ЛЕКЦИЯ 5 Соотношения неопределенностей. Матричное

ЛЕКЦИЯ 5
СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ
В координатном представлении
r$ = r, P$ = −iħ∇
∇.
Коммутаторы этих операторов таковы :
[ r$ , p$ ] = iħδkl I$ .
k
l
Очевидно, что коммутатор оператора координаты с «чужим» компонентом импульса
(скажем, x$ с p$ y ) равен нулю. Проверим, что
( y$ , p$ и z$ , p$ , аналогично ).
[ X$ , P$ ] = iħ I$
y
x
z
Имеем:
∂ψ
∂


[ X$ , P$ ] ψ(x) = x$ p$ x ψ- p$ x x$ ψ = x − i h ∂x  +iħ ∂x (xψ) =


x
∂ψ
∂ψ
+ iħ x
+ iħ ψ = iħ I$ ψ,
∂x
∂x
откуда в силу произвольности ψ и получаем, что надо.
Итак, коммутатор координаты со «своим» импульсом отличен от нуля. Это
накладывает ограничения на дисперсии координаты и импульса в заданном состоянии,
называемые соотношениями неопределенностей. Проведем общее рассмотрение для
наблюдаемых A и B, записывая
A$ , B$ = i C$ ,
= − iħ x
[
]
)
где C$ ≠ 0$ . Операторы A и B$ эрмитовы, и множитель i введен для того, чтобы
оператор C$ был также эрмитовым (сам коммутатор антиэрмитов). Введем операторы
уклонения от среднего значения в заданном состоянии:
)
∆A$ ≡ A − A$ I$ , ∆B$ ≡ B$ − B$ I$ .
Они эрмитовы и удовлетворяют тому же коммутационному соотношению:
∆A$ , ∆B$ = i C$ .
[
]
Дисперсией наблюдаемой A (аналогично B) в состоянии ψ называется
Dψ(A) ≡ (∆A)2 det (∆A$ ) 2 .
Задача - получить ограничения на дисперсии наблюдаемых A и B.
Образуем скалярное произведение (∆ A$ ψ,∆ B$ ψ) и найдем его мнимую часть:
Im(∆ A$ ψ, ∆ B$ ψ) = 1/2i{ (∆ A$ ψ, ∆ B$ ψ) - (∆ A$ ψ, ∆ B$ ψ)* }=
= 1/2i{( ∆ A$ ψ, ∆ B$ ψ)-( ∆ B$ ψ, ∆ A$ ψ)} =
1
= 1/2i{( ψ, ∆ A$ ∆ B$ ψ)-( ψ, ∆ B$ ∆ A$ ψ)} =
[
]
= 1/2i (ψ, ∆A$ , ∆B$ ψ) = 1/2i(ψ, C$ ψ) = 1/2⟨C⟩.
Учтем теперь, что модуль мнимой части не больше модуля самого числа, а затем
воспользуемся неравенством Коши - Буняковского:
| Im(∆ A$ ψ, ∆ B$ ψ)| ≤ | (∆ A$ ψ, ∆ B$ ψ)| ≤
=
(∆A$ )
2
(∆B$ )
Сравнивая с
неопределенностей:
2
(∆A$ ψ , ∆A$ ψ) ⋅ (∆B$ ψ , ∆B$ ψ) =
( ∆A ) 2 ( ∆B ) 2 ≡ (∆Α)(∆B).
=
предыдущим,
мы
и
приходим
к
общему
соотношению
∆A⋅∆В ≥ 1/2 |⟨C⟩|.
В частности, для координаты и импульса C$ = ħ I$ , а потому ⟨C⟩ = ħ, и получаем
соотношение неопределенностей Гейзенберга:
∆x∆px ≥ ħ/2.
Ни в одном состоянии дисперсии координаты и импульса не могут обе быть нулями.
Значит x и px совместно неизмеримы.
МАТРИЧНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
)
Возьмем какой-то эрмитов оператор A и поставим задачу на собственные значения:
)
A |ϕn⟩ = An|ϕn⟩.
Допустим, что спектр - чисто дискретный. Это значит, что собственные векторы
образуют ортонормированный базис:
(ϕn, ϕm) = δnm ⇔ ⟨ϕn|ϕm⟩ = δnm,
∑
|ϕn⟩⟨ϕn| = I$ .
n
Любой вектор |ψ⟩ можно разложить по этому базису:
|ψ⟩ =
∑
ψn|ϕn⟩,
n
где дискретная последовательность коэффициентов Фурье
ψn = ⟨ϕn|ψ⟩
будет однозначно задавать состояние ψ. Расположим числа ψn в матрицу - столбец:
2
ψ1 
 
ψ2
|ψ⟩ =  .  .
 
. 
 
. 
Она и представляет вектор состояния |ψ⟩. Образуем эрмитово сопряженную матрицу,
которая будет матрицей - строкой с компонентами
~ = ⟨ϕn |ψ⟩* = ⟨ψ|ϕn⟩ = ψ*n.
ψ
n
Она будет представлять совектор ⟨ψ| :
⟨ψ|= (ψ∗1, ψ∗2,...).
С использованием условия полноты
∑
|ϕn⟩⟨ϕn| = I$ скалярный квадрат запишется как
n
⟨ψ |ψ ⟩ =
∑
⟨ψ | ϕn⟩⟨ ϕn|ψ⟩ =
n
∑ψ
n
∗
n
ψn =
∑
|ψn|2 .
n
Если вектор |ψ ⟩ нормирован, т.е. ⟨ψ |ψ ⟩=1, то сумма также равна 1, т.е. ряд сходится.
Рассмотрим теперь некоторый оператор F$ ,который действуя на |ψ ⟩ переводит его в
~ :
ψ
~ =
ψ
F$
|ψ ⟩.
Умножая скалярно на ⟨ ϕn| и пользуясь условием полноты, найдем:
⟨ ϕn| ψ ⟩ = ⟨ ϕn| F$ I$ |ψ ⟩ =
или
~ =
ψ
n
∑F
∑
⟨ ϕn| F$ | ϕm⟩⟨ ϕm |ψ ⟩,
m
nmψm,
m
где введена матрица оператора:
Fnm ≡ ⟨ ϕn|
F$
|ϕm⟩.
~ , а матрица Fnm переводит компоненты ψn вектора |ψ⟩
Оператор F$ переводит |ψ⟩ в ψ
~ вектора ψ
~ . Если оператор эрмитов, то и его матрица эрмитова:
в компоненты ψ
n
Fnm = (Fmn)*.
Среднее значение оператора
⟨F⟩ = ψI$ F I$ψ =
F$
в состоянии ψ теперь вычисляется так:
∑ ψϕ
n,m
т.е.
⟨F⟩ =
∑
n
ϕn F ϕm ϕm ψ = ∑ψ∗n Fnm ψm ,
n,m
Fnm ψ*n ψm.
n ,m
Рассмотрим теперь другое представление, порожденное оператором B$ :
3
B$ | ϕ′ n⟩ = Bn| ϕ′ n⟩, ⟨ ϕ′ n| ϕ′ m⟩ = δnm,
∑
| ϕ′ n⟩⟨ ϕ′ n| = I$ .
n
Векторы |ψ⟩ в нем представляются другими волновыми функциями:
ψ′n = ⟨ ϕ′ n |ψ⟩,
а операторы
F$
- другими матрицами:
F n′m = ϕ ′n F$ ϕ ′m .
Но так как оба базиса - ортонормированные, то волновые функции и матрицы
операторов в обоих представлениях связаны унитарным преобразованием:
ψ′n = ∑ Unmψm, F′nm = ∑ Unn′Fn′m′U+m′m.
n ′ ,m ′
m
Раньше мы формулировали эти утверждения на языке операторов.
Найдем шпур (след) матрицы оператора F$ в B -представлении:
SpF ′ ≡
∑ F′
nn
=
n
=
∑δ
m ′ ,n ′
m ′n ′
Fn ′m ′ =
∑
n ,m ′ ,n ′
U nn ′ Fn ′m ′ U m+ ′n =
∑F
m′
m ′m ′
= SpF ,
∑U
n ,m ′ , n ′
+
m ′n
U nn ′ Fn ′m ′ =
(U+U = I ),
т.е. шпур матрицы инвариантен относительно унитарного преобразования - не
зависит от выбора представления.
Задача на собственные значения оператора F$
F$ |ψ⟩ = F|ψ⟩
в матричном A-представлении ставится как
∑F
nm
m
ψ m = Fψ n ⇔ ∑ (Fnm-Fδnm)ψm = 0.
m
Система однородных линейных уравнений для определения ψm имеет нетривиальные
решения при условии
det ||Fnm-Fδnm|| = 0
Это вековое или характеристическое уравнение является алгебраическим. Его
решения F1,F2,...Fk... есть искомые собственные значения. Подставляя каждое из них в
систему уравнений, найдем последовательности
F1 :
ψ(1)1, ψ(1)2,... ψ(1)n,.....
F2 :
ψ(2)1, ψ(2)2,... ψ(2)n...
..............................................................
представляющие собственные векторы |ψ(n)⟩, т.е. являющиеся их волновыми
функциями.
Если в качестве базисных векторов выбрать собственные векторы |ψn ⟩ оператора F$ ,
то его матрица будет диагональной:
Fnm = ⟨ψn | F$ |ψm ⟩ = ⟨ψn |Fm|ψm ⟩ = Fm ⟨ψn |ψm ⟩ = Fmδnm
4
Таким образом, решение задачи на собственные значения оператора F$ равнозначна
диагонализации его матрицы: находим|ψn⟩, устанавливаем унитарное преобразование,
связывающее |ψn⟩ с |ϕn⟩, и совершаем это унитарное преобразование над исходной матрицей
Fnm. В результате и получим диагональную матрицу.
)
Все те же операции можно проделать и в случае, когда спектр оператора A непрерывный, но все надо понимать в обобщенном смысле. Базис образуют обобщенные
собственные векторы:
)
A |χA⟩ = A|χA⟩, ⟨χA|χB⟩ = δ(A-B), ∫dA|χA⟩⟨χA| = I$ .
Волновая функция
ψ ( A )= ⟨χA|ψ⟩
есть «настоящая» функция, ибо зависит от непрерывного аргумента. Если оператор F$
~ , т.е.
переводит вектор |ψ⟩ в ψ
~ = F|ψ
$ ⟩,
ψ
то для волновых функций имеем:
~ (A) ≡ ⟨χA| ψ
~ ⟩ = ⟨χA| F|ψ
$ ⟩ = ∫⟨χA| F|χ
$ A′⟩ ⟨χA′ |ψ⟩,
ψ
т.е.
~ (A) = ∫F(A,A′)ψ (A′)dA′,
ψ
где
$ A′⟩
F(A,A′) ≡ ⟨χA| F|χ
ядро интегрального оператора F$ .
Для произведения двух операторов
F$1 = F$2 F$3
получим
F1(A,A′) = ⟨χA| F$ 2 F$ 3 |χA′⟩ = ⟨χA| F$ 2|χA′′⟩ ⟨χA′′ | F$ 3|χA′⟩ dA′′,
т.е. ядро произведения получается как свертка операторов-сомножителей:
F(A,A′ ) = ∫ F(A, A′ ) F(A′′,A′ )dA′.
- . .- . - . - .
Рассмотрим уравнение Шредингера
∂
iħ |ψ⟩ = H$ |ψ⟩,
∂t
которое для одной частицы во внешнем поле записывается как
iħ
∂
P$ 2
|ψ⟩ =
|ψ⟩ +V(r)|ψ⟩.
∂t
2m
В координатном представлении мы его уже получали:
∂
iħ ψ(r,t) = -ħ2/2m⋅ ∇2 ψ(r,t) + V$ (r) ψ(r,t).
∂t
5
Найдем теперь уравнение Шредингера в импульсном представлении. Нам нужно
P$ 2
~ (p), которая есть
$
$
найти действие оператора H , т.е. K =
и V(r) на волновую функцию ψ
2m
~ (p) = ⟨χp|ψ⟩.
ψ
Для ядра оператора V имеем
$ |χp′′⟩ = (χp(r),V(r) χp′′ (r)),
W(p,p′) = ⟨χp| V
где χp(r) - собственные функции оператора импульса в координатном представлении:
i
1
− pr
h
χp(r) =
.
3 e
(2πh) 2
Подстановка дает:
W(p,p′) =
i
i
− p′ r
h
∫ dr
1
1
(2πh) 3
∫ dr V (r )eh
3
2
pr
eh V (r )e
,
(2πh)
т.е. ядро W получается из V путем преобразования Фурье:
W(p,p′) =
i
( p − p′ ) r
.
Для оператора кинетической энергии K$ имеем:
i
i
1
pr
2 − h p′ r
h
K(p,p′) = − ħ /2m⋅(χp(r),∇ χp(r′)) = − ħ /2m⋅ ∫ dr
e ∇ e
=
(2πh) 3
2
2
(− p′) 2
1
= − ħ /2m⋅
2
(2πh) 3
h
2
2
∫ dr e
i
( p − p′ ) r
h
= p2/2m⋅δ(p-p′):
т.е.
K(p,p′) = p2/2m⋅δ(p-p′).
Подставляем все это в уравнение Шредингера в импульсном представлении:
iħ
~ (p, t )
∂ψ
= ∫ H (p, p ′)ψ(p ′, t )dp ′ =
∂t
iħ
~ (p, t )
 p2
~
∂ψ
= ∫ dp ′ 
δ(p − p ′) + W(p, p ′)ψ
(p ′, t ) ,
∂t
 2m

∫ {K (p, p ′) + W(p, p ′)}ψ(p ′, t )dp′ .
Получаем:
т.е.
~ (p, t )
∂ψ
p2 ~
~ (p ′, t ) ,
iħ
=
ψ(p, t ) + ∫ dp ′W(p, p ′)ψ
∂t
2m
где
W(p,p′) =
1
(2πh) 3
i
∫ dr V (r )eh
( p − p′ ) r
.
6
В итоге получилось интегро-дифференциальное уравнение.
Если V(r)есть полином от r2,т.е. включает сумму членов вида
Vn = anr2n,
то eсть уравнение Шредингера сводится к дифференциальному. Действительно, в
этом случае
i
an
an
h r 2n hi (p− p′ )r
2 n h ( p − p′ ) r
Wn(p,p′)
=
dr r e
=
dr ( ∇ p ) e
=
i
(2πh) 3 ∫
(2πh) 3 ∫
= an (-ħ2∇2p )n
1
(2πh) 3
i
∫ d r eh
( p− p′ ) r
= an(-ħ2∇2p )nδ(p-p′);
~ (p′,t)dp′ = an(-ħ2∇2p )n∫ δ(p-p′) ψ
~ (p′,t)dp = an (-ħ2∇2p )n ψ
~ (p,t);
∫ Wn(p,p′) ψ
iħ
∂ ~
~ (p,t).
ψ (p,t) = (p2 /2m +an(-ħ2∇2p )n) ψ
∂t
Важный пример - изотропный гармонический осциллятор, с
kr$ 2 m ω 2 r 2
V(r)=
(ω2 ≡ k/m).
=
2
2
В координатном представлении уравнение Шредингера записывается как
∂
iħ ψ(r,t) = -ħ2/2m⋅∇2 ψ(r,t) + (m ω2 r2/2)ψ(r,t).
∂t
В импульсном представлении, учитывая, что n = 1 и a = mω2/2, имеем:
∂ ~
~ (p,t) - ħ2mω2/2∇2 ψ
~ (p,t)
iħ ψ
(p,t) = p2/2m ψ
∂t
Уравнения с точностью до переобозначения констант идентичны, а значит идентичны
и их решения. Но они, как функции в координатном и импульсном представлениях, должны
быть связаны преобразованием Фурье. Поэтому, если не обращать внимания на константы,
волновые функции изотропного гармонического осциллятора инвариантны относительно
преобразования Фурье: сами функции и их фурье-образы практически совпадают. Таким
свойством обладают функции Эрмита и только они, и мы предсказываем волновые функции
стационарных состояний осциллятора.
КАРТИНЫ ШРЕДИНГЕРА И ГЕЙЗЕНБЕРГА
Зависимость от времени можно ввести в квантовую механику разными способами.
Они называются разными картинами (представлениями).
До сих пор мы пользовались картиной Шредингера, в которой считается, что всю
зависимость от времени несут векторы состояния (волновые функции), а в операторы
наблюдаемых она может входить лишь в исключительных случаях (например, в
гамильтониан системы, находящейся в нестационарных внешних условиях). Основным
динамическим уравнением в картине Шредингера является уравнение Шредингера.
7
∂
|ψш(t)⟩ = H$ ш |ψш(t)⟩.
∂t
Оно позволяет связать вектор состояния |ψш(t)⟩ в произвольный момент времени t с
вектором состояния |ψш(t0)⟩, заданным в начальный момент t 0 . Ведем оператор эволюции
U$ (t , t ) определением
iħ
0
|ψш(t)⟩ = U$ (t , t 0 )|ψш(t0)⟩.
Так как нормировка векторов не должна меняться во времени, имеем:
1 = ⟨ψш(t0)|ψш(t0) ⟩ = ⟨ψш(t)|ψш(t) ⟩ = ⟨ψш(t0) U$ + (t , t 0 )U$ (t , t 0 ) | ψш(t0) ⟩,
т.е. U$ (t , t 0 ) должен быть унитарным оператором:
U$ + (t , t )U$ (t , t ) = I .
0
0
Если гамильтониан H$ не зависит явно от времени (стационарные внешние условия),
то оператор эволюции может быть выписан в явном виде:
i ˆ
− H ш (t −t0 )
U$ (t , t 0 ) = e h
Тогда
|ψш(t)⟩ = e
i
− Hˆ ш ( t − t 0 )
h
.
Дифференцируя это соотношение по времени, найдем::
i
− Hˆ ш ( t − t 0 )
∂
|ψш(t)⟩ =- i/ħ⋅ H$ ш e h
=- i/ħ⋅ H$ ш |ψш(t)⟩
∂t
⇒
iħ
∂
| ψш(t)⟩ = H$ ш |ψш(t)⟩,
∂t
т.е. получим уравнение Шредингера, как и должно быть.
Перейдем теперь к картине Гейзенберга, совершая унитарное преобразование
$ + (t, t ) |ψш(t)⟩ = U$ + (t, t ) U$ (t , t )|ψш(t0)⟩ =
|ψг(t)⟩ = U
0
0
0
= I$ |ψш(t0)⟩ = |ψш(t0)⟩
т.е.
|ψг(t)⟩ = |ψш(t0)⟩ = |ψг(t0)⟩ ≡ |ψг⟩.
Таким образом, в картине Гейзенберга векторы состояний не меняются во времени:
один и тот же вектор описывает состояние системы во все моменты времени.
Но теперь вся зависимость от времени перекидывается на операторы наблюдаемых,
унитарное преобразование которых дает
F$ г(t) = U$ + (t, t 0 ) F$ ш U$ (t , t 0 ) .
При унитарном преобразовании средние значения наблюдаемых не меняются. Их в
разных картинах можно записать как
$
⟨F⟩ (t) = ⟨ψш(t) | F ш |ψш(t) ⟩ =
$ U$ (t , t )|ψ ⟩ = ⟨ψ | F$ (t) |ψ ⟩.
$ + (t, t ) F
= ⟨ ψг| U
ш
г
г
г
г
0
0
8
Таким образом, зависимость от времени средних значений не зависит от выбора
картины, а именно она-то и является самой главной.
В картине Гейзенберга уравнения Шредингера нет, так как векторы состояний
постоянны. Основные динамические уравнения формулируются для операторов. Чтобы
получить их, найдем сначала уравнение, которому подчиняется оператор эволюции и
сопряженный ему. Имеем:
|ψш(t) ⟩ = U$ (t , t 0 )|ψш(t0) ⟩.
Дифференцируем по времени:
∂
d $
iħ |ψш(t) ⟩ = iħ
U (t , t 0 )|ψш(t0) ⟩.
∂t
dt
С другой стороны, согласно уравнению Шредингера,
∂
iħ |ψш(t) ⟩ = H$ ш |ψш(t0) ⟩ = H$ ш U$ (t , t 0 |ψш(t0) ⟩.
∂t
Сравнение дает уравнение
d $
iħ
U (t , t 0 ) = H$ ш U$ (t , t 0 ),
dt
к которому нужно добавить очевидное начальное условие
U$ (t 0 , t 0 ) = I$ .
Переходя к сопряженному уравнению с учетом эрмитовости H$ найдем
d $+
U (t, t 0 ) = U$ + (t, t 0 ) H$ ш
− iħ
dt
Гамильтониан в КГ имеет вид
H$ г = Uˆ + (t , t0 ) Hˆ шUˆ (t , t0 ).
Если
[Hˆ Uˆ ] = 0̂ ,
ш,
то мы выносим H$ ш налево и пользуемся унитарностью U$ + U$ = I$ . Тогда получим
H$ г (t) = H$ ш ≡ H$ .
Это справедливо, в частности, когда H$ ш не зависит от времени и (см. выше)
i $
− H ø (t − t0 )
U$ (t , t 0 ) = e h
.
Очевидно, что в этом случае Hˆ ш ,Uˆ = 0̂ .
Теперь, пользуясь уравнениями для U$ и U$ + , мы можем получить динамические
уравнения для операторов наблюдаемых в картине Гейзенберга:
[
]
F$ г(t) = Uˆ + (t , t0 ) FˆшUˆ (t , t0 ) .
Дифференцируем по времени:
9
d
dt
F$ г(t) =
{
}
=
d ˆ + ˆ ˆ dUˆ + ˆ ˆ ˆ + ∂Fˆш ˆ ˆ + ˆ dUˆ
U FшU =
FшU + U
U + U Fш
=
dt
dt
dt
∂t
=
1 ˆ + ˆ ˆ ˆ ˆ + ∂Fˆш ˆ ˆ + ˆ 1 ˆ ˆ
U H ш FшU + U
U + U Fш H шU =
− ih
∂t
ih
= Uˆ +
[
]
∂Fˆш ˆ i ˆ + ˆ ˆ ˆ
U + U H ш , Fш U .
h
∂t
В итоге получаем уравнения Гейзенберга - динамические уравнения в картине
Гейзенберга:
$
d $
F г(t) = ∂FÃ (t ) + i H$ Ã (t ), F$Ã (t ) ,
dt
h
∂t
[
]
где по определению
∂Fˆд
∂Fˆ
(t ) ≡ Uˆ + (t , t0 ) ш Uˆ (t , t0 ) .
∂t
∂t
Картина Шредингера хороша при практической работе (уравнения для векторов
состояний в определенном представлении становятся дифференциальными уравнениями для
обычных функций - волновых функций). Картина Гейзенберга с этой точки зрения хуже
(уравнения для операторов), но она хороша при общих размышлениях. В частности,
позволяет с легкостью обсудить законы сохранения.
10
11