1 Матрицы Паули, кватернионы и описание вращений

1
Листок R2
Листок R2: Группы, вращения и всё такое-2
Срок сдачи: 20 мая 2013 г.
1
Матрицы Паули, кватернионы и описание вращений
Определение R2.1. Матрицами Паули (по имени великого немецкого физика Вольфганга Паули) называются следующие три матрицы:
0 1
0 −i
1 0
σ1 =
,
σ2 =
,
σ3 =
.
1 0
i 0
0 −1
R2 1. Матрицы Паули обладают множеством замечательных свойств, что обусловило
их широчайшее применение в теоретической физике и в математике.
1. Покажите, что матрицы iσk , k = 1, 2, 3, образуют базис в пространстве антиэрмитовых матриц 2 × 2, у которых сумма диагональных элементов равна нулю (отметим, что сумма диагональных элементов матрицы называется следом матрицы и
обозначается Tr A (от англиского слова “trace”) или Sp A (от немецкого слова “spur”):
def
Tr A = a11 + a22 + · · · + ann ).
2. Покажите, что матрицы Sk = −iσk /2 обладают теми же коммутационными соотношениями, что и рассмотренные выше матрицы ωk .
3. Покажите, что матрицы Паули обладают следующими антикоммутационными свойdef
ствами: {σk , σl } = 2δkl E (здесь {A, B} = AB + BA – антикоммутатор матриц A и B,
E – единичная матрица 2 × 2).
4. Вычислите явно операторы Qk (ϕ) = exp(iσk ϕ), k = 1, 2, 3, и покажите, что они принадлежат группе SU (2).
5. Покажите, что линейный оператор R(ϕ) вращений евклидовой плоскости R2 на угол ϕ,
рассмотренный выше, представляется в виде R(ϕ) = Q2 (ϕ) = exp(iσ2 ϕ).
R2 2. Рассмотрим кватернион q – формальную линейную комбинацию q = a+bi+cj+dk,
где i, j, k – некоторые линейно независимые символы, имеющие правила умножения ij =
k = −ji, jk = i = −kj, ki = j = −ik и i2 = j 2 = k 2 = −1. Сопоставим каждому
a + bi c + di
кватерниону q комплексную матрицу A(q) =
.
−c + di a − bi
1. Покажите, что матрицы I = A(i) = iσ3 , J = A(j) = iσ2 , K = A(k) = iσ1 удовлетворяют тем же правилам умножения, что и базовые кватернионы i, j, k (тем самым
при помощи матриц Паули будет построена реализация алгебры кватернионов в пространстве комплексных матриц 2 × 2).
2. Покажите, что для двух кватернионов q1 и q2 верно равенство A(q1 q2 ) = A(q1 )A(q2 ).
3. Покажите, что норма кватерниона, определяемая равенством |q|2 = q q̄ (здесь q̄ –
сопряженный кватернион, равный q̄ = a − bi − cj − dk), равна определителю матрицы
A(q), а также что |q1 q2 |2 = |q1 |2 |q2 |2 .
4. Для ненулевого кватерниона q найдите выражение, задающее обратный кватернион
q −1 , определяемый равенством qq −1 = 1.
5. Покажите, что совокупность кватернионов H1 , имеющих единичную норму, изоморфна группе SU (2) и образует (как и группа SU (2)) единичную трехмерную сферу в
пространстве R4 .
Указание: распишите явно через координаты кватерниона условие единичности нормы и сравните с тем, что накладывает на матричные элементы матрицы A(q) условие
ее унитарности.
2
Листок R2
6. Каждому вектору x = (x1 , x2 , x3 ) евклидова пространства R3 сопоставим “чисто мнимый” кватернион x = x1 i + x2 j + x3 k (обозначим совокупность таких кватернионов
через H0 ; очевидно, такое сопоставление задает изоморфизм между H0 и R3 ). Проверьте, что |x|2 = x · x.
7. Покажите, что преобразования вида
αq : x 7→ qxq −1 ,
где x ∈ H0 ,
q ∈ H1 ,
задают вращение пространства R3 = H0 , а также что они образуют группу.
Указание: покажите, что такое преобразование переводит H0 в себя, а также что оно
сохраняет норму вектора x. Согласно сформулированной выше теореме это и будет
означать, что преобразование αq задает вращение в R3 .
Замечание 1. Пространство R3 векторов x = (x1 , x2 , x3 ) можно реализовать в виде пространства матриц 2 × 2 с равным нулю следом вида x = x1 σ1 + x2 σ2 + x3 σ3 . Тогда вращение
на угол ϕ вокруг оси с единичным направляющим вектором n = (n1 , n2 , n3 ), n21 +n22 +n23 = 1,
можно задать при помощи матриц Паули следующим образом:
ϕ
−1
x 7→ g(n, ϕ)xg (n, ϕ),
где g(n, ϕ) = ± exp −i (n1 σ1 + n2 σ2 + n3 σ3 ) .
2
Очевидно, как и для кватернионов q ∈ H1 , матрицы g и −g задают одно и то же вращение,
поэтому без ограничения общности перед экспонентой можно выбрать знак плюс.
R2 3. Покажите, что по матрице x вектор x восстанавливается следующим образом: k-я
компонента вектора x равна xk = 21 Tr(σk x).
Определение R2.2. Пусть дана функция, зависящая не от одной, а от нескольких пере∂f
менных, f (x1 , x2 , . . . , xn ), n > 1. Частной производной ∂x
функции f по переменной xk
k
называется предел разностного отношения
∂f
f (x1 , . . . , xk−1 , xk + h, xk+1 , . . . , xn ) − f (x1 , . . . , xk−1 , xk , xk+1 , . . . , xn )
= lim
.
∂xk h→0
h
Другими словами, частная производная по какой-то переменной – это обычная производная по этой переменной при условии, что все остальные переменные фиксированы.
Замечание 2. Мы видели в предыдущем листочке, что матрицы ωi и Si , i = 1, 2, 3,
подчиняются одним и тем же коммутационным (перестановочным) соотношениям. Сейчас
мы найдем еще одну реализацию этих перестановочных соотношений.
R2 4. Покажите, что линейные операторы L1 , L2 , L3 , действующие в пространстве гладких функций трех переменных f (x, y, z), заданные соотношениями
∂f
∂f
∂f
∂f
∂f
∂f
−z
,
L2 f = − z
−x
,
L3 f = − x
−y
,
L1 f = − y
∂z
∂y
∂x
∂z
∂y
∂x
удовлетворяют тем же коммутационным соотношениям, что и матрицы ωk и Sk , рассмотренные выше.