введение в оптику ультракоротких лазерных импульсов

В.И. Борисов, В.И. Лебедев, С.Н. Перепечко
ВВЕДЕНИЕ В ОПТИКУ УЛЬТРАКОРОТКИХ
ЛАЗЕРНЫХ ИМПУЛЬСОВ
Могилев, 2004 г.
УДК 535.42
ББК 22.34
А 95
Рецензент: доктор физ.-мат. наук В.А.Карпенко
Борисов В.И., Лебедев В.И., Перепечко С.Н. Введение в
оптику ультракоротких лазерных импульсов. – Могилев: МГУ
им. А.А. Кулешова, 2004.
с., ил. – ISBN 5-02-013838-X.
Изложены основы фурье-оптики коротких волновых пакетов, распространяющихся в линейных средах с дисперсией. На
основе экспериментальных и теоретических данных, полученных авторами, проведен критический анализ теории лазеров
ультракоротких импульсов, в результате которого сделан вывод
о необходимости учета когерентного характера взаимодействия
излучения с активной средой. Описаны корреляционные методы измерений некоторых параметров волоконных световодов и
лазерных резонаторов.
Книга предназначена для аспирантов и студентов, а также
научных работников специализирующихся в области лазерной
физики, волоконной оптики и оптической электроники.
© Борисов В.И., Лебедев В.И., Перепечко С.Н.,2004
© Учреждение образования «МГУ им. А.А. Кулешова»,2004
СОДЕРЖАНИЕ
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
6
I. Лазерное излучение. Основные физические величины и методы их
измерения
1.1. Волны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.2. Волновое уравнение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3. Единицы измерений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4. Фотон . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5. Световые волны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
1.6. Интенсивность света. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
1.7. Приемники излучения. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
1.8. Регистрация предельно слабых световых потоков . . . . . . . . .
21
1.9. Регистрация быстрых изменений интенсивности излучения
электронно-оптической камерой . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.10. Оптическое гетеродинирование . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.11. Спектр излучения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
1.12. Зависимость спектра лазерного излучения от времени . . . . . . .
29
1.13. Изменрения спектра излучения лазера . . . . . . . . . . . . . 31
1.14. Интерферометр Фабри-Перо . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Литература к разделу 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
II. Спектрально-временные соотношения для лазерных импульсов
2.1. Фазовая скорость света . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
2.2. Скорость распространения импульсного сигнала . . . . . . . . .
38
2.3. Скорость распространения модулированных колебаний . . . . . .
41
2.4. Скорость распространения квазимонохроматического импульса . . . .
46
2.5. Спектрально-временные соотношения для импульсов, генерируемых
двухчастотным лазером . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
2.6. Автокорреляция лазерных импульсов. Интерферометр Майкельсона . .
53
2.7. Автокорреляционная функция лазерного импульса . . . . . . . .
55
2.8. Соотношение неопределенностей для лазерных импульсов . . . . . . 57
Литература к разделу 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
III. Измерение параметров ультракоротких лазерных импульсов . . . .
71
3.1. О некоторых заблуждениях в области корреляционных измерений
длительности ультракоротких лазерных импульсов . . . . . . . . . 72
3.2. Определение длительности одиночных лазерных импульсов по видности
полос в интерферометре Майкельсона
. . . . . . . . . . . . .
75
3.3. Измерение АКФ для периодической последовательности импульсов . . .
79
3.4. Влияние линейной фазовой модуляции несущей частоты на корреляционные
функции излучения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
3.5. Устойчивая генерация субнаносекундных импульсов гелий-неоновым лазером 85
Литература к разделу 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
IV. Лазеры ультракоротких импульсов . . . . . . . . . . . . .
90
4.1. Импульсные лазеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.2. Нестационарные когерентные оптические эффекты в лазере . . . . . . 96
4.3. Измерение стационарного коэффициента усиления активной среды и
скорости накачки импульсного лазера . . . . . . . . . . . . . . 101
4.4. Динамика свободной генерации рубинового лазера. Сравнение теории
с экспериментом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.5. Измерения мощности лазерного излучения в широком
динамическом диапазоне . . . . . . . . . . . . . . . . . .
106
4.6. Динамика лазера с неустойчивым и разъюстированным плоским резонатором 107
4
4.7. Механизмы автомодуляции потерь лазерного резонатора . . . . . . . 110
4.7.1. Самонаведенная линзовость в активной среде лазера . . . . . 111
4.7.2. Автомодуляция излучения лазера самонаведенной амплитудно-фазовой
решеткой. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.7.3. Автомодуляция излучения в сложном резонаторе. . . . . . . 115
4.7.4. Просветляющийся затвор в лазере сверхкоротких импульсов . . 118
4.8. Парадоксы в теории лазеров ультракоротких импульсов
4.8.1.Парадокс эквидистантности мод . . . . . . . . . . . . 121
4.8.2. Парадокс «шумоподобности» лазерного излучения. . . . . . . 124
4.8.3. Парадокс «синхронизации мод» лазера без модуляторов
добротности резонатора. . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.8.4. Парадокс многочастотности в лазере с однородно уширенным
спектральным контуром усиления . . . . . . . . . . . . .
125
4.9. Основное фазовое условие лазерной генерации . . . . . . . . . .
128
4.10. Возникновение ультракоротких импульсов в лазере . . . . . . . .
131
4.11. Современные лазеры ультракоротких импульсов . . . . . . . . . . 136
4.13. О механизме возникновения затравочных высокочастотных пульсаций
в лазерном резонаторе . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 144
Литература к разделу 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
146
V. Ультракороткий лазерный импульс в линейной диспергирующей среде
5.1. Квазимонохроматическое приближение. . . . . . . . . . . . . . 148
5.2. Некоторые модели одиночных импульсов, допускающие точное решение . . 154
5.3. Фазовая модуляция – уширение и сжатие импульсов с линейным чирпом . . 165
5.4. Импульс произвольной формы в среде с дисперсией . . . . . . . . . 178
5.5. Линейная симметризация импульса в среде с дисперсией . . . . . . . 191
5.6. Лазерные импульсы в области «нулевой» дисперсии . . . . . . . . . 215
Литература к разделу 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
244
VI. Интерференция сверхкоротких лазерных импульсов в среде с дисперсией
6.1. Периодическая последовательность импульсов. Воспроизведение временной
структуры излучения . . . . . . . . . . . . . . . . . .
246
6.2. Два перекрывающихся гауссовых импульсов в диспергирующей среде . .
250
6.3. Ограниченная во времени последовательность гауссовых импульсов . . . 264
6.5. Экспериментальное исследование особенностей прохождения периодической
последовательности когерентных импульсов через многомодовый волоконный
световод
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
267
6.6. Интерференция сильно разнесенных импульсов. Умножение числа импульсов
в пакете ограниченной протяженности . . . . . . . . . . . .
273
6.7. Временной аналог эффекта Тальбота . . . . . . . . . . . .
276
Литература к разделу 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
279
VII. Некоторые корреляционные измерения
. . . . . . . . . . . 280
7.1. Деградация лазерных диодов и корреляционная функция первого порядка
их излучения
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
281
7.2. Корреляционные свойства лазерного излучения в многомодовых
волоконных световодах .
. . . . . . . . . . . . . . .
. .
287
7.3. Определение дисперсионного параметра второго порядка волоконного
световода по кросс-корреляционной функции . . . . . . . . . . . 298
7.4. Определение дисперсионного параметра второго порядка полоскового
волновода полупроводникового лазера по функции временной когерентности
его излучения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
303
Литература к разделу 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
309
5
ВВЕДЕНИЕ
Оптика – весьма почтенная наука. Физические принципы, лежащие в
ее основе, были в основном сформулированы ещѐ в 19 веке. Возникновение физики лазеров дало оптике вторую молодость. Появились новые быстро развивающиеся направления оптики: нелинейная оптика, оптическая
электроника и их многочисленные приложения.
В физике лазеров, по аналогии с электроникой, можно выделить сравнительно новый, пока еще не общепризнанный раздел современной оптики
– импульсную оптику. В импульсной оптике изучают методы генерирования, регистрации и распространения ультракоротких лазерных импульсов. Этот раздел физики лазеров особенно быстро развивается последние
годы в связи с созданием надежно работающих лазеров на твердотельных
активных материалах, в особенности, лазеров на сапфире, активированном
титаном, генерирующих регулярную последовательность воспроизводимых фемтосекундных импульсов.
В оптике происходит процесс вполне аналогичный происшедшему в
электронике, где на смену радиоэлектронике, которая оперировала модулированными колебаниями, пришла импульсная и цифровая электроника.
Поэтому импульсную оптику можно рассматривать как важную часть прикладного направления физики лазеров – оптической электроники. Оптическая электроника развивает методы передачи, хранения и обработки информации используя оптические принципы. Наряду с развитием технологий оптоэлектроники: волоконных световодов и устройств на их основе,
оптических устройств хранения информации, а также интегральнооптических устройств, важнаую часть оптоэлектроники составляет разработка методов генерирования коротких (пико- и фемтосекундных) лазерных импульсов, измерение их параметров и управления формой. Успехи
этого раздела науки привели к осознанию необходимости дополнения
классической оптики линейной и нелинейной оптикой лазерных импульсов. Разработка методов генерирования предельно коротких фемтосекундных оптических импульсов привела к возможности изучения разнообразных биологических, химических, плазменных и др. процессов, столь малой
длительности, которые ранее была недоступны для изучения электронными методами.
Сравнительно небольшая энергия порядка 1 Дж в импульсе длительностью несколько десятков фемтосекунд создает возможность концентрации световой энергии в сотни ТерраВатт в небольшом объеме. Возбуждение вещества такими импульсами обещает большие возможности в изучении высокотемпературной плазмы, внутриядерных процессов оптическими
методами, ускорении частиц и даже решении проблемы управляемого термоядерного синтеза.
Процессы взаимодействия ультракоротких импульсов с веществом
радикально отличаются от хорошо изученных стационарных условий тако6
го взаимодействия. Здесь становятся доминирующими процессы когерентного взаимодействия света с веществом, которые включают в себя новые и
пока слабо изученные экспериментально явления когерентного поглощения и усиления света, сверхизлучения, фотонного эха, оптической нутации.
Экспериментальное исследование этих явлений становится важным разделом импульсной оптики.
Описание процессов распространения света строится на основе линейных или нелинейных волновых уравнений, в которых пространственные координаты и время входят почти симметричным образом. Поэтому,
наряду с классическими волновыми явлениями, наблюдаемыми в пространстве, существуют временные аналоги этих явлений, например, временная фокусировка, временная дифракция и временная интерференция
импульсов.
Наблюдение этих явлений стало возможным только в последнее время, когда появились возможности генерирования и регистрации когерентных ультракоротких лазерных импульсов, а также волоконные световоды,
в которых свет распространяется без существенных потерь на значительные расстояния, превышающие километр.
Пространственная дифракция светового пучка на щели или отверстии
аналогична процессу расширения импульса по мере его распространения в
среде с дисперсией. Временная интерференция возникновение дополнительной модуляции огибающей в последовательности импульсов при их
перекрытии в процессе их распространения в диспергирующей среде. Умножение числа импульсов в последовательности – временной аналог пространственного эффекта Тальбота. Временная фокусировка процесс дисперсионного сжатия одиночных чирпированных импульсов.
Наряду с несущей частотой, интенсивностью, формой и шириной огибающей импульса лазерные импульсы, как правило, обладают чирпом –
положительным или отрицательным дрейфом мгновенного значения несущей частоты от начала к концу импульса. Распространение импульса в
среде или через оптическое устройство с дисперсией также сопровождается чирпом. Это означает, что в процессе распространения импульса его
огибающая и спектр непрерывно перестраиваются. Поэтому само классическое определение спектра для ультракороткого импульса уже не применимо, а спектр и огибающая импульса перестают быть однозначно связанными. Поэтому для полного описания ультракороткого импульса необходимо введение ряда новых параметров, описывающих их свойства и развитие соответствующих методов расчетов и измерений (глава 1).
Классическая оптика оперирует световыми волнами, испущенными
тепловыми источниками – непрерывными или ограниченными волновыми
цугами, которые можно описывать методами статистической оптики. Лазерное излучение принципиально отличаются пространственной и временной когерентностью, оно аналогично детерминированным радиоволнам.
Поэтому перенесение идей и методов статистической оптики к описанию
7
всех процессов генерирования, преобразования или регистрации лазерных
импульсов вряд ли оправдано (глава 2). Здесь ситуации более соответствует модель детерминированного излучения.
В процессе формирования ультракоротких импульсов в лазерном резонаторе их интенсивности и длительности таковы, что в игру неизбежно
вступают мало изученные процессы когерентного взаимодействия излучения с веществом. В разделе, посвященном проблемам генерирования ультракоротких импульсов, авторы предлагают новый подход, отличающийся
от принятого в литературе. В соответствии с этим подходом, причина генерации ультракоротких импульсов лазерами заключается не в процессах
нелинейной автомодуляции лазерного излучения, а в процессах когерентного взаимодействия излучения с активной средой, в частности, сверхизлучения.
Методы экспериментального измерения параметров пико- и фемтосекундных импульсов, распространяющихся в линейных и нелинейных средах, интенсивно исследуют в настоящее время. Основой таких измерений
служат измерения корреляционных функций излучения (раздел 1.7).
Как показали наши исследования, корреляционные функции лазерных
импульсов могут использоваться также для определения дисперсионных
параметров волоконных световодов и лазерных резонаторов и даже для
прогнозирования надежности полупроводниковых лазеров (раздел 7).
При традиционном построении научных монографий основное внимание обычно уделяют описанию теоретических моделей рассматриваемых явлений и устройств, и математическим выкладкам в рамках этих моделей. При этом в изложении стараются избегать обсуждения спорных вопросов и парадоксов. Это придает работе солидность и позволяет авторам
избегать критики, но не способствует развитию науки, так как усыпляет, а
не будит творческую мысль читателя.
Авторы настоящей монографии сторонники нетрадиционного подхода. В основу изложения положен эксперимент. Используемые теоретические модели тесно связаны с экспериментом и обоснованы экспериментом.
Авторы взяли на себя смелость обсуждать дискуссионные вопросы, связанные с трактовкой некоторых основополагающих понятий оптики и физики лазеров. Выводы, сделанные при этом, оказались иногда достаточно
неожиданными и отличающимися от общепринятых.
В области импульсной оптики в научной литературе основное внимание уделяют нелинейным явлениям распространения и взаимодействия
ультракоротких импульсов с веществом. Цель данной монографии – обратить внимание на важность рассмотрения линейных эффектов. И при линейном распространении ультракоротких импульсов в среде с дисперсией
возникает целый ряд новых и нетривиальных временных, интерференционных и дифракционных временных эффектов (разделы 5 и 6).
Под лазерным импульсом мы понимаем квазимонохроматические
импульсы когерентного оптического излучения длительностью менее
8
10-9 секунды, распространяющиеся в виде плоской линейно поляризованной волны, или волны в одномодовом световоде.
Когерентность излучения означает, что у импульсов реально существует несущая оптическая частота излучения под некоторой огибающей.
Эта несущая частота непосредственно регистрируется при измерении автокорелляционной функции излучения с разрешением интерференционных
полос. Мы не рассматриваем некогерентные импульсы, а также импульсы
содержащие малое число колебаний или вообще однополярные импульсы
без несущей частоты, аналогичные импульсам в электронике (которые в
оптическом диапазоне пока не получены).
Исследования особенностей генерирования и распространения лазерных импульсов в различных линейных и нелинейных средах проводящиеся
на протяжении около 30 лет, обнаружили большое число оптических явлений. Мы пока исключаем из рассмотрения вопросы распространения импульсов в нелинейных средах и эффекты когерентного взаимодействия
света и вещества. В линейной области оптики лазерных импульсов существует достаточное число заслуживающих внимания, в том числе и дискуссионных вопросов, которые надо рассмотреть в первую очередь.
Некоторые результаты данной монографии были получены в лаборатории импульсной оптики Могилевского отделения Института физики
Академии наук Беларуси, существовавшей в 1972 ... 1992 гг. Авторы выражают искреннюю благодарность сотрудникам этой лаборатории, которые участвовали в экспериментах и обсуждении проблем: В.А. Иванову,
Н.И.Кабаеву, В.А. Юревичу, В.П. Минковичу, а также директору отделения в то время академику НАН РБ А.М. Гончаренко.
9
I. ЛАЗЕРНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ. ОСНОВНЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ И МЕТОДЫ ИХ ИЗМЕРЕНИЯ
1.1.
Волны
Представления о волнах появилось задолго до появления науки. Однако, на сегодняшний день дать исчерпывающее определение того, что
следует понимать под волновым движением невозможно – настолько многообразны такие явления. Создать физическую модель, всесторонне описывающую все волновые явления невозможно. Волновые явления универсальны, они лежат в основе всей Природы. Поэтому число возможных
волновых процессов неограниченно велико. Практически вся современная
физика изучает волны. Библейское представление о том, что в основе всего
лежит свет приобретает все большее распространение и среди физиков.
Изучение волнового движения, или того, как распространяются колебания в пространстве, привело к возникновению физического понятия
«волна». В физике волной называют всякое изменение во времени и пространстве физической величины. Волнами называют не только периодическое чередование максимумов и минимумов физической величины, но и
всякое явление, при котором в пространстве происходит распространение
кратковременного возмущения, «толчка» или импульса данной величины.
1.2.
Волновое уравнение
Следуя классикам математики, рассмотрим произвольную функцию
координаты x и времени t ( a и b – константы):
f ( at  bx ) .
(1.1)
Если продифференцировать эту функцию дважды по времени, то получим, что
2 f
 f at  bx a 2 .
2
t
Дифференцирование этой же функции дважды по x дает:
2 f
 f at  bx b 2 .
2
x
Сравнивая приведенные уравнения, легко увидеть, что исходная
функция удовлетворяет одномерному волновому уравнению:
2 f a2 2 f
 2
.
t 2
b x 2
(1.2)
Этому же уравнению удовлетворяет и произвольная функция
f ( at  bx ) .
(1.3)
10
а также сумма функций (1.1) и (1.3), которые описывают плоские волны,
распространяющиеся во встречных направлениях со скоростью v  a b .
Волновые уравнения исследовали великие математики 18 века: Даламбер, Лаплас, Эйлер, Фурье. Из линейности волнового уравнения следует, что, если ему удовлетворяют набор функций, то ему также удовлетворяет и сумма этих функций (принцип суперпозиции).
Важнейший вид функций, удовлетворяющих волновому уравнению,
описывает плоские гармонические волны f  A cost  kx  , где А – амплитуда волны,  - круговая частота,  , k  2    v – волновое число,
 – длина волны, v – скорость перемещения волнового фронта волны. В
этом легко убедиться, если продифференцировать эту функцию по времени и координате и подставить в волновое уравнение.
На основании принципа суперпозиции можно утверждать, что волновому уравнению удовлетворяет всякая функция, представляющая собой
сумму гармонических волн вида:
s  A1 cos 1 t  x v   A2 cos 2 t  x v   ...
(1.4)
Функция (1.4) есть ни что иное, как амплитудный спектр сложного
колебания. С помощью такой суммы (ряда или интеграла Фурье) можно
представить несинусоидальную волну или одиночный короткий импульс
достаточно произвольной формы, распространяющихся без деформации в
сторону возрастающих значений координаты x .
Обобщение волнового уравнения на случай трехмерного декартова
пространства приводит к известному линейному волновому уравнению в
частных производных второго порядка
1  2u
u  2 2 ,
v t
где  обозначает оператор Лапласа, который в зависимости от физической
постановки задачи может записываться в декартовых, либо в криволинейных (сферических, цилиндрических) координатах.
1.3.
Единицы измерений
Основные измеряемые физические величины, характеризующие свет,
точно определены именно для плоской монохроматической волны в вакууме. Это интенсивность (I = Е2), длина волны (), волновой вектор (k),
частота (,), фазовая скорость света (с), вектор Пойнтинга S, характеризующий поток энергии, переносимый, переносимый волной, который в
русскоязычной литературе иногда называют вектором Умова-Пойнтинга.
Специфика ситуации, сложившаяся в физике и технике измерений на
сегодняшний день, заключается в том, что исследователи вынуждены
11
пользоваться двумя системами единиц измерений: СИ и абсолютной
гауссовой. По историческим причинам для описания магнитного поля в
качестве основной величины в СИ избран вектор напряженности магнитного поля Н. По современным представлениям силовой характеристикой
магнитного поля является вектор В, неудачно названный вектором магнитной индукции, хотя именно он имеет смысл напряженности магнитного
поля в вакууме. Сила, действующая на движущийся электрический заряд в
электромагнитном поле, определяется именно векторами Е и В. Магнитная
составляющая поля в вакууме описывается вектором В. Напряженность
магнитного поля Н в современных учебниках называют вспомогательным
вектором. Он описывает поле в магнитной среде. В вакууме Н имеет тот
же смысл, что и В. Тем не менее, поскольку оба вектора отличаются лишь
постоянным множителем В = 0Н, где 0 – магнитная проницаемость вакуума, названная магнитной постоянной, для описания магнитного поля в
вакууме формально используют оба вектора. Таким образом, в системе СИ
одну и ту же характеристику электромагнитного поля – магнитное поле в
вакууме описывают двумя разными величинами, имеющими к тому же
разные размерности (В [Тесла] и Н [Ампер/метр]).
Неувязка существует и для электрической составляющей поля. В вакууме ее описывают векторами Е или D, также имеющими один и тот же
смысл и разные размерности D = 0Е, где 0 — диэлектрическая проницаемость вакуума, называемая электрической постоянной. Существование
размерности у величин диэлектрической и магнитной проницаемости вакуума 0 и 0, стыдливо названных в СИ диэлектрической и магнитной постоянными, приводит при описании поля в среде к необходимости введения излишних величин: абсолютных и относительных диэлектрической и
магнитной проницаемостей среды.
Электромагнитное поле в физике описывают тензором, составляющие
которого суть пространственные компоненты векторов В и Е, должны выражаться в одинаковых единицах. Этому условию система СИ не удовлетворяет. Поэтому для физического описания электромагнитного поля применение в качестве основных векторов В и Е, а также гауссовой системы
единиц обязательно.
Анахронизмом стала световая система единиц измерений, принятая в
СИ. Основные фотометрические понятия в большинстве разделов оптики
уже давно выражают в энергетических единицах, хотя в СИ и существует
основная световая единица измерений: сила света – кандела (по здравому
смыслу основной фотометрической величиной должен быть световой поток энергии) и целый ряд вспомогательных величин, связанных с ней. В
СИ мы наблюдаем явное нарушение принципа Оккама, который должен
неукоснительно соблюдаться в науке: «Не вводи без надобности излишних
сущностей».
По приведенным выше и по ряду других причин в физике при описа12
нии света и электромагнитного поля международную систему СИ обычно
не применяют. Вместо нее используют гауссову систему единиц, в которой
векторы напряженности электрического поля и магнитной индукции измеряют в одинаковых единицах, магнитная и электрическая постоянные равны безразмерной единице и нет абсолютных диэлектрической и магнитной
проницаемостей вещества. Это позволяет описывать электромагнитное поле без применения излишних коэффициентов и с использованием величин
в соответствии с их реальным физическим смыслом.
Однако, все приборы измеряют величины в международной системе
единиц СИ. Поэтому на стадии сравнения расчетов с измерениями при необходимости приходится производить перерасчет полученных теоретических результатов в систему СИ.
Существующие недостатки международной системы единиц измерений и устойчивость устаревших представлений приводят к разночтениям в
литературе. Часто авторы не оговаривают, какой системой единиц они
пользуются: общепринятой гауссовой или стандартной СИ. В уравнениях
Максвелла для поля в вакууме используют написание как с векторами Н и
D, так и с В и Е. Иногда в приводимых формулах используют произвольную смесь систем единиц измерений.
1.4.
Фотон
Плоская монохроматическая волна с циркулярной поляризацией (фотон) – математическая абстракция, в природе не существующая. Атом не
может быть источником таких волн, так как при этом он должен иметь
бесконечные размеры. Бесконечная монохроматическая волна вечна, так
как не имеет ни начала, ни конца. При интегрировании по всему пространству вследствие конечной объемной плотности энергии у такой волны получается бесконечно большая энергия.
Тем не менее, при решении практических задач оптики представление
о плоской монохроматической электромагнитной волне в большинстве
случаев оказывается разумной идеализацией. В оптике эта модель имеет
такое же значение, как материальная точка в механике. При классическом
описании электромагнитного поля, в силу линейности волновых уравнений, реально существующие волны можно представлять суперпозицией
плоских волн с линейной поляризацией, имеющих разные частоты и направления поляризации и распространения.
За элементарное возбуждение в оптике принято понятие "фотон" или
световой квант – бесконечной плоской монохроматической волны с круговой поляризацией, переносящего энергию h , импульс h c и момент
импульса h 2 . В процессе "излучения атомом фотона" сохраняются энергия, импульс и момент импульса. Хотя очевидно, что атом принципиально
не может излучить фотон мгновенно (так, как это предполагается в кванто13
вой механике), излучение ограничено во времени (процесс излучения имеет начало и конец), а атом, как точечный источник света, не может излучать плоскую волну. Поэтому понятие о фотоне как частице и волне крайне противоречиво. Это понятие – головная боль физиков. А. Эйнштейн, в
свое время предложивший модель фотона, предполагая, что он существует
как реальная частица [1], в конце жизни писал о том, что после 50 лет размышлений он так и не смог понять, что же такое световой квант [2].
Попытки представить фотон как волновой пакет конечной длительности окончились полным провалом. Время жизни возбужденных состояний
при оптических переходах в электронных оболочках атомов имеет порядок
10-8 секунды. Поэтому элементарный волновой пакет, испускаемый единичным атомом, должен иметь протяженность около 3 метров. Спектр такого волнового пакета должен иметь ширину около 100 МГц. Ширину такого спектрального контура можно легко измерить с высокой точностью с
помощью интерферометра Фабри-Перо. Поэтому достаточно сильное ослабление монохроматического света, когда фотоны будут следовать, по
одному, как кажется, должно приводить к его спектральному уширению до
указанной величины. Прямые эксперименты показали, что сильное ослабление света, когда фотоны должны следовать по-отдельности, и регистрироваться как отдельные фотоотсчеты, не приводит ни к какому уширению
спектра. Спектральное разложение можно осуществлять до бесконечности
для световых потоков минимально регистрируемой интенсивности. Предельно ослабленное монохроматическое излучение остается монохроматическим.
В современной физике фотон чаще считают частицей, то есть точечным объектом, возникающим при перестройке структуры элементарных
частиц, ядер или электронных оболочек атомов, квантом электромагнитного поля, который распространяется со скоростью света, но не имеет массы.
А что такое частица без массы, где она находится и каким образом измерить ее скорость, обычно не поясняют, полагаясь на фантазию читателя.
Чтобы избежать недоуменных вопросов такого типа у неискушенного
читателя, его следует предупредить, что современная теоретическая физика уже давно отказалась от описания природы с помощью реально существующих объектов. В теоретической физике используют модели -объекты,
не существующие в природе в действительности (материальные точки,
волны вероятности, фотоны, фононы, экситоны, кварки и т.д.), которые
упрощают ситуацию и позволяют с высокой точностью описывать некоторый ограниченный круг реальных физических явлений. В сущности, весь
ход развития науки это путь создания предельно простых абстрактных понятий, которые и дают возможность создавать логически строгое математическое описание природных явлений. В оптике, естественно, простейший объект – плоская линейно поляризованная электромагнитная волна в
пустом пространстве (вакууме). Такую волну можно представить как су14
перпозицию двух квантов света с одинаковой энергией, распространяющихся в строго одинаковом направлении и обладающих соответственно
правым и левым направлениями вращения векторов напряженности электрического поля.
При квантовомеханическом рассмотрении света произвольную волну
считают состоящей из набора квазичастиц: плоских монохроматических
волн с круговой поляризацией (правовинтовой или левовинтовой) – фотонов.
Фотоны считают независимыми гармоническими осцилляторами. Фотон есть мода электромагнитного поля бесконечного неограниченного
пространства. Энергия фотона постулируется конечной и равной h . В
квантовомеханических расчетах реально наблюдаемые величины напряженностей полей заменяют операторами рождения и уничтожения фотонов. Пространственные координаты здесь играют роль простых параметров, а не физических величин. Это позволяет предполагать, что рождение и
уничтожение фотона происходит мгновенно (чего в действительности
быть не может). Волновая функция поля – абстрактная вспомогательная
математическая функция, которая описывает вероятность состояния поля
излучения во времени. Еѐ не следует путать с функциями, описывающими
реально существующие собственно физические поля.
В квантовой механике при описании процессов взаимодействия света
с веществом формально удается избавиться от трудных вопросов о реально
существующей квантово-полевой микроструктуре вещества и поля. Однако, ответ на этот вопрос все же необходимо искать, но уже на основе каких-то других, не квантовомеханических подходов.
При решении многих задач оптики и в теории лазеров широко используют полуклассический подход, в котором световое поле рассматривают в
рамках классических волновых уравнений, а учет взаимодействия света с
веществом производят методами квантовой механики. Такой подход, хотя
он и не отличается строгостью, позволяет создавать теоретические физические модели, адекватные с определенной точностью практически любому
реальному процессу, будь то распространение света в веществе или световоде, излучение и поглощение света атомной системой или работа лазера.
Широко распространенный подход к описанию оптических явлений –
использование методов статистической оптики. Методы статистической
оптики особенно эффективны:
• при регистрации предельно слабых световых потоков, когда на
первый план выходит квантовый характер поглощения света фотоприемником, а распределение фотоотсчетов подчиняется статистическим закономерностям;
• при исследовании особенностей формирование изображения оптической системой, в том числе при наличии в системе регистрации неоднородной среды;
15
• при исследованиях когерентности волн, испущенных тепловыми
источниками света.
Методы статистической оптики часто без должного обоснования переносят в область исследования лазерного излучения, где все же, больше
оправдано детерминированное, классическое описание поля.
Иногда считают, что теорию радиотехнических сигналов, развитую в
50... 60-е годы 20 века, можно полностью переносить в область оптики лазерных импульсов. Практика показала, однако, что в оптической области
реализуется принципиально иное сочетание параметров по сравнению с
радиотехникой. Здесь, наряду с явлениями, характерными для радиодиапазона, наблюдают ряд новых эффектов, которые могут наблюдаться только
в оптическом диапазоне. Это связанно с особенностями взаимодействия
электромагнитных волн с веществом, имеющих более высокие, чем в радиодиапазоне, оптические частоты. В оптических процессах объемная
плотность энергии может на много порядков превосходить ее значения,
достижимые в радиодиапазоне. Длительности оптических импульсов могут быть значительно меньше всех времен релаксации вещества. Поэтому в
оптике ультракоротких импульсов существенны когерентные, нелинейные
и дисперсионные эффекты, не наблюдаемые в радиодиапазоне.
Успехи теории и практики в изучении конкретных явлений и процессов, тем не менее, не устраняют необходимости поиска ответов на фундаментальные проблемы оптики, так и оставшиеся нерешенными и загадочными. Это и делает оптику наукой, по-настоящему интересной для исследований, открытой для принципиально новых идей.
1.5.
Световые волны
Основу оптики составляет система уравнений Максвелла. Они связывают основные физические величины: напряженности электрической и
магнитной составляющих поля и параметры среды (или вакуума), в которой существуют волны.
Из уравнений Максвелла следуют волновые уравнения для поперечных электромагнитных волн. В простейшем случае волн в вакууме или в
изотропной однородной диэлектрической среде уравнения Максвелла распадаются на две группы симметричных уравнений для напряженности
магнитного и электрического полей. В каждой точке пространства векторы
этих полей равны друг другу по модулю и взаимно перпендикулярны. Поэтому электромагнитные волны в вакууме и в прозрачных диэлектриках
оказалось возможным описывать с помощью единственного волнового
уравнения только для магнитной или только для электрической составляющей поля.
Уравнения Максвелла и волновые уравнения, однако, не универсальны. В своей простейшей форме они не позволяют описывать процессы в
16
оптике быстро движущихся зарядов, взаимодействие света с атомами, нелинейные и когерентные волновые явления.
При движении зарядов, взаимодействующих с полем, теряют смысл
независимые определения электрического и магнитного поля. Эти величины оказываются связанными друг с другом и зависящими от скоростей
движения источников и приемников света. Здесь становится необходимым
оперировать понятием единого электромагнитного поля, которое описывают тензором. Напряженности электрической и магнитной составляющих
электромагнитного поля – составляющие этого тензора.
В нелинейной оптике становится существенной зависимость свойств
среды от интенсивности поля.
Описание взаимодействия света с веществом невозможно без использования квантовых представлений.
Простейшее решение волнового уравнения – плоская линейно поляризованная волна. Плоская волна распространяется вдоль некоторой прямой.
Для описания плоской волны координатную ось выбирают совпадающей с
этой прямой. Фаза волны (и амплитуды ее электрической и магнитной составляющих) в фиксированный момент времени постоянна в произвольной
плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны. Скорость распространения плоскости постоянной фазы, которая перпендикулярна направлению распространения плоской волны, принято называть
фазовой скоростью света с.
В общем случае под фазовой скоростью понимают скорость перемещения фазы волны вдоль координатной оси. Поэтому в любом другом направлении, составляющем угол  с этой осью, скорость перемещения фазы
vф превышает с. v ф  c cos   kcos . Для малых  фазовая скорость может в произвольное число раз превышать с. Такая ситуация, когда vф > с
возникает при рассмотрении световых пучков или волн в оптических волноводах. В резонансно поглощающей среде импульс излучения может распространяться с бесконечно малой скоростью, а в усиливающей среде его
скорость может стремиться к бесконечности.
1.6. Интенсивность света
В линейной оптике ультракоротких импульсов можно отказаться от
квантового рассмотрения, и описание электромагнитного поля вести, оставаясь в рамках классических представлений. При этом в большинстве случаев рассматривается распространение света в немагнитной среде вдали от
ее резонансных частот. Поэтому электромагнитные волны можно описывать, пользуясь единственным силовым вектором - напряженностью электрического поля Е. Энергия и мощность поля однозначно связаны с Е.
Прямые измерения Е пока невозможны, ввиду высокой частоты оптиче17
ских колебаний. Поэтому значение амплитуды электромагнитных колебаний можно определять по измеряемым величинам – плотности переносимой ими энергии или мощности поля. К сожалению, энергию и мощность
светового поля измерить с высокой абсолютной точностью, превышающей
хотя бы 1%, также затруднительно.
Ситуация существенно улучшается при переходе к цифровым методам регистрации непрерывного излучения постоянной мощности. Это излучение можно сильно ослабить и реализовать «счет фотонов». При этом
точность измерений может быть произвольно высокой, так как она будет
ограничена только длительностью измерения и нестабильностью источника света.
У непрерывных лазеров основной энергетический параметр – мощность излучения. Лазерный импульс характеризуют энергией и дополнительно максимальной или средней мощностью импульса. Эти величины
измеряют в Ваттах и Джоулях. Световые фотометрические единицы в лазерной физике не применяют.
В данной монографии везде используется понятие интенсивность
света, которая равна квадрату амплитуды колебаний вектора напряженности электрического поля волны I = Е2.
Иногда понятию интенсивности света дают другое определение. Интенсивность связывают с потоком энергии световой волны. При этом, интенсивность оказывается пропорциональной квадрату амплитуды колебаний электрического вектора волны с некотором коэффициентом пропорциональности. Никаких преимуществ такое определение интенсивности,
по сравнению с приведенным выше, не имеет.
В общем случае вектор потока энергии плоской световой волны (в гауссовой системе единиц) имеет вид S  cEB  4 . Как известно, для линейно поляризованной бегущей волны, распространяющейся вдоль оси z в
положительном направлении, можно положить Е = Еx , В = Ву, причем Еx =
Ву (Еx измерено в ед.СГСЭv/см). Поток энергии S z 
c 2
E x (эрг см-2сек-1)
4
равен плотности энергии (в эрг/см3), умноженной на скорость света (в
см/сек). Объемная плотность энергии w  E x2 4 .
Мгновенное значение вектора S всегда положительно, изменяется от
нуля до некоторого максимального значения вдоль координаты x и времени и не является измеряемой величиной. Физический смысл имеет не сам
вектор S, а среднее или эффективное значение этого вектора, которое характеризует энергию, переносимую волной.
Для монохроматической волны колебания электрического вектора зависят от времени E x  A cost  kz  . В этом случае модуль вектора Пойнтинга S  cA2 cos 2 t  kz  4 . Оптические колебания происходят так быстро, что прямые электронные методы регистрации изменения во времени
18
непосредственно электрической и магнитной составляющих поля отсутствуют. Такие измерения возможны лишь в области сравнительно низкочастотных электромагнитных колебаний, в радиодиапазоне. Поэтому иногда
интенсивностью световой волны считают средний за период колебаний
поток энергии.
c T 2
c 2
~
I S 
A cos 2 t  kz dt 
A .

4T 0
8
В вакууме электрический и магнитный векторы волны (измеренные в
гауссовой системе единиц) равны друг другу, так же, как энергия этих составляющих поля. В диэлектрике
By   Ex ,
поскольку магнитная проницаемость диэлектрика мало отличается от единицы. Зависимость поля, распространяющегося в сторону возрастания z, от
переменных величин имеет вид:
E x  A cost  kz  ,
B y   A cost  kz  ,
где А – амплитуда колебаний. E x и B y всегда имеют одинаковый знак,
следовательно S  0 , т.е. энергия волны течет в одну сторону.
Среднее значение функции cos 2 равно 1/2. Усредненное по времени
значение поверхностной плотности светового потока, которое и регистрируется неподвижным фотоприемником с известной площадью фотоприем1
ной площадки, равно S ср  A2 .
2
При работе с переменными полями и токами принято пользоваться
A
эффективными значениями токов и напряжений, т.е. E эф 
. Тогда
2
2
S  E эф
.
Таким образом, значение интенсивности света, определяемое как
средний за период световых колебаний поток энергии, связано с квадратом
эффективного значения напряженности электрической составляющей поля
соотношением:
~ c ~2 c 2
I S 
E 
E .
4
8
19
Рассмотрим на конкретном примере, как плотность потока энергии
связана с напряженностью электрического поля излучения. Измерения
обычно проводят в системе СИ. Поэтому приведенные выше соотношения
необходимо перевести в эту систему:
Пример. Непрерывный одночастотный лазер излучает в воздухе поток излучения 1 мВт в пучке с поперечным сечением 1 мм. Определим эффективное значение напряженности электрического поля в пучке. Поверхностная плотность потока энергии в пучке равна:
S  10 3 Вт 10-6 м 2  103 Вт м 2 .
Объемная плотность энергии в пучке
W  S c  103 3  108  3,3  10 6 Дж м 3  .
2
В воздухе W   0 Eэф
.
3,3  10 6
В
E эф 

 610 .
12
0
8,86  10
м
Средняя по поперечному сечению пучка амплитуда колебаний электрического вектора равна Е = 860 В/м.
Регистрацию интенсивности света осуществляют с помощью приемников излучения, в которых энергия оптического излучения, так или иначе, преобразуется в электрический сигнал. Полученный электрический
сигнал от приемника исследуют с помощью электронного измерительного
прибора, позволяющего определить амплитуду сигнала или его изменение
во времени. В современной физической лаборатории электрический сигнал
от датчиков преобразуют с помощью аналого-цифрового преобразователя
в цифровую форму и анализируют с помощью компьютера.
Таким образом, измерение интенсивности света сводят к универсальным электрическим измерениям. Такие измерения возможны, если длительности измеряемых электрических величин лежат в радиодиапазоне,
т.е. для характерных времен не короче ~ 10-10 секунды.
W
1.7.
Приемники излучения
Удивительно то, что частота и длина волны излучения лазера могут
быть измерены с точностями до 10 значащих цифр, а энергия и мощность
его излучения – в лучшем случае до ~ 1%. Это связано с трудностями, возникающими при преобразовании сигнала, пропорционального энергии и
мощности, в цифровую форму с высокой точностью.
Приемники излучения по принципу действия можно разделить на две
основные группы: фотоэлектрические и тепловые.
Тепловые приемники, например, термоэлементы, болометры обладают большой постоянной времени. Они регистрирует сигнал, который оп-
20
ределяется по изменению температуры чувствительного элемента, возрастающей при поглощении регистрируемого излучения. Время тепловой релаксации макроскопического тела, естественно, на много порядков превышает период оптических колебаний. Такие приборы используют для регистрации постоянных или медленно изменяющихся во времени сигналов.
В фотоэлектрических приемниках используют явление фотоэффекта,
которое позволяет регистрировать быстро изменяющиеся во времени поля,
но все же не с оптическими частотами. Вакуумные фотоэлементы и фотоумножители (ФЭУ) используют внешний фотоэффект. Электроны вырываются с поверхности фоточувствительного слоя при его освещении.
В фотодиодах и фотосопротивлениях используют внутренний фотоэффект. Воздействие света на некоторые полупроводниковые материалы
приводит к появлению в объеме материала свободных носителей заряда. В
результате увеличивается электропроводность материала (фотопроводимость). Если освещают область р-п-перехода полупроводникового фотодиода, то на его выводах появляется фотоэдс в результате разделения зарядов внутренним электрическим полем р-п-перехода.
Таким образом, процесс фотоэлектрической регистрации света носит
принципиально квантовый характер. Поэтому регистрируемый фототок
неизбежно содержит флуктуации. Сигнал фотоприемника состоит из суммы сигналов, соответствующих поглощению единичного кванта света –
одноэлектронных импульсов. Длительность такого импульса и возможность его независимой регистрации зависят от параметров фотоприемника.
В самом элементарном процессе поглощения фотокатодом кванта света и
возникновением фотоэлектрона, как показывают опыты, нет никакой временной задержки. Фотоэлектроны возникают с некоторой вероятностью
сразу же после начала освещения фотокатода сколь угодно крутым фронтом светового импульса.
Для стандартного фотоумножителя длительность одноэлектронного
импульса составляет ~ 10-9 секунды. Она определяется процессами разгруппирования электронов в лавине, порожденной первичным фотоэлектроном, и паразитными емкостями устройства. В современных полупроводниковых фотоприемниках минимальная длительность отклика на дельта-импульс составляет 0,1...1 нс.
Сигнал произвольной формы, в том числе непрерывный и постоянный, в фотоэлектрическом приемнике складывается из большого числа одноэлектронных импульсов.
1.8.
Регистрация предельно слабых световых потоков
Для регистрации отдельных световых квантов используют специальные приборы: счетные фотоумножители или счетные лавинные фотодио21
ды. Одноэлектронный сигнал, создаваемый такими приборами, усиливают
и регистрируют с помощью электронных счетчиков. Некоторая часть таких
сигналов неизбежно связана не с полезным сигналом, а с шумами системы
регистрации. Таким образом «счетчик фотонов» всегда регистрирует сумму: сигнал + шум. Для измерения числа шумовых импульсов свет, попадающий на фотокатод, периодически перекрывают на время, равное периоду измерения. При этом регистрируют только число шумовых импульсов. Полезный сигнал получают путем вычитания из средней скорости
счета импульсов скорости счета шумовых импульсов.
Регистрация отдельных квантов света возможна, если на выходе фотоприемника поставить дискриминатор – устройство, пропускающее только одноэлектронные импульсы с амплитудой, превышающей некоторое
пороговое значение, характерное для конкретного прибора.
При регистрации предельно слабых световых потоков каждый одноэлектронный импульс может регистрироваться отдельно, как фотоотсчет.
Предположим, что регистрируется сильно ослабленное излучение непрерывного одномодового лазера, стабилизированного по интенсивности и
частоте излучения. Регистрация сигнала в этом случае сводится к подсчету
числа фотоотсчетов. Опыт показывает, что фотоотсчеты и в этом случае
следуют не регулярно, а хаотически, подчиняясь статистическим законам.
Среднее число фотоотсчетов за некоторый большой временной интервал,
значительно превышающий средний период следования импульсов, пропорционально интенсивности волны. Этот процесс подчиняется вероятностному закону больших чисел, который ограничивает точность измерений
при малом числе регистрируемых событий. Вероятность наблюдения фотоотсчета в малом временном интервале описывается статистическим распределением Пуассона.
Свет одномодового лазера обладает меньшими шумами по сравнению
с любыми тепловыми источниками света, так как в излучении лазера отсутствуют классические флуктуации интенсивности. Здесь существенны
только квантовые флуктуации.
Таким образом, существуют две области интенсивностей с принципиально различающиеся по способу регистрации:
1. Область малых интенсивностей, в которых «кванты света» регистрируют путем подсчета числа фотоотсчетов. Значение минимального светового потока, который можно зарегистрировать, определяется фактически
временем измерения и флуктуациями самого потока. Реально регистрируют потоки, например, от слабо светящихся астрономических объектов ~
10-17 Вт/м2 при больших временах экспозиции, составляющих десятки минут или даже часов. Такие потоки в сотни раз меньше предельной чувствительности адаптированного к темноте глаза человека. «Счет фотонов» обусловлен возможностями вычитания шумов фотоприемника из сигнала и
накопления сигнала в течение большого промежутка времени. Эти воз22
можности появились с развитием экспериментальных методов цифровой
электронной обработки сигналов. Очевидно, что техника регистрации фотоотсчетов практически применима только к непрерывному или квазистационарному излучению,
2. Область высоких интенсивностей. Если с ростом интенсивности регистрируемого света одноэлектронные электрические импульсы фотоприемника начинают перекрываться со значительной вероятностью, то метод
счета фотоотсчетов становится неприменимым. Значение пограничной
мощности зависит от длительности одноэлектронного импульса фотоприемника. Для значений этой величины 10-9...10-10 секунды «счет фотонов»
возможен для световых потоков менее ~10-12 Вт/м2.
В случаях регистрации импульсного излучения во многих случаях
важно знание формы огибающей импульса. При передаче цифровых сигналов информации важна не форма импульса, а достоверный с высокой
степенью точности ответ на вопрос о наличии или отсутствии сигнала. Чем
меньше интенсивность регистрируемого импульса, тем выше уровень
квантовых шумов сигнала. Точность воспроизведения формы огибающей
светового импульса фотоприемником определяется, таким образом, числом квантов в этом импульсе.
Представление об огибающей волнового пакета привнесено в оптику
из радиотехники. Такое представление стало актуальным для лазерных
импульсов. Прямые корреляционные измерения однозначно свидетельствуют о существовании единственной монохроматической несущей частоты
излучения для последовательностей сверхкоротких лазерных импульсов,
характеризуемых широким спектром излучения.
Ясно, что фотоприемник не может регистрировать форму сигнала, который короче, чем длительность его одноэлектронного импульса. На сегодняшний день эта минимальная длительность ~10-10 секунды. Если регистрируется световой импульс меньшей длительности, то сигнал является
фактически формой временного отклика фотоприемника на дельтаимпульс. Это означает, что для прямых измерений ультракоротких оптических импульсов счет фотонов не применим. Следовательно, и
квантомеханический подход для измерения и описания поля лазерных
импульсов становится не адекватным экспериментальной ситуации.
1.9.
Регистрация быстрых изменений интенсивности излучения
электронно-оптической камерой
Современные время-анализирующие электронно-оптические камеры
теоретически обладают временным разрешением вплоть до ~ 0,5 фс [3]. В
этих приборах импульсное оптическое излучение с помощью фотокатода с
внешним фотоэффектом преобразуют в электронный импульс. Пучок электронов в вакуумированной колбе электронно-оптического преобразователя
23
с помощью элементов электронной оптики фокусируют на люминесцентный экран и разворачивают во времени поперечным относительно оси
пучка электрическим полем так, как это делается в электронном осциллографе. Для повышения интенсивности изображения в современных электронно-оптических камерах используют усилители электронного изображения на микроканальных пластинах.
Дебройлевская длина волны электронов с энергией в несколько десятков килоэлектронвольт соответствует сотым и тысячным долям нанометра.
Это означает, что в пучке электронов в принципе может быть достигнуто
временное разрешение, на несколько порядков превышающее период оптических колебаний.
На практике минимально достижимое временное разрешение ЭОП ограничено существованием разброса времени пролета электронов от фотокатода до экрана. Этот разброс связан с различием начальных скоростей
фотоэлектронов, кулоновским взаимодействием электронов в пучке и
аберрациями элементов электронной оптики прибора: фокусирующих
электроны линз и отклоняющих систем.
Повышение точности временных измерений достигается компьютерной обработкой развернутых во времени фотоэлектронных изображений.
Опыт использования в нашей лаборатории электронно-оптической
камеры «Агат» с временным разрешением в несколько пикосекунд показал, что высокого временного разрешения для успешного применения камеры недостаточно. Экспериментальной проблемой становится синхронизация начала развертки камеры с исследуемым ультракоротким процессом.
Такая синхронизация может осуществляться электронными методами с
максимальными точностями порядка наносекунды. Этой точности недостаточно для регистрации одиночных пикосекундных процессов. Поэтому
процесс регистрации необходимо проводить многократно ожидая удачного
случайного совпадения начала развертки с исследуемым процессом.
В случае использования квазинепрерывных лазеров, генерирующих
периодическую последовательность ультракоротких импульсов, ситуация
с синхронизацией развертки облегчается, так как ее в этом случае можно
вообще не осуществлять. Однако возникает другая проблема – паразитная
засветка экрана непрерывным лазерным излучением. Время срабатывания
затвора, перекрывающего луч непрерывного лазера, и защищающего ЭОП
от паразитной засветки также определяется возможностями электроники, а
это в лучшем случае наносекунды.
Таким образом, получение качественных экспериментальных данных
с помощью пикосекундной электронно-оптической камеры превращается в
далеко не простую задачу и не всегда возможно.
1.10.
Оптическое гетеродинирование
24
Сигнал фотоприемника представляет собой колебания фототока, который пропорционален интенсивности падающего на него излучения, т.е.
фототок пропорционален квадрату напряженности электрического поля
световой волны. Таким образом, фотоприемник осуществляет нелинейное
по полю преобразование оптического излучения в электрический сигнал.
Это означает, что при попадании на фотоприемник излучения с несколькими частотами его сигнал, будет содержать гармоники этих частот, а также разностные и суммарные частоты исходных колебаний.
Пусть на фотоприемник падают две плоские монохроматические волны с разными частотами, одна из которых эталонная. Тогда выходной ток
фотоприемника окажется промодулированным, в частности, и с частотой,
равной разности исходных частот. Если эта разностная частота находится в
радиодиапазоне, то ее можно с высокой точностью измерить с помощью
электронного частотомера. Такой экспериментальный прием, аналогичный
гетеродинированию, используемому в радиотехнике, назвали оптическим
гетеродинированием.
Оптическое гетеродинирование оказалось исключительно эффективным методом измерения частот лазерного излучения. Используя сравнительно инерционные устройства можно сравнивать частоты близких оптических колебаний. При наличии эталонных частот оптическое гетеродинирование позволит измерить с огромной точностью характерные частоты
колебаний атомов и молекул. Набор эталонных частот, перекрывающих
практически весь оптический диапазон с интервалом, равном частоте межмодовых биений (~ 80 МГц), как показали недавние исследования [4] можно получить от титан-сапфирового лазера, работающего в режиме синхронизации мод.
Эффективность оптического гетеродинирования сильно зависит от когерентности эталонного и исследуемого сигналов, а также от степени совмещения их плоских волновых фронтов. Поэтому сам метод стал доступен именно для лазерного излучения. Возможность реализации оптического гетеродинирования для лазеров, работающих в квазинепрерывном режиме, в том числе генерирующих предельно короткие импульсы, является
еще одним свидетелством детерминированного характера лазерного излучения.
Регистрация сигнала биений от двух независимых лазеров, а также
межмодовых биений может осуществляться с таким высоким спектральным разрешением, которое недостижимо средствами оптического спектрального анализа или оптической интерферометрии. При этом даже для
стандартных газовых лазеров безо всякой стабилизации частоты спектральная ширина полос биений на десять и более порядков меньше оптической частоты лазерного излучения. Это означает, что когерентные цуги
волн, излучаемые самыми обычными не стабилизированными лазерами,
содержат не менее 1010 периодов оптических колебаний. Ни о какой «шу25
мовой природе» лазерного излучения при этом, естественно, не может
быть и речи.
Оптическое гетеродинирование используют для непосредственного
измерения частот лазеров, стабилизированных по насыщенному поглощению эталонных веществ. Здесь используют тот факт, что частоты гармоник
в точности кратны частоте излучения основной частоты и, следовательно,
стабильны и могут быть измерены с той же точностью, что и основная частота.
Первые прямые измерения частоты видимого диапазона были осуществлены в 1979 г. [5]. В этой работе были измерены частоты гелийнеонового лазера, работающего в красной области спектра, стабилизированные по линиям поглощения молекул иода-127. Так, частота соответствующая линии g поглощения молекул иода, равна 473612340492 кГц.
Измерения оптических частот проводят путем точного измерения
частот лазеров, частоты которых последовательно повышаются от дальнего инфракрасного до видимого диапазона. Например, для измерения частоты гелий-неонового лазера был использован радиооптический мост, включающий в себя шесть последовательных измерений частоты (рис. 1.1). В
качестве элементов моста, в которых образуются частоты биений стабилизированных лазеров и клистронов, использовались полупроводниковые
диоды и диоды типа металл-окисел-металл (МОМ-диоды).
На первом этапе точно измеряют частоту клистрона с помощью частотомера, калибруемого по цезиевому стандарту частоты. Затем последовательно измеряют частоты цепочки промежуточных лазеров за счет смешения частот гармоник их излучения с точно измеренными частотами
клистрона.
Развитие работ по измерению оптических частот показывает, что воспроизводимость и стабильность частоты лазеров может значительно, на
много порядков превышать стабильность источников радио- и микроволнового излучения (мазеров). Исключительно большие возможности здесь
открывают лазерные методы охлаждения вещества, частоты поглощения
которого станут эталонными. Это позволяет полагать [6], что со временем
первичным эталоном единицы частоты (времени) и длины станет стабилизированный лазер, а передача значения единицы частоты будет осуществляться в обратном направлении – из оптического диапазона в микроволновый.
Измерение спектра межмодовых биений лазера с длиной резонатора
более 15 см легко осуществить с помощью высокочастотного фотоприемника. Обычно это лавинный фотодиод, на который направляют луч лазера,
и анализатора спектра, регистрирующего радиочастотный спектр сигнала.
Спектр межмодовых биений несет информацию о стабильности работы лазера и о наличии поперечных мод в лазерном луче.
26
27
1.11.
Спектр излучения
Возможность разложения света в спектр, открытая Ньютоном в 1666
г. в его хрестоматийных опытах с солнечным лучом и призмой, отполированной по-видимому им самим, стало событием в физике. Ньютон посчитал, что белый свет состоит из семи цветов, однозначно воспринимаемых
глазом. В 1672 г. Ньютон писал об этих опытах: "По моему мнению, они
являются наиболее значительным открытием, которое было сделано в естествознании".
Последующее развитие физики подтверждает это мнение. Введенный
Ньютоном метод разложения сложного колебательного процесса на простые составляющие – плоские монохроматические волны, широко применяют во всех разделах физики.
Все же чаще всего пользуются понятием частотного спектра колебаний. Спектр есть математическое понятие – совокупность строго монохроматических колебаний, составляющих данное сложное колебательное
движение.
В математике спектральное разложение описывают разложением
функции времени в ряд или интеграл Фурье.
В физике измерение спектра сводится к выделению почти монохроматических синусоидальных компонент при воздействии колебательного
процесса на спектральный прибор, Дискретную или непрерывную совокупность полученных при этом спектральных компонент, каждая из которых характеризуется интенсивностью и частотой, и называют спектром.
Условно оптические спектры как поглощения, так и испускания подразделяют на линейчатые и непрерывные. Дискретные спектры получают при
анализе излучения атомов и лазеров. Непрерывные спектры возникают при
неупорядоченном излучении большого числа некогерентных атомных излучателей, в том числе объединенных в молекулы. Тем не менее, любая
спектральная линия, считающаяся дискретной, обладает конечной шириной. Длина цуга волн, испускаемых любым источником, принципиально не
может быть бесконечной. В этом и заключается отличие физического понятия спектра от математического.
Математическое описание спектра содержит парадоксы: монохроматические составляющие спектра должны существовать и до начала самого
изучаемого процесса. При точном математическом вычислении спектра
приходится рассматривать процессы в бесконечных временных пределах.
Это приводит к необходимости введения отрицательного времени. При использовании в расчетах комплексного представления электромагнитного
поля возникают и отрицательной частоты. Если отрицательное время еще
можно принять, как время существовавшее до некоторого начального момента, в прошлом, то отрицательные частоты, очевидно, не имеют реального физического смысла. Тем не менее, логика математических расчетов
28
колебаний и спектров требуют учета всех частот, в том числе и отрицательных.
Процесс измерения спектра разрушает исходное колебание. Выделенная спектральным прибором почти монохроматическая составляющая
приобретает самостоятельное физическое существование, уже не зависящее от вызвавшего ее колебательного процесса. Идеальный спектральный
прибор в принципе позволяет выделять из исходного колебания монохроматический цуг волн сколь угодно большой длины и сколь угодно высокой
степени монохроматичности, зависящей только от разрешающей способности спектрального прибора, независимо от измеряемого процесса. Поэтому измерение спектра не позволяет ответить на вопрос типа: "Какие же
электромагнитные волны на самом деле элементарны?" Экспериментально
спектральное разложение на квазимонохроматические волны можно осуществлять до бесконечности.
В линейном приближении элементарными можно считать не только
монохроматические волны, но и цуги волн с произвольной формой огибающей. Колебательный процесс не обязательно разлагать на монохроматические колебания. С равным успехом сложное колебание можно представлять суперпозицией, например, дельта-импульсов. Все же, учитывая
наличие хорошо разработанного математического аппарата в виде преобразований Фурье, удобно за элементарное колебание принять плоскую
бесконечную монохроматическую волну с линейной поляризацией электрического вектора. Электромагнитные колебания достаточно произвольной временной формы и поляризации в линейном приближении всегда
можно представить как сумму таких волн.
1.12.
Зависимость спектра лазерного излучения от времени
Обычно предполагают, что спектр оптического излучения, распространяющегося в линейных средах, не изменяется и сохраняется постоянным. Для коротких лазерных импульсов это предположение становится
уже не применимым. Распространение лазерного импульса в виде плоской
световой волны в неограниченной линейной среде с дисперсией всегда сопровождается фазовой модуляцией излучения. Это происходит вследствие
того, что составляющие спектра импульса распространяются с разной фазовой скоростью. Результирующая несущая частота, которая представляет
собой суперпозицию этих составляющих в каждой точке среды, становится
зависящей от формы импульса, дисперсионных параметров среды и от расстояния, пройденного импульсом в среде. Таким образом, в общем случае
спектр излучения по мере распространения в среде с дисперсией деформируется.
При наличии границ в среде, взаимодействующих с волной, всегда
возникают дополнительные интерференционные эффекты также приводя29
щие к изменению спектра. Поэтому после прохождение света через интерферометр, или через волоконный световод, кроме дисперсионных, возникают дополнительные искажения исходного спектра.
Для лазерного излучения используют модель квазипериодического
волнового процесса, для которого можно определить медленно изменяющиеся по сравнению с периодом колебаний амплитуду и фазу волны. Эти
величины имеют ясный физический смысл, так как их непосредственно
можно определить с помощью корреляционных измерений.
При описании лазерного излучения в линейных средах с дисперсией
целесообразно использовать радиотехнические методы расчета колебаний
с фазовой модуляцией.
Волну, модулированную по фазе, описывают следующим соотношением:
E t   E0 sin  t   E0 sin  0t   t    0 
где (t) – полная фаза колебаний; Е0 – амплитуда модулированного по фазе колебания;  0 – несущая частота излучения;  t – составляющая полной
фазы колебаний, изменяющаяся во времени;  0 – начальная фаза.
При описании колебаний, модулированных по фазе, удобнее отказываться от разложения на гармонические волны. Хотя такие колебания, как
всякое колебательное движение, также можно разложить в бесконечный
спектр гармонических волн. Если частота колебаний зависит от времени,
то для описания этого процесса вводят понятие мгновенной частоты, модулированного по фазе колебания   t  , которая является производной по
времени от полной фазы колебания.
  t  
d
d t 
 0 
dt
dt
Рис. 1.2. Зависимость напряженности электрического поля от времени для короткого импульса с
большим положительным «чирпом» - возрастанием
мгновенной несущей частоты от начала к концу импульса.
Второе слагаемое в приведенном выражении – мгновенная скорость
изменения фазы несущей частоты. Обычно используют простейшую модель, в которой скорость изменения фазы постоянная величина. При этом,
в зависимости от знака этой скорости, несущая частота либо линейно возрастает, либо уменьшается во времени от начала к концу импульса.
Естественно, в общем случае фаза изменяется по произвольному закону, в частности, модуляция фазы может быть периодической.
30
Таким образом, для полного описания свойств короткого лазерного
импульса кроме длительности, несущей частоты и формы огибающей необходимо учитывать зависимость мгновенной частоты от времени. Эта величина непосредственно влияет на характер огибающей импульса и величину дисперсионного расширения или сжатия импульса при его распространении в среде.
1.13.
Измерения спектра излучения лазера
Излучение лазера импульсного или непрерывного, регистрируемое
спектральным прибором, почти всегда представляет собой набор узких или
размытых спектральных линий. Эти линии принято связывать с существованием продольных и поперечных мод резонатора. Наличие структуры в
спектре лазера всегда означает существование периодической временной
модуляции излучения.
В лазере, генерирующем сверхкороткие импульсы в режиме синхронизации мод, в резонаторе циркулирует единственный сверхкороткий импульс, который, каждый раз отражаясь от выходного зеркала лазерного резонатора, частично выходит во внешнее пространство. Таким образом, луч
лазера оказывается состоящим из строго периодической последовательности импульсов. Если с помощью электрооптического затвора из последовательности выделяют единственный сверхкороткий импульс, то спектр
излучения радикально изменяется. Общая огибающая спектрального контура излучения лазера сохраняется, но структура спектра, которую обычно
называют продольными модами резонатора, исчезает.
Заставить лазер генерировать единственный импульс с пространственными размерами короче, чем длина резонатора практически невозможно. Лазеры сверхкоротких импульсов с импульсной или непрерывной накачкой всегда генерируют последовательности импульсов, следующих с
периодом, равным времени обхода светом резонатора.
Ширина отдельной спектральной компоненты в спектре излучения
лазера определяется, таким образом, формой и длительностью огибающей
всего цуга импульсов, генерируемых лазером. Для идеальных непрерывных многочастотных лазеров, работающих в режиме синхронизации мод,
ширина спектральной моды стремится к нулю. В обычном многочастотном
гелий-неоновом лазере спектральная ширина моды составляет порядка 100
кГц.
В спектральном смысле свойства макроскопического прибора – лазера
эквивалентны свойствам атома, обладающего дискретным набором излучаемых им частот. Поперечные моды лазерного резонатора дают тонкую
структуру спектра, от которой в практически используемых лазерах стараются избавиться путем выделения простейшей поперечной моды резонатора.
31
Особое место в физике занимают непрерывные одночастотные лазеры
со стабилизацией частоты излучения, которые используют как стандарты
времени, частоты и длины. Такие лазеры излучают практически монохроматическое излучение. Реально получают лазерное излучение с шириной
спектра в доли Герца. Частоту излучения лазеров такого типа определяют
методами оптического гетеродинирования, путем сравнения с частотами
эталонных лазеров. Частоты эталонных лазеров, в свою очередь, привязывают к спектрам поглощения эталонных веществ.
Принципиальное отличие лазеров, генерирующих ультракороткие импульсы, от других источников оптического излучения состоит в том, что
это излучение после прохождения через оптические элементы, например,
через подложку выходного зеркала лазера, оказывается промодулированным по фазе. Несущая частота квазимонохроматического лазерного излучения непрерывно изменяется за время, равное длительности импульса. В
каждый момент времени мгновенная несущая частота имеет различное
значение. Поэтому спектр ультракоротких лазерных импульсов необходимо характеризовать не только значениями несущей частоты  0 , интенсивностью и шириной спектрального контура, но и величиной, описывающей
скорость, знак и закон изменения во времени  0 .
При распространении лазерного импульса в линейных средах с дисперсией или в пространственно ограниченных структурах спектр излучения будет деформироваться. Поэтому сама процедура измерения спектра
лазера стандартными приборами (спектральное разложение) будет, вообще
говоря, зависеть от величины фазовой модуляции излучения и может быть
неоднозначной. Одной и той же форме спектра могут соответствовать импульсы различной длительности, формы и величины фазовой модуляции.
Именно поэтому по спектру излучения лазера нельзя точно определить
форму и длительность лазерного импульса. Хотя в любом случае спектр
несет важную информацию об исследуемом излучении и позволяет делать
оценки характерных длительностей, особенно, если спектр не гладкий.
Стандартные спектральные приборы на дифракционных решетках или
спектральных призмах позволяют получить лишь обзорный спектр излучения лазера. Модовая структура лазерного спектра обычно этими приборами не разрешается.
Для квазинепрерывных лазеров точные измерения межмодовых биений, если они лежат в диапазоне до ~ 10 ГГц, осуществляют анализаторами спектра. Спектр биений мод дает информацию о числе генерирующих
мод лазера (в том числе поперечных), а также о ширине спектральных контуров мод.
Точные измерения длины волны лазера проводят с помощью интерферометра Майкельсона. Этот же прибор используют для измерения корреляционных функций излучения.
Измерения величины фазовой модуляции пико- и фемтосекундных ла32
зерных импульсов представляет собой еще не решенную до конца задачу.
Структуру спектров лазеров изучают с помощью интерферометров.
Чаще всего для этой цели используют интерферометр Фабри-Перо.
1.14.
Интерферометр Фабри-Перо
Интерферометр Фабри-Перо самый простой и эффективный прибор
для исследования тонкой (модовой) структуры спектров излучения лазеров. Теория интерферометра хорошо изложена во многих учебниках по оптике (см., например [7]). Она сводится к рассмотрению многолучевой интерференции в плоскопараллельном слое с отражающими поверхностями.
Поэтому приведем только основные формулы, необходимые при практическом использовании интерферометра.
Соотношение между интенсивностями падающего I0 и прошедшего
через интерферометр Фабри-Перо света I описывается формулой Эйри:
I  I0
T2
1  R   2Rsin  2l cos 
 λ

2
,
(1.5)
2
где R – энергетический коэффициент отражения поверхности слоя; l –
толщина слоя;  – угол наблюдения.
Использование Т (пропускания зеркальных поверхностей) в числителе
приведенного выражения позволяет учесть поглощение света в зеркальном
слое, т.к. R + Т = 1. В современных конструкциях интерферометра используют многослойные диэлектрические отражающие покрытия, потерями в
которых можно пренебрегать, тогда в (1.5) Т = 1 R.
Рис. 1.3. График распределения интенсивности в интерференционной
картине
(функции Эйри) для интерферометра Фабри-Перо с коэффициентами отражения зеркал
0,5 и 0,9.
Функция Эйри имеет
вид периодической последовательности максимумов, ширина которых сильно зависит от коэффициентов отражения зеркал интерферометра. Выражение для ширины спектральной полосы света по уровню 1/2, прошедшего через интерферометр,
(для малых углов наблюдения) следует из формулы (1.5)
33
w
1 R
.
R
(1.6)
Порядок интерференции m определяется расстоянием l между зеркалами в интерферометре Фабри-Перо, длиной волны излучения и углом наблюдения . В максимумах интерференции синус в знаменателе (1.5) обращается в ноль, то есть
2lπ
cosφ  mπ ,
λ
(1.7)
где m = 1,2, ... Это выражение отражает общеизвестное физическое условие существования резонансных колебаний: на расстоянии между зеркалами интерферометра в направлениях, где имеет место максимум интерференции, вдоль светового луча должно укладываться целое число полуволн
излучения. Таким образом, интерференционные максимумы наибольшего
порядка наблюдаются в центре экрана. Здесь частотный интервал между
соседними порядками интерференции, как следует из (1.7) равен
Δν  ν1  ν 2 
с
.
2l
(1.8)
Во время измерений этот частотный интервал должен превышать общую ширину спектра исследуемого излучения. В противном случае, порядки интерференции на выходе интерферометра наложатся друг на друга
и измерения станут невозможными.
Соотношение (1.6) показывает, какую часть интервала между порядками интерференции будет занимать монохроматическая спектральная линия.
(1.9)
δν  wΔ .
Например, для значения R = 0,95, w = 0,051. Таким образом, спектральное разрешение интерферометра в этом случае составит:
/ = 0,051 с/(21) Гц.
Практически предельное разрешение интерферометра Фабри -Перо
при исследовании ширины спектра узкополосных лазеров может достигать
значения порядка 1 МГц. Для этого необходимо использовать высокоотражающие многослойные диэлектрические покрытия зеркал (R ~ 0,98) и
расстояния между зеркалами интерферометра ~ 0,5 м.
Естественно, в случае широкополосных спектров участок спектра исследуемого излучения, соответствующий с/(21) используемого интерферометра, следует выделять каким-либо более грубым спектральным прибором. Максимальная разрешающая способность реализуется в центре интерференционной картины в максимальном порядке интерференции, где на
34
рис. 1.5 наблюдаются 5 частот (лазер генерирует на 5 продольных модах
резонатора). Разность частот между соседними модами равна 200 МГц.
Рис. 1.4. Стандартный способ измерений с
помощью интерферометра Фабри-Перо.
Три кольца наибольшего диаметра на рис. 1.5 – более низкие порядки интерференции в интерферометре Фабри-Перо, в которых спектральное разрешение уменьшено по
сравнению с максимальным порядком, находящимся в центре интерференционной картины и модовая структура спектра излучения лазера не разрешается.
Рис. 1.5. Интерференционная картина, наблюдаемая в фокальной плоскости объектива
на выходе интерферометра Фабри-Перо при освещении его расходящимся пучком красного
излучения гелий-неонового лазера ЛГ-79.
Практика использования интерферометра Фабри-Перо в нашей лаборатории для исследования лазерного излучения показала, что стандартный способ его использования не всегда удобен. Во многих случаях целесообразнее использовать интерферометр в виде клиновой пластины. Луч лазера с
помощью качественного коллиматора следует преобразовать в широкий
параллельный пучок. После прохождения пучка через разъюстированный
интерферометр Фабри-Перо на экране (при соответствующем подборе угла
разъюстировки и длины интерферометра) можно наблюдать спектр продольных мод резонатора лазера в виде узких прямых эквидистантных полос. Максимальная разрешающая способность интерферометра при этом
определяется выражением (1.9), а число порядков интерференции, наблюдаемых на выходе интерферометра определяется углом разъюстировки его
зеркал.
В клиновом интерферометре Фабри-Перо расстояние между выделенными прибором спектральными линиями линейно зависит от частоты. Это
позволяет осуществлять более точные измерения относительных смещений частот по сравнению со случаем стандартной схемы использования
интерферометра. Дополнительное преимущество клинового интерферометра – возможность выделения узких линий монохроматического излучения или группы из нескольких линий из многочастотного спектра с помощью щели, установленной на выходе интерферометра.
35
Использование клинового интерферометра Фабри-Перо более удобно
и при его использовании в режиме сканирования. Сканирование обычно
осуществляют путем колебательного смещения одного из зеркал интерферометра вдоль оптической оси интерферометра. Для этого можно использовать пъезокерамическую пластину, к которой прикрепляют одно из зеркал интерферометра. Амплитуда смещения, пропорциональная электрическому напряжению, подаваемому на пластину, должна быть, примерно
равна половине длины волны исследуемого излучения. Еще один способ
сканирования – изменение давления воздуха в промежутке между зеркалами интерферометра.
Литература к разделу 1
1. Einstein A. Ann.d.Physik, 17,132 (1905); 20, 199, (1906).
2. Пайс А. Научная деятельность и жизнь А. Эйнштейна. -М:. 1989567с.
3. Щелев М.Я. Пико-фемтосекундная электронно-оптическая фотография в квантовой электронике. Квантовая электроника, 31, (2001), 477 482.
4. Udem Th., Riechert J., Holzwarth R., Hansen T.W. Opt.Lett. 24, 881
(1999).
5. Jennings D. Extention of absolute frequency measurements to the visible. Optics Letters, 1983, v.8, p. 136.
6. Чеботаев В.П. Единый эталон длины и времени. Квантовая электроника, Т.9, с 453, (1982).
7. Калитеевский Н.И. Волновая оптика М., 1978. 383 с.
36
II. Спектрально-временные соотношения для лазерных
импульсов
2.1. Фазовая скорость света
Монохроматическая плоская световая волна E  E 0 expikx  t  распространяется со скоростью v p  dx dt   k по прямой линии, например
вдоль оси ОХ. Эта скорость, называемая фазовой, соответствует скорости перемещения в пространстве вдоль оси ОХ условно выделенной плоскости постоянной фазы волны. Приведенное выражение для фазовой скорости получается, если продифференцировать по времени соотношение для координаты поверхности постоянной фазы: kx  t  const ; k dx dt    0 ;
dx dt   k .
Иногда в литературе приводят мнение о том, что фазовая скорость не
дает никакого представления о действительной скорости распространения
волнового возмущения в среде, так как монохроматическая волна бесконечна
и на ней нет меток для измерения. Поэтому ошибочно считают, что фазовую
скорость нельзя непосредственно измерить, так как действительная скорость
волнового возмущения может быть охарактеризована только так называемой
«групповой скоростью». Например, в фундаментальной монографии Борна и
Вольфа «Основы оптики» написано: «Легко видеть, что фазовую скорость
нельзя определить экспериментально и поэтому следует считать ее лишенной
какого-либо прямого физического смысла. Для измерения фазовой скорости
необходимо было бы сделать отметку на бесконечно гладкой волне и
измерить скорость этой отметки, что, однако, означало бы замену
бесконечной гармонической волны другой функцией координат и времени»
[1].
На самом деле фундаментальная физическая константа – скорость
света в вакууме есть именно фазовая скорость, определенная для плоской
световой волны, а «метки» – движущиеся максимумы и минимумы этой
волны.
Невозможность определения из опыта фазовой скорости света, следовала из ошибочного заключения об отсутствии методов непосредственного измерения частоты световых колебаний. Ранее казалось, что световые колебания настолько высокочастотные и хаотичные, что прямое
измерение их частоты принципиально невозможно. Это мнение, излагаемое в
старых учебниках, иногда переносят и в современные книги. Развитие
лазерной физики привело к созданию лазеров, являющихся источниками
практически монохроматического излучения и разработке методов измерения их частоты за счет использования методов оптического гетеродинирования.
Именно фазовую скорость света непосредственно измеряют в со37
временных экспериментах с точностью более 10 значащих цифр [2].
Определение фазовой скорости света проводят следующим образом.
Для измерений используют непрерывный гелий-неоновый лазер,
стабилизированный по частоте с помощью поглощающей ячейки, заполненной парами йода (для  = 0,63... мкм) или метана (для  = 3,39...
мкм).
С помощью интерферометра Майкельсона или Фабри-Перо точно измеряют длину волны . Это измерение фактически сводится к ответу на вопрос, сколько длин волн лазера укладывается на расстоянии между
штрихами эталона метра. Практически эта часть измерений сводится к
сравнению длины волны лазера с длиной волны эталонного источника стандартной газоразрядной лампы, заполненной изотопом криптона 86.
Затем, с помощью радиооптического моста определяют частоту излучения  этого же лазера, путем еѐ сравнения с частотой эталонного кварцевого генератора радиодиапазона (рис.1.1).
Скорость света есть произведение этих двух величин с   =
299792458 м/с (точно).
Таким образом, фазовая скорость плоской световой волны в в акууме – точно определенная и непосредственно измеряемая физическая величина. С другой стороны, понятие «групповая скорость» во многих случаях
неопределенно, а его применимость в оптике ультракоротких импульсов ограничена весьма жесткими приближениями, при которых это понятие имеет смысл (см. следующий раздел). Эти приближения могут быть ещѐ оправданными в радиофизике, где дисперсия среды очень слабо влияет на радиоимпульсы, распространяющиеся в среде. В оптике ультракоротких лазерных
импульсов понятие «групповая скорость», вероятно, вообще неприменимо,
так как дисперсионными параметрами среды более высоких порядков, чем
первая, здесь пренебрегать уже нельзя. Действительно, в оптике диапазон
частот, занимаемый сигналом, может быть в тысячи раз более широким, чем
в радиодиапазоне. Соответственно возрастает и роль дисперсии при распространении оптических сигналов в среде. Тем не менее, понятия «групповая скорость» и «дисперсия групповой скорости» прочно вошло во все
справочники и современные учебники по оптике [3].
2.2. Скорость распространения импульсного сигнала
Вопрос о скорости распространения немонохроматического сигнала
или импульса в среде с дисперсией в оптике неоднозначен и универсального
ответа на этот вопрос не существует. Все зависит от конкретных свойств
среды и сигнала.
Физическое понятие импульса – математическая абстракция. Например, импульс гауссовой формы в виде плоской волны занимает все
пространство и бесконечен во времени. Для измерения скорости
38
импульса необходимо на выходе среды измерять форму импульса. О
распространении импульса судят по скорости перемещения его ма ксимума
Как будет показано ниже, в главе 5 теоретически скорость перемещения особой точки импульса в виде волнового пакета – его
максимума может быть любой. Эта точка может смещаться в н аправлении движения несущей частоты волны с бесконечно большой
скоростью, или даже эта скорость может быть отрицательной, когда
точка максимума движется в направлении, противоположном нес ущей.
Импульс принципиально отличается от сигнала, всегда ограниченного во времени и пространстве, то есть имеющего начало и конец. Поэтому
сама постановка вопроса о скорости распространения сигнала отличается от
случая импульса. В этом случае для экспериментатора важна не форма сигнала, а достоверно (с заданной высокой степенью вероятности) установленный факт прибытия сигнала и момент регистрации, то есть момент начала
сигнала на применом конце линии связи. При этом может быть измерена и
скорость распространения сигнала, как отношение расстояния между источником и приемником сигнала к разности моментов начала испускания и
према сигнала.
На самом деле в электронике такие измерения проводят опираясь на
точку максимума импульсного сигнала. Началом сигнала считают точку на
переднем фронте импульсного сигнала, имеющую амплитуду в заданное
число раз меньшую, чем максимум сигнала. Общепринятая процедура измерений в электронике основана на уровне 50% от максимума импульса.
При этом амплитуда максимума импульсного сигнала считается единицей
при ее изменении в несколько раз, например, от 2,5 до 5 В, а нулем - для
сигналов с амплитудой от 0 до 0,5 В. Это и обеспечивает исключительно высокую надежность работы электронных схем и цифровых линий связи.
Процедура измерения скорости распространения сигнала в среде, основанная на представлниях волновой оптики, была предложена Зоммерфельдом и Бриллюэном еще в 1914 г. [4,5]. Она формулировалась следующим образом.
Источник испускает плоскую монохроматическую волну вдоль оси ОХ
в сторону возрастающих значений х. В точке х = 0 установлен затвор, перекрывающий волну. В момент времени t o = 0 затвор быстро открывается. Таким образом, формируется ступенчатый сигнал. На достаточно большом расстоянии от затвора X находится фотоприемник, регистрирующий момент прибытия сигнала. Вся система находится в среде с
показателем преломления п. Вопрос заключается в том, через какое время,
начиная с момента to, приемник зарегистрирует сигнал? Какова величина
скорости распространения такого сигнала?
Нетрудно заметить, что приведенная формулировка не отличается
39
необходимой математической и физической строгостью. Здесь игнорируется реальная форма ступенчатого сигнала, дисперсионные свойства среды и характеристики приемника излучения. Поэтому любые выводы на
ней основанные имеют частный характер.
В начале 20 в. был в моде основной постулат теории относительности о существовании максимальной скорости любых движений в природе
– скорости света в вакууме. Поэтому считали, что групповая скорость, то
есть скорость распространения любого импульсного сигнала принципиально не может быть больше скорости света. Фазовая же скорость не переносит информации, поэтому она может быть любой, то есть больше
или меньше фазовой скорости света в вакууме. Эти утверждения считают
аксиомой.
Результаты анализа Зоммерфельда и Бриллюэна сводились к выводам о существовании предвестников сигнала: В точку X волновое возмущение приходит со скоростью с – фазовой скоростью света в вакууме,
даже если фазовая скорость в среде больше или меньше с. Возмущение состоит из трех частей: двух импульсов – предвестников малой амплитуды и основного сигнала. Со скоростью с в точку X приходит начало первого предвестника сигнала. Начало второго предвестника приходит в точку X с фазовой скоростью света в среде с/п.
После второго предвестника амплитуда сигнала растет по закону, зависящему от свойств среды и сигнала – прибывает основная часть
сигнала. При этом крутая ступенька, формируемая затвором, – сигнал
всегда сглаживается. Наличие предвестников обнаружили экспериментально в опытах с радиоволнами. Поэтому приведенные выводы до сих
пор принимают за истину и цитируют [6].
Более корректная общая формулировка вопроса о скорости распространения сигнала должна формулироваться на языке квантовой механики. Источник света и затвор, открывающийся с произвольной скоростью в
некоторый момент времени, приемник – счетчик фотонов, и передающая
среда образуют единую квантовую систему. Выводы квантовой механики
однозначны: в указанной системе вероятность регистрации фотонов некоторых частот, находящихся вблизи резонансных частот среды, приемником становится ненулевой в момент открытия затвора независимо от расстояния между источником и приемником. Фотоэлектрон возникает в
приемнике без всякой задержки по отношению к началу сигнала. То есть
скорость распространения квантовой информации равна бесконечности.
Другое дело, что приемник вследствие нулевых колебаний вакуума будет всегда регистрировать фотоотсчеты шума и при закрытом затворе, а скорость счета фотонов будет нарастать по некоторому закону начиная с момента включения затвора. Момент регистрации сигнала, как
суммы однофотонных сигналов определяется задаваемой экспериментатором достоверностью приема сигнала. Например, если считать статистику
40
регистрации фотонов гауссовой, прием сигнала с вероятностью ошибки в
10-3, потребует регистрации примерно 106 фотонов. Поэтому достоверный
сигнал возникает с некоторой задержкой по отношению к моменту открытия затвора и скорость передачи сигнала оказывается конечной.
Закономерности нарастания скорости счета фотонов в квантовой
системе передачи информации определяются резонансными свойствами
передающей среды и спектром сигнала, который зависит от особенностей
включения затвора. Как известно, даже физический вакуум обладает резонансными частотами, связанными с эффектами фоторождения пар частиц.
Это означает, что квантовая механика не отвергает возможности передачи сигналов со сверхсветовой скоростью. Такие условия по-видимому могут быть созданы в усиливающих средах со сравнительно узкими полосами усиления для сигналов с узкополосными спектрами (см. 4.12).
Описанное выше принципиальное противоречие между квантовой механикой и теорией относительности ясно понимали отцыоснователи этих наук. Эйнштейн Подольский и Розен сформулировали это
противоречие в виде парадокса, носящего их имена.
Экспериментальные исследования последних лет, основанные
на измерениях вероятностей совпадения однофотонных сигналов, создаваемых счетчиками фотонов, установленными на выходе оптических интерферометров, из которых фотоны испускаются парами (сжатые состояния), показали, что парадокса Эйнштейна-Подольского-Розена не существует [7,8], квантовая информация действительно переносится мгновенно.
Об этом свидетельствует и известный хрестоматийный факт, воспринимаемый как парадокс: вероятность появления фотоэлектронов при облучении фотокатода предельно ослабленным рентгеновским излучением
возникает сразу же после включения возбуждения без какой-либо временной задержки.
Передающие среды в существующих системах передачи информации обладают резонансными частотами лежащими вдали от спектрального контура сигнала. Поэтому скорость распространения импульсного
сигнала обычно с достаточной для практики точностью соответствует фазовой скорости света в среде.
2.3. Скорость распространения модулированных колебаний
Рассмотрим теперь вопрос о том, как было введено понятие «групповая скорость» сигнала [9,10,11]. В информационных системах простейший сигнал – логическую единицу передают с помощью ограниченного во времени импульса определенной амплитуды. В радиотехнике
информацию передают также с помощью модуляции гармонической волны.
Простейший случай модуляции – суперпозиция двух синусоидальных
линейно поляризованных в одной плоскости бегущих волн одинаковой ам41
плитуды А и начальной фазы. Если частоты таких колебаний 1 и 2 мало отличаются друг от друга, то результирующее колебание представляет собой
почти синусоидально модулированную бегущую волну периодически повторяющуюся во времени и пространстве.
Сумму двух таких колебаний можно представить как произведение
двух синусоидальных волн, одна из которых характеризует несущую частоту, а другая – огибающую.
f  x,t   2 A cos m t  k m x cost  kx .
Значения частоты  и волнового числа k несущей частоты в данном
простейшем случае равны полусумме соответствующих величин исходных
колебаний. Частота и волновое число огибающей данного модулированного
колебания равна полуразности частот и волновых чисел складываемых колебаний:
  1 2 1   2 ;
k  1 k1  k 2 ;
2
 m  1 2 1   2 ;
k m  1 k1  k 2  .
2
В вакууме или в среде без дисперсии частота колебаний пропорциональна волновому вектору  = const k. Коэффициент пропорциональности
равен фазовой скорости света в вакууме или в среде. Из приведенной
выше формулы следует, что в этом случае скорости перемещения плоскости постоянной фазы для несущей частоты v и огибающей vm одинаковы.
Волна в процессе распространения точно сохраняет свою форму в пространстве и во времени. Действительно
v   k  const k k  const;
v m   m k m  1   2  k1  k 2   const k1  k 2  k1  k 2   const.
В среде частота и волновой вектор однозначно связаны друг с другом
дисперсионным соотношением (k). При этом частоты колебаний и
волновые векторы становятся уже не пропорциональными друг другу и
скорости волн, образующих описанные выше оптические биения будут различаться. Это означает, что v  vm – несущая частота результирующего колебания и его огибающая перемещаются в пространстве с разными скоростями.
Обычно функцию, описывающую дисперсионное соотношение между
волновым вектором в среде и частотой колебаний, представляют в виде ряда
Тэйлора и ограничиваются только линейным по k членом разложения. В радиофизике такое приближение в большинстве случаев хорошо оправдано. В
первом приближении дисперсионное соотношение характеризуется произ-
42
водной d/dk, определенной в точке для некоторого среднего значения волнового вектора. При использовании принятых упрощающих предположений (d/dk = const) скорость огибающей vm будет равна этой производной vm = d/dk, так как в этом приближении 1   2  k1  k 2   d dk .
Таким образом, групповую скорость определяют как скорость
перемещения максимумов или нулей огибающей регулярных биений, образованных двумя плоскими монохроматическими волнами в предположении о малой разности частот этих колебаний и в условиях замены реального дисперсионного соотношения его линеаризованной версией.
Это определение обычно обобщают на случай любых модулированных
колебаний и импульсов. Общепринято, что групповая скорость для модулированных колебаний и импульсов всегда существует и определяет скорость перемещения огибающей светового импульса (волнового пакета или
«группы» волн). Предполагается, что эту скорость всегда можно измерить, наблюдая за движением максимумов периодических или одиночных импульсов или измеряя скорость переноса энергии такими импульсами. Это мнение, однако, ошибочно.
Рассмотрим, например, биения трех монохроматических волн, частоты
которых выражается иррациональными числами. Волны распространяются в
вакууме. На рис. 2.1 показан результат расчета биений трех источников,
частоты которых в относительных единицах равны квадратному корню из 11,
12 и 13. Амплитуды колебаний источников одинаковы. В начальный момент
времени фазы волн равны нулю. На начальных этапах биения представляют
собой последовательность из двух импульсов разной амплитуды.
Рис.2.1а Результирующая амплитуда колебаний, представляющая собой сумму трех
монохроматических колебаний с некратными частотами.
С течением времени амплитуды импульсов непрерывно изменяются,
причем, амплитуды импульсов сначала выравниваются, а затем амплитуда
меньшего импульса начинает превосходит амплитуду основного импульса.
Временная картина биений принципиально необратима.
43
Рис.2.1б. Изменение во времени картины биений, показанных на рис. 2.1а.
Момент, когда фазы всех трех волн снова одновременно станут нулевыми и волна приобретет первоначальную форму, из-за несоизмеримости
частот колебаний никогда не наступает.
Рис. 2.1в. Дальнейшее изменение во времени колебаний, показанных на
рис.2.1а,б.
На рис.2.1в уже невозможно определить, какой из импульсов огибающей был основным в начальный момент времени.
Аналогичная картина будет наблюдаться при переходе от временного к
пространственному представлению. В бегущей волне биения колебаний с
некратными частотами также будут принципиально невоспроизводимы по
мере распространения волны в пространстве.
Невоспроизводимая во времени и пространстве картина, естественно,
должна наблюдаться и в общем случае модулированных колебаний, образованных за счет сложения большого числа монохроматических колебаний с фиксированными частотами не находящимися в кратном соотношении. По мере распространения огибающая волны испытывает нерегулярные и необратимые во времени и пространстве колебания. При этом на
огибающей уже становится невозможно выделить период биений или особую точку, за перемещением которой можно следить. Понятие «групповая скорость» теряет смысл, так как становится неопределенным. Обязательным условием введения любой физической величины является еѐ ясный
физический смысл и существование (хотя бы теоретически) процедуры
еѐ измерения.
Таким образом, рассмотренный пример показывает, что для получения
44
регулярных биений необходимо выполнение ещѐ одного условия, которое
обычно не принимают во внимание. Для получения биений, представляющих собой сумму монохроматических колебаний, сохраняющих свою временную форму при регистрации неподвижным фотоприемником или по мере распространения их в пространстве, частоты колебаний, создающих биения, должны быть кратными.
В реальной физической ситуации это условие часто выполняется автоматически, например, при рассмотрении колебаний струны с закрепленными концами или для набора резонансных колебаний оптического резонатора. В этих случаях на длине струны или продольных размерах резонатора должно укладываться целое число длин волн резонансных колебаний
и эти частоты оказываются кратными.
Рассмотрим, как изменяется сигнал, представляющий их себя сумму
почти эквидистантных монохроматических колебаний:
E
N
e 
 j2
cos(2t (1  j )) .
j  N
На рис. 2.2 показан случай сложения 20 почти эквидистантных колебаний, на котором видно, как регулярная вначале последовательность импульсов разваливается со временем. Более детально особенности таких процессов
можно исследовать на компьютере с помощью стандартных математических
программ типа Maple или Mathcad, варьируя параметры в приведенной выше
формуле.
Рис 2.2 Автокорреляционная функция
излучения, возникающая при сложении монохроматических почти периодических колебаний. N = 10,  =
0.01,  = 0.002.
Регулярные периодические
колебания в общем случае распространения в среде с дисперсией преобразуются в нерегулярные и невоспроизводимые во
времени колебания. Если на вход
среды, дисперсия которой описывается нелинейной зависимостью волнового числа от частоты колебаний, падает сумма эквидистантных монохроматических колебаний с нулевыми начальными фазами, то
с увеличением расстояния внутри среды картина биений становится нерегулярной и невоспроизводимой вследствие нарушения синфазности
исходных монохроматических колебаний.
45
2.4. Скорость распространения квазимонохроматического импульса
Перейдем к случаю распространения сигнала в виде уединенного
оптического импульса. Такой лазерный импульс обычно представляют в виде
квазимонохроматической волны как произведение синусоидальной высокочастотной оптической несущей  и медленно изменяющейся по сравнению с ней функции A(x,t), описывающей огибающую этой несущей.
V  x, t   A x, t exp it  kx  .
Огибающую этого пакета, представляющую собой импульс достаточно
произвольной формы, можно представить в виде суммы волн, частоты
которых соответствуют разности между несущей частотой волнового пакета
и частотой составляющего его монохроматического колебания.
А x, t    a exp i   t  k  k x d

Интегрирование ведется по всем частотам волнового пакета, причем,
/ предполагается малым по сравнению с единицей. Это условие не
является жестким. Даже фемтосекундные оптические импульсы с
достаточной для практики точностью можно считать узкополосными волновыми пакетами.
Если при изменении частоты в пределах  производную dk/d co
можно считать постоянной величиной, то нетрудно видеть, что огибающая волнового пакета распространяется с постоянной скоростью
vm=d /dk без искажения формы. Как уже указывалось выше, в этом случае
k-k       dk d . Выражение под знаком экспоненты при этом можно
преобразовать к виду

 dk
 i    t 
 d


x 

В плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны,
dk
для координаты которой выполняется условие t 
x , амплитуда огиd
бающей постоянна. Следовательно, скорость перемещения любого значения А, в том числе и максимума огибающей, определяется величиной d /dk,
т.е. групповой скоростью, введенной выше. При этом форма огибающей
по мере распространения в среде не искажается.
46
Казалось бы и в этом случае все ясно. Каждый импульс колоколообразной формы имеет особую точку – максимум, которую можно использовать
в качестве репера для определения скорости перемещения всего импульса в
пространстве. Однако, как и в случае модулированных колебаний, говорить о
перемещении импульса как неизменного волнового цуга, сохраняющего
свою форму, можно только в частном случае малости влияния дисперсии
среды распространения.
Сделаем конкретные оценки. Известно, что при распространении
импульса длительностью ~ 10 пикосекунд в одномодовом световоде в спектральной области минимальной дисперсии заметные искажения – расширение импульса происходит на длинах порядка 1 км. Ограничимся случаем
симметричных импульсов гауссовой формы с учетом второй производной
волнового вектора по частоте. При этом характер уширения импульса

d 2 k d 2 L
.
определяется безразмерным параметром
t 2
При одинаковом дисперсионном параметре и длине среды искажения
импульса обратно пропорциональны квадрату его длительности. Это означает, что для 10 фемтосекундного импульса соответствующая длина будет в
миллион раз меньше, т.е. ~1 мм. С другой стороны микро- и наносекундные радиоимпульсы в этих условиях будут распространяться без искажений на многие тысячи километров.
В случаях, когда несущая частота колебаний волнового пакета находится не в области нулевой дисперсии световода или вблизи полосы поглощения среды ситуация радикально изменяется. Дисперсионные искажения становятся существенными уже на длинах в несколько метров и для
пикосекундных импульсов.
Эти оценки показывают, что для оптических пико- и фемтосекундных
импульсов пренебрегать дисперсионными искажениями импульсов при их
распространении в среде в большинстве практических случаев невозможно.
Как будут влиять дисперсионные искажения огибающей импульса на
скорость распространения его максимума? Более подробно ответ на этот
вопрос можно найти в главе 5.
Коротко можно отметить следующие факты. Из-за дисперсионного
уширения передний и задний фронты симметричного гауссова импульса
распространяются с различными скоростями. Передний фронт убегает вперед
а задний фронт отстает от максимума такого импульса. Сам максимум распространяется с «групповой скоростью». Ясно, что толкование групповой
скорости, как скорости переноса энергии импульсом в данном случае не оправдано, хотя в данном частном случае максимум импульса перемещается с
групповой скоростью.
Ситуация радикально изменяется в случае несимметричного импульса. При этом возникает эффект линейной симметризации импульса (см.
раздел 5.5). По мере распространения в среде с дисперсией импульс стре47
мится принять симметричную форму. В зависимости от исходной асимметрии импульса его максимум может перемещаться в принципе с любой скоростью большей или меньшей скорости света. Для импульса с крутым задним
и пологим передним фронтами скорость перемещения максимума импульса
на некотором расстоянии среды оказывается больше, чем скорость света.
Естественно, групповая скорость в таких случаях не постоянная величина.
Для ультракоротких импульсов обычно существенными становятся
дисперсионные параметры среды третьего и, возможно, более высоких
порядков. Влияние дисперсионного параметра третьего порядка рассмотрено
в п. 5.7. Этот член разложения приводит к появлению асимметрии огибающей и возникновению модуляции огибающей на заднем фронте импульса.
В случае распространения импульса в усиливающей среде с насыщением усиления передний фронт импульса испытывает большее усиление, чем
задний. В результате максимум импульса набегает на передний фронт
импульса. Возникает эффект напоминающий опрокидывание океанской
волны, падающей на берег. Экспериментально в усиливающей среде наблюдалась скорость движения максимума импульса в несколько раз
большая скорости света в вакууме. Это свойство, однако, по видимому нельзя использовать для передачи информации со сверхсветовой скоростью сигналов. У сигнала, в отличие от бесконечно протяженного импульса, передний фронт имеет ограниченную длительность. Начало передачи сигнала необходимо отсчитывать не от максимума импульса, а от начала его переднего фронта. Сверхсветовое распространение максимума сигнала неизбежно прекращается, когда этот максимум приближается к началу переднего фронта сигнала.
Аналогичные линейному эффекты симметризации, опрокидывания и
чирпирования импульса наблюдаются также при распространении импульса
в нелинейных средах.
В свое время, в эпоху долазерной физики казалось, что создана общая
модель пригодная для практически всех случаев распространение импульсов в среде, основанная на квазимонохроматическом приближении и линейном дисперсионном соотношении. Поскольку в радиофизике пренебрежение
дисперсией среды в большинстве случаев хорошо оправдано, понятие,
применимое только в этом случае, – «групповая скорость», стали распространять на описания всех случаев распространения импульсных сигналов. Это понятие иногда использовали даже в квантовой механике применительно к волнам де Бройля, обладающим значительной дисперсией и в вакууме.
Последующее развитие физики оптических импульсов, однако, внесло
коррективы. Оказалось, что универсальной модели, описывающей распространения импульсов в среде, не существует. Во многих практически
важных случаях оптики ультракоротких лазерных импульсов понятие
«групповая скорость» не имеет ясного физического смысла и его ис48
пользование даже в учебных целях вряд ли целесообразно.
По изложенным причинам в оптике ультракоротких лазерных импульсов нецелесообразно использование также термина «дисперсия групповой
скорости», он также не имеет никакого строгого физического смысла и
может использоваться лишь в самом первом приближении. В частных
случаях расчет искажений квазимонохроматических импульсов в среде целесообразно проводить используя разложение волнового вектора в ряд Тэйлора по частоте. При этом степень приближения волнового вектора его точному значению определяется числом учтенных членов разложения:
дисперсионными параметрами первого, второго, третьего... порядков.
Вопрос о числе членов разложения должен решаться исходя из конкретных
условий.
2.5. Спектрально-временные соотношения для импульсов, генерируемых двухчастотным лазером
Рассмотрим простейший случай – модель лазера, в спектре излучения которого имеются две частоты (две моды лазерного резонатора). Полагаем, что фазовой модуляцией излучения лазера можно пренебрегать. Поле в луче такого лазера имеет вид:
E t   1 exp 1t 2 cos 0t  1    2 exp  21t 2 cos 0   t   2  . (2.1)
Предполагаем, что каждая мода описывается гауссовым спектральным контуром, ширины которых определяются константами  1 и  2 , начальные фазы колебаний мод –  1 и  2 ,, частоты –  0 и  0   , где
  2 – межмодовый спектральный интервал. Величина   с L определяется, как известно, оптической длиной резонатора лазера L.
Интенсивность излучения, усредненная по оптической частоте, записывается для этого поля следующим образом:


1
1
I t   12 exp 21t 2    22 exp 2 2t 2   1  2 exp  1   2 t 2 cost   2  1  (2.2)
2
2
и соответственно спектр –
     0 2  
     0  Δ 2 
 2
2
I   
1 exp
 2 exp


21
2

2

2

1
2
2




    0 2     0  Δ 2 


1  2 cos 2  1 exp


4

4

1 2
1
2


. (2.3)
Приведенные формулы полностью описывают временные и спектральные характеристики любого двухмодового лазера с гауссовыми спектраль49
ными контурами мод. Во временной структуре излучения такого лазера всегда присутствует периодическая модуляция с периодом, определяемым
расстоянием (по спектру) между модами Т = 1/, причем глубина модуляции не зависит от значений начальных фаз мод  1 и  2 .
В спектре излучения помимо членов, определяющих спектральные
свойства каждой из мод, содержится интерференционный член, зависящий от
разности начальных фаз мод и степени перекрытия спектральных контуров
мод. В случае, когда лазер генерирует короткий импульс с длительностью,
соизмеримой с периодом оптических биений мод, спектральные контуры мод
оказываются уширенными и сильно перекрываются. В этом случае
временная картина излучения лазера сильно зависит от разности фаз генерирующих мод. Такой случай можно реализовать только в лазере с большим коэффициентом усиления и
практически его трудно реализовать.
Рис.2.3. Спектрально-временные
характеристики
гипотетического
двухмодового импульсного лазера.
Спектр излучения в случае разности
фаз мод равной нулю (1) и  (2) (а).
Огибающая импульса при разности
фаз мод равной: 0 (б);  (в); не кратной  (г). Случай сильно разнесенных
мод (д).
При нулевой разности фаз генерирующих мод в момент времени t =
0 осциллирующий множитель в
формуле (2.2) оказывается положительным и, следовательно, временная структура импульса оказывается
симметричной относительно своего
максимума, причем в центре огибающей
находится
максимум.
Структура такого импульса показана
на рис.2.3б. При сдвиге фаз равном
 импульс также симметричен относительно максимума огибающей, но
уже с двумя одинаковыми по величине максимумами (рис.2.3,в). Все
другие промежуточные ситуации
приводят к несимметрии импульса.
Чаще всего длительность лазерного импульса на несколько поряд-
50
ков больше периода межмодовых биений. В этом случае под общей огибающей импульса содержится большое число периодов биений и форма импульса практически не зависит от фаз мод. При этом в спектре лазера моды сильно разнесены и слабо перекрываются. То есть интерференционный член в формуле, описывающей спектр лазера, оказывается малым.
На рис.2.3, д показан характерный вид импульса в этом случае.
Для количественной оценки глубины модуляции во временной структуре импульса рассмотрим конкретный пример. Будем считать спектральные
контуры мод одинаковыми, а межмодовое расстояние в несколько раз превышающим полуширину этих спектральных контуров.
Спектр лазера при этом оказывается состоящим из суммы двух мод
   0 
   0   
  2
I   
  22 exp
 1 exp
2 
2
2
2
2

.

Зависимость интенсивности излучения от времени можно записать
следующим образом:


I t   K exp 2t 2  I1  I 2  2 I1 I 2 cost   2  1  ,
где К - коэффициент пропорциональности, a I1 и I2 – интенсивности мод.
Нетрудно заметить, что рассмотренный случай полностью аналогичен
пространственной интерференции двух монохроматических волн. В нашем
случае роль пространственной координаты играет время, а пространственный
сдвиг фаз между интерферирующими пучками эквивалентен разности фаз
лазерных мод.
Глубина модуляции временной картины описывается выражением, аналогичным функции видности пространственной интерференционной картины:
2
I min  I1  I 2 

I max  I1  I 2 
где Imax и Imin - максимальное и минимальное значение интенсивности в импульсе, промодулированном по амплитуде, соответственно. Это отношение
обращается в ноль, когда интенсивности мод одинаковы, т.е. когда спектр
симметричен. Из приведенного выражения следует, что изменение интенсивности одной из мод в широких пределах незначительно изменяет глубину
модуляции импульса.
Соответствующее выражение для АКФ в этом случае имеет вид:
Γ min I1  I 2

.
Γ max I1  I 2
51
Рис.2.4. Зависимость глубины
модуляции во временной картине
излучения двухчастотного лазера (1)
и автокорреляционной функции (2)
от относительной интенсивности
мод. Точки – эксперимент.
На этом же графике рис.2.4. приведены результаты измерений глубины
модуляции для двухмодового гелийнеонового лазера типа ЛГ 52. Измерения оказалось возможным выполнить с
помощью интерферометра Фабри-Перо, так как лазеры этого типа по мере
прогрева резонатора в течение получаса после включения генерируют периодически и попеременно то на одной, то на двух продольных модах резонатора. При этом общая выходная мощность лазера не изменяется. Периодическая модуляция излучения этих лазеров с частотой 400 МГц испытывает
низкочастотные (с периодом порядка секунд) флуктуации, амплитуда которых отмечена на графике.
Временная картина, показанная на рис.2.3 чрезвычайно устойчива и воспроизводима. Это подтверждают многократные съемки электроннооптической камерой, а также регистрация излучения с помощью стробоскопического осциллографа. Временная картина излучения регистрируется (после прогрева лазера) на протяжении многих часов без каких либо колебаний
как
периода
следования,
так
и
амплитуд
пульсаций.
Рис.2.5. Временная картина генерации двухчастотного лазера ЛГ52-3, снятая с помощью электронно-оптической камеры «Агат». Период следования импульсов - 2,5 нсек.
Полученные экспериментальные данные с непрерывным двухчастотным лазером позволяют сделать важное заключение, которого обычно не
чувствуют исследователи лазеров, занимающиеся чисто теоретическими
изысканиями. Высокочастотные пульсации излучения лазера, следующие с
периодом, равным времени обхода его резонатора практически не чувствительны к техническим флуктуациям фаз и амплитуд элементарных колебаний (мод), сложение которых их образует. Т.е. для получения устойчивых
высокочастотных колебаний интенсивности излучения с периодом, равным
времени обхода светом резонатора в обычных непрерывных двухмодовых
лазерах, применения специальных методов синхронизации фаз мод не требуется.
52
2.6. Автокорреляция лазерных импульсов. Интерферометр Майкельсона
Автокорреляционную функцию (АКФ) оптического излучения измеряют
с помощью интерферометра Майкельсона. Этот интерферометр представляет собой систему из трех зеркал, расположенных так, как показано на
рис.2.6.
Прибор работает в параллельном пучке света. Пучок разделяется светоделительным зеркалом, наклоненным к падающему пучку на угол 45 градусов, или светоделительной призмой на два пучка равной интенсивности
(коэффициент отражения этого зеркала берется равным 0,5 для указанного
выше угла падения). Эти пучки отражаются точно назад зеркалами 2 и 3 с
нанесенными на них полностью отражающими покрытиями.
Рис.2.6. Схема измерений АКФ с помощью
интерферометра Майкельсона. лазер, 2 телескопическая система, формирующая
широкий, параллельный пучок света. 3 зеркало, колеблющееся вдоль оси пучка с
амплитудой, примерно равной половине
длины волны излучения, 4 - уголковый отражатель или зеркало, 5 - диафрагма, 6 фотоприемник и регистрирующая система.
При этом на экране, установленном на выходе интерферометра, пучки точно накладываются друг на
друга, создавая интерференционную картину. Сдвиг фазы между интерферирующими лучами определяется разностью расстояний от светоделительного зеркала до двух других зеркал. Интенсивность светового
пятна на экране изменяется от нуля до максимального значения, равного интенсивности падающего на интерферометр луча в зависимости
от разности хода интерферирующих лучей.
До создания лазеров работа с интерферометром при использовании в
качестве источника света лампы накаливания представляла собой сложную
экспериментальную задачу. Это было связано с необходимостью формирования параллельного светового пучка, точной юстировки зеркал и выравнивания оптических длин плечей интерферометра. Для осуществления
такого выравнивания для разных длин волн анализируемого излучения
внутрь интерферометра устанавливался компенсатор точно такой же
толщины и из того же стекла, что и светоделительное зеркало.
С помощью лазера настройка интерферометра доступна даже школьникам. Поскольку при этом не требуется точно выравнивать оптические
длины плечей интерферометра, легко сформировать параллельный
53
световой пучок, а лучи, отраженные зеркалами хорошо видны на удаленном
экране. Для обеспечения необходимой точности юстировки зеркал экран, на
котором наблюдают степень пространственного совмещения двух пучков,
следует устанавливать в нескольких метрах от интерферометра.
Для устранения влияния на работу лазера лучей, отраженных от интерферометра в обратном направлении, оптическая ось интерферометра
немного разъюстируется по отношению к оптической оси лазера. Поэтому
лазер необходимо относить на возможно большее расстояний от интерферометра, чтобы отраженный луч не попадал на выходное зеркало лазера.
При исследовании предельно коротких импульсов может оказаться существенной дисперсия света в светоделительном зеркале. В этом случае
его толщина должна быть минимальной. При высоком оптическом качестве
зеркал и при использовании хорошо сколлимированного с помощью
телескопа луча непрерывного гелий-неонового лазера, обычно используемого для юстировки прибора, нетрудно наблюдать интерференционные полосы, а также полное погашение светового луча на экране.
Для наблюдения на экране интерференционных полос одно из зеркал
интерферометра слегка разъюстируют. Изменение разности хода интерферирующих лучей, за счет перемещения с помощью микрометрического винта одного из зеркал интерферометра вдоль оптической оси, приводит к смещению на экране всей системы интерференционных полос, причем направление смещения определяется знаком изменения разности хода.
В случае падения на интерферометр расходящегося светового пучка, на
экране, естественно, наблюдают кольцевую интерференционную картину,
симметричную оптический оси прибора. При плавном изменении разности
хода интерферирующих лучей за счет перемещения одного из зеркал
диаметры колец непрерывно изменяются. При этом кольца в интерференционной картине в зависимости от направления перемещения зеркала
или последовательно схлопываются в точку на оси картины или расходятся
из центра.
При падении на идеальный интерферометр Майкельсона плоской монохроматической волны с длиной волны , и интенсивностью I0, интенсивность света на его выходе I зависит от разности фаз интерферирующих лучей:   2 l1  l2   , где l1 и l2 оптические длины плечей интерферометра.
1

I 0 1  cos    I 0 cos 2
2
2
Это означает, что при нулевой разности хода лучей в интерферометре и
в последующих максимумах интерференции, когда косинус становится равным единице, интерферометр Майкельсона полностью пропускает паI
54
дающую на него волну. В минимумах интерференции, естественно, свет
полностью отражается от интерферометра назад в направлении источника
света. Учет этого отражения устраняет кажущийся парадокс с сохранением
энергии в интерференционной картине на выходе интерферометра: в
максимумах интерференционной картины интенсивность света в два раза
превышает сумму значений интенсивностей интерферирующих лучей.
В современных конструкциях интерферометра Майкельсона точное
перемещение зеркала осуществляют с помощью шагового электрического
двигателя, управляемого компьютером. Сигнал с фотоприемника
преобразуют аналогово-цифровой платой в цифровую форму и также записывают в память компьютера.
Лазер и интерферометр помещают на оптическую скамью, подвешенную на воздушной подушке для развязки от механических вибраций пола лаборатории.
2.4. Автокорреляционная функция лазерного импульса
В случае одиночного лазерного импульса, падающего на интерферометр Майкельсона, интенсивность сигнала на его выходе, очевидно, зависит от разности хода лучей. Эта разность характеризует степень отличия сигнала от его смещенной во времени копии. При нулевой
разности хода всегда реализуется интерференционный максимум. А если
разность хода столь велика, что импульсы, прошедшие разные плечи интерферометра не перекрываются, то интерференция отсутствует. Поэтому
зависимость видности от разности хода лучей в интерферометре будет
представлять собой осциллирующую с периодом, равным половине несущей
длины волны функцию, также имеющую вид импульса. Эту функцию, по
аналогии с оптическим импульсом, также удобно характеризовать несущей
частотой и огибающей.
Таким образом, было введено понятие автокорреляционной функции
излучения (АКФ). АКФ имеет ясный физический смысл и строго определенную процедуру измерения. Она представляет собой зависимость
видности интерференционных полос на выходе интерфер ометра
Майкельсона от разности хода или временной задержки между интерферирующими лучами. Для сигнала в виде одиночного импульса ширину
АКФ определяют по уровню половинной интенсивности от максимума
огибающей АКФ. Для измерения АКФ одиночного импульса измерения интенсивности излучения на выходе интерферометра надо производить
многократно для разных значений разности хода интерферирующих
лучей. Поэтому для осуществления таких измерений необходимо иметь источник воспроизводимых импульсов.
Пусть временная зависимость вектора напряженности электрического
поля излучения лазера описывается функцией E(t). Для лазеров, рабо55
тающих в режиме непрерывной генерации сверхкоротких импульсов
эта функция периодическая, с периодом равным времени обхода светом резонатора. На выходе интерферометра Майкельсона с разностью хода между его лучами, приводящей к задержке , поле излучения в месте расположения фотоприемника имеет вид:
E (t ) 
1
[ E (t )  E (t   )].
2
Постоянная времени фотоприемника Т всегда значительно больше
периода оптической несущей, поэтому он регистрирует величину:
I   
1
T
t 0 T

t0
1
E t   E t   2 dt  1
4
2T
t 0 T
t 0 T
t0
t0
1
2




E
t
dt

E t E t   dt ,

2T 
где to - произвольный начальный момент времени. В приведенной формуле
первый интеграл представляет собой среднюю интенсивность излучения, не
зависящую от разности хода лучей в интерферометре. Второй интеграл есть
автокорреляционная функция    для поля излучения. Эта функция
симметрична по отношению к изменению знака  – величины разности задержки лучей в плечах интерферометра Майкельсона, что легко проверить,
сделав замену переменных в интеграле  на  в приведенной выше формуле:    t   .
Из приведенной формулы видно, что при  = 0 АКФ становится равной
полной мощности сигнала. При этой задержке АКФ всегда имеет максимум,
который положителен. АКФ есть четная функция. Это означает, что АКФ
симметрична относительно нулевой задержки между импульсами.
АКФ лазерных импульсов пикосекундной длительности содержит
тысячи интерференционных максимумов. В этих случаях целесообразно регистрировать огибающую АКФ. Для этого интерференционные полосы,
возникающие на выходе интерферометра Майкельсона, сканируют относительно апертуры фотоприемника и регистрируют только переменную
составляющую его сигнала. Такое сканирование достигают за счет колебаний одного из зеркал вдоль оптической оси интерферометра с амплитудой порядка половины длины волны излучения. Еще один способ – непрерывное перемещение зеркала интерферометра со строго постоянной скоростью.
На рис.2.7 видно, что АКФ оказывается симметричной не только относительно нулевой разности хода, но и относительно среднего значения энергии излучения. Среднее значение энергии регистрируется в случае, когда
временная задержка между интерферирующими импульсами превышает его длительность, т.е. импульсы не перекрываются во времени и в пространстве.
56
Рис. 2.7. Интенсивность и автокорреляционная функция короткого когерен тного лазерного импульса с гауссовой формой огибающей.
Ширина огибающей АКФ для гауссова импульса в два раза больше
длительности самого импульса.
Для фемтосекундных импульсов измеряют АКФ с разрешением интерференционных полос. Экспериментально это не простая задача и требует
применения высококачественной аппаратуры и развязки интерферометра от технических флуктуации пола помещения лаборатории и устранения
акустических шумов в лаборатории. Такие измерения осуществляют
непосредственно для квазинепрерывного излучения лазера. При этом, очевидно, АКФ оказывается периодической функцией временной задержки между интерферирующими лучами. Однако, поскольку длина резонатора лазера ультракоротких импульсов составляет величину порядка метра, обычно регистрируют нулевой максимум огибающей АКФ, находящийся в
области нулевой разности хода интерферометра. В случае полупроводниковых лазеров при регистрации нулевого максимума АКФ возникают особенности, отмеченные ниже в главе 7.
Характерно, что зарегистрированные интерференционные полосы АКФ
имеют регулярный и воспроизводимый вид даже для непрерывных лазеров,
работающих в режиме нерегулярных хаотических высокочастотных
пульсаций излучения. Это означает, что в излучении квазинепрерывных
лазеров всегда присутствует единственная несущая монохроматическая
частота, которую фактически и наблюдают при регистрации АКФ с разрешением интерференционных полос.
2.5. Соотношение неопределенностей для лазерных импульсов
В радиотехнике и оптике широко используют соотношение вза57
имности, связывающее длительность импульса и ширину его спектра. Из
анализа частных случаев в радиотехнике был сделан важный вывод: чем
меньше длительность импульса, тем шире его спектр. Произведение ширины спектра импульса на его длительность есть постоянное число, зависящее только от формы импульса и, как правило, имеющее величину порядка единицы. Используя это произведение, определяют требования к
ширине полосы пропускания радиотехнического устройства.
В квантовой физике соответствующее соотношение называют «соотношением неопределенностей». В оптике и ядерной физике по ширине
спектра оценивают время жизни возбужденного состояния атомной или
ядерной системы.
В лазерной физике обычно используют простой прием оценки длительности сверхкороткого импульса, генерируемого лазером, как величины обратной ширине огибающей спектрального контура этого импульса. Регистрация спектра не вызывает особых трудностей, тогда как измерение длительности и формы ультракороткого лазерного импульса
требует применения сложных корреляционных измерений.
Все это свидетельствует о важной роли указанного соотношения в
физике. Однако, оно не носит строгого характера закона. О нем говорят,
как о правиле или неравенстве. Вопрос о его принципиальной справедливости и математической строгости обычно не вызывает сомнений, хотя условия применимости явно не оговариваются.
Ниже приведены результаты количественного анализа соотношения
неопределенностей для ширины спектра и длительности лазерного импульса,
которые показывают, что «соотношение неопределенностей» является
следствием принципиально не реализуемой на практике процедуры
измерения основополагающих физических величин. После приведения
процедуры измерения к общепринятому на практике виду оказывается, что
произведение этих величин для некоторых импульсов может быть сколь
угодно близким к нулю.
Рассмотрим вначале более частный вопрос. Можно ли определить форму и длительность импульса по его спектру? Ответ на этот вопрос отрицательный. Спектр заданного импульса однозначно определяется формой
импульса. Однако одному и тому же спектру может соответствовать бесконечное множество импульсов разной временной формы. При регистрации спектра теряется информация о фазах спектральных составляющих излучения. А временная картина излучения существенно зависит от
фаз составляющих его монохроматических колебаний.
По спектру нельзя ничего сказать о фазовой модуляции излучения. В
оптике лазерных импульсов имеет место и другой эффект. Распространение
импульса в среде часто сопровождается быстрыми изменениями его
структуры, приводящим к перестройке спектра. При описании таких
процессов становится неприменимым само определение спектра, как суммы
58
монохроматических составляющих колебательного процесса. Поэтому
спектральное описание процессов приходится дополнять введением новых
понятий, противоречащих самому определению спектра: «мгновенный
спектр» и «скорость изменения несущей частоты излучения», которую
обычно называют «чирпом».
По мере уменьшения длительности импульса ширина спектра, вообще
говоря, возрастает. Математически последнее утверждение формулируют в
виде так называемого "соотношения неопределенностей":
t  k ,
(2.5.1)
где t – длительность огибающей импульса, - соответствующая ему
ширина спектра k - константа, зависящая от формы импульса и, как обычно считают, имеющая величину, равную 1/2
(см. например, [1] и
ссылки в ней).
Соотношение (2.5.1) широко применяют для оценок длительности лазерных сверхкоротких импульсов по зарегистрированной обычными спектральными приборами ширине огибающей спектрального контура излучения лазера.
По соотношению между шириной спектра и длительностью импульса
иногда пытаются судить также о наличии существенного чирпа в несущей
частоте импульса, который приводит к уширению спектра примерно пропорциональному скорости чирпа. Для этого используют понятие «спектрально-ограниченный импульс». В этом случае речь идет об импульсе, длительность которого полностью определяется обратным значением ширины его спектра. При этом предполагают, что «спектрально ограниченный импульс» имеет гладкую огибающую над единой несущей частотой
излучения и отсутствует фазовая или частотная модуляция этой несущей
частоты. Для оценки длительности «спектрально-ограниченных импульсов»
по спектру обычно полагают, что форма огибающей импульса описывается
функцией sech2. Такая форма следует из теории, в которой ультракороткий
импульс, циркулирующий в лазерном резонаторе, считают солитоном. В
этом случае при «полной синхронизации мод» постоянная
 2 ln 1  2 
k  t  
  0,315... . Для импульса гауссовой формы k =



0,44... .
Рассмотрим теперь, как изменяется величина k в "соотношении неопределенностей" в зависимости от того, какой смысл вкладывают в понятия
"ширина спектра" и "длительность импульса".
Неоднозначность трактовки соотношения (2.5.1) является следствием
принципиально разного определения измеряемых величин теоретиками и
экспериментаторами. Теоретики и экспериментаторы зачастую говорят об
одних и тех же величинах на разных языках. Приведенные ниже интегральные величины принципиально не существуют. При теоретическом


59
выводе соотношения (2.5.1) использованы интегральные определения длительности импульса и ширины спектра. Экспериментаторы же определяют эти величины так, как это принято в радиотехнике, по некоторому уровню от максимального значения. Чаще всего используют понятие
полуширина импульса и полуширина спектрального контура – значения,
измеренные на уровне половины от максимального значения интенсивности огибающей этих величин. Разные определения для одной и той же величины отнюдь не безобидны и дают существенно различные значения
длительности и ширины спектра импульса. Поэтому, как показано ниже, в
отдельных случаях подобный произвол может привести к ошибочной интерпретации результатов. Более того, переход к общепринятым определениям длительности импульса и ширины его спектра приводит к принципиальному ограничению применимости «соотношения неопределенностей» в оптике лазерных импульсов.
Анализ, приведенный ниже, показывает, что соотношение (2.5.1) может
использоваться для оценки длительности импульса по спектру излучения не
для любых импульсов, а при более жестком предположении, фактически
только для импульсов с гауссовой огибающей или близких к ним по форме.
При этом постоянная k = 0,4.
Определим вначале основные понятия. Будем рассматривать вещественные сигналы f(t). Физическим носителем этого сигнала может быть,
например, величина какой-либо компоненты вектора напряженности электрического поля, при условии, что общее выражение для этой компоненты допускает факторизацию, т.е. Ei r , t   f t Ei r  . Во многих практически важных случаях такое требование выполняется. Примером могут
служить плоские волны в среде или, например, излучение лазера, работающего на одной поперечной моде, или лазерное излучение в одномодовом волоконном световоде. Подчиним функцию f(t) условию

 f t dt   .
2

Это условие означает, что через фиксированную точку пространства импульсом переносится конечная энергия. Тем самым из рассмотрения исключаются лазеры, работающие в непрерывном режиме. Интегрируемость квадрата функции f(t) позволяет сопоставить каждой такой функции ее фурьеобраз
ξ   

 f t exp- it dt ,

который в общем случае является комплексной функцией и содержит
всю необходимую информацию о фазовой структуре волнового пакета. При
этом сама f(t) может быть восстановлена из ξ   посредством обратного
60
преобразования
1 
f t  
 ξ expit d .
2 
Экспериментально измеряемыми величинами являются не сам Фурье-образ, а спектр, определяемый из соотношения
I    ξ ξ   
и огибающая оптического импульса
1 t0 T
I t  
f
T t0
2
 d ,
где величина Т выбирается из условия Т o << Т <<Т и где Т о – период
световой волны, Ти – длительность импульса. Вещественность функции f(t)
приводит к тому, что
ξ     ξ   .
Тем самым спектр оказывается симметричным относительно нулевой
частоты. Следует напомнить, что отрицательные частоты в действительности
не существуют и не могут быть измерены, а их введение следует из математической логики. Как видно из приведенных выше уравнений, спектрально-временные преобразования Фурье, производят в бесконечных временных
и частотных пределах.
Для большинства лазерных импульсов выполняется условие квазимонохроматичности, что позволяет представить функцию f(t) в виде
f t   At cos 0t    ,
где  0 – частота оптической несущей;  - начальная фаза оптического колебания; A(t) - мгновенное значение амплитуды импульса. Мгновенная интенсивность сигнала при этом оказывается равной
1
I t   A2 t  .
2
Спектр такого импульса получается из спектра A(t) сдвигом последнего на величину ±0, т.е.
1 ~
~
I    I    0   I    0  ,
4
~
где I   – спектр амплитуды импульса. Учитывая это, в дальнейшем
будем опускать быстро осциллирующий множитель, понимая под f(t) амплитуду соответствующего импульса.


61
Рассмотрим вначале, по аналогии с классической монографией Борна и
Вольфа [1], каким образом получают «соотношение неопределенностей»
(названного ими «соотношением взаимности» для времени когерентности и
ширины спектра для волнового цуга). Интегральные длительность
импульса и ширина спектра определяются ими как дисперсия аргумента
при условии, что в качестве плотности распределения выбирается нормированная интенсивность соответствующей величины.
t 2
2
  2





t
f
t
dt
tf
t
dt




 ;
 
  
2
2


 f t dt   f t dt 
 



2
2
 

  I  d 
.
 
  


 I  d   I  d 
 



 2
2
  I  d
(2.5.2)
Определенные таким образом, длительность импульса и ширина спектра не зависят от максимального значения этих величин. Имеет смысл
пронормировать энергию импульса, считая ее равной 1, т.е.

2
 f t dt  1 .

При такой нормировке для энергии, содержащейся в спектре, равенство Парсеваля дает
1 
 I  d  1 .
2 
С учетом симметрии спектра относительно нулевой частоты выражение для произведения  на t примет вид
t 2 

1   2 2
  2
2




t
f
t
dt

tf
t
dt


    I  d .
2 

 
Это выражение можно упростить, предположив, что производная функции f(t) квадратично интегрируема. Равенство Парсеваля для функции f(t)
имеет вид
62
2


2
 f  t dt    I  d .
2


Таким образом
t 
2

  2 2
  2
2
   t f t dt   tf t dt    f  t dt .

 
 
Для получения конкретной числовой оценки предположим вначале, что импульс симметричен. Тогда




t 2   t 2 f 2 t dt   f 2 t dt .
Выражение, стоящее в правой части, допускает простую оценку с помощью неравенства Шварца.
2












t
f
t
dt

f
t
dt

tf
t
f
t
dt




 .


 


2

2
2
Так как функция f t  нормирована, то интеграл в квадратных скобках
легко вычисляется

1
 tf t  f t dt   2 .

Таким образом, для импульса, описываемого любой симметричной
функцией,
t 
1
1
или t 
.
2
4
(2.5.3)
Как известно, знак равенства в неравенстве Шварца достигается только
в том случае, если f  x   constg  x  . Применительно к нашей ситуации это
означает, что
f t   consttf t  .
Интегрирование этого выражения дает

t2 
f t   A exp const   .
2

Требование квадратичной интегрируемости означает, что константа отрицательна. Следовательно, знак равенства в “соотношении неопределенно63
стей” для симметричных импульсов достигается на гауссовых импульсах
вида

t2 
f t   A exp - const  
2

Несколько более громоздкие выкладки показывают, что учет несимметрии импульсов не уменьшает величины константы, стоящей в правой
части неравенства. Это связано с тем, что интегрирование ведется в бесконечных пределах. Между тем, в ряде работ [2,4,5] условие симметричности
для I() сразу же вводится в определение ширины спектра. Такое, казалось
бы, незначительное изменение приводит, однако, к тому, что величина константы в правой части уменьшается еще больше. Точные численные значения ее для случая симметричных и несимметричных импульсов приведены в
работах [3,5].
Таким образом, мы видим, что минимум в “соотношении неопределенностей” довольно чувствителен к тому, как мы определяем величины t и
. Это, по-видимому, и является причиной того, что во многих работах
численное значение этого минимума, вполне конкретное, заменяется некоторой неопределенной константой k, завышенной, как правило, на порядок, а
то и больше.
На практике, описанные выше интегральные способы определения величин t и  не получили какого-либо распространения, вследствие их
практической нереализуемости. Физическая величина не является математическим понятием, таким как точка, линия или интеграл в бесконечных пределах. При ее введении всегда явно или неявно должна быть оговорена
прямая или хотя бы косвенная процедура ее измерения. В большинстве
случаев длительность импульса определяют по уровню половины максимального значения его интенсивности.
Ширину спектра определяют аналогично. Поэтому в теоретических соотношениях мы обязаны использовать не абстрактно-теоретические, а общепринятые стандартные определения измеряемых физических величин. Такое
переопределение основных спектрально-временных параметров импульсов требует и соответствующего обоснования "соотношения неопределенностей", поскольку в данном случае оно, вообще говоря, ниоткуда не
следует. Различными авторами [6, 7] был рассмотрен ряд конкретных примеров, в которых вычислялось произведение t1/2 на  1/2 для некоторых
модельных ситуаций, При этом оказалось, что соответствующая величина
для гауссова импульса, равная t1/2  1/2 = (2/)ln2=0,44, отнюдь не минимальна. Практически для всех непрерывных функций, моделирующих ту или
иную форму лазерного импульса t1/2  1/2 оказалось меньше, чем у гауссова импульса. Эти результаты показывают, что импульсы, обладающие
64
малым значением произведения t1/2  1/2 должны моделироваться функциями, аналитические свойства которые значительно отличается от гауссоиды.
Среди общеизвестных моделей, минимальным значением t1/2  1/2 обладает импульс типа "односторонней экспоненты" [6, 7]. Однако, и в этом
случае t1/2  1/2 = 0,11, что по-видимому, позволяло надеяться на то, что "соотношение неопределенностей" справедливо и в обычном общепринятом
смысле. Анализ уже известных результатов позволяет предположить, что
импульсы с малым значением величины t1/2  1/2 должны обладать узким
интенсивным максимумом. В спектральной области им соответствуют
контуры с широкими медленно убывающими "хвостами". Симметрия спектрально-временного преобразования позволяет предположить и обратное. Если значительная часть энергии импульса сосредоточена в медленно убывающих "хвостах", то спектр такого импульса должен схлопываться. В качестве примера рассмотрим следующий симметричный импульс
t
,
(2.5.4)
T
где erfc(х) – дополнительный интеграл вероятностей, Т – масштабный
множитель. Фурье-образ такого сигнала также является симметричной
функцией частоты и при > 0 равен
f t   erfc
1

sin  arctgT 
2
2
 , причем ξ 0   T .
ξ   
2
2
4

1 T
Для расчета величины t1/2 и  1/2 следует решить следующие уравнения
T
1
и f t  
,
ξ  
2
2
1
т.к. функции f(t) и ξ   монотонно убывающие и уровень
по ампли2
туде соответствует уровню 0,5 по мощности.
Обозначая Т через х получим уравнение для определения ширины
 1 
2 2

  x
спектра
sin
4
1  x2
 arctgx 
Ненулевой корень этого уравнения равен xо= 0,8533. Следовательно,
2x
1 2  0 ,
T
или же
65
 1 2 
x0
.
T
Длительность импульса оказывается равной, t1 2  2 y 2T , где у – корень
уравнения erf (у) = 1 - 1/2, равный 0,266. В итоге получаем
2 x0 y 2
(2.5.5)
 1 2 t1 2 
 0,038 .

Полученное значение примерно в два раза меньше минимального значения, которое следует из соотношения неопределенностей при интегральном определении входящих в него величин (0,0796).
Рассмотренный пример далеко не единичен. Существует широкий класс
функций с описанными выше свойствами, для которых произведение
 1 2 t1 2 может быть сколь угодно малым. Тем самым переход к реально
измеримым физическим величинам приводит к тому, что "соотношение неопределенности" теряет смысл.
В качестве примера рассмотрим следующий симметричный импульс
f t  
1
,
(2.5.6)

t 

1  
T 

где v>1, v не равно целому положительному числу. Длительность такого импульса равна
t1 2  2T 21 2  1,
причем
lim
t1 2  2T  2  1 .
 1
Вычислим теперь фурье-образ этого сигнала. Он равен
2T   3  
   2T 2 
 
 1
ξ  
,1  ;
  Γ 2   T  
 1 F2 1;
,
 1  2
2
4 
2 
 a 
где 1 F2  b, ; x  – обобщенная гипергеометрическая функция. При v1
 c 
выражение для ξ   можно представить в виде следующего ряда
ξ  


2T
 1
1  T   0T  .
 1
Для ширины спектра при этом получается выражение
66
 
1 
1 
1 

T 
2
1
 1
, а lim   0 .
 1
Таким образом, мы построили явным образом семейство функций, для
всех членов которого  1 2 t1 2 может быть сделано сколь угодно малым
при условии, что v близко к единице. Производные от функций этого семейства терпят разрыв в нуле. Можно построить и такое семейство
функций, все члены которого будут дифференцируемыми всюду. Например,
1
f t  
(2.5.7)
 , при 1/2
  t 2 
1    
 T  
На рис. 2.8 приведены зависимости интенсивности излучения от времени и распределение интенсивности в спектре для импульсов, произведение  1 2 t1 2 для которых равно 0,038 и 0,00046.
Рис. 2.8. а - Зависимость относительной интенсивности излучения от времени для
импульсов, описываемых функцией (2.5.4) (импульс большей длительности) и функцией
(2.5.6) при v = 1,5. б - спектры импульсов, показанных на рис.2.5.1.а, нормированные к
единице. Для импульса меньшей длительности ширина спектра больше.
Рассмотренные примеры показывают, что существуют функции, описывающие импульсы разумной формы, для которых постоянная k при
общепринятом определении  и t может быть сколь угодно малой. Анализ приведенных примеров показывает, что этот вывод не изменяется и при
определении  и t по любому другому уровню от максимального .
Возможно и интегральное определение  и t через длительность и
ширину спектра эквивалентного импульса прямоугольной формы с энергией,
равной энергии рассматриваемого импульса. Оказалось, что и при таком определении постоянная k может быть сколь угодно близкой к нулю.
67
Таким образом, для лазерных импульсов неизвестной произвольной формы, параметры которых измеряют с помощью любых
экспериментальных приемов постоянная k может принимать сколь
УГОДНО малые значения. При использовании предположения о гауссовой
форме импульса «соотношение неопределенности» можно использовать,
при этом значение k = 0,44.
На практике "соотношение неопределенностей" иногда используют в
качестве критерия, позволяющего судить о «степени синхронизации мод» в
лазере. Большое значение величины  1 2 t1 2 иногда интерпретируют как наличие в импульсе фазовой или частотной модуляции. Поэтому часто независимыми способами измеряют величины  1 2 и t1 2 и, если их произведение
оказывается меньше единицы, то говорят, что лазер генерирует импульсы,
ограниченные спектром, т.е. импульсы, обладающие минимально возможной
длительностью при заданной ширине спектра.
Таблица 2.1. Спектрально-временные соотношения для некоторых импульсов.
В действительности же аналитические свойства измеренного импульса,
как правило, неизвестны, а, поскольку, как показано выше, произведение
 1 2 t1 2 может принимать какие угодно положительные значения, то говорить о том, является ли тот или иной импульс спектрально ограниченным,
68
не имеет смысла. Точно так же по значению k ничего определенного нельзя
сказать о том, присутствует ли фазовая модуляция или нет, равно как и судить о «степени синхронизации мод».
Таким образом, к интерпретации результатов на основе "соотношения
неопределенностей" для лазерных импульсов следует подходить с осторожностью. Это, по-видимому, можно делать, если на основании независимых данных есть уверенность, что форма огибающей импульса близка к
гауссовой. К счастью, это предположение обычно оправдывается на практике, поскольку форма спектрального контура усиления активной среды лазера
(вблизи максимума) хорошо описывается гауссовой кривой. Поэтому
огибающая спектра излучения титан-сапфирового лазера, генерирующего
ультракороткие импульсы, также может быть представлена гауссовым контуром.
Соотношения неопределенностей широко применяют в квантовой механике. В
связи с этим возникает вопрос о степени общности приведенных выше выкладок, и, в
частности, о их применимости к квантово-механическим задачам. Прямой аналогии, повидимому, нет. При рассмотрении лазерных импульсов, их спектров и корреляционных
функций мы имеем дело с непосредственно наблюдаемыми электромагнитными полями,
для которых спектрально-временные соотношения должны строго выполняться. В
квантовой механике, как известно, оперируют идеальными физическими моделями. В ней
реальные объекты представлены в виде дельта-функций Дирака и одновременно в виде
бесконечных плоских волн. В квантовой механике атом испускает фотон (бесконечную
плоскую монохроматическую волну) мгновенно. В ней рассчитывают статистические вероятности процессов, поэтому результаты расчетов не применимы к единичным процессам. Квантово-механические соотношения справедливы лишь в среднем. Поэтому при
описании процессов с физическими моделями квантовой механики спектральновременные соотношения, справедливые в электродинамике, по-видимому, непосредственно не применимы. Этот вопрос безусловно заслуживает обсуждения, однако,
он выходит за рамки нашей темы.
Структура спектра излучения лазера несет информацию о временной
картине исследуемого излучения. Так, если сигнал имеет периодическую составляющую, то соотношение t =1 выполняется точно. Здесь  и t –
расстояния между ближайшими максимумами в спектральной и временной
картинах излучения соответственно. Это следует из симметрии временного
и спектрального представлений относительно преобразований Фурье [1].
Строгая периодичность следования импульсов приводит к тому, что
дискретные частоты спектра излучения лазера эквидистантны с точностью
~10-15, которая ограничена лишь стабильностью лазерного резонатора. Это
позволяет использовать эти частоты в качестве оптических реперов. Если
одна из дискретных частот спектра фемтосекундного лазера привязана к
частоте оптического стандарта частоты, то все другие частоты отличаются
от нее точно на величину, кратную межмодовому интервалу лазерного резонатора.
69
Литература к разделу II
1. Born M, Wolf Е. Principles of Optics, 1964. Борн М., Вольф Е. Основы оптики М., 1970, - 856 с.
2. Evenson К. М., Wells J.S., Petersen F. R., Danitlson B.L., Day G.W.
Appl. Phys. Lett. 22, 192 (1973)
3. Climent T.S., S.A., Diddams, D.J. Jones. Lasers, ultrafast pulse technology. Encyclopedia of Physical Science and Technology, Third Edition. NY.2002.
4. Sommerfeld A. Arm. d. Physik, 44, 177, (1914).
5. Brillouin L. Ann. d. Physik, 44, 203, (1914).
6. Ахманов С.А., Вислоух В.А., Чиркин А.С. Оптика фемтосекундных
лазерных импульсов.- М.: 1988, 312 с.
7. Кадомцев Б.Б. Необратимость в квантовой механике. УФН, т. 173, с.
1221-40 (2003).
8. Grangier Ph., Abram I. Physics World, February, (2003), p. 31 – 35.
9. Вайнштейн Л. А. Распространение импульсов. УФН, 118, 339,
(1976).
10. Рабинович М.И., Трубецков Д. И. Введение в теорию колебаний
и волн. М., 2000, - 560 с.
11. Ахманов С.А., Никитин С.Ю. Физическая оптика. М., 1998 -656 с.
70
III. Измерение параметров ультракоротких лазерных импульсов
Многочисленные экспериментальные данные показывают, что ультракороткие лазерные импульсы принципиально не шумовые. Сам способ их
генерации (вынужденное излучение в резонаторе) обуславливает
их детерминированную природу и высокую монохроматичность и когерентность несущей частоты импульсов в периодической последовательности, генерируемой лазером. Поэтому перенесение методов статистической
радиофизики и оптики для универсального описания ультракоротких
лазерных импульсов, которое довольно широко распространено в научной
литературе [1,2], вряд ли оправдано, К тому же практически все исследователи используют не шумовую, а квазимонохроматическую модель
ультракороткого лазерного импульса.
В рамках этой модели когерентный ультракороткий импульс (генерируемый лазером) характеризуют следующие параметры:
• длина волны несущей частоты и сама эта частота;
• спектр излучения и его ширина;
• энергия;
• длительность и форма огибающей;
• длительность фронтов и степень их симметрии относительно максимума импульса;
• вид фазовой модуляции несущей частоты;
• знак и скорость дрейфа несущей частоты (в простейшем случае линейной по времени фазовой модуляции).
Измерения спектра не представляет трудностей, в особенности для
широкой огибающей спектрального контура фемтосекундных импульсов.
Наибольшие экспериментальные проблемы существуют при определении
трех последних величин.
Электронные способы регистрации формы импульсов с использованием
фотоэлектрических приемников (фотоэлементов, фотодиодов, ФЭУ) ограничены интервалами длительностей, превышающими ~ 100 псек. В
принципе это время, по-видимому, может быть снижено, так как
элементарный процесс фотоэлектронной ионизации для типичных зонных
структур материала фотокатодов составляет 10-14с. Однако, из-за разброса
скоростей фотоэлектронов указанное значение временного разрешения в
фотоэлектрических приемниках не может быть достигнуто. В наилучших
электронно-оптических преобразователях с разверткой временное
разрешение ограничено величиной порядка 1 пикосекунды [3].
Это означает, что в пико- и фемтосекундном диапазонах длительностей для измерения временных параметров лазерных импульсов должны использоваться оптические методы: спектральные и корреляционные,
71
которые должны быть дополнены старыми и новыми модификациями прямых электронных методов регистрации.
3.1. О некоторых заблуждениях в области корреляционных измерений
длительности ультракоротких лазерных импульсов
Следует сразу же отметить, что строго обоснованных методов определения формы и других параметров ультракоротких лазерных импульсов не существует. Именно поэтому эта проблема до сих пор актуальна и постоянно обсуждается в научной литературе.
Без использования произвольных предположений о форме огибающей
ультракороткого лазерного импульса и фазовой модуляции его мгновенной
несущей частоты корректно определить его временные характеристики
на основании измерений спектра и автокорреляционных функций разных
порядков невозможно.
Это связано с тем, что фотоприемные устройства регистрируют среднюю интенсивность излучения. Высокая оптическая частота несущей и малая длительность самих импульсов исключают возможность использования прямых электронных методов измерения амплитуды электромагнитных
колебаний. При измерениях спектра, и корреляционных функций излучения
обычно теряется информация о фазе колебаний, так как регистрируемые
сигналы при этом пропорциональны квадрату амплитуды электромагнитных колебаний. Интенсивность излучения в обычно применяемых процедурах измерений является средним значением по большому числу ультракоротких импульсов.
Тем не менее, в литературе опубликован ряд работ, в которых
утверждается, что на основе корреляционных и спектральных измерений
разработан тот или иной метод определения параметров ультракоротких
импульсов, которым авторы наскоро присваивают красивые названия,
(FROG, PICASO, SPIDER ...) [4 – 7]. На самом деле в этих работах экспериментальные данные с помощью стандартных компьютерных программ подгоняются к той или иной неявно принятой модели ультракороткого импульса, параметры которого и определяются.
В конце 60-х годов в литературе активно обсуждался метод двухфотонной люминесценции [8] для регистрации ультракоротких световых импульсов. Идея метода заключалась в регистрации трека двухфотонной
люминесценции, возбуждаемого двумя идентичными импульсами, распространяющимися в растворе красителя во встречных направлениях.
Корреляционный сигнал в люминесцирующей среде можно наблюдать
на фоне сплошного трека люминесценции только, в том случае, если он
пропорционален интенсивности в квадрате или в более высокой степени. А
это означает, что для таких измерений необходимо использовать
двухфотонную люминесценцию. Метод отличается исключительной на-
72
глядностью.
Интенсивность трека двухфотонной люминесценции, пропорциональна
автокорреляционной функции интенсивности. Дальнейшие исследования
показали пригодность метода лишь для качественных измерений. Трек
двухфотонной люминесценции регистрируется в присутствии постоянного
фона, а коэффициент контрастности трека сильно зависит от ряда трудно
контролируемых факторов.
Регистрация трека двухфотонной люминесценции, предложенная еще
в 1967 г., оказалась исторически первым корреляционным мет одом регистрации длительности сверхкороткого импульса. Почти сразу же
был предложен еще один метод определения автокорреляционной функции интенсивности. Метод заключался в экспериментальном определении интенсивность второй гармоники исследуемого излучения на выходе
интерферометра Майкельсона в зависимости от разности хода лучей в плечах интерферометра [9, 10]. Для ортогонально поляризованных пучков интерферирующих импульсов, а также в неколлинеарной схеме сигнал
второй гармоники возникает только в том случае, если два импульса пространственно перекрываются. Таким образом, стала возможной безфоновая прямая регистрация автокорреляционной функции интенсивности. Пространственные размеры пикосекундных импульсов хорошо
подходят для таких измерений.
Эти обстоятельства, по-видимому, и привели к возникновению одного
из самых стойких заблуждений лазерной физики. Оно может быть
сформулировано следующим образом: «корректно зарегистрировать длительность ультракороткого импульса можно только исключительно с помощью нелинейных корреляционных методов».
Это заблуждение настолько укоренилось, что уже более 30 лет его
воспринимают как аксиому и в литературе не обсуждают [11, 12]. Это
удивительно, так как более простые линейные измерения автокорреляционной функции первого порядка дают те же результаты, что и нелинейные измерения. На это обстоятельство обращали внимание авторы
[13] ещѐ в 1970 г. В [14] авторы настоящей работы продемонстрировали
применимость линейного метода регистрации для излучения квазинепрерывного лазера, субнаносекундные импульсы которого можно регистрировать независимо как фотоэлектронными, так и корреляционными методами (см. 3.5).
Еще одна причина существования указанного выше заблуждения
заключается, вероятно, в распространенности ошибочного представление о
лазерном излучении как о шумовом, флуктуационном процессе. Как
известно, корреляционная функция интенсивности не зависит от случайных
флуктуации фаз регистрируемого излучения. Поэтому научная общественность восприняла именно приведенное выше ошибочное утверждение. Линейный корреляционный метод регистрации ультракоротких импульсов в научной литературе не признаѐтся. Более того, в литературе су73
ществует множество работ, в которых для определения длительности ультракоротких импульсов используют корреляционные измерения третьего и
более высоких порядков, а также фотоприемники с двухфотонным и более
высокими степенями нелинейного поглощения, которые, как кажется их
авторам, дают некие новые сведения об истинной форме ультракороткого
импульса.
Возможность и даже необходимость использования линейных по амплитуде корреляционных методов измерений с очевидностью следует из
рассмотрения простого примера предельно короткого оптического импульса. В импульсах, содержащих всего несколько периодов оптических
колебаний, уже нельзя с определенностью говорить об огибающей, несущей
частоте и о фазовой модуляции этой несущей. Импульсы с такими параметрами уже получают в опытах с квазинепрерывными лазерами на сапфире, активированном титаном при тщательной компенсации дисперсии лазерного резонатора и внешних измерительных устройств [15].
Пусть измеряемый импульс содержит всего один период колебаний
оптической несущей, т.е. содержит положительный и отрицательный
выбросы амплитуды поля. Автокорреляционную функцию первого порядка
(АКФ) получают путем линейного сложения исходного импульса с его
копией, сдвинутой во времени. Проще всего такая процедура реализуется с
помощью интерферометра Майкельсона. В нем измеряемый импульс делят
на два одинаковых импульса, и складывают с точно регулируемой временной
задержкой. С помощью любого инерционного фотоприемника измеряют
энергию сигнала на выходе интерферометра в зависимости от разности хода
лучей. Естественно, для выполнения таких измерений необходимо иметь
источник воспроизводимых ултьракоротких импульсов, так как для
получения значения АКФ в каждой точке графика необходимо отдельное
измерение. Эта функция и есть линейная автокорреляционная функция или
автокорреляционная функция первого порядка (иногда эту функцию
называют автокорреляцией второго порядка, так как она пропорциональна
интенсивности излучения [16]).
Лазеры генерируют непрерывную последовательность одинаковых
ультракоротких импульсов. Для измерений АКФ нет необходимости
выделять отдельный ультракороткий импульс. Их выполняют в непрерывном режиме для бесконечной последовательности импульсов, так как расстояние между импульсами в последовательности обычно в десятки, а то и в
сотни тысяч раз превышает длительность отдельного импульса.
Если интерферирующие импульсы на выходе интерферометра сильно
разнесены в пространстве и не перекрываются, то сигнал на выходе равен
половине мощности измеряемого импульса (так как половина падающего
излучения отражается назад в направлении лазера зеркалами интерферометра Майкельсона). Когда импульсы перекрываются, регистрируют интерференционный сигнал, мощность которого изменяется от минимального
значения равного нулю до максимального, равного мощности измеряе74
мой последовательности импульсов. В сущности АКФ первого порядка
представляет собой зависимость видности интерференционных полос от
разности хода лучей в интерферометре Майкельсона.
Линейная автокорреляционная функция рассматриваемого импульса,
содержащего один период оптического колебания, будет содержать три интерференционных максимума, один из которых, наибольший положительный получается при нулевом сдвиге, а два других более слабых отрицательных - при пространственном сдвиге второго импульса в положительную и отрицательную сторону относительно исходного импульса на одну
длину волны. Отрицательное значение энергии корреляционного сигнала
(относительно фонового, среднего значения мощности сигнала) получается при сдвиге импульсов на половину длины волны. При этом один полупериод импульсов гасится из-за интерференции.
Можно задать вопрос: «А куда девается энергия при ослаблении или
уменьшении сигнала на выходе интерферометра?». Ответ заключается в
том, что коэффициент отражения света от интерферометра по отношению
к падающему на него сигналу зависит от фазовых соотношений между интерферирующими в нем волнами. При возникновении максимумов и минимумов излучения на выходе интерферометра соответственно изменяется и коэффициент отражения света от него, сумма коэффициентов отражения и пропускания (в пренебрежении потерями на поглощение элементами интерферометра) всегда равна единице.
Автокорреляционная функция интенсивности или АКФ второго порядка отличается от АКФ первого порядка тем, что на выходе интерферометра сигнал пропорционален не второй, а четвертой степени амплитуды сигнала, так как сигнал на выходе интерферометра удваивается по частоте с помощью нелинейного кристалла. Сигнал в данном случае, так же как в предыдущем примере, есть сумма двух сдвинутых друг относительно друга импульсов на выходе интерферометра. Корреляционный сигнал также возникает только в том случае, если импульсы хотя бы частично перекрываются.
Очевидно, что число максимумов в АКФ интенсивности в рассматриваемом
примере также будет равно трем, все они положительны, но с другими соотношениями амплитуд. Различие корреляционных измерений первого и
второго порядка наглядно демонстрируют расчѐты, приведенные в следующем разделе.
Таким образом, нелинейное преобразование сигнала на выходе интерферометра приводит просто к увеличению контраста корреляционного
сигнала относительно фона и дает принципиально тот же результат, что и
при линейной регистрации. Казалось бы, все ясно, нет никакой необходимости искусственно усложнять измерения. Тем не менее, во всех без
исключения работах по ультракоротким импульсам рутинно используют нелинейные корреляционные измерения, там, где с тем же успехом можно
обойтись более простыми интерференционными измерениями!
75
3.2. Определение длительности одиночных лазерных импульсов
по видности полос в интерферометре Майкельсона
Для одиночного фемтосекундного импульса автокорреляционные
функции первого или второго порядка могут быть зарегистрированы на
выходе интерферометра Майкельсона за один импульс. Для этого в интерферометре должно выполняться условие точного равенства оптических
длин его плечей. На вход интерферометра в пределах его апертуры должна
падать плоская световая волна. А одно из зеркал должно быть разъюстировано на небольшой угол с тем, чтобы на экране можно было бы наблюдать всю интерфернционную картину, образованную импульсом. В каждой пространственной точке экрана вдоль прямой линии в плоскости
экрана, установленного нормально к оптической оси интерферометра,
задержка между интерферирующими импульсами будет линейно нарастать в
положительную и отрицательную сторону относительно нулевого значения,
находящегося на оптической оси. Если импульс содержит 10 ...100 периодов
колебаний несущей частоты, то интерференционная картина им образованная может быть сфотографирована или зарегистрирована электронным способом. В первом случае, для получения АКФ фотопластинка фотометрируется. Во втором случае, сигналы с линейки фотоприемников преобразуют в
цифровой код и обрабатывают на компьютере.
Пусть на интерферометр Майкельсона падает оптический импульс
излучения, поле которого описывается функцией E(t).
На рис. 3.1 показана расчетная зависимость интенсивности этого
импульса с гауссовой огибающей от времени.
I t   E t 
2

 t
 exp 
t

 0

2
2



cos

t
 .




Рис.3.1. Зависимость интенсивности
импульса с гауссовой огибающей от времени.
Непосредственно
зависимость интенсивности от времени, понятно, не может быть измерена. На выходе интерферометра
Майкельсона излучение обычно
регистрируют инерционным приемником с постоянной времени Т,
значительно большей, чем длительность импульса. В зависимости от τ фотоприемник дает электрический сигнал, пропорциональный
76
t T
t T
t T
1 0
1
1 0
1 0
2
2

I ( ) 
 E (t )  E (t   ) dt 

 E (t ) dt 
 E (t ) E (t   ) dt ,

t t
4
2t t
2T t
0
0
0
где to - произвольный момент начала регистрации. В приведенной формуле
первый интеграл представляет собой среднюю интенсивность излучения, которая зависит от постоянной времени фотоприемника и энергии импульса. Эта интенсивность не зависит от разности хода лучей в интерферометре. Второй интеграл – есть автокорреляционная функция первого порядка поля излучения. Это хорошо известная кривая видности интерференционных полос, введенная Майкельсоном.
На рис.3.2 показана АКФ первого порядка, рассчитанная для импульса длительностью tp.
АКФ2   
 

 1    2 
2 
2 
 1
 1
1  exp  t p    exp     cos  exp  t p   
 2 t p 
2
 2

 2
 
  



На рисунке хороши видны все особенности такой АКФ:
- АКФ симметрична относительно нулевой задержки между импульсами;
- АКФ симметрична относительно фоновой интенсивности – IФ = 0,5;
- Полуширина огибающей АКФ примерно два раза больше полуширины интенсивности импульса.
Рис.3.2. АКФ первого
порядка, расcчитанная для импульса, показанного на рис. 3.1.
АКФ второго порядка, или
АКФ интенсивности для этого же
импульса, показана на рис. 3.3.
Эту зависимость измеряют путем
удвоения частоты излучения на
выходе интерферометра Майкельсона. Удвоение частоты осуществляют с помощью нелинейного кристалла.
Сигнал при этом пропорционален квадрату интенсивности каждого из интерферирующих импульсов или четвертой степени амплитуды входного импульса
77


3 2
3  4 2   1   exp  2
АКФ 4   
8
2
4 tp


  
 3 
3 cos   3 2 cos 2   cos 2    1  






 2

3 

exp  2 1  2 cos 2   4 2 cos    1 .
8
 t p

Здесь
 1  exp t p  ;
2
t  .
 exp
2
2
p
4
3.3. АКФ второго порядка, или АКФ
интенсивности для импульса, показанного на рис. 3.1.
Оставаясь симметричной
относительно нулевой задержки между импульсами АКФ интенсивности оказывается уже несимметричной относительно фоновой интенсивности. Контраст
интерференционной
картины
здесь составляет 1:8. Соответственно уменьшается и полуширина огибающей. Однако, обе АКФ содержат
одинаковое число интерференционных максимумов и минимумов.
Импульс, показанный на рис.3.1, содержит слишком мало периодов колебаний оптической несущей, чтобы можно было уверенно определить полуширину его огибающей. Поэтому на рис. 3.4 приведены результаты расчетов, для импульса, для которого это можно сделать.
Рис. 3.4а,б. Зависимость интенсивности от времени (а) и АКФ первого (б) порядка
для импульса с гауссовой формой огибающей.
По рис. 3.4 легко определить соотношения между полушириной им78
пульса гауссовой формы и соответствующими полуширинами огибающих
его автокорреляционных функций первого и второго порядка. В данном
случае импульса гауссовой формы эквивалентная ширина АКФ первого порядка превосходит длительность импульса в 2,1 раза, а ширина АКФ второго порядка – в 1,9 раза.
Рис. 3.4в. АКФ второго порядка для импульса с
гауссовой формой огибающей, показанного на
рис.3.4а.
Приведенные расчеты еще раз подчеркивают отсутствие принципиальной разницы в
измерении длительности импульса с помощью АКФ первого, второго или более высоких порядков при отсутствии фазовой модуляции несущей частоты.
3.3. Измерение АКФ для периодической последовательности импульсов
Генерация ультракоротких импульсов осуществляется единственным
способом – за счет использования лазера, работающего в режиме синхронизации мод. В этом режиме лазер генерирует строго периодическую последовательность импульсов. Фемтосекундные импульсы наименьшей длительности с высокой стабильностью формы генерируют лазеры, работающие в непрерывном режиме. Именно в этом режиме удается добиться высокой воспроизводимости импульсов, так как путем подстройки
компенсатора дисперсии в рабочем режиме удается точно скомпенсировать
дисперсию лазерного резонатора. Это приводит к генерации одиночных импульсов минимальной длительности за время, равное периоду резонатора.
Строгая периодичность следования импульсов приводит к тому, что
спектр лазера оказывается состоящим из эквидистантных частот под общей огибающей. Спектральный контур усиления активной среды лазера
часто хорошо моделируется гауссовой кривой. Поэтому длительность ультракороткого импульса t оказывается обратно пропорциональной ширине спектрального контура: t = 0,44/Δν.
Для корреляционных измерений излучения квазинепрерывных лазеров
нет необходимости выделять отдельный импульс из последовательности.
Удобнее как раз проводить измерения в непрерывном режиме, так как
последовательность, генерируемая лазером, состоит из одинаковых
ультракоротких импульсов. При этом появилась возможность непосредственной регистрации огибающей корреляционной функции.
79
Стабильность и воспроизводимость излучения современных фемтосекундных лазеров настолько высока, что стали возможны корреляционные измерения с разрешением интерференционных полос. Такие измерения проводят измеряя интенсивность излучения на выходе интерферометра Майкельсона. Одно из «глухих» зеркал интерферометра закрепляют на столике, с помощью которого возможно реализовать точное перемещение зеркала вдоль оптической оси интерферометра. Микрометрический винт столика, обеспечивающий последовательные микроперемещения зеркала, вращают с помощью шагового электродвигателя.
Для осуществления измерений с разрешением интерференционных полос
установка должна размещаться на оптической скамье, которая изолирует
систему от случайных механических вибраций пола лаборатории. Каждая
измеряемая точка на графике зависимости корреляционного сигнала от
разности хода между интерферирующими лучами получается в результате усреднения сигнала от миллионов импульсов, излучаемых лазером.
На рис.3.5, для примера, показана корреляционная функция интенсивности для квазинепрерывного фемтосекундного титан-сапфирового
лазера Mai Tai фирмы Spectra Physics. На рисунке видно, что корреляционная функция вполне аналогична теоретической кривой рис.3.4,в.
Интерференционные максимумы на графике зарегистрированы с исключительно малыми шумами.
Максимум спектрального контура излучения соответствует длине
волны 800 нм. Спектральный контур – гладкий без заметной модуляции
огибающей, что свидетельствует о генерации одиночного ультракороткого
импульса за время равное периоду резонатора лазера. Ширина спектра, по
уровню половинной интенсивности, равна 41 нм или 0,19·1014 Гц.
Поскольку частота повторения импульсов равна f = 80 МГц, то период
повторения импульсов (период резонатора лазера) Т = 1/f = 12,5·ΙΟ-9 с. За
время Т фемтосекундный лазерный импульс два раза проходит длину резонатора. Это соответствует оптической длине резонатора лазера L = сТ/2
=1,875 м. Расстояние между частотами соседних продольных мод резонатора равно vm = c/2L = 80 МГц.
Таким образом, спектральный контур, измеренный, как это принято, по
уровню половинной интенсивности, содержит 237500 дискретных частот.
Если учесть хвосты спектрального контура, то в действительности их можно
зарегистрировать примерно в два раза больше.
Корреляционная функция излучения лазера, симметрична относительно
временной задержки между интерферирующими лучами, а максимальная
интенсивность интерференционных полос, как и должно быть, в 8 раз превышает интенсивность фона.
О высокой стабильности излучения лазера свидетельствует возможность регистрации автокорреляционной функции с разрешением интерференционных полос.
80
Рис. 3.5. Автокорреляционная функция интенсивности титан-сапфирового лазера и
спектр его излучения.
Причем, интерференционные максимумы регистрируются с малыми
шумами, хотя сигнал фотоприемника, регистрирующего интерференционную картину, возникает в результате усреднения миллионов ультракоротких импульсов. Регистрация интерференционных полос однозначно свидетельствует о существовании единой почти монохроматической несущей
частоты для регулярной последовательности ультракоротких импульсов,
генерируемых лазером. В то же время дискретные, эквидистантные частоты
спектра, которые не разрешаются на рис. 3.5 - вовсе не монохроматичны, их
полуширины могут составлять десятки…сотни килогерц.
Ширина огибающей корреляционной функции, измеренная по уровню
половинной интенсивности, равна 48 фс. Если предполагать, что форма
ультракороткого импульса описывается гауссовой кривой, то длительность
импульса равна t = 1,9·48 = 23 фс. Эта величина соответствует длительности гауссова импульса, определяемого с помощью соотношения неопределенностей (которое именно в этом частном случае можно использовать) по
полуширине спектрального контура tΔν = 0,44... , t = 0,44/0,19·1014 = 23 фс.
Таким образом, модель гауссова импульса хорошо соответствует реальным фемтосекундным импульсам, генерируем титан-сапфирвым лазером.
Предположение об иной форме фемтосекундного импульса, например форме
квадрата гиперболического косинуса, (которая теоретически соответствует
форме солитона) не дает такого хорошего соответствия длительности импульса и ширины его спектра. Хотя расхождения малы и находятся в пределах 10% от измеряемых величин.
Измерение корреляционной функции второго порядка (корреляция интенсивности) отличается от измерений АКФ первого порядка только тем,
что на выходе интерферометра дополнительно устанавливают тонкую кристаллическую пластинку, которая преобразует корреляционный сигнал во
вторую гармонику. При этом, естественно, надо принимать специальные
меры для уменьшения влияния дополнительных искажений сигнала, не-
81
избежно возникающих в процессе генерации второй гармоники.
Отличительная особенность корреляционных функций излучения квазинепрерывных лазеров – периодическая зависимость огибающей корреляционного сигнала от разности хода интерферирующих лучей. Лазер, работающий в режиме синхронизации мод, излучает периодическую последовательность одинаковых импульсов. Поэтому интерференция возникает
при наложении импульсов, отличающихся на целое число периодов.
Корреляционная функция при этом оказывается бесконечной последовательностью максимумов, отстоящих друг от друга на расстояниях (разностях хода лучей в интерферометре), равных двойной длине лазерного резонатора. Пример периодической корреляционной функции излучения квазинепрерывного лазера показан ниже в разделе 3.5.
Макисмумы корреляционной функции, в отличие от лазерных импульсов, оказываются не идентичными друг другу. Корреляционный максимум в области нулевой разности хода содержит также интерференционный
сигнал связанный с усиленной люминесценцией активной среды лазера. В
некоторых типах полупроводниковых лазеров добавление этого сигнала
может быть весьма существенным. Оно приведет к уменьшению ширины
нулевого корреляционного максимума. Для лазеров, работающих в режиме
нерегулярных высокочастотных пульсаций, с увеличением разности хода
лучей в интерферометре корреляционные максимумы постепенно
уширяются, а их амплитуда уменьшается. Эти особенности корреляционной
функции связаны с влиянием дисперсии активной среды лазера (раздел 7).
3.4. Влияние линейной фазовой модуляции несущей частоты на корреляционные функции излучения
Корреляционные измерения длительности ультракоротких импульсов
дают корректные результаты только в том случае, если можно пренебрегать
фазовой модуляцией несущей частоты излучения. Из общих соображений
очевидно, что при очень сильной фазовой модуляции импульса уже нельзя говорить о постоянной несущей частоте излучения. При этом интерференция эффективно влияет на выходной сигнал интерферометра Майкельсона лишь при значительно меньших разностях хода, чем в случае импульсов
той же длительности без фазовой модуляции. Очевидно, что чем больше
фазовая модуляция, тем меньше будет ширина максимума корреляционной
функции. В пределе ширина корреляционного максимума будет соответствовать случаю белого света, т.е. будет содержать один интерференционный период, который будет наблюдаться в области нулевой задержки между
импульсами.
Анализ влияния линейной фазовой модуляции на спектральные и корреляционные свойства сигналов детально изучен в радиофизике. Такие сигналы широко используют в радиолокации. Там используется замеча82
тельное свойство таких сигналов – возможность выделения сигнала из шума
за счет его сжатия во времени линейным дисперсионным устройством с
соответствующим увеличением амплитуды.
Рассмотрим оптический импульс с огибающей треугольной формы.
Предположим, что длительность импульса равна То, причем точка t = 0 соответствует максимуму импульса. Амплитуда сигнала обращается в ноль для
абсолютного значения времени больше единицы. Будем полагать, что частота несущей частоты импульса ω0 линейно нарастает от начала импульса к
его концу. Мгновенная частота несущей изменяется по закону
 t   0  t .
Здесь α [с-2] – параметр, характеризующий скорость изменения частоты
во времени. За время, равное длительности импульса, девиация частоты
Δω = αΤ0. Полная фаза сигнала  t   0 t  t 2 . Относительное изменение
частоты за время импульса Δω/ω = Τ0α/ω.
На рис.3.6 показан треугольный импульс со значительным чирпом
несущей частоты, содержащий шесть периодов колебаний оптической несущей, а также рассчитанные значения корреляционной функции первого и
второго порядков. На рисунках ясно видно, что чирп приводит к сокращению количества регистрируемых интерференционных максимумов у корреляционных функций как первого, так и второго порядков. При отсутствии
чирпа число интерференционных максимумов как импульса, так и корреляционных сигналов одинаково (см. рис. 3.4).
Для сигнала треугольной формы, используя компьютерную математическую программу, нетрудно точно рассчитать корреляционные
функции излучения, поскольку в этом случае интегрирование проводится в
ограниченном временном интервале. Очевидно, что для временных
задержек, превышающих длительность импульса, корреляционный сигнал
обращается в ноль.
Рис. 3.6а. Временная зависимость амплитуды сигнала треугольной формы с параметром
чирпа  = 6.
83
Зависимость амплитуды электрического вектора треугольного сигнала
от времени задается выражением:

t 
E (t )  1   cos( 0 t  t 2 ) .
t0 

Автокорреляционная функция первого порядка
 ( )  
2 t0
2 t0
E ( ) E (t   )dt , а второго порядка –
( )  
2t0
 2t0
( E (t )  E (t   )) 4 dt .
Компьютерные расчеты приведенных выше интегралов, приведенные на рисунках 3.6б,в, соответствуют набору параметров: t0 = 1,  = 6, 0
= 20.
Рис.3.6б,в. Автокорреляционная функция первого (б) и второго порядка (в) для треугольного импульса, показанного на рис. 3.6а.
На рис. 3.6 ясно видно, что никаких особенных преимуществ регистрация
АКФ интенсивности по сравнению с АКФ первого порядка при регистрации сигналов с чирпом, также как и без оного, не имеет.
В радиотехнике для радиолокационных сигналов прямоугольной формы было установлено, что ширина главного лепестка огибающей АКФ обратно пропорциональна девиации частоты импульса. В оптике для импульсов с приближенно гауссовой формой огибающей побочных максимумов с заметной амплитудой, связанных с фазовой модуляцией несущей частоты, не возникает.
Импульс, распространяющийся в среде с дисперсией, уширяется по мере
распространения. Это не приводит к изменению ширины спектра импульса.
Однако произведение Δt pΔω при этом увеличивается примерно про-
84
порционально толщине среды. Импульс перестает быть спектрально ограниченным, так как его несущая частота становится модулированной по фазе.
Как известно, длительность импульса можно вернуть к исходному значению за счет его пропускания через среду или устройство, компенсирующее эту фазовую модуляцию.
Приведенные на рис.3.6 результаты, как кажется, имеют общий характер для любых колоколообразных импульсов. Эти обстоятельства необходимо учитывать при настройке фемтосекундных лазеров на минимальное
значение длительности импульсов. Если в качестве критерия длительности
импульса использовать корреляционную функцию, то линейный чирп будет
приводить к уменьшению ширины корреляционного максимума, которое
может ошибочно трактоваться как сокращение длительности импульса.
Как известно, для фемтосекундных импульсов заметный чирп возникает
при прохождении через пластинку из стекла толщиной всего порядка
миллиметра. Поэтому корреляционной функции, содержащей несколько
интерференционных максимумов оптической несущей, может соответствовать чирпированный импульс, содержащий значительно большее число
периодов колебаний электрического вектора, чем это следует из зарегистрированной АКФ. При этом, сами измерения чирпа практически невозможны,
так как для импульсов, содержащих несколько оптических колебаний и сама
частота несущей становится неопределенной величиной.
3.5. Устойчивая генерация субнаносекундных импульсов гелийнеоновым лазером [17]
Непрерывный гелий-неоновый лазер может быть построен таким образом, что он будет устойчиво работать в режиме синхронизации мод без
каких либо модулирующих добротность резонатора элементов, точно так же,
как титан-сапфировый лазер. Для этого, по-видимому, достаточно скомпенсировать дисперсию активной среды лазера используя соответствующие зеркала резонатора.
Генерируемые таким лазером импульсы длительностью 0,65 нс с
периодом повторения 5 нс, можно надежно зарегистрировать как прямыми,
так и корреляционными методами. Проведенные детальные измерения
показали, что длительность лазерных импульсов вполне уверенно можно
определять по автокорреляционной функции первого порядка [14]. Результаты прямых измерений обоими методами дают согласующиеся результаты. Лазер генерирует устойчивую воспроизводимую последовательность импульсов длительностью 0,65 ± 0,05 нс, измеренную по уровню
0,5 от максимального значения интенсивности. Период повторения
импульсов равен 5 нс, соответствующим времени двойного прохода светом лазерного резонатора (длина резонатора 75 см). О высокой степени воспроизводимости режима генерации сверхкоротких импульсов лазером сви-
85
детельствует устойчивость осциллограммы на экране стробоскопического
осциллографа. Положение импульсов на осциллограмме сохраняется неподвижным без каких-либо сбоев в течение многих часов наблюдения.
На рисунках, показанных ниже, представлены характеристики гелийнеонового лазера ЛГ-79. Для всех 4 исследованных образцов лазеров этого
типа измерения дают идентичные результаты. Средняя выходная мощность излучения лазера 10 мВт.
Измерения временной картины генерации с помощью стробоскопического осциллографа С 1-74, полоса воспроизводимых частот которого
составляет 3,5 ГГц, обнаруживают ее высокую устойчивость. Картина, показанная на рис. 3.7 остается неизменной на экране осциллографа на протяжении часов непрерывной регистрации.
С временными измерениями согласуется наблюдаемый спектр излучения лазера. Он состоит из 7 узких эквидистантных линий с воспроизводимыми значениями амплитуд. Спектр излучения регистрировался с помощью стандартного интерферометра Фабри-Перо и спектроанализатора.
Расстояние между спектральными линиями равно 206 МГц. Это значение
соответствует периоду повторения импульсов и длине лазерного резонатора.
Ширина спектрального контура отдельной линии, согласно измерениям
спектроанализатором составляет ~100 кГц.
Характерно, что стабильность временной картины излучения сохраняется и в процессе установления теплового режима лазерного резонатора
после его включения. При этом частоты спектра излучения лазера непрерывно дрейфуют в одну сторону под огибающей спектра, которая сохраняет свое положение оставаясь неподвижной.
Рис. 3.7. Осциллограмма излучения гелийнеонового лазера ЛГ-79. Для измерений использован стробоскопический осциллограф С174. Период следования импульсов равен 5 нс.
Фотоприемник – лавинный фотодиод ЛФД-2,
ширина полосы пропускания которого равна 1,2
ГГц.
Рис. 3.8. Развертка во времени излучения того же лазера. На рисунке – фотография
экрана электронно-оптической камеры «Агат СФ» и результат ее фотометрирования.
86
Не представляет больших трудностей измерить автокорреляционную
функцию излучения такого лазера. Для этого сигнал фотоприемника, установленного на выходе интерферометра Майкельсона, на который направлялось излучение лазера, усиливался, детектировался, сглаживался с
помощью интегрирующей RC-цепочки и направлялся на самописец. Таким
образом, самописец непосредственно регистрирует огибающую автокорреляционной функции первого порядка.
Рис. 3.9. Спектр излучения лазера, зарегистрированный с помощью интерферометра ФабриПеро.
Рис. 3.10. Огибающая автокорреляционной функции лазера, измеренная с помощью интерферометра Майкельсона (1) и
рассчитанная по спектру (2).
На рис.3.10 представлены результаты измерений, которые представляют собой зависимость видности интерференционных полос на
выходе интерферометра Майкельсона от разности хода интерферирующих лучей. АКФ лазера представляет собой бесконечную последовательность периодически повторяющихся максимумов. Это означает, что
видность интерференционных полос на выходе интерферометра Майкельсона периодически спадает и восстанавливается до первоначального уровня
при разностях хода лучей в интерферометра, кратных двойной длине резонатора лазера. В промежутках между максимумами видность полос падает
до ~ 0,06 от максимального значения, равного 1,0. Ширина максимумов
АКФ, измеренная по уровню половинной интенсивности, составляет 39 см. В
пересчете во временной масштаб измерений эта ширина равна 1,3 нс. Если
предполагать гауссову форму импульсов, генерируемых лазером, то ширина
АКФ соответствует импульсу длительностью 0,62 нс. Это значение хорошо
согласуется с результатами прямых измерений длительности импульсов, а
также с измерениями спектра лазера.
Максимумы видности периодически повторяются, когда задержка
87
одного из лучей в интерферометре равна периоду лазерного резонатора.
Кривая 2 рис. 3.10 рассчитана на основании измерений интенсивностей дискретных частот в спектре излучения лазера в предположении о нулевых значениях фаз этих частот. Расхождение между кривыми 1 и 2 связано с погрешностями в определении интенсивностей частот.
Корреляционные измерения позволили измерить интенсивность излучения лазера в промежутках между импульсами. Интерференционная картина
на выходе интерферометра Майкельсона удовлетворительно регистрируется
при соотношении интенсивностей лучей до 1:400. Для этого при нулевой
разности хода излучение в одном плече интерферометра калиброванно ослаблялось до получения значения видности 0,06. Это измерение показало, что интенсивность фона между импульсами лазера составляет менее
1% от интенсивности в максимумах импульсов. Это означает, что регистрация АКФ первого порядка позволяет, в отличие о нелинейных методов регистрации, обнаружить слабый сигнал на фоне во столько же раз более мощного.
Измерения импульсов прямыми осциллографическими и электроннооптическими методами не позволяют регистрировать фон в таком большом
диапазоне изменения интенсивности. Измерения длительности импульсов
по АКФ первого порядка, давая тот же конечный результат, обладают очевидными преимуществами по сравнению с нелинейными методами. Измерения проще и возможны на любых длинах волн, для предельно слабых
сигналов и в случае регистрации слабых сигналов в присутствии более
мощных.
Измерения АКФ и спектра излучения лазера ультракоротких импульсов
недостаточны для того, чтобы судить об их временных параметрах. К тому
же прохождение пико- и фемтосекундных импульсов через оптические элементы установки и даже через подложку выходного зеркала лазера сильно
влияет на огибающую импульса.
Поэтому, процедура измерений должны включать в первую очередь использование обычных электронных методов регистрации: малоинерционного
фотодиода с осциллографом, электронно-оптической камеры, а также спектрографа.
С помощью этих приборов можно убедиться в устойчивости временной
картины излучения лазера и в том, что внутри лазерного резонатора циркулирует единственный ультракороткий импульс. О единственности импульса
на периоде резонатора однозначно свидетельствует еще один признак - отсутствие модуляции огибающей спектра излучения лазера.
Обычно необходимо настроить лазер на генерирование максимальной
пиковой мощности излучения за счет регулирования дисперсионных параметров компенсатора дисперсии лазерного резонатора, а также компенсатора
дисперсии внешних по отношению к лазеру оптических элементов. При
этом, естественно, лазер и будет генерировать предельно короткий импульс.
88
Критерием, по которому осуществляется такая настройка, может быть средняя мощность излучения, возникающего при нелинейном преобразовании
исходного излучения, например, мощность его второй или третьей гармоники. После такой настройки можно считать, что длительность импульса минимальна, а чирп несущей частоты излучения в первом приближении отсутствует. При этом о длительности импульса можно судить по автокорреляционной функции излучения. Причем, достаточными будут измерения АКФ
первого порядка.
Литература к разделу III
1. Гудмен Дж. Статистическая оптика. М: Мир, 1988.-528 с.
2. Ахманов С.А., Дьяков Ю.Е., Чиркин А.С. Введение в статистическую радиофизику
и оптику. М.: Наука 1981. 640 с.
3. Щелев М.Я. Пико-фемтосекундная электронно-оптическая фотография в квантовой
электронике. Квантовая электроника 31 (2001), с. 477.
4. Iacjnis C., Walmsley I.A. Optics Lett. Vol. 23, 792 (1998).
5. Nicholson J.W., et.al. Optics Lett. Vol. 24, p. 1774, (1999).
6. Nicholson J.W., et.al. Optics Lett. Vol. 25, p. 1801, (2000).
7. Messager V., et. al. Optics Lett. Vol. 28, p. 743, (2003)
8. Giordmine J.A. et. al. Appl. Phys. Lett., 11, 216 (1967).
9. Armstrong J.A. Appl. Phys. Lett. 10, 16-18 (1967).
10. Weber H.P. J. Appl. Phys. 38, 2231 (1967).
11. Ахманов С.А., Вислоух В.А., Чиркин А.С. Оптика фемтосекундных лазерных импульсов.- М.: 1988 - 312 с.
12. Крюков П.Г. Лазеры ультракоротких импульсов. Квантовая электроника, т.31, 95120, (2001).
13. Smith R., Alley C. Opt. Commun. 1, 262 (1970).
14. Борисов В.И., Лебедев В.И., Перепечко С.Н. В сб. тр. III симпозиума «Сверхбыстрые процессы в спектроскопии» Минск, 1983, с. 246 -250.
15. Morgner U. et al. Optics Letters, 24, 411 (1999).
16. Перина Я. Когерентность света. М.: Мир, (1974) - 367 с.
17. Борисов В.И., Лебедев В.И. Квантовая электроника, т. 13, 1712-1714, (1986).
89
IV. Лазеры ультракоротких импульсов
Быстрое развитие лазерной физики началось после создания рубинового
лазера Майманом [1]. Лазер – это источник света. В словарях и справочниках
обычно расшифровывают английскую аббревиатуру LASER (Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation) и поясняют, что лазер генерирует луч
с высокой когерентностью, направленностью и плотностью энергии. В [2] лазер – это устройство, преобразующее различные виды энергии в энергию когерентного электромагнитного излучения оптического диапазона. Лазер – это
устройство, производящее интенсивный, чисто монохроматический луч [3].
Все эти определения верны лишь частично, отражая отдельные свойства излучения лазеров разных типов. Излучение самых распространенных - полупроводниковых лазеров не обладает ни одним из перечисленных выше
свойств. Луч такого лазера сильно расходящийся, а излучаемый им свет не
отличается ни высокой когерентностью, ни монохроматичностью.
Последние 20 лет произошла революция в создании лазеров, генерирующих ультракороткие, фемтосекундные импульсы, длительностью ~10 -14
секунды. Интенсивность излучения в ультракоротком импульсе действительно может быть высокой, однако, нельзя говорить, что такое излучение когерентно. Отдельный, предельно короткий лазерный импульс содержит всего
несколько периодов колебаний электромагнитного поля, а его спектр занимает примерно четверть всего видимого диапазона света. Однако, лазер, работающий в таком режиме, всегда генерирует не одиночный, а регулярную,
строго периодическую последовательность когерентных, имеющих общую
несущую частоту ультракоротких импульсов. Частота этой несущей действительно монохроматична и реально существует, так как может быть непосредственно зарегистрирована интерферометром Майкельсона.
Поэтому более корректно дать более общее определение лазера как
устройства, генерирующее упорядоченные во времени и пространстве
световые волны за счет вынужденных переходов в активной среде.
В упорядоченности электромагнитных колебаний лазерного света и
заключается его принципиальное отличие от хаотического, шумового излучения нагретых тел.
В начале лазерной эры важнейшими задачами считали получение непрерывного предельно стабильного и монохроматического излучения, которое можно использовать, как эталон длины и времени.
На сегодняшний день более актуальным направлением лазерной физики обоснованно считают исследования, связанные с ультракороткими, фемтосекундными импульсами. Ультракороткие лазерные импульсы позволили
приступить к освоению новых пико- и фемтосекундных временных диапазонов и к изучению ранее недоступных для исследования быстро протекающих
процессов в химии, биологии, электронике.
Фемтосекундный импульс даже сравнительно небольшой энергии ~ 1
Дж обладает мощностью 1015 Вт. С этим связано другое принципиальное
достижение лазерной физики – петаваттные лазеры, дающие возможность
90
сконцентрировать указанную мощность в малом объеме и создающие электромагнитные поля с напряженностями, превышающими внутриатомные.
Это означает, что оптика начинает вторгаться в область ядерных процессов и
явлений. С лазерами связывают основные надежды на решение самой трудной технической задачи, стоящей перед человечеством – освоением реакции
управляемого термоядерного синтеза.
Лазер, генерирующий ультракороткие импульсы, концентрирует в них
всю энергию излучения. Поэтому пиковая мощность излучения лазера возрастает в тысячи раз. Это позволяет использовать сравнительно маломощные
квазинепрерывные лазеры со средней выходной мощностью в десятки милливатт для многочисленных технологических применений.
Удовлетворительная теория лазеров ультракоротких импульсов пока
отсутствует. Более того, общеприняты некорректные представления о процессах генерации в таких лазерах, приводящие к парадоксам и основанные на
непригодных в данном случае понятиях классической оптики и люминесценции. В этой работе мы обосновываем необходимость развития другого подхода, в соответствии с которым генерация ультракоротких импульсов обусловлена слабо изученными эффектами когерентного взаимодействия излучения с активной средой лазера.
4.1. Импульсные лазеры
Пички свободной генерации первого рубинового лазера, длительностью порядка микросекунды не представляли интереса для применений. Способ генерирования лазером одиночного, мощного наносекундного импульса
впервые предложил Хеллварсом [4]. Метод модуляции добротности резонатора позволил радикально сократить длительность излучения рубинового лазера по сравнению с длительностью импульса накачки. Суть метода заключается в искусственном увеличении потерь резонатора во время действия импульса накачки и максимально быстром уменьшении их в момент окончания
этого импульса. При этом энергия, накопленная в активной среде за время
импульса накачки, преобразуется в короткий моноимпульс лазерного излучения.
Такую модуляцию потерь лазерного резонатора осуществляют за счет
использования электрооптического затвора или быстрого вращения зеркала
резонатора. Естественно, момент включения затвора или вращение зеркала
синхронизируют по времени с окончанием импульса накачки.
Длительность лазерных моноимпульсов, которые назвали «гигантскими» составляла десятки наносекунд. Интенсивность излучения в условиях
большого превышения усиления активной среды над потерями резонатора
экспоненциально нарастает подобно энергии, выделяющейся в цепной реакции, происходящей при атомном взрыве. Пиковая мощность гигантских импульсов может достигать сотен метаВатт. При этом, чем больше начальное
усиление активной среды, тем короче гигантский импульс.
91
Гигантские импульсы сразу же нашли многочисленные применения в
военных разработках систем лазерного наведения и светолокации, что обеспечило практически не ограниченное финансирование и быстрое развитие
этих работ.
В полупроводниковых лазерах, обладающих резонатором малой длины
и большим усилением, маломощные субнаносекундные импульсы можно получать непосредственно при накачке полупроводниковых лазеров электрическими импульсами малой длительности. Однако, дальнейшее продвижение
в область еще более коротких, пикосекундных импульсов ограничено здесь
возможностями электроники по генерированию коротких импульсов тока накачки.
Исследователи, в начале 60-х годов занимавшиеся импульсными лазерами с модуляцией добротности на рубине и стекле, активированном неодимом, почти сразу же обнаружили существование периодической временной
модуляции огибающей гигантских импульсов [5,6].*
Период модуляции совпадал с временем обхода светом резонатора.
Существование этой модуляции было однозначно связано с присутствием в
спектре излучения лазера дискретных частот. Это обстоятельство сразу же
нашло «очевидное» (и некорректное, см. ниже) объяснение: модуляция есть
результат биений этих дискретных частот - продольных мод лазерного резонатора.
Для устранения модуляции огибающей гигантского импульса, которая
в задачах светолокации рассматривалась как нежелательное явление,** необходимо было обеспечивать одночастотный режим генерации. Обычно нормальные торцы активного стержня и зеркала резонатора, напыленные на
плоскопараллельные стеклянные подложки, обеспечивали селекцию мод,
достаточную для подавления высокочастотной модуляции, так что специальных мер для для получения одночастотного режима генерации обычно не
применяли.
Естественно, сразу же возникла идея использования «биений продольных мод лазерного резонатора» для генерирования сверхкоротких световых
импульсов. Режим работы лазера в этом случае назвали «синхронизацией
мод резонатора».
*Можно отметить, что такую модуляцию излучения рубинового лазера в 1964 г.
наблюдали Ю. Ф. Моргун, один из авторов этой книги (В.Л) и В.А. Пилипович. Однако,
этому факту мы тогда не придали значения, приписав наблюдаемое явление шумам регистрирующей аппаратуры.
**Подавление высокочастотной модуляции огибающей гигантских импульсов,
генерируемых твердотельными лазерами, было необходимо для снижения световой нагрузки на элементы лазерного резонатора. Плотность мощности гигантского импульса порядка 109 Ватт на квадратный сантиметр в твердотельном лазере близка к порогу оптического пробоя поверхностей элементов резонатора. Многократное возрастание пиковой
мощности излучения при генерации сверхкоротких импульсов, существенно увеличивало
световую нагрузку на зеркала лазерного резонатора, что было недопустимо, так как приводило к возникновению необратимых микроповреждений, «оптическому пробою» их поверхностей.
92
На первых этапах развития методов синхронизации мод лазеров казалось,
что в этот режим лазер надо «загонять» насильственными методами.
Появилось огромное число работ, посвященное методам синхронизации мод
лазеров с помощью установки в лазерный резонатор различных затворов.
Модуляцию излучения на частоте межмодовых биений электрооптическим затвором назвали активной синхронизацией мод, а использование для
получения «режима синхронизации мод» просветляющегося затвора - пассивной синхронизацией мод [7,8].
Теоретическим «обоснованием» необходимости использования методов синхронизации мод служили представления о лазере, как о генераторе
усиленного шума. Такая модель лазера была принята в статистической оптике, методы которой без должного обоснования переносились в физику лазеров [9].
Очевидно, что для устранения процесса размножения сверхкоротких
импульсов, внутри лазерного резонатора не должно быть дополнительных,
отражающих поверхностей, нормальных его оптической оси. Экспериментально такой резонатор реализуют за счет использования активного стержня
с брюстеровскими торцами и зеркал, нанесенных на клиновые подложки.
Нанесение просветляющих покрытий на нормальные торцы активных
стержней не позволяет подавить селекцию мод. Лазерный резонатор настолько чувствителен, что на его спектр сказывает влияние даже вторая поверхность «глухого» лазерного зеркала с коэффициентом отражения 99,8%,
нанесенного на плоскопараллельную стеклянную подложку.
Для получения стабильного, воспроизводимого режима работы лазер
должен работать на простейшей поперечной моде резонатора. Наличие других поперечных мод существенно усложняет временную картину излучения
и приводит к нарушениям периодичности следования сверхкоротких импульсов. Чтобы поперечный размер луча лазера, генерирующего на простейшей
поперечной моде, был значительным и превышал ~ 1 мм активная среда лазера должна быть высоко однородной. Это условие проще обеспечить в активных элементах лазера малой длины. Для выделения единственной поперечной моды в лазерный резонатор иногда устанавливают диафрагму диаметром ~ 1 мм. Чтобы устранить кольцевую пространственную структуру,
возникающую в луче лазера в этом случае, диафрагма должна быть аподизированной. В современных лазерах генерацию на простейшей поперечной моде резонатора получают просто фокусировкой однородного луча накачки в
область диаметром порядка миллиметра на активном элементе.
Одиночный ультракороткий импульс может быть выделен из последовательности сверхкоротких импульсов, генерируемых лазером, с помощью
электрооптического затвора, который устанавливают на пути луча вне лазера. Для этого время обхода светом резонатора лазера должно составлять порядка 5... 10 наносекунд (соответствующая длина резонатора 0,7 ...1,5 м),
чтобы иметь возможность синхронизовать с помощью быстродействующего
фотодиода и электронной схемы момент открытия затвора с выделяемым
сверхкоротким световым импульсом. Длительность фронтов электрического
93
импульса, управляющего затвором может составлять несколько наносекунд,
что достаточно для выделения одиночного сверхкороткого импульса из последовательности с указанным выше периодом.
Одиночный субпикосекундный импульс может быть подвергнут дальнейшему существенному временному сжатию за счет эффектов частотной
самомодуляции в дисперсионных элементах или нелинейной среде с последующим пропусканием чирпированного импульса через линейную дисперсионную среду с нужным значением дисперсионного параметра второго порядка.
Развитие теории лазеров ультракоротких импульсов по субъективным
причинам с самого начала пошло по ложному пути. Излучение лазера считали принципиально шумовым, поэтому предполагалось, что корректное описание лазеров ультракоротких импульсов и их излучения должно строиться
на основе статистической оптики. Ряд ошибок и заблуждений в области
объяснения наблюдаемых явлений, в технической реализации лазеров ультракоротких импульсов и методах измерения параметров импульсов до сих
пор сохраняются в научной литературе. Это и неудивительно – осуществляется прорыв в новую временную область, где длительности импульсных процессов в миллион раз короче доступных исследованиям электронными методами. Некоторые ошибочные и спорные представления о лазерах ультракоротких импульсов и методах «синхронизации мод» в них до сих пор воспроизводят в научной литературе и учебниках [10, 11].*
Самое неприятное из нелинейных явлений в лазере - самофокусировка.
Из-за нее пятно генерации вырождается в набор мелких пятен с чрезвычайно
высокой плотностью мощности в каждом из них. Поэтому в активном стержне лазера количество микроповреждений увеличивается после каждого импульса накачки. Получить воспроизводимый, устойчивый режим генерации
пикосекундных сверхкоротких импульсов в лазерах с ламповой импульсной
накачкой можно было лишь при использовании активных стержней с низкой
концентрацией активных частиц и выполнении ряда других условий, в частности, искусственном сужении ширины спектра излучения [12].
При теоретическом описании работы лазера с пассивной синхронизацией
мод начиная с работ [13] исследователи в основном исходили из ошибочной
концепции шумовой, флуктуационной природы сверхкоротких импульсов.
Предполагалось, что поскольку лазерное излучение возникает из шумового
* Наиболее распространенной технической ошибкой при создании лазеров с синхронизацией мод первого поколения было использование сравнительно длинных активных стержней, применяемых в импульсных лазерах с модуляцией добротности резонатора
и импульсной ламповой накачкой. В режиме генерации ультракоротких импульсов пиковая мощность излучения возрастает в сотни и тысячи раз по сравнению со случаем моноимпульсной генерации. Поэтому плотность мощности лазерной генерации оказывалась
чрезмерно высокой. Каждый импульс генерации порождал дефекты в активной среде и
элементах резонатора, что приводило к невоспроизводимости режима работы лазера.
Кроме того, генерация сопровождалась нелинейными оптическими явлениями, существенно осложнявшими динамику излучения.
94
излучения затравочной люминесценции активной среды, то излучение лазера
принципиально состоит из хаотической последовательности импульсов со
случайными амплитудами. Для подавления флуктуаций и выделения одиночного импульса на периоде резонатора в соответствии с этой концепцией
обязательным считали применение специальных затворов, т.е. методов активной или пассивной синхронизации мод.
Прорыв в фемтосекундную область длительностей импульсов и получение воспроизводимых ультракоротких импульсов были осуществлены в
квазинепрерывных лазерах сверхкоротких импульсов следующих поколений.
На первом этапе использовали лазеры на органических красителях с активной средой в виде тонкой плоской и однородной струи жидкости. Излучение
накачки - луча аргонового лазера фокусировалось на струю. Пассивную синхронизацию мод резонатора в лазерах на красителях осуществляли просветляющимся затвором также в виде струи жидкости.
Впрочем, устойчивые ультракороткие импульсы от лазера на красителе
в некоторых случаях можно было получать и безо всяких затворов, что с
удивлением констатировали многие исследователи.
В середине 90х годов появились лазеры на твердом теле с широкими
спектральными полосами усиления. В них использованы активные стержни
в виде кристаллических пластинок толщиной порядка миллиметра при непрерывной или импульсной лазерной накачке. Лазер генерирует на простейшей поперечной моде резонатора. Умеренные плотности мощности генерируемого излучения при этом не вызывают повреждений кристалла, а
сверхкороткие импульсы оказывается стабильным и воспроизводимыми.
Наиболее удачный материал, используемый в настоящее время – сапфир, активированный титаном [14]. Принципиально, что непрерывный режим генерации ультракоротких импульсов в таких лазерах осуществляют без использования разработанных ранее и «теоретически обоснованных» методов синхронизации мод с помощью затворов, устанавливаемых в лазерный резонатор.
Имеется множество работ, в которых получают великолепное или хорошее «согласие теории и эксперимента». При этом авторы этих работ игнорируют иногда очевидные противоречия и парадоксы своей теории. Поэтому
не следует быть излишне доверчивыми. Компьютерные методы расчета стали
настолько изощренными, что согласовать любые опытные данные с правдоподобной (но неверной в принципе) концепцией, варьируя несколько свободных параметров, не представляет больших трудностей. В настоящей работе мы обосновываем подход, который заключается в том, что понимание
процессов в лазерах ультракоротких импульсов не может быть основано на
традиционных подходах.
Генерация ультракоротких импульсов лазером это процесс, в котором, по-видимому, основную роль играет когерентное взаимодействие излучения с активной средой. Именно в направлении учета этих эффектов и
должна развиваться теория лазеров.
95
4.2. Нестационарные когерентные оптические эффекты в лазере
Распространение мощного светового импульса в резонансной среде сопровождается рядом квантовых эффектов, обусловленных нестационарным
откликом среды [15,16]. При этом традиционные методы описания взаимодействия излучения с возбужденными и невозбужденными атомами среды,
основанные на таких понятиях, как диэлектрическая проницаемость среды,
коэффициент поглощения или усиления, становятся некорректными. Это обстоятельство ясно понимали основоположники физики лазеров. Так, в одной
из первых работ по лазерам Басов и Прохоров излагают основы квантовомеханического подхода к когерентному взаимодействию излучения с системой
двухуровневых атомов [17].
Фокс и Смит [18] еще в 1967 г. отмечали, что сверхкороткие импульсы, генерируемые непрерывными гелий-неоновыми лазерами, являются импульсами, возникающими при когерентном взаимодействии излучения с
усиливающей средой лазера. Однако, до настоящего времени влияние когерентных оптических эффектов на лазерную генерацию изучено слабо, а в
большинстве работ, в том числе и обзорных, возможность существенного
влияния на динамику лазеров ультракоротких импульсов этих эффектов игнорируется. На самом деле это сложная и не решенная проблема физики лазеров. И вообще заметно, что изобилие чисто теоретических исследований
при явном дефиците работ по количественной проверке корректности теорий
привели к иллюзии понимания динамических процессов, происходящих в лазерах ультракоротких импульсов.
Наблюдения динамики лазеров коротких и сверхкоротких импульсов с
большой вероятностью указывают на существенное влияние на нее сверхизлучения, нестационарной нутации, фотонного эха и самоиндуцированной
прозрачности. Некоторые экспериментальные данные, связанные с этой проблемой, полученные авторами, приведены ниже.
Особенности когерентного взаимодействия поля и вещества можно
понять на простых примерах. С квантовомеханической теорией этих процессов можно познакомиться по монографиям, например, [15, 16, 29].
Следуя [17] рассмотрим идеальный атом, который может находиться
только в двух энергетических состояниях i и j. Если такой атом взаимодействует с резонансным излучением, то решение уравнения Шредингера описывает случай временной интерференции двух энергетических состояний
атома, которое формально похоже на пространственную интерференционную
картину от двух щелей, если роль пространственной координаты играет время. При достаточно быстром включении возбуждения атома вероятности нахождения атома на верхнем или нижнем энергетическом уровнях в зависимости от времени описываются квадратом синусоидальной функции:
2
 2π

C j (t)  sin 2 
Vij t  .
 

(4.1)
96
При выводе этой формулы пренебрегают спонтанными переходами между
уровнями i и j, т.е. считают, что мощность вынужденного излучения значительно превышает мощность люминесценции. Этот случай всегда реализуется в лазере. Vij – оператор взаимодействия частицы и поля. В дипольном
приближении он равен скалярному произведению дипольного момента атома
на напряженность электрической составляющей поля Vij  μ ij E .
Частоту осцилляций, описываемых уравнением (4.1), называют частотой
Раби . Она равна, что очевидно из (4.1),
Ω
μ ij E

.
(4.2)
Рис. 4.1. Зависимость вероятности
нахождения системы невзаимодействующих частиц в состояниях
i и j от времени.
Уравнение (4.1) описывает также и систему, состоящую из N невзаимодействующих частиц. Если в начальный момент времени, когда включают излучение, частицы находятся в возбужденном состоянии, то
система излучает энергию до тех пор, пока все частицы не окажутся в основном состоянии. Если же начальное распределение по уровням обратное, то
система вначале поглощает энергию до состояния полной инверсии уровней,
а затем возвращается в исходное состояние.
При рассмотрении когерентных эффектов в лазере необходимо перейти от рассмотрения взаимодействия излучения и частиц в единице объема к
задаче о распространении импульса излучения в усиливающей среде. При
этом должны возникать когерентные эффекты: сверхизлучение, фотонное
эхо, самоиндуцированная прозрачность. Принципиальное существование
этих эффектов подтверждено рядом экспериментов в микроволновом диапазоне спектра, где характерные длительности когерентных процессов лежат в
наносекундном диапазоне. В оптическом диапазоне исследования должны
проводиться в пико- и фемтосекундном диапазонах, где до сих пор не преодолены экспериментальные проблемы измерений.
Энергия импульсного излучения, полностью инвертирующего состояние атомной системы, до прохождения через нее импульса находившуюся в
основном состоянии, называют -импульсами. 2-импульс проходит через
поглощающую среду без потерь энергии. Если энергия возбуждающего импульса превышает энергию 2-импульса, то после прохождения резонансной
среды импульс оказывается разбитым на последовательность 2-импульсов.
Эти явления называют самоиндуцированной прозрачностью.
В усиливающей среде -импульс после своего прохождения оставляет
позади себя атомы в основном энергетическом состоянии. По мере прохож97
дения через усиливающую среду энергия импульса возрастает. При когерентном распространении в идеальной поглощающей среде площадь импульса сохраняется. В отличие от этого в усиливающей среде длительность импульса непрерывно уменьшается, а его амплитуда неограниченно возрастает.
Когерентный характер взаимодействия поля и вещества будет проявляться, если за время действия светового возбуждения заметно изменяются
населенности энергетических уровней системы, т.е.  имп ~ 1 .
Приведенная на рис. 4.1 зависимость описывает замечательную квантовомеханическую особенность взаимодействия поля и частиц, которая прямо противоречит интуитивным представлениям и описанию системы на основе энергетических, вероятностных представлений: с течением времени после включения излучения равновесное среднее распределение частиц по
энергетическим уровням никогда не наступает. Как известно, вероятностный
подход предсказывает выравнивание населѐнностей уровней при воздействии на двухуровневую атомную систему излучения достаточно высокой
мощности.
Если наблюдать за свойствами электромагнитного поля, распространяющегося в активной среде и когерентно взаимодействующего с атомами,
то энергия поля будет пульсировать во времени и пространстве с частотой
Раби или с периодом T 
h
.
2 Vij
Модель невзаимодействующих частиц оказывается слишком грубым
приближением, если в объеме, с размерами, соответствующими длине волны
излучения, содержится значительное число частиц. Именно такой случай
реализуется во всех лазерных активных средах.
В системе взаимодействующих через поле излучения атомов при достаточно высокой интенсивности излучения должны возникать эффекты когерентного поглощения и испускания света, связанные с интерференцией
квантовых состояний системы частиц. Ансамбль частиц когерентно взаимодействует с полем иначе, чем отдельная частица или система невзаимодействующих частиц.
Нестационарные когерентные эффекты изучались еще в долазерную
эпоху в случае магнитного резонанса. Частицы, поглощающие и испускающие электромагнитное излучение, моделируют диполями, которые тем самым взаимодействуют друг с другом через поле излучения. Если такое взаимодействие охватывает большое число частиц N, то ансамбль начинает вести себя корпоративно. Сфазированность диполей приводит к возникновению
макроскопической поляризации среды. Система диполей, колеблющихся в
фазе должна излучать когерентно. Эту особенность среды описывают, используя модель гигантского псевдодиполя. Дипольный момент псевдодиполя
в N раз больше, чем дипольный момент отдельной частицы.
Именно поэтому при когерентном поглощении или усилении излучения скорость вынужденного перехода пропорциональна не первой степени,
а квадрату числа взаимодействующих частиц, при этом время испускания
98
оказывается в N раз короче, чем характерное время разгорания или затухания
люминесценции у невзаимодействующих частиц. Это явление называют
сверхизлучением или кооперативным эффектом Дикке.
Сверхизлучение имеет некоторые особенности. Оно возникает не сразу
после установления инверсной населенности среды, а спустя время, требуемое для установления корреляции между атомами. Сверхизлучение имеет
вид короткого импульса, поскольку время излучения системы сокращается в
N раз по сравнению с некогерентным случаем. На сверхизлучение существенное влияние оказывают размеры и форма излучающей активной среды. В
случае, когда образец имеет вид вытянутую форму, а резонатор отсутствует,
сверхизлучение происходит в малом телесном угле, направленном вдоль оси
цилиндра, и похоже на луч лазера.
Это по-видимому происходит при генерации лазера без резонатора с
активной средой, обладающей значительным усилением. Как известно, это
явление наблюдали при накачке моноимпульсом с мощностью выше некоторого порогового значения растворов красителей и кристаллов с центрами окраски.
Простые оценки показывают, что эффекты когерентного взаимодействия света с активной средой должны наблюдаться даже для непрерывных гелий-неоновых лазеров со средней мощностью излучения порядка 1 милиВатта.
Для хорошо разрешенного атомного перехода дипольный момент равен: 1 Д (Дебаю) = 3,33564 10-30 Кл м. При средней мощности излучения 1
мВт эффективное значение напряженности электрического поля в луче диаметром порядка миллиметра соответствует ~ 600 В/м, а амплитудное значение этой величины ~ 900 В/м (см. раздел 1.6). Внутри лазерного резонатора
мощность излучения в ~ 100 раз выше, так как коэффициент отражения выходного зеркала лазерного резонатора ~ 1%. Кроме того, пульсации интенсивности излучения повышают интенсивность излучения еще на порядок (в
лазере ЛГ 79 в 7 раз, см. раздел 3.5). Таким образом, амплитуда колебаний
электрического поля в излучении лазера, взаимодействующим с его активной
средой составляет в рассмотренном случае ~ 106 В/м. Частота Раби при этом
равна   5 109 Гц.
За время действия импульса возбуждения среды при существенном
влиянии когерентных эффектов должна значительно изменяться доля частиц,
находящихся в возбужденном состоянии. Этому требованию соответствует
условие:
Ωt  1; или E 

.
μ ij Δt
(4.3)
При длительности импульса t = 0,6 нс напряженность поля в соответствии с
(4.3) должна превышать 5 104 В/м. Как видим, это условие в гелий-неоновом
лазере заведомо выполняется. Напряженность поля, соответствующая мощности излучения ~ 1 мВт, должна приводить к субнаносекундным пульсациям излучения.
99
Таким образом, можно с уверенностью утверждать, что эффектами когерентного взаимодействия излучения с активной средой в лазерах пренебрегать нельзя. Это означает, что моделировать динамику лазеров ультракоротких импульсов с помощью вероятностного метода расчета некорректно.
Лазер – это сложная колебательная система. Поэтому кроме точных
математических соотношений, характеризующих его работу, всегда полезно
пользоваться общими принципами.
Как известно, первый лазерный принцип, это принцип конкуренции
мод. В соответствии с ним в лазере с неселективным резонатором стационарная генерация всегда возникает на той резонансной частоте, для которой реализуется наибольшая разница между коэффициентом усиления активной
среды и коэффициентом потерь резонатора.
Частота стационарного генерируемого излучения, в соответствии с
первым принципом, автоматически следит за изменением параметров резонатора. Это позволяет создавать лазеры со стабилизацией частоты за счет
привязки резонансной частоты лазерного резонатора к оптическому реперу,
например, к провалу в спектральном конуре поглощения эталонного вещества, помещенного в резонатор.
Признание когерентного характера взаимодействия генерируемого лазером излучения с активной средой позволяет сформулировать еще один, пока не общепринятый второй лазерный принцип: ширина спектра излучения
лазера с неселективным резонатором всегда максимальна и определяется
шириной спектрального контура усиления активной среды на частоте лазерного перехода.
Это и означает, что лазер с неселективным резонатором всегда генерирует
излучение в виде коротких импульсов, длительность которых, обратно пропорциональна ширине спектрального контура усиления активной среды.
Обычно причины многочастотного характера спектра излучения лазеров различных типов связывают с существованием в активной среде лазера
амплитудно-фазовых решеток. Более общей причиной существования второго лазерного принципа следует считать когерентность взаимодействия излучения с активной средой лазера, о которой говорилось выше.
При мощности накачки, соответствующей пороговой, лазер любого типа всегда стационарно генерирует почти монохроматическое изучение. После включения лазера мощность генерации возрастает и достигает значений,
при которых становится существенным сверхизлучение. Сверхизлучение
проявляется в появлении высокочастотных пульсаций излучения и возрастании действующего значения коэффициента усиления для этих пульсаций.
При увеличении коэффициента усиления активной среды, за счет когерентного взаимодействия вещества с полем, длительность импульса сверхизлучения предельно сокращается. При этом происходит максимальное уширение
спектра излучения, которое и ограничивается шириной спектра усиления активной среды.
Повышение мощности накачки приводит к увеличению ширины спектрального контура усиления. Когда эта ширина начинает соответствовать
100
импульсу, пространственная протяженность которого меньше длины лазерного резонатора, на выходе лазера возникают периодические пульсации излучения. Короткий импульс генерируемого излучения начинает циркулировать внутри лазерного резонатора. Это означает, что в огибающей спектра
излучения лазера появляется периодическая модуляция, период которой обратно пропорционален длине резонатора. При этом (ошибочно) считают, что
лазер генерирует в многомодовом режиме, то есть одновременно на нескольких продольных модах резонатора,(подробности этих процессов обсуждаются ниже).
4.3. Измерение стационарного коэффициента усиления активной среды и
скорости накачки импульсного лазера
Исследования лазеров должны быть основаны в первую очередь на
точных количественных измерениях их параметров. Ниже приведены методики измерения коэффициента усиления, скорости накачки импульсных рубиновых лазеров и мощности излучения лазера в широком динамическом
диапазоне, разработанные в свое время авторами настоящей работы [19,20].
Если считать, что активные частицы среды не влияют друг на друга, то
стационарный коэффициент поглощения среды (без учета эффектов когерентного взаимодействия излучения с веществом) равен произведению сечения поглощения для перехода между энергетическими уровнями среды  на
концентрацию активных частиц n: k = n [см-1]. По аналогии коэффициент
усиления равен разности населенностей уровней, умноженной на то же сечение поглощения: kус = (n2 – n1), где n2 – населенность верхнего, лазерного
уровня активной среды. Для существования усиления среда должна быть инвертирована, то есть населенность верхнего лазерного уровня должна быть
больше, чем основного, нижнего.
У трехвалентных ионов хрома в матрице из сапфира (рубин) сечение
поглощения для обыкновенного луча R1-линии равно  = 2,3  0,1410-20 см2.
Для достижения порога генерации, как известно, должно выполняться
энергетическое условие генерации, то есть равенство коэффициента усиления коэффициенту потерь лазерного резонатора.
k ус  k пот  ρ 
1
1
ln
,
2L R 1 R 2
(4.4)
где  - коэффициент вредных потерь лазерного резонатора, R1 и R2 коэффициенты отражения зеркал открытого резонатора длиной L, который
предполагается заполненным активной средой.
Таким образом, измерение стационарного коэффициента усиления активной среды сводится к определению коэффициентов отражения зеркал резонатора и длины активной среды. На практике оказалось, что здесь имеются
некоторые экспериментальные тонкости. Если зеркало резонатора образовано двумя или большим числом отражающих поверхностей, например, зеркало нанесено на плоскопараллельную стеклянную подложку, то использова101
ние в (4.4) значения R, определенного на спектрофотометре, приводит к
ошибкам. Фактически коэффициент отражения зеркала лазерного резонатора
всегда равен максимальному интерференционному коэффициенту отражения
от системы поверхностей, образующих зеркало. Для повышения точности
измерений коэффициента потерь резонатора следует пользоваться зеркалами
с минимальным числом отражающих поверхностей, отдавая препочтение поверхностям без покрытий.
Пороговая энергия накачки лазера есть произведение средней скорости
накачки BU, действующей на активную среду и достаточной для достижения
коэффициента усиления, равного коэффициенту потерь лазера, на длительность импульса накачки t: Wпор = BUнакt.  - квантовый выход люминесценции активной среды, В – коэффициент Эйнштейна для вынужденного перехода в канале накачки, Uнак – объемная плотность энергии накачки.
Пороговая энергия накачки лазера хорошо воспроизводится от импульса к импульсу накачки и может быть точно измерена, например, по электрическому напряжению на конденсаторе, питающем лампу накачки. Варьируя
электрическую энергию накачки можно установить ее равной пороговой с
точностью лучшей 1%. Момент появления генерации точно фиксируется визуально на экране, установленном на выходе лазера, по появлению яркого
луча лазерной генерации.
В лазерах, работающих по трехуровневой схеме (рубин, сапфир, активированный титаном), по мере роста коэффициента усиления эффективность
накачки падает, так как при этом уменьшается населенность основного состояния и, следовательно, поглощение накачки.
Обычно скорость накачки значительно превосходит скорость спонтанного перехода частиц из возбужденного лазерного состояния в основное. В
этом случае зависимость коэффициента усиления трехуровневой активной
среды от энергии накачки описывается приближенной формулой:
k ус
χ
 1  2exp(  ηBU нак t )
(4.5),
где - коэффициент поглощения активной среды на частоте лазерного перехода.
Скорость накачки BU зависит от особенностей конструкции лазерного осветителя, лампы накачки и параметров активной среды. Поэтому энергию
накачки удобнее характеризовать безразмерной величиной, числом порогов
накачки Х, которую определяют относительно пороговой энергии накачки
исследуемого лазера без потерь. При k = 0 из (4.5) следует, что пороговая
энергия накачки равна ln2. Таким образом
X
1
2
ln
,
ln2 1  k ус /χ
а коэффициент усиления активной среды связан с относительной пороговой
энергией накачки соотношением:
k ус
χ
 1  exp[ln2(1  X)] .
(4.6)
102
Выражение (4.6) легко проверяется экспериментально.
Тщательные измерения, проделанные для большого числа рубиновых
кристаллов разной формы и размеров, показали, что соотношение (4.6) некорректно описывает зависимость энергии накачки от потерь лазера. Однако,
при этом, к счастью, было найдено более простое эмпирическое выражение,
связывающее коэффициент усиления с относительной энергией накачки:
k
 1  exp(1  X) .
χ
(4.7)
В отличие от выражения (4.6) здесь под знаком экспоненты отсутствует
множитель ln2.
Рис.4.2. Зависимость функции пороговой энергии накачки от коэффициента потерь лазерного резонатора. 1, 2
рубиновые стержни с коэффициентами поглощения в обыкновенном
луче R1-линии 0,24 и 0,32 см-1 соответственно. Пунктир – зависи-мость
(4.7). Точки – эксперименталь-ные
данные.
Эмпирическая зависимость (4.7) учитывает все факторы, влияющие на
коэффициент усиления, в частности, усиленную люминесценцию активной
среды и поглощение накачки возбужденными частицами. Границы применимости соотношения (4.7) для конкретных образцов кристаллов можно установить эмпирически. Начало отклонения от линейной зависимости на рис.
4.2 означает нарушение (4.7) из-за самовозбуждения внутренних мод лазерного кристалла.
Предельные значения коэффициента усиления, достигаемые при бесконечно большой накачке, равны коэффициентам поглощения активных
стержней на частоте лазерного перехода. Эти значения указаны на рис. 4.2
пунктиром. Отклонения от линейной зависимости, наблюдаемые на рис. 4.2 в
области больших значений коэффициента усиления, связаны с самовозбуждением активных стержней на замкнутых внутренних модах. Практически
для некоторых активных стержней начало отклонения от линейной зависимости, наблюдаемое на рис. 4.2, может быть сдвинуто в область более высоких коэффициентов усиления за счет дополнительного матирования боковой
поверхности кристалла.
Измерения, типа показанных на рис. 4.2, могут служить надежной основой для достаточно точного определения стационарного коэффициента
усиления и скорости накачки BUнак, действующей в исследуемом лазерном
кристалле при любых значениях энергии накачки. Эти измерения показывают, что с достаточной точностью за начальную пороговую энергию накачки
можно принимать ее значение в лазере с резонатором умеренной длины
(~0,5 ...1,0 м), образованном «глухими», полностью отражающими зеркала103
ми. Коэффициент усиления активного стержня может достигать значения,
примерно равного 0,5... 0,7 от коэффициента поглощения активной среды на
частоте лазерного перехода, измеренного спектрофотометром.
4.4. Динамика свободной генерации рубинового лазера. Сравнение теории с экспериментом
Определение параметров лазера: скорости накачки и коэффициента
усиления с точностью ~ 1% на основе данных предыдущего раздела позволяет провести количественное сравнение динамики свободной генерации рубинового лазера с расчетами на основе вероятностного метода [21]. Изучалась
зависимость амплитуды и длительности импульсов свободной генерации в
зависимости от коэффициента потерь резонатора и мощности ламповой накачки. При этом оказалось, что теория не дает удовлетворительного описания динамики излучения лазера, работающего в режиме свободной генерации.
а
б
Рис. 4.3. Зависимости длительности импульсов свободной генерации рубинового лазера от
мощности накачки (а) и потерь лазерного резонатора (б).
Кривые 1 – экспериментальные зависимости для потерь резонатора 0,1 см-1а, б – скорость
накачки 5,7 10-3 сек-1. Значения потерь резонатора для расчетных кривых рис. 4.2 а: 0,04;
0,07; 0,1; 0,14; 0,17; 0,2 см-1 кривые 2 – 7 соответственно. Значения скорости накачки для
расчетных кривых 2 - 7 рис. 4.2 б: 7,8; 6,6; 5,4; 4,2; 3,0; 1,8 сек-110-3 соответственно.
На рисунках 4.3 видно, что лазер во всех случаях генерирует значительно, примерно в 5 раз более короткие импульсы, чем это следует из расчетов. В случае соответствия теории с экспериментом кривые 1 на рис. 4.3 а и б
должны совпадать с кривыми 4. Из расчетов следуют также более сильные
зависимости длительности импульсов от изменения коэффициента усиления
и скорости накачки, хотя они и правильно предсказывают характер зависимостей.
Относительная пиковая мощность пичков генерации лазера в 5 раз превышает расчетные значения, так как точки на графике рис. 4.4 должны ложиться на прямую 4.
Существенные расхождения расчетных и опытных данных на рис. 4.3 и
4.4 имеет стабильный, воспроизводимый и однозначный характер и их не104
возможно объяснить существованием каких-либо технических причин, например, флуктуациями параметров резонатора или термооптическими искажениями активного элемента под
действием накачки.
Рис. 4.4. Зависимость относительной максимальной
мощности выходного излучения рубинового лазера от мощности накачки.
Точки – экспериментальные данные, измеренные для лазера с потерями 0,1 см-1
должны ложиться на прямую 4. Коэффициент потерь для расчетных прямых 1 – 6
равен соответственно: 0,2; 0,17; 0,14; 0,1;
0,07; 0,04 см-1.
Нет оснований сомневаться и в корректности соотношений вероятностного метода расчета динамики лазера, так как в них нет свободных параметров, а все расчеты основаны на точно измеренных величинах. Причина –
в приближенном характере самого подхода, игнорирующего когерентный характер взаимодействия излучения с активной средой лазера.
Для объяснения существующего расхождения необходимо считать,
что действующее значение превышения коэффициента усиления лазера над
потерями во время развития пичка генерации существенно превышает расчетное значение.
Рис. 4.5. Зависимость скорости нарастания интенсивности от коэффициента
потерь резонатора для второго пичка свободной генерации рубинового лазера. Вероятностная теория предсказывает обратную зависимость – уменьшение крутизны
фронтов с ростом потерь (см. рис. 4.3б).
Измерения проведены по методике, описанной в следующем разделе.
Наблюдаемые расхождения между теорией и экспериментальными
данными по-видимому, следует объяснять не автомодуляцией потерь лазерного резонатора, как предполагалось ранее, а когерентным характером взаимодействия излучения с ансамблем активных частиц среды. Более конкретно
со сверхизлучением активной среды лазера. В пользу этого предположения
свидетельствует факт сокращения длительности импульса излучения с ростом абсолютного значения коэффициента усиления лазера, то есть с ростом
концентрации возбужденных частиц, взаимодействующих с полем излучения
(рис. 4.5).
105
4.5. Измерения мощности лазерного излучения в широком динамическом диапазоне
Мощность излучения в максимуме пичков свободной генерации превышает уровень люминесценции активного стержня на 4... 6 порядков. В режиме генерации гигантского импульса пиковая мощность возрастает еще на
три порядка. Переход к генерации ультракоротких импульсов приводит к
дальнейшему повышению этой мощности еще в сотни и тысячи раз. Возрастание спектральной плотности мощности при возникновении лазерной генерации, теоретически должно в бесконечное число раз превышать эту величину для люминесценции (фактически более чем на 10 порядков). При таком
радикальном повышении мощности вряд ли следует ожидать, что будут продолжать действовать общепринятые в классической оптике представления о
взаимодействии света с веществом. Здесь в действие должны вступать когерентные эффекты взаимодействия излучения с веществом, связанные с интерференцией квантовых состояний активных частиц среды.
Стандартные методы исследования люминесценции активных элементов и лазерного излучения с помощью электронных методов регистрации
обычно не позволяют проследить изменения интенсивности импульса излучения в широком динамическом диапазоне.
Идея методики регистрации во всем диапазоне изменения интенсивности импульса лазерного излучения, предложенная в работе авторов [19], показана на рисунке 4.6.
Рис. 4.6. Схема экспериментальной установки. 1, 4 – зеркала резонатора лазера, 2 – активный стержень, 3 – аподизированная диафрагма, установленная в резонаторе для подавления пространственной структуры в луче лазера, 5 светоделительная пластина, 6 – скоростной фоторегистратор СФР-2.
Рис. 4.7. Пример развертки излучения рубинового лазера, работающего в режиме свободной генерации. Интенсивность излучения в соседних порядках развертки (снизу вверх)
ослаблена в 40 раз. Потери резонатора лазера 0,03 см-1. Энергия накачки на 30% выше пороговой.
106
Стеклянная светоделительная пластина делит луч лазера, прошедший через
нее, на последовательность параллельных лучей. Изменением наклона пластины по отношению к лучу лазера можно регулировать степень ослабления
интенсивности лучей, прошедших через пластину и испытавших разное число отражений от ее поверхностей. Последовательность затухающих по интенсивности лучей, выходящих из пластины, регистрируется скоростным фоторегистратором.
Фотометрирование разверток лучей в области почернений, лежащих на линейном участке характеристической кривой фотопленки, позволяет восстановить зависимость интенсивности излучения лазера от времени в широком
динамическом диапазоне. Практически чувствительность фотопленки позволяет зарегистрировать весь процесс генерации от люминесценции до максимумов импульсов.
Рис. 4.8. Передний фронт второго
пичка генерации рис. 4.7. Интенсивность излучения нарастает строго по экспоненциальному зако-ну
при изменении этой величины на 5
порядков.
4.6. Динамика лазера с неустойчивым и разъюстированным плоским
резонатором
Как показали данные предыдущего раздела, наибольшее расхождение измеренных параметров излучения лазера с теорией наблюдается в области
максимальных коэффициентов усиления активной среды. Поэтому целесообразны исследования динамики лазера именно в таких условиях. Для увеличения порогового коэффициента усиления необходимо искусственно увеличить потери лазерного резонатора. Наиболее целесообразный способ для этого – использование неустойчивого сферического или разъюстированного резонатора.
В одном из экспериментов неустойчивый резонатор был образован «глухим» сферическим зеркалом с радиусом кривизны его поверхности 56 см и
«глухим» многослойным диэлектрическим покрытием, причем, длина резонатора превышала радиус кривизны зеркала. Второе, полупрозрачное зеркало
образовано плоскопараллельной стеклянной пластинкой из стекла К-8 без
покрытий. Использовался рубиновый активный элемент диаметром 7 мм с
длиной активной части 120 мм с сапфировыми наконечниками, срезанными
под углом Брюстера.
107
Степень неустойчивости резонатора и его потери могли повышаться просто за счет увеличения длины резонатора. В описываемом эксперименте
она устанавливалась равной 90 см, чтобы генерация возникала при максимальной энергии накачки Х  3, при которой в возбужденное состояние переводится 86% активных частиц. Замечательная особенность рубинового лазера с неустойчивым резонатором заключается в том, что он, вопреки ожиданиям, стабильно и воспроизводимо генерирует не микросекундные пички
свободной генерации, а гигантские импульсы [22]. Энергия этого гигантского
импульса длительностью ~ 50 нс достигает 0,1 Джоуля, хотя в резонаторе лазера отсутствуют какие-либо модуляторы добротности.
На рис.4.9 ясно видно, что спонтанно генерируемый лазером моноимпульс принципиально отличается от пичка свободной генерации значительной асимметрией. Передний фронт импульса сильно растянут по сравнению с
задним. Нарастание интенсивности излучения лазера с неустойчивым резонатором аналогично динамике лазера с просветляющимся затвором, хотя никаких модуляторов добротности лазерный резонатор не содержит.
Рис. 4.9. Временная развертка импульса генерации лазера с неустойчивым полусферическим резонатором,
полученная по методу, описанному в
[19].
Неустойчивость резонатора приводит к большим дифракционным потерям, поэтому луч лазера на рис. 4.9 окружен «ореолом» расходящегося излучения. Наблюдаемые особенности генерации лазера с неустойчивым резонатором доказывают существование нелинейного механизма самовоздействия
генерируемого излучения.
Измерения динамики рубинового лазера с неустойчивым резонатором при
меньших длинах резонатора (и уровнях накачки) обнаруживают две особенности. Гигантскому импульсу предшествует пичок свободной генерации
(рис. 4.10), амплитуда которого в тысячу раз меньше амплитуды гигантского
импульса. Изломы на кривой I(t) всегда сопровождаются возникновением
высокочастотной модуляции огибающей излучения с периодом, равным времени обхода светом резонатора. При максимальной неустойчивости резонатора пичок свободной генерации непосредственно переходит в гигантский
импульс, как это видно на рис. 4.9.
Самый простой способ увеличения порогового значения коэффициента
усиления лазера - разъюстировка одного из зеркал устойчивого плоского резонатора. Динамика генерации лазера и в этом случае аналогична показанной
на рис. 4.9 и 4.10.
108
Рис. 4.10. Зависимость мощности выходного
излучения лазера с неустойчивым резонатором
от времени. Штрихам и на рисунке условно показана область существования модуляции излучения с периодом резонатора.
Скоростной фоторегистратор СФР-2 имеет временное разрешение 15 нс.
Чтобы наблюдать модуляцию генерируемого излучения с периодом, равным
времени обхода светом резонатора использовалась длина резонатора 7 м. При
съюстированном резонаторе лазер генерирует пички свободной генерации
микросекундной длительности. Разъюстировка резонатора радикально меняет режим генерации. Еѐ особенности показаны на рис. 4.11а и б.
а
б
Рис. 4.11а – временная развертка излучения лазера с разъюстированным резонатором;
б –интегральная микрофотограмма развертки а.
На развертках рис. 4.11 видно, что каждый последующий импульс генерации развивается из остаточного излучения предыдущего. Процесс разгорания
генерации завершается генерацией гигантских импульсов, амплитуда которых в 100 раз больше амплитуды затравочных пичков. Так же, как в случае
неустойчивого резонатора передний фронт группы наиболее интенсивных
импульсов имеет излом, что свидетельствует о включении в этой точке механизма самовоздействия излучения в лазерном резонаторе.
Как известно, в соответствии с теорией, основанной на квазистационарном вероятностном подходе, пичковый режим генерации должен всегда затухать и переходить в стационарное излучение. Такие режимы наблюдаются
в некоторых частных случаях, например при использовании сферического
резонатора с короткофокусными зеркалами, когда лазер генерирует на большом числе поперечных мод резонатора. В лазерах с плоским резонатором
109
никаких признаков затухания пичковой генерации не наблюдается, напротив,
налицо тенденция к последовательному возрастанию амплитуды пичков генерации, развивающихся из остаточного излучения предыдущих импульсов.
Возникновение высокочастотной модуляции излучения происходит в моменты времени, в которых резко изменяется скорость нарастания мощности
излучения. Именно к такой динамике должен приводить квантовый эффект
кооперативного сверхизлучения.
4.7. Механизмы автомодуляции потерь лазерного резонатора
Приведенные в предыдущих разделах экспериментальные данные не оставляют сомнений в том, что генерируемое излучение влияет на коэффициент потерь лазерного резонатора или коэффициент усиления активной среды.
Причем, самовоздействие излучения приводит не к насыщению, а к экспоненциальному росту мощности генерируемого излучения или, при слабом
эффекте автомодуляции, к процессу разгорания генерации: последовательному нарастанию мощности пичков генерируемого излучения.
В первых работах, посвященных исследованиям этих эффектов, рассматривались механизмы автомодуляции потерь лазерного резонатора, связанные
с существованием зависимости показателя преломления активной среды на
частоте лазерного перехода от числа частиц в основном и возбужденном состоянии. Возможность автомодуляции не потерь, а усиления активной среды
ни тогда, ни позже не рассматривалась.
Основные механизмы автомодуляции потерь лазера это: самонаведенная
линза в активной среде; самонаведенная амплитудно-фазовая решетка в активной среде; изменение коэффициента полезных потерь в лазере со сложным, многозеркальным резонатором, связанное с нелинейностью показателя
преломления активной среды.
При выполнении исследований самовоздействия излучения в лазерном резонаторе, авторы, к сожалению, оставались в плену общепринятых представлений и моделей автомодуляции потерь лазерного резонатора, которые в некоторых случаях существенно влияют на динамику излучения лазера, но не
являются определяющими в процессах возникновения и генерации ультракоротких импульсов.
Как предполагалось ранее роль эффектов автомодуляции излучения применительно к генерации сверхкоротких импульсов сводится к ударному возбуждению высокочастотных колебаний излучения в лазерном резонаторе
[23,24]. Как и в любой колебательной системе, в лазере после возникновения
высокочастотные автоколебания излучения сохраняются. Поэтому однократное изменение потерь лазера, за время порядка периода резонатора вызывает
периодическую высокочастотную модуляцию его излучения с этим периодом.
Как видно на рис. 4.10, 4,11 после включения лазера колебания интенсивности излучения с периодом резонатора отсутствуют. Их последующее возникновение связано с изломами на зависимостях интенсивности излучения
110
от времени, то есть с моментами резкого изменения параметров лазера, под
действием генерируемого излучения.
Самовоздействие излучения в лазерном резонаторе отличает исключительная сложность и многообразие возможных эффектов, которые к тому же
обычно накладываются друг на друга.
В настоящее время после многих лет работы в этом направлении становится ясно, что решающую роль в возникновении сверхкоротких импульсов в
лазерах все же играют не эффекты автомодуляции добротности резонатора, а
когерентные эффекты взаимодействия излучения с активной средой лазера,
приводящие к резким изменениям интенсивности излучения.
4.7.1. Самонаведенная линза в активной среде лазера
Интерферометрические измерения [25] показывают, что показатель
преломления рубина на частоте лазерного перехода зависит от распределения
частиц между основным и возбужденным состояниями. Относительное изменение показателя преломления n/n0 задается выражением:
k ус
Δn
,
 3,6  10 6
n0
χ
где kус изменение коэффициента усиления рубина,  - коэффициент поглощения на частоте лазерного перехода, n0 = 1,763 показатель преломления для
обыкновенного луча R1 - линии в рубине.
Таким образом, увеличение коэффициента усиления рубина приводит к
росту показателя преломления, а сброс населенности возбужденного состояния под действием генерируемого излучения - к уменьшению показателя
преломления рубина. Луч лазера имеет некоторое, обычно близкое к гауссовому, распределение интенсивности в поперечном сечении. Это означает,
что под действием импульса генерируемого излучения в активной среде рубинового лазера наводится отрицательная линза.
Другое следствие этого эффекта – изменение оптической длины резонатора, которое приводит к отстройке резонансной частоты лазерного резонатора от максимума коэффициента усиления и к дрейфу несущей частоты
излучения вследствие механизма конкуренции мод.
Для луча лазера с радиусом в поперечном сечении, равном а, фокусное
расстояние наведенной излучением линзы в рубине с длиной активной части
l определяется выражением, которое легко получить, используя приближение
геометрической оптики:
f(t)  
a2
a 2χ
.

3n(t)l 6,3  10 6 Δk ус (t)l
В моноимпульсном режиме работы лазера относительное изменение коэффициента усиления может достигать ~ 1, так как гигантский импульс полностью снимает инверсную населенность, достигаемую при максимально
возможной накачке (при Х = 3, kус/ = 0,86, см. формулу (4.7)). Пичок свободной генерации имеет энергию ~ 100... 1000 раз меньшую, чем у гигант111
ского импульса и соответственно меньше изменяет инверсную населенность
рубина.
Таким образом, фокусное расстояние самонаведенной излучением линзы в
рубине при диаметре светового луча в 1 мм лежит в диапазоне 0,4 ... 400 м.
Пичок свободной генерации создает линзу с фокусным расстоянием, существенно превышающим 10 м.
В приближении геометрической оптики для неустойчивого резонатора,
образованного сферическим и плоским зеркалами, т.е. случая L > R, потери
определяются выражением:

L 
,
k res  21 

L

R


Наличие в резонаторе отрицательной линзы, фокусное расстояние которой
зависит от мощности генерируемого излучения, можно учесть введением
эффективного радиуса кривизны сферического зеркала лазерного резонатора:
R эф (t) 
R2
.
R  f(t)
При выводе этой формулы предположено, что рубиновый активный стержень находится вблизи сферического зеркала. Возникновение отрицательной
линзы в активном стержне приводит к увеличению эффективного радиуса
кривизны зеркала. Тем самым неустойчивый лазерный резонатор при определенном значении f будет переходить в устойчивую область с минимальными дифракционными потерями, когда эффективный радиус кривизны сравняется с длиной резонатора.
Из приведенных формул следует, что существенное изменение потерь резонатора, связанное с самонаведенной линзой, происходит вблизи области
устойчивости резонатора, когда фокусное расстояние линзы становится соизмеримым с радиусом кривизны зеркала.
Самонаведенная линза, возникающая в рубине, достаточно инерционна по
сравнению с длительностью импульсов генерации, так как в областях кристалла, не охваченных лазерной генерацией, высокая инверсная населенность
сохраняется в течение спонтанного времени жизни возбужденного состояния. Поэтому линза может наводиться последовательностью пичков генерации.
Расчеты динамики одночастотного лазера с учетом самонаведенной линзы в активной среде дают форму огибающей излучения, похожую на ту, что
приведена на рис. 4.9 и 4.10. Аналогичная картина генерации характерна
также и для лазеров с модуляцией добротности просветляющимся затвором.
Расчеты показывают также, что возникновение самонаведенной линзы в рубине в случае лазера с неустойчивым резонатором действительно при некотором наборе параметров может приводить к ударному возбуждению резонатора и высокочастотным колебаниям интенсивности излучения [26].
Однако этот механизм не может быть универсальной причиной возникновения сверхкоротких импульсов в лазерном резонаторе. Сверхкороткие им-
112
пульсы образуются и в лазерах с устойчивым резонатором, в котором слабая
самонаведенная линза не влияет на его добротность.
Самонаведенная линза становится существенной лишь при высокой мощности генерируемого излучения. Именно поэтому и общепринятые представления о причинах генерации ультракоротких импульсов в титан-сапфировом
лазере за счет аналогичного механизма - самонаведенной керровской линзы,
в литературе его называют KLM (Kerr Lens Modulation), также не объясняет
главного: причин возникновения ультракоротких импульсов в лазере после
его включения. Керровская линза, для возникновения которой необходимы
значительно более высокие мощности излучения, чем в рассмотренном нами
выше случае, по-видимому, может лишь повышать устойчивость режима генерации таких импульсов, но никак не может быть причиной их возникновения.
4.7.2. Автомодуляция излучения лазера самонаведенной амплитуднофазовой решеткой
В обычно используемых лазерных резонаторах существуют встречные
волны излучения, образующие стоячую световую волну вдоль оптической
оси резонатора. Насыщение усиления, происходящее в максимумах импульсов генерации в пучностях этой волны, приводит к возникновению в активной среде лазера периодического изменения коэффициента усиления. Его называют самонаведенной амплитудной решеткой. В активных средах, работающих по трехуровневой схеме (рубин, сапфир – титан) и полупроводниковых материалах, одновременно возникает и существенное пространственное
изменение показателя преломления – самонаведенная фазовая решетка.
Сразу же отметим, что фазовые соотношения между излучением и наведенной им фазовой решеткой таковы, что отражения света от решетки не
возникает. Поэтому фазовая решетка не изменяет коэффициент отражения
выходного зеркала лазерного резонатора и не может служить зеркалом резонатора. Образование амплитудной решетки уменьшает мощность излучения
лазера вследствие сокращения объема активной среды, участвующей в усилении света.
Рис. 4.12. Расчетная зависимость нормированной мощности излучения моноимпульсного рубинового лазера от времени и
начального пропускания просветляющегося
затвора Т0, учитывающая амлитуднофазовую решетку в активной среде [27].
Основной
автомодуляционный
эффект, обусловленный самонаведенными решетками, связан с изменением
оптической длины резонатора и отстройкой фазы генерируемого монохрома113
тического излучения от резонансной частоты резонатора. Тем самым фазовая
решетка ослабляет влияние амплитудной решетки. При этом возникает характерный эффект, наблюдаемый экспериментально. Рубиновый лазер со
слабой модуляцией добротности и в режиме свободной генерации устойчиво
генерирует сдвоенные импульсы (см. также рис. 4.5). Эта особенность лазера,
связанная со сдвигом стоячей волны излучения относительно амплитудной
самонаведенной решетки за счет фазовой решетки, хорошо видна на рис.4.12.
Как видно на рис. 4.12. компенсация амплитудной решетки фазовой, приводящая к исчезновению вторичного импульса на заднем фронте гигантского
импульса, происходит при повышении его мощности. Расчеты, согласующиеся с опытными данными, показывают, что полная компенсация происходит при достижении плотности мощности излучения ~ 100 МВт/см2 [27].
Наглядным свидетельством того, что генерация сдвоенных импульсов
связана с именно действием самонаведенной фазовой решетки служит сравнение динамики свободной генерации рубинового лазера и неодимового лазера на иттрий-алюминиевом гранате, в котором фазовая решетка несущественна (рис. 4.13) [28].
а
б
Рис. 4.13. Осциллограммы первого пичка свободной генерации неодимового лазера на
гранате (а) и рубинового лазера (б) при околопороговой накачке. В обоих случаях использован неселективный резонатор, образованный двумя плоскими зеркалами на клиновых
подложках.
Показанная на рис. 4.13а,б картина генерации хорошо воспроизводится,
хотя в рубиновом лазере соотношение амплитуд импульсов и расстояние между ними могут изменяться в некоторых пределах. В отличие от рубинового
лазера, неодим-гранатовый лазер, работающий по четырехуровневой схеме
накачки, в котором влияние фазовой решетки незначительно, в пороге всегда
генерирует одиночные импульсы. Энергия накачки, близкая к пороговой,
выбиралась для того, чтобы наблюдаемый эффект не маскировался генерацией последующих пичков. В приведенном на рис.4.13 случае средний период
следования пичков генерации, определяемый мощностью накачки, значительно превышает расстояние между сдвоенными импульсами, обусловленными влиянием амплитудно-фазовых решеток.
После выполнения порогового условия на первых этапах развития генерации при уровнях мощности, недостаточных для включения нелинейного
механизма насыщения усиления, накачка продолжает увеличивать коэффициент усиления. Это приводит к экспоненциальному нарастанию мощности
генерации на единственной резонансной частоте (моде) лазерного резонатора. Поэтому после включения лазера генерация при пороговой накачке всегда
наблюдается в виде импульса (пичка), максимум которого задержан относительно момента времени, при котором усиление сравнивается с потерями ла114
зерного резонатора. Усиление становится равным потерями позже, непосредственно в максимуме первого пичка генерации.
Естественный результат нелинейности показателя преломления активной
среды лазера – дрейф частоты излучения за время генерации моноимпульса.
Рис. 4.14 демонстрирует эту особенность рубинового лазера. Сдвиг частоты
возрастает с ростом плотности энергии моноимпульса, его максимальное
значение соответствует ~ 400 МГц для предельно высоких мощностей генерации. Наибольшая скорость изменения частоты реализуется в области максимума моноимпульса.
Рис. 4.14. Расчетная зависимость плотности энергии излучения моноимпульсного лазера и сдвига частоты генерации (пунктир) от времени.
Влияние амплитудно-фазовых решеток в активной среде, как известно,
приводит также к нарушению регулярности пичковых режимов генерации
лазеров и возникновению в процессе их излучения динамического хаоса, хотя общая тенденция к установлению стационарного режима генерации сохраняется. Однако, эффекты, связанные с существованием амплитуднофазовой решетки достаточно инерционны и не могут приводить к ударному
возбуждению высокочастотных колебаний в резонаторе и даже к процессам
разгорания генерации, наблюдаемым экспериментально.
4.7.3. Автомодуляция излучения в сложном резонаторе
Сдвиг частоты, связанный с рефракционной нелинейностью активной
среды лазера, приводит к дополнительному автомодуляционному эффекту в
случае, когда отражатель лазерного резонатор образован несколькими отражающими поверхностями. Как уже указывалось, частота генерации лазера в
пороге вследствие конкуренции мод автоматически настраивается на интерференционный максимум коэффициента отражения системы отражающих
поверхностей, образующих зеркало лазерного резонатора. При экспоненциальном нарастании мощности генерации возникающее изменение показателя
преломления приводит к отстройке частоты излучения от резонанса. При
этом коэффициент отражения резонансного отражетеля уменьшается, а пропускание увеличивается. Если процесс нелинейной отстройки частоты резонатора происходит быстро, за время соответствующее периоду резонатора,
то генерируемое излучение не успевает следить за изменением свойств врезонатора. При этом возникает нестационарный эффект автомодуляции излучения.
115
В простейшем случае отражатель образован двумя поверхностями, например, зеркалом резонатора и торцом активного стержня, нормальным оптической оси резонатора.
а
б
Рис. 4. 15. (а) Схема лазера. (б) Отражательная характеристика резонансного отражателя. Вертикальными линиями обозначены резонансные частоты основного резонатора,
образованного зеркалами R1 и R2 . В приведенном на рисунке случае L1>L2.
Частота генерации в пороге генерации из-за конкуренции мод возникает
на частоте, находящейся посредине между i и i+1. Таким образом, при L1>L2
сдвиг частоты на несколько межмодовых интервалов не приводит к изменению коэффициента отражения резонансного отражателя. В этом случае эффект автомодуляции излучения отсутствует.
Иная ситуация возникает при использовании резонатора Фокса-Смита.
Генерация возникает на резонансных частотах i или i+1 (рис.4.16). Величина
нелинейного дрейфа частоты за время генерации моноимпульса может быть
соизмерима с шириной максимума отражения  сложного резонатора. Режим генерации лазера при этом напоминает режим открытия резонатора, но
происходит не за счет действия электрооптического затвора, а автоматически. Сдвиг частоты генерации приводит к резкому уменьшению коэффициента отражения системы зеркал R, R2, R3. При этом излучение, накопленное в
резонаторе, излучается во внешнее пространство в виде короткого импульса.
а
б
Рис. 4.16. Схема моноимпульсного лазера с резонатором Фокса-Смита и отражательная характеристика резонансного отражателя в случае L1>L2.
Систему зеркал в правой части резонатора можно рассматривать как одно
зеркало с эффективным коэффициентом отражения 2, зависящим от частоты генерируемого излучения ,
2
ρ 
2
T 2 R 32
1  R R   4R R sin (2π L /c) .
2
2
2
2
2
2
116
В эксперименте использовались зеркала с коэффициентами отражения R =
0,69; R1 = R2 = 1. L1 = 85 см, L2 = L3 = 17 см. Поэтому в пороге эффективный
коэффициент отражения системы зеркал R, R2, R3 равен единице. Активный
элемент – рубиновый стержень диаметром 8 мм с длиной активной части 120
мм. Накачка осуществлялась импульсной газоразрядной лампой. Для модуляции добротности резонатора применялся просветляющийся затвор (этанольный раствор красителя ПК-169) с начальным пропусканием Т0 = 0,4. С
целью уменьшения потерь на второй поверхности светоделительного зеркала
рубин ориентировался таким образом, чтобы плоскость поляризации электрического вектора излучения лежала в плоскости рисунка 4.16.
а
б
Рис. 4.17. Осциллограммы моноимпульсного излучения рубинового лазера. (а) плоский резонатор, (б) резонатор Фокса-Смита.
Ввиду недостаточно высокой оптической однородности кристалла рубина
пятно излучения на выходе лазера состояло из нескольких интерференционных полос, положение которых зависит от температуры кристалла и энергии
импульса накачки. При нелинейном изменении оптической длины кристалла
за счет генерируемого излучения система интерференционных полос сдвигается в направлении нормали к оптической оси резонатора. Поэтому эффект
автомодуляции излучения, показанный на рис. 4.16б наблюдался при регистрации выходного излучения лазера через диафрагму диаметром 1,5 мм и был
невоспроизводимым от вспышки к вспышке. Максимальное, наведенное излучением изменение показателя преломления обеспечивало смену трех интерференционных максимумов на оси резонатора.
Таким образом, эффекты автомодуляции добротности лазерного резонатора в некоторых случаях действительно оказывают существенное влияние
на динамику лазера. Однако вопрос о причинах возникновения сверхкоротких импульсов в неселективном лазерном резонаторе по-прежнему остается
открытым. Рассмотренные эффекты автомодуляции слишком слабы и инерционны для ударного возбуждения устойчивого лазерного резонатора на
ранних стадиях развития генерации, когда и возникают высокочастотные колебания интенсивности с характерными временами меньшими, чем период
резонатора.
117
4.7.4. Просветляющийся затвор в лазере сверхкоротких импульсов
Просветляющийся, пассивный или фототропный затвор представляет собой кювету, заполненную раствором красителя, или пластинку из цветного
стекла или полупроводникового материала, которые резонансно поглощают
свет на частоте лазерного перехода. Под действием интенсивного лазерного
излучения коэффициент поглощения вещества затвора обратимо уменьшается вследствие насыщения поглощения. Таким образом, просветляющийся затвор, помещенный в лазерный резонатор, осуществляет режим модуляции
добротности без использования внешних управляющих воздействий. Причем, мощность получаемого при этом моноимпульса может быть примерно
на порядок выше, чем при автомодуляции излучения того же лазера с неустойчивым или разъюстированным резонатором.
Полагают также, что просветляющийся затвор способен переводить режим нерегулярных высокочастотных пульсаций излучения лазера в режим
«полной синхронизации мод» путем селекции интенсивных сверхкоротких
импульсов, а также сокращать длительность этих импульсов за счет поглощения излучения на их хвостах. На самом деле такими свойствами обладает
лишь идеальная теоретическая модель просветляющегося затвора. Непосредственные измерения характеристик затвора показывают, что пассивные затворы не позволяют реализовать эти функции. У них слишком велико время
релаксации возбужденного состояния и мал динамический диапазон просветления по сравнению с диапазоном изменения интенсивности излучения лазера. Кроме того, фототропные затворы вносят существенные нелинейные потери в резонатор, которые ограничивают мощность генерируемого излучения.
Как известно, первое нелинейное оптическое явление – зависимость коэффициента поглощения от интенсивности света, падающего на образец, для
стекол, активированных ураном, наблюдали С.И. Вавилов и Левшин в 1928
г. [30]. Использование этого явления для модуляции добротности лазера в
1964 г. было предложено несколькими группами американских ученых [31].
Для вещества, содержащего поглощающие частицы с произвольным числом энергетических уровней, в стационарном случае вероятностный подход
дает простую зависимость коэффициента поглощения от плотности световой
энергии в единице объема U(x):
k ( x) 
k0
,
1  U ( x )
(4.8)
где k0 – коэффициент поглощения вещества, измеряемый при малых плотностях излучения,  - параметр нелинейности вещества.
В соответствии с (4.8) при больших плотностях излучения коэффициент
поглощения любого вещества должен стремиться к нулю, то есть вещества
должны просветляться. Когда исследуется конкретный образец удобнее
пользоваться не коэффициентом поглощения вещества, а безразмерным коэффициентом пропускания затвора. К пропусканию образца легко перейти
воспользовавшись законом Бугера:
118
dU(x) = - k(x)U(x)dx.
(4.9)
Совместное решение уравнений (4.8) и (4.9) дает:
1
T
ln  αU 0 .
1  T T0
а
(4.10)
б
Рис.4.18. а - Зависимость функции пропускания некоторых фототропных затворов для
импульсов наносекундной длительности от мощности падающего излучения рубинового
лазера.  - фталоцианин галлия в хлорбензоле; ∎ - краситель ПК169 в хлорбензоле; ▲ –
фталоцианин ванадила в хлорбензоле; ╋ - криптоцианин в этаноле. б – Зависимость пропускания фототропного затвора с раствором фталоцианини ванадила в хлорбензоле от
мощности излучения в случаях воздействия стоячей (1), ● и бегущей волны (2), ▲.
Сплошные линии – расчет, пунктир – эксперимент.
Экспериментальная проверка соотношения (4.10) [32] показывает, что в
наносекундном диапазоне длительностей возбуждающего света оно выполняется для сравнительно малых плотностей излучения. При U больших, чем
2... 3 линейная зависимость функции пропускания затвора от плотности излучения (4.10) нарушается.
Заметная зависимость пропускания вещества от мощности излучения наступает, очевидно, при U  0,1 (см. (4.8)). Этому значению соответствуют
плотности мощности ~ 105 Вт/см2 для раствора фталоцианинов и ~106
Вт/см2 для криптоцианина. При повышении мощности быстро наступает насыщение поглощения, причем, вопреки теории (4.10) максимальное пропускание стремиться не к единице, а к меньшему значению. Как видно на рис.
4.18а пропускание насыщается при значении, существенно меньшем 1, при
U ~ 2...3. То есть просветляющийся затвор может сокращать длительность
наносекундных импульсов или подавлять мало интенсивные импульсы при
изменении световой мощности всего в 20 ...30 раз. Поэтому реальные затворы не позволяют осуществлять эффективную селекцию сверхкоротких импульсов по амплитудам.
Просветление затвора стоячей и бегущей световыми волнами, как кажется, должна происходить при разных мощностях излучения. В первом случае
119
вещество просветляется только в пространственных областях пучностей волны, поэтому здесь степень просветления затвора должна быть выше (кривая 1
рис.4.18а). Практически, по-видимому, из-за влияния рефракционной нелинейности вещества затвора, никакой разницы между этими двумя случаями
не наблюдается (пунктир рис. 4.18) для всех затворов, в том числе и на стекле
типа КС. Затвор в лазерном резонаторе будет просветляться аналогично тому, как это происходит при его облучении бегущей волной вне резонатора
[32].
Существенный недостаток просветляющегося затвора – наличие необратимых потерь проходящего через него света [33]. Например, для наиболее
оптимального для синхронизации мод рубинового лазера затвора на основе
раствора криптоцинанина, начальное пропускание 0,15, максимально может
достичь значения 0,75. При этом затвор поглощает более 50% падающей на
него мощности наносекундного импульса. Причины потерь кроются в слабо
изученных процессах рассеяния света за счет нелинейных и тепловых эффектов в веществе затвора.
Еще один принципиальный недостаток просветляющихся веществ – инерционность просветления. Время релаксации растворов красителей, просветляющихся по трехуровневой схеме, составляет ~ 10-8 c. Длительность возбужденного состояния криптоцианина (работающего по двухуровневой схеме
просветления) по разным данным составляет 10-10 ... 4 10-11. Очевидно, что
квазистационарное просветление затвора с субнаносекундным временем релаксации не позволяет радикально сжать затравочные сверхкороткие имульсы, возникающие в лазерном резонаторе, даже до пикосекундных, не говоря
уже о фемтосекундных, длительностей.
Спектр излучения импульсных лазеров на твердом теле с неселективным
резонатором, работающих в свободном режиме (без использования в резонаторе каких-либо затворов), всегда содержит большое число дискретных частот, которые правда не воспроизводятся от вспышки к вспышке. Это указывает на невоспроизводимый характер генерации сверхкоротких импульсов
такими лазерами. Установка просветляющегося затвора в резонатор, как правило, не улучшает ситуацию: временной режим генерации остается невоспроизводимым и квазихаотичным, а спектр излучения не уширяется. Это
подтверждает достаточно очевидный факт, что на возникновение затравочных сверхкоротких импульсов в лазере просветляющися затвор не влияет.
Возможные полезные функции пассивного затвора в лазерном резонаторе: повышение концентрации активных частиц в возбужденном состоянии,
которое способствует включению эффектов когерентного усиления затравочных импульсов (при которых происходит радикальное сокращение их
длительности), а также компенсация дисперсии света в усиливающей среде
лазера.
К числу неизученных следует отнести эффекты когерентного взаимодействия генерируемого лазером излучения с резонансно поглощающим свет
веществом затвора, которые могут быть причиной высокочастотной модуляции лазерного излучения.
120
По указанным причинам вопрос о целесообразности использования в лазере ультракоротких импульсов просветляющегося затвора до сих пор остается открытым. В любом случае устойчивые режимы генерации фемтосекундных импульсов успешно реализуют как с просветляющимися затворами,
так и без оных.
Таким образом, рассмотрение квазистационарных эффектов просветления
фототропного затвора в лазерном резонаторе показывает, что они не могут
быть основной причиной возникновения или формирования ультракоротких
импульсов. Эти причины скорее всего кроются в слабо изученных квантовых
эффектах когерентного взаимодействия излучения с активной средой лазера
и резонансно поглощающего вещества пассивного затвора.
4.8. Парадоксы в теории лазеров ультракоротких импульсов
4.8.1.Парадокс эквидистантности мод
Существование ультракороткого импульса в лазерном резонаторе проще всего можно объяснить на спектральном языке в рамках представлений о
суперпозиции продольных мод резонатора. В самом деле, если считать, что
генерирующие моды лазерного резонатора – монохроматические строго эквидистантные частоты с одинаковыми фазами, то их сумма дает требуемую
временную картину – непрерывную, строго периодическую последовательность ультракоротких импульсов на выходе лазера. При этом длительность
отдельного импульса будет примерно равна периоду резонатора, деленному
на число генерирующих мод. А сами импульсы будут следовать с периодом,
равным времени обхода светом резонатора.
Термин «режим синхронизации мод» и возник в результате полной уверенности в справедливости приведенной модели. Казалось бы достаточно
сфазировать каким-либо способом моды резонатора и это автоматически
приведет лазер в режим полной синхронизации мод.
Однако, при более внимательном рассмотрении оказывается, что в указанной элементарной модели существует противоречия.
Во-первых, установление одинаковых фаз эквидистантных монохроматических частот вовсе не гарантирует «режима полной синхронизации
мод». На периоде резонатора и при сфазированных модах в зависимости от
соотношения их амплитуд может существовать любое число ультракоротких
импульсов, меньшее, чем число генерирующих мод, с произвольным соотношением интенсивностей.
Во-вторых, продольные моды лазерного резонатора вовсе не монохроматические частоты. Прямые измерения с помощью спектроанализатора (см. раздел 3) показывают, что спектральная ширина дискретных частот в спектре излучения лазера, которые и считают продольными модами резонатора, составляет
сотни килогерц. Фазы таких широких спектральных контуров - величины неопределенные.
121
Интенсивность
Т
Время
Рис. 4.17. Временная картина излучения, рассчитанная как сумма 11 сфазированных монохроматических частот. Спектр мод симметричен. Относительные амплитуды эквидистантных мод: 1; 1/3; 4/5; 1/3; 3/4 1/2. Длительность, интенсивность и взаимное расположение импульсов сильно зависят от числа и интенсивностей складываемых частот.
В-третьих, продольные моды лазерного резонатора принципиально не
могут быть эквидистантными с точностью до фаз этих волн.
Рассмотрим резонатор лазера, образованный двумя плоскими параллельными зеркалами, находящимися на расстоянии L друг от друга. Взятый
в отдельности такой резонатор представляет собой в сущности интерферометр Фабри-Перо. Резонанс световых волн в интерферометре Фабри-Перо
происходит для световых волн с длинами волн m, удовлетворяющих условию:
m = 2 nL/m,
где m – целое число, n – показатель преломления среды внутри интерферометра. Это условие, справедливое и для лазерного плоского резонатора, означает, что в условиях резонанса вдоль оптического пути между зеркалами
должно укладываться точно целое число полуволн излучения. (Естественно,
если внутри резонатора имеются границы раздела сред или при отражении от
зеркал происходит сдвиг излучения по фазе, в приведенную формулу должны вводиться соответствующие поправки).
Разность частот между соседними продольными модами резонатора
определяется выражением:
 = m+1- m = (m+1)c/(2nL) – mс/(2nL) = c/(2nL) [Гц],
которое показывает, что если показатель преломления среды в резонаторе
можно считать постоянной величиной, не зависящей от частоты излучения,
то моды лазерного резонатора строго эквидистантны. Частотный интервал
между соседними модами определяет оптическая длина резонатора.
Если среда обладает дисперсией, т. е. ее показатель преломления зависит от частоты, то частоты продольных мод резонатора становятся не эквидистантными. Для разных частот спектра оптическая длина резонатора отличается, вследствие дисперсии среды, заполняющей лазерный резонатор.
Эквидистантыми могут быть лишь моды пустого резонатора, образованного зеркалами с бездисперсионными отражающими покрытиями. Несущая частота излучения лазера всегда попадает в область максимума спектральной полосы усиления активной среды, где дисперсия особенно велика.
Точная компенсация этой дисперсии за счет дополнительных элементов резонатора представляет собой практически неразрешимую задачу.
122
Прямые измерения показывают, что спектры излучения внутри лазерного резонатора и на выходе этого же лазера существенно различаются.
Внутри лазерного резонатора в действительности циркулирует волновое возмущение, волновой пакет, который можно разложить в спектр. Однако это
разложение существенно различно для излучения внутри резонатора и во
внешнем пространстве. Внутри лазера с атомами активной среды взаимодействует импульс с монохроматической несущей частотой. Во внешнем пространстве возникает регулярная последовательность таких импульсов. Внутри лазера эквивалентность спектрального и временного представлений нарушается - процессы взаимодействия излучения с веществом здесь принципиально нелинейны. Для излучения, вышедшего из лазера, оба подхода спектральный и временной применимы в одинаковой степени.
Эквидистантность спектра выходного излучения лазера периодических
фемтосекундных импульсов есть следствие постоянства длины лазерного резонатора. При этом, естественно, дисперсия среды, заполняющей лазерный
резонатор, не влияет на расстояния между частотами, возникающими при
разложении несинусоидальных, но строго периодических колебаний лазерного излучения в спектр.
Таким образом, принятие описанной выше элементарной модели лазера ультракоротких импульсов приводит к парадоксу: собственные моды резонатора не эквидистантны. Тем не менее, точно известно, что лазер генерирует строго периодическую во времени последовательность импульсов.
Разрешение этого парадокса заключается в том, что дискретные частоты, которые регистрируют в спектре лазера, на самом деле не являются резонансными частотами (модами) лазерного резонатора. Эквидистантные дискретные частоты спектра излучения лазера есть всего лишь результат
разложения в спектр выходного излучения лазера. Как известно, периодическая последовательность импульсов разлагается в ряд Фурье, то есть в
набор строго эквидистантных частот. В этом совпадении и заключается причина существующего и описанного выше распространенного заблуждения.
Эксперименты, результаты которых опубликованы в литературе, свидетельствует об эквидистантности частот в спектре непрерывных лазеров
ультракоротких импульсов с точностью до 15 значащих цифр. Регистриуемые на выходе лазера дискретные частоты являются модами лазерного излучения в свободном пространстве. Спектр такого процесса точно эквидистантен по определению спектрального разложения в ряд Фурье. Именно поэтому
наблюдаемые в спектре лазера дискретные частоты не являются модами лазерного резонатора.
Сам термин «режим синхронизации мод», таким образом, не отражает
сути процессов генерации сверхкоротких импульсов в лазере и основан на
приведенном выше заблуждении. Наши наблюдения непрерывных лазеров,
работающих в «режиме полной синхронизации мод» однозначно показывают, что режим генерации регулярных ультракоротких импульсов сохраняется
и в том случае, когда резонансные частоты лазерного резонатора непрерывно
смещаются относительно контура усиления активной среды вследствие уста123
новления теплового режима лазера. Лазер продолжает работать в «режиме
синхронизации мод», когда синхронизация фаз мод явно отсутствует!
Поэтому синхронизация фаз мод для реализации режима генерации
лазером ультракоротких импульсов, вопреки общепринятому мнению, вовсе
не является обязательной.
4.8.2. Парадокс «шумоподобности» лазерного излучения
«Лазер - это возбуждаемый шумом нелинейный генератор» - такая фраза содержится в фундаментальной монографии по статистической оптике Дж.
Гудмена [9] и в [29]. Это утверждение в сжатой форме выражает целую ошибочную концепцию, в рамках которой лазерное излучение рассматривают
как гауссов случайный процесс. Традиционная теория лазера ультракоротких
импульсов строится в рамках именно такого подхода, как теория случайных
колебаний и случайных волн в линейной или нелинейной системах.
В рамках этого подхода для генерации лазером одиночного сверхкороткого импульса на периоде резонатора необходим механизм нелинейной
селекции шумовых затравочных импульсов. Такую селекцию (как ошибочно
считают) может осуществлять просветляющийся затвор, установленный в резонатор лазера. При этом не учитывают, что время релаксации просветляющихся веществ слишком велико (в лучшем случае пикосекунды), а пропускание затвора достигает насыщения при изменении интенсивности излучения
чуть больше, чем на порядок. Поэтому просветляющийся затвор принципиально не может ни выделить одиночный ультракороткий фемтосекундный
импульс, ни подавить побочные импульсы этого диапазона.
Самый очевидный и наглядный аргумент, свидетельствующий о непригодности статистического подхода к лазерному излучению - применения лазеров периодических ультракоротких импульсов в метрологии для измерений
длины, частоты и времени. В этих применениях, которые начали развиваться
после создания фемтосекундных лазеров на сапфире, активированном титаном, лазерное излучение, разложенное в спектр, реально представляет собой
набор монохроматических колебаний со степенью монохроматичности у каждого из них выражаемой десятью… двенадцатью десятичными знаками.
При этом флуктуации излучения, очевидно, пренебрежимо малы.
4.8.3. Парадокс – «синхронизация мод» лазера без модуляторов добротности
резонатора
К удивлению экспериментаторов, привыкших доверять теориям, изложенным в обзорах и монографиях, оказалось, что в некоторых случаях для
получения устойчивого режима генерации сверхкоротких импульсов никаких
специальных методов активной или пассивной синхронизации мод с помощью затворов, устанавливаемых в лазерный резонатор, не требуется. Режим
синхронизации мод в лазере возникает сам по себе! Такой режим неотъемлемое свойство лазера, при его рациональной конструкции. Основные условия,
124
которое необходимо для этого выполнить, заключаются в том, чтобы в лазерном резонаторе были устранены линейные, нелинейные и дисперсионные
эффекты, приводящие к размножению импульсов.
Способность лазера самопроизвольно генерировать предельно короткие импульсы безо всяких затворов столь замечательна, что вызывает восхищение и прямо противоречит общепринятым представлениям о механизме
генерации ультракоротких импульсов. Поэтому не удивительно, что появились работы обосновывающие это свойство лазеров ультракоротких импульсов существованием некоторого механизма автомодуляции добротности резонатора. Ведь так трудно отказаться от традиционных подходов, основанных на тезисе о флуктуационной природе лазерного излучения и о необходимости «синхронизовать моды» лазера!
Этот механизм, связывают с возникновением малоинерционной линзы
в активной среде лазера под действием самого генерируемого импульса. Возникновение и исчезновение линзы в резонаторе модулирует его потери в
точности с необходимой частотой, обратной времени обхода резонатора генерируемый ультракоротким импульсом. Поэтому лазеры, генерирующие
ультракороткие импульсы безо всяких затворов назвали KLM Lasers (лазеры
с модуляцией керровской линзой).
В действительности для обоснования существования такого режима
работы лазера привлечения механизма автомодуляции излучения не требуется.
Естественно, для получения предельно коротких импульсов требуется
применять специальные меры: осуществлять дисперсионное сжатие генерируемых лазером чирпированных импульсов путем компенсации дисперсионных параметров активной среды. Это делают с помощью резонатора, в котором в качестве отражателей используют многослойные зеркала со специально подобранными покрытиями с необходимыми значениями дисперсионных
параметров.
Существование режимов генерации сверхкоротких импульсов в лазерах разных типов без каких-либо модуляторов или затворов в резонаторе
свидетельствует в пользу того, что представление о лазере, как о возбуждаемом шумом нелинейном генераторе шумового излучения, которое общепринято в научной литературе, некорректно. Лазер принципиально генерирует детерминированное излучение, даже если он в некоторых случаях и может работать в режиме динамического хаоса. Регулярный режим синхронизации мод - естественное свойство лазера, если этот режим не нарушен дополнительными дисперсионными или нелинейными эффектами, разрушающими регулярную временную картину излучения.
4.8.4. Парадокс многочастотности в лазере с однородно уширенным
спектральным контуром усиления
Теоретически в лазере с однородно уширенной спектральной линией
усиления генерация может происходить только на единственной продольной
125
моде резонатора. В самом деле, после включения накачки лазера коэффициент усиления активной среды будет увеличиваться до тех пор, пока он не
сравняется с коэффициентом потерь для одной из резонансных частот лазерного резонатора. При этом в лазере всегда действует принцип конкуренции
мод: начинает генерировать резонансная частота излучения лазерного резонатора ближайшая к максимуму спектрального контура усиления активной
среды. Если по каким-либо причинам резонансные частоты изменяются, то
лазер всегда автоматически настраивается на моду с максимальным усилением.
После выполнения энергетического порогового условия генерации для
одной из мод, характер излучения системы радикально изменяется. Мощность излучения, распространяющегося вдоль оптической оси лазерного резонатора, начинает экспоненциально нарастать. На выходе лазера на экране
на фоне люминесценции возникает яркое пятно - луч генерации. В спектральном контуре усиленной люминесценции при этом возникает узкая одиночная спектральная линия лазерной генерации. По этим признакам судят о
достижении порога генерации.
После выполнения порогового условия спустя короткое время мощность излучения в единственной линии - моде резонатора уже на много порядков превосходит мощность люминесценции активной среды. Таким образом, возникновение генерации - это ярко выраженный пороговый процесс
перехода от шумового к детерминированному, монохроматическому излучению. Пороговый коэффициент усиления активной среды (а точнее пороговая
мощность накачки) является величиной, которая может определяться экспериментально с точностью в доли процента. Поэтому, иногда переход от люминесценции к генерации сравнивают с фазовым переходом в веществе.
Обычно расстояние между продольными модами лазерного резонатора
значительно меньше ширины спектрального контура усиления активной среды. Энергетическое пороговое условие выполняется прежде всего для единственной моды, находящейся ближе всех других мод к максимуму спектрального контура усиления. Возникновение генерации на единственной моде прекращает дальнейшее нарастание коэффициента усиления. Вероятность
вынужденных переходов в активной среде в канале генерации многократно
превосходит вероятность возбуждения среды в канале накачки. Поэтому, хотя накачка продолжает действовать, для всех других мод пороговое условие
генерации никогда не должно достигаться. Коэффициент усиления всегда
остается равным коэффициенту потерь для единственной генерирующей моды. Генерирующая единственная мода за счет насыщения усиления уменьшает его значение до уровня своих потерь для всего спектрального контура
усиления.
Возникает парадокс: лазерная генерация на активных средах с однородно уширенным спектральным контуром усиления всегда должна быть одночастотной, а в действительности спектр излучения всегда многочастотный
(естественно, если используется лазер с неселективным резонатором).
126
Практически в лазерах всех типов с неселективным резонатором независимо от характера уширения линии усиления спектр излучения содержит
большое число дискретных частот (которые считают продольными модами
резонатора), как при импульсной, так и при непрерывной накачке. Одночастотная генерация имеет место лишь в самом пороге генерации в момент ее
возникновения. Затем всегда наступает переходный режим, в результате которого устанавливается многочастотная генерация.
Качественное объяснение этого парадокса заключается в том, что многомодовая генерация в лазере возникает вследствие несинусоидальности генерируемой лазером электромагнитной волны. Эта несинусоидальность возникает из-за нелинейных эффектов взаимодействия излучения с веществом.
Простейший из этих эффектов – насыщение усиления активной среды, которое всегда возникает при возрастании плотности мощность излучения лазера.
Как известно, при отсутствии насыщения усиления мощность генерации возрастала бы неограниченно.
Другой механизм связан с пространственными эффектами. В одночастотном режиме излучение внутри резонатора представляет собой комбинацию бегущей и стоячей волн. Сброс инверсии лазерным излучением происходит в основном в пучностях стоячей волны. Таким образом, спустя короткое время после возникновения генерации на единственной частоте для соседней резонансной частоты, пучности которой пространственно смещены
относительно первой моды, также выполняется энергетическое условие генерации. Возникает режим двухчастотной генерации.
В результате сложения колебаний лазерном резонаторе возникают биения двух частот (продольных мод резонатора), период которых в точности
равен времени обхода светом резонатора. Так в резонаторе возникает и начинает циркулировать единственный затравочный ультракороткий импульс.
Дальнейшее нарастание его мощности и сокращение длительности, за счет
сверхизлучения и когерентного усиления, приведет к лавинообразному росту
числа частот в спектре. Длительность этого импульса может быть соизмеримой или даже значительно меньшей, чем время поперечной релаксации активной среды в канале генерации.
Таким образом, описанный сценарий развития лазерной генерации
приводит к общему принципу: лазер с неселективным резонатором всегда
стремиться генерировать возможно более короткий импульс, длительность
которого ограничивается лишь шириной спектрального контура усиления активной среды.
В реальности описанная идеальная картина нарушается целым рядом
побочных эффектов. Дисперсия среды может приводить к уширению импульса и возникновению дополнительной временной модуляции его огибающей, что порождает нерегулярность во временной картине излучения.
Для ультракоротких импульсов могут оказаться существенными дисперсионные параметры среды высоких порядков, которые приводят к его несимметрии и могут порождать дополнительные импульсы-спутники.
127
Высокая плотность мощности в максимуме импульса может порождать ряд нелинейных эффектов, таких как самофокусировка и фазовая самомодуляция излучения. Таким образом, эффекты, связанные с дисперсией активной среды и ее нелинейностью, способны полностью разрушить регулярную динамику генерации мощных сверхкоротких импульсов, присущую лазеру, работающему даже при сравнительно малой мощности излучения. Генерация ультракоротких импульсов при этом становится хаотической. Наблюдения такой генерации и послужили «экспериментальным основанием»
для общепринятой концепции о шумовой природе лазерного излучения.
С описанным выше сценарием лазерной генерации согласуются наблюдения режимов генерации регулярных периодических импульсов, в лазерах без использования каких-либо методов синхронизации мод. Такие режимы наблюдают для лазеров с непрерывной накачкой, генерирующих как пико-, так и фемтосекундные импульсы.
Динамику многомодового лазера теоретически описывают с помощью
двух подходов, общепринятых в оптике: на спектральном или временном
языке. Оба эти языка при описании линейных оптических явлений эквивалентны. Эта эквивалентность есть следствие принципа суперпозиции.
Лазер является прибором существенно нелинейным. Коэффициент
усиления активной среды зависит от мощности генерируемого излучения,
как вследствие насыщения усиления, так и из-за когерентности взаимодействия излучения с атомами активной среды. В активной среде, как правило,
существенна рефракционная нелинейность: показатель преломления среды
всегда зависит от распределения активных частиц по энергетическим уровням. Действие накачки и генерируемого излучения всегда изменяет населенности энергетических уровней активной среды.
Для мощных ультракоротких импульсов может стать существенной и
керровская нелинейность активной среды.
Следовательно, принцип суперпозиции в этом случае существенно нарушается вследствие большого числа возможных эффектов. Поэтому описание излучения лазера как суперпозиции мод резонатора оказывается в лучшем случае грубым приближением. Для описания динамики лазера более
корректным будет временной подход, не связанный с принципом суперпозиции и учитывающий когерентные эффекты взаимодействия излучения с
активной средой.
4.9. Основное фазовое условие лазерной генерации
Строго говоря, понятие «мода лазерного резонатора» относится к стационарному излучению. Мода это устойчивое, стационарное распределение
излучения в резонаторе. Это определение теряет смысл при рассмотрении
нестационарных процессов с характерными временами, меньшими, чем длина лазерного резонатора. Некорректно также представлять лазерное излучение, как суперпозицию мод при нелинейном и когерентном взаимодействии
излучения с веществом, которые и реализуются в лазере.
128
Регистрация спектра лазерного излучения, а также спектра биений между частотами спектра излучения лазера всегда показывает наличие дискретных эквидистантных частот с той или иной степенью размытости. Это и
дает основание считать излучение многомодового лазера суперпозицией мод.
На самом деле, как указывалось выше, дискретные частоты возникают в
спектральном приборе. Их эквидистантность – следствие строгой периодичности во временной картине излучения лазера, которая, в свою очередь, есть
следствие постоянства длины лазерного резонатора. Внутри лазерного резонатора существует колебания лишь на единственной, характерной частоте несущей частоте излучения.
Регистрация автокорреляции излучения непрерывного лазера с многочастотным спектром однозначно свидетельствует о реальном существовании несущей частоты излучения. Проведение такого опыта может быть поручено даже студентам или школьникам. В качестве источника излучения можно использовать любой стандартный многочастотный гелий-неоновый лазер,
работающий в непрерывном режиме.
В описываемом опыте использован лазер ЛГ-79, генерирующий 10
мВт непрерывной мощности на длине волны 0,6328 мкм. Спектр излучения
лазера состоит из 5 частот. Резонатор лазера образован плоским и сферическим зеркалами, прикрепленными в держателях к алюминиевой пластине Гобразной формы. Между зеркалами резонатора помещен активный элемент –
газоразрядная трубка с брюстеровскими окошками.
Луч лазера направляют в интерферометр Майкельсона, образованный
светоделительным кубиком и двумя плоскими зеркалами. Разность хода интерферирующих лучей приближенно устанавливается нулевой. На выходе
интерферометра устанавливают фотоприемник (кремниевый фотодиод), сигнал с которого подают на двухкоординатный самописец.
После включения лазера его резонатор начинает нагреваться за счет
тепла, выделяющегося в газоразрядной трубке. Это приводит к дрейфу несущей частоты излучения лазера, который постепенно замедляется и прекращается после полного прогрева прибора, наступающего спустя примерно 30
минут после включения. Интерферометр Майкельсона непосредственно регистрирует результат теплового дрейфа несущей частоты лазера, которая является суперпозицией всех частот спектра излучения лазера. Время включения самописца от момента включения лазера выбирают таким, чтобы смена
последовательных интерференционных максимумов происходила в течение
порядка 10 секунд. При этом инерционные фотоприемник и самописец успевают регистрировать изменение интенсивности на выходе интерферометра с
малыми искажениями.
Интерферограмма, показанная на рис. 4.18, снята в течение нескольких минут непрерывной работы лазера. Она строго периодична, в ней отсутствуют заметные флуктуации интенсивности при отсутствии в лаборатории
шума и топота. Периодичность регистрируемой картины сохраняется в течение всего времени прогрева лазера. Огибающая интерференционной картины
129
промодулирована низкочастотной составляющей с периодом в несколько
минут. Причины этой модуляции неизвестны.
Описанный опыт с очевидностью подтверждает реальное существование несущей частоты излучения лазера. Сохранение периодичности несущей
частоты при интегрировании сигнала в течение десятков минут обосновывает
правильность представлений о детерминированном характере лазерного излучения. Флуктуирующей составляющей этой частоты в стандартных непрерывных лазерах можно уверенно пренебрегать при рассмотрении процессов,
с характерными временами, соответствующими периоду лазерного резонатора.
Рис. 4.18. Сигнал на выходе интерферометра Майкельсона, на который
падает луч стандартного непрерывного гелий-неонового лазера ЛГ-79, работающего в режиме установления
теплового режима резонатора. Спектр
излучения лазера содержит 5 дискретных частот. Излучение состоит из
нерегулярной
квазипериодической
последовательности импульсов длительностью ~ 0,7 нс, с характерным периодом резонатора 5 нс.
Сверхкороткий импульс, циркулирующий внутри лазерного резонатора, после каждого обхода резонатора периодически появляется на выходе
лазера. Такое излучение нельзя представить как монохроматическое колебание. Колебания несущей частоты лазера ультракоротких импульсов поэтому
несинусоидальны. Несущая частота излучения лазера имеет внутри его резонатора вполне определенную фазовую скорость распространения.
В связи с изложенным, в случае описания ультракороткого импульса в
лазерном резонаторе, встает вопрос о фазовом условии генерации. После установления многочастотного режима излучения в результате переходного
процесса, всегда имеющего место после включения лазера, фазовое условие
генерации выполняется именно для несущей частоты излучения.
При регистрации спектра излучения лазера амплитуды частот, которые
отождествляют с продольными модами резонатора, автоматически устанавливаются таким образом, чтобы результирующая несущая частота всегда
имела максимально возможный коэффициент усиления, то есть находилась в
максимуме спектрального контура усиления активной среды. Поэтому при
изменении длины резонатора за счет его слабого нагрева несущая частота сохраняет свою амплитуду, что видно на АКФ рис. 4.18.
Для квазинепрерывного лазеров легко наблюдать изменения, возникающие в спектре многомодового излучения при медленном изменении длины резонатора, связанном с установлением его теплового режима. Спектр лазера можно наблюдать с помощью интерферометра Фабри-Перо, работающего в режиме клиновой пластинки. Дискретные частоты спектра излучения
лазера при его прогреве непрерывно дрейфуют в одну сторону. Причем, час130
тоты последовательно возникают с одной стороны огибающей спектра, проходят через максимум и исчезают с другой стороны, при этом интенсивности
этих дискретных частот непрерывно изменяются, а огибающая спектра остается неподвижной. При этом несущая частота излучения медленно сдвигается, отслеживая изменение длины резонатора, и не испытывает никаких скачков фазы и амплитуды (рис. 4.18).
4.10. Возникновение ультракоротких импульсов в лазере
Причины возникновения ультракоротких импульсов в лазере следует
искать в процессах, происходящих при переходе от люминесценции активной среды к лазерной генерации и на ее начальных стадиях. Именно в понимании этих процессов находится ключ к разгадке причин формирования
ультракороткого импульса в лазере.
В лазерах на твердом теле переход от люминесценции к генерации
происходит в таком узком диапазоне мощности накачки, а длительность характерных процессов столь мала, что экспериментально изучать этот процесс
не удается. Другое дело газовый гелий-неоновый лазер. Коэффициент усиления газоразрядной трубки этого лазера постоянен, а его значение относительно невелико. Поэтому в этом модельном случае оказалось возможным
детально проследить особенности возникновения сверхкоротких импульсов в
лазере, так как в этом случае возможна прямая регистрация таких импульсов
[34].
Схема экспериментальной установки показана на рис.4.19. Мощность
генерации от уровня люминесценции активной среды до максимального значения варьировалась за счет изменения коэффициента полезных потерь резонатора. Выходной отражатель лазерного резонатора представлял собой систему из двух зеркал. Задавая угол падения излучения на многослойное диэлектрическое покрытие наклонного зеркала, можно изменять коэффициент
потерь резонатора в широких пределах не нарушая оптимальной юстировки
зеркал резонатора по выходной мощности. Это обстоятельство позволяет
реализовать конструкцию лазерного резонатора, в котором коэффициент потерь можно плавно перестраивать, в частности, сделать точно равным коэффициенту усиления активной среды или превышающим пороговое значение
на заданную величину. При этом форма поперечной структуры луча лазера
сохраняется.
При околопороговой накачке можно наблюдать динамику лазера при
малом превышении мощности генерации над уровнем люминесценции. Лазер
с большим превышением коэффициента усиления над потерями после включения последовательно проходит все стадии переходного процесса от люминесценции к установившейся нестационарной генерации с мощностью, на
много порядков превышающей мощность люминесценции. С помощью установки, показанной на рис.4.19, оказалось возможным подробно изучить динамику переходных процессов развития генерации.
131
В лазере использовалась газоразрядная трубка лазера ЛГ-38, длиной 1,8
м, работающая на простейшей поперечной моде. Временные измерения интенсивности излучения лазера проводились с помощью электроннооптической камеры «Агат-СФ». Ее максимальное временное разрешение 3,5
пс позволяет уверенно регистрировать субнаносекундные процессы. Спектр
излучения регистрировался сканирующим интерферометром Фабри-Перо и
спектроанализатором СК-4-59, сигнал на вход которого подавался от лавинного фотодиода с полосой пропускания 1,2 ГГц. Спектроанализатор регистрирует спектр биений частот лазерного излучения. Он позволяет надежно судить об устойчивости временной картины излучения. Переход лазера в режим хаотических высокочастотных пульсаций проявляется в появлении нерегулярности в спектре межмодовых биений лазера.
6
1
2
3
5
4
Рис. 4. 19. Схема экспериментальной установки.
1, 3, 4 – зеркала, образующие резонатор лазера. 2- газоразрядная трубка. 5 – электроннооптическая камера «Агат СФ». 6 – устройство для регистрации межмодовых биений лазера, состоящее из лавинного фотодиода и электронного анализатора спектра СК-4-59. Для
регистрации спектра излучения лазера на место 5 или 6 устанавливался сканирующий интерферометр Фабри-Перо. Изменение коэффициента потерь резонатора лазера осуществлялось изменением угла падения лучей на многослойное диэлектрическое покрытие зеркала 3.
Эксперимент проводился следующим образом. Вначале был найден
максимальный угол падения луча лазера на зеркало 3, при котором генерация
происходила вблизи порога. Затем, с помощью юстировочных винтов настройки зеркал 3 и 4 резонатор лазера последовательно настраивался на
меньшие значения угла. В каждой фиксированной точке многократно измерялся спектр излучения лазера, высокочастотная временная динамика излучения и спектр биений дискретных частот спектра.
Максимальная мощность излучения лазера достигается, когда пропускание зеркала 3 составляет 2%. Пороговому значению мощности соответстует пропускание зеркала 12%.
132
Рис. 4. 20. Зависимость выходной мощности лазера ЛГ-38 от коэффициента
пропускания наклонного зеркала резонатора. Цифрами обозначен диапазоны
мощности, в которых наблюдаются различные динамические режимы генерации: 2 – одномодовый режим: лазер генерирует постоянную мощность; 3 – область регулярных пульсаций. Лазер генерирует единственный импульс за время,
равное периоду резонатора. 4 – лазер генерирует два или три импульса на периоде резонатора. Возникновение нерегулярности временного режима генерации. 5 – режим динамического хаоса.
Уровень люминесценции 1 настолько мал, что его нельзя изобразить в масштабе на графике.
Детальные измерения параметров лазера позволили установить следующие
хорошо воспроизводимые характерные, последовательно меняющие друг
друга режимы, определяемые уровнем мощности генерации (рис. 4.20).
1. Околопороговый режим. Мощности люминеценции и генерации соизмеримы. На выходе интерферометра Фабри-Перо на фоне размытого максимума спектрального контура люминесценции активной среды при определенном угле наклона зеркала 3 возникает одиночная, узкая яркая спектральная линия. Возникновение этой линии – наиблее чувствительный
признак порога генерации. Другой признак – внезапное появление на экране, установленном за выходным зеркалом лазера яркой светящейся точки на размытом фоне люминесценции активной среды лазера.
2. Одномодовый режим. Возникшая в пороге генерации узкая одиночная
спектральная линия генерации сохраняется при возрастании мощности генерации на несколько порядков. В этом режиме лазер генерирует постоянную световую мощность без заметной высокочастотной модуляции.*
3. Режим регулярных высокочастотных пульсаций. При дальнейшем повышении мощности генерации до ~ 1мВт (которая соответствует уровню
возникновения когерентного усиления) в спектре излучения возникает
вторая дискретная спектральная линия. Биения двух частот модулируют
мощность излучения с периодом, равным времени обхода светом резонатора T. Дальнейшее повышение мощности генерации до 5 мВт приводит
к быстрому сокращению длительности высокочастотных пульсаций. При
этом на периоде резонатора присутствует единственный импульс
*При принятии модели лазера как нелинейного усилителя шума, на этой стадии генерации
должны существовать усиленные высокочастотные флуктуации интенсивности. Ничего
подобного на самом деле нет. Лазеры разных типов в пороге и при некотором его превышении всегда генерируют узкополосное одночастотное излучения. Флуктуации с характерными временами, равными периоду резонатора при одночастотном, практически монохроматическом спектре излучения принципиально существовать не могут.
133
(рис.4.21.). Число частот в спектре возрастает до N = 11. Спектр биений частот, регистрируемый анализатором спектра, содержит N - 2 = 9 частот; амплитуды этих частот стабильны во времени.
4. Переход к нерегулярной динамике. При средней мощности лазера 5 мВт
спектр излучения достигает максимальной ширины, а сверхкороткие импульсы максимальной мощности. Дальнейшее нарастание мощности генерации происходит за счет возникновения вначале одного, а затем и последующих импульсов- спутников основного импульса (рис.4.21.3). По мере
нарастания мощности генерации, амплитуды импульсов-спутников последовательно нарастают. Когда их амплитуды становятся соизмеримыми с
амплитудой основного импульса, регулярность следования импульсов
начинает нарушаться. При этом амплитуды составляющих спектра биений, генерируемых частот также начинают флуктуировать. Это свидетельствует о нерегулярности временного режима генерации, следствием которого является изменение во времени интенсивностей дискретных частот
спектра излучения.
5. Область нерегулярных пульсаций. Амплитуды сверхкоротких импульсов,
расстояния между ними и их число на периоде резонатора флуктуируют в
некоторых пределах. Типичная временная развертка излучения лазера, работающего в этом режиме, показана на рис. 4.21.4. За время одной развертки не удается проследить за изменением динамики лазера, поэтому
здесь наблюдается периодичность следования импульсов. Однако картина
развертки не воспроизводится при последовательных съемках. Нерегулярность режима проявляется в возрастании флуктуаций и уширению линий
в спектре биений лазерного излучения, регистрируемого анализатором
спектра.
2
3
4
Рис. 4.21. Временные картины излучения лазера в режимах 2, 3 и 4 рис. 4.20, снятые с помощью электронно-оптической камеры «Агат». Период следования импульсов равен 11,7
нс.
После установления режима устойчивых пульсаций излучения с одиночным
импульсом на периоде резонатора дальнейшее нарастание средней мощности
134
излучения лазера происходит не из-за возрастания амплитуды импульса, а за
счет увеличения числа импульсов на периоде.
Эта хорошо воспроизводимая особенность излучения гелий-неоновых лазеров
разных типов коррелирует с теоретическими расчетами самоиндуцированной прозрачности в резонансной среде [35].
Рис. 4.22. Импульсы в резонансной среде
теория [31]. Пунктирные линии – импульсы на
входе в среду. Сплошные линии – выходные импульсы при самоиндуцированной прозрачности.
Кривые 1 – 5 соответствуют импульсам с площадью: 1 - меньшей ; 2 - 2 ; 3 - 3; 4 - 5; и 5 - 6.
Импульс-спутник появляется, когда
энергия сверхкороткого импульса превышает по площади 3 (рис. 4.22,4). Оценки,
мощности генерации, приведенные выше, коррелируют с этим значением.
Сравнение экспериментальных данных, приведенных на рис. 4.21, 3 с
кривой 5 рис 4.22 обнаруживает полную аналогию. Так и должно происходить. При когерентном взаимодействии излучения с резонансной средой, когда энергия импульса на входе в среду превосходит значение 2, на выходе
он должен разбиваться на последовательность 2 импульсов.
Таким образом, проведенное исследование динамики лазера вблизи порога генерации позволяет сделать важные общие заключения:
лазерная генерация всегда начинается на единственной монохроматической частоте, поэтому на начальной стадии генерация
всегда квазистационарна – модуляция излучения с периодом резонатора отсутствует;
повышение мощности генерации всегда приводит к регулярной
модуляции излучения с периодом резонатора, это проявляется в
появлении в спектре излучения дискретных частот;
сверхкороткий импульс когерентно взаимодействует с активной
средой лазера;
нерегулярность высокочастотных пульсаций – динамический
хаос, возникает на стадии развитой многочастотной генерации.
Описанные выше особенности возникновения сверхкоротких импульсов в лазерном резонаторе наблюдаются в лазерах с постоянной и импульсной накачкой и разными активными средами. Это указывает на то, что наблюдаемая картина развития генерации имеет общий характер и реализуется
в лазерах всех типов.
Высокочастотная модуляция излучения возникает, когда мощность излучения достигает значений, при которых взимодействие излучения с актив135
ной средой приобретает когерентный характер. Очевидно, эти процессы и
ответственны за возникновение затравочных пульсаций излучения лазера.
При этом насыщение усиления подавляет наиболее интенсивные импульсы
излучения, а эффект сверхизлучения, который становится доминирующим,
увеличивает амплитуду и резко сокращает длительность ультракоротких
импульсов до предельного значения, определяемого шириной спектрального
контура усиления активной среды.
Описанный выше эксперимент позволяет сделать и практический вывод: возможно создание гелий-неонового лазера, который в номинальном
режиме будет устойчиво и воспроизводимо генерировать регулярные сверхкороткие импульсы без использования каких-либо методов «синхронизации
мод». Такие лазеры действительно существуют (см. Раздел 3.5).
4.11. Современные лазеры ультракоротких импульсов
Современные лазеры ультракоротких, фемтосекундных импульсов создают на основе твердотельных активных сред с широкими полосами усиления.
Оптическую накачку таких лазеров осуществляют с помощью эффективного
непрерывного вспомогательного лазера: полупроводникового или неодимового с полупроводноковой лазерной накачкой. В частности, титансапфировые лазеры накачивают второй гармоникой неодимового лазера с  =
0,53 мкм с полупроводниковой накачкой.
Первые фемтосекундные лазерные системы - лазеры на растворах красителей, (в основном это родамин 6Ж) постепенно сходят со сцены ввиду серъезных конструктивных недостатков. Активная среда и пассивный затвор в
таких системах должны представлять собой плоскую ламинарную струю
жидкости, а накачку осуществляют излучением газового аргонового лазера,
который имеет низкую эффективность.
Весьма перспективными для генерации ультракоротких импульсов представляются поверхностно излучающие (surface-emitting) полупроводниковые
лазеры и лазеры на волоконных или микроструктурных световодах с полупроводниковой накачкой. Однако, надежно работающие образцы таких лазеров пока не созданы, хотя исследования в этом направлении интенсивно ведутся.
Лазеры ультракоротких импульсов содержат следующие элементы:
• лазерный резонатор, содержащий набор оптических элементов, которые обеспечивают циркуляцию генерируемого излучения по
замкнутому пути;
• широкополосную усиливающую среду;
• систему компенсации дисперсии активной среды и элементов резонатора.
136
Таблица 4.1. Некоторые характеристики активных сред, используемых в лазерах ультракоротких импульсов (УКИ)
Материал
(сокращенное
название)
Ti3+:Al2O3
(Ti-сапфир)
Cr3+:
LiSrAlF6,
(Cr:LiSAF)
Cr4+:Mg2SiO4
(Cr:форстерит)
Cr4+:Y3Al2(AlO4)3
(Cr:YAG)
Nd3+ стекло
Yb3+ стекло
Родамин 6Ж в
спиртовом
растворе
Диапазон
длин волн
генерации;
центр линии
усиления
(нм)
700 ...1100;
780
800…1050;
846
Длины
волн
накачки
(нм)
Минимальная
длительность
УКИ (фс)
Сечение
поглощения
лазерного
перехода
(10-20 см2)
Время
жизни
лазерного
перехода
(мкс)
Спектральная
ширина
полосы
накачки
(нм)
488, 514,
530
647,670
5
35
3,5
450…600
20
4,8
67
600…700
1130...1370;
1240
1350...1580
1064
25
11
15
850…1150
1064
46
1055
1040
570…650;
600
808
980
514, 530
120
20
30
4,2
~1
2 104
350
1000
5 10-3
480...550
В первой колонке указаны общепринятые и сокращенные названия кристаллов и материалов, в которые внедрены ионы, являющиеся активными частицами. Непрерывная накачка
осуществляется: на длинах волн 488 и 514 нм – газоразрядным аргоновым лазером; 530 нм
– второй гармоникой неодимового лазера; 647 нм – газоразрядным криптоновым лазером;
670 нм – GaInP полупроводниковым лазером; 808 нм – AlGaAs полупроводниковым лазером, 980 нм - InGaAs полупроводниковым лазером.
2
1
Оптическая накачка
4
3
2L
2L
Рис.4.26. Условная схема непрерывного лазера ультракоротких импульсов.
1 – зеркало - компенсатор дисперсии активной среды, 2 – активная среда, 3 – выходное
зеркало лазера. Для устранения влияния задней поверхности зеркала на резонансные частоты резонатора зеркало 3 нанесено на клиновую подложку. Все отражающие поверхности внутри резонатора лазера расположены под углом Брюстера. Генерируемый лазером
ультракороткий импульс 4 непрерывно циркулирует между зеркалами резонатора 1 - 3.
Поэтому выходной луч состоит из бесконечной последовательности равноотстоящих друг
от друга импульсов.
Принципиально важная часть лазера ультракоротких импульсов – компенсатор дисперсии активной среды. Принцип работы призменного компен137
сатора дисперсии пояснен на рис. 4.27. Для минимизации потерь на отражение грани призмы расположены под углом Брюстера. Поэтому этот компенсатор работает с линейно поляризованнам светом, (электрический вектор
световой волны колеблется в плоскости рисунка). Плавная регулировка оптической разности хода между красными и синими лучами, которая вносится
устройством, достигается перемещением первой призмы в направлениях,
указанных стрелкой или изменением расстояния между призмами. При этом
изменяются расстояния, проходимые лучами разного цвета в стекле. Оптическое стекло обладает в видимом и ближнем ИК диапазонах спектра нормальной дисперсией (показатель преломления меньше для красного света, чем для
синего), поэтому схема, показанная на рисунке, позволяет осуществлять
плавное изменение дисперсионного параметра второго порядка с проходом
через ноль.
Рис. 4.27. Схема призменного
компенсатора дисперсии.
Компенсатор дисперсии по схеме, показанной на
рис. 4.27, можно построить
также и на основе пары дифракционных решеток. Дифракционные решетки обладают большей угловой дисперсией, чем призмы. Поэтому они обеспечивают компенсацию большего дисперсионного параметра при тех же размерах
устройства. В отличие от призменного компенсатора пара решеток создает
только отрицательный дисперсионный параметр, то есть длинноволновое излучение имеет большую задержку, чем коротковолновое. Для получения его
положительных значений между решетками устанавливают телескопическую
систему, переворачивающую изображение. В результате путь, проходимый
красными лучами, становится короче, чем для синих.
Недостаток дифракционных решеток - потери излучения на рассеяние
(5... 10%). Поэтому пару решеток с телескопом обычно используют не в лазерных резонаторах, а на входе усилительной системы для дисперсионного
расширения во времени фемтосекундного импульса и уменьшения световой
нагрузки на усилительный элемент. Другую, обычную пару решеток устанавливают на выходе оптического усилителя для временного сжатия усиленного чирпированного импульса.
Описанные компенсаторы дисперсии способны обеспечивать компенсацию так называемого линейного чирпа, когда мгновенная частота излучения изменяется линейно со временем от начала к концу импульса.
В лазерах предельно коротких импульсов обычно необходимо компенсировать дисперсионные параметры более высоких, чем второй порядок.
Один из возможных способов компенсации дисперсионных параметров высоких порядков – установка перед зеркалом, показанном на рис. 4.27, фото138
транспаранта, изменяющего амплитуду и фазу у различных спектральных
компонент излучения.
В любом случае компенсаторы дисперсии не позволяют с точностью до
фазы ликвидировать неэквидистантность продольных мод лазерного резонатора.
В последних моделях лазеров ультракоротких импульсов предпочитают использовать многослойные полупроводниковые структуры, которые наряду с брэгговским многослойным диэлектрическим зеркалом содержат слои
полупроводниковых поглотителей. В литературе такие системы называют
SESAM (semiconductor saturable absorber mirror).
Конкретная конструкция таких устройств представляет собой секрет
фирмы, производящей фемтосекундные лазеры. Примерная схема устройства
показана на рис. 4.28 [36]. Максимально короткие импульсы длительностью
~ 5 фс, получены непосредственно от титан-сапфирового лазера с SECAM
зеркалом без использования дополнительных методов сжатия импульса.
Рис. 4.28. Примерная структура многослойного SECAM зеркала фемтосекундного лазера.
SECAM – зеркало
изготавливают методами
современной полупроводниковой технологии, где
возможен
точный контроль параметров наносимых слоев. В структуре,
показанной на рис. 4.28, 22 слоя материалов с последовательно изменяющимся высоким и низким показателем преломления образует многослойное
широкополосное диэлектрическое зеркало с коэффициентом отражения >
99%. В некоторых конструкциях на зеркало наносят один или несколько слоев поглощающих полупроводниковых материалов InP и InGaAs, которые
служат в качестве просветляющихся затворов и компенсаторов дисперсии.
Защитная пленка Al203 , нанесенная снаружи, образует просветляющее покрытие. В любом случае параметры SECAM–зеркала оптимизируют эмпирически для заданной конструкции лазера с активным элементом определенной
длины и концентрации активных частиц.
Ввиду сложности расчетов, характер дисперсии активной среды в литературе описывают качественно, в некоторых случаях такое рассмотрение
дает некорректные результаты, например, отрицательную групповую скорость волнового пакета [37].
Учет влияния дисперсии на форму огибающей волнового пакета, распространяющегося в среде проводят используя разложение волнового векто139
ра в ряд по степеням частоты, удерживая несколько первых членов. Коэффициенты разложения, за исключением первого, часто называют дисперсионными параметрами, первого, второго, и т.д. порядков. С реальной дисперсионной кривой, т.е. с зависимостью показателя преломления n от длины волны
несущей волнового пакета излучения  дисперсионные параметры связаны
соотношениями:
k
1
 n  
 k 0 ()   n   0    ;

c
   
30   2 n 
 2k



 . (4.11)
 k 0 ( ) 
2
2c 2  2 
Величину, обратную дисперсионному параметру первого порядка, называют групповой скоростью волнового пакета. Дисперсионный параметр
второго порядка характеризует скорость расширения импульса по мере его
распространения в среде.
Характер дисперсии активной среды лазера в области максимума
спектрального контура коэффициента усиления можно наглядно представить
используя известную лоренцову модель диэлектрической проницаемости активной среды. Формула для диэлектрической проницаемости среды в этом
случае имеет вид:
 ( )  1 
A(1   2 )
A 2
,

i
(1   2 ) 2  2 2
(1   2 ) 2  2 2
(4.12)
здесь частота излучения  и полуширина спектрального контура  нормированы к частоте максимума спектрального контура поглощения 0 , А - постоянный коэффициент, характеризующий концентрацию активных частиц среды и силу их осцилляторов.
Квадратный корень из модуля действительной части этого выражения
дает показатель преломления среды, а корень модуля мнимой части – коэффициент поглощения. Вычисления этих величин, приводящие к чрезвычайно
громоздким формулам, расчет по которым вручную вряд ли возможен, проведены с использованием компьютерной программы Maple-8.
Из расчетов следует, что изменение показателя преломления, однозначно связанно с коэффициентом поглощения вещества. Это позволяет, зная
концентрацию активных частиц в веществе или непосредственно измерив коэффициент поглощения в максимуме спектрального контура поглощения активной среды, работающей по трехуровневой схеме возбуждения, рассчитать
ее дисперсионные параметры.
Например, для титан сапфирового лазера с коэффициентом поглощения, равным 0,5 см-1 и относительной шириной спектрального контура 0,4
расчетные кривые, полученные путем подбора расчетных параметров А и ,
приведены на рис 4.29. На графиках в зависимостях для дисперсионных
параметров опущены нормировочные множители, приведенные в формулах
(4.11).
140
Рис. 4.29. Дисперсионные параметры активной среды титан-сапфирового лазера.
Расчеты дисперсионных параметров для активной среды газового гелий-неонового лазера с коэффициентом усиления 7,810-3 см-1 и относительной шириной спектрального контура усиления 610-6 показаны на рис.4.30.
Проведенные расчеты позволяют сделать следующие выводы:
В общем случае учет дисперсии активной среды путем разложения
волнового вектора в ряд невозможен. Это возможно для сравнительно
узкополосного волнового пакета с несущей частотой, совпадающей с
максимумом спектрального контура усиления.
Дисперсионный параметр второго порядка в принятой модели равен
нулю. Это означает, что причинами уширения импульса в лазерном
резонаторе будут дисперсионные параметры более высоких порядков,
приводящие к несимметрии ультракороткого импульса и появлению
вторичных импульсов-спутников;
скорость распространения огибающей волнового пакета в лазерном
резонаторе всегда больше скорости света. Для титан-сапфирового
лазера это отличие невелико. Для лазеров с узкой полосой усиления,
например в гелий-неоновом лазере, превышение может быть значительным (рис.4.30).
141
Рис.4.30. Коэффициент поглощения и дисперсионный параметр первого порядка активной
среды с параметрами, характерными для гелий-неонового лазера.
В принятой расчетной модели не учитывается влияние других резонансных линий активной среды, приводящее к ненулевым значениям дисперсионного порядка второго порядка и в области максимума спектрального
контура усиления [38]. Влияние этих переходов на дисперсионные параметры среды дает поправки второго порядка малости.
а
б
Рис.4.31. Пример расчета дисперсии (а) и дисперсионного параметра первого порядка (б)
для поглощающей среды, в котором световой импульс распространяется с нулевой скоростью.
Описанная расчетная модель предсказывает существование эффекта остановки света в поглощающей среде. Как известно, этот эффект наблюдают
при прохождении светового импульса через резонансно поглощающую среду, охлажденную до состояния бозе-эйнштейновского конденсата. Групповая скорость светового импульса в этом случае составляет всего десятки метров в секунду [39]. Для среды, с шириной спектрального контура поглоще142
ния, характерной для газа при нормальных условиях, также должно наблюдаться указанное явление. На рис.4.31 приведен пример расчета для этого
случая.
Можно отметить, что в случае усиливающей среды, для которой знак
дисперсионного параметра первого порядка изменяется на обратный, расчет
предсказывает в некоторых случаях бесконечно большую скорость распространения импульса.
В случае, когда лазер генерирует строго периодическую последовательность одиночных импульсов за время обхода светом лазерного резонатора, говорят, что реализуется режим «полной синхронизации мод». Строгая
периодичность следования импульсов обусловлена тем, что внутри лазерного
резонатра, работающего в режиме синхронизации мод, циркулирует единственный ультракороткий (часто его называют также сверхкоротким) импульс,
рис.4.32. Пространственная протяженность этого импульса может быть значительно (в сотни тысяч раз) меньше длины лазерного резонатора. Способ
генерации обуславливает основное свойство такого излучения: соседние импульсы в последовательности почти когерентны, поскольку каждый из них
является копией предыдущего и отличается только тем, что испытывает
один дополнительный обход лазерного резонатора.
I
tимп
Т = 2L/c
Iν
Δν ~ 1/tимп
δν = с/2L
Время, t
Огибающая спектра
Частота излучения, ν
Рис.4.32. Временная зависимость огибающей интенсивности излучения лазера
ультракоротких импульсов I и его спектр. Дискретные спектральные линии, находящиеся
под огибающей спектра, обычно ошибочно называют модами лазерного резонатора. На
самом деле эти эквидистантные частоты - результат спектрального разложения строго периодических, когерентных импульсов, испускаемых лазером. Спектральная ширина огибающей спектра излучения лазера Δν примерно обратно пропорциональна длительности
отдельного ультракороткого импульса tимп.
143
4.12. О механизме возникновения затравочных высокочастотных пульсаций в лазерном резонаторе
Сценарий эволюции многочастотной генерации во время переходного
режима, возникающего после включения лазера, следующий.
Рассмотрим лазер, на спектральном контуре усиления активной среды
которого укладываются только две резонансные частоты резонатора. После
включения накачки возникает и начинает повышаться коэффициент усиления активной среды. Люминесценция среды становится усиленной: спектр
контура усиления сужается, на огибающей спектрального контура появляются максимумы, соответствующие резонансным частотам лазерного резонатора. В некоторый момент выполняется энергетическое условие генерации для
единственной резонансной частоты лазерного резонатора, которая находится
ближе другой моды к максимуму спектрального контура усиления. Мощность излучения для этой моды начинает экспоненциально нарастать, тогда
как для другой резонансной частоты пороговое условие генерации не достигается и ее мощность продолжает соответствовать мощности усиленной люминесценции. Поэтому в пороге лазер любого типа всегда генерирует на
единственной частоте. Это твердо установленный экспериментальный факт.
При дальнейшем повышении мощности резонансная частота генерирующей моды отстраивается от максимума усиления. При этом возникает
двухчастотная генерация. Ее возможные причины: пространственная модуляция коэффициента усиления и показателя преломления активной среды,
связанная с существованием стоячей световой волны в лазерном резонаторе.
Поэтому в лазере становится энергетически выгодной генерация на суммарной, несущей частоте, которая образуется в результате сложения генерирующих двух мод резонатора, положение которых уже не совпадает с максимумом спектрального контура усиления. Несущая частота автоматически
следит за максимумом спектрального контура усиления. При этом во временной картине излучения на выходе лазера возникают биения этих частот,
период которых равен времени обхода светом резонатора.
Как известно, при сложении двух монохроматических колебаний с
близкими частотами результирующее колебание характеризуется несущей
частотой, амплитуда которой промодулирована разностной частотой складываемых колебаний. Причем, частота несущей зависит от амплитуд складываемых колебаний. Несущая частота находится точно посредине между исходными частотами только в случае равенства их амплитуд.
Таким образом, дальнейшее развитие переходного процесса генерации
приводит к двухчастотному режиму генерации. Интенсивности частот в
спектре автоматически настраиваются таким образом, чтобы несущая частота
находилась в максимуме спектрального контура усиления активной среды.
Именно для этой частоты в конце переходного процесса выполнены оба условия генерации: энергетическое и фазовое. Говорить о выполнении энерге144
тического условия генерации для продольных мод лазерного резонатора в
отдельности при этом не имеет смысла.
Лазер ведет себя как самонастраивающаяся система, которая автоматически устанавливает несущую частоту излучения в максимум спектрального контура усиления. Особенно наглядно эта особенность видна при наблюдении спектра гелий-неоновых лазеров с длиной резонатора L =30 см. Межмодовый интервал для такого резонатора равен с/2L = 500 МГц. Полуширина
спектрального контура усиления гелий-неоновой смеси этого лазера составляет порядка 1000 МГц. В спектре такого лазера по мере его прогрева можно
наблюдать периодический процесс перехода от одночастотной к двухчастотной генерации. Если длина резонатора такая, что одна из резонансных частот
находится вблизи максимума контура усиления, то в спектре присутствует
одна частота – она же и синусоидальная несущая. При отстройке резонансной частоты лазерного резонатора от максимума контура усиления активной
среды в спектре появляются две частоты. Причем, интенсивности этих частот
изменяются так, что результирующая несущая частота всегда стремится находиться вблизи максимума контура усиления. Переход к двухчастотной генерации на временном языке означает, что излучение в лазере начинает
пульсировать с периодом, равным времени обхода светом резонатора.
Возникновение биений включает квантовые нестационарные когерентные эффекты взаимодействия излучения с активной средой. Это означает, что длительность импульсов биений начинает резко сокращаться, а их
амплитуда соответственно возрастать. В спектре излучения при этом возникают дополнительные частоты, а общая ширина спектра излучения лазера так
же резко возрастает.
Ясно, что говорить о выполнении энергетического порогового условия
генерации для всех частот, которые наблюдают в спектре излучения лазера
нельзя. Равенство коэффициента усиления и коэффициента потерь лазера
выполняется только для несущей частоты излучения, которая в конце переходного временного режима всегда устанавливается в максмимуме спектрального контура усиления.
Если конструкция лазерного резонатора стабильна, не чувствительна к
внешним возмущениям, а накачка обеспечивает малое превышение коэффициента усиления над потерями, то возможен другой сценарий переходного
режима. В редких случаях выполнение энергетического условия генерации
может случайно произойти в момент, когда одна из резонансных частот лазерного резонатора находится точно в максимуме спектрального контура
усиления. При этом в лазере отсутствуют причины для перехода к двухчастотной генерации и затравочные пульсации излучения не возникают. Лазер
будет продолжать генерировать на одной частоте и нужный режим генерации ультракоротких импульсов не реализуется. В этом случае экспериментатор должен разрушить это совпадение частот, например, щелкнув по держателю зеркала лазерного резонатора.
145
Литература к разделу 4
1.
2.
3.
4.
Maiman T.H. Phys. Rev. Lett. 4,564 (1960).
Физическая энциклопедия, т.2, с.546. М:, 1990.
Encyclopedia Britanica, 2002.
Hellwarth R.W. – In Advances in Quantum Electronics, Ed. J. Singer. Columbia University
Press. New York, 1961, p.334.
5. Hargrove L.E., Fork R.I., Pollack V.A. Appl. Phys. Lett. 5, 4 (1964).
6. Mocker H.W., Collins R.J. Appl. Phys. Lett. 7, 270, (1965).
7. DeMaria A.J., Stetser D.A., Heynay H. Appl. Phys. Lett. 8, 174, (1966).
8. Крюков П.Г., Летохов В.С. УФН, 99, 169 (1969).
9. Гудмен Дж. Статистическая оптика. М:. Мир, 1988, 528 с.
10. Крюков П.Г. Лазеры ультракоротких импульсов. Квантовая электроника, 31, 95 – 119,
(2001).
11. Clement T.S, Diddams S.F., Jones D.J. Lasers, Ultrafast Pulse Technology. Encyclopedia of
Physical Science and Technology, third edition, vol. 8. (2002).
12. Лебедев В.И., Ясень А.И. ЖПС, 17, 786, (1972).
13. DiDomenico M. J. Appl. Phys., 35, 2870, (1964). Yariv A. J. Appl. Phys. 36, 388 (1965).
Fleck J.A., Jr. J. Appl. Phys. 39, 3318 (1968. Летохов В.С. ЖЭТФ, 55, 1077, (1968).
14. Moulton P.E. J. Opt. Soc. Amer. B, 3, 125 (1986).
15. Аллен Л., Эберли Дж. Оптический резонанс и двухуровневые атомы.- М.: Мир, 1978.
16. Акулин В.М., Карлов Н.В. Интенсивные резонансные взаимодействия в квантовой
электронике. М.: Наука. 1987.-312 с.
17. Басов Н.Г., Прохоров А.М. УФН. 57, 485 – 501, (1955).
18. Fox A.G., Smith P.W. Mode-locked laser and 180 pulse. Phys. Rev. Lett. 18, 826, (1967).
19. Борисов В.И., Лебедев В.И. ЖПС, (1974), вып.6, с 864.
20. Иванов В.А., Лебедев В.И., Труб Е.П. и др. ЖПС, 26, 49 (1977).
21. Методы расчета ОКГ. Под ред. Б.И.Степанова, т.2, Минск: Наука и техника, 1968, 656с.
22. Freund I. Appl. Phys. Lett.,vol.26A, p.357 (1968).
23. Милинкевич А.В., Савва В.А., Самсон А.М. и др. ЖПС, т.21, с. 604, 1974.
24. Лебедев В.И., Ясень А.И. ЖПС, т.22, с. 1002, (1975).
25. Горбань И.С., Конончук Г.Л. ЖПС, т.8, с 864, (1968).
26. Лебедев В.И., Юревич В.А., А.И. Ясень А.И. ЖПС, 1977, т.26, С. 1000.
27. Юревич В.А., Лебедев В.И. Вести АН БССР, сер физ.-мат наук № 1, с59, (1982).
28. Лебедев В.И., Юревич В.А., Ясень А.И. ДАН БССР, т.29, с 913, (1985).
29. Maitland A., Dunn M.H. Laser Physics, Amsterdam-London, (1969), русский перевод этой
книги: А. Мэйтленд, М. Данн. Введение в физику лазеров. М. (1978), 408 с.
30. Вавилов С.И., Левшин В.Л. Z. f. Phys., 48, 396 (1928).
31. Sorokin P.P et. al. IBM J. 8, 182, (1964); Kafalas P., Masters J.I. Murray E. J. Appl. Phys,
35, 2349, (1964); Soffer B.H., Hoskins R.H. Nature, 204, 276, (1964).
32. Борисов В.И., Кабаев Н.И., Лебедев В.И., Юревич В.А. Некоторые особенности просветления фототропного затвора стоячей световой волной. –ЖПС. 34, 1005, (1981).
33. Пилипович В.А., Ковалев А.А. Оптические квантовые генераторы с просветляющимися фильтрами. Минск, «Наука и техника» (1975) - 216 с.
34. Борисов В.И., Лебедев В.И. О возникновении высокочастотного динамического хаоса
в излучении лазера. Лазеры и оптич. нелин. Матер. 9 Бел.-Лит. семин. Минск, 1989, С. 41.
35. Slusher R.E., Gibbs H.M. //Phys. Rev. vol.A5, p. 1634, (1972).
36. Clement T.S, Diddams S.F., Jones D.J. Lasers, Ultrafast Pulse Technology. Encyclopedia of
Physical Science and Technology, third edition, vol. 8. (2002).
37. Ахманов С.А., Вислоух В.А., Чиркин А.С. Оптика фемтосекундных лазерных импульсов.- М.: Наука, 1988. с 21.
146
38. Борисов В.И., Лебедев В.И. Определение хроматической дисперсии полупроводникового лазера по временной когерентности его излучения // ЖПС.-1992.- т.57, №3 с.340. Борисов В.И., Крол А.М., Лебедев В.И. Компенсация дисперсии активной среды
в полупроводниковом лазере с внешним резонатором// ЖПС.-1999.т.66, №5.- с.707.
39. Hau L.V., Harris S.E., et. al. Light speed reduction to 17 meters per second in an ultracold
atomic gas. Nature. 397, 594 (1999).
147
V.
“‹œ’€ŠŽŽ’Šˆ‰ ‹€‡…›‰ ˆŒ“‹œ‘ ‚
‹ˆ…‰Ž‰ „ˆ‘…ƒˆ“ž™…‰ ‘…„…
5.1. Š¢ §¨¬®­®å஬ â¨ç¥áª®¥ ¯à¨¡«¨¦¥­¨¥
Žá­®¢­ ï ¯à¨ç¨­ , ¢ë§ë¢ îé ï ¨§¬¥­¥­¨¥ ä®à¬ë ¨¬¯ã«ìá , ¤¢¨¦ã饣®áï ¢ ¢¨¤¥ ¯«®áª®© ᢥ⮢®© ¢®«­ë ¢ ¯à®áâà ­á⢥­­®{®¤­®à®¤­®©
á।¥ á ¤¨á¯¥àᨥ© { § ¢¨á¨¬®áâì ᪮à®á⨠à á¯à®áâà ­¥­¨ï ᢥ⠢ á।¥
®â ç áâ®âë ¨§«ã祭¨ï. â § ¢¨á¨¬®áâì ®¯¨áë¢ ¥âáï ¤¨á¯¥àᨮ­­®©
ªà¨¢®© k(!), ª®â®à ï ¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ ­¥«¨­¥©­ . ¥«¨­¥©­®áâì k(!) ¯à¨¢®¤¨â ª ¯®ï¢«¥­¨î ä §®¢ëå ᤢ¨£®¢ ¬¥¦¤ã à §«¨ç­ë¬¨ ª®¬¯®­¥­â ¬¨
”ãàì¥{ᯥªâà ᨣ­ « ¯® ¬¥à¥ ¥£® à á¯à®áâà ­¥­¨ï ¨ ª ª á«¥¤á⢨¥, ª
¤¥ä®à¬ 樨 ¨¬¯ã«ìá .
Ž¡ëç­® ¤«ï ¬ ⥬ â¨ç¥áª®£® ®¯¨á ­¨ï â ª¨å ¥­¨© ¯à¨¬¥­ïîâ ¯¯ à â ¨­â¥£à «®¢ ”ãàì¥. ‚®§¬®¦­®áâì â ª®£® ®¯¨á ­¨ï á«¥¤ã¥â ¨§ «¨­¥©­®á⨠¢®«­®¢®£® ãà ¢­¥­¨ï.
 ¤ î騩 ­ á।㠨¬¯ã«ìá ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ¢ ¢¨¤¥ ­ ¡®à ¯«®áª¨å ¬®­®å஬ â¨ç¥áª¨å ¢®«­
Z1
1
E (0; t) = 2 (!)ei!td!;
£¤¥
?1
(! ) =
Z1
?1
E (0; t)e?i!tdt
{ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥ ”ãàì¥ ¨á室­®£® ¨¬¯ã«ìá .
…᫨ ¯à¨ à á¯à®áâà ­¥­¨¨ ¢ á।¥ ¨¬¯ã«ìá ­¥ § âãå ¥â, â® ¬¯«¨â㤠ᨣ­ « ¯®á«¥ ¯à®å®¦¤¥­¨ï ¨¬ à ááâ®ï­¨ï L ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© á㯥௮§¨æ¨î ç áâ®â, ¯à¨áãâáâ¢ãîé¨å ¢® ¢å®¤­®¬ ¨¬¯ã«ìá¥, ­® á ¤à㣨¬¨
ä §®¢ë¬¨ ᮮ⭮襭¨ï¬¨ ¨ ¬®¦¥â ¡ëâì § ¯¨á ­ ¢ ¢¨¤¥
1
Z
1
E (L; t) = 2 (!)ei(!t ? k(!)L)d!;
?1
(5.1)
£¤¥ k(!) { § ª®­ ¤¨á¯¥àᨨ ¤«ï ¢®«­®¢®£® ç¨á« . à¨ ®âáãâá⢨¨ ¯®â¥àì
{ íâ® ¢¥é¥á⢥­­ ï äã­ªæ¨ï. ‚ᥠ¯®á«¥¤ãî騥 à áá㦤¥­¨ï, ¡¥§ãá«®¢­®,
®áâ îâáï ¢ ᨫ¥ ¨ ¢ ⮬ á«ãç ¥, ¥á«¨ ¨¬¥¥â ¬¥áâ® § âãå ­¨¥ ¨«¨ ãᨫ¥­¨¥ ᨣ­ « á ª®íää¨æ¨¥­â®¬ ¯®£«®é¥­¨ï, ­¥ § ¢¨áï騬 ®â ç áâ®âë.
”®à¬ «ì­® í⮠ᢥ¤ñâáï ª ¤®¡ ¢«¥­¨î ª ä㭪樨 k(!) ç¨áâ® ¬­¨¬®©
148
ª®­áâ ­âë, ª®â®à ï ¬®¦¥â ¡ëâì ¡¥§ ãé¥à¡ ®¯ã饭 , â ª ª ª ¯à¨¢®¤¨â
¢á¥£® «¨èì ª ¯¥à¥­®à¬¨à®¢ª¥ ¬¯«¨âã¤ë १ã«ìâ¨àãî饣® ᨣ­ « .
à¥¤¯®«®¦¥­¨¥ ® ¯à®áâà ­á⢥­­®© ®¤­®à®¤­®á⨠áà¥¤ë ¯®§¢®«ï¥â ®â¢«¥çìáï ®â ¢®¯à®á®¢, á¢ï§ ­­ëå á ¯®«ïਧ 樥© ¨§«ã祭¨ï, ¨ áç¨â âì
E (L; t) ®¤­®© ¨§ ®à⮣®­ «ì­ëå ¯à®¥ªæ¨© ¢¥ªâ®à ­ ¯à殮­­®áâ¨ í«¥ªâ஬ £­¨â­®£® ¯®«ï. ®¢áî¤ã ¢ ¤ «ì­¥©è¥¬ ¨§«®¦¥­¨¨ ¡ã¤ãâ à áᬠâਢ âìáï ⮫쪮 «¨­¥©­®{¯®«ïਧ®¢ ­­ë¥ ¢®«­ë, ¤«ï ª®â®àëå ¬®¦­®
®£à ­¨ç¨âìáï ¨§«®¦¥­¨¥¬ ᪠«ïà­®© ⥮ਨ.
…᫨ ¤¨á¯¥àᨮ­­ ï ªà¨¢ ï áà¥¤ë ¨§¢¥áâ­ â®ç­®, ­ ¯à¨¬¥à ¨§¬¥à¥­ á ¯®¬®éìî à¥äà ªâ®¬¥âà , â® ¯à¨¬¥­¥­¨¥ ä®à¬ã«ë (5.1) ¤«ï ¨¬¯ã«ìá ,
ᯥªâà ª®â®à®£® ¬®¦¥â ¡ëâì ¢ëà ¦¥­ ¢ ­ «¨â¨ç¥áª®¬ ¢¨¤¥, ¢ ¯à¨­æ¨¯¥,
¨áç¥à¯ë¢ ¥â § ¤ çã. ˆ§¢¥áâ­®, ®¤­ ª®, «¨èì ­¥áª®«ìª® ¬®¤¥«ì­ëå á«ãç ¥¢, ¤«ï ª®â®àëå à áçñâë ¯® ä®à¬ã«¥ (5.1) 㤠«®áì ¤®¢¥á⨠¤® ª®­æ ¢
­ «¨â¨ç¥áª®¬ ¢¨¤¥. ‚ ¯®¤ ¢«ïî饬 ¡®«ì設á⢥ ¯à ªâ¨ç¥áª¨ ¢ ¦­ëå
á«ãç ¥¢ ï¢­ë© ¢¨¤ ªà¨¢®© k(!) ­¥¨§¢¥á⥭, ¯®í⮬ã ä®à¬ «ì­®¥ ¢ëà ¦¥­¨¥ (5.1) ®ª §ë¢ ¥âáï ­¥ª®­áâàãªâ¨¢­ë¬ ¨ ­¥®¡å®¤¨¬® ¨áª âì ¯à¨¡«¨¦¥­¨ï, ª®â®àë¥ ¯®§¢®«ï«¨ ¡ë ¤® ª®­æ ¨áá«¥¤®¢ âì ª®­ªà¥â­ë¥ § ¤ ç¨.
Ž¡é¥£® à¥æ¥¯â ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨ï (5.1), ¯®{¢¨¤¨¬®¬ã, ­¥ áãé¥áâ¢ã¥â.
…áâì, ®¤­ ª®, ¢¥áì¬ ªâã «ì­ë© ¤«ï ¯à ªâ¨ª¨ á«ãç ©, ª®£¤ ä®à¬ã« (5.1) ¤®¯ã᪠¥â áãé¥á⢥­­®¥ ã¯à®é¥­¨¥. â® á«ãç © ª¢ §¨¬®­®å஬ â¨ç¥áª¨å ¨¬¯ã«ìᮢ, ”ãàì¥{ᯥªâà ª®â®àëå § ¬¥â­® ®â«¨ç¥­ ®â ­ã«ï
⮫쪮 ¢ ¤®áâ â®ç­® 㧪®© ¯®«®á¥ ç áâ®â ! ¢¡«¨§¨ ­¥ª®â®à®© ­¥áã饩
ç áâ®âë ! ; â® ¥áâì ¯à¨ ¢ë¯®«­¥­¨¨ ãá«®¢¨ï !=! 1: ‹ §¥à­ë¥ ¨¬¯ã«ìáë, ª ª ¯à ¢¨«®, 㤮¢«¥â¢®àïîâ í⮬㠪à¨â¥à¨î, ¯®áª®«ìªã ãá«®¢¨¥
£¥­¥à 樨 ¢ « §¥à¥ ¢ë¯®«­ï¥âáï ¤«ï áà ¢­¨â¥«ì­® 㧪®© ¯®«®áë ç áâ®â
¢¡«¨§¨ ¬ ªá¨¬ã¬ ᯥªâà «ì­®£® ª®­âãà ãᨫ¥­¨ï ªâ¨¢­®© á।ë. ‚
í⮬ á«ãç ¥ ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨¥ ¢ ä®à¬ã«¥ (5.1) ¤®áâ â®ç­® ¯à®¢¥á⨠¢ 㧪®© ¯®«®á¥ ç áâ®â è¨à¨­®© ! á 業â஬ ¢¡«¨§¨ ! ; § ¬¥­¨¢ ॠ«ì­ãî
¤¨á¯¥àᨮ­­ãî ªà¨¢ãî k(!) ¤à㣮© ªà¨¢®©, å®à®è® ᮢ¯ ¤ î饩 á ­¥©
¢ ç áâ®â­®¬ ¨­â¥à¢ «¥ !: ®áª®«ìªã ¯à¨ â ª®¬ ¯®¤å®¤¥ ¯¯à®ªá¨¬¨à®¢ âì k(!) ­ ¤® «¨èì ­ ­¥¡®«ì讬 ç áâ®â­®¬ ¨­â¥à¢ «¥, â® «ãç訩 ᯮᮡ ᤥ« âì íâ® á®á⮨⠢ ⮬, ç⮡ë à §«®¦¨âì ¤¨á¯¥àᨮ­­ãî ªà¨¢ãî
(ª®â®à ï ¯à¥¤¯®« £ ¥âáï ¨§¢¥áâ­®©) ¢ àï¤ ¯® á⥯¥­ï¬ ! ¨ 㤥ঠâì ¢
­ñ¬ ­¥áª®«ìª® ¯¥à¢ëå ç«¥­®¢. Š®íää¨æ¨¥­âë à §«®¦¥­¨ï, § ¨áª«î祭¨¥¬ ­ã«¥¢®£®, ç áâ® ­ §ë¢ îâ ¤¨á¯¥àᨮ­­ë¬¨ ¯ à ¬¥âà ¬¨ ¯¥à¢®£®,
¢â®à®£® ¨ â.¤. ¯®à浪®¢. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬,
dk
(
!
)
1
d
k
(
!
)
k(!) = k(! ) + d! (! ? ! ) + 2 d! (! ? ! ) + : : : :
(5.2)
! !
! !
0
0
0
2
0
0
2
= 0
149
0
= 0
2
‚ ª¢ §¨¬®­®å஬ â¨ç¥áª®¬ ¯à¨¡«¨¦¥­¨¨ ¬¯«¨âã¤ã ᢥ⮢®© ¢®«­ë
¨á室­®£® ᨣ­ « ¬®¦­® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥ ¯à®¨§¢¥¤¥­¨ï ¬¥¤«¥­­® ¬¥­ïî饩áï ®£¨¡ î饩 f (0; t) ¨ ¢ë᮪®ç áâ®â­®£® ¬­®¦¨â¥«ï á ­¥áã饩
ç áâ®â®© !
E (0; t) = f (0; t)ei! t:
0
0
®á«¥ ¯à®å®¦¤¥­¨ï ¢ á।¥ à ááâ®ï­¨ï L ¢ëà ¦¥­¨¥ ¤«ï ¬¯«¨âã¤ë
ᢥ⮢®© ¢®«­ë ¯à¨¬¥â, á ãçñ⮬ (5.2), á«¥¤ãî騩 ¢¨¤:
1
Z
1
E (L; t) = 2 (! ? ! )ei(!t?(k L+k L(! ?! )+ k L(! ?! ) +: : : ))d!;
0
0
0
£¤¥
?1
(! ? ! ) =
Z1
1
2
0
0
00
0
0
2
f (0; t)e?i(! ? ! )dt
0
0
?1
{ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥ ”ãàì¥ ®£¨¡ î饩 ¨¬¯ã«ìá , èâà¨å®¬ ®¡®§­ 祭ë
¯à®¨§¢®¤­ë¥ ä㭪樨 k(!), ¯à¨ç¥¬ ¨­¤¥ªá 0 ®§­ ç ¥â, çâ® ¨å §­ 祭¨ï
¢ëç¨á«¥­ë ­ ç áâ®â¥ ! :
’ ª ¦¥ ª ª ¨ ¤«ï ¢å®¤­®£® ᨣ­ « , ¢ ¢ëà ¦¥­¨¨ ¤«ï E (L; t) ¬®¦­®
0
¢ë¤¥«¨âì ¢ë᮪®ç áâ®â­ãî ç áâì ¨ ¬¥¤«¥­­® ¬¥­ïî騩áï ᮬ­®¦¨â¥«ì
f (L; t) { ®£¨¡ îéãî ¨¬¯ã«ìá E (L; t) = f (L; t)ei(! t ? k L);
¤«ï ª®â®à®© ¨¬¥¥â ¬¥áâ® á«¥¤ãî饥 ¨­â¥£à «ì­®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥:
0
1
0
Z
1
f (L; t) = 2 (!)ei(!t ? k L! ? k L! ? : : : )d!:
0
1
2
0
00
0
2
?1
‚ ¤ «ì­¥©è¥¬ ¢á¥ ¨§¬¥­¥­¨ï ä®à¬ë ᨣ­ « 㤮¡­® ¡ã¤¥â § ¯¨áë¢ âì
¢ úᬥéñ­­®¬û ¢à¥¬¥­¨ = t ? tL, £¤¥ tL = k L
0
0
1
Z
1
f (L; ) = 2 (!)ei(! ? k L! ? : : : )d!:
1
2
?1
00
0
2
ˆ§ ¬ «®á⨠ç áâ®â­®£® ¨­â¥à¢ « ! á«¥¤ã¥â, çâ® ­ ¨¡®«ì訩 ¢ª« ¤
¢ ¤¥ä®à¬ æ¨î ®£¨¡ î饩 १ã«ìâ¨àãî饣® ᨣ­ « ¡ã¤¥â ¢­®á¨âì ¯¥à¢®¥ ­¥­ã«¥¢®¥, ­¥«¨­¥©­®¥ ¯® !; á« £ ¥¬®¥ ¢ à §«®¦¥­¨¨ (5.2), ¯®í⮬ã
¨ à áᬠâਢ ¥¬ãî ­ ¬¨ ¬®¤¥«ì ç áâ® ­ §ë¢ îâ ¯¥à¢ë¬ ­¥¨á祧 î騬
¯à¨¡«¨¦¥­¨¥¬ ⥮ਨ. ‚ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ â ª¨¬ á« £ ¥¬ë¬ ¡ã¤¥â 㦥 ª¢ 150
¤à â¨ç­ë© ¯® ! ç«¥­ à §«®¦¥­¨ï (5.2), çâ® ¯®§¢®«ï¥â ¯à¥­¥¡à¥çì ®áâ ⪮¬ àï¤ ¨ ¨§¡ ¢¨âìáï ®â ¬­®£®â®ç¨ï ¢ ¯®ª § ⥫¥ íªá¯®­¥­âë. à¨ í⮬
­ 宦¤¥­¨¥ ®£¨¡ î饩 ã¯à®é ¥âáï ¤®
1
Z
1
f (L; ) = 2 (!)ei(! ? k L! )d!:
1
2
00
0
2
(5.3)
?1
ˆ¬¥­­® ¢ í⮬ ¯à¨¡«¨¦¥­¨¨ ¨ ¡ã¤¥â ¢ë¯®«­¥­® ¡®«ì設á⢮ à áçñ⮢
¤ ­­®© £« ¢ë. ®à浪®¢ë© ­®¬¥à ¯®á«¥¤­¥£® ç«¥­ à §«®¦¥­¨ï (5.2), ª®â®àë© ¨á¯®«ì§ã¥âáï ¤«ï ¢ëç¨á«¥­¨ï f (L; ), ­ §ë¢ ¥âáï ¯®à浪®¬ ª¢ §¨¬®­®å஬ â¨ç¥áª®£® ¯à¨¡«¨¦¥­¨ï, çâ® ¤ ñ⠮᭮¢ ­¨¥ ­ §ë¢ âì (5.3)
¢â®àë¬ ¯à¨¡«¨¦¥­¨¥¬.
”®à¬ã« (5.3), ª ª ¯à ¢¨«®, ¨ ¨á¯®«ì§ã¥âáï ¢ «¨â¥à âãॠ¢ ª ç¥á⢥
®â¯à ¢­®© â®çª¨ ¯à¨ ¢ë¯®«­¥­¨¨ ¯à ªâ¨ç¥áª¨å à áçñ⮢ ãè¨à¥­¨ï « §¥à­ëå ¨¬¯ã«ìᮢ ¢ ¤¨á¯¥à£¨àãî饩 á।¥ [1{5]. ˆ§ í⮩ ä®à¬ã«ë ¢¨¤­®,
çâ® ¯à¨ à ¢¥­á⢥ ­ã«î k { ¢â®à®© ¯à®¨§¢®¤­®© ¢®«­®¢®£® ¢¥ªâ®à ¯® ç áâ®â¥, ­¨ª ª®© ¤¥ä®à¬ 樨 ¨¬¯ã«ìá ¢ á।¥ ­¥ ¯à®¨á室¨â. ‚६¥­­®©
¯à®ä¨«ì ®£¨¡ î饩 ­ à ááâ®ï­¨¨ L á § ¤¥à¦ª®© tL ¢®á¯à®¨§¢®¤¨â ­ ç «ì­ë© ¯à®ä¨«ì. ’ ª ï á¨âã æ¨ï ᮮ⢥âáâ¢ã¥â á«ãç î «¨­¥©­®© § ¢¨á¨¬®á⨠¯®ª § â¥«ï ¯à¥«®¬«¥­¨ï áà¥¤ë ®â ¤«¨­ë ¢®«­ë ¨§«ã祭¨ï.
â® ¤ ñâ ¢®§¬®¦­®áâì ¨á¯®«ì§®¢ âì ¯®­ï⨥ ú£à㯯®¢®© ᪮à®áâ¨û, ª ª
᪮à®á⨠à á¯à®áâà ­¥­¨ï
­¥¨áª ¦¥­­®© ®£¨¡ î饩 ᨣ­ « ¢ á।¥ á
? d!
¤¨á¯¥àᨥ© vg = k = dk : „«ï ­¥«¨­¥©­®© ¤¨á¯¥àᨮ­­®© ªà¨¢®© ¯ à ¬¥âà k ¡ã¤¥â ®¡ëç­® ¯à¨­¨¬ âì ­¥­ã«¥¢ë¥ §­ 祭¨ï, çâ® ¨ ¯à¨¢¥¤ñâ ª
¨áª ¦¥­¨ï¬ ®£¨¡ î饩 ¨¬¯ã«ìá ¯® ¬¥à¥ ¥£® à á¯à®áâà ­¥­¨ï ¢ á।¥.
à¨ í⮬ ¯®­ï⨥ ú£à㯯®¢ ï ᪮à®áâìû ¢ ®¯à¥¤¥«ñ­­ëå á¨âã æ¨ïå â¥àï¥â ¯à¨¢ëç­ë© á¬ëá«.
‚ ­¥ª®â®àëå á«ãç ïå ¤«ï ¨áá«¥¤®¢ ­¨ï ᢮©á⢠ä㭪樨 f (L; ) 㤮¡­®
­¥ ¯¥à¥å®¤¨âì ª ᯥªâà «ì­®¬ã ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨î, ­¥¯®á।á⢥­­® ¬ ­¨¯ã«¨à®¢ âì ¢à¥¬¥­­ë ¬¨ § ¢¨á¨¬®áâﬨ. à¨ ­ «®¦¥­¨¨ ­ ®£¨¡ î騥
¨¬¯ã«ìᮢ f (L; ) áâ ­¤ àâ­ëå ãá«®¢¨© £« ¤ª®á⨠¨ ᪮à®á⨠ã¡ë¢ ­¨ï
­ ¡¥áª®­¥ç­®áâ¨, ¬®¦­® ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï ¨§¢¥áâ­ë¬ ¨§ ⥮ਨ ¨­â¥£à «®¢ ”ãàì¥ á®®â­®è¥­¨¥¬, § ¬¥­ïî騬 ¢ëç¨á«¥­¨¥ ®¡à â­®£® ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï ”ãàì¥ ¢ëç¨á«¥­¨¥¬ ¢à¥¬¥­­®© ᢥà⪨
00
0
0
1
0
00
0
Z1
(!) (!)ei! d! = 2
1
?1
Z1
2
?1
f ( ? t)f (t)dt;
1
2
£¤¥ ä㭪樨 (!) ¨ (!) ïîâáï ”ãàì¥{ᯥªâà ¬¨ ᨣ­ «®¢ f (t) ¨
1
2
1
151
f (t). ‘ç¨â ï, çâ® (!) ᮢ¯ ¤ ¥â ᮠᯥªâ஬ ¨á室­®£® ᨣ­ « , ¯®«ãç ¥¬ á¢ï§ì ¬¥¦¤ã ®£¨¡ î騬¨ ¨á室­®£® ¨ १ã«ìâ¨àãî饣® ¨¬¯ã«ìᮢ
2
2
f (L; ) =
Z1
f ( ? t)f (0; t)dt:
1
?1
‚ ᮮ⢥âá⢨¨ á (5.3), ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥ ”ãàì¥ ¤«ï ä㭪樨 f (t) ¨¬¥¥â
¢¨¤
?i 12 k L!
(!) = e
:
Ž¡à é ï íâ® ¢ëà ¦¥­¨¥, ­ 室¨¬ ãî § ¢¨á¨¬®áâì ®â ¢à¥¬¥­¨
t
1
;
f (t) = p
exp ?
2ik L
2ik L
ª®â®àãî ç áâ® ­ §ë¢ îâ ä㭪樥© ƒà¨­ , ¯®áª®«ìªã ®­ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â
ᮡ®© ॠªæ¨î á¨áâ¥¬ë ­ ¢®§¡ã¦¤¥­¨¥ ¢ ¢¨¤¥ {¢á¯«¥áª . ®á«¥ ¯®¤áâ ­®¢ª¨ ¯®«ã祭­®£® १ã«ìâ â ¢ ¢ëà ¦¥­¨¨¥ ¤«ï f (L; ), ¨â®£®¢ ï
ä®à¬ã« ¯à¨¬¥â ¢¨¤
Z1
( ? t) 1
f (L; ) = p
exp ?
f (0; t)dt:
(5.4)
2ik L
2ik L?1
1
00
0
1
2
2
1
00
00
0
0
2
00
00
0
0
‘ ¢ëç¨á«¨â¥«ì­®© â®çª¨ §à¥­¨ï ¢ëà ¦¥­¨ï (5.3) ¨ (5.4) íª¢¨¢ «¥­â­ë,
â ª ª ª ®¡ ¯à¨¢®¤ïâ ª ­¥âਢ¨ «ì­®© ¯à®¡«¥¬¥ ­ 宦¤¥­¨ï ¨­â¥£à «®¢
®â ¡ëáâà®®á樫«¨àãîé¨å ä㭪権. Ž¤­ ª® ¯à¨ ¯®¬®é¨ (5.4) ¯à®é¥ ®æ¥­¨âì ᪮à®áâì ã¡ë¢ ­¨ï ¨­â¥­á¨¢­®á⨠¢ 業âà «ì­®© ç á⨠¨¬¯ã«ìá , â ª¦¥ ¢ëâì àï¤ ®¡é¨å ᢮©áâ¢, ¯à¨áãé¨å 楫®¬ã ª« ááã ᨣ­ «®¢. ‚
ç áâ­®áâ¨, ­¥¯®á।á⢥­­® ¨­â¥£à¨àãï
R 1 (5.4), ã¡¥¦¤ ¥¬áï ¢ ⮬, çâ® â ª
­ §ë¢ ¥¬ ï ú¯«®é ¤ìû ¨¬¯ã«ìá ?1 f (L; )d; ï¥âáï ¨­¢ ਠ­â®¬
¤¢¨¦¥­¨ï. ®¬¨¬®R ¥éñ
®¤­®£®, ®ç¥¢¨¤­®£® ¨­¢ ਠ­â ¤¢¨¦¥­¨ï { í­¥à1
£¨¨ ¨¬¯ã«ìá E = ?1 f (L; )f (L; )d; áãé¥áâ¢ã¥â ¨ ¬­®¦¥á⢮ ¤à㣨å
á®åà ­ïîé¨åáï ¢¥«¨ç¨­ [6, 7, 10], ª®â®àë¥, ®¤­ ª®, ­¥ áâ®«ì ªâã «ì­ë
¤«ï â®ç­®£® à áçñâ ¤¨­ ¬¨ª¨ à á¯à®áâà ­¥­¨ï ¨¬¯ã«ìᮢ.
ƒ®à §¤® ¡®«¥¥ áãé¥á⢥­­ë¬ ï¥âáï â® ®¡áâ®ï⥫ìá⢮, çâ® á¢ñà⪠(5.4) á®åà ­ï¥â çñâ­®áâì ®£¨¡ î饩 ¨á室­®£® ᨣ­ « , â® ¥áâì ¥á«¨ ¯ ¤ î騩 ­ á।㠨¬¯ã«ìá ¡ë« á¨¬¬¥âà¨ç­ë¬ ®â­®á¨â¥«ì­® ᢮¥£® 業âà , â® ®­ ¨ ¡ã¤¥â ®áâ ¢ âìáï ᨬ¬¥âà¨ç­ë¬ ­ «î¡®© ¤«¨­¥ L. „à㣨¬¨
á«®¢ ¬¨, 業âà ᨬ¬¥âà¨ç­®£®, ¤¥ä®à¬¨àãî饣®áï ¢ á।¥ ¨¬¯ã«ìá ,
®áâ ñâáï ­¥¯®¤¢¨¦­ë¬ ¢ á¨á⥬¥ ®âáçñâ , ¤¢¨¦ã饩áï ᮠ᪮à®áâìî vg .
‚ á«ãç ¥ ¦¥ ¨¬¯ã«ìá ¯à®¨§¢®«ì­®© ä®à¬ë ᪮à®áâì ¯¥à¥¬¥é¥­¨ï ¥£®
152
¬ ªá¨¬ã¬ ¢®¢á¥ ­¥ ®¡ï§ ­ ᮢ¯ ¤ âì á vg .
€¢â®àë àï¤ à ¡®â ¢¬¥áâ® ­¥¯®á।á⢥­­®£® ¢ëç¨á«¥­¨ï ¨­â¥£à « ¢ (5.3) ¯à¥¤« £ îâ ¯®«ãç¨âì ¤«ï f (L; ) ¤¨ää¥à¥­æ¨ «ì­®¥ ãà ¢­¥­¨¥ ¢
ç áâ­ëå ¯à®¨§¢®¤­ëå ¨ ¨­â¥£à¨à®¢ âì ¥£®. „¥©á⢨⥫쭮, ä®à¬ «ì­®
¤¢ ¦¤ë ¤¨ää¥à¥­æ¨àãï ¯®¤ë­â¥£à «ì­®¥ ¢ëà ¦¥­¨¥ ¢ (5.3) ¯® ¢à¥¬¥­¨
¨ ®¤¨­ à § ¯® ¤«¨­¥ L; ã¡¥¦¤ ¥¬áï ¢ ⮬, çâ® äã­ªæ¨ï f (L; ) 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãà ¢­¥­¨î ¤¨ää㧨¨
@f (L; ) = 1 ik @ f (L; ) ;
@L
2
@
¯à¨çñ¬ ¤«ï áà¥¤ë ¡¥§ ¯®â¥àì ª®íää¨æ¨¥­â ¤¨ää㧨¨ ï¥âáï ç¨áâ®
¬­¨¬®© ¢¥«¨ç¨­®©. â® ãà ¢­¥­¨¥ á«¥¤ã¥â à¥è âì ¯à¨ áâ ­¤ àâ­ëå
£à ­¨ç­ëå ãá«®¢¨ïå f (L; ) ! 0 ¯à¨ ! 1; ª®â®àë¬ ã¤®¢«¥â¢®àïîâ
¢á¥ ®£à ­¨ç¥­­ë¥ ¯® ¬®é­®á⨠¨¬¯ã«ìáë á ª®­¥ç­®© í­¥à£¨¥©, ¢ ª ç¥á⢥ ­ ç «ì­®£® ãá«®¢¨ï ¡¥à¥âáï ¯ ¤ î騩 ­ á।㠨¬¯ã«ìá f (0; ):
’ ª®© ¯®¤å®¤, ¡¥§ãá«®¢­®, ®¯à ¢¤ ­ á ®¡é¥â¥®à¥â¨ç¥áª®© â®çª¨ §à¥­¨ï,
¯®áª®«ìªã ¯®§¢®«ï¥â ¯à¨¬¥­¨âì ª ¨áá«¥¤®¢ ­¨î ä㭪樨 f (L; ) ®¡é¨¥
᢮©á⢠à¥è¥­¨© ãà ¢­¥­¨© ¯ à ¡®«¨ç¥áª®£® ⨯ , ®¤­ ª® ¯à ªâ¨ç¥áª¨
®­ ᮢ¥à襭­® ­¥íä䥪⨢¥­, ¨ ¢ ¯®á«¥¤ãîé¨å à §¤¥« å ¤ ­­®© £« ¢ë
¡ã¤ã⠯।«®¦¥­ë «ìâ¥à­ ⨢­ë¥ ¢ ਠ­âë ¢ëç¨á«¥­¨ï ®£¨¡ î饩.
„«ï ª ç¥á⢥­­®© ¨­â¥à¯à¥â 樨 ᢮©á⢠ª®¬¯«¥ªá­®© ®£¨¡ î饩
f (L; ) ¬®¦­® ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï ¨ ⥬, çâ® ¯®á«¥ ¢§ ¨¬­®£® ¯¥à¥®¡®§­ 祭¨ï ª®®à¤¨­ âë ¨ ¢à¥¬¥­¨, ãà ¢­¥­¨¥, ª®â®à®¬ã 㤮¢«¥â¢®àï¥â äã­ªæ¨ï
f (L; ); áâ ­®¢¨âáï ¨¤¥­â¨ç­ë¬ ®¤­®¬¥à­®¬ã ¢ ਠ­âã ­¥áâ 樮­ à­®£®
ãà ¢­¥­¨ï ˜àñ¤¨­£¥à ¤«ï ᢮¡®¤­® ¤¢¨¦ã饩áï ç áâ¨æë. ‘¬ëª ­¨¥
ª« áá¨ç¥áª®© ®¯â¨ª¨ ¨ ª¢ ­â®¢®© ¬¥å ­¨ª¨ ¯®§¢®«ï¥â âà ªâ®¢ âì ¤¨­ ¬¨ªã à á¯à®áâà ­¥­¨ï « §¥à­®£® ¨¬¯ã«ìá ¢ â¥à¬¨­ å ¢®«­ ¤¥ à®©«ï.
‚¥à­® ¨ ®¡à â­®¥. ‚ᥠ१ã«ìâ âë ¤ ­­®© £« ¢ë, § ¨áª«î祭¨¥¬ ¯®¦ «ã© ¯®á«¥¤­¥£® à §¤¥« , ¨¬¥îâ ᢮¨ ­ «®£¨ ¯à¨ ®¯¨á ­¨¨ ᢮©áâ¢
¢®«­®¢®© ä㭪樨 ¤¢¨¦ã饩áï ¬¨ªà®ç áâ¨æë.
Žá®¡ë¬ á«ãç ¥¬ ª¢ §¨¬®­®å஬ â¨ç¥áª®£® ¯à¨¡«¨¦¥­¨ï ï¥âáï ¨áá«¥¤®¢ ­¨¥ ¤¨­ ¬¨ª¨ à á¯à®áâà ­¥­¨ï ¨¬¯ã«ìᮢ ¢ ®¡« áâ¨, â ª ­ §ë¢ ¥¬®©, ú­ã«¥¢®©û ¤¨á¯¥àᨨ. Š ª ¢ ᢥ⮢®¤ å, â ª ¨ ¢ ®¡ëç­ëå á। å
á ¤¨á¯¥àᨥ©, ­ ®¯à¥¤¥«ñ­­®© ¤«¨­¥ ¢®«­ë ¨§«ã祭¨ï ª®íää¨æ¨¥­â k
áâ ­®¢¨âáï ¡«¨§ª¨¬ ª 0 ¨ ¢ë¤¥«¥­¨¥ ¤®¬¨­¨àãî饣® á« £ ¥¬®£® ¢ (5.2)
®ª §ë¢ ¥âáï ­¥¢®§¬®¦­ë¬. ‚ í⮬ á«ãç ¥ ­¥®¡å®¤¨¬® 㤥ঠâì ¢ à §«®¦¥­¨¨ (5.2) ¯® ªà ©­¥© ¬¥à¥ ¤¢ ­ ¨¡®«ìè¨å ¯® ¢¥«¨ç¨­¥ á« £ ¥¬ëå,
çâ® á ­¥¨§¡¥¦­®áâìî ¯à¨¢¥¤ñâ ª ¯®ï¢«¥­¨î ª ç¥á⢥­­® ­®¢ëå á業 ਥ¢
í¢®«î樨 ®£¨¡ î饩 ª¢ §¨¬®­®å஬ â¨ç¥áª®£® ¨¬¯ã«ìá .
00
0
2
2
00
0
153
5.2.
¥ª®â®àë¥ ¬®¤¥«¨ ®¤¨­®ç­ëå ¨¬¯ã«ìᮢ, ¤®¯ã᪠î騥
â®ç­®¥ à¥è¥­¨¥
‚ «î¡®© ¯à¥¤¬¥â­®© ®¡« á⨠¢ë¥­¨¥ ¬®¤¥«¥©, ¤®¯ã᪠îé¨å § ¬ª­ã⮥, ­ «¨â¨ç¥áª®¥ à¥è¥­¨¥, ®â­®á¨âáï ª à §àï¤ã ¯¥à¢®®ç¥à¥¤­ëå § ¤ ç. ‚®{¯¥à¢ëå, â ª¨¥ ¬®¤¥«¨ ¯®§¢®«ïîâ ¢ëïá­¨âì ¤¥ª¢ â­®áâì ⥮à¥â¨ç¥áª¨å ¯à¥¤¯®áë«®ª, ¯®«®¦¥­­ëå ¢ ®á­®¢ã á ¬®© ¬®¤¥«¨. ‚®{¢â®àëå,
¯®ï¢«ï¥âáï ¢®§¬®¦­®áâì, ¯ãáâì ¨ ¤«ï ç áâ­®£® á«ãç ï, ¯à® ­ «¨§¨à®¢ âì ¨áá«¥¤ã¥¬ë© ¯à®æ¥áá ¯®«­®áâìî, ¡¥§ á¥à¨¨ âà㤭® ¯à®¢¥à塞ëå
¨«¨ ¤ ¦¥ ­¥¯à®¢¥à塞ëå £¨¯®â¥§.  «¨ç¨¥ ¤®áâ â®ç­® ¯®«­®£® ¡ §¨á â ª¨å ¬®¤¥«¥© ¯®à®¦¤ ¥â ¯à ¢¨«ì­ãî ª ç¥á⢥­­ãî ª à⨭㠢ᥩ ᮢ®ªã¯­®á⨠¨§ãç ¥¬ëå ¥­¨©. ‚{âà¥âì¨å, â®ç­ë¥ à¥è¥­¨ï ¢ëáâ㯠îâ ¢
஫¨ ®¯®à­ëå â®ç¥ª, ¯®§¢®«ïï ®æ¥­¨âì â®ç­®áâì à §«¨ç­ëå ¯à¨¡«¨¦ñ­­ëå ¬¥â®¤®¢ ¨áá«¥¤®¢ ­¨ï § ¤ ç¨, â ª¦¥ íä䥪⨢­®áâì ¨å ç¨á«¥­­®©
ॠ«¨§ 樨. …áâ¥á⢥­­®, çâ® ¬ë ⮦¥ ¯®¯ëâ ¥¬áï à áᬮâà¥âì ­¥ª®â®àë¥ ¨§ â ª¨å ¬®¤¥«¥© ¨ ®¡á㤨âì á⥯¥­ì ®¡é­®á⨠¯®«ãç ¥¬ëå ¯à¨
í⮬ १ã«ìâ ⮢.
‚¥à®ïâ­® ¥¤¨­á⢥­­ë¬, å®à®è® ¨§¢¥áâ­ë¬ ¢ «¨â¥à âãà¥, ¯à¨¬¥à®¬,
¢ ª®â®à®¬ ¨§¬¥­¥­¨¥ ä®à¬ë ¨¬¯ã«ìá ¢ á।¥ á ¤¨á¯¥àᨥ© 㤠ñâáï à áᬮâà¥âì áã£ã¡® í«¥¬¥­â à­ë¬¨ á।á⢠¬¨, ï¥âáï á«ãç © £ ãáᮢ®£®
¨¬¯ã«ìá . ‘ ¬ ¯® ᥡ¥, íâ®â १ã«ìâ â ¨§¢¥á⥭ ¤®áâ â®ç­® ¤ ¢­® ¨ ®¡á㦤 ¥âáï ¢® ¬­®£¨å ®¡§®à å ¨ ¬®­®£à ä¨ïå [2{5], ¤ «¥ª® ­¥ ¯®«­ë© ᯨ᮪ ª®â®àëå ¯à¨¢®¤¨âáï ¢ ª®­æ¥ £« ¢ë. ‚¢¨¤ã ¨áª«îç¨â¥«ì­®© ¯à®áâ®âë
¬®¤¥«¨ ¥ñ ¤®áâ â®ç­® ç áâ® ¨á¯®«ì§ãîâ ¨ ¯à¨ ¨­â¥à¯à¥â 樨 íªá¯¥à¨¬¥­â «ì­ëå ¤ ­­ëå.
Ž£¨¡ îéãî ¨¬¯ã«ìá £ ãáᮢ®© ä®à¬ë á â®ç­®áâìî ¤® ¯®áâ®ï­­®£®
à §¬¥à­®£® ¬­®¦¨â¥«ï § ¯¨áë¢ îâ ¢ ¢¨¤¥
t f (0; t) = exp ? t ;
£¤¥ ¯ à ¬¥âà t § ¤ ñ⠢६¥­­®© ¬ áèâ ¡ ¤«¨â¥«ì­®á⨠¨¬¯ã«ìá .
”ãàì¥{®¡à § ®£¨¡ î饩 ᨣ­ « Z1
p
(!) = exp(?( tt ) )e?i!tdt = t e? ! t
2
0
0
2
?1
0
0
1
4
2 2
0
{ â ª¦¥ £ ãáᮢ äã­ªæ¨ï. ®¤®¡­ ï ¨­¢ ਠ­â­®áâì £ ãáᮢëå ä㭪権
®â­®á¨â¥«ì­® ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï ”ãàì¥ ®¡ãá« ¢«¨¢ ¥â ¢®§¬®¦­®áâì ¢ëç¨á-
«¥­¨ï ¤®áâ â®ç­® è¨à®ª®£® ª« áá ¨­â¥£à «®¢ ¢ ­ «¨â¨ç¥áª®¬ ¢¨¤¥ ¨
ï¥âáï ª«î箬 ª à¥è¥­¨î ¤ ­­®£® ¯à¨¬¥à .
154
 à ááâ®ï­¨¨ L ®â ¨á室­®© â®çª¨ ä®à¬ã ®£¨¡ î饩 ¨¬¯ã«ìá ¢ëç¨á«ï¥¬ ¯® ä®à¬ã«¥ (5.3) Z1
p
f (L; ) = 21 t exp(? 14 ! t ? 12 ik L! + i! )d! =
1 pt
2
r
0
00
2 2
0
0
?1
0
2
?
(=t ) 1
q
exp
t +2ik L = 1+2i k L exp ? 1+2i kt L :
t + ik L
1 2
4 0
2
1
2
2
0
00
0
0
00
(5.5)
00
00
0
2
0
0
2
0
0
2
t
’ ª¨¬ ®¡à §®¬, à á¯à®áâà ­ïïáì ¢ ¤¨á¯¥à£¨àãî饩 á।¥, £ ãáᮢ ¨¬¯ã«ìá ¬®­®â®­­® ãè¨àï¥âáï, ­® ¯®{¯à¥¦­¥¬ã ®áâ ñâáï £ ãáᮢë¬, â. ¥.
á®åà ­ï¥â ᢮î ä㭪樮­ «ì­ãî ä®à¬ã.
1 I(τ)
¥à¥¯¨è¥¬ ¯®«ã祭­ë© १ã«ìâ â ¢
I(0)
0.8
­¥áª®«ìª® ¨­®© ä®à¬¥. „«ï í⮣® ¢¢¥¤ñ¬ ¢ 㯮âॡ«¥­¨¥ ¢¥«¨ç¨­ã p { ¤«¨0.6
⥫쭮áâì ¨¬¯ã«ìá . ‡ ¢¨á¨¬®áâì í⮩
τ
¢¥«¨ç¨­ë ®â ¤«¨­ë á।ë, ç¥à¥§ ª®â®0.4 p0
àãî ¯à®è¥« ¨¬¯ã«ìá, ®¡®§­ 稬 ç¥à¥§
0.2
p(L); ¤«ï ¤«¨â¥«ì­®á⨠¨á室­®£® ¨¬τ
t0
¯ã«ìá p(0) ¡ã¤¥¬ ¨á¯®«ì§®¢ âì ¡®«¥¥
0
−2
−1
1
2
ªà âªãî § ¯¨áì { p :
ªá¯¥à¨¬¥­â «ì­® ¤«¨â¥«ì­®áâì ¨¬- ¨á.5.1. Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ ¤«¨â¥«ì­®áâ¨
á ®£¨¡ î饩 £ ãáᮢ®©
¯ã«ìá ®¯à¥¤¥«ïîâ, ª ª ¯®ª § ­® ­ ¨¬¯ã«ìá à¨á.5.1, ¯® ã஢­î ¯®«®¢¨­ë ®â ¬ ªá¨- ä®à¬ë.
¬ «ì­®© ¬®é­®á⨠¨§«ã祭¨ï. „«ï ¨á室­®£® ¨¬¯ã«ìá íâ® ãá«®¢¨¥ § ¯¨áë¢ ¥âáï ¢ ¢¨¤¥
exp ?2 2pt
= 12 :
0
0
2
0
’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤«¨â¥«ì­®áâì ¨¬¯ã«ìá , ¨§¬¥à¥­­ ï ¯® ã஢­î ¯®«®¢¨­ë ¯¨ª®¢®© ¬®é­®áâ¨, p á¢ï§ ­ á ª®­á⠭⮩ t ᮮ⭮襭¨¥¬
2(p =(2t )) = ln 2; ¨§ ª®â®à®£® ¬®¦­® ® ¢ëà §¨âì á ¬® p
p
(5.6)
p = 2 ln 2 t :
ˆ­â¥­á¨¢­®áâì ®£¨¡ î饩 १ã«ìâ¨àãî饣® ᨣ­ « ¯®«ãç ¥¬ ¤®¬­®¦¥­¨¥¬ f (L; ) ¨§ (5.5) ­ ª®¬¯«¥ªá­®{ᮯàï¦ñ­­ãî ¢¥«¨ç¨­ã
1
2
I (L; )= f (L; )f (L; )= s exp ? ( t ) : (5.7)
1+ 2kt L
1+ 2kt L
0
0
2
0
0
0
0
0
2
00
0
2
0
155
2
00
0
2
0
2
0
®¤áâ ¢«ïï ¢ (5.7) ¢ëà ¦¥­¨¥ ¤«ï p , ¯à¥®¡à §ã¥¬ I (L; ) ª ¢¨¤ã
4( p ) ln 2 1
I (L; ) = s exp ? ;
4
k
L
ln
2
1+
1 + 4k L ln 2
p
p
¯®§¢®«ïî饬㠫¥£ª® ¯®«ãç¨âì § ¢¨á¨¬®áâì, á¢ï§ë¢ îéãî ¤«¨â¥«ì­®áâ¨
¨á室­®£® p ¨ १ã«ìâ¨àãî饣® p(L) ¨¬¯ã«ìᮢ. „¥©áâ¢ãï ­ «®£¨ç­®
¢ë¢®¤ã ᮮ⭮襭¨ï (5.6), ¯®«ãç ¥¬ ãà ¢­¥­¨¥
4 ln 2
p(L) = ln 2;
2p
4
k
L
ln
2
1+
p
0
2
0
0
00
2
00
0
2
0
2
2
0
0
2
2
00
0
0
0
2
¨§ ª®â®à®£® ­ 室¨âáï ¨áª®¬ ï ¤«¨â¥«ì­®áâì p(L)
2
2
p(L) = 1 + 4k L ln 2 :
p
p
Žª®­ç ⥫ì­ë© १ã«ìâ â § ¯¨áë¢ ¥âáï ¢ ¢¨¤¥
00
0
0
0
s
p(L) = p
0
2
2
1 + 4k L ln 2 :
p
00
0
0
2
(5.8)
”®à¬ã« (5.8) ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© å®à®è® ¨§¢¥áâ­®¥ ¢ëà ¦¥­¨¥ ¤«ï
ãè¨à¥­¨ï £ ãáᮢ ¨¬¯ã«ìá ¢ ¤¨á¯¥à£¨àãî饩 á।¥. ‘ ¯®¬®éìî í⮣®
¢ëà ¦¥­¨ï ¢ à拉 à ¡®â ¯à¥¤¯à¨­¨¬ «¨áì ¯®¯ë⪨ ¢ëç¨á«¨âì ¤¨á¯¥àᨮ­­ë© ¯ à ¬¥âà k ¤«ï ¢®«®ª®­­ëå ᢥ⮢®¤®¢. Ž¤­ ª®, ¤«ï ᨣ­ «®¢
­¥£ ãáᮢ®© ä®à¬ë ­ ¯¨á âì ¯à®á⮥ ¢ëà ¦¥­¨¥ ⨯ (5.8) 㦥 ­¥«ì§ï ¨
­¥®¡®á­®¢ ­­®¥ ¯à¨¬¥­¥­¨¥ í⮩ ä®à¬ã«ë ¬®¦¥â ¯à¨¢®¤¨âì ª ®è¨¡ª ¬.
ˆ§ ¢ëà ¦¥­¨ï (5.7) á«¥¤ã¥â, çâ® á⥯¥­ì ¤¥ä®à¬ 樨 ®£¨¡ î饩 ¨¬¯ã«ìá ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ­¥ á⮫쪮 ª®­ªà¥â­ë¬¨ ç¨á«®¢ë¬¨ §­ 祭¨ï¬¨ 䨣ãà¨àãîé¨å ¢ (5.7) 䨧¨ç¥áª¨å ¢¥«¨ç¨­, ᪮«ìª® §­ 祭¨¥¬ ¡¥§à §¬¥à­®£® ¯ à ¬¥âà = kt L :
(5.9)
00
0
00
0
2
0
‚¥«¨ç¨­ í⮣® ¯ à ¬¥âà ¯®§¢®«ï¥â ª« áá¨ä¨æ¨à®¢ âì à §«¨ç­ë¥ ä §ë
í¢®«î樨 ᨣ­ « . ‡­ 祭¨ï¬ 1 ¡ã¤¥â ᮮ⢥âá⢮¢ âì ­ ç «ì­ ï
ä § , ãá«®¢¨¥ 1 ®¡ëç­® ­ §ë¢ î⠯஬¥¦ãâ®ç­®© ¨«¨ ¯¥à¥å®¤­®©
®¡« áâìî, 1 { ¤ «ì­¥© ᨬ¯â®â¨ª®© ¨«¨, ¨á¯®«ì§ãï ¯à¨­ïâãî
156
¢ § ¤ ç å ¤¨äà ªæ¨¨ â¥à¬¨­®«®£¨î, ¤ «ì­¥© §®­®©. ‚ ç áâ­®áâ¨, ­ ¡®«ìè¨å à ááâ®ï­¨ïå ®â­®á¨â¥«ì­®¥ ãè¨à¥­¨¥ £ ãáᮢ ¨¬¯ã«ìá ¯à®¯®à樮­ «ì­® ¤«¨­¥ á।ë L; â® ¥áâì
p() 2 ¯à¨ ! 1:
p
Œ®¤¥«¨à®¢ ­¨¥ «î¡ëå ¯à®æ¥áᮢ ¢®§µ , τ)
¬®¦­® ¯à¨ ¨á¯®«ì§®¢ ­¨¨ ⮫쪮 ¡¥§- 1 I(I(0,0)
à §¬¥à­ëå ¯ à ¬¥â஢. „«ï à áᬠâਢ ¥¬®£® ­ ¬¨ ªà㣠¥­¨© 㤮¡­® ¯à®- 0.5
¨§¢¥á⨠¯¥à¥­®à¬¨à®¢ªã úᬥéñ­­®£®û 0
¢à¥¬¥­¨ ­ ¢à¥¬¥­­®© ¬ áèâ ¡ t ; ¯®- 0
í⮬㠢® ¢á¥å ¯®á«¥¤ãîé¨å ¢ëà ¦¥­¨ïå
1
-3
µ
τ
-2
¨ ¯®¤¯¨áïå ª à¨áã­ª ¬, ª ª ¯à ¢¨«®,
-1
2
0
1
¡ã¤¥â 䨣ãà¨à®¢ âì ú®¡¥§à §¬¥à¥­­®¥û
2
3 3
¢à¥¬ï { ; ®¯à¥¤¥«ï¥¬®¥ ª ª = =t :
„¨­ ¬¨ª à á¯à®áâà ­¥­¨ï ¨¬¯ã«ìá ¨á.5.2 „¨á¯¥àᨮ­­®¥ ãè¨à¥­¨¥
£ ãáᮢ®© ä®à¬ë ¢ ¤¨á¯¥à£¨àãî饩 ¨¬¯ã«ìá £ ãáᮢ®© ä®à¬ë.
á।¥ ¢® ¢â®à®¬ ¯à¨¡«¨¦¥­¨¨, ᮯ஢®¦¤ îé ïáï ¥£® ¬®­®â®­­ë¬ ãè¨à¥­¨¥¬, ¯®ª § ­ ­ à¨á.5.2. ‚६¥­­ ï ª®®à¤¨­ â ®âáç¨âë¢ ¥âáï
®â â®çª¨ ¬ ªá¨¬ã¬ ¨¬¯ã«ìá , ¢ í⮬ á«ãç ¥ ¤¢¨¦ã饩áï ᮠ᪮à®áâìî
vg . ˆ§ à¨áã­ª å®à®è® ¢¨¤­®, ç⮠㦥 ¤«ï ¯à®¬¥¦ãâ®ç­®© ®¡« á⨠å à ªâ¥à­ë áãé¥á⢥­­ë¥ ¨§¬¥­¥­¨ï ¯ à ¬¥â஢ ᨣ­ « . ’ ª ­ ¯à¨¬¥à,
¯®«®¦¨¢
¢ (5.8) = 1, ¯®«ãç ¥¬ 㢥«¨ç¥­¨¥ ¤«¨â¥«ì­®á⨠¨¬¯ã«ìá ¢
p
3 à § ¨ â ª®¥ ¦¥ 㬥­ì襭¨¥ ¥£® ¯¨ª®¢®© ¬®é­®áâ¨.
Žâ«¨ç¨â¥«ì­®© ç¥à⮩ ¬®¤¥«¨ £ ãáᮢ ¨¬¯ã«ìá ï¥âáï ç१¢ëç ©­® ¡ëáâàë© ¯¥à¥å®¤ ®â ­ ç «ì­®© ä §ë ª ¤ «ì­¥© ᨬ¯â®â¨ª¥. ‚
í⮬ ­¥âà㤭® ã¡¥¤¨âìáï ¯à® ­ «¨§¨à®¢ ¢ § ¢¨á¨¬®áâì ®â ª ª®£®{«¨¡®
å à ªâ¥à­®£® ¯ à ¬¥âà ¨¬¯ã«ìá .
‚ ª ç¥á⢥ ¯à¨¬¥à à áᬮâਬ ¯®¢¥¤¥­¨¥ ¯¨ª®¢®© ¬®é­®á⨠ᨣ­ « I (; 0) ¢ ¤ «ì­¥© §®­¥. ®«®¦¨¢ ¢ (5.7) §­ 祭¨¥ = 0, ¯®áâந¬ ᨬ¯â®â¨ªã ¯à¨ ! 1
0
0
0
1
1
1
1
I (; 0) = p
1 ? 8 + O( ) :
1 + (2) 2
2
2
4
®áª®«ìªã ®â­®è¥­¨¥ ¯¥à¢®£® ¯®¯à ¢®ç­®£® ç«¥­ ᨬ¯â®â¨ç¥áª®£® à §«®¦¥­¨ï ª £« ¢­®¬ã, à ¢­®¥ 1=(8 ); á à®á⮬ ¡ëáâà® áâ६¨âáï ª ­ã«î,
â® ä ªâ¨ç¥áª¨ ¬®¦­® £®¢®à¨âì ® ¤ «ì­¥© ᨬ¯â®â¨ª¥ 㦥 ¢ ⮩ ®¡« áâ¨
2
157
¨§¬¥­¥­¨ï ¯ à ¬¥âà , ª®â®à ï ¨§®¡à ¦¥­ ­ à¨á.5.2. Š®«¨ç¥á⢥­­ë¥ ®æ¥­ª¨ ¯®ª §ë¢ îâ, çâ® £« ¢­ë© ç«¥­ ᨬ¯â®â¨ç¥áª®£® à §«®¦¥­¨ï ¯¯à®ªá¨¬¨àã¥â â®ç­®¥ §­ 祭¨¥ I (; 0) á ¯®£à¥è­®áâìî 10% 㦥
¯à¨ 1:1.
à ªâ¨ç¥áª¨ ¯®«­®¥ áå«®¯ë¢ ­¨¥ ¯à®¬¥¦ãâ®ç­®© ®¡« á⨠¢ ¤ ­­®©
¬®¤¥«¨ ¬®¦¥â ᮧ¤ ¢ âì ¢¯¥ç â«¥­¨¥, çâ® ¨ ¢ ¡®«¥¥ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ ¢¯®«­¥
¤®áâ â®ç­® ®£à ­¨ç¨âìáï ¯®«ã祭¨¥¬ ¯à®áâëå ¯à¨¡«¨¦ñ­­ëå ¢ëà ¦¥­¨© ¤«ï I (; ) ¢ ¤ «ì­¥© §®­¥ ¤«ï ⮣®, çâ®¡ë ¢ëâì ¢á¥ ­ ¨¡®«¥¥ áãé¥á⢥­­ë¥ ®á®¡¥­­®á⨠âà ­áä®à¬ 樨 ®£¨¡ î饩 ¨¬¯ã«ìá . ‚ ãá«®¢¨ïå ®âáãâá⢨ï ᮯ®áâ ¢«¥­¨ï á ¤à㣨¬¨ ¬®¤¥«ï¬¨, ¤®¯ã᪠î騬¨ â®ç­ë¥ à¥è¥­¨ï, ¯®¤®¡­ ï â®çª §à¥­¨ï ï¢«ï« áì ¤®áâ â®ç­® à á¯à®áâà ­ñ­­®© (á¬. æ¨â¨à®¢ ­­ãî ¢ëè¥ «¨â¥à âãàã) ¨ ­ £«ï¤­® ¤¥¬®­áâà¨àã¥â â¥
¯à®¡«¥¬ë, ª®â®àë¥ ¬®£ãâ ¢®§­¨ª âì ¯à¨ ¯®¯ë⪠å íªáâà ¯®«ï樨 ¥¤¨­¨ç­ëå ä ªâ®¢ ­ ®¡é¨© á«ãç © ¡¥§ ¤®«¦­®£® ­ â® ®á­®¢ ­¨ï.
Š ª ®ª §ë¢ ¥âáï, ¬®¤¥«ì £ ãáᮢ ¨¬¯ã«ìá ï¥âáï ã­¨ª «ì­®© ¢
á¬ëá«¥ ᪮à®á⨠¤®á⨦¥­¨ï ¤ «ì­¥© §®­ë.  áᬠâਢ ¥¬ë¥ ­¨¦¥ ¯à¨¬¥àë ¯®ª §ë¢ îâ, çâ® ¢ ¡®«ì設á⢥ á«ãç ¥¢ ¯¥à¥å®¤ ª ¤ «ì­¥© ᨬ¯â®â¨ª¥ ¯à®¨á室¨â §­ ç¨â¥«ì­® ¬¥¤«¥­­¥¥. â® ¯à¨¢®¤¨â ª à áâ¢ ­¨î ¯à®¬¥¦ãâ®ç­®© ®¡« á⨠­ ¤®¢®«ì­®{â ª¨ è¨à®ª¨© ¤¨ ¯ §®­ ¨§¬¥­¥­¨ï ¯ à ¬¥âà , ¤¥« ï á ¬ã ¤ «ì­îî ᨬ¯â®â¨ªã ç१¢ëç ©­®
âà㤭® ¤®á⨦¨¬®©, ¯®â®¬ã ¨ ­¥ ᫨誮¬ ¨­â¥à¥á­®© ¤«ï ¯à ªâ¨ç¥áª¨å ¯à¨«®¦¥­¨©. à¨ â ª¨å ®¡áâ®ï⥫ìáâ¢ å ¯¥à¢®®ç¥à¥¤­®© § ¤ 祩
áâ ­®¢¨âáï ª®à४⭮¥ ®¯¨á ­¨¥ ä®à¬ë ¨¬¯ã«ìá ¨¬¥­­® ¢ ¯à®¬¥¦ãâ®ç­®© ®¡« áâ¨.
“ ¤¢¨¦ã饣®áï ¢ á।¥ ¨¬¯ã«ìá á®åà ­ï¥âáï ­¥ ⮫쪮 £ ãáᮢ ä®à¬ ®£¨¡ î饩; á®åà ­ï¥âáï â ª¦¥ ¨ ¥£® ᯥªâà. Ž¤­ ª®, ¯à®è¥¤è¨© á«®©
¤¨á¯¥àᨮ­­®© áà¥¤ë ¨¬¯ã«ìá 㦥 ¯¥à¥á⠥⠡ëâì ᯥªâà «ì­®{®£à ­¨ç¥­­ë¬. à®¨§¢¥¤¥­¨¥ è¨à¨­ë ¥£® ᯥªâà ­ ¤«¨â¥«ì­®áâì áâ ­®¢¨âáï
¡®«ìè¥ ç¥¬ ã ᯥªâà «ì­®{®£à ­¨ç¥­­®£® ᨣ­ « , ¤«ï ª®â®à®£® íâ® ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥ à ¢­® 2 ln 2= 0:44 ¨ ­¥®£à ­¨ç¥­­® ¢®§à á⠥⠯® ¬¥à¥ à á¯à®áâà ­¥­¨ï. â® á¢ï§ ­® á ⥬, çâ® ­¥áãé ï ç áâ®â ¨¬¯ã«ìá áâ ­®¢¨âáï ¬®¤ã«¨à®¢ ­­®© ¯® ä §¥.
„¥©á⢨⥫쭮, ¨§ ¢ëà ¦¥­¨ï (5.5) ¤«ï ®£¨¡ î饩 f (L; ) ¬®¦­® ¢ë¤¥«¨âì ¬¥¤«¥­­® ¬¥­ïîéãîáï ä §®¢ãî ª®¬¯®­¥­âã '(; ), ­¥ á¢ï§ ­­ãî
á ­¥áã饩 ç áâ®â®© ᨣ­ « , ª®â®à ï ®¯¨áë¢ ¥âáï ᮮ⭮襭¨¥¬
2
1 arctg(2):
'(; ) =
?
2
1 + (2) t
Š¢ ¤à â¨ç­ ï § ¢¨á¨¬®áâì ®â ¢à¥¬¥­¨ ä㭪樨 '(; ) ®§­ ç ¥â, çâ®
2
2
158
0
¯à®æ¥áá à á¯à®áâà ­¥­¨ï £ ãáᮢ ¨¬¯ã«ìá ¢ á।¥ á ¤¨á¯¥àᨥ© ᮮ⢥âáâ¢ã¥â á«ãç î, â ª ­ §ë¢ ¥¬®£®, «¨­¥©­®£® úç¨à¯ û, â® ¥áâì «¨­¥©­®© § ¢¨á¨¬®á⨠᪮à®á⨠ᤢ¨£ ­¥áã饩 ç áâ®âë ®â ¢à¥¬¥­¨. ®¤®¡­ ï ¦¥ § ¢¨á¨¬®áâì ¡ã¤¥â áãé¥á⢮¢ âì ¨ ¤«ï ¨¬¯ã«ìᮢ «î¡®© ¤à㣮© ä®à¬ë, ¯®§¢®«ïï à áᬠâਢ âì «¨­¥©­ãî ¤¨á¯¥à£¨àãîéãî á।ã
¢® ¢â®à®¬ ¯à¨¡«¨¦¥­¨¨ ¢ ª ç¥á⢥ ã­¨¢¥àá «ì­®£® ¨áâ®ç­¨ª «¨­¥©­®£®
ç¨à¯ .
“­¨ª «ì­®áâì ¬®¤¥«¨ £ ãáᮢ ¨¬¯ã«ìá á®á⮨â, ¯à¥¦¤¥ ¢á¥£®, ¢ ¥ñ
¢ë஦¤¥­­®áâ¨. Š ª ®¡ëç­®, ¢ë஦¤¥­¨¥ ¬®¤¥«¨ ¯à¨¢®¤¨â ª ¯®ï¢«¥­¨î
¤®¯®«­¨â¥«ì­ëå ᨬ¬¥â਩ { ¢ ¤ ­­®¬ á«ãç ¥, ᨬ¬¥âਨ ®â­®á¨â¥«ì­®
¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï ”ãàì¥ { ¨ ᢮©áâ¢, ª®â®àë¥ ¬®£ãâ ®ª § âìáï ­¥å à ªâ¥à­ë¬¨ ¤«ï ¡®«¥¥ ®¡é¨å ¬®¤¥«¥© ®¤¨­®ç­®£® ¨¬¯ã«ìá .
„«ï ⮣®, çâ®¡ë ¢áñ ¦¥ ®æ¥­¨âì á⥯¥­ì ®¡é­®á⨠áâ ­¤ àâ­®© ¬®¤¥«¨ £ ãáᮢ ¨¬¯ã«ìá , ­¥®¡å®¤¨¬® à áᬮâà¥âì ¨ ¤à㣨¥ ¬®¤¥«¨, â ª¦¥
¤®¯ã᪠î騥 ­ «¨â¨ç¥áª®¥ à¥è¥­¨¥, § ⥬ ᮯ®áâ ¢¨âì ¯®«ã祭­ë¥
१ã«ìâ âë. ‚ ¯¥à¢ãî ®ç¥à¥¤ì, ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ¨­â¥à¥á à áᬮâà¥âì â ªãî á¨âã æ¨î, ¢ ª®â®à®© ¨­â¥­á¨¢­®áâì ¨§«ã祭¨ï ­ 墮áâ å ¨¬¯ã«ìá ã¡ë¢ ¥â ¡®«¥¥ ¬¥¤«¥­­ë¬, á⥯¥­­ë¬ ®¡à §®¬, ­¥ â ª ¡ëáâà®, ª ª ã
£ ãáᮢ ¨¬¯ã«ìá .
à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® ®£¨¡ îé ï f (0; t) ¨á室­®£® ᨣ­ « ®¯¨áë¢ ¥âáï
«®à¥­æ¥¢®© ªà¨¢®©
f (0; t) = 1 t ;
1 + (t )
£¤¥ t { ¢à¥¬¥­­®© ¬ áèâ ¡
, á¢ï§ ­­ë© á ¤«¨â¥«ì­®áâìî í⮣® ¨¬¯ã«ìá pp
p ᮮ⭮襭¨¥¬ p = 2 2 ? 1 t . ‚ ¤ ­­®¬, ¨ ¢® ¢á¥å ¯®á«¥¤ãîé¨å
¢ëà ¦¥­¨ïå ¤«ï ®£¨¡ î饩 ¨á室­®£® ᨣ­ « äã­ªæ¨ï f (0; t) ®¯à¥¤¥«ï¥âáï á â®ç­®áâìî ¤® ¯à®¨§¢®«ì­®£® à §¬¥à­®£® ¬­®¦¨â¥«ï, ª®â®àë© ­¨ª ª ­¥ ¢«¨ï¥â ­ ¤¨­ ¬¨ªã à á¯à®áâà ­¥­¨ï ¨¬¯ã«ìá ¨ ¯®í⮬㠬®¦¥â
¡ëâì ¡¥§ ãé¥à¡ ®¯ã饭. „«ï ”ãàì¥{®¡à § ®£¨¡ î饩 â ª®£® ᨣ­ « ¯®«ãç ¥âáï ¯à®á⮥ ¢ëà ¦¥­¨¥
(!) = t e?j!jt ;
¨§ ª®â®à®£®, ¯®á«¥ ¯¥à¥å®¤ ª ¢¢¥¤ñ­­ë¬ à ­¥¥ ¡¥§à §¬¥à­ë¬ ¯ à ¬¥âà ¬ ¨ , ¬®¦­® ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨¥¬ ®¯à¥¤¥«¨âì ª®¬¯«¥ªá­ãî ¬¯«¨âã¤ã
¢à¥¬¥­­®£® ¯à®ä¨«ï ¨¬¯ã«ìá ­ à ááâ®ï­¨¨ L
2
0
0
0
0
0
0
f (; ) =
Z1
0
e?v cos( v)e?i v dv:
1
2
0
159
2
‡­ 祭¨¥ ¯à¨¢¥¤¥­­®£® ¢ëè¥ ¨­â¥£à « , ¢ á¢®î ®ç¥à¥¤ì, ¢ëà ¦ ¥âáï
ç¥à¥§ ¨­â¥£à «ë ”७¥«ï
C (x) =
Zx
x
Z
cos( 2 t )dt; S (x) = sin( 2 t )dt;
2
0
2
0
¥á«¨ ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï á«¥¤ãî騬 १ã«ìâ ⮬, á¯à ¢¥¤«¨¢ë¬ ¯à¨ ãá«®¢¨¨ Re(p); q > 0
r
Z1
? ip
1
?
i
p
p
?
px
?
iqx
e e
dx = 2q e 4q 2 ? S ( p2q ) + iC ( p2q ) :
2
2
0
à¨­¨¬ ï ¢® ¢­¨¬ ­¨¥ ᮮ⭮襭¨ï
C (iz) = iC (z); S (iz) = ?iS (z);
â ª¦¥ ãç¨âë¢ ï ­¥çñâ­®áâì ¨­â¥£à «®¢ ”७¥«ï, ®ª®­ç ⥫ì­ë© १ã«ìâ â 㤠ñâáï ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ᨬ¬¥âà¨ç­®¬ ¢¨¤¥
r "
i(
+ i + i +
i
)
1
1
f (; ) = 2 exp 2
1 + i + C p ? iS p +
#
i(
1 ? C ? i + iS ? i
exp 2? i) 1 +
p
p : (5.10)
i
2
2
’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤«ï ¨¬¯ã«ìá «®à¥­æ¥¢®© ä®à¬ë á®åà ­¥­¨¥ ä㭪樮­ «ì­®£® ¢¨¤ ®£¨¡ î饩 ¯® ¬¥à¥ ¥£® à á¯à®áâà ­¥­¨ï ¢ ¤¨á¯¥à£¨àãî饩 á।¥
¬¥áâ ­¥ ¨¬¥¥â, ­ «¨ç¨¥ ­ «®£¨ç­®£® ᢮©á⢠㠣 ãáᮢ ¨¬¯ã«ìá ï¥âáï ᪮॥ ã­¨ª «ì­ë¬, ­¥¦¥«¨ ⨯¨ç­ë¬ ¥­¨¥¬. ®«¥¥ ⮣®, ç¥à¥áçãà
¡ëáâàë© á¯ ¤ ¨­â¥­á¨¢­®á⨠㠣 ãáᮢ®© ªà¨¢®© ¯® ¬¥à¥ 㤠«¥­¨ï ®â ¥ñ
業âà «ì­®© ç á⨠­¥ ¯®§¢®«ï¥â ¯à®ï¢¨âìáï ¥éñ ®¤­®¬ã íä䥪âã { ¢®§­¨ª­®¢¥­¨î ª®«¥¡ ⥫쭮© áâàãªâãàë ­ ú墮áâ åû ¨¬¯ã«ìá . â®â íä䥪â, ¯à®¨««îáâà¨à®¢ ­­ë© ­ à¨á.5.3, ¡ã¤¥â å à ªâ¥à¥­ ¤«ï è¨à®ª®£® ª« áá ᨣ­ «®¢,
160
0.35
0.3
I(µ,τ )
I(0,0)
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
-8 -6 -4 -2 0
τ
2
4
6
8
¨á.5.3. ‚â®à¨ç­ë¥ ¬ ªá¨¬ã¬ë
­ 墮áâ å ¨¬¯ã«ìá «®à¥­æ¥¢®©
ä®à¬ë. ‘¯«®è­ ï ªà¨¢ ï ᮮ⢥âáâ¢ã¥â §­ 祭¨î ¯ à ¬¥âà à ¢­®¬ã 2, èâà¨å®¢ ï { 4.
£¤¥ 㦥 ­¥«ì§ï ¯à¥­¥¡à¥£ âì
⮩ ¤®«¥© í­¥à£¨¨, ª®â®à ï ¯¥à¥­®á¨âáï 㤠«ñ­­ë¬¨ ®â 業âà ç áâﬨ
¨¬¯ã«ìá . ‡ ¬¥â¨¬, ®¤­ ª®, çâ® ¤ ­­®¥ ¥­¨¥ ᢮©á⢥­­® ¨¬¥­­® ¯à®¬¥¦ãâ®ç­®© ®¡« á⨠¨ ®¡ëç­® ­¨¢¥«¨àã¥âáï ¢ ¤ «ì­¥© §®­¥.
‚ëç¨á«¨¬ ⥯¥àì ¨­â¥­á¨¢­®áâì ᨣ­ « ¢ 業âॠ¨¬¯ã«ìá . ®«®¦¨¢
¢ (5.10) à ¢­ë¬ 0 ¨ ¤®¬­®¦¨¢ ¯®«ã祭­®¥ ¢ëà ¦¥­¨¥ ­ ª®¬¯«¥ªá­®{
ᮯàï¦ñ­­ãî ¢¥«¨ç¨­ã, ¯®«ã稬 § ¢¨á¨¬®áâì ¬ ªá¨¬ «ì­®© ¨­â¥­á¨¢­®á⨠®â ¤¨á¯¥àᨮ­­®£® ¯ à ¬¥âà "
#
1 1 1
1
I (; 0) = 2 ? S p + 2 ? C p
:
(5.11)
ƒà 䨪 í⮩ § ¢¨á¨¬®áâ¨, ¯®ª § ­­ë© ­ à¨á.5.4, ï¥âáï ¬®­®â®­­®
ã¡ë¢ î饩 ä㭪樥©, ¯à¨ç¥¬ ¤«ï ¡®«ìè¨å ¯¨ª®¢ ï ¨­â¥­á¨¢­®áâì
I (; 0) 2 :
(5.12)
1 I( µ ,0)
€­ «®£¨ç­®¥ ᨬ¯â®â¨ç¥áª®¥ ¯®¢¥¤¥­¨¥ ­ ¡«î¤ ¥âáï ¨ ã £ ãáᮢ ¨¬¯ã«ìá ,
0.8
çâ®, ¢¯à®ç¥¬, á ®ç¥¢¨¤­®áâìî á«¥¤ã¥â
0.6
¨§ § ª®­ á®åà ­¥­¨ï í­¥à£¨¨ ¨ ï¥âáï ®¡é¨¬ ᢮©á⢮¬ ¢á¥å ®¤¨­®ç­ëå
0.4
¨¬¯ã«ìᮢ. Ž¤­ ª® ¢ ¤ ­­®¬ á«ãç ¥
0.2
®â­®è¥­¨¥ ¯¥à¢®£® ¯®¯à ¢®ç­®£® ç«¥­ ᨬ¯â®â¨ç¥áª®£® à §«®¦¥­¨ï I (;p0) ª
µ
0
5
1
2
3
4
£« ¢­®¬ã ®ª §ë¢ ¥âáï à ¢­ë¬ 2= .
Šà ©­¥ ¬¥¤«¥­­®¥ ã¡ë¢ ­¨¥ í⮩ ¢¥«¨- ¨á.5.4. “¡ë¢ ­¨¥ ¨­â¥­á¨¢­®áâ¨
ç¨­ë ¯® ¬¥à¥ à®áâ ¯ à ¬¥âà ¯à¨¢®- ¨§«ã祭¨ï ¢ 業âॠ¨¬¯ã«ìá «®¤¨â ª ⮬ã, çâ® (5.12) áâ ­®¢¨âáï ¯à¨- ७楢®© ä®à¬ë.
£®¤­ë¬ ¤«ï ª®«¨ç¥á⢥­­®© ¯¯à®ªá¨¬ 樨 (5.11) «¨èì ⮣¤ , ª®£¤ ¯¨ª®¢ ï ¬®é­®áâì ¨¬¯ã«ìá 㯠¤¥â, ¯® ªà ©­¥© ¬¥à¥, ­ ¤¢ ¯®à浪 . …᫨
¯à¨ í⮬ ãç¥áâì, çâ® ­ â ª¨å ¤«¨­ å ¥áâ¥á⢥­­ë¥ ¯à®æ¥ááë § âãå ­¨ï
¬®£ãâ ¨¬¥âì â®â ¦¥ ¬ áèâ ¡, â® ª®«¨ç¥á⢥­­ë¥ ¨§¬¥à¥­¨ï ¢à¥¬¥­­®£®
¯à®ä¨«ï ¨¬¯ã«ìá , ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ¤ «ì­¥© ᨬ¯â®â¨ª¥, ­ ®á­®¢¥
­¥«¨­¥©­ëå ¬¥â®¤®¢ ॣ¨áâà 樨 ¬®£ãâ ®ª § âìáï ¢¥áì¬ ¯à®¡«¥¬ â¨ç­ë¬¨.
„«ï ¨¬¯ã«ìᮢ á £« ¤ª®© ®£¨¡ î饩 ¥¤¨­ë¬ § ª®­®¬¥à­®áâï¬ ¯®¤ç¨­ï¥âáï ¨ ¯®¢¥¤¥­¨¥ I (; 0) ¯à¨ ! 0: ’ ª ­ ¯à¨¬¥à, ¨§ (5.11) ­ 室¨¬
I (; 0) 1 ? 5 ;
â® ¥áâì ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ¯« ¢­®¥, ª¢ ¤à â¨ç­®¥ ¯® 㬥­ì襭¨¥ ¯¨ª®¢®© ¨­â¥­á¨¢­®á⨠®£¨¡ î饩 ¨á室­®£® ᨣ­ « . —¨á«¥­­®¥ §­ 祭¨¥ ª®íää¨2
2
2
161
樥­â , áâ®ï饣® ¯¥à¥¤ , § ¢¨á¨â, ª®­¥ç­® ¦¥, ®â ä®à¬ë ®£¨¡ î饩
¨ ¡ã¤¥â ®â«¨ç âìáï ¤«ï £ ãáᮢ ¨¬¯ã«ìá , ®¤­ ª® ¢ ¤ ­­®¬ ª®­â¥ªáâ¥
­ ¨¡®«¥¥ áãé¥á⢥­­® â®, çâ® ­ ­ ç «ì­®© ä §¥ ãè¨à¥­¨¥ «î¡ëå ¨¬¯ã«ìᮢ á £« ¤ª®© ®£¨¡ î饩 ­®á¨â ¯« ¢­ë©, ¯®á⥯¥­­ë© å à ªâ¥à.
‚ á«¥¤ãî饬 ¯à¨¬¥à¥ ¬ë à áᬮâਬ ¤¨­ ¬¨ªã à á¯à®áâà ­¥­¨ï ¨¬¯ã«ìá , ᮤ¥à¦ 饣® ¨§«®¬ ­ ®£¨¡ î饩 ¨á室­®£® ᨣ­ « . ‚롥६
¢ ª ç¥á⢥ f (0; t) úᨬ¬¥âà¨ç­ãîû íªá¯®­¥­âã
?
f (0; t) = exp ? jttj ;
á ¢à¥¬¥­­ë ¬ ¬ áèâ ¡®¬ t : „«ï ¨¬¯ã«ìá á â ª®© ®£¨¡ î饩 â ª¦¥
㤠ñâáï ­ «¨â¨ç¥áª¨ à ááç¨â âì ä®à¬ã ᨣ­ « ¯à¨ ¯à®¨§¢®«ì­®¬ §­ 祭¨¨ L ¨ ¯à® ­ «¨§¨à®¢ âì ¥ñ ¯®¢¥¤¥­¨¥ ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠¨§«®¬ , â® ¥áâì
¢ 業âॠ¨¬¯ã«ìá .
‚ëç¨á«¨¬ (!) { ”ãàì¥{®¡à § ®£¨¡ î饩
(!) = 2t :
1 + (!t )
®¤áâ ¢«ïï ¯®«ã祭­ë© १ã«ìâ â ¢ (5.3), ¯®«ã稬 ¯®á«¥ ¢¢¥¤¥­¨ï ¡¥§à §¬¥à­ëå ¯ à ¬¥â஢ ¨ § ¬¥­ë ¯¥à¥¬¥­­ëå ¢ ¯®¤ë­â¥£à «ì­®¬ ¢ëà ¦¥­¨¨
Z1
1
dx
1
f (; ) = 1 + x exp i( x ? 2 x ) :
2
0
0
0
0
2
2
?1
2
„¨ää¥à¥­æ¨à®¢ ­¨¥ ¯® ®£¨¡ î饩 f (; ) ¯à¨¢®¤¨â ª ¯à®á⮬ã ãà ¢­¥­¨î
Z1
df = 1 expi( x ? 1 x )dx + i f;
d 2i
2
2
2
?1
ª®â®à®¥ ¯®á«¥ ¢ëç¨á«¥­¨ï ¨­â¥£à « ã¯à®é ¥âáï ¤®
s
df (; ) = ? i exp( i ) + i f (; ):
d
2
2 2
ˆá¯®«ì§ãï ¬¥â®¤ ¢ ਠ樨 ¯à®¨§¢®«ì­®© ¯®áâ®ï­­®© ¤«ï ­ 宦¤¥­¨ï ç áâ­®£® à¥è¥­¨ï ­¥®¤­®à®¤­®£® ãà ¢­¥­¨ï, ¯à¨¢®¤¨¬ f (; ) ª â ¡«¨ç­®¬ã
¨­â¥£à «ã
pi=
i ?j j 2 Z
f (; ) = e 2 e ? p exp(?x ? 4x ) dx :
2
2
2
2
2
0
162
®á«¥ ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨ï ¨ ã¯à®é¥­¨© ª®­¥ç­ë© १ã«ìâ â ¬®¦¥â ¡ëâì
¯à¥¤áâ ¢«¥­ ¢ ¢¨¤¥
i ?jj r i jj jj r i jj 1
f (; )= 2 e 2 e erfc 2 ? q +e erfc 2 + q
: (5.13)
i
i
2
2
2
2
®¤áâ ¢«ïï = 0 ¢ (5.13), ¯®«ãç ¥¬ ¬¯«¨âã¤ã ®£¨¡ î饩 ¢ 業âà¥
¨¬¯ã«ìá i r i f (; 0) = e 2 erfc 2 :
€­ «®£¨ç­® ¯à¥¤ë¤ã騬 ¯à¨¬¥à ¬ § ¢¨á¨¬®áâì ¯¨ª®¢®© ¬®é­®áâ¨
¨§«ã祭¨ï ­ ¡®«ìè¨å à ááâ®ï­¨ïå ¡ã¤¥â ã¡ë¢ âì ¯à®¯®à樮­ «ì­® ¢¥«¨ç¨­¥ : â®â १ã«ìâ â ¯®«ãç ¥âáï ­¥¯®á।á⢥­­® ¨§ ᨬ¯â®â¨ç¥áª®£® à §«®¦¥­¨ï ¨­â¥£à « ¢¥à®ïâ­®áâ¨
pzez erfc(z) 1 ? 1 + 3 ;
(5.14)
2z (2z )
ª®â®à®¥ ¢ ¤ «ì­¥© §®­¥ ¯®§¢®«ï¥â ®æ¥­¨âì I (; 0) ¢¥«¨ç¨­®©
2
2
2:
I (; 0) 2 2
„ ­­®¥ ¢ëà ¦¥­¨¥ ¯¯à®ªá¨¬¨àã¥â â®ç­ãî § ¢¨á¨¬®áâì I (; 0) á 10%
â®ç­®áâìî 㦥 ¯à¨ §­ 祭¨¨ 5:7; çâ® â ª¦¥ £®à §¤® ¡®«ìè¥ ç¥¬ ¢
¬®¤¥«¨ £ ãáᮢ ¨¬¯ã«ìá .
Š ª ¨ á«¥¤®¢ «® ®¦¨¤ âì, ¤ «ì­ïï ᨬ¯â®â¨ª ­¥çã¢áâ¢¨â¥«ì­ ª ª
ª ­ «¨ç¨î ¨§«®¬®¢ ¢ ®£¨¡ î饩 ¨á室­®£® ᨣ­ « , â ª ¨ ᪮à®á⨠ã¡ë¢ ­¨ï ¨­â¥­á¨¢­®á⨠­ ú墮áâ åû ¨¬¯ã«ìá ¨ ¯®«­®áâìî ®¯à¥¤¥«ï¥âáï
¯à¨­ïâë¬ ¢ à ¬ª å ¤ ­­®© ¬®¤¥«¨ ᯮᮡ®¬ ¯¯à®ªá¨¬ 樨 ¤¨á¯¥àᨮ­­®© ªà¨¢®© k(!) âà¥¬ï ¯¥à¢ë¬¨ ç«¥­ ¬¨ àï¤ (5.2). ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, «¨­¥©­ ï § ¢¨á¨¬®áâì ®â ¤«¨â¥«ì­®á⨠¨¬¯ã«ìá ¯à¨ ¡®«ìè¨å ; â ª¦¥
ï¥âáï á«¥¤á⢨¥¬ § ¬¥­ë ॠ«ì­®© ¤¨á¯¥àᨮ­­®© ªà¨¢®© ¯ à ¡®«®©.
‚ â® ¦¥ ¢à¥¬ï, ­ «¨ç¨¥ ¨§«®¬ ª ç¥á⢥­­® ¬¥­ï¥â å à ªâ¥à ¤¥ä®à¬ 樨 業âà «ì­®© ç á⨠¨¬¯ã«ìá ­ ­ ç «ì­®© áâ ¤¨¨ à á¯à®áâà ­¥­¨ï.
…᫨ ¤«ï £« ¤ª¨å ¨¬¯ã«ìᮢ íâ®â ¯à®æ¥áá ­®á¨â ¯« ¢­ë©, ª¢ ¤à â¨ç­ë©
¯® å à ªâ¥à, â® ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠â®çª¨ à §àë¢ ¯à®¨§¢®¤­®© ¢®§­¨ª îâ
ᨫì­ë¥ ¨áª ¦¥­¨ï ä®à¬ë ᨣ­ « ¢¥áì¬ çã¢á⢨⥫ì­ë¥ ª ¬ «¥©è¨¬
¨§¬¥­¥­¨ï¬ ¯ à ¬¥âà : ®¤®¡­ë© íä䥪â à §¬ëâ¨ï ú¨£®«ìç ⮣® ¯¨ª û å®à®è® § ¬¥â¥­ ­ à¨á.5.5 . Žâ¬¥â¨¬, çâ® ¥á«¨ ¤«ï â ª®£® ¦¥ §­ 祭¨ï ¯ à ¬¥âà ; ª ª ­ à¨á.5.5 , à ááç¨â âì ®£¨¡ îéãî ¨¬¯ã«ìá 163
«®à¥­æ¥¢®© ä®à¬ë, â® ®­ ®ª ¦¥âáï ¯à ªâ¨ç¥áª¨ ­¥®â«¨ç¨¬®© ®â ®£¨¡ î饩 ¨á室­®£® ¨¬¯ã«ìá .
0.4
1 Ι(µ,τ)
Ι(0,0)
0.8
Ι(µ,τ)
Ι(0,0)
0.3
0.6
0.2
0.4
0.1
0.2
−2
−1
0
1τ
¡
−4
2
−2
0
2τ
4
¨á.5.5. „¥ä®à¬ æ¨ï ¨¬¯ã«ìá á ®£¨¡ î饩 ¢ ¢¨¤¥ úᨬ¬¥âà¨ç­®©û íªá¯®­¥­âë: ) â®­ª ï «¨­¨ï { = 0, ⮫áâ ï { = 0:1, ¡ ) ᯫ®è­ ï «¨­¨ï { = 0:8, èâà¨å®¢ ï { = 1:6.
à¨ç¨­ ¯®¤®¡­®£® ¯®¢¥¤¥­¨ï áâ ­®¢¨âáï ¯®­ïâ­®© ¯®á«¥ ¢ëç¨á«¥­¨ï
¡«¨¦­¥© ᨬ¯â®â¨ª¨ ä㭪樨 I (; 0):  §« £ ï ¢ àï¤ ¨­â¥£à « ¢¥à®ïâ­®á⥩ ¨ ¤®¬­®¦ ï f (; 0) ­ ª®¬¯«¥ªá­®{ᮯàï¦ñ­­ãî ¢¥«¨ç¨­ã, ­ 室¨¬
r
I (; 0) 1 ? 2 ? 2 ¯à¨ ! 0:
 «¨ç¨¥ á« £ ¥¬®£® ¯à®¯®à樮­ «ì­®£® p ¢ à §«®¦¥­¨¨ I (; 0) ®§­ ç ¥â, çâ® ¤ ¦¥ ­¨ç⮦­® â®­ª¨¥ á«®¨ á।ë ᯮᮡ­ë áãé¥á⢥­­® 㬥­ìè¨âì ¨­â¥­á¨¢­®áâì ¯¨ª ¨ ¯®«­®áâìî ᣫ ¤¨âì ®£¨¡ îéãî ¨¬¯ã«ìá .
®«¥¥ ⮣®, ¢à¥¬¥­­®© ¯à®ä¨«ì ®£¨¡ î饩 ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠¨§«®¬ áâ ­®¢¨âáï ª¢ ¤à â¨ç­ë¬ ¯® , â® ¥áâì â ª¨¬ ¦¥ ª ª ¨ ã ¨¬¯ã«ìᮢ á £« ¤ª®©
®£¨¡ î饩. ‚ í⮬ ­¥âà㤭® ã¡¥¤¨âìáï, à §«®¦¨¢ (5.13) ¢ àï¤ ¯® á
業â஬ ¢ ­ã«¥
1
1
f (; ) f (; 0) ? p2i ? 2 f (; 0) :
2
® ¢á¥© ¢¨¤¨¬®áâ¨, ª®à४⭮¥ ®¯¨á ­¨¥ ¨§«®¬®¢, ⥬ ¡®«¥¥ à §à뢮¢ ®£¨¡ î饩 ¨¬¯ã«ìá ¯®¯à®áâã ­¥¢®§¬®¦­® ¢ à ¬ª å ¯à¨­ï⮣® ¢
(5.2) ª¢ §¨¬®­®å஬ â¨ç¥áª®£® ¯à¨¡«¨¦¥­¨ï. „«ï ¨áá«¥¤®¢ ­¨ï â ª¨å
§ ¤ ç ­¥®¡å®¤¨¬ ãçñâ £«®¡ «ì­ëå ᢮©á⢠ä㭪樨 k(!); ª®â®àë© ­¥ ॠ«¨§ã¥âáï ¢ «î¡ëå «®ª «ì­ëå ¬®¤¥«ïå, ®á­®¢ ­­ëå ­ à §«®¦¥­¨¨ ¢ àï¤
¨ 㤥ঠ­¨¨ ­¥áª®«ìª¨å ¯¥à¢ëå ç«¥­®¢ ¯®«ã祭­®£® àï¤ .
ˆ§ ­ «¨§ à áᬮâ७­ëå ¢ ¤ ­­®¬ à §¤¥«¥ ¬®¤¥«¥© ¨¬¯ã«ìᮢ á«¥¤ã¥â, çâ® á ãçñ⮬ ®¡á㦤 ¢è¨åáï ¢ëè¥ ®£à ­¨ç¥­¨© â®ç­®áâ¨, ®á­®¢ ­­®© ­ (5.2), ¯ à ¡®«¨ç¥áª®© ¯¯à®ªá¨¬ 樨 k(!) ¢¯®«­¥ ¤®áâ â®ç­®
¤«ï ®¯¨á ­¨ï ¡®«ì設á⢠¯à ªâ¨ç¥áª¨ §­ 稬ëå ᯥªâ®¢ ¤¨­ ¬¨ª¨
164
à á¯à®áâà ­¥­¨ï « §¥à­ëå ¨¬¯ã«ìᮢ ¢ ¤¨á¯¥à£¨àãî饩 á।¥ ¯à¨ ãá«®¢¨¨, çâ® ¤«¨­ ¢®«­ë ¨§«ã祭¨ï ­¥ ᫨誮¬ ¡«¨§ª ª ®¡« á⨠ú­ã«¥¢®©û
¤¨á¯¥àᨨ.
 «¨ç¨¥ ®¡é¨å ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨å ᢮©á⢠㠨¬¯ã«ìᮢ à §­®© ä®à¬ë,
â ª¦¥ £« ¤ª®áâì ®£¨¡ îé¨å f (; ); ®¡ãá«®¢«¥­­ ï ¢ë¡®à®¬ ¢â®à®£®
¯à¨¡«¨¦¥­¨ï, ïîâáï ¯à¥¤¯®á뫪 ¬¨ ª à §à ¡®âª¥ ã­¨¢¥àá «ì­®£® «£®à¨â¬ à áçñâ ãè¨à¥­¨ï ¨¬¯ã«ìá ¯à®¨§¢®«ì­®© ä®à¬ë, ¡ §¨àãïáì ­ ®¤­®¬ ¨§ ¨¬¥îé¨åáï ¤®¯ãá⨬ëå à¥è¥­¨©. ˆ§ ᮯ®áâ ¢«¥­¨ï £à 䨪®¢
ä㭪権, ®â®¡à ¦¥­­ëå ­ à¨á.5.3 ¨ 5.5¡, ¢¨¤­®, ç⮠㦥 ­ áâ ¤¨¨ ¯¥à¥å®¤­®£® ०¨¬ ®£¨¡ î騥 ¨¬¯ã«ìᮢ, ­¥§ ¢¨á¨¬® ®â ¨å ¯¥à¢®­ ç «ì­®© ä®à¬ë, ¯à¨®¡à¥â îâ ¢¨¤ ®¤­®â¨¯­ëå ª®«®ª®«®®¡à §­ëå ªà¨¢ëå á®
á« ¡® ¢ëà ¦¥­­ë¬¨ ¢â®à¨ç­ë¬¨ ¬ ªá¨¬ã¬ ¬¨. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮 ¡ §®¢ë©
­ ¡®à à¥è¥­¨©, ¯®«®¦¥­­ë© ¢ ®á­®¢ã ®¡é¥£® «£®à¨â¬ , ¤®«¦¥­ å®à®è®
¯¯à®ªá¨¬¨à®¢ âì ¨¬¥­­® â ª¨¥ £« ¤ª¨¥ ª®«®ª®«®®¡à §­ë¥ ®£¨¡ î騥.
5.3.
” §®¢ ï ¬®¤ã«ïæ¨ï { ãè¨à¥­¨¥ ¨ ᦠ⨥ ¨¬¯ã«ìᮢ á
«¨­¥©­ë¬ ç¨à¯®¬
à®¤®«¦ î騥áï ¢®â 㦥 ­ ¯à®â殮­¨¨ ¡®«¥¥ ¯®«ã¢¥ª ¨áá«¥¤®¢ ­¨ï ¤¨­ ¬¨ª¨ à á¯à®áâà ­¥­¨ï í«¥ªâ஬ £­¨â­ëå ¨¬¯ã«ìᮢ ¢ ¢¥é¥á⢥ ¯à¨¢¥«¨ ª ¯®á⥯¥­­®© ¯¥à¥®æ¥­ª¥ ஫¨ á ¬®£® ¥­¨ï ¤¨á¯¥àᨨ ¨
¥ñ ¢«¨ï­¨ï ­ ¯à®æ¥áá âà ­áä®à¬ 樨 ®£¨¡ î饩 ®¯â¨ç¥áª®£® ᨣ­ « .
…᫨ ¢­ ç «¥ ¬ â¥à¨ «ì­ ï ¤¨á¯¥àá¨ï à áᬠâਢ « áì ¨áª«îç¨â¥«ì­®
ª ª ¬¥è î騩, ¤¨áᨯ ⨢­ë© ä ªâ®à, ¯à¨¢®¤ï騩, ¢ ª®­¥ç­®¬ ¨â®£¥,
ª ­¥¨§¡¥¦­®¬ã à á¯«ë¢ ­¨î ¨¬¯ã«ìá , â® ¢ à ¡®â å ¤¢ãå ¯®á«¥¤­¨å ¤¥áï⨫¥â¨© ­¥®¤­®ªà â­® á®®¡é «®áì ®¡ ¨á¯®«ì§®¢ ­¨¨ ¤¨á¯¥à£¨àãîé¨å
á। ¢ ª ç¥á⢥ á।á⢠¤«ï íä䥪⨢­®£® ᦠâ¨ï ¨¬¯ã«ìᮢ. ‚ ç áâ­®áâ¨, ®¯â¨ç¥áª®¥ ¢®«®ª­® ¢ á®ç¥â ­¨¨ á ¯ ன ¤¨äà ªæ¨®­­ëå à¥è¥â®ª,
¢ à拉 á«ãç ¥¢ ¨ ¡¥§ ­¨å, ¯®§¢®«ï¥â ¢® ¬­®£® à § ᦨ¬ âì « §¥à­ë¥
¨¬¯ã«ìáë, ¢ ®â¤¥«ì­ëå á«ãç ïå ¤®¢®¤ï ¨å ¤«¨â¥«ì­®áâì ¤® ¢¥«¨ç¨­ë,
­¥ ¯à¥¢®á室ï饩 10 䥬â®á¥ªã­¤, â® ¥áâì ¤® ­¥áª®«ìª¨å ¯¥à¨®¤®¢ ®¯â¨ç¥áª¨å ª®«¥¡ ­¨©. ‚ ­ áâ®ï饥 ¢à¥¬ï ¤¨á¯¥àᨮ­­ë¥ ¥­¨ï ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ᮡ®© ­ ¨¡®«¥¥ íä䥪⨢­ë© ᯮᮡ ã¯à ¢«ï¥¬®£® ¨ ª®­â஫¨à㥬®£® ¢®§¤¥©áâ¢¨ï ­ ¯ à ¬¥âàë ᢥà媮à®âª¨å « §¥à­ëå ¨¬¯ã«ìᮢ.
‘ãé­®áâì ¥­¨© ¤¨á¯¥àᨮ­­®£® ãè¨à¥­¨ï ¨ ᦠâ¨ï ᨣ­ «®¢ ¯à®é¥
¢á¥£® ¯à®¨««îáâà¨à®¢ âì ­¥¯®á।á⢥­­® ­ ¯à¨¬¥à å ¨§ ¯à¥¤ë¤ã饣®
à §¤¥« . Š ª 㦥 ¡ë«® ¯®ª § ­® à ­¥¥, ¯®á«¥ ¯à®å®¦¤¥­¨ï á«®ï ¤¨á¯¥à£¨àãî饩 áà¥¤ë ®£¨¡ îé ï ¨¬¯ã«ìá ¯à¨®¡à¥â ¥â ä §®¢ë© ᤢ¨£,
165
¢à¥¬¥­­ ï § ¢¨á¨¬®áâì ª®â®à®£® ­®á¨â ­¥«¨­¥©­ë© å à ªâ¥à. à®¨§¢®¤­ãî í⮣® ä §®¢®£® ᤢ¨£ ¥áâ¥á⢥­­® âà ªâ®¢ âì ª ª ᬥ饭¨¥ ¬£­®¢¥­­®© ç áâ®âë ᨣ­ « ! ®â­®á¨â¥«ì­® ®¯â¨ç¥áª®© ­¥áã饩 ! : „«ï
¨¬¯ã«ìá £ ãáᮢ®© ä®à¬ë १ã«ìâ â ®ª §ë¢ ¥âáï ç१¢ëç ©­® ¯à®áâë¬
!( ) = 2 2t ;
1 + (2)
â® ¥áâì ¢ ®¡« á⨠­®à¬ «ì­®© ¤¨á¯¥àᨨ ᤢ¨£ ç áâ®âë ¯®«®¦¨â¥«¥­ ­ § ¤­¥¬ ä஭⥠¨ ®âà¨æ ⥫¥­ ­ ¯¥à¥¤­¥¬ ä஭⥠¨¬¯ã«ìá .
Ž¡à ⨬áï
⥯¥àì ª ¢¢¥¤ñ­­®¬ã à ­¥¥ ¯®­ïâ¨î ú£à㯯®¢®©û ᪮à®áâ¨
?
vg = ( dkd!! ) : ‘ç¨â ï vg ä㭪樥© ç áâ®âë, ¢ëç¨á«¨¬ ¯à¨à 饭¨¥ í⮩
ä㭪樨 ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠â®çª¨ !
vg = ? k !:
k
…᫨ ⥯¥àì âà ªâ®¢ âì vg ª ª ᪮à®áâì ¯¥à¥­®á í­¥à£¨¨ ®¤­®©, ®â¤¥«ì­® ¢§ï⮩, ¬®­®å஬ â¨ç¥áª®© ª®¬¯®­¥­â®© ¢®«­®¢®£® ¯ ª¥â , â® ¢
®¡« á⨠­®à¬ «ì­®© ¤¨á¯¥àᨨ, â. ¥. ¯à¨ ¢ë¯®«­¥­¨¨ ãá«®¢¨ï k > 0;
¯®«®¦¨â¥«ì­ë¬ §­ 祭¨ï¬ ! áâ ¢ïâáï ¢ ᮮ⢥âá⢨¥ ®âà¨æ ⥫ì­ë¥
§­ 祭¨ï vg ; ¨ ­ ®¡®à®â. „à㣨¬¨ á«®¢ ¬¨, ¤¨á¯¥àᨮ­­®¥ ãè¨à¥­¨¥
®¡ãá«®¢«¥­® ¯®á⥯¥­­ë¬, ­® ­¥ãª«®­­ë¬ ®âáâ ¢ ­¨¥¬ § ¤­¨å ª®¬¯®­¥­â
¨¬¯ã«ìá ®â ¯¥à¥¤­¨å ¯® ¬¥à¥ ¥£® à á¯à®áâà ­¥­¨ï.
„«ï ॠ«¨§ 樨 á業 à¨ï, ¯à¨ ª®â®à®¬ ¨¬¥¥â ¬¥á⮠ᦠ⨥ ᨣ­ « ,
á«¥¤ã¥â ¨§¬¥­¨âì ­ ç «ì­ë¥ ãá«®¢¨ï. ‡­ ï, çâ® ¤¨á¯¥àᨮ­­ë¥ íä䥪âë
ã᪮àïîâ ¯¥à¥¤­¨© äà®­â ¨¬¯ã«ìá ¨ ¯à¨â®à¬ ¦¨¢ îâ § ¤­¨©, ­¥®¡å®¤¨¬® ¤®¡ ¢¨âì ª ®£¨¡ î饩 ¢å®¤­®£® ᨣ­ « ª®¬¯¥­á¨àãî騩 ä §®¢ë© ᤢ¨£, ª®â®àë© ¡ë ¨áªãáá⢥­­® § ¬¥¤«ï« ᪮à®áâì à á¯à®áâà ­¥­¨ï ¯¥à¥¤­¥© ç á⨠¨¬¯ã«ìá ¨ 㢥«¨ç¨¢ « ᪮à®áâì ú墮á⮢®©û ç áâ¨
¨¬¯ã«ìá . ‚ १ã«ìâ â¥, ­ ­ ç «ì­®© áâ ¤¨¨ í¢®«î樨 ᨣ­ « ¡ã¤¥â
¯à®¨á室¨âì ­ «®¦¥­¨¥ § ¤­¨å ª®¬¯®­¥­â ¢®«­®¢®£® ¯ ª¥â ­ ¯¥à¥¤­¨¥, çâ® ¢­¥è­¥ ¤®«¦­® ¯à®ï¢«ïâìáï ª ª ᦠ⨥ ¨¬¯ã«ìá ¢® ¢à¥¬¥­­®©
®¡« á⨠á ᮮ⢥âáâ¢ãî騬 à®á⮬ ¥£® ¨­â¥­á¨¢­®áâ¨.
 ¨¡®«ì襥 ᮪à 饭¨¥ ¤«¨â¥«ì­®á⨠¯à®¨§®©¤ñ⠯ਠ⠪®© ¤«¨­¥
á।ë, ª®£¤ ¯®à®¦¤ñ­­ë© ¤¨á¯¥àᨥ© ä §®¢ë© ᤢ¨£ ¡ã¤¥â ¯®«­®áâìî
ª®¬¯¥­á¨à®¢ âì ä §®¢ë© ᤢ¨£ ¨á室­®£® ¨¬¯ã«ìá . ®áª®«ìªã ¢ à ¬ª å ¯à¨­ï⮣® ­ ¬¨ ¯à¨¡«¨¦¥­¨ï (5.3) «î¡ ï ¤¨á¯¥àᨮ­­ ï á। ¢ëáâ㯠¥â ¢ ª ç¥á⢥ ¨áâ®ç­¨ª «¨­¥©­®£® ç¨à¯ , â® ¯®«­ ï ª®¬¯¥­á æ¨ï
ä §®¢ëå ᤢ¨£®¢, ¨ á«¥¤®¢ ⥫쭮, ¬ ªá¨¬ «ì­® ¢®§¬®¦­®¥ ᦠ⨥, ¢®§­¨ª ¥â ⮫쪮 ¢ ⮬ á«ãç ¥, ¥á«¨ ç¨à¯ ¨á室­®£® ᨣ­ « â ª¦¥ ï¥âáï
0
2
( )
2
0
1
0
00
0
0 2
0
00
0
166
«¨­¥©­ë¬. ‚ ®áâ «ì­ëå á«ãç ïå ­¥«¨­¥©­®£® ç¨à¯ ¬®¦¥â ¨¬¥âì ¬¥áâ®
㬥­ì襭¨¥ á⥯¥­¨ ᦠâ¨ï ᨣ­ « ¨«¨ ¤ ¦¥ à áá«®¥­¨¥ ®¤¨­®ç­®£®
¨¬¯ã«ìá ­ ­¥áª®«ìª® ¯®¤¨¬¯ã«ìᮢ, çâ® ®á®¡¥­­® ïમ ¯à®ï¢«ï¥âáï ¢
®¡« á⨠ú­ã«¥¢®©û ¤¨á¯¥àᨨ.
¥à¥©¤ñ¬ ª ª®«¨ç¥á⢥­­®¬ã ®¯¨á ­¨î à áᬠâਢ ¥¬ëå ¥­¨©, ­ ç ¢, ª ª ¨ à ­¥¥, á ¯à®á⥩襩 ¬®¤¥«¨ £ ãáᮢ ¨¬¯ã«ìá á «¨­¥©­ë¬
ç¨à¯®¬. Ž£¨¡ îé ï ¨¬¯ã«ìá 㦥 ­ ¢å®¤¥ ¢ á।㠯।áâ ¢«ï¥âáï ª®¬¯«¥ªá­®© ä㭪樥©
t
f (0; t) = exp ?( t ) + it
á ¢¥é¥á⢥­­ë¬ ¯ à ¬¥â஬ ; å à ªâ¥à¨§ãî騬 ᪮à®áâì ç¨à¯ . ‡­ ª
í⮣® ¯ à ¬¥âà ®¯à¥¤¥«ï¥â ­ ¯à ¢«¥­¨¥ ᤢ¨£ ­¥áã饩 ç áâ®âë, ¯®áª®«ìªã !(t) = 2t: ”ãàì¥{®¡à § ®£¨¡ î饩 ᨣ­ « r
!
t
(!) = 1 ? it t exp ? 4(1 ? it )
{â ª¦¥ ª®¬¯«¥ªá­ë©, ¯à¨çñ¬ ¨§¬¥à塞 ï ¢ íªá¯¥à¨¬¥­â¥ ¨­â¥­á¨¢­®áâì
ᯥªâà Is(!); á â®ç­®áâìî ¤® ­®à¬¨à®¢®ç­®£® ¬­®¦¨â¥«ï à ¢­ ï ¢¥«¨ç¨­¥
t
!
t
q
Is(!) = (!) (!) =
;
exp ?
2(1
+
(
t
)
)
1 + (t )
®ª §ë¢ ¥âáï ãè¨à¥­­®© ¢á«¥¤á⢨¥ ä §®¢®© ¬®¤ã«ï樨.
‚¢®¤ï ¡¥§à §¬¥à­ãî ᪮à®áâì ç¨à¯ = t ¨ ¯®¤áâ ¢«ïï ­ ©¤¥­­ãî
§ ¢¨á¨¬®áâì (!) ¢ (5.3), ¯à¥¤áâ ¢¨¬ ¬¯«¨âã¤ã ᨣ­ « ­ à ááâ®ï­¨¨
L ¢ ¢¨¤¥
1 x )
Z1 ?
x
i
(
x
?
1
2 dx:
f (; ) = p
e 4(1 ? i) e
2 (1 ? i)?1
‚ëç¨á«ïï ¤ ­­ë© ¨­â¥£à « ­ «®£¨ç­® (5.5), ¯®«ãç ¥¬ ®¥ ¢ëà ¦¥­¨¥
¤«ï ª®¬¯«¥ªá­®© ®£¨¡ î饩
1
?
(1
?
i
)
f (; ) = p
exp 1 + i2(1 ? i) ;
1 + i2(1 ? i)
ª®â®à®¥ 㤮¡­® ¯à¨¢¥á⨠ª íªá¯®­¥­æ¨ «ì­®¬ã ¢¨¤ã, ¢ë¤¥«¨¢ १ã«ìâ¨àãî騩 ä §®¢ë© ᤢ¨£ '(; ) ¢ ¢¨¤¥ ®â¤¥«ì­®£® ᮬ­®¦¨â¥«ï
1
?
f (; )= q
exp
ei'(; ); (5.15)
(1 + 2) + (2)
(1 + 2) + (2)
2
2
0
2
0
2 2
0
0
2
0
2
0
2 2
0
2 2
0
2 2
0
2
0
2
2
2
2
4
2
2
2
167
2
£¤¥
2 +
2
(1
+
)
1
'(; ) =
? 2 arctg 1 + 2 :
(5.16)
(1 + 2) + (2)
’ ª¨¬ ®¡à §®¬, à á¯à®áâà ­ïî騩áï ¢ ¤¨á¯¥àᨮ­­®© á।¥ £ ãáᮢ
¨¬¯ã«ìá ¤ ¦¥ ¯à¨ ­ «¨ç¨¨ «¨­¥©­®£® ç¨à¯ á®åà ­ï¥â ᢮î ä㭪樮­ «ì­ãî ä®à¬ã. Ž¤­ ª® ⥯¥àì ¥£® ¤«¨â¥«ì­®áâì § ¢¨á¨â ®â ¯à®©¤¥­­®£® à ááâ®ï­¨ï ¡®«¥¥ á«®¦­ë¬ ®¡à §®¬. Žâ­®á¨â¥«ì­®¥ ãè¨à¥­¨¥ ¨¬¯ã«ìá ­ 室¨âáï ­¥¯®á।á⢥­­® ¨§ ¢ëà ¦¥­¨ï (5.15), çâ® á ãçñ⮬
(5.6) ¤ ñâ
p() = q(1 + 2) + (2) :
(5.17)
2
2
2
2
2
2
p0
ˆ§ (5.17) ¢¨¤­®, çâ® ­ ¡®«ìè¨å ¤«¨­ å ¤«¨â¥«ì­®áâì ¨¬¯ã«ìá , ¯à®è¥¤è¥£® á«®© á।ë ⮫騭®© L, ®áâ ñâáï ¯à®¯®à樮­ «ì­®© ¯à®©¤¥­­®¬ã ¯ãâ¨. „¥©á⢨⥫쭮, ¯à¨ L ! 1, çâ® íª¢¨¢ «¥­â­® ! 1,
p() 2p + 1;
p
â® ¥áâì ¢¢¥¤¥­¨¥ ç¨à¯ ¢ ¨á室­ë© ¨¬¯ã«ìá ã᪮àï¥â ¥£® ¤¨á¯¥àᨮ­­®¥
à á¯«ë¢ ­¨¥ ­ ¡®«ìè¨å ¤«¨­ å ¯® ®â­®è¥­¨î ª â ª®¬ã ¦¥ ¨¬¯ã«ìáã ¡¥§
ç¨à¯ . „ ­­ë© íä䥪â å®à®è® § ¬¥â¥­ ­ à¨á.5.6 , £¤¥ ®â­®á¨â¥«ì­®¥
ãè¨à¥­¨¥ ¨¬¯ã«ìá ¡¥§ ç¨à¯ ¯®ª § ­® ¡®«¥¥ ⮫á⮩ «¨­¨¥©.
2
0
4 τ (µ)
p
4
τp0
2
2
3
3
1
1
1
2
0
0.5
µ
1
1.5
−1 3
1
0
2
0.5
µ
1
−2 4
¡
1.5
¨á.5.6. ) Žâ­®á¨â¥«ì­®¥ ãè¨à¥­¨¥ £ ãáᮢ ¨¬¯ã«ìá á «¨­¥©­ë¬ ç¨à¯®¬, ¡ ) ª¢ ¤à â¨ç­ë© ¯® ª®íää¨æ¨¥­â ä㭪樨 ä §®¢®£® ᤢ¨£ '(; ) ¨§ (5.16). ‡­ 祭¨ï
¢¥«¨ç¨­ë ᪮à®á⨠ç¨à¯ : ªà¨¢ ï 1 { = 0; 2 { = 1; 3 { = ?1; 4 { = ?2.
Œ¨­¨¬¨§¨àãï ¯®¤ª®à¥­­®¥ ¢ëà ¦¥­¨¥ ¢ (5.17) ¬®¦­® ¯®«ãç¨âì §­ 祭¨¥ ¯ à ¬¥âà , ¯à¨ ª®â®à®¬ ¯à®¨§®©¤¥â ¬ ªá¨¬ «ì­®¥ ᦠ⨥ ᨣ­ « min = 2(1?+ ) :
(5.18)
2
168
‘®®â­®è¥­¨¥ (5.18) ¬®¦­® ¯®«ãç¨âì ¨ ­¥¯®á।á⢥­­® ¨§ ­ «¨§ ä㭪樨 ä §®¢®£® ᤢ¨£ '(; ): ®áª®«ìªã ¯®á«¥ ¯à®å®¦¤¥­¨ï á«®ï á।ë
ç¨à¯ ¯à®¤®«¦ ¥â ®áâ ¢ âìáï «¨­¥©­ë¬, â® ­ ç «ì­®© ä §¥ ᦠâ¨ï ¨¬¯ã«ìá ¡ã¤ãâ, ª ª ¯®ª § ­® ­ à¨á.5.6¡, ᮮ⢥âá⢮¢ âì ®âà¨æ ⥫ì­ë¥
§­ 祭¨ï ª¢ ¤à â¨ç­®£® ¯® ª®íää¨æ¨¥­â ä㭪樨 '(; ): Œ ªá¨¬ «ì­®¥ ᦠ⨥, ª ª 㦥 ®â¬¥ç «®áì à ­¥¥, ¤®á⨣ ¥âáï ¯à¨ ¯®«­®© ª®¬¯¥­á 樨 ¤¨á¯¥àᨮ­­ëå ¨áª ¦¥­¨© ç¨à¯®¬ ¨á室­®£® ᨣ­ « . à¨à ¢­¨¢ ï
­ã«î ª®íää¨æ¨¥­â ¯à¨ ¢ (5.16) ¨ à¥è ï ¯®«ã稢襥áï «¨­¥©­®¥ ãà ¢­¥­¨¥, áà §ã ¦¥ ¯®«ãç ¥¬ (5.18).
ˆ§ ¢ëà ¦¥­¨ï ¤«ï min á«¥¤ã¥â, çâ® ¢ ®¡« á⨠­®à¬ «ì­®© ¤¨á¯¥àᨨ
¯à¨ ¯®«®¦¨â¥«ì­®¬ §­ 祭¨¨ ¬ë ¨¬¥¥¬ ¤¥«® á ¬®­®â®­­ë¬ ãè¨à¥­¨¥¬
¨¬¯ã«ìá (ªà¨¢ë¥ 2 ­ à¨á.5.6 ¨ 5.6¡ ). „«ï ¡®«ì設á⢠®¯â¨ç¥áª¨ ¯à®§à ç­ëå á। ¯à¨ ®âáãâá⢨¨ ¯à¨¬¥á¥©, ᯮᮡ­ëå ᮧ¤ ¢ âì ïમ ¢ëà ¦¥­­ë¥ ¯®«®áë १®­ ­á­®£® ¯®£«®é¥­¨ï, ®¡« áâì ¢¨¤¨¬®£® ¤¨ ¯ §®­ ª ª à § ¨ ï¥âáï ®¡« áâìî ­®à¬ «ì­®© ¤¨á¯¥àᨨ. …᫨ ®â ç áâ®âë
! ¯¥à¥©â¨ ª ¡®«¥¥ ¯à¨¢ëç­®© ¥¤¨­¨æ¥ ¨§¬¥à¥­¨ï { ¤«¨­¥ ¢®«­ë , â®
¢¥«¨ç¨­ k ­ 室¨âáï ¨§ á«¥¤ãî饣® ¯à®á⮣® ᮮ⭮襭¨ï:
k () = 2c ddn ;
â® ¥áâì ¨¬¥¥â â®â ¦¥ §­ ª, çâ® ¨ ¢â®à ï ¯à®¨§¢®¤­ ï ¯®ª § â¥«ï ¯à¥«®¬«¥­¨ï. „«ï ­ «¨â¨ç¥áª®£® ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨ï ᯥªâà «ì­®© § ¢¨á¨¬®áâ¨
¯®ª § â¥«ï ¯à¥«®¬«¥­¨ï ç áâ® ¨á¯®«ì§ãîâ ¨­â¥à¯®«ï樮­­ë¥ ä®à¬ã«ë,
ª®â®àë¥ ¯® ᢮¥© áâàãªâãॠᮢ¯ ¤ îâ á ¨§¢¥áâ­®© ä®à¬ã«®© ‡¥«ì¬¥©¥à . …᫨ ãç¥áâì, çâ® ª ¦¤ë© १®­ ­á­ë© ª®­âãà å à ªâ¥à¨§ã¥âáï
«¨èì ¤¢ã¬ï ­¥§ ¢¨á¨¬ë¬¨ ¯ à ¬¥âà ¬¨, â® ¤«ï â®ç­®£® ®¯¨á ­¨ï § ¢¨á¨¬®á⨠n() ®¡ëç­® ¯à¨å®¤¨âáï ¬®¤¨ä¨æ¨à®¢ âì ª« áá¨ç¥áªãî ä®à¬ã«ã, ¤®¡ ¢«ïï ¢ ­¥ñ ¤®¯®«­¨â¥«ì­ë¥ १®­ ­á­ë¥ ®¡« á⨠{ ॠ«ì­ë¥
¨«¨ ¢¨àâã «ì­ë¥. „«ï 娬¨ç¥áª¨ ç¨á⮣® ¯« ¢«¥­­®£® ª¢ àæ ¯à¨¢®¤¨âáï á«¥¤ãî騩 ¯à¨¬¥à â ª®£® âàñåç«¥­­®£® ᮮ⭮襭¨ï[8]:
X
n() = 1 + ?Bj
j
j
 ¯à®â殮­¨¨ ¢á¥© £« ¢ë, ¨««îáâà¨àãï ⥠¨«¨ ¨­ë¥ § ª®­®¬¥à­®áâ¨,
­ ¬ ¯à¨¤ñâáï ç áâ® ¢®ááâ ­ ¢«¨¢ âì ¨á⨭­ë¥ §­ 祭¨ï 䨧¨ç¥áª¨å ¢¥«¨ç¨­, ¨áå®¤ï ¨§ ¨§¢¥áâ­®© ¢¥«¨ç¨­ë ¡¥§à §¬¥à­®£® ¯ à ¬¥âà . ’ ª
ª ª ¢ ª ç¥á⢥ áâ ­¤ àâ­®© ¬®¤¥«ì­®© áà¥¤ë ­ ¬¨ ¡ã¤ãâ à áᬠâਢ âìáï ®¯â¨ç¥áª¨¥ ¢®«®ª­ ­ ®á­®¢¥ ª¢ à楢®£® á⥪« , â® ¨¬¥¥â á¬ëá«
¯à¨¢¥á⨠§¤¥áì ª®­ªà¥â­ë¥ §­ 祭¨ï ¯ à ¬¥â஢ Bj ¨ j :
2
00
0
3
00
0
2
2
2
3
2
2
2
=1
169
2
B = 0:6961663 = 0:004679148» ;
B = 0:4079426 = 0:01351206» ;
k′′0 (λ) ⋅10 26
6
B = 0:8974994 = 97:934002» :
4
Ž ¬ áèâ ¡¥ ¢¥«¨ç¨­ë ¤¨á¯¥àᨮ­2
0.5
1
1.5
2
­®£® ¯ à ¬¥âà ¬®¦­® á㤨âì å®âï ¡ë
0
λ , ¬ª¬
¯® ⮬ã, çâ® ­ ¤«¨­¥ ¢®«­ë =
−2
0:7¬ª¬, §­ 祭¨¥ k ®ª §ë¢ ¥âáï à ¢−4
?
­ë¬ 4:5 10 c /¬. ¥§ã«ìâ â ¢ë−6
ç¨á«¥­¨© ¯® ¢ëè¥ãª § ­­ë¬ ä®à¬ã−8
« ¬ ¯®§¢®«ïîâ ¬®¦­® ¯®«ãç¨âì § ¢¨- ¨á.5.7. ‘¯¥ªâà «ì­ ï § ¢¨á¨¬®áâì
ᨬ®áâì, ¯®ª § ­­ãî ­ à¨á.5.7. Žâ- ¤¨á¯¥àᨮ­­®£® ¯ à ¬¥âà ¢â®à®£®
ªã¤ , ¢ ç áâ­®áâ¨, á«¥¤ã¥â, çâ® ¢¥- ¯®à浪 ¤«ï ¯« ¢«¥­­®£® ª¢ àæ .
¤ ­­ëå ¯® ¢¥à⨪ «ì«¨ç¨­ k ®ª §ë¢ ¥âáï ¯®«®¦¨â¥«ì-  §¬¥à­®áâì
2
­®©, ¥á«¨ ¤«¨­ ¢®«­ë ­¥ ¯à¥¢ëè ¥â ­®© ®á¨: á =¬.
1.27 ¬ª¬. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ä § ᦠâ¨ï ॠ«¨§ã¥âáï ⮫쪮 ¤«ï â ª¨å
¨¬¯ã«ìᮢ, ã ª®â®àëå ç áâ®â 㬥­ìè ¥âáï ®â ­ ç « ª ª®­æã ¯® «¨­¥©­®¬ã § ª®­ã. à¨ í⮬ áãé¥áâ¢ã¥â ¥¤¨­á⢥­­®¥ §­ 祭¨¥ ¤«¨­ë Lmin,
¢ëç¨á«ï¥¬®¥ ¨§ ᮮ⢥âáâ¢ãî饣® §­ 祭¨ï min, ­ ª®â®à®© ¤«¨â¥«ì­®áâì ¨¬¯ã«ìá áâ ­®¢¨âáï ¬¨­¨¬ «ì­®© ¨ à ¢­®©
(5.19)
p min = p p :
1 + ®áª®«ìªã ¢ëà ¦¥­¨¥ (5.19) ­¥ § ¢¨á¨â ®â ¢¥«¨ç¨­ë k , â® ¯à¥¤¥«ì­ ï ¤«¨â¥«ì­®áâì, ¤® ª®â®à®© ¬®¦¥â ¡ëâì ᦠ⠨¬¯ã«ìá, â ª¦¥ ­¥ § ¢¨á¨â ®â ᢮©á⢠á।ë, ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ⮫쪮 ¤«¨â¥«ì­®áâìî ¢å®¤­®£®
ᨣ­ « ¨ ᪮à®áâìî ç¨à¯ . ” §®¢ë© ᤢ¨£ ¢ á®áâ®ï­¨¨ ¬ ªá¨¬ «ì­®£®
ᦠâ¨ï ¯®«­®áâìî ᪮¬¯¥­á¨à®¢ ­; á«¥¤®¢ ⥫쭮, â ª®© ¨¬¯ã«ìá ¡ã¤¥â
ᯥªâà «ì­®{®£à ­¨ç¥­­ë¬. à¨ í⮬ ¯¥à¥å®¤ ç¥à¥§ â®çªã ¬ ªá¨¬ «ì­®£® ᦠâ¨ï ᮯ஢®¦¤ ¥âáï ¨§¬¥­¥­¨¥¬ §­ ª ã ª¢ ¤à â¨ç­®£® ¯® ª®íää¨æ¨¥­â ä㭪樨 '(; ) (ªà¨¢ë¥ 3, 4 à¨á.5.6¡ ).
’ ª ª ª ¢ à ¬ª å à áᬠâਢ ¥¬®© ¬®¤¥«¨ á। ­¥ ¢­®á¨â ¯®â¥àì,
⮠ᦠ⨥ ¨¬¯ã«ìá ¤®«¦­® ᮯ஢®¦¤ âìáï à®á⮬ ¥£® ¯¨ª®¢®© ¬®é­®áâ¨p.  ¤«¨­¥ Lmin ¬ ªá¨¬ «ì­ ï ¨­â¥­á¨¢­®áâì ¨§«ã祭¨ï ¢®§à áâ ¥â
¢ 1 + à § ¯® áà ¢­¥­¨î á ¨á室­®©. â® ®¡áâ®ï⥫ìá⢮ á«¥¤ã¥â
¯à¨­¨¬ âì ¢® ¢­¨¬ ­¨¥ ¯à¨ ®¯à¥¤¥«¥­¨¨ ª®íää¨æ¨¥­â § âãå ­¨ï ®¯â¨ç¥áª®£® ¢®«®ª­ ¨¬¯ã«ìá­ë¬¨ ¬¥â®¤ ¬¨.
€­ «¨§¨àãï § ¢¨á¨¬®áâì ¯ à ¬¥âà min ®â ¢¥«¨ç¨­ë ç¨à¯ ¢ (5.18),
­¥âà㤭® § ¬¥â¨âì, çâ® min 6 1=4 ¤«ï «î¡ëå ®âà¨æ ⥫ì­ëå §­ 祭¨©
; ¯à¨ç¥¬ ¬ ªá¨¬ã¬ ¤®á⨣ ¥âáï ¯à¨ = ?1: „à㣨¬¨ á«®¢ ¬¨, ä § 2
1
2
2
2
3
1
2
3
2
2
2
00
26 2
0
00
0
0
2
00
0
2
170
ᦠâ¨ï ¨á室­®£® ¨¬¯ã«ìá ¢á¥£¤ ï¥âáï ­ ç «ì­®© áâ ¤¨¥© ¥£® í¢®«î樨 ­¥§ ¢¨á¨¬® ®â ᪮à®á⨠ç¨à¯ , â ª ª ª min ! 0 ª ª ¯à¨ ! 0;
â ª ¨ ¯à¨ ! ?1:
à®¨««îáâà¨à㥬 ­ ©¤¥­­ë¥ § ª®­®¬¥à­®á⨠­ ª®­ªà¥â­ëå ¯à¨¬¥à å.  ç­ñ¬ á ¨¬¯ã«ìᮢ £ ãáᮢ®© ä®à¬ë ­ ­®á¥ªã­¤­®© ¤«¨â¥«ì­®áâ¨.
®« £ ï p à ¢­ë¬ 10? á, ­ ©¤¥¬ ¢¥«¨ç¨­ã ¬ áèâ ¡­®£® ¬­®¦¨â¥«ï t
¨§ ãá«®¢¨ï (5.6), çâ® ¤ ñâ §­ 祭¨¥ 0:85 10? á. ‹¨­¥©­ë© ᤢ¨£ ç áâ®âë
§ ¢à¥¬ï ¨¬¯ã«ìá p ¯à¨¬¥¬ à ¢­ë¬ 10 ƒæ. ’®£¤ ¨§ ᮮ⭮襭¨ï
! = 2 p ¬®¦­® à ááç¨â âì §­ 祭¨¥ ¯ à ¬¥âà ; 䨣ãà¨àãî饣® ¢
à áçñâ­ëå ä®à¬ã« å
jj = 22 3:14 10 á? ; jj = jjt 0:227:
p
®¤áâ ¢«ïï §­ 祭¨¥ ¢ (5.19), ­ 室¨¬ ¬¨­¨¬ «ì­ãî ¤«¨â¥«ì­®áâì
¨¬¯ã«ìá p min 0:975 10? á.  ¤«¨­¥ ¢®«­ë = 0:7¬ª¬, ᤢ¨£ ç áâ®âë = 10 ƒæ ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ᬥ饭¨î ¤«¨­ë ¢®«­ë 1:6 10? A;
§­ 祭¨¥ Lmin; ¢®ááâ ­®¢«¥­­®¥ ¨§ ¯®ª § ­­®© ­ à¨á.5.7 § ¢¨á¨¬®áâ¨
k () ¨ ¢¥«¨ç¨­ë min, ®æ¥­¨¢ ¥âáï ¢ 1700 ª¬.
ˆá¯®«ì§®¢ ­­ë¥ ¢ ¤ ­­®¬ ¯à¨¬¥à¥ ç¨á«¥­­ë¥ §­ 祭¨ï ¯ à ¬¥â஢
¨á室­®£® ᨣ­ « ïîâáï ¤®áâ â®ç­® ⨯¨ç­ë¬¨ ¤«ï ¬­®£¨å ¢áâà¥ç îé¨åáï ­ ¯à ªâ¨ª¥ á¨âã 権. ‘®®â¢¥âáâ¢ãî饥 í⨬ ¯ à ¬¥âà ¬
p ¨ §­ 祭¨¥ ¢¥«¨ç¨­ë jj ®ª §ë¢ ¥âáï §­ ç¨â¥«ì­® ¬¥­ìè¥ 1, â. ¥.
¢ ¤¨­ ¬¨ª¥ à á¯à®áâà ­¥­¨ï â ª¨å ¨¬¯ã«ìᮢ, ®âáãâáâ¢ãîâ ïમ ¢ëà ¦¥­­ë¥ íä䥪âë, ®¡ãá«®¢«¥­­ë¥ ­ «¨ç¨¥¬ ç¨à¯ . „«ï ⮣®, ç⮡ë íâ¨
íä䥪âë áâ «¨ ®âçñ⫨¢® ­ ¡«î¤ ¥¬ë¬¨, ­¥®¡å®¤¨¬® â ª ¨§¬¥­¨âì ¯ à ¬¥âàë ¨á室­®£® ᨣ­ « , ç⮡ë ᤢ¨£ ç áâ®âë § ¢à¥¬ï ¨¬¯ã«ìá , ¯®
ªà ©­¥© ¬¥à¥, ­ ç « ¯à¥¢ëè âì è¨à¨­ã ᯥªâà ¥£® ®£¨¡ î饩.
„¥©á⢨⥫쭮, ¤«ï ¨¬¯ã«ìá £ ãáᮢ®© ä®à¬ë è¨à¨­ ᯥªâà p
á¢ï§ ­ á ¥£® ¤«¨â¥«ì­®áâìî ᮮ⭮襭¨¥¬ pp = 2 ln 2=: ®¤áâ ¢«ïï
p ¢ ¢ëà ¦¥­¨¥ ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥­¨ï ᪮à®á⨠ç¨à¯ , ¯®«ãç ¥¬ jj = 1; â. ¥.
®¡ãá«®¢«¥­­ë¥ ç¨à¯®¬ ®á®¡¥­­®á⨠¤¨­ ¬¨ª¨ à á¯à®áâà ­¥­¨ï ¨¬¯ã«ìᮢ áâ ­ã⠯८¡« ¤ î騬¨ ⮫쪮 ¯à¨ ¢ë¯®«­¥­¨¨ ãá«®¢¨ï jj > 1:
„«ï ¨««îáâà 樨 í⮣® ¥­¨ï 㢥«¨ç¨¬ ᤢ¨£ ç áâ®âë ¢ ®¡á㦤 ¥¬®¬
¯à¨¬¥à¥ á 10 ƒæ ¤® 10 ƒæ, ®áâ ¢¨¢ ¢á¥ ®áâ «ì­ë¥ ¯ à ¬¥âàë ᨣ­ « ¡¥§
¨§¬¥­¥­¨©. ‚ í⮬ á«ãç ¥ jj 2:27 ¨ min = 0:184: ˆ§ ¢ëà ¦¥­¨ï (5.19)
­ 室¨¬ p min; ª®â®à ï ®ª §ë¢ ¥âáï ¢ 2.5 à § ¬¥­ìè¥ ¤«¨â¥«ì­®á⨠¨á室­®£® ¨¬¯ã«ìá , á®áâ ¢«ïï 0:4 10 á. ®áª®«ìªã ¢¥«¨ç¨­ min ¡®«ìè¥
祬 ¢ ¯à¥¤ë¤ã饬 á«ãç ¥, â® ¨ §­ 祭¨¥ ¯ à ¬¥âà Lmin; ¯à¨ ª®â®à®¬
¡ã¤¥â ¤®á⨣ âìáï ¬ ªá¨¬ «ì­®¥ ᦠ⨥ ¨¬¯ã«ìá , ¢®§à á⠥⠯ਬ¥à­®
9
0
0
9
8
0
0
17
0
2
2
0
9
8
3
00
0
0
0
8
9
9
171
¤® 3000 ª¬.
à¨¢¥¤¥­­ë¥ à áçñâë ¯®ª §ë¢ îâ, çâ® ¯®«ãç¨âì ᪮«ìª®{­¨¡ã¤ì §­ ç¨â¥«ì­®£® á㦥­¨ï ¨¬¯ã«ìᮢ ­ ­®á¥ªã­¤­®© ¤«¨â¥«ì­®á⨠¯à ªâ¨ç¥áª¨ ­¥¢®§¬®¦­®. Ž¤­ ª® ¨§ íâ¨å ¦¥ à áçñ⮢ á«¥¤ã¥â, çâ® ¨¬¯ã«ìáë
â ª®© ¤«¨â¥«ì­®á⨠¤ ¦¥ ¯à¨ ¬¨­¨¬ «ì­®¬ ç¨à¯¥ à á¯à®áâà ­ïîâáï ­ âëáïç¨ ª¨«®¬¥â஢ ¡¥§ ãè¨à¥­¨ï, â ª ª ª ãá«®¢¨¥ L < Lmin ᮮ⢥âáâ¢ã¥â áâ ¤¨¨ ᦠâ¨ï ᨣ­ « .
¥à¥å®¤ï ¢ ¯¨ª®á¥ªã­¤­ãî ®¡« áâì ¨ á®åà ­ïï ⥠¦¥ ᮮ⭮襭¨ï
¬¥¦¤ã ¯ à ¬¥âà ¬¨ t ¨ , ¯®«ãç ¥¬ á«¥¤ãî騥 १ã«ìâ âë ¤«ï ¨¬¯ã«ìá ¤«¨â¥«ì­®áâìî ¢ 1 ¯¨ª®á¥ªã­¤ã: t 0:85 10? á, 10 ƒæ,
p min 0:975 10? á, Lmin 2:7¬.  ¤«¨­¥ ¢®«­ë = 0:9¬ª¬ ᤢ¨£ã
ç áâ®âë = 10 ƒæ ᮮ⢥âáâ¢ã¥â = 2:7 A. ï⨪à â­®¥ 㢥«¨ç¥­¨¥ ᪮à®á⨠úç¨à¯ û ¤® §­ 祭¨ï = 5 10 ƒæ, ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â
jj 1:13, ¯à¨¢¥¤¥â ª ¬¨­¨¬ «ì­®© ¤«¨â¥«ì­®á⨠p min = 0:66 10? á
㦥 ­ ¤«¨­¥ 6.3 ¬.
’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢á¥£® «¨èì ­¥áª®«ìª® ¬¥â஢ ®¯â¨ç¥áª®£® ¢®«®ª­ ¬®¦¥â ®ª § âìáï ¢¯®«­¥ ¤®áâ â®ç­® ¤«ï ⮣®, ç⮡ë áãé¥á⢥­­® 㬥­ìè¨âì ¤«¨â¥«ì­®áâì ¨¬¯ã«ìá , ¥á«¨ ç áâ®â ®¯â¨ç¥áª®© ­¥áã饩 ¬¥­ï¥âáï ¤®áâ â®ç­® ¡ëáâà®. ‚ ®¡« á⨠á㡯¨ª®á¥ªã­¤­ëå ¤«¨â¥«ì­®á⥩
(p 6 10? á) ú¤«¨­­ë¬¨û ®ª §ë¢ îâáï «î¡ë¥ ®¯â¨ç¥áª¨¥ ãáâனá⢠á
å à ªâ¥à­ë¬¨ «¨­¥©­ë¬¨ à §¬¥à ¬¨ ¯®à浪 1 á¬.
0
12
0
11
12
11
11
12
13
0
1.5 Ι(µ,τ)
5
4
1
Ι(µ,τ)
3
2
0.5
1
0
0
0.5
µ
τ
1
1
0
0
−1
0
0.1µ
τ
0.2
1
−1
0
¡
¨á.5.8. ‘¦ ⨥ £ ãáᮢ ¨¬¯ã«ìá á «¨­¥©­ë¬ ç¨à¯®¬. ‡­ 祭¨ï ¡¥§à §¬¥à­®© ¢¥«¨ç¨­ë ç¨à¯ : ) = ?1, ¡ ) = ?5.
’¨¯¨ç­ ï ª à⨭ ¤¥ä®à¬ 樨 ä®à¬ë ¨¬¯ã«ìá , à ááç¨â ­­ ï ­ ®á­®¢¥ (5.15), ¯®ª § ­ ­ à¨á.5.8. ˆ§ ¯¥à¢®£® à¨áã­ª , ᮮ⢥âáâ¢ãî饣®
£à ­¨ç­®¬ã á«ãç î jj = 1, ¬®¦­® «¥£ª® ®æ¥­¨âì ¬ áèâ ¡ë â¥å ¨§¬¥­¥­¨© ¢ ä®à¬¥ ®£¨¡ î饩, ª®â®àë¥ ¢®§­¨ª îâ ¯à¨ à ¢¥­á⢥ ᤢ¨£ ­¥áã饩 ç áâ®âë ᨣ­ « § áçñâ ç¨à¯ è¨à¨­¥ ᯥªâà ®£¨¡ î饩 í⮣®
¨¬¯ã«ìá .  ¢â®à®¬ à¨áã­ª¥ ¯®ª § ­ á«ãç © ¯à¥¤¥«ì­® ¡®«ì讣® ç¨à¯ ,
¯à¨¢®¤ï騩 ª áå«®¯ë¢ ­¨î ¨¬¯ã«ìá ¢ ­¥ª®â®à®© ¯à®¬¥¦ãâ®ç­®© â®çª¥.
172
• à ªâ¥à­®, çâ® ­¥§ ¢¨á¨¬® ®â ¢¥«¨ç¨­ë ç¨à¯ ᦠâë© ¨¬¯ã«ìá ¢®§¢à é ¥âáï ª ᢮¥¬ã ¨á室­®¬ã á®áâ®ï­¨î ­ à ááâ®ï­¨¨ ¢¤¢®¥ ¡®«ì襬 ⮩
¢¥«¨ç¨­ë, ¯à¨ ª®â®à®© ¯à®¨á室¨«® ¥£® ¬ ªá¨¬ «ì­®¥ ᦠ⨥.
Œ®¤¥«ì ¨¬¯ã«ìá £ ãáᮢ®© ä®à¬ë ¯®§¢®«ï¥â ¤®áâ â®ç­® ¯à®áâ® ¯à® ­ «¨§¨à®¢ âì ¬­®£¨¥ ᢮©á⢠ᨣ­ «®¢ á «¨­¥©­ë¬ ç¨à¯®¬, à á¯à®áâà ­ïîé¨åáï ¢ ¤¨á¯¥à£¨àãî饩 á।¥. ®«ãç î騥áï ¯à¨ í⮬ ¯à®áâë¥ á®®â­®è¥­¨ï ¯®§¢®«ïîâ ¤ âì ¯à ¢¨«ì­ãî ª ç¥á⢥­­ãî ª à⨭ã
¤¥ä®à¬ 樨 ®£¨¡ î饩 ¨ ¤«ï ¨¬¯ã«ìᮢ ¤à㣮© ä®à¬ë { ¡«¨§ª®© ª £ ãáᮢ®©, â ª¦¥ ®¯à¥¤¥«¨âì ¯®à浪¨ ¢¥«¨ç¨­ â¥å ¯ à ¬¥â஢, ª®â®àë¥
¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ¯à ªâ¨ç¥áª¨© ¨­â¥à¥á.
Ž¤­ ª®, ¢ë஦¤¥­­®áâì í⮩ ¬®¤¥«¨ ­¥ ¯®§¢®«ï¥â ®æ¥­¨âì á⥯¥­ì
®¡é­®á⨠®¯¨á ­­®£® ¢ëè¥ á業 à¨ï í¢®«î樨 ¯à®¬®¤ã«¨à®¢ ­­®£® ¯®
ä §¥ ᨣ­ « , ¯à¥¦¤¥ ¢á¥£®, á â®çª¨ §à¥­¨ï ¤¥â «ì­®£® ®¯¨á ­¨ï ¢á¥å
®á®¡¥­­®á⥩ âà ­áä®à¬ 樨 ®£¨¡ î饩 f (L; ). Š ª ¨ ¯à¥¦¤¥, ¤«ï
¯®«­®âë ª à⨭ë á«¥¤ã¥â ¯à® ­ «¨§¨à®¢ âì ¢«¨ï­¨¥ «¨­¥©­®£® ç¨à¯ ­ ¤¨­ ¬¨ªã, ¯® ªà ©­¥© ¬¥à¥, ¥éñ ®¤­®£® ¨¬¯ã«ìá , ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨¥
᢮©á⢠ª®â®à®£® áãé¥á⢥­­® ®â«¨ç îâáï ®â £ ãáᮢ .
‚­®¢ì ®¡à ⨬áï ª ¬®¤¥«¨ ¨¬¯ã«ìá á ®£¨¡ î饩 «®à¥­æ¥¢®© ä®à¬ë
f (0; t) = 1 t exp(it ):
1 + (t )
Žá­®¢­ë¥ ®á®¡¥­­®á⨠¯®¢¥¤¥­¨ï â ª®£® ¨¬¯ã«ìá ¢ á।¥ á ¤¨á¯¥àᨥ©
¯à¨ ®âáãâá⢨¨ ç¨à¯ 㦥 ®¡á㦤 «¨áì ¢ ¯à¥¤ë¤ã饬 à §¤¥«¥. Š ¤®á⮨­á⢠¬ ¤ ­­®© ¬®¤¥«¨ á«¥¤ã¥â ®â­¥áâ¨, ¢ ¯¥à¢ãî ®ç¥à¥¤ì, â®â ä ªâ,
çâ®, ­¥á¬®âàï ­ ­ «¨ç¨¥ «¨­¥©­®£® ç¨à¯ , 㤠ñâáï ¯®«ãç¨âì ®¥ ¢ëà ¦¥­¨¥ ¤«ï ®£¨¡ î饩 f (L; ). ¥¯®á।á⢥­­® ¨á¯®«ì§ãï (5.4) ¨ ¬¥â®¤¨ªã ¢ëç¨á«¥­¨ï ¨­â¥£à «®¢ ¨§ ¯à¨¬¥à , ¯®á¢ïéñ­­®£® ­ «¨§ã ¨¬¯ã«ìá ¢ ¢¨¤¥ úᨬ¬¥âà¨ç­®©û íªá¯®­¥­âë, ¬®¦­®, ¯®á«¥ ­¥á«®¦­ëå, ­®
£à®¬®§¤ª¨å ¯à¥®¡à §®¢ ­¨©, ®¡®¡é¨âì (5.13) ­ á«ãç © ­¥­ã«¥¢®£® ç¨à¯ r
1 + 2
1
?
f (; ) = 2 2i exp
2
i
"
r
jj j
j
1
+
2
r
exp ? erfc
+
2i ?
1
+
2
(5.20)
2
2i
2
2
0
2
r
exp jj erfc
1 + 2 +
2i
173
r
jj
2
2 1 +2i
#
:
Š ª ¨ à ­¥¥, ¨¬¥¥â á¬ëá« ­ ç âì ®¡á㦤¥­¨¥ ¯®«ã祭­®£® १ã«ìâ â á
¨áá«¥¤®¢ ­¨ï ¯¨ª®¢®© ¬®é­®á⨠ᨣ­ « . ®áª®«ìªã ¬¯«¨â㤠®£¨¡ î饩 ¢ 業âॠ¨¬¯ã«ìá rà ¢­ 1 + 2
r 1 + 2
f (; 0) = 2i exp 2i erfc
;
2i
â®, ¨á¯®«ì§ãï á¢ï§ì ¬¥¦¤ã ¨­â¥£à « ¬¨ ”७¥«ï ¨ ª®¬¯«¥ªá­ë¬ ¨­â¥£à «®¬ ¢¥à®ïâ­®á⥩, ¬®¦­® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¨áª®¬ãî ¢¥«¨ç¨­ã ¢ ¢¨¤¥
I (; 0) = "
1 ?S
2
s
2 1
j1 + 2j + ? C
2
s
#
j1 + 2j : (5.21)
2
‚ëà ¦¥­¨¥ (5.21) ï¥âáï ­¥¯®á।á⢥­­ë¬ ®¡®¡é¥­¨¥¬ (5.11) ­ á«ãç © «¨­¥©­®£® ç¨à¯ . ®áâ஥­­ë¥ ­ ®á­®¢¥ (5.21) £à 䨪¨ ¯¨ª®¢®©
¨­â¥­á¨¢­®á⨠I (; 0) ¯®ª § ­ë ­ à¨á.5.9. ‘¥à¨ï ªà¨¢ëå ­ ¯¥à¢®¬ à¨áã­ª¥ ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ­¥®âà¨æ ⥫ì­ë¬ §­ 祭¨ï¬ ᪮à®á⨠ç¨à¯ , ¯à¨ç¥¬ ªà¨¢ ï 1 â ª ï ¦¥, ª ª ¨ ­ à¨á.5.4. ˆ§ í⮣® à¨áã­ª å®à®è® ¢¨¤­®,
çâ® ¢­¥á¥­¨¥ ¯®«®¦¨â¥«ì­®£® ç¨à¯ ¢ ®£¨¡ îéãî ¨¬¯ã«ìá ­¥ ¯à¨¢®¤¨â ª ¯®ï¢«¥­¨î ª ª¨å{«¨¡® áãé¥á⢥­­® ­®¢ëå ®á®¡¥­­®á⥩ ¢ ¥£® ¤¨­ ¬¨ª¥.  ¡«î¤ ¥âáï ¬®­®â®­­®¥ ãè¨à¥­¨¥ ®£¨¡ î饩, ª ç¥á⢥­­ ï
ª à⨭ ª®â®à®£® 㦥 ¡ë« ¨§«®¦¥­ ¢ ­ ç «¥ à §¤¥« .
1
0.8
0.6
0.4
3
Ι(µ,0)
1
2.5
2
2
3
4
1.5
4
1
0.2
0
Ι(µ,0)
0.5
0.5
1
1.5
τ
2
0
3
2
1
¡
0.5
1
1.5
µ
2
¨á.5.9. ˆ­â¥­á¨¢­®áâì ¨§«ã祭¨ï ¢ 業âॠ¨¬¯ã«ìá «®à¥­æ¥¢®© ä®à¬ë (®¡« áâì ­®à¬ «ì­®© ¤¨á¯¥àᨨ): ) ᪮à®áâì ç¨à¯ ¯®«®¦¨â¥«ì­ . Šà¨¢ë¥: 1 ? = 0; 2 ? =
1=2; 3 ? = 1; 4 ? = 2; ¡ ) ᪮à®áâì ç¨à¯ ®âà¨æ â¥«ì­ . Šà¨¢ë¥: 1 ? = 0; 2 ? =
?1=4; 3 ? = ?1=2; 4 ? = ?1.
‘®¢¥à襭­® ¤à㣠ï á¨âã æ¨ï ¢®§­¨ª ¥â ¤«ï á«ãç ï < 0: …᫨ ¢ ¬®¤¥«¨ £ ãáᮢ ¨¬¯ã«ìá ¯à¨ «î¡ëå ®âà¨æ ⥫ì­ëå ᪮à®áâïå ç¨à¯ ¯à®¨á室¨â ¯« ¢­®¥ ­ à áâ ­¨¥ ¨­â¥­á¨¢­®á⨠¨§«ã祭¨ï ¢ 業âॠ¨¬¯ã«ìá 174
¢¯«®âì ¤® ¢¥«¨ç¨­ë min; â® ¢ «®à¥­æ¥¢®© ¬®¤¥«¨ å à ªâ¥à § ¢¨á¨¬®áâ¨
I (; 0) áãé¥á⢥­­® ¨­®©. à¨ ¬ «ëå ᪮à®áâïå ç¨à¯ ­ ª®à®âª®© ­ ç «ì­®© áâ ¤¨¨ ¨­â¥­á¨¢­®áâì ¢ ¬ ªá¨¬ã¬¥ ­¥§­ ç¨â¥«ì­® ¢®§à áâ ¥â
(ªà¨¢ ï 2 ­ à¨á.5.9¡ ), ¯®áª®«ìªã ¢¢¥¤¥­¨¥ ç¨à¯ ¯à¨¢®¤¨â ª ¯®ï¢«¥­¨î
«¨­¥©­®£® ¯® á« £ ¥¬®£® ¢ à §«®¦¥­¨¨ I (; 0)
I (; 0) 1 ? 2 ¯à¨ ! 0;
⮣¤ ª ª ç¨áâ® ¤¨á¯¥àᨮ­­ë¥ íä䥪âë ª¢ ¤à â¨ç­ë ¯® . ‡ ⥬ ¤¨á¯¥àᨮ­­®¥ ãè¨à¥­¨¥ ᨣ­ « áâ ­®¢¨âáï ¯à¥®¡« ¤ î騬 ä ªâ®à®¬, ®¤­ ª® ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠â®çª¨ s = ?1=(2) ¢­®¢ì ­ áâ㯠¥â ä § ᦠâ¨ï,
á¢ï§ ­­ ï á áãé¥á⢥­­®© ¯¥à¥áâனª®© ¢à¥¬¥­­®© áâàãªâãàë ®£¨¡ î饩 ¨¬¯ã«ìá .
‘ 㢥«¨ç¥­¨¥¬ ᪮à®á⨠ç¨à¯ ­ 稭 ¥âáï ¬®­®â®­­ë© à®áâ ¨­â¥­á¨¢­®á⨠¢ 業âॠ¨¬¯ã«ìá ¯® ¬¥à¥ ¥£® à á¯à®áâà ­¥­¨ï ¢¯«®âì
p ¤® §­ 祭¨ï s; ¯à¨¢®¤ï騩 ª ä®à¬¨à®¢ ­¨î ᨭ£ã«ïà­®á⨠¢¨¤ js ? j ¢
®ªà¥áâ­®á⨠í⮩ â®çª¨ (ªà¨¢ë¥ 3, 4 ­ à¨á.5.9¡ ). „¥©á⢨⥫쭮, à §« £ ï ¢ àï¤ (5.21) ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠s; ¯®«ãç ¥¬ á«¥¤ãî饥 ¯à¨¡«¨¦ñ­­®¥
¢ëà ¦¥­¨¥
p
j
2
s ? j
I (; 0) 2 1 ? p ¯à¨ ! s:
s
s
 «¨ç¨¥ ¯ à ¬¥âà s ¢ §­ ¬¥­ ⥫¥ ¢â®à®£® á« £ ¥¬®£® ¡ã¤¥â ¯à¨¢®¤¨âì ª ®¡®áâ७¨î ᨭ£ã«ïà­®á⨠¯à¨ 㢥«¨ç¥­¨¨ ᪮à®á⨠ç¨à¯ , â ª
ª ª s ! 0 ¯à¨ ! 1: ’¥¬ á ¬ë¬, ¢á¥ ­ ¨¡®«¥¥ áãé¥á⢥­­ë¥ ¨§¬¥­¥­¨ï ä®à¬ë ᨣ­ « ®ª §ë¢ îâáï «®ª «¨§®¢ ­­ë¬¨ ¢ ç१¢ëç ©­®
¬ «®© ®ªà¥áâ­®á⨠â®çª¨ s: ®á«¥ ¯à®å®¦¤¥­¨ï ᨭ£ã«ïà­®á⨠­ 稭 ¥âáï ¡ëáâ஥ à á¯«ë¢ ­¨¥ ®£¨¡ î饩, ¯à¨ç¥¬, ª ª ¨ ¢ ¬®¤¥«¨ £ ãáᮢ ¨¬¯ã«ìá , ᪮à®áâì ãè¨à¥­¨ï ¢®§à áâ ¥â á 㢥«¨ç¥­¨¥¬ ᪮à®á⨠ç¨à¯ .
‚६¥­­®© ¯à®ä¨«ì ®£¨¡ î饩 ¨¬¯ã«ìá ¢ â®çª¥ s 㤮¡­¥¥ ¢á¥£® ¢ëç¨á«¨âì, áà §ã ¯®¤áâ ¢«ïï f (0; t) ¢ ¢ëà ¦¥­¨¥ (5.4). ®á«¥ ¯¥à¥å®¤ ª
¡¥§à §¬¥à­ë¬ ¢¥«¨ç¨­ ¬, ¯®«ãç ¥¬
Z1
i(
1
1
?
x
)
f (s; ) = p2i 1 + x exp(ix ) exp 2
dx:
(5.22)
s
s
2
2
?1
2
‡ ¬¥­ïï s ¢ (5.22) ¨ ã¯à®é ï ¢ëà ¦¥­¨¥, áâ®ï饥 ¢ íªá¯®­¥­æ¨ «ì­®¬
¬­®¦¨â¥«¥, ¯à¨¢®¤¨¬ ¨­â¥£à « ª ¢¨¤ã
r
Z1
i
f (s; ) = exp(?i ) 1 +1 x exp(i2x)dx;
(5.23)
2
?1
175
2
¤®¯ã᪠î饬ã ®¥ ¢ëç¨á«¥­¨¥
p
f ( = s; ) = i e?i e?j2j:
(5.24)
’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ­ «¨ç¨¥ ¤ ¦¥ «¨­¥©­®£® ç¨à¯ ¢ áâàãªâãॠ¨á室­®£®
ᨣ­ « ¬®¦¥â ¢¥áì¬ à ¤¨ª «ì­® ¬¥­ïâì ä®à¬ã ®£¨¡ î饩 ¯® ¬¥à¥ à á¯à®áâà ­¥­¨ï ¨¬¯ã«ìá . Š ª á«¥¤ã¥â ¨§ (5.24), ¤«¨­­ë¥ á⥯¥­­ë¥ 墮áâë «®à¥­æ¥¢ ¨¬¯ã«ìá ¯®«­®áâìî ¯®¤ ¢«ïîâáï ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠â®çª¨
s ¨ ã¡ë¢ ­¨¥ ᨣ­ « ¯à¨®¡à¥â ¥â íªá¯®­¥­æ¨ «ì­ë© å à ªâ¥à. Žç¥¢¨¤­®, çâ® ¯®¤®¡­®¥ ¥­¨¥ ¡ã¤¥â ¯à®ï¢«ïâìáï ­¥ ⮫쪮 ¤«ï «®à¥­æ¥¢ ¨¬¯ã«ìá . ˆ§ ¯à®¬¥¦ãâ®ç­ëå ¢ëà ¦¥­¨© (5.22) ¨ (5.23) å®à®è® ¢¨¤­®,
çâ® ¥á«¨ ¢¥áì ä §®¢ë© ᤢ¨£ ¢ ¨á室­®¬ ᨣ­ «¥ 㤠ñâáï á®á।®â®ç¨âì
¢ ®¤­®¬ ª¢ ¤à â¨ç­®¬ ¯® t á« £ ¥¬®¬, â® ­ ¤«¨­¥ L; ®¯à¥¤¥«ï¥¬®© ¨§
¯ à ¬¥âà s; ä㭪樮­ «ì­ë© ¢¨¤ ®£¨¡ î饩 f (s; ) ¢® ¢à¥¬¥­­®©
®¡« á⨠¡ã¤¥â ¯®¤®¡¥­ ”ãàì¥{®¡à §ã f (0; t), ­¥§ ¢¨á¨¬® ®â ¥£® ä®à¬ë.
“ª § ­­®¥ ®¡áâ®ï⥫ìá⢮ ¯®á«ã¦¨«® ¢ à拉 à ¡®â ®á­®¢ ­¨¥¬ ­ §ë¢ âì
¨¬¯ã«ìáë ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠â®çª¨ s úᯥªâà®­ ¬¨û [6].
” §®¢ë© ᤢ¨£ ã úᯥªâà®­ û ª®¬¯¥­á¨àã¥âáï ­¥ ¯®«­®áâìî, ¯®í⮬ã
¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ ­¥«ì§ï ®¦¨¤ âì, çâ® â ª®¥ á®áâ®ï­¨¥ ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¬ ªá¨¬ «ì­® ¤®¯ãá⨬®¬ã ᦠâ¨î ᨣ­ « . ’ ª ­ ¯à¨¬¥à, ã «®à¥­æ¥¢ ¨¬¯ã«ìá ¨­â¥­á¨¢­®áâì ¨§«ã祭¨ï ¢ 業âॠúᯥªâà®­ û I (s; 0) = j j
¯à¨ ¬ «ëå ¬¥­ìè¥, 祬 ã ¨á室­®£® ᨣ­ « (á¬.ªà¨¢ãî 2 ­ à¨á.5.9¡ ).
’ ª ï ¦¥ ⥭¤¥­æ¨ï ­ ¡«î¤ ¥âáï ¨ ã £ ãáᮢ ¨¬¯ã«ìá . ˆ§ ¢ëà ¦¥­¨ï
(5.18) á«¥¤ã¥â, çâ® ¯à¨ ¬ «ëå ¢¥«¨ç¨­ min ? =2: Ž¤­ ª® íâ¨
à á宦¤¥­¨ï, ®¡ãá«®¢«¥­­ë¥ â®­ª¨¬¨ ¤¥â «ï¬¨ ¢à¥¬¥­­®© áâàãªâãàë
®£¨¡ î饩 ¨á室­®£® ¨¬¯ã«ìá , å à ªâ¥à­ë ⮫쪮 ¤«ï ⮩ ®¡« á⨠¨§¬¥­¥­¨ï ¯ à ¬¥â஢ ¨áá«¥¤ã¥¬ëå ¬®¤¥«¥©, ¢ ª®â®à®© ­ «¨ç¨¥ ç¨à¯ ­¥
¯à¨¢®¤¨â ª à ¤¨ª «ì­ë¬, ª ç¥á⢥­­ë¬ ¨§¬¥­¥­¨ï¬ ¢ ä®à¬¥ ᨣ­ « .
“¢¥«¨ç¥­¨¥ ᪮à®á⨠ç¨à¯ ¤® ¢¥«¨ç¨­ë jj = 1 ¨ ¡®«¥¥ ᤥ« ¥â íä䥪âë ä §®¢®© ¬®¤ã«ï樨 «¥£ª® ­ ¡«î¤ ¥¬ë¬¨, â ª ª ª ­ áâ ¤¨¨ ᦠâ¨ï ¤«¨â¥«ì­®áâì ¨¬¯ã«ìá , ᮮ⢥âá⢥­­® ¨ ¥£® ¯¨ª®¢ ï ¬®é­®áâì,
¬®£ãâ ¨§¬¥­ïâìáï ¢ ¢¥áì¬ è¨à®ª¨å ¯à¥¤¥« å. à¨ í⮬ úᯥªâà®­û
¡ã¤¥â ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨ ¢®á¯à®¨§¢®¤¨âì ¨¬¯ã«ìá ¢ á®áâ®ï­¨¨ ᢮¥£® ­ ¨¡®«ì襣® ᦠâ¨ï. ’ ª ï § ¢¨á¨¬®áâì ¤«ï ¬®¤¥«¨ «®à¥­æ¥¢ ¨¬¯ã«ìá çñ⪮ ¯à®á«¥¦¨¢ ¥âáï ­ à¨á.5.9¡. “ £ ãáᮢ ¨¬¯ã«ìá §­ 祭¨¥ ¯ à ¬¥âà min â ª¦¥ áâ६¨âáï ª s ¯à¨ ! ?1:
‚ ª ç¥á⢥ ®ç¥¢¨¤­®£® á«¥¤áâ¢¨ï ¨§ (5.23) á«¥¤ã¥â ®â¬¥â¨âì â®â ä ªâ,
çâ® ¢ ¯à¥¤¥«¥ ¡®«ìè¨å ᪮à®á⥩ ç¨à¯ ¨­â¥­á¨¢­®áâì úᯥªâà®­ û ¡ã¤¥â ¢®§à áâ âì ¯à®¯®à樮­ «ì­® ¢¥«¨ç¨­¥ jj; ¯à¥¤¥«ì­ ï ¤«¨â¥«ì­®áâì ¡ã¤¥â, ᮮ⢥âá⢥­­®, 㬥­ìè âìáï ¢ ⮩ ¦¥ ¯à®¯®à樨, ­¥§ 2
176
¢¨á¨¬® ®â ä®à¬ë ®£¨¡ î饩. Š®íää¨æ¨¥­â ¯à®¯®à樮­ «ì­®á⨠¯®«­®áâìî ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ᯥªâà «ì­®{¢à¥¬¥­­ë¬¨ å à ªâ¥à¨á⨪ ¬¨ ¨á室­®£® ᨣ­ « . ’ ª ­ ¯à¨¬¥à, ¯à¨ = p?1 ­ ç «ì­ ï ¤«¨â¥«ì­®áâì £ ãáᮢ ¨¬¯ã«ìá ¡®«ìè¥ ¬¨­¨¬ «ì­®©
¢ 2 à §. â® ¦¥ ®â­®è¥­¨¥ ¤«ï «®pp
७楢 ¨¬¯ã«ìá à ¢­® 4 2 ? 1= ln 2 3:7: Žâ­®è¥­¨¥ ¯¨ª®¢®© ¬®é­®á⨠úᯥªâà®­ û ª ¯¨ª®¢®© ¬®é­®áâ¨
¨á室­®£® ᨣ­ « ¯à¨ ⮬ ¦¥
p
§­ 祭¨¨ á®áâ ¢«ï¥â ¢¥«¨ç¨­ã 2 ¤«ï £ ãáᮢ ¨¬¯ã«ìá ¨ ¤«ï «®à¥­æ¥¢ .
®«¥¥ íä䥪⨢­®¥ ᦠ⨥ ¨¬¯ã«ìá «®à¥­æ¥¢®© ä®à¬ë ®¡ãá«®¢«¥­®
âà ­áä®à¬ 樥© ä㭪樮­ «ì­®£® ¢¨¤ ®£¨¡ î饩 ®â ¬¥¤«¥­­® ¬¥­ïî饩áï á⥯¥­­®© § ¢¨á¨¬®á⨠¨á室­®£® ᨣ­ « ª ¡ëáâ஠ᯠ¤ î饩
íªá¯®­¥­æ¨ «ì­®© § ¢¨á¨¬®á⨠úᯥªâà®­ û. ‘¯¥æ¨ «ì­ë¬ ¢ë¡®à®¬ ä㭪樨 f (0; t) ¬®¦­® ¤®¡¨âìáï ¨ §­ ç¨â¥«ì­® ¡®«¥¥ ¢ë᮪¨å ª®íää¨æ¨¥­â®¢ ᦠâ¨ï, 祬 ¢ à áᬮâ७­ëå ¢ëè¥ ¯à¨¬¥à å. ¥§ã«ìâ ⮬ í⮣®
áâ ­¥â ¥éñ ¡®«ì襥 ®¡®áâ७¨¥ ᨭ£ã«ïà­®á⨠¢ ®ªà¥áâ­®á⨠â®çª¨ s
¯® áà ¢­¥­¨î á ⥬, çâ® ¯®ª § ­® ­ à¨á.5.10. ¥£¨áâà æ¨ï úᯥªâà®­ û ¢ â ª®© á¨âã 樨 ¬®¦¥â ®ª § âìáï â¥å­¨ç¥áª¨ âà㤭® ®áãé¥á⢨¬®©
§ ¤ 祩. „ ¦¥ ¤«ï «®à¥­æ¥¢ ¨¬¯ã«ìá ¢á¥ ­ ¨¡®«¥¥ áãé¥á⢥­­ë¥ ¨§¬¥­¥­¨ï ä®à¬ë ®£¨¡ î饩 ¯à®¨á室ïâ ¢ ç१¢ëç ©­® ¬ «®© ®ªà¥áâ­®áâ¨
â®çª¨ s; ¢¨§ã «¨§ æ¨ï ᨭ£ã«ïà­®á⨠á।á⢠¬¨ ¯ ª¥â ª®¬¯ìîâ¥à­®© «£¥¡àë Maple V ¯à¨¢®¤¨â ª ­¥¦¥« ⥫ì­ë¬ íä䥪⠬ úá१ ­­ëå
¢¥àåã襪û.
3
2.5 Ι(µ,τ)
Ι(µ,τ)
2
2
1.5
1
1
0.5
0
−1.5
−1
−0.5
0
τ
0.5
1
1.5
0
0.2
0.4µ
0
1 −1.5 −1
0.8
−0.5
0.6
0
τ
0.5
1
1.5
0
0.2
µ 0.4
0.6
¡
¨á.5.10. ”®à¬¨à®¢ ­¨¥ úᯥªâà®­ û. Ž£¨¡ îé ï ¨¬¯ã«ìá «®à¥­æ¥¢®© ä®à¬ë ¯à¨
®âà¨æ ⥫쭮© ᪮à®á⨠ç¨à¯ : ) = ?3=4; ¡ ) = ?1:
…éñ ®¤­¨¬ १ã«ìâ ⮬, ­¥¯®á।á⢥­­® ¢ë⥪ î騬 ¨§ (5.23), ï¥âáï â®, çâ® úᯥªâà®­û ¢á¥£¤ ᨬ¬¥âà¨ç¥­ ®â­®á¨â¥«ì­® ᢮¥£® 業âà ­¥§ ¢¨á¨¬® ®â ⮣®, ª ª®© ¢¨¤ ¨¬¥« ®£¨¡ îé ï f (0; t): ’¥¬ á ¬ë¬, áã177
é¥á⢥­­® ã¯à®é ¥âáï ¨áá«¥¤®¢ ­¨¥ ¤ «ì­¥© ᨬ¯â®â¨ª¨ ®£¨¡ î饩
f (; ); â ª ª ª ¯®á«¥ ¯à®å®¦¤¥­¨ï ᨭ£ã«ïà­®© â®çª¨ s ¬ë ¨¬¥¥¬ ¤¥«®
á ãè¨à¥­¨¥¬ ᨬ¬¥âà¨ç­®£® ¨¬¯ã«ìá , ¯®¤à®¡­® à áᬮâ७­ë¬ ¢ ¯à¥¤ë¤ã饬 à §¤¥«¥.
5.4
ˆ¬¯ã«ìá ¯à®¨§¢®«ì­®© ä®à¬ë ¢ á।¥ á ¤¨á¯¥àᨥ©
‡ ¬¥­ ॠ«ì­®© ¤¨á¯¥àᨮ­­®© ªà¨¢®© k(!) ¯ à ¡®«®© ­ ®á­®¢¥ à §«®¦¥­¨ï (5.2) ¯à¨¢®¤¨â ª áãé¥á⢮¢ ­¨î ã­¨ª «ì­®©, ¢ ᢮¥¬ த¥, ¬®¤¥«¨ £ ãáᮢ ¨¬¯ã«ìá . ˆ¬¯ã«ìá á â ª®© ®£¨¡ î饩 à á¯à®áâà ­ï¥âáï
¢ ¤¨á¯¥àᨮ­­®© á।¥, á®åà ­ïï ᢮î ä㭪樮­ «ì­ãî ä®à¬ã, â® ¥áâì
¯à®¤®«¦ ï ®áâ ¢ âìáï £ ãáᮢë¬. ‚ ᮮ⢥âá⢨¨ á (5.5), ®¯¨á ­¨¥ ¤¨­ ¬¨ª¨ ãè¨à¥­¨ï í⮣® ᨣ­ « ¯à®á⮠᢮¤¨âáï ª ¤®¡ ¢«¥­¨î ®¤¨­ ª®¢®©,
ç¨áâ® ¬­¨¬®© ¯®¯à ¢ª¨ ª ª ¢ ­®à¬¨à®¢®ç­ë© ¬¯«¨âã¤­ë© ¬­®¦¨â¥«ì,
â ª ¨ ¢ ¯®ª § ⥫ì íªá¯®­¥­âë.  ­¥¥ 㦥 ®â¬¥ç «®áì, çâ® ­ «¨ç¨¥ á⮫ì
¯à®á⮣® ¯¥à¥å®¤ ®â ¨á室­®© ®£¨¡ î饩 f (0; t) ª १ã«ìâ¨àãî饩 {
f (L; ) ®¡ãá«®¢«¥­® ¨­¢ ਠ­â­®áâìî £ ãáᮢ®© ªà¨¢®© ®â­®á¨â¥«ì­® ¢ë¯®«­¥­¨ï ®¯¥à 樨 ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï ”ãàì¥.
Ž¯¨à ïáì ­ ¯à¨­æ¨¯ á㯥௮§¨æ¨¨, á¯à ¢¥¤«¨¢ë© ¤«ï ¢á¥å «¨­¥©­ëå á¨á⥬, â ª¦¥ ¯à¨­¨¬ ï ¢® ¢­¨¬ ­¨¥ ã­¨ª «ì­ãî ®á®¡¥­­®áâì
¤¨­ ¬¨ª¨ £ ãáᮢ®£® ¨¬¯ã«ìá ¢® ¢â®à®¬ ¯à¨¡«¨¦¥­¨¨, ¬®¦­® ¯à¥¤«®¦¨âì ¤®áâ â®ç­® ¯à®á⮩ «£®à¨â¬ à áçñâ âà ­áä®à¬ 樨 ®£¨¡ î饩
«î¡®£® ª¢ §¨¬®­®å஬ â¨ç¥áª®£® ᨣ­ « [9]. Š«î祢 ï ¨¤¥ï ¤ ­­®£®
«£®à¨â¬ á®á⮨⠢ ⮬, çâ® ¤«ï ¨á室­ëå ᨣ­ «®¢ ¯à ªâ¨ç¥áª¨ ¯à®¨§¢®«ì­®© ä®à¬ë 㤠ñâáï ¯®áâநâì à §«®¦¥­¨¥ ®£¨¡ î饩 f (0; t) ¢ ­ ¡®à £ ãáᮢëå ¨¬¯ã«ìᮢ. ‡ ⥬ ãè¨à¥­¨¥ ª ¦¤®£®, ®â¤¥«ì­® ¢§ï⮣®,
£ ãáᮢ ¨¬¯ã«ìá ¬®¦­® â®ç­® à ááç¨â âì ¯® ¯à¨¢¥¤¥­­ë¬ ¢ à §¤¥«¥
5.2 ä®à¬ã« ¬.  § ª«îç¨â¥«ì­®¬ íâ ¯¥ ¢á¥ í⨠ãè¨à¥­­ë¥ ¨¬¯ã«ìáë
¢­®¢ì ᪫ ¤ë¢ îâáï ¢¬¥áâ¥, ¨ ¢ १ã«ìâ ⥠¬ë ¯®«ãç ¥¬ ¢ëà ¦¥­¨¥ ¤«ï
®£¨¡ î饩 ᨣ­ « , ¯à®è¥¤è¥£® ¢ á«®¥ ¤¨á¯¥àᨮ­­®© á।ë à ááâ®ï­¨¥
L, ¯à¨ ¯à®¨§¢®«ì­®© ä®à¬¥ f (0; t).
‚®§¬®¦­®áâì ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨ï ®£¨¡ î饩 ¨á室­®£® ᨣ­ « f (0; t) ¢
¢¨¤¥ áã¬¬ë ¡¥áª®­¥ç­®£® ç¨á« ¡®«¥¥ ú¯à®áâëåû ª®¬¯®­¥­â { ú¬®¤û á«¥¤ã¥â ¨§ ⮣®, çâ® à áᬠâਢ ¥¬ë¥ ¢ ­ áâ®ï饩
£« ¢¥ ®¤¨­®ç­ë¥ ¨¬R1
¯ã«ìáë ®¡« ¤ îâ ª®­¥ç­®© í­¥à£¨¥© E = ?1 f (0; t)f (0; t)dt: €¬¯«¨â㤠ᨣ­ « , ïîé ïáï ­¥¯à¥à뢭®© ä㭪樥©, ¢áî¤ã ®£à ­¨ç¥­ ¨ ¡ëáâà® áâ६¨âáï ª ­ã«î ¯à¨ t ! 1: ®«¥¥ ⮣®, ®£¨¡ îé ï ॠ«ì­®
£¥­¥à¨à㥬ëå « §¥à ¬¨ ᨣ­ «®¢ ®ª §ë¢ ¥âáï ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®© äã­ª178
樥© ¯à¨ ¢á¥å §­ 祭¨ïå t, ¯à¨ç¥¬, í⠯ந§¢®¤­ ï â ª¦¥ ®£à ­¨ç¥­ .
‘ 楫ìî ¨§ã祭¨ï ᪮à®á⨠á室¨¬®á⨠«£®à¨â¬ á㬬¨à®¢ ­¨ï à冷¢ ¬ë á«¥£ª ®á« ¡¨¬ ¯à¥¤ë¤ã饥 ãá«®¢¨¥ ¨ ¡ã¤¥¬ ¤®¯ã᪠âì ­ «¨ç¨¥
­ ®£¨¡ î饩 f (0; t) ú¨§«®¬®¢û ¢ ª®­¥ç­®¬ ç¨á«¥ â®ç¥ª, â® ¥áâì â ª¨å â®ç¥ª, ¢ ª®â®àëå á ¬ äã­ªæ¨ï f (0; t) å®âì ¨ ­¥ ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬 , ®¤­ ª®
¯à¨ í⮬ áãé¥áâ¢ãîâ ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ®¤­®áâ®à®­­¨¥ ¯à®¨§¢®¤­ë¥. ˆáá«¥¤®¢ ­¨¥ â®ç­®á⨠¯à¥¤áâ ¢«¥­¨ï ä㭪樨 f (0; t) ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠ïમ
¢ëà ¦¥­­ëå ९¥à­ëå â®ç¥ª { ú¨§«®¬®¢û ¯®§¢®«¨â ®æ¥­¨âì ª ç¥á⢮ «£®à¨â¬ ¢ åã¤è¥¬ á«ãç ¥, ¯®áª®«ìªã ®á« ¡«¥­¨¥ ãá«®¢¨© £« ¤ª®á⨠á
­¥¨§¡¥¦­®áâìî § ¬¥¤«ï¥â ᪮à®áâì á室¨¬®á⨠à冷¢. Žâ¬¥â¨¬ â ª¦¥,
çâ® á ¬® ¯® ᥡ¥ ­ «¨ç¨¥ ú¨§«®¬®¢û ­¥ ãáâà ­ï¥â ¢®§¬®¦­®á⨠¯à¥¤áâ ¢«¥­¨ï ä㭪樨 f (0; t) ¢ ¢¨¤¥ àï¤ , ¢á¥£® «¨èì ¨§¬¥­ï¥â ᪮à®áâì ¥£®
á室¨¬®áâ¨.
‘®¢®ªã¯­®á⨠áä®à¬ã«¨à®¢ ­­ëå ¢ëè¥ âॡ®¢ ­¨©, ª®â®àë¬ ã¤®¢«¥â¢®àï¥â ®£¨¡ îé ï f (0; t), ¢¯®«­¥ ¤®áâ â®ç­®, ç⮡ë à §«®¦¨âì ¥ñ ¢ àï¤
¯® á¨á⥬¥ ®à⮣®­ «ì­ëå ä㭪権, á室ï騩áï ¯à¨ ¢á¥å ª®­¥ç­ëå §­ 祭¨ïå t. ‘ ãçñ⮬ ®â¬¥ç ¢è¨åáï à ­¥¥ ®á®¡¥­­®á⥩ ¤¨­ ¬¨ª¨ £ ãáᮢ ¨¬¯ã«ìá , ¢ ª ç¥á⢥ â ª®© á¨á⥬ë ä㭪権 楫¥á®®¡à §­® ¢ë¡à âì ®¤­®£® ¨§ å®à®è® ¨§ã祭­ëå ¯à¥¤áâ ¢¨â¥«¥© ᥬ¥©á⢠ª« áá¨ç¥áª¨å ®à⮣®­ «ì­ëå ¯®«¨­®¬®¢ { ­ ¡®à ¯®«¨­®¬®¢ à¬¨â Hn(x) á ᮮ⢥âáâ¢ãî騬 íªá¯®­¥­æ¨ «ì­ë¬ ¬­®¦¨â¥«¥¬. “á«®¢¨ï ®à⮣®­ «ì­®á⨠¤«ï
í⮣® á«ãç ï ¯à¨­¨¬ îâ ¢¨¤
Z1
Z1
?1
Hm(x)Hn(x)e?x dx = 0; ¥á«¨ m 6= n;
2
2
2
?1
p
Hn(x)e?x dx = dn = 2nn!; n = 0; 1; :::;
2
¤«ï «î¡ëå 楫ëå ­¥®âà¨æ ⥫ì­ëå §­ 祭¨© m ¨ n.
®¤¡¨à ï ¢à¥¬¥­­®© ¬ áèâ ¡ t á å à ªâ¥à­®© ¢¥«¨ç¨­®© ¯®à浪 ¤«¨â¥«ì­®á⨠¨¬¯ã«ìá , ¯®«ãç ¥¬ âॡ㥬®¥ à §«®¦¥­¨¥
1
t ?1( t )
X
f (0; t) = ak Hk t e 2 t :
(5.25)
k
Š®íää¨æ¨¥­âë ak ­ 室ïâáï á ¯®¬®éìî ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨ï
0
2
0
0
=0
ak = d1
k
2
Z1
f (0; t x)Hk (x)e? x dx:
0
?1
179
1
2
2
(5.26)
—१¢ëç ©­® ¢ ¦­ë¬ ¤«ï ¯à ªâ¨ª¨ ᢮©á⢮¬ à §«®¦¥­¨© ¢¨¤ (5.25)
ï¥âáï ¨å ¡ëáâà ï á室¨¬®áâì ¢ á।­¥¬. ‚ëç¨á«¥­¨¥ ª®íää¨æ¨¥­â®¢
ak ­ ®á­®¢¥ ᮮ⭮襭¨© (5.26) ®¡¥á¯¥ç¨¢ ¥â ­ ¨«ãçèãî ¯¯à®ªá¨¬ æ¨î ®£¨¡ î饩 f (0; t) ãá¥ç¥­­ë¬ ¯®á«¥ N ?£® ç«¥­ ®â१ª®¬ àï¤ (5.25)
¢ ¢ë¡à ­­®¬ ­ ¬¨ ¡ §¨á¥, â® ¥áâì ¬¨­¨¬¨§¨àã¥âáï ¢ëà ¦¥­¨¥
Z1 N
t ?1( t ) X
f (0; t) ? ak H t e 2 t
dt:
(5.27)
k
2 2
0
?1
0
=0
“ª § ­­®¥ ᢮©á⢮ ¯®§¢®«ï¥â ¡¥§ §­ ç¨â¥«ì­ëå ¢ëç¨á«¨â¥«ì­ëå § âà â
¯®«ãç¨âì ¯à¨¡«¨¦ñ­­®¥ ¢ëà ¦¥­¨¥ ¤«ï ®£¨¡ î饩 f (0; t), ¯à¨ç¥¬ ¯à ªâ¨ç¥áª¨ á ⮩ ¦¥ á ¬®© í­¥à£¨¥©, çâ® ¨ ã ¨¬¯ã«ìá {®à¨£¨­ « . „ ­­ë©
ᯥªâ ¨áá«¥¤ã¥¬®© ¯à®¡«¥¬ë áãé¥á⢥­­® ¢ ¦­¥¥, 祬 ­¥ ᫨誮¬ ¢ë᮪ ï ᪮à®áâì ¯®â®ç¥ç­®© á室¨¬®á⨠àï¤ (5.25) ¢ 㤠«¥­­ëå ®â 業âà ç áâïå ¨¬¯ã«ìá , ®¡ãá«®¢«¥­­ ï à §«¨ç¨ï¬¨ ¢ ᨬ¯â®â¨ç¥áª®¬ ¯®¢¥¤¥­¨¨ ¨á室­®© ®£¨¡ î饩 f (0; t) ¨ ¢å®¤ï騬¨ ¢ ¡ §¨á äã­ªæ¨ï¬¨ à¬¨â .
‚ ⨯¨ç­®© á¨âã 樨 à®á⠮⭮á¨â¥«ì­®© ¯®£à¥è­®á⨠¯¯à®ªá¨¬ 樨
­ ¡«î¤ ¥âáï ­ â ª¨å ¤ «ñª¨å ú墮áâ åû ¨¬¯ã«ìá , ª®â®àë¥ ­ 室ïâáï
­ £à ­¨ ¨«¨ ¤ ¦¥ § ¯à¥¤¥« ¬¨ çã¢á⢨⥫쭮á⨠ॣ¨áâà¨àãî饩 ¯¯ à âãàë. ¥à¥­®á¨¬ ï í⨬¨ ú墮áâ ¬¨û í­¥à£¨ï â ª¦¥ ®ª §ë¢ ¥âáï
¯à¥­¥¡à¥¦¨¬® ¬ « ¯® áà ¢­¥­¨î á ¯®«­®© í­¥à£¨¥© ᨣ­ « E .
®«­®â ¡ §¨á , ¯®áâ஥­­®£® ­ ®á­®¢¥ ä㭪権 à¬¨â , ¯®§¢®«ï¥â
«¥£ª® ­ 室¨âì á।­¥ª¢ ¤à â¨ç­ãî ¯®£à¥è­®áâì ¯¯à®ªá¨¬ 樨, ®¡ãá«®¢«¥­­ãî ãá¥ç¥­¨¥¬ àï¤ (5.25). ®áª®«ìªã ¨§¬¥à¥­¨¥ í­¥à£¨¨ ¨á室­®£® ᨣ­ « E ­¥ ¢ë§ë¢ ¥â ¯à¨­æ¨¯¨ «ì­ëå § âà㤭¥­¨©, â® ¨§ à ¢¥­á⢠ àᥢ «ï á«¥¤ã¥â
E=
Z1
jf (0; t)j dt =
2
?1
1
X
k=0
jak j dk :
2
2
(5.28)
Žà⮣®­ «ì­®áâì ¨á¯®«ì§ã¥¬®© ¢ (5.25) á¨á⥬ë ä㭪権 ¤ ñâ ¢®§¬®¦­®áâì à ááç¨â âì, 䨣ãà¨àãîéãî ¢ (5.27), ¯®£à¥è­®áâì, ª®â®à ï ®ª §ë¢ ¥âáï à ¢­®©
N
X
E ? jak j dk :
(5.29)
2
k=0
2
„«ï ­ 宦¤¥­¨ï f (L; ) ¢ëç¨á«¨¬ ”ãàì¥{®¡à § ®£¨¡ î饩, ¯à¥¤áâ ¢«¥­­®© à §«®¦¥­¨¥¬ (5.25). ‚믮«­ïï ¯®ç«¥­­®¥ ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨¥, ¯®«ãç ¥¬
180
(!) =
=t
1
X
0
k=0
Z1
?1
ak
f (0; t)e?i!tdt =
Z1
?1
1
X
k=0
ak
Z1
t ? 1 ? t 2
Hk t e 2 t e?i!tdt =
0
?1
0
p
Hk (x)e? x e?i!t xdx = 2 t
1
2
2
0
1
X
0
k=0
? !2t
k
ak (?i) Hk (!t )e
:
2 2
0
0
’®£¤ ª®¬¯«¥ªá­ ï ®£¨¡ îé ï ᨣ­ « ­ à ááâ®ï­¨¨ L ¬®¦¥â ¡ëâì ¢ëç¨á«¥­ ¯® ä®à¬ã«¥ (5.3). ®¤áâ ¢«ïï ¨â®£®¢®¥ ¢ëà ¦¥­¨¥ ¤«ï (!) ¢
(5.3), ­ 室¨¬
p
1
f (L; ) = 2 2 t
1
X
0
k=0
ak (?i)k
Z1
Hk (!t )e? ! t ei(! ? k L! )d!:
0
?1
1
2
1
2
2 2
0
00
0
2
¥à¥å®¤ï ª ¢¢¥¤ñ­­ë¬ à ­¥¥ ¡¥§à §¬¥à­ë¬ ¯ à ¬¥âà ¬ ¨ , ¯à¥¤áâ ¢¨¬ ®£¨¡ îéãî ¨¬¯ã«ìá ¢ ¢¨¤¥
1
Z
1
X
1
k
f (; ) = p
ak (?i) e? (1 + i)x Hk (x)eixdx:
2 k
?1
1
2
2
=0
„«ï ¯®«ã祭¨ï ®ª®­ç ⥫쭮£® १ã«ìâ â ­ ¬ ­¥®¡å®¤¨¬® ¢ëç¨á«¨âì
á«¥¤ãî騩 ¨­â¥£à «:
Z1
hk = e?px Hk (x)eixdx
2
?1
¯à¨ ãá«®¢¨¨ Re(p) > 0. ‚®á¯®«ì§ã¥¬áï ¨§¢¥áâ­ë¬ ४ãà७â­ë¬ ᮮ⭮襭¨¥¬ ¤«ï ¯®«¨­®¬®¢ à¬¨â Hk (x) = 2xHk (x) ? 2kHk? (x)
¨ ¯®¤áâ ¢¨¬ ¥£® ¢ hk . ®á«¥ ®¤­®ªà â­®£® ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨ï ¯® ç áâï¬
­ 室¨¬ «¨­¥©­®¥ ४ãà७⭮¥ ᮮ⭮襭¨¥ ¤«ï hk
hk = ip hk ? 2k(1 ? 1p )hk? ;
(5.30)
ª®â®à®¥ ®ç¥­ì ¯®å®¦¥ ­ ­ «®£¨ç­®¥ ᮮ⭮襭¨¥ ¤«ï ¯®«¨­®¬®¢ à¬¨â . ˆ§ ®¤­®à®¤­®á⨠(5.30) á«¥¤ã¥â, çâ® ¥£® à¥è¥­¨¥ ¬®¦¥â ¡ëâì
¯à¥¤áâ ¢«¥­® ¢ ¢¨¤¥ hk = h Ak k . ‚믮«­ïï 㪠§ ­­ãî ¯®¤áâ ­®¢ªã,
¯®«ãç ¥¬ ¯®á«¥ ¤¥«¥­¨ï ®¡¥¨å ç á⥩ (5.30) ­ Ak?
2k(1 ? p1 )
i
k =
k? :
Ap k ? A
+1
1
+1
1
0
1
+1
2
181
1
p
…᫨ ⥯¥àì ¯®«®¦¨âì A à ¢­ë¬ 1 ? 1=p, â® ¤ ­­®¥ ᮮ⭮襭¨¥ 㦥
¢ â®ç­®á⨠ᮢ¯ ¤ñâ á ४ãà७â­ë¬qᮮ⭮襭¨¥¬ ¤«ï ¯®«¨­®¬®¢ à¬¨â . “ç¨âë¢ ï, çâ® = 1; h = p exp(? 4p ), ¢ १ã«ìâ ⥠¨¬¥¥¬
r
? ? k2 i hk = p e 4p 1 ? p
Hk p
:
2p 1 ? p?
‚®§¢à é ïáì ª ®£¨¡ î饩 ¨¬¯ã«ìá , ¬ë ¯à¨å®¤¨¬ ª ¢ëà ¦¥­¨î
r
1
?
k
X
1
2
2
k
f (; ) = p
ak (?i) 1 + i exp 2(1 + i) 1 ? 1 + i 2 2 k
i
q
Hk
;
2
(1 + i) 1 ? 1 + i
ª®â®à®¥ ¯®á«¥ á¥à¨¨ ®ç¥¢¨¤­ëå ¯à¥®¡à §®¢ ­¨© ã¯à®é ¥âáï ¤®
1 k
?
X
1
?
i
1
2
exp 2(1 + i) :
f (; ) = p1 + i ak 1 + i Hk p
1
+
k
®«ã祭­®¥ ¢ëà ¦¥­¨¥ 㤮¡­® ¯à¨¢¥á⨠ª íªá¯®­¥­æ¨ «ì­®¬ã ¢¨¤ã, ®
¢ë¤¥«¨¢ ¢á¥ ä §®¢ë¥ ¬­®¦¨â¥«¨
1
? X
1
i'
(
;
)
?
i
(
)
k
f (; )= p
e
ak e
Hk p
exp
;
2(1+
)
1+
1+
k
2
0
0
2
1
1
2
=0
2
2
=0
2
4
2
2
=0
2
(5.31)
£¤¥ '(; ) = 12 1 + ? arctg ; k () = k arctg .
® ä®à¬ã«¥ (5.31) ¬®¦¥â ¡ëâì à ááç¨â ­ ¯à®ä¨«ì ®£¨¡ î饩 «î¡®£®
¨¬¯ã«ìá , à á¯à®áâà ­ïî饣®áï ¢ á।¥ á ¤¨á¯¥àᨥ©. ”®à¬ § ¯¨á¨ ª®­¥ç­®£® १ã«ìâ â ¯à ªâ¨ç¥áª¨ ᮢ¯ ¤ ¥â á ¨á室­®©, ®â«¨ç ïáì ⮫쪮
¯¥à¥­®à¬¨à®¢ª®© ¢à¥¬¥­¨ ¨ ä §®¢ë¬ ᤢ¨£®¬ ᮮ⢥âáâ¢ãî饣® ª®íää¨æ¨¥­â à §«®¦¥­¨ï. ®áª®«ìªã ¢à¥¬¥­­®© ¬ áèâ ¡­ë© ¬­®¦¨â¥«ì
­¥ § ¢¨á¨â ®â ¨­¤¥ªá k, â® âà ­áä®à¬ æ¨î ®£¨¡ î饩 f (; ) ¬®¦­®
âà ªâ®¢ âì ª ª १ã«ìâ â ¨­â¥àä¥à¥­æ¨¨ £ ãáᮢëå ú¬®¤û à §«¨ç­ëå
¯®à浪®¢ ¢ úà áâï­ã⮬û ¢à¥¬¥­¨. ‚«¨ï­¨¥ ¤¨á¯¥àᨨ ᢮¤¨âáï ¯à¨
â ª®© âà ªâ®¢ª¥ ª ¤®¡ ¢«¥­¨î 䨪á¨à®¢ ­­®£® ä §®¢®£® ᤢ¨£ ¬¥¦¤ã
«î¡ë¬¨ ᬥ¦­ë¬¨ ª®¬¯®­¥­â ¬¨ à §«®¦¥­¨ï (5.31).  àã襭¨¥ ¦¥ ä §®¢ëå ãá«®¢¨© ¨­â¥àä¥à¥­æ¨¨ ¢­¥è­¥ ª ª à § ¨ ¤®«¦­® ¯à®ï¢«ïâìáï ª ª
2
2
182
¯à®æ¥áá ãè¨à¥­¨ï ¨¬¯ã«ìá . ®¤®¡­®£® த à£ã¬¥­âë ¤®¢®«ì­® ç áâ®
¯à¨¢®¤ïâáï ¢ «¨â¥à âãॠ¯® ®¯â¨ª¥ ¨ ¯®á«ã¦¨«¨ ¤«ï àï¤ ¢â®à®¢ ¯®¢®¤®¬ ¤«ï ã⢥ত¥­¨ï, çâ® ¯à®å®¦¤¥­¨¥ ¨¬¯ã«ìá ç¥à¥§ ¤¨á¯¥àᨮ­­ãî
á।ã á ­¥¨§¡¥¦­®áâìî ᮯ஢®¦¤ ¥âáï ¥£® ãè¨à¥­¨¥¬.
„¥©á⢨⥫쭮, ¥á«¨ äã­ªæ¨ï f (0; t) ¯à¨­¨¬ ¥â ⮫쪮 ¢¥é¥á⢥­­ë¥
§­ 祭¨ï, â® ª®íää¨æ¨¥­âë ak â ª¦¥ ¡ã¤ãâ ¢¥é¥á⢥­­ë¬¨ ¨ ä §®¢ë©
ᤢ¨£ ¬¥¦¤ã £ ãáᮢ묨 ú¬®¤ ¬¨û á à §«¨ç­ë¬¨ ¨­¤¥ªá ¬¨ ¡ã¤¥â ®âáãâá⢮¢ âì. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ª § «®áì ¡ë ¯à¨ ®âáãâá⢨¨ ç¨à¯ ¨¤¥ «ì­®© ä §¨à®¢ª¥ ª®¬¯®­¥­â ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¨¬¥­­® ¨á室­ë© ¨¬¯ã«ìá
¨ ®¡®áâ७¨¥ áâàãªâãàë ¯®«ï, ¯à®ï¢«ïî饥áï ¢ ᦠ⨨ ¥£® ®£¨¡ î饩
¯® áà ¢­¥­¨î á ¨á室­ë¬ ¨¬¯ã«ìᮬ, ¢ à ¬ª å à áᬠâਢ ¥¬®© ¬®¤¥«¨
¯à¨­æ¨¯¨ «ì­® ­¥¢®§¬®¦­®. Ž¤­ ª® ­¥á®áâ®ï⥫쭮áâì ¯®¤®¡­®© à£ã¬¥­â 樨 áâ ­®¢¨âáï ®ç¥¢¨¤­®© ¥á«¨ § ¬¥â¨âì, çâ® ãá«®¢¨¥¬ úª®­áâàãªâ¨¢­®©û ¨­â¥àä¥à¥­æ¨¨ ï¥âáï âॡ®¢ ­¨¥ ­¥®âà¨æ ⥫쭮á⨠¬¯«¨â㤠ú¬®¤û, ¨¬¥­­® ®­® ¢ ¤ ­­®© 䨧¨ç¥áª®© ¬®¤¥«¨ ¨ ­¥ ¢ë¯®«­ï¥âáï.
ˆá室­ë© ¨¬¯ã«ìá ¬®¦¥â ¯à¥¤áâ ¢«ïâì ᮡ®© ªà ©­¨© á«ãç © ú¤¥áâàãªâ¨¢­®©û ¨­â¥àä¥à¥­æ¨¨, ª®£¤ ª ¦¤ ï ¯®á«¥¤ãîé ï ¬®¤ ¡®«¥¥ ¢ë᮪®£® ¯®à浪 áâ६¨âáï ¢ ¬ ªá¨¬ «ì­®© á⥯¥­¨ ­­¨£¨«¨à®¢ âì á㬬 à­ë© íä䥪⠢á¥å ¯à¥¤ë¤ãé¨å ú¬®¤û ­¨§ª®£® ¯®à浪 . ‚ १ã«ìâ â¥,
«î¡ ï à áä §¨à®¢ª ¬®¦¥â ⮫쪮 ã«ãçè¨âì ãá«®¢¨ï ¨­â¥àä¥à¥­æ¨¨ ­ ­ ç «ì­®© áâ ¤¨¨.
‚ ª ç¥á⢥ ⨯¨ç­®£® ¯à¨¬¥à , 㤮¢«¥â¢®àïî饣® áä®à¬ã«¨à®¢ ­­ë¬ ¢ëè¥ âॡ®¢ ­¨ï¬, ¬®¦­® ¯à¨¢¥á⨠ᥬ¥©á⢮ ¨¬¯ã«ìᮢ á ᨬ¬¥âà¨ç­®© ®£¨¡ î饩, ã ª®â®àëå ®â«¨ç­ë ®â ­ã«ï ⮫쪮 ¤¢ ¯¥à¢ëå
ª®íää¨æ¨¥­â à §«®¦¥­¨ï (5.25), â® ¥áâì
1
? 2 tt
t
f (0; t) = a + a H ( t ) e
:
¥âà㤭® ã¡¥¤¨âìáï, çâ® ¯à¨ ¢ë¯®«­¥­¨¨ ãá«®¢¨ï a =a < 1=10 ¢ 業âॠí⮣® ¨¬¯ã«ìá ¡ã¤¥â ¬ ªá¨¬ã¬. Šà¨â¥à¨¥¬ ú¤¥áâàãªâ¨¢­®áâ¨û ¢
¤ ­­®¬ á«ãç ¥ ï¥âáï ᮢ¯ ¤¥­¨¥ §­ ª®¢ ã ª®íää¨æ¨¥­â®¢ a ¨ a . ’ ª®¥, ­ ¯¥à¢ë© ¢§£«ï¤, ­¥®¦¨¤ ­­®¥ âॡ®¢ ­¨¥ ï¥âáï á«¥¤á⢨¥¬ ç¥à¥¤®¢ ­¨ï §­ ª®¢ ¢ â®çª¥ t = 0 ã ¯®«¨­®¬®¢ à¬¨â çñâ­®£® ¯®à浪 .
®áª®«ìªã H k (0) = (?1)k (2k)!=k!, â® ¨§ ®âà¨æ ⥫쭮á⨠H (0) á«¥¤ã¥â,
çâ® ¢ 業âॠ¨¬¯ã«ìá ¯à®¨á室¨â ¢§ ¨¬­®¥ ú£ 襭¨¥ ¬®¤û ­ã«¥¢®£® ¨
¢â®à®£® ¯®à浪®¢, ¯à¨ç¥¬ ¬¯«¨â㤠¢â®à®© ú¬®¤ëû ª ª ¡ë 㤢 ¨¢ ¥âáï,
â ª ª ª H (0) = ?2: …᫨ ⥯¥àì ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï (5.31) ¨ à ááç¨â âì
¨­â¥­á¨¢­®áâì ¨§«ã祭¨ï ¢ 業âॠ¨¬¯ã«ìá ¯à¨ ­¥­ã«¥¢®¬ §­ 祭¨¨ ¯ à ¬¥âà , â® ãá«®¢¨¥ ᦠâ¨ï ä®à¬ã«¨àã¥âáï ª ª âॡ®¢ ­¨¥ ­ ®â­®á¨2
0
2
2
0
0
2
0
0
2
2
2
183
2
p
⥫ì­ãî ¢¥«¨ç¨­ã ¬¯«¨âã¤ë ¢â®à®© ú¬®¤ëû, â.¥. a =a > ? 6 0:05.
’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤«ï ᦠâ¨ï ¨¬¯ã«ìá ­ ­ ç «ì­®© áâ ¤¨¨ ¥£® í¢®«î樨
­ «¨ç¨¥ ç¨à¯ ¢®¢á¥ ­¥ ®¡ï§ ⥫쭮 ¨ ¢ á«¥¤ãî饩 £« ¢¥ ¡ã¤ã⠯ਢ¥¤¥­ë ¬­®£®ç¨á«¥­­ë¥ ¯à¨¬¥àë, ¤¥¬®­áâà¨àãî騥, çâ® ¯®¤®¡­ ï á¨âã æ¨ï ­¥ ï¥âáï ¢ çñ¬{«¨¡® ¨áª«îç¨â¥«ì­®©.
‚ á«¥¤ãî饬 à §¤¥«¥ ¬ë ¯®ª ¦¥¬, çâ® áâ ¤¨ï ¤¨á¯¥àᨮ­­®£® ãè¨à¥­¨ï ï¥âáï ¢á¥£® «¨èì ¤ «ñª®© ᨬ¯â®â¨ª®©, ¯à¨ç¥¬ ­¥ á ¬®© ¨­â¥à¥á­®© ª ª á ¯à ªâ¨ç¥áª®©, â ª ¨ á ⥮à¥â¨ç¥áª®© â®ç¥ª §à¥­¨ï. ‘®¢à¥¬¥­­ë¥ ¢ë᮪®áª®à®áâ­ë¥ ®¯â¨ç¥áª¨¥ «¨­¨¨ á¢ï§¨, ¯¥à¥¤ î騥 ¤ ­­ë¥
­ ç áâ®â å 1 10 ƒƒæ à ¡®â îâ ¢ ⮩ ®¡« á⨠¨§¬¥­¥­¨ï ¯ à ¬¥âà ,
ª®â®àë© á®®â¢¥âáâ¢ã¥â ­ ç «ì­®© áâ ¤¨¨, ¢ «ãç襬 á«ãç ¥ ¯à¨¡«¨¦ ïáì
ª ¯à®¬¥¦ãâ®ç­®© ®¡« áâ¨, çâ® ¨ ®¡êïá­ï¥â ®á®¡ãî ªâã «ì­®áâì ¬¥â®¤®¢ ¯à®£­®§¨à®¢ ­¨ï ¢®§¬®¦­ëå ¯ à ¬¥â஢ ᨣ­ « ¨¬¥­­® ¢ ¤ ­­®¬
¤¨ ¯ §®­¥.
„«ï ¬®¤¥«¨à®¢ ­¨ï ¤ «ì­¥© ᨬ¯â®â¨ª¨ ¢ « ¡®à â®à­ëå ãá«®¢¨ïå
­¥®¡å®¤¨¬® ­ «¨ç¨¥ £¥­¥à â®à ¯¨ª®á¥ªã­¤­ëå ¨¬¯ã«ìᮢ ¨ ªã᮪ ®¤­®¬®¤®¢®£® ¢®«®ª­ ¤«¨­®© ¢ ­¥áª®«ìª® á®â ¬¥â஢, ¯à¨ ãá«®¢¨¨, çâ®
p = 10? á:  í⮩ áâ ¤¨¨ í¢®«î樨 ᨣ­ « ­¨ª ª¨¥ áãé¥á⢥­­ë¥
¨§¬¥­¥­¨ï ä®à¬ë ®£¨¡ î饩, ®â«¨ç­ë¥ ®â ¨§¬¥­¥­¨ï ¬ áèâ ¡®¢ ¯® ª®®à¤¨­ â­ë¬ ®áï¬, 㦥 ­¥¢®§¬®¦­ë. Š ª á«¥¤á⢨¥, ®âáãâáâ¢ãîâ ¨ ¬¥å ­¨§¬ë ã¯à ¢«ï¥¬®£® ¢®§¤¥©áâ¢¨ï ­ ¯ à ¬¥âàë ¨¬¯ã«ìá , çâ® ¤¥« ¥â
¨§ã祭¨¥ ¤ ­­®© ᨬ¯â®â¨ª¨ ­¥ ᫨誮¬ ᮤ¥à¦ ⥫ì­ë¬. ˆ§¡ëâ®ç­®¥ ¢­¨¬ ­¨¥, 㤥«ï¥¬®¥ ¤ «ì­¥© ᨬ¯â®â¨ª¥ ¢ à ¡®â å à ­­¥£® ¯¥à¨®¤ , ᪮॥ á¢ï§ ­® á ¦¥« ­¨¥¬ ¢â®à®¢ ®£à ­¨ç¨âìáï í«¥¬¥­â à­ë¬ ­ «¨â¨ç¥áª¨¬ ¯¯ à ⮬, ­¥¦¥«¨ á ­ «¨ç¨¥¬ ª ª¨å{«¨¡® ­¥âਢ¨ «ì­ëå
®á®¡¥­­®á⥩ ¤¨­ ¬¨ª¨ à á¯à®áâà ­¥­¨ï ¨¬¯ã«ìᮢ ¢ ¤ «ì­¥© §®­¥.
‘«¥¤ã¥â ®â¬¥â¨âì, çâ® ¥á«¨ ®£¨¡ îé ï ¨¬¯ã«ìá ¢ ¨á室­®¬ á¥ç¥­¨¨
L = 0 ®ª §ë¢ ¥âáï çñâ­®© ä㭪樥© ¢à¥¬¥­¨, â® ¯à¨ à §«®¦¥­¨¨ ¥ñ ¢ àï¤
¯® ¯®«¨­®¬ ¬ à¬¨â , ¢á¥ ­¥çñâ­ë¥ ª®íää¨æ¨¥­âë ⮦¤¥á⢥­­® ®¡à é îâáï ¢ ­ã«ì. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¨ ¢ «î¡®¬ ¤à㣮¬ á¥ç¥­¨¨ ¤¨á¯¥àᨮ­­®©
áà¥¤ë ®£¨¡ îé ï f (; ) â ª¦¥ ¡ã¤¥â ®áâ ¢ âìáï çñâ­®© ä㭪樥© (úᨬ¬¥âà¨ç­®©û). €­ «®£¨ç­®¥ ã⢥ত¥­¨¥ ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ¨ ¤«ï ¨¬¯ã«ìá ,
ã ª®â®à®£® ¨á室­ ï ®£¨¡ îé ï ï¥âáï ­¥çñâ­®© ä㭪樥©, â® ¥áâì
f (0; ?t) = ?f (0; t). ‚ í⮬ á«ãç ¥ ­ã«¥¢ë¬¨ ®ª §ë¢ îâáï ¢á¥ çñâ­ë¥
ª®íää¨æ¨¥­âë à §«®¦¥­¨ï (5.25), çâ® ¨ ᢨ¤¥â¥«ìáâ¢ã¥â ® ­¥çñâ­®áâ¨
f (; ) ¯à¨ «î¡ëå §­ 祭¨ïå ¯ à ¬¥âà . „«ï ®¯à¥¤¥«¥­¨ï ¬£­®¢¥­­®©
¬®é­®á⨠¨§«ã祭¨ï ¬ë ¯®«ãç ¥¬ ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥ ¤¢ãå ­¥çñâ­ëå ä㭪権,
ª®â®à®¥, ®¯ïâì{â ª¨, ®ª §ë¢ ¥âáï çñâ­®© ä㭪樥©. „à㣨¬¨ á«®¢ ¬¨,
業âà ¨¬¯ã«ìá á ᨬ¬¥âà¨ç­®© ®£¨¡ î饩 ¨­â¥­á¨¢­®á⨠¢á¥£¤ ¤¢¨2
0
12
184
0
5
2
¦¥âáï ᮠ᪮à®áâìî vg .
à®¨««îáâà¨à㥬 ®á®¡¥­­®á⨠¯à¥¤«®¦¥­­®£® «£®à¨â¬ ­ ª®­ªà¥â­®¬ ¯à¨¬¥à¥, ¯à¨ç¥¬ áà §ã ¦¥ ¯¥à¥©¤¥¬ ª ®¡á㦤¥­¨î úåã¤è¥£®û á«ãç ï. ‚롥६ ¢ ª ç¥á⢥ ¨á室­®£® â ª®© ᨣ­ «, ã ª®â®à®£® ¬¯«¨â㤠®£¨¡ î饩 ¨¬¥¥â ¢¨¤ (èâà¨å®¢ ï «¨­¨ï ­ à¨á.5.11a)
(
t
t j)e? ( t0 ) ¯à¨ jtj < t ;
(1
?
j
t0
(5.32)
f (0; t) =
0
¯à¨ jtj > t :
ˆ§ çñâ­®á⨠ä㭪樨 f (0; t) á«¥¤ã¥â, çâ® ¢ à §«®¦¥­¨¨ (5.25) ¡ã¤ãâ
¯à¨áãâá⢮¢ âì ⮫쪮 á« £ ¥¬ë¥ ¯à®¯®à樮­ «ì­ë¥ t ¨ ¤à㣨¬ ¡®«¥¥
¢ë᮪¨¬, çñâ­ë¬ á⥯¥­ï¬ t. Ž¤­ ª® ¨§¬¥­¥­¨¥ ä㭪樨 f (0; t) ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠0 ᮤ¥à¦¨â «¨­¥©­ë¥ ¯® t ç«¥­ë, ¯®í⮬ã âà㤭® à ááç¨âë¢ âì
­ â®, çâ® ¯®«¨­®¬ ¬¨ ¢ë᮪¨å ¯®à浪®¢ 㤠áâáï ¡ëáâà® ¨ á ¢ë᮪®©
â®ç­®áâìî ¯¯à®ªá¨¬¨à®¢ âì ¯®¢¥¤¥­¨¥ ®£¨¡ î饩 ¢¡«¨§¨ 業âà ¨¬¯ã«ìá . €­ «®£¨ç­ ï ú¯ ⮫®£¨ïû ¡ã¤¥â ­ ¡«î¤ âìáï ¨ ¢ ®ªà¥áâ­®áâ¨
â®ç¥ª t = t .
1
2
2
0
0
2
0
1
f (0,τ)
0.08
0.8
0.06
0.6
0.04
0.4
0.02
0.2
−1 −0.5 0
−1 −0.5 0
−0.02
0.5 τ
τ
1
0.5
¡
1
¨á.5.11. ) €¯¯à®ªá¨¬ æ¨ï ®£¨¡ î饩 (5.32) ª®­¥ç­ë¬ ®â१ª®¬ àï¤ (5.25) á 㤥ঠ­¨¥¬ 11 ­¥­ã«¥¢ëå ç«¥­®¢, ¡ ) à á¯à¥¤¥«¥­¨¥ ¯®£à¥è­®á⨠(5.33) ¯à¨ à §«¨ç­ëå §­ 祭¨ïå N : èâà¨å®¢ ï «¨­¨ï { N = 10, ᯫ®è­ ï { N = 30.
„«ï ¯®«ã祭¨ï ª®«¨ç¥á⢥­­ëå ®æ¥­®ª ¢ëç¨á«¨¬ §­ 祭¨ï ª®íää¨æ¨¥­â®¢ à §«®¦¥­¨ï (5.25) ¯à¨¬¥­¨â¥«ì­® ª ®¡á㦤 ¥¬®¬ã ¯à¨¬¥àã
Z
2
2
?
x
?
a k = d (1 ? x)H k(x)e dx = d H k? (1)e ? H k? (0) :
k
k
1
2
2
2
2
2
2
2
0
2
2
1
2
2
®«®¦¨¢ N = 10, â® ¥áâì ãç¨âë¢ ï ⮫쪮 ¯¥à¢ëå 11 ­¥­ã«¥¢ëå ª®íää¨æ¨¥­â®¢, ¯®«ãç ¥¬ ªà¨¢ãî, ¯®ª § ­­ãî ᯫ®è­®© «¨­¨¥© ­ à¨á 5.11a.
 á¯à¥¤¥«¥­¨¥ ¯®£à¥è­®á⨠¯¯à®ªá¨¬ 樨 ¤«ï í⮣® á«ãç ï, à ááç¨â ­­®¥ ­ ®á­®¢¥ ᮮ⭮襭¨ï
185
f (0; t) ?
N
X
k=0
ak H k
2
2
t
t
2
;
t e
t ?1
(5.33)
0
0
¯®ª § ­® èâà¨å®¢®© «¨­¨¥© ­ à¨á.5.11¡. “¢¥«¨ç¥­¨¥ ¯ à ¬¥âà N ¤®
30 ¤¥« ¥â ¢¨§ã «ì­® ­¥à §«¨ç¨¬ë¬¨ £à 䨪¨ ¨á室­®© ä㭪樨 ¨ ¥ñ ¯¯à®ªá¨¬ ­â § ¨áª«î祭¨¥¬ ­¥¡®«ìè¨å ®ªà¥áâ­®á⥩ ¢¡«¨§¨ â®ç¥ª ú¨§«®¬ û ®£¨¡ î饩, ® 祬 ¨ ᢨ¤¥â¥«ìáâ¢ã¥â ¢â®à ï (ᯫ®è­ ï) ªà¨¢ ï ­ à¨á.5.11¡.
Ž á⥯¥­¨ í­¥à£¥â¨ç¥áª®© ¡«¨§®á⨠¯¯à®ªá¨¬ ­â ª ¨á室­®¬ã ¨¬¯ã«ìáã ¬®¦­® á㤨âì ¯® ¢¥«¨ç¨­¥ ®â­®á¨â¥«ì­®© á।­¥ª¢ ¤à â¨ç­®©
¯®£à¥è­®á⨠, ¯®«ã祭­®© ¤¥«¥­¨¥¬ (5.29) ­ ¢¥«¨ç¨­ã í­¥à£¨¨ ¨¬¯ã«ìá E
N
X
1
= 1 ? E jak j dk :
2 2
k=0
“ç¨âë¢ ï, çâ® á â®ç­®áâìî ¤® ¬ áèâ ¡­®£® ¬­®¦¨â¥«ï t í­¥à£¨ï E
à ¢­ E = p erf(1) + e? ? 1;
¯à¨¢¥¤¥¬ ¢ ­¨¦¥á«¥¤ãî饩 â ¡«¨æ¥ ¢¥«¨ç¨­ã ¯®£à¥è­®á⨠¤«ï ⨯¨ç­ëå §­ 祭¨© ¯ à ¬¥âà N
N
10 15 20 25 30
10 2.57 2.21 1.45 0.77 0.47
ˆáå®¤ï ¨§ çñâ­®á⨠ä㭪樨 f (0; t), ¯ à ¬¥âà N ¢ ¤ ­­®© á¨âã 樨 ¨¬¥¥â
â®â ¦¥ á¬ëá«, çâ® ¨ ¢ (5.33). ®à冷ª 䨣ãà¨àãîé¨å ¢ â ¡«¨æ¥ ¢¥«¨ç¨­ ¤ ñ⠮᭮¢ ­¨¥ ¯®«­®áâìî ¨£­®à¨à®¢ âì ¯®£à¥è­®áâì ¯¯à®ªá¨¬ 樨 ¤ ¦¥ ¤«ï ®â­®á¨â¥«ì­® ª®à®âª¨å ®â१ª®¢ àï¤ (5.25), â® ¥áâì 㦥
¯à¨ N = 20 30 ¬ë ¯®«ãç ¥¬ í­¥à£¥â¨ç¥áª®£® ú¤¢®©­¨ª û. ‚ ⮦¥ ¢à¥¬ï
¨§ à¨á.5.11¡ å®à®è® ¢¨¤­®, çâ® ¤ ¦¥ ¢ ®¡á㦤 ¥¬®¬ ­ ¬¨ ­¥¡« £®¯à¨ïâ­®¬ á«ãç ¥ ¢à¥¬¥­­®© ¯à®ä¨«ì ®£¨¡ î饩 ¢ 業âà «ì­®© ç á⨠¨¬¯ã«ìá ¢®ááâ ­ ¢«¨¢ ¥âáï á ¯®£à¥è­®áâìî ¢á¥£® «¨èì ¢ ­¥áª®«ìª® ¯à®æ¥­â®¢, ¨ íâ ¯®£à¥è­®áâì, ª ª ¯à ¢¨«®, ¬¥­ìè¥ ¯®£à¥è­®á⨠¨§¬¥à¥­¨ï
á ¬®© ®£¨¡ î饩 f (0; t).
„«ï ¯®«ã祭¨ï ¯®«­®£® ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨ï ® ¢®§¬®¦­®áâïå «£®à¨â¬ ¦¥« ⥫쭮 à áᬮâà¥âì ¥éñ ¨ ú⨯¨ç­ë©û á«ãç © ¨¬¯ã«ìá á £« ¤ª®©
®£¨¡ î饩. ‚ë¡à ¢ ®£¨¡ îéãî ¢ ¢¨¤¥
t
f (0; t) = exp ?( t ) ;
0
1
3
4
0
186
¯®«ãç ¥¬ â ª ­ §ë¢ ¥¬ë© úá㯥࣠ãáᮢû ¨¬¯ã«ìá, ¡«¨§ª¨© ¯® ä®à¬¥ ª
¯àאַ㣮«ì­®¬ã. Žá®¡¥­­®á⨠í⮩ ¬®¤¥«¨ ªâ¨¢­® ®¡á㦤 «¨áì ¢ ¯¥ç ⨠(á¬. ­ ¯à¨¬¥à [10]), ¯®áª®«ìªã â ª ï § ¢¨á¨¬®áâì ¤ ñâ ¡®«¥¥ ॠ«¨áâ¨ç­®¥ ®¯¨á ­¨¥ ¢à¥¬¥­­®£® ¯à®ä¨«ï ®£¨¡ î饩 ¤«ï ¨¬¯ã«ìᮢ, £¥­¥à¨à㥬ëå ¯®«ã¯à®¢®¤­¨ª®¢ë¬¨ « §¥à ¬¨. ‘ â®ç­®áâìî ¤® ¬­®¦¨â¥«ï
t í­¥à£¨ï úá㯥࣠ãáᮢ û ¨¬¯ã«ìá ®ª §ë¢ ¥âáï à ¢­®© E = ?( )=2 = .
¥áª®«ìª® ¯¥à¢ëå ª®íää¨æ¨¥­â®¢ à §«®¦¥­¨ï (5.25) ¬®¦­® ®¯à¥¤¥«¨âì
¯ãâñ¬ ¤¨ää¥à¥­æ¨à®¢ ­¨ï ¯® ¯ à ¬¥âàã p á«¥¤ãî饣® ¨­â¥£à « :
1
4
0
Z1
p p 1
p
?
px
?
x
e
dx = 2 p exp 8 K = 8 ;
2
2
4
2
(5.34)
1 4
?1
5 4
£¤¥ K (x) { äã­ªæ¨ï Œ ª¤®­ «ì¤ , ç¥à¥§ ª®â®àãî ¢ëà ¦ îâáï ¢á¥ §­ 祭¨ï ak :
1
1
1
1
1
a = p e K = 32 ; a = p e K = 32 ? 5K = 32 ;
2 2
32 2 1 1
1
p e 45K = 32 ? 13K = 32 :
a =
1536 2
0
1
32
1
32
2
1 4
1
32
4
3 4
1 4
3 4
1 4
Žáâ «ì­ë¥ ª®íää¨æ¨¥­âë ­ 室ïâáï ¨§ ४ãà७⭮£® ᮮ⭮襭¨ï
16k(2k + 1)(2k + 2)a k + 4k(12k + 1)a k + (12k ? 7)a k? + a k? = 0;
ª®â®à®¥, ¢ á¢®î ®ç¥à¥¤ì, ­¥âà㤭® ¯®«ãç¨âì, ¨áå®¤ï ¨§ ४ãà७⭮£®
ᮮ⭮襭¨ï ¤«ï ¯®«¨­®¬®¢ à¬¨â .
Ž¯¨à ïáì ­ §­ 祭¨ï í«¥¬¥­â®¢ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠ak , § ¯®«­¨¬ â ¡«¨æ㠮⭮á¨â¥«ì­®© ¯®£à¥è­®á⨠(N ) ¯à¨ â¥å ¦¥ §­ 祭¨ïå N , çâ® ¨
¢ ¯à¥¤ë¤ã饬 ¯à¨¬¥à¥
N
10 15 20
25
30
10 2.08 0.91 0.057 0.036 0.0075
‘®¯®áâ ¢«¥­¨¥ ¯à¨¢®¤¨¬ëå ¢ ®¡¥¨å â ¡«¨æ å ¤ ­­ëå ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ®
¤«ï ¨¬¯ã«ìá á £« ¤ª®© ®£¨¡ î饩 á।­¥ª¢ ¤à â¨ç­ ï ¯®£à¥è­®áâì
®ª §ë¢ ¥âáï ¤ ¦¥ ¤«ï ¬ «ëå §­ 祭¨© N ¢® ¬­®£® à § ¬¥­ìè¥ ¨ ¯à¨
í⮬ ã¡ë¢ ¥â á ¡®«¥¥ ¢ë᮪®© ᪮à®áâìî. …᫨ ¯à¨ N = 10 ¯®£à¥è­®áâì
¯¯à®ªá¨¬ 樨 úá㯥࣠ãáᮢ û ¨¬¯ã«ìá ®ª §ë¢ ¥âáï ¢ 12 à § ¬¥­ìè¥,
â® ¯à¨ N = 30 íâ® ®â­®è¥­¨¥ 㦥 à ¢­ï¥âáï 625.
’¥ ¦¥ ⥭¤¥­æ¨¨ ¯à®á«¥¦¨¢ îâáï ¨ ¯à¨ áà ¢­¥­¨¨ ¯®â®ç¥ç­®© á室¨¬®á⨠¯¯à®ªá¨¬ ­â®¢. ‚ëç¨á«¥­­®¥ ­ ®á­®¢¥ (5.33) ¤«ï ­¥áª®«ìª¨å
§­ 祭¨© ¯ à ¬¥âà N à á¯à¥¤¥«¥­¨¥ ¯®£à¥è­®á⨠¯®ª § ­® ­ à¨á.5.12¡.
2 +2
2
4
187
2
2
2
4
Žç¥¢¨¤­®, çâ® ¯à¨ N = 30 ¢® ¢á¥© 業âà «ì­®© ç á⨠¨¬¯ã«ìá ¢¥«¨ç¨­ í⮩ ¯®£à¥è­®á⨠­¨ç⮦­® ¬ « .
1
f (0,t)
0.01
0.8
0.6
-1.5 -1 -0.5 0
0.4
0.2
-1.5 -1 -0.5 0
0.5
0.5
¡
-0.01
t
t0
1 1.5
1 1.5t
t0
¨á.5.12. ) Ž£¨¡ îé ï úá㯥࣠ãáᮢ û ¨¬¯ã«ìá , ¡ ) à á¯à¥¤¥«¥­¨¥ ¯®£à¥è­®áâ¨
(5.33) ¯à¨ à §«¨ç­ëå §­ 祭¨ïå N : ᯫ®è­ ï «¨­¨ï { N = 10, èâà¨å®¢ ï { N = 30.
‚ë᮪ ï â®ç­®áâì ¯¯à®ªá¨¬ 樨 ¨á室­®£® ¨¬¯ã«ìá , ⥬ ­¥ ¬¥­¥¥,
­¥ ¤ ñâ ­¨ª ª®£® ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨ï ® å à ªâ¥à¥ à á¯à¥¤¥«¥­¨ï ¯®£à¥è­®á⨠¯® ¯à®ä¨«î ®£¨¡ î饩 ¢ ¯à®¨§¢®«ì­® ¢ë¡à ­­®© â®çª¥ ¤¨á¯¥àᨮ­­®© á।ë, ¯®í⮬㠯।áâ ¢«ï¥â ¨­â¥à¥á å®âï ¡ë ªà ⪮ § âà®­ãâì
¢®¯à®áë ãá⮩稢®á⨠«£®à¨â¬ ­ ¯à¨¬¥à¥ í¢®«î樨 á ¬®© ¯®£à¥è­®á⨠¢ ª ª®©{«¨¡® ®â¤¥«ì­® ¢§ï⮩, ९¥à­®© â®çª¥ ¨¬¯ã«ìá , ®áâ ¢«ïï
¡®«¥¥ ¤¥â «ì­®¥ ®¡á㦤¥­¨¥ ¤® á«¥¤ãî饣® à §¤¥« . „«ï ®¤¨­®ç­ëå ¨¬¯ã«ìᮢ á ᨬ¬¥âà¨ç­®© ®£¨¡ î饩 ¢ ª ç¥á⢥ â ª®© ९¥à­®© â®çª¨
¥áâ¥á⢥­­® ¢ë¡à âì 業âà ¨¬¯ã«ìá , ïî騩áï â®çª®© ¬ ªá¨¬ã¬ ,
ª®â®àë© ª ⮬㠦¥ ®áâ ñâáï ­¥¯®¤¢¨¦­ë¬ ¢ á¨á⥬¥ ®âáçñâ , ¤¢¨¦ã饩áï ᮠ᪮à®áâìî vg .
€¬¯«¨â㤠®£¨¡ î饩 úá㯥࣠ãáᮢ û ¨¬¯ã«ìá ¢ â®çª¥ = 0 ¬®¦¥â ¡ëâì ­ ©¤¥­ ¨§ (5.4), ¥á«¨ ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï §­ 祭¨¥¬ ¨­â¥£à « (5.34), ¯®¤áâ ¢¨¢ ¢ ­¥£® ¢¬¥áâ® ¯ à ¬¥âà p ç¨áâ® ¬­¨¬ãî ¢¥«¨ç¨­ã ip .
®á«¥ ¢¢¥¤¥­¨ï ¡¥§à §¬¥à­®£® ¯ à ¬¥âà ­ ®á­®¢¥ ᮮ⭮襭¨ï (5.9),
१ã«ìâ ⠯।áâ ¢«ï¥âáï ç¥à¥§ ¬®¤¨ä¨æ¨à®¢ ­­ë¥ ä㭪樨 ¥áᥫï
r
1 1 1
f (; 0) = i32 exp ? 32 I? = 32 + iI = 32 ;
çâ®, ¢ á¢®î ®ç¥à¥¤ì, ¤ ñâ á«¥¤ãî饥 ¢ëà ¦¥­¨¥ ¤«ï ¯¨ª®¢®© ¬®é­®áâ¨
¨§«ã祭¨ï:
1 1 1
I (; 0) = 32 exp ? 16 I? = 32 + I = 32
(5.35)
0
2
1 4
2
2
2
2
1 4
1 4
2
2
2
1 4
2
2
ƒà 䨪 í⮩ § ¢¨á¨¬®áâ¨, ¯®ª § ­­ë© ­ à¨á.5.13 , ­ £«ï¤­® ¤¥¬®­áâà¨àã¥â à®áâ ¯¨ª®¢®© ¬®é­®á⨠§ áçñâ ᦠâ¨ï ¨¬¯ã«ìá ­ ­ ç «ì­®© áâ 188
¤¨¨ ¯à¨ ¯®«­®¬ ®âáãâá⢨¨ ç¨à¯ ¢ ¨á室­®¬ ᨣ­ «¥. ‚ â®çª¥ ¬ ªá¨¬ã¬ , ª®â®à ï ¤®á⨣ ¥âáï ¯à¨ max 0:22, ¯à¨à®áâ ¬®é­®á⨠á®áâ ¢«ï¥â 30%.  㤢®¥­­®© ¤«¨­¥ á।ë, â® ¥áâì ¯à¨ 2max, ¨­â¥­á¨¢­®áâì ¨§«ã祭¨ï ¢ 業âॠ¨¬¯ã«ìá ¢®§¢à é ¥âáï ª ᢮¥¬ã ¨á室­®¬ã
§­ 祭¨î.
1.3
1.2
1.1
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
Ι(µ,0)
0.02
∆Ι(µ,0)
Ι(µ,0)
0.01
0.5
0
1
1.5
µ
−0.01
−0.02
0
0.2 0.4 0.6 0.8
¡
µ
1 1.2
¨á.5.13. ) ¨ª®¢ ï ¬®é­®áâì úá㯥࣠ãáᮢ û ¨¬¯ã«ìá , ¡ ) ®â­®á¨â¥«ì­ ï ¯®£à¥è­®áâì ¯¯à®ªá¨¬ 樨 (5.35) ¯à¨ à §«¨ç­ëå §­ 祭¨ïå N : èâà¨å®¢ ï «¨­¨ï { N = 10,
ᯫ®è­ ï { N = 20.
¥à¥å®¤ï ®â ¡¥§à §¬¥à­ëå ¯ à ¬¥â஢ ª à §¬¥à­ë¬, ãçâñ¬, çâ® ¤«¨â¥«ì­®áâì úá㯥࣠ãáᮢ ûp¨¬¯ã«ìá á¢ï§ ­ á ¬ áèâ ¡­ë¬ ¬­®¦¨â¥«¥¬
t ᮮ⭮襭¨¥¬ p = 2t ln 2=2. ®«®¦¨¢ ¤«¨­ã ¢®«­ë ¨§«ã祭¨ï à ¢­®© 0:9¬ª¬, ¬®¦­® ¨§ ¤ ­­ëå, ¯®ª § ­­ëå ­ à¨á.5.7, ¢®ááâ ­®¢¨âì §­ 祭¨¥ k , çâ® ¯à¨ ¤«¨â¥«ì­®á⨠¨¬¯ã«ìá p = 10¯á ¤ ñâ ¤«ï ¢¥«¨ç¨­ë
L ¯à¨¡«¨¦ñ­­®¥ §­ 祭¨¥ ¢ 660¬. …᫨ ᮯ®áâ ¢¨âì ¯®«ã祭­ë¥ ¤ ­­ë¥
á ⥬¨, ª®â®àë¥ ¯®«ãç îâáï ¢ ¬®¤¥«¨ £ ãáᮢ ¨¬¯ã«ìá á «¨­¥©­ë¬
ç¨à¯®¬, â® ®ª §ë¢ ¥âáï, ç⮠㢥«¨ç¥­¨¥ ¯¨ª®¢®© ¬®é­®á⨠¢ 1.3 à § ã
£ ãáᮢ ¨¬¯ã«ìá ¢ á®áâ®ï­¨¨ ¬ ªá¨¬ «ì­®£® ᦠâ¨ï ¤®á⨣ ¥âáï ¯à¨
jj 0:83. Š ª 㦥 ®â¬¥ç «®áì ¢ ¯à¥¤ë¤ã饬 à §¤¥«¥, íâ® ¤®¢®«ì­®â ª¨ ¡®«ìè ï ¢¥«¨ç¨­ ç¨à¯ , ¯®áª®«ìªã ¯à¨ jj = 1 ᤢ¨£ ç áâ®âë § ¢à¥¬ï ¨¬¯ã«ìá ®ª §ë¢ ¥âáï à ¢­ë¬ è¨à¨­¥ ᯥªâà ¥£® ®£¨¡ î饩.
‚ ¤ «ì­¥© §®­¥ ¬ë ¨¬¥¥¬ ¤¥«® á ã­¨¢¥àá «ì­ë¬ ¤«ï ¢â®à®£® ¯à¨¡«¨¦¥­¨ï § ª®­®¬ ã¡ë¢ ­¨ï ¨­â¥­á¨¢­®áâ¨. —¨á«¥­­®¥ §­ 祭¨¥ ª®íää¨æ¨¥­â ­ 室¨âáï ­¥¯®á।á⢥­­® ¨§ (5.35) á ãçñ⮬ ⮣®, çâ® ¯à¨ z ! 0
I (z) (z=2) =?( + 1). ®á«¥ ¯®¤áâ ­®¢ª¨ í⮣® ᮮ⭮襭¨ï ¯®«ãç ¥¬
¯à¨ ! 1
?( )
I (; 0) p
:
4 2?( )
Žâ­®á¨â¥«ì­ ï ¯®£à¥è­®áâì ¯¯à®ªá¨¬ 樨 (5.35) ¢¯«®âì ¤® ¯¥à¥å®¤ ª ¤ «ì­¥© §®­¥ ¯®ª § ­ ­ à¨á.5.13¡.  ¨¡®«¥¥ áãé¥á⢥­­®© ®á®¡¥­­®0
0
0
4
00
0
0
1
4
3
4
189
áâìî ¯à¥¤áâ ¢«¥­­ëå § ¢¨á¨¬®á⥩ ï¥âáï â®, çâ® ¯® ¬¥à¥ 㢥«¨ç¥­¨ï
¯ à ¬¥âà ­¥ ¯à®¨á室¨â « ¢¨­®®¡à §­®£® ­ à áâ ­¨ï ®è¨¡®ª ¯¯à®ªá¨¬ 樨 ®£¨¡ î饩 I (; ). Š ª ®ª §ë¢ ¥âáï, â ª®¥ ¯®¢¥¤¥­¨¥ «£®à¨â¬ ¡ã¤¥â å à ªâ¥à­® ¤«ï ¢á¥å §­ 祭¨© , ¯à¨­ ¤«¥¦ é¨å 業âà «ì­®© ç á⨠¨¬¯ã«ìá . “¢¥«¨ç¥­¨¥ ¯ à ¬¥âà N ¤® 30 㬥­ìè ¥â ¯®£à¥è­®áâì
¥éñ ¢ 3 à § ¯® áà ¢­¥­¨î á ⮩, çâ® ¯®ª § ­ ᯫ®è­®© «¨­¨¥© ­ à¨á.5.13¡. ‚ १ã«ìâ ⥠¥ñ ¡á®«îâ­ ï ¢¥«¨ç¨­ áâ ­®¢¨âáï ¬¥­ìè¥ 10?
¢® ¢áñ¬ ¯à¥¤áâ ¢«¥­­®¬ ­ à¨áã­ª¥ ¤¨ ¯ §®­¥ ¨§¬¥­¥­¨ï ¯ à ¬¥âà .
’ ª ª ª ¤«ï ¡®«ì設á⢠¨¬¯ã«ìᮢ á ­ «¨â¨ç¥áª¨ § ¤ ­­®© ä®à¬®© ®£¨¡ î饩 ª®íää¨æ¨¥­âë ak ¢ëç¨á«ïîâáï «¨¡® ¢ ®¬ ¢¨¤¥, «¨¡®
¤«ï ­¨å ¯®«ãç ¥âáï ¯à®á⮥ ४ãà७⭮¥ ᮮ⭮襭¨¥, â® á㬬¨à®¢ ­¨¥
àï¤ (5.25) ­¥ âॡã¥â ᪮«ìª®{­¨¡ã¤ì áãé¥á⢥­­ëå ¢ëç¨á«¨â¥«ì­ëå
à¥áãàᮢ. —¨á«¥­­ ï ॠ«¨§ æ¨ï ¤ ­­®£® «£®à¨â¬ ®ª §ë¢ ¥âáï §­ ç¨â¥«ì­® ¡®«¥¥ íä䥪⨢­®© ­¥¦¥«¨ ­¥¯®á।á⢥­­®¥ ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨¥
¢ëà ¦¥­¨ï (5.4) ¨«¨ ®á­®¢ ­­®£® ­ ­¥¬ ¤¨ää¥à¥­æ¨ «ì­®£® ãà ¢­¥­¨ï
¢ ç áâ­ëå ¯à®¨§¢®¤­ëå.
…᫨ ¦¥ ®£¨¡ îé ï ¨á室­®£® ¨¬¯ã«ìá ¯à¥¤áâ ¢«¥­ ¢ ¢¨¤¥ £à 䨪 ,
¯®«ã祭­®£® ¢ १ã«ìâ ⥠®¡à ¡®âª¨ íªá¯¥à¨¬¥­â «ì­ëå ¤ ­­ëå, â® ­¥®¡å®¤¨¬®¥ ª®«¨ç¥á⢮ ª®íää¨æ¨¥­â®¢ ak ¢ëç¨á«ï¥âáï ç¨á«¥­­ë¬¨ ¬¥â®¤ ¬¨. “ç¨âë¢ ï, çâ® ¯®¤®¡­ë¥ ¢ëç¨á«¥­¨ï ¢ë¯®«­ïîâáï ¢á¥£® «¨èì
®¤¨­ à §, íâ® ¬®¦¥â ¯à¨¢®¤¨âì ⮫쪮 ª ­¥§­ ç¨â¥«ì­®¬ã § ¬¥¤«¥­¨î
­ ç «ì­®© ä §ë à áçñ⮢. Ž¤­ ª® ¢ «î¡®¬ á«ãç ¥ ¯à¨ á㬬¨à®¢ ­¨¨
àï¤ (5.25) à áçñâë á«¥¤ã¥â ¯à®¢®¤¨âì, ¨á¯®«ì§ãï à¨ä¬¥â¨ªã á ¯« ¢ î饩 â®çª®©, ¯® ªà ©­¥© ¬¥à¥, ¤¢®©­®© â®ç­®áâ¨, â ª ª ª ¡ëáâ஥
ã¡ë¢ ­¨¥ ª®íää¨æ¨¥­â®¢ ak ª®¬¯¥­á¨àã¥âáï áâ®«ì ¦¥ ¡ëáâàë¬ à®á⮬
§­ 祭¨© ¯®«¨­®¬®¢ à¬¨â . ‘¨áâ¥¬ë ª®¬¯ìîâ¥à­®© «£¥¡àë, ¯®¤¤¥à¦¨¢ î騥 ¢ëç¨á«¥­¨ï á ¯à®¨§¢®«ì­®© á⥯¥­ìî â®ç­®á⨠¨ ᮤ¥à¦ 騥
㤮¡­ë¥ á।á⢠¢¨§ã «¨§ 樨 १ã«ìâ ⮢ à áçñ⮢, ïîâáï ­ ¨¡®«¥¥ ¯®¤å®¤ï騬 ¨­áâà㬥­â «ì­ë¬ á।á⢮¬ ¬®¤¥«¨à®¢ ­¨ï ¤¨­ ¬¨ª¨
à á¯à®áâà ­¥­¨ï ¨¬¯ã«ìᮢ ¢ ¤¨á¯¥àᨮ­­®© á।¥.
”®à¬ ®£¨¡ î饩 ¬­®£¨å « §¥à­ëå ¨¬¯ã«ìᮢ, £¥­¥à¨à㥬ëå ॠ«ì­®
ä㭪樮­¨àãî騬¨ á¨á⥬ ¬¨, ¯® ᢮¥© áâàãªâãॠ¤®¢®«ì­® ç áâ® ­ ¯®¬¨­ ¥â ¡ §¨á­ë¥ ä㭪樨 à §«®¦¥­¨ï (5.25) ­¨§è¨å ¯®à浪®¢, ¯®í⮬ã
¯®«ã祭­ë¥ ¢ ¤ ­­®¬ à §¤¥«¥ ®æ¥­ª¨ ¢¥«¨ç¨­ë ¯ à ¬¥âà N , ­¥®¡å®¤¨¬ë¥ ¤«ï ¤®á⨦¥­¨ï âॡ㥬®© ­ ¯à ªâ¨ª¥ â®ç­®á⨠¯¯à®ªá¨¬ 樨
íªá¯¥à¨¬¥­â «ì­ëå ¤ ­­ëå, ®ª §ë¢ îâáï á¯à ¢¥¤«¨¢ë¬¨ ¢ ¡á®«îâ­®¬
¡®«ì設á⢥ á«ãç ¥¢.
3
190
5.5
‹¨­¥©­ ï ᨬ¬¥âਧ æ¨ï ¨¬¯ã«ìá ¢ á।¥ á ¤¨á¯¥àᨥ©
 áᬮâ७­ë¥ ¢ ¯à¥¤ë¤ãé¨å à §¤¥« å ­ áâ®ï饩 £« ¢ë ¬­®£®ç¨á«¥­­ë¥ ¯à¨¬¥àë, ¨««îáâà¨àãî騥 á ¬ë¥ à §­®®¡à §­ë¥ ®á®¡¥­­®áâ¨
¯®¢¥¤¥­¨ï ᢥà媮à®âª®£® ¨¬¯ã«ìá ¢ ¤¨á¯¥à£¨àãî饩 á।¥, ®¡« ¤ «¨
®¤­¨¬ ®¡é¨¬ ᢮©á⢮¬ { ᨬ¬¥âਥ© ®£¨¡ î饩 ®â­®á¨â¥«ì­® 業âà ¨¬¯ã«ìá . ‘«¥¤á⢨¥¬ í⮩ ᨬ¬¥âਨ 﫮áì â®, çâ® á ¬ 業âà, ª®â®àë© ¤«ï ®¤¨­®ç­ëå ¨¬¯ã«ìᮢ ᮢ¯ ¤ « á â®çª®© ¬ ªá¨¬ã¬ , ¢á¥£¤ ®áâ ¢ «áï ­¥¯®¤¢¨¦­ë¬ ¢ á¨á⥬¥ ®âáçñâ ¤¢¨¦ã饩áï ᮠ᪮à®áâìî vg .
‚ ¤ ­­®¬ à §¤¥«¥ 㪠§ ­­®¥ ®£à ­¨ç¥­¨¥ ãáâà ­ï¥âáï ¨ à áᬠâਢ ¥âáï
­ ¨¡®«¥¥ ®¡é¨© á業 ਩ í¢®«î樨 ᨬ¬¥âà¨ç­®£® ¨¬¯ã«ìá .
‚ ª ç¥á⢥ ®á­®¢­®£® १ã«ìâ â ¬ë ¯à®¤¥¬®­áâà¨à㥬, çâ® ¯à¨ ®âáãâá⢨¨ ­¥«¨­¥©­®£® ç¨à¯ ¢® ¢å®¤­®¬ ᨣ­ «¥ 㦥 ª ª®­æã ­ ç «ì­®©
áâ ¤¨¨ ®£¨¡ îé ï ¨¬¯ã«ìá ­¥§ ¢¨á¨¬® ®â ¥ñ ¨á室­®© ä®à¬ë âà ­áä®à¬¨àã¥âáï ¢ ­¥ª®â®àãî úᨬ¬¥âà¨ç­ãîû ªà¨¢ãî. „¨­ ¬¨ª à á¯à®áâà ­¥­¨ï ­ ¡®«¥¥ ¯®§¤­¨å áâ ¤¨ïå í¢®«î樨 ª ç¥á⢥­­® ¢®á¯à®¨§¢®¤¨â á業 ਨ ¨§ à §¤¥«®¢ 5.2 ¨ 5.4, å®âï â®â ¦¥ á ¬ë© ¬ áèâ ¡ ¤¥ä®à¬ 樨 ®£¨¡ î饩 ¤®á⨣ ¥âáï ¯à¨ §­ ç¨â¥«ì­® ¡®«ìè¨å §­ 祭¨ïå ¯ à ¬¥âà . Žá­®¢­®¥ ¢­¨¬ ­¨¥ ¡ã¤¥â 㤥«¥­® ¢ëç¨á«¥­¨î ¢ ¦­¥©è¨å
¯ à ¬¥â஢ úᨬ¬¥âà¨ç­ëåû à á¯à¥¤¥«¥­¨© ¢à¥¬¥­­®£® ¯à®ä¨«ï ¨­â¥­á¨¢­®áâ¨, ¢®§­¨ª îé¨å ¢ ¯à®æ¥áᥠà á¯à®áâà ­¥­¨ï ¨¬¯ã«ìá . Œ¥â®¤ë
à áçñâ 楫¨ª®¬ ®á­®¢ë¢ îâáï ­ १ã«ìâ â å ¯à¥¤ë¤ã饣® à §¤¥« .
à®é¥ ¢á¥£® ®ª §ë¢ ¥âáï ¢ëïá­¨âì ¤ «ì­îî ᨬ¯â®â¨ªã I (; ). ˆá¯®«ì§ãï ¢¢¥¤ñ­­ë¥ à ­¥¥ ¡¥§à §¬¥à­ë¥ ¯ à ¬¥âàë ¨ , ®¡é¥¥ ¢ëà ¦¥­¨¥ (5.31) ¤«ï ®£¨¡ î饩 ¨¬¯ã«ìá ­ à ááâ®ï­¨¨ L ®â ¨á室­®© â®çª¨
¬®¦­® ¯à¨¢¥á⨠ª á«¥¤ãî饬㠢¨¤ã:
1
X
? 1
1+ ;
?i k Hk p
I (; ) = p
a
e
(5.36)
e
k
1+ k
1+ £¤¥ k = k arctg . “ç¨âë¢ ï, çâ® ¯à®¨§¢®«ì­ãî äã­ªæ¨î ¬®¦­® ¢á¥£¤ ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥ á㬬ë, ¯¥à¢®¥ á« £ ¥¬®¥ ª®â®à®© ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®©
çñâ­ãî äã­ªæ¨î, ¢â®à®¥ { ­¥çñâ­ãî, ¯à¥¤áâ ¢¨¬ â ª¨¬ ¦¥ ᯮᮡ®¬
¢ëà ¦¥­¨¥ (5.36). ‚ १ã«ìâ ⥠¯®«ãç ¥¬
1
X
1
?
i
k
I (; ) = p
a ke
Hk p
+
1+ k
1+
1
? X
a k e?i k H k p e 1+ :
1+
k
2
2
2
2
2
=0
2
2
2
2
2
=0
2
2 +1
2 +1
=0
191
2 +1
2
2
2
®¯ëâ ¥¬áï ⥯¥àì ã¯à®áâ¨âì ¢ëà ¦¥­¨¥ ¤«ï I (; ) ¢ ¤ «ì­¥© §®­¥.
“ç¨âë¢ ï, çâ® ¯à¨ 1
k ;
k
2
¤«ï çñâ­®© ª®¬¯®­¥­âë ª®¬¯«¥ªá­®© ®£¨¡ î饩 ¨¬¥¥¬
1
?
X
a k e?i k H k p
e 2(1+ ) 1+
k
(5.37)
1
?
X
k
(?1) a k H k p
e 2(1+ )
1+
k
‘®®â¢¥âá⢥­­®, ¤«ï ­¥çñâ­®© ç áâ¨
1
?
X
a k e?i k H k p e 2(1+ ) 1+
k
(5.38)
1
?
X
k
e 2(1+ )
? i (?1) a k H k p
1+
k
”®à¬ã«ë (5.37) ¨ (5.38) ®¯¨áë¢ îâ í¢®«îæ¨î çñâ­®© ¨ ­¥çñâ­®© ç á⥩ ®£¨¡ î饩 ¨¬¯ã«ìá . à¨ í⮬ ­¥çñâ­ ï ç áâì ¢ ¯à¥¤¥«¥ ! 1
®ª §ë¢ ¥âáï ᤢ¨­ã⮩ ®â­®á¨â¥«ì­® çñâ­®© ­ ¬¨­ãá =2: à¨ ®âáãâá⢨¨ ç¨à¯ ¢® ¢å®¤­®¬ ᨣ­ «¥ ª®íää¨æ¨¥­âë ak ¡ã¤ãâ ¢¥é¥á⢥­­ë¬¨,
¯®í⮬ã à á饯«¥­¨¥ (5.36) ­ çñâ­ãî ¨ ­¥çñâ­ãî ç á⨠¢â®¬ â¨ç¥áª¨
¯à¨¢®¤¨â ª ¢ë¤¥«¥­¨î ¨§ ª®¬¯«¥ªá­®© ®£¨¡ î饩 ª ª ¢¥é¥á⢥­­®©, â ª
¨ ¬­¨¬®© ª®¬¯®­¥­âë, ¯®§¢®«ïï ¡¥§ âà㤠¢ëç¨á«¨âì ¨­â¥­á¨¢­®áâì १ã«ìâ¨àãî饣® ᨣ­ « ¯à®áâ® ª ª á㬬㠪¢ ¤à ⮢ ¬¯«¨â㤠¥£® çñâ­®© ¨ ­¥çñâ­®© ç á⥩. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤«ï ¤ «ì­¥© ᨬ¯â®â¨ª¨
"
1
X
1
k
I (; ) = p
(?1) a k H k p
+
1+
1+
k
(5.39)
X
# ? 1
(?1)k a k H k p e 1+ ;
1+
k
â. ¥. ­¥§ ¢¨á¨¬® ®â ä®à¬ë ®£¨¡ î饩 ¨á室­®£® ᨣ­ « ¯®á«¥ ¯à®å®¦¤¥­¨ï ¤®áâ â®ç­® ¡®«ì讣® ¯ã⨠¢ á।¥ १ã«ìâ¨àãî騩 ¢à¥¬¥­­®©
¯à®ä¨«ì ¨­â¥­á¨¢­®á⨠I (; ) ¢á¥£¤ ¡ã¤¥â çñâ­®© ä㭪樥© ¢à¥¬¥­¨.
2
2
2
2
2
2
=0
2
2
2
2
2
=0
2
2 +1
2 +1
2
2 +1
2
=0
2
2
2 +1
2 +1
2
=0
2
2
2
2
2
=0
2
2
2 +1
=0
192
2 +1
2
2
„«ï ⮣®, çâ®¡ë ¢ëïá­¨âì ª®«¨ç¥á⢥­­ë¥ ªà¨â¥à¨¨ ¯¥à¥å®¤ ª ᨬ¯â®â¨ª¥ (5.39), ¦¥« ⥫쭮 ¯à¥¤áâ ¢¨âì I (; ) ¢ ¡®«¥¥ ª®¬¯ ªâ­®¬ ¢¨¤¥,
¯® ¢®§¬®¦­®á⨠¢ëà §¨¢ ¥ñ ç¥à¥§ ª ª¨¥{«¨¡® ᢮©á⢠¨á室­®© ä㭪樨 f (0; t): ‚®§¢à é ïáì ª ¢ë¢®¤ã à §«®¦¥­¨ï (5.31), ¢¨¤¨¬, çâ® á â®ç­®áâìî ¤® ¬ áèâ ¡­®£® ¬­®¦¨â¥«ï t ª®¬¯«¥ªá­ ï ®£¨¡ îé ï १ã«ìâ¨àãî饣® ᨣ­ « ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¯¥à¥­®à¬¨à®¢ ­­ë© ”ãàì¥{®¡à §
®£¨¡ î饩 ¨á室­®£® ¨¬¯ã«ìá 1
i'
(
;
)
~
p
p
f (; ) = p
e
;
2 1+
1+
£¤¥ äã­ªæ¨ï '(; ) â ª ï ¦¥, ª ª ¨ ¢ (5.31), §­ 箪 â¨«ì¤ ãª §ë¢ ¥â ­ ®â¡à áë¢ ­¨¥ ¬­®¦¨â¥«ï t ¢ ¢ëà ¦¥­¨¨ ¤«ï (!). ¥à¥å®¤ï ®â
¬¯«¨âã¤ë ᨣ­ « ª ¥£® ¨­â¥­á¨¢­®áâ¨, ­ 室¨¬ íª¢¨¢ «¥­â­®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥ ¤«ï (5.39)
1
~
I (; ) = p
(5.40)
p
2 1+
1+
ˆ§ ¢ëà ¦¥­¨© (5.39) ¨ (5.40) á ®ç¥¢¨¤­®áâìî á«¥¤ãîâ ⥠¢ë¢®¤ë, ª®â®àë¥ ã¦¥ ¡ë«¨ ᤥ« ­ë ¢ à §¤¥«¥ 5.2 ­ ®á­®¢¥ ­ «¨§ ç áâ­ëå á«ãç ¥¢.
‚ ç áâ­®áâ¨, ã¡ë¢ ­¨¥ ¯¨ª®¢®© ¬®é­®á⨠¨¬¯ã«ìá ¢ ¤ «ì­¥© §®­¥ ¯à®¯®à樮­ «ì­® ¯¥à¢®© á⥯¥­¨ ¯ à ¬¥âà . ‚ í⮬ ­¥âà㤭® ã¡¥¤¨âìáï,
ãáâ६¨¢ ª ­ã«î à£ã¬¥­â ã ¯®«¨­®¬®¢ à¬¨â ¨ ¢ ¯®ª § ⥫¥ íªá¯®­¥­âë (5.39). ®«¥¥ ⮣®, ¯®áª®«ìªã ¤«ï ¨¬¯ã«ìᮢ á ¢ë᮪®ç áâ®â­ë¬
§ ¯®«­¥­¨¥¬ ­¥áãéãî ç áâ®âã ®¡ëç­® ¯à¨¢ï§ë¢ îâ ª â®çª¥ ¬ ªá¨¬ã¬ ¥£® ᯥªâà , â® ¨§ (5.40) ¯®«ãç ¥âáï ¯à®á⮥ ¢ëà ¦¥­¨¥ ¤«ï £« ¢­®£®
ç«¥­ ᨬ¯â®â¨ç¥áª®£® à §«®¦¥­¨ï
0
4
2
2
0
2
2
2
1 j~(0)j :
I (; 0) 2
2
p
• à ªâ¥à âà ­áä®à¬ 樨 £à㬥­â®¢ ! = 1 + ¢ ä㭪樮­ «ì­ëå
§ ¢¨á¨¬®áâïå (5.39) ¨ (5.40) ¯®§¢®«ï¥â ã⢥ত âì, çâ® ¯à¨ ¯¥à¥å®¤¥ ª
¤ «ì­¥© ᨬ¯â®â¨ª¥ ¤«¨â¥«ì­®áâì ¨¬¯ã«ìá ¢ ¥ñ ¯à¨¢ëç­®© ¨­â¥à¯à¥â 樨 ¡ã¤¥â ¢®§à áâ âì ¯à®¯®à樮­ «ì­® . à¨ í⮬ ­¥â ­¨ª ª®© ­¥®¡å®¤¨¬®á⨠¢¢®¤¨âì ­¥ä¨§¨ç¥áª¨¥ ¨­â¥£à «ì­ë¥ ®¯à¥¤¥«¥­¨ï ¤«ï ¨§¬¥à塞ëå ¢¥«¨ç¨­.
Ž¤­ ª® ¢ëïá­ï¥âáï, çâ® âॡ®¢ ­¨¥ arctg =2 ®ª §ë¢ ¥âáï ¤®áâ â®ç­® ¦ñá⪨¬ ¨ ¯à¨¢®¤¨â ª ®ç¥­ì ¤ «ñª®© ᨬ¯â®â¨ª¥. Š ⮬㠦¥,
¢ë室 ­ íâã ᨬ¯â®â¨ªã, ¢ ®á®¡¥­­®á⨠¤«ï ¨¬¯ã«ìᮢ á ¬¥¤«¥­­® § âãå î騬¨ ú墮áâ ¬¨û, ¯à®¨á室¨â ç१¢ëç ©­® ¬¥¤«¥­­®, çâ® ¤¥« ¥â
193
2
¥ñ âà㤭® ¤®á⨦¨¬®©, ¨ ª ª á«¥¤á⢨¥, ᮢ¥à襭­® ­¥¨­â¥à¥á­®© á ¯à ªâ¨ç¥áª®© â®çª¨ §à¥­¨ï.
à®¨««îáâà¨à㥬 ᤥ« ­­ë¥ ­ ¬¨ ¢ë¢®¤ë ­ ¯à¨¬¥à¥ 㦥 à áᬠâਢ ¢è¥©áï ¢ à §¤¥«¥ 5.2 ¬®¤¥«¨ «®à¥­æ¥¢ ¨¬¯ã«ìá . ˆá¯®«ì§ãï ¯®«ã祭­®¥ à ­¥¥ ¢ëà ¦¥­¨¥ ¤«ï (!), ­ 室¨¬, ¢ ᮮ⢥âá⢨¨ á (5.40),
ᨬ¯â®â¨ç¥áª®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥ ¤«ï ®£¨¡ î饩 ¨¬¯ã«ìá I (; ) p exp( p?2jj ):
(5.41)
2 1+
1+
®¤áâ ¢«ïï ¢ íâ® ¢ëà ¦¥­¨¥ à ¢­®¥ ­ã«î §­ 祭¨¥ , ¯®«ãç ¥¬ § ¢¨á¨¬®áâì ã¡ë¢ ­¨ï ¯¨ª®¢®© ¬®é­®á⨠¨¬¯ã«ìá ¢ ¤ «ì­¥© §®­¥, ᮢ¯ ¤ îéãî á (5.12). ‘®¯®áâ ¢«¥­¨¥ í⮩ § ¢¨á¨¬®á⨠á â®ç­ë¬¨ १ã«ìâ â ¬¨,
à ááç¨â ­­ë¬¨ ­ ®á­®¢¥ (5.11), ¯®ª § ­® ­ à¨á.5.14 . Ž ᪮à®á⨠¯à¨¡«¨¦¥­¨ï ª â®ç­®¬ã §­ 祭¨î ¬®¦­® á㤨âì å®âï ¡ë ¯® ⮬ã, çâ® ¯à¨
= 10 ᨬ¯â®â¨ç¥áª®¥ ¢ëà ¦¥­¨¥ ®ª §ë¢ ¥âáï § ¢ë襭­ë¬ ­ 42%, ¯à¨ = 40 ¡®«¥¥ 祬 ­ 20%. ‚ë室 ­ ¯à¨£®¤­ë© ¤«ï ª®«¨ç¥á⢥­­ëå
®æ¥­®ª ¯®à®£ ¢ 10% ¤®á⨣ ¥âáï «¨èì ¯à¨ 140.
à¨ â ª¨å ãá«®¢¨ïå ¢¯®«­¥ ¥áâ¥á⢥­­®, çâ® ¨ ¢à¥¬¥­­®© ¯à®ä¨«ì
®£¨¡ î饩 (á¬.à¨á.5.14¡, ¢), ¢ëç¨á«¥­­ë© ¯® ä®à¬ã«¥ (5.10), ¨¬¥¥â ¬ «®
çâ® ®¡é¥£® á ᨬ¯â®â¨ª®© (5.41). Œ®¦­® £®¢®à¨âì ® ᮢ¯ ¤¥­¨¨ íâ¨å
§ ¢¨á¨¬®á⥩ «¨èì ­ ú墮áâ åû ¨¬¯ã«ìá . ˆ íâ® ¯à¨ ⮬, ç⮠१ã«ìâ¨àãî騩 ¨¬¯ã«ìá 㦥 ®ª §ë¢ ¥âáï ¬­®£®ªà â­® ãè¨à¥­­ë¬ ¯® ®â­®è¥­¨î ª ¨á室­®¬ã.
2
0.3 Ι(µ,0)
2
0.3 Ι(µ,0)
0.25
0.2
0.15 Ι(µ,0)
0.2
0.1
0.15
0.1
0.1
0.05
0.05
0 5 10 15 20 µ 25 30 35 40
−10
−5
0
¡ µ
5
10
−10 −5
0
¢
5
µ
10
¨á.5.14.  à ¬¥âàë ¨¬¯ã«ìá «®à¥­æ¥¢®© ä®à¬ë ¢ ¤ «ì­¥© §®­¥: ) ¯¨ª®¢ ï ¬®é­®áâì,
¢à¥¬¥­­®© ¯à®ä¨«ì ®£¨¡ î饩 ¯à¨ = 5, ¢) â® ¦¥, çâ® ¨ ¡ ), ­® ¯à¨ = 10.
‘¯«®è­ ï «¨­¨ï ᮮ⢥âáâ¢ã¥â â®ç­ë¬ § ¢¨á¨¬®áâï¬, èâà¨å®¢ ï { ᨬ¯â®â¨ª¥ (5.41).
¡)
—â®¡ë «ãçè¥ ¯à¥¤áâ ¢¨âì ᥡ¥ ⥠à ááâ®ï­¨ï, ­ ª®â®àëå ¯à®¨á室¨â
¯¥à¥å®¤ ª ᨬ¯â®â¨ª¥ (5.40), ¯¥à¥©¤¥¬ ®â ¡¥§à §¬¥à­ëå ¯ à ¬¥â஢ ª
à §¬¥à­ë¬ ¢¥«¨ç¨­ ¬. ‚®á¯®«ì§ã¥¬áï ¯à¨¢¥¤¥­­ë¬ ¢ à §¤¥«¥ 5.2 á®®â194
­®è¥­¨¥¬ ¬¥¦¤ã ¤«¨â¥«ì­®áâìî ¨á室­®£® ¨¬¯ã«ìá p ¨ ¬ áèâ ¡­ë¬
¬­®¦¨â¥«¥¬ t ¤«ï ­ 宦¤¥­¨ï à ááâ®ï­¨ï L ­ ®á­®¢¥ ¨§¢¥áâ­®£® §­ 祭¨ï ¯ à ¬¥âà L= p p :
4( 2 ? 1)k
„«ï ®¯â¨ç¥áª¨ ¯à®§à ç­ëå á। ­ ®á­®¢¥ ¯« ¢«¥­­®£® ª¢ àæ §­ 祭¨¥
k ¬®¦­® ¨§¢«¥çì ¨§ ¤ ­­ëå, ¯®ª § ­­ëå ­ à¨á.5.7 ¢ à §¤¥«¥ 5.3. ®«®¦¨¢ ¤«¨­ã ¢®«­ë ¨§«ã祭¨ï = 0:9¬ª¬, p = 10¯á, â® ¥áâì ¤«¨â¥«ì­®á⨠¯à¥¤¥«ì­® ª®à®âª¨å ¨¬¯ã«ìᮢ, ­ ¤¥¦­® ॣ¨áâà¨à㥬ëå ¯àï¬ë¬¨
¬¥â®¤ ¬¨, ¡¥§ ¯à¨¢«¥ç¥­¨ï ª ª¨å{«¨¡® ᯥªã«ï⨢­ëå ¯à¥¤¯®«®¦¥­¨© ®
ä®à¬¥ ®£¨¡ î饩, ¯®«ãç ¥¬, çâ® §­ 祭¨î = 40 ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¤«¨­ áà¥¤ë ®ª®«® 85ª¬, à¨á.5.14¢ ¢®á¯à®¨§¢®¤¨â ä®à¬ã ¨¬¯ã«ìá ­ à ááâ®ï­¨¨ L ¯à¥¢ëè î騬 21ª¬. „ ¦¥ ¡¥§ íªáâà ¯®«ï樨 ¯à¨¢¥¤¥­­ëå
¤ ­­ëå ­ §­ 祭¨¥ = 140 ᮢ¥à襭­® ïá­®, çâ® ¢ ®¯â¨ç¥áª®¬ ¤¨ ¯ §®­¥ ¯¥à¥å®¤ ª ¤ «ì­¥© ᨬ¯â®â¨ª¥ (5.40) ¢®§¬®¦¥­ «¨¡® ¢ ¨áªãáá⢥­­®
ᮧ¤ ­­ëå á। å á ®£à®¬­®© ¤¨á¯¥àᨥ©, «¨¡® ¤«ï á㡯¨ª®á¥ªã­¤­ëå
¨¬¯ã«ìᮢ ¤«¨â¥«ì­®áâìî p 6 10? á.
Ž¤­ ª® ¤«ï â ª¨å ¨¬¯ã«ìᮢ ¬®£ãâ ¢®§­¨ª âì ¨ ¤à㣨¥ ®á«®¦­¥­¨ï,
§ âà㤭ïî騥 ¨«¨ ¤¥« î騥 ­¥¢®§¬®¦­ë¬ ¯¥à¥å®¤ ª (5.40). Žá­®¢­ ï ¯à®¡«¥¬ , ¡®«¥¥ ¯®¤à®¡­® à áᬠâਢ ¥¬ ï ¢ á«¥¤ãî饬 à §¤¥«¥,
á®á⮨⠢ ®£à ­¨ç¥­­®áâ¨ á ¬®£® ¢â®à®£® ¯à¨¡«¨¦¥­¨ï, ¯®«®¦¥­­®£® ¢
®á­®¢ã ¢ë¢®¤ ᮮ⭮襭¨ï (5.40). Š®à४æ¨ï í⮣® ¯à¨¡«¨¦¥­¨ï ¯ãâñ¬
ãçñâ ¤®¯®«­¨â¥«ì­®£® á« £ ¥¬®£® ¢ à §«®¦¥­¨¨ k(!) ¯à¨¢®¤¨â ª ⮬ã,
çâ® ­ ¡®«ìè¨å à ááâ®ï­¨ïå ¢¬¥áâ® ¯¥à¥å®¤ ª ᨬ¯â®â¨ª¥ ¢¨¤ (5.40)
¢ ¤¨­ ¬¨ª¥ âà ­áä®à¬ 樨 ®£¨¡ î饩 ¨¬¯ã«ìá ­ 稭 îâ ¯à®ï¢«ïâìáï
⥭¤¥­æ¨¨ ᢮©á⢥­­ë¥ ¤¨á¯¥àᨮ­­ë¬ ¯à¨¡«¨¦¥­¨ï¬ ¡®«¥¥ ¢ë᮪®£®
¯®à浪 .
®¬¨¬® ¤ «ñª®© ¨ âà㤭® ¤®á⨦¨¬®© ᨬ¯â®â¨ª¨ (5.40) ¢ ¯à®æ¥áá¥
âà ­áä®à¬ 樨 ®£¨¡ î饩 ¨á室­®£® ᨣ­ « ¯à®¨§¢®«ì­®© ä®à¬ë çñ⪮
¢ë¤¥«ïîâáï ¥éñ ¤¢¥ å à ªâ¥à­ë¥ áâ ¤¨¨. ‚­ ç «¥ ¨¬¯ã«ìá ¤¥ä®à¬¨àã¥âáï â ª¨¬ ®¡à §®¬, ç⮡ë ãáâà ­¨âì ¯à¨áãéãî ¥¬ã ᨬ¬¥âà¨î.
à¨ í⮬ ¥£® ¢¥à設 ¯®á⥯¥­­® ¯¥à¥¬¥é ¥âáï ¢ áâ®à®­ã ¡®«¥¥ ¯®«®£®£® äà®­â . Š ª ¤«¨â¥«ì­®áâì, â ª ¨ ¯¨ª®¢ ï ¬®é­®áâì ¨¬¯ã«ìá ­ í⮩ áâ ¤¨¨ ¬¥­ïîâáï ¢¥áì¬ ­¥§­ ç¨â¥«ì­®.  ¢â®à®© áâ ¤¨¨ ¯®«ã稢訩áï úᨬ¬¥âà¨ç­ë©û ¨¬¯ã«ìá ãè¨àï¥âáï ®â­®á¨â¥«ì­® ᢮¥£® ­®¢®£® 業âà . Žâ¬¥â¨¬, çâ® ­ ç «ì­ ï ä § ᨬ¬¥âਧ 樨 § ¢¥àè ¥âáï
¢ ®¡« á⨠¯à®¬¥¦ãâ®ç­ëå §­ 祭¨© ¯ à ¬¥âà , ¯®í⮬㠯 à ¬¥âàë
úᨬ¬¥âà¨ç­®£®û ¨¬¯ã«ìá ­ ¢â®à®© áâ ¤¨¨ ­¥ ¨¬¥îâ ­¨ç¥£® ®¡é¥£®
0
0
2
0
00
0
00
0
0
0
12
195
á ᨬ¯â®â¨ª®© (5.40), ª ç¥á⢥­­® ¢®á¯à®¨§¢®¤ï á業 ਩ í¢®«î樨 ¨§
à §¤¥« 5.2, ­® ¯à¨ ¡®«ìè¨å §­ 祭¨ïå .
‚ ¦­¥©è¨¬ ¯ à ¬¥â஬ ­ áâ ¤¨¨ ᨬ¬¥âਧ 樨 ¨¬¯ã«ìá ï¥âáï
ᬥ饭¨¥ â®çª¨ ¥£® ¬ ªá¨¬ã¬ max ®â ᢮¥£® ¨á室­®£® ¯®«®¦¥­¨ï. ‚®
¢â®à®¬ ¯à¨¡«¨¦¥­¨¨ í⮠ᬥ饭¨¥ ®ª §ë¢ ¥âáï ®£à ­¨ç¥­­ë¬, ¯®í⮬ã
¥£® íªáâ६ «ì­®¥ §­ 祭¨¥ ¬®¦¥â ¡ëâì ¯®«ã祭® ¯ãâñ¬ ¯à¥¤¥«ì­®£® ¯¥à¥å®¤ ! 1.
„«ï ­ 宦¤¥­¨ï ¯à¨¡«¨¦ñ­­®£® §­ 祭¨ï max ¯à¨ ¡®«ìè¨å ãçâñ¬,
çâ® ­ áâ ¤¨¨ ᨬ¬¥âਧ 樨 ¤«¨â¥«ì­®áâì ¨ ¯¨ª®¢ ï ¬®é­®áâì ¨¬¯ã«ìá ¬¥­ï¥âáï á« ¡®. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¢ ¡¥§à §¬¥à­ëå ¥¤¨­¨æ å ᤢ¨£
¬ ªá¨¬ã¬ ¡ã¤¥â ¨¬¥âì â®â ¦¥ ¯®à冷ª ¢¥«¨ç¨­ë, çâ® ¨ ¤«¨â¥«ì­®áâì
¨¬¯ã«ìá , â.¥. ¯à¨¬¥à­® ¥¤¨­¨æ . ‚ â® ¦¥ ¢à¥¬ï, ¨§ (5.40) á«¥¤ã¥â, çâ®
¢ ¤ «ì­¥© §®­¥ å à ªâ¥à­ë¥ ¨§¬¥­¥­¨ï ¯ à ¬¥â஢ ᨣ­ « ¯à®¨á室ïâ
­ ¢à¥¬¥­­ë å ¨­â¥à¢ « å ¯®à浪 . â® ¤ ñ⠮᭮¢ ­¨¥ áç¨â âì ¨§¬¥­¥­¨¥ I (; ) ­ ¯à®¬¥¦ã⪠å 1 ¤®áâ â®ç­® ¯« ¢­ë¬¨ ¨ § ¬¥­¨âì
ॠ«ì­ë© ¢à¥¬¥­­®© ¯à®ä¨«ì ®£¨¡ î饩 ª®­¥ç­ë¬ ®â१ª®¬ àï¤ ’¥©«®à . …᫨ ­ ç «® ®âáçñ⠢६¥­¨ ¢ë¡à ­® â ª¨¬ ®¡à §®¬, çâ® ¬ ªá¨¬ã¬ ¨á室­®£® ¨¬¯ã«ìá à ᯮ«®¦¥­ ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠­ã«¥¢®£® §­ 祭¨ï ,
â® ¨ 業âà à §«®¦¥­¨ï ¥áâ¥á⢥­­® ᮢ¬¥áâ¨âì á ­ã«¥¬. ’®£¤ ¨áª®¬®¥
à §«®¦¥­¨¥ ¬®¦¥â ¡ëâì ¯®«ã祭® ­¥¯®á।á⢥­­® ¨§ (5.4) ¯à¨ ãá«®¢¨¨,
çâ® f (0; t) ¤®áâ â®ç­® ¡ëáâà® áâ६¨âáï ª ­ã«î ¯à¨ t ! 1.
 §« £ ï ¢ àï¤ ¯® íªá¯®­¥­æ¨ «ì­ë© ¬­®¦¨â¥«ì ¢ ¯®¤ë­â¥£à «ì­®¬
¢ëà ¦¥­¨¨ (5.4) á â®ç­®áâìî ¤® ç«¥­®¢ ¢â®à®£® ¯®à浪 , ¯®á«¥ ¤¢ãªà â­®£® ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨ï ¯® ç áâï¬ ­ 室¨¬ ¯à¨¡«¨¦ñ­­®¥ ¢ëà ¦¥­¨¥ ¤«ï
ª®¬¯«¥ªá­®© ®£¨¡ î饩
f (; ) f (; 0) ? i f (; 0) + 2 (if (; 0) ? f (; 0)):
”㭪樨 fk (; 0) ïîâáï ¬®¬¥­â ¬¨ ¨á室­®© ®£¨¡ î饩
Z1
x
?
1
k
2
fk (; 0) = p2i x e i f (0; x)dx; k = 1; 2:
2
1
2
2
2
?1
¥à¥å®¤ï ®â ¬¯«¨âã¤ë ª ¨­â¥­á¨¢­®á⨠¨§«ã祭¨ï, ¯®«ãç ¥¬ ¢ëà ¦¥­¨¥ ¤«ï ®£¨¡ î饩 ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠¬ ªá¨¬ã¬ ¨¬¯ã«ìá 2
I (; ) I (; 0)? Im f (; 0)f (; 0) + I (; 0)?Re f (; 0)f (; 0) ;
£¤¥, ª ª ¨ à ­¥¥, Ik (; 0) = fk (; 0)fk(; 0). ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢ ¤ «ì­¥©
§®­¥ ¯à¨¡«¨¦ñ­­®¥ ¬¥á⮯®«®¦¥­¨¥ â®çª¨ ¬ ªá¨¬ã¬ max ­ 室¨âáï ¨§
2
1
2
196
1
2
ãá«®¢¨ï
f (; 0)f (; 0)
Im
:
max =
I (; 0) ? Re f (; 0)f (; 0)
(5.42)
1
1
2
‚ ¯à¥¤¥«¥ ! 1 ¢ëà ¦¥­¨¥ (5.42) áâ ­®¢¨âáï ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨ â®ç­ë¬. …᫨ ¯à¨ ¡®«ìè¨å ä㭪樨 I (; 0) ¨ Re(f (; 0)f (; 0)) ã¡ë¢ îâ
¯à®¯®à樮­ «ì­® ¯¥à¢®© á⥯¥­¨ , â® ¬­®¦¨â¥«ì Im(f (; 0)f (; 0)) 1= ; çâ® ¨ ®¡êïá­ï¥â áãé¥á⢮¢ ­¨¥ ª®­¥ç­®£® ¯à¥¤¥« (5.42). Žâ¬¥â¨¬ â ª¦¥, çâ® ¤«ï ¨¬¯ã«ìᮢ, ã ª®â®àëå ®£¨¡ îé ï ¢ ¨á室­®¬ á®áâ®ï­¨¨ úᨬ¬¥âà¨ç­ û ®â­®á¨â¥«ì­® ᢮¥£® 業âà , f (; 0) 0, ¨ á«¥¤®¢ ⥫쭮, max ®ª §ë¢ ¥âáï à ¢­ë¬ ­ã«î ¯à¨ «î¡ëå §­ 祭¨ïå .
à®¨««îáâà¨à㥬 ¯®«ã祭­ë¥ १ã«ìâ âë ­¥áª®«ìª¨¬¨ ¬®¤¥«ì­ë¬¨
à áçñâ ¬¨. ‚ ª ç¥á⢥ ¯¥à¢®£® ¯à¨¬¥à à áᬮâਬ ¨¬¯ã«ìá, ã ª®â®à®£®
®£¨¡ îé ï ¨¬¥¥â ¢¨¤ ú­¥á¨¬¬¥âà¨ç­®©û £ ãáᮢ®© ªà¨¢®© (á¬. à¨á.5.15),
â® ¥áâì
8
t
>
t < 0;
< exp ?( t )
f (0; t) = > (5.43)
t
: exp ? ( )
t > 0;
t
¯à¨ á«¥¤ãîé¨å §­ 祭¨ïå ¯ à ¬¥â஢: = 1; = 18 : Š®íää¨æ¨¥­âë
à §«®¦¥­¨ï í⮩ ä㭪樨 ¢ àï¤ ¯® ¯®«¨­®¬ ¬ à¬¨â à ¢­ë
p "
k
k #
1 ? 2 + p 1
1 ? 2
a k = k! 2 2k p 1
;
1 + 2 1 + 2
1 + 2 1 + 2
"
k ?j
k
X
k
!
2
j
4(1
?
2
)
1 ?
a k = p(2k + 1)! 2 k (?1)j j
1 + 2
1 + 2
j
#
k ?j
4(1 ? 2)
1 :
1 + 2
1 + 2
1
2
1
2
1
2
0
2
0
2
2 +1
2 +1
2
=0
®áª®«ìªã f (0; t) ¨¬¥¥â ­¥¯à¥à뢭ãî ¯¥à¢ãî ¯à®¨§¢®¤­ãî, â® á室¨¬®áâì à §«®¦¥­¨ï ª ᢮¥¬ã â®ç­®¬ã §­ 祭¨î ®ª §ë¢ ¥âáï ¤®áâ â®ç­®
¡ëáâன. …᫨ ãç¥áâì ⮫쪮 ¯¥à¢ë¥ 31 ª®íää¨æ¨¥­â (a ; a ; :::; a ); â®
à á¯à¥¤¥«¥­¨¥ ®â­®á¨â¥«ì­®© ¯®£à¥è­®á⨠¯¯à®ªá¨¬ 樨 f (0; t) ¯®ª § ­® ­ à¨á.5.15¡. „«ï ®¡á㦤 ¥¬®© ­ ¬¨ ¬®¤¥«¨ íâ ¯®£à¥è­®áâì ¢
®á­®¢­®© ç á⨠¨¬¯ã«ìá á®áâ ¢«ï¥â «¨èì ¤¥áïâë¥ ¤®«¨ ¯à®æ¥­â , çâ®
¯® ªà ©­¥© ¬¥à¥ ­ ¯®à冷ª ¬¥­ìè¥ â¨¯¨ç­ëå §­ 祭¨© ¯®£à¥è­®áâ¨
0
197
1
30
¯à¨ íªá¯¥à¨¬¥­â «ì­ëå ¨§¬¥à¥­¨ïå f (0; t).
1
f(0,t)
0.015
0.8
0.01
0.005
0.6
t
0.4
-1 0
-0.005
0.2
-0.01
0
-2
∆ f(0,t)
f(0,t)
1
2
t
4
4
5
¡
-0.015
2
3
6
¨á.5.15. €á¨¬¬¥âà¨ç­ë© ¨¬¯ã«ìá, ¯®«ã祭­ë© úá訢 ­¨¥¬û ¢ ­ã«¥ ¤¢ãå £ ãáᮢëå
ªà¨¢ëå: ) ¬¯«¨â㤠®£¨¡ î饩 (5.43), ¡ ) ®â­®á¨â¥«ì­ ï ¯®£à¥è­®áâì ¯¯à®ªá¨¬ 樨 f (0; t) ª®­¥ç­ë¬ ®â१ª®¬ àï¤ ¯® äã­ªæ¨ï¬ à¬¨â ¯à¨ N = 30.
 ¨¡®«¥¥ ¨­â¥à¥á­ë¥ ®á®¡¥­­®á⨠ᨬ¬¥âਧ 樨 ®£¨¡ î饩 ­ ­ ç «ì­®© áâ ¤¨¨ ¨ ­ íâ ¯¥ ¯¥à¥å®¤ ª ¯à®¬¥¦ãâ®ç­®© ®¡« á⨠¯®ª § ­ë ­ à¨á.5.16. „«ï §­ 祭¨© ¯ à ¬¥âà à ¢­ëå 1=4 ¨ 1=2 ¤«¨â¥«ì­®áâì ¨¬¯ã«ìá , ¨§¬¥à¥­­ ï ¯® ã஢­î ¯®«®¢¨­ë ¬ ªá¨¬ «ì­®© ¨­â¥­á¨¢­®áâ¨, ®ª §ë¢ ¥âáï ¯à ªâ¨ç¥áª¨ ­¥¨§¬¥­­®©.  ¡«î¤ ¥âáï ¤®áâ â®ç­® ¡ëáâ஥ ᬥ饭¨¥ â®çª¨ ¬ ªá¨¬ã¬ ¢ áâ®à®­ã ¡®«¥¥ ¯®«®£®£® § ¤­¥£® äà®­â , ¢ १ã«ìâ ⥠祣® ᨬ¬¥âà¨ï ¨¬¯ã«ìá áãé¥á⢥­­® 㬥­ìè ¥âáï. Š ª ¨ ¢ ¬®¤¥«¨ úá㯥࣠ãáᮢ û ¨¬¯ã«ìá , à áᬠâਢ ¢è¥£®áï
à ­¥¥, ­ ­ ç «ì­®¬ ãç á⪥ ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ­¥§­ ç¨â¥«ì­®¥ 㢥«¨ç¥­¨¥ ¯¨ª®¢®© ¬®é­®á⨠¤ ¦¥ ¯® ®â­®è¥­¨î ª ¨á室­®¬ã ¨¬¯ã«ìáã, ®¤­ ª® ¢
¤ ­­®¬ á«ãç ¥ íâ®â íä䥪⠢ëà ¦¥­ £®à §¤® á« ¡¥¥.
1
1
Ι(µ,τ)
1
Ι(µ,τ)
0.8
0.8
0.8
0.6
0.6
0.6
0.4
0.4
0.4
0.2
−2 −1 0
0.2
1
2 τ 3
4
5
−2 −1 0
0.2
¡
1
2 τ 3
Ι(µ,τ)
4
5
−2 −1 0
¢
1
2 τ 3
4
5
¨á.5.16. ‘¨¬¬¥âਧ æ¨ï ¨¬¯ã«ìá á ®£¨¡ î饩 ¢¨¤ (5.43). ‡­ 祭¨ï ¯ à ¬¥âà :
1=4, ¡ ) 1=2, ¢) 1.
)
‚ ¯à®¬¥¦ãâ®ç­®© ®¡« á⨠¯à¨ úᨬ¬¥âà¨ç­®©û ä®à¬¥ ¢à¥¬¥­­®£® ¯à®ä¨«ï ®£¨¡ î饩 ¤®¢®«ì­® ç áâ® ­ ®¡®¨å ú墮áâ åû ¨¬¯ã«ìá ¢®§­¨ª «¨
«®ª «ì­ë¥ ¬ ªá¨¬ã¬ë, ª®â®àë¥ ®¡ëç­® ¢®á¯à¨­¨¬ «¨áì ª ª á« ¡ë¥ ¢â®198
à¨ç­ë¥ á¯ãâ­¨ª¨, ¯®£«®éñ­­ë¥ ¯¥à¢¨ç­ë¬ ¨¬¯ã«ìᮬ.  áâ ¤¨¨ ᨬ¬¥âਧ 樨 ¤ ­­ ï ®á®¡¥­­®áâì ¯à®ï¢«ï¥âáï ⮫쪮 ­ ¡®«¥¥ ¯®«®£®¬
ä஭⥠(á¬.à¨á.5.16¡, ¢).
®¯ëâ ¥¬áï ­ ©â¨ ª®«¨ç¥á⢥­­ë¥ ®æ¥­ª¨ ­ ¡«î¤ ¥¬ë¬ § ª®­®¬¥à­®áâï¬. „«ï ¤ ­­®© ¬®¤¥«¨ á¨âã æ¨ï áãé¥á⢥­­® ã¯à®é ¥âáï § áçñâ
⮣®, çâ® à áá㦤¥­¨ï, ¯®«®¦¥­­ë¥ ¢ ®á­®¢ã ¢ë¢®¤ (5.42), ®ª §ë¢ îâáï
á¯à ¢¥¤«¨¢ë¬¨ ¨ ¤«ï ­¥¡®«ìè¨å §­ 祭¨© .
‚ëç¨á«¨¬ 䨣ãà¨àãî騥 ¢ (5.42) ä㭪樨 fk (; 0). ˆ§ ä®à¬ã«ë (5.4)
¤«ï ª®¬¯«¥ªá­®© ¬¯«¨âã¤ë ®£¨¡ î饩 á«¥¤ã¥â
1
Z
1
f (L; ) = p
exp( i x )f (0; x + ) dx:
2k L
2ik L?1
2
00
00
0
0
®« £ ï ¢ í⮬ ¢ëà ¦¥­¨¨ = 0, ¯®«ãç ¥¬ á ãçñ⮬ (5.9) ¨ (5.34)
1
1
Z
Z
ix
1
ix
f (; 0)= p2i exp ?x + 2 dx + exp ?x + 2 dx =
(5.44)
1
p
:
+ p 1
2 1 + 2i 2 1 + 2i
2
2
2
2
0
0
€­ «®£¨ç­ë¬ ®¡à §®¬ ¢ëç¨á«ïîâáï ¨ ¤¢¥ ¤à㣨¥ ä㭪樨
r
i
1
1
f (; 0) = 2 1 + 2i ? 1 + 2i ;
1
i
1
1
f (; 0) = 2 (1 + 2i) = + (1 + 2i ) = :
®¤áâ ¢«ïï ¢ëà ¦¥­¨ï ¤«ï fk (; 0) ¢ (5.42), ®¡­ à㦨¢ ¥¬ «î¡®¯ëâ­ãî
ᨭ£ã«ïà­®áâì, ®¡ãá«®¢«¥­­ãî ­ «¨ç¨¥¬ ¨§«®¬ ¢ ¯à®¨§¢®¤­®© (5.43).
“¤¥à¦¨¢ ï ¢ (5.42) ⮫쪮 £« ¢­ë¥ ç«¥­ë, ­ 室¨¬, çâ® ¢ ®¡« á⨠¬ «ëå
§­ 祭¨© r
;
max ?
+
2
3 2
3 2
â® ¥áâì ¢ â®­ª¨å á«®ïå áà¥¤ë ­ ¡«î¤ ¥âáï ¯à ªâ¨ç¥áª¨ ᪠窮®¡à §­®¥
ᬥ饭¨¥ ¢¥àè¨­ë ¨¬¯ã«ìá . ‘ª®à®áâì í⮣® ᤢ¨£ ¯à®¯®à樮­ «ì­ ( ? )=( + ) { ®â­®á¨â¥«ì­®© ᨬ¬¥âਨ ä஭⮢ ¨¬¯ã«ìá . „ ­­ë©
íä䥪⠯ந««îáâà¨à®¢ ­ ­ à¨á.5.17 ¯ãâñ¬ ç¨á«¥­­®£® ­ 宦¤¥­¨ï
â®çª¨ íªáâ६㬠I (; ) á ¨á¯®«ì§®¢ ­¨¥¬ (5.36).
199
1.2
τ max
1
1
0.8
0.8
0.6
0.7
0.4
0.2
0
I max
0.9
0.5
1
1.5
2
0.6
µ
2.5 3
µ
¡
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
¨á.5.17.  à ¬¥âàë ᨬ¬¥âà¨ç­®£® ¨¬¯ã«ìá (5.43) ­ áâ ¤¨¨ ᨬ¬¥âਧ 樨: ) ¬¥á⮯®«®¦¥­¨¥ â®çª¨ ¬ ªá¨¬ã¬ , ¡ ) ¯¨ª®¢ ï ¬®é­®áâì ¨¬¯ã«ìá .
®á«¥ ¯®¤áâ ­®¢ª¨ max ¢ ¯à¨¡«¨¦ñ­­ãî § ¢¨á¨¬®áâì ¤«ï I (; ), ¨á¯®«ì§®¢ ¢èãîáï ¯à¨ ¢ë¢®¤¥ (5.42), ¯¨ª®¢ãî ¬®é­®áâì ¨¬¯ã«ìá á â®ç­®áâìî ¤® ç«¥­®¢ ¯®à浪 㤠ñâáï ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥
Imax() 1 + ((?+) ) :
ˆ§ ¯à¨¢¥¤¥­­®£® ¢ëà ¦¥­¨ï á«¥¤ã¥â, çâ® ¯à¨ ¯à®¨§¢®«ì­®¬ ᮮ⭮襭¨¨
¬¥¦¤ã ¤«¨â¥«ì­®áâﬨ ¯¥à¥¤­¥£® ¨ § ¤­¥£® ä஭⮢ ¢ ¤ ­­®© ¬®¤¥«¨
¨¬¯ã«ìá , ­ ç «ì­ ï áâ ¤¨ï ¢á¥£¤ ᮯ஢®¦¤ ¥âáï ­¥¡®«ì訬 à®á⮬
¯¨ª®¢®© ¬®é­®á⨠å®à®è® § ¬¥â­ë¬ ­ à¨á.5.17¡.
‘ à®á⮬ ᪮à®áâì ᬥ饭¨ï ¢¥àè¨­ë ¨¬¯ã«ìá § ¬¥¤«ï¥âáï. Œ ªá¨¬ «ì­®¥ §­ 祭¨¥ í⮩ ¢¥«¨ç¨­ë ¬®¦¥â ¡ëâì ­ ©¤¥­® ¨§ (5.42) ¯ãâñ¬
¯¥à¥å®¤ ª ¯à¥¤¥«ã ! 1: ‚®á¯®«ì§®¢ ¢è¨áì ¢ëç¨á«¥­­ë¬¨ à ­¥¥
§ ¢¨á¨¬®áâﬨ fk (; 0), ¯®«ãç ¥¬
p
p p
1 r ( ? p )(p+ +p ) :
(5.45)
2 ( ? 2)( ? ) + „«ï ¢ë¡à ­­ëå ­ ¬¨ §­ 祭¨© ¯ à ¬¥â஢ ¨ ¯à¥¤¥«ì­®¥ §­ 祭¨¥
max 1:51: ®ª § ­­­ ï ­ à¨á.5.17 ªà¨¢ ï ¥éñ ¤ «¥ª ®â í⮩ ᨬ¯â®âë, ¯®áª®«ìªã ®â¡à®è¥­­ë¥ ¯à¨ ¢ë¢®¤¥ (5.45) á« £ ¥¬ë¥ ¯® ¯®à浪ã
¢¥«¨ç¨­ë ¯à®¯®à樮­ «ì­ë 1=, â® ¥áâì ¤®áâ â®ç­® ¢¥«¨ª¨, çâ® ¨ ®¡êïá­ï¥â ¬¥¤«¥­­ãî ᪮à®áâì ¢ë室 ­ ᨬ¯â®â¨ªã (5.45).
 à¨á.5.18 ¯®ª § ­ ®¡é ï ª à⨭ âà ­áä®à¬ 樨 ®£¨¡ î饩 í⮣®
¨¬¯ã«ìá ¢ ¯à®¬¥¦ãâ®ç­®© ®¡« áâ¨. ‘®¯®áâ ¢«¥­¨¥ à¨á.5.2 ¨ à¨á.5.18
­ £«ï¤­® ¤¥¬®­áâà¨àã¥â, ç⮠ᨬ¬¥âਧ æ¨ï ¨¬¯ã«ìá ¤ ¦¥ ¯à¨ ®âáãâá⢨¨ ç¨à¯ íä䥪⨢­® ¡«®ª¨àã¥â ¯à®æ¥áá ¤¨á¯¥àᨮ­­®£® ãè¨à¥­¨ï
¨¬¯ã«ìᮢ ­ ¤ ­­®© áâ ¤¨¨ ¥£® í¢®«î樨.
2
2
200
ï¤ë ”ãàì¥ ®¡« ¤ îâ ⥬ ¢ ¦­ë¬
᢮©á⢮¬, çâ® ®¡¥á¯¥ç¨¢ îâ ¡ëáâàãî
1 Ι(µ,τ)
á室¨¬®áâì àï¤ ª ᢮¥© á㬬¥ ¢ á।­¥¬. 0.8
‚ â® ¦¥ ¢à¥¬ï, ­ ¯à ªâ¨ª¥ ­¥ ¬¥­ì訩 0.6
¨­â¥à¥á ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ¨ ¯®â®ç¥ç­ ï á室¨- 0.4
¬®áâì, ¯à¥¦¤¥ ¢á¥£® ¢ 業âà «ì­®© ç á⨠0.20
τ −2
0
¨¬¯ã«ìá , ᪮à®áâì ª®â®à®© ¢ ¤ ­­®© 䨪0
µ
1
2
2
á¨à®¢ ­­®© â®çª¥ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ª ª £« ¤4
3
ª®áâìî á ¬®© ä㭪樨, â ª ¨ ¥ñ ¯à®¨§¢®¤¨á.5.18. ” § ᨬ¬¥âਧ 樨
­ëå ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠¤ ­­®© â®çª¨.
®áª®«ìªã à áᬮâ७­ë© ­ ¬¨ ᨬ- ¨¬¯ã«ìá (5.43).
¬¥âà¨ç­ë© ¨¬¯ã«ìá ¯®«ã祭 ¢ १ã«ìâ ⥠á訢 ­¨ï ¢ ­ã«¥ ¤¢ãå £ ãáᮢëå ªà¨¢ëå, â® ¢ ¯¥à¢ãî ®ç¥à¥¤ì ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ¨­â¥à¥á ᮯ®áâ ¢¨âì
â®ç­®¥ §­ 祭¨¥ ¨­â¥­á¨¢­®á⨠१ã«ìâ¨àãî饣® ᨣ­ « á à ááç¨â ­­ë¬ ­ ®á­®¢¥ (5.36) ¯à¨ = 0: ‚®á¯®«ì§®¢ ¢è¨áì ¢ëà ¦¥­¨¥¬ (5.44)
¤«ï ¬¯«¨âã¤ë ®£¨¡ î饩, ­ 室¨¬ ¨­â¥­á¨¢­®áâì ¨§«ã祭¨ï ¢ â®çª¥
¬ ªá¨¬ã¬ 2 cos( (arctg 2?arctg 2)) +p 1
+ p
:
I (; 0)= 14 p 1
1+(2)
1+(2)
(1+(2) )(1+(2) )
1
2
2
2
4
2
2
(5.46)
‘à ¢­¥­¨¥ (5.46) á ¯¯à®ªá¨¬ 樥©,
∆ Ι(µ,0)
0.001 ______
¯®«ã祭­®© ­ ®á­®¢¥ á㬬¨à®¢ Ι(µ,0)
­¨ï ãá¥çñ­­®£® àï¤ (5.36), ¢ëï¥â
0.0005
¢¥áì¬ á¢®¥®¡à §­ë©, ­¥¬®­®â®­­ë©
å à ªâ¥à ®â­®á¨â¥«ì­®© ®è¨¡ª¨ ¯0
5
1
2
3
4
6
µ
¯à®ªá¨¬ 樨 ª ª ä㭪樨 ¯ à ¬¥âà . ’®çª = 0 ¢ë£«ï¤¨â ª ª â®çª −0.0005
úá£ã饭¨ïû ¨ ¢ ¥ñ ®ªà¥áâ­®á⨠¤ ¦¥
−0.001
­¥§­ ç¨â¥«ì­ë¥ ¨§¬¥­¥­¨ï ¬®£ãâ áãé¥á⢥­­® ¬¥­ïâì ­¥ ⮫쪮 ¢¥«¨ç¨­ã, ¨á.5.19. Žâ­®á¨â¥«ì­ ï ¯®£à¥è­® ¨ §­ ª ¯®£à¥è­®á⨠¯¯à®ªá¨¬ - ­®áâì ¯¯à®ªá¨¬ 樨 ä㭪樨 (5.43)
樨. ä䥪â úà ᪠稢 ­¨ïû, å®à®è® ª®­¥ç­ë¬ ®â१ª®¬ àï¤ (5.36). —¨§ ¬¥â­ë© ­ à¨á.5.19, ᢨ¤¥â¥«ìáâ¢ã¥â á«® ç«¥­®¢ àï¤ : ¯ã­ªâ¨à­ ï { 21,
®¡ ®âáãâá⢨¨ ᨬ¯â®â¨ç¥áª®© ãá⮩- ᯫ®è­ ï «¨­¨ï { 31.
稢®á⨠¯¯à®ªá¨¬ ­â ¯® ®â­®è¥­¨î ª ¯ à ¬¥âàã ¢ ¤ «ì­¥© §®­¥, çâ®
¬®¦¥â ¯à¨¢®¤¨âì ª ­¥ª®­â஫¨à㥬®¬ã à®áâã ¯®£à¥è­®á⨠¢ ⮩ ®¡« áâ¨
¨§¬¥­¥­¨ï ¯ à ¬¥â஢ § ¤ ç¨, ª®£¤ १ã«ìâ¨àãî騩 ¨¬¯ã«ìá ãè¨à¥­
¯® ®â­®è¥­¨î ª ¨á室­®¬ã ¢ á®â­¨ à §. ‚¯à®ç¥¬, ¯®¤®¡­®¥ ¯®¢¥¤¥­¨¥
201
«£®à¨â¬ ­¥ ï¥âáï 祬{â® ­¥®¦¨¤ ­­ë¬, ¢¯®«­¥ ¯à®£­®§¨à㥬®
¨ «¨èì ᢨ¤¥â¥«ìáâ¢ã¥â ® ⮬, çâ® ¥£® ॠ«¨§ æ¨ï ¤®«¦­ ᮤ¥à¦ âì
í«¥¬¥­âë ®¡à â­®© á¢ï§¨, ¨«¨ ¤à㣨¬¨ á«®¢ ¬¨, ¡ëâì ¤ ¯â¨¢­®©.
Žâ¬¥ç¥­­ ï ®á®¡¥­­®áâì å à ªâ¥à­ ¤«ï ¢¥áì¬ è¨à®ª®£® ª« áá «£®à¨â¬®¢.  áᬮâਬ, ­ ¯à¨¬¥à, § ¤ çã ç¨á«¥­­®£® ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨ï.
à¨ R¢ëç¨á«¥­¨¨
®¯à¥¤¥«ñ­­®£® ¨­â¥£à « á ¯¥à¥¬¥­­ë¬ ¢¥àå­¨¬ ¯à¥¤¥x
«®¬ a f (x )dx «î¡ ï ª¢ ¤à âãà­ ï ä®à¬ã« , ᮤ¥à¦ é ï 䨪á¨à®¢ ­­®¥ ç¨á«® 㧫®¢ k, ¢ ª®­æ¥ ª®­æ®¢ ®ª ¦¥âáï ­¥¯à¨£®¤­®©, ¯® ¬¥à¥ ⮣® ª ª
¡ã¤¥â ¢®§à áâ âì ¤«¨­ ¨­â¥à¢ « x ? a. …᫨ å à ªâ¥à ¯®¢¥¤¥­¨ï ä㭪樨 f (x ) § à ­¥¥ ­¥¨§¢¥á⥭, â® ¢®¯à®á ® â®ç­®á⨠¢ëç¨á«¥­¨© ®áâ ñâáï
®âªàëâë¬.
‘â ­¤ àâ­ë© ¯à¨¥¬, ª®â®àë© ¨á¯®«ì§ã¥âáï ¢ ¯®¤ ¢«ïî饬 ¡®«ì設á⢥ á«ãç ¥¢, á®á⮨⠢ ⮬, çâ®¡ë ¯à®¢¥á⨠¯®¢â®à­ë¥ ¢ëç¨á«¥­¨ï á
¡®«ì襩 â®ç­®áâìî. â®£® ¬®¦­® ¤®áâ¨çì «¨¡® ¯®¢ëè ï ¯®à冷ª k ª¢ ¤à âãà­®© ä®à¬ã«ë, «¨¡® à §¡¨¢ ï ¨­â¥à¢ « x ? a ­ ­¥áª®«ìª® ¬¥­ìè¨å
¯®¤¨­â¥à¢ «®¢. …᫨ १ã«ìâ â ¯®¢â®à­®£® ¢ëç¨á«¥­¨ï ¢ ¯à¥¤¥« å § à ­¥¥ § ¤ ­­®© ¯®£à¥è­®á⨠ᮢ¯ ¤ ¥â á १ã«ìâ ⮬ ¯à¥¤ë¤ã饣® áçñâ ,
â® áç¨â ¥âáï, çâ® âॡ㥬 ï â®ç­®áâì ¤®á⨣­ãâ ¨ ¢ëç¨á«¥­¨ï ¯à¥ªà é îâáï. ‚ ¯à®â¨¢­®¬ á«ãç ¥ ¢ë¯®«­ï¥âáï ¥éñ ®¤­ ¨â¥à æ¨ï «£®à¨â¬ .
‚ᥠ¡¥§ ¨áª«î祭¨ï ¯ ª¥âë ç¨á«¥­­®£® ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨ï ¨á¯®«ì§ãîâ
¤«ï ª®­â஫ï â®ç­®á⨠áâà ⥣¨î, ®á­®¢ ­­ãî ­ ¤à®¡«¥­¨¨ ¨­â¥à¢ « ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨ï. ‚ ­ 襬 ¦¥ á«ãç ¥ ¡®«¥¥ ¥áâ¥á⢥­­® ®¯¨à âìáï ­ «ìâ¥à­ ⨢­ë© ¯®¤å®¤. à¨ à áçñ⥠®£¨¡ î饩 ¨¬¯ã«ìá ¢ ®¡« áâ¨
®ç¥­ì ¡®«ìè¨å §­ 祭¨© ¯®á«¥ ¯à®¢¥¤¥­¨ï ¯¥à¢¨ç­ëå ¢ëç¨á«¥­¨© ­¥®¡å®¤¨¬® ®¯à¥¤¥«¨âì ­¥áª®«ìª® ­®¢ëå ª®íää¨æ¨¥­â®¢ ak à §«®¦¥­¨ï ¨á室­®£® ᨣ­ « ¢ àï¤ ¯® äã­ªæ¨ï¬ à¬¨â ¨ ¯®¢â®à¨âì à áçñâ. ‘⥯¥­ì
¡«¨§®á⨠¯®«ã祭­ëå १ã«ìâ ⮢ ¨ ¡ã¤¥â ¢ëáâ㯠âì ¢ ª ç¥á⢥ ªà¨â¥à¨ï § ¢¥à襭¨ï ¢ëç¨á«¥­¨©.
 à¨á.5.19 ¯®ª § ­® ª ª 㬥­ì訫 áì ¯®£à¥è­®áâì ¯¯à®ªá¨¬ 樨
¯®á«¥ ¤®¡ ¢«¥­¨ï ¥éñ 10 ç«¥­®¢ à §«®¦¥­¨ï. ‘«¥¤ã¥â ®â¬¥â¨âì, çâ®
ॠ«¨§ æ¨ï ¤ ­­®£® «£®à¨â¬ á।á⢠¬¨ áâ ­¤ àâ­ëå ¡¨¡«¨®â¥ª ç¨á«¥­­®£® ­ «¨§ ¬®¦¥â á⮫ª­ãâìáï á ®¯à¥¤¥«ñ­­ë¬¨ á«®¦­®áâﬨ, ¯®áª®«ìªã ª®íää¨æ¨¥­âë à §«®¦¥­¨ï ak ¡ëáâà® ã¡ë¢ îâ, ¢ â® ¢à¥¬ï ª ª
§­ 祭¨ï ¯®«¨­®¬®¢ à¬¨â íªá¯®­¥­æ¨ «ì­® à áâãâ. ‘â ­¤ àâ­ë¥ ¢ëç¨á«¥­¨ï, ¨á¯®«ì§ãî騥 à¨ä¬¥â¨ªã ¤¢®©­®© â®ç­®á⨠(15 ¤¥áïâ¨ç­ëå
æ¨äà), ¢ â ª®© á¨âã 樨 ¡á®«îâ­® ­¥¯à¨£®¤­ë ¨ ॠ«¨§ æ¨ï ¤®«¦­ ®¯¨à âìáï «¨¡® ­ ¡¨¡«¨®â¥ª¨, ¯®¤¤¥à¦¨¢ î騥 à¨ä¬¥â¨ªã ¯à®¨§¢®«ì­®© â®ç­®áâ¨, «¨¡® ­ á¨áâ¥¬ë ª®¬¯ìîâ¥à­®© «£¥¡àë, ªã¤ í⨠ª®¬¯®0
0
0
202
­¥­âë ¢áâ஥­ë ¨§­ ç «ì­®.
‘ ¤à㣮© áâ®à®­ë, ¥á«¨ ­¥ à áᬠâਢ âì ᨬ¯â®â¨ªã ! 1, ®£à ­¨ç¨âìáï ­ ¨¡®«¥¥ ⨯¨ç­ë¬¨ §­ 祭¨ï¬¨ ¯ à ¬¥â஢, ¯à¨ ª®â®àëå ®â­®è¥­¨¥ ¤«¨â¥«ì­®á⨠¨¬¯ã«ìá , ¯à®è¥¤è¥£® ¢ á।¥ à ááâ®ï­¨¥
L, ¯® ®â­®è¥­¨î ª ¨á室­®¬ã á®áâ ¢«ï¥â ¢¥«¨ç¨­ã 6 10, ⮠㦥 ¨§ ¬ áèâ ¡ â¥å ¢¥«¨ç¨­, ª®â®àë¥ ¨§®¡à ¦¥­ë ­ à¨á.5.19, áâ ­®¢¨âáï ïá­®,
çâ® â®ç­®á⨠®¤­®© ¥¤¨­á⢥­­®© ¨â¥à 樨 ¯à¥¤«®¦¥­­®£® «£®à¨â¬ ¡®«¥¥ 祬 ¤®áâ â®ç­® ¤«ï ¡á®«îâ­®£® ç¨á« ¯à¨«®¦¥­¨©.
 á«¥¤ãî饬 ¯à¨¬¥à¥ ¡ã¤¥â ¯à®¤¥¬®­áâà¨à®¢ ­ ¥éñ ®¤¨­ ª« áá ᨣ­ «®¢, ª®â®àë¥ ®ª §ë¢ îâáï ¤®áâ â®ç­® á«®¦­ë¬¨ ¤«ï ¬­®£¨å ç¨á«¥­­ëå ¨ ¯®«ã ­ «¨â¨ç¥áª¨å «£®à¨â¬®¢, ¢ ⮬ ç¨á«¥ ¨ ¤«ï ¨§«®¦¥­­®£®
¢ëè¥ ¯®¤å®¤ . ®áª®«ìªã ¨­â¥à¢ «®¬ ®à⮣®­ «ì­®á⨠¢ë¡à ­­®© ­ ¬¨
á¨á⥬ë ä㭪権 ï¥âáï ¢áï ¢à¥¬¥­­ ï ®áì, â® ¢ à ¬ª å â ª®© á奬ë
®âáãâáâ¢ãîâ ª ª¨¥{«¨¡® ¬¥å ­¨§¬ë ¯à¨¢ï§ª¨ ¢¥«¨ç¨­ë ᨣ­ « ª ­¥ª®â®à®¬ã 䨪á¨à®¢ ­­®¬ã §­ 祭¨î ¢ ®¯à¥¤¥«ñ­­ë© ¬®¬¥­â ¢à¥¬¥­¨. ‚
¯®¤ ¢«ïî饬 ¡®«ì設á⢥ á«ãç ¥¢ ¢ í⮬ ¨ ­¥â ­¥®¡å®¤¨¬®áâ¨. …᫨
¦¥ ¯®¤®¡­ ï á¨âã æ¨ï ¢áñ{â ª¨ ¢®§­¨ª ¥â, ­ ¯à¨¬¥à ¯ãâñ¬ ­ «®¦¥­¨ï
âॡ®¢ ­¨ï ­ ⮦¤¥á⢥­­®¥ ®¡à 饭¨¥ ¢ ­ã«ì ¬¯«¨âã¤ë ¨¬¯ã«ìá § ¯à¥¤¥« ¬¨ ­¥ª®â®à®£® ¯à®¬¥¦ã⪠, â® ¬ë ¡ã¤¥¬ ¨¬¥âì ¤¥«® á ú¯ ⮫®£¨ç¥áª¨¬û á«ãç ¥¬ ç१¢ëç ©­® ¬¥¤«¥­­®© á室¨¬®á⨠àï¤ (5.31) ¢
®ªà¥áâ­®á⨠£à ­¨ç­ëå â®ç¥ª.
ˆ¬¥­­® â ª ï á¨âã æ¨ï ¨ ¡ã¤¥â ¯®¤à®¡­® ¯à® ­ «¨§¨à®¢ ­ ­ ¯à¨¬¥à¥ ¨¬¯ã«ìá , § ¤ ­­®£® ­ ¯®«ã¯àאַ©. à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® ®£¨¡ îé ï
¨á室­®£® ᨣ­ « ®¯¨áë¢ ¥âáï § ¢¨á¨¬®áâìî (á¬. à¨á.5.20 )
8
2
>
< 2 ? 1 t
t
f (0; t) = > t e 2 t ; t > 0
(5.47)
:
0;
t < 0:
Š®íää¨æ¨¥­âë à §«®¦¥­¨ï ®ª §ë¢ îâáï ¢ í⮬ á«ãç ¥ à ¢­ë¬¨
k
a = 14 ; a = 2p1 ; a = 18 ; a k = pk!(4(?k1)? 1)2 k ;
a k = 0 ¯à¨ k = 1; 2; 3; : : : : ¥á¬®âàï ­ â®, çâ® f (0; t) ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬 ¯à¨ ¢á¥å t á室¨¬®áâì àï¤ (5.31) ­ 墮áâ å ¨¬¯ã«ìá ®ª §ë¢ ¥âáï
¤®¢®«ì­®{â ª¨ ¬¥¤«¥­­®©. ‘ ¯à ªâ¨ç¥áª®© â®çª¨ §à¥­¨ï íâ® ¢àï¤ «¨ ¢ë§®¢¥â ª ª¨¥{«¨¡® ®á«®¦­¥­¨ï, ¯®áª®«ìªã, ª ª ¯®ª § ­® ­ à¨á.5.20¡, ¯®£à¥è­®áâì ¯¯à®ªá¨¬ 樨 ­ 稭 ¥â ¯à¥¢ëè âì 1% ⮫쪮 ¢ â¥å ç áâïå
¨¬¯ã«ìá , £¤¥ ¬¯«¨â㤠㬥­ì訫 áì ¯® ®â­®è¥­¨î ª ᢮¥¬ã ¯¨ª®¢®¬ã
0
0
+1
0
1
2
2 +1
2 +2
203
2
2 +1
§­ 祭¨î ¡®«¥¥ 祬 ­ ¯®à冷ª. Ž¤­ ª® ä®à¬ «ì­®, ­ «¨æ® à ¤¨ª «ì­®¥
§ ¬¥¤«¥­¨¥ á室¨¬®á⨠àï¤ .
0.7 f(0,t)
0.02
∆ f(0,t)
0.01 f(0,t)
0.6
0.5
0.4
0
0.3
1
2
3
t
−0.01
0.2
0.1
0
1
2
3
4
¡
−0.02
t
¨á.5.20. ) €¬¯«¨â㤠¨á室­®£® ᨣ­ « (5.47), ¡ ) ®â­®á¨â¥«ì­ ï ¯®£à¥è­®áâì ¯¯à®ªá¨¬ 樨 ¯à¨ ãçñ⥠25 (ᯫ®è­ ï «¨­¨ï) ¨ 30 (¯ã­ªâ¨à­ ï «¨­¨ï) ­¥­ã«¥¢ëå ç«¥­®¢
à §«®¦¥­¨ï.
à®áâ ï ä㭪樮­ «ì­ ï § ¢¨á¨¬®áâì f (0; t) ¯®§¢®«ï¥â ¯®«ãç¨âì ­ «¨â¨ç¥áª®¥ ¢ëà ¦¥­¨¥ ¤«ï ª®¬¯«¥ªá­®© ®£¨¡ î饩 ¯à¨ ¯à®¨§¢®«ì­®¬
§­ 祭¨¨ L ¨ ¯à®¢¥á⨠­ «¨§ ¯®£à¥è­®á⨠¯à¥¤«®¦¥­­®£® «£®à¨â¬ ­¥ ⮫쪮 ¢ ®¤­®© ®â¤¥«ì­® ¢§ï⮩ â®çª¥ ¢à¥¬¥­­®© ®á¨, ª ª íâ® ¡ë«®
ᤥ« ­® ¢ ¯à¥¤ë¤ã饬 ¯à¨¬¥à¥, ¯à¨ ¢á¥å ¢®§¬®¦­ëå §­ 祭¨ïå ¨ .
 áçñâ f (L; ) ¢ë¯®«­¨¬, ¨á¯®«ì§ãï ᮮ⭮襭¨¥ (5.4) á ãçñ⮬ ¡¥§à §¬¥à­ëå ¯ à ¬¥â஢ ¨ Z1
(
1
?
x
)
f (; ) = p2i exp ? 2i x e? x dx:
2
2
1
2
2
0
”¨£ãà¨àãî騩 ¢ ¯à ¢®© ç á⨠¯à¥¤ë¤ã饣® à ¢¥­á⢠¨­â¥£à « ¬®¦¥â
¡ëâì ¢ëç¨á«¥­ ¯ãâñ¬ ¤¨ää¥à¥­æ¨à®¢ ­¨ï ¯® ¯ à ¬¥âàã q á«¥¤ãî饣®
â ¡«¨ç­®£® ¨­â¥£à « ¯à¨ ãá«®¢¨¨ Re(p) > 0
Z1
0
r
q q 1
?
px
?
qx
e
dx = 2 p exp 4p erfc 2pp :
2
2
®á«¥ ¢ë¯®«­¥­¨ï ¤¨ää¥à¥­æ¨à®¢ ­¨ï ¨ ¯à¨¢¥¤¥­¨ï ¯®¤®¡­ëå ç«¥­®¢
ª®­¥ç­ë© १ã«ìâ â 㤠ñâáï ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥
Z1
r
q q 1
d
?
px
?
qx
xe
dx = 2 p dq exp 4p erfc 2pp =
2
2
2
2
2
0
1 r (1 + q ) exp( q ) erfc( q ) ? q :
4p p
2p
4p
2pp pp
2
204
2
‚®§¢à é ïáì ª f (; ), ¯®«ãç ¥¬ ª®¬¯«¥ªá­ãî ¬¯«¨âã¤ã ®£¨¡ î饩 ¯à¨
¢á¥å > 0
i Z1
x
ix 1
i
f (; ) = p2i exp 2 x exp ? 2 (1 ? ) exp ? dx =
2
2
2
0
"
i2 i exp
2
2(1+i) =
= i
i
i
1? (1+i) exp ? 2(1+i) erfc p
2(1+i)
#
r
=
? 2 p i :
(1+i)
‘ 楫ìî ¤ «ì­¥©è¨å ã¯à®é¥­¨© f (; ) § ¬¥â¨¬, çâ® ¯à¨ ¢ëç¨á«¥­¨¨ ¨­â¥£à « ¢¥à®ïâ­®á⨠¢ ®ªà¥áâ­®á⨠¡¨áᥪâà¨áë ¢â®à®£® ª®®à¤¨­ â­®£® 㣫 , ¥£® 㤮¡­® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥ ¨­â¥£à «®¢ ”७¥«ï, 㦥
¢áâà¥ç ¢è¨åáï ­ ¬ ¢ à §¤¥«¥ 5.2. ®¤áâ ¢¨¢ ᮮ⭮襭¨¥
2
2
3 2
3 2
3 2
r
p
!
r
erfc(i = t) = 1 ? 2i = C ( 2 t) + iS ( 2 t)
3 2
3 2
¢ ¢ëà ¦¥­¨¥ ¤«ï f (; ); ¯®«ã稬 ª®­¥ç­ë© १ã«ìâ â
1
f (; ) = 2(1+i) = i + 1+i exp ? 2(1+i) 1 + C ( ) + S ( ) ?
2
2
0
0
3 2
s
#
2i exp( i ) ;
i C ( ) ? S ( ) + (1+
(5.48)
i)
2
£¤¥ = q :
(1 + i)
Ÿ¢­ë© ¢¨¤ § ¢¨á¨¬®á⨠f (; ) ­ £«ï¤­® ¤¥¬®­áâà¨àã¥â ⥠᫮¦­®áâ¨, ª®â®àë¥ ¢®§­¨ª îâ ­ ¯ã⨠¯®áâ஥­¨ï § ¬ª­ãâëå ­ «¨â¨ç¥áª¨å
¢ëà ¦¥­¨© ¤«ï ®£¨¡ î饩 ¨¬¯ã«ìá ¤ ¦¥ ¢ á ¬ëå ¯à®á⥩è¨å á¨âã æ¨ïå. Ž¡ëç­® í⨠¢ëà ¦¥­¨ï ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ᮡ®© á«®¦­ë¥ ª®¬¡¨­ 樨 á¯¥æ¨ «ì­ëå ä㭪権 á ª®¬¯«¥ªá­ë¬ à£ã¬¥­â®¬, ª®â®àë¥ á âà㤮¬
¯®¤¤ îâáï ¤ ¦¥ ᨬ¯â®â¨ç¥áª®¬ã ­ «¨§ã, ¨å ¢ëç¨á«¥­¨¥ ¢ ¯à®¬¥¦ãâ®ç­ëå ¯¥à¥å®¤­ëå ®¡« áâïå ¬®¦¥â ¯®âॡ®¢ âì §­ ç¨â¥«ì­® ¡®«ìè¨å ¢ëç¨á«¨â¥«ì­ëå à¥áãàᮢ 祬 ­¥¯®á।á⢥­­®¥ ¢ëç¨á«¥­¨¥ ¨­â¥£à « (5.4).
‘«¥¤ã¥â ãç¨âë¢ âì ¨ â® ®¡áâ®ï⥫ìá⢮, çâ® ¤ «¥ª® ­¥ ¤«ï ¢á¥å ᯥ
0
0
2
0
æ¨ «ì­ëå ä㭪権 áãé¥áâ¢ãîâ ãáâ®©ç¨¢ë¥ «£®à¨â¬ë ¨å ¢ëç¨á«¥­¨ï
205
­ ¢á¥© ª®¬¯«¥ªá­®© ¯«®áª®áâ¨. ‚ १ã«ìâ ⥠§ ¬ª­ã⮥ ¢ëà ¦¥­¨¥ ¤«ï
f (; ) ¬®¦¥â ®ª § âìáï ­¥ ¡®«¥¥ 祬 ¡áâà ªâ­ë¬ ᨬ¢®«®¬. „ ¦¥ ¢
¤®¢®«ì­®{â ª¨ ¯à®áâëå á«ãç ïå, ¯®¤®¡­ëå (5.48), ¢â®à ¬ ¯à¨å®¤¨«®áì
­¥®¤­®ªà â­® áâ «ª¨¢ âìáï á ¢ ਩­ë¬ § ¢¥à襭¨¥¬ à ¡®âë Maple ¯à®£à ¬¬ ¨ ¢ë¤ 祩 ¤¨ £­®á⨪¨ ú‚ë室 § ¯à¥¤¥«ë ®¡« á⨠á室¨¬®áâ¨û.
’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯à¨ ¯à®¢¥¤¥­¨¨ ¯à ªâ¨ç¥áª¨å à áçñ⮢ ¤«ï è¨à®ª®£®
ª« áá ä㭪権 ¯à¥¤¯®çâ¨â¥«ì­¥¥ ¨¬¥âì ¢ ­ «¨ç¨¨ íä䥪⨢­ë© ¯à¨¡«¨¦ñ­­ë© «£®à¨â¬ ¢ëç¨á«¥­¨ï ®£¨¡ î饩 ä®à¬ë ¨¬¯ã«ìá . ‘ ¤à㣮© áâ®à®­ë, ⮫쪮 ¯à¨ ­ «¨ç¨¨ â®ç­ëå à¥è¥­¨© ¬®¦­® ¤ âì ॠ«ì­ãî
®æ¥­ªã ¯®£à¥è­®á⨠¯à¨¡«¨¦ñ­­ëå ¬¥â®¤®¢, â ª ª ª ç¨á⮠⥮à¥â¨ç¥áª¨¥ ®æ¥­ª¨, ®á­®¢ ­­ë¥ ¨áª«îç¨â¥«ì­® ­ ᢮©áâ¢ å £« ¤ª®á⨠ä㭪権,
®ª §ë¢ îâáï ¢ ¯®¤ ¢«ïî饬 ¡®«ì設á⢥ á«ãç ¥¢ ¬­®£®ªà â­® § ¢ë襭­ë¬¨. Šà®¬¥ ⮣®, ¨¬¥­­® ⥠¯à¨¬¥àë, ¤«ï ª®â®àëå 㤠ñâáï ¯®«ãç¨âì â®ç­®¥ à¥è¥­¨¥, ¯®§¢®«ïîâ ­ ¨¡®«¥¥ ­ £«ï¤­® ¯à®¨««îáâà¨à®¢ âì
á⥯¥­ì ®¡é­®á⨠⮩ 䨧¨ç¥áª®© ¬®¤¥«¨, ª®â®à ï ¯®«®¦¥­ ¢ ®á­®¢ã
®¯¨á ­¨ï ¤ ­­®£® ª« áá ¥­¨©.
‚¥à­ñ¬áï ⥯¥àì ª ¡®«¥¥ ¯®¤à®¡­®¬ã ®¡á㦤¥­¨î ᮮ⭮襭¨ï (5.48).
‚믮«­¨¬ ¯à¥¤¥«ì­ë© ¯¥à¥å®¤, ãáâ६¨¢ ª ­ã«î §­ 祭¨¥ ¯ à ¬¥âà .
Š ª ¨ ¢ ¡®«ì設á⢥ ¤àã£¨å ¯à¨¬¥à®¢, à áᬮâ७­ëå ¢ ¤ ­­®© £« ¢¥,
¡ã¤¥¬ áç¨â âì, çâ® ¤«¨­ ¢®«­ë ¨§«ã祭¨ï ­ 室¨âáï ¢ ®¡« á⨠­®à¬ «ì­®© ¤¨á¯¥àᨨ, â® ¥áâì ¢¥«¨ç¨­ ¯ à ¬¥âà ¢á¥£¤ ¯®«®¦¨â¥«ì­ . à¨
â ª®¬ ¯à¥¤¥«ì­®¬ ¯¥à¥å®¤¥ §­ 祭¨ï ¡ã¤ãâ ¯®á⥯¥­­® ¯à¨¡«¨¦ âìáï
ª ¢¥é¥á⢥­­®© ®á¨, ¯®áª®«ìªã
0
lim C ( ) = lim S ( ) = 12 ;
0
!1
0
0
!1
0
â®, ª ª ¨ á«¥¤®¢ «® ®¦¨¤ âì, f (; ) ! f (0; ) ¯à¨ ! 0.
…᫨ §­ 祭¨ï f (; ) ¡«¨§ª¨ ᮮ⢥âáâ¢ãî騬 §­ 祭¨ï¬ f (0; ), ¨á室­ ï ®£¨¡ îé ï (5.47) í«¥¬¥­â à­® ¢ëç¨á«ï¥âáï, â® ¡ë«® ¡ë ¥áâ¥á⢥­­® ¯à¥¤¯®«®¦¨âì, çâ® ¯à¨ ¬ «ëå à áçñâ f (; ) â ª¦¥ ­¥ ¤®«¦¥­
¢ë§ë¢ âì ¯à®¡«¥¬. Ž¤­ ª®, ª ª á«¥¤ã¥â ¨§ (5.48), ¤«ï ª®à४⭮£® ¯à®¢¥¤¥­¨ï à áçñ⮢ ­¥®¡å®¤¨¬® §­ ­¨¥ ᨬ¯â®â¨ª¨ ¨­â¥£à «®¢ ”७¥«ï.
®áª®«ìªã ¯à¨¡«¨¦¥­¨¥ ä㭪権 C ( ) ¨ S ( ) ª ᢮¥¬ã ¯à¥¤¥«ì­®¬ã §­ 祭¨î ­®á¨â ª®«¥¡ ⥫ì­ë© å à ªâ¥à á ¬¥¤«¥­­® ã¡ë¢ î饩 ¬¯«¨â㤮©, â® í⨠úª®«¥¡ ­¨ïû ¨ á«ã¦ â ¨áâ®ç­¨ª®¬ á ¬ëå à §­®®¡à §­ëå ç¨á«¥­­ëå ­¥ãá⮩稢®á⥩, ¢ë­ã¦¤ ï ­ à 騢 âì â®ç­®áâì ¯à®¢¥¤¥­¨ï
¢ëç¨á«¥­¨©, ¨ ª ª á«¥¤á⢨¥, áãé¥á⢥­­® § ¬¥¤«ïï ᪮à®áâì à áçñ⮢.
…éñ ®¤­®© ­¥¯à¨ïâ­®© ®á®¡¥­­®áâìî â®ç­ëå à¥è¥­¨© ï¥âáï â®,
çâ® ®¡ëç­® ®­¨ ¯à¥¤áâ ¢«ïîâáï ¢ ¢¨¤¥ ­ ¡®à á« £ ¥¬ëå, ç áâì ¨§ ª®0
206
0
â®àëå ¬®¦¥â ¯à¨ ®¯à¥¤¥«ñ­­ëå §­ 祭¨ïå ¯ à ¬¥â஢ ®ª § âìáï ᨭ£ã«ïà­ë¬¨. ’®ç­ë© ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨© ­ «¨§ â ª¨å ¢ëà ¦¥­¨© ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® ª ª ¯à ¢¨«® í⨠ᨭ£ã«ïà­®á⨠¢§ ¨¬­® ª®¬¯¥­á¨àãîâáï. Ž¤­ ª® ¯®¯ë⪨ à §¤¥«ì­®£® ¢ëç¨á«¥­¨ï ª ¦¤®© ᨭ£ã«ïà­®© ª®¬¯®­¥­âë
¢ ®ªà¥áâ­®á⨠®á®¡ëå â®ç¥ª ¨ ¨å ¯®á«¥¤ãî饣® ¢ëç¨â ­¨ï á ­¥¨§¡¥¦­®áâìî ¯à¨¢®¤ïâ ª ­¥ª®­â஫¨à㥬®¬ã à®áâã ¯®£à¥è­®áâ¨.
Žâ¬¥ç¥­­ë¥ ᢮©á⢠â®ç­ëå à¥è¥­¨© ®âçñ⫨¢® ¯à®ï¢«ïîâáï ¤ ¦¥
­ ¯à®á⥩è¨å ¬®¤¥«ïå, ª®â®à®© ¨ ï¥âáï (5.48). „®áâ â®ç­® ®¡à â¨âì
¢­¨¬ ­¨¥ ­ ¯®á«¥¤­¥¥ á« £ ¥¬®¥ ¢ (5.48) çâ®¡ë § ¬¥â¨âì, çâ® á à®á⮬
®­® áâ६¨âáï ­¥ ª ­ã«î, ª ¡¥áª®­¥ç­®áâ¨.  «¨ç¨¥ ¯ à ¬¥âà ¢
§­ ¬¥­ ⥫¥ à£ã¬¥­â®¢ àï¤ ä㭪権 ¢ (5.48) ¬®¦¥â ¯®à®¤¨âì ¨««î§¨î
® ­ «¨ç¨¨ ¢ë᮪®ç áâ®â­ëå ª®«¥¡ ­¨© ¢ áâàãªâãॠf (; ) ¯à¨ ! 0;
ª®â®àëå ¢ ¤¥©á⢨⥫쭮á⨠­¥â. ˆ ¢ â® ¦¥ ¢à¥¬ï, ¯®¤å®¤, ®á­®¢ ­­ë©
­ á㬬¨à®¢ ­¨¨ à §«®¦¥­¨© ⨯ (5.31), «¨è¥­ ¢á¥å íâ¨å ­¥¤®áâ ⪮¢.
ˆ§ â®ç­®£® à¥è¥­¨ï á«¥¤ã¥â, çâ® ¤«ï ¢á¥å ®â«¨ç­ëå ®â ­ã«ï §­ 祭¨© ¯ à ¬¥âà ã ¨¬¯ã«ìá ¯®ï¢«ï¥âáï ¯¥à¥¤­¨© äà®­â, âï­ã騩áï,
¢®®¡é¥ £®¢®àï, ¤® ¡¥áª®­¥ç­®áâ¨. ‚ ¯¥à¢ãî ®ç¥à¥¤ì ¯®¤®¡­ë© १ã«ìâ â
ᢨ¤¥â¥«ìáâ¢ã¥â ® ­¥¯à¨¬¥­¨¬®á⨠ª¢ §¨¬®­®å஬ â¨ç¥áª®£® ¯à¨¡«¨¦¥­¨ï ¤«ï ®¯¨á ­¨ï áâàãªâãàë ¯®«ï ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠¢®«­®¢®£® äà®­â , ¯®áª®«ìªã á ¬® ¯® ᥡ¥ íâ® ¯à¨¡«¨¦¥­¨¥, â ª ¦¥ ª ª ¨ à §¢¨¢ ¥¬ë© ¢â®à ¬¨ ¯®¤å®¤, ®à¨¥­â¨à®¢ ­ë ­ ¬ ªá¨¬ «ì­® íä䥪⨢­®¥ ®¯¨á ­¨¥
¨¬¥­­® ®á­®¢­®© ç á⨠¨¬¯ã«ìá , ¢ ª®â®à®© á®á।®â®ç¥­ ¯à ªâ¨ç¥áª¨
¢áï ¥£® í­¥à£¨ï.
Š®à४⭮¥ ®¯¨á ­¨¥ ᨫ쭮 㤠«¥­­ëå ®â 業âà ú墮á⮢û ¨¬¯ã«ìá ¯®¯à®áâã ­¥¢®§¬®¦­® ¢ à ¬ª å § ¬¥­ë ॠ«ì­®© ¤¨á¯¥àᨮ­­®© ªà¨¢®©
k(!) ª¢ ¤à â¨ç­®© ¯ à ¡®«®© ¨ ¬®¦¥â, ª ª ¢ ¤ ­­®¬ ¯à¨¬¥à¥, ¯à¨¢®¤¨âì
ª ­ àã襭¨î ¯à¨­æ¨¯ ५ï⨢¨áâ᪮© ¯à¨ç¨­­®áâ¨. ‘ ¯à ªâ¨ç¥áª®©
â®çª¨ §à¥­¨ï ¯®¤®¡­®¥ ®£à ­¨ç¥­¨¥ ¢àï¤ «¨ ï¥âáï ç¥à¥áçãà ®¡à¥¬¥­¨â¥«ì­ë¬, â ª ª ª ᮤ¥à¦ é ïáï ¢ íâ¨å ú墮áâ åû ¤®«ï ¯®«­®© í­¥à£¨¨
¨¬¯ã«ìá ¯à¥­¥¡à¥¦¨¬® ¬ « ¨ íªá¯¥à¨¬¥­â «ì­® ­¥ ®¡­ à㦨¬ . ˆ ⥬
­¥ ¬¥­¥¥, ¢®¯à®á ® 䨧¨ç¥áª®© §­ 稬®á⨠⮣®, çâ® ¤«ï ¤ ­­®© ¬®¤¥«¨
¨¬¯ã«ìá §­ 祭¨¥ I (; 0) à ¢­® ¨¬¥­­® =(1 + ) = , ­¥ ª ª®©{«¨¡®
¤à㣮© ¢¥«¨ç¨­¥, ­¥ à §à¥è¨¬ ¢ à ¬ª å ª¢ §¨¬®­®å஬ â¨ç¥áª®£® ¯à¨¡«¨¦¥­¨ï.
®«¥¥ ⮣®, á ¬ ¯à®¡«¥¬ ®¯à¥¤¥«¥­¨ï ¯à¥¤¥«®¢ ¯à¨¬¥­¨¬®á⨠í⮣®
¯à¨¡«¨¦¥­¨ï ­¥ ¬®¦¥â ¡ëâì à¥è¥­ ¯ãâñ¬ ¯à®á⮣® 㤥ঠ­¨ï ¤®¯®«­¨â¥«ì­ëå á« £ ¥¬ëå ¯à¨ à §«®¦¥­¨¨ ¢ àï¤ ä㭪樨 k(!). ®«ãç î騩áï
¢ १ã«ìâ ⥠ãá¥ç¥­¨ï àï¤ (5.2) ¯®«¨­®¬ ®â­®á¨â¥«ì­® ! ¢ «î¡®¬ ¯®à浪¥ ¯¯à®ªá¨¬ 樨 k(!) ®áâ ñâáï ­ «¨â¨ç­ë¬ ¢® ¢á¥© ª®¬¯«¥ªá­®©
1
4
207
2
2 3 2
¯«®áª®á⨠¨ ¢á¥ ¯®á«¥¤ãî騥 ¯à¨¡«¨¦¥­¨ï ¡ã¤ãâ ®¡« ¤ âì á室­ë¬¨
᢮©á⢠¬¨, á«¥¤®¢ ⥫쭮, ¨ ­¥¤®áâ ⪠¬¨. „à㣨¬¨ á«®¢ ¬¨, ä®à¬ «ì­® áâண®¥ ®¯¨á ­¨¥ ¤¨­ ¬¨ª¨ à á¯à®áâà ­¥­¨ï ¨¬¯ã«ìᮢ ¢ ¤¨á¯¥à£¨àãîé¨å á। å ¯®¯à®áâã ­¥¢®§¬®¦­® ¢ à ¬ª å ç¨á⮠䥭®¬¥­®«®£¨ç¥áª®© ®¯â¨ª¨ ¨ âॡã¥â ¯à¨¢«¥ç¥­¨ï ᢥ¤¥­¨© ® ¬¥á⮯®«®¦¥­¨¨ ®á®¡ëå
â®ç¥ª ¤¨á¯¥àᨮ­­®© ªà¨¢®©. ‘ãé¥á⢮¢ ­¨¥ â ª¨å ®á®¡ëå â®ç¥ª ¬®¦¥â
¡ëâì ®¡ãá«®¢«¥­® ª ª ­ «¨ç¨¥¬ १®­ ­á®¢, á¢ï§ ­­ëå á ®á®¡¥­­®áâﬨ
¬¨ªà®áª®¯¨ç¥áª®© áâàãªâãàë ¢¥é¥á⢠, â ª ¨ £à ­¨ç­ëå ãá«®¢¨©, ¥á«¨
à¥çì ¨¤ñâ ® à á¯à®áâà ­¥­¨¨ ¨¬¯ã«ìá ¢ ®¯â¨ç¥áª®¬ ¢®«­®¢®¤¥.
„«ï ¤¥â «ì­®£® ¨§ã祭¨ï å à ªâ¥à ¨§¬¥­¥­¨© ®£¨¡ î饩 ¨¬¯ã«ìá ¢
â®­ª¨å á«®ïå ¤¨á¯¥à£¨àãî饩 áà¥¤ë ¢®á¯®«ì§ã¥¬áï ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨¬¨
à §«®¦¥­¨ï¬¨ ¨­â¥£à «®¢ ”७¥«ï ¯à¨ ¡®«ìè¨å §­ 祭¨ïå . ‚ ®¡« á⨠¬ «ëå â ª®¥ à §«®¦¥­¨¥ p¡ã¤¥â á à §ã¬­®© â®ç­®áâìî ®¯¨áë¢ âì
¯®¢¥¤¥­¨¥ f (; ) ¯à¨ ¢á¥å > ; â® ¥áâì ¢áî¤ã § ¨áª«î祭¨¥¬ ­¥¡®«ì让 ®ªà¥áâ­®á⨠¢¡«¨§¨ ­ ç « ª®®à¤¨­ â. ”㭪樨 C (x) ¨ S (x)
¢ëà ¦ îâáï ç¥à¥§ ¤¢¥ ¢á¯®¬®£ ⥫ì­ë¥ ä㭪樨 f (x) ¨ g(x)
C (x) = 1 + f (x) sin( x ) ? g(x) cos( x )
0
2
2
2
2
2
2
2
1
S (x) = 2 ? f (x) cos( 2 x ) ? g(x) sin( 2 x );
¤«ï ª®â®àëå, ¢ á¢®î ®ç¥à¥¤ì, ¨¬¥îâ ¬¥áâ® á«¥¤ãî騥 à §«®¦¥­¨ï ¯à¨
x ! 1; j arg(x)j < 2
1
1
3
f (x) x ? x + O x
1 1
15
g(x) x ? x + O x :
3
2
3
5
4
9
7
11
®á«¥ ¯®¤áâ ­®¢ª¨ ¯à¨¢¥¤¥­­ëå ¢ëè¥ ¢ëà ¦¥­¨© ¢ (5.48), ¬­®¦¨â¥«ì,
ᮤ¥à¦ 騩 ¨­â¥£à «ë ”७¥«ï, ¯à¥®¡à §ã¥âáï ª á«¥¤ãî饬㠢¨¤ã:
1 + C ( ) + S ( ) ? i C ( ) ? S ( ) =
r
p
2 ? 2i f ( ) exp(i 2 ) ? 2i g( ) exp(i 2 );
çâ® á ãçñ⮬ ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨å à §«®¦¥­¨© ¤ ñâ ¡®«¥¥ ª®¬¯ ªâ­®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥ ¤«ï ®£¨¡ î饩
= 1
f (; ) (1 + i) = (i + 1 + i ) exp(? 2(1 + i) ) + O( ) :
0
0
0
0
0
2
2
0
0
2
0
2
5 2
3
3 2
®«ã祭­®¥ ᮮ⭮襭¨¥ ­ £«ï¤­® ¤¥¬®­áâà¨àã¥â ¯à®æ¥¤ãàã ¢§ ¨¬­®£®
ã­¨ç⮦¥­¨ï ᨭ£ã«ïà­ëå ç«¥­®¢ ¢ â®ç­®¬ à¥è¥­¨¨. Žâ¬¥â¨¬ â ª¦¥
208
á¨á⥬ â¨ç¥áª®¥ ¯®ï¢«¥­¨¥ ¢ ¢ëà ¦¥­¨¨ ¤«ï f (; ) ¬­®¦¨â¥«ï i, ᢨ¤¥â¥«ìáâ¢ãî饣® ® ç¨áâ® ä §®¢®© ¯à¨à®¤¥ ¤¥ä®à¬ 樨 ®£¨¡ î饩 ­ ­ ç «ì­®© áâ ¤¨¨.
¥à¥å®¤ï ®â ª®¬¯«¥ªá­®© ¬¯«¨âã¤ë ª ¨­â¥­á¨¢­®á⨠ᨣ­ « , ­ 室¨¬ ¯à¨¡«¨¦ñ­­®¥ ¢ëà ¦¥­¨¥ ¤«ï ®£¨¡ î饩 ¨¬¯ã«ìá ¢ ®¡« á⨠¬ «ëå
§­ 祭¨© ¯ à ¬¥âà I (; ) (1 + 1 ) = ( ? 12+ + 1 + ) exp(? 1 + ):
(5.49)
‘®¯®áâ ¢«¥­¨¥ á⥯¥­­ëå ®â­®á¨â¥«ì­® ¬­®¦¨â¥«¥© ¢ (5.49) ¨ (5.47)
ᢨ¤¥â¥«ìáâ¢ã¥â ® ⮬, çâ® ­ ­ ç «ì­®© áâ ¤¨¨ ¤¥ä®à¬¨àã¥âáï ¢ ®á­®¢­®¬ ⮫쪮 ¯¥à¥¤­¨©, â® ¥áâì ¡®«¥¥ ªàã⮩ äà®­â ¨¬¯ã«ìá , ⮣¤ ª ª
¥£® § ¤­¨©, ¡®«¥¥ ¯®«®£¨© äà®­â ®áâ ñâáï ¯à ªâ¨ç¥áª¨ ¡¥§ ¨§¬¥­¥­¨©.
Š ª ¨ ¢ ¯à¥¤ë¤ã饬 á«ãç ¥ ®¡é¨© å à ªâ¥à íâ¨å ¨§¬¥­¥­¨© ᢮¤¨âáï ª
⮬ã (á¬. à¨á.5.21a), çâ® ç áâì í­¥à£¨¨ ¨§ 業âà «ì­®© ç á⨠¨¬¯ã«ìá ¢
®¡« á⨠¡®«¥¥ ªàã⮣® äà®­â ¯¥à¥­®á¨âáï ¢ ¥£® ¤ «ì­îî, ú墮á⮢ãîû
ç áâì ¯à¨ç¥¬ â ª¨¬ ®¡à §®¬, çâ® ¯¨ª®¢ ï ¬®é­®áâì ¨ ¤«¨â¥«ì­®áâì ¨¬¯ã«ìá ¯à ªâ¨ç¥áª¨ ­¥ ¨§¬¥­ïîâáï. ®«¥¥ ⮣®, ­¥ ¨áª«î祭 ¨ â ª ï
á¨âã æ¨ï, ¯®ª § ­­ ï ­ à¨á.5.21 , ª®£¤ ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ¤ ¦¥ á« ¡®¥ ᦠ⨥ ᨣ­ « , çâ® ¬®¦¥â ­¥¢¥à­® ¨á⮫ª®¢ë¢ âìáï ª ª á«¥¤á⢨¥ ­ «¨ç¨ï
ä §®¢®© ¬®¤ã«ï樨 ¢ ¨á室­®¬ ¨¬¯ã«ìá¥. ¥§ã«ìâ ⮬ í⮣® ¯à®æ¥áá ï¥âáï ¯®á⥯¥­­®¥ ¢ëà ¢­¨¢ ­¨¥ ªàã⨧­ë ä஭⮢ ¨ ᬥ饭¨¥ â®çª¨
¬ ªá¨¬ã¬ ¢ ®¡« áâì ¡®«¥¥ ¯®«®£®£® äà®­â , â® ¥áâì ᨬ¬¥âਧ æ¨ï ¨¬¯ã«ìá .
2
2
4
2
2
2 3 2
2
2
2
τmax
0.5 Ι(µ,τ)
1.7
0.4
1.6
0.3
0.2
1.5
0.1
0
1
2
3
τ
¡
4
0
0.5
1
1.5
µ
2
¨á.5.21. ” § ᨬ¬¥âਧ 樨 ¨¬¯ã«ìá (5.47): ) ¨­â¥­á¨¢­®áâì ®£¨¡ î饩 ¢å®¤­®£®
ᨣ­ « (ᯫ®è­ ï «¨­¨ï) ¨ ¯®á«¥ ¯à®å®¦¤¥­¨ï á«®ï ¤¨á¯¥à£¨àãî饩 áà¥¤ë ¯à¨ = 0:2
(¯ã­ªâ¨à­ ï «¨­¨ï), ¡ ) ¬¥á⮯®«®¦¥­¨¥ â®çª¨ ¬ ªá¨¬ã¬ I (; ).
¥áâ 樮­ à­ë© å à ªâ¥à â®çª¨ ¬ ªá¨¬ã¬ { ®á­®¢­®© ९¥à­®© â®çª¨
¨¬¯ã«ìá { ᢨ¤¥â¥«ìáâ¢ã¥â ® ⮬, çâ® âà ¤¨æ¨®­­®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥ ®
£à㯯®¢®© ᪮à®áâ¨, ª ª ᪮à®á⨠¯¥à¥­®á í­¥à£¨¨ ¨¬¯ã«ìᮬ, ­®á¨â
209
¢¥áì¬ ®£à ­¨ç¥­­ë© å à ªâ¥à. ‚ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ (á¬. à¨á.5.21¡ ) íâ® ¡ã¤¥â «¨èì ¯à¥¤¥«ì­ ï ᪮à®áâì, á ª®â®à®© ¯¥à¥¬¥é ¥âáï ¢¥à設 ¬­®£®ªà â­® ãè¨à¨¢è¥£®áï ¨¬¯ã«ìá .
‚ à áᬠâਢ ¥¬®¬ ¯à¨¬¥à¥ ªàã⨧­ ¯¥à¥¤­¥£® äà®­â ¨¬¯ã«ìá ¡®«ìè¥ ç¥¬ § ¤­¥£®, ¯®í⮬ã ᪮à®áâì ¯¥à¥¬¥é¥­¨ï ¬ ªá¨¬ã¬ ¢á¥£¤ ¬¥­ìè¥
vg . ˆ­¢¥àâ¨àãï ªàã⨧­ã ä஭⮢ ¬®¦­® ¤®¡¨âìáï ¨ ®¡à â­®£® १ã«ìâ ⠨᪫îç¨â¥«ì­® § áçñâ íä䥪â ᨬ¬¥âਧ 樨. ‚ í⮬ á«ãç ¥
ªà¨¢ ï ­ à¨á.5.21¡ áâ ­¥â ¬®­®â®­­® ã¡ë¢ î饩.
“ç¨âë¢ ï, ç⮠ᨬ¬¥âà¨ï ¢à¥¬¥­­®£® ¯à®ä¨«ï ®£¨¡ î饩 ¨á室­®£®
¨¬¯ã«ìá ¢á¥£¤ ®ª §ë¢ ¥âáï ¢ ª ª®©{â® ¬¥à¥ ¨¤¥ «¨§ 樥© ॠ«ì­®© á¨âã 樨, áâ ­®¢¨âáï ᮢ¥à襭­® ïá­®, çâ® ¤à¥©ä â®çª¨ ¬ ªá¨¬ã¬ ï¥âáï ᪮॥ ⨯¨ç­ë¬, ­¥¦¥«¨ ¨áª«îç¨â¥«ì­ë¬ ¥­¨¥¬. Žâ¬¥â¨¬
â ª¦¥, çâ® ¤ ­­®¥ ¥­¨¥ ­®á¨â ç¨áâ® ä §®¢ë© å à ªâ¥à ¨ ¯à®ï¢«ï¥âáï
㦥 ¢ ¯¥à¢®¬ ­¥¨á祧 î饬 ¯à¨¡«¨¦¥­¨¨. à¨ç¥¬ ¥á«¨ ¢«¨ï­¨¥ ¤¨á¯¥àᨮ­­®£® ¯ à ¬¥âà k ¯à¨¢®¤¨â ª ᨬ¬¥âਧ 樨 ¨ ¢ëà ¢­¨¢ ­¨î
ªàã⨧­ë ä஭⮢ ¨¬¯ã«ìá , â® ãâ®ç­¥­¨¥ ¤ ­­®£® ¯à¨¡«¨¦¥­¨ï, ¢ë¯®«­¥­­®¥ ¢ á«¥¤ãî饬 à §¤¥«¥, 㪠§ë¢ ¥â ¨ ­ ¢®§¬®¦­®áâì áãé¥á⢮¢ ­¨ï
¤¨ ¬¥âà «ì­® ¯à®â¨¢®¯®«®¦­®£® íä䥪â { á ¬®®¡®áâ७¨ï ¯¥à¥¤­¥£®
äà®­â ¨§­ ç «ì­® ᨬ¬¥âà¨ç­®£® ¨¬¯ã«ìá . “ª § ­­ë© ªà㣠¥­¨©
㤠ñâáï ¡¥§ âà㤠¯à®¬®¤¥«¨à®¢ âì ¢ «î¡®© ­¥¯®£«®é î饩 á।¥ ­¥
¯à¨¢«¥ª ï úí­¥à£¥â¨ç¥áªãî ª¨­¥¬ ⨪ãû [5], ¯à¨ ¯®¬®é¨ ª®â®à®© ¢â®à
¯ëâ «áï ¨­â¥à¯à¥â¨à®¢ âì ª« áá¨ç¥áª¨¥ íªá¯¥à¨¬¥­âë ¯® à á¯à®áâà ­¥­¨î « §¥à­ëå ¨¬¯ã«ìᮢ ¢ १®­ ­á­®© á।¥ [11, 12].
¥§ãá«®¢­®, ãçñâ ç áâ®â­®© § ¢¨á¨¬®á⨠ª®íää¨æ¨¥­â ¯®£«®é¥­¨ï
¨«¨ ãᨫ¥­¨ï, ¢ â¥å á«ãç ïå ª®£¤ à¥çì ¨¤¥â ®¡ ªâ¨¢­®© á।¥, ¯à¨¢®¤ï騩 ª ¤à¥©äã â®çª¨ ¬ ªá¨¬ã¬ í­¥à£¥â¨ç¥áª®£® ᯥªâà ¢ë᮪®ç áâ®â­®£® ᨣ­ « , ¬®¦¥â áãé¥á⢥­­® ã᪮à¨âì âà ­áä®à¬ æ¨î ®£¨¡ î饩.
Š ª ¬ë ¢¨¤¨¬ ®¤­ ª®, ¢ â ª®¬ ¯à¥¤¯®«®¦¥­¨¨ ­¥â ­¨ª ª®© ­¥®¡å®¤¨¬®á⨠¨ ¢®§¬®¦­®áâì ¯¥à¥¬¥é¥­¨ï ¬ ªá¨¬ã¬ ¨¬¯ã«ìá ᮠ᪮à®áâìî
¯à¥¢ëè î饩 vg ¨ ¤ ¦¥ ᪮à®áâì ᢥ⠢ á।¥ ­ 室¨â ¥áâ¥á⢥­­®¥
®¡êïá­¥­¨¥ ¢ à ¬ª å ç¨áâ® ä §®¢ëå ⥮਩.
ƒ®à §¤® ¡®«¥¥ áãé¥á⢥­­ë¬ ®¡áâ®ï⥫ìá⢮¬ ï¥âáï â®, çâ® ¢ ãá«®¢¨ïå ¯¥à¥ªàëâ¨ï ᯥªâà ®£¨¡ î饩 á १®­ ­á­ë¬ ª®­âã஬ 㦥 ­¥«ì§ï
¡®«ìè¥ £®¢®à¨âì ® á« ¡ëå ¨§¬¥­¥­¨ïå k(!) ¢ ¯à¥¤¥« å è¨à¨­ë ᯥªâà . “¯à §¤­¥­¨¥ ¬ «®£® ¯ à ¬¥âà «¨è ¥â ᮤ¥à¦ ⥫쭮áâ¨ à §«®¦¥­¨¥ (5.2) ¨ âॡã¥â ­¥¯®á।á⢥­­®£® ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨ï (5.1) ¢¬¥áâ® ¥£®
ã¯à®éñ­­®© ¢¥àᨨ (5.3). Ž¤­ ª® ¤ ¦¥ ¤«ï ¯à®á⥩襩 ¬®¤¥«¨ £ ãáᮢ ¨¬¯ã«ìá ­¨ª ª¨å ­ «¨â¨ç¥áª¨ à §à¥è¨¬ëå á«ãç ¥¢ ¨­â¥£à¨à㥬®áâ¨
(5.1) ¯à¨ ãçñ⥠ॠ«ì­®£® ¯à®ä¨«ï १®­ ­á­®£® ª®­âãà ª ­ áâ®ï饬ã
00
0
210
¢à¥¬¥­¨ ­¥ ¨§¢¥áâ­®.
‚¯à®ç¥¬, ¤«ï ¤¥¬®­áâà 樨 ¯à¨­æ¨¯¨ «ì­®© ¢®§¬®¦­®á⨠¢ ¤¥â «ì­®¬ ®¯¨á ­¨¨ ¯ à ¬¥â஢ १®­ ­á­®£® ª®­âãà ¨ ­¥â ­¥®¡å®¤¨¬®áâ¨.
Žª §ë¢ ¥âáï ¤®áâ â®ç­® ª®à४⭮ ãç¥áâì ¤¨á¯¥àᨮ­­ë¥ íä䥪âë âà¥â쥣® ¯® ! ¯®à浪 , çâ®¡ë ¯à¨ ®¯à¥¤¥«ñ­­ëå ᮮ⭮襭¨ïå ¯ à ¬¥â஢
®£¨¡ î饩 ­ ­ ç «ì­®© áâ ¤¨¨ í¢®«î樨 ¢®§­¨ª « १ª® ¢ëà ¦¥­­ ï
ᨬ¬¥âà¨ï ä஭⮢ ¨¬¯ã«ìá . ‘ª®à®áâì ¯¥à¥¬¥é¥­¨ï ¥£® ¬ ªá¨¬ã¬ ­ í⮬ ãç á⪥ ¬®¦¥â áãé¥á⢥­­® ¯à¥¢ëè âì vg .
„«ï ¨¬¯ã«ìᮢ á £« ¤ª®© ®£¨¡ î饩 ®¡é¨© å à ªâ¥à § ¢¨á¨¬®áâ¨, ¯®ª § ­­®© ­ à¨á.5.21¡, á« ¡® § ¢¨á¨â ®â ä®à¬ë ¨¬¯ã«ìá . ‚ â®­ª¨å á«®ïå
á।ë ᪮à®áâì ­ ª®¯«¥­¨ï ¤¨á¯¥àᨮ­­ëå ¨áª ¦¥­¨© ¯à®¯®à樮­ «ì­ , ¯®í⮬㠭 ç «ì­ë© ãç á⮪ ªà¨¢®© à¨á.5.21¡ ¡ã¤¥â ¯ à ¡®«¨ç¥áª¨¬.
‚ í⮬ ­¥âà㤭® ã¡¥¤¨âìáï, ¤¨ää¥à¥­æ¨àãï ¯® ¨­â¥­á¨¢­®áâì I (; )
¢ ¢ëà ¦¥­¨¨ (5.49). à¨à ¢­ï¢ ­ã«î ¯à®¨§¢®¤­ãî, ¬®¦­® ¯®«ãç¨âì ¡¨ª¢ ¤à â­®¥ ãà ¢­¥­¨¥
max ? 2max(1 + 2 ) + 3 (1 + ) = 0;
ª®à­¨ ª®â®à®£® à ¢­ë
p
max = (1 + 2 ) 1 + + :
‡­ 祭¨¥ ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 ¢ë¡®àã §­ ª ¬¨­ãá ¯¥à¥¤ ª¢ ¤à â­ë¬ ª®à­¥¬ ¤®«¦­® ¡ëâì ®â¡à®è¥­®, ¯®áª®«ìªã ¯à¨ í⮬ max ®ª §ë¢ ¥âáï ¯à®¯®à樮­ «ì­ë¬ , ¢ â®p ¢à¥¬ï ª ª á ¬ ¯¯à®ªá¨¬ æ¨ï (5.49) ¯®«ã祭 ¢ ¯à¥¤¯®«®¦¥­¨¨ p> : „à㣮¬ã ¢ë¡®àã §­ ª ᮮ⢥âáâ¢ã¥â â®çª ¬ ªá¨¬ã¬ max 2(1 + ): „ ­­®¥ ¢ëà ¦¥­¨¥ ­ £«ï¤­® ¨««îáâà¨àã¥â ¢«¨ï­¨¥ á⥯¥­¨ £« ¤ª®á⨠®£¨¡ î饩 ­ å à ªâ¥à ¨áá«¥¤ã¥¬ëå
§ ¢¨á¨¬®á⥩, १ª® ª®­âà áâ¨àãï á ­ «®£¨ç­ë¬ १ã«ìâ ⮬, ¯®«ã祭­ë¬ ­ ¬¨ à ­¥¥ ¤«ï á«ãç ï ᨬ¬¥âà¨ç­®£® £ ãáᮢ ¨¬¯ã«ìá . ‘ãé¥á⢮¢ ­¨¥ ¯à®¨§¢®¤­ëå ᪮«ì 㣮¤­® ¢ë᮪®£® ¯®à浪 ¢ ®ªà¥áâ­®áâ¨
â®çª¨ ¬ ªá¨¬ã¬ f (0; t) ãáâà ­ï¥â ᨭ£ã«ïà­®áâì ­ ­ ç «ì­®¬ ãç á⪥
ªà¨¢®© max():
 ¨¡®«¥¥ ¨­â¥à¥á­®© ®¡« á⨠¤¨á¯¥àᨮ­­®£® ¨áª ¦¥­¨ï ®£¨¡ î饩
¢ë᮪®ç áâ®â­®£® ¨¬¯ã«ìá ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ª¢ §¨«¨­¥©­ë© ãç á⮪ ­ à¨á.5.21¡.  í⮩ áâ ¤¨¨, ª®â®àãî ¬®¦­® ­ §¢ âì áâ ¤¨¥© ªâ¨¢­®©
ᨬ¬¥âਧ 樨, ¯à®¨á室¨â ¡ëáâà ï ¯¥à¥áâனª ä®à¬ë ¨¬¯ã«ìá ¯à¨
¥£® ­¥§­ ç¨â¥«ì­®¬ ãè¨à¥­¨¨. ‘¨«ì­ ï çã¢á⢨⥫쭮áâì ®£¨¡ î饩
ª ¢¥«¨ç¨­¥ ¯ à ¬¥âà ¤¥« ¥â ¨¬¥­­® íâã ®¡« áâì ­ ¨¡®«¥¥ ¯à¨¢«¥ª ⥫쭮© ¤«ï ª®­â஫¨à㥬®£® ¨§¬¥­¥­¨ï ¯ à ¬¥â஢ ¨¬¯ã«ìá .
2
4
2
2
2
2
5
8
2
2
2
2
211
4
˜¨à¨­ ®¡« á⨠ªâ¨¢­®© ᨬ¬¥âਧ 樨 ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ª ª ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨¬¨ ᢮©á⢠¬¨ f (0; t); â ª ¨ ¨á室­®© ᨬ¬¥âਥ© ¨¬¯ã«ìá .
…᫨, ª ª ¢ à áᬠâਢ ¥¬®¬ ¯à¨¬¥à¥, ᨬ¬¥âà¨ï ­¥¢¥«¨ª , ⮠㦥 ¯à¨
1=2 áâ ­®¢¨âáï § ¬¥â­ë¬ ­ áë饭¨¥ ªà¨¢®© à¨á.5.21¡, ­® ¯à¨ í⮬
¤«¨â¥«ì­®áâì ¨¬¯ã«ìá ¢®§à á⠥⠬¥­¥¥ 祬 ­ 40%, ¥£® ¯¨ª®¢ ï ¬®é­®áâì á®áâ ¢«ï¥â 70% ®â ¯¨ª®¢®© ¬®é­®á⨠¨á室­®£® ¨¬¯ã«ìá .
Š ª 㦥 ®â¬¥ç «®áì à ­¥¥, ­ «¨ç¨¥ à §à뢮¢ ¯à®¨§¢®¤­ëå ¢ëáè¨å
¯®à浪®¢ ã ä㭪樨 f (0; t), ª®á¢¥­­® ¯à®ï¢«ïî饥áï ¢ § ¬¥¤«¥­¨¨ á室¨¬®á⨠à冷¢ ⨯ (5.31), ¯à¨¢®¤¨â ª ⮬ã, çâ® â ª¨¥ ¨¬¯ã«ìáë á à®á⮬ ¯ à ¬¥âà ¡ã¤ãâ ãè¨àïâìáï §­ ç¨â¥«ì­® ¡ëáâ॥ ­ «®£¨ç­ëå ¯®
¤«¨â¥«ì­®á⨠£ ãáᮢëå ¨¬¯ã«ìᮢ. ‚ â® ¦¥ ¢à¥¬ï ¯à®æ¥áá ᨬ¬¥âਧ 樨 ãà ¢­ï« ᪮à®á⨠ãè¨à¥­¨ï à áᬠâਢ ¥¬®£® ú¯ ⮫®£¨ç¥áª®£®û
¨¬¯ã«ìá ­ ¤ ­­®© áâ ¤¨¨ ¥£® í¢®«î樨 á ãè¨à¥­¨¥¬ íª¢¨¢ «¥­â­®£®
¯® ¤«¨â¥«ì­®á⨠£ ãáᮢ ¨¬¯ã«ìá , ¯®áª®«ìªã ¯à¨ = 1p=2 ®â­®á¨â¥«ì­®¥ ãè¨à¥­¨¥ ¢ ¬®¤¥«¨ £ ãáᮢ®£® ¨¬¯ã«ìá á®áâ ¢«ï¥â 2.
Ž¡é¨© å à ªâ¥à ¨§¬¥­¥­¨ï ä®à¬ë
¨¬¯ã«ìá (5.47) ­ áâ ¤¨¨ ªâ¨¢­®©
I(µ, τ)
ᨬ¬¥âਧ 樨 ¯®ª § ­ ­ à¨á.5.22.
à¨¡«¨¦ñ­­ëå ­ «¨â¨ç¥áª¨å ¢ëà ¦¥- 0.4
­¨© ¤«ï I (; ) ¢ í⮩ ®¡« á⨠¯®«ãç¨âì 0.2
­¥ 㤠ñâáï. „«ï ¯à®á⥩è¨å ¬®¤¥«¥©
¨¬¯ã«ìᮢ ¬®¦­®, ¯®¤®¡­® (5.48), ¯®¯ë- 0.20
0
τ
â âìáï ­ ©â¨ â®ç­®¥ à¥è¥­¨¥. ‚ ¡®«¥¥
1
0.3
á«®¦­®¬ á«ãç ¥ ¯à¥¤¯®çâ¨â¥«ì­¥¥ áã¬2
0.4 µ
0.5 3
¬¨à®¢ ­¨¥ à §«®¦¥­¨© (5.36).
à¥¤¥«ì­®¥ §­ 祭¨¥, ª ª®â®à®¬ã ¨á.5.22. „¥ä®à¬ æ¨ï ®£¨¡ î饩
(5.47) ­ íâ ¯¥ ᨬ¬¥âà¨áâ६¨âáï ¢¥«¨ç¨­ max ¢ ¤ «ì­¥© §®­¥ ¨¬¯ã«ìá ¬®¦¥â ¡ëâì ¯®«ã祭® ¯à¨ ¯®¬®é¨ á®®â- § 樨.
­®è¥­¨ï (5.42). ”¨£ãà¨àãî騥 ¢ í⮬ ¢ëà ¦¥­¨¨ ä㭪樨 fk (; 0) ¤«ï
¤ ­­®© ¬®¤¥«¨ ¨¬¯ã«ìá ¯à¨¢®¤ïâ ª â ¡«¨ç­ë¬ ¨­â¥£à « ¬ ¨ ¡¥§ âà㤠¢ëç¨á«ïîâáï
r
2
1 ;
f (; 0) = p 1
;
f
(
;
0)
=
=
i (1 ? i )
2 i (1 ? i )
f (; 0) = p 3
= :
i
2 i (1 ? )
1
3 2
2
2
5 2
 ¨å ®á­®¢¥ ¬®¦­® à ááç¨â âì ¨ ¢á¥ ®áâ «ì­ë¥ âà¥¡ã¥¬ë¥ ¢ (5.42) ¢¥«¨ç¨­ë
212
2
I (; 0) = (1 + ) ; Re f (; 0)f (; 0) = 4(1 +3 ) = ;
=
qp
Im f (; 0)f (; 0) = ? p
:
2 (1 + )
1+ +
’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯à¨¢¥¤¥­­ ï ­ à¨á.5.21¡ § ¢¨á¨¬®áâì ¨¬¥¥â ᨬ¯â®âã
3
1
4
1
2 2
2 5 2
5 2
1
2 2
à ¢­ãî
2
p
2p 1 + 2 1:76:
qp
lim
=
=
max
p
!1
1 + + (3 ? 8 1 + ) 3 ? 8
p
2
2
2
‘ª®à®áâì ¯à¨¡«¨¦¥­¨ï ª í⮩ ¢¥«¨ç¨­¥ ­¥ ¬®¦¥â ¡ëâì ¯®«ã祭 ¨§
(5.42), âॡãï ¡®«¥¥ ¤¥â «ì­®© ¨­ä®à¬ 樨 ® ¯®¢¥¤¥­¨¨ I (; ) ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠¬ «ëå §­ 祭¨© .
 «¨ç¨¥ â®ç­®£® à¥è¥­¨ï (5.48) ¯®§¢®«ï¥â ®æ¥­¨âì ¯®£à¥è­®áâì ¯¯à®ªá¨¬ 樨 (5.36) ¢ è¨à®ª®¬ ¤¨ ¯ §®­¥ §­ 祭¨© ¨ , ª®â®à ï ¯®«ãç ¥âáï § áçñâ ãá¥ç¥­¨ï àï¤ . ¥§ã«ìâ âë à áçñ⠮⭮á¨â¥«ì­®© ¯®£à¥è­®á⨠¯¯à®ªá¨¬ 樨 I (; ) ­ áâ ¤¨¨ ªâ¨¢­®© ᨬ¬¥âਧ 樨 ¯à¨¢¥¤¥­ë ­ à¨á.5.23a. à¨ ¢ë¯®«­¥­¨¨ íâ¨å à áçñ⮢ ãç¨âë¢ «¨áì 30
¯¥à¢ëå ­¥­ã«¥¢ëå ª®íää¨æ¨¥­â®¢ à §«®¦¥­¨ï f (0; t) ¢ àï¤ ¯® äã­ªæ¨ï¬
à¬¨â . ’®ç­®áâì ¢á¥å ¯à®¬¥¦ãâ®ç­ëå ¢ëç¨á«¥­¨© ¡ë« ¯®¢ë襭 ¤®
20 ¤¥áïâ¨ç­ëå æ¨äà.
0.003
0.002 I(µ, τ)
0.001
0
-0.001
-0.002
-0.003
0.2
µ
0.3
0.4
τ
2
0.5 3
0
1
0.001 I(µ,τ )
0.0005
0
-0.0005
-0.001
1
1.2
µ
1.4
1.6
1.8
τ
24
3
2
0
1
¡
¨á.5.23. Žâ­®á¨â¥«ì­ ï ¯®£à¥è­®áâì ¯¯à®ªá¨¬ 樨 ¨¬¯ã«ìá (5.47) ª®­¥ç­ë¬ ®â१ª®¬ àï¤ (5.36), ᮤ¥à¦ 騬 30 ­¥­ã«¥¢ëå á« £ ¥¬ëå: ) áâ ¤¨ï ᨬ¬¥âਧ 樨,
¡ ) ®¡« áâì ¯¥à¥å®¤ ª ¤ «ì­¥© §®­¥.
Š ª ¨ á«¥¤®¢ «® ®¦¨¤ âì, ¯®£à¥è­®áâì ¬¨­¨¬ «ì­ ¢ 業âà «ì­®©
ç á⨠¨¬¯ã«ìá , ¯®á⥯¥­­® 㢥«¨ç¨¢ ïáì ­ ¥£® ú墮áâ åû. ¥áª®«ìª®
­¥®¦¨¤ ­­ë¬ ï¥âáï â®â ä ªâ, çâ® ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠â®çª¨ ¬ ªá¨¬ã¬ ¯® ¬¥à¥ 㢥«¨ç¥­¨ï ¯ à ¬¥âà ¯®£à¥è­®áâì ­¥ à áâ¥â, ª ª ¢ á«ãç ¥
213
ᨬ¬¥âà¨ç­®£® £ ãáᮢ ¨¬¯ã«ìá ¨§ ¯à¥¤ë¤ã饣® ¯à¨¬¥à , á«¥£ª ã¡ë¢ ¥â. ®áª®«ìªã à §«®¦¥­¨ï ¢¨¤ (5.36) ­¥ ïîâáï ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨ â®ç­ë¬¨ ¯à¨ ! 1; â® ¢¯®«­¥ ¥áâ¥á⢥­­®, çâ® ¯® ¬¥à¥ 㤠«¥­¨ï
®â 業âà ¨¬¯ã«ìá ¯®£à¥è­®áâì ¡ã¤¥â ­ à áâ âì ¨ ¬®¦¥â áãé¥á⢥­­®
¯à¥¢ëá¨âì â®â ¤¨ ¯ §®­, ª®â®àë© ¨§®¡à ¦¥­ ­ à¨á.5.23a. Ž¤­ ª® ¢àï¤
«¨ ¨¬¥¥â á¬ëá« ­ à 騢 âì â®ç­®áâì à áçñ⮢ ¢ â¥å ®¡« áâïå, £¤¥ §­ 祭¨ï I (; ) ¯à ªâ¨ç¥áª¨ à ¢­ë ­ã«î, ¯®£à¥è­®áâì ç¨á«¥­­®© ¯¯à®ªá¨¬ 樨 ­ 稭 ¥â ª®­ªãà¨à®¢ âì á âà㤭® ª®­â஫¨à㥬®© ¯®£à¥è­®áâìî
á ¬®© 䨧¨ç¥áª®© ¬®¤¥«¨, ¯®«®¦¥­­®© ¢ ®á­®¢ã ¢ëç¨á«¥­¨©.
Š ª ¨§¢¥áâ­®, ¢ à ¬ª å ª¢ §¨¬®­®å஬ â¨ç¥áª®£® ¯à¨¡«¨¦¥­¨ï ®£¨¡ îé ï ¨á室­®£® ¨¬¯ã«ìá £ ãáᮢ®© ä®à¬ë ¡ã¤¥â ®¯¨áë¢ âìáï £ ãáᮢ®©
ªà¨¢®© ¯à¨ «î¡ëå §­ 祭¨ïå ¨ . ‚ à áᬠâਢ ¥¬®¬ ¯à¨¬¥à¥ ¯®¢¥¤¥­¨¥ f (0; t) ­ § ¤­¥¬ ä஭⥠¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© â ªãî ¦¥ § ¢¨á¨¬®áâì,
¯®í⮬㠨¬¥¥â á¬ëá« ¢ëïá­¨âì ¡ã¤¥â «¨ á®åà ­ïâìáï ä㭪樮­ «ì­ë©
¢¨¤ ®£¨¡ î饩 ­ ú墮áâ åû ¨¬¯ã«ìá ¯® ¬¥à¥ ¥£® à á¯à®áâà ­¥­¨ï ¢
á।¥ ¨«¨ ¦¥ íªá¯®­¥­æ¨ «ì­® ¡ëáâ஥ ã¡ë¢ ­¨¥ ¬®é­®á⨠¨§«ã祭¨ï ¢
㤠«¥­­ëå ®â 業âà ç áâïå ¨¬¯ã«ìá ᬥ­¨âáï ¡®«¥¥ ¬¥¤«¥­­®© á⥯¥­­®© § ¢¨á¨¬®áâìî?
à®é¥ ¢á¥£® ¤ âì ®â¢¥â ­ ¯®áâ ¢«¥­­ë© ¢®¯à®á ¢ ¤ «ì­¥© §®­¥, ®¤­ ª® ¨§ à¨á.5.22 ¢¨¤­®, ç⮠㦥 ­ ­ ç «ì­®© áâ ¤¨¨ à á¯à®áâà ­¥­¨ï
¯à®¨á室¨â ¡ëáâ஥ ᣫ ¦¨¢ ­¨¥ § ¤­¥£® äà®­â ¨ ­ 稭 ¥âáï ä®à¬¨à®¢ ­¨¥ ¤«¨­­®£®, å®âï ¨ ¬ «®¬®é­®£®, ú墮áâ û. „«ï ®¯à¥¤¥«¥­¨ï ®£®
¢¨¤ § ¢¨á¨¬®á⨠f (; ) ­ ú墮áâ åû ¨¬¯ã«ìá , â® ¥áâì ¯à¨ ¢ë¯®«­¥­¨¨
ãá«®¢¨ï = ! 1, ¢®á¯®«ì§ã¥¬áï ¯à¨¢¥¤¥­­ë¬ ¢ (5.14) ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨¬
à §«®¦¥­¨¥¬ ¨­â¥£à « ¢¥à®ïâ­®á⨠¢ ®¡« á⨠z ! 1; j arg(z)j < :
®¤áâ ¢«ïï íâ® à §«®¦¥­¨¥ ¢ ¯®«ã祭­®¥ à ­¥¥ ¢ëà ¦¥­¨¥ ¤«ï f (; );
­ 室¨¬ ¨áª®¬ãî ᨬ¯â®â¨ªã
r
=
f (; ) = 2i exp( i2 ) + O( ):
”®à¬¨à®¢ ­¨¥ ¢ ¤ «ì­¥© §®­¥ ¬¥¤«¥­­® § âãå îé¨å ¯® á⥯¥­­®¬ã § ª®­ã ú墮á⮢û ï¥âáï ¤®áâ â®ç­® å à ªâ¥à­®© ®á®¡¥­­®áâìî à á¯à®áâà ­¥­¨ï ¬­®£¨å ¨¬¯ã«ìᮢ, ãè¨àïîé¨åáï §­ ç¨â¥«ì­® ¡ëáâ॥ £ ãáᮢ . ‚ ¤ ­­®¬ á«ãç ¥ í⮠ï¥âáï á«¥¤á⢨¥¬ ⮣®, çâ® ­ ®£¨¡ îéãî
¨á室­®£® ¨¬¯ã«ìá ¡ë«® ­ «®¦¥­® âॡ®¢ ­¨¥ ⮦¤¥á⢥­­®£® ®¡à 饭¨ï ¢ ­ã«ì ¯à¨ ¢á¥å < 0. „®«ï ¯®«­®© í­¥à£¨¨, ᮤ¥à¦ 饩áï ¢ â ª¨å
ú墮áâ åû, § ¢¨á¨â ®â ᪮à®á⨠¢ë室 ­ ᨬ¯â®â¨ªã. ’ ª ª ª ¤«ï
à áᬠâਢ ¥¬®© ¬®¤¥«¨ ¨¬¯ã«ìá ¢ ®¡« á⨠¡®«ìè¨å I (; ) 2 ¯à¨ ! 1;
(5.50)
3
4
2
2
3
9 2
5
5
6
214
â® íâ ¢¥«¨ç¨­ ®ª §ë¢ ¥âáï ¤®áâ â®ç­® ¬ « , ¯®áª®«ìªã ¯¥à¥å®¤ ª (5.50)
¯à®¨á室¨â ¢ ¤¨ ¯ §®­¥ ¬®é­®á⥩, ª®â®àë¥ ­ 3 4 ¯®à浪 ¬¥­ìè¥
¯¨ª®¢®©.
Š®à४⭮¥ ®¯¨á ­¨¥ ᨬ¯â®â¨ª ¢¨¤ (5.50) ¢®§¬®¦­® ⮫쪮 ¤«ï â¥å
¬®¤¥«¥©, ª®â®àë¥ ¤®¯ã᪠îâ â®ç­®¥ à¥è¥­¨¥. Š ª ¯®ª § ­® ­ à¨á.5.23a,
¯® ¬¥à¥ 㤠«¥­¨ï ®â 業âà ¨¬¯ã«ìá ¬¯«¨â㤠¯®£à¥è­®áâ¨ à §«®¦¥­¨ï (5.36) ­ 稭 ¥â ­ à áâ âì. ‚ â® ¦¥ ¢à¥¬ï (á¬. à¨á.5.23¡ ), 業âà «ì­ ï ç áâì ãè¨à¨¢è¥£®áï ¢ ­¥áª®«ìª® à § ¨¬¯ã«ìá à ááç¨âë¢ ¥âáï
á â®ç­®áâìî ¤® ¤¥áïâëå ¤®«¥© ¯à®æ¥­â .
5.6
‹ §¥à­ë¥ ¨¬¯ã«ìáë ¢ ®¡« á⨠ú­ã«¥¢®©û ¤¨á¯¥àᨨ
ˆ§ ­ «¨§ ª¢ §¨¬®­®å஬ â¨ç¥áª®£® ¯à¨¡«¨¦¥­¨ï, ¯à®¢¥¤¥­­®£® ¢
¯à¥¤ë¤ãé¨å à §¤¥« å ¤ ­­®© £« ¢ë, á ®ç¥¢¨¤­®áâìî á«¥¤ã¥â, çâ® ãçñâ
¤¨á¯¥àᨮ­­ëå ¥­¨© ¢ à ¬ª å ¤ ­­®£® ¯®¤å®¤ ¯à®¢®¤¨âáï ¢ ¯¥à¢®¬
­¥¨á祧 î饬 ¯à¨¡«¨¦¥­¨¨. ’ ª®© ¯®¤å®¤, ¢¯à®ç¥¬, ï¥âáï ¤®áâ â®ç­® ⨯¨ç­ë¬ ¤«ï á ¬ëå à §­®®¡à §­ëå 䨧¨ç¥áª¨å ⥮਩, ¢ ®á­®¢ã ª®â®àëå ¯®«®¦¥­® à §«®¦¥­¨¥ ¯® ¬ «®¬ã ¯ à ¬¥âàã. ‚ ­ 襬 á«ãç ¥ â ª¨¬ ¬ «ë¬ ¯ à ¬¥â஬ ®ª §ë¢ ¥âáï ®â­®è¥­¨¥ íä䥪⨢­®© è¨à¨­ë
ᯥªâà ¨¬¯ã«ìá ª ç áâ®â¥ ®¯â¨ç¥áª®© ­¥áã饩, çâ® ¨ ¯®§¢®«ï¥â ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¤¨á¯¥àᨮ­­ãî ªà¨¢ãî ¢ ¢¨¤¥ à §«®¦¥­¨ï (5.2).
Ž¤­ ª® á ¬ ¯® ᥡ¥ ¢®§¬®¦­®áâì ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨ï ª ª®©-«¨¡® 䨧¨ç¥áª®© ¢¥«¨ç¨­ë ¢ ¢¨¤¥ á⥯¥­­®£® àï¤ ­¥ ï¥âáï ¤®áâ â®ç­® ª®­áâàãªâ¨¢­®©, ¯®áª®«ìªã ᪮à®áâì ¥£® á室¨¬®áâ¨, ª ª ¯à ¢¨«®, ®áâ ñâáï ­¥¨§¢¥áâ­®©. ” ªâ¨ç¥áª¨, ­¥ï¢­ë¬ ®¡®á­®¢ ­¨¥¬ à áᬠâਢ ¥¬®£® ¯à¨¡«¨¦¥­¨ï ®ª §ë¢ ¥âáï ªà¨â¥à¨© ¬ «®á⨠®â­®á¨â¥«ì­®£® ¨§¬¥­¥­¨ï ¯à®¨§¢®¤­ëå ¨áá«¥¤ã¥¬®© ä㭪樨 ­ áãé¥á⢥­­®¬ ¤«ï ¤ ­­®© § ¤ ç¨ ¨­â¥à¢ «¥ ¨§¬¥­¥­¨ï à£ã¬¥­â . …᫨ ãç¥áâì, çâ® ¢ë¯®«­¥­¨¥ ¤ ­­®£®
ªà¨â¥à¨ï ¬®¦¥â ¡ëâì ãáâ ­®¢«¥­® ⮫쪮 ­ ®á­®¢¥ íªá¯¥à¨¬¥­â «ì­ëå
¤ ­­ëå, â® ­¥ã¤¨¢¨â¥«ì­®, çâ® ¨ ¯à¨¬¥­¨¬®áâì ¤ ­­®£® ¯à¨¡«¨¦¥­¨ï
âॡã¥â ®¯à¥¤¥«ñ­­®£® ãâ®ç­¥­¨ï ¤«ï ª ¦¤®© ª®­ªà¥â­®© 䨧¨ç¥áª®© ¬®¤¥«¨.
‘ãé¥á⢮¢ ­¨¥ ¬ «®£® ¯ à ¬¥âà ¯à¨ ­ «¨ç¨¨ ¨­ä®à¬ 樨 ® ¯« ¢­®¬ ¨§¬¥­¥­¨¨ ä㭪樨 ­ ­¥ª®â®à®¬ § ¤ ­­®¬ ¨­â¥à¢ «¥ ¤ ñ⠮᭮¢ ­¨¥ ¯à¥¤¯®« £ âì, çâ® ¨­â¥à¥áãî騩 ­ á á⥯¥­­®© àï¤ á室¨âáï ¤®áâ â®ç­® ¡ëáâà® ¨ ¬®¦¥â ¡ëâì á ­¥¡®«ì让 ¯®£à¥è­®áâìî ¯¯à®ªá¨¬¨à®¢ ­
ª®­¥ç­®© á㬬®© ­¥áª®«ìª¨å ¯¥à¢ëå ç«¥­®¢. “ª § âì âॡ㥬®¥ ª®«¨ç¥á⢮ á« £ ¥¬ëå ¢ í⮩ á㬬¥ ¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ ­¥¢®§¬®¦­®. Š áç áâìî, ¢
215
¡®«ì設á⢥ 䨧¨ç¥áª¨å ⥮਩ ­ «¨ç¨¥ ã á¨áâ¥¬ë ª ª¨å{«¨¡® ᯥæ¨ä¨ç¥áª¨å ᢮©á⢠®¡ëç­® ®¡ãá«®¢«¥­® ¯à¨áãâá⢨¥¬ ¢ à §«®¦¥­¨ïå ⨯ (5.2) ç«¥­®¢ ¯à®¨§¢®«ì­®£® ¯®à浪 , ­ 稭 ï á ­¥ª®â®à®£® ¬¨­¨¬ «ì­®£®.
„«ï ¡ëáâà® á室ï饣®áï àï¤ ¢ª« ¤ á« £ ¥¬®£® á ¬¨­¨¬ «ì­ë¬ ¯®à浪®¢ë¬ ­®¬¥à®¬ ¢ ⨯¨ç­®© á¨âã 樨 ®ª §ë¢ ¥âáï ¤®¬¨­¨àãî騬 ¨ ¢á¥
¯®á«¥¤ãî騥 ç«¥­ë í⮣® à §«®¦¥­¨ï ¬®£ãâ ¡ëâì ®¯ã饭ë. ˆ¬¥­­® â ª®© ¯®¤å®¤ ¯à¨­ïâ® ­ §ë¢ âì ¯¥à¢ë¬ ­¥¨á祧 î騬 ¯à¨¡«¨¦¥­¨¥¬, ¯®áª®«ìªã ª®­ªà¥â­ë© ¯®à冷ª ¯®á«¥¤­¥£® 㤥ঠ­­®£® ç«¥­ à §«®¦¥­¨ï
­¥ ¨£à ¥â ®á®¡®© ஫¨, â ª ª ª ®­ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¨áª«îç¨â¥«ì­® ᯥæ¨ä¨ª®© ¯ à ¬¥â஢ § ¤ ç¨ ¨ ­¥ § âà £¨¢ ¥â «£®à¨â¬¨ç¥áªãî áâ®à®­ã ¥ñ
à¥è¥­¨ï.
 âà ­áä®à¬ æ¨î ®£¨¡ î饩 ¢ë᮪®ç áâ®â­®£® ¨¬¯ã«ìá ®ª §ë¢ îâ
¢«¨ï­¨¥ ¢á¥ ç«¥­ë à §«®¦¥­¨ï ¢®«­®¢®£® ¢¥ªâ®à ¢ àï¤ ¯® !, ­ 稭 ï
á® ¢â®à®£®. — é¥ ¢á¥£® ¢ í⮬ à §«®¦¥­¨¨ ¡ã¤¥â ¯à¨áãâá⢮¢ âì ª¢ ¤à â¨ç­®¥ ¯® ! á« £ ¥¬®¥, ª®â®à®¥ ¨ ®¯à¥¤¥«ï¥â ¢¥áì ªà㣠à áᬮâ७­ëå ­ ¬¨ à ­¥¥ ¥­¨©. Ž¤­ ª®, ¯à¨ ®¯à¥¤¥«ñ­­®¬ ¢ë¡®à¥ ¯ à ¬¥â஢ áà¥¤ë ¨ ¤«¨­ë ¢®«­ë ¨§«ã祭¨ï ¢¯®«­¥ ¬®¦¥â ¢®§­¨ª­ãâì â ª ï
á¨âã æ¨ï, ª®£¤ ¯à®¨§¢®¤­ ï k ®¡à é ¥âáï ¢ ­ã«ì. â ®¡« áâì ᯥªâà , ­ §ë¢ ¥¬ ï ®¡« áâìî ú­ã«¥¢®©û ¤¨á¯¥àᨨ, ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ®á®¡ë©
¨­â¥à¥á ¤«ï à §à ¡®â稪®¢ ®¯â¨ç¥áª¨å «¨­¨© á¢ï§¨, ¯®áª®«ìªã ¤ ¦¥ ¨¬¯ã«ìáë ¯¨ª®á¥ªã­¤­®© ¤«¨â¥«ì­®á⨠¬®£ã⠯ਠ⠪¨å ãá«®¢¨ïå à á¯à®áâà ­ïâìáï ­ ¤¥áï⪨ ª¨«®¬¥â஢ ¡¥§ áãé¥á⢥­­ëå ¨áª ¦¥­¨©. …áâ¥á⢥­­®, çâ® ¢ ¯®¤®¡­®© á¨âã 樨 ¯®à浪®¢ë© ­®¬¥à ¯®á«¥¤­¥£® 㤥ন¢ ¥¬®£® ç«¥­ à §«®¦¥­¨ï (5.2) ¤®«¦¥­ ¡ëâì 㢥«¨ç¥­ â ª¨¬ ®¡à §®¬,
çâ®¡ë ¢ ­¥¬ ¯®ï¢¨«¨áì ­¥­ã«¥¢ë¥ á« £ ¥¬ë¥ ¡®«¥¥ ¢ë᮪®£® ¯®à浪 ¯®
!, ª®â®àë¥ ¨ ¡ã¤ãâ ®ª §ë¢ âì ¤®¬¨­¨àãî饥 ¢«¨ï­¨¥ ­ å à ªâ¥à ¨§¬¥­¥­¨© ®£¨¡ î饩 ¨¬¯ã«ìá .
‘ ¯à ªâ¨ç¥áª®© â®çª¨ §à¥­¨ï ­ ¨¡®«¥¥ ªâã «ì­ â ª ï ¯®áâ ­®¢ª § ¤ ç¨, ª®£¤ ¬®¦­® £®¢®à¨âì «¨èì ® ¯à¨¡«¨¦ñ­­®¬ à ¢¥­á⢥ ­ã«î ¯à®¨§¢®¤­®© k : ‚á«¥¤á⢨¥ âà㤭® ª®­â஫¨à㥬ëå ¨§¬¥­¥­¨© ª ª ¢ ᢮©á⢠å á।ë, â ª ¨ ¯ à ¬¥â஢ £¥­¥à â®à ¨¬¯ã«ìᮢ â®ç­®¥ ®¡à 饭¨¥
¢ ­ã«ì k ¬ «®¢¥à®ïâ­®. ‚ ç áâ­®áâ¨, 㦥 ¤«ï ¨¬¯ã«ìᮢ ¯¨ª®á¥ªã­¤­®£® ¤¨ ¯ §®­ ॠ«ì­ ï è¨à¨­ ᯥªâà â ª®¢ , çâ® à §«¨ç­ë© ¢ë¡®à
­¥áã饩 ç áâ®âë ! ¬®¦¥â áãé¥á⢥­­® ¬¥­ïâì §­ 祭¨ï k ¢ ®¡« áâ¨
ú­ã«¥¢®©û ¤¨á¯¥àᨨ.
à¨ 㪠§ ­­ëå ®¡áâ®ï⥫ìáâ¢ å ­¥«ì§ï ¯à®áâ® ®â¡à®á¨âì ª¢ ¤à â¨ç­®¥ ¯® (! ? ! ) á« £ ¥¬®¥. ‘ ¤à㣮© áâ®à®­ë, ã ­ á 㦥 ­¥â ®á­®¢ ­¨©
¯à¥­¥¡à¥£ âì ¢ª« ¤®¬ ç«¥­®¢ ¡®«¥¥ ¢ë᮪®£® ¯®à浪 ¢ à §«®¦¥­¨¨ k(!):
‚ १ã«ìâ ⥠ãá¥çñ­­ ï ¢¥àá¨ï (5.2) ¯®¯®«­¨âáï ¥éñ ®¤­¨¬ á« £ ¥¬ë¬
00
0
00
0
00
0
00
0
0
0
216
(!) (! ?! )+ 1 d k(!) (! ?! ) + 1 d k(!) (! ?! ) : (5.51)
k(!) k(! )+ dkd!
2 d! ! !
6 d! ! !
! !
’¥®à¥â¨ç¥áª ï §­ 稬®áâì à áᬠâਢ ¥¬®© ¬®¤¥«¨ á®á⮨⠥éñ ¨ ¢ ⮬,
çâ® ¯à¨ í⮬ 㤠ñâáï, ¡áâà £¨àãïáì ®â ®¡« á⨠ú­ã«¥¢®©û ¤¨á¯¥àᨨ,
¯®«ãç¨âì ª®«¨ç¥á⢥­­ë¥ ®æ¥­ª¨ ஫¨ ¤¨á¯¥àᨮ­­ëå ç«¥­®¢ ¡®«¥¥ ¢ë᮪®£® ¯®à浪 ¢ (5.51), ª®â®àë¥ ª ­ áâ®ï饬㠬®¬¥­âã ¢ «¨â¥à âãॠ­¥
¯à¨¢®¤ïâáï.
Ž¡á㦤¥­¨¥ áä®à¬ã«¨à®¢ ­­ëå ¢ ¤ ­­®¬ à §¤¥«¥ § ¤ ç ¡ã¤¥â ¯®áâ஥­® ­ ¡ §¥ ­ «¨§ ­¥áª®«ìª¨å ¬®¤¥«¥© ¨¬¯ã«ìᮢ, ¤«ï ª®â®àëå 㤠ñâáï
¯®«ãç¨âì à¥è¥­¨¥ ¢ ­ «¨â¨ç¥áª®¬ ¢¨¤¥. Ž¤­®© ¨§ â ª¨å ¬®¤¥«¥© ï¥âáï, áâ ¢è ï 㦥 âà ¤¨æ¨®­­®©, ¬®¤¥«ì £ ãáᮢ ¨¬¯ã«ìá .
 ç­ñ¬ á á ¬®© ¯à®á⮩ á¨âã 樨, ª®£¤ ¯à®¨§¢®¤­ ï k â®ç­® à ¢­ ­ã«î. ’®£¤ ¤«ï ª®¬¯«¥ªá­®© ®£¨¡ î饩 ᨣ­ « ¯®á«¥ ¯à®å®¦¤¥­¨ï
á«®ï á।ë ⮫騭ë L ¬®¦­®, ¢¬¥áâ® (5.3), § ¯¨á âì á«¥¤ãî饥 ¢ëà ¦¥­¨¥
Z1
1
f (L; ) = 2 (!)ei(! ? k L! )d!;
2
0
0
2
= 0
0
3
2
0
3
= 0
3
= 0
00
0
1
6
000
3
0
?1
£¤¥, ª ª ¨ à ­¥¥, (!) { ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥ ”ãàì¥ ®£¨¡ î饩 ¨¬¯ã«ìá . ˆá¯®«ì§ãï âã ¦¥ á¨á⥬㠮¡®§­ 祭¨©, çâ® ¨ ¢ ­ ç «¥ à §¤¥« 5.2, ¯à¥¤áâ ¢¨¬ f (L; ) ¢ ¢¨¤¥
Z1
t
f (L; ) = 2p exp(? 14 ! t )ei(! ? k L! )d!:
(5.52)
0
1
6
2 2
0
?1
000
0
3
 ¢áñ¬ ¯à®â殮­¨¨ ¤ ­­®£® à §¤¥« ­ ¬ ¯à¨¤ñâáï áâ «ª¨¢ âìáï á ¢ëç¨á«¥­¨¥¬ ¨­â¥£à «®¢, ᮤ¥à¦ é¨å ¡ëáâà®®á樫«¨àãî騥 ¬­®¦¨â¥«¨ á
à£ã¬¥­â®¬ ¢¨¤ cos(qt + xt) ®â­®á¨â¥«ì­® ¯ à ¬¥âà t. â¨ ¨­â¥£à «ë
ç áâ® ¢ëà ¦ îâáï ç¥à¥§ ®á®¡ãî ª®¬¡¨­ æ¨î ¡¥áᥫ¥¢ëå ä㭪権 { â ª
­ §ë¢ ¥¬ë¥ ä㭪樨 ©à¨, ª®â®àë¥ ï¢«ïîâáï «¨­¥©­® ­¥§ ¢¨á¨¬ë¬¨
à¥è¥­¨ï¬¨ ¤¨ää¥à¥­æ¨ «ì­®£® ãà ¢­¥­¨ï
d y(x) = xy(x):
dx
Ž£à ­¨ç¥­­®¥ ­ ¢á¥© ¢¥é¥á⢥­­®© ®á¨ à¥è¥­¨¥ í⮣® ãà ¢­¥­¨ï ¤®¯ã᪠¥â á«¥¤ãî饥 ¨­â¥£à «ì­®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥
Z1
cos(qt + xt)dt = p2 Ai( px ):
3q
3q
3
2
2
3
3
?1
217
3
ƒ« ¢­ë¥ ç«¥­ë ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨å à §Ai(x)
«®¦¥­¨© ä㭪樨 Ai(x) ¯à¨ jxj ! 1
0.4
¨¬¥îâ ¢¨¤
=
Ai(x) p 1 p e? x
0.2
2 x
Ai(?x) p1px sin( 4 + 23 x = ):
0
-8
-6 x -4
-2
2
-0.2
„ ­­ ï ᨬ¯â®â¨ª ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ­¥
⮫쪮 ¤«ï ¢¥é¥á⢥­­ëå §­ 祭¨©
-0.4
à£ã¬¥­â , ­® ¨ ¢ ª®¬¯«¥ªá­®© ®¡« á⨠¯à¨ ãá«®¢¨¨, çâ® j arg(x)j < :
‚â®à®¥ «¨­¥©­® ­¥§ ¢¨á¨¬®¥ à¥è¥- ¨á.5.24. ƒà 䨪 ä㭪樨 ©à¨ Ai(x).
­¨¥ ¤ ­­®£® ¤¨ää¥à¥­æ¨ «ì­®£® ãà ¢­¥­¨ï Bi(x) ­¥®£à ­¨ç¥­® ¢®§à á⠥⠯ਠx ! 1
=
Bi(x) p1px e x :
‚®§¢à é ïáì ª (5.52), ¢ëç¨á«¨¬ á«¥¤ãî騩 ¨­â¥£à «, áç¨â ï ¤«ï ¯à®áâ®âë ¯ à ¬¥âàë p; q ¨ x ¢¥é¥á⢥­­ë¬¨, ¯à¨ç¥¬ p ¨ q > 0
2
3
4
3 2
3 2
4
2
3
2
3
4
Z1
?1
3 2
e?pt cos(qt + xt)dt:
2
3
®«ã祭­ë© १ã«ìâ â ¬®¦¥â ¡ëâì § ⥬ ­ «¨â¨ç¥áª¨ ¯à®¤®«¦¥­ § ¯à¥¤¥«ë ¢¥é¥á⢥­­®© ®á¨. ’à ªâãï ¤ ­­ë© ¨­â¥£à « ª ª äã­ªæ¨î ¯ à ¬¥âà x, ª®â®àãî ¬®¦­® ¯à®¨§¢®«ì­®¥ ª®«¨ç¥á⢮ à § ¤¨ää¥à¥­æ¨à®¢ âì ¯®¤ §­ ª®¬ ¨­â¥£à « , ¯®«ã稬 ¤¨ää¥à¥­æ¨ «ì­®¥ ãà ¢­¥­¨¥, ª®â®à®¬ã íâ äã­ªæ¨ï 㤮¢«¥â¢®àï¥â. ‚ १ã«ìâ ⥠¤¢ãªà â­®£® ¤¨ää¥à¥­æ¨à®¢ ­¨ï ¡ã¤¥¬ ¨¬¥âì
d f (x) = d
dx
dx
2
2
2
2
Z1
?1
e?pt cos(qt + xt)dt = ?
2
Z1
3
t e?pt cos(qt + xt)dt:
2
2
?1
3
„®¬­®¦ ï ¯®«ã祭­®¥ ᮮ⭮襭¨¥ ­ ¬­®¦¨â¥«ì 3q, ¯à¥®¡à §ã¥¬ ¯à¥¤ë¤ã饥 ¢ëà ¦¥­¨¥ ª ¢¨¤ã
1
1
Z
Z
d
f
(
x
)
?
pt
3q dx = ? e d sin(qt + xt) + x e?pt cos(qt + xt)dt:
2
2
2
3
?1
?1
218
2
3
®á«¥ ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨ï ¯® ç áâï¬ á ãçñ⮬ á«¥¤ãî饣® ᮮ⭮襭¨ï:
1
df (x) = ? Z te?pt sin(qt + xt)dt;
dx
2
3
?1
㤠ñâáï ¨§¡ ¢¨âìáï ®â ¨­â¥£à «®¢ ¨ ¯®«ãç¨âì ¤«ï ¨áª®¬®© ¢¥«¨ç¨­ë «¨­¥©­®¥ ãà ¢­¥­¨¥
f (x) = 2p df (x) + xf (x):
3q d dx
dx
®áª®«ìªã ª®íää¨æ¨¥­âë ¯à¨ ¯¥à¢®© ¨ ¢â®à®© ¯à®¨§¢®¤­®© f (x) ïîâáï ª®­áâ ­â ¬¨, â® áâ ­¤ àâ­ ï § ¬¥­ ¯¥à¥¬¥­­ëå f (x) = eCxg(x)
¯®á«¥ ᮮ⢥âáâ¢ãî饣® ¢ë¡®à §­ 祭¨ï ¯ à ¬¥âà C ¯®§¢®«ï¥â ¨§¡ ¢¨âìáï ®â ¯¥à¢®© ¯à®¨§¢®¤­®©. ‚믮«­ïï 㪠§ ­­ãî ¯®¤áâ ­®¢ªã, ¯®«ãç ¥¬ d
g
(
x
)
dg
(
x
)
dg
(
x
)
3q C g(x) + 2C dx + dx
= 2p Cg(x) + dx + xg(x):
2
2
2
2
2
®«®¦¨¢ C = p=(3pq) ¨ ¨§¬¥­¨¢ «¨­¥©­ë© ¬ áèâ ¡ ¯® ®á¨ x ­ ®á­®¢¥
ᮮ⭮襭¨ï x = 3q x ; ã¡¥¦¤ ¥¬áï ¢ ⮬, çâ® äã­ªæ¨ï g(x ) 㤮¢«¥â¢®àï¥â ¤¨ää¥à¥­æ¨ «ì­®¬ã ãà ¢­¥­¨î ¤«ï ä㭪権 ©à¨
d g(x ) = p + x g(x ):
dx
(3q) =
‚®§¢à é ïáì ª ¨á室­®© ä㭪樨 f (x), ¯à¥¤áâ ¢«ï¥¬ १ã«ìâ â ¢ ¢¨¤¥
1
p
1
p
f (x) = C Ai p3q ( 3q + x) + C Bi p3q ( 3q + x) exp( px
3q );
£¤¥ C ¨ C ­¥ § ¢¨áï騥 ®â x ¯®áâ®ï­­ë¥ ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨ï. ’ ª ª ª
f (x) ¤®«¦­ áâ६¨âìáï ª 0 ¯à¨ x ! 1, â®, ¯à¨­¨¬ ï ¢® ¢­¨¬ ­¨¥
ᨬ¯â®â¨ç¥áª®¥ ¯®¢¥¤¥­¨¥ Bi(x); ­ ¬ á«¥¤ã¥â ¯®«®¦¨âì C = 0:
„«ï ­ 宦¤¥­¨ï § ¢¨á¨¬®á⨠ª®íää¨æ¨¥­â C ®â ¯ à ¬¥â஢ p ¨ q
á«¥¤ã¥â ¢ëç¨á«¨âì ¥éñ ®¤¨­ ¨­â¥£à «
0
3
0
0
2
0
2
2
0
0
4 3
2
1
1
2
2
3
3
2
2
1
f(p) =
Z1
?1
e?px cos(qx )dx;
2
3
ª®â®àë© â ª¦¥ ¤®¯ã᪠¥â ¯®¢â®à­®¥ ¤¨ää¥à¥­æ¨à®¢ ­¨¥ ¯® p ­¥¯®á।á⢥­­® ¯®¤ §­ ª®¬ ¨­â¥£à « . à¨ í⮬ ¯¥à¢ ï ¯à®¨§¢®¤­ ï ®ª §ë¢ ¥âáï
à ¢­®©
219
Z1
Z1
df (p) = ? x e?px cos(qx )dx = ? 2p xe?px sin(qx )dx:
dp
3q
2
2
2
3
?1
3
?1
à®¤¨ää¥à¥­æ¨à®¢ ¢ ¯®«ã祭­®¥ ᮮ⭮襭¨¥ ¥éñ ®¤¨­ à §, ¡ã¤¥¬ ¨¬¥âì
1
1
d f(p) = ? 2 Z xe?px sin(qx )dx + 2p Z x e?px sin(qx )dx:
dp
3q
3q
2
2
2
3
2
3
?1
3
?1
“¬­®¦¨¢ ⥯¥àì «¥¢ãî ¨ ¯à ¢ãî ç á⨠¯à¥¤ë¤ã饣® ¢ëà ¦¥­¨ï ­ p ¨
¯à®¨­â¥£à¨à®¢ ¢ ¯® ç áâï¬, ­ 室¨¬ ¤¨ää¥à¥­æ¨ «ì­®¥ ãà ¢­¥­¨¥, ª®â®à®¬ã 㤮¢«¥â¢®àï¥â f(p)
(p) df(p) 2p (p) d
f
d
f
p dp = dp + 9q f (p) + 2p dp :
‘ ¤à㣮© áâ®à®­ë, â ª ª ª ­ ¬ ¨§¢¥áâ­®, çâ®
p
f(p) = C (p) Ai (3q) = ;
â®, ᤥ« ¢ § ¬¥­ã ¯¥à¥¬¥­­ëå x = p =(3q) = ; ¯®«ã稬 ¡®«¥¥ ¯à®á⮥
ãà ¢­¥­¨¥
p f(x) = f(x) + 4x df(x) ;
2 x d dx
dx
¢ ª®â®à®¬ â ª¦¥ ¬®¦­® ¨§¡ ¢¨âìáï ®â ¯¥à¢®© ¯à®¨§¢®¤­®© ¯à¨ ¯®¬®é¨
áâ ­¤ àâ­®© ¯®¤áâ ­®¢ª¨ f(x) = exp( x = )g(x); çâ® ¢ ¨â®£¥ ®¯ïâì ¯à¨¢®¤¨â ª ãà ¢­¥­¨î ¤«ï ä㭪権 ©à¨. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬,
2
p
p
f(p) = C exp 27q Ai (3q) = ;
£¤¥ C - ­¥ § ¢¨áïé ï ®â p ª®­áâ ­â , ª®â®à ï ¬®¦¥â ¡ëâì ­ ©¤¥­ ¨§ ¨­â¥£à «ì­®£® ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨ï ¤«ï ä㭪樨 ©à¨. ®áª®«ìªã á ®¤­®© áâ®à®­ë f(0) = C Ai(0); ¨ ¢ â® ¦¥ ¢à¥¬ï,
2
2
2
2
2
1
4 3
2
4 3
2
2
2
3
3 2
3
2
2
Z1
4 3
cos(qt )dt = p2 Ai(0);
3q
3
?1
3
â® C = 2= p3q, çâ® ¨ § ¢¥àè ¥â ­ è¨ ¢ëç¨á«¥­¨ï
3
Z1
p
2
p
1
p
2
?
pt
e cos(qt + xt)dt = p3q exp 3q ( 9q + x) Ai p3q ( 3q + x) : (5.53)
?1
2
2
3
3
2
3
220
 «®¦¥­­®¥ ¯à¨ ¢ë¢®¤¥ (5.53) âॡ®¢ ­¨¥ q > 0 ­ á ¬®¬ ¤¥«¥ ­¥ ï¥âáï ¯à¨­æ¨¯¨ «ì­ë¬. à¨ ®âà¨æ ⥫ì­ëå §­ 祭¨ïå ¯ à ¬¥âà q; ãç¨âë¢ ï çñâ­®áâì ä㭪樨 ª®á¨­ãá, ¤®áâ â®ç­® § ¬¥­¨âì q ­ jqj, ¯®¬¥­ï¢
¯à¨ í⮬ §­ ª x ­ ¯à®â¨¢®¯®«®¦­ë©. €­ «¨â¨ç¥áª¨¥ ᢮©á⢠ä㭪樨
©à¨ ¯®§¢®«ïîâ à á¯à®áâà ­¨âì ¯®«ã祭­ë¥ १ã«ìâ âë ¨ ­ ®¡« áâì
ª®¬¯«¥ªá­ëå §­ 祭¨© p ¯à¨ ãá«®¢¨¨ Re(p) > 0; çâ® ¤ ñâ ¢®§¬®¦­®áâì ¢
à ¬ª å ¥¤¨­®© ¬®¤¥«¨ à áᬮâà¥âì â ª¦¥ ¯®¢¥¤¥­¨¥ ¨¬¯ã«ìá á «¨­¥©­ë¬ ç¨à¯®¬, ¨ ªà®¬¥ ⮣®, ¯à® ­ «¨§¨à®¢ âì á㬬 à­ë© ¢ª« ¤ ¤¨á¯¥àᨮ­­ëå íä䥪⮢ ª ª ¢â®à®£®, â ª ¨ âà¥â쥣® ¯®à浪®¢.
‚¢®¤ï ¯® ­ «®£¨¨ á (5.9) ¤¨á¯¥àᨮ­­ë© ¯ à ¬¥âà âà¥â쥣® ¯®à浪 = kt L ;
ª®â®àë© ¡ã¤¥¬ áç¨â âì ¯®«®¦¨â¥«ì­ë¬, ¨ ¢à¥¬ï , ¯®«ãç ¥¬ á«¥¤ãî饥
¢ëà ¦¥­¨¥ ¤«ï ®£¨¡ î饩 ¨¬¯ã«ìá ­ à ááâ®ï­¨¨ L ®â ¨á室­®© â®çª¨
000
3
0
3
0
1
Z
1
f ( ; ) = 2p exp(? x4 ) cos(x ? 16 x )dx =
2
3
3
p
3
?1
1 ? 1
1
p
exp 2 ( 12 ? ) Ai 8p
:
(5.54)
=2
=2
‘®¯®áâ ¢«¥­¨¥ (5.7) ¨ (5.54) ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® ®£¨¡ îé ï ¨¬¯ã«ìá £ ãáᮢ®© ä®à¬ë, à á¯à®áâà ­ïî饣®áï ¢ ¤¨á¯¥à£¨àãî饩 á।¥ ¢ ®¡« á⨠ú­ã«¥¢®©û ¤¨á¯¥àᨨ, 㦥 ¡®«ìè¥ ­¥ á®åà ­ï¥â ᢮© ä㭪樮­ «ì­ë© ¢¨¤.  ᬥ­ã âਢ¨ «ì­®¬ã á業 à¨î ¬®â®­­®£® ãè¨à¥­¨ï ¯à¨å®¤ïâ §­ ç¨â¥«ì­® ¡®«¥¥ à §­®®¡à §­ë¥ ¯à®æ¥ááë âà ­áä®à¬ 樨 ®£¨¡ î饩, ª®â®àë¥ ¯® å à ªâ¥àã ᢮¥£® ¯à®ï¢«¥­¨ï ç áâ® ®ª §ë¢ îâáï ¤¨ ¬¥âà «ì­® ¯à®â¨¢®¯®«®¦­ë¬¨ ⮬ã, çâ® ¨¬¥«® ¬¥áâ® ¯à¨ ãçñ⥠¤¨á¯¥àᨮ­­ëå ¯ à ¬¥â஢ ¢â®à®£® ¯®à浪 .
’ ª ­ ¯à¨¬¥à, ¢ à §¤¥«¥ 5.5 ¡ë«® ¯®ª § ­®, çâ® ¤«ï ¨¬¯ã«ìᮢ ¯à®¨§¢®«ì­®© ä®à¬ë ­ ¨¡®«¥¥ áãé¥á⢥­­®© ®á®¡¥­­®áâìî ¨å à á¯à®áâà ­¥­¨ï ï¥âáï ¯®á⥯¥­­ ï ᨬ¬¥âਧ æ¨ï ®£¨¡ î饩, ª®â®à ï ¯à¨ ®âáãâá⢨¨ ç¨à¯ ¤®á⨣ ¥âáï «¨èì ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨, ⮣¤ ª ª ¨¬¯ã«ìáë
3
3
3
3
3
3
3
á ®£¨¡ î饩 ¨§­ ç «ì­® ᨬ¬¥âà¨ç­®© ä®à¬ë ®áâ îâáï â ª®¢ë¬¨ ¯à¨
¯à®¨§¢®«ì­ëå §­ 祭¨ïå ¯ à ¬¥âà . ‚ â® ¦¥ ¢à¥¬ï, ª ª á«¥¤ã¥â ¨§
(5.54), ¤«ï ®¡« á⨠ú­ã«¥¢®©û ¤¨á¯¥àᨨ ¨á室­®¥ ᨬ¬¥âà¨ç­®¥ á®áâ®ï­¨¥ ï¥âáï ­¥ãáâ®©ç¨¢ë¬ ¨ áà §ã ¦¥ ­ 稭 ¥âáï ¯à®æ¥áá ¤¥ä®à¬ 樨
®£¨¡ î饩.
221
 ­ ç «ì­®© áâ ¤¨¨ (á¬. à¨á.5.25a) íâ® ¢ë£«ï¤¨â ª ª ¯®á⥯¥­­®¥
ᣫ ¦¨¢ ­¨¥ ¯¥à¥¤­¥£® äà®­â ¨¬¯ã«ìá ¨ ®¡®áâ७¨¥ § ¤­¥£® ¯à¨ ¯à ªâ¨ç¥áª¨ ­¥¨§¬¥­­®© ®¡é¥© ¤«¨â¥«ì­®á⨠¨ ¯¨ª®¢®© ¬®é­®áâ¨. ‚ १ã«ìâ ⥠¬ ªá¨¬ã¬ ¨¬¯ã«ìá ¯¥à¥¬¥é ¥âáï ¢ ®¡« áâì ¯®«®¦¨â¥«ì­ëå §­ 祭¨© , â® ¥áâì ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ¯à®æ¥áá ®¡à â­ë© ᨬ¬¥âਧ 樨. Œ¥á⮯®«®¦¥­¨¥ â®çª¨ ¬ ªá¨¬ã¬ ¬®¦¥â ¡ëâì ­ ©¤¥­® ¯ãâñ¬ ¯à¨à ¢­¨¢ ­¨î
­ã«î ¯à®¨§¢®¤­®© f ( ; ), çâ® ¢ á¢®î ®ç¥à¥¤ì, ¯à¨¢®¤¨â ª ãà ¢­¥­¨î
1 ? 1 ? 8
Ai p
+ (4 ) = Ai 8p
= 0;
=2
=2
¤«ï ª®â®à®£® ­¥®¡å®¤¨¬® ­ ©â¨ ¬¨­¨¬ «ì­ë© ¯®«®¦¨â¥«ì­ë© ª®à¥­ì.
3
3
3
1 Ι(µ 3,τ)
3
2 3
0
3
3
3
3
3.2 τmin
0.3 τ max
3
0.25
0.8
0.6
2.8
0.2
2.6
0.15
2.4
0.4
2.2
0.1
2
0.2
0.05
-1.5 -1 -0.5 0
¡
τ
0.5 1 1.5
0
0.1
0.2
0.3
1.8
µ3
0.4
¢
0.5
1
1.5
µ3
2
¨á.5.25. ’à ­áä®à¬ æ¨ï ®£¨¡ î饩 £ ãáᮢ ¨¬¯ã«ìá ¢ ®¡« á⨠ú­ã«¥¢®©û ¤¨á¯¥àᨨ: ) ®¡é¨© ¢¨¤ ®£¨¡ î饩 ¯à¨ 3 = 0; 0:15; 0:3, ¡ ) ¬¥á⮯®«®¦¥­¨¥ â®çª¨ ¬ ªá¨¬ã¬ ¨¬¯ã«ìá , ¢) ª®®à¤¨­ â ¯¥à¢®£® ¬¨­¨¬ã¬ I (3; ):
¥è¥­¨¥ í⮣® ãà ¢­¥­¨ï, ¯®ª § ­­®¥ ­ à¨á.5.25¡, ᢨ¤¥â¥«ìáâ¢ã¥â ®
⮬, ç⮠᪮à®áâì ᬥ饭¨ï ¬ ªá¨¬ã¬ ¨¬¯ã«ìá ¯à®¯®à樮­ «ì­ ¯à¨ ! 0: Š®íää¨æ¨¥­â ¯à®¯®à樮­ «ì­®á⨠­¥á«®¦­® ®æ¥­¨âì ¥á«¨
§ ¬¥â¨âì, çâ® ¬ «ë¬ §­ 祭¨ï¬ ᮮ⢥âáâ¢ãîâ ¨ ¬ «ë¥ §­ 祭¨ï :
’®£¤ äã­ªæ¨î ©à¨ ¨ ¥ñ ¯à®¨§¢®¤­ãî ¬®¦­® à §«®¦¨âì ¢ àï¤ ¯® ,
㤥ঠ¢ ç«¥­ë ­¥ ¢ëè¥ ¢â®à®£® ¯®à浪 . Š®à­¨ ᮮ⢥âáâ¢ãî饣® ª¢ ¤à â­®£® ãà ¢­¥­¨ï ¡ã¤ãâ ¨¬¥âì ¯à®â¨¢®¯®«®¦­ë¥ §­ ª¨. ‚ë¡à ¢ ¯®«®¦¨â¥«ì­ë© ª®à¥­ì ¨ § ¬¥­¨¢
p äã­ªæ¨î ©à¨ ¥ñ ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨¬ à §«®¦¥­¨¥¬, ¯®«ã稬 max ( 7 ? 1) 1:1 ¯à¨ ! 0.
‚ ¯à¥¤ë¤ãé¨å à §¤¥« å, ­ «¨§¨àãï ­ ç «ì­ë¥ áâ ¤¨¨ à á¯à®áâà ­¥­¨ï ¨¬¯ã«ìᮢ á £« ¤ª®© ®£¨¡ î饩, ¬ë 㦥 ®¡à é «¨ ¢­¨¬ ­¨¥ ­ â®â
ä ªâ, çâ® ¯à¨ ¬ «ëå §­ 祭¨ïå ᪮à®áâì ­ ª®¯«¥­¨ï ¤¨á¯¥àᨮ­­ëå
¨áª ¦¥­¨© ¯à®¯®à樮­ «ì­ . Ž¡­ à㦥­­ ï ­ ¬¨ á¨«ì­ ï § ¢¨á¨¬®áâì ᪮à®á⨠ᬥ饭¨ï ¬ ªá¨¬ã¬ ¨¬¯ã«ìá ®â ¯ à ¬¥âà ï¥âáï
3
3
3
2
3
3
2
222
3
3
¥éñ ®¤­¨¬ ª®á¢¥­­ë¬ ᢨ¤¥â¥«ìá⢮¬ ¢­ãâ७­¥© ­¥ãá⮩稢®áâ¨, ª®â®à ï ¤®«¦­ ¯à¨¢¥á⨠ª ª ç¥á⢥­­ë¬ ¨§¬¥­¥­¨ï¬ ä®à¬ë ᨣ­ « .
‘¢®¥®¡à §­®© ®á®¡¥­­®áâìî ¤¥ä®à¬ 樨 ®£¨¡ î饩 ­ ­ ç «ì­®© áâ ¤¨¨ ï¥âáï ­¥á¡ « ­á¨à®¢ ­­®¥ ¨§¬¥­¥­¨¥ ªàã⨧­ë ä஭⮢ ¨¬¯ã«ìá .
…᫨ ᣫ ¦¨¢ ­¨¥ ¯¥à¥¤­¥£® äà®­â , ª ª ¯®ª § ­® ­ à¨á.5.25 , ¯à ªâ¨ç¥áª¨ ¯®«­®áâìî ®¡ãá«®¢«¥­® ᬥ饭¨¥¬ ¬ ªá¨¬ã¬ ¢ ®¡« áâì ¯®«®¦¨â¥«ì­ëå §­ 祭¨© , â® ®¡®áâ७¨î § ¤­¥£® äà®­â , ¯®¬¨¬® í⮣®, ᯮᮡáâ¢ã¥â ¥éñ ®¤¨­ ¤®¯®«­¨â¥«ì­ë© ¬¥å ­¨§¬. Žæ¥­¨¢ ï ¤«¨â¥«ì­®áâì
§ ¤­¥£® äà®­â ª ª à §­¨æã ¬¥¦¤ã ¢à¥¬¥­¥¬ ¯¥à¢®£® ®¡à 饭¨ï ¢ ­ã«ì
®£¨¡ î饩 f ( ; min) = 0 ¨ â®çª®© ¬ ªá¨¬ã¬ , ­¥âà㤭® ã¡¥¤¨âìáï ¢
⮬, çâ®, ¨§­ ç «ì­® ­ 室ïé ïáï ¤ «¥ª® § ¯à¥¤¥« ¬¨ ¨¬¯ã«ìá , ª®®à¤¨­ â â®çª¨ min á à®á⮬ áâ६¨â¥«ì­® 㬥­ìè ¥âáï ¨ ­ 稭 ¥â
á«ã¦¨âì ®á­®¢­ë¬ ä ªâ®à®¬ ®¯à¥¤¥«ïî騬 ªàã⨧­ã § ¤­¥£® äà®­â .
„¥©á⢨⥫쭮, ®¡®§­ 稢 ç¥à¥§ a 2:338 ª®®à¤¨­ âã ¯¥à¢®£® ®âà¨æ ⥫쭮£® ­ã«ï ä㭪樨 ©à¨, ­ 室¨¬ § ¢¨á¨¬®áâì
3
3
1
min = 81 + a
p
1
3
3
=2;
3
(5.55)
®¡é¨© ¢¨¤ ª®â®à®© ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠â®çª¨ ¬¨­¨¬ã¬ ¯®ª § ­ ­ à¨á.5.25¢.
’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤®¯®«­¨â¥«ì­ë© ¬¥å ­¨§¬ ᦠâ¨ï § ¤­¥£® äà®­â ¤¥©áâ¢ã¥â ¢¯«®âì ¤® §­ 祭¨ï
3
p
=
2
min = 8a
0:3;
3
3
1
3 4
ª®â®à®¥ ¬®¦­® áç¨â âì ¢¥àå­¥© £à ­¨æ¥© ­ ç «ì­®© áâ ¤¨¨ ¤¥ä®à¬ 樨
ᨣ­ « .
Žâ«¨ç¨â¥«ì­®© ç¥à⮩ ¯à®¬¥¦ãâ®ç­®© ä §ë í¢®«î樨 £ ãáᮢ ¨¬¯ã«ìá , ª®â®à®© ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¤¨ ¯ - 0.8 Ι(µ3 ,τ)
§®­ ¨§¬¥­¥­¨ï ¯ à ¬¥âà ®â 0.6
min ¤® 1; ï¥âáï ¯à®æ¥áá 0.4
§ ஦¤¥­¨ï ¢â®à¨ç­®£® ¨¬¯ã«ìá ¯®- 0.2
§ ¤¨ ®á­®¢­®© ç á⨠ᨣ­ « , ¯®ª 0.5
0
τ
§ ­­ë© ­ à¨á.5.26.
µ3 1
−1 0
‘ ¬® ¯® ᥡ¥ ¯®ï¢«¥­¨¥ ¢â®à¨ç1 2
1.5
3 4
5
­ëå ¨¬¯ã«ìᮢ{á¯ãâ­¨ª®¢ ­¥ ï¥âáï 祬{â® ­¥®¦¨¤ ­­ë¬. ‚ à §¤¥«¥ ¨á.5.26. à®¬¥¦ãâ®ç­ ï áâ ¤¨ï
5.2 ¡ë«® ¯®ª § ­®, çâ® ¤ ¦¥ ¯à¨ ãçñâ¥ í¢®«î樨 £ ãáᮢ ¨¬¯ã«ìá .
¢ª« ¤ ⮫쪮 ¤¨á¯¥àᨮ­­®£® ¯ à ¬¥âà ¢â®à®£® ¯®à浪 ­ ú墮áâ åû
3
3
3
3
223
ãè¨à¨¢è¥©áï 業âà «ì­®© ç á⨠¨¬¯ã«ìá ¯à®ï¢«ïîâáï á« ¡® ¢ëà ¦¥­­ë¥ ¬ ªá¨¬ã¬ë. Ž¤­ ª®, ¢®{¯¥à¢ëå, í⨠¢â®à¨ç­ë¥ ¨¬¯ã«ìáë ¢á¥£¤ ¯®ï¢«ï«¨áì ᨬ¬¥âà¨ç­® ®â­®á¨â¥«ì­® 業âà ¨¬¯ã«ìá , ¨ ¢®{¢â®àëå, ®­¨
­¥ 﫨áì ãá⮩稢묨 ®¡à §®¢ ­¨ï¬¨, ¯®á⥯¥­­® ¨á祧 ï ¯® ¬¥à¥ ¯¥à¥å®¤ ª ¤ «ì­¥© ᨬ¯®â¨ª¥.
Ι(µ 3 ,τ) 1
τ
Ι(µ 3 ,τ) 1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
−2
−1.5
−1
−0.5
τ
0
¡
−2
−1.5
−1
0
−0.5
¨á.5.27. €á¨¬¯â®â¨ç¥áª®¥ ¯®¢¥¤¥­¨¥ I (3; ) ­ ¯¥à¥¤­¥¬ ä஭⥠¤«ï ¨á室­®£® ¨¬¯ã«ìá £ ãáᮢ®© ä®à¬ë: ) 3 = 1=2; ¡) 3 = 1: ‘¯«®è­ ï «¨­¨ï { â®ç­®¥ à¥è¥­¨¥,
èâà¨å®¢ ï { ᨬ¯â®â¨ª (5.56).
‚ ¤ ­­®¬ á«ãç ¥ á¨âã æ¨ï ᮢ¥à襭­® ¨­ ï. ˆ§ ᨬ¯â®â¨ç¥áª®£®
à §«®¦¥­¨ï ä㭪権 ©à¨ á«¥¤ã¥â, ç⮠㦥 ­ ­ ç «ì­®© áâ ¤¨¨ 㤠«¥­­ ï ç áâì ¯¥à¥¤­¥£® äà®­â âà ­áä®à¬¨àã¥âáï ¨§ £ ãáᮢ®© ªà¨¢®© ¢
¡®«¥¥ ¬¥¤«¥­­® ᯠ¤ îéãî ªà¨¢ãî (á¬. à¨á.5.27 ) á ¯®ª § ⥫¥¬ ¢ íªá¯®­¥­â¥ à ¢­ë¬ 3=2: „¥©á⢨⥫쭮, ãáâ६¨¢ ¢ (5.54) ¢à¥¬ï ª ¬¨­ãá
¡¥áª®­¥ç­®áâ¨, ¯®«ãç ¥¬
!
?
? 1
=
f ( ;) p 1
exp 21 21 +jj ? p2
+
j
j
: (5.56)
1 + 8 jj
3 =2 8
®áª®«ìªã ¤ ­­ ï § ¢¨á¨¬®áâì ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ¯à¨ ¢á¥å §­ 祭¨ïå ; â®
¢ ¯à¥¤¥«¥ ¡®«ìè¨å ¨§ (5.56) á«¥¤ã¥â
, çâ® ¯à®âï¦ñ­­®áâì ¯¥à¥¤­¥£®
p
äà®­â ¢®§à á⠥⠯ய®à樮­ «ì­® ; â® ¥áâì ªà ©­¥ ¬¥¤«¥­­®. ˆ§
ᮯ®áâ ¢«¥­¨ï à¨á.5.27 ¨ à¨á.5.27¡ å®à®è® ¢¨¤­®, çâ® á« ¡ ï çã¢á⢨⥫쭮áâì ª §­ ç¨â¥«ì­ë¬ ¨§¬¥­¥­¨ï¬ å à ªâ¥à­ ¤ ¦¥ ¤«ï ¯à®¬¥¦ãâ®ç­®© áâ ¤¨¨ í¢®«î樨 ᨣ­ « ª®£¤ < 1:
Ž¡à é ïáì ⥯¥àì ª (5.55), ¯®á¬®âਬ ª ª ¨§¬¥­ï¥âáï min ­ ¯à®¬¥¦ãâ®ç­®© áâ ¤¨¨. à¨ 㢥«¨ç¥­¨¨ ®â min ¤® 1 §­ 祭¨ï min ¢®§à áâ î⠮⠬¨­¨¬ «ì­®© ¢¥«¨ç¨­ë, à ¢­®© 1:66, ¤® 2 ¯à¨ = 1: ‘⮫ì
á« ¡®¥ ãè¨à¥­¨¥ ®£¨¡ î饩 業âà «ì­®© ç á⨠ᨣ­ « ¯à¨ ¡®«¥¥ áãé¥á⢥­­®¬ 㬥­ì襭¨¨ ¥£® ¯¨ª®¢®© ¬®é­®á⨠®§­ ç ¥â, çâ® ç áâì í­¥à£¨¨
3 2
3
4
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
224
¯¥à¥ª 稢 ¥âáï ¢® ¢â®à¨ç­ë© ¨¬¯ã«ìá, ¨­â¥­á¨¢­®áâì ª®â®à®£® á à®á⮬
⮫쪮 ¢®§à áâ ¥â.
‚®§¢à é ïáì ¥éñ à § ª ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨¬ à §«®¦¥­¨ï¬, ¬ë ¢¨¤¨¬, çâ®
á à®á⮬ ¯ à ¬¥âà ᨬ¬¥âà¨ï ®£¨¡ î饩 áâ ­®¢¨âáï ¢áñ ¡®«¥¥ ¢ëà ¦¥­­®©. ‚ â® ¢à¥¬ï ª ª ¤«¨â¥«ì­®áâì ¯¥à¥¤­¥£® äà®­â á« ¡® ¬¥­ï¥âáï ¤ ¦¥ ¯à¨ ¡®«ìè¨å §­ 祭¨ïå ; ­ § ¤­¥¬ ä஭⥠¯®ï¢«ï¥âáï
¤«¨­­ë© è«¥©ä, ®£¨¡ îé ï ª®â®à®£® ¯à¨ ! 1 ¨¬¥¥â ¢¨¤
3
3
3
I ( ; ) p8 4 ? 1 exp 1 ( 121 ? ) :
3
3
3
(5.57)
3
à®âï¦ñ­­®áâì í⮣® è«¥©ä ¯à®¯®à樮­ «ì­ ¨ ¯®¤ ­¨¬ ã¬¥é ¥âáï
¢­ ç «¥ ®¤¨­ (à¨á.5.28 ), § ⥬ ¨ ­¥áª®«ìª® (à¨á.5.28¡ ) ¢â®à¨ç­ëå ¨¬¯ã«ìᮢ.
3
0.4
Ι(µ3 ,τ)
Ι(µ 3 ,τ)
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
¡
τ
01
1.5
2
2.5
0 1.5
3
τ
2
2.5
3
3.5
4
4.5
¨á.5.28. ‡ ஦¤¥­¨¥ úè«¥©ä û ­ § ¤­¥¬ ä஭⥠¨¬¯ã«ìá : ) 3 = 1=2; ¡) 3 = 1:
‘¯«®è­ ï «¨­¨ï { â®ç­®¥ à¥è¥­¨¥, èâà¨å®¢ ï { ᨬ¯â®â¨ª (5.57).
„¥©á⢨⥫쭮, ª ª á«¥¤ã¥â ¨§ (5.55) ¨ (5.56), ¯à¨ ¡®«ìè¨å §­ 祭¨ïå p
¤«¨â¥«ì­®áâì ¯¥à¢¨ç­®£® ¨¬¯ã«ìá ¡ã¤¥â ¢®§à áâ âì ¯à®¯®à樮­ «ì­® : Š ¦¤ë©
¨§ ¢â®à¨ç­ëå ¨¬¯ã«ìᮢ â ª¦¥ ¡ã¤¥â ãè¨àïâìáï
p
¯à®¯®à樮­ «ì­® ; ¯®áª®«ìªã ¯à®âï¦ñ­­®áâì § ¤­¥£® äà®­â ¢®§à á⠥⠯ய®à樮­ «ì­® ; â® ¢ ¤ «ì­¥© §®­¥ ¨á室­ë© £ ãáᮢ ¨¬¯ã«ìá
¯®á⥯¥­­® à áá«®¨âáï ¢ ¤«¨­­ãî 楯®çªã ¨¬¯ã«ìᮢ á ¬¯«¨â㤮© ã¡ë¢ î饩 ¯® íªá¯®­¥­æ¨ «ì­®¬ã § ª®­ã. ”à £¬¥­â í⮩ ª àâ¨­ë ¯à¨ ­¥
᫨誮¬ ¡®«ìè¨å §­ 祭¨ïå ¯®ª § ­ ­ à¨á.5.29.
®ï¢«¥­¨¥ á¯ãâ­¨ª®¢ ­ § ¤­¥¬ ä஭⥠¨¬¯ã«ìá ®¡ãá«®¢«¥­® ⥬, çâ®
¯à¨ ¢ë¢®¤¥ (5.53) ¬ë ¯®«®¦¨«¨ ¯ à ¬¥âà q; ᮮ⢥âá⢥­­® ¨ k > 0:
…᫨ ¦¥ k < 0; â®, ª ª 㦥 ®â¬¥ç «®áì à ­¥¥, íâ® íª¢¨¢ «¥­â­® ¨§¬¥­¥­¨î ­ ¯à ¢«¥­¨ï ®á¨ ¢à¥¬¥­¨. ’®£¤ ¢á¥ ®¡á㦤 ¢è¨¥áï ¢ëè¥ ¯à®æ¥ááë
¡ã¤ã⠯நá室¨âì ­ ¯¥à¥¤­¥¬ äà®­â¥.
3
3
3
3
3
3
3
000
0
000
0
225
 áᬮâਬ ⥯¥àì ª ª ¬¥­ï¥âáï ¨­â¥­á¨¢­®áâì ¨§«ã祭¨ï ¢ ­¥ª®â®à®© 䨪á¨à®¢ ­­®© â®çª¥ ¨¬¯ã«ìá . à¨ ­ - 0.6 Ι(µ3 ,τ)
«¨§¥ ­ «®£¨ç­ëå § ª®­®¬¥à­®á⥩ ¤«ï
ᨬ¬¥âà¨ç­ëå ¨¬¯ã«ìᮢ ¨§ à §¤¥« 0.4
5.2 ¢ ª ç¥á⢥ ९¥à­®© â®çª¨ ¥áâ¥á⢥­­ë¬ ®¡à §®¬ ¢ë¡¨à «®áì §­ 祭¨¥ 0.2
= 0: ’¥¬ á ¬ë¬ ¢â®¬ â¨ç¥áª¨ ¯®- 0 τ
µ3
2
3
«ãç « áì § ¢¨á¨¬®áâì ¯¨ª®¢®© ¬®é­®á- −2 0
4
2
⨠ᨣ­ « ª ª äã­ªæ¨ï ¯à®©¤¥­­®£® ¢
4
6
5
á।¥ à ááâ®ï­¨ï L. ‚ ®¡« á⨠ú­ã«¥„ «ì­ïï áâ ¤¨ï í¢®«î¢®©û ¤¨á¯¥àᨨ ­¥¯à¥à뢭 ï ¤¥ä®à¬ - ¨á.5.29.
樨 £ ãáᮢ ¨¬¯ã«ìá .
æ¨ï ®£¨¡ î饩 ¯à¨¢®¤¨â ª ⮬ã, çâ®
â®çª á 䨪á¨à®¢ ­­ë¬ §­ 祭¨¥¬ á¬¥é ¥âáï ¢ áâ®à®­ã ¯¥à¥¤­¥£®
äà®­â ¨¬¯ã«ìá ¨«¨ ¯® ¯¥à¥¤­¥¬ã äà®­âã, çâ® ¤¥« ¥â ¨­â¥à¯à¥â æ¨î
१ã«ìâ ⮢ ­¥ áâ®«ì ­ £«ï¤­®©. ’¥¬ ­¥ ¬¥­¥¥, å à ªâ¥à § ¢¨á¨¬®á⨠®â
¯ à ¬¥â஢ áà¥¤ë ¨ ¢ í⮬ á«ãç ¥ á®åà ­ï¥âáï.
ˆ§ (5.54) ­¥¯®á।á⢥­­® á«¥¤ã¥â, çâ® ¬¯«¨â㤠®£¨¡ î饩 ¢ 業âà¥
¨á室­®£® ¨¬¯ã«ìá , â® ¥áâì ¯à¨ = 0; ¨¬¥¥â ¢¨¤
p
1
1
p
f ( ; 0) = p
exp 24 Ai
:
=2
8 =2
‘ç¨â ï ¢¥«¨ç¨­ã ¯®«®¦¨â¥«ì­®© ¨ ¨á¯®«ì§ãï ᨬ¯â®â¨ç¥áª®¥ à §«®¦¥­¨¥ ä㭪樨 Ai(x), ¯®«ãç ¥¬ ¯à¨ ! 0
3
3
2
3
3
3
3
3
3
3
f ( ; 0) 1 ? 35 ;
â® ¥áâì ¨ ¢ ®¡« á⨠ú­ã«¥¢®©û ¤¨á¯¥àᨨ ᪮à®áâì ­ ª®¯«¥­¨ï ¤¨á¯¥àᨮ­­ëå ¨áª ¦¥­¨© ¤«ï £« ¤ª¨å ¨¬¯ã«ìᮢ ¯à®¯®à樮­ «ì­ ¢â®à®© á⥯¥­¨ ¤¨á¯¥àᨮ­­®£® ¯ à ¬¥âà :
‚ â® ¦¥ ¢à¥¬ï ¤ «ì­ïï ᨬ¯â®â¨ª ¯®¤ç¨­ï¥âáï ­¥áª®«ìª® ¨­ë¬ § ª®­®¬¥à­®áâï¬. ®áª®«ìªã ¢ í⮩ ®¡« á⨠à£ã¬¥­âë ã ä㭪樨 ©à¨ ¨
íªá¯®­¥­æ¨ «ì­®£® ¬­®¦¨â¥«ï ¬®¦­® áç¨â âì à ¢­ë¬¨ ­ã«î, â®
p
f ( ; 0) p
¯à¨ ! 1:
=2
„ ­­ë© १ã«ìâ â
R 1 á«¥¤®¢ «® ¡ë ¯à¥¤¢¨¤¥âì, ¯®áª®«ìªã ú¯«®é ¤ìû ¨¬¯ã«ìá , à ¢­ ï ?1 f (L; )d; ï¥âáï ¨­¢ ਠ­â®¬, çãâì à ­¥¥ ¡ë«®
¯®ª § ­®, çâ® ¯à®âï¦ñ­­®áâì
¯¥à¥¤­¥£® äà®­â ¢ ¤ «ì­¥© §®­¥ ¢®§à áp
⠥⠯ய®à樮­ «ì­® : ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¢ ⮩ ¦¥ ¯à®¯®à樨 ¤®«¦­ 2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
226
ã¡ë¢ âì ¥£® ¬¯«¨â㤠.
Ž¡á㦤 ï ¢ à §¤¥«¥ 5.2 ¬®¤¥«ì £ ãáᮢ ¨¬¯ã«ìá , ¬ë 㦥 ®¡à é «¨
¢­¨¬ ­¨¥ ­ â®â ä ªâ, çâ® ¯à¨ ¢ë¯®«­¥­¨¨ ãá«®¢¨ï k 6= 0 ¨ § ¬¥­¥
¤¨á¯¥àᨮ­­®© ªà¨¢®© k(!) ª¢ ¤à â¨ç­®© ¯ à ¡®«®© ä㭪樮­ «ì­ë©
¢¨¤ ®£¨¡ î饩 á®åà ­ï¥âáï. ‚ ¤ «ì­¥© §®­¥ íâ® ¯à¨¢®¤¨â ª ⮬ã, çâ®
¢® ¢á¥å ç áâïå ¨¬¯ã«ìá ¨­â¥­á¨¢­®áâì ¨§«ã祭¨ï ã¡ë¢ ¥â ¯à®¯®à樮­ «ì­® ¯¥à¢®© á⥯¥­¨ ¯ à ¬¥âà : „«ï ¨¬¯ã«ìᮢ ¤à㣮© ä®à¬ë â ª¦¥
áãé¥áâ¢ãîâ ᨬ¬¥âà¨ç­ë¥ ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨¥ à á¯à¥¤¥«¥­¨ï ¯à®ä¨«¥©
®£¨¡ î饩, ª®â®àë¥ ¯®§¢®«ïîâ ¤«ï «î¡®£® ¤®áâ â®ç­® ¡®«ì讣® á«®ï
¤¨á¯¥à£¨àãî饩 áà¥¤ë ¢ëç¨á«¨âì f (; ) ¯ãâñ¬ ¯à®á⮩
¯¥à¥­®à¬¨à®¢ª¨
p
¬ áèâ ¡ ¢à¥¬¥­¨ ¯®á।á⢮¬ ®¯¥à 樨 ! = 1 + ¨ ­ «®£¨ç­ë¬
¯® ¢¥«¨ç¨­¥ 㬥­ì襭¨¥¬ ¢¥à⨪ «ì­®£® ¬ áèâ ¡ á 楫ìî á®åà ­¥­¨ï
¯®«­®© í­¥à£¨¨ ¨¬¯ã«ìá ­ ⮬ ¦¥ ã஢­¥.
Š ª ¢ëïá­ï¥âáï, â ª®¥, ®¤­®à®¤­®¥ ¯® ¯à®ä¨«î ®£¨¡ î饩, ú§ âãå ­¨¥û ¨­â¥­á¨¢­®á⨠¨§«ã祭¨ï ï¥âáï ã­¨ª «ì­®© ®á®¡¥­­®áâìî ãçñâ ¤¨á¯¥àᨮ­­ëå ¥­¨© ¨¬¥­­® ¢® ¢â®à®¬ ¯à¨¡«¨¦¥­¨¨. ’ ¦¥ ¬®¤¥«ì
£ ãáᮢ ¨¬¯ã«ìá ¢ ®¡« á⨠ú­ã«¥¢®©û ¤¨á¯¥àᨨ 㦥 â¥àï¥â íâã ®¤­®à®¤­®áâì. ˆ­â¥­á¨¢­®áâì =¢ 業âà «ì­®© ç á⨠¨á室­®£® ¨¬¯ã«ìá ã¡ë¢ ¥â ¯à®¯®à樮­ «ì­® ; ⮣¤ ª ª 㤠«ñ­­ë¥ ç á⨠¯¥à¥¤­¥£® ¨
§ ¤­¨å ä஭⮢ ᯠ¤ îâ, ¢ ᮮ⢥âá⢨¨ á (5.56) ¨ (5.57), ¡®«¥¥ ¬¥¤«¥­­®.
‘ ãçñ⮬ ⮣®, çâ® ­ § ¤­¥¬ ä஭⥠¢®§­¨ª ¥â ¤«¨­­ë© úè«¥©äû, ¯à®âï¦ñ­­®áâì ª®â®à®£® ¯à®¯®à樮­ «ì­ , ¬®¦­® £®¢®à¨âì ®¡ ®âáãâá⢨¨
ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨ ãá⮩稢ëå ¯à®ä¨«¥© ®£¨¡ î饩. à®æ¥áá ¯¥à¥ª 窨
í­¥à£¨¨ ¢® ¢áñ ¡®«¥¥ 㤠«ñ­­ë¥ á¯ãâ­¨ª¨ ­¥ ¯à¥ªà é ¥âáï ¨ ¢ ¤ «ì­¥©
§®­¥ ¢¯«®âì ¤® ¯®«­®£® à §àã襭¨ï ¨á室­®£® ᨣ­ « .
 «¨ç¨¥ â®ç­®£® १ã«ìâ â (5.53), ¤®¯ã᪠î饣® ­ «¨â¨ç¥áª®¥ ¯à®¤®«¦¥­¨¥ ¢ ®¡« áâì ª®¬¯«¥ªá­ëå §­ 祭¨© p; ¯®§¢®«ï¥â ®æ¥­¨âì ¢«¨ï­¨¥
«¨­¥©­®£® ç¨à¯ ­ ¯à¨¬¥à¥ ⮫쪮 çâ® à áᬮâ७­®© ¬®¤¥«¨ £ ãáᮢ ¨¬¯ã«ìá . ˆá¯®«ì§ãï ⥠¦¥ ®¡®§­ 祭¨ï, çâ® ¨ ¢ à §¤¥«¥ 5.3, ¯®«ãç ¥¬
Z1
1
x
1
f ( ; ) = p p
exp ? 4(1 ? i) exp i(x ? 6 x ) dx:
2 1 ? i
00
0
2
2 3
3
3
2
3
3
3
?1
‚ëç¨á«¥­¨¥ ¤ ­­®£® ¨­â¥£à « ¯à¨ ¯®¬®é¨ (5.53) ¯à¨¢®¤¨â ª á«¥¤ãî饬㠢ëà ¦¥­¨î
¤«ï ®£¨¡ î饩
:
r
1
1
1
f ( ; ) = 1 ? i p
exp 2 (1 ? i) 12 (1 ? i ) ? =
2
1
1
Ai p
? :
(5.58)
=2 8 (1 ? i)
3
3
3
3
3
3
3
227
3
2
2
‚ ®¡« á⨠ú­ã«¥¢®©û ¤¨á¯¥àᨨ «¨­¥©­ë© ç¨à¯ 㦥 ­¥ ¬®¦¥â ¯®«­®áâìî ª®¬¯¥­á¨à®¢ âì ä §®¢ë¥ ¨áª ¦¥­¨ï, ª®â®àë¥ ­ ª ¯«¨¢ îâáï ¢
”ãàì¥{®¡à §¥ १ã«ìâ¨àãî饣® ᨣ­ « ¯® ¬¥à¥ à á¯à®áâà ­¥­¨ï ¨¬¯ã«ìá , ¯®í⮬㠪 ç¥á⢥­­ ï ª à⨭ âà ­áä®à¬ 樨 ¥£® ¢à¥¬¥­­®£®
¯à®ä¨«ï ­¥ ¤®«¦­ áãé¥á⢥­­® ®â«¨ç âìáï ®â ⮩, çâ® ¯®ª § ­ ­ à¨á.5.26 ¨ 5.27.
Š®¬¯«¥ªá­ë© à£ã¬¥­â ã ä㭪樨 ©à¨ ¢ (5.58) ®§­ ç ¥â, çâ® ¯à¨
­ «¨ç¨¨ ç¨à¯ I ( ; ) 㦥 ¡®«ìè¥ ­¥ ®¡à é ¥âáï ¢ ­ã«ì, ¯®áª®«ìªã ¢á¥
ª®à­¨ Ai(x) à ᯮ«®¦¥­ë ­ ®âà¨æ ⥫쭮© ç á⨠¤¥©á⢨⥫쭮© ®á¨.
 ­ ç «ì­®© ä §¥ íâ® ¢¨§ã «ì­® ¯à®ï¢«ï¥âáï ª ª ¯¥à¥ªàë⨥ ¨á室­®£®
¨¬¯ã«ìá ¨ ¯®à®¦¤ñ­­®£® ¨¬ á¯ãâ­¨ª .
ä䥪âë ᦠâ¨ï ¨¬¯ã«ìá ¢ëà ¦¥­ë £®à §¤® á« ¡¥¥ ¨ ­ ¡«î¤ îâáï
⮫쪮 ¯à¨ ®ç¥­ì ¬ «ëå §­ 祭¨ïå ¯ - 1.2 Ι(µ3,τ)
à ¬¥âà , ª®£¤ ¢ª« ¤®¬ ªã¡¨ç¥áª¨å 0.81
¯® ! ä §®¢ëå ᤢ¨£®¢ ¢ (!) ¬®¦­® 0.6
¯à ªâ¨ç¥áª¨ ¯à¥­¥¡à¥çì. …᫨ ãç¨âë- 0.4
¢ âì ¤¨á¯¥àᨮ­­ë¥ ¥­¨ï «¨èì ¢â®- 0.20
τ
−1
ண® ¯®à浪 , â® ¯¨ª®¢ ï ¬®é­®áâì ¢ 0
0
µ3
1
0.2
â®çª¥ ¬ ªá¨¬ «ì­®£®
ᦠâ¨ï ¢®§à®á« 2
p
0.4 3
¡ë ¢ 1 + à § ¨ ¢® á⮫쪮 ¦¥
à § 㬥­ì訫 áì ¡ë ¤«¨â¥«ì­®áâì ¨¬- ¨á.5.30.  ç «ì­ ï áâ ¤¨ï í¢®«î£ ãáᮢ ¨¬¯ã«ìá á «¨­¥©­ë¬
¯ã«ìá . Ž¤­ ª® ¢ ®¡« á⨠ú­ã«¥¢®©û 樨
¤¨á¯¥àᨨ ¤ ¦¥ ¯à¨ ¡®«ì让 ¢¥«¨ç¨­¥ ç¨à¯®¬ ¯à¨ = 2:
ç¨à¯ , ¯®ª § ­­®© ­ à¨á.5.30, í⨠¨§¬¥­¥­¨ï ­¥ á⮫ì áãé¥á⢥­­ë.
‘®¯®áâ ¢«¥­¨¥ ¤¨­ ¬¨ª¨ âà ­áä®à¬ 樨 ®£¨¡ î饩 ¢ ¯à®¬¥¦ãâ®ç­®© ®¡« á⨠¨ ¤ «ì­¥© §®­¥ ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® ­ «¨ç¨¥ ç¨à¯ ãᨫ¨¢ ¥â
ᬥ饭¨¥ â®çª¨ ¬ ªá¨¬ã¬ ¯¥à¢¨ç­®£® ¨¬¯ã«ìá ¢ ®¡« áâì ¯®«®¦¨â¥«ì­ëå §­ 祭¨© ¨ 㢥«¨ç¨¢ ¥â ¬¯«¨âã¤ë ¢â®à¨ç­ëå ¨¬¯ã«ìᮢ. â¨
®á®¡¥­­®á⨠å®à®è® ¢¨¤­ë ­ à¨á.5.31. • à ªâ¥à­® ®¤­ ª®, çâ® ®¡ãá«®¢«¥­­ ï ç¨à¯®¬ ¤®¯®«­¨â¥«ì­ ï ¯¥à¥ª çª í­¥à£¨¨ ¢® ¢â®à¨ç­ë¥ ¨¬¯ã«ìáë ­¥ ¯à¨¢®¤¨â ª ãè¨à¥­¨î ¨á室­®£® ᨣ­ « .
‚ à §¤¥«¥ 5.3 ¡ë«® ¯®ª § ­®, çâ® ¢ ¤ «ì­¥©
p §®­¥ ᪮à®áâì ãè¨à¥­¨ï
£ ãáᮢ®£® ¨¬¯ã«ìá á «¨­¥©­ë¬ ç¨à¯®¬ ¢ + 1 à § ¡®«ìè¥, 祬 â ª®£® ¦¥ ¨¬¯ã«ìá ¡¥§ ç¨à¯ . ‚ ®¡« á⨠ú­ã«¥¢®©û ¤¨á¯¥àᨨ ¢ â ª®©
¦¥ ¯à®¯®à樨 㢥«¨ç¨¢ ¥âáï ⮫쪮 ¤«¨â¥«ì­®áâì ®£¨¡ î饩 è«¥©ä ,
¢®§­¨ª î饣® ¯®§ ¤¨ ®á­®¢­®£® ¨¬¯ã«ìá . ¥à¥¤­¨© äà®­â ­¥ ¯à¥â¥à¯¥¢ ¥â ᪮«ìª®{­¨¡ã¤ì á¥àìñ§­ëå ¨§¬¥­¥­¨©. â¨ ¢ë¢®¤ë á«¥¤ãîâ ­¥¯®á।á⢥­­® ¨§ (5.58) ¥á«¨ § ¬¥â¨âì, çâ® ¯à¨ ¡®«ìè¨å ¯®«®¦¨â¥«ì­ëå
3
3
2
2
228
§­ 祭¨ïå å à ªâ¥à ®£¨¡ î饩 ¯®«­®áâìî ®¯à¥¤¥«ï¥âáï íª¯®­¥­æ¨ «ì­ë¬ ¬­®¦¨â¥«¥¬. ‘ ¤à㣮© áâ®à®­ë, ¢ ¤ «ì­¥© §®­¥ ¬®¤ã«ì ¯¥à¢®£® á« £ ¥¬®£® ¢ à£ã¬¥­â¥ ä㭪樨 ©à¨ ®ª §ë¢ ¥âáï §­ ç¨â¥«ì­® ¬¥­ìè¥ :
®«¥¥ ⮣®, j8 (1 ? i )j? ! 0 ¯à¨
Ι(µ3 ,τ)
! 1; ¨ á«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯à¨ ¢ë0.6
᮪¨å ᪮à®áâïå ç¨à¯ ª ª ¯®¢¥¤¥­¨¥
0.5
I ( ; ) ­ ¯¥à¥¤­¥¬ äà®­â¥, â ª ¨ ¤«¨â¥«ì­®áâì ¢â®à¨ç­ëå ¨¬¯ã«ìᮢ áâ ­®0.4
¢ïâáï ­¥çãá⢨⥫ì­ë¬¨ ª ¨§¬¥­¥­¨ï¬
0.3
: „ ­­ ï ®á®¡¥­­®áâì å®à®è® § ¬¥â­ 0.2
­ à¨á.5.31 ¤ ¦¥ ¯à¨ 㬥७­ëå §­ 祭¨ïå : ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ®â«¨ç¨â¥«ì0.1
­®© ç¥à⮩ ¨¬¯ã«ìá á ¡®«ì訬 «¨τ
5
−1 0
1 2
3
4
6
­¥©­ë¬ ç¨à¯®¬ ¢ ¤ «ì­¥© §®­¥ ¡ã¤¥â
­ «¨ç¨¥ §­ ç¨â¥«ì­®£® ç¨á« ¢â®à¨ç- ¨á.5.31. ‚«¨ï­¨¥ ᪮à®á⨠ç¨à¯ ­ëå á¯ãâ­¨ª®¢. ˆå ª®«¨ç¥á⢮ ¬®¦¥â ­ ¨­â¥­á¨¢­®áâì ¢â®à¨ç­ëå ¨¬¢ ­¥áª®«ìª® à § ¯à¥¢ëè âì ç¨á«® á¯ãâ- ¯ã«ìᮢ ¢ ¯à®¬¥¦ãâ®ç­®© ®¡« áâ¨
= 3=2: ’®«áâ ï ᯫ®è­ ï
­¨ª®¢ ã ­ «®£¨ç­®£® ¯® ¤«¨â¥«ì­®á⨠¯à¨
{ = 0; â®­ª ï ᯫ®è­ ï
¨¬¯ã«ìá ¡¥§ ç¨à¯ . à¨¡«¨¦ñ­­®¥ «¨­¨ï
«¨­¨ï { = 1=2; ¯ã­ªâ¨à­ ï «¨¢ëà ¦¥­¨¥ ¤«ï ¨­â¥­á¨¢­®á⨠¨§«ãç¥- ­¨ï { = 1.
­¨ï ¢ í⮩ ®¡« á⨠¨¬¥¥â ¢¨¤
? ?
?
=
:
( ) exp (1 + ) Ai p
I ( ; ) p
1 + 2
=2
¥á¬®âàï ­ â®, çâ® ¢ ®¡« á⨠ú­ã«¥¢®©û ¤¨á¯¥àᨨ ¬®¤¥«ì £ ãáᮢ ¨¬¯ã«ìá 㦥 ­¥ ï¥âáï ¢ë஦¤¥­­®©, ¤«ï ¢ë¥­¨ï á⥯¥­¨
®¡é­®á⨠¯®«ã祭­ëå १ã«ìâ ⮢ ¦¥« ⥫쭮 ¯à® ­ «¨§¨à®¢ âì ¤¨­ ¬¨ªã à á¯à®áâà ­¥­¨ï â ª®£® ¨¬¯ã«ìá , ã ª®â®à®© ¨­â¥­á¨¢­®áâì ¨§«ã祭¨ï ­ ú墮áâ åû ã¡ë¢ ¥â ­¥ â ª ¡ëáâà®.
® ­ «®£¨¨ á à §¤¥«®¬ 5.2 ¢ë¡¥à¥¬ ®£¨¡ îéãî ¢ ¢¨¤¥ úᨬ¬¥âà¨ç­®©û íªá¯®­¥­âë f (t) = exp(?jtj=t ): ˆá¯®«ì§ãï ¯®«ã祭­®¥ â ¬ ¦¥ ¢ëà ¦¥­¨¥ ¤«ï (!); ¯à¥¤áâ ¢¨¬ ¬¥¤«¥­­® ¬¥­ïîéãîáï ¬¯«¨âã¤ã ᨣ­ « ­ à ááâ®ï­¨¨ L ®â ¨á室­®© â®çª¨ ¢ ¢¨¤¥
2
3
1
3
3
3
3
3
2 3
2
2
3
2
3
3
0
f (L; ) = t
Z1
0
?1
d! ei(! ? k L! ):
1 + (!t )
0
2
1
6
000
0
3
à¥®¡à §ã¥¬ ¤ ­­®¥ ¢ëà ¦¥­¨¥ ª ¡®«¥¥ 㤮¡­®¬ã ¤«ï ¢ëç¨á«¥­¨© ¢¨¤ã,
¢¢¥¤ï 㦥 ¨á¯®«ì§®¢ ¢è¨¥áï à ­¥¥ ¡¥§à §¬¥à­ë¥ ¯¥à¥¬¥­­ë¥ ¨ 3
229
1
Z
1
f ( ; ) = 1 +dxx ei(x ? x ):
3
1
6
2
?1
3
3
Œ¥¤«¥­­® á室ï騩áï ¨­â¥£à « 㤮¡­® § ¬¥­¨âì ¤à㣨¬, ¡ëáâà® á室ï騬áï, ¢ë¯®«­ïï ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨¥ ¢ ¯à®áâà ­á⢥ ”ãàì¥{®¡à §®¢ ¨á室­ëå ä㭪権 ­ ®á­®¢¥ ᮮ⭮襭¨ï
Z1
1
Z
1
f (x)f (x)dx = 2 f (!)f (!)d!;
1
?1
1
2
2
?1
çâ® ¯®§¢®«ï¥â ¯®«ãç¨âì «ìâ¥à­ ⨢­®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥ ¤«ï ®£¨¡ î饩
Z1
?
1
f ( ; ) = p
e?j! + j Ai p ! d!:
=2?1
=2
3
3
3
3
3
à®á⮣® § ¬ª­ã⮣® ¢ëà ¦¥­¨ï ¤«ï f ( ; ), ¯®{¢¨¤¨¬®¬ã, ­¥ áãé¥áâ¢ã¥â. ’¥¬ ­¥ ¬¥­¥¥, ¥£® ¬®¦­® ­¥áª®«ìª® ã¯à®áâ¨âì, ¨§¡ ¢¨¢è¨áì ®â
­¥á®¡á⢥­­ëå ¨­â¥£à «®¢ ¨ ¯à¥®¡à §®¢ ¢ ¯®¤ë­â¥£à «ì­ãî äã­ªæ¨î ª
¡®«¥¥ ¯à®á⮬㠢¨¤ã. ‘ í⮩ 楫ìî à áᬮâਬ ¤¢ á«¥¤ãîé¨å ¨­â¥£à « , § ¢¨áïé¨å ®â ¯ à ¬¥âà p,
3
F (p) =
Z1
x
e?pt Ai(t)dt; G(p) =
Z1
x
e?pt Ai(?t)dt:
„¨ää¥à¥­æ¨àãï ¯® p ª ¦¤ë© ¨§ ­¨å, ¯®á«¥ ¤¢ãªà â­®£® ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨ï
¯® ç áâï¬ ¯®«ãç ¥¬ ¤¨ää¥à¥­æ¨ «ì­ë¥ ãà ¢­¥­¨ï
dF (p) = Ai (x) + p Ai(x) e?px ? p F (p);
dp
dG(p) = Ai (x) ? p Ai(x) e?px + p G(p):
dp
¥è¥­¨¥ íâ¨å ãà ¢­¥­¨© ¬¥â®¤®¬ ¢ ਠ樨 ¯à®¨§¢®«ì­®© ¯®áâ®ï­­®©
¯à¨¢®¤¨â ª ¡®«¥¥ ¯à®áâë¬ ¯®¤ë­â¥£à «ì­ë¬ ¢ëà ¦¥­¨ï¬
F (p) =
G(p) =
Z1
0
2
0
2
Zp
x
Ai(t)dt + Ai (x) e?tx + t dt + Ai(x) te?tx + t dt e? p ;
0
Z1
0
Zp
1 3
3
Zp
1
3
3
Ai(?t)dt + Ai (?x) e?tx ? t dt ? Ai(?x) te?tx ? t dt e p :
1 3
3
0
x
Zp
1 3
3
0
0
0
230
1 3
3
1
3
3
‘ ãçñ⮬ ¯®«ã祭­ëå ᮮ⭮襭¨© ¯à¥®¡à §ã¥¬ f ( ; ) ª ¢¨¤ã
Z1
3
Z1
p
f ( ; ) = e exp(?t =2) Ai(?t)dt + e? exp(?t =2) Ai(t)dt =
~
?~
p
3
3
3
3
3
i
h 2 Z~
1
3 32
3 31
(
+
)
3
6
=e
3 ? Ai(?t)dt + ( 2 ) Ai (?~)0 (?; ?3) ? ( 2 ) Ai(?~)1 (?; ?3 )
0
0
Z~
i
h
1
+ e?( + 6 3) 13 + Ai(?t)dt + ( 23 ) 3 Ai (?~)0 (;3) + ( 23 ) 3 Ai(?~)1 (;3) ; (5.59)
1
0
p
2
0
R1
£¤¥ ~ = = =2; k ( ; ) = tk exp( t + t )dt; k = 0; 1; èâà¨å®¬
®¡®§­ 祭 ¯à®¨§¢®¤­ ï äã­ªæ¨ï ©à¨.
¥á¬®âàï ­ ¤®áâ â®ç­® £à®¬®§¤ª¨© ¢¨¤, ¢ëà ¦¥­¨¥ (5.59) ï¥âáï
­ ¨¡®«¥¥ íä䥪⨢­ë¬ ᯮᮡ®¬ ­¥ ⮫쪮 ç¨á«¥­­®£® ⠡㫨஢ ­¨ï
§­ 祭¨© f ( ; ); ­® ¨ ¯®§¢®«ï¥â ¡¥§ ¤®¯®«­¨â¥«ì­ëå ãᨫ¨© ¯®áâநâì
¯à®áâë¥ á¨¬¯â®â¨ç¥áª¨¥ § ¢¨á¨¬®á⨠¤«ï ¢á¥å ­ ¨¡®«¥¥ å à ªâ¥à­ëå
®á®¡¥­­®á⥩ ®£¨¡ î饩 f ( ; ): ‚ â® ¦¥ ¢à¥¬ï íâ®â १ã«ìâ â ­ £«ï¤­®
¨««îáâà¨àã¥â ¨ ⥠᫮¦­®áâ¨, ª®â®àë¥ ¢®§­¨ª îâ ­ ¯ã⨠­ «¨â¨ç¥áª®£® ¨áá«¥¤®¢ ­¨ï ¤ ¦¥ á ¬ëå ¯à®á⥩è¨å ¬®¤¥«¥© ¨¬¯ã«ìᮢ.
‚®á¯®«ì§ã¥¬áï ¯®«ã祭­ë¬ १ã«ìâ ⮬ ¤«ï ¢ëïá­¥­¨ï ᪮à®á⨠¨§¬¥­¥­¨ï ¬¯«¨âã¤ë ᨣ­ « ¢ â®çª¥ ¨§«®¬ ®£¨¡ î饩 ¨á室­®£® ¨¬¯ã«ìá . ®¤áâ ¢«ïï = 0 ¢ (5.59), ­ 室¨¬
3
3
1
6
3
0
3
3
3
3
2
1Z1
f ( ; 0) = e 4 23 + Ai (0) 2
1
6
3
3
0
3
2
1Z1
e? 4 13 + Ai (0) 2
1
6
0
3
3
3
0
3
0
e? x dx ? Ai(0) 2
1
6
3
3
3
2Z1
e x dx + Ai(0) 2
1
6
3
3
3
2Z1
3
3
3
xe? x dx5+
1
6
3
3
0
3
xe x dx5
1
6
3
3
(5.60)
0
€­ «¨§¨àãï íâã ¦¥ ¬®¤¥«ì ¨¬¯ã«ìá ¢ à §¤¥«¥ 5.2, ¬ë 㦥 ®â¬¥ç «¨
ᨭ£ã«ïà­ë© å à ªâ¥à ¨§¬¥­¥­¨ï ®£¨¡ î饩 ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠â®çª¨ = 0;
ª®â®àë© ï¢«ï¥âáï á«¥¤á⢨¥¬ ç१¢ëç ©­® ¡ëáâண® ᣫ ¦¨¢ ­¨ï ¢à¥¬¥­­®£® ¯à®ä¨«ï ¨ «¨ª¢¨¤ 樨 ¨§«®¬ ¢® ¢â®à®¬ ¯à¨¡«¨¦¥­¨¨, ¯à¨¢®¤ï
¯à ªâ¨ç¥áª¨ ª ᪠窮®¡à §­®¬ã ¯ ¤¥­¨î ¯¨ª®¢®© ¬®é­®á⨠¢ â®­ç ©è¨å
á«®ïå á।ë. Ž¤­ ª® ®ª §ë¢ ¥âáï, çâ® ¢ ®¡« á⨠ú­ã«¥¢®©û ¤¨á¯¥àᨨ
ᨭ£ã«ïà­®áâì ­®á¨â ¥éñ ¡®«¥¥ ¢ëà ¦¥­­ë© å à ªâ¥à. ’ ª ­ ¯à¨¬¥à,
㦥 ¯à¨ = 0:01 ¨­â¥­á¨¢­®áâì ¨§«ã祭¨ï ¯à¨ = 0 á®áâ ¢«ï¥â ¢á¥£®
3
231
83% ®â ᢮¥£® ¨á室­®£® §­ 祭¨ï. ®áª®«ìªã ¯à¨ â ª®¬ §­ 祭¨¨ ¬ ªá¨¬ã¬ ¨¬¯ã«ìá ­¥ ãᯥ¢ ¥â áãé¥á⢥­­® ᬥáâ¨âìáï (á¬.à¨á.5.32 ), â®
íâ ¢¥«¨ç¨­ ¯à ªâ¨ç¥áª¨ ­¥ ®â«¨ç ¥âáï ®â ¯¨ª®¢®© ¬®é­®á⨠ᨣ­ « ,
¬ áèâ ¡ ¨§¬¥­¥­¨© I ( ; 0), á ¬ ¯® ᥡ¥, ­¥¤¢ãá¬ëá«¥­­® ᢨ¤¥â¥«ìáâ¢ã¥â ® ­¥®¡ëç­®¬ ¯®¢¥¤¥­¨¨ ¬¯«¨âã¤ë f ( ; 0) ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠â®çª¨
= 0: ‘ â®ç­®áâìî ¤® ç«¥­®¢ ¯¥à¢®£® ¯®à浪 ¯® ¢á¥ íªá¯®­¥­âë ¢
(5.60) ¬®¦­® ¯®«®¦¨âì à ¢­ë¬¨ ¥¤¨­¨æ¥, çâ® ¯à¨¢®¤¨â ª ¢ëà ¦¥­¨î
p
p
f ( ; 0) 1 + 2 Ai (0) =2 = 1 ? p3 2
=2;
3?( )
ïî饬ãáï ª®«¨ç¥á⢥­­ë¬ ®¯¨á ­¨¥¬ ¤ ­­®© ᨭ£ã«ïà­®áâ¨.
3
3
3
3
3
0
3
3
3
3
1 f(µ ,τ)
3
1 f(µ ,τ)
3
−2
−1
3
1
3
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
1
2
τ
3
−2
¡
τ
−1
0
1
2
3
¨á.5.32.  ç «ì­ ï áâ ¤¨ï í¢®«î樨 ¨¬¯ã«ìá á ®£¨¡ î饩 ¢ ¢¨¤¥ úᨬ¬¥âà¨ç­®©û
íªá¯®­¥­âë. ‡­ 祭¨ï ¯ à ¬¥âà 3: a) 0.01, ¡) 0.05.
‹î¡®¯ëâ­®© ®á®¡¥­­®áâìî à áᬠâਢ ¥¬®© ¬®¤¥«¨ ï¥âáï ­¥áª®«ìª® ­¥®¦¨¤ ­­ ï ¤¨­ ¬¨ª âà ­áä®à¬ 樨 § ¤­¥£® äà®­â ¨¬¯ã«ìá ­ ­ ç «ì­®© áâ ¤¨¨ ¥£® à á¯à®áâà ­¥­¨ï. ‚ ¯à®æ¥áᥠ®¡á㦤¥­¨ï ®á®¡¥­­®á⥩ í¢®«î樨 £ ãáᮢ ¨¬¯ã«ìá ­ ¬¨ ¡ë«® ¯®ª § ­®, çâ® íâ áâ ¤¨ï
ᮯ஢®¦¤ « áì ¯®á⥯¥­­ë¬ ®¡®áâ७¨¥¬ § ¤­¥£® ä஭⠯ਠá®åà ­¥­¨¨ ¥£® £« ¤ª®á⨠¢¯«®âì ¤® §­ 祭¨© 0:3; ¯®á«¥ 祣® ¯®§ ¤¨ ®á­®¢­®£® ¨¬¯ã«ìá ­ 稭 « ä®à¬¨à®¢ âìáï ¢â®à¨ç­ë© á¯ãâ­¨ª, ®â­®á¨â¥«ì­ ï ¨­â¥­á¨¢­®áâì ª®â®à®£® ¯®á⥯¥­­® ¢®§à áâ « .
‚ ¤ ­­®¬ á«ãç ¥ 㦥 ¯à¨ ¬¨­¨¬ «ì­ëå §­ 祭¨ïå ¯ à ¬¥âà ­ § ¤­¥¬ ä஭⥠­ 稭 ¥â ¯à®ï¢«ïâìáï ᢮¥®¡à §­ ï úàï¡ìû, ­ ¨¡®«¥¥ å à ªâ¥à­ë¥ ç¥àâë ª®â®à®© å®à®è® ¢®á¯à®¨§¢®¤ïâáï 䨣ãà¨àãî騬¨
¢
p
(5.59) äã­ªæ¨ï¬¨ ©à¨. ‚६¥­­®© ¬ áèâ ¡, ¯à®¯®à樮­ «ì­ë© =2,
ᢨ¤¥â¥«ìáâ¢ã¥â ® ⮬, çâ® á à®á⮬ ç áâ®â ú¯ã«ìá 権û ¤®«¦­ 㬥­ìè âìáï, ¨å ¬¯«¨â㤠¡ã¤¥â ¢®§à áâ âì ¢á«¥¤á⢨¥ ­ «¨ç¨ï â 3
3
3
3
232
3
p
ª®£® ¦¥ ¬­®¦¨â¥«ï =2 ¢ â¥å á« £ ¥¬ëå (5.59), ª®â®àë¥ á®¤¥à¦ â ª ª
äã­ªæ¨î ©à¨, â ª ¨ ¥ñ ¯à®¨§¢®¤­ãî. „«ï «ãç襩 ¨««îáâà 樨 㪠§ ­­ëå § ª®­®¬¥à­®á⥩ ­ à¨á.5.32 ¯®ª § ­ ¨¬¥­­® ¬¯«¨â㤠®£¨¡ î饩
¨¬¯ã«ìá , ­¥ ¥£® ¨­â¥­á¨¢­®áâì, ª ª íâ® ®¡ëç­® ¯à¨­ïâ®.
à¨¡«¨¦ñ­­®¥ ¢ëà ¦¥­¨¥, ¯®¬®£ î饥 ïá­¥¥ ¯à¥¤áâ ¢¨âì áãâì ¯à®¨á室ïé¨å ¯à®æ¥áᮢ, ¬®¦¥â ¡ëâì ¯®«ã祭® ­¥¯®á।á⢥­­® ¨§ p
(5.59),
¥á«¨ áç¨â âì ­¥¡®«ì让, ­® ª®­¥ç­®© ¢¥«¨ç¨­®©, ¬­®¦¨â¥«ì =2
¬ «ë¬ ¯ à ¬¥â஬. ®« £ ï ¢á¥ íªá¯®­¥­æ¨ «ì­ë¥ ¬­®¦¨â¥«¨, ᮤ¥à¦ 騥
p ¢ (5.59), à ¢­ë¬¨ 1 ¨ à §« £ ï ¯®«ã稢襥áï ¢ëà ¦¥­¨¥ ¢ àï¤
¯® =2, ¯®«ãç ¥¬ ¬¯«¨âã¤ã ­ § ¤­¥¬ äà®­â¥
3
3
3
3
3
3
3
2
?
f ( ; ) e +
p
(5.61)
2 Ai ? =2 :
®áª®«ìªã ¯à¨ ¢ë¢®¤¥ (5.61) ¯à¥¤¯®« £ «®áì, çâ® ¢¥«¨ç¨­ ~ ï¥âáï
¡®«ì訬 ¯ à ¬¥â஬, â® ª®«¨ç¥á⢥­­ë¬ ªà¨â¥à¨¥¬
¯à¨¬¥­¨¬®á⨠¯®p
«ã祭­®£® ¢ëà ¦¥­¨ï á«¥¤ã¥â áç¨â âì > 2 =2.
 «®¦¥­¨¥ ­ ®£¨¡ îéãî ¨á室­®£®
¨¬¯ã«ìá ª¢ §¨¯¥à¨®¤¨ç¥áª®© ª®¬¯®­¥­âë
Ι(µ ,τ)
¢ ¢¨¤¥ ¢â®à®£® á« £ ¥¬®£® (5.61) ¯à¨¢®- 0.8 3
¤¨â ª íä䥪âã, ª®â®àë© ¢¨§ã «ì­® ¢®á- 0.6
¯à¨­¨¬ ¥âáï ª ª ¯®á⥯¥­­® § ஦¤¥­¨¥ 0.4
¨ à §¢¨â¨¥ ¢ áâàãªâãॠ¯¥à¢¨ç­®£® ᨣ- 0.2
0
­ « ¤®¯®«­¨â¥«ì­®£® á¯ãâ­¨ª . ‚ ª®τ
µ3 0.1
−1
0 1
­¥ç­®¬ ¨â®£¥ íâ®â á¯ãâ­¨ª ú®âàë¢ ¥âáïû
0.2
2 3
®â ¯¥à¢¨ç­®£® ¨¬¯ã«ìá ¨ ­ 稭 ¥â ®â¤ «ïâìáï ®â ­¥£®. ®ª § ­­ ï ­ à¨á.5.33 ¨á.5.33. ”®à¬¨à®¢ ­¨¥ ¢â®à¨çá¯ãâ­¨ª ­ § ¤­¥¬ äà®­â¥
ª à⨭ ¢ çñ¬{â® ­ ¯®¬¨­ ¥â íä䥪â à §- ­®£®
¨¬¯ã«ìá .
¡¥£ îé¨åáï ¢®«­.
“á«®¢¨¥¬ ®âàë¢ á¯ãâ­¨ª ®â ¯¥à¢¨ç­®£® ¨¬¯ã«ìá ¬®¦­® áç¨â âì
¯¥à¢®¥ ®¡à 饭¨¥ ¢ ­ã«ì ¬¯«¨âã¤ë f ( ; ), ª®â®à®¥ ¯à®¨á室¨â ¯à¨
0:4: â® ¦¥ ãá«®¢¨¥ ®¯à¥¤¥«ï¥â ¨ ¢¥àå­îî £à ­¨æ㠯ਬ¥­¨¬®á⨠(5.61).
¥§ã«ìâ¨àãî饥 ¢ëà ¦¥­¨¥ ¤«ï ®£¨¡ î饩 £ ãáᮢ ¨¬¯ã«ìá ᮤ¥à¦¨â äã­ªæ¨î ©à¨ ¢ ¢¨¤¥ ¬­®¦¨â¥«ï, çâ® ¯à¨¢®¤¨â ª ¬®­®â®­­®¬ã
ã¡ë¢ ­¨î ¬¯«¨â㤠¢á¥å ¢â®à¨ç­ëå ¨¬¯ã«ìᮢ. ‚ ¤ ­­®¬ ¦¥ á«ãç ¥
íâ äã­ªæ¨ï ¢å®¤¨â ¢ â®ç­®¥ ¨ ¯à¨¡«¨¦ñ­­®¥ ¢ëà ¦¥­¨ï ¤«ï f ( ; )
¢ ª ç¥á⢥ á« £ ¥¬®£®, á㬬¨àãïáì á íªá¯®­¥­æ¨ «ì­® ã¡ë¢ î饩 § ¢¨á¨¬®áâìî. ®«ã祭­ ï ªà¨¢ ï ¢ ¤®áâ â®ç­® è¨à®ª®¬ ¤¨ ¯ §®­¥ ¨§¬¥3
3
2
3
3
3
3
3
3
3
3
233
­¥­¨ï ¯ à ¬¥âà ¡ã¤¥â ¨¬¥âì ¡«¨§ª®¥ ª ­ã«î §­ 祭¨¥ ¯¥à¢®£® «®ª «ì­®£® ¬¨­¨¬ã¬ . ‚ â¥à¬¨­ å ¨­â¥­á¨¢­®á⨠íâ® íª¢¨¢ «¥­â­® ⮬ã,
çâ® ¬¥¦¤ã § ¤­¨¬ ä஭⮬ ¨á室­®£® ᨣ­ « ¨ ¯¥à¥¤­¨¬ ä஭⮬ á¯ãâ­¨ª ­ 稭 ¥â çñ⪮ ¯à®á¬ âਢ âìáï ®¡« áâì á ¯à ªâ¨ç¥áª¨ ­ã«¥¢ë¬
ã஢­¥¬ ¬®é­®á⨠¨§«ã祭¨ï, ¨¬¨â¨àãîé ï íä䥪â úà §¡¥£ ­¨ïû ¤¢ãå
¨¬¯ã«ìᮢ, å®à®è® § ¬¥â­ë© ­ à¨á.5.33. „«ï ¨¬¯ã«ìá £ ãáᮢ®© ä®à¬ë
¯®¤®¡­®¥ ¥­¨¥ ­¥ ॠ«¨§ã¥âáï.
…éñ ®¤­®© ®â«¨ç¨â¥«ì­®© ®á®¡¥­­®áâìî
í¢®«î樨 ¨¬¯ã«ìá ¢ ¢¨¤¥ úᨬ¬¥âà¨ç­®©û 0.6 Ι(µ ,τ)
3
íªá¯®­¥­âë ¯® ®â­®è¥­¨î ª £ ãáᮢ®¬ã
¨¬¯ã«ìáã ¢ ¯à®¬¥¦ãâ®ç­®© ®¡« á⨠ï- 0.4
¥âáï å à ªâ¥à ¯à®ï¢«¥­¨ï ¤®¯®«­¨â¥«ì­ëå 0.2
á¯ãâ­¨ª®¢. ® ¬¥à¥ 㢥«¨ç¥­¨ï ¯ à ¬¥â0
τ
µ3 0.5
à ¯à®âï¦ñ­­®áâì úè«¥©ä û ­ § ¤­¥¬
−1 0
1 2
ä஭⥠¨¬¯ã«ìá £ ãáᮢ®© ä®à¬ë ¢®§à á3 4 1
⠥⠢ ᮮ⢥âá⢨¨ á (5.57), çâ® ¨ ¯à¨¢®‡ ஦¤¥­¨¥ ¢â®à®£®
¤¨â ª ¯®ï¢«¥­¨î ¯®§ ¤¨ ¯¥à¢¨ç­®£® á¯ãâ- ¨á.5.34.
­¨ª { ¢â®à®£®, § ⥬ ¨ âà¥â쥣®. â®â á¯ãâ­¨ª .
¬¥å ­¨§¬ ­ £«ï¤­® ¯à®¨««îáâà¨à®¢ ­ ­ à¨á.5.28. ‚ â® ¦¥ ¢à¥¬ï, 㦥
­¥¯®á।á⢥­­® ¨§ (5.61) ­¥âà㤭® § ¬¥â¨âì, çâ® ¢â®à¨ç­ë© á¯ãâ­¨ª
¤«ï ¨¬¯ã«ìá á ®£¨¡ î饩 ¢ ¢¨¤¥ úᨬ¬¥âà¨ç­®©û íªá¯®­¥­âë § ஦¤ ¥âáï ¢ ®¡« á⨠䮭®¢®© ¨­â¥­á¨¢­®á⨠¯®§ ¤¨ ¨á室­®£® ¨¬¯ã«ìá , ­¥
¯®§ ¤¨ ¯¥à¢¨ç­®£® á¯ãâ­¨ª . ®á«¥ ⮣® ª ª ¬¯«¨â㤠f ( ; ) ¢ â®çª¥
¯¥à¢®£® «®ª «ì­®£® ¬¨­¨¬ã¬ áâ ­®¢¨âáï ®âà¨æ ⥫쭮© ¬®¦­® £®¢®à¨âì ® ­ ç «¥ ä®à¬¨à®¢ ­¨ï ¢â®à¨ç­®£® á¯ãâ­¨ª . Ž¤­ ª®, ª ª ¯®ª § ­® ­ à¨á.5.34, ­ ¯à®¬¥¦ãâ®ç­®© áâ ¤¨¨ ¥£® ®â­®á¨â¥«ì­ ï ¬®é­®áâì
¯® ®â­®è¥­¨î ª ¯¥à¢¨ç­®¬ã á¯ãâ­¨ªã ­¥¢¥«¨ª .
• à ªâ¥à­ë¥ ®á®¡¥­­®á⨠¯ à ¬¥â஢ ¨¬¯ã«ìá ¢ ¤ «ì­¥© §®­¥ ¬®¦­®
¨§ãç¨âì ¯ãâñ¬ ¯®áâ஥­¨ï ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨å à §«®¦¥­¨© (5.59) ¯à¨ à §«¨ç­ëå ᮮ⭮襭¨ïå ¬¥¦¤ã ¢å®¤ï騬¨ ¢ íâã ä®à¬ã«ã ¯ à ¬¥âà ¬¨.
’ ª ­ ¯à¨¬¥à, ã¡ë¢ ­¨¥ ¬¯«¨âã¤ë ¢ 業âà «ì­®© ç á⨠¨¬¯ã«ìá ­ 室¨âáï ¨§ (5.60) ¯ãâñ¬ ¯à¥¤¥«ì­®£® ¯¥à¥å®¤ ! 1. …᫨ ¯à¨ í⮬
ãç¥áâì, ç⮠䨣ãà¨àãî騥 ¢ ¯¥à¢®¬ á« £ ¥¬®¬ (5.60) ¨­â¥£à «ë ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ᮡ®© ­¥¯®«­ë¥ £ ¬¬ {ä㭪樨
Zx
(a; x) = e?tta ? 1dt; ?(a; x) = ?(a) ? (a; x);
3
3
3
3
0
â® íâ® á« £ ¥¬®¥ ¬®¦­® ¯à¥®¡à §®¢ âì ª ¢¨¤ã
234
1 1 2 1 i
h2
1
1
e
3 ? 3?( ) 3 ; 6 ? 3?( ) 3 ; 6 =
1 e h 1 ? 1 ; 1 + 1 ? 2 ; 1 i:
3
?( ) 3 6
?( ) 3 6
®áª®«ìªã ¯à¨ ¡®«ìè¨å §­ 祭¨ïå x
?(a; x) xa ? 1e?x(1 + a ?x 1 + : : : );
⮠㤥ন¢ ï ⮫쪮 £« ¢­ë¥ ç«¥­ë ᨬ¯â®â¨ç¥áª®£® à §«®¦¥­¨ï, ¯®«ãç ¥¬ ®æ¥­ªã ¤«ï ¯¥à¢®£® á« £ ¥¬®£®
1
6
3
1
6
3
1
3
3
3
1
3
3
2
3
3
2
3
1 h 1 1 ? + 1 1 ? i;
3 ?( ) 6
?( ) 6
2
3
1
3
3
1
3
3
2
3
¢ ª®â®à®¬ ¯®à冷ª ¢¥«¨ç¨­ë ®â¡à®è¥­­ëå ç«¥­®¢ á®áâ ¢«ï¥â ( )? .
€­ «®£¨ç­ë¬ ®¡à §®¬ ¯à¨¢®¤¨¬ ¢â®à®¥ á« £ ¥¬®¥ (5.60) ª ¢ë஦¤¥­­®© £¨¯¥à£¥®¬¥âà¨ç¥áª®© ä㭪樨
1
6
1
e? 6 3
h1
3
4
3
1 1 4 1 1 2 5 1 i
1
1
3 ? ?( ) 6 F 3 ; 3 ; 6 + 2?( ) 6 F 3 ; 3 ; 6 :
1
3
1
3
3
2
3
1
1
3
3
2
3
1
1
3
’ ª ª ª ¯à¨ ¡®«ìè¨å ¯®«®¦¨â¥«ì­ëå §­ 祭¨ïå à£ã¬¥­â ?(b) exxa ? b;
F (a; b; x) ?(
a)
â® ¯à¥¤ë¤ã饥 ¢ëà ¦¥­¨¥ ã¯à®é ¥âáï ¤®
1
1
1 h 1 1 ? ? 1 1 ? i
3 ?( ) 6
?( ) 6
á ⥬ ¦¥ ¯®à浪®¬ ®â¡à®è¥­­ëå ç«¥­®¢, çâ® ¨ ¢ ¯¥à¢®¬ á« £ ¥¬®¬. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬¯«¨â㤠f ( ; 0) ¢ ¤ «ì­¥© §®­¥ ¨¬¥¥â ¢¨¤
1
3
2
3
3
2
3
3
1
3
3
1 ?
2
f ( ; 0) :
3?( ) 6
1
3
3
2
3
3
‘ â®ç­®áâìî ¤® ç¨á«¥­­®£® ª®íää¨æ¨¥­â íâ® ¢ëà ¦¥­¨¥ ᮢ¯ ¤ ¥â á
⥬, çâ® ¡ë«® ¯®«ã祭® ¤«ï ¬®¤¥«¨ £ ãáᮢ ¨¬¯ã«ìá . „à㣨¬¨ á«®¢ ¬¨, ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ã­¨¢¥àá «ì­ë© § ª®­, ¯® ª®â®à®¬ã ã¡ë¢ ¥â ¨­â¥­á¨¢­®áâì ¨§«ã祭¨ï ¢ 業âॠ¯¥à¢¨ç­®£® ¨¬¯ã«ìá .
235
®¢¥¤¥­¨¥ ®£¨¡ î饩 ­ ú墮áâ åû ¨¬¯ã«ìá ¯®«ãç ¥âáï ­¥¯®á।á⢥­­® ¨§ (5.59). ‚ 㤠«¥­­®© ®â 業âà ç á⨠¯¥à¥¤­¥£® äà®­â , â®
¥áâì ¯à¨ ! ?1, ¯à¥¤áâ ¢¨¬ ¬¯«¨âã¤ã ®£¨¡ î饩 ¢ ¢¨¤¥
Z1
Z1
p
p
f ( ; ?jj) = e?jj e?t =2 Ai(?t)dt + ejj e?t =2 Ai(t)dt: (5.62)
?j~j
j~j
3
3
3
3
3
Žæ¥­¨¬ ¢¥«¨ç¨­ã ª ¦¤®£® ¨§ íâ¨å ¨­â¥£à «®¢. ®áª®«ìªã ¯ à ¬¥âà
¡®«ìè¥ ­¥ ï¥âáï ¬ «ë¬, â® íªá¯®­¥­âë ¢ ¯®¤ë­â¥£à «ì­ëå ¢ëà ¦¥­¨ïå 㦥 ­¥«ì§ï áç¨â âì à ¢­ë¬¨ 1. Ž¤­ ª® ¢ ¤ ­­®© á¨âã 樨 áãé¥áâ¢ã¥â ¨ ¡®«ì让 ¯ à ¬¥âà, ª®â®àë¬ ï¢«ï¥âáï j~j. ’®£¤ ᨬ¯â®â¨ç¥áª®¥ à §«®¦¥­¨¥ ¢â®à®£® ¨­â¥£à « ¢ (5.62) ­ 室¨âáï ¯à®áâë¬ ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨¥¬ ¯® ç áâï¬. …᫨ ãç¥áâì ¥éñ ¨ ᨬ¯â®â¨ªã ä㭪権 ©à¨, â®
¢ª« ¤ ¢â®à®£® á« £ ¥¬®£® ¢ (5.62) ¬®¦­® ®æ¥­¨âì á«¥¤ãî饩 ¢¥«¨ç¨­®©
p
p
=2 exp? 2 pjj = 1 ? p =2 :
p
3 =2
jj
2 jj =
à¨ ¡®«ìè¨å §­ 祭¨ïå jj í⨬ á« £ ¥¬ë¬ á«¥¤ã¥â ¯à¥­¥¡à¥çì, ¯®áª®«ìªã ®­® ã¡ë¢ ¥â ¡ëáâ॥ íªá¯®­¥­âë, §­ ç¨â, ¡ëáâ॥ ¯¥à¢®£® á« £ ¥¬®£®. „¥©á⢨⥫쭮, â ª ª ª áãé¥áâ¢ã¥â ­¥§ ¢¨áï饥 ®â jj §­ 祭¨¥ ¯¥à¢®£® ¨­â¥£à « ¢ (5.62), ¢ëç¨á«¥­­®£® ¢ ¡¥áª®­¥ç­ëå ¯à¥¤¥« å,
â® ¬¯«¨â㤠®£¨¡ î饩 ¢ 㤠«¥­­®© ç á⨠¯¥à¥¤­¥£® äà®­â ¯¯à®ªá¨¬¨àã¥âáï ¢ëà ¦¥­¨¥¬
f ( ; ?jj) exp(?jj + 61 ) ¯à¨ ! ?1;
â. ¥. á®åà ­ï¥â â®â ¦¥ ä㭪樮­ «ì­ë© ¢¨¤, çâ® ¨ ã ¨á室­®£® ¨¬¯ã«ìá .
®¢â®à­ë¬ ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨¥¬ ¯® ç áâï¬ ¨­â¥£à «®¢ ¢ (5.59) 㤠ñâáï
¢ëç¨á«¨âì ¨ ᨬ¯â®â¨ªã ®£¨¡ î饩 ­ § ¤­¥¬ ä஭⥠¨¬¯ã«ìá . ®á«¥
¯à¨¢¥¤¥­¨ï ¯®¤®¡­ëå ç«¥­®¢, ¯®«ãç ¥¬ ¯à¨ ! 1
? 2
):
f ( ; ) ( 2 ) Ai p
(1 ? 2
(5.63)
=2
‚â®à®¥ á« £ ¥¬®¥ ¢ ¯®á«¥¤­¥¬ ¬­®¦¨â¥«¥, ïî饥áï ¬ «ë¬ ¯ à ¬¥â஬, ¯®§¢®«ï¥â ®æ¥­¨âì ¢à¥¬ï ¢ë室 ­ ¤ «ì­îî ᨬ¯â®â¨ªã. Š ª
¯®ª § ­® ­ à¨á.5.35 , ¢ ®¡« á⨠¯à®¬¥¦ãâ®ç­ëå §­ 祭¨© ¯ à ¬¥âà (5.63) ª®à४⭮ ®¯¨áë¢ ¥â ¯®¢¥¤¥­¨¥ f ( ; ) ¤ ¦¥ ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠¯¥à¢®£® á¯ãâ­¨ª , ïïáì ¥áâ¥á⢥­­ë¬ ¯à®¤®«¦¥­¨¥¬ (5.61).
 «¨ç¨¥ ¢ (5.63) ¬­®¦¨â¥«ï ( =2) ¯à¨¢®¤¨â ª ⮬ã, çâ® ¢® ¢á¥© ¯à®¬¥¦ãâ®ç­®© ®¡« á⨠¬¯«¨âã¤ë ¤ ¦¥ â¥å ¢â®à¨ç­ëå ¨¬¯ã«ìᮢ{á¯ãâ­¨3
4
3 2
3
3 4
3
3
3
3
3
3
2
3
3
3
3
3
3
3
2
3
236
ª®¢, ª®â®àë¥ ¡«¨§ª¨ ª ¨á室­®¬ã, ®ª §ë¢ îâáï §­ ç¨â¥«ì­® ¬¥­ìè¥ ¬¯«¨â㤠ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å á¯ãâ­¨ª®¢ ¢ ¬®¤¥«¨ £ ãáᮢ ¨¬¯ã«ìá . ‚ â®
¦¥ ¢à¥¬ï, ¯à®âï¦ñ­­®áâì úè«¥©ä û, ä®à¬¨àãî饣®áï ­ § ¤­¥¬ äà®­â¥,
¤«ï ¨á室­®£® ¨¬¯ã«ìá ¢ ¢¨¤¥ úᨬ¬¥âà¨ç­®©û íªá¯®­¥­âë ®ª §ë¢ ¥âáï
£®à §¤® ¡®«ìè¥. …᫨ ¢ ¬®¤¥«¨ £ ãáᮢ ¨¬¯ã«ìá ®£¨¡ îé ï ¢â®à¨ç­ëå ¨¬¯ã«ìᮢ ã¡ë¢ ¥â, ¢ ᮮ⢥âá⢨¨ á (5.57), ¯® íªá¯®­¥­æ¨ «ì­®¬ã
§ ª®­ã, â® § ¬¥­¨¢ ¢ (5.63) äã­ªæ¨î ©à¨ ¥ñ ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨¬ à §«®¦¥­¨¥¬, ¯®«ãç ¥¬ ç१¢ëç ©­® ¬¥¤«¥­­® ᯠ¤ îéãî ¯® á⥯¥­­®¬ã § ª®­ã
®£¨¡ îéãî úè«¥©ä û
=
):
I ( ; ) 4 = ( 2 ) (1 ? 2
(5.64)
3
3
0.14 Ι(µ3,τ)
0.12
0.2
0.1
0.1
−0.1
2
3
5 2
0.3 f (µ3,τ)
02
3 2
0.08
3
4
5
6
7
8
0.06
τ
9
0.04
¡
0.02
0
τ
4
6
8
10
¨á.5.35. ’à ­áä®à¬ æ¨ï ®£¨¡ î饩 ­ § ¤­¥¬ ä஭⥠¨¬¯ã«ìá : ) ¬¯«¨â㤠f (3; )
(ᯫ®è­ ï «¨­¨ï) ¨ ¥ñ ¯¯à®ªá¨¬ æ¨ï (5.63) (¯ã­ªâ¨à­ ï «¨­¨ï) ¯à¨ 3 = 2, ¡) ¨­â¥­á¨¢­®áâì I (3; ) ¢ ¤ «ì­¥© §®­¥ ¯à¨ 3 = 4 (ᯫ®è­ ï «¨­¨ï), ¯¯à®ªá¨¬ æ¨ï ®£¨¡ î饩 è«¥©ä ¢ëà ¦¥­¨¥¬ (5.64) (¯ã­ªâ¨à­ ï «¨­¨ï).
 áá«®¥­¨¥ ¨á室­®£® ¨¬¯ã«ìá ­ ¤®áâ â®ç­® ¡®«ì讥 ç¨á«® ­¨§ª®í­¥à£¥â¨ç­ëå á¯ãâ­¨ª®¢ ¯® áà ¢­¥­¨î á âà ¤¨æ¨®­­®© ¬®¤¥«ìî £ ãáᮢ ¨¬¯ã«ìá ï¥âáï, ¯®{¢¨¤¨¬®¬ã, ­ ¨¡®«¥¥ ­¥®¦¨¤ ­­®© ¨ å à ªâ¥à­®©
®á®¡¥­­®áâìî à áᬠâਢ ¥¬®© §¤¥áì ¬®¤¥«¨ á ®£¨¡ î饩 ¢ ¢¨¤¥ úᨬ¬¥âà¨ç­®©û íªá¯®­¥­âë. ’¨¯¨ç­ë© ¢à¥¬¥­­®© ¯à®ä¨«ì ¨­â¥­á¨¢­®áâ¨
­ § ¤­¥¬ ä஭⥠¨¬¯ã«ìá ¢ ¤ «ì­¥© §®­¥ ¯®ª § ­ ­ à¨á.5.35¡.
 áᬮâॢ ¯à¥¤¥«ì­ë© á«ãç © â®ç­®£® à ¢¥­á⢠­ã«î ¯à®¨§¢®¤­®©
k ; ®¡á㤨¬ ⥯¥àì ¡®«¥¥ ®¡éãî á¨âã æ¨î, ª®£¤ ¯®áâ஥­­ë¥ ­ ¡ §¥ k
¨ k ¡¥§à §¬¥à­ë¥ ¯ à ¬¥âàë ¨ ®ª §ë¢ îâáï ᮨ§¬¥à¨¬ë¬¨ ¤à㣠á
¤à㣮¬. ‚ ®ªà¥áâ­®á⨠â®çª¨ ú­ã«¥¢®©û ¤¨á¯¥àᨨ ¤ ¦¥ ­¥§­ ç¨â¥«ì­ ï
¯¥à¥áâனª ¤«¨­ë ¢®«­ë ¨§«ã祭¨ï ¬®¦¥â áãé¥á⢥­­®, ¨­®£¤ ¢ ­¥áª®«ìª® à §, ¨§¬¥­¨âì ¡«¨§ª®¥ ª ­ã«î §­ 祭¨¥ k , ¯®í⮬㠪®à४â­ë©
ãçñâ ᮢ¬¥áâ­®£® ¢®§¤¥©áâ¢¨ï ¤¨á¯¥àᨮ­­ëå íä䥪⮢ ª ª ¢â®à®£®, â ª
¨ âà¥â쥣® ¯®à浪®¢, ®á®¡¥­­® ¢ ¦¥­ ¤«ï ¯à ¢¨«ì­®£® ¯®­¨¬ ­¨ï ¢®§000
00
0
0
000
0
3
00
0
237
¬®¦­ëå á業 ਥ¢ í¢®«î樨 ᢥà媮à®âª¨å ¨¬¯ã«ìᮢ ¢ ¤ ­­®¬ ᯥªâà «ì­®¬ ¤¨ ¯ §®­¥.
Š®¬¯«¥ªá­ ï ®£¨¡ îé ï ¢ë᮪®ç áâ®â­®£® ᨣ­ « ¯®á«¥ ¯à®å®¦¤¥­¨ï á«®ï á।ë ⮫騭®© L ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï, á ãçñ⮬ (5.51), ¢ ¢¨¤¥
1
Z
1
f (L; ) = 2 (!)ei(! ? k L! ? k L! )d!;
1
2
00
1
6
2
0
000
3
0
?1
£¤¥ ¢¬¥áâ® (!) á«¥¤ã¥â ¯®¤áâ ¢¨âì ”ãàì¥{®¡à § ®£¨¡ î饩 ¨¬¯ã«ìá .
® ­ «®£¨¨ á ¯à¥¤ë¤ã騬¨ à §¤¥« ¬¨ ¨¬¥¥â á¬ëá« ¢§ïâì § ®á­®¢ã
âà ¤¨æ¨®­­ãî ¬®¤¥«ì £ ãáᮢ ¨¬¯ã«ìá , ¯®áª®«ìªã ¯à¨ í⮬ ¬®¦­® ¯®«ãç¨âì § ¬ª­ã⮥ ­ «¨â¨ç¥áª®¥ ¢ëà ¦¥­¨¥ ¤«ï f (L; ), â ª ª ª ¢á¥ ­¥®¡å®¤¨¬ë¥ ¯à®¬¥¦ãâ®ç­ë¥ ¢ëç¨á«¥­¨ï 㦥 ¡ë«¨ ¯à®¤¥« ­ë ­ ¬¨ à ­¥¥.
„¥©á⢨⥫쭮, ¥á«¨ ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï ¢ëà ¦¥­¨¥¬ ¤«ï (!), ¯à¨¢¥¤¥­­ë¬ ¢ à §¤¥«¥ 5.2, ¨ ¢¢¥á⨠¡¥§à §¬¥à­ë¥ ¯ à ¬¥âàë ; ¨ , â® f (L; )
¬®¦­® ¯à¨¢¥á⨠ª á«¥¤ãî饬㠢¨¤ã:
3
1
Z
1
f (L; ) = 2p e? x ei( x ? x ? x )dx:
1
4
1
2
2
1
6
2
3
3
?1
‘ ãçñ⮬ ⮣®, çâ® ¤ ­­ë© ¨­â¥£à « 㦥 ¡ë« ¢ëç¨á«¥­ ¢ (5.53), áà §ã ¯®«ãç ¥¬ ¢ëà ¦¥­¨¥ ¤«ï ¢à¥¬¥­­®£® ¯à®ä¨«ï ®£¨¡ î饩 ¢ ¡¥§à §¬¥à­ëå
¯¥à¥¬¥­­ëå
p
1
i
i
i
f (; ) = p
exp ? Ai p =2
? : (5.65)
=2
Š ª ¨ ¢ ¯à¥¤ë¤ãé¨å à §¤¥« å, ¡ã¤¥¬ ª« áá¨ä¨æ¨à®¢ âì à §«¨ç­ë¥
áâ ¤¨¨ í¢®«î樨 ¨¬¯ã«ìá , ®á­®¢ë¢ ïáì ­ ¢¥«¨ç¨­¥ ¯ à ¬¥âà . • à ªâ¥à­ë¥ ®á®¡¥­­®á⨠¤¥ä®à¬ 樨 ®£¨¡ î饩 ¢ ®¡« á⨠1 ¯à¨
¯à®¨§¢®«ì­ëå §­ 祭¨ïå ¬®¦­® ¡¥§ âà㤠¢ëïá­¨âì, ¥á«¨ § ¬¥â¨âì,
çâ® ¯à¨ ¬ «ëå ¬­®¦¨â¥«ì 1+2i ¢ (5.65) ¬®¦­® § ¬¥­¨âì ­ 1=(1?2i),
¯®á«¥ 祣® (5.65) áâ ­®¢¨âáï ¯®¤®¡­ë¬ (5.58). „à㣨¬¨ á«®¢ ¬¨, ­¥¡®«ìè ï ®âáâனª ®â â®çª¨ ú­ã«¥¢®©û ¤¨á¯¥àᨨ íª¢¨¢ «¥­â­ ¢­¥á¥­¨î
«¨­¥©­®£® ç¨à¯ ¢ ¨á室­ë© ¨¬¯ã«ìá.
Š ª ¯®ª § ­® ­ à¨á.5.30 ¨ 5.31, ¯à¨ íâ¨å ãá«®¢¨ïå ¬ ªá¨¬ã¬ ¯¥à¢¨ç­®£® ¨¬¯ã«ìá , á«¥£ª 㬥­ìè ïáì, á¬¥é ¥âáï ¢ ®¡« áâì ¯®«®¦¨â¥«ì­ëå
§­ 祭¨© ¨ ¯®á⥯¥­­® ­ ¥£® § ¤­¥¬ ä஭⥠­ 稭 ¥â ä®à¬¨à®¢ âìáï
¢â®à¨ç­ë© á¯ãâ­¨ª. Ž¤­ ª®, ¢ ®â«¨ç¨¥ ®â ⮣® á«ãç ï, ª®£¤ ¨¬¥«® ¬¥áâ® â®ç­®¥ à ¢¥­á⢮ k = 0, ¨­â¥­á¨¢­®áâì ¨§«ã祭¨ï ¢ ¯à®¬¥¦ã⪥
3
3
(1+2
1+2
2 3
2
)
(1+2
12 3
3
3
00
0
238
3
8 3
2
)
¬¥¦¤ã ¯¥à¢¨ç­ë¬ ¨¬¯ã«ìᮬ ¨ á¯ãâ­¨ª®¬ 㦥 ¡®«ìè¥ ­¥ ®¡à é ¥âáï
¢ ­ã«ì, ¯à¨¢®¤ï ª ä®à¬¨à®¢ ­¨î à §¬ë⮣® è«¥©ä . „ ­­ë© १ã«ìâ â ­¥¯®á।á⢥­­® á«¥¤ã¥â ¨§ (5.65), ¯®áª®«ìªã, ª ª ®â¬¥ç «®áì à ­¥¥,
äã­ªæ¨ï ©à¨ ­¥ ¨¬¥¥â ­ã«¥© ¯à¨ ª®¬¯«¥ªá­ëå §­ 祭¨ïå à£ã¬¥­â .
Š ª¨å{«¨¡® ¨­ëå, ª ç¥á⢥­­® ®â«¨ç îé¨åáï ®â ¢ëè¥ãª § ­­ëå, ®á®¡¥­­®á⥩ âà ­áä®à¬ 樨 ®£¨¡ î饩 ­ ­ ç «ì­®© ä §¥ í¢®«î樨 ¨¬¯ã«ìá ­¥ ­ ¡«î¤ ¥âáï. ‘ ¬ã ¯à®âï¦ñ­­®áâì ­ ç «ì­®© áâ ¤¨¨ ¬®¦­®
®æ¥­¨âì ¨§ ãá«®¢¨ï < 1=2:
à¨ ¯¥à¥å®¤¥ ¢ ¯à®¬¥¦ãâ®ç­ãî ®¡« áâì, ª®£¤ ­ «®£¨ï ¬¥¦¤ã (5.58)
¨ (5.65) â¥àï¥âáï, ¢®§­¨ª ¥â ¥éñ ®¤­ , ¤®¯®«­¨â¥«ì­ ï ä § í¢®«î樨,
­ ª®â®à®© ¯à®¨á室¨â ᬥ饭¨¥ ¬ ªá¨¬ã¬ ¯¥à¢¨ç­®£® ¨¬¯ã«ìá ¢ ­ ¯à ¢«¥­¨¨, ¤¨ ¬¥âà «ì­® ¯à®â¨¢®¯®«®¦­®¬ ⮬ã, çâ® ¨¬¥«® ¬¥áâ® ­ ­ ç «ì­®© áâ ¤¨¨. „«ï í⮩ ä §ë ­¥å à ªâ¥à­ë ª ª ⨯¨ç­ ï ¤«ï ¢â®à®£® ¯à¨¡«¨¦¥­¨ï ⥭¤¥­æ¨ï ª ᨬ¬¥âਧ 樨 ®£¨¡ î饩, â ª ¨ ¯à¨áã饥 â®çª¥ ú­ã«¥¢®©û ¤¨á¯¥àᨨ ¯®à®¦¤¥­¨¥ ¢â®à¨ç­ëå á¯ãâ­¨ª®¢, å®âï
­ ¡®«¥¥ ¯®«®£®¬ § ¤­¥¬ ä஭⥠¨ ¬®¦¥â ­ ¡«î¤ âìáï á« ¡® ¢ëà ¦¥­­ ï ª¢ §¨¯¥à¨®¤¨ç¥áª ï áâàãªâãà . ’¨¯¨ç­ë© å à ªâ¥à âà ­áä®à¬ 樨
®£¨¡ î饩 ­ í⮩ áâ ¤¨¨ ¯® ¬¥à¥ à®áâ §­ 祭¨ï ¯®ª § ­ ­ à¨á.5.36.
3
0.4
Ι(µ,τ)
0.4
0.3
−3 −2 −1 0
τ
1 2 3 4
0.1
−3 −2 −1 0
Ι(µ,τ)
0.3
0.2
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.5 Ι(µ,τ)
0.2
¡
τ
1 2 3 4
0.1
−3 −2 −1 0
¢
τ
1 2 3 4
¨á.5.36. ’à ­áä®à¬ æ¨ï ®£¨¡ î饩 ¢ ¬®¤¥«¨ £ ãáᮢ ¨¬¯ã«ìá ¯à¨ á®¢¬¥áâ­®¬ ãçñâ¥
¤¨á¯¥àᨮ­­ëå ¯ à ¬¥â஢ ¢â®à®£® ¨ âà¥â쥣® ¯®à浪®¢. ‡­ 祭¨ï ¯ à ¬¥â஢: = 1;
3 : ) 1/4, ¡ ) 1/2, ¢) 3/4. ˜âà¨å®¢®© «¨­¨¥© ¯®ª § ­ ®£¨¡ îé ï ¯à¨ 3 = 0:
Š ç¥á⢥­­®¥ ®¡êïá­¥­¨¥ 㪠§ ­­®¬ã ¥­¨î ¬®¦­® ¤ âì, ®¯¨à ïáì
­ ᮮ⭮襭¨¥ (5.51).  «¨ç¨¥ ­¥ ®¤­®£®, ¤¢ãå á« £ ¥¬ëå, ä®à¬¨àãîé¨å ä §®¢ë¥ ᤢ¨£¨ ¢ ”ãàì¥{®¡à §¥ ®£¨¡ î饩 १ã«ìâ¨àãî饣®
ᨣ­ « , ª®â®àë¥, ¢ ª®­¥ç­®¬ ¨â®£¥, ¨ ®¯à¥¤¥«ïîâ á⥯¥­ì ¤¥ä®à¬ 樨
¨á室­®£® ¨¬¯ã«ìá ¯à¨ ¯à®¨§¢®«ì­ëå §­ ª å ¯ à ¬¥â஢ k ¨ k , ¯®à®¦¤ ¥â ­¥á¨¬¬¥âà¨ç­®¥ à á¯à¥¤¥«¥­¨¥ íâ¨å ᤢ¨£®¢ ®â­®á¨â¥«ì­® 業âà ᯥªâà . …᫨ ¯à¨ ᮢ¯ ¤¥­¨¨ §­ ª®¢ ¢ ®¡« á⨠¯®«®¦¨â¥«ì­ëå §­ 祭¨© ! ä §®¢ë¥ ᤢ¨£¨ ­ ª ¯«¨¢ îâáï, ¯à¨¢®¤ï ª ¯®ï¢«¥­¨î è«¥©ä 239
00
000
0
0
á à §¬ëâ묨 ¯à®¬¥¦ã⪠¬¨ ¬¥¦¤ã á¯ãâ­¨ª ¬¨, â® ¯à¨ ®âà¨æ ⥫ì­ëå
§­ 祭¨ïå ! ¯à®¨á室¨â ç áâ¨ç­ ï ª®¬¯¥­á æ¨ï ᤢ¨£®¢ ¢â®à®£® ¨ âà¥â쥣® ¯®à浪®¢. ‚ á«ãç ¥ ¯à®â¨¢®¯®«®¦­ëå §­ ª®¢ ä §®¢ë¥ ᤢ¨£¨ ¢
«¥¢®© ¨ ¯à ¢®© ç áâïå ᯥªâà ¬¥­ïîâáï ¬¥áâ ¬¨, çâ® íª¢¨¢ «¥­â­® ¨§¬¥­¥­¨î ­ ¯à ¢«¥­¨ï ®á¨ ¢à¥¬¥­¨.
€­ «¨§¨àãï ¢ à §¤¥«¥ 5.3 ¢«¨ï­¨¥ «¨­¥©­®£® ç¨à¯ ­ ¯ à ¬¥âàë ¤¥ä®à¬¨à®¢ ¢è¥©áï ®£¨¡ î饩, ¬ë ª ª à § ¨ ®â¬¥ç «¨, ç⮠ᦠ⨥ ¨¬¯ã«ìá ¢®§¬®¦­® ⮫쪮 ¢ ⮬ á«ãç ¥, ª®£¤ §­ ª ®¡ãá«®¢«¥­­ëå ç¨à¯®¬
ä §®¢ëå ᤢ¨£®¢ ¢ ᯥªâॠ¯à®â¨¢®¯®«®¦¥­ §­ ªã ¯ à ¬¥âà k . à¨
ãçñ⥠¤¨á¯¥àᨮ­­ëå íä䥪⮢ ¢® ¢â®à®¬ ¯à¨¡«¨¦¥­¨¨ ä §®¢ë¥ ᤢ¨£¨
¢á¥£¤ ¨¬¥îâ ®¤¨­ ¨ â®â ¦¥ §­ ª ¯® ¢á¥¬ã ᯥªâàã, çâ® ¨ ¯®§¢®«ï¥â
¢ë¡®à®¬ ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 ᪮à®á⨠ç¨à¯ ¯®«­®áâìî ᪮¬¯¥­á¨à®¢ âì
í⨠ᤢ¨£¨, ¯®«ãç ï ᦠâë© ¯® ®¡®¨¬ äà®­â ¬ ¨¬¯ã«ìá. ’ ª ª ª ¢
¤ ­­®¬ á«ãç ¥ ¬®¦­® £®¢®à¨âì «¨èì ® ç áâ¨ç­®© ª®¬¯¥­á 樨 ᤢ¨£®¢
­ ®¤­®© ¯®«®¢¨­¥ ”ãàì¥{®¡à § ®£¨¡ î饩, â® ¨á¯®«ì§ãï ᯥªâà «ì­®{
¢à¥¬¥­­ë ¥ ­ «®£¨¨ á«¥¤ã¥â ¯à¥¤¯®«®¦¨âì, çâ® ¡ã¤¥â ¨¬¥âì ¬¥áâ® ®¡®áâ७¨¥ ⮫쪮 ®¤­®£® ¨§ ä஭⮢ ¨¬¯ã«ìá . à¨ ¯®«®¦¨â¥«ì­ëå §­ 祭¨ïå ¨ íâ® ¡ã¤¥â ¯¥à¥¤­¨© äà®­â.
00
0
3
0.8 τmax
1
2
3
4
0.6
1.3
1.2
1.1
0.4
−0.2
3
1
0.2
0
4
0.5
1
1.5
0.9
µ3
2
2
0.8
¡
0.7
0
0.5
1
1
µ3
1.5
2
¨á.5.37.  à ¬¥âàë ®£¨¡ î饩 ¢ ¬®¤¥«¨ £ ãáᮢ ¨¬¯ã«ìá : ) ª®®à¤¨­ â â®çª¨
¬ ªá¨¬ã¬ ¯¥à¢¨ç­®£® ¨¬¯ã«ìá , ¡) ®â­®è¥­¨¥ ¯¨ª®¢®© ¬®é­®á⨠¯à¨ ãçñ⥠¤¨á¯¥àᨮ­­ëå íä䥪⮢ 3-£® ¯®à浪 ª ¯¨ª®¢®© ¬®é­®á⨠¢® ¢â®à®¬ ¯à¨¡«¨¦¥­¨¨. Šà¨¢ë¥:
1) = 1=4, 2) = 1=2, 3) = 3=4, 4) = 1:
“¢¥«¨ç¥­¨¥ ªàã⨧­ë ¯¥à¥¤­¥£® äà®­â ¬®¦¥â ­¥ ⮫쪮 ¯à¨¢®¤¨âì ª
ᬥ饭¨î ¬ ªá¨¬ã¬ ®£¨¡ î饩 ¢ ®¡« áâì ®âà¨æ ⥫ì­ëå §­ 祭¨© ,
ª ª ¯®ª § ­® ­ ªà¨¢ëå 3, 4 à¨á.5.37 , ­® ¨ ª ®â­®á¨â¥«ì­®¬ã à®áâã ¯¨ª®¢®© ¬®é­®á⨠¯® ®â­®è¥­¨î ª ⮬ã á«ãç î, ª®£¤ ¢«¨ï­¨¥¬ íä䥪⮢
âà¥â쥣® ¯®à浪 ¯à®áâ® ¯à¥­¥¡à¥£ îâ. „ ­­®¥ ®¡áâ®ï⥫ìá⢮, ¯à®¨««îáâà¨à®¢ ­­®¥ ­ à¨á.5.37¡, ᢨ¤¥â¥«ìáâ¢ã¥â ® ⮬, çâ® ¯à¨ 䨪á¨à®¢ ­­®¬ §­ 祭¨¨ ãè¨à¥­¨¥ ¨¬¯ã«ìá ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠®¡« á⨠ú­ã«¥¢®©û
240
¤¨á¯¥àᨨ ¯à®¨á室¨â § ¬¥â­® ¬¥¤«¥­­¥¥, 祬 ¢¤ «¨ ®â ­¥¥.
à¨ ­¥¡®«ìè¨å §­ 祭¨ïå ª¢ ¤à â¨ç­®¥ ¯® ! á« £ ¥¬®¥ ¢ ”ãàì¥{
®¡à §¥ ®£¨¡ î饩 १ã«ìâ¨àãî饣® ᨣ­ « ¯à®áâ® ­¥ ¢ á®áâ®ï­¨¨ ®ª § âì ᪮«ìª®{­¨¡ã¤ì áãé¥á⢥­­®£® ¢«¨ï­¨ï ­ å à ªâ¥à ¤¥ä®à¬ 樨
®£¨¡ î饩, ¯®áª®«ìªã ¢ ⮩ ®¡« á⨠¨§¬¥­¥­¨ï ¯ à ¬¥â஢, £¤¥ í⨠¤¥ä®à¬ 樨 ­ 稭 îâ ¯à®ï¢«ïâìáï, ¤®¬¨­¨àãî騬 ®ª §ë¢ ¥âáï 㦥 ªã¡¨ç­ë© ¯® ! ç«¥­ à §«®¦¥­¨ï, çâ® å®à®è® ¢¨¤­® ­ ªà¨¢ëå 1, 2 à¨á.5.37.
¥¯à¥à뢭 ï âà ­áä®à¬ æ¨ï ®£¨¡ î饩 ¯à¨¢®¤¨â ª ⮬ã, ç⮠᪮à®áâì ¯¥à¥¬¥é¥­¨ï ¬ ªá¨¬ã¬ ¨¬¯ã«ìá ®ª §ë¢ ¥âáï ¤®áâ â®ç­® á«®¦­®© ä㭪樥©, § ¢¨áï饩 ­¥ ⮫쪮 ®â ¤¨á¯¥àᨮ­­ëå ¯ à ¬¥â஢ á।ë,
­® ¨ ®â ¯à®©¤¥­­®£® ¨¬ à ááâ®ï­¨ï. “¦¥ ­ ¯à¨¬¥à¥ ¯à®á⥩襩 à áᬮâ७­®© ­ ¬¨ ­¥âਢ¨ «ì­®© ¬®¤¥«¨, ãç¨âë¢ î饩 ᮢ¬¥áâ­ë© ¢ª« ¤
¤¨á¯¥àᨮ­­ëå íä䥪⮢ ª ª ¢â®à®£®, â ª ¨ âà¥â쥣® ¯®à浪®¢, 㤠ñâáï
¯à®¤¥¬®­áâà¨à®¢ âì (á¬. à¨á.5.37¡ ), çâ® ¢ ®¤­®© ¨ ⮩ ¦¥ á।¥ ᪮à®áâì, á ª®â®à®© ¤¢¨¦¥âáï â®çª ¬ ªá¨¬ã¬ , ¬®¦¥â ¡ëâì ª ª ¡®«ìè¥,
â ª ¨ ¬¥­ìè¥ £à㯯®¢®© ᪮à®á⨠vg . ®áª®«ìªã ¢ íªá¯¥à¨¬¥­â å ¨§¬¥àï¥âáï ⮫쪮 á।­ïï, ­¥ ¬£­®¢¥­­ ï ᪮à®áâì, â® ¢ ¯à¨­ïâëå ­ ¬¨
®¡®§­ 祭¨ïå íâ ¢¥«¨ç¨­ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬:
vg
vmax =
(5.66)
max vg k
1? t
„«ï ®¯â¨ç¥áª¨ ¯à®§à ç­ëå á।, ᢮©á⢠ª®â®àëå ¡«¨§ª¨ ª ¯®ª § ­­ë¬ ­ à¨á.5.7, ¨ ¤«¨­ å ¢®«­, ¤ «¥ª® ®âáâ®ïé¨å ®â ª ª¨å{«¨¡® ¯®«®á
¯®£«®é¥­¨ï ¨«¨ ãᨫ¥­¨ï, ⨯¨ç­ ï ¢¥«¨ç¨­ ¯à®¨§¢¥¤¥­¨ï vg k á®áâ ¢«ï¥â 10? 10? á. …᫨ ãç¥áâì ¥éñ ¨ â®, çâ® ¢ 㤠«ñ­­ëå ®â १®­ ­á®¢ ®¡« áâïå ᯥªâà ¤¨á¯¥àᨮ­­ ï ªà¨¢ ï k(!) ¬¥­ï¥âáï á« ¡®, â®
®â­®è¥­¨¥ max= ¯® ¯®à浪㠢¥«¨ç¨­ë ¡«¨§ª® ª 1, á«¥¤®¢ ⥫쭮, ¢â®à®¥ á« £ ¥¬®¥ ¢ §­ ¬¥­ ⥫¥ (5.66) ¬®¦¥â ¡ëâì ¡¥§ ãé¥à¡ ®¯ã饭® ¤ ¦¥
¤«ï ¨¬¯ã«ìᮢ ¯à¥¤¥«ì­® ª®à®âª®© ¤«¨â¥«ì­®áâ¨.
Ž¤­ ª® ¢ á। å á ᨫ쭮 ¢ëà ¦¥­­®© ¤¨á¯¥àᨥ©, ­¥ £®¢®àï 㦥 ® ⮩
á¨âã 樨, ª®£¤ ç áâ®â ®¯â¨ç¥áª®© ­¥áã饩 «¥¦¨â ¢­ãâਠ१®­ ­á­®£®
ª®­âãà , ª ¦¤ë© ¨§ ®¡á㦤 ¢è¨åáï ¢ëè¥ ¬­®¦¨â¥«¥© ¬®¦¥â ¢®§à áâ¨
­ 1 2 ¯®à浪 ¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â ¯ à ¬¥â஢ ª®­âãà . ‚ १ã«ìâ â¥,
㦥 ¤«ï ¯¨ª®á¥ªã­¤­ëå ¨¬¯ã«ìᮢ ¯®¯à ¢®ç­®¥ á« £ ¥¬®¥ ¢ §­ ¬¥­ ⥫¥
(5.66) ®ª ¦¥âáï ᮨ§¬¥à¨¬ë¬ á 1, çâ® ¨ ¯à¨¢¥¤ñâ ª ᪮à®áâï¬, ᨫ쭮
®â«¨ç î騬áï ®â vg . Š ᮦ «¥­¨î, ­¨ª ª¨å ­ «¨â¨ç¥áª¨ à §à¥è¨¬ëå
¬®¤¥«¥©, ¨««îáâà¨àãîé¨å ®á®¡¥­­®áâ¨ í¢®«î樨 ®£¨¡ î饩 ¨¬¯ã«ìá ,
à á¯à®áâà ­ïî饣®áï ¢ ­¥¯®á।á⢥­­®© ®ªà¥áâ­®á⨠१®­ ­á­®£® ª®­00
0
0
00
15
0
16
241
âãà , ª ­ áâ®ï饬㠢६¥­¨ ­¥¨§¢¥áâ­®. ‚ â ª®¬ á«ãç ¥ ­¥ ®áâ ñâáï
­¨ç¥£® ¤à㣮£® ªà®¬¥ ®£® ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨ï ᮮ⭮襭¨ï (5.1).
ˆáá«¥¤®¢ ­¨¥ ¤ «ì­¥© ᨬ¯â®â¨ª¨ ¯®§¢®«ï¥â ¢ëâì ¥éñ ­¥ª®â®àë¥
®á®¡¥­­®áâ¨ í¢®«î樨 ®£¨¡ î饩 ¨¬¯ã«ìá , ª®â®àë¥ ®âáãâáâ¢ãîâ ­ ¡®«¥¥ à ­­¨å áâ ¤¨ïå. à¨ ¡®«ìè¨å §­ 祭¨ïå ¯ à ¬¥âà ¯®á⥯¥­­®¥
­ à 騢 ­¨¥ ¢¥«¨ç¨­ë ¢ ¤®áâ â®ç­® è¨à®ª®¬ ¤¨ ¯ §®­¥, ¯à®¯®à樮­ «ì­®¬ , ­ 稭 ï ®â ­ã«ï, ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® ¤®¬¨­¨àãî饩 ⥭¤¥­æ¨¥©
ï¥âáï ᨬ¬¥âਧ æ¨ï ®£¨¡ î饩 ¨¬¯ã«ìá ¯à¨ ¯à ªâ¨ç¥áª¨ ­¥¨§¬¥­­®© ¯¨ª®¢®© ¬®é­®áâ¨. ‚ â®çª¥ ­ ¨¡®«ì襣® ᬥ饭¨ï ¬ ªá¨¬ã¬ ¢ ®¡« áâì ®âà¨æ ⥫ì­ëå §­ 祭¨© ªàã⨧­ ¯¥à¥¤­¥£® äà®­â ®ª §ë¢ ¥âáï ¯à ªâ¨ç¥áª¨ â ª®© ¦¥ ª ª ¨ ã ¨á室­®£® ¨¬¯ã«ìá . …᫨ ãç¥áâì,
çâ® ¯à¨ = 0 (èâà¨å®¢ ï «¨­¨ï ­ à¨á.5.38 ) ¢ ¤ «ì­¥© §®­¥ 1
¤«¨â¥«ì­®áâì £ ãáᮢ ¨¬¯ã«ìá ¢®§à á⠥⠢ 2 à §, ⮠ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 ®¡®áâ७¨¥ ¯¥à¥¤­¥£® äà®­â ¢ â ª®¥ ¦¥ ç¨á«® à § ¢®á¯à¨­¨¬ ¥âáï
ª ª íä䥪â ä®à¬¨à®¢ ­¨ï 㤠୮© ¢®«­ë.
3
3
0.25 Ι(µ,τ)
0.2
0.15
0.2
0.1
0
−4
0.05
−4
−2
0
µ=2
0.4 Ι(µ3,τ)
2
4
τ
−2
τ
0
6
µ3
2
4
63
2
1
0
¡
¨á.5.38. ’à ­áä®à¬ æ¨ï ®£¨¡ î饩 ¢ ¬®¤¥«¨ £ ãáᮢ ¨¬¯ã«ìá ¯à¨ = 2: ) ®¡®áâ७¨¥ ¯¥à¥¤­¥£® ä஭⠯ਠ3 = 3=4, ¡) ᨭ£ã«ïà­ë© ¢á¯«¥áª ¯¨ª®¢®© ¬®é­®á⨠¯à¨
¬ ªá¨¬ «ì­® ¢®§¬®¦­®© ª®¬¯¥­á 樨 ä §®¢ëå ᤢ¨£®¢ 2 ¨ 3-£® ¯®à浪®¢.
„ ­­ë© íä䥪â ãᨫ¨¢ ¥âáï ¥éñ ¨ ⥬ ®¡áâ®ï⥫ìá⢮¬, çâ® ¯®á«¥
¤®á⨦¥­¨ï â®çª®© ¬ ªá¨¬ã¬ ᢮¥£® ªà ©­¥£® «¥¢®£® ¯®«®¦¥­¨ï ¤ ¦¥
­¥§­ ç¨â¥«ì­®¥ 㢥«¨ç¥­¨¥ ¯ à ¬¥âà ¯à¨¢®¤¨â ª ᪠窮®¡à §­®¬ã
㢥«¨ç¥­¨î ¯¨ª®¢®© ¬®é­®á⨠¨ ­ «®£¨ç­®¬ã ¯® ¬ áèâ ¡ ¬ ᮪à 饭¨î ¤«¨â¥«ì­®á⨠¨¬¯ã«ìá (á¬. à¨á.5.38¡ ). ’ ª ­ ¯à¨¬¥à, ¯à¨ = 4
¨­â¥­á¨¢­®áâì ¨§«ã祭¨ï ¢ â®çª¥ ¬ ªá¨¬ã¬ ¯¥à¢¨ç­®£® ¨¬¯ã«ìá ¬®¦¥â
¡®«¥¥ 祬 ¢ 2 à § ¯à¥¢®á室¨âì ¯¨ª®¢ãî ¬®é­®áâì £ ãáᮢ ¨¬¯ã«ìá ,
¢ëç¨á«¥­­ãî ¯à¨ â®¬ ¦¥ §­ 祭¨¨ ¢® ¢â®à®¬ ¯à¨¡«¨¦¥­¨¨. •®âï ¬ ªá¨¬ «ì­ ï ¨­â¥­á¨¢­®áâì ¯¥à¢¨ç­®£® ¨¬¯ã«ìá ¤ ¦¥ ¢ ᦠ⮬ á®áâ®ï­¨¨
3
242
­¥ ¢®ááâ ­ ¢«¨¢ ¥âáï ¤® ã஢­ï ¨á室­®£® ¨¬¯ã«ìá , ᤥ« ­­ë¥ ®æ¥­ª¨
¯®ª §ë¢ îâ, çâ® ãçñâ ¤¨á¯¥àᨮ­­®£® ¯ à ¬¥âà âà¥â쥣® ¯®à浪 ¬®¦¥â áãé¥á⢥­­® § ¬¥¤«¨âì ª ª ᪮à®áâì ú§ âãå ­¨ïû í⮣® ¨¬¯ã«ìá ,
â ª ¨ ¥£® ãè¨à¥­¨¥ ¯® ®â­®è¥­¨î ª ã¯à®é¥­­®© ¬®¤¥«¨ ¢â®à®£® ¯à¨¡«¨¦¥­¨ï, ¢ ª®â®à®© ¢á¥£¤ ¯®« £ îâ à ¢­ë¬ ­ã«î.
 «¨ç¨¥ ëå ­ «¨â¨ç¥áª¨å ¢ëà ¦¥­¨© ¤«ï ª®¬¯«¥ªá­®© ®£¨¡ î饩 ¢ ¬®¤¥«¨ £ ãáᮢ ¨¬¯ã«ìá ª ª ¯à¨ ãçñ⥠⮫쪮 ¯ à ¬¥âà k , â ª
¨ ¯à¨ ᮢ¬¥áâ­®¬ ¢«¨ï­¨¨ ¤¨á¯¥àᨮ­­ëå ¯ à ¬¥â஢ ¢â®à®£® ¨ âà¥â쥣®
¯®à浪®¢ ¯®§¢®«ï¥â ®æ¥­¨âì â®ç­®áâì á ¬®£® ¢â®à®£® ¯à¨¡«¨¦¥­¨ï. ‘ç¨â ï ¬¯«¨âã¤ã (5.5) ¯¯à®ªá¨¬ 樥© ¡®«¥¥ â®ç­®£® ¢ëà ¦¥­¨ï (5.65) ¨
¯¥à¥å®¤ï ®â ¬¯«¨â㤠ª ¨­â¥­á¨¢­®áâ¨, ¬®¦­® à ááç¨â âì ¯®£à¥è­®áâì
â ª®© ¯¯à®ªá¨¬ 樨. ¥§ã«ìâ âë ¢ëç¨á«¥­¨© ¢ ­ ¨¡®«¥¥ ¨­â¥à¥á­®© ¢
¤ ­­®¬ ª®­â¥ªá⥠®¡« á⨠¯®ª § ­ë ­ à¨á.5.39. ¥á¬®âàï ­ â®, çâ® ¢ ¨áá«¥¤®¢ ­­®© ®¡« á⨠¯ à ¬¥âà ¯à¥¢ëè ¥â ¡®«¥¥ 祬 ­ ¯®à冷ª, ®â­®á¨â¥«ì­ ï ¯®£à¥è­®áâì ­ ú墮áâ åû ¨¬¯ã«ìá á®áâ ¢«ï¥â
¤¥áï⪨ ¯à®æ¥­â®¢.
3
00
0
3
3
0.6 ∆ µ=0.5
0.4
0.2
0
−0.2
0.2 ∆
0.1
µ=0.5
0
−0.1
τ −1 −2
0.01
µ3
0.02
0
0.03
1
0.04
2
0.05 3
0.01
µ3
0.02
0.03
0.04
0.05 2
1
τ
0
−1
¡
¨á.5.39. ’®ç­®áâì à áçñâ ®£¨¡ î饩 ¢® ¢â®à®¬ ¯à¨¡«¨¦¥­¨¨ ¯à¨ = 1=2: ) à á¯à¥¤¥«¥­¨¥ ®â­®á¨â¥«ì­®© ¯®£à¥è­®á⨠¢ ¬®¤¥«¨ £ ãáᮢ ¨¬¯ã«ìá ¯à¨ ¤®¯®«­¨â¥«ì­®¬
ãçñ⥠¤¨á¯¥àᨮ­­®£® ¯ à ¬¥âà 3-£® ¯®à浪 , ¡) â® ¦¥, çâ® ¨ ), ­® ¢ 業âà «ì­®©
ç á⨠¨¬¯ã«ìá .
ëáâàë© à®áâ ¯®£à¥è­®á⨠­ § ¤­¥¬ ä஭⥠®¡ãá«®¢«¥­ § ஦¤¥­¨¥¬ è«¥©ä , ã¡ë¢ î饣® §­ ç¨â¥«ì­® ¬¥¤«¥­­¥¥, ­¥¦¥«¨ £ ãáᮢ ªà¨¢ ï. ‚뤥«ïï ¨§ à¨á.5.39 â㠢६¥­­ãî ®¡« áâì, ª®â®à ï ᮮ⢥âáâ¢ã¥â
業âà «ì­®© ç á⨠¨¬¯ã«ìá , ¯®«ãç ¥¬ à á¯à¥¤¥«¥­¨¥, ¯®ª § ­­®¥ ­ à¨á.5.39¡. …᫨ ¢ ª ç¥á⢥ ¯à¥¥¬«¥¬®£® ã஢­ï ¯®£à¥è­®áâ¨ á ¬®© 䨧¨ç¥áª®© ¬®¤¥«¨ áç¨â âì ¢¥«¨ç¨­ã ¢ ­¥áª®«ìª® ¯à®æ¥­â®¢, â® ¢ à áᬠâਢ ¥¬®© ®¡« á⨠¯ à ¬¥â஢ ¬ë ¤®«¦­ë ®£à ­¨ç¨¢ âì ¯ à ¬¥âà §­ 祭¨¥¬ 10? . „ «ì­ïï ᨬ¯®â¨ª ­ ª« ¤ë¢ ¥â ¥éñ ¡®«¥¥ ¦¥á⪨¥ ®£à ­¨ç¥­¨ï ­ ¢¥«¨ç¨­ã ®â­®è¥­¨ï = , ¯®áª®«ìªã ¯à®ä¨«ì ®£¨¡ î饩 ¯à¨®¡à¥â ¥â §­ ç¨â¥«ì­® ¡®«¥¥ á«®¦­ë© ¢¨¤. ’¥¬ á ¬ë¬, ¤«ï ª®à४⭮£®
3
2
3
243
ª®«¨ç¥á⢥­­®£® ®¯¨á ­¨ï ¢á¥å ®á®¡¥­­®á⥩ âà ­áä®à¬ 樨 ®£¨¡ î饩
¨¬¯ã«ìá ¯à¨ ãçñ⥠«¨èì ¤¨á¯¥àᨮ­­®£® ¯ à ¬¥âà ¢â®à®£® ¯®à浪 ¢
è¨à®ª®¬ ¤¨ ¯ §®­¥ ¨§¬¥­¥­¨ï ¯ à ¬¥âà ­¥®¡å®¤¨¬®, ç⮡ë íâ®â ¯ à ¬¥âà ¯® ªà ©­¥© ¬¥à¥ ­ ¤¢ ¯®à浪 ¯à¥¢ëè « §­ 祭¨¥ . ‚¯à®ç¥¬,
¤«ï ¨¬¯ã«ìᮢ ­ ­®á¥ªã­¤­®© ¨ ¤ ¦¥ áã¡­ ­®á¥ªã­¤­®© ¤«¨â¥«ì­®áâ¨,
§ ¨áª«î祭¨¥¬ ­¥¡®«ì让 ®ªà¥áâ­®á⨠â®çª¨ ú­ã«¥¢®©û ¤¨á¯¥àᨨ, íâ®
âॡ®¢ ­¨¥ ¢ë¯®«­ï¥âáï á ¡®«ì訬 § ¯ ᮬ. Ž¤­ ª® 㦥 ¤«ï ¯¨ª®á¥ªã­¤­ëå ¨¬¯ã«ìᮢ ¯®£à¥è­®áâì, ®¡ãá«®¢«¥­­ ï ®£à ­¨ç¥­­®áâìî (5.2),
¬®¦¥â ¯à¨¢®¤¨âì ¢ 㤠«¥­­ëå ®â 業âà ç áâïå ¨¬¯ã«ìá ª ®è¨¡ª ¬,
¯à¥¢ëè î騬 ¯®£à¥è­®á⨠íªá¯¥à¨¬¥­â . ˆ¬¥­­® â ª®© á«ãç © ¨ ¯à®¬®¤¥«¨à®¢ ­ ­ à¨á. 5.39¡. —â® ¦¥ ª á ¥âáï ¯à¥¤¥«ì­® ª®à®âª¨å ¨¬¯ã«ìᮢ á ¤«¨â¥«ì­®áâìî p < 10? á, â® ®¯¨á ­¨¥ ¨å ¤¨­ ¬¨ª¨ ¢ à ¬ª å
¢â®à®£® ¯à¨¡«¨¦¥­¨ï ¯®¯à®áâã ­¥ ¨¬¥¥â á¬ëá« .
‚ § ª«î祭¨¨ ¤ ­­®© £« ¢ë ®â¬¥â¨¬, çâ® ¯à¥¤«®¦¥­­ë© ¢ à §¤¥«¥ 5.4
«£®à¨â¬, ®á­®¢ ­­ë© ­ à §«®¦¥­¨¨ (5.31), ¬®¦¥â ¡ëâì ¯à¨¬¥­¥­ ¨ ¤«ï
à áçñâ ®£¨¡ î饩 ¨¬¯ã«ìá ¢ ®¡« á⨠ú­ã«¥¢®©û ¤¨á¯¥àᨨ. à¨ í⮬
¢®§­¨ª ¥â § ¤ ç ¢ëç¨á«¥­¨ï á«¥¤ãî饩 ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠¨­â¥£à «®¢
3
13
0
Jn =
Z1
?1
Hn(x)e?px ei(x + qx )dx:
2
3
‡­ 祭¨¥ J 㦥 ¡ë«® ¢ëç¨á«¥­® ¢ (5.53), ¤«ï ­ 宦¤¥­¨ï Jn ¡®«¥¥
¢ë᮪¨å ¯®à浪®¢ ¬®¦¥â ¡ëâì ¨á¯®«ì§®¢ ­® ४ãà७⭮¥ ᮮ⭮襭¨¥
4
ip
2
8
in
Jn = 3q (1 ? p)Jn? ? 3q Jn ? 2Jn 3q + (2n + 1) ? 4n(n ? 1)Jn? :
Ž¤­ ª®, å®âï ¢®§­¨ª î騥 ¯à¨ í⮬ àï¤ë ¨ ïîâáï íä䥪⨢­ë¬¨ á
¢ëç¨á«¨â¥«ì­®© â®çª¨ §à¥­¨ï, ®­¨, ¢ ®â«¨ç¨¥ ®â (5.36), ¯à ªâ¨ç¥áª¨ ­¥
¯®¤¤ îâáï ­ «¨â¨ç¥áª®¬ã ¨áá«¥¤®¢ ­¨î, ¯®íâ®¬ã ¨å ¡®«¥¥ ¤¥â «ì­®¥
®¡á㦤¥­¨¥ §¤¥áì ­¥ ¯à¨¢®¤¨âáï.
0
+2
1
+1
2
‘¯¨á®ª «¨â¥à âãàë ª £« ¢¥ V
1. ‡®¬¬¥àä¥«ì¤ €. Ž¯â¨ª . { Œ.: ˆ‹, 1953.
2. ‚¨­®£à ¤®¢ Œ.., ã¤¥­ª® Ž.‚., ‘ãå®à㪮¢ €.. ’¥®à¨ï ¢®«­. {
Œ.:  㪠, 1979.
3. „¦¥ªá®­ „¦. Š« áá¨ç¥áª ï í«¥ªâத¨­ ¬¨ª . { Œ.: Œ¨à, 1965.
244
4. €å¬ ­®¢ ‘.€., ‚ëá«®ãå ‚.€., —¨àª¨­ €.‘. Ž¯â¨ª 䥬â®á¥ªã­¤­ëå
« §¥à­ëå ¨¬¯ã«ìᮢ. { Œ.:  㪠, 1988.
5. ‚ ©­è⥩­ ‹.€.  á¯à®áâà ­¥­¨¥ ¨¬¯ã«ìᮢ. // “”, 1976, ’.118,
ü2, á.339{367.
6. „ì类¢ ž.…., ¨ª¨â¨­ ‘.ž. ‡ ¤ ç¨ ¯® áâ â¨áâ¨ç¥áª®© à ¤¨®ä¨§¨ª¥ ¨ ®¯â¨ª¥. { Œ.: ˆ§¤.Œƒ“, 1985.
7. Anderson D., Lisak M. Analytic study of pulse broadening in dispersive
optical bers. // Physical Review, 1987, v.A-35, p.184{187.
8. Marcuse D. Pulse distorsion in single{mode bers. // Applied Optics,
1980, v.19, ü10, p.1653{1660.
9. ¥à¥¯¥çª® ‘.. à¨¬¥­¥­¨¥ ¯®«¨­®¬®¢ à¬¨â ª à áçñâã ¤¨á¯¥àᨨ ¨ à á¯à®áâà ­¥­¨î ¨¬¯ã«ìᮢ ¢ ®¤­®¬®¤®¢ëå ¢®«®ª®­­ëå ᢥ⮢®¤ å. // ‚¥áæi € ‘‘. ‘¥à.äi§-¬ â.­ ãª. 1986, ü2, á.60{67.
10. Anderson D., Lisak M. Propagation characteristics of frequency{chirped
super{Gaussian optical pulses. // Optics Letters, 1986, v.11, ü9, p.569{
571.
11.  ᮢ .ƒ., €¬¡ àæã¬ï­ .‚., ‡ã¥¢ ‚.‘., Šà¢ .ƒ., ‹¥â®å®¢ ‚.‘.
// †’”, 1966, â.50, á.23.
12. Šà¢ .ƒ., ‹¥â®å®¢ ‚.‘.  á¯à®áâà ­¥­¨¥ ¨¬¯ã«ìᮢ ᢥ⠢ १®­ ­á­® ãᨫ¨¢ î饩 (¯®£«®é î饩) á।¥. // “”, 1969, â.99,
á.169.
245
VI.
ˆ’…”……–ˆŸ ‘‚…•ŠŽŽ’Šˆ• ‹€‡…›•
ˆŒ“‹œ‘Ž‚ ‚ ‘…„… ‘ „ˆ‘…‘ˆ…‰
6.1. ¥à¨®¤¨ç¥áª ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ¨¬¯ã«ìᮢ.
‚®á¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥ ¢à¥¬¥­­®© áâàãªâãàë ¨§«ã祭¨ï
‘â ¡¨«ì­ë¥ ᢥà媮à®âª¨¥ ¨¬¯ã«ìáë ¬¨­¨¬ «ì­® ¢®§¬®¦­®© ¤«¨â¥«ì­®á⨠¯®«ãç î⠮⠪¢ §¨­¥¯à¥à뢭ëå « §¥à®¢. Œ®¦­® áç¨â âì, çâ®
â ª®© « §¥à ¨á¯ã᪠¥â ¡¥áª®­¥ç­ãî, áâண® ¯¥à¨®¤¨ç¥áªãî ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ®¤¨­ ª®¢ëå ¨¬¯ã«ìᮢ, ¥£® ᯥªâà ¨§«ã祭¨ï ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â
ᮡ®© ­ ¡®à â®ç­® íª¢¨¤¨áâ ­â­ëå, ¯®ç⨠¬®­®å஬ â¨ç¥áª¨å ç áâ®â
!i ¯®¤ ®¡é¥© ®£¨¡ î饩. ˜¨à¨­ ®£¨¡ î饩 ᯥªâà ®¯à¥¤¥«ï¥â ¢à¥¬¥­­®© ¬ áèâ ¡ ¤«¨â¥«ì­®á⨠®â¤¥«ì­®£® ᢥà媮à®âª®£® ¨¬¯ã«ìá ¢
¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâ¨, à ááâ®ï­¨¥ ¬¥¦¤ã ᬥ¦­ë¬¨ ç áâ®â ¬¨ ᯥªâà ! ®¡à â­® ¯à®¯®à樮­ «ì­® ¯¥à¨®¤ã á«¥¤®¢ ­¨ï ¨¬¯ã«ìᮢ T = 2=!.
Ž¡ëç­® íª¢¨¤¨áâ ­â­ë¥ ç áâ®âë ᯥªâà áç¨â îâ ¬®¤ ¬¨ « §¥à­®£®
१®­ â®à , å®âï, áâண® £®¢®àï, íâ® ­¥ ¢á¥£¤ â ª. ‚¯à®ç¥¬, ¤«ï ®¯¨á ­¨ï áâàãªâãàë í«¥ªâ஬ £­¨â­®£® ¯®«ï § ¯à¥¤¥« ¬¨ १®­ â®à ¤ ­­®¥ ®¡áâ®ï⥫ìá⢮ ®á®¡®£® §­ 祭¨ï ­¥ ¨¬¥¥â. …᫨ ª ª ¨ ¢ ¯à¥¤ë¤ãé¨å à §¤¥« å áç¨â âì à á¯à®áâà ­ïîéãîáï ¢ á।¥ ¢®«­ã «¨­¥©­®{
¯®«ïਧ®¢ ­­®©, â® ­¥­ã«¥¢ ï ¯à®¥ªæ¨ï ¢¥ªâ®à ­ ¯àï¦ñ­­®á⨠¢ ¨á室­®¬ á¥ç¥­¨¨ áà¥¤ë ¡ã¤¥â ¯à¥¤áâ ¢«ïâì ᮡ®© á㯥௮§¨æ¨î ª®«¥¡ ­¨© á
§ ¤ ­­ë¬ ­ ¡®à®¬ ¤¨áªà¥â­ëå ç áâ®â
E (0; t) =
N
X
i=1
ai cos(!it):
”ãàì¥-®¡à § â ª®£® ᨣ­ « ¨¬¥¥â ¢¨¤
(!) = N
X
i=1
?
ai (!i ? !) + (!i + !) :
à¨ ¢ëç¨á«¥­¨¨ ®¡à â­®£® ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï ”ãàì¥ ¬ë ¤®«¦­ë ãç¥áâì,
çâ® ­ à ááâ®ï­¨¨ L ®â ¨á室­®© â®çª¨ ª ¦¤ ï ᯥªâà «ì­ ï ª®¬¯®­¥­â !i ¯à¨®¡à¥âñâ ¤®¯®«­¨â¥«ì­ë© ä §®¢ë© ᤢ¨£ k(!i)L. â® ¯®§¢®«ï¥â
¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢à¥¬¥­­ãî § ¢¨á¨¬®áâì ¢ë᮪®ç áâ®â­®£® ᨣ­ « ¢ ¢¨¤¥
á«¥¤ãî饣® ¢ëà ¦¥­¨ï:
E (L; t) =
N
X
i=1
ai cos(!it ? k(!i)L):
246
®¯ëâ ¥¬áï ã¯à®áâ¨âì ¤ ­­®¥ ¢ëà ¦¥­¨¥ ¢ à ¬ª å ª¢ §¨¬®­®å஬ â¨ç¥áª®£® ¯à¨¡«¨¦¥­¨ï. ®¤áâ ¢«ïï ¢¬¥áâ® k(!i) ¥ñ à §«®¦¥­¨¥ ¢ ¢¨¤¥
(5.2) ¨ ®£à ­¨ç¨¢ ïáì ãçñ⮬ ¤¨á¯¥àᨮ­­ëå ¯ à ¬¥â஢ ­¥ ¢ëè¥ ¢â®à®£® ¯®à浪 , ¯®áâந¬ ¬¥¤«¥­­® ¬¥­ïîéãîáï ®£¨¡ îéãî ¢ë᮪®ç áâ®â­®£® ᨣ­ « . –¥­âà «ì­ãî ç áâ®âã ᯥªâà ®¡®§­ 稬 ç¥à¥§ ! .
‚ᥠ¤à㣨¥ ç áâ®âë ¡ã¤ã⠮⫨ç âìáï ®â ­¥ñ ­ ¢¥«¨ç¨­ã, ªà â­ãî !,
¯®§¢®«ïï ¯à¥¤áâ ¢¨âì !i ¢ ¢¨¤¥: !i = ! +!i; £¤¥ ãç⥭®, çâ® !i = i!:
‘ â®ç­®áâìî ¤® ¬­®¦¨â¥«ï 1/2, ª®â®àë© ¯®«ãç ¥âáï ¢ १ã«ìâ ⥠ãá।­¥­¨ï ¢ë᮪®ç áâ®â­®© ª®¬¯®­¥­âë ᨣ­ « , ¢ëà ¦¥­¨¥ ¤«ï ¨­â¥­á¨¢­®á⨠®£¨¡ î饩 ­ à ááâ®ï­¨¨ L ¢ íâ¨å ®¡®§­ 祭¨ïå ¯à¨­¨¬ ¥â ¢¨¤
0
0
N
X
I (L; ) =
i=1
ai cos !i ? k L2!i
00
2
0
!2
+
N
X
i=1
!2
ai sin !i ? k L2!i ;
00
2
0
£¤¥ = t ? tL { ¢à¥¬ï, ¨§¬¥à塞®¥ ¢ á¨á⥬¥ ®âáçñâ , ¤¢¨¦ã饩áï á®
᪮à®áâìî vg .
€­ «¨§¨àãï ¯à¨¢¥¤¥­­ãî ä®à¬ã«ã, ­¥âà㤭® § ¬¥â¨âì, çâ® ¤®¯®«­¨â¥«ì­ë© ä §®¢ë© ᤢ¨£ i ¤«ï i{®© ᯥªâà «ì­®© ª®¬¯®­¥­âë ¯à®¯®à樮­ «¥­ ¢¥«¨ç¨­¥ = k L! ; ª®â®àãî ¬ë ¢¢®¤¨¬ ¯® ­ «®£¨¨ á (5.9),
å®âï ¢ ¤ ­­®¬ á«ãç ¥ ¢à¥¬¥­­®© ¬ áèâ ¡ ®ª §ë¢ ¥âáï ¯à¨¢ï§ ­­ë¬ ­¥ ª
¤«¨â¥«ì­®á⨠¨¬¯ã«ìá , ª ¯¥à¨®¤ã ¨å á«¥¤®¢ ­¨ï. ®¤®¡­ ï ¬®¤¨ä¨ª æ¨ï ¡¥§à §¬¥à­®£® ¯ à ¬¥âà ¯à¨¢®¤¨â ª ⮬ã, çâ® ¤«ï ¬­®£®¬®¤®¢ëå « §¥à®¢ áãé¥á⢥­­ë¥ ¨áª ¦¥­¨ï ¯à®ä¨«ï ®£¨¡ î饩 ¡ã¤ãâ ­ ¡«î¤ âìáï
¤ ¦¥ ¯à¨ 1.
‘ ¤à㣮© áâ®à®­ë, ¯®«®¦¨¢ = 2, ¯®«ãç ¥¬ i = 2i . â®
®§­ ç ¥â, çâ® ¢à¥¬¥­­ ï ª à⨭ ¨§«ã祭¨ï ¢ â®ç­®á⨠¢®á¯à®¨§¢®¤¨â
¨á室­ãî ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ¨¬¯ã«ìᮢ.  ááâ®ï­¨¥ L, ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 ¢ë¯®«­¥­¨î ¤ ­­®£® ãá«®¢¨ï, ­ 室¨âáï ¨§ ᮮ⭮襭¨ï L =
4=(k ! ): Ž¤­ ª® ¢ í⮬ ᮮ⭮襭¨¨ ¢¥«¨ç¨­ L ¢áñ ¦¥ ­¥ ï¥âáï
¬¨­¨¬ «ì­®© ¤«¨­®©, ­ ª®â®à®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ¨¬¯ã«ìᮢ ¢®ááâ ­ ¢«¨¢ ¥â ᢮î ä®à¬ã. …᫨ L 㬥­ìè¨âì ¢ ¤¢ à § , â® ¥áâì ¯®«®¦¨âì
= , â® i ®ª ¦¥âáï ªà â­ë¬ 2 ⮫쪮 ¤«ï ¬®¤ á çñâ­ë¬¨ ­®¬¥à ¬¨.
„«ï ¡¥áª®­¥ç­®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠¨¬¯ã«ìᮢ ª®¬¯¥­á¨àãî騩 ä §®¢ë© ᤢ¨£ ¤«ï ­¥çñâ­ëå ¬®¤ ¬®¦­® ¯®«ãç¨âì, ᬥá⨢ ­ ç «® ®âáç¥â ¢à¥¬¥­¨ ­ ¯®«®¢¨­ã ¯¥à¨®¤ á«¥¤®¢ ­¨ï ¨¬¯ã«ìᮢ. ’ ª ª ª ¤®¡ ¢ª ª i ¢ १ã«ìâ ⥠⠪®© ®¯¥à 樨 à ¢­ i, â® ãá«®¢¨¥ ªà â­®á⨠¤®¯®«­¨â¥«ì­®£® ᤢ¨£ ä §ë ¢¥«¨ç¨­¥ 2 ¡ã¤¥â ¢ë¯®«­ï¥âáï ¤«ï ¢á¥å ¡¥§
¨áª«î祭¨ï ᯥªâà «ì­ëå ª®¬¯®­¥­â. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ãá«®¢¨¥¬ ¢®á¯à®¨§¢¥¤¥­¨ï ¢ ­¥ª®â®à®¬ á¥ç¥­¨¨ áà¥¤ë ¨á室­®£® ¯¥à¨®¤¨ç¥áª®£® ᨣ­ « 1
2
00
0
2
2
00
0
2
247
ï¥âáï ¢ë¯®«­¥­¨¥ à ¢¥­á⢠k L! = ; ¨§ ª®â®à®£® ­ 室¨âáï
¤«¨­ ¤¨á¯¥àᨮ­­®© á।ë: L = T =(2k ): Žâ«¨ç¨â¥«ì­®© ®á®¡¥­­®áâìî ¤ ­­®£® ¢ëà ¦¥­¨ï ï¥âáï â®, çâ® ¯¥à¨®¤ ¢®á¯à®¨§¢¥¤¥­¨ï ¢à¥¬¥­­®© áâàãªâãàë ᮢ¥à襭­® ­¥ § ¢¨á¨â ®â ¤«¨â¥«ì­®á⨠¨¬¯ã«ìᮢ ¢
¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâ¨.
‘¤¥« ¥¬ ®æ¥­ª¨ ¢¥«¨ç¨­ë L ¤«ï ­¥ª®â®àëå ⨯¨ç­ëå á¨âã 権, ¢ë¡à ¢ ¢ ª ç¥á⢥ ¤¨á¯¥à£¨àãî饩 áà¥¤ë ¯« ¢«¥­ë© ª¢ àæ. ˆ§ ᯥªâà «ì­®© § ¢¨á¨¬®á⨠¤¨á¯¥àᨮ­­®£® ¯ à ¬¥âà k (), ¯®ª § ­­®© ­ à¨á.5.7,
­ 室¨¬, çâ® ­ ¤«¨­¥ ¢®«­ë 0.6¬ª¬ k = 5:6 10? á =¬. „«ï « §¥à ,
à ¡®â î饣® ­ â ª®© ¤«¨­¥ ¢®«­ë á ¬¥¦¬®¤®¢ë¬ à ááâ®ï­¨¥¬ 200Œƒæ,
L 7 10 ª¬. Ÿá­®, çâ® ¤ ¦¥ ¢ «ãçè¨å ¢®«®ª®­­ëå ᢥ⮢®¤ å ­ ¤«¨­ å ¢ ¤¥áï⪨ âëáïç ª¨«®¬¥â஢ ­ ¡«î¤ âì íä䥪⠢®ááâ ­®¢«¥­¨ï ¢à¥¬¥­­®£® ¯à®ä¨«ï ¢ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠¨¬¯ã«ìᮢ ­¥¢®§¬®¦­® å®âï ¡ë
¨§-§ ¯®â¥à¨ í­¥à£¨¨ ­ ¯®£«®é¥­¨¥. Ž¤­ ª® á¨âã æ¨ï ¬¥­ï¥âáï, ¥á«¨ ¨áâ®ç­¨ª®¬ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠ï¥âáï ¯®«ã¯à®¢®¤­¨ª®¢ë© « §¥à. „«ï
¬¥¦¬®¤®¢®£® ¨­â¥à¢ « ¯®à浪 100ƒƒæ (¤«¨­ १®­ â®à « §¥à ¯à¨¬¥à­® 1.5¬¬) ­ ¤«¨­¥ ¢®«­ë = 0:85¬ª¬ ¯®«ãç ¥¬ k = 3:2 10? á =¬,
çâ® ¯à¨¢®¤¨â ª á«¥¤ãî饬㠧­ 祭¨î ¤«ï ¯¥à¨®¤ : L 500¬. à¨ â ª¨å ãá«®¢¨ïå ­ ¡«î¤¥­¨¥ íä䥪⠢®ááâ ­®¢«¥­¨ï ­¥ ¤®«¦­® ¢ë§ë¢ âì
¯à¨­æ¨¯¨ «ì­ëå âà㤭®á⥩.
 ­ ç «ì­®© áâ ¤¨¨, ª®£¤ ¤«¨­ áà¥¤ë ®ª §ë¢ ¥âáï §­ ç¨â¥«ì­®
¬¥­ìè¥ L, ãè¨à¥­¨¥ ª ¦¤®£® ®â¤¥«ì­®£® ¨¬¯ã«ìá ¢ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠¢ §­ ç¨â¥«ì­®© ¬¥à¥ ­ «®£¨ç­® ⮬ã, çâ® ¨¬¥«® ¬¥áâ® ¢ à áᬮâ७­ëå à ­¥¥ ¬®¤¥«ïå ®¤¨­®ç­ëå ¨¬¯ã«ìᮢ. …᫨ ¦¥ ¯à®âï¦ñ­­®áâì
á।ë áâ ­®¢¨âáï ᮨ§¬¥à¨¬®© á L, â® ¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â ᪢ ¦­®á⨠¨¬¯ã«ìᮢ ¢ ¨á室­®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠¢¬¥áâ® ®¤¨­®ç­®£® ¨¬¯ã«ìá ­ ¯¥à¨®¤¥ á«¥¤®¢ ­¨ï ¬®¦¥â ¯®ï¢¨âìáï ¤¢ ¨«¨ ¤ ¦¥ ­¥áª®«ìª® ¢á¯«¥áª®¢
¨§«ã祭¨ï. ‘âàãªâãà ¢à¥¬¥­­®£® ¯à®ä¨«ï ¨­â¥­á¨¢­®á⨠­ ¯¥à¨®¤¥
á«¥¤®¢ ­¨ï â¥á­® á¢ï§ ­ á ¢¥«¨ç¨­®© ¯ à ¬¥âà . ‚ â¥å á«ãç ïå, ª®£¤ íâ®â ¯ à ¬¥âà ¬®¦¥â ¡ëâì ¯à¥¤áâ ¢«¥­ ¢ ¢¨¤¥ = pq , £¤¥ p=q |
à 樮­ «ì­®¥ ç¨á«® á ­¥¡®«ì訬 §­ ¬¥­ ⥫¥¬, ­ ¡«î¤ îâáï ॣã«ïà­ë¥ ¯ã«ìá 樨. Š®«¨ç¥á⢮ ¬ ªá¨¬ã¬®¢ ­ ¯¥à¨®¤¥ ¬®¦¥â ¤®á⨣ âì q.
à®¨§¢®«ì­® ¢ë¡à ­­®¬ã §­ 祭¨î ¡ã¤¥â, ᪮॥ ¢á¥£®, ᮮ⢥âá⢮¢ âì â ª ï ®£¨¡ îé ï, ª®â®à ï å à ªâ¥à­ ¤«ï è㬮¢®£® ¨§«ã祭¨ï.
 á«¥¤ãî饬 à¨áã­ª¥ ¨§®¡à ¦¥­ë १ã«ìâ âë ¬®¤¥«¨à®¢ ­¨ï ¯à®æ¥áá ãè¨à¥­¨ï ¨ à ᯠ¤ ®¤­®£® ¨§ ¨¬¯ã«ìᮢ ¢ ¡¥áª®­¥ç­®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâ¨. ‚ ª ç¥á⢥ ¨áâ®ç­¨ª ¨§«ã祭¨ï ¡ë« ¢§ïâ ª¢ §¨­¥¯à¥à뢭ë©
« §¥à, ᯥªâà ¨§«ã祭¨ï ª®â®à®£® ᮤ¥à¦ « 7 ¬®¤ á ¨­â¥­á¨¢­®áâﬨ, ¯®ª § ­­ë¬¨ ­ à¨á.6.1 . ® ¬¥à¥ 㢥«¨ç¥­¨ï ¤«¨­ë áà¥¤ë ¯¨ª®¢ ï ¬®é1
2
00
0
2
00
2
0
00
00
0
0
26 2
4
00
0
248
26 2
­®áâì ¯¥à¢¨ç­®£® ¨¬¯ã«ìá ¯®á⥯¥­­® 㬥­ìè ¥âáï, ­® ­¥ § áç¥â ªâ¨¢­ëå ¯®â¥àì, ª®â®à묨 ¬ë ¢ à áç¥â å ¯à¥­¥¡à¥£ ¥¬, ¢á«¥¤á⢨¥ ¥£®
¤¨á¯¥àᨮ­­®£® à á¯«ë¢ ­¨ï (⮫áâ ï ᯫ®è­ ï «¨­¨ï ­ à¨á.6.1¡ ).  à¨áã­ª¥ å®à®è® ¢¨¤­®, ç⮠㦥 ¯à¨ L 0:01L (èâà¨å®¢ ï «¨­¨ï ­ à¨á.6.1¡ ) ­ ªàë«ìïå ª ¦¤®£® ¨¬¯ã«ìá ¨á室­®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâ¨
¢®§­¨ª îâ ¤¢ ¢â®à¨ç­ëå ¬ ªá¨¬ã¬ , ª®â®àë¥ ¯à¨ ¤ «ì­¥©è¥¬ 㢥«¨ç¥­¨¨ ¯à®â殮­­®á⨠á।ë áâ ­®¢ïâáï ¤®¬¨­¨àãî騬¨. ‡ ⥬ ¨ íâ¨
¢â®à¨ç­ë¥ ¨¬¯ã«ìáë ¢ á¢®î ®ç¥à¥¤ì á­®¢ à ᯠ¤ îâáï.
1 Ι(ω)
1
Ι(µ,τ)
0.8
0.6
0.5
0.4
0.2
−3
−2
−1
0
1
2
ω
−0.5
3
0
0.5 τ
¡
T
¨á.6.1.  ᯠ¤ ®¤¨­®ç­®£® ¨¬¯ã«ìá ¢ ¡¥áª®­¥ç­®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâ¨: ) ¨­â¥­á¨¢­®á⨠ᯥªâà «ì­ëå ª®¬¯®­¥­â, ¡) ¢à¥¬¥­­®© ¯à®ä¨«ì ¨§«ã祭¨ï ¯à¨ §­ 祭¨ïå ¯ à ¬¥âà =2 = 0; 0:02; 0:04; 0:06.
’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯à¨ ¤®áâ â®ç­® ¡®«ì讬 ª®«¨ç¥á⢥ ¬®¤ ¢ ᯥªâॠ¨§«ã祭¨ï à á¯à®áâà ­¥­¨¥ ¡¥áª®­¥ç­®© ¯¥à¨®¤¨ç¥áª®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠¨¬¯ã«ìᮢ ¢ á।¥ á ¤¨á¯¥àᨥ© ᮯ஢®¦¤ ¥âáï ᨫì­ë¬¨ ¨áª ¦¥­¨ï¬¨ ®â¤¥«ì­ëå ¨¬¯ã«ìᮢ ¤ ¦¥ ¯à¨ â ª¨å §­ 祭¨ïå ¯ à ¬¥âà , ª®â®àë¥ §­ ç¨â¥«ì­® ¬¥­ìè¥ ¯¥à¨®¤ á ¬®¢®ááâ ­®¢«¥­¨ï, ®¯à¥¤¥«ï¥¬®£® ¨§
ãá«®¢¨ï = . ’¥¬ ­¥ ¬¥­¥¥, ¯®«­®£® à §¬ëâ¨ï ¨¬¯ã«ìᮢ, ª ª íâ® ¨¬¥¥â
¬¥áâ® ¢ ¬®¤¥«ïå ®¤¨­®ç­ëå ¨¬¯ã«ìᮢ, ¢ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠­¥ ¯à®¨á室¨â, â® ¥áâì ¯à®æ¥áá í¢®«î樨 ­¥ ï¥âáï ­¥®¡à ⨬ë¬. ‚ â® ¦¥ ¢à¥¬ï,
¤ ¦¥ ¥á«¨ ¢ ¨á室­®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠¯à¨áãâáâ¢ã¥â ¥¤¨­á⢥­­ë©
¨¬¯ã«ìá ­ ¯¥à¨®¤¥ á«¥¤®¢ ­¨ï, â® ¢ ¯à®æ¥áᥠ¥£® à á¯à®áâà ­¥­¨ï ª ª
¯à ¢¨«® ¢®§­¨ª îâ íä䥪âë, á¢ï§ ­­ë¥ á 㬭®¦¥­¨¥¬ ¨å ç¨á« ­ ¯¥à¨®¤¥ á«¥¤®¢ ­¨ï.
 ¤«¨­ å, ªà â­ëå T =(2k ), £¤¥ T { ¯¥à¨®¤ á«¥¤®¢ ­¨ï ¨¬¯ã«ìᮢ
¯à®¨á室¨â ¯¥à¨®¤¨ç¥áª®¥ á ¬®¢®ááâ ­®¢«¥­¨¥ ¢á¥© ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâ¨.
â® ®âªàë¢ ¥â â ª¨¥ ¢®§¬®¦­®á⨠¯¥à¥¤ ç¨ ã«ìâà ª®à®âª¨å ¨¬¯ã«ìᮢ
ç¥à¥§ ®¤­®¬®¤®¢ë¥ ¢®«®ª®­­ë¥ ᢥ⮢®¤ë ­ ¡®«ì訥 à ááâ®ï­¨ï, ¯à¨
ª®â®àëå ®¤¨­®ç­ë¥ ã«ìâà ª®à®âª¨¥ ¨¬¯ã«ìáë ⮩ ¦¥ ¤«¨â¥«ì­®á⨠¯®«­®áâìî à á¯«ë¢ îâáï.
2
00
0
249
6.2.
„¢ ¯¥à¥ªàë¢ îé¨åáï £ ãáᮢëå ¨¬¯ã«ìá ¢
¤¨á¯¥à£¨àãî饩 á।¥
à¨ à á¯à®áâà ­¥­¨¨ ­¥áª®«ìª¨å ª®£¥à¥­â­ëå « §¥à­ëå ¨¬¯ã«ìᮢ ¢
á।¥ á ¤¨á¯¥àᨥ©, 㦥 ¢ «¨­¥©­®¬ á«ãç ¥ ¨¬¥¥â ¬¥áâ® àï¤ ­¥âਢ¨ «ì­ëå ®á®¡¥­­®á⥩ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï íâ¨å ¨¬¯ã«ìᮢ. â¨ íä䥪âë ¢®§­¨ª îâ ¢ á«ãç ¥ ¯¥à¥ªàëâ¨ï ¨¬¯ã«ìᮢ ¢® ¢à¥¬¥­¨ ¨ ¢ ¯à®áâà ­á⢥ ¢á«¥¤á⢨¥ ¨å ¤¨á¯¥àᨮ­­®£® ãè¨à¥­¨ï. Š à⨭ ¯®¤®¡­ëå ¥­¨© ¢® ¬­®£¨å ᯥªâ å ­ «®£¨ç­ ¥­¨ï¬ ¨­â¥àä¥à¥­æ¨¨, ¢®§­¨ª î騬 ¯à¨
¯à®áâà ­á⢥­­®¬ ¯¥à¥ªàë⨨ ᢥ⮢ëå ¯ã窮¢ ¢ ª« áá¨ç¥áª®© ®¯â¨ª¥.
‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¨§«®¦¥­¨¥ ª« áá¨ç¥áª®© ¯à®áâà ­á⢥­­®© ¨­â¥àä¥à¥­æ¨¨ ®¡ï§ ⥫쭮 ¤®«¦­® ¡ëâì ¤®¯®«­¥­® ¢à¥¬¥­­®© ¨­â¥àä¥à¥­æ¨¥©.
 ¡«î¤¥­¨¥ à §«¨ç­ëå ¯à®ï¢«¥­¨© ¢à¥¬¥­­®© ¨­â¥àä¥à¥­æ¨¨ áâ «®
¯à¨­æ¨¯¨ «ì­® ¢®§¬®¦­ë¬ ¢ १ã«ìâ ⥠ᮢ¥à襭á⢮¢ ­¨ï « §¥à­ëå
¨áâ®ç­¨ª®¢ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⥩ ª®£¥à¥­â­ëå ¨¬¯ã«ìᮢ ¨ ¬¥â®¤®¢ ¨å
ॣ¨áâà 樨, â ª¦¥ ¢®«®ª®­­ëå ᢥ⮢®¤®¢, ¢ ª®â®àëå á¢¥â®¢ë¥ ¨¬¯ã«ìáë à á¯à®áâà ­ïîâáï ¡¥§ áãé¥á⢥­­ëå ¯®â¥àì ­ ­¥áª®«ìª® ª¨«®¬¥â஢. „«ï ¨¬¯ã«ìᮢ 䥬â®á¥ªã­¤­®£® ¤¨ ¯ §®­ ¨­â¥àä¥à¥­æ¨ï ¬®¦¥â ¢®§­¨ª âì ¯à¨ ¤«¨­ å á।ë 㦥 ¢ ­¥áª®«ìª® ¬¨««¨¬¥â஢.
 áᬮâਬ ¢­ ç «¥ ­ ¨¡®«¥¥ ¯à®á⮩ á«ãç © ª®£¤ ¨­â¥àä¥à¨àãîâ
¤¢ ®¤¨­ ª®¢ëå £ ãáᮢëå ¨¬¯ã«ìá , ᬥ饭­ë¥ ¢® ¢à¥¬¥­¨ ¤à㣠®â­®á¨â¥«ì­® ¤à㣠­ ¢¥«¨ç¨­ã . à®é¥ ¢á¥£® ¯ àã â ª¨å ¨¬¯ã«ìᮢ
á ॣ㫨à㥬®© § ¤¥à¦ª®© ¬¥¦¤ã ­¨¬¨ ¬®¦­® ¯®«ãç¨âì ­ ¢ë室¥ ¨­â¥àä¥à®¬¥âà Œ ©ª¥«ìá®­ , ­ ¯à ¢«ïï ­ ­¥£® ¯«®áªãî ᢥ⮢ãî ¢®«­ã,
ᮤ¥à¦ éãî ®¤¨­®ç­ë© ã«ìâà ª®à®âª¨© ¨¬¯ã«ìá. ‚¥«¨ç¨­ã § ¤¥à¦ª¨
¬®¦­® ¨§¬¥­ïâì § áç¥â ¯¥à¥¬¥é¥­¨ï §¥àª « ¨­â¥àä¥à®¬¥âà .
„«ï à áᬠâਢ ¥¬®© ¬®¤¥«¨ ­ ç «® ®âáçñ⠢६¥­¨ 㤮¡­® ¢ë¡à âì
â ª¨¬ ®¡à §®¬, çâ®¡ë ¬ ªá¨¬ã¬ë ¨á室­ëå ¨¬¯ã«ìᮢ ®ª § «¨áì ᨬ¬¥âà¨ç­ë¬¨ ®â­®á¨â¥«ì­® ­ã«ï ¨ ­ 室¨«¨áì ¢ â®çª å =2. ’®£¤ á
â®ç­®áâìî ¤® ­¥§ ¢¨áï饣® ®â ¢à¥¬¥­¨ ¬­®¦¨â¥«ï ¬¯«¨â㤠®£¨¡ î饩 á㬬 à­®£® ᨣ­ « ¢ ¨á室­®¬ á¥ç¥­¨¨ ¤¨á¯¥àᨮ­­®© áà¥¤ë ¬®¦¥â
¡ëâì ¯à¥¤áâ ¢«¥­ ¢ ¢¨¤¥
? t t f (0; t) = A exp ? t ch t :
‡¤¥áì A { à §¬¥à­ë© ­®à¬¨à®¢®ç­ë© ¬­®¦¨â¥«ì, ¨¬¥î騩 á¬ëá« ¬¯«¨âã¤ë ª®«¥¡ ­¨©, ¯ à ¬¥âà t á¢ï§ ­ á ¤«¨â¥«ì­®áâìî ª ¦¤®£® ®â¤¥«ì­®£® ¨¬¯ã«ìá p , ¨§¬¥à¥­­®© ¯® ã஢­î ¯®«®¢¨­ë ¬ ªá¨¬ «ì­®©
¬®é­®áâ¨, ᮮ⭮襭¨¥¬ (5.6).
2
0
0
0
250
2
0
ˆ§¬¥à塞®© ¢¥«¨ç¨­®© ¢ ­ 襩 § ¤ ç¥ ï¢«ï¥âáï ­¥ ¢¥«¨ç¨­ ª®¬¯«¥ªá­®© ®£¨¡ î饩 ­ ¯àï¦ñ­­®á⨠¯®«ï f (0; t), ¨­â¥­á¨¢­®áâì ¨§«ã祭¨ï
I (0; t) = f (0; t) f (0; t), (å®âï, ª ª ¨§¢¥áâ­®, ¤«ï ã«ìâà ª®à®âª¨å ®¯â¨ç¥áª¨å ¨¬¯ã«ìᮢ ¨ ¨­â¥­á¨¢­®áâì ­¥ ¬®¦¥â ¡ëâì ¨§¬¥à¥­ ­¥¯®á।á⢥­­®). à¨ ®âáãâá⢨¨ ç¨à¯ ®£¨¡ îé ï f (0; t) ᮢ¯ ¤ ¥â á f (0; t),
¯®í⮬ã, ¢®§¢®¤ï ¢ ª¢ ¤à ⠯।ë¤ã饥 ¢ëà ¦¥­¨¥, ­ 室¨¬
?t t I (0; t) = A exp ?2 t ch t :
(6.1)
„«ï ¯®«ã祭¨ï ä®à¬ë ®£¨¡ î饩 १ã«ìâ¨àãî饣® ᨣ­ « ¢®á¯®«ì§ã¥¬áï ¯à¨­æ¨¯®¬ á㯥௮§¨æ¨¨ ¨ ᮮ⭮襭¨¥¬ (5.5) ¤«ï ª®¬¯«¥ªá­®©
¬¯«¨âã¤ë ®¤¨­®ç­®£® £ ãáᮢ ¨¬¯ã«ìá ¢ ¯à®¨§¢®«ì­®¬ á¥ç¥­¨¨ á।ë.
®á«¥ ¯¥à¥å®¤ ®â ª®¬¯«¥ªá­ëå ¬¯«¨â㤠ª ¨­â¥­á¨¢­®áâ¨, ¢ëà ¦¥­¨¥
¤«ï I (L; t) ¯à¨¬¥â ¢¨¤
2
2
2
0
0
2
2!
I (L; t) = p A
exp (1 +24 )t exp ? (1 +24 ) t
1 + 4
2
2 2
2
0
2
2
2
0
ch (1 +4 )t ? sin (1 +2
(6.2)
4 )t :
‚ ¯à¨¢¥¤¥­­®© ä®à¬ã«¥ ä®à¬ ®£¨¡ î饩 ¨¬¯ã«ìá ®¯¨áë¢ ¥âáï ¢ á¨á⥬¥ ®âáç¥â , ¤¢¨¦ã饩áï á ú£à㯯®¢®©û ᪮à®áâìî vg , ¢à¥¬ï ¢¢®¤¨âáï ­ «®£¨ç­® ⮬ã, ª ª íâ® ¡ë«® ᤥ« ­® ¢ ­ ç «¥ £« ¢ë V: =
t ? k L: ¥âà㤭® ã¡¥¤¨âìáï, çâ® ­ «î¡ëå à ááâ®ï­¨ïå ®â ¨á室­®©
â®çª¨ ­ ç «® ®âáç¥â úᬥéñ­­®£®û ¢à¥¬¥­¨ ï¥âáï â®çª®© íªáâ६㬠®£¨¡ î饩 ¨¬¯ã«ìá . ¨¦¥ ¬ë ¢ëïá­¨¬ ¯à¨ ª ª¨å ãá«®¢¨ïå íâ®â
íªáâ६㬠ï¥âáï ¬ ªá¨¬ã¬®¬, ¯à¨çñ¬ £«®¡ «ì­ë¬, ¯à¨ ª ª¨å ¬¨­¨¬ã¬®¬. ¥§à §¬¥à­ë© ¯ à ¬¥âà , ¢¢¥¤ñ­­ë© ­ ®á­®¢ ­¨¨ ᮮ⭮襭¨ï
(5.9), ï¥âáï ¬¥à®© ¤¨á¯¥àᨮ­­ëå ¨áª ¦¥­¨© ä®à¬ë ¨¬¯ã«ìá .
‚ëà ¦¥­¨¥ ¤«ï १ã«ìâ¨àãî饣® ᨣ­ « (6.2) ï¥âáï â®ç­ë¬ à¥è¥­¨¥¬ § ¤ ç¨ à á¯à®áâà ­¥­¨ï ¤¢ãå ª®£¥à¥­â­ëå ¨¬¯ã«ìᮢ ¢ à ¬ª å
¢â®à®£® ¯à¨¡«¨¦¥­¨ï. Ž­® ᮤ¥à¦¨â ¤¢¥ ®â«¨ç¨â¥«ì­ë¥ ®á®¡¥­­®áâ¨,
ª®â®àë¥ ®âáãâá⢮¢ «¨ ¢ à áᬮâ७­ëå à ­¥¥ ¨â®£®¢ëå ä®à¬ã« å ¤«ï
®£¨¡ îé¨å ¨­â¥­á¨¢­®á⨠¢ ¬®¤¥«ïå ®¤¨­®ç­ëå ¨¬¯ã«ìᮢ. ‚®-¯¥à¢ëå,
íâ® ¯®ï¢«¥­¨¥ ­¥§ ¢¨áï饣® ®â ¢à¥¬¥­¨ ¬­®¦¨â¥«ï
2
exp (1 + 4 )t ;
2
2
2
2
0
2
0
0
2 2
2
251
2
0
2
0
ª®â®àë© ¢á¥£¤ ¡®«ìè¥ ¥¤¨­¨æë. …£® ­ «¨ç¨¥ ®§­ ç ¥â, çâ® ¨­â¥­á¨¢­®áâì ¨§«ã祭¨ï ¢ë室­®£® ᨣ­ « ¬®¦¥â ¡ëâì ¡®«ìè¥, 祬 ã ¨á室­®£®, â® ¥áâì ¨­â¥àä¥à¥­æ¨ï ¨¬¯ã«ìᮢ ¬®¦¥â ¢ ®¯à¥¤¥«¥­­®© á⥯¥­¨
ª®¬¯¥­á¨à®¢ âì ¢«¨ï­¨¥ ¤¨á¯¥àᨮ­­®£® ãè¨à¥­¨ï ¤ ¦¥ ¢ ú¯ ⮫®£¨ç¥áª®©û ¬®¤¥«¨ £ ãáᮢ ¨¬¯ã«ìá . ®áª®«ìªã ¢ à ¬ª å ¯à¨­ï⮣® ¯®¤å®¤ ¯®«­ ï í­¥à£¨ï ᨣ­ « ¢ á।¥ ­¥ ¨§¬¥­ï¥âáï, ⮠㢥«¨ç¥­¨¥ ¥£® ¯¨ª®¢®©
¨­â¥­á¨¢­®á⨠®§­ ç ¥â â ª¦¥ ᦠ⨥ ᨣ­ « ¢® ¢à¥¬¥­¨.
‚®-¢â®àëå, ¢¬¥áâ® ¯à®á⮣® ᮬ­®¦¨â¥«ï ¢¨¤ ch ; ª ª ¢ (6.1), ¢ ¢ëà ¦¥­¨¨ (6.2) ¯®ï¢«ï¥âáï ¡®«¥¥ á«®¦­ ï, ª¢ §¨¯¥à¨®¤¨ç¥áª ï § ¢¨á¨¬®áâì,
®¡ãá«®¢«¥­­ ï ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥¬ ¯¥à¥ªàë¢ îé¨åáï ¨¬¯ã«ìᮢ. ˆ¬¥­­®
¡« £®¤ àï ­ «¨ç¨î í⮣® ¬­®¦¨â¥«ï 㤠ñâáï ­ ¨¡®«¥¥ ïમ ¯à®¤¥¬®­áâà¨à®¢ âì ¯à®áâà ­á⢥­­®-¢à¥¬¥­­ë ¥ ­ «®£¨¨.
‚®§¬®¦­ë¥ ¯à®ï¢«¥­¨ï ¨­â¥àä¥à¥­æ¨®­­ëå íä䥪⮢ ¤®¯ã᪠îâ ¯à®áâãî ª« áá¨ä¨ª æ¨î.  ¯à¨¬¥à, á«ãç © á« ¡® à §­¥á¥­­ëå ¢® ¢à¥¬¥­¨
¨á室­ëå ¨¬¯ã«ìᮢ ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ãá«®¢¨î: t : à¨ ¢ë¯®«­¥­¨¨
í⮣® ãá«®¢¨ï ú£ ãáᮯ®¤®¡­ë©û १ã«ìâ¨àãî騩 ¨¬¯ã«ìá ­ 稭 ¥â áà §ã ¦¥ à á¯«ë¢ âìáï ¢ ¤¨á¯¥à£¨àãî饩 á।¥ ¯® á業 à¨ï¬, ¯®¤à®¡­®
¯à® ­ «¨§¨à®¢ ­­ë¬ ¢ à §¤¥«¥ 5.2.
„¥©á⢨⥫쭮, ¥á«¨ ®â­®á¨â¥«ì­ ï § ¤¥à¦ª ¬¥¦¤ã ¨¬¯ã«ìá ¬¨ ¬ « ¯® áà ¢­¥­¨î á ¨å ¤«¨â¥«ì­®áâìî, â® ¨§ ᨬ¬¥âਨ § ¤ ç¨ á«¥¤ã¥â,
çâ® ­ ç «® ®âáçñ⠢६¥­¨ ï¥âáï ¥¤¨­á⢥­­®© â®çª®© ¬ ªá¨¬ã¬ १ã«ìâ¨àãî饩 ®£¨¡ î饩. ‚ â ª®© á¨âã 樨 ¤«ï ¢ëïá­¥­¨ï ®á­®¢­ëå § ª®­®¬¥à­®á⥩ ¯®¢¥¤¥­¨ï ®£¨¡ î饩 ¢¯®«­¥ ¤®áâ â®ç­® ¯à®á«¥¤¨âì ª ª ¨§¬¥­ï¥âáï ¯¨ª®¢ ï ¬®é­®áâì १ã«ìâ¨àãî饣® ¨¬¯ã«ìá ¯à¨
¨§¬¥­¥­¨¨ ¯ à ¬¥â஢ ¬®¤¥«¨. ˆ§ ¢ëà ¦¥­¨ï (6.2), ¯®«®¦¨¢ = 0, ­ 室¨¬ ¬ ªá¨¬ «ì­®¥ §­ 祭¨¥ ¨­â¥­á¨¢­®áâ¨
2 A
I (; 0) = p
exp (1 + 4 )t :
1 + 4
 §« £ ï I (; 0) ¢ àï¤ ¯® ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠â®çª¨ = 0, ¯®«ãç ¥¬ á â®ç­®áâìî ¤® ç«¥­®¢ ¢â®à®£® ¯®à浪 ¯® I (; 0) A [1 + 2((=t ) ? 1) ]:
€­ «¨§¨àãï §­ ª ª¢ ¤à â¨ç­®£® ¯® á« £ ¥¬®£®, § ¬¥ç ¥¬, çâ® ¯à¨ ¢ë¯®«­¥­¨¨ ãá«®¢¨ï =t < 1 íâ®â §­ ª ®âà¨æ ⥫¥­, â® ¥áâì áà §ã ¦¥ ¯®á«¥
¯®¯ ¤ ­¨ï ¢ á।㠨¬¯ã«ìá ­ 稭 ¥â à á¯«ë¢ âìáï, çâ® ¨ ï¥âáï ª®«¨ç¥á⢥­­ë¬ ®¡®á­®¢ ­¨¥¬ áä®à¬ã«¨à®¢ ­­®£® ¢ëè¥ ªà¨â¥à¨ï.
Ž¤­ ª® ¢ ¯à®¬¥¦ãâ®ç­®© ®¡« áâ¨
p ¨§¬¥­¥­¨ï ¯ à ¬¥âà =t , ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 ¤¨ ¯ §®­ã 1 < =t 2 ¢®§­¨ª ¥â íä䥪â ᦠâ¨ï ®£¨¡ î2
0
2
2 2
2
2
0
2
2
0
2
2
0
0
0
252
饩 ­ ­ ç «ì­®© áâ ¤¨¨ à á¯à®áâà ­¥­¨ï ᨣ­ « , ¡®«¥¥ å à ªâ¥à­ë©
¤«ï â¥å ¨¬¯ã«ìᮢ, ª®â®àë¥ ¨¬¥îâ ç¨à¯. à¨¬¥ç ⥫쭮, çâ® ¯à¨ ¢ë¯®«­¥­¨¨ 㪠§ ­­®£® ¢ëè¥ ãá«®¢¨ï ®¡ ¨¬¯ã«ìá ­ 室ïâáï ¯®¤ ®¡é¥©
®£¨¡ î饩 ª®«®ª®«®®¡à §­®© ä®à¬ë ¢­¥è­¥ ­¨ç¥¬ ­¥ ¯à®ï¢«ïï á¥¡ï ª ª
¤¢¥ ­¥§ ¢¨á¨¬ë¥ ª®¬¯®­¥­âë ¢®«­®¢®£® ¯ ª¥â . ¥à¥ª çª í­¥à£¨¨ ¢
業âà «ì­ãî ç áâì ¯ ª¥â ¨§{§ ¨­â¥àä¥à¥­æ¨¨ ¨¬¯ã«ìᮢ ª ª à § ¨
¯®à®¦¤ ¥â íä䥪â ᦠâ¨ï १ã«ìâ¨àãî饩 ®£¨¡ î饩. ‚ ¯®«­®© ­ «®£¨¨ á ¨¬¯ã«ìá ¬¨, ®¡« ¤ î騬¨ «¨­¥©­ë¬ ç¨à¯®¬, áãé¥áâ¢ã¥â ­¥ª®â®à ï ®¯â¨¬ «ì­ ï ¤«¨­ á।ë, ­ ª®â®à®© ¯à®¨á室¨â ¬ ªá¨¬ «ì­®¥
᮪à 饭¨¥ ¤«¨â¥«ì­®á⨠ᨣ­ « . ®á«¥ ¯à®å®¦¤¥­¨ï í⮣® à ááâ®ï­¨ï
¯à®æ¥ááë ¤¨á¯¥àᨮ­­®£® ãè¨à¥­¨ï áâ ­®¢ïâáï ­¥®¡à ⨬묨.
„«ï ¯®«ã祭¨ï ª®«¨ç¥á⢥­­ëå ®æ¥­®ª ­ ¯à®âï¦ñ­­®áâì áâ ¤¨¨ ᦠâ¨ï ¢ëç¨á«¨¬ ¯à®¨§¢®¤­ãî ®â ¯¨ª®¢®© ¬®é­®á⨠I (; 0). ®á«¥ ã¯à®é¥­¨ï ¯®«ã稢è¨åáï ¢ëà ¦¥­¨© ¯à¨å®¤¨¬ ª á«¥¤ãî饬㠯à®á⮬ã ᮮ⭮襭¨î:
(6.3)
t < 1 + 4 ;
¨§ ª®â®à®£® áà §ã ¦¥ á«¥¤ã¥â, çâ® ¢ ¯à®¬¥¦ãâ®ç­®© ®¡« á⨠¯ à ¬¥â஢
ä § ᦠâ¨ï ¢á¥£¤ ï¥âáï ­ ç «ì­®© áâ ¤¨¥©
í¢®«î樨 ᨣ­ « . ®p
«®¦¨¢ =t à ¢­ë¬ £à ­¨ç­®¬ã §­ 祭¨î 2, ¯®«ã稬 < 1=2. ‚¯à®ç¥¬,
â®ç­® â ª¨¥ ¦¥ ®æ¥­ª¨ ¡ë«¨ ¯®«ãç¥­ë ¢ à §¤¥«¥ 5.3 ¯à¨ ­ «¨§¥ ¬®¤¥«¨
®¤¨­®ç­®£® £ ãáᮢ ¨¬¯ã«ìá á «¨­¥©­ë¬ ç¨à¯®¬. —१¢ëç ©­ ï á宦¥áâì ¤¢ãå à §«¨ç­ëå á業 ਥ¢ í¢®«î樨 ᢨ¤¥â¥«ìáâ¢ã¥â ® ⮬, çâ®
­ ¯à ªâ¨ª¥ à §«¨ç¨âì íä䥪âë, ®¡ãá«®¢«¥­­ë¥ «¨­¥©­ë¬ ç¨à¯®¬, ®â
áªàëâëå ¯à®ï¢«¥­¨© ¨­â¥àä¥à¥­æ¨¨ ªà ©­¥ ¯à®¡«¥¬ â¨ç­®.
„¨­ ¬¨ª à á¯à®áâà ­¥­¨ï ¤¢ãå £ ãáᮢëå ¨¬¯ã«ìᮢ, ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï ¤¨ Ι(τ,µ)
1
¯ §®­ã ¯à®¬¥¦ãâ®ç­ëå §­ 祭¨© ®â­®è¥­¨ï =t , ¯®ª § ­ ­ à¨á.6.2. ’à¥å0.5
¬¥à­ë© £à 䨪 ¨««îáâà¨àã¥â áâ ¤¨¨
−4
ᦠâ¨ï ¨ ¯®á«¥¤ãî饣® ãè¨à¥­¨ï ®£¨0
τ −2
0
1
0
¡ î饩 ᤢ®¥­­®£® ¨¬¯ã«ìá ¯à¨ £à µ
2
2
3
­¨ç­®¬
44
p §­ 祭¨¨ ¯ à ¬¥âà =t ; à ¢­®¬ 2:
¨á.6.2. ¥§ã«ìâ¨àãîé ï ®£¨¡ îà¨ 㢥«¨ç¥­¨¨ § ¤¥à¦ª¨ ¬¥¦¤ã ¨¬- é ï ¨­â¥­á¨¢­®á⨠¤¢ãå £ ãáᮢëå
¯ã«ìá ¬¨
¤® ¢¥«¨ç¨­ë ¡®«ì襩 祬 ¨¬¯ã«ìᮢ.
p
2t ¬®¦­® £®¢®à¨âì ® ­ áâ㯫¥­¨¨ ¥éñ ®¤­®© áâ ¤¨¨ í¢®«î樨 ¢®«­®¢®£® ¯ ª¥â . …ñ ­ ¨¡®«¥¥ å à ªâ¥à­®© ç¥à⮩ ï¥âáï â®, çâ®, ­¥á¬®âàï
­ ᨫ쭮¥ ¯¥à¥ªàë⨥, ¨á室­ë¥ ¨¬¯ã«ìáë 㦥 çñ⪮ à §«¨ç îâáï ¯®¤
2
2
0
0
0
0
0
253
®¡é¥© ®£¨¡ î饩.  ç «® ®âáçñ⠢६¥­¨ âà ­áä®à¬¨àã¥âáï ¢ â ª¨å
ãá«®¢¨ïå ¨§ â®çª¨ ¬ ªá¨¬ã¬ ¢ â®çªã ¬¨­¨¬ã¬ , à §¤¥«ïîéãî ®¡ ¨¬¯ã«ìá . ˆ­â¥àä¥à¥­æ¨®­­ë¥ íä䥪âë ¢ ãá«®¢¨ïå ᨫ쭮£® ¯¥à¥ªàëâ¨ï
¯à®ï¢«ïîâáï ­ ¨¡®«¥¥ ïમ, ¯à¨¢®¤ï ª ¯®ï¢«¥­¨î ¨­â¥àä¥à¥­æ¨®­­®£®
¬ ªá¨¬ã¬ , ¯¨ª®¢ ï ¨­â¥­á¨¢­®áâì ª®â®à®£® ¬®¦¥â ¯à¥¢®á室¨âì ¯¨ª®¢ë¥ ¨­â¥­á¨¢­®á⨠¨á室­ëå ¨¬¯ã«ìᮢ. ‘«¥¤ã¥â ®â¬¥â¨âì, çâ® ¯à®æ¥áá ¯¥à¥ª 窨 í­¥à£¨¨ ¢ ¨­â¥àä¥à¥­æ¨®­­ë© ¯¨ª ®ª §ë¢ ¥âáï ­ á⮫쪮
ᨫì­ë¬, çâ® ®¡ ¨á室­ëå ¨¬¯ã«ìá ¯®«­®áâìî ¨á祧 îâ.
„«ï ⮣®, çâ®¡ë ¢ëïá­¨âì ãá«®¢¨ï ॠ«¨§ 樨 â ª®£® á業 à¨ï í¢®«î樨, ¢ëç¨á«¨¬ §­ 祭¨¥ ¨­â¥­á¨¢­®á⨠ᨣ­ « ¢ â®çª¥ ¨­â¥àä¥à¥­æ¨®­­®£® ¬ ªá¨¬ã¬ , ª®â®àë© ¯à¨ à ¢¥­á⢥ ¬¯«¨â㤠¨á室­ëå ¨¬¯ã«ìᮢ
­ 筥⠯®ï¢«ïâìáï â®ç­® ¢ á¥à¥¤¨­¥ ¯ ª¥â , â® ¥áâì ¯à¨ = 0. ® ¬¥à¥
à á¯à®áâà ­¥­¨ï ¨¬¯ã«ìᮢ ¨­â¥­á¨¢­®áâì í⮣® ¬ ªá¨¬ã¬ ¡ã¤¥â 㢥«¨ç¨¢ âìáï ¢¯«®âì ¤® à ááâ®ï­¨©, ®¯à¥¤¥«ï¥¬ëå ¨§ ᮮ⭮襭¨ï (6.3),
¯®á«¥ 祣® ¤®¬¨­¨àãî騬¨ áâ ­ãâ íä䥪âë ¤¨á¯¥àᨮ­­®£® ãè¨à¥­¨ï.
„ «ñª ï ᨬ¯â®â¨ª ­¥ ¯à¨¢¥¤ñâ ª ¯®ï¢«¥­¨î ª ª¨å-«¨¡® ­®¢ëå ®á®¡¥­­®á⥩ ¢ âà ­áä®à¬ 樨 ®£¨¡ î饩 ¨ ¨­â¥àä¥à¥­æ¨®­­ë© ¯¨ª ¡ã¤¥â
à á¯«ë¢ âìáï â ª ¦¥ ª ª ¨ ®¡ëç­ë© ®¤¨­®ç­ë© ¨¬¯ã«ìá.
®¤áâ ¢«ïï §­ 祭¨¥ ¨§ (6.3) ¢ ¢ëà ¦¥­¨¥ ¤«ï I (; 0), ­ 室¨¬ (á
â®ç­®áâìî ¤® ª®íää¨æ¨¥­â A ) ¬ ªá¨¬ «ì­® ¢®§¬®¦­®¥ §­ 祭¨¥ ¨­â¥­á¨¢­®á⨠¢ â®çª¥ ¨­â¥àä¥à¥­æ¨®­­®£® ¬ ªá¨¬ã¬ 2
2
1
exp 2 ((=t ) ? 1) =(=t ):
0
2
0
(6.4)
¨ª®¢ãî ¨­â¥­á¨¢­®áâì ª ¦¤®£® ¨§ ¨á室­ëå ¨¬¯ã«ìᮢ ¬®¦­® á à §ã¬­®© á⥯¥­ìî â®ç­®á⨠®æ¥­¨âì, ¯®¤áâ ¢«ïï §­ 祭¨ï t = =2 ¢ (6.1) ¨
㤥ন¢ ï ­ ¨¡®«ì襥 ¯® ¢¥«¨ç¨­¥ á« £ ¥¬®¥, çâ® ¯à¨¢®¤¨â ª á«¥¤ãî饬ã १ã«ìâ âã:
1 exp 1 :
(6.5)
4
2 t
2
0
‘®¯®áâ ¢«¥­¨¥ (6.4) ¨ (6.5) á ãçñ⮬ à ¢¥­á⢠䨣ãà¨àãîé¨å ¢ íâ¨å ¢ëà ¦¥­¨ïå íªá¯®­¥­æ¨ «ì­ëå ¬­®¦¨â¥«¥© ¯®§¢®«ï¥â ᤥ« âì ¢ë¢®¤ ® ⮬,
çâ® ¯à¨ 㬥७­®¬ ᤢ¨£¥ ¨¬¯ã«ìᮢ
¤à㣠®â­®á¨â¥«ì­® ¤à㣠, ®æ¥­¨¢ ¥p
¬®¬ ­¥à ¢¥­á⢮¬ =t < 4= e; ¨­â¥­á¨¢­®áâì ¨­â¥àä¥à¥­æ¨®­­®£® ¯¨ª ¡ã¤¥â ¯à¥¢®á室¨âì ¨­â¥­á¨¢­®áâì ¨á室­ëå ¨¬¯ã«ìᮢ ¨ ¢ í⮬ ¯¨ª¥ ¡ã¤¥â á®á।®â®ç¥­ §­ ç¨â¥«ì­ ï ¤®«ï ¯®«­®© í­¥à£¨¨ ᨣ­ « . à¨ â ª¨å
ãá«®¢¨ïå ¨á室­ë¥ ¨¬¯ã«ìáë ¡ã¤ãâ ¯à®ï¢«ïâì á¥¡ï ª ª ¤¢ á« ¡® ¢ëà ¦¥­­ëå á¯ãâ­¨ª ­ äà®­â å ¨­â¥àä¥à¥­æ¨®­­®£® ¬ ªá¨¬ã¬ . Ž¯¨á ­­ ï ¢ëè¥ á¨âã æ¨ï å®à®è® ¨««îáâà¨àã¥âáï à¨á.6.3 , £¤¥ ¯®ª § ­ 0
254
¤¨­ ¬¨ª ¯à®æ¥áá à á¯à®áâà ­¥­¨ï ¤¢ãå ¯¥à¥ªàë¢ îé¨åáï £ ãáᮢëå
¨¬¯ã«ìᮢ.
1 Ι(τ, µ)
Ι(τ,µ)
1
0.5
0.5
0
−2
0
τ
2
40
1
2
3
µ
0
0
4
1
2
τ
µ
3
4 4
2
0
−2
¡
¨á.6.3. Ž£¨¡ îé ï ¤¢ãå ¯¥à¥ªàë¢ îé¨åáï £ ãáᮢëå ¨¬¯ã«ìᮢ ¯à¨ ®â­®á¨â¥«ì­®©
§ ¤¥à¦ª¥ ¬¥¦¤ã ¨¬¯ã«ìá ¬¨ à ¢­®©: ) =t0 = 2; ¡) =t0 = 3:
„¨ ¯ §®­ ®â­®á¨â¥«ì­ëå § ¤¥à¦¥ª =t , ¯à¨ ª®â®àëå ¢®§¬®¦­® ä®à¬¨à®¢ ­¨¥ ¬®é­®£® ¨­â¥àä¥à¥­æ¨®­­®£® ¯¨ª ï¥âáï ¤®áâ â®ç­® 㧪¨¬p. „ ¦¥ ­¥§­ ç¨â¥«ì­®¥ ¯à¥¢ë襭¨¥ ¥£® ¢¥àå­¥© £à ­¨æë, à ¢­®©
4= e 2:4, ¯®ª § ­­®¥ ­ à¨á.6.3¡, ¯à¨¢®¤¨â ª áãé¥á⢥­­®¬ã ®á« ¡«¥­¨î ¯¨ª®¢®© ¨­â¥­á¨¢­®á⨠¨­â¥àä¥à¥­æ¨®­­®£® ¬ ªá¨¬ã¬ ¯® ®â­®è¥­¨î ª ¯¨ª®¢®© ¬®é­®á⨠¨á室­ëå ¨¬¯ã«ìᮢ. ‚­®¢ì ­ 稭 ¥â ¢®§à áâ âì ®â­®á¨â¥«ì­ ï ¤®«ï í­¥à£¨¨, ¯¥à¥­®á¨¬ ï ¢ ¯¥à¢¨ç­ëå ¨¬¯ã«ìá å,
â® ¥áâì ¬®¦­® £®¢®à¨âì ® ¯¥à¥å®¤¥ ª ­®¢®© áâ ¤¨¨ í¢®«î樨 ¢®«­®¢®£®
¯ ª¥â { ¨­â¥àä¥à¥­æ¨¨ ¨§­ ç «ì­® ­¥¯¥à¥ªàë¢ îé¨åáï ¨¬¯ã«ìᮢ.
„«ï ¤¥â «ì­®£® ®¡á㦤¥­¨ï ®á®¡¥­­®á⥩ ¨­â¥àä¥à¥­æ¨¨ ¤¢ãå à §­¥áñ­­ëå ¢® ¢à¥¬¥­¨, ­¥¯¥à¥ªàë¢ îé¨åáï ¨¬¯ã«ìᮢ á«¥¤ã¥â ¥éñ à §
¢¥à­ãâìáï ª ¢ëà ¦¥­¨î (6.2). ®áª®«ìªã ¯à¨ ¤ «ì­¥©è¥¬ ­ «¨§¥ ª«î祢ãî à®«ì ¡ã¤¥â ¨£à âì ¯®á«¥¤­¨©, § ª«îçñ­­ë© ¢ ª¢ ¤à â­ë¥ ᪮¡ª¨ ᮬ­®¦¨â¥«ì ¢ëà ¦¥­¨ï (6.2), ⮠㤮¡­® ®¡®§­ ç¨âì à£ã¬¥­â ä㭪樨 ch,
䨣ãà¨àãî騩 ¢ í⮬ ᮬ­®¦¨â¥«¥, ç¥à¥§ x. ‚ ¯à¨­ïâëå ®¡®§­ 祭¨ïå
¢¥áì ᮬ­®¦¨â¥«ì ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ¢ ç१¢ëç ©­® ª®¬¯ ªâ­®¬ ¢¨¤¥
ch (x) ? sin (2x);
(6.6)
çâ®, ¢ á¢®î ®ç¥à¥¤ì, ¯®§¢®«ï¥â ¤ âì ᮢ¥à襭­® í«¥¬¥­â à­ãî âà ªâ®¢ªã ­ ç «ì­®© áâ ¤¨¨ í¢®«î樨 ¢®«­®¢®£® ¯ ª¥â . “ç¨âë¢ ï ᢮©á⢠ä㭪樨 ᨭãá, ¬®¦­® ¯à¥­¥¡à¥çì ¢â®àë¬ á« £ ¥¬ë¬ ¢ (6.6) ¯à¨ ! 0.
® ⮣¤ ¢ëà ¦¥­¨¥ (6.2) áâ ­®¢¨âáï ä㭪樮­ «ì­® ¨¤¥­â¨ç­ë¬ (6.1)
á â®ç­®áâìî ¤® ¯¥à¥­®à¬¨à®¢ª¨
¢à¥¬¥­­®£® ¬ áèâ ¡ ¢ ᮮ⢥âá⢨¨
p
0
á ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥¬ ! = 1 + 4 . „à㣨¬¨ á«®¢ ¬¨, ­ ­ ç «ì­®©
áâ ¤¨¨ ¨á室­ë¥ ¨¬¯ã«ìáë ãè¨àïîâáï ­¥§ ¢¨á¨¬® ¤à㣠®â ¤à㣠ª ª
0
2
2
2
255
®¡ëç­ë¥ ®¤¨­®ç­ë¥ ¨¬¯ã«ìáë.
„«ï ®æ¥­ª¨ ¯à®âï¦ñ­­®á⨠­ ç «ì­®© ä §ë í¢®«î樨 â ª¦¥ ¬®¦­®
¢®á¯®«ì§®¢ âìáï ¢ëà ¦¥­¨¥¬ (6.6). ‡ ¬¥â¨¬, çâ® ¯à¨ ¢ë¯®«­¥­¨¨ ãá«®¢¨ï < 1=2 ¡ã¤¥â áãé¥á⢮¢ âì ¥¤¨­á⢥­­ ï â®çª íªáâ६㬠(6.6),
ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï §­ 祭¨î = 0. Ž­ ï¥âáï â®çª®© ¬¨­¨¬ã¬ , à §¤¥«ïî饩 ¯¥à¢¨ç­ë¥ ¨¬¯ã«ìáë. Ž¤­ ª® ¯à¨ ¯¥à¥å®¤¥ ç¥à¥§ £à ­¨ç­®¥
§­ 祭¨¥ = 1=2 íâ â®çª ¯à¥¢à é ¥âáï 㦥 ¢ «®ª «ì­ë© ¬ ªá¨¬ã¬.
’ ª ­ 稭 ¥â ä®à¬¨à®¢ âìáï ¨­â¥àä¥à¥­æ¨®­­ë© ¯¨ª.
”®à¬ «ì­® ᤥ« ­­ë¥ à áá㦤¥­¨ï ­¥ ïîâáï ¤®áâ â®ç­® áâண¨¬¨,
â ª ª ª ¨§ à áᬮâ७¨ï ¢ë¯ « ¢â®à®© § ¢¨áï騩 ®â ¢à¥¬¥­¨ íªá¯®­¥­æ¨ «ì­ë© ¬­®¦¨â¥«ì. Ž¤­ ª® ¢ ⮩ ®¡« á⨠¨§¬¥­¥­¨ï ¯ à ¬¥âà =t ,
® ª®â®à®© ¢ ¤ ­­ë© ¬®¬¥­â ¨¤ñâ à¥çì, íâ¨ à §«¨ç¨ï ­¥¢¥«¨ª¨ ¨ ¡ã¤ãâ
áâ६¨âìáï ª ­ã«î ¯à¨ =t ! 1.
“á«®¢¨¥ > 1=2 ï¥âáï ­¥®¡å®¤¨¬ë¬, ­® ®â­î¤ì ­¥ ¤®áâ â®ç­ë¬
¤«ï ॣ¨áâà 樨 ¨­â¥àä¥à¥­æ¨®­­®£® ¯¨ª , ¯®áª®«ìªã ¥£® ¨­â¥­á¨¢­®áâì
¬®¦¥â ®ª § âìáï ¯à¥­¥¡à¥¦¨¬® ¬ «®© ¯® áà ¢­¥­¨î á ¯¨ª®¢®© ¬®é­®áâìî ¨á室­ëå ¨¬¯ã«ìᮢ. „«ï ­¥ ᫨誮¬ ¡®«ì让 ¢¥«¨ç¨­ë ®â­®á¨â¥«ì­®© § ¤¥à¦ª¨ ª ª, ­ ¯à¨¬¥à, ⮩, çâ® ¨§®¡à ¦¥­ ­ à¨á.6.3¡, ¤ ­­®¥
ãá«®¢¨¥ ®ª §ë¢ ¥âáï ¢¯®«­¥ ª®à४â­ë¬. Ž¤­ ª® ¨§ 䨧¨ç¥áª¨å á®®¡à ¦¥­¨© ïá­®, ç⮠᪮«ìª®-­¨¡ã¤ì áãé¥á⢥­­ë¥ ¨§¬¥­¥­¨ï ¢ áâàãªâãà¥
®£¨¡ î饩 ¢®«­®¢®£® ¯ ª¥â ¬®£ãâ ¢®§­¨ª­ãâì ⮫쪮 ¢ ⮩ ®¡« áâ¨
¨§¬¥­¥­¨ï ¯ à ¬¥â஢ § ¤ ç¨, ª®â®à ï ¡ë ᮮ⢥âá⢮¢ « ¯¥à¥ªàëâ¨î
¨¬¯ã«ìᮢ. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¤«ï á«ãç ï ᨫ쭮 à §­¥áñ­­ëå ¢® ¢à¥¬¥­¨
¨¬¯ã«ìᮢ ªà¨â¥à¨© ॣ¨áâà 樨 ¨­â¥àä¥à¥­æ¨®­­ëå íä䥪⮢ ¤®«¦¥­
¡ëâì ¬®¤¨ä¨æ¨à®¢ ­.
‘ à §ã¬­®© ¤«ï ¯à ªâ¨ç¥áª¨å ¯à¨«®¦¥­¨© á⥯¥­ìî â®ç­®á⨠£®¢®à¨âì ® ¯¥à¥ªàë⨨ ú墮á⮢û ¤¢ãå £ ãáᮢëå ¨¬¯ã«ìᮢ ¬®¦­® «¨èì
¯à¨ ãá«®¢¨¨, çâ® ¢¥«¨ç¨­ ®â­®á¨â¥«ì­®© § ¤¥à¦ª¨ ­¥ ¡®«¥¥ 祬 ¢ 3
à § ¯à¥¢®á室¨â ¤«¨â¥«ì­®áâì ¨¬¯ã«ìá . ‚ ç áâ­®áâ¨, ¯®«®¦¨¢ ¢ (6.1)
¯ à ¬¥âà =t = 3, ­ 室¨¬, çâ® ¨­â¥­á¨¢­®áâì ¢ â®çª¥ = 0, à §¤¥«ïî饩 ¤¢ ¨¬¯ã«ìá , á®áâ ¢«ï¥â ¬¥­¥¥ 5% ®â ¯¨ª®¢®© ¬®é­®á⨠ª ¦¤®£®
¨§ ¨á室­ëå ¨¬¯ã«ìᮢ. …᫨ ⥯¥àì ãç¥áâì, çâ® ¯à¨ 㢥«¨ç¥­¨¨ =t
¯à®ï¢«¥­¨¥ ¨­â¥àä¥à¥­æ¨®­­ëå íä䥪⮢ â ª¦¥ á¬¥é ¥âáï
¢ ®¡« áâì
p
¡®«ìè¨å §­ 祭¨© ¯ à ¬¥âà , â® ¢¬¥áâ® ¢ëà ¦¥­¨ï 1 + 4 ¬®¦­®
¢®á¯®«ì§®¢ âìáï ¥£® ¡®«¥¥ ¯à®á⮩ ¯¯à®ªá¨¬ 樥© 2 ¨ áä®à¬ã«¨à®¢ âì
ªà¨â¥à¨© ¯¥à¥ªàëâ¨ï ¢ á«¥¤ãî饬 ¢¨¤¥: =(2t ) < 3.
„«ï ®¯à¥¤¥«¥­¨ï ª®«¨ç¥á⢠¨­â¥àä¥à¥­æ¨®­­ëå ¯¨ª®¢ ¨ ¢ëç¨á«¥­¨ï
¨å ¯à®âï¦ñ­­®á⨠¢® ¢à¥¬¥­­®© ®¡« á⨠­¥®¡å®¤¨¬® ¡®«¥¥ ¤¥â «ì­®¥ ¨áá«¥¤®¢ ­¨¥ íªáâ६㬮¢ ä㭪樨, ¯à¥¤áâ ¢«¥­­®© ¢ëà ¦¥­¨¥¬ (6.6).  0
0
0
0
2
0
256
­¥¥ ¬ë 㦥 ®â¬¥ç «¨, çâ® ¤«ï ¢á¥å §­ 祭¨© > 1=2 áãé¥áâ¢ã¥â «®ª «ì­ë© ¬ ªá¨¬ã¬ ¢ â®çª¥ = 0. „ «ì­¥©è¨© ­ «¨§ ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® ¯à¨
㢥«¨ç¥­¨¨ ¯ à ¬¥âà ¢¯«®âì ¤® ­¥ª®â®à®£® ªà¨â¨ç¥áª®£® §­ 祭¨ï
1:89 ¤à㣨å â®ç¥ª, ª®â®àë¥ ¡ë 﫨áì â®çª ¬¨ «®ª «ì­®£® ¬ ªá¨¬ã¬ ­¥ áãé¥áâ¢ã¥â. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¢ í⮬ ¤¨ ¯ §®­¥ ¢®§¬®¦¥­ ⮫쪮
®¤¨­ ¨­â¥àä¥à¥­æ¨®­­ë© ¯¨ª.
Š®£¤ ¯ à ¬¥âà áâ ­¥â ¡®«ìè¥ ç¥¬ ¢®ªà㣠業âà «ì­®£® ¯¨ª ­ ç­ãâ ä®à¬¨à®¢ âìáï ¤¢ ¢â®à¨ç­ëå ¨­â¥àä¥à¥­æ¨®­­ëå ¬ ªá¨¬ã¬ .
’ ª ¡ã¤¥â ¯à®¤®«¦ âìáï ¤® â¥å ¯®à, ¯®ª ­¥ ¡ã¤¥â ¤®á⨣­ãâ® á«¥¤ãî饥
ªà¨â¨ç¥áª®¥ §­ 祭¨¥ ¯ à ¬¥âà = 2:87, çâ® ¯®«®¦¨â ­ ç «®
á«¥¤ãî饩 ¯ ॠ¨­â¥àä¥à¥­æ¨®­­ëå ¬ ªá¨¬ã¬®¢.
” ªâ¨ç¥áª¨ ãçñâ íªá¯®­¥­æ¨ «ì­®£® ¬­®¦¨â¥«ï ¢ (6.2) ¡ã¤¥â ᬥé âì
¯®«®¦¥­¨¥ ªà¨â¨ç¥áª¨å â®ç¥ª. ‚ ç áâ­®áâ¨, ¯à¨ =t = 10 ¯ à ¢â®à¨ç­ëå ¬ ªá¨¬ã¬®¢ ­ 稭 ¥â ¯à®ï¢«ïâìáï 㦥 ¯à¨ 1:7. ’ ª®¥ ¯®¢¥¤¥­¨¥ ¤«ï ­¥ ᫨誮¬ ¡®«ìè¨å §­ 祭¨© =t ¢¯®«­¥ ¥áâ¥á⢥­­®, â ª ª ª
á ¢ë᮪®© á⥯¥­ìî â®ç­®á⨠¬®£ãâ ¢®á¯à®¨§¢®¤¨âìáï ⮫쪮 ªà¨â¨ç¥áª¨¥ â®çª¨ á ­¥¡®«ì訬¨ ¨­¤¥ªá ¬¨, ¯®áª®«ìªã ¢® ¢à¥¬¥­­®© ®¡« áâ¨
¨¬ ᮮ⢥âáâ¢ãîâ ª®®à¤¨­ âë ¬ ªá¨¬ã¬®¢ ¢â®à¨ç­ëå ¯¨ª®¢ «¥¦ é¨å ¢
¯à®¬¥¦ã⪥ ¬¥¦¤ã ¨á室­ë¬¨ ¨¬¯ã«ìá ¬¨. ®á«¥ ⮣® ª ª ¯®«®¦¥­¨¥
¬ ªá¨¬ã¬ , ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 ®ç¥à¥¤­®© ªà¨â¨ç¥áª®© â®çª¥ ­ «®¦¨âáï
­ ¢à¥¬¥­­®© ¯à®ä¨«ì ®¤­®£® ¨§ ¯¥à¢¨ç­ëå ¨¬¯ã«ìᮢ ã¯à®éñ­­ ï ¨­â¥à¯à¥â æ¨ï, ®á­®¢ ­­ ï ­ ¢ëà ¦¥­¨¨ (6.6), áâ ­®¢¨âáï ­¥¯à¨¬¥­¨¬®©.
’ ª ­ ¯à¨¬¥à, ¯à¨ =t = 10 ¨ = ª®®à¤¨­ âë ¢â®à®© ¯ àë ¨­â¥àä¥à¥­æ¨®­­ëå ¬ ªá¨¬ã¬®¢ ¡ã¤ãâ à ¢­ë 4:1t . ®áª®«ìªã 業âàë
¨á室­ëå ¨¬¯ã«ìᮢ ­ 室ïâáï ¢ â®çª å 5t ¨ ¨¬¥îâ ¤«¨â¥«ì­®áâì ¯à¨¬¥à­® à ¢­ãî t , ⮠ᮢ¥à襭­® ïá­®, çâ® ¢ ¤ ­­®© á¨âã 樨 §­ 祭¨¥ § ¢ë襭®. ” ªâ¨ç¥áª¨, ¤«ï ¯à¨¢¥¤¥­­ëå §­ 祭¨© ¯ à ¬¥â஢ ¢â®à ï
¯ à ¨­â¥àä¥à¥­æ¨®­­ëå ¯¨ª®¢ ¢®§­¨ª ¥â ¯à¨ 2:2. Ž¤­ ª®, ¤®áâ â®ç­® ¢ ¤¢ à § 㢥«¨ç¨âì =t , çâ®¡ë ¤«ï ªà¨â¨ç¥áª¨å §­ 祭¨© ¯ à ¬¥âà ¯®«ãç¨âì ¢¥«¨ç¨­ë, ¡«¨§ª¨¥ ª ¯à¥¤¥«ì­ë¬: 1:84, 2:69,
å®âï ¨­â¥­á¨¢­®áâì ¨§«ã祭¨ï ¢® ¢­®¢ì ¯®ï¢¨¢è¨åáï ¬ ªá¨¬ã¬ å ¯à ªâ¨ç¥áª¨ ­¥ ¡ã¤¥â ®â«¨ç âìáï ®â ­ã«ï.
ˆ§«®¦¥­­ë¥ ¢ëè¥ á®®¡à ¦¥­¨ï ¯®§¢®«ïîâ ¯®«ãç¨âì ¯à®áâãî ®æ¥­ªã
­ ¢¥«¨ç¨­ã ­¨¦­¥© £à ­¨æë ¯ à ¬¥âà =t , å à ªâ¥à¨§ãî饣® ᪢ ¦­®áâì ¨¬¯ã«ìᮢ, ¯à¨ ª®â®à®© ªà®¬¥ 業âà «ì­®£® ¨­â¥àä¥à¥­æ¨®­­®£®
¯¨ª ­ 稭 ¥â ¯®ï¢«ïâìáï ¥éñ ¨ ¯ à ¢â®à¨ç­ëå ¬ ªá¨¬ã¬®¢, â® ¥áâì
¬®¦­® £®¢®à¨âì ® § ஦¤¥­¨¨ ª¢ §¨¯¥à¨®¤¨ç¥áª®© áâàãªâãàë. ‚­®¢ì
®¡à ⨬áï ª ¢ëà ¦¥­¨î (6.6) ¯à¨ ¯®à®£®¢®¬ §­ 祭¨¨ : Žª §ë¢ ¥âáï,
çâ® ª®®à¤¨­ âë x ­®¢ëå «®ª «ì­ëå ¬ ªá¨¬ã¬®¢ ¡«¨§ª¨ ª 1. ¥à¥å®¤ï
1
1
2
0
0
0
2
0
0
0
2
0
1
2
0
1
1
257
¢® ¢à¥¬¥­­ãî ®¡« áâì, ­ 室¨¬ §­ 祭¨ï , ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ¬¥á⮯®«®¦¥­¨î ¤®¯®«­¨â¥«ì­ëå ¨­â¥àä¥à¥­æ¨®­­ëå ¬ ªá¨¬ã¬®¢
= 1 + 4 :
(6.7)
t
=t
 «¨ç¨¥ §­ ª®¢ ¯«îá ¨ ¬¨­ãá ¢ (6.7) ï¥âáï á«¥¤á⢨¥¬ ç¥â­®áâ¨
¢ëà ¦¥­¨ï (6.6). ’ ª ª ª ¤«ï ¢ë¡à ­­®© á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨­ â ¢à¥¬ï ®âáç¨âë¢ ¥âáï ®â â®çª¨, à ¢­®ã¤ «ñ­­®© ®â ¢¥à設 ®¡®¨å ¯¥à¢¨ç­ëå ¨¬¯ã«ìᮢ, â® ª®®à¤¨­ âë íâ¨å ¢¥à設 à ᯮ«®¦¥­ë ¢ â®çª å á® §­ 祭¨ï¬¨ (=t ).  ­¥¥ ¬ë 㦥 ®â¬¥ç «¨, çâ® ¤«ï ¯®ï¢«¥­¨ï ¢â®à¨ç­®£®
¨­â¥àä¥à¥­æ¨®­­®£® ¯¨ª ­¥®¡å®¤¨¬®, çâ®¡ë ª®®à¤¨­ â ¥£® ¬ ªá¨¬ã¬ ¢ ¬®¬¥­â § ஦¤¥­¨ï ­ 室¨« áì ¢ ¯à®¬¥¦ã⪥ ¬¥¦¤ã ¨á室­ë¬¨ ¨¬¯ã«ìá ¬¨. â® ®£à ­¨ç¥­¨¥ ­ ¢¥«¨ç¨­ã ¯ à ¬¥âà =t ¯®§¢®«ï¥â ¯®«ãç¨âì ¯®à®£®¢®¥ §­ 祭¨¥ ¤«ï ®â­®á¨â¥«ì­®© § ¤¥à¦ª¨ ¬¥¦¤ã ¨¬¯ã«ìá ¬¨, ¯à¥¢ë襭¨¥ ª®â®à®© ¢á¥£¤ ¡ã¤¥â ¯à¨¢®¤¨âì ª ¯®ï¢«¥­¨î ª¢ §¨¯¥à¨®¤¨ç¥áª®© ¨­â¥àä¥à¥­æ¨®­­®© ¢à¥¬¥­­®© áâàãªâãàë ¢ ¤¨á¯¥àᨮ­­®©
á।¥
Ι(τ,µ)
> q2(1 + 4 ) 5:
1
t
0.5
‚¥áì ªà㣠®¯¨á ­­ëå ¥­¨© å®à®è®
¯à®á¬ âਢ ¥âáï ­ à¨á.6.4, £¤¥ ¯®ª 0
§ ­ ¯à®æ¥áá à á¯à®áâà ­¥­¨ï ¤¢ãå £ ãá0
−6
2 µ
τ
ᮢëå ¨¬¯ã«ìᮢ ¯à¨ ¢¥«¨ç¨­¥ ¯ à ¬¥−2−4
0
4
4 2
âà =t à ¢­®¬ 10.
68 6
¥à¥©¤ñ¬ ⥯¥àì ª ®æ¥­ª¥ ¤«¨â¥«ì­®á⨠¨­â¥àä¥à¥­æ¨®­­ëå ¯¨ª®¢. à®é¥ ¨á.6.4. ‚®§­¨ª­®¢¥­¨¥ ª¢ §¨¯¥à¨®¢á¥£® í⮠ᤥ« âì ¤«ï 業âà «ì­®£® ¬ ª- ¤¨ç¥áª®© ¢à¥¬¥­­®© áâàãªâãàë.
ᨬ㬠, ¢®á¯®«ì§®¢ ¢è¨áì ᨬ¬¥âਥ© § ¤ ç¨.  áçñâ ¤«¨â¥«ì­®áâ¨
¢â®à¨ç­ëå ¯¨ª®¢ «¨èì ãá«®¦­ï¥â ¢ëç¨á«¥­¨ï, ­¥ ¯à¨¢®¤ï ª ª ª¨¬-«¨¡®
­®¢ë¬ ª ç¥á⢥­­ë¬ § ª®­®¬¥à­®áâï¬. ‚ ¯à¥¤¥«¥ ¡®«ìè¨å §­ 祭¨© ¯ à ¬¥âàë ¢á¥å ¢â®à¨ç­ëå ¯¨ª®¢ áâ ­®¢ïâáï ¨¤¥­â¨ç­ë¬¨.
®áª®«ìªã ¢ ­ áâ®ï騩 ¬®¬¥­â ­ á ¨­â¥à¥áãîâ ᢮©á⢠ª¢ §¨¯¥à¨®¤¨ç¥áª®© áâàãªâãàë, â® ¤«¨â¥«ì­®áâì ®â¤¥«ì­®£® ¨­â¥àä¥à¥­æ¨®­­®£®
¯¨ª 㤮¡­® ®¯à¥¤¥«ïâì ­¥ â ª ª ª íâ® ¤¥« «®áì ¢ à §¤¥«¥ 5.2 ¤«ï ®¤¨­®ç­ëå ¨¬¯ã«ìᮢ, ª ª ¨­â¥à¢ « ¬¥¦¤ã ¤¢ã¬ï ᬥ¦­ë¬¨ ¬¨­¨¬ã¬ ¬¨
¢à¥¬¥­­®£® ¯à®ä¨«ï ®£¨¡ î饩. „«ï ®â­®á¨â¥«ì­ëå § ¤¥à¦¥ª , ¯à¥¢ëè îé¨å ¯®à®£®¢®¥ §­ 祭¨¥ , ¢«¨ï­¨¥¬ íªá¯®­¥­æ¨ «ì­®£® ᮬ­®¦¨â¥«ï ¢ (6.2) ­ å à ªâ¥à ª¢ §¨¯¥à¨®¤¨ç¥áª®© áâàãªâãàë ¬®¦­® ¯à¥­¥¡à¥çì, çâ® ¯®§¢®«ï¥â ®£à ­¨ç¨âìáï ã¯à®éñ­­ë¬ ­ «¨§®¬, ®á­®¢ ­­ë¬
1
0
1
2
2
0
0
0
0
1
2
0
258
­ (6.6). ‚ à ¬ª å â ª®£® ¯®¤å®¤ ­®à¬¨à®¢ ­­ ï ­ ¢¥«¨ç¨­ã t ¤«¨â¥«ì­®áâì 業âà «ì­®£® ¨­â¥àä¥à¥­æ¨®­­®£® ¯¨ª Tint ¬®¦¥â ¡ëâì ¡¥§
âà㤠­ ©¤¥­ ¥á«¨ ¨§¢¥áâ­ ª®®à¤¨­ â xmin â®çª¨ ¯¥à¢®£® ¬¨­¨¬ã¬ ªà¨¢®©, ®¯à¥¤¥«ï¥¬®© ¢ëà ¦¥­¨¥¬ (6.6). ®¤áâ ¢«ïï ¢¬¥áâ® à£ã¬¥­â x ¥£® §­ 祭¨¥ ¨§ (6.2), ¯®«ãç ¥¬
Tint = 2 xmin(1 + 4 ) :
(6.8)
t
=t
 áᬮâਬ ⥯¥àì ª ª § ¢¨á¨â ®â ¤¨á¯¥àᨮ­­®£® ¯ à ¬¥âà ª®®à¤¨­ â xmin. ‚ ®ªà¥áâ­®á⨠â®çª¨ § ஦¤¥­¨ï ¨­â¥àä¥à¥­æ¨®­­®£®
¬ ªá¨¬ã¬ , â® ¥áâì
p ¯à¨ 1=2, íâ § ¢¨á¨¬®áâì ­®á¨â ᨭ£ã«ïà­ë©
å à ªâ¥à: xmin 3", £¤¥ " = ? 1=2. ¥¯®á।á⢥­­® ¨§ (6.6) ¬®¦­®
¯®«ãç¨âì à §«®¦¥­¨¥ xmin(") ¯® á⥯¥­ï¬ "
0
2
0
0
p
37 " ? 10574623 " + : : : );
"
+
xmin(") = 3"(1 ? 32 " + 33
56
16
1724800
ª®â®à®¥, ®¤­ ª®, ï¥âáï à á室ï騬áï. ‘㬬¨à®¢ ­¨¥ í⮣® à §«®¦¥­¨ï á ¨á¯®«ì§®¢ ­¨¥¬ â¥å­¨ª¨ ¤¢ãåâ®ç¥ç­ëå ¯¯à®ªá¨¬ 権  ¤¥ ¯®§¢®«ï¥â ¯®«ãç¨âì ¯à®á⮥ ¯à¨¡«¨¦ñ­­®¥ ¢ëà ¦¥­¨¥ ¤«ï xmin ¯à¨£®¤­®¥ ¯à¨
«î¡ëå §­ 祭¨ïå p =
1
+
a
"
xmin(") = 3"
;
1 + (a + 1)" + (a + )"
£¤¥ a = ?v v , v = ( p ) = .  ¨¡®«ìè ï ¢¥«¨ç¨­ ¯®£à¥è­®á⨠í⮩
¯¯à®ªá¨¬ 樨, ª®â®à ï ¤®á⨣ ¥âáï ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠â®çª¨ 2:5, á®áâ ¢«ï¥â ¯à¨¬¥à­® 2%. ƒà 䨪 § ¢¨á¨¬®á⨠xmin ®â á ¬ ªá¨¬ã¬®¬ ¯à¨
0:84 ¯®ª § ­ ­ à¨á.6.5 .
2
3
4
3 2
6
7
6
7(1
0.6
2
2 3
)
4
3
x min
0.5
15
Tδ
t 0 t0
0.4
10
0.3
0.2
0.1
0 0.5 1
5
1.5
2
2.5
µ
3
0
¡
1
2
µ
3
¨á.6.5.  à ¬¥âàë, ®¯à¥¤¥«ïî騥 è¨à¨­ã 業âà «ì­®£® ¨­â¥àä¥à¥­æ¨®­­®£® ¯¨ª :
) ª®®à¤¨­ â ¯¥à¢®£® ¬¨­¨¬ã¬ xmin , ¡) ç¨á«¨â¥«ì ¯à ¢®© ç á⨠¢ëà ¦¥­¨ï (6.8).
 ®á­®¢¥ ¯®«ã祭­®© § ¢¨á¨¬®á⨠xmin() ­¥âà㤭® ¢ëç¨á«¨âì ¢ëà ¦¥­¨¥, áâ®ï饥 ¢ ç¨á«¨â¥«¥ ¯à ¢®© ç á⨠(6.8), ª®â®à®¥ ¨ ï¥âáï
259
¤«¨â¥«ì­®áâìî ¨­â¥àä¥à¥­æ¨®­­®£® ¯¨ª ¤¥«ñ­­®© ­ ᪢ ¦­®áâì ¨¬¯ã«ìᮢ. ‡ ¢¨á¨¬®áâì í⮩ ¢¥«¨ç¨­ë ®â ¤¨á¯¥àᨮ­­®£® ¯ à ¬¥âà ¯à¨¢®¤¨âáï ­ à¨á.6.5¡.
€á¨¬¯â®â¨ç¥áª¨¥ ᢮©á⢠ª¢ §¨¯¥à¨®¤¨ç¥áª®© áâàãªâãàë ¯à¨ ­¥®£à ­¨ç¥­­®¬ ¢®§à áâ ­¨¨ ¯à®©¤¥­­®£® ¢ á।¥ à ááâ®ï­¨ï «¥£ª® ¬®£ãâ ¡ëâì
¯®«ãç¥­ë ¨§ (6.6) ¯ã⥬ ¯à¥¤¥«ì­®£® ¯¥à¥å®¤ ! 1: ‚ ç áâ­®áâ¨, ¯¥à¨®¤ ¯®¢â®à¥­¨ï ¨­â¥àä¥à¥­æ¨®­­ëå ¬ ªá¨¬ã¬®¢ Tint, ­®à¬¨à®¢ ­­ë©
­ t , ¯à¨ ¡®«ìè¨å §­ 祭¨ïå ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ᮮ⭮襭¨¥¬
Tint = 2 :
t
(=t )
à®¯®à樮­ «ì­®áâì ¯¥à¨®¤ Tint ¢¥«¨ç¨­¥ ®§­ ç ¥â, çâ® ª ¦¤ë© ¨§
¢â®à¨ç­ëå ¨­â¥àä¥à¥­æ¨®­­ëå ¬ ªá¨¬ã¬®¢ ¯® ¬¥à¥ 㢥«¨ç¥­¨ï ¯à®©¤¥­­®£® ¢ á।¥ à ááâ®ï­¨ï ¯®á⥯¥­­® à á¯«ë¢ ¥âáï ¢á«¥¤á⢨¥ ¤¨á¯¥àᨮ­­®£® ãè¨à¥­¨ï. „«ï 業âà «ì­®£® ¬ ªá¨¬ã¬ , ª ª å®à®è® ¢¨¤­® ¨§
à¨á.6.5¡, 㦥 ¯à¨ > 1 ¬®¦­® £®¢®à¨âì ® ¯¥à¥å®¤¥ ª ᨬ¯â®â¨ç¥áª®¬ã
०¨¬ã.
Ž¡à â­ ï ¯à®¯®à樮­ «ì­®áâì ¢¥«¨ç¨­ë Tint ᤢ¨£ã ¬¥¦¤ã ¨á室­ë¬¨
¨¬¯ã«ìá ¬¨ ¯®§¢®«ï¥â à áᬠâਢ âì ¥­¨¥ ¢à¥¬¥­­®© ¨­â¥àä¥à¥­æ¨¨
ª ª ¬¥å ­¨§¬ ¤«ï ª®­â஫¨à㥬®£® 㢥«¨ç¥­¨ï ç áâ®âë ¯®¢â®à¥­¨ï ¨¬¯ã«ìᮢ. Ž¤­ ª®, ¯à¨ ­ «¨ç¨¨ ­ ¢å®¤¥ ¢ á।㠢ᥣ® ¤¢ãå ¨¬¯ã«ìᮢ,
¢®§­¨ª îé ï ᨭãᮨ¤ «ì­ ï ä®à¬ ¢â®à¨ç­ëå ¨­â¥àä¥à¥­æ¨®­­ëå ¯¨ª®¢ ¢àï¤ «¨ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ¯à ªâ¨ç¥áª¨© ¨­â¥à¥á. ¨¦¥ ¡ã¤¥â ¯®ª § ­®,
çâ® ¯à¨ 㢥«¨ç¥­¨¨ ç¨á« ¨¬¯ã«ìᮢ ¢ ¨á室­®¬ ¯ ª¥â¥ ¬®¦­® ¯à®£­®§¨àã¥¬ë¬ ®¡à §®¬ ¢®§¤¥©á⢮¢ âì ­ ª®«¨ç¥á⢮, ç áâ®âã ¨ ä®à¬ã ¯®à®¦¤ñ­­ëå ¨­â¥àä¥à¥­æ¨®­­ëå ¯¨ª®¢.
0
0
6.3.
0
Ž£à ­¨ç¥­­ ï ¢® ¢à¥¬¥­¨ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì £ ãáᮢëå
¨¬¯ã«ìᮢ
‚ ¤ ­­®¬ à §¤¥«¥ ¬ë à áᬮâਬ ¡®«¥¥ á«®¦­ãî ¬®¤¥«ì ¢®«­®¢®£®
¯ ª¥â , ¯à¥¤áâ ¢«ïî饣® ᮡ®© ᨬ¬¥âà¨ç­ë© æã£, á®áâ®ï騩 ¨§ ­¥ª®â®à®£® ç¨á« íª¢¨¤¨áâ ­â­ëå £ ãáᮢëå ¨¬¯ã«ìᮢ ®¤¨­ ª®¢®© ¤«¨â¥«ì­®á⨠¯®¤ ®¡é¥© ®£¨¡ î饩, ª®â®à ï â ª¦¥ ¨¬¥¥â £ ãáᮢã ä®à¬ã.
ªá¯¥à¨¬¥­â «ì­® ®£à ­¨ç¥­­ãî ¢® ¢à¥¬¥­¨ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ª®£¥à¥­â­ëå ¨¬¯ã«ìᮢ áà ¢­¨â¥«ì­® ¯à®áâ® ¯®«ãç¨âì, ¢ë१ ï á ¯®¬®éìî
í«¥ªâà®®¯â¨ç¥áª®£® § â¢®à ¨¬¯ã«ìáë ¨§ ­¥¯à¥à뢭®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâ¨, £¥­¥à¨à㥬®© « §¥à®¬, à ¡®â î騬 ¢ ०¨¬¥ ᨭåà®­¨§ 樨 ¬®¤.
260
Š ª ¨ ¢ ¯à¥¤ë¤ã饩 £« ¢¥, áç¨â ï ¨á室­ë© ᨣ­ « «¨­¥©­®-¯®«ïਧ®¢ ­­ë¬, ­¥­ã«¥¢ãî ¯à®¥ªæ¨î ¢¥ªâ®à ­ ¯àï¦ñ­­®áâ¨ í«¥ªâ஬ £­¨â­®£® ¯®«ï E (0; t) ¬®¦­® ¢ à ¬ª å ¤ ­­®© ¬®¤¥«¨ ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ëà ¦¥­¨¥¬
N
X
t
t
?
j
E (0; t) = A exp ? T
exp ? t
ei! t:
(6.9)
j ?N
Ž¡®§­ 祭¨ï ¨á¯®«ì§®¢ ­­ëå ¢ í⮩ ä®à¬ã«¥ ¯ à ¬¥â஢ ¨¬¥îâ â®â
¦¥ á¬ëá«, çâ® ¨ à ­¥¥: A { à §¬¥à­ ï ª®­áâ ­â , ª®â®àãî ¬®¦­® ¨­â¥à¯à¥â¨à®¢ âì ª ª ¬¯«¨âã¤ã ª®«¥¡ ­¨©, t { ¢à¥¬¥­­®© ¬ áèâ ¡, á¢ï§ ­­ë© á ¤«¨â¥«ì­®áâìî ¨¬¯ã«ìá , ¨§¬¥à¥­­®© ¯® ã஢­î 1/2 ®â ¥£®
¬ ªá¨¬ «ì­®© ¬®é­®áâ¨, ᮮ⭮襭¨¥¬ (5.6), T { ¯®«ãè¨à¨­ ®£¨¡ î饩 æ㣠, { ¢à¥¬¥­­ ï § ¤¥à¦ª ¬¥¦¤ã ᬥ¦­ë¬¨ ¨¬¯ã«ìá ¬¨ ¢ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâ¨, ! { ç áâ®â ­¥áã饩. Ž¡é¥¥ ç¨á«® ¨¬¯ã«ìᮢ ¢ æ㣥
à ¢­® 2N +1, ¯à¨ç¥¬ ¨¬¯ã«ìáë à ᯮ«®¦¥­ë ᨬ¬¥âà¨ç­® ®â­®á¨â¥«ì­®
¬ ªá¨¬ã¬ ®£¨¡ î饩. „ ­­®¥ ®¡áâ®ï⥫ìá⢮ ­¥ ¨¬¥¥â ¯à¨­æ¨¯¨ «ì­®£® §­ 祭¨ï ¤«ï ­ «¨§ à áᬠâਢ ¥¬®© ¬®¤¥«¨, ᤥ« ­­ë© ¢ë¡®à
®¡ãá«®¢«¥­ ¨áª«îç¨â¥«ì­® á®®¡à ¦¥­¨ï¬¨ 㤮¡á⢠, ¯®áª®«ìªã ã ᨬ¬¥âà¨ç­®© ®£¨¡ î饩, ¥ñ 業âà ¡ã¤¥â ¢á¥£¤ ¤¢¨£ âìáï ᮠ᪮à®áâìî vg .
®«ì讥 ª®«¨ç¥á⢮ ¯ à ¬¥â஢ ¨ ¢§ ¨¬­ëå ᮮ⭮襭¨© ¬¥¦¤ã ­¨¬¨
­¥ ¯®§¢®«ïîâ ¤ âì ¯à®áâãî ¨ ­ £«ï¤­ãî ¨­â¥à¯à¥â æ¨î ¢á¥å ¯®â¥­æ¨ «ì­® ¢®§¬®¦­ëå á業 ਥ¢ í¢®«î樨 æ㣠¨¬¯ã«ìᮢ ¢ ⮬ ¦¥ ª«îç¥,
ª ª íâ® ¡ë«® ¢ë¯®«­¥­® ¤«ï ¬®¤¥«¨ ¤¢ãå ¨¬¯ã«ìᮢ. ®í⮬㠢 ¤ ­­®¬
à §¤¥«¥ ¬ë á®á।®â®ç¨¬áï ­ ¯®«ã祭¨¨ ®¡é¥£® ¢ëà ¦¥­¨ï ¤«ï ®£¨¡ î饩 १ã«ìâ¨àãî饣® ᨣ­ « , ®â«®¦¨¢ ®¡á㦤¥­¨¥ à §«¨ç­ëå ç áâ­ëå á¨âã 権 ¨ ¨å á¢ï§ì á ¨¬¥î騬¨áï íªá¯¥à¨¬¥­â «ì­ë¬¨ ¤ ­­ë¬¨
¤® á«¥¤ãîé¨å à §¤¥«®¢ ­ áâ®ï饩 £« ¢ë.
„«ï à áçñâ ®£¨¡ î饩 १ã«ìâ¨àãî饣® ¢®«­®¢®£® ¯ ª¥â , ¯à®è¥¤è¥£® ¢ á।¥ à ááâ®ï­¨¥ L, ¢®á¯®«ì§ã¥¬áï, ª ª ¨ ¢ £« ¢¥ V, ª¢ §¨¬®­®å஬ â¨ç¥áª¨¬ ¯à¨¡«¨¦¥­¨¥¬. ®áª®«ìªã ­ ¨¡®«¥¥ ⨯¨ç­ë¥ ¯à®ï¢«¥­¨ï
¨­â¥àä¥à¥­æ¨®­­ëå íä䥪⮢ ¬®¦­® ¯à®¤¥¬®­áâà¨à®¢ âì 㦥 ¢® ¢â®à®¬ ¯®à浪¥ í⮣® ¯à¨¡«¨¦¥­¨ï, â® ¢ ®á­®¢ã ­ è¨å à áá㦤¥­¨© á«¥¤ã¥â ¯®«®¦¨âì १ã«ìâ âë ¢â®à®£® à §¤¥« £« ¢ë V ¨ ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï
¯à¨­æ¨¯®¬ á㯥௮§¨æ¨¨.
„«ï ॠ«¨§ 樨 â ª®£® ¯®¤å®¤ á«¥¤ã¥â ¢­¥á⨠¯®¤ §­ ª áã¬¬ë ¯¥à¢ë©
ᮬ­®¦¨â¥«ì ¢ (6.9), ®â¢¥ç î騩 § ä®à¬ã æ㣠, § ⥬ ¢ë¤¥«¨âì ¯®«­ë© ª¢ ¤à â ¢ ¯®ª § ⥫¥ ª ¦¤®© ¨§ íªá¯®­¥­â. Ž¯ãáª ï ¢ ¤ «ì­¥©è¨å
¯à¥®¡à §®¢ ­¨ïå ¢ë᮪®ç áâ®â­ë© ¬­®¦¨â¥«ì exp(i! t), ¯®á«¥ ¯à¨¢¥¤¥­¨ï ¯®¤®¡­ëå ç«¥­®¢ ¯®«ãç ¥¬ á«¥¤ãî饥 ¢ëà ¦¥­¨¥ ¤«ï ®£¨¡ î饩
2
2
0
0
=
0
0
0
261
¨á室­®£® ¢®«­®¢®£® ¯ ª¥â :
N
X
f (0; t) = A
exp ? 1 j
T
j ?N
=
2
? 1 t t? j
2 !
0
;
¢ ª®â®à®¬ ¢¢¥¤¥­ ¥é¥ ®¤¨­ ¡¥§à §¬¥à­ë© ¯ à ¬¥âà = 1 + (t =T ) ; å à ªâ¥à¨§ãî騩 ®â­®è¥­¨¥ ¤«¨â¥«ì­®á⨠®¤¨­®ç­®£® ¨¬¯ã«ìá t ª ¤«¨â¥«ì­®á⨠¢á¥£® æ㣠¨¬¯ã«ìᮢ T . …᫨ ⥯¥àì ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï «¨­¥©­®áâìî à áᬠâਢ ¥¬®© ¬®¤¥«¨, ¢ëà ¦¥­¨¥¬ (5.5) ¤«ï à áç¥â ãè¨à¥­¨ï ®¤¨­®ç­®£® £ ãáᮢ ¨¬¯ã«ìá ¨ ¢¢¥á⨠¤¨á¯¥àᨮ­­ë© ¯ à ¬¥âà ­ ®á­®¢¥ ᮮ⭮襭¨ï (5.9), â® ª®¬¯«¥ªá­ãî ®£¨¡ îéãî ᨣ­ « (6.9),
­ à ááâ®ï­¨¨ L ®â ¨á室­®© â®çª¨ ¬®¦­® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥
!
N
X
1
?j : (6.10)
exp ? 1 j
f (; ) = p A
?
T
(1+2i) t
1+2i j ?N
2
0
0
2
2
0
=
”®à¬ã« (6.10) ¨¬¥¥â ®¡é¨© å à ªâ¥à ¨ ¢ ¯à¨­æ¨¯¥ ¯®§¢®«ï¥â ¯à® ­ «¨§¨à®¢ âì ¯à®å®¦¤¥­¨¥ ®£à ­¨ç¥­­®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠¨¬¯ã«ìᮢ ç¥à¥§ ¤¨á¯¥àᨮ­­ãî á।㠯ਠ¯à®¨§¢®«ì­ëå §­ 祭¨ïå ¯ à ¬¥â஢.
Ž¤­ ª® ¯®¯ë⪨ ¯à®¬®¤¥«¨à®¢ âì â ª¨¥ ¯à®æ¥ááë, ¢ ª®â®àëå ¯à®¨á室ïâ áãé¥á⢥­­ë¥ ¨§¬¥­¥­¨ï å à ªâ¥à­ëå ¢à¥¬¥­­ë å ¬ áèâ ¡®¢, ¯®à®¦¤ îâ §­ ç¨â¥«ì­ë¥ § âà㤭¥­¨ï, ¯®áª®«ìªã ¯à¨®à¨ ­¥¨§¢¥áâ­® ¯à¨
ª ª¨å ᮮ⭮襭¨ïå ¬¥¦¤ã ¯ à ¬¥âà ¬¨ ¢®«­®¢®£® ¯ ª¥â ¡ã¤¥â ¢®§­¨ª âì १ª®¥ ¨§¬¥­¥­¨¥ ¢à¥¬¥­­®£® ¯à®ä¨«ï ¥£® ®£¨¡ î饩. à®¢¥¤¥­¨¥
¢ëç¨á«¥­¨© ­ á¥âª¥ § ¢¥¤®¬® ¬¥«ª®£® à §¬¥à ¬­®£®ªà â­® 㢥«¨ç¨¢ ¥â ¢à¥¬ï áçñâ , ⮣¤ ª ª ç१¬¥à­®¥ ¥ñ ®£àã¡«¥­¨¥ ᯮᮡ­® ¯à¨¢¥áâ¨
¯à®áâ® ª ¯à®¯ãáªã ¯à ªâ¨ç¥áª¨ ¨­â¥à¥á­ëå ®á®¡¥­­®á⥩ ¯®¢¥¤¥­¨ï ¢à¥¬¥­­®£® ¯à®ä¨«ï ®£¨¡ î饩, ॠ«¨§ãîé¨åáï ¢ ªà ©­¥ 㧪¨å ¤¨ ¯ §®­ å
¨§¬¥­¥­¨ï ¯ à ¬¥â஢ § ¤ ç¨ ¨ âॡãîé¨å ®ç¥­ì â®­ª®© ­ áâனª¨.
®¤®¡­®¥ ¯®¢¥¤¥­¨¥, ¢ ç áâ­®áâ¨, á¢ï§ ­® á ᨫ쭮© § ¢¨á¨¬®áâìî ç¨á« ¢®§¬®¦­ëå ¢â®à¨ç­ëå ¨­â¥àä¥à¥­æ¨®­­ëå ¬ ªá¨¬ã¬®¢ ®â ᪢ ¦­®á⨠¨¬¯ã«ìᮢ ¨ ¢ â ª®© á¨âã 樨 ¬®¤¥«¨à®¢ ­¨¥ ¤¨­ ¬¨ª¨ æ㣠ᨫ쭮
à §­¥á¥­­ëå 䥬â®á¥ªã­¤­ëå ¨¬¯ã«ìᮢ, £¥­¥à¨à㥬ëå, ­ ¯à¨¬¥à, « §¥à ¬¨ ­ á ¯ä¨à¥ ªâ¨¢¨à®¢ ­­®¬ â¨â ­®¬ ᮠ᪢ ¦­®áâìî 10 10 ,
¢ à ¬ª å ¯à¥¤«®¦¥­­®© ¬®¤¥«¨ ®ª §ë¢¥âáï ¢¥áì¬ âà㤮ñ¬ª®© § ¤ 祩.
Ž¡à é ï ¢­¨¬ ­¨¥ ­ ¢®§¬®¦­ë¥ á«®¦­®á⨠¯à®¢¥¤¥­¨ï à áçñ⮢, ¬ë
å®â¥«¨ ¡ë ¯®¤ç¥àª­ãâì, çâ® ¯à¨ ­ «¨ç¨¨ ®¤­®£® ¨«¨ ¤ ¦¥ ­¥áª®«ìª¨å
¡®«ìè¨å ¯ à ¬¥â஢ ¨áá«¥¤®¢ ­¨¥ à §«¨ç­ëå áâ ¤¨© í¢®«î樨 ¢®«­®¢®£® ¯ ª¥â ®â­î¤ì ­¥ ¢á¥£¤ ᢮¤¨âáï ª âਢ¨ «ì­®¬ã ⠡㫨஢ ­¨î
¯®«ã祭­®£® ¢ ¢¨¤¥ (6.10) à¥è¥­¨ï, âॡã¥â ॠ«¨§ 樨 ¤ ¯â¨¢­®©
4
262
5
á奬ë, ᯮᮡ­®© ¡ëáâà® ¯¥à¥á¥ª âì ⥠®¡« áâ¨, ¢ ª®â®àëå ®âáãâáâ¢ãîâ
᪮«ìª®-­¨¡ã¤ì §­ ç¨â¥«ì­ë¥ ¨§¬¥­¥­¨ï ¢à¥¬¥­­®£® ¯à®ä¨«ï ¨ ¡®«¥¥ ¯®¤à®¡­® ¢®á¯à®¨§¢®¤¨âì ª à⨭㠮£¨¡ î饩 ¨¬¥­­® â ¬, £¤¥ ®­ ¡ëáâà®
¤¥ä®à¬¨àã¥âáï.
à¨ ®âáãâá⢨¨ ¡®«ìè¨å ¯ à ¬¥â஢
âà ­áä®à¬ æ¨ï ®£¨¡ î饩 ­®á¨â ¯« ¢- Ι(µ,τ)
­ë© å à ªâ¥à á ­¥¡®«ì訬 ç¨á«®¬ ¢®§- 0.51
0
¬®¦­ëå á業 ਥ¢, ª®â®àë¥, ª ⮬ã
0
1 µ
¦¥, ¤®¯ã᪠îâ ¥áâ¥á⢥­­ãî ¨­â¥à¯à¥−4
2
τ
−2
â æ¨î ¢ à ¬ª å ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨© ¯à¥¤ë3
0
2
4
¤ã饣® à §¤¥« . Ž¤­ ¨§ ¯à®á⥩è¨å
5 4
á¨âã 権 ¯®¤®¡­®£® த ¯®ª § ­ ­ ¨á.6.6. „¨­ ¬¨ª í¢®«î樨 ¯ ª¥â à¨á. 6.6. ‚ ¤ ­­®¬ ¯à¨¬¥à¥ í¢®«î- ¨§ âà¥å £ ãáᮢëå ¨¬¯ã«ìᮢ ¯à¨
æ¨î ®£¨¡ î饩 ¢®«­®¢®£® ¯ ª¥â , á®- ­¥¡®«ì让 ¢¥«¨ç¨­¥ § ¤¥à¦ª¨ ¬¥¦áâ®ï饣® ¢á¥£® «¨èì ¨§ âàñå ¨¬¯ã«ìᮢ, ¤ã ¨¬¯ã«ìá ¬¨ (=t = 3).
ᬥéñ­­ëå ¤à㣠®â­®á¨â¥«ì­® ¤à㣠­ ­¥¡®«ìèãî ¢¥«¨ç¨­ã (=t = 3),
㤮¡­® à áᬠâਢ âì ª ª ¯à®æ¥áá ¯®¯ à­®© ¨­â¥àä¥à¥­æ¨¨ ¤¢ãå ᬥ¦­ëå ¨¬¯ã«ìᮢ. ¥¡®«ìè ï ¢¥«¨ç¨­ § ¤¥à¦ª¨ ¯à¨¢®¤¨â ª ⮬ã, çâ®
㦥 ¢ ¨á室­®¬ á®áâ®ï­¨¨ ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ¯¥à¥ªàë⨥ ú墮á⮢û, â ª ª ª
¤ ¦¥ ¬¨­¨¬ «ì­ ï ¨­â¥­á¨¢­®áâì ¢ ¯à®¬¥¦ã⪥ ¬¥¦¤ã ¨¬¯ã«ìá ¬¨ ¯à¥¢ëè ¥â 5% ®â ¯¨ª®¢®© ¬®é­®á⨠業âà «ì­®£® ¨¬¯ã«ìá . ‚ १ã«ìâ ⥠¯®á«¥ ­¥¯à®¤®«¦¨â¥«ì­®© ­ ç «ì­®© áâ ¤¨¨, ­ ª®â®à®© ãè¨à¥­¨¥ ª ¦¤®£® ¨§ ¯¥à¢¨ç­ëå ¨¬¯ã«ìᮢ ¬®¦­® à áᬠâਢ âì ­¥§ ¢¨á¨¬®,
¬¥¦¤ã á®á¥¤­¨¬¨ ¨¬¯ã«ìá ¬¨ ­ 稭 ¥â ä®à¬¨à®¢ âìáï ¨­â¥àä¥à¥­æ¨®­­ë© ¬ ªá¨¬ã¬.
‚ë¡à ­­®¥ ¤«ï ¤ ­­®£® ¯à¨¬¥à §­ 祭¨¥ ¯ à ¬¥âà T = 12 ¯à¨¢®¤¨â «¨èì ª ­¥§­ ç¨â¥«ì­®¬ã 㬥­ì襭¨î ¯¨ª®¢®© ¬®é­®á⨠ªà ©­¨å
¨¬¯ã«ìᮢ ¯® ®â­®è¥­¨î ª ¯¨ª®¢®© ¬®é­®á⨠業âà «ì­®£® ¨¬¯ã«ìá ,
¯®í⮬㠯à®æ¥áá ä®à¬¨à®¢ ­¨ï ¨­â¥àä¥à¥­æ¨®­­ëå ¯¨ª®¢ ¯à ªâ¨ç¥áª¨
­¥ ®â«¨ç ¥âáï ®â ⮣®, çâ® ¯®ª § ­® ­ à¨á.6.3¡. • à ªâ¥à­®, çâ® ¢ ⮬
á¥ç¥­¨¨ á।ë, £¤¥ ¨­â¥­á¨¢­®áâì ¨­â¥àä¥à¥­æ¨®­­ëå ¯¨ª®¢ ¤®á⨣ ¥â
᢮¥£® ¬ ªá¨¬ «ì­®£® §­ 祭¨ï, á®áâ ¢«ïî饣® 85% ®â ¢¥«¨ç¨­ë I (0; 0),
¨­â¥­á¨¢­®áâì I (; 0) ®ª §ë¢ ¥âáï ¡«¨§ª®© ª ­ã«î, â® ¥áâì 業âà «ì­ë©
¨¬¯ã«ìá ¨á室­®£® ¯ ª¥â ª ª ¡ë ¨á祧 ¥â. Ž¤­ ª® ¯® ¬¥à¥ ¤ «ì­¥©è¥£®
à á¯à®áâà ­¥­¨ï æ㣠®­ ¢­®¢ì ¯à®ï¢¨âáï, ᪮­æ¥­âà¨à®¢ ¢ ¢ ᥡ¥ ¢áî
í­¥à£¨î ¨­â¥àä¥à¥­æ¨®­­ëå ¯¨ª®¢. Žç¥¢¨¤­®, çâ® ¤«¨â¥«ì­®áâì ú¢ë¦¨¢è¥£®û ¢ १ã«ìâ ⥠á¥à¨¨ ¯à¥¢à 饭¨© 業âà «ì­®£® ¨¬¯ã«ìá ¡ã¤¥â
§­ ç¨â¥«ì­® ¡®«ìè¥ ç¥¬ ã ¨á室­®£®, ¥£® ¬ ªá¨¬ «ì­ ï ¨­â¥­á¨¢­®áâì
¯à¨ 3:94 á®áâ ¢«ï¥â 64% ®â ¯¨ª®¢®© ¬®é­®á⨠¨á室­®£® ¨¬¯ã«ìá .
0
0
263
 ­¥¥, ¢ १ã«ìâ ⥠­ «¨§ ¯à®á⥩襩 ¬®¤¥«¨ ¤¢ãå ¨­â¥àä¥à¨àãîé¨å ¨¬¯ã«ìᮢ ¡ë«® ¯®ª § ­®, çâ® ¯à¨ ­¥¡®«ì让 ¢¥«¨ç¨­¥ ®â­®á¨â¥«ì­®© § ¤¥à¦ª¨ , ­¥ ¯à¥¢ëè î饩 ­¥ª®â®à®¥ ¯®à®£®¢®¥ §­ 祭¨¥ 5t ,
ॠ«¨§ã¥âáï ç१¢ëç ©­® ¯à®á⮩ á業 ਩ í¢®«î樨. …᫨ ¬¯«¨âã¤ë
¨á室­ëå ¨¬¯ã«ìᮢ ®ª §ë¢ «¨áì à ¢­ë¬¨, â® ¨­â¥àä¥à¥­æ¨®­­ë© ¬ ªá¨¬ã¬ ¢®§­¨ª « â®ç­® ¢ á¥à¥¤¨­¥ ¬¥¦¤ã ­¨¬¨ ¨ ª®­æ¥­âà¨à®¢ « ¢ ᥡ¥
§­ ç¨â¥«ì­ãî ç áâì ¯®«­®© í­¥à£¨¨. ˆ­â¥à¯à¥â æ¨ï ¤¨­ ¬¨ª¨ à á¯à®áâà ­¥­¨ï ¢®«­®¢®£® ¯ ª¥â ª ª ᮢ®ªã¯­®á⨠¯®¯ à­® ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ãîé¨å ¨¬¯ã«ìᮢ ¯®§¢®«ï« ¢¯®«­¥ ª®à४⭮ ®¯¨á âì ¢á¥ ®á­®¢­ë¥ § ª®­®¬¥à­®á⨠¯®¢¥¤¥­¨ï æ㣠¨§ âàñå ¨¬¯ã«ìᮢ ¯à¨ ãá«®¢¨¨ < .
Ž¡®¡é ï ­ è¨ à áá㦤¥­¨ï ­ á«ãç © ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâ¨, ᮤ¥à¦ 饩 ¢ ¨á室­®¬ á®áâ®ï­¨¨ N ¨¬¯ã«ìᮢ, ®¡­ à㦨¢ ¥¬, çâ® ¯®á«¥ § ¢¥à襭¨ï ®ç¥à¥¤­®£® ¨­â¥àä¥à¥­æ¨®­­®£® 横« , â® ¥áâì ­ ®¯à¥¤¥«ñ­­®¬
à ááâ®ï­¨¨ ®â ¨á室­®© â®çª¨, ª®£¤ ¨­â¥­á¨¢­®áâì ¢ ¨­â¥àä¥à¥­æ¨®­­ëå ¯¨ª å ¤®á⨣ ¥â ᢮¥£® ¬ ªá¨¬ «ì­®£® §­ 祭¨ï, ¯®¤ ®¡é¥© ®£¨¡ î饩 ¢®«­®¢®£® ¯ ª¥â ¢®ááâ ­ ¢«¨¢ ¥âáï ॣã«ïà­ ï áâàãªâãà , ¢ ª®â®à®© ᮤ¥à¦¨âáï 㦥 ­¥ N , N ? 1 ¨¬¯ã«ìá. ‘«¥¤ãî騩 横« 㬥­ìè ¥â
ç¨á«® ¨¬¯ã«ìᮢ ¯®¤ ®£¨¡ î饩 ¥éñ ­ ¥¤¨­¨æã ¨ â ª ¤® â¥å ¯®à, ¯®ª ­¥ ®áâ ­¥âáï ⮫쪮 ®¤¨­ ¨¬¯ã«ìá, ª®â®àë© ­ § ª«îç¨â¥«ì­®© áâ ¤¨¨
¡ã¤¥â ¢¥áâ¨ á¥¡ï ª ª ¨ ®¡ëç­ë© ®¤¨­®ç­ë© ¨¬¯ã«ìá.
Ž¤­ ª® á 㢥«¨ç¥­¨¥¬ ᪢ ¦­®á⨠áâ®«ì ¯à®á⮩ á業 ਩ áâ ­®¢¨âáï
㦥 ­¥¯à¨¬¥­¨¬ë¬, çâ® ¢¯®«­¥ ¥áâ¥á⢥­­®, â ª ª ª ¤ ¦¥ ¢ ¯à®á⥩襩
¬®¤¥«¨ ¤¢ãå ¨¬¯ã«ìᮢ ¯® ¬¥à¥ ¯à¨¡«¨¦¥­¨ï ª ¯®£à ­¨ç­®¬ã §­ 祭¨î
áâàãªâãà ®£¨¡ î饩 ¢ ¯à®¬¥¦ã⪥ ¬¥¦¤ã ¨á室­ë¬¨ ¨¬¯ã«ìá ¬¨
áâ ­®¢¨âáï §­ ç¨â¥«ì­® á«®¦­¥¥. ®«¥¥ ⮣®, ãç¨âë¢ ï ⮫쪮 ¯ à­ë¥
¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ¬¥¦¤ã ᬥ¦­ë¬¨ ¨¬¯ã«ìá ¬¨ ¯®¯à®áâã ­¥¢®§¬®¦­® ®æ¥­¨âì ¢«¨ï­¨¥ ª®«¨ç¥á⢠¨¬¯ã«ìᮢ ¢ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠­ å à ªâ¥à
®£¨¡ î饩 æ㣠. ‚ â® ¦¥ ¢à¥¬ï ïá­®, çâ® á à®á⮬ ¯ à ¬¥âà ¢ª« ¤
ª®««¥ªâ¨¢­ëå ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨© ¡ã¤¥â ⮫쪮 ¢®§à áâ âì.
‚ ¯®á«¥¤ãî饬 ¨§«®¦¥­¨¨ ¬ë 㤥«¨¬ ®á­®¢­®¥ ¢­¨¬ ­¨¥ ®¡á㦤¥­¨î â¥å ª ç¥á⢥­­® ­®¢ëå ®á®¡¥­­®á⥩ ¢ âà ­áä®à¬ 樨 ®£¨¡ î饩,
ª®â®àë¥ ¯à®ï¢«ïîâáï 㦥 ¢ ®¡« á⨠¯®£à ­¨ç­ëå §­ 祭¨© . ‚§ï¢ § ®á­®¢ã ¢ëà ¦¥­¨¥ (6.10), ¯®«®¦¨¬ =t = 5, T=t = 50. à¨ 㪠§ ­­ëå §­ 祭¨ïå ¯ à ¬¥â஢ ¨¬¯ã«ìáë ¢ ¨á室­®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠¤®áâ â®ç­® 㤠«¥­ë ¤à㣠®â ¤à㣠, ¯®í⮬㠭 ­ ç «ì­®© áâ ¤¨¨ ¤®«¦­®
­ ¡«î¤ âìáï ¨å ãè¨à¥­¨¥ ¢ ᮮ⢥âá⢨¨ á ¯®¤à®¡­® ¨§ã祭­ë¬¨ á業 à¨ï¬¨ ¯à¥¤ë¤ã饩 £« ¢ë. ®«ì讥 §­ 祭¨¥ ¯ à ¬¥âà T ®§­ ç ¥â, çâ®
ã ªà ©­¨å ¨¬¯ã«ìᮢ ¬¯«¨â㤠«¨èì ­¥¬­®£® ¬¥­ìè¥ ç¥¬ ã 業âà «ì­®£®, ¯®íâ®¬ã ¨å ¢ª« ¤ ¢ ¯®¢¥¤¥­¨¥ f (; ) ¤ ¦¥ ¢ 業âà «ì­®© ç áâ¨
0
0
264
0
æ㣠, ®á®¡¥­­® ­ ¡®«ìè¨å à ááâ®ï­¨ïå, ®ª §ë¢ ¥âáï áãé¥á⢥­­ë¬.
„«ï ⮣®, çâ®¡ë ¯à®¨«1 Ι(µ,τ)
«îáâà¨à®¢ âì ¢«¨ï­¨¥ ª®«¨ç¥á⢠¨¬¯ã«ìᮢ ¢ æ㣥 ­ 0.8
¯ à ¬¥âàë ¢à¥¬¥­­®£® ¯à®- 0.6
ä¨«ï ®£¨¡ î饩 ¢¯®«­¥ ¤®- 0.4
áâ â®ç­® ¯®«®¦¨âì N = 2, 0.2
â® ¥áâì à áᬮâà¥âì á«ãç ©
0
0
¯ïâ¨, ­¥ âàñå ¨¬¯ã«ìᮢ. „¨­ ¬¨ª ¨­â¥àä¥à¥­0.5
樮­­ëå ¯¨ª®¢ ®ª §ë¢ ¥âáï
1
¯à¨ í⮬ £®à §¤® ¡®«¥¥ á«®¦τ
1.5 µ
−10
­®©.
−5
0
5
2
10
 à¨á. 6.7 ¯®ª § ­ äà £¬¥­â ­ ç «ì­®© ä §ë âà ­á” § § ஦¤¥­¨ï ¨­â¥àä¥à¥­æ¨®­­ëå
ä®à¬ 樨 ®£¨¡ î饩. ¥- ¨á.6.7.
¢ ¯ ª¥â¥ ¨§ 5 £ ãáᮢëå ¨¬¯ã«ìᮢ ¯à¨
âà㤭® § ¬¥â¨âì, çâ® å à ª- ¯¨ª®¢
=t = 5 ¨ T = 50.
â¥à § ஦¤¥­¨ï ¨­â¥àä¥à¥­æ¨®­­ëå ¯¨ª®¢ ¯à¨®¡à¥« àï¤ ­®¢ëå ®á®¡¥­­®á⥩. ‚ ®â«¨ç¨¥ ®â à áᬮâ७­ëå à ­¥¥ á業 ਥ¢ ä®à¬¨à®¢ ­¨¥ ¨­â¥àä¥à¥­æ¨®­­ëå ¯¨ª®¢ ¢
¯à®¬¥¦ãâª å ¬¥¦¤ã ¨á室­ë¬¨ ¨¬¯ã«ìá ¬¨ ¡®«ìè¥ ã¦¥ ­¥ ¯à¨¢®¤¨â ª
¯®«­®¬ã ¨á祧­®¢¥­¨î ¨á室­ëå ¨¬¯ã«ìᮢ. ®«¥¥ ⮣®, ­ 稭 ï á ­¥ª®â®à®£® ¬®¬¥­â ¢­®¢ì ­ 稭 ¥âáï à®áâ ¨­â¥­á¨¢­®á⨠¢ 業âà å ¯¥à¢¨ç­ëå ¨¬¯ã«ìᮢ. ‚­¥è­¥ íâ® ¢®á¯à¨­¨¬ ¥âáï ª ª ¥éñ ®¤­ á¥à¨ï ¨­â¥àä¥à¥­æ¨®­­ëå ¬ ªá¨¬ã¬®¢. • à ªâ¥à­®, çâ® ª ¬®¬¥­âã § ¢¥à襭¨ï
᢮¥£® ä®à¬¨à®¢ ­¨ï ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠â®çª¨ 2, ¨­â¥­á¨¢­®á⨠¢á¥å
¨¬¥îé¨åáï ¢â®à¨ç­ëå ¯¨ª®¢ ®ª §ë¢ îâáï ¯à ªâ¨ç¥áª¨ ®¤¨­ ª®¢ë¬¨.
„ ­­ ï ®á®¡¥­­®áâì, ¯à¨¢®¤ïé ï ª 㤢®¥­¨î ç¨á« ¢á¯«¥áª®¢ ­ ®£¨¡ î饩, ­¥ ¯®¤¤ ñâáï ®¡êïá­¥­¨î ¢ à ¬ª å ã¯à®éñ­­®© ¬®¤¥«¨ ¯ à­ëå
¢§ ¨¬®¤¥©á⢨© ¨ ¤®«¦­ âà ªâ®¢ âìáï ª ª áã£ã¡® ª®««¥ªâ¨¢­®¥ ¥­¨¥, ®¡ãá«®¢«¥­­®¥ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥¬ ¢á¥å ¢å®¤ïé¨å ¢ ¯ ª¥â ¯¥à¢¨ç­ëå
¨¬¯ã«ìᮢ. „¥©á⢨⥫쭮, ¨­â¥à¯à¥â¨à®¢ âì ¯®ï¢«¥­¨¥ ¢â®à®© á¥à¨¨
¬ ªá¨¬ã¬®¢, ª®â®à ï ­ 稭 ¥â ­ ¡«î¤ âìáï 㦥 ¯à¨ 1, ª ª १ã«ìâ â ¨­â¥àä¥à¥­æ¨¨ ­¥á¬¥¦­ëå ¯¥à¢¨ç­ëå ¨¬¯ã«ìᮢ, ᬥ饭­ëå ¤àã£
®â­®á¨â¥«ì­® ¤à㣠­ ¢¥«¨ç¨­ã 2 ¯à¨ § ¤ ­­ëå §­ 祭¨ïå ¯ à ¬¥â஢
¯à®áâ® ­¥à¥ «ì­®, ¯®áª®«ìªã ­¨ ® ª ª®¬ ¯¥à¥ªàë⨨ ­¥ ¬®¦¥â ¡ëâì ¨
à¥ç¨. ‘ ¤à㣮© áâ®à®­ë, ¢â®à¨ç­ë¥ ¯¨ª¨ ¡®«¥¥ ¢ë᮪®£® ¯®à浪 , å à ªâ¥à­ë¥ ¤«ï ¬®¤¥«¨ ¤¢ãå ᨫ쭮 à §­¥áñ­­ëå ¨¬¯ã«ìᮢ, ­ 稭 îâ
¢®§­¨ª âì ⮫쪮 ¯à¨ ¯à¥¢ë襭¨¨ ¯ à ¬¥â஬ ¯®à®£®¢®£® §­ 祭¨ï
0
265
1:89, ⮣¤ ª ª ¢ ¤ ­­®¬ á«ãç ¥ ä®à¬¨à®¢ ­¨¥ ¨­â¥àä¥à¥­æ¨®­­ëå
¬ ªá¨¬ã¬®¢ ¯à®¨á室¨â ­ ¡®«¥¥ à ­­¥© áâ ¤¨¨.
Ž¡« áâì ¯à®¬¥¦ãâ®ç­ëå §­ - 1 Ι(µ,τ)
祭¨© ¯ à ¬¥âà , ¯®ª § ­­ ï ­ à¨á.6.8, ¯à¨¢®¤¨â ª 0.8
á«®¦­®© § ¢¨á¨¬®á⨠à á¯à¥- 0.6
¤¥«¥­¨ï ¬®é­®á⨠¯® à §«¨ç- 0.4
­ë¬ ¨­â¥àä¥à¥­æ¨®­­ë¬ ¯¨- 0.2
ª ¬, ­¥ ¤®¯ã᪠î饩 ¯à®á⮩
0
2
ª ç¥á⢥­­®© ¨­â¥à¯à¥â 樨.
à®æ¥áá ¯¥à¥ª 窨 í­¥à£¨¨
3
¬¥¦¤ã ¨­â¥àä¥à¥­æ¨®­­ë¬¨
4 µ
¯¨ª ¬¨ § âãå ¥â ªà ©­¥ ¬¥¤τ
−10
5
−5
0
«¥­­®. ‚ १ã«ìâ ⥠¯¥à¥5
10
6 15
室 ª ¤ «ì­¥© ᨬ¯â®â¨ç¥áª®© ®¡« á⨠­ áâ㯠¥â «¨èì ¨á.6.8. Ž£¨¡ îé ïï ¯ ª¥â ¨§ 5 £ ãáᮢëå ¨¬¯à¨ ®ç¥­ì ¡®«ìè¨å §­ 祭¨ïå ¯ã«ìᮢ ¯à¨ =t0 = 5 ¨ T = 50 ¢ ®¡« á⨠¯à®¬¥¦ãâ®ç­ëå §­ 祭¨© .
.
1
266
ªá¯¥à¨¬¥­â «ì­®¥ ¨áá«¥¤®¢ ­¨¥ ®á®¡¥­­®á⥩
¯à®å®¦¤¥­¨ï ¯¥à¨®¤¨ç¥áª®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠ª®£¥à¥­â­ëå
¨¬¯ã«ìᮢ ç¥à¥§ ¬­®£®¬®¤®¢ë© ¢®«®ª®­­ë© ᢥ⮢®¤
6.5.
‘¯à ¢¥¤«¨¢®áâì à áç¥â®¢ ¯® ä®à¬ã«¥ (6.10) ¨ ¯à¥¤áª §ë¢ ¥¬ëå ¥î
íä䥪⮢, ¢®§­¨ª îé¨å ¯à¨ ¯à®å®¦¤¥­¨¨ ॣã«ïà­ëå ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⥩ ᢥà媮à®âª¨å ¨¬¯ã«ìᮢ ç¥à¥§ á।ã á ¤¨á¯¥àᨥ© ­¥ ¢ë§ë¢ ¥â ᮬ­¥­¨©. ‚ à ¬ª å ¨á¯®«ì§®¢ ­­®£® ¯à¨¡«¨¦¥­¨ï £ ãáᮢëå ¨¬¯ã«ìᮢ
­ «¨â¨ç¥áª®¥ à¥è¥­¨¥ (6.10) ï¥âáï â®ç­ë¬.
‚ «¨â¥à âãॠ¨¬¥îâáï ¯ã¡«¨ª 樨, ¯®á¢ï饭­ë¥ ç¨á⮠⥮à¥â¨ç¥áª®¬ã ¨§ã祭¨î ®á®¡¥­­®á⥩ ¨­â¥àä¥à¥­æ¨¨ ¯¥à¨®¤¨ç¥áª¨å ¨¬¯ã«ìᮢ
¢ ¤¨á¯¥àᨮ­­®© á।¥. ‚ ­£«®ï§ëç­®© «¨â¥à âãॠᮮ⢥âáâ¢ãî騥
íä䥪âë ¯à¨­ïâ® ­ §ë¢ âì ¢à¥¬¥­­ë¬¨ ­ «®£ ¬¨ íä䥪⠒ «ì¡®â .
‚ â ª¨å à ¡®â å ­ «¨§ ¯à®¢®¤ïâ ­ ®á­®¢¥ ç¨á«¥­­ëå à áç¥â®¢ [1]. ®«ãç ¥¬ë¥ ¯à¨ í⮬ १ã«ìâ âë, ª ª ¯à ¢¨«®, ¨¬¥îâ ç áâ­ë© å à ªâ¥à
¨ ¢ ®á­®¢­®¬ ¯®¢â®àïî⠢뢮¤ë, ¯à¨¢¥¤¥­­ë¥ ¢ ¯à¥¤ë¤ã饬 à §¤¥«¥.
•®âï ­ «¨§ ä®à¬ã«ë (6.10) â ª¦¥ ¯à¨å®¤¨âáï ¯à®¢®¤¨âì ¨á¯®«ì§ãï ª®¬¯ìîâ¥à, ⥬ ­¥ ¬¥­¥¥, ®­ ®¡¥á¯¥ç¨¢ ¥â ®¡é­®áâì à áᬮâ७¨ï ®¯¨áë¢ ¥¬®£® ¥î ªà㣠§ ¤ ç, â ª ª ª ï¥âáï ­ «¨â¨ç¥áª¨¬ à¥è¥­¨¥¬ ¤«ï
ã­¨¢¥àá «ì­®© ¬®¤¥«¨: ¯ 窨 £ ãáᮢëå ¨¬¯ã«ìᮢ ¯®¤ ®¡é¥© £ ãáᮢ®©
®£¨¡ î饩. â ¬®¤¥«ì ¯à¨ à áᬮâ७¨¨ ¥­¨©, ᮯ஢®¦¤ îé¨å
¨­â¥àä¥à¥­æ¨î ®£à ­¨ç¥­­ëå ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⥩ ¨¬¯ã«ìᮢ, ¤®«¦­ ¨¬¥âì â ª®¥ ¦¥ §­ 祭¨¥, ª ª ¬®¤¥«ì ®¤¨­®ç­®£® £ ãáᮢ ¨¬¯ã«ìá , à á¯à®áâà ­ïî饣®áï ¢ á।¥ á ¤¨á¯¥àᨥ©.
® ¨¬¥î饩áï ã ­ á ¨­ä®à¬ 樨 ¢ «¨â¥à âãॠ¯®ª ®âáãâáâ¢ãîâ íªá¯¥à¨¬¥­â «ì­ë¥ ¨áá«¥¤®¢ ­¨ï ¤¨­ ¬¨ª¨ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⥩ ã«ìâà ª®à®âª¨å ¨¬¯ã«ìᮢ ¢ «¨­¥©­®© á।¥ á ¤¨á¯¥àᨥ© § ¨áª«î祭¨¥¬ ­ 襩 à ¡®âë [2]. ˆ§ã祭¨¥ ­ ®¯ë⥠íä䥪⮢ ¨­â¥àä¥à¥­æ¨¨ ¨¬¯ã«ìᮢ,
¯à¥¤áª §ë¢ ¥¬ëå à áç¥â ¬¨, á¢ï§ ­® á® §­ ç¨â¥«ì­ë¬¨ íªá¯¥à¨¬¥­â «ì­ë¬¨ âà㤭®áâﬨ. „«ï ¯®áâ ­®¢ª¨ íªá¯¥à¨¬¥­â®¢ ­¥®¡å®¤¨¬® ­ «¨ç¨¥
âà¥å ᮣ« ᮢ ­­ëå ¤àã£ á ¤à㣮¬ í«¥¬¥­â®¢: ¨áâ®ç­¨ª ¯¥à¨®¤¨ç¥áª¨å
ª®£¥à¥­â­ëå ã«ìâà ª®à®âª¨å ¨¬¯ã«ìᮢ (ª¢ §¨­¥¯à¥à뢭®£® « §¥à , à ¡®â î饣® ¢ ०¨¬¥ £¥­¥à 樨 ᢥà媮à®âª¨å ¨¬¯ã«ìᮢ), á।ë á ¤¨á¯¥àᨥ© ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 ¤«¨­ë ¨ ¯¯ à âãàë ¤«ï ॣ¨áâà 樨 ä®à¬ë
®£¨¡ î饩 ¨¬¯ã«ìᮢ ­ ¢å®¤¥ ¨ ¢ë室¥ ¨§ á।ë.
„«ï ­ ¡«î¤¥­¨© ¨­â¥àä¥à¥­æ¨¨ ¨¬¯ã«ìᮢ á ¤«¨â¥«ì­®áâﬨ, «¥¦ 騬¨ ¢ ¤¨ ¯ §®­¥ 10 100 ¯á, ¤«ï ª®â®àëå ¢®§¬®¦­ë ¯àï¬ë¥ í«¥ªâà®­­®®¯â¨ç¥áª¨¥ ¨§¬¥à¥­¨ï ®£¨¡ î饩, ­¥®¡å®¤¨¬ á। (®¤­®¬®¤®¢ë© ¢®«®ª®­­ë© ᢥ⮢®¤), ¤«¨­®© ¯®à浪 1 100 ª¬. ®â¥à¨ ¨§«ã祭¨ï ¢ ᢥ267
⮢®¤ å â ª®© ¤«¨­ë ᨫ쭮 ®£à ­¨ç¨¢ îâ ¨«¨ ¤ ¦¥ ¤¥« îâ ­¥¢®§¬®¦­ë¬¨ ¨§¬¥à¥­¨ï ä®à¬ë ᨣ­ «®¢ ­ ¨å ¢ë室¥. „«ï ¨¬¯ã«ìᮢ ¡®«ì襩,
¢ ⮬ ç¨á«¥ ­ ­®á¥ªã­¤­®© ¤«¨â¥«ì­®áâ¨, ­ ¡«î¤¥­¨ï ¯® í⮩ ¯à¨ç¨­¥
­¥¢®§¬®¦­ë ¯à¨­æ¨¯¨ «ì­®, â ª ª ª ¤«¨­ ®¤­®¬®¤®¢®£® ᢥ⮢®¤ ¤®«¦­ ¯à¥¢ëè âì 1000 ª¬.
à¨ ¯¥à¥å®¤¥ ¢ ®¡« áâì ¡®«¥¥ ª®à®âª¨å, 䥬â®á¥ªã­¤­ëå ¨¬¯ã«ìᮢ
¢ ª ç¥á⢥ ¤¨á¯¥àᨮ­­®© áà¥¤ë ¬®¦­® ¨á¯®«ì§®¢ âì ­¥ ᢥ⮢®¤ë, ¯« áâ¨­ë ¨§ á⥪« ¨«¨ ¤à㣮£® ¯à®§à ç­®£® ¬ â¥à¨ « ⮫騭®© ¢
­¥áª®«ìª® á ­â¨¬¥â஢. Ž¤­ ª® §¤¥áì íªá¯¥à¨¬¥­âë ¯®ª ­¥¢®§¬®¦­ë
¨§-§ ®âáãâáâ¢¨ï ­ ¤¥¦­ëå ¯àï¬ëå ¬¥â®¤®¢ ॣ¨áâà 樨 ä®à¬ë ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⥩ 䥬â®á¥ªã­¤­ëå ¨¬¯ã«ìᮢ.
‚ « ¡®à â®à¨¨ ¬ë ¨¬¥«¨ å®à®è¨© ¨áâ®ç­¨ª áâ ¡¨«ì­ëå áâண® ¯¥à¨®¤¨ç¥áª¨å áã¡­ ­®á¥ªã­¤­ëå ª®£¥à¥­â­ëå ¨¬¯ã«ìᮢ ¨ í«¥ªâà®­­®®¯â¨ç¥áªãî ª ¬¥àã, ¯®§¢®«ïîéãî ॣ¨áâà¨à®¢ âì ä®à¬ã ®£¨¡ î饩 ¤«ï
¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⥩ ¨¬¯ã«ìᮢ. Ž¤­ ª®, ­¥®¡å®¤¨¬ ï ¤«ï ¯à®ï¢«¥­¨ï
íä䥪⮢ ¢à¥¬¥­­®© ¨­â¥àä¥à¥­æ¨¨ â ª¨å ¨¬¯ã«ìᮢ ¤«¨­ ®¤­®¬®¤®¢®£® ᢥ⮢®¤ ®ª §ë¢ ¥âáï ᫨誮¬ ¡®«ì让. ‚ë室®¬ ¢ ¤ ­­®© á¨âã 樨 ¯®á«ã¦¨«® ¨á¯®«ì§®¢ ­¨¥ ®â१ª®¢ ¬­®£®¬®¤®¢ëå ᢥ⮢®¤®¢ [3].
„¨á¯¥àá¨ï ¢ â ª¨å ᢥ⮢®¤ å á¢ï§ ­ á ­ «¨ç¨¥¬ ¬¥¦¬®¤®¢®© ¤¨á¯¥àᨨ
¨ ¤¨á¯¥àᨮ­­ë© ¯ à ¬¥âà ¢â®à®£® ¯®à浪 ¢ ¬­®£®¬®¤®¢®¬ ᢥ⮢®¤¥
¬®¦¥â ¡ëâì ¢ âëáïçã à § ¡®«ìè¥, 祬 ¢ ®¤­®¬®¤®¢®¬.
‚ ª ç¥á⢥ ¨áâ®ç­¨ª ¨¬¯ã«ìᮢ ¨á¯®«ì§®¢ «áï £¥«¨©-­¥®­®¢ë© « §¥à
‹ƒ-79, à ¡®â î饩 ¢ ०¨¬¥ á ¬®¯à®¨§¢®«ì­®© "ᨭåà®­¨§ 樨 ¬®¤"
[4].  à ¬¥âàë ¨§«ã祭¨ï í⮣® « §¥à ¯®¤à®¡­® ®¯¨á ­ë ¢ à §¤¥«¥ 3.5.
‹ §¥à áâ ¡¨«ì­® ¨ ­¥¯à¥à뢭® £¥­¥à¨àã¥â ª®£¥à¥­â­ë¥, ᯥªâà «ì­®®£à ­¨ç¥­­ë¥ ¨¬¯ã«ìáë ¤«¨â¥«ì­®áâìî 650 ¯á, ¨§¬¥à¥­­®© ¯® ã஢­î
¯®«®¢¨­­®© ¨­â¥­á¨¢­®áâ¨. ¥à¨®¤ ¯®¢â®à¥­¨ï ¨¬¯ã«ìᮢ à ¢¥­ 5 ­á.
‘¯¥ªâà ­¥¯à¥à뢭®£® ¨§«ã祭¨ï « §¥à á®á⮨⠨§ ᥬ¨ íª¢¨¤¨áâ ­â­ëå
ç áâ®â ¨ ¨¬¥¥â ¯®«ãè¨à¨­ã ®£¨¡ î饩 1,2 ƒƒæ.
„«ï ¯®«ã祭¨ï ¨§«ã祭¨ï, á®áâ®ï饣® ¨§ ®£à ­¨ç¥­­®£® ç¨á« ¨¬¯ã«ìᮢ, ¨á¯®«ì§®¢ «áï í«¥ªâà®®¯â¨ç¥áª¨© § ⢮à. ‚à¥¬ï ¢ª«î祭¨ï ¨
¢ëª«î祭¨ï § ⢮à á®áâ ¢«ï¥â ­¥áª®«ìª® ­ ­®á¥ªã­¤, çâ® ¤®áâ â®ç­®
¤«ï ¢ë¤¥«¥­¨ï ¯ 窨 ¨¬¯ã«ìᮢ ¨§ ­¥¯à¥à뢭®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâ¨, £¥­¥à¨à㥬®© « §¥à®¬. à¨ í⮬ ¬®¦­® ®¡®©â¨áì ¡¥§ ᨭåà®­¨§ 樨 ¬®¬¥­â ¢ª«î祭¨ï § ⢮à á « §¥à­ë¬¨ ¨¬¯ã«ìá ¬¨, â ª ª ª ®­ ¯à®¨á室¨â ¢â®¬ â¨ç¥áª¨. Š®«¨ç¥á⢮ ¨¬¯ã«ìᮢ ¢ ¢ë¤¥«¥­­®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¤«¨â¥«ì­®áâìî í«¥ªâà¨ç¥áª®£® ¨¬¯ã«ìá ã¯à ¢«¥­¨ï
í«¥ªâà®®¯â¨ç¥áª¨¬ § ⢮஬, ª®â®àãî ¬®¦­® ¤®áâ â®ç­® ¯à®á⮠ॣ㫨஢ âì.
268
 ¡«î¤ ¥¬®¥ ­ ¢ë室¥ ¬­®£®¬®¤®¢®£® ᢥ⮢®¤ ¨§«ã祭¨¥ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© á㯥௮§¨æ¨î ¡®«ì讣® ç¨á« ¬®¤ ᢥ⮢®¤ . „«ï ª ¦¤®©
¬®¤ë áãé¥áâ¢ã¥â á¢®ï ¤¨á¯¥àᨮ­­ ï § ¢¨á¨¬®áâì. ®í⮬㠤¨á¯¥àᨮ­­ë¥ ¯ à ¬¥âàë ¬­®£®¬®¤®¢®£® ᢥ⮢®¤ ïîâáï १ã«ìâ ⮬ ãá।­¥­¨ï ¯® ¢á¥¬ ¢®§¡ã¦¤ ¥¬ë¬ ¬®¤ ¬. â® ®§­ ç ¥â, çâ® ¤¨á¯¥àᨮ­­ë¥
å à ªâ¥à¨á⨪¨ á।ë, ¢®®¡é¥ £®¢®àï, ­¥ ᮮ⢥âáâ¢ãîâ ¢ â®ç­®á⨠¯à¨­ï⮩ ¢ à áç¥â å ¬®¤¥«¨.
‹ §¥à­®¥ ¨§«ã祭¨¥ ¢¢®¤¨«®áì ¢ ᢥ⮢¥¤ãéãî á¥à¤æ¥¢¨­ã ᢥ⮢®¤ á ¯®¬®éìî ¬¨ªà®®¡ê¥ªâ¨¢ , ¯¥àâãà­ë© 㣮« ª®â®à®£® ¯à¨¬¥à­® ᮮ⢥âá⢮¢ « ¯¥àâãॠᢥ⮢®¤ . „«ï ãáâà ­¥­¨ï ¢«¨ï­¨ï ãá«®¢¨© ¢®§¡ã¦¤¥­¨ï ¬®¤ ­ १ã«ìâ âë ¨§¬¥à¥­¨©, ¢®§¡ã¦¤¥­¨¥ ®â१ª®¢ ᢥ⮢®¤®¢,
¨á¯®«ì§ã¥¬ëå ¢ íªá¯¥à¨¬¥­â å, ¢á¥£¤ ®áãé¥á⢫﫮áì ç¥à¥§ ᬥá¨â¥«ì
¬®¤. ‘¬¥á¨â¥«ì ¯à¥¤áâ ¢«ï« ᮡ®© ®â१®ª ᢥ⮢®¤ ¤«¨­®© 1,5 ¬, ­ ¬®â ­­ë© ­ ¬¥â ««¨ç¥áª¨© ª®­ãá á ¤¨ ¬¥â஬, ¨§¬¥­ïî騬áï ®â 3 ¤®
15 ¬¬. ˆá¯®«ì§®¢ ­¨¥ ᬥá¨â¥«ï ®¡¥á¯¥ç¨¢ «® à ¢­®¬¥à­®¥ ¢®§¡ã¦¤¥­¨¥ ¢á¥å ¬®¤ ᢥ⮢®¤ , ¯®¯ ¤ îé¨å ¢ ¯à¥¤¥«ë ¥£® ¯¥àâãà­®£® 㣫 .
’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ­ ¢ë室¥ ᢥ⮢®¤ ॣ¨áâà¨à®¢ «®áì á㬬 à­®¥ ¨§«ã祭¨¥ ¢á¥å ¬®¤ ¨ ¢®§¬®¦­®¥ ¢«¨ï­¨¥ ¨§¬¥­¥­¨ï ãá«®¢¨© ¢®§¡ã¦¤¥­¨ï ­ ¨­â¥àä¥à¥­æ¨î ¨¬¯ã«ìᮢ ¤«ï à §­ëå ®â१ª®¢ ᢥ⮢®¤®¢ ãáâà ­ï«®áì.
¨á. 6.9.  §¢¥àâª í«¥ªâà®­­®{®¯â¨ç¥áª®© ª ¬¥à®© "€£ â" ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠¨¬¯ã«ìᮢ
­ ¢å®¤¥ ¢ ᢥ⮢®¤ (¢¥àå­ïï à §¢¥à⪠) ¨ ¯®á«¥ ¯à®å®¦¤¥­¨ï ç¥à¥§ ¬­®£®¬®¤®¢ë© ¢®«®ª®­­ë©
ᢥ⮢®¤ ¤«¨­®© 300 ¬ (á।­ïï à §¢¥à⪠) ¨ 1200 ¬ (­¨¦­ïï à §¢¥à⪠).
¥§ã«ìâ âë ¯à®å®¦¤¥­¨ï ­¥¯à¥à뢭®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠¨¬¯ã«ìᮢ
ç¥à¥§ ®â१ª¨ ᢥ⮢®¤ ¤«¨­®© 300 ¨ 1200 ¬ ¯®ª § ­ë ­ à¨á. 6.9. Žª § «®áì, çâ® ¡¥áª®­¥ç­ãî ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ¨¬¯ã«ìᮢ ¬®¦­® ¯¥à¥¤ âì
ç¥à¥§ ᢥ⮢®¤ á ­¥§­ ç¨â¥«ì­ë¬¨ ¨áª ¦¥­¨ï¬¨.
269
à®å®¦¤¥­¨¥ ç¥à¥§ ᢥ⮢®¤ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⥩, á®áâ®ïé¨å ¨§ ¤¢ãå
¨ ᥬ¨ ¨¬¯ã«ìᮢ, ¤ ¥â à ¤¨ª «ì­® ¨­ãî ª à⨭ã.  £«ï¤­® ®­ ¢¨¤­ ­ à §¢¥à⪠å, ¯®ª § ­­ëå ­ à¨á. 6.10.
¨á.6.10.  §¢¥à⪨ í«¥ªâà®­­®-®¯â¨ç¥áª®© ª ¬¥à®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠¨§ ᥬ¨ ( ) ¨ ¤¢ãå
¨¬¯ã«ìᮢ (¢), ¢ë¤¥«¥­­ëå ¨§ ­¥¯à¥à뢭®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâ¨ á ¯®¬®éìî í«¥ªâà®®¯â¨ç¥áª®£® § ⢮à . ’¥ ¦¥ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠¯®á«¥ ¯à®å®¦¤¥­¨ï ç¥à¥§ ¬­®£®¬®¤®¢ë© ¢®«®ª®­­ë©
ᢥ⮢®¤ ¤«¨­®© 300 (¡, ¤) ¨ 100 ¬ (£) ᮮ⢥âá⢥­­®.
„¢ ¨¬¯ã«ìá ¯®«­®áâìî ¯¥à¥ªàë¢ îâáï ­ ¢ë室¥ ᢥ⮢®¤ ¤«¨­®©
300 ¬. à¨ ¤ «ì­¥©è¥¬ 㢥«¨ç¥­¨¨ ¤«¨­ë ᢥ⮢®¤ ¤® 1200 ¬ á業 ਩
ãè¨à¥­¨ï í⮣® ¨¬¯ã«ìá ᮮ⢥âáâ¢ã¥â á«ãç î ®¤¨­®ç­®£® ¨¬¯ã«ìá .
„«ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠¨§ ᥬ¨ ¨¬¯ã«ìᮢ ­ ¤«¨­¥ ᢥ⮢®¤ 300 ¬
áâàãªâãà ¨¬¯ã«ìᮢ ¯à¨¬¥à­® á®åà ­ï¥âáï, å®âï ¨­â¥­á¨¢­®áâì ä®­ ¢
¯à®¬¥¦ãâª å ¬¥¦¤ã ¨¬¯ã«ìá ¬¨ 㦥 ᮨ§¬¥à¨¬ á ¨å ¬¯«¨â㤠¬¨.  ¤«¨­¥ 1200 ¬ ¢à¥¬¥­­ ï áâàãªâãà ¨ ¤«ï ¯ 窨 ¨§ 7 ¨¬¯ã«ìᮢ ¯®«­®áâìî
à §¬ë¢ ¥âáï.
270
¨á.6.11. ‡ ¢¨á¨¬®á⨠¨­â¥­á¨¢­®á⨠¨§«ã祭¨ï ®â ¢à¥¬¥­¨ ¤«ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⥩ ¯¥à¨®¤¨ç¥áª¨å ¨¬¯ã«ìᮢ.  ¢å®¤¥ ¢ ᢥ⮢®¤: A, D, G, ¯®á«¥ ¯à®å®¦¤¥­¨ï ¬­®£®¬®¤®¢®£®
ᢥ⮢®¤ ¤«¨­®© 200 ¬ (H), 300 ¬ (B, E, I) ¨ 1200 ¬ (‘) ᮮ⢥âá⢥­­®.
“è¨à¥­¨¥ ¨¬¯ã«ìᮢ ¢ ¬­®£®¬®¤®¢®¬ ¢®«®ª®­­®¬ ᢥ⮢®¤¥ ¬®¦­® ®æ¥­¨âì ¨á¯®«ì§ãï §­ 祭¨¥ à §­®á⨠£à㯯®¢ëå § ¤¥à¦¥ª ¬¥¦¤ã ¬®¤ ¬¨
ᢥ⮢®¤ [5]
= 2Lnc (NA) ;
2
£¤¥ n { ¯®ª § â¥«ì ¯à¥«®¬«¥­¨ï ᢥ⮢¥¤ã饩 á¥à¤æ¥¢¨­ë ᢥ⮢®¤ , NA
{ ç¨á«®¢ ï ¯¥àâãà ᢥ⮢®¤ , L { ¤«¨­ ᢥ⮢®¤ , c { ᪮à®áâì ᢥ⠢ ¢ ªã㬥.
’ ª¨¬ ®¡à §®¬ ¤«ï ᢥ⮢®¤ ¤«¨­®© 300 ¬, ¨á¯®«ì§®¢ ­­®£® ¢ ¯à¨¢¥¤¥­­ëå ¢ëè¥ íªá¯¥à¨¬¥­â å, ¢à¥¬ï £à㯯®¢®© § ¤¥à¦ª¨ á®áâ ¢«ï¥â
6.5 ­á, ¤«ï ᢥ⮢®¤ ¤«¨­®© 1200 ¬ { 26 ­á. ®á«¥¤­ïï ¢¥«¨ç¨­ ¡®«¥¥
祬 ¢ 5 à § ¯à¥¢ëè ¥â ¯¥à¨®¤ ¯®¢â®à¥­¨ï ¨¬¯ã«ìᮢ ¢ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâ¨, ª®â®à ï ¯à®å®¤¨« ç¥à¥§ ᢥ⮢®¤. „«ï ᢥ⮢®¤ ¤«¨­®© 300 ¬
271
¤«ï ­¥ª®£¥à¥­â­ëå ¨¬¯ã«ìᮢ â ª¦¥ ¤®«¦­® ­ ¡«î¤ âìáï ¯®«­®¥ ¯¥à¥ªàë⨥ ¨¬¯ã«ìᮢ ¢ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâ¨. â® ¨ ­ ¡«î¤ ¥âáï ¤«ï ¤¢ãå
¨¬¯ã«ìᮢ (à¨á.6.10¤). Ž¤­ ª® ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâ¨, ᮤ¥à¦ 騥 ¡®«ì襥
ç¨á«® ¨¬¯ã«ìᮢ ¬®£ãâ ¡ëâì ¯¥à¥¤ ­ë ç¥à¥§ ¬­®£®¬®¤®¢ë© ᢥ⮢®¤, ã
ª®â®à®£® ¢à¥¬ï £à㯯®¢®© § ¤¥à¦ª¨ ¬­®£®ªà â­® ¯à¥¢ëè ¥â ¯¥à¨®¤ ¯®¢â®à¥­¨ï ¨¬¯ã«ìᮢ.
¥§ã«ìâ âë ä®â®¬¥âà¨à®¢ ­¨ï à §¢¥à⮪, ¯®¤®¡­ëå ¯®ª § ­­ë¬ ­ à¨á.6.9 ¨ 6.10, ¯à¨¢¥¤¥­ë ­ à¨á.6.11.  ­¨å ¢¨¤­®, ç⮠® ¢ëà ¦¥­­®£® ¯¥à¥å®¤­®£® ¯à®æ¥áá , ¯à¥¤áª §ë¢ ¥¬®£® ⥮ਥ©, ¢ ª®â®à®¬ ¨á室­ë¥ ¨¬¯ã«ìáë ¯® ¬¥à¥ 㢥«¨ç¥­¨ï ¤«¨­ë áà¥¤ë ¤®«¦­ë à ᯠ¤ âìáï
­ àï¤ ¨­â¥àä¥à¥­æ¨®­­ëå ¬ ªá¨¬ã¬®¢, ­¥ ­ ¡«î¤ ¥âáï, å®âï áâண ï
¯¥à¨®¤¨ç­®áâì á«¥¤®¢ ­¨ï ¨¬¯ã«ìᮢ ¢® ¢á¥å á«ãç ïå á®åà ­ï¥âáï. â®
à á宦¤¥­¨¥, ®ç¥¢¨¤­®, á¢ï§ ­® à §«¨ç¨¥¬ ¢ ¯à¨à®¤¥ ¤¨á¯¥àᨮ­­ëå ¯ à ¬¥â஢ ¬­®£®¬®¤®¢®£® ᢥ⮢®¤ ¨ ®¤­®à®¤­®© ᯫ®è­®© á।ë, à áᬠâਢ ¥¬®© ¢ ⥮ਨ.
¥§ã«ìâ âë ¨§¬¥à¥­¨©, ¯à¨¢¥¤¥­­ë¥ ¢ëè¥, ¯®§¢®«ïîâ ᤥ« âì ®¤­®§­ ç­ë© ¢ë¢®¤: ¢ ¬­®£®¬®¤®¢®¬ ᢥ⮢®¤¥ å à ªâ¥à ¤¨á¯¥àᨮ­­®£® ãè¨à¥­¨ï ®£à ­¨ç¥­­®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠¯¥à¨®¤¨ç¥áª¨å ª®£¥à¥­â­ëå ¨¬¯ã«ìᮢ § ¢¨á¨â ®â ¤«¨­ë ᢥ⮢®¤ ¨ ç¨á« ¨¬¯ã«ìᮢ ¢ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâ¨. —¥¬ ¡®«ìè¥ ¨¬¯ã«ìᮢ ᮤ¥à¦¨â ¨á室­ ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì,
⥬ ­ ¡®«ì襥 à ááâ®ï­¨¥ ®­ ¬®¦¥â ¡ëâì ¯¥à¥¤ ­ ç¥à¥§ ᢥ⮢®¤¡¥å
áãé¥á⢥­­ëå ¨áª ¦¥­¨©.
â®â ¦¥ ¢ë¢®¤ ¤ ¥â ¨ ⥮à¥â¨ç¥áª®¥ à áᬮâ७¨¥, ¯à¨¢¥¤¥­­®¥ ¢ ¯à¥¤ë¤ã饬 à §¤¥«¥. „«¨­ á।ë, ­ ª®â®à®© ¯à®¨á室¨â ¯¥à¨®¤¨ç¥áª¨©
¯à®æ¥áá ¯¥à¥å®¤ ®â ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠¨¬¯ã«ìᮢ, ª ®¤¨­®ç­®¬ã à §¬ë⮬ã, ¡¥§áâàãªâãà­®¬ã ¨¬¯ã«ìá㠯ய®à樮­ «ì­ ç¨á«ã ¨¬¯ã«ìᮢ
¯®¤ ®¡é¥© ®£¨¡ î饩 ¢ ¨á室­®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâ¨. ‚ ¯à¥¤¥«¥ ¤«ï ¡¥áª®­¥ç­®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠¨¬¯ã«ìᮢ ­ ¢å®¤¥ ¢ á।ã íâ®â ¯¥à¥å®¤­ë© ¯à®æ¥áá ¡ã¤¥â ¯à®¨á室¨âì ­ ­¥®£à ­¨ç¥­­®© ¤«¨­¥ á।ë. ’ ª¨¬
®¡à §®¬, ¨§«ã祭¨¥ « §¥à , ­¥¯à¥à뢭® £¥­¥à¨àãî饣® ã«ìâà ª®à®âª¨¥
¨¬¯ã«ìáë ¬®¦¥â ¯¥à¥¤ ¢ âìáï ç¥à¥§ ᢥ⮢®¤ ­ ­¥®£à ­¨ç¥­­®¥ à ááâ®ï­¨¥.
 ¡«î¤ ¥¬ë© íä䥪⠯à®å®¦¤¥­¨ï ¯¥à¨®¤¨ç¥áª®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠« §¥à­ëå ¨¬¯ã«ìᮢ ç¥à¥§ ¬­®£®¬®¤®¢ë© ¢®«®ª®­­ë© ᢥ⮢®¤, ¬­®£®ªà â­® ãè¨àïî騩 ®¤¨­®ç­ë© ¨¬¯ã«ìá ⮩ ¦¥ ¤«¨â¥«ì­®áâ¨, ¬®¦¥â
­ ©â¨ ¯à ªâ¨ç¥áª¨¥ ¯à¨¬¥­¥­¨ï, ­ ¯à¨¬¥à ¤«ï ¯¥à¥¤ ç¨ ª®à®âª¨å ¨¬¯ã«ìᮢ ᨭåà®­¨§ 樨.
‘ ¤à㣮© áâ®à®­ë, ¨á¯®«ì§®¢ ­¨¥ ª¢ §¨­¥¯à¥à뢭ëå « §¥à®¢, à ¡®â îé¨å ¢ ०¨¬¥ ᨭåà®­¨§ 樨 ¬®¤, ¤«ï ¨§¬¥à¥­¨© ¨¬¯ã«ìá­®£® ®âª«¨ª ¢®«®ª®­­ëå ᢥ⮢®¤®¢ á«¥¤ã¥â ¯à®¢®¤¨âì á ®áâ®à®¦­®áâìî, â ª ª ª [5,6]
272
â ª¨¥ ¨§¬¥à¥­¨ï ¡ã¤ãâ ¤ ¢ âì § ¢ë襭­ë¥ §­ 祭¨ï ¯®«®áë ¯à®¯ã᪠­¨ï ᢥ⮢®¤ .
ˆ­â¥àä¥à¥­æ¨ï ᨫ쭮 à §­¥á¥­­ëå ¨¬¯ã«ìᮢ.
“¬­®¦¥­¨¥ ç¨á« ¨¬¯ã«ìᮢ ¢ ¯ ª¥â¥ ®£à ­¨ç¥­­®©
¯à®â殮­­®áâ¨
6.6.
„¨­ ¬¨ª ®£¨¡ î饩 ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠¨¬¯ã«ìᮢ ¯® ¬¥à¥ ¨å à á¯à®áâà ­¥­¨ï ¢ á।¥ á ¤¨á¯¥àᨥ©, ª ª 㦥 ®â¬¥ç «®áì ¢ëè¥ ¢ á«ãç ¥
¤¢ãå ¨¬¯ã«ìᮢ ¢ à §¤¥«¥ 6.3, áãé¥á⢥­­® § ¢¨á¨â ®â ᪢ ¦­®á⨠¨¬¯ã«ìᮢ ¢ ¨á室­®¬ æ㣥, â.¥. ®â §­ 祭¨ï ¯ à ¬¥âà =t .
0
1
0.8
0.6
0.4
0.2
-40
-20
0
20
40
¨á. 6.12. ˆá室­ ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ¨§ ᥬ¨ £ ãáᮢëå ¨¬¯ã«ìᮢ ¯®¤ ®¡é¥© £ ãáᮢ®©
®£¨¡ î饩. =t0 = 10. ã­ªâ¨à { â ¦¥ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ¯®á«¥ ¯à®å®¦¤¥­¨ï á।ë á
¤¨á¯¥àᨥ© ¤«ï §­ 祭¨ï ¡¥§à §¬¥à­®£® ¯ à ¬¥âà = 3:
‚६¥­­ ï ¨­â¥àä¥à¥­æ¨ï ­¥ ­ ¡«î¤ ¥âáï ¤® â¥å ¯®à, ¯®ª ®â¤¥«ì­ë¥
¨¬¯ã«ìáë ¢ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠­¥ ­ 稭 îâ ¯¥à¥ªàë¢ âìáï.
„«ï ᨫ쭮 à §­¥á¥­­ëå ¨¬¯ã«ìᮢ =t0 > 10 ¯®á«¥ ¯à¥¢ë襭¨ï ­¥ª®â®à®£® ¯®à®£®¢®£® §­ 祭¨ï ¯ à ¬¥âà ¬¥¦¤ã ¨¬¯ã«ìá ¬¨ ¢®§­¨ª ¥â
ª¢ §¨¯¥à¨®¤¨ç¥áª ï ¢à¥¬¥­­ ï áâàãªâãà . à®æ¥áá ãáâ ­®¢«¥­¨ï í⮩
áâàãªâãàë ®ª §ë¢ ¥âáï ç१¢ëç ©­® á«®¦­ë¬ ¨ çã¢á⢨⥫ì­ë¬ ª ­¥¡®«ì訬 ¨§¬¥­¥­¨ï¬ ¤«¨­ë ¤¨á¯¥àᨮ­­®© á।ë. â áâ ¤¨ï ¢®§­¨ª­®¢¥­¨ï ¨­â¥àä¥à¥­æ¨®­­®© ¢à¥¬¥­­®© áâàãªâãàë ¬¥¦¤ã ¨á室­ë¬¨ ¨¬¯ã«ìá ¬¨ ¯®ª § ­ ­ à¨á. 6.13. ‚ ª®¬¯ìîâ¥à­ëå à áç¥â å ¨á¯®«ì§®¢ ­ 273
¨á室­ ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ¨¬¯ã«ìᮢ, ¯®ª § ­­ ï ­ à¨á. 6.12.  áç¥âë ¯à®¢¥¤¥­ë ¯® ä®à¬ã«¥ (6.10). „«ï §­ 祭¨© ¤¨á¯¥àᨮ­­®£® ¯ à ¬¥âà = 5:5 ¨ 6 ¢à¥¬¥­­ ï áâàãªâãà ®ª §ë¢ ¥âáï à ¤¨ª «ì­® à §«¨ç­®©.
Ž£¨¡ îé ï ¯ ª¥â ¨¬¯ã«ìᮢ ¢ á।¥ å à ªâ¥à¨§ã¥âáï ᨫ쭮 ¨§à¥§ ­­®© ä®à¬®© ¨ ­ ¯®¬¨­ ¥â ᪮॥ å ®â¨ç¥áª®¥ ¥­¨¥, 祬 ¨­â¥àä¥à¥­æ¨î ¤¥â¥à¬¨­¨à®¢ ­­®£® ᨣ­ « (à¨á.6.13, ). Š ç¥á⢥­­® á⮫ì
­¥ãá⮩稢ãî ¤¨­ ¬¨ªã ¬®¦­® ®¡êïá­¨âì ⥬, çâ® ¯®à®£®¢ë¥ ãá«®¢¨ï
¢®§­¨ª­®¢¥­¨ï ¢â®à¨ç­ëå ¨­â¥àä¥à¥­æ¨®­­ëå ¬ ªá¨¬ã¬®¢ § ¢¨áïâ ¨ ®â
¢§ ¨¬­®£® ®â­®è¥­¨ï ¬¯«¨â㤠¨­â¥àä¥à¨àãîé¨å ¨¬¯ã«ìᮢ, ª®â®àë¥
¬®£ã⠢믮«­ïâìáï ¢ ®¤­®© ç á⨠¢®«­®¢®£® ¯ ª¥â ¨ ­¥ ¢ë¯®«­ïâìáï
¢ ¤à㣮©. ‚ ®â«¨ç¨¥ ®â ¬®¤¥«¨ ¤¢ãå ¨¬¯ã«ìᮢ, §­ ç¨â¥«ì­®¥ ç¨á«®
¢â®à¨ç­ëå ¬ ªá¨¬ã¬®¢ ¢®§­¨ª ¥â ¨§{§ ¢«¨ï­¨ï 㤠«¥­­ëå ¨¬¯ã«ìᮢ
¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâ¨. ‚â®à¨ç­ë¥ ¨­â¥àä¥à¥­æ¨®­­ë¥ ¯¨ª¨, á¢ï§ ­­ë¥ á
㤠«¥­­ë¬¨ ¨¬¯ã«ìá ¬¨ ­ 稭 îâ ¢«¨ïâì ­ áâàãªâãàã ¯®«ï ¨ ¨å ¡®«ì讥 ª®«¨ç¥á⢮ ¤¥« ¥â ¢à¥¬¥­­ãî áâàãªâãàã ªà ©­¥ ­¥ãá⮩稢®© ¯à¨
¨§¬¥­¥­¨¨ ¤«¨­ë á।ë.
0.2
0.4
0.15
0.3
0.1
0.2
0.05
0.1
a
-40
-20
0
20
b
-40
40
-20
0
20
40
¨á.6.13. ‡ ¢¨á¨¬®áâì ¨­â¥­á¨¢­®á⨠¨§«ã祭¨ï ®â ¢à¥¬¥­¨ ¤«ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠¨¬¯ã«ìᮢ, ¯®ª § ­­®© ­ à¨á. 6.12. ‡­ 祭¨ï ¡¥§à §¬¥à­®£® ¯ à ¬¥âà , ¯à®¯®à樮­ «ì­®£® ¤«¨­¥
á।ë = 5:5 ( ) ¨ 5:6 (¡).
¥à¥å®¤­ë© ¯à®æ¥áá ¬®¦­® áç¨â âì § ¢¥à訢訬áï ¯®á«¥ ⮣®, ª ª
ª®«¨ç¥á⢮ ¨­â¥àä¥à¥­æ¨®­­ëå ¯¨ª®¢ ­ ¢à¥¬¥­­®¬ ¨­â¥à¢ «¥, ᮮ⢥âáâ¢ãî饬 ¯¥à¨®¤ã ¯®¢â®à¥­¨ï ¨á室­ëå ¨¬¯ã«ìᮢ, ¯¥à¥áâ ­¥â § ¢¨á¥âì
®â ¬¥«ìç ©è¨å ¨§¬¥­¥­¨© ¯ à ¬¥â஢ ¨á室­®£® ¯ ª¥â ¨ ᢮©á⢠á।ë.
®á«¥ í⮣® ¤«ï ¡®«ìè¨å ¤«¨­ áà¥¤ë ­ áâ㯠¥â ¯à®¬¥¦ãâ®ç­ ï ä § ¯à®æ¥áá , ¤®¯ã᪠îé ï ª®­â஫¨à㥬®¥ ¢®§¤¥©á⢨¥ ­ ä®à¬ã ®£¨¡ î274
饩 ¢ë室­®£® ¯ ª¥â .  à¨áã­ª¥ 6.14 ¯®ª § ­ ॣã«ïà­ ï ¢à¥¬¥­­ ï
áâàãªâãà ¤«ï ⮩ ¦¥, çâ® ¨ ­ à¨á 6.12 ¨ 6.13 ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠¨¬¯ã«ìᮢ ¯à¨ ¡®«ìè¨å §­ 祭¨ïå ¯ à ¬¥âà :
„«ï ­¥ª®â®à®£® ­ ¡®à ¯ à ¬¥â஢ å à ªâ¥à­® ¢®§­¨ª­®¢¥­¨¥ ¯¥à¨®¤¨ç¥áª®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠¨¬¯ã«ìᮢ á ¤«¨â¥«ì­®áâìî, ¯à¨¬¥à­® à ¢­®© ¤«¨â¥«ì­®á⨠®â¤¥«ì­®£® ¨¬¯ã«ìá ¢ ¨á室­®¬ ¯ ª¥â¥. à¨ í⮬
㢥«¨ç¥­¨¥ ¤«¨­ë á।ë L ¯à¨¢®¤¨â ª 㬥­ì襭¨î ᪢ ¦­®á⨠¨¬¯ã«ìᮢ ¯® áà ¢­¥­¨î á ¨á室­ë¬ ᨣ­ «®¬. ‘«¥¤ã¥â ®¡à â¨âì ¢­¨¬ ­¨¥ ­ â®â ä ªâ, çâ® à áᬠâਢ ¥¬ë¥ ¯à®æ¥ááë ¯à®¨á室ï⠯ਠ⠪¨å ¤«¨­ å
¤¨á¯¥àᨮ­­®© á।ë, ¯à¨ ª®â®àëå ®¤¨­®ç­ë© ã«ìâà ª®à®âª¨© ¨¬¯ã«ìá
ãè¨à¨«áï ¡ë ¢ ¤¥áï⪨ à §. Š ª ¨§¢¥áâ­®, ®â­®á¨â¥«ì­®¥ ãè¨à¥­¨¥ £ ãáᮢ ¨¬¯ã«ìá ¢ á।¥ ¯à®¯®à樮­ «ì­® ¯ à ¬¥âàã . «¥¬¥­âë ª¢ §¨¯¥à¨®¤¨ç¥áª®© ¨­â¥àä¥à¥­æ¨®­­®© áâàãªâãàë ¯®¤¢¥à¦¥­ë ¤¨á¯¥àᨮ­­®¬ã ãè¨à¥­¨î £®à §¤® á« ¡¥¥.
0.4
0.3
0.2
0.1
-40
-20
0
20
40
¨á.6.14. “¬­®¦¥­¨¥ ç¨á« ¨¬¯ã«ìᮢ ¢ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâ¨, ¯®ª § ­­®© ­ à¨á. 6.12 ¤«ï
¡®«ìè¨å §­ 祭¨© ¡¥§à §¬¥à­®£® ¯ à ¬¥âà = 27:5:
Žª § «®áì, çâ® ¢â®à¨ç­ë¥ ¨­â¥àä¥à¥­æ¨®­­ë¥ ¬ ªá¨¬ã¬ë ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮 ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ãï ¤àã£ á ¤à㣮¬ ¬®£ãâ ᪫ ¤ë¢ âìáï, ª ª ¯®ª § ­®
­ à¨á. 6.14 ¢ ॣã«ïà­ãî ¢à¥¬¥­­ãî áâàãªâãàã. à¨ í⮬ ç áâ®â ¯®¢â®à¥­¨ï ¢â®à¨ç­ëå ¨¬¯ã«ìᮢ ¬®¦¥â ¯à¥¢ëè âì ç áâ®âã á«¥¤®¢ ­¨ï
¨¬¯ã«ìᮢ ¢ ¨á室­®¬ ¯ ª¥â¥.
’ ª¨¬ ®¡à §®¬ áã£ã¡® «¨­¥©­®¥ ¥­¨¥ ¢à¥¬¥­­®© ¨­â¥àä¥à¥­æ¨¨ ¨¬¯ã«ìᮢ ¬®¦¥â ¨á¯®«ì§®¢ âìáï ¤«ï 㬭®¦¥­¨ï ç¨á« ã«ìâà ª®à®âª¨å ¨¬¯ã«ìᮢ ­¥ ⮫쪮 ¢ ¡¥áª®­¥ç­®©, ­® ¨ ¢ ®£à ­¨ç¥­­®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠¨¬¯ã«ìᮢ.
275
6.7.
‚६¥­­®© ­ «®£ íä䥪⠒ «ì¡®â ‚ 1830 £. ’ «ì¡®â ­ ¡«î¤ « ¨§®¡à ¦¥­¨¥ ¯¥à¨®¤¨ç¥áª®© ᯥªâà «ì­®© à¥è¥âª¨, ®á¢¥é ¥¬®© ¯ à ««¥«ì­ë¬, ¬®­®å஬ â¨ç¥áª¨¬ ¯ã窮¬, ¢
¯à®å®¤ï饬 ᢥ⥠[8]. Ž­ ®¡­ à㦨«, çâ® ¨§®¡à ¦¥­¨¥ à¥è¥âª¨ ¯¥à¨®¤¨ç¥áª¨ ¨á祧 ¥â ¨ á­®¢ ¢®ááâ ­ ¢«¨¢ ¥âáï ¯® ¬¥à¥ 㤠«¥­¨ï ¯«®áª®áâ¨
­ ¡«î¤¥­¨ï ®â à¥è¥âª¨. à¨ç¥¬, १ª®¥ ¨§®¡à ¦¥­¨¥ à¥è¥âª¨ ¢®§­¨ª ¥â ¡¥§ ¨á¯®«ì§®¢ ­¨ï ª ª¨å-«¨¡® «¨­§, à ááâ®ï­¨¥, ­ ª®â®à®¬ ¯¥à¨®¤¨ç¥áª¨ ¢®ááâ ­ ¢«¨¢ ¥âáï ¨§®¡à ¦¥­¨¥ (à ááâ®ï­¨¥ ’ «ì¡®â ) à ¢­®
zT = a =, £¤¥ { ¯¥à¨®¤ à¥è¥âª¨.
à¨ ¨á¯®«ì§®¢ ­¨¨ ⥯«®¢®£® ¨áâ®ç­¨ª ᢥâ íä䥪⠒ «ì¡®â ¬®¦­®
¡ë«® ­ ¡«î¤ âì á ¯®¬®éìî «ã¯ë ¨«¨ ¬¨ªà®áª®¯ ⮫쪮 ­ ¬ «ëå à ááâ®ï­¨ïå ®â à¥è¥âª¨, ¨§¬¥à塞ëå ¬¨««¨¬¥âà ¬¨, ¯®í⮬㠬­®£¨¥ £®¤ë
¥£® áç¨â «¨ íª§®â¨ç¥áª¨¬ ¥­¨¥¬ ¨ ¥£® ®¯¨á ­¨¥ ­¥ ¢ª«îç «¨ ¢ ª­¨£¨
¯® ®¯â¨ª¥.
‘ ¯®ï¢«¥­¨¥¬ « §¥à®¢ ­ ¡«î¤¥­¨¥ íä䥪⠒ «ì¡®â ç१¢ëç ©­® ã¯à®á⨫®áì. …£® ¬®¦­® ¤¥¬®­áâà¨à®¢ âì ¯à¨ ¨á¯®«ì§®¢ ­¨¨ ­¥¯à¥à뢭®£®
£¥«¨©-­¥®­®¢®£® « §¥à , £¥­¥à¨àãî饣® ªà á­ë© ᢥâ 0,63 ¬ª¬. „«ï
í⮣® à áè¨à¥­­ë© ¯ à ««¥«ì­ë© ¯ã箪 « §¥à­®£® ¨§«ã祭¨ï ­ ¤® ­ ¯à ¢¨âì ­ âà ­á¯ à ­â ¢ ¢¨¤¥ á¨áâ¥¬ë ¯àï¬ëå ¯¥à¨®¤¨ç¥áª¨å èâà¨å®¢,
®âáâ®ïé¨å ¤à㣠®â ¤à㣠­ à ááâ®ï­¨¨ 0; 5 ¬¬. à¨ í⮬ ¨§®¡à ¦¥­¨¥
à¥è¥âª¨ å®à®è® ¢¨¤­® ­¥¢®®à㦥­­ë¬ £« §®¬ ­ íªà ­¥, ­ 室ï饬áï
­ à ááâ®ï­¨ïå, ªà â­ëå à ááâ®ï­¨î ’ «ì¡®â (¢ ¤ ­­®¬ á«ãç ¥ 40
á¬).
2
¨á.6.15. ‘奬 ãáâ ­®¢ª¨ ¤«ï ­ ¡«î¤¥­¨ï ¯à®áâà ­á⢥­­®£® íä䥪⠒ «ì¡®â . 1 - £¥«¨©­¥®­®¢ë© « §¥à, 2- à áè¨à¨â¥«ì ¯ãçª , 3 - âà ­á¯ à ­â, 4 - «¨­¥©ª ä®â®¯à¨¥¬­¨ª®¢ á ¢ë¢®¤®¬ ­ ¯¥àá®­ «ì­ë© ª®¬¯ìîâ¥à, z - à ááâ®ï­¨¥ ®â âà ­á¯ à ­â ¤® «¨­¥©ª¨ ä®â®¯à¨¥¬­¨ª®¢.
ä䥪⠒ «ì¡®â ­ 襫 ®¡êïá­¥­¨¥ ¢ à ¬ª å ⥮ਨ ¤¨äà ªæ¨¨ ᢥâ [9]. à¨ í⮬ ¡ë«® ¯®ª § ­®, çâ® ¯à¨ à ááâ®ï­¨ïå ®â à¥è¥âª¨ ¤® íªà ­ ¨§¬¥à¥­­ëå ¢ ¥¤¨­¨æ å à ááâ®ï­¨ï ’ «ì¡®â zT , à ¢­ëå 楫®ç¨á«¥­­®©
¤à®¡¨ ç¨á«® ¬ ªá¨¬ã¬®¢ ¨­â¥­á¨¢­®á⨠¢ ¨§®¡à ¦¥­¨¨ à¥è¥âª¨ ¢®§à áâ ¥â. à¨ í⮬ ¢®§­¨ª ¥â ¤à®¡­ë© íä䥪⠒ «ì¡®â . ’ ª ­ ¯à¨¬¥à,
­ à ááâ®ï­¨¨, à ¢­®¬ ¯®«®¢¨­¥ ⠫졮⮢᪮£® ç¨á«® èâà¨å®¢ ¢ ¨§®¡à 276
¦¥­¨¨ à¥è¥âª¨ 㤢 ¨¢ ¥âáï (à¨á 7.2).
¨á.6.16.  á¯à¥¤¥«¥­¨ï ¨­â¥­á¨¢­®á⨠¢ ª à⨭¥ ¤¨äà ªæ¨¨ ­ 5 饫ïå ¤«ï à §­ëå z. =
0,6 ¬¬, zâ = 57 á¬.
Š®£¤ à ááâ®ï­¨¥ ¤® íªà ­ ᮮ⭮á¨âáï á à ááâ®ï­¨¥¬ ’ «ì¡®â ª ª
¨àà 樮­ «ì­®¥ ç¨á«®, ¢®§­¨ª ¥â â ª ­ §ë¢ ¥¬ë© äà ªâ «ì­ë© íä䥪â
277
’ «ì¡®â . ‚ í⮬ á«ãç ¥ ¯à®áâà ­á⢥­­®¥ à ᯮ«®¦¥­¨¥ ¬ ªá¨¬ã¬®¢ ¨
¬¨­¨¬ã¬®¢ ¢ ¨§®¡à ¦¥­¨¨ âà ­á¯ à ­â ®ª §ë¢ ¥âáï å ®â¨ç­ë¬. Š à⨭ ¤¨äà ªæ¨¨ ­ ¨¡®«¥¥ ¯à®á⠯ਠ¡¥áª®­¥ç­®¬ ç¨á«¥ 饫¥© ¢ à¥è¥âª¥. ‚ á«ãç ¥ ®£à ­¨ç¥­­®£® ç¨á« 饫¥© ¨ ¯à¨ ­ «¨ç¨¨ ®âª«®­¥­¨© ®â ॣã«ïà­®£® à ᯮ«®¦¥­¨ï 饫¥© ¨ ¯à¨ à §¡à®á¥ ¨å è¨à¨­ë ¢
¨§®¡à ¦¥­¨¨ ¢®§­¨ª îâ ¤®¯®«­¨â¥«ì­ë¥ ¨áª ¦¥­¨ï, ª®â®àë¥ ¡®«¥¥ áãé¥á⢥­­ë ¯à¨ ¬ «®¬ ç¨á«¥ 饫¥©.
‚ ®¯â¨ª¥ áãé¥áâ¢ã¥â å®à®è® ¨§¢¥áâ­ ï ­ «®£¨ï ¬¥¦¤ã ¯à®áâà ­á⢥­­ë¬¨ ¨ ¢à¥¬¥­­ë¬¨ íä䥪⠬¨. ®í⮬㠭 àï¤ã á ¯à®áâà ­á⢥­­ë¬ íä䥪⮬ ’ «ì¡®â áãé¥áâ¢ã¥â ¥£® ¢à¥¬¥­­®© ­ «®£. ‹ §¥à £¥­¥à¨àã¥â ॣã«ïà­ãî ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ª®£¥à¥­â­ëå ᢥà媮à®âª¨å ¨¬¯ã«ìᮢ.  á¯à®áâà ­¥­¨¥ â ª®£® ¨§«ã祭¨ï ¢ á।¥ á ­¥­ã«¥¢ë¬ ¤¨á¯¥àᨮ­­ë¬ ¯ à ¬¥â஬ ¢â®à®£® ¯®à浪 , ­ «®£¨ç­® ¯à®áâà ­á⢥­­®©
ª à⨭¥ ¤¨äà ªæ¨¨ ¯«®áª®© ᢥ⮢®© ¢®«­ë, ¯à®è¥¤è¥© ç¥à¥§ âà ­á¯ à ­â, ᮤ¥à¦ 騩 ¯¥à¨®¤¨ç¥áªãî ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì 饫¥©. à¨ í⮬
¯à®æ¥áá ¤¨á¯¥àᨮ­­®£® à áè¨à¥­¨ï ¨¬¯ã«ìᮢ ¢ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠­ «®£¨ç¥­ ¤¨äà ªæ¨®­­®¬ã à áè¨à¥­¨î ¨§®¡à ¦¥­¨© 饫¥© ¯® ¬¥à¥ 㤠«¥­¨ï íªà ­ ®â âà ­á¯ à ­â .
 à ááâ®ï­¨ïå ¢ á।¥, ¯à¨ ª®â®àëå äà®­âë ¨¬¯ã«ìᮢ ­ 稭 îâ
¯¥à¥ªàë¢ âìáï ¢®§­¨ª î⠢६¥­­ë¥ ¨­â¥àä¥à¥­æ¨®­­ë¥ íä䥪âë ¯®¤®¡­ë¥ ¯à®á⮬ã, ¤à®¡­®¬ã ¨«¨ äà ªâ «ì­®¬ã ¯à®áâà ­á⢥­­®¬ã íä䥪â㠒 «ì¡®â . Žá­®¢­®¥ ¯à¥¤¯®« £ ¥¬®¥ ¯à¨¬¥­¥­¨¥ ¢à¥¬¥­­®£® ­ «®£ íä䥪⠒ «ì¡®â - 㬭®¦¥­¨¥ ç áâ®âë ¯®¢â®à¥­¨ï ¨¬¯ã«ìᮢ ¢ ¯¥à¨®¤¨ç¥áª¨å ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâïå ¨¬¯ã«ìᮢ, ¯à®å®¤ïé¨å ç¥à¥§ ®â१ª¨
¢®«®ª®­­ëå ᢥ⮢®¤®¢ ®¯à¥¤¥«¥­­®© ¤«¨­ë [10].
‘¯¨á®ª «¨â¥à âãàë ª £« ¢¥ VI
1. Azana J. Temporal self-imaging eects for periodic optical pulse sequences
of nite duration. J. Opt. Soc. Am. B// vol. 20, p 83 (2003).
2. Minkovich V.P., Starodumov A.N., Borisov V.I., Lebedev V.I., Perepechko
S.N. Opt. Commun. 192, 231 235 (2001).
3. ‚.ˆ.®à¨á®¢, ‚.ˆ.‹¥¡¥¤¥¢, ‘..¥à¥¯¥çª®, ¨áì¬ ¢ †’”. 11 (1985),
1441-1444.
4. ‚.ˆ.®à¨á®¢, ‚.ˆ.‹¥¡¥¤¥¢, Š¢ ­â®¢ ï í«¥ªâà®­¨ª 12 (1986) 1736.
5. Gloge D.,Chinnock T.L., Ring D.H. Appl. Opt.-vol 11, 1534 1536 (1972).
278
6. €¡¤ã«« ¥¢ ‘.‘., €å¬ ¤¦ ­®¢ ’., Œ¨à§ ¥¢ €.’. Š¢ ­â. «¥ªâà®­.
12, 157-159, (1985).
7. Dumitrica A. et. al. Rev. roum. phys. 29, 169 174, (1984).
8. Talbot H.F. Facts relating to optical science. Philos. Mag. 9, 401 - 407,
(1836).
9. Berry M.V., Klein S. Integer, fractional and fractal Talbot eects. Journ.
of Modern Optics, vol.43, 2139 -2164, (1996).
10. Pastorski K. The self-imaging phenomenon and its applications. Progress
in Optics, XXVII, E, Amsterdam, pp 1 - 108, (1989).
279
VII. Некоторые корреляционные измерения
Многие физические процессы в оптике, радиотехнике и других областях науки и техники одновременно обладают случайным и детерминированым характером описывающих их физических параметров и функций. Для
анализа таких процессов широко применяют аппарат корреляционных функций различных порядков. При этом, используют как автокорреляционные,
так и кросс-корреляционные функции первого и более высоких порядков.
Различают временную и пространственную когерентность. В случае
пространственной когерентности определяют способность светового луча
интерферировать со смещенной в пространстве копией этого же луча. Такой способ разделения лучей называют делением волнового фронта. Пространственная когерентность существенна при анализе изображения и в голографии. При рассмотрении временной когерентности интересуются способностью луча интерферировать с запаздывающим во времени, но не смещенным в пространстве вариантом этого луча. Для измерения степени временной когерентности используют метод деления амплитуды.
Оба типа когерентности характеризуют функциями когерентности.
С физической точки зрения функции когерентности есть меры структурного
подобия опорного и задержанного во времени или сдвинутого в пространстве полей. Временная функция когерентности есть усредненная по всем моментам времени величина, аргумент которой – временная задержка между
интерферирующими лучами. В исследованиях ультракоротких лазерных импульсов используют амплитудный интерферометр (обычно это интерферометр Майкельсона) с помощью которого измеряют временную функцию когерентности первого порядка, которую иногда называют функцией взаимной
когерентности. При регистрация второй или более высокой гармоники сигнала на выходе интерферометра Майкельсона определяют функции когерентности более высоких порядков. Интерферометр Майкельсона с нелинейным кристаллом, установленном на его выходе и удваивающим частоту
регистрируемого сигнала, образует интерферометр интенсивности.
Автокорреляционной функции первого порядка электромагнитного
излучения может быть рассчитана также по спектру излучения с помощью
его Фурье преобразования. Решение обратной задачи, т.е. определение спектра излучения по его автокорреляционной функции составляет основу Фурье-спектроскопии.
Метод корреляционного анализа широко используют в радиотехнике
при выделении сигнала на фоне шумовых помех.
Несмотря на большой круг применений корреляционных функций излучения, в этой области непрерывно возникают новые задачи. В настоящей
главе приводятся результаты исследований некоторых из таких применений
в лазерной физике и оптике волоконных световодов.
1
7.1. Деградация лазерных диодов и корреляционная функция первого
порядка их излучения
Проблема долговечности полупроводниковых лазеров является
наиболее важной в технологии их изготовления. Большое количество исследователей во всем мире занимаются изучением этой проблемы, но
многие причины деградации еще не ясны, хотя практически в области
повышения надежности полупроводниковых лазеров в последние годы
достигнут огромный прогресс. Этот прогресс обусловлен использованием технологии сверхрешеток. В лазерах на сверхрешетках пространственная подвижность дефектов кристаллической решетки оказывается
сильно ограниченной.
В монографии [1] выделяют следующие типы деградации полупроводниковых лазеров:
а) катастрофическое разрушение зеркал при большой плотности
оптического генерируемого излучения;
б) образование дефектов “темных линий”, которые представляют
собой сетку дислокаций, образующихся во время работы лазера;
в) медленная деградация: процесс постепенного накопления дефектов в лазерном кристалле по сравнению с катастрофической деград ацией и разрушением лазера под действием дефектов “темных линий”.
Катастрофическая деградация связана с большой плотностью генерируемого излучения, которая в конечном итоге приводит к разрушению
выходных зеркальных торцов полупроводниковых лазеров. В [1] указывается, что критическая мощность генерации составляет порядка 5...8
МВт/см2 для гомолазеров. Эта цифра несколько ниже для лазеров на гетероструктурах. Сокращение длительности импульса накачки существенно уменьшает критическую плотность излучения. Так в [2] указывается, что критическая плотность излучения для полосковых лазеров на
двойной гетероструктуре равна 4...8 МВт/см 2 для импульсов длительностью 100 нс.
Причиной, приводящих к катастрофической деградации, обычно
считают локальное поглощение генерируемого излучения на случайных
неоднородностях кристалла или областях пространственного заряда
вблизи поверхности зеркал.
Дефекты “темных линий”, ответственные за более медленную деградацию лазерных диодов, связаны с нарушением кристаллической
структуры активного слоя и окружающих сред [3]. Они приводят к изменению внутренних параметров кристалла, которые можно учесть при
теоретическом рассмотрении [4].
Существенное влияние на скорость деградации оказывают режимы
эксплуатации лазерных диодов [5].
2
Указать какие-либо однозначные причины, влияющие на деградацию полупроводниковых лазеров, на сегодняшний день не представляется возможным, ввиду множества параметров, характеризующих работу
лазерного диода. Эти параметры связаны со структурой кристалла арсенида галлия, с его спектроскопическими характеристиками и параметр ами генерируемого излучения. Поэтому установление связей между пар аметрами лазера и скоростью его старения является актуальной задачей,
решение которой сводится к поиску методов, позволяющих прогнозир овать долговечность полупроводниковых лазеров. Большая часть этих методов основана на регистрации изменений во времени электрических и
оптических свойств p-n- переходов [6], другие основаны на поиске статистических закономерностей изменения лазерных параметров [7], третьи отслеживают изменения микроструктуры лазерного кристалла путем
регистрации рентгеновские спектров лазерных диодов [8]. Интересное
наблюдение отмечено в [9]: перед катастрофической деградацией увеличивается интенсивность второй гармоники, генерируемой самим лазерным кристаллом.
Нами было замечено, что полупроводниковые лазеры ИЛПН-102 и
ИЛПН-108 в номинальном режиме при накачке постоянным током дают
излучение, автокорреляционная функция (АКФ) которого соответствует
генерации регулярных или нерегулярных субпикосекундных световых
импульсов с периодом следования, равном времени обхода светом резонатора. В связи с этим возникло предложение об использовании измерений АКФ для прогнозирования надежности работы полупроводниковых лазеров. С этой целью были изучены генерационные характеристики
порядка 40 образцов полупроводниковых лазеров ИЛПН-102 и ИЛПН108.
При номинальной выходной мощности лазерного диода 5·10-3 Вт и
излучающей площади 0,5х20 мкм 2 средняя плотность мощности составляет 5·104 Вт/см 2. При скважности сверхкоротких импульсов порядка
10...100 максимальная плотность мощности достигнет пробойного значения. Пиковая мощность генерации может подняться еще на один-два
порядка за счет релаксационных колебаний интенсивности излучения
лазера.
Таким образом, неконтролируемые колебания интенсивности излучения лазеров могут легко приводить к превышению пороговой пробойной плотности мощности материала волноводного слоя и выходных торцов лазерных диодов.
Измерения АКФ позволяют судить о длительности и относительной пиковой мощности сверхкоротких лазерных импульсов [10] и, таким
образом, прогнозировать повышенную вероятность радиационного пробоя конкретных образцов диодов.
На рис.7.1 приведена схема экспериментальной установки.
3
Рис. 7.1. Схема экспериментальной установки для записи спектра и АКФ полупр оводникового лазера. 1- лазерный диод; 2 - микрообъектив; 3 - светоделительный кубик; 4, 5 - зеркала интерферометра Майкельсона, 6 - точечная диафрагма, 7 - ФЭУ, 8
- селективный усилитель У 2-8, 9 - самописец, 10 - светоделительное зеркало, 11 –
спектрограф ДФС -8.
Регистрация АКФ проводилась следующим образом. Излучение лазера с помощью микрообъектива преобразовывалось в слабо расходящийся пучок, который направлялся в интерферометр Майкельсона. Переменная разность хода между интерферирующими световыми пучками
создавалась путем перемещения зеркала 4 вдоль оптической оси интерферометра. Сигнал на выходе интерферометра проектировался на фотокатод ФЭУ через точечную диафрагму диаметром порядка 0,3мм. Зеркало 5, прикрепленное к пьезокерамической пластинке, колебалось вдоль
оси интерферометра с амплитудой порядка половины длины волны и с
частотой 350 Гц. Электрическое напряжение, возникающее на выходе
ФЭУ, усиливалось и регистрировалось самописцем КСП-4. Одновременно другим самописцем проводилась регистрация спектра генерации. Для
записи спектра часть излучения лазера с помощью зеркала 10 направлялась в спектрограф. В работе использовались фотоэлектронные умножители ФЭУ-112. Измерения АКФ и спектра проводились при мощности
генерации диодов равной 2 мВт.
Было проведено исследование изменения АКФ, спектра и ваттамперных характеристик для лазерных диодов в течение трех лет. За
время наблюдения часть лазерных диодов или вышла из строя, или зн ачительно изменила генерационные характеристики. Анализ АКФ и спектральных характеристик таких лазерных диодов, записанных через небольшое время (несколько месяцев) после их изготовления, позволили
выявить ряд характерных особенностей, влияющих (по нашему мнению)
на надежность работы полупроводниковых лазеров. Эти характерные
особенности видны на рисунках (7.2...7.7). Интенсивности спектральных
4
компонент и АКФ приведены в произвольном масштабе. Внизу АКФ отмечена линия нулевой интенсивности.
На рис. 7.2 приведены характеристики лазера №2. Характерной
особенностью этого диода является несимметричная форма общей огибающей АКФ относительно нулевой задержки. Так как АКФ симметрична по определению, то несимметрия свидетельствует об изменении спектра генерации за время съемки АКФ, составляющего порядка 5 мин.
Видно также, что со временем фон между пиками АКФ изменяется. Это
говорит о нестабильности временных параметров генерации этого лазера, что и привело к последующей его быстрой деградации в течение 10
часов общей наработки.
б
Еген,мВт
2,5 нм
а
2
Через
2 года
100
200
Iн,мА
0
в
8,1 пс
Рис. 7. 2. Спектр (а), ватт-амперные характеристики (б) и АКФ первого порядка лазерного диода №2 (в).
Лазер № 11, характеристики которого приведены на рис.7.3, быстро деградировал и стал работать в режиме светодиода. АКФ этого диода
также несимметрична. В огибающей спектра наблюдались провалы. Общая наработка этого диода порядка 5 часов.
Диод № 27 из этой же партии, что и лазеры № 2 и № 11.За четыре года
(общая наработка за это время составила порядка 5 часов) многочасто тный режим генерации этого лазерного диода сменился одночастотным.
Это свидетельствует об образовании в объеме диода отражающих свет
дефектов, в результате чего возникла селекция продольных мод лазерн ого резонатора. Такие изменения следовало ожидать, так как в исходном
5
спектре генерации этого лазерного диода и на АКФ наблюдались провалы, свидетельствующие о релаксационных колебаниях интенсивности,
что и видно на рис. 7.4.
Еген, мВт
а
б
2,5 нм
1
Через 3 года
0
200
300
Iнак, мА
в
8 пс

0
Рис.7.3. Спектр (а), ватт-амперные характеристики (б) и АКФ (в) лазерного диода
№ 11.
а
Еген , мВт
нм
б
2,6 нм
10
Рис. 7.4. Спектр Через
(а), ватт-амперные
характеристики (б) и АКФ (в) лазерного диода №27.
месяцев
1
Полупроводниковый лазер № 7 из этой же серии имел первоначально гладкую огибающую спектра с шириной по уровню половинной
0
интенсивности
6,7200нм, чтоI более
чем в два раза превышает ширину спек, мА
120
нм
тра других лазеров этой же серии. АКФ этого лазера была симметричв
ной. По истечении
трехлетнего срока хранения (за это время наработка
диода была всего лишь порядка
10 часов) спектр генерации этого диода
8,1 пс
сузился более чем в два раза, что свидетельствует об изменениях, пр оизошедших внутри лазерного диода. Видимо, они связаны с тем, что при
синхронизации мод в таком лазерном диоде с широким спектром обр азуются импульсы длительностью порядка 200 фс, что приводит к высоким плотностям излучения в волноводном слое лазера и к возникнове
нию 0микродефектов.
Генерация лазера на нескольких поперечных модах также является
неблагоприятным фактором, о чем свидетельствует рис.7.5, на котором
приведены характеристики диода № 59. Генерация в этом случае прои сходит в нестационарном стохастическом режиме, за счет дополнительных биений, возникающих между группами продольных мод, характеризующих каждую поперечную моду.
нак
Еген, мВт
а
1,3 нм
1
б
Через 10
месяцев
6
Рис.7.5. Спектр (а), ватт-амперные характеристики (б) и АКФ (в) лазерного диода
№ 59.
Для некоторых полупроводниковых лазеров наблюдаются АКФ,
содержащие кроме основных пиков еще спутники, которые имеют значительную амплитуду. Это свидетельствует о нестационарном характере
генерации, что приводит к снижению надежности лазера. К примеру, на
рис.7.6 приведены характеристики диода № 30 (общая наработка порядка 5 часов), которые свидетельствуют о резком ухудшении работоспособности в течение одного года. Из этой же партии для диода № 28
спутники в АКФ имели интенсивности, сравнимые с интенсивностью
основных пиков. Через два года хранения этот диод стал работать как
светодиод.
Еген, мВт
а
б
Рис.7.6. Спектр (а), ватт-амперные характеристики (б) и АКФ (в) лазерного диода №
2,4 нм
30.
1
Через 8
месяцев
0
100
140 I , мА
Динамика
изменения
генерационных характеристик более детальв
но была прослежена
для диода № 26. Его характеристики приведены на
рис.7.7. Общее
наработки в течение двух лет для него составило
8,1 время
пс
порядка 100 часов. Спектр этого лазера был более или менее гладким.
АКФ носила также гладкий симметричный характер. Фон между пиками

АКФ был практически
равен нулю. После двухлетней работы пороговый
1
ток накачки несколько возрос, как видно
на рис.7.7. Оказалось, что в
этом случае изменилась АКФ: возрос фон между пиками до величины
0,5% от нулевого максимума. Возле основных пиков появились спутники, амплитуда которых составила 1...1,5% от их максимального значения. Заметного искажения спектра при этом не наблюдалось.
нак
0
200
а
Рис.7.7.
2,5
нм
Еген, мВт
б
Спектр (а), ватт-амперные характеристики (б) и АКФ (в) лазерного диода № 26.
1
Через 2
года
Анализ АКФ и спектра, проведенный для тех лазерных диодов, которые остались
работоспособными в течение длительного времени, пока0
200
260 спектра
I , мА
зал, что полуширина
соответствует вышеизложенным требованиям, но несимметрия спектра и фон между пиками АКФ не для всех
8,5 пс
в
диодов близки к нулю. Эти неблагоприятные факторы в своей совокупности выражены менее ярко, чем для диодов, которые изменили в значительной степени характеристики генерации, и описаны выше.
Таким образом, анализ работы сравнительно небольшого количества
полупроводниковых лазеров показал, что надежность их работы, вероятнак
0

7
но, корреллирует с шириной и характером его спектра и огибающей
АКФ.
Наиболее вероятно наблюдать высокую надежность и сохраняемость
лазеров, которые работают на одной поперечной моде, спектр которых
включает менее 10 частот по уровню половинной интенсивности, при
этом огибающая спектра должна быть гладкой. АКФ такого лазера
должна иметь симметричную, относительно нулевой задержки, форму с
фоном между пиками близким к нулю.
7.2. Корреляционные свойства лазерного излучения
в многомодовых волоконных световодах
Многомодовые волоконные световоды (ВС) обладают большим
апертурным углом и диаметром световедущей сердцевины по сравнению
с одномодовыми световодами. Поэтому они удобнее для многих применений, так как их проще возбуждать и по ним можно передавать значительные световые мощности. При создании когерентных оптических
систем на основе волоконных световодов, возникает вопрос о когерентности света, прошедшего через многомодовый световод.
О возможности передачи высокой степени пространственной и
временной когерентности через многомодовый световод свидетельствует
контраст спекл-картины на его выходе [11]. В одной из первых работ
[12], посвященных вопросу когерентности света в ВС, отмечается, что
модуль комплексной степени когерентности убывает с увеличением длины ВС и при уменьшении диаметра световедущей сердцевины. В [13]
проведен анализ зависимости контраста спекл-картины на выходе ВС от
его длины. Показано, что величина контраста определяется дисперсией
мод ВС и межмодовым взаимодействием при рассеянии мод на неоднородностях волоконного световода. В [14] экспериментально показано,
что средний контраст имеет минимальное значение на оси ВС и максимальное на периферии. В работе [15] отмечается, что величина среднего
контраста сильно зависит от степени фокусировки, а также поперечного
смещения и угловой расстройки вводимого в ВС пучка. Сохранение пр остранственной когерентности в приосевой (центральной) зоне многомодового ВС объясняется наличием градиента в центре его сердцевины
[16].
Распространение последовательности маломощных когерентных импульсов в волоконном световоде сопровождается рядом специфических временных явлений, связанных с интерференцией импульсов, которая изучена
пока недостаточно. Также отсутствует количественная теория, описывающая
когерентные свойства такого излучения в многомодовых световодах.
8
В работе [17] проводились экспериментальные исследования временной когерентности излучения квазинепрерывных лазеров, представляющего
собой периодическую последовательность импульсов. Из интуитивных представлений следует, что максимумы функции временной когерентности
(ФВК), представляющей собой огибающую автокорреляционной функции
первого порядка должны испытывать такое же уширение, как и одиночный
импульс при распространении в волоконных световодах [18,19].
В наших экспериментах по исследованию когерентности излучения в
ВС применялись гелий-неоновый и полупроводниковые лазеры. Гелий- неоновый лазер ЛГ-79 с длиной волны излучения 0,6328 мкм, генерирует на
семи продольных модах резонатора Его излучение представляет собой регулярную периодическую последовательность импульсов длительностью 0,7 нс
с периодом следования 5 нс. Полупроводниковые полосковые лазеры на арсениде галлия типа ИЛПН-102, ИЛПН-207 и ИЛПН-108, генерируют при накачке постоянным током в зависимости от образца на 10...40 продольных
модах лазерного диода в спектральном диапазоне 0,8...0,9 мкм. Для полупроводниковых лазеров характерна нерегулярная квазипериодическая временная картина излучения с периодом 6...8 пс и с характерной длительностью
спектрально ограниченных импульсов 0,1...0,3 пс [10]. Излучение полупроводниковых и газового лазеров дает хорошо воспроизводимую периодическую ФВК, максимумы которой отстоят друг от друга на расстоянии, соответствующем двойной длине лазерного резонатора, их полуширина примерно соответствует обратной ширине спектра, а значение ФВК в промежутках
между ее максимумами мало.
Для регистрации функции временной когерентности гелий-неонового
лазера использовалась установка, схема которой приведена на рис. 7.8.
3
Рис. 7.8. Схема экспериментальной установки для регистрации функции временной коге4
рентности лазера.
1 - лазер; 2- телескоп; 3 - зеркало; 4 - уголковый отражатель; 5 - щель; 6 - фотоприемник; 7 - светоделительный кубик; 8 - регистрирующий прибор.
1
2
7
Излучение лазера 1 расширяется телескопом 2 и попадает на светоделительный кубик 57 интерферометра Майкельсона, который содержит колеблющееся зеркало 3 и уголковый отражатель 4, который можно перемещать,
создавая разность
6 плеч интерферометра до одного метра. Зеркало 3 с помо8 щью пьезокерамики колеблется вдоль оси лазерного пучка с амплитудой порядка половины длины волны на частоте 400 Гц. Интерференционная картина на выходе интерферометра Майкельсона, через диафрагму 5 детектируется фотоприемником 6, в качестве которого используется фотоэлектронный
умножитель ФЭУ-112. В части экспериментов с газовым лазером регистрация интерференционной картины осуществлялась путем ее фотографирова-
9
ния с целью получения количественных данных по глубине модуляции интерференционной картины. В этом случае уголковый отражатель не перемещался непрерывно, а устанавливался на определенные расстояния.
При работе с полупроводниковыми лазерами вместо уголкового отражателя в установке применялось зеркало, которое перемещалось вдоль оси
интерферометра, создавая разность хода в плечах интерферометра до 4 см.
Вместо телескопа в этом случае применялся микрообъектив, как показано на
рис.7.1.
Излучение лазера с помощью микрообъектива вводилось в световод
таким образом, чтобы полностью заполнить апертуру световода. При регистрации ФВК после прохождения световода сколлимированное с помощью
микрообъектива излучение направлялось в интерферометр Майкельсона, показанный на рис. 7.8.
В экспериментах использовались два образца волоконных световодов
– многомодовый и одномодовый длиной 1200 м с потерями 7 дБ/км на длине
волны 0,63 мкм, намотанные на катушки диаметром 32 см. Диаметры световедущей сердцевины световодов 48 и 5 мкм, числовые апертуры 0,15 и 0,13
для многомодового и одномодового световодов соответственно.
За счет использования колеблющегося зеркала интерферометра интерференционная картина при регистрации сканируется относительно точечной диафрагмы, установленной на входе фотоприемника. После детектирования сигнал регистрируется самописцем, который и строит зависимость
ФВК от разности хода лучей в интерферометре. При записи интерференционной картины на фотопленку функция временной когерентности строится
по точкам, каждая из которых соответствует выбранной разности хода в плечах интерферометра.
При фотографической регистрации интерференционной картины
снимки фотометрировались с использованием предварительно построенной
характеристической кривой для применяемой фотопленки, а затем по результатам обработки строилась ФВК.
Спектры излучения лазера ЛГ-79 регистрировались сканирующим интерферометром Фабри-Перо на экране осциллографа с последующим фотографированием их с экрана осциллографа фотоаппаратом.
Спектр полупроводниковых лазеров регистрировался спектрографом
ДФС-8, на выходе которого устанавливался фотоэлектронный умножитель
со щелью.
10
()
1
2
3
0 ,5
0
0
2
4
,
нс
Рис. 7.9. Функция временной когерентности лазера ЛГ-79 (1) и на выходе многомодового волоконного световода (2). (3) - ФВК в отдельном пятне спекл-структуры и при
перемешивании мод ВС.
Результаты измерения ФВК на выходе многомодового световода
представлены на рис.7.9 (кривая 2). По сравнению с функцией временной когерентности лазера рис.5.9 (кривая 1) ширина максимумов на выходе световода несколько увеличивается. Наблюдается также большой разброс значений ФВК, особенно в области задержек, соответствующих ее минимумам.
Этот разброс обусловлен изменениями спекл-структуры излучения, возникающими при изменении разности хода лучей в интерферометре МайкельсонаВлияние спекл-структуры устранялось путем применения динамического
смесителя мод, который представлял собой катушку диаметром 10 см из 10
витков световода, периодически деформируемую нормально ее оси с небольшой амплитудой и частотой 350 Гц. Для уменьшения влияния условий
возбуждения световода на результаты измерений ФВК на входе многомодового световода устанавливался смеситель мод – отрезок световода, намотанный на конический стержень, а возбуждение световода проводилось микрообъективом с числовой апертурой, большей чем числовая апертура световода.
Применение двух смесителей мод уменьшает погрешности измерений
(рис.7.9, кривая 3). Спектр излучения на выходе световода становится аналогичным исходному. В пространственном распределении излучения в световом пучке спекл-структура устраняется. Пятно становится гладким и симметричным при наблюдении за время, превышающее период механических
колебаний динамического смесителя мод. При этом полуширина огибающей
ФВК равна функции временной когерентности лазера, хотя ее значение в
максимуме и уменьшается до 0,8.
Известно [20], что в многомодовых световодах основной причиной
уширения световых импульсов, распространяющихся по световоду, является
межмодовая дисперсия. Для многомодовых световодов она составляет порядка 10 нс/км. В условиях эксперимента, описанного выше, период следо-
11
вания импульсов возбуждающего излучения того же порядка – 5 нс. Чтобы
убедится в том, что ФВК не уширяется и в случае значительного превышения дисперсионного уширения импульса над характерным периодом следования импульсов, целесообразно в качестве источника излучения использовать полупроводниковые лазеры.
Дисперсионное уширение импульса в волоконном световоде характеризуют безразмерным параметром x  k L(  ) 2 [20], где k  – вторая производная волнового вектора по частоте; L - длина световода; межмодовое
расстояние в спектре излучения лазера. Отношение этого параметра для полупроводникового и газового лазеров для отрезка световода из кварцевого
стекла равно 3,6  104. Таким образом, измерения ФВК полупроводникового
лазера после прохождения световода длиной 1200 м эквивалентны эксперименту с газовым лазером при длине световода 4  104 км.
Типичная ФВК полупроводникового лазера представлена на рис.7.10
(кривая 1). Полуширина нулевого максимума для этого образца лазера составляет 246  4 фс, а период ФВК – 6,6 пс. Значение ФВК в промежутках
между максимумами не превышает 0,5% от их значения.
При возбуждении многомодового световода полупроводниковым лазером в вышедшем световом пучке не наблюдается спекл-структуры, а ФВК
не зависит от условия возбуждения световода и наличия смесителей мод.
После прохождения излучения полупроводникового лазера через одномодовый и многомодовый световоды полуширина нулевого максимума
ФВК равнялась 238  6 и 210  5 фс соответственно (рис.7.10, кривая 2). В
случае использования многомодового световода интенсивность фона между
максимумами возрастает до 2% от максимального значения. Измерения, проведенные с другими образцами полупроводниковых лазеров, работающих в
диапазоне длин волн 0,8...0,9 мкм, дали аналогичные результаты – незначительное уменьшение ширины максимумов ФВК (на 0...17%) для излучения,
прошедшего через многомодовый волоконный световод длиной 1200 м.
()
б
1
0,5
2
0,7нм
а
134фс
0

0
Рис.7.10. Спектр излучения полупроводникового лазера (а), после прохождения
многомодового ВС (б), нулевой максимум ФВК этого же лазера (1) и ФВК на выходе многомодового ВС (2).
12
Таким образом, проведенные измерения показали, что функция временной когерентности периодической последовательности когерентных импульсов в многомодовом световоде существенно не изменяется, а сохраняется примерно так же, как и в одномодовом световоде.
Когерентные свойства лазерного излучения при его распространении
в многомодовых волноводах позволяют наблюдать ряд интересных интерференционных явлений. Многомодовые волоконные световоды по своей физической сути представляют собой многолучевые интерферометры, где каждая
мода ассоциируется с лучом в обычном интерферометре. При этом все моды
распространяются с разными фазовыми скоростями по одной и той же световедущей сердцевине световода. И как для любого интерферометра должны
наблюдаться эффекты спектральной селекции.
При различных механических воздействиях на световод (давление,
изгиб, кручение, сжатие, растяжение) фазовые скорости волноводных мод
могут изменяться по-разному для разных мод, что служит основой для создания волоконно-оптических датчиков, которые построены на изменении
интерференционной картины на выходе световода при различных воздействиях.
С целью выяснения селективных свойств многомодовых световодов в
работе [17] изучалось влияние изгиба многомодового волоконного световода
на спектр продольных мод гелий-неонового лазера ЛГ-79.
Излучение лазера с помощью микрообъектива вводилось в световод
таким образом, чтобы полностью заполнить апертуру световода. После прохождения световода сколлимированное с помощью микрообъектива излучение направлялось в сканирующий интерферометр Фабри-Перо. База интерферометра порядка 10 см. Интерференционные кольца на выходе интерферометра с помощью объектива с фокусным расстоянием 1,5 м фокусировались на точечную диафрагму диаметром 0,2... 0,3 мм, установленную перед
фотоэлектронным умножителем. Сигнал с фотоумножителя регистрировался
на экране осциллографа и фотографировался.
Использовались два образца волоконных световодов – многомодовый
и одномодовый длиной 1200 м с потерями 7 дБ/км на длине волны 0,63 мкм,
намотанные на катушки диаметром 32 см. Диаметр световедущей сердцевины световодов 48 и 5 мкм, числовая апертура 0,15 и 0,13 для многомодового и одномодового световодов соответственно. На входном конце световода был образован полукольцевой изгиб.
Эксперименты показали, что на выходе многомодового световода
спектр излучения газового лазера становится зависимым от радиуса изгиба
световода и условий его возбуждения, что видно на рис. 7.11.
13
а
б
203 М Г ц
г
в
Рис. 7.11. Спектр гелий-неонового лазера ЛГ-79 (а) на выходе многомодового волоконного световода при изгибе его участка с радиусом кривизны 7,5 (б), 5,5 (в) и 4 см (г).
Для одномодового световода такой зависимости не наблюдалось, что
указывает на то, что наблюдаемое изменение спектра продольных мод лазера
связано с интерференцией света различных пространственных мод многомодового волоконного световода. Это также подтверждается выводами работы
[21], в которой исследовалось влияние отражения от выходного торца отрезка волоконного световода на спектр продольных мод полупроводникового
лазера, излучение которого вводится в многомодовый волоконный световод.
В этой работе также отмечается, что одномодовый ВС, в который вводится
излучение полупроводникового лазера не влияет на спектральные характеристики лазерного излучения.
Не наблюдалось также искажение спектра полупроводниковых лазеров в многомодовом волоконном световоде длиной 1200 м, что связано с невысокой временной когерентностью их излучения. Это подтверждается также тем, что на выходе многомодового световода не наблюдается спеклкартины при его засветке излучением полупроводникового лазера.
Для выяснения влияния световода на спектр излучения полупроводниковых лазеров использовались небольшие отрезки волоконных световодов
[22]. В качестве источника излучения применялся лазер, генерирующий на
длине волны 674,5 нм, со встроенной коллимирующей линзой. Использовались отрезки ВС длиной порядка 1 м с диаметрами световедущих сердцевин
5, 10, 30, 50 и 200 мкм при полных внешних диаметрах 125, 125, 90, 125 и
500 мкм соответственно. Спектр регистрировался на выходе спектрографа
ДФС-8 на фотопленку.
Схема экспериментальной установки приведена на рис.7.12.
14
2
1
3
4
2R
5
6
8
9
10
7
7
Рис.7.12. Схема экспериментальной установки для наблюдения искажения спектра
излучения полупроводникового лазера, проходящего через волоконный световод.
1 - полупроводниковый лазер; 2, 6 - светоделительные кубики; 3, 5 - согласующие
микрообъективы; 4 - отрезок волоконного световода; 7 - “глухие” зеркала; 8 - цилиндрическая линза; 9 - спектрограф; 10 - непрозрачный экран.
Оптическое излучение лазера 1 с помощью светоделительного кубика 2
делится на два пучка. Первый пучок с помощью микрообъектива 3 вводится
в волоконный световод 4, после прохождения которого с помощью микрообъектива 5 через второй светоделительный кубик 6 посредством цилидрической линзы 8 вводится в спектрограф 9. При этом, второй пучок с помощью зеркал 7 также через кубик 6 и цилиндрическую линзу 8 фокусируются
на входную щель спектрографа 9. Такая схема установки позволяет на выходе спектрографа наблюдать одновременно две спектральные картины, расположенные одна под другой. Одна картина соответствует спектру излучения, непосредственно вышедшего из лазера, а другая – спектру лазерного излучения, прошедшего отрезок ВС.
Установка юстировалась таким образом, чтобы излучение, отраженное
от светоделительных кубиков и микрообъективов, не попадало обратно в лазерный резонатор.
С целью изучения влияния ВС на спектр излучения ППЛ использовался следующий методический прием. С помощью экрана 10 (рис.7.12) перекрывался лазерный пучок, направляемый в ВС, чем исключалось обратное
влияние отраженного торцом ВС света на лазерный диод, и регистрировался
спектр излучения лазера. Затем экран убирался и производилась одновременная регистрация спектра на выходе лазера и ВС. Эксперименты с различными ВС показали, что спектры от первого и второго пучка практически
идентичны и отличаются от спектра излучения лазера без ввода в ВС. Эта
идентичность спектров свидетельствует о том, что световод создает оптическую обратную связь на лазер.
Для выяснения характера этой обратной связи участок ВС подвергался
изгибу с разными радиусами кривизны, для чего этот участок ВС сворачивался в кольцо.
15
Л а зер
674 нм
676 нм
2
1
3
4
а
Л а зер
674 нм
676 нм
1
2
3
4
б
Рис.7.13. Изменение спектра продольных мод полупроводникового лазера при вводе его излучения в многомодовый с диаметром световедущей сердцевины 30 мкм (а) и в
одномодовый с диаметром сердцевины 5 мкм (б) волоконные световоды в зависимости от
радиуса изгиба световода.
Цифры 2,3,4 соответствуют уменьшающимся радиусам изгиба световода.
К примеру, на рис. 7.13 приведены спектры продольных мод лазерного
излучения при использовании многомодового ВС с диаметром световедущей
сердцевины 30 мкм (рис.7.13, а) и одномодового ВС с диаметром сердцевины 5 мкм (рис. 7.13, б) для трех различных величин радиуса изгиба ВС. Причем, в обоих случаях спектры расположены в таком порядке, что R 2 > R3 > R4
для графиков 2, 3 и 4 соответственно.
Как видно на рис.7.13, изгиб ВС приводит к частичному подавлению
отдельных мод лазерного резонатора и увеличению добротности для других.
Эта картина характерна не только для многомодовых, но и для одномодового
ВС. Если в спектре имеются две рядом расположенные моды, то постепенный изгиб ВС приводит к периодическому изменению интенсивностей этих
мод. При этом, чем больше диаметр сердцевины, тем меньше период циклических изменений при одном и том же изменении радиуса изгиба ВС. Так,
например, для ВС с диаметром сердцевины 10 мкм необходимо изменить
диаметр кольца на 3... 5 мм, чтобы две соседние моды поочередно изменили
свою интенсивность от минимальной до максимальной. Для наблюдения такой же деформации в спектре соседних мод для ВС с диаметром сердцевины
50 мкм требуется изменение диаметра кольца на доли миллиметра.
Анализ перестройки спектра при изгибе участка ВС свидетельствует о
том, что отрезок ВС представляет собой дополнительный волоконнооптический интерферометр Фабри-Перо, соединенный с лазерным резонатором. При этом, в случае одномодового ВС, его изгиб приводит к изменению
показателя преломления участка ВС за счет механических напряжений,
вследствие чего изменяется база волоконно-оптического интерферометра, а,
следовательно, перестраивается и спектр излучения лазера. В случае приме16
нения многомодового ВС к механизму изменения базы волоконнооптического интерферометра за счет механических деформаций еще добавляется механизм, связанный с интерференцией лазерного излучения, распространяющегося в нескольких поперечных модах ВС. Это также подтверждается результатами работы [21], где отмечается главная роль спекл-картины
при перестройке спектра лазера. Суть этого механизма заключается в том,
что для определенной частоты, соответствующей некоторой продольной моде лазерного диода, на изогнутом участке ВС может наблюдаться минимум
интерференции излучения его различных поперечных мод, что приводит к
отражению света этой частоты от изогнутого участка световода и уменьшению мощности излучения этой частоты на выходе волоконного световода.
Такой механизм объясняет наблюдаемое явление уменьшения периода циклических изменений амплитуд соседних продольных мод лазера при изменении радиуса изгиба ВС. Для других частот, генерируемых лазером изогнутый участок ВС будет иметь большее пропускание.
Наличие такого механизма изменения добротности волоконного интерферометра для многомодовых ВС подтверждается экспериментами по
выяснению влияния отражения от входного и выходного торцов ВС на
спектр генерации лазера. Для этого отражение от торцов ВС убиралось путем оплавления их до образования полусферических микролинз. Кроме этого, микролинза на выходном торце иммерсировалась жидкостью с показателем преломления 1,515. В этом случае оказалось, что спектры продольных
мод излучения ППЛ на входе и выходе волоконного световода различаются.
Для увеличения эффекта на участке ВС было образовано кольцо диаметром 3,5 см из восьми витков. В этом случае оказалось, что изогнутый
участок ВС играет роль селектора спектра лазерного излучения. На рис.7.14
приведены спектры продольных мод на входе ВС и для двух разных изгибов
световода. Изгиб световода осуществлялся путем сжатия кольца в эллипс,
меньшая ось которого составляла 3,3 (б) и 3,2 (в) см.
Оказалось, что при изменении величины изгиба, спектр плавно перестраивается. Область свободной дисперсии для случая изгиба, приведенного
на рис.7.14 составляет примерно 1 нм.
17
Рис. 7.14. Спектр продольных мод полупроводникового лазера до ввода его излучения в волоконный световод (а) и на выходе ВС для двух различных величин деформации световода (б и в)
Многомодовый световод, как интерферометр, обладает интересной
особенностью: спектральный состав излучения в разных пятнах спеклструктуры отличается. Это особенно четко проявляется в маломодовых ВС.
Рис.7.15. Схема спекл-картины (а) на выходе радиально-двухмодового ВС и распределение интенсивностей продольных мод полупроводникового лазера при открывании
верхнего (б) и нижнего (в) пятен спекл-картины соответственно.
Волоконный световод с диаметром световедущей сердцевины 10 мкм,
который поддерживает распространение двух поперечных моды, возбуждался таким образом, чтобы в световоде распространялся пучок, поперечное сечение которого на выходе световода представляет собой два пятна, расположенные одно над другим, как показано на рис. 7.15, а.
На рис.7.15, б приведен спектр продольных мод лазера при открывании только одного пятна. Верхний спектр соответствует открытому верхнему пятну, а нижний – нижнему. Из рисунка видно, что спектры являются
18
взаимно дополняющими. Наблюдается интересное явление, заключающееся
в том, что в световод, по всему сечению световедущей сердцевины которого
вводится набор спектральных линий, вносит пространственное разделение
спектральных линий. Как видно из рисунка, спектральный диапазон между
пятнами составляет 0,6…0,7 нм. Это явление обусловлено интерференцией
лазерного излучения, распространяющегося в различных волноводных модах
и связано с неоднородностью показателя преломления световедущей сердцевины световода.
Таким образом, проведенные эксперименты показали, что при вводе
излучения гелий-неоновых и полупроводниковых лазеров в многомодовые
волоконные световоды необходимо учитывать спектральные искажения излучения на выходе световода. При распространении излучения полупроводниковых лазеров в длинных (порядка сотен метров) многомодовых волоконных световодах на выходе функция временной когерентности лазерного излучения не испытывает уширения. Однако, спекл-картина, свидетельствующая о межмодовой интерференции, не наблюдается.
7.3. Определение дисперсионного параметра второго порядка волоконного световода по кросс-корреляционной функции
Скорость передачи информации по волоконному световоду ограничена
явлением дисперсионного уширения светового импульса. Для определения
этой скорости разработан ряд методов. Наиболее распространенным является радиотехнический подход, рассмотренный в [21], который представляет
волоконный световод, как частотно-ограниченную в области модуляционных
частот систему. Задача определения информационных характеристик световода сводится к нахождению полосы пропускания световода в указанной области частот. При таком подходе нет необходимости в прояснении физических причин, ограничивающих скорость передачи информации, и он годится
как для одномодовых, так и для многомодовых ВС.
Самым простым является прямой метод построения частотной характеристики ВС. Он заключается в подаче на вход световода синусоидальномодулированного оптического сигнала и измерения глубины модуляции на
выходе световода. Меняя частоту модуляции, можно непосредственно построить частотную характеристику ВС. Недостатком этого метода является
сложность реализации синусоидальной модуляции светового потока в широкой полосе частот от единиц Гц до десятков ГГц.
В [22] предложено кроме основного канала в виде исследуемого многомодового световода использовать опорный канал, состоящий из одномодового световода такой же длины, как и исследуемый. В этом случае главный
вклад в частотные характеристики будет вносить лишь межмодовая дисперсия ВС.
19
В работах [23,24] применялась модификация прямого метода для определения хроматической дисперсии одномодовых ВС. При этом на выходе
световода определялась не амплитуда сигнала, а его фаза. К недостатку указанного метода следует отнести то, что на выходе многомодовых ВС модулирующий сигнал может становиться несинусоидальным, что искажает частотную характеристику. Фаза является периодической функцией, поэтому
необходимо знать не только дробную часть фазы, но и целую.
Наиболее распространенным методом является импульсный [25], одна
из разновидностей которого заключается в построении Фурье-образа сигнала
на входе и на выходе световода. Отношение выходного Фурье-образа ко
входному дает частотную характеристику ВС. Недостаток этого метода - необходимость использования таких сигналов, в спектре которых отсутствуют
нули. Достоинство метода - возможность построения частотной характеристики ВС во всем требуемом диапазоне частот за однократное измерение.
Второй разновидностью импульсного метода является построение
частотной характеристики из функции отклика импульсного сигнала, представляющую собой такую функцию, произведение которой на входной сигнал дает выходной сигнал. Трудности такого метода заключаются в сложности определения функции отклика, в особенности, в случае слабого уширения сигнала, потому что в этом случае необходимо решать уравнение свертки, представляющее собой некорректную обратную задачу. Задача упрощается в случае сильного уширения сигнала, так как в этом случае импульс на
выходе ВС будет представлять собой функцию отклика.
В [26] предложен импульсно-спектральный метод, сочетающий прямой
метод и метод функции отклика.
В работе [27] предложен расчетный метод, позволяющий найти ширину полосы пропускания многомодового ВС, основанный на решении уравнений Максвелла для каждого тонкого кольца, на которые разбивается световедущая сердцевина ВС. Отмечается, что метод применим для световодов с
любым профилем показателя преломления сердцевины.
Физической причиной, ограничивающей информационную пропускную способность волоконно-оптических каналов передачи информации, является дисперсия показателя преломления мод оптического волокна.
В волоконных ВКР-лазерах удается достаточно просто компенсировать
дисперсионное уширение генерируемых импульсов путем включения в качестве одного из участков волоконного резонатора отрезка световода с обратной дисперсией [28]. Предлагается также компенсировать положительную материальную дисперсию отрицательной волноводной дисперсией за
счет выбора параметров световода [29].
Главную роль в искажении импульсных сигналов играет вторая произ20
водная волнового вектора по частоте (дисперсионный параметр второго порядка), обычно обозначаемая k [20,30,31]. Знание этого параметра позволяет определить информационную способность используемого одномодового
ВС. Самым распространенным методом определения k является прямое
измерение задержки короткого импульса в отрезках световода при изменении длины волны оптического сигнала с последующим вычислением первой
производной от полученной зависимости. Для этого используются отрезки
световодов длиной от единиц [32] до десятков километров [33,34]. Одна из
разновидностей такого метода описана в [35], где задержки отдельных спектральных составляющих импульса, введенного в световод, определялись на
скоростном фоторегистраторе.
Простой метод определения хроматической дисперсии одномодовых
ВС предложен в [36]. В этом методе небольшой отрезок одномодового волокна устанавливался в одно из плеч интерферометра Маха-Цандера и непосредственно измерялся показатель преломления волноводной моды в зависимости от длины волны. Построенная дисперсионная кривая позволяла рассчитать k в диапазоне минимальной дисперсии и минимальных потерь волоконных световодов (1,2 - 1,6 мкм). В качестве источника использовалась
лампа накаливания. Похожий метод был применен в работах [37,38]. Интерференция белого света в интерферометре Майкельсона позволила определить k и k для образцов кварца и диэлектрических слоев многослойного
зеркала [39].
В принципе, для определения дисперсионных характеристик ВС можно измерять любые параметры световода на разных длинах волн, по которым
математическим путем можно получить информацию о k. Так в работах
[40,41] для этих целей измеряют в ближней зоне размер пятна моды одномодового волокна на разных длинах волн, а затем обработкой полученных данных определяют хроматическую дисперсию световода.
Измерение контраста спекл-картины на выходе многомодового волоконного световода также дает информацию о ширине полосы пропускания
ВС [42]. Показано, что полуширина частотно-контрастной характеристики
спекл-структуры соответствует полуширине полосы пропускания ВС.
Поведение АКФ лазерного излучения после прохождения волоконного световода существенно отличается от поведения кросскорреляционной
функции (ККФ) первого порядка, когда регистрируется резкость интерференционной картины при интерференции двух пучков лазерного излучения,
один из которых прошел отрезок волоконного световода.
В работе [17] проведено исследование зависимости ККФ первого порядка от длины волоконного световода. Измерение ее проводилось на экспериментальной установке, схема которой приведена на рис.7.16. По своей физической сути установка является интерферометром Маха-Цандера.
21
3
13
1
4
2
10
5
14
9
6
8
7
11
12
15
Рис.7.16. Схема экспериментальной установки для регистрации кросс-корреляционной
функции излучения полупроводникового лазера, прошедшего одномодовый волоконный
световод.
1 - полупроводниковый лазер; 2,4,5,6,8 - микрообъективы; 3 - светоделительный
кубик; 7 - отрезок волоконного световода; 9,13 -”глухие” зеркала; 10,11 - полупрозрачные
зеркала; 12 - щель; 14 - фотоприемник; 15 - регистрирующее устройство.
Излучение полупроводникового лазера (1), сколлимированное микрообъективом 2, с помощью светоделительного кубика 3 делится на два пучка,
один из которых является опорным, а другой рабочим. Рабочий пучок с помощью “глухого” зеркала 9 и микрообъектива 6 вводится в исследуемый отрезок волоконного световода 7. Излучение, прошедшее световод, коллимируется микрообъективом 8 и через полупрозрачное зеркало 11 распространяется в направлении фотоприемника 14. Опорный пучок проходит через телескопическую систему из двух микрообъективов 4,5 и через полупрозрачное
зеркало 10 направляется на “глухое” зеркало 13. Микрообъективы 4,5 используются для того, чтобы реализовать полную физическую симметрию в
опорном и рабочем каналах интерферометра. Излучение, отраженное от
движущегося зеркала 13, отражается при помощи полупрозрачного зеркала
11 также в направлении фотоприемника. За зеркалом 11 опорный и рабочий
световые пучки складываются и образуют интерференционную картину, которая регистрируется фотоприемником 14 через щель 12. Резкость этой интерференционной картины от разности плеч интерферометра записывается
регистрирующим устройством 15, состоящим из селективного усилителя У
2-8 и самописца КСП-4. Используемая схема интерферометра Маха-Цандера
позволяет легко менять отрезки волновода различной длины без перестройки
элементов установки. При смене световода лишь зеркало 13 необходимо
смещать вдоль рельса, на котором оно установлено, чтобы выровнять плечи
интерферометра. Для улучшения условий регистрации интерференционной
картины движущееся зеркало 13 с помощью пьезокерамики колебалось с амплитудой порядка половины длины волны используемого излучения.
22
Зависимость видности интерференционных полос в суммарном пучке
от разности хода лучей измерительного и опорного пучков и есть кросскорреляционная функция первого порядка.
При не слишком больших длинах одномодового световода выражение
для ККФ имеет вид:
k 


F (t )   I ( m ) cos  m t 
L (  m ) 2   m (t )   m (0)  , (7.1)
2


m
где I(m) - интенсивность спектральной компоненты с частотой m
в спектре излучения квазинепрерывного лазера;
m - отстройка частоты m-моды от центральной частоты спектра;
m(t) - медленно меняющаяся часть фазы m-моды;
m(0)- начальные фазы мод.
Как можно убедиться, анализируя формулу (7.1), нестационарность
фаз m порождает монотонное уширение максимумов ККФ.Оказалось, что в
соответствии с расчетами по формуле (7.1) для отрезка световода длиной порядка 1 м наблюдается 3-4 кратное уширение ККФ по сравнению с ФВК. На
рис.7.12 приведены расчетная и экспериментальная зависимости относительного уширения нулевого максимума ККФ от длины световода L для лазера, спектр излучения которого приведен на рис. 7.7, а.
Характерной особенностью как экспериментальной, так и расчетной
зависимостей является наличие линейного участка зависимости полуширины
ККФ от длины используемого отрезка световода. Привязка экспериментальной зависимости к расчетной может дать информацию об одном из важных
параметров световода - дисперсионном параметре k  , который, в основном,
определяет уширение световых импульсов при их распространении в волоконных световодах.
Определение дисперсионного параметра осуществляется следующим
образом. Проводятся измерения спектра излучения и ФВК лазера и ККФ на
небольших отрезках световода. Путем подбора величины безразмерного параметра x  k L(  ) 2 строится расчетный график так, чтобы линейные участки расчетной и экспериментальной зависимостей совпадали. Тогда для
любой точки этих зависимостей, расположенной на линейном участке, восстанавливается безразмерный параметр x, а по нему просто определяется
дисперсионный параметр световода.
После обработки данных, приведенных на рис. 7.17, была получена
величина k  =0,4410-27 с2/см , что в 1,25 раза выше, чем литературные данные для плавленого кварца. Такое расхождение может быть обусловлено как
точностью предлагаемого метода, так и тем, что в экспериментах использовался не чистый, а легированный кварц.
23
t/to
Рис.7.17. Зависимость уширения кросс-корреляционной функции излучения непрерывного
полупроводникового лазера на выходе одномодового волоконного световода от его длины. Сплошная линия - расчет, точки - эксперимент.
2
1
0
20
Таким образом, проведенные исследования показывают, что зависимость ширины кросс-корреляционной функции от длины световода для излучения непрерывного полупроводникового лазера может служить для определения дисперсионного параметра второго порядка (второй производной
волнового
вектора
поL,см
частоте) одномодовых световодов.
40
60
7.4. Определение дисперсионного параметра второго порядка полоскового волновода полупроводникового лазера по функции временной когерентности его излучения
Создание полупроводниковых лазеров, работающих в режиме генерации предельно коротких световых импульсов, требует компенсации дисперсионного расплывания импульсов, циркулирующих в лазерном резонаторе.
Такая компенсация может осуществляться введением в лазерный резонатор
элементов, дисперсионный параметр (вторая производная волнового вектора
по частоте) которых имеет обратный знак и величину, равную дисперсионному параметру активного слоя [43]. Это обуславливает необходимость разработки методики определения дисперсионного параметра полупроводниковых лазерных диодов k (второй производной волнового вектора по частоте).
Интерференционные методики определения хроматической дисперсии, используемые для оптических волноводов [36], трудно применить к лазерным
диодам ввиду малой оптической длины и поперечных размеров последних. В
работе [44] предлагается применять фурье-спектроскопию кросскорреляционной функции собственной люминесценции лазерного диода для определения дисперсии групповых скоростей и коэффициента усиления в пределах
спектральной полосы люминесценции.
В работах [45,46] проводились исследования по возможности определения дисперсионного параметра полупроводниковых лазеров по функции
временной когерентности лазерного излучения.
В экспериментах применялись полосковые полупроводниковые лазеры на арсениде галлия типа ИЛПН-108, работающие в инфракрасном диапазоне на длине волны 825...840 нм и полупроводниковые лазеры, работающие
в видимом красном диапазоне спектра 650... 670 нм. Накачка лазерных диодов осуществлялась стабилизированным постоянным током. Излучение лазера направлялось в интерферометр Майкельсона, одно из “глухих” зеркал
которого медленно со скоростью 1 мм/мин перемещалось вдоль его оси,
обеспечивая изменение разности хода лучей в плечах интерферометра. Дру24
гое “глухое” зеркало колебалось вдоль оси интерферометра с амплитудой,
составляющей примерно половину длины волны генерируемого излучения, с
помощью пьезокерамики, к которой прикладывалось переменное электрическое напряжение с частотой 450 Гц. Излучение на выходе интерферометра
через точечную диафрагму регистрировалось фотоумножителем ФЭУ-112,
сигнал с которого детектировался и записывался самописцем КСП-4, скорость которого синхронизировалась со скоростью перемещения зеркала интерферометра Майкельсона.
0 ,4 5 н м
б
а
-6 L
-4 L
-2 L
0
2L
4L
6L
l
Рис.7.18. Функция временной когерентности (а) и спектр продольных
мод полупроводникового лазера (б).
Зависимость видности интерференционных полос, даваемых интерферометром Майкельсона, от разности лучей в его плечах l и есть функция временной когерентности. На рис.7.18 представлен вид функции временной когерентности (ФВК) для одного из образцов лазера и спектр его
излучения при токе накачки, превышающем пороговый на 35%. Видно, что
функция временной когерентности представляет собой последовательность
максимумов, отстоящих друг от друга на расстояние, соответствующее
двойной оптической длине резонатора лазера. По мере увеличения разности
хода в плечах интерферометра Майкельсона амплитуда максимумов ФВК
уменьшается. Значение ФВК в области между максимумами не превышает
0,5% от максимального значения. Из рис.7.18 видно, что увеличение разности хода в плечах интерферометра приводит также к возрастанию ширины
пиков функции временной когерентности.
25

в
0,15
б
0,10
а
0,05
-6L
-4L
-2L
0
2L
4L
6L
l
Рис.7.19. Зависимость нормированной ширины пиков ФВК лазера без (а) и при
внесении в интерферометр кварцевого цилиндра длиной 10 (б) и 20 см (в) от разности
плеч интерферометра.
На рис.7.19 приведены зависимости относительной полуширины последовательных пиков ФВК от разности хода лучей в плечах интерферометра Майкельсона. Ширина пиков пронормирована на двойную оптическую
длину L лазерного резонатора. Некоторая асимметрия ФВК относительно
нулевой разности плеч интерферометра связана с нестабильностью спектра
генерации лазера во времени. Многократные измерения спектра лазера показали, что амплитуды мод за время измерения ФВК могут изменяться на величину до 15%, при этом полуширина спектра - до 9%. Уширение максимумов ФВК тем больше, чем больше ширина спектра исследуемого лазера.
Особенность функции временной когерентности состоит в том, что
два ее максимумы первого порядка, соседствующие с нулевым, образованным при нулевой разности плеч интерферометра максимумом, получаются в
результате интерференции световых пучков, которые отличаются тем, что
один из них имеет дополнительный набег оптического пути, равный двойной
оптической длине лазерного резонатора. Пики ФВК последующих порядков
- результат интерференции пучков, отличающихся по задержке на четыре,
шесть и так далее проходов по резонатору, т.е. для пиков ФВК, отличных от
нулевого, реализуются те же условия, что и при регистрации кросскорреляционной функции, когда интерферируют два световых пучка, один
из которых прошел исследуемый образец. В данном случае роль такого образца играет сам лазерный диод. Следовательно, уширение последовательных максимумов ФВК обусловлено дисперсией генерируемого излучения в
активном слое лазера. Известно, что уширение ККФ пропорционально длине
образца [17]. Таким образом, измерение ширины пиков ФВК лазерного из-
26
лучения нескольких порядков позволяют оценить дисперсионный параметр
активного слоя лазера.
Для полупроводникового лазера, спектр излучения которого состоит
из узких линий, кросс-корреляционная функция может быть расчитана по
его спектру с помощью формулы (7.1).
Численные расчеты уширения ККФ для двух исследованных образцов
лазеров ИЛПН-108, проведенные по формуле (7.1), показали, что для объяснения наблюдаемого уширения максимумов ФВК необходимо считать, что
значение k составляют 0,810-25 и 1,310-25 с2 /см соответственно.
Дисперсия света в активном слое лазера учитывается по формуле (7.1)
безразмерным параметром kL 2m2. При нулевом значении этого параметра ширина максимумов ФВК не зависит от разности хода лучей в интерферометре Майкельсона. Хроматическая дисперсия света в полосковом волноводе полупроводникового лазера приводит к последовательному уширению пиков ФВК с увеличением этой разности хода.
Дисперсия света в активном слое лазера может быть определена по
экспериментально измеренной ФВК на основании ее сопоставления с расчетом по формуле (7.1). При определении относительного уширения последовательных максимумов ФВК необходимо учитывать, что нулевой пик ФВК
всегда уже, чем рассчитанный по спектру генерируемого излучения (в нашем
случае примерно в 1,3 раза). Это объясняется тем, что в нулевой максимум
интерференции дает вклад усиленная люминесценция лазерного диода, которая всегда имеет заметную мощность. Поэтому при построении экспериментальной зависимости для сравнения с расчетной, с целью определения k,
ширины наблюдаемых пиков ФВК нормировались не по нулевому, а по первому пику, на который люминесценция образца практически не влияет. Для
одного из образцов исследуемых лазеров эта ФВК приведена на рис. 7.14, а.
На рис.7.20 приведены расчетные и экспериментальные зависимости
уширения ФВК от разности плечей интерферометра для двух образцов полупроводниковых лазеров видимого диапазона. Из этого рисунка видно, что на
расчетных и экспериментальных зависимостях имеется линейный участок,
характеризующий прямую пропорциональную зависимость величины уширения кросс-корреляционной функции от размера дисперсионной среды. Определение дисперсионного параметра проводилось сравнением экспериментальных и расчетных данных на этих линейных участках. Для образцов, характеристики которых приведены на рис.7.15, получается величина дисперсионного параметра 0,310-25 , 1,410-25 с2 /см соответственно. Так как ни
длина лазерного кристалла ни его состав не были известны, то для оценок k
эффективный показатель преломления генерирующей моды принимался
равным 3,2, а затем по периоду ФВК определялась длина лазерного диода.
Для лазеров ИЛПН-108 длина лазерного диода определялась с помощью
микроскопа.
27
Для определения знака k для ИК-лазеров измерения функции временной когерентности проводились при введении в одно из плеч интерферометра Майкельсона пластин из материала с известной хроматической дисперсией.
На рис.7.19 (кривые б,в) приведены результаты измерений уширения
пиков ФВК при внесении в интерферометр пластин из кварцевого стекла
толщиной 10 и 20 см соответственно. Видно, что при этом минимальное значение ширины пика ФВК смещается с нулевого пика. Это указывает на то,
что k для лазера имеет противоположный знак по сравнению с кварцевым
стеклом, и дисперсия лазера компенсируется дисперсией кварцевого стекла.
Причем, чем больше толщина кварцевой пластины, вносимой в интерферометр Майкельсона, тем дальше от нулевого пика смещается минимальное
значение ширины пика ФВК (рис.7.19,в).
Однако полной компенсации дисперсии лазера не наблюдается, так
как при внесении кварцевых пластин в интерферометр минимальное значение ширины пика ФВК на 15.20% больше значения, измеренного интерфе
рометром без пластин.
0
1
3
а
2
2.5
0
1
3.5
б
3
2.5
2
2
2
1.5
1.5
1
1
0.5
0.5
0
0
2
4
6
8
0
L
10
0
2
4
6
8
10
L
Рис 7.20. Рассчитанные по спектру (1) и экспериментально измеренные (2) зависимости относительного уширения ФВК от разности плечей интерферометра Майкельсона для полупроводниковых лазеров №4 (а) и №87 (б). Рассчитанные зависимости нормированы на нулевой пик ФВК, а экспериментальные - на первый. Линейные участки зависимостей обозначены прямой линией.
Это свидетельствует о разной функциональной зависимости дисперсии кварца и арсенида галлия в пределах спектра излучения лазера. Параметр
k для кварцевого стекла в спектральной области 0,85 мкм положителен и
равен 0,3210-27 с2/см. Экспериментальные данные показывают, что дисперсионный параметр полосковых волноводов исследованных лазеров в 260 и
310 раз больше, чем для плавленого кварца. Эти значения совпадают с k,
полученными выше путем сравнения расчетных значений ККФ и измеренных значений ФВК.
28
Таким образом, дисперсионный параметр активного слоя полупроводникового лазера, который ответственен за дисперсионное уширение генерируемых лазером импульсов, может быть определен на основании измерений его спектра, функции временной когерентности и длины лазерного
диода. Дисперсионный параметр полоскового полупроводникового лазера на
арсениде галлия k (вторая производная волнового вектора по частоте) равен
примерно -1,010-25 с2 /см.
Большая величина дисперсионного параметра приводит в полупроводниковых лазерах с синхронизацией мод к уширению длительности импульсов до единиц пикосекунд [46,47]. Компенсация дисперсии активной
среды позволяет уменьшить длительность таких импульсов [47]. Проводилась экспериментальная проверка возможности компенсации дисперсии лазерного диода в полупроводниковом лазере с внешним резонатором [48]. Для
построения лазера использовался полупроводниковый лазер ИЛПН-108 со
снятым защитным стеклом. С помощью сорокакратного микрообъектива
формировался квазипараллельный пучок, который направлялся на внешнее
зеркало. База внешнего резонатора без стеклянного элемента внутри резонатора составляла 25 см.
Так как длительность спектрально ограниченных световых импульсов, генерируемых полупроводниковыми лазерами, составляет доли и единицы пикосекунд, то измерение их длительности представляет непростую
задачу даже при генерации регулярной последовательности. Тем более задача усложняется при измерении длительности импульсов при генерации нерегулярной их последовательности, что наиболее часто и происходит.
Так как в конечном итоге длительность генерируемых лазером импульсов определяется шириной генерируемого спектра, то эксперимент осуществлялся следующим образом. Собирался лазер с внешним резонатором и
определялся генерируемый спектр продольных мод при уровне тока накачки,
превышающем пороговый на 10 мА. После этого в резонатор помещался
стержень из кварцевого стекла, изготовленный из заготовки для вытяжки
волоконных световодов, зеркало внешнего резонатора придвигалось в направлении лазерного диода так, чтобы с учетом оптического пути в кварцевом стержне база внешнего резонатора оставалась прежней. А затем при
превышении тока накачки на 10 мА над пороговым снова регистрировался
спектр генерации.
На рис.7.21 б приведен спектр генерации лазера с внешним резонатором с кварцевым стержнем длиной 10 см, установленным во внешний резонатор, при токе накачки 109 мА. Пороговый ток накачки составлял 99 мА.
Рис.7.21. Спектр продольных мод полупроводникового лазера с внешним резонатором до (а) и после установки во внешний резонатор кварцевого стержня (б). МежмодоI,
вый интервал лазерного резонатора равен 0,6 нм.
отн.ед
I,
отн.ед
б
а
50
50
29
Из приведенного рисунка видно, что внесение в резонатор дисперсионного элемента, дисперсионный параметр материала которого имеет знак
обратный знаку дисперсионного параметра области генерации полупроводникового лазера, приводит к компенсации дисперсии, что выражается в
уширении спектра генерации и, как следствие, приводит к генерации лазером импульсов более короткой длительности.
Таким образом, предлагаемая методика позволяет определить в первом приближении характеристики оптического элемента, компенсирующего
дисперсию исследуемого образца лазерного диода в лазерном резонаторе с
внешним по отношению к диоду зеркалом. Для получения режимов генерации предельно коротких импульсов конструкция компенсатора дисперсии
должна учитывать дисперсионные параметры более высоких порядков.
Литература к разделу 7
1. Кейси Х., Паниш М. Лазеры на гетероструктурах. Т.2 - М.: Мир, 1981.- 264 с.
2. Hakki B.W.,Nash F.R. // J. Appl. Phys.- 1974.-Vol.45. P.3907.
3. Van der Liel J.P., Dupuis R.D., etc. Degradation of GaAs lasers grown by metalorganic
chemical vapor deposition on Si substrates. Appl. Phys. Lett.// 1987, 51, N 2, 89.
4. Грибковский В.П. и др. Деградация гетеролазеров и изменение их внутренних п араметров.// ЖПС.-1977.-Т.26, N4. С.633.
5. Макрицкий Ю.В. и др. Влияние режимов эксплуатации на скорость старения гет еролазеров.//Препринт ИФ АН БССР.-1977.- 137 c.
6. Egawa N., Jimbo T., Hasegawa Y e.a. Optical and electrical degradations of GaAs based laser diodes grown on Si substrates // Appl. Phys. Lett.-1994.-Vol.64,N11.- P.1401.
7. Кочетков А.А. Прогнозирование параметров распределения времени отказов инжекционных гетеролазеров// Квантовая электрон. (М).-1995.-Т.22, №7.-С.649.
8. Snyder C.W., Lee J.W., Hull R. e.a. Catastrophic degradation lines at the fasets of I nGaAs/InP lasers investigated by transmission electron microscopy// Appl. Phys. Lett. 1995.-Vol.67, N4.- P.488.
9. Яковлев В.П., Лупу Ф.Т., Суручаку Г.И. и др. Внутренняя генерация второй га рмоники в лазерных диодах на основе AlGaAs в процессе их деградации// Письма в
ЖТФ.-1995.-Т.21, №13.-С.75.
10. Борисов В.И., Лебедев В.И., Перепечко С.Н. Определение длительности свер хкоротких лазерных импульсов интерференционным методом.// Материалы III симп озиума “Сверхбыстрые процессы в спектроскопии”.-Минск. 1983.- С.246.
11. Takahara H. Coherence of a laser beam passing through an optical fiber // Optica. acta.1982.- Vol.29, №4.- P.441.
12. Джибладзе М.И., Лежаева Б.С., Чагулов В.С. и др. Влияние оптического волокна на
когерентность лазерного излучения // Сб. Проблемы голографии, вып.7.-М.:1976.- С.155.
13. Imai M., Asakura T. Speckle contrast of laser light transmitted through multimode optical fiber // Optik.-1977.- Vol.48, N3.- P.335.
14. Imai M., Iida M., Asakura T. Off axis speckle contrast of laser light transmitted through multimode optical fiber // Optik.-1978.- Vol.51, N4.- P.429.
15. Tsuji T., Asakura T., Fujii H. e.a. Variation of speckle contrast in a graded index fiber by misalignment of the incident beam // Opt. and Quant. Electron.-1984.- Vol.16,N1.- P.9.
16. Маевский С.М., Назаров В.Д., Петрик В.Ф. О сохранении пространственной когерент-
30
ности поля излучения многомодового ступенчатого волокна // ЖТФ.-1983.-Т.53, №12.С.2414.
17. Борисов В.И., Лебедев В.И. Временная когерентность последовательности когерентных импульсов в волоконном световоде // ЖПС.-1989.- Т.50, №1. С.90.
18. Абдуллаев С.С., Ахманжанов Т., Мирзаев А.Т. Временная когерентность излучения
лазера, прошедшего многомодовый световод // Квант. электрон.-1985. Т.12, №1. С.157.
19. Дедловский М.,Коршунов Н.П.,Шевченко П.П // Радиотехника и электроника, 1980.
Т.25, № 3. С.481.
20. Унгер Х.Г. Планарные и волоконные оптические волноводы. -М.: Мир,1980.- 656 с.
21. Бабкина Т.В., Григорьянц В.В., Смирнов В.В. Частотно-импульсные характеристики
волоконных световодов // В сб. Итоги науки и техн.. Радиотехника.-М.: 1982.- Т.29.- С.3 .
22. Okoshi T., Chang I.C., Saito S. Measuring the complex frequency response of multimode
optical fibers // Appl. Opt.-1981.- Vol.20, N 8.- P.1414.
23. Vella P.I., Garel-Jones P.M., Lowe R.S. Measurement of chromatic dispersion of long spans
of single mode fiber // Electron. Lett.-1984.- Vol.20, N 4.- P.167.
24. Costa B., Puleo M., Vessoni E. Phase-shift technique measurement of chromatic dispersion
in single-mode optical fibers using LEDs // CSELT Rapp. Techn.-1984.- Vol.13, N 2.- P.147.
25. Yang S., Gallawa R.L. Fiber band width measurement using pulse spectrum analysis // Appl.
Opt.-1986.- Vol.25, N7.- P.1069.
26. Drajev M., Piocari L. Application of pulsed-spectral method for bandwidth measurement of
optical fibres // Opt. and Quant. Electron.-1984.- Vol.16, N5.- P.91.
27. Bernoux F., Parrians O. Bandwidth calculation in actual multimode fibers // J. Opt. Commun.-1984.- Vol.5, N 2.- P.56.
28. Dennis M.L., Putnam M.A., Kang J.U. e.a. Grating sensor array demodulation by use of a
passively mode locked fiber laser // Opt. Lett.-1997.- Vol.22, N17.- P.1362.
29. Goncharenko I.A., Grudinin A.B., Payne D.N. On the possibility of soliton generation at 1,06
m. // Opt. Commun.-1995.- Vol.115, N 3-4.- P.261.
30. Marcuse D. Pulse distorsion in single-mode fibers // Appl. Opt. -1981.- Vol. 29, №17.P.2969.
31. Перепечко С.Н. Применение полиномов Эрмита к расчету дисперсии и распространения импульсов в одномодовых волоконных световодах // Вести АН БССР. Сер. физ. мат.
наук.-1986.- ¹2.- С.60.
32. Saunders M.I., Gardner W. Interferometric determination of dispersion variations in singlemode fibers // J. Lightwave Techn.-1987.- Vol. LT-5, N 12.- P.1701.
33. Sladen F.V.E., Reichard H.S., Uveges S. Chromatic dispersion measurement on long fiber
length using LEDs // Electron. Lett. -1986.- Vol.22, N 16.- P.841.
34. Barlow A.I., Jones R.S., Forsyth K.W. Technique for direct measurement of single-mode fiber chromatic dispersion // J. Lightwave Techn.-1987.- Vol. LT-5, N 9.- P.1207.
35. Mochizuki K., Fujise M., Kuwazuru M. e.a. Optical fiber dispersion measurement technique
using a streak camera // J. Lightwave Techn.-1987.- Vol. LT-5, ¹ 1.- P.119.
36. Белов А.В., Дианов Е.М., Курков А.С. //Измерение хроматической дисперсии в одномодовых ВС интерференционным методом. Квант. Электрон. -1986.- Т.13, №8.- С.1680.
37. Francois P.L., Alard F., Moncrie M. Chromatic dispersion measurement from Fourier transform of white-light interference pattern // Electron. Lett. -1987.- Vol.23, N 7.- P.357.
38. Vobian J. Chromatic and polarization dispersion measurement of single-mode fibers with
Mach-Zehnder interferometer between 1200 and 1700 nm // J.Opt. Commun. -1990.- Vol.11, N
11.- P.29.
39. Diddams Scott, Diels Jean-Claude Dispersion measurement with white-light interferometry //
JOSA, B.-1996.- Vol.13, N 6.- P.1120.
31
40. Coppa G. Nearfield measurement in monomode fibres: determination of chromatic dispersion
// Electron. Lett. -1983.- Vol.19, N 18.- P.731.
41. Pocholle J.P., Raffy J., Ange J. e.a. Determination of modal dispersion in monomode fibers
from wavelength dependence of the mode spot size // Electron. Lett. -1983.- Vol.19, N 25 - 26.P.1093.
42. Moslehi B., Goodman J.W., Rawson E.G. Bandwidth estimation for multimode optical fibers
using the frequency correlation function of specl pattern // Appl. Opt. -1983.- Vol.22, N 7.P.995.
43. Martines O.E., Fork R.L., Gorolon J.P. Theory of passively mode-locking lasers including
self-phase modulation and group-velocity dispersion // Opt. Lett.-1985.- Vol.9, N 2.-P.156.
44. Naganuma K. Semiconductor laser cavity dispersion measurement based on interferometric
cross-correlation of amplified spontaneous emission // Appl. Phys. Lett.-1994.-Vol.64, N 3.P.261.
45. Борисов В.И., Лебедев В.И. Определение хроматической дисперсии полупроводникового лазера по временной когерентности его излучения // ЖПС.-1992.-Т.57, №3.- С.340.
46. Deridson D.J., Helkey R.J., War A. e.a. Self-mode locking оf a semiconductor laser using
positive feedback // Appl. Phys. Lett.-1990.- Vol.56, N 1.-P.9.
47. Jiang W.B., Friberg S.R., Iwamura H. e.a. High powers und subpicosecond pulses from an
external-cavity surface-emitting InGaAs/InP multiple quantum wall laser// Appl. Phys. Lett. 1991.- Vol.58, N 8.-P. 809.
48. Борисов В.И., Крол А.М., Лебедев В.И. Компенсация дисперсии активной среды в полупроводниковом лазере с внешним резонатором// ЖПС.-1999.-Т.66, №5.-С.707 .
32