростью заряда (см. пп. 2.1.6 и 2.2.3). Пусть в системе S ¢ заряд покоится в начале системы координат (при этом он r
r q × r ¢
создает вокруг себя электрическое поле E ¢ =
(з­н Кулона). Система S ¢ движется со 4 pe 0 r ¢ 3 скоростью V 0 ( V0 << c ) относительно S в положительном направлении оси х (при этом, r естественно, и заряд q движется относительно S со скоростью V0 ).
*) Другими словами, если бы скорость света была бесконечно большой, то магнетизма в природе не существовало бы.
Воспользуемся нерелятивистским обратным преобразованием полей (160) с учетом того, что в S ¢ (где заряд покоится) B ¢ = 0 : r r r 1 r r
E = E ¢ , B = 2 V 0 E ¢ . c r Так как заряд в S ¢ покоится, то V0 – это скорость заряда в S, как уже отмечалось. Имеем: r
r r q r ¢
E=
– электрическое поле заряда q в системе S в точке, отстоящей на r ¢ от заряда q. 3 4 pe 0 r ¢
r ( r ¢ – радиус­вектор заряда в S ¢ );
rr
r
r 1 é r
V 0 r ¢
q r ¢ ù
q (161) B = 2 êV 0 ×
×
ú=
c ë
4 pe 0 r ¢ 3 û 4 pe 0 e r ¢ 3 [
] [ ] Если, следуя Максвеллу, положить c 2 = 1
m 0 e 0 , то
rr
r m 0 V 0 r ¢
B=
q 3 (162) 4 p
r ¢
(Заметим, что если считать скорость света – максимальную скорость передачи взаимодействий между телами, бесконечно большой, то из (161) следовало бы B = 0 – магнитное поле отсутствовало бы) Формула (162) была введена нами в Гл.2 как опытный факт, но, как мы теперь видим, формирование магнитного поля движущимся зарядом – проявление (следствие) законов теории относительности. Из формулы (161) следует, что отношение В к Е движущегося заряда составляет величину: q V 2 2 0 V B 4 pe 0 c r =
= 0 2 , q E c 2 4 pe 0 r что при V << c указывает на малость эффекта – возникшее за счет релятивистских эффектов магнитное поле по своему воздействию на другие заряды намного слабее электрического воздействия. Действительно, рассмотрим пробный заряд qпр, который движется в поле движущегося заряда q. На него воздействует кулоновская и лоренцева силы: F кул = q пр E , F лор @ q пр VB , где V – скорость qпр в системе S, где существует поле В. Причем F кул q пр × E c 2
= =
>> 1 . F лор q пр × VB VV 0 Тем не менее нам давно известно, что система движущихся зарядов (электрический ток) создает вокруг себя магнитное поле, которое не подавляется при воздействии на пробные заряды кулоновским полем этой системы зарядов. Дело здесь в том, что электромагнитный заряд проводника, по которому протекает ток, практически равен нулю – заряд движущихся по проводнику электронов практически полностью компенсирован положительным зарядом ядер атомов (протонов), формирующих кристаллическую решетку. Именно эта компенсация электрического заряда в проводниках с током и позволила задолго до Эйнштейна изучить в электромагнетизме релятивистские эффекты (магнетизм) и установить правильные (релятивистски инвариантные) законы. Эти законы не пришлось "подправлять", как это сделал Эйнштейн с классической (ньютоновской) механикой.
[ ]