= ∑ ,

РАЗДЕЛ N 2.
ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА.
Абсолютно твердым телом называется система материальных точек,
взаимные расстояния между которыми не изменяются.
Любое движение абсолютно твердого тела можно разложить на
поступательное и вращательное. Поступательное движение твердого тела
описывается теми же уравнениями, что и движение материальной точки. Целью
работ этого раздела является экспериментальное изучение законов динамики
вращательного движения. Основное уравнение динамики вращательного
движения в случае неподвижной оси вращения z удобно спроектировать на эту
ось:
dLz
(1)
= Mz .
dt
Здесь Lz - проекция момента импульса, Mz - момент внешних сил
относительно оси (см. предыдущий раздел).
Проекция момента импульса Lz связана с угловой скоростью ω и моментом
инерции I относительно этой оси:
Lz = Iω .
(2)
Кинетическая энергия вращающегося твердого тела в этом случае
определяется выражением:
(3)
E=Iω2/2
Свойства момента инерции.
Момент инерции тела определяется формулой:
I = ∑ mi ri 2 ,
(4)
где суммирование проводится по всем материальным точкам тела с массами mi, ri
- расстояния от материальных точек до оси вращения. В случае непрерывного
распределения масс эту формулу можно записать в интегральном виде:
(5)
I = ∫ r 2 dm
Момент инерции величина аддитивная I=ΣIi.
Момент инерции I тела относительно любой оси АА’ можно найти, зная
момент инерции I0 относительно оси ВВ’, проходящей через центр масс тела
параллельно оси АА’ при помощи теоремы Гюйгенса-Штейнера:
I=I0+md 2,
(6)
где m - масса тела, d - расстояние между осями.
Моменты инерции однородных тел правильной геометрической формы
относительно осей, проходящих через центры масс, приведены в таблице 1.
Таблица 1.
Тело
Ось
Момент инерции
Шар радиуса r
любая ось
Диск радиуса r
ось перпендикулярная плоскости диска
2 2
mr
5
1 2
mr
2
Цилиндр радиуса r и высотой l
ось перпендикулярная оси симметрии
1 2 1
mr + ml 2
4
12
Цилиндр радиуса r и высотой l
ось симметрии
1 2
mr
2
1
ml 2
12
1 2
ml
6
Тонкий стержень длиной l
Куб с длиной ребра l
ось перпендикулярная стержню
любая ось
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ К РАЗДЕЛУ
1. Что такое угловая скорость и угловое ускорение? Как они направлены по отношению
2.
3.
4.
5.
к оси вращения? В чем преимущества описания вращательного движения твердого
тела с помощью угловых величин, а не линейных?
Как связаны между собой угол поворота и путь, угловая и линейная скорости, угловая
скорость и угловое ускорение с ускорением?
Что такое момент импульса и момент силы?
Что такое плечо силы?
Получите выражения для моментов инерции, приведенные в таблице 1.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА N 21.
ПРОВЕРКА УРАВНЕНИЯ ВРАЩАТЕЛЬНОЙ ДИНАМИКИ
НА ПРИБОРЕ ОБЕРБЕКА
Целью работы является проверка уравнения вращательной динамики при
вращении твердого тела вокруг неподвижной оси:
Iβ=M,
(7)
где I − момент инерции тела относительно оси, β − угловое ускорение, M - момент
силы относительно оси вращения.
Уравнение (7) отражает линейную зависимость β от M. Эту зависимость и
предстоит проверить на опыте.
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ УСТАНОВКА
Приборы и принадлежности: прибор Обербека, секундомер, измерительная
линейка (рулетка).
На рисунке 1 схематически показан прибор Обербека, с
помощью
которого
удобно
исследовать
динамику
вращательного движения. Четыре стержня укреплены на
втулке под прямым углом друг к другу. На стержни нанизаны
грузы одинаковой массы. Втулка и три шкива, c радиусами ri,
указанными на установке, насажены на общую ось. Ось
горизонтально закреплена в подшипниках, так что вся система
может вращаться вокруг нее. Передвигая грузы по стержням,
можно менять момент инерции системы. На шкив
наматывается нить, к концу которой привязана гиря известной
массы m. При падении гири сила натяжения нити T создает
момент относительно оси вращения
Рис.(8)
1.
M = T ri ,
который приводит к вращению системы.
Силу Т можно найти из уравнения поступательного движения гири:
ma = mg − T,
(9)
где m − масса гири, а − его ускорение. Из этих уравнений получаем, что момент
силы натяжения нити
M = m(g − a)r.
(10)
Варьируя массу гири и радиус шкива, можно менять момент этой силы. В случае
плотной намотки нерастяжимой нити ускорение а связано с угловым ускорением
β соотношением β = a/r. Ускорение а можно определить, измеряя время ti, в
течение которого груз опускается на расстояние hi:
2h
a = 2i .
(11)
ti
Тогда
β=
2hi
.
rti2
(12)
ХОД РАБОТЫ
Задание 1. Исследование характера движения колеса Обербека.
1. Сбалансируйте прибор Обербека. Для этого установите грузы на одинаковом
расстоянии от центра, и затем, перемещая их вдоль стержней, добейтесь
безразличного равновесия системы (крестовина остается в состоянии покоя при
любом повороте).
2. Намотайте нить на один из шкивов и установите гирю на самой верхней
площадке. Проследите, чтобы нить была натянута вертикально.
3. Опустите все нижние площадки кроме одной, и измерьте расстояние от нее до
верхней площадки.
4. Резко выбейте площадку из-под гири и измерьте время падения гири между
этими площадками.
5. Найдите ускорение гири a и угловое ускорение β колеса по формулам (11) и
(12).
6. Повторите пункты 3-5 меняя площадки, на которые падает гиря. Убедитесь в
том, что ускорения гири и колеса не изменяются.
Задание 2. Исследование зависимости β колеса от величины M .
1. Установите грузы, нанизанные на спицы колеса, на максимально возможном
удалении d от его оси вращения. Сбалансируйте прибор и измерьте расстояние
d.
2. Измерьте времена падения гири на самую нижнюю площадку (на пол),
поочередно наматывая нить на разные шкивы. Рассчитайте соответствующее
каждому шкиву ускорение β по формуле (12) и момент силы M по формуле
(10).
3. Постройте график зависимости углового ускорения β колеса от момента
приложенной силы M. Сделайте вывод о выполнении (невыполнении)
уравнения (7).
4. По тангенсу угла наклона графика найдите момент инерции I вращающейся
части прибора Обербека относительно оси вращения.
Задание 3. Исследование зависимости β колеса от его момента инерции I
1. Измерьте времена падения гири на самую нижнюю площадку (на пол), для
разных положений грузов на спицах. При этом нить наматывайте все время на
один шкив. Рассчитайте соответствующее каждому положению грузов
ускорение β по формуле (12).
2. Постройте график зависимости углового ускорения β колеса от расстояния
грузов до оси вращения.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ К РАБОТЕ.
1. Опишите экспериментальную установку и способ проверки уравнения (7).
2. Почему полученный график не проходит через начало координат?
3. После того, как гирька упадет на пол, прибор продолжает вращаться. На какую
4.
5.
6.
7.
8.
высоту он может поднять груз?
Почему стержни сориентированы под прямым углом?
Как зависит момент инерции вращающейся части прибора Обербека от положений
грузов на его стержнях?
Каким образом можно регулировать момент силы действующий на вращающуюся
часть прибора Обербека?
*Как изменится график зависимости β(M), если повторить опыт с гирькой другой
массы?
**Как можно измерить массу грузов на стержнях прибора? Оцените точность.
Проделайте опыт.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА N 22.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ МАХОВОГО КОЛЕСА
СПОСОБОМ КОЛЕБАНИЙ
Цель работы: измерение момента инерции махового колеса методом
колебаний.
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ УСТАНОВКА
И ВЫВОД РАБОЧИХ ФОРМУЛ
Приборы и принадлежности: маховое колесо на станине, вспомогательные тела,
штангенциркуль, секундомер, весы.
Экспериментальная установка (см. рис. 2) представляет
собой массивное маховое колесо 1, которое может вращаться с
малым трением вокруг горизонтальной оси. Ось вращения
проходит через центр тяжести махового колеса, поэтому оно
находится в безразличном равновесии. Если на ободе махового
колеса закрепить вспомогательное тело 2, система переходит в
Рис. 2.
состояние устойчивого равновесия. Если теперь повернуть
маховое колесо на угол αm и а затем отпустить, оно начнет совершать колебания с
некоторым периодом Т. При малых углах αm колебания махового колеса можно
считать гармоническими: α = αm sinω0t .
При прохождении положения равновесия угловая скорость системы достигает
максимального значения αmω0, и следовательно, ее максимальная кинетическая
энергия равна:
Iα 2m ω 20
.
Em =
2
В данном случае момент инерции системы I складывается из
момента инерции махового колеса Iк и момента инерции
вспомогательного тела Iт.
С другой стороны, потенциальная энергия системы равна:
E = mgh, где m - масса вспомогательного тела, h - высота его
Рис. 3.
подъема из положения равновесия. Из рис. 3 очевидно, что
h = d − d cos α = 2d sin 2 α 2 ,
где d расстояние от центра махового колеса до центра масс вспомогательного
тела.
В случае малых колебаний (в нашем случае только их можно считать
гармоническими) можно заменить sinα на α. Если пренебречь силами трения, то
на основании закона сохранения механической энергии, мы можем приравнять
максимальные значения кинетической и потенциальной энергий. Выразив ω0 через
период колебаний, для момента инерции махового колеса получим:
T2
I к = mgd 2 − I т .
(13)
4π
Все величины в правой части этого выражения доступны непосредственному
измерению, что касается величины Iт, ее можно рассчитать на основании теоремы
Гюйгенса-Штейнера:
I т = I 0 + md 2 .
(14)
Момент инерции вспомогательного тела I0 относительно оси параллельной оси
вращения и проходящей через его центр масс можно найти, зная геометрические
размеры тела, по формулам из таблицы 1.
ХОД РАБОТЫ
1. Взвесьте вспомогательное тело.
2. Определите штангенциркулем размеры вспомогательного тела и расстояние d.
3. По формуле (14), используя таблицу (1), рассчитайте момент инерции
вспомогательного тела Iт.
4. Закрепите тело на ободе махового колеса.
5. Отклоните маховое колесо на небольшой угол и отпустите его: колесо будет
совершать колебания.
6. Определите по секундомеру время t, как можно большего числа полных
колебаний. Рассчитайте среднее значение периода одного колебания T.
7. Рассчитайте момент инерции махового колеса по формуле (13). Оцените
погрешность эксперимента.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ К РАБОТЕ.
1. Запишите уравнение движения махового колеса с грузом, оцените при каких углах
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
решение этого уравнения можно считать гармонической функцией в рамках точности
имеющихся приборов.
Получите формулу (13).
Как влияет сила трения на результаты измерения? Какие конструктивные
особенности установки позволяют пренебрегать силой трения?
Как влияют момент инерции и масса вспомогательного тела на точность измерения?
Какие условия накладываются на вспомогательное тело?
Сравните этот метод определения момента инерции, использованный в работе, с
другими вам известными.
Изобразите примерные графики зависимости угловой координаты, угловой скорости,
углового ускорения колеса с шариком и момента силы тяжести относительно оси
вращения от времени.
*Оцените по порядку величины момент инерции махового колеса, измеряя его
размеры и делая предположения о плотности материала, из которого оно сделано.
*Как, зная момент инерции махового колеса, определить момент инерции тела,
которое можно укрепить на нем? Проведите опыт с одним из вспомогательных тел.
Оцените точность.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА N 23.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТЕЛА
С ПОМОЩЬЮ КРУТИЛЬНОГО МАЯТНИКА
Цель работы − определение момента инерции тела способом крутильных
колебаний.
Если тело, подвешенное на упругой нити, вывести из положения равновесия
путем поворота вокруг вертикальной оси на угол αm и предоставить самому себе,
то в системе возникнут крутильные колебания. При малых αm эти колебания
можно считать гармоническими:
α = αm sinω0t.
При прохождении положения равновесия угловая скорость тела достигает
максимального значения αmω0, и, следовательно, его максимальная кинетическая
энергия может быть записана в виде:
I α 2mω02
.
(15)
Eк =
2
Максимальная потенциальная энергия системы равна:
Dα 2m
,
(16)
Eп =
2
где D − модуль кручения проволоки (коэффициент пропорциональности момента
упругих сил закрученной проволоки и угла, на который она закручена (см. работу
31)).
Если пренебречь силами трения, то на основании закона сохранения энергии
можно приравнять максимальные значения кинетической и потенциальной
энергий. Выразив ω0 через период колебаний, получим для момента инерции тела
формулу:
DT 2
I=
.
(17)
4π 2
Период колебаний можно измерить секундомером, а величину D можно
найти с помощью этой же формулы, используя тело с известным моментом
инерции.
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ УСТАНОВКА
Приборы и принадлежности: кронштейн с закрепленной
проволокой, исследуемое тело, набор вспомогательных тел,
секундомер, штангенциркуль, весы.
Рис. 4.
Общий вид экспериментальной установки представлен
на рисунке 4. К стойке 1 крепится упругая проволока 2, в
нижней части которой имеется винт для крепления
исследуемого 3 и/или вспомогательного тела 4. Проволока
закручивается рычагом 5, расположенным в месте ее
крепления.
ХОД РАБОТЫ
1-й способ.
1. Взвесьте одно из вспомогательных тел, определите штангенциркулем его
размеры.
2. Рассчитайте момент инерции вспомогательного тела I0 пользуясь таблицей 1.
3. Укрепите вспомогательное тело на проволоке. Получится крутильный маятник.
4. Отожмите рычаг 5 и отпустите его. Маятник начнет совершать крутильные
колебания.
5. Измерьте секундомером время t как можно большего числа полных колебаний
и рассчитайте период колебаний Т.
6. Рассчитайте модуль кручения D, используя формулу (17).
7. Повторите этот опыт с другими телами из имеющегося набора. Убедитесь в
независимости D от выбора тела.
8. Укрепите на проволоке тело, момент инерции которого надо определить.
9. Повторив пункт 5 найдите период колебаний.
10.Рассчитайте момент инерции по формуле (17).
2-й способ. Метод добавки.
1. Укрепите исследуемое тело на проволоке и определите период крутильных
колебаний T1 полученного маятника.
2. Добавьте к подвешенному телу вспомогательное и определите период
колебаний этого маятника Т2.
3. Определите момент инерции исследуемого тела по формуле:
(18)
I = I0/((T2/T1)2−1)
4. Повторите эксперимент с каждым из вспомогательных тел. Объясните разницу.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ К РАБОТЕ
1. Запишите уравнение движения тела на проволоке, оцените при каких углах решение
этого уравнения можно считать гармонической функцией
2. Как влияет сила трения на результаты измерения? Какие конструктивные
особенности установки позволяют пренебрегать силой трения?
3. Какие условия накладываются на вспомогательное тело?
4. В каких случаях нельзя пользоваться методом добавки?
*ПОНЯТИЕ ТЕНЗОРА И ЭЛЛИПСОИДА ИНЕРЦИИ
Рис.5.
Очевидно, что
Вычислим момент инерции Is твердого тела
относительно произвольной оси, проходящей через начало
координат в направлении, определяемом единичным
вектором s. Разложим радиус-вектор r элемента массы тела
dm на составляющие вдоль оси и перпендикулярную к ней: r
= r|| + r⊥ (см. рис. 5). По определению момента инерции
(
)
Is = ∫ r⊥2 dm = ∫ r 2 − r||2 dm .
(19)
r|| = (rs) = xsx + ysy + zsz ,
где x, y, z и sx, sy, sz − декартовы координаты векторов r и s. Подставив это
равенство в (19), получим:
Is = I xx sx2 + I yy sy2 + I zz sz2 + 2 I xy sx sy + 2 I zx sz sx + 2 I yz sy sz ,
(20)
где Ixx, Iуу, Izz, Ixy, Ixz, Iyz − постоянные, определяемые выражениями
(
)
I xx = ∫ r 2 − x 2 dm,
(
)
I xy = − ∫ xydm ,
I yy = ∫ r 2 − y 2 dm,
(
)
I zz = ∫ r 2 − z 2 dm,
I zx = − ∫ zxdm ,
(21)
I yz = − ∫ yzdm .
Следовательно, момент инерции относительно произвольной оси можно
рассчитать по формуле (20), зная шесть величин. Эти величины удобно записать в
виде симметричной матрицы:
⎡ I xx
⎢
I$ = ⎢ I yx
⎢ I zx
⎣
I xy
I yy
I zy
I xz ⎤
⎥
I yz ⎥ .
I zz ⎥⎦
(22)
Такая матрица называется тензором инерции тела, а величины Iij −
компонентами тензора инерции.
Зная тензор инерции тела, можно определить момент инерции
относительно произвольной оси, используя формулу (20) и теорему ГюйгенсаШтейнера.
Формула (20) допускает наглядную геометрическую интерпретацию. Через
начало координат будем проводить прямые во всевозможных направлениях s и на
них откладывать отрезки длиной 1 Is . Геометрическим местом концов таких
отрезков будет некоторая поверхность. Найдем ее уравнение. Согласно
построению радиус-вектор точки, лежащей на этой поверхности, определяется
выражением r = s Is . Выразив отсюда s и подставив его значение в выражение
(20), получим уравнение поверхности:
∑ Iij xi x j = 1.
Так как момент инерции Is имеет конечные значения, для любого
направления оси s, приходим к выводу, что эта поверхность второго порядка
является эллипсоидом. Его называют эллипсоидом инерции тела.
Тензор инерции зависит от выбора системы координат. При изменении
координатной системы меняются и значения компонент тензора инерции тела. В
частности, координатные оси можно направить вдоль главных осей эллипсоида
инерции. В этой координатной системе в уравнении (20) пропадают члены,
содержащие произведения разных координат, и следовательно, тензор инерции
будет иметь только диагональные компоненты. Оси этой системы координат
называют главными осями тензора инерции, а диагональные элементы тензора
инерции в этой системе отсчета − главными компонентами тензора инерции.
Очевиден их физический смысл: это есть моменты инерции тела относительно
главных осей.
Направления главных осей тензора инерции можно найти, используя
свойства симметрии тела.
Введение тензора инерции позволяет записать уравнение вращательной
динамики для произвольного вращения твердого тела:
d
d
L = I$ω = M ,
(23)
dt
dt
где L − момент импульса тела, ω − угловая скорость, M − момент внешних сил.
При этом кинетическая энергия вращающегося тела запишется в виде:
ωI$ω
.
(24)
E=
2
*ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА N 24.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГЛАВНЫХ КОМПОНЕНТ ТЕНЗОРА ИНЕРЦИИ
С ПОМОЩЬЮ КРУТИЛЬНОГО МАЯТНИКА
И ПОСТРОЕНИЕ ЭЛЛИПСОИДА ИНЕРЦИИ
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ УСТАНОВКА И ВЫВОД РАБОЧЕЙ
ФОРМУЛЫ
Приборы и принадлежности: крутильный
вспомогательное тело, штангенциркуль, весы.
маятник,
исследуемое
тело,
Для определения главных компонент тензора инерции используется метод
крутильных колебаний (см. работу 23). Экспериментальная установка, показана
на рисунке 6. Основание 3 оснащено регулируемыми ножками, которые
позволяют произвести выравнивание прибора. На
основании закреплена колонна, к которой крепятся
неподвижные кронштейны 6, 8 и подвижный кронштейн 7
с фотоэлектрическим датчиком 10. Между верхним и
проволока
5.
нижним
кронштейнами
натянута
Исследуемое тело 1 жестко закрепляется в рамке
крутильного маятника 2 при помощи винта 11. Период
колебаний измеряется миллисекундомером 4. Рамка в
закрученном положении фиксируется электромагнитом 9.
Нажатие кнопки «Пуск» освобождает рамку.
Период крутильных колебаний рамки с закрепленным
в ней исследуемым телом равен
I0 + I
,
(25)
D
где I0 и I − моменты инерции рамки и тела относительно оси вращения, D −
модуль кручения проволоки (коэффициент пропорциональности момента упругих
сил закрученной проволоки и угла, на который она закручена (см. работу 31)).
Период колебаний свободной рамки будет равен T = 2π I0 D . Отсюда
Рис. 6.
T = 2π
⎛T2 ⎞
I = I0 ⎜ 2 − 1⎟ .
⎝ T0
⎠
(26)
Момент инерции рамки можно найти, измерив период T1 колебаний рамки
вместе с телом, момент инерции которого I1 известен, по формуле
I1
I0 =
.
(27)
2
⎛ T1
⎞
⎜ 2 − 1⎟
⎝ T0
⎠
Из (26) и (27) получим рабочую формулу для определения момента инерции
исследуемого тела:
T 2 − T02
I = I1 2
.
(28)
T1 − T02
(
(
)
)
ХОД РАБОТЫ
1. Взвесьте вспомогательное тело и определите штангенциркулем его размеры.
2. Рассчитайте момент инерции вспомогательного тела I1, используя таблицу 1.
3. Укрепите вспомогательное тело в рамке.
4. Включите прибор в сеть переменного тока 220 В и нажмите кнопку «Сеть».
5. Отклоните рамку до фиксации электромагнитом.
6. Обнулите индикатор, нажав кнопку «Cброс».
7. Нажмите кнопку «Пуск». Измерьте время 10−15 колебаний. (Отсчет времени
останавливается кнопкой «Cтоп». Число полных колебаний высвечивается на
табло «Периоды»). Вычислите T1.
8. Повторив пункты 5−7 с пустой рамкой, найдите период колебаний T0.
9. Возьмите исследуемое тело и из соображений симметрии определите
направления главных осей его тензора инерции.
10.Используя поочередно для крепления тела пары точек, лежащие на главных
осях инерции, повторите пункты 5−7, определяя соответствующие периоды
колебаний Т.
11.Вычислите главные значения тензора инерции по формуле (28)
12.Постройте эллипсоид инерции.
13.Закрепите тело за точки, лежащие не на главной оси, и измерьте момент
инерции относительно этой оси, повторив пункты 5−7,11.
14.Рассчитайте значение этого момента инерции по формуле (20), используя
главные компоненты тензора инерции и геометрические размеры тела, которые
можно измерить штангенциркулем.
15.Если исследуемое тело имеет правильную геометрическую форму, рассчитайте
все
измеренные
моменты
инерции
теоретически.
Сопоставьте
экспериментальные и теоретические результаты.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ К РАБОТЕ
1. Обоснуйте необходимость введения понятия тензора инерции.
2. В каком случае момент импульса совпадает по направлению с угловой скоростью?
3. В каком случае угловое ускорение совпадает по направлению с моментом внешних
4.
5.
6.
7.
сил?
Как направлены главные оси инерции для шара, эллипсоида, цилиндра,
прямоугольного параллелепипеда?
Что такое эллипсоид инерции?
Опишите метод определения главных компонент тензора инерции, использованный в
работе.
Получите формулу (28). Какие допущения используются при выводе этой формулы?
Какие технические особенности экспериментальной установки обеспечивают их
выполнение на практике?
*ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА N 25.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГЛАВНЫХ КОМПОНЕНТ ТЕНЗОРА ИНЕРЦИИ
С ПОМОЩЬЮ МАХОВОГО КОЛЕСА
И ПОСТРОЕНИЕ ЭЛЛИПСОИДА ИНЕРЦИИ
Идея определения момента инерции махового колеса с помощью
вспомогательного тела правильной геометрической формы изложена в работе 22.
В данной работе ставится обратная задача - определение момента инерции не
махового колеса, а тела, прикрепляемого к нему.
Момент инерции махового колеса Iк связан с центральным моментом
инерции I01 прикрепленного тела соотношением (см. уравнения (13)-(14) в работе
22)
T12
(29)
I к = m1 gd 2 − I 01 − m1d 2 ,
4π
где m1 − масса тела, g − ускорение свободного падения, d − расстояние от центра
масс тела до оси вращения, T1 − период колебаний махового колеса с
закрепленным на нем телом. Аналогично для другого тела с массой m2:
T22
I к = m2 gd 2 − I 02 − m2 d 2 ,
4π
Зная момент инерции одного из тел, например I01, можно экспериментально
определить момент инерции другого тела, используя формулу:
gd
(30)
I 02 = 2 m2 T22 − m1T12 − d 2 ( m2 − m1 ) + I 01
4π
Величины m1, m2, T1, T2, d находятся путем измерения.
(
)
Приборы и принадлежности: маховое колесо с электронной системой отсчета
времени, исследуемое и вспомогательное тела, штангенциркуль, весы.
ХОД РАБОТЫ
1. Найдите взвешиванием массу m1 вспомогательного тела и определите
штангенциркулем его размеры. Рассчитайте момент инерции I01 по
соответствующей формуле из таблицы 1.
2. Укрепите вспомогательное тело на маховом колесе.
3. Включите установку в сеть переменного тока 220 В. Нажмите последовательно
кнопки «Сеть» и «Сброс» на панели установки. Если установка исправна, на
табло появятся нули.
4. Качните колесо и измерьте время 10−15 колебаний, запуская миллисекундомер
кнопкой «Cброс» и останавливая его кнопкой «Cтоп». Вычислите период
колебаний T1.
5. Прикрепите вместо вспомогательного тела исследуемое так, что бы главная ось
его тензора инерции была параллельна оси вращения повторите пункты 4,5.
Найдите период колебания T2.
6. Рассчитайте момент инерции исследуемого тела по формуле (30).
7. Аналогично определите две другие главные компоненты тензора инерции.
8. Измерьте размеры исследуемого тела.
9. Самостоятельно выберите какую-либо неглавную ось исследуемого тела и по
формуле (20) рассчитайте момент инерции относительно нее. Сравните
полученные результаты.
10.Постройте эллипсоид инерции.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ К РАБОТЕ
1. Ответьте на вопросы 1−6 из предыдущей работы.
2. Выведите формулу (30). Какие допущения использованы в этой формуле? Какие условия
эксперимента и особенности установки делают их обоснованными?
3. Каким должно быть оптимальное соотношение между моментами инерции махового
колеса и исследуемого тела?
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА N 26.
ИЗУЧЕНИЕ СВОЙСТВ ГИРОСКОПА
Гироскопом
называется
симметричный
волчок (т.е. твердое тело, у которого совпадают по
крайней мере два главных значения тензора
инерции I1 = I2 ), совершающий быстрое вращение
вокруг оси симметрии (ось 3 на рис.7).
Так как ось вращения совпадает с осью
симметрии гироскопа, то его момент импульса
равен:
Рис. 7.
(31)
L=I3ω,
где I3 − момент инерции гироскопа относительно оси 3, ω − угловая скорость
вращения. Из выражения (31) видно, что ось вращения совпадает с направлением
вектора момента импульса гироскопа L. Приближенная теория движения
гироскопа полагает, что малые по величине моменты внешних сил не могут
изменить величину момента импульса L, а меняют только его направление.
Момент импульса гироскопа подчиняется основному закону вращательного
движения:
dL
(32)
=M,
dt
где M − суммарный момент внешних сил. Рассмотрим это уравнение
применительно к гироскопу, закрепленному в одной точке. Допустим, что точка
приложения силы лежит на оси симметрии (см. рис. 7), а сила направлена
перпендикулярно оси симметрии 3. Тогда момент этой силы направлен
перпендикулярно к оси вращения и L. Под действием момента постоянной силы,
вектор L, а следовательно и ось гироскопа, должны совершать равномерное
вращение вокруг оси 1. Это вращение называется вынужденной прецессией.
Угловая скорость прецессии Ω может быть найдена из следующих соображений.
Поскольку вектор L не меняет своей длины, то изменение этого вектора dL за
время dt обусловлено исключительно его вращением со скоростью Ω и
определяется выражением:
dL
= [Ω × L ] ,
dt
Из сравнения уравнений (32) и (33) имеем:
[Ω × L] = M ,
или в скалярном виде для данного случая:
ΩL = M ;
откуда
M rF
Ω=
=
.
L
I3ω
(33)
(34)
Следовательно, при закреплении только одной точки ось гироскопа может
совершать движение в пространстве в любом направлении в зависимости от
направления момента внешней силы. Такой гироскоп называется свободным.
Угловая частота прецессии свободного гироскопа прямо пропорциональна
моменту внешней силы и обратно пропорциональна частоте вращения гироскопа
вокруг оси симметрии.
Целью данной работы является наблюдение прецессии гироскопа и
экспериментальная проверка уравнения (34).
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ УСТАНОВКА
На основании 1, (см. рис. 8) оснащенном ножками с регулируемой высотой
закреплена колонна 2. С помощью ножек можно произвести выравнивание
прибора по горизонтали. На колонне имеется кронштейн 3 с фотоэлектрическим
датчиком 4 и внешней втулкой вращательного соединителя 5. Соединитель 5
позволяет гироскопу вращаться вокруг вертикальной оси и обеспечивает
электрическое питание фотоэлектрического датчика 6 и электродвигателя 7.
Рис. 8.
Электродвигатель смонтирован на кронштейне 8 таким образом, что имеется
возможность его ограниченного поворота в вертикальной плоскости. На валу
двигателя закреплен диск 9, защищенный кожухом 10. На рычаге 11, с
нанесенной на нем метрической шкалой, крепится противовес 12. Перемещением
противовеса по рычагу можно либо создать внешний вращательный момент М,
либо уравновесить гироскоп.
Угол поворота вокруг вертикальной оси можно определить по шкале 13 с
помощью указателя 14, или с помощью блока управления и измерений 15. Шкала
13 имеет отверстия через каждые 5°, которые позволяют с помощью фотодатчика
4 определить угол поворота гироскопа. Этот угол высвечивается на индикаторе
16.
Диск 9 имеет на окружности отверстия, которые подсчитываются с помощью
фотоэлектрического датчика 6 и по индикатору 17 можно определить угловую
скорость вращения диска. Ее можно регулировать с помощью ручки 18. Время
прецессии фиксируется на индикаторе 19.
Нажатие клавиши «Сеть» 20 вызывает включение питающего напряжения.
При нажатии клавиши «Сброс» 21 осуществляется перевод блока измерений в
исходное нулевое состояние. Нажатием клавиш «Стоп» можно остановить отсчет
угла и времени прецессии.
ХОД РАБОТЫ
ВНИМАНИЕ! Раскрученный гироскоп обладает большим запасом
кинетической энергии. ПРИ ПРОВЕДЕНИИ УПРАЖНЕНИЙ СТРОГО СЛЕДУЙТЕ ПРИВЕДЕННЫМ НИЖЕ УКАЗАНИЯМ.
1. Перед началом работы убедитесь, что рычаг 11 с гироскопом может свободно
вращаться вокруг горизонтальной и вертикальной осей.
2. С помощью ножек с регулируемой высотой и уровня 23 установите прибор
горизонтально.
3. Перемещением противовеса 12 добейтесь, чтобы рычаг 11 занял
горизонтальное положение.
4. Ручку «Регулятор скорости» на панели прибора переведите в крайнее левое
положение.
5. Включите прибор клавишей «Сеть». При этом загораются табло индикаторов и
лампочки фотодатчиков.
6. Плавно (!) поворачивая «Регулятор скорости», включите электродвигатель и
установите скорость вращения гироскопа около 5000 об/мин. В течение всего
эксперимента скорость вращения гироскопа изменять не следует.
7. Легким постукиванием рукой по кончику рычага 11 убедитесь в том, что ось
гироскопа не меняет своего направления в пространстве.
8. Закрепите вертикальную ось гироскопа винтом 24. Слегка покачивая ось
гироскопа, убедитесь, что она легко меняет свое направление в вертикальной
плоскости.
9. По метрической шкале рычага 11 определите положение l0 противовеса 12 при
уравновешенном гироскопе.
10.Освободите вертикальную ось гироскопа винтом 24. При этом не должно
наблюдаться прецессии.
11.Смещением противовеса по рычагу на расстояние ∆l = l − l0 создайте
вращающий момент M = P ⋅ ∆l , где Р − вес противовеса (масса противовеса
указана на нем).
12.С помощью секундомера и шкалы 16 определите угловую скорость прецессии
ϕ
Ω=
, где ϕ - угол поворота за время t . По индикатору 17 определите
t
угловую скорость вращения диска гироскопа ω. Подсчитайте значение
величины ωΩ. Следите за тем, чтобы ось гироскопа была горизонтальна.
13.Повторите пункты 11 и 12 для других положений противовеса (не менее 4-х).
14.Из формулы (34) следует, что M = IωΩ, т.е. график зависимости вращающего
момента М от произведения ωΩ является прямой с тангенсом угла наклона
равным моменту инерции гироскопа. Постройте этот график и определите
момент инерции гироскопа.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ К РАБОТЕ
1. Изучите приближенную теорию гироскопа.
2. Расскажите о применении гироскопов в технике.
3. В чем на ваш взгляд отличие прецессионного движения от других движений под
действием внешних сил?
4. Расскажите о цели работы и полученных результатах.
5. Вы убедились (см. «Ход работы» пункт 7), что если вертикальная ось
уравновешенного гироскопа свободна, его ось симметрии не меняет своего
направления в пространстве при легких постукиваниях по штоку. Объясните причину
такой устойчивости гироскопа. Почему, если вертикальная ось закреплена (пункт 8)
гироскоп теряет устойчивость.
6. Объясните, почему с течением времени ось прецессирующего гироскопа выходит из
горизонтальной плоскости?
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА N 27.
МАЯТНИК МАКСВЕЛЛА
Цель работы − изучение вращательного движения и метода определения
момента инерции металлических колец с помощью маятника Максвелла.
Маятник Максвелла − это массивный диск, насаженный на ось, на которую с
двух сторон намотаны нити. Под действием сил тяжести и натяжения нитей
маятник опускается, убыстряя вращение. Это длится до тех пор, пока нити не
размотаются на полную длину. Сообщив “рывок” нитям, маятник продолжает
вращаться в том же направлении и, наматывая нити на ось, поднимается вверх.
Достигнув верхней точки, диск опять начнет опускаться вниз и т.д. Таким
образом, имеет место колебательное движение диска маятника Максвелла вверх и
вниз.
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ УСТАНОВКА
Приборы и принадлежности:
штангенциркуль, весы.
маятник
Максвелла,
металлические
кольца,
Основание прибора 1 (см. рис. 9) оснащено регулируемыми ножками 2,
которые позволяют произвести его горизонтальное выравнивание. В основании
закреплена колонна 3, к которой прикреплен неподвижный верхний кронштейн 4
находится
и подвижный нижний кронштейн 5. На верхнем кронштейне
электромагнит 6, первый фотоэлектрический датчик 7 и вороток 8 для
закрепления и регулирования бифилярной подвески маятника. Нижний
кронштейн вместе с прикрепленным к нему вторым фотоэлектрическим датчиком
9 можно перемещать вдоль колонки и фиксировать в произвольно избранном
положении. На диск маятника 10 надеваются сменные кольца 11. Маятник с
одним из сменных колец удерживается в верхнем положении электромагнитом.
Длина маятника измеряется по миллиметровой шкале на колонне прибора. С
целью облегчения этого измерения нижний кронштейн оснащен указателем,
помещенным на высоте оптической оси нижнего фотоэлектрического датчика.
Фотоэлектрический датчик соединен с электронным миллисекундомером 12.
Время падения диска маятника t связано с его массой m и моментом инерции I
соотношением:
2
⎞
1
2 ⎛ gt
I = md ⎜
− 1⎟ .
4
⎝ 2L ⎠
(35)
где L − длина нитей d − диаметр оси. Момент инерции маятника равен сумме
моментов инерции диска, оси и кольца I=Iд+Io+Iк, а его масса, соответственно
m=mд+mo+mк (массы указаны на самих деталях). Соотношение (35) легко
получить, решая совместно уравнение движения центра масс:
ma = mg − T
(36)
и уравнение вращательной динамики относительно горизонтальной оси,
проходящей через центр масс маятника:
d
Iβ = T
(37)
2
где а − ускорение центра масс, β − угловое ускорение диска, T − сила натяжения
нити. При этом надо иметь ввиду, что для плотной
намотки нерастяжимой нити ускорение а связано с
угловым ускорением β соотношением βd = 2a, и что при
равноускоренном падении путь s зависит от времени по
закону:
at 2
s=
.
2
(38)
ХОД РАБОТЫ
1. Проведите необходимые измерения размеров оси и
диска и вычислите их моменты инерции Iо, Iд по
соответствующим формулам из табл. 1.
2. Установите прибор горизонтально, регулируя длину
Рис. 9.
ножек 2 (см. рис. 9).
3. Наденьте на диск 10 сменное кольцо 11.
4. Проверьте не упирается ли маятник в нижний кронштейн, между ними должен
быть зазор не менее 1 см.
5. Включите установку в сеть переменного тока 220 В. Нажмите последовательно
кнопки «Сеть» и «Сброс» на панели установки. Если установка исправна, на
табло появятся нули.
6. Аккуратно намотайте нить на ось 10 так, чтобы диск с кольцом прижимался к
щечкам электромагнита. Проверьте, удерживает ли электромагнит диск.
7. Нажмите кнопку «Пуск». Диск с кольцом начнет падать, и одновременно
включится миллисекундомер. Когда диск прервет нижний световой луч отсчет
времени прекратится. Запишите время падения t, отожмите кнопку «Пуск».
Точность эксперимента существенно зависит от того, насколько аккуратно
прижат диск к щечкам электромагнита: если сильно повернуть ось с диском, то
нить растянется и силы упругости нити вместе с силами трения удержат диск в
верхнем положении даже при отключенном электромагните. Повторите
измерения не менее 10 раз и найдите среднее значение t.
8. Вычислите момент инерции I маятника с кольцом по формуле (35), измерив d
штангенциркулем.
9. Рассчитайте момент инерции кольца по формуле Iк = I − Iо − Iд.
10.Измерьте штангенциркулем внутренний R1 и внешний R2 радиусы кольца.
11.Рассчитайте момент инерции кольца по формуле
1
I = m( R22 + R12 ) .
(39)
2
Сравните этот результат со значением, полученным с помощью маятника
Максвелла.
12.Проделайте эксперимент с двумя другими кольцами.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ К РАБОТЕ
1. Опишите устройство маятника Максвелла.
2. Получите соотношения (35) и (39).
3. Как зависит период колебаний маятника Максвелла от его момента инерции? От
длины нитей?
4. Диаметр оси маятника Максвелла, на которую наматывается нить, много меньше
диаметра диска, который определяет момент инерции маятника. Почему бы в
качестве маятника Максвелла не использовать однородный цилиндр?
5. Изобразите графически зависимости координат центра масс, линейной и угловой
скорости, линейного и углового ускорения диска маятника Максвелла от времени.
6. *Какое влияние оказывает атмосферный воздух на период колебаний маятника
Максвелла?