Резонансные вращения спутника с двухстепенным

ТРУДЫ МФТИ. — 2013. — Том 5, № 4
Аэрокосмические исследования
11
УДК 531.36
Н. И. Амелькин1 , А. В. Сумароков2
1
Московский физико-технический институт (государственный университет)
2
Ракетно-космическая корпорация «Энергия» им. С. П. Королева
Резонансные вращения спутника с двухстепенным
силовым гироскопом на круговой орбите
Проведено численное исследование переходных процессов в системе пассивной ориентации спутника, несущего двухстепенной силовой гироскоп с демпфером в оси рамки.
Установлено, что для начальных условий, достаточно удаленных от асимптотически
устойчивых положений равновесия спутника, переходный процесс содержит длительный резонансный режим 2:1.
Ключевые слова: спутник, силовой гироскоп, устойчивость, асимптотическая
устойчивость, резонанс.
1.
Введение
Системы управления и стабилизации вращательного движения твердого тела, использующие в качестве исполнительных элементов силовые гироскопы или роторы (маховики),
разделяются на активные и пассивные. К активным относятся системы, в которых движение гироскопов или маховиков относительно несущего тела является управляемым. В таких
системах управление, обеспечивающее требуемое вращательное движение несущего тела,
строится на принципах обратной связи и осуществляется с помощью активных моментных
устройств, устанавливаемых на осях рамок гироскопов или осях маховиков. В качестве
примеров активных систем можно указать системы ориентации космических станций, в
которых используются гиродины, и системы ориентации геостационарных спутников, использующие управляемые маховики.
В пассивных гиросиловых системах взаимодействие между несущим телом и гироскопами обеспечивается только за счет реакций связей и устанавливаемых в осях рамок гироскопов пассивных моментных устройств, например, пружин и демпферов. В принципах
их работы помимо гироскопических свойств вращающихся тел используются также свойства внешней среды (моменты гравитационных и аэродинамических сил, магнитное поле и
др.). Гироскопы (или роторы) применяются в таких системах с целью получить дополнительные восстанавливающие моменты, а также новые стационарные движения, отличные
от стационарных движений твердого тела. Кроме того, установка демпферов на осях рамок гироскопов обеспечивает во многих случаях асимптотические свойства системы, что
особенно важно для практики.
Исследованию положений равновесия и устойчивости спутника, несущего пассивные
двухстепенные силовые гироскопы с диссипацией в осях рамок, в центральном гравитационном поле, посвящены работы [1–3]. Эволюция вращательного движения спутника с
внутренней диссипацией исследована в работе [4].
В данной работе проводилось исследование характера переходных процессов спутника, несущего двухстепенной силовой гироскоп с демпфером в оси рамки, в зависимости от
начальных условий движения. Исследование проводилось с помощью численного интегрирования уравнений движения спутника, приведенных к безразмерному виду, в широком
диапазоне начальных условий.
2.
Уравнения движения спутника, несущего двухстепенные гироскопы
Уравнения движения спутника с одним двухстепенным гироскопом получены в работе
[2]. Здесь, действуя по аналогии, запишем уравнения движения спутника, несущего произвольную систему из 𝑁 двухстепенных силовых гироскопов.
12
ТРУДЫ МФТИ. — 2013. — Том 5, № 4
Аэрокосмические исследования
Обозначим через s𝑘 единичные векторы, указывающие фиксированные направления
осей прецессии гироскопов в корпусе спутника. Текущие положения осей роторов будем
задавать единичными векторами h𝑘 (𝑥𝑘 ), где 𝑥𝑘 — углы прецессии. Предполагается, что
оси роторов ортогональны осям рамок, т.е. s𝑇𝑘 h𝑘 = 0, а скорости собственного вращения
роторов постоянны. Тогда кинетические моменты собственного вращения роторов будут
˜ 𝑘 h𝑘 (𝑥𝑘 ), где 𝐻
˜ 𝑘 = cons𝑡 > 0.
зависеть только от углов прецессии гироскопов: H̃𝑘 = 𝐻
Предполагается, что каждый гироскоп статически уравновешен и динамически симметричен относительно оси своей рамки s𝑘 . В этом случае тензор инерции спутника 𝐽 не
будет зависеть от углов 𝑥𝑘 , а базис главных центральных осей инерции e1 , e2 , e3 будет
неподвижен относительно корпуса.
Исследуется вращательное движение спутника в центральном гравитационном поле в
рамках ограниченной круговой задачи, т.е. в предположении, что центр масс спутника
движется по кеплеровой круговой орбите. Орбитальный базис определяется взаимно ортогональными единичными векторами r, n и 𝜏 = n × r, направленными по радиусу орбиты,
по нормали к плоскости орбиты и по касательной к орбите соответственно. Вектор угловой
скорости орбитального базиса 𝜔 0 = 𝜔0 n постоянен в инерциальном базисе.
Положение спутника относительно орбитального базиса определяется 3 + 𝑁 независимыми переменными. Три из них задают ориентацию корпуса спутника относительно орбитального базиса, которая однозначно определяется через компоненты векторов r и n в
связанном с корпусом базисе, а остальные переменные – углы 𝑥𝑘 поворота рамок гироскопов.
Обозначим через Ω угловую скорость корпуса спутника относительно орбитального
базиса. Тогда абсолютная угловая скорость спутника будет равна 𝜔 = Ω+𝜔 0 , где 𝜔 0 = 𝜔0 𝑛
— угловая скорость орбитального базиса. Учитывая, что каждый гироскоп (ротор вместе
с рамкой) обладает динамической симметрией относительно своей оси прецессии s𝑘 , для
суммарного кинетического момента спутника относительно его центра масс будем иметь
𝑁
∑︁
˜ 𝑘 ),
𝐾 = 𝐽 (Ω + 𝜔 0 ) +
(s𝑘 𝐼𝑘 𝑥˙ 𝑘 + 𝐻
(2.1)
𝑘=1
где 𝐽 — тензор инерции спутника (корпуса вместе с гироскопами), 𝐼𝑘 — момент инерции
˜ 𝑘 — кинетический момент вращения ротора относиk -го гироскопа относительно оси s𝑘 , 𝐻
тельно рамки. Записывая теорему об изменении кинетического момента спутника, получим
следующее векторное уравнение:
𝑁
∑︁
˜ 𝑘 𝑥˙ 𝑘 )+
𝐽 (Ω̇ + 𝜔 0 × Ω) +
(s𝑘 𝐼𝑘 𝑥
¨ 𝑘 + s𝑘 × 𝐻
𝑘=1
𝑁
∑︁
+(𝜔 0 + Ω) × (𝐽 (Ω + 𝜔 0 ) +
(2.2)
˜ 𝑘) =
s𝑘 𝐼𝑘 𝑥˙ 𝑘 + 𝐻
3 𝜔02 𝑟
× 𝐽 𝑟,
𝑘=1
где правая часть представляет собой момент действующих на спутник гравитационных
сил.
В свою очередь кинетический момент k -го гироскопа относительно его центра масс
выражается формулой
˜ 𝑘,
𝐾 𝑘 = 𝐽 𝑘 (Ω + 𝜔 0 ) + s𝑘 𝐼𝑘 𝑥˙ 𝑘 + 𝐻
(2.3)
где 𝐽 𝑘 — тензор инерции гироскопа. Записывая теорему об изменении кинетического момента гироскопа в проекции на ось s𝑘 и учитывая динамическую симметрию гироскопа
относительно этой оси, получим следующие уравнения:
˜ 𝑘) = 𝑀
˜ 𝑘;
𝐼𝑘 (¨
𝑥𝑘 + s𝑇𝑘 (Ω̇ + 𝜔 0 × Ω)) − (Ω + 𝜔 0 )𝑇 (s𝑘 × 𝐻
𝑘 = 1, . . . , 𝑁.
(2.4)
˜ 𝑘 — моменты внутренних диссипативных и потенциальных сил в осях рамок гиЗдесь 𝑀
роскопов (вследствие динамической симметрии гироскопа относительно оси s𝑘 проекция
действующего на гироскоп гравитационного момента на ось s𝑘 равна нулю).
ТРУДЫ МФТИ. — 2013. — Том 5, № 4
Аэрокосмические исследования
13
В записанных уравнениях все векторы заданы в базисе, связанном с корпусом спутника. Для получения замкнутой системы уравнения (2.2), (2.4) должны быть дополнены
кинематическими уравнениями Пуассона, описывающими движение корпуса спутника относительно орбитального базиса:
1
Λ̇ = Λ ∘ Ω.
(2.5)
2
Здесь Λ — нормированный кватернион, задающий положение корпуса спутника относительно орбитального базиса, Ω — вектор-столбец, составленный из проекций относительной угловой скорости на связанные с корпусом спутника оси. Текущие положения векторов
𝑟 и 𝑛 в базисе, связанном с корпусом спутника, выражаются формулами
𝑟 = Λ ∘ 𝑟(0) ∘ Λ,
𝑛 = Λ ∘ 𝑛(0) ∘ Λ,
(2.6)
где 𝑟(0) и 𝑛(0) — начальные положения векторов.
Для приведения уравнений (2.2), (2.4), (2.5) к безразмерному виду введем безразмерное
время 𝑡′ = 𝜔0 𝑡 и безразмерную переменную:
𝑈 = Ω/𝜔0 .
(2.7)
Разделив обе части уравнений (2.2) и (2.4) на величину 𝜔02 , получим
′
𝐽 (𝑈 + 𝑛 × 𝑈 ) +
𝑁
∑︁
(s𝑘 𝐼𝑘 𝑥′′𝑘 + s𝑘 × H𝑘 𝑥′𝑘 )+
𝑘=1
+( 𝑛 + 𝑈 ) × (𝐽 (𝑛 + 𝑈 ) +
𝑁
∑︁
(2.8)
s𝑘 𝐼𝑘 𝑥′𝑘 + H𝑘 ) = 3𝑟 × 𝐽 𝑟.
𝑘=1
𝐼𝑘 (𝑥′′𝑘 + s𝑇𝑘 (𝑈 ′ + 𝑛 × 𝑈 )) − (𝑛 + 𝑈 )𝑇 (s𝑘 × H𝑘 ) = 𝑀𝑘 .
(2.9)
˜ 𝑘 /𝜔0 и 𝑀𝑘 = 𝑀
˜ 𝑘 /𝜔 2
Здесь штрих означает производную по безразмерному времени, H𝑘 = 𝐻
0
— приведенные кинетические моменты роторов и приведенные моменты сил в осях рамок
соответственно с размерностью момента инерции.
В свою очередь уравнение (2.5) приводится к виду
1
Λ′ = Λ ∘ 𝑈 .
2
(2.10)
Полученные уравнения примут окончательный безразмерный вид после деления (2.8)
и (2.9) на какой-либо из главных моментов инерции спутника.
3.
Результаты численного моделирования
На рис. 1–12 представлены результаты численного моделирования движений динамически симметричного спутника, несущего двухстепенной силовой гироскоп, в оси рамки
которого действует только демпфирующий момент 𝑀 , линейно зависящий от скорости
прецессии гироскопа, т.е. 𝑀 = −𝜇𝑥˙ . Приведенные графики описывают типичное поведение компонент абсолютной угловой скорости спутника, отнесенной к угловой скорости
орбитального базиса 𝜔0 , в зависимости от числа 𝑁 оборотов центра масс спутника вокруг
центра притяжения.
Рис. 1–8 соответствуют случаю «сплюснутого» вдоль оси симметрии спутника, т.е.
𝐶 > 𝐴 = 𝐵 . Согласно [3] в этом случае возможно реализовать асимптотически устойчивые положения относительного равновесия спутника, а оптимальные значения параметров
спутника, обеспечивающие максимальное быстродействие, суть
𝐴/𝐶 = 𝐵/𝐶 = 0.58,
𝛽 = 42.7∘ ,
𝜇/𝐶 = 1.2,
𝐻/𝐶 = 1.53.
(3.1)
14
Аэрокосмические исследования
Рис. 1
Рис. 3
ТРУДЫ МФТИ. — 2013. — Том 5, № 4
Рис. 2
Рис. 4
Здесь 𝛽 — угол между осью прецессии гироскопа и осью динамической симметрии спутника. Значения параметров спутника выбирались согласно (3.1).
Графики на рис. 1 и 2 описывают типичное поведение спутника для случаев, когда начальная относительная угловая скорость спутника не превышает по модулю угловой скорости орбитального базиса. При этих условиях спутник достаточно быстро (за несколько
витков) приходит в положение равновесия (абсолютная угловая скорость спутника сравнивается с угловой скоростью орбитального базиса). На рис. 1 представлено поведение
проекций абсолютной угловой скорости спутника на связанные оси, а на рис. 2 — на оси
инерциального базиса. При этом цифрой 3 обозначена проекция абсолютной угловой скорости на нормаль к плоскости орбиты, а цифрами 1 и 2 — проекции на плоскость орбиты.
Характер поведения спутника для начальных условий, достаточно удаленных от положений относительного равновесия (начальная относительная угловая скорость спутника превышает угловую скорость орбитального базиса в два и более раз), представлен на
рис. 3–7. На рис. 3 представлены графики для проекций абсолютной угловой скорости на
связанные оси, а на рис. 4 — для проекций абсолютной угловой скорости на оси инерциального базиса. На рис. 5 приведена проекция траектории абсолютной угловой скорости на
плоскость орбиты. На рис. 6 и 7 приведены графики поведения угловой скорости спутника
на начальном этапе переходного процесса.
На первом самом коротком этапе переходного процесса (не более одного оборота спутника вокруг центра притяжения) устанавливается движение, близкое к стационарному
вращению вокруг направления кинетического момента (рис. 6–7). Далее, под действием
гравитационного момента происходит медленная прецессия спутника вокруг нормали к
плоскости орбиты, причем за счет действия диссипации в оси рамки гироскопа угловая
скорость спутника постоянно уменьшается по величине, а по направлению стремится к
ТРУДЫ МФТИ. — 2013. — Том 5, № 4
Рис. 5
Аэрокосмические исследования
15
Рис. 6
Рис. 8
Рис. 7
плоскости орбиты. В момент времени, когда величина абсолютной угловой скорости спутника достигает значения 2𝜔0 , начинается резонансный режим 2:1. В этом режиме величина
абсолютной угловой скорости спутника остается практически неизменной и приближенно
равна удвоенной угловой скорости орбитального базиса: 𝜔 ≈ 2𝜔0 , а ее направление снова
начинает меняться в сторону нормали к плоскости орбиты. При этом в середине резонансного режима угловая скорость прецессии спутника меняет знак (рис. 5).
Подробный анализ показал, что в указанном резонансном режиме движение спутника
относительно орбитального базиса представляет собой квазирегулярную прецессию. При
этом для угловой скорости прецессии Ω1 и угловой скорости собственного вращения Ω2
выполняются равенства Ω1 = −Ω1 𝑛 ≈ −𝜔 0 , Ω2 = Ω2 𝜉 = 2Ω1 𝜉 ≈ 2𝜔0 𝜉 , а ось собственного
вращения 𝜉 в начале резонансного режима образует угол 𝛼0 = 𝜋/3 с нормалью к плоскости
орбиты, поворачиваясь со временем в положение 𝜉 1 , близкое к нормали к плоскости орбиты,
в конце режима (рис. 8). Наличие точного равенства Ω2 = 2Ω1 между величинами угловой
скорости прецессии и угловой скорости собственного вращения и дает основание назвать
рассмотренный этап переходного процесса резонансным режимом 2:1.
Резонансные вращения были обнаружены и для «вытянутого» вдоль оси симметрии
спутника, т.е. при 𝐶 < 𝐴 = 𝐵 . Согласно [3] для такого спутника при отсутствии пружины на оси рамки гироскопа вековой устойчивостью обладают только «прямые» положения
равновесия, а диссипация в оси рамки гироскопа не приводит к их асимптотической устойчивости. Как показали результаты численного интегрирования, для подавляющего большинства начальных условий, таких, что относительная угловая скорость не превышает по
величине угловой скорости орбитального базиса, реализуются незатухающие колебания в
окрестности устойчивого положения равновесия, представляющие собой резонансный режим 1:1, т.е. за один оборот вокруг центра притяжения спутник совершает один оборот
вокруг своей оси (рис. 9, 10). Если же начальная относительная угловая скорость спутника
16
Аэрокосмические исследования
ТРУДЫ МФТИ. — 2013. — Том 5, № 4
Рис. 9
Рис. 10
Рис. 11
Рис. 12
превышает угловую скорость орбитального базиса в два и более раз, то устанавливается
резонансный режим 2:1, т.е. за один оборот вокруг центра притяжения спутник совершает
два оборота вокруг своей оси (рис. 11, 12).
4.
Заключение
Проведено численное исследование переходных процессов в системах пассивной ориентации спутников с двухстепенным силовым гироскопом. Установлено, что для начальных условий, достаточно удаленных от асимптотически устойчивых положений равновесия
спутника, переходной процесс содержит длительный резонансный режим 2:1, в котором
движение спутника относительно орбитального базиса представляет собой квазирегулярную прецессию вокруг нормали к плоскости орбиты, причем угловая скорость собственного
вращения и угловая скорость прецессии находятся в точном соотношении 2:1, а абсолютная угловая скорость спутника по величине практически не меняется и приближенно равна
удвоенной угловой скорости орбитального базиса.
Работа выполнена при финансовой поддержке Правительства Российской Федерации
в рамках контрактов с Минобрнауки № 13.G25.31.0028 и № 14.740.11.0149 федеральной
целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на
2009–2013 годы.
Литература
1. Амелькин Н.И. О стационарных движениях спутника с двухстепенным силовым гиро-
скопом в центральном гравитационном поле и их устойчивости // ПММ. — 2009. — № 2.
— С. 236–249.
ТРУДЫ МФТИ. — 2013. — Том 5, № 4
Аэрокосмические исследования
17
2. Амелькин Н.И. Анализ устойчивости равновесий спутника, несущего двухстепенной силовой гироскоп с диссипацией в оси рамки // ПММ. — 2010. — Т. 74, № 4. — С. 567–581.
3. Амелькин Н.И. О равновесиях и устойчивости динамически симметричного спутника с
двухстепенным силовым гироскопом // ПММ. — 2010. — Т. 74, № 5. — С. 718–733.
4. Амелькин Н.И. Об асимптотических свойствах движений спутников в центральном поле, обусловленных внутренней диссипацией // ПММ. — 2011. — Т. 75, № 2. — С. 204–223.
Поступила в редакцию 29.11.2012