ЛЕКЦИЯ № 3

1 семестр
ЛЕКЦИЯ № 3
Векторы. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов
Цель: изучить декартову систему координат, рассмотреть понятие проекции вектора на ось, скалярное, векторное, смешанное произведения векторов, их свойства.
Задачи:
1. Дать понятие декартовой системы координат, проекции вектора на ось.
2. Изучить скалярное, векторное, смешанное произведения векторов, их свойства, выражение через координаты.
3. Доказать формулу деления отрезка в данном отношении.
Желаемый результат:
Студенты должны знать понятия скалярного, векторного, смешанного произведения векторов, формулу деления отрезка в данном отношении.
Учебные вопросы:
1. Декартовая система координат. Проекция вектора на ось.
2. Скалярное произведение векторов, его свойства.
3. Формула деления отрезка в данном отношении.
4. Векторное произведение векторов, его свойства и выражение через координаты.
5. Смешанное произведение векторов, его свойства и выражение через координаты.
ДЕКАРТОВА СИСТЕМА КООРДИНАТ.
Фиксируем в пространстве точку О и рассмотрим произвольную точку M. Тогда
вектор ОМ называется радиусом – вектором точки М. Базис в пространстве, состоящий из векторов 1 ,  2 ,  3 , называется ортонормированным, если вектора 1 ,  2 ,  3
попарно перпендикулярны и их длины равны единице:
 1 =  2 =  3 =1
Определение.
Декартовой системой координат в пространстве называется совокупность
точки и базиса. Точка носит название начала координат, прямые, проходящие через
начало координат в направлении базисных векторов – называются осями координат.
При этом первая ось называется осью абсцисс, вторая – осью ординат и третья – осью
аппликат.
Плоскости, проходящие через какую – либо пару осей координат, называют координатными плоскостями.
Аналогично определяются, декартовы координаты на плоскости, точка на плоскости имеет две координаты – абсциссу и ординату.
Координаты точки обычно пишут в скобках после буквы, обозначающей точку.
Например, М(1, 2) – точка на плоскости, А(1, 2, 0) – точка в пространстве.
Очевидно, что в заданной системе координат (то есть при фиксированном начале
координат и ортонормированном базисе координаты любой точки определены однозначно). С другой стороны, при тех же условиях для каждой упорядоченной тройки
чисел найдется лишь одна точка в пространстве.
В дальнейшем абсциссу точки М будем обозначать буквой Х, ординату – У, аппликату – Z. Орты осей абсцисс, ординат и аппликат принято обозначать i , j , k
(единичные вектора). Таким образом, для радиуса – вектора точки M (x, y, z) справедлива формула
1
1 семестр
ОМ
xi
yj
zk
Декартовы координаты точки имеют простой геометрический смысл.
Рассмотрим вначале случай на плоскости. Пусть точка M (x, y) – произвольная
точка плоскости.
y
М1
М
0
М2
x
Тогда с одной стороны
ОМ
xi
yj
С другой стороны
ОМ
ОМ 1 ОМ 2
И так как точка М1 лежит на оси ОХ, а точка М 2 на оси ОY, то по теореме раз-
ложения вектора единственным образом будем иметь
ОМ 2 y j
ОМ 1 xi ,
Тогда ОМ ОМ 1 ОМ 2 xi y j
Множества точек, у которых одна из координат постоянна, называется координатными линиями. Пользуясь теоремой Пифагора, получаем
ОМ
x02
y02
Совершенно аналогичная картина имеет место для точек пространства, тогда
всякую точку M (x0, y0, z0) можно рассматривать как точку пересечения трех попарно
перпендикулярных плоскостей. Тогда используя теорему Пифагора, получаем:
ОМ
x02
y02
z02
ФОРМУЛЫ ДЛЯ КОМПОНЕНТ ВЕКТОРА И ЕГО ДЛИНЫ.
Пусть А (x1, y1, z1) и В (x2, y2, z2) – две произвольные точки в пространстве
Z
А
В
Y
Так как
X
АВ ОВ ОА
А компоненты радиуса – вектор ОА и ОВ равны соответственно x1, y1, z1 и
x 2 , y2 , z2 . но тогда компоненты вектора АВ таковы.
x2 x1, y2 y1, z2 z1
Итак, для того, чтобы найти компоненты вектора АВ , нужно из координат конца
В вычесть координаты его начала А.
Применяя теорему Пифагора к параллелепипеду с диагональю АВ, стороны которого параллельны координатным осям, получим
2
1 семестр
АВ
( x2
x1 )
2
( y2
y1 )
2
( z2
z1 )
2
где АВ – это расстояние от точки А до точки В.
ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКА В ДАННОМ ОТНОШЕНИИ.
Пусть А (x1, y1, z1) и В (x2, y2, z2) – две различные произвольные точки в пространстве. Пусть М произвольная точка прямой АВ. Коллинеарные векторы АМ и МВ направлены одинаково, если М лежит внутри отрезка АВ, и направлены противоположно, если М лежит вне отрезка АВ.
Поэтому в равенстве
АМ
МВ ,  0
Если М – внутренняя точка отрезка АВ и  0 , если М – внешняя точка этого отрезка.
Задача с делением отрезка в данном отношении может быть сформулирована :
даны точки А и В с координатами и число , требуется найти координаты точки М,
лежащей на прямой АВ и такой, что справедливо равенство
АМ
МВ
Так как
АМ
МВ
То есть
АМ
ВМ
В этом случае наша задача эквивалентна нахождению координат точки М, лежащей на прямой АВ и делящий отрезок АВ в отношении внутренним образом, если
 0 и внешним образом, если  0 .
Заметим, что
1 , так как если М лежит вне отрезка АВ, то всегда либо
АМ  МВ , либо АМ  МВ .
Обозначим через (x, y, z) координаты точки M.
Тогда придем к следующей системе равенств для компонент векторов
x x1
y y1
z z1
Учитывая, что
ки М
x2 x
y2 y
z2 z
1 , из этого получим следующие формулы для координат точx
x1
1
x2
y
z1
1
z
y1
1
y2
z2
Эти формулы известны под названием формул деления отрезка в данном отношении.
На плоскости задача о делении отрезка решается так же, только базис состоит из
двух векторов, и потому из формул остаются две.
Существует и другие системы координат: полярная на плоскости, связь ее с декартовой системой координат
x
у
cos
sin
ПРОЕКЦИЯ ВЕКТОРОВ НА ОСЬ.
3
1 семестр
Проекцией точки M на ось S называется основание перпендикуляра M1, опущенного из этой точки на ось S.
М
S
М1
Проекция точки на ось может быть также определена, как точка пересечения оси
с плоскостью, проходящей через данную точку перпендикулярно оси S.
Векторной проекцией вектора АВ на ось S называется вектор А1В1 началом и
концом которого являются соответственно проекция A1 начала A и проекция B1 конца
B исходного вектора АВ на данную ось S.
Векторная проекция вектора R на ось S обозначается RS или ПрS R
ПрS R = RS
(1)
Определение: проекцией или скалярной проекцией вектора R на ось S называется скаляр, абсолютная величина которого равна модулю векторной проекции того же
вектора на ту же ось. При этом проекция считается положительной, если направление
векторной проекции совпадает с направлением оси и отрицательной в противном
случае. Скалярная проекция R на ось S обозначается
ПрS R = RS
Теорема 1. Проекцией вектора a на ось S равна произведению модуля вектора a
на косинус угла между вектором и осью, то есть
ПрS a
a cos
Следствие 1. равные векторы имеют равные проекции на одну и ту же ось.
Следствие 2. проекции двух взаимно противоположных векторов на одну и ту же
ось отличаются только знаком.
Теорема 2. проекция суммы векторов на какую-либо ось равна сумме проекций
слагаемых векторов на ту же ось.
ПрS (a b ... g )
ПрS a ПрS b ... ПрS g
Теорема 3. проекция произведения скаляра на вектор равна произведению этого
скаляра на ту же ось.
ПрS ( a)
ПрS a
СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.
Определение. Скалярным произведением нулевых векторов a и b называется
число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Если
хотя бы один вектор нулевой, то угол не определен и скалярное произведение по определению считается равным нулю.
Скалярное произведение записывается
(a, b) a b cos , где – угол между векторами a и b .
Свойства:
1.Для любых векторов a и b справедливо равенство (a, b) (b, a) , то есть скалярное
произведение коммутативно.
4
1 семестр
2.Векторы a и b называются ортогональными, если (a, b) 0 . Для того, чтобы векторы a и b были перпендикулярными, необходимо и достаточно, чтобы один из векторов был нулевым или
2
. Доказательство непосредственно следует из определения
скалярного произведения векторов.
3.Скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату его длины
(a, a)
a
2
a . Действительно, для a 0 равно (a, a)
0 и (a, a) 0
a
a a cos 0
2
a . Если же a 0 , то
2
4.Пусть i , j , k – орты координатных осей декартовой системы координат. Тогда из
свойств 1 – 3 вытекает:
2
1 , ( j, j )
(i, i)
i
(i, j )
( j, k )
(k , i )
j
2
1 , (k , k )
k
2
1
0
Определение. Базис называется ортонормированным, если его вектора попарно
ортогональны и по длине равны единице.
Теорема 1. если базис ортонормированный, то скалярное произведение векторов
выражается через их компоненты по формуле
(a, b)
1 1
2
2
3
3
Или в любой декартовой системе координат 0XYZ для скалярного произведения
векторов справедливо формула:
( a, b)
x1 x2
y1 y2
z1 z2
где x1, y1, z1 и x 2 , y2 , z2 - компоненты векторов относительно декартовой системы
0XYZ.
Отсюда следует формула для вычисления косинуса угла между двумя векторами,
если известны компоненты этих векторов в какой-либо декартовой системе координат.
x1 x2 y1 y2 z1 z2
x1 y1 z1 x 2 y2
cos
z2
Понятие векторного произведения возникает из понятия моменты силы.
Пусть твердое тело имеет одну неподвижную точку О и к точке М этого тела
приложена сила F .
Из физики известно, что воздействие этой силы F на тело с неподвижной точкой О характеризуется особой векторной величиной L0 , которая называется моментом силы F относительно точки О.
Числовая мера момента (его модуль) является произведением модуля силы F на
расстоянии h линии ее действия от точки О («плечо силы»). Иначе говоря, модуль
момента численно равен площади параллелограмма построенного на векторах F и
OM .
L0
О
h
М
5
F
1 семестр
Направим момент L0 по перпендикуляру к плоскости, проходящей через точку О
и силу F , в ту сторону, откуда вращение вокруг точки О, вызываемое силой F , видно происходящим против хода часовой стрелки. Следовательно, направление момента
силы F определяет ось, проходящую через неподвижную точку О, вокруг которой
эта сила стремиться вращать тело.
Момент силы F относительно точки О и L0 называется векторным произведением вектора OM , соединяющего точку О с точкой М и приложение силы, и вектора
F , который изображает силу.
Определение. Векторным произведением двух векторов а и b называется третий
вектор c , который:
1)
имеет модуль, численно равный площади параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах;
2)
направлен перпендикулярно к перемножаемым векторам в ту сторону,
откуда наименьший поворот первого множителя, совмещающий его направление с направлением второго множителя, виден происходящим
против хода часовой стрелки.
Векторное произведение двух векторов а и b обозначается одним из следующих
способов
а b , а b , а b , а, b
Известно, что площадь параллелограмма равна произведению двух его непараллельных сторон на синус угла между ними. Поэтому получается следующая формула
для модуля векторного произведения
а, b
a b sin
где
– угол между векторами а и b .
Векторное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда, когда
хотя бы один из перемножаемых векторов равен нулю или когда эти вектора коллинеарны.
Полученный результат можно сформулировать так: условием коллинеарности
двух векторов является равенство нулю их векторного произведения
а,b
0
Свойства векторного произведения:
1) при перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак
а, b
b, a
Доказательство: так как векторы а, b и b, a перпендикулярны плоскости, проходящей через вектора а и b , то оба эти вектора лежат на одной прямой. Однако,
направления у них противоположны. Следовательно, произведения а, b и b, a
являются противоположными векторами, то есть справедливо равенство
а, b
b, a
2) для любого вещественного числа справедливо соотношения
а, b
[ a, b] [ a, b]
Доказательство: для доказательства достаточно заметить, что модули обоих векторов [ a , b ] и а, b одинаковы и равны произведению
на площадь паралле-
6
1 семестр
лограмма, построенного на векторах а и b , направления этих векторов совпадают с направлением вектора а, b , когда  0 и противоположны ему, когда  0 .
Для ортов координатных осей i, j , k декартовой системы координат справедливы
соотношения
i, i
j, j
k, k
0
Так как векторное произведение вектора на самого себя всегда равно нулю, что нам
уже известно.
При рассмотрении векторных произведений разноименных координатных ортов
существенным является предположение, что вектор [i, j ] будет направлен одинаково с
вектором k , а вектор [ j , i ] – в противоположную сторону.
Кроме того
[i, j ]
[ j , i ] 1 1 sin 900 =1
То мы получим
[i , j ]
k
[ j, i]
k
Аналогично вычислив произведения других разноименных ортов, получим следующую таблицу
[i , j ]
k
[ j, i]
k
[ j, k ] i
[k , j ]
i
[k , i]
[i, k ]
j
j
Для определения получающихся знаков обычно пользуются следующим «круговым правилом»
На окружности отметим три точки, которые обозначим как орты осей, буквами
i, j , k . Будем считать положительным обход окружности от i и j . Тогда видим, что
векторное произведение двух разноименных ортов, следующих друг за другом в направлении положительного обхода окружности, равно третьему орту со знаком «+», а
в противном случае – со знаком «-».
3) векторное умножение вектора на сумму векторов можно производить почленно
а b, с
a, c
b, c
ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ В КООРДИНАТНОЙ ФОРМЕ.
Пусть векторы а и b в произвольно взятой декартовой системе координат имеют соответствующие компоненты x1, y1, z1 , x2 , y2 , z2
Тогда
а
x1i y1 j
z1 k
b
x2 i y 2 j
z2 k
Из свойств векторного произведения получим
а, b
x1 x2[i, i] y1 x2[ j, i] z1 x2[k , i] x1 y2[i, j ] y1 y2[ j, j ] z1 y2[k , j ] x1 z2[i, k ]
y1 z2[ j, k ] z1 z 2 [k , k ]
y1 x2 k
z1 x2 j
x1 y2 k
z1 y2 i
x1 z2 j
y1 z2 i
После объединения слагаемых, содержащих одинаковые орты, получим:
а, b
( y1 z2
y2 z1 )i ( x1 z2
x2 z1 ) j ( x1 y2
x2 y1 )k
Итак,
7
y1
z1
y2
z2
i
x1
z1
x2
z2
j
x1
y1
x2
y2
k
1 семестр
а, b
i
j
k
x1
y1
z1
x2
y2
z2
Это и есть окончательная формула, выражающая векторное произведение в координатной форме.
Следствие 1. (Условие коллинеарности двух векторов). Для того, чтобы два вектора а и b были коллинеарны необходимо и достаточно, чтобы а,b 0 . Если в некоторой декартовой системе координат векторы а и b имеют компоненты x1, y1, z1 и
x2 , y2 , z2 .
Соответственно, то условие их коллинеарности имеет вид
а, b
i
j
k
x1
y1
z1
x2
y2
z2
0
Следствие 2. (Формула площади треугольника). Пусть на векторах а и b построен треугольник. Тогда его площадь находится по формуле
S
i
1
x1
2
x2
1
а, b
2
j
k
y1
z1
y2
z2
Отметим особо, частный случай, когда векторы а и b лежат в плоскости XOY,
тогда z1=z2=0.
И тогда площадь равна
S
1
а, b
2
1 x1
2 x2
y1
y2
1
x1 y2
2
x2 y1
ПРОИЗВЕДЕНИЕ 3-Х ВЕКТОРОВ
Из трех векторов можно составить только три различных типа произведений:
Во – первых, можно перемножить два вектора а и b скалярно и полученный
скаляр умножить на третий вектор с . в результате получиться вектор, называемый
простейшим произведением трех векторов
( a , b )c
Во – вторых, можно перемножить два вектора а и b векторно и полученный
вектор умножить также векторно на третий вектор с . В результате получается вектор,
называемый векторно – векторным или двойным векторным произведением трех
векторов.
[[ a, b]c ]
В – третьих, можно перемножить два вектора а и b векторно и полученный вектор [a, b] умножить скалярно на третий вектор. В результате получится скаляр, называемый векторно – скалярным или смешанным произведением трех векторов.
[ a, b]c
Этими тремя произведениями и исчерпываются все типы произведений трех векторов.
Рассмотрим подробней смешанное произведение.
8
1 семестр
Определение. Векторно – скалярным или смешанным произведением 3 – х векторов называется такое произведение, которое получается скалярным умножением векторного произведения двух векторов на третий вектор. Смешанное произведение
представляет собой скаляр.
Геометрический смысл его.
Обозначим
а, b
S
Получим
[a, b]c
S,c
S c cos
Чтобы истолковать полученный результат, мы построим на векторах а и b , с
параллелепипед, основанием которого служит параллелограмм со сторонами а и b .
Площадь его основания
а, b
S
Обозначим через H высоту, опущенную на это основание. Тогда объем параллелепипеда определяется по формуле
V=SH
S
а, b
с

b
а
Возможны два случая.
В первом случае, когда перемножаемые векторы а и b , с образуют правую систему, то есть когда из конца третьего вектора с поворот от вектора а ко второму виден происходящим против хода часовой стрелки, тогда
c cos
H
И формула примет вид
[a, b]c
S,c
S c cos
SH
V
Таким образом, векторно – скалярное произведение трех векторов, образующих
правую систему, равно параллелепипеду, построенного на этих векторах.
Во – втором случае, когда перемножаются векторы а и b , с образуют левую систему,
то есть когда с конца третьего вектора с поворот от а и b виден происходящим по
ходу часовой стрелки.
c cos
H
И формула примет вид
[a, b]c
S,c
S c cos
SH
V
Тогда векторно – скалярное произведение трех векторов, образующих левую
систему, отличается только знаком от объема параллелепипеда, построенного на перемножаемых векторах.
Свойства смешанного произведения.
9
1 семестр
1)
2)
для того, чтобы векторы а и b , с были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение равнялось нулю.
Векторно – скалярное произведение не зависит от группировки множителей, о есть
[ a, b]c
( a [b, c])
Выражение смешанного произведения через компоненты векторов в декартовой системе координат.
Пусть даны разложения векторов а и b , с относительно произвольно выбранной декартовой системы координат
а
x1i y1 j
z1 k
b
x2 i y 2 j
z2 k
c
x3 i y 3 j
z3 k
Тогда
а, b
i
j
k
x1
y1
z1
x2
y2
z2
И поэтому
( а, b c )
x3
y3
z3
x1
y1
z1
x2
y2
z2
Следствие 1. из формулы. Условие компланарности векторов таково
x3
y3
z3
x1
y1
z1
x2
y2
z2
0
Следствие 2. при перестановке двух сомножителей смешанное произведение меняет знак
( a , b, c )
(b, a, c)
Вопросы для самопроверки:
1. Что называется декартовой системой координат?
2. Что называется координатами вектора? Длиной вектора?
3. Что называется скалярным произведением векторов и его основные свойства?
4. Запишите формулу деления отрезка в данном отношении.
5. Что называется векторным произведением, его основные свойства и геометрический смысл модуля векторного произведения?
6. Что называется смешанным произведением? Назовите его свойства и геометрический смысл.
10