6.9. Кинетическая энергия вращающегося твердого тела

6.9. Кинетическая энергия
вращающегося твердого тела
Кинетическая энергия твердого тела равна сумме кинетических энергий
составляющих его материальных точек
∆miυi2
,
(6.43)
Eк = ∑
2
i
где ∆mi — масса i-й точки; υi — ее скорость.
Рассмотрим сначала случай вращения тела вокруг неподвижной оси
(см. рис. 6.8). Выразив в формуле (6.43) линейную скорость i-й точки через
угловую скорость ω и расстояние от оси вращения через ri , после суммирования
по всем элементам получим
2
ω2
2 ω
Eк = ∑ ∆mi ri
=
∆mi ri 2 .
∑
2
2 i
i
Учитывая, что сумма ∑ mi ri 2 равна моменту инерции тела I относительно
i
выбранной оси, окончательное выражение для кинетической энергии тела,
вращающегося с угловой скоростью ω вокруг неподвижной оси, имеет вид:
I ω2
.
(6.44)
Eк =
2
Можно сказать, что формула (6.44) аналогична
соответствующей формуле кинетической энергии
поступательного движения. Различие между ними
заключается в том, что роль линейной скорости υ
играет угловая скорость ω , а массы m — момент
инерции тела относительно оси вращения I.
Рассмотрим плоское движение тела. Его можно
представить как сумму поступательного движения со
скоростью центра масс υ c и вращательного с угловой
Рис. 6.16
скоростью ω вокруг оси, которая проходит через центр
r
масс (рис. 6.16). Суммарная скорость точек тела υi
r
r
будет складываться из скорости центра масс υ c и относительной скорости υi′ :
r r
r
υi = υ c + υi′ .
r
Подставляя υi в выражение (6.43), находим
1
1
r r
Eк = ∑ ∆miυc2 + ∑ ∆miυi′2 + ∑ ∆miυcυi′ .
2 i
2 i
i
r
drci
Учитывая, что масса тела m = ∑ ∆mi , а относительная скорость υi′ =
,
dt
i
получаем:
1
1
r d⎛
r ⎞
Eк = mυc2 + ∑ ∆miυi′2 + υc ⎜ ∑ ∆mi rci ⎟ .
dt ⎝ i
2
2 i
⎠
Первое слагаемое представляет кинетическую энергию поступательного
движения тела, второе — кинетическую энергию вращательного движения
относительно оси, проходящей через центр масс. Как и в предыдущем случае, она
равна I c ω2 2 . Третье слагаемое равно нулю, поскольку для центра масс в
r
соответствии с формулой (3.4) ∑ ∆mi rci = 0 .
r
i
Таким образом, полная кинетическая энергия плоского движения тела массой
m складывается из кинетической энергии поступательного движения и
кинетической энергии вращения вокруг оси, которая проходит через центр масс
mυc2 I c ω2
.
(6.45)
+
Eк =
2
2
Рассмотрим изменение кинетической энергии при
вращении тела вокруг неподвижной оси.
r
Пусть сила F приложена в точке A на расстоянии r
от оси, лежит в плоскости траектории и направлена по
касательной к ней (рис. 6.17). Именно касательная сила
создает момент M = Fr относительно оси OZ и
вызывает изменение угловой скорости.
При повороте на бесконечно малый угол dϕ
Рис. 6.17
перемещение точки можно считать равным длине дуги
ds = rd ϕ . Тогда элементарная работа dA = Fds = Frd ϕ , или
dA = Md ϕ .
(6.46)
Работа при повороте на конечный угол ϕ равна интегралу
ϕ
ϕ
r r
(6.47)
A = ∫ M d ϕ , или A = ∫ M d ϕ .
0
0
Если момент силы не изменяется, то работа равна произведению момента
силы и угла поворота тела
A = Mϕ.
(6.48)
Запишем уравнение динамики вращательного движения M = I ( d ω dt ) . Пусть
за бесконечно малый интервал времени dt произошел поворот тела относительно
оси вращения на угол dϕ = ωdt . Умножив обе части уравнения на угол поворота
dϕ , получим:
dω
ωd t .
dt
Проинтегрировав левую и правую части последнего соотношения, получим:
Md ϕ = I
2
2
1
1
∫ Md ϕ = ∫ I ωd ω
или
I ω22 I ω12
(6.49)
A12 =
−
= Eк2 − Eк1 .
2
2
Изменение кинетической энергии при вращательном движении тела равно
работе момента внешних сил, который сообщает телу угловое ускорение.