xaoc.ru 12 января 2006г. Свето-геометрия Вакуума (Основы высшей Алгебры сигнатур) Батанов Михаил Семенович, к.т.н. batanov@sferasb.ru 1. Представления об λm÷÷n -вакууме В современном Естествознании физический вакуум – это не тривиальная пустая арена, на фоне которой проистекает жизнь материальных тел, а самостоятельный, чрезвычайно сложный объект. Наиболее интригующим следствием исследований данного объекта является вывод о том, что физический вакуум представляет собой многоплановую, иерархическую структуру, превосходящую по сложности самого субъекта исследований – Человека. Существует множество подходов к изучению вакуума: от динамических теорий механического эфира, до различных вариантов многомерных теорий струн. В данной работе рассматривается хромо (т. е. свето)геометрический подход к изучению Вакуума на базе двух основополагающих принципов: «эйнштейновский принцип постоянства скорости света в вакууме» и «каббалистического принципа усредненной отсутственности». Поясним суть этих принципов. 1). «Принцип постоянства скорости света в вакууме» гласит: что скорость распространения волновых возмущений в вакууме равна скорости света и ни от чего не зависит кроме как от свойств самого вакуума. Данный принцип связан с представлениями о вакууме, как о некой «упруго-пластической» среде, в которой распространяются различные возмущения. Скорость распространения вакуумных возмущений равна скорости света с = 299792458 м/с. Любое волновое возмущение, распространяющееся в вакууме с данной скоростью, называется светом (или электромагнитной волной). В вакууме распространяются световые волны в огромном частотном диапазоне, но все они имеют одну и туже скорость с. Монохроматические лучи (эйконалы) света с определенной длиной волны λm ∼ 10m см (здесь m с одной стороны индекс, а с другой – показатель степени) обладают свойством повторять метрико-динамическую структуру вакуума. То есть пробные монохроматические лучи света распространяются по геодезическим линиям исследуемой протяженности. При этом если посылать пробные лучи с 3-х взаимно перпендикулярных направлений (см. рис.1), то можно «высветить» координатную сетку (см. рис. 2), описывающую 3-мерный ландшафт исследуемой протяженности. Длина ребра ячейки данной координатной сетки ε (рис. 2) выбегается равной порядка 100 длин волн пробного монохроматического луча ε ∼ 102 λm. Из опытных данных следует, что при таком шаге свето-геометрической сетки ее элементарными ячейками являются кубические объемы, обладающие всеми основными метрико-динамическими свойствами всего «высвеченного» ландшафта в целом. При этом, изучение метрико-динамических свойств одной такой кубической ячейки приводит к постижению основных свойств всего ландшафта в целом. В этом случае весь высвеченный ландшафт можно рассматривать как фрактал, элементами которого являются элементарные кубические объемы исследуемой свето-геометрической сетки. Высвеченный таким образом ландшафт пустой протяженности будем называть λm-вакуумом. Другими словами, λm-вакуум – это «пустая» протяженность, визуализированная пробными монохроматическими лучами света с длиной волны λm ∼ 10m см. Элементарные кубические ячейки свето-геометрической сетки исследуемого ландшафта – назовем согласованными объемами λm-вакуума. Рис.1 2). «Принцип усредненной отсутственности» или просто «принцип отсутственности» гласит: - если, чтолибо рождается из Великой Пустоты (т. е. Вакуума), то обязательно в виде пары (сизигии) с взаимно 1 xaoc.ru 12 января 2006г. компенсирующими (противоположными) свойствами. Этот принцип уходит корнями к каббалистическому понятию Эйн Соф (Бесконечное НИЧТО) – т. е. Бесконечно наполненной ОТСУТСВЕННОСТИ, у Которой бесконечное количество различных проявлений сбалансированы таким образом, что в среднем ОНА Проявляет СЕБЯ как полная ПУСТОТА (Отсутственность). Физический вакуум является проекцией Живого Эйн Соф, Благословен ОН, на самый грубый (материальный) план Бытия. Принцип отсутственности требует, что если чтолибо (Добро или зло, волны или частицы, …) рождаются из усредненной ПУСТОТЫ то обязательно в виде двух взаимно противоположных сущностей, которые в среднем полностью компенсируют проявления друг друга. В отношении физического вакуума это означает, что если из него рождается частица, то обязательно в паре с ее антикопией (т. е. античастицей), волна – с антиволной, луч света – в паре с антилучем (т. е. с противоположно направленным лучом света с противоположной поляризацией или что тоже самое фотон – с антифотоном с противоположным спином и т. д. Древняя китайская традиция зиждется на той же основе: «ДАО пусто, но в применении неисчерпаемо. О Глубочайшее! ОНО кажется Праотцом всех вещей. Если притупить ЕГО проницаемость, освободить ЕГО от хаотичности, умерить ЕГО Блеск, уподобить ЕГО Пылинке, то ОНО будет казаться явно Существующим» (Дао де цзин, 1.4). «Пустота бессмертна, назову Ее глубочайшим Началом… Она бесконечна как Существование и действует без усилий. Поэтому ПОРОЖДАЮЩИЙ вещи не Рождается, ИЗМЕНЯЮЩИЙ вещи не Изменяется» (Лецзы, 1). Древняя индийская философия сопоставляла абсолютную пустоту гладкой поверхности озера. Возникновение чего-либо из пустоты сравнивалось ими с появлением па поверхности озера ряби под действием ветра [129]. Как движения, обусловленные предшествующим рукопожатием. На вопрос: «Каков источник этого мира?» Веды отвечают: – «Пространство. По истине все существа выходят из пространства и возвращаются в пространство, ибо пространство больше их, пространство – последнее их прибежище». Все дальнейшие свето-геометрические построения в настоящей работе основаны на этих двух основополагающих принципах и на отказе от какой-либо примитивной субстанциональной материальности, лежащей в основе природы вакуума. В рамках развиваемых здесь представлений вакуум – это многослойная протяженность реальности, каждый продольный слой которой «высвечивается» лучами света соответствующего диапазона длин волн. Для того, чтобы «высветить» какой либо слой вакуума нужно посылать лучи света определенного диапазона длин волн λm÷n = 10m…10n см, например с помощью радиолокационной установки (см. рис. 1), в различных направлениях. При этом, наблюдая за характером и направлением распространения пробных лучей света можно построить из них свето-геометрическую координатную сетку (т. е. сетку состоящую из лучей света), размер ячеек которой соизмерим со средней длиной волны <λm÷n > пробных лучей. Зондируя таким образом протяженность окружающей реальности, можно визуализировать (высветить) 4-мерный «светозарный» ландшафт пустоты с характерным масштабом рассмотрения соизмеримым со средней длиной волны <λm÷n > пробных (координатных) лучей света. Такой свето-геометрический 4-ландшафт будет называть λm÷n -вакуумом (т. е. продольным слоем Великой Пустоты, который высвечивается пробными лучами света из диапазона длин волн λm÷n = 10m…10n см ). Из определения λm÷n -вакуума видно, что сколько диапазонов длин волн можно выделить из всего спектра волновых возмущений, способных распространяться в Великой Пустоте, столько и λm÷n-вакуумов (т. е. светогеометрических 4-ландшафтов различных масштабов рассмотрения). Таким образом, свето-геометрический (радиолокационный) подход к изучению метрикодинамических свойств Вакуума заведомо содержит возможность расслоения этой бездонной Сущности на продольные слои с различными масштабами «рассмотрения». При этом, подобно матрешке, О ε мелкомасштабные свето-геометрические 4-ландшафты (λm÷n -вакуумы) оказываются вложенными в более крупномасштабные продольные слои той же Светозарной Реальности. Мир устроен так, что на различных участках Светозарного Вакуума различные слои (т. е. λm÷n вакуумы) ведут себя по-разному, но общие свойства λm÷n вакуумов оказываются одинаковыми. Поэтому детальное изучение одного из λm÷n-вакуумов дает сразу представление о всех продольных слоях (λm÷n-вакуумах) изучаемой Бездонной Иерархии. Рис. 2. координатная сеть на ландшафте Рассмотрим один λm÷n -вакуумов более подробно. Для недеформированного участка λm÷n -вакуума. 2 xaoc.ru 12 января 2006г. этого на одном из его недеформированных участков пустим пробные лучи света соответствующего диапазона λm÷n = 10m…10n см так, чтобы они образовали декартову сетку (см. рис. 2) с характерный размером ребра кубической ячейки ε ∼ 102 <λm÷n> . (1) То есть расстояние между двумя пробными лучами света, образующими идеальную декартову координатную сетку на недеформированном участке изучаемого λm÷n -вакуума, должно быть примерно на два порядка больше их средней длины волны. Ниже предлагаются основы универсальной светогеометрии, описывающей метрико-динамические свойства любого λm÷n -вакуума из всей светозарной толщи окружающей нас протяженной Реальности. 2. Светогеометрия одного из λm÷n -вакуумов 2.1. Идеальный участок λm÷n -вакуума Рассмотрим в начале идеальный недеформированный участок λm÷n -вакуума. Пусть пробные лучи света со средней длиной волны <λm÷n> из произвольно выбранного диапазона λm÷n = 10m…10n см образуют в некоторой области одного из слоев Светозарного Вакуума декартову координатную сетку, ячейками которой являются неискаженные кубы с длиной ребра ε ∼ 102 <λm÷n> (см. рис.2). Выделим из всего рассматриваемого участка λm÷n вакуума объем состоящий из 8 кубиков, имеющих одну общую вершину в точке О (см. рис.2). Будем называть такой объем – согласованным объемом λm÷n -вакуума, т. к. предполагается, что метрико-динамические свойства данного согласованного объема соответствуют свойствам каждого а) б) подобного объема и всей исследуемой области λm÷n -вакуума Рис.3 в целом. С центральной точкой О, исследуемого согласованного объема, совместим начала 3-векторных базисов, задающих направления ребер всех восьми кубиков. Чтобы понять сколько 3-векторных базисов (или просто 3-базисов) исходит из центральной точки О, искусственно «растащим» эту точку по 8 углам гипотетического кубика (рис.3). При этом сразу становится понятным, что из точки О исходит 8 + 8 = 16 3-базисов (рис.3а,б). На самом деле 3-векторных базисов на рис. 3а,б лишь восемь. Дело в том, что один из 3-базисов, показанных на рис. 3а, совпадает с диагонально противоположно расположенным 3-базисом, показанным на рис. 3б. Следовательно, исследуемый объем описывается лишь восьмью 3-базисами. Так бы и было, если бы не еще одна степень свободы – вращение 3-базисов. Будем полагать, что в силу принципа отсутственности, 3-базисы показанные на рис. 3а вращаются «по часовой стрелке», а 3-базисы показанные на рис. 3б вращаются – в противоположную сторону, т. е. «против часовой стрелки». При этом для идеального (т. е. недеформированного) участка λm÷n -вакуума, все попарно противоположно вращающиеся 3-базисы в среднем полностью компенсируют проявления вращения друг относительно друга. 2.1.1. Векторный (электродинамический поляризационный) анализ согласованного объема λm÷n -вакуума или Физический смысл вращения 3-базисов, показанных на рис. 3а,б очень прост и связан с поляризацией пробных лучей света. Напомним, что поляризацией электромагнитной волны (или луча света) называется закон изменения направления вектора электрического поля Е, в плоскости перпендикулярной направлению распространения волны (или луча), вектор магнитного поля изменяется точно по такому же закону. 3 Рис.3* xaoc.ru 12 января 2006г. Согласно всеобщего принципа отсутственности по каждой оси в точку О приходит не один, а два взаимно противоположных луча света с взаимно противоположными спинами (т. е. круговыми поляризациями). Рассмотрим в начале распространение двух встречных лучей света, распространяющихся друг на встречу друга вдоль оси Х (рис.3*). Поляризация этих лучей задается векторами электрического поля Ex(+) и Ex(–), которые в виде комплексных векторов задаются выражениями r r ( + ) iϕ xy( + ) i (ϖ t − k x ) ~ ( + ) r ( + ) iϕ xz( + ) i (ϖ t −k x x ) x E x = E zm e e + iE ym e e , (1а) r r r (−) ( − ) ~ ( − ) −iϕ xz −i (ϖ t − k x x ) ( − ) − iϕ xy −i (ϖ t − k x x ) E x( − ) = E zm e e e e − iE ym , (1б) где Ezm(+) – проекция вектора Ex(+) на ось Z, волны распространяющейся в аффинном пространстве; Eym(+) – проекция вектора Ex(+) на ось Y, распространяющейся в аффинном пространстве; Ezm(–) – проекция вектора Ex(–) на ось Z, распространяющейся в аффинном пространстве; Eym(–) – проекция вектора Ex(–) на ось Y, распространяющейся в аффинном пространстве; ϖ – циклическая частота колебаний волны; kх – проекция волнового вектора на ось Х; ϕхz(+),ϕхy(+) – фазы ортогональных составляющих волны распространяющейся в положительном направлении оси Х; ϕхz(–),ϕхy(–) – фазы ортогональных составляющих волны распространяющейся в отрицательном направлении оси Х. Средняя световая волна (луч) распространяющейся в аффинном пространстве вдоль оси Х определяется усредненным выражением r r r ~ 1 ~ ~ 1 r ( + ) i (ϖ t − k x x +ϕ xz( + ) ) r ( −) −i (ϖ t −k x x +ϕ xz( − ) ) 1 r ( + ) i (ϖ t −k x x +ϕ xy( + ) ) r ( −) −i (ϖ t −k x x +ϕ xy( − ) ) E x = ( E x( + ) + E x( −) ) = E zm e + E zm e + i E ym e − E ym e 2 2 2 { } (1в) В случае согласованности прямой и встречной волн амплитуды и фазы их колебаний равны Ezm(+) = Ezm(–) = Ezm , ϕхz(–) =ϕхz(+) = ϕхz , Eym(+)= Eym(–) = Eym ; ϕхy(–) =ϕхy(+) = ϕхy . При этом из (1в) имеем r r e i (ϖ t − k x x +ϕ xz ) + e −i (ϖ t −k x x +ϕ xz ) r e i (ϖ t −k x x +ϕ xy ) − e −i (ϖ t − k x x +ϕ xy ) E x = E zm − E ym 2 2i . (1г) С учетом формул Эйлера cos α = e iα + e −iα ; 2 Рис. 3** Эллипс поляризации [1]. sin α = e iβ − e −iβ 2i для начала координат (т. е. при х = 0) из (1г) окончательно получим r r r E x = E zm cos(ϖ t + ϕ xz ) − E ym sin(ϖ t + ϕ xy ) , (1д) где Ezm – вектор, направленный в вдоль оси Z; Eym – вектор, направленный в вдоль оси Y. Принцип отсутственности приводит к выводам, совпадающим с представлениями классической электродинамики. Алсигна лишь препарирует исследуемый процесс и показывает, что при определенных условиях встречные световые волны полностью компенсируют проявления друг друга, а при других условиях их суперпозиция приводит к проявлению усредненной бегущей волны с усредненной эллиптической поляризацией. Это сразу Рис. 3****. Три электрических вектора Ex, Ez, Ey, вращающиеся во взаимно перпендикулярных плоскостях XOZ, 4 YOZ, XOY, образуют вращающийся ортогональный базис. xaoc.ru 12 января 2006г. обнаруживается при переходе от векторного представления (1д) к эквивалентной функциональной записи [1]: r r r ~ iϕ E x = E zm e iϕ xz + E ym e xy e i (ϖ t − k x x ) или (1е) r r r ~ E x = E zm + E ym e 2iδ x e iϕ x e i (ϖ t −k x x ) , (1ж) где 2δ = ϕхz – ϕхy – разность фаз колебаний ортогональных составляющих; ϕ 0 = ϕхz – начальная фаза z-компоненты электрического вектора Ex. Исключая из выражения (1ж) время, можно найти уравнение траектории конца (годографа) электрического вектора Ex в плоскости ZOY [1]: 2 2 Z Y 2 ZY + − cos 2δ = sin 2 2δ , E zm E E E zm ym ym где введены обозначения Y = Re E zm e iϕ xz , Z = Re E ym e iϕ xy (1з) , E zm = E zm e iϕ xz , E ym = E ym e iϕ xy Ex Z T Рис. 3*** [1]. Y Рис. 3*****. Эллиптические поляризации трех ортогональных лучей света. Уравнение (1з) описывает кривую второго порядка и в силу ограниченности модулей ортогональных векторов Ezm и Eym соответствует уравнению эллипса (рис. 3**). Такая световая волна (луч) является эллиптически поляризованной электромагнитной волной. Поведение эллиптически поляризованной волны в точке О во времени показано на рис. 3***. Мы рассмотрели поведение монохроматической бегущей электромагнитной волны (луча света) с усредненным электрическим вектором Ex, распространяющейся вдоль оси X). Аналогичный анализ волн (лучей) с усредненными электрическими векторами Ez и Ey, распространяющимся соответственно вдоль осей Z и Y (рис. 3*) приводит к подобным результатам. То есть в наиболее общем случае годограф вектора Ez – является наклоненным эллипсом в плоскости XOY, а годограф вектора Eу – является наклоненным эллипсом в плоскости XOZ (рис. 3****). В общем случае модули векторов Ex, Ez и Ey не равны друг другу, потому их годографами могут быть эллипсы различной величины, что и показано на рис. 3*****. Если модули этих векторов равны и их годографами являются круги, то эти три вектора Ex, Ez, Ey образуют причудливо вращающийся, ортогональный базис (рис. 3****). Отличие представлений Алсигны от классических представлений [1], связано с тем, что согласно (1а) и (1б) в Рис. 3*** ***. Встречное вращение каждой 3-мерной «плоскости» XYТ, XZТ и ZYT (рис. двух ортогональных базисов, состоящих 3****), рассматриваемой системы отсчета (начало которой из двух троек электрических векторов приходится на точку О), вращается не по одному электрическому Ex(+), Eу(+), Ez(+) и Ex(–), Eу(–), Ez(–) в одной из вершин светозарного куба. 5 xaoc.ru 12 января 2006г. вектору Ex, Ez и Ey, а по два: Ex(+) и Ex(–), Eу(+) и Eу(–), Ez(+) и Ez(–) (рис. 3*** ***). Поскольку, например, выражения (1а) и (1б) могут быть, так же как и (1в), представлены в виде комплексных векторов: r v ( + ) iϕ ( + ) r ( + ) iϕ xy( + ) i (ϖt −k x ) ~ x E x( + ) = E zm e xz + E ym e , e r v ( −) −iϕ ( − ) r ( − ) −iϕ xy( − ) i ( −ϖt + k x ) ~ x . E x( − ) = E zm e xz + E ym e e (1и) (1к) Причем согласно исходному принципу отсутственности, вращения электрических векторов Ei(+) и Ei(–) , принадлежащих одной плоскости, должно происходить во взаимно противоположные стороны. Что собственно и следует из выражений (1 и) и (1к) где в первом случае в показателе экспоненты вынесенной за скобки имеет место стигнатура {+ –}, а во втором случае – стигнатура { – +}. При этом если, например, электрический вектор Ex(+) вращается в 3-мерной «плоскости» ZYT , то электрический вектор Ex(–) вращается в противоположную сторону, т. е. в 3-мерной «плоскости» ZY(-T), где стрела времени обращена вспять. Вместе с тем представления Алсигны полностью согласоваться с классическими представлениями, r ~ поскольку мы исходим из того, что наблюдаемые величины (в частности E x ) должны состоять из r r ~ ~ ненаблюдаемых (в частности E x( + ) и E x( − ) ), таким образом, что наблюдаемая величина являться средним арифметическим от двух ненаблюдаемых r r r ~ 1 ~ ~ (1л) E x = ( E x( + ) + E x( − ) ) . 2 2.1.2. Решимо Рассмотрим идеальный случай. Под решимо подразумевается идеальное (совершенно недеформированное и неискаженное), исходное состояние исследуемого участка λm÷n -вакуума (см. рис.2). Это состояние в среднем ни как не проявляет себя (кроме как участок совершенно пустой 3-мерной протяженности), но вместе с тем оно переполнено сиянием внутреннего света, т. е. решимо – идеальная 3-мерная пустота, живущая собственной внутренней жизнью. Но внутренняя «жизнь» решимо скрыта от нас абсолютной компенсацией различных взаимно противоположных проявлений различных метрических и динамических аспектов существования исследуемой области λm÷n -вакуума. Встречные световые волны (рис. 3*) с одинаковой амплитудой колебаний могут полностью нейтрализовать проявления друг друга. Например, для встречных волн, распространяющихся вдоль оси Х в точке х = 0, при равных амплитудах их составляющих Ezm(+) = Ezm(–) и Eym(+) = Eym(–) из выражения (1в ) имеем r ( −) ~ 1 r ( + ) i (ϖt +ϕ xz( + ) ) 1 r ( + ) i (ϖt +ϕ xy( + ) ) −i (ϖt +ϕ xy( − ) ) E x=0 = E zm e + e −i (ϖt +ϕ xz ) + iE ym −e e . 2 2 { } (1м) Легко проверить, что при ϕхz(–) =π – ϕхz(+) выражение в первой фигурной скобке (1м ) обращается в ноль e i (ϖt +ϕ xz( + ) ) + e −i (ϖt +ϕ xz( − ) ) = 0 , а при ϕхy(–) =2π – ϕхy(+) обращается в ноль выражение и во второй фигурной скобке (1м) i e =0. r ~ В этом случае все выражение (1м ) обращается в ноль Ех = E x =0 = 0 . Таким образом, две волны с равными (+) i (ϖt +ϕ xy ) −e (−) − i (ϖt +ϕ xy ) амплитудами Eх(+) = Ezm(+) + Eym(+) и Eх(–) = Ezm(–) + Eym(–) вполне могут существовать, но их фазы и амплитуды таковы, что они полностью компенсируют проявления друг друга. r ~ Точно так же можно добиться усредненного равенства нулю электрических векторов Еу = E y =0 = 0 и r ~ Еz = E z =0 = 0 , вращающихся соответственно в плоскостях XOZ и XOY. 6 xaoc.ru 12 января 2006г. Таким образом, внутренняя «жизнь» решимо может быть описана встречным вращением двух ортогональных базисов, состоящих из двух троек электрических векторов Ex(+), Eу(+), Ez(+) и Ex(–), Eу(–), Ez(–) с круговой поляризацией (рис. 3*** ***). При этом взаимно противоположное вращение двух ортогональных базисов должны в среднем полностью компенсировать проявления друг друга. Циклическая скорость вращения Ω этих двух ортогональных троек электрических векторов (или электрических базисов) совпадает с угловыми частотами колебаний 3-х исследуемых (пробных) световых волн Ω = ωx = ωy =ωz = ω . Это связано с тем, что каждый электрический вектор Ei(±), определяющий одну из осей соответствующего электрического базиса, делает один полный оборот за один полный период колебания соответствующей световой волны. Это происходит потому, что модуль волнового вектора |ki| световых волн связан с их же угловыми частотами ωi однозначным соотношением |k i | = ω i /с. (1н) Итак, вращение шестнадцати 3-базисов в рамках развиваемой теории связано с круговой поляризацией световых волн λ m÷n диапазона, высвечивающих исследуемый, согласованный объем (куб) λm÷n -вакуума. Поэтому угловая скорость вращения dϕ /dt = Ω шестнадцати 3-базисов показанных на рис.3 в данной теории совпадает с циклической частотой пробных световых волн ω c = 2π с /λ m÷n . Таким образом, в рассматриваемой модели постулируется соотношение Ω =ω c или dϕ /dt = 2π с /λ m÷n . (1о) Откуда определяем два направления локального времени ϕ λ m÷n /2π с = t (1п) – в случае круговой поляризации пробных волн по часовой стрелке, и ϕ λ m÷n /2π с = – t (1р) – в случае круговой поляризации пробной волны против часовой стрелки. При ϕ = 2π (что соответсвует проходу луча света растояния равного полной длине свойей средней волны <λ m÷n> ) и положив ε =|dr| =<λ m÷n> ( где |dr| =|dx + dy + dz|) из (1п) получим векторное выражение со стигнатурой {– + + +} (понятие стигнатура будет введено несколько позже) ds(+)= – cdt + dx + dy + dz = 0, (1c) а при подстанвке ϕ = 2π в (1р) - векторное выражение со стигнатурой {+ – – –} ds(–) = cdt – dx – dy – dz = 0. (1т) Все выделенные курсивом манипуляции произведены с целью показа, что в рамках рассматриваемой модели все шестнадцать 3- базисов (см. рис. 3) вращаются с угловой скоростью Ω равной средней циклической частоте ω c пробных световых волн, «высвечивающих» согласованный куб λm÷n -вакуума. С учетом двух различных направлений вращения 3-базисов согласованного куба λm÷n -вакуума удобно перейти к рассмотрению 4-базисов ei(a) (e0(a), e1(a), e2(a), e3(a)) = ei(a) (cdt , dx, dy , dz). (1ф) где базисный вектор e0(a) – задает направление и темп локального времени, т. е. направление и угловую скорость вращения а-го 3-базиса (а = 1,2,3,…, 16) Отметим, что векторный (электродинамический) анализ исследуемого объема λm÷n -вакуума не приводит к согласованной картине вращений всех шестнадцати 4-базисов в комплексе. Как будет показано ниже, к такой удивительно гармоничной картине приводит кватернионный анализ 4-мерной протяженности λm÷n -вакуума. Поэтому для данного класса задач кватернионный анализ оказался значительно более предпочтительным. 7 xaoc.ru 12 января 2006г. 2.2. Шестнадцать 4-базисов Вращательное движение, как и любой другой вид движения, сопряжено с внесением понятия стрелы времени направленной из прошлого в будущее. Время выступает как мера x3 длительности, в течение которой осуществляется движение (в частности вращение). Но в силу того, что вращение 3-базисов может осуществляться как в одну, так и в противоположную сторону, то нам следует различать два направления x2 локального времени. Поэтому будем считать, что восемь 3-базисов, показанных на рис. 3 а, вращаются по «часовой стрелке» и их стрела времени условно направлена «вверх». А восемь 3-мерных базисов, показанных на рис. 3 б, вращаются против x0 «часовой стрелки», и их стрела времени условно направлена «вниз». x1 Таким образом, локальное время любого из шестнадцати 3-базисов оказывается неким аксиальным вектором, величина и направление которого тесно Рис. 4. связанны с угловой скоростью и направлением вращения данного 3-базиса. Четыре условные оси Следовательно, для модели согласованного объема λm÷n-вакуума, учитывающей гармоничное вращение всех шестнадцати, окаймляющих его 3-базисов (см. рис.3), удобно перейти к 4-меному рассмотрению. Если условно ввести четыре оси сt = x0 , x = x1 , y = x2 , z = x3 .(см. рис. 4), то в рамках 4-менного рассмотрения согласованный объем (куб) λm÷n -вакуума со стороной ε (см. рис.2) может быть наиболее полно описан шестнадцатью 4-базисами, представленными на рис. 5. е(1) е(5) е(9) е(13) е(2) е(6) е(10) е(14) е(3) е(7) е(11) е(15) е(4) е(8) е(12) е(16) Рис. 5. Шестнадцать 4-базисов, полученные из 3-базисов, показанных на рис.3 а,б посредством добавления к ним четвертой оси времени (рис. 4). Существует придание, что ортогональная система координат пришла на ум Рене Декарту, кода он в тюрьме обдумывал суть природных явлений. Однажды Декарт увидел удаленное дерево через решетку окна своей камеры и сразу сообразил, что место положение этого дерева можно задать в виде проекций на оси двух перекрещенных осей отсчета. Но думаю, что глубинная основа ортогональных систем отсчета все же кроется в Распятье Спасителя, Положившему начало новой эры эмпирического познания Естества. z 2.3. «Решимо», «база» и «стигнатура» y Для дальнейшего изложения нам понадобилось ввести три новых понятия: «решимо», «база» и «стигнатура». Сначала введем понятие «решимо». Решимо (память, отпечаток) – это исходное совершенно не искаженное абсолютное псевдоевклидово x сt Рис. 6. Решимо со стигнатурой {0000} 8 xaoc.ru 12 января 2006г. пространство, описываемое системой ортогональных осей сt = x0 , x = x1 , y = x2 , z = x3. В этом идеальном пространстве не заданы никакие направления, т. е. все направления в нем равноправны. Выберем из шестнадцати 4-базисов, показанных на рис.5, пятый 4-базис ei(5) (e0(5), e1(5), e2(5), e3(5)) в качестве «базы» и условно примем, что направления всех его единичных базисных векторов данной «базы» положительны, т. е. ei(5) (e0(5), e1(5), e2(5), e3(5)) = ( 1, 1, 1, 1) → {+ + + +}. (2) Здесь введено обозначение {+ + + +}, означающее знаки, стоящие перед соответствующими модулями единичных векторов (+1, +1, +1, +1) пятого 4-базиса. В дальнейшем обозначения (1, 1, 1, 1) и {+ + + +} будем считать эквивалентными, а совокупность 4-х знаков в фигурных скобках {+ + + +} будем называть стигнатурой 4-базиса или 4-мерного аффинного пространства (рис. 7), в котором этот 4-базис задает исходные направления. Напомним, что аффинным называется такое пространство, на котором задана аффинная геометрия. Как известно, все теоремы аффинной геометрии справедливы в геометрии Евклида. Однако многих евклидовых теорем в аффинной геометрии нет (за z подробностями отсылаем к специальным изданиям). В частности теорема Пифагора в ней отсутствует, т. к. углы в аффинной геометрии неинвариантны, следовательно, нет смысла говорить о прямоугольных треугольниках. Из-за отсутствия теоремы Пифагора в аффинной геометрии в ней не может быть задана квадратичная форма, играющая роль метрики в евклидовой геометрии. Другими словами если в псевдо-евклидовом пространстве, например, с сигнатурой (– + + +), метрика задается квадратичной формой ds2 = – с2dt2 + dx2 + dy 2 + dz 2, то в аффинном пространстве с аналогичной стигнатурой {– + x сt + +} роль метрики играет интервал ds = – с dt + dx + dy + dz . Сразу отметим, что сигнатура (– + + +) – это знаки, стоящие перед слагаемыми квадратичной Рис. 7. База со стигнатурой формы евклидова пространства. А стигнатура {– + + +} – это знаки, стоящие {+ + + +} перед слагаемыми интервала аффинного пространства. Сигнатуры мы будем помещать в круглые скобки, стигнатуры в – фигурные. У решимо (рис.6) нет никаких выделенных направлений, т. е. ei(0) (e0(0), e1(0), e2(0), e3(0)) = (0, 0, 0, 0), поэтому стигнатуру решимо можно положить равной {0000}. Положительные направления «базы» (рис.7) выбраны совершенно условно. В качестве исходного 4-базиса можно было бы выбрать любой из шестнадцати 4-базисов, показанных на рис. 5. Следовательно, в стигнатурном смысле протяженность Вселенной должна полностью симметричной. Относительно выбранной «базы» (т. е. пятого 4-базиса) все остальные 4-базисы, показанные на рис.5, имеют следующие направления базисных векторов (т. е. стигнатуры): ei(1) (e0(1), e1(1), e2(1), e3(1)) = ( 1, 1, –1, 1) → {+ + – +} ei(9) (e0(9), e1(9), e2(9), e3(9)) = (–1, 1, –1, 1) → Таблица 1 {– + – +} ei(2) (e0(2), e1(2), e2(2), e3(2)) = (1, –1, –1, –1) → {+ – – –} ei(10) (e0(10), e1(10), e2(10), e3(10)) = (–1, –1, –1, –1) → {– – – –} ei(3) (e0(3), e1(3), e2(3), e3(3)) = ( 1, 1, –1, –1) → {+ + – –} ei(11) (e0(11), e1(11), e2(11), e3(11)) = (–1, 1, –1, –1) → {– + – –} ei(4) (e0(4), e1(4), e2(4), e3(4)) = ( 1, –1, –1, 1) → {+ – – +} ei(12) (e0(12), e1(12), e2(12), e3(12)) = (–1, –1, –1, 1)→ {– – – +} ei(5) (e0(5), e1(5), e2(5), e3(5)) = ( 1, 1, 1, 1) → {+ + + +} ei(13) (e0(13), e1(13), e2(13), e3(13)) = (–1, 1, 1, 1)→ ei(6) (e0(6), e1(6), e2(6), e3(6)) = ( 1, –1, 1, –1) → {+ – + –} ei(14) (e0(14), e1(14), e2(14), e3(14)) = (–1, –1, 1, –1) → {– – + –} ei(7) (e0(7), e1(7), e2(7), e3(7)) = ( 1, 1, 1, –1) → {+ + + –} ei(15) (e0(15), e1(15), e2(15), e3(15)) = (–1, 1, 1, –1) → {– + + –} ei(8) (e0(8), e1(8), e2(8), e3(8)) = ( 1, –1, 1, 1) → {+ – + +} ei(16) (e0(16), e1(16), e2(16), e3(16)) = (–1, –1, 1, 1) → {– – + +} {– + + +} Важно, что 16 стигнатур, приведенные в табл. 1, объединяются в антисимметричную матрицу: 9 y xaoc.ru 12 января 2006г. {+ + + +}00 {− − − +}01 stign(ei( a ) ) = {+ − − +}02 {− − + −}03 {+ + + −}10 {− + + +}11 {+ + − −}12 {+ − + −}13 {− + + −}20 {− − + +}21 {+ − − −}22 {− + − −}23 {+ + − +}30 {− + − +}31 {+ − + +}32 {− − − −}33 (3) Как выяснится ниже, эти 16 стигнатур образуют группу по операции ранжирного умножения. В частности из-за того, что стигнатуры образуют антисимметричную матрицу (3) где {….}ab = – {….}ba действенными оказываются только 10 из 16 стигнатур. Шестнадцать базисов, сведенные в табл. 1, показывают, что развиваемые здесь свето-геометрические представления о метрико-динамических свойствах согласованного объема λm÷n-вакуума сродни алгебре квадрочисел веденной для описания одной из разновидностей финслерова пространства [2]. 2.4. Деформированное состояние согласованного объема λm÷÷n -вакуума Рассмотрим теперь деформированное состояние исследуемого согласованного куба λm÷n -вакуума. Пусть теперь «идеальный» куб λm÷n -вакуума, показанный на рис. 3, приходит в деформированное состояние (см. рис.8). При этом оси всех 16 систем отсчета, связанные с вершинами и ребрами исследуемого куба, становятся, в общем случае, криволинейными x′0(а), x′(а), x′2(а), x3′(а), а их 4-базисы e′i(a) (e′0(a), e′1(a), e′2(a), e′3(a)) – не ортогональными. Свето-геометрия изначально исходит из того, что каждое ребро исследуемого согласованного куба λm÷n -вакуума (рис. 3) получается с помощью луча света соответствующего диапазона длин волн. Таким образом, для того чтобы вырисовать исследуемый куб λm÷n -вакуума необходимо 12 лучей - каждый луч соответствует одному из ребер согласованного куба. На 4-искривленном участке λm÷n -вакуума все пробные лучи света будут искривлены, т. к. лучи свет распространяется по геодезической линии, повторяющей 4-девормированный ландшафт исследуемого участка λm÷n -вакуума. Поэтому в данном случае согласованный «куб» λm÷n -вакуума будет искаженным (рис.8). Если искривления осей x′0(а), x′1(а), x′2(а), x3′(а) (т. е. ребер куба) достаточно гладкое, то эти оси и их базисные вектора e′0(a), e′1(a), e′2(a), e′3(a) (рис. 6.7) всегда можно выразить через оси x0(а), x1(а), x2(а), x3(а) и базисные вектора e0(a), e1(a), e2(a), e3(a) исходного, идеального куба (рис. 6.4) с помощью преобразований Рис. 8. Деформированное состояние согласованного куба λm÷n -вакуума. x′0(а) = α00(а)x0(а) + α 01(а)x1(а) + α 02(а)x2(а) + α 03(а)x3(а) ; x′1(а) = α 10(а)x0(а) + α 11(а)x1(а) + α 12(а)x2(а) + α 13(а)x3(а) ; (4) x′2(а) = α 20(а)x0(а) + α 21(а)x1(а) + α 22(а)x2(а) + α 23(а)x3(а) ; x3′(а) = α 30(а)x0(а) + α 31(а)x1(а) + α 32(а)x2(а) + α 33(а)x3(а) и e′0(a) = β00(a) e0(a) + β 01(a) e1(a) + β 02(a) e2(a) + β 03(a) e3(a) ; e′1(a) = β 10(a) e0(a) + β 11(a) e1(a) + β 12(a) e2(a) + β 13(a) e3(a) ; (5) e′2(a) = β 20(a) e0(a) + β 21(a) e1(a) + β 22(a) e2(a) + β 23(a) e3(a) ; e′3(a) = β 30(a) e0(a) + β 31(a) e1(a) + β 32(a) e2(a) + β 03(a) e3(a) . Или в более компактном виде 10 xaoc.ru 12 января 2006г. x′i (a) = αij (a) xj (a) (6) e′i(a) = βij(a) ej (a) , (7) αij(a) = dx′i(a)/ dxj (a) (8) и где – якобианы преобразования; βij(a) = (e′i(a) ⋅ej(a)) = cos (e′i(a) ^,ej(a)) (9) – направляющие косинусы. Преобразование (6), по сути, означает проекцию искривленных осей x′0(а), x′1(а), x′2(а), x3′(а) на идеальные оси решимо x0(а), x1(а), x2(а), x3 (а). А преобразование (6.344) – проекция неортогональных базисных векторов e′0(a), e′1(a), e′2(a), e′3(a) на ортогональные вектора исходного (идеального) 4-базиса e0(a), e1(a), e2(a), e3(a). При этом каждый из шестнадцати искаженных 4-базисов, закрепленных в вершинах деформированного согласованного объема λm÷n -вакуума , определяет искривленное аффинное 4-пространство векторов ds′ (a) = e′i(a) dx′i (a) , (где а = 1, 2, …, 8) (10) ds′ (a) = bim(a) em(a) α ij(a) dxj(a) = kьт(a) en (a) dxj(a) , (11) kmj(a) = bim(a) α ij (a). (12) или с учетом (6) и (7) где Основное требование, которое накладывает Алсигна на аффинную геометрию векторов (10), описывающих искаженное состояние согласованного участка λm÷n -вакуума, связано с принципом отсутственности. Этот принцип требует, чтобы все отклонения от исходного, идеального состояния в среднем компенсировали проявления друг друга. Следовательно, как и для в среднем гладкого и ровного участка протяженности λm÷n вакуума, любой элемент длины естественной протяженности должен в среднем равняться нулю r r ds ′ ( x ) = k (jma ) em( a ) dx (ja ) = 0 (13) То есть в каждый конкретный момент времени протяженность λm÷n -вакуума как бы есть, а в среднем ее нет. То же принцип отсутственности требует, чтобы искривления всех шестнадцати 4-базисов, совпадающих с ребрами рассматриваемого согласованного куба λm÷n -вакуума среднем компенсировали проявления друг друга. В этом и явлено Великое Чудо Бытия. Этим и отличается представления, развиваемые в рамках Алсигны [1], от любой теории механического эфира, где механический эфир – есть среда, состоящая из огромной совокупности в принципе неуничтожимых частиц. В Алсигне λm÷n -вакуум – это лишь устойчивая двухстороння иллюзия, чудом явленная из Бесконечной «Пустоты» (Эйн Соф, Благословен ОН). Чудо в том, что эта в среднем совершенно скомпенсированная иллюзия на столько конкретна и устойчива, что мы ее воспринимаем как реальный, осязаемый Мир. 2.4.1. Развитие аффинных геометрий Согласно развиваемых представлений λm÷n -вакуум это многообразие, в каждой точке х0, х1, х2, х3 которого заданы 16 тетрад (т. е. 4-базисов) ei(a) (e0(a), e1(a), e2(a), e3(a)) (а = 1…16), со всеми 16 возможными стигнатурами (3) (т. е. направлениями 4-х ортонормированных векторов). Каждый из шестнадцати 4-базисов определяет локальное аффинное пространство, для которого может быть развита своя геометрия с кручением. В частности, особый интерес представляет геометрия абсолютного параллелизма, развитая Р. Вайценбеком и Д. Витали, получившая продолжение в работах Г. И. Шипова в рамках теории физического вакуума [6]. Рассмотрим один из шестнадцати 4-базисов с любой из 16 стигнатур и переопределим его для конкретного рассмотрения ei(a) = еА (х0, х1, х2, х3), А = 0, 1, 2, 3 – номер орта рассматриваемого 4-базиса. Согласно теореме Эйлера, бесконечно малые повороты ортов 4-базиса можно заменить одним поворотом на угол dχ вокруг определенной оси, проходящей через начало рассматриваемого 4-базиса. Бесконечно малый поворот (в отличие от конечного поворота) можно задать вектором [6] dχ χ = dχ eχ, (13а) 11 xaoc.ru 12 января 2006г. где вектор eχ направлен вдоль мгновенной оси вращения 4-базиса. Это направление выбирается так, что если смотреть с конца вектора eχ на неподвижную точку О, то поворот совершается против часовой стрелки (правая система отсчета). Бесконечно малое изменение векторов репера eχ при повороте dχ имеет вид deA = [dχ eA] . (13б) r r de A dχ r [ r r ] = e A = ω e А , dt dt (13в) Разделив (13а) на dt, получим где ω = dχ /dt – трехмерная угловая скорость вращения системы отсчета относительно мгновенной оси. В данной работе более не будем развивать аффинную геометрию абсолютного параллелизма, отправляя к источнику [6]. Отметим только, что в рамках этой геометрии определяется кручение Риччи 1 i a ..i a (13г) Ω jk = 2 e a e k , j − e j , k где i a e i' = ∂x a . i' ei ∂x При переходе от аффинной геометрии к метрической вводится связность геометрии абсолютного параллелизма i i i ∆ jk = Г jk + T jk , (13д) где i 1 Г jk = 2 g im g jm,k + g km, j − g jk ,m , g js =η ab eaj ebs , – символы Кристоффеля, здесь eja esb – скалярное произведение уже двух из шестнадцати 4-базисов как с одной и той же стигнатурой, так и с различными стигнатурами. i (a,b) T jk =− ..i Ω jk + g im g js Ω..mks + g ks Ω..mjs . (13е) – коэффициента вращения Риччи, образованные взаимовращением любых двух из шестнадцати 4-базисов ei(a) и ei(b). Именно выражение (13е) Г. И. Шипов определил как торсионное поле (т. е. поле сил инерции возникающее в результате взаимовращения двух 4-базисов). В отличие от работы Г. И. Шипова [6], где рассматривается взаимовращение только двух 4-базисов с одной и той же стигнатурой {+ – – –}, в Алгебре сигнатур имеет место 256 различных торсионных полей (13е), определенных для взоимовращения каждого из шестнадцати 4-базисов (табл. 1) с каждым же из них. Таким образом, в Алсигне имеет место 16 аффинных геометрий с различными стигнатурами, которые порождают 256 метрических геометрий с различными топологиями. 2.5. Метрическая свето-геометрия Осуществим теперь переход от аффинных инферальных геометрий к метрическим инферальным геометриям. При этом будем разделять искривленные и неискривленные метрические пространства. 2.5.1. Неискривленные инферальные метрические подпространства Перейдем теперь от шестнадцати аффинных геометрий с различными 4-базисами, в которых объектами рассмотрения являются в общем случае комплексные вектора (или комплексные функции), к 256 метрическим геометриям, исследующим квадратичные формы (метрики), и топологические свойства 256 «слоев» исследуемого λm÷n -вакуума. Метрическая геометрия базируется не на векторах (комплексных функциях), а на скалярном произведении векторов (квадратах модулей комплексных функций) при этом мы можем сравнивать длины не только параллельных прямых как в аффинной геометрии, но так же прямых, произвольно наклоненных по отношению друг к другу [4]. 12 xaoc.ru 12 января 2006г. После того, как точа О (рис.2 , 3) была препарирована в ней оказалось 16 систем отсчета (т. е. аффинных пространств) ка (x0(a), x1(a) , x2(a), x3(a)) с соответствующими 4-базисами ei(a) (e0(a), e1(a), e2(a), e3(a)) (см. табл. 1). С помощью скалярных произведений векторов, принадлежащим этим аффинным пространствам можно получить метрические протяженности с различными топологическими свойствами. Пусть ds(a) = e i(a) dx i (a) = 0 (14) – 4-вектор (интервал), заданный в системе отсчета ка (x1(a), x2(a) , x3(a), x4(a)) с одними из 4-базисов ei(a) (e0(a), e1(a), e2(a), e3(a)), из табл. 1, а ds(b) = e i(b) dx i (b) = 0 (15) – 4-вектор (интервал), заданный в другой системе отсчета кb (x1(b), x2(b) , x3(b), x4(b)) с 4-базисом ei(b) (e0(b), e1(b), e2(b), e3(b)) из той же таблицы. Пусть, для примера, это будут системы отсчета с 4базисами ei(5) (e0(5), e1(5), e2(5), e3(5)) и ei(7) (e0(7) , e1(7), e2(7), e3(7)) (см. рис. 5 и рис. 9). Начала отсчета систем ка и кb могут как совпадать с точкой О (рис. 2), так и не совпадать, т. е. находится в разных углах согласованного куба (рис.3). Для однородных и изотропных аффинных пространств это не имеет значения. Найдем теперь скалярное произведение 4-векторов (14) и (15) ds(5,7) 2 = ds (5) ds (7) = e i(5) e j(7) dxi (5) dx j (7) . е (7) e(5) Рис. 9 (16) Оси координат x1(5), x2(5), x3(5), x4(5) и x1(7), x2(7), x3(7), x4(7) совпадают с осями координат решимо (рис.6), т. е. x0 = x0(7) = x0, x1(5) = x1(7) = x1, x2(5) = x2(7) = x2 , x3(5) = x3(7) = x3. Поэтому выражение (16) можно представить в виде (5) ds(5,7) 2 = ds (5) ds (7) = e i(5) e j(7) dxi dxj (17) или в развернутом виде, с учетом ортогональности векторов 4-базисов ei(5) и ei(7), имеем ds(5,7) 2 = e i(5) e j(7) dxi dxj = dx0 dx0 + dx1 dx1 + dx2 dx2 – dx3 dx3 . Откуда видим, что метрическое пространство, задаваемое квадратичной формой (метрикой) ds(5,7) 2, имеет сигнатуру (+ + + –). Вместо скалярного произведения (17) может быть введена более компактная, эквивалентная запись, приводящая к той же сигнатуре, что и в метрике (17) {+ + + +} {+ + + –} (+ + + –)× , (18) где преумножаются знаки в одном столбце числителя, а результат такого перемножения записывается в этом же столбце, но в знаменателе ранжира (18). Умножение знаков производится по обычным арифметическим правилам: { + } × { + } = { + } ; { – } × { + } = { – }; { + } × { – } = { – }; { – } × { – } = { + }. (19) Такую запись будим называть ранжирным умножением, т. к. знаки здесь перемножаются по ранжиру (т. е. по столбцам). Знак умножения в индексе знаменателя данного ранжира (….)× , означает произведенную в числителе операцию. В данном случае операцию умножения. Далее в случае ранжирного деления стигнатур в числителе по обычным арифметическим правилам {+}:{+}={+}; { – } : { + } = { – }; { + } : { – } = { – }; {–}:{–}= {+}. (20) В знаменателе стигнатурного ранжира будем ставить индекс (….): . Например, запись {– + – +} {+ + + –} (– + – –): (21) Означает стигнатурное ранжирное деление. 13 xaoc.ru 12 января 2006г. По операциям ранжирного умножения и ранжирного деления 16 стигнатур: {+ + + +}00 {− − − +}01 stign(ei( a ) ) = {+ − − +}02 {− − + −}03 {+ + + −}10 {− + + +}11 {+ + − −}12 {+ − + −}13 {− + + −}20 {− − + +}21 {+ − − −}22 {− + − −}23 {+ + − +}30 {− + − +}31 {+ − + +}32 {− − − −}33 (22) образуют группу, что свидетельствует о наличии глубинных топологических симметрий в основаниях протяженности λm÷n -вакуумов. Если подобным образом скалярно перемножить между собой все 16 недеформированных систем отсчета с 4-базисами, показанными на рис. 5, то получим 16 × 16 = 256 метрических пространств с метриками ds(а , b) 2 = e i(а) e j(b) dxi(а) dxj (b) ( a,b = 1,…,16), (24) с различными сигнатурами. Эквивалентные записи данных 256 скалярных произведений, подобно (21), могут быть представлены в виде 16 × 16 = 256 стигнатурных ранжирных умножений: Таблица 2 {+ – + +} {+ + + –} (+ – + –)× {+ + + +} {+ – + –} (+ – + –)× {– + + +} {+ + + –} (– + + –)× {+ + + +} {– + + –} (– + + –)× {+ – – +} {+ + + –} (+ – – –)× {+ + – +} {– + + –} (– + – –)× {– + + +} {– + + –} (+ + + –)× {+ – + –} {+ – + –} (+ + + +)× {+ – – –} {+ + + –} (+ – – +)× {+ + – +} {– + – –} (– + + –)× {– + – +} {– – + –} (+ – – –)× {+ – + +} {+ – + –} (+ + + –)× … … … … {+ + + –} {– – + –} (– – + +)× {– + – –} {+ – + –} (– – – +)× {– + + –} {+ – + –} (– – + –)× {+ – – +} {– + + –} (– – – –)× Метрики с различными сигнатурами типа (24) ds(а , b) 2 = e i(а) e j(b) dxi(а) dxj (b), будем иногда называть инфраметриками, а задаваемые ими 4-мерные метрические пространства – инферальными «4-картами» (т. е. поперечными 4-слоями исследуемого λm÷n -вакуума ). Суперпозиция (т. е. аддитивное наложение) всех 256 инферальных 4-карт образует «256-атлас», которым, по сути, и является изучаемым λm÷n вакуумом. Метрические протяженности (инферальные 4-карты) с инфраметриками (24), имеющими, «ущербные» сигнатуры типа (– + – +) или (–+ – –), по отдельности не наблюдаемы. Но, как будет показано ниже, их суперпозиция (т. е. 256-атлас) приводит к двусторонней 4+4-мерной протяженности наблюдаемой реальности, внешняя Рис.10. Шестнадцать способов получение инфраметрик с одной и той же сигнатурой (– + – +). 14 xaoc.ru 12 января 2006г. сторона которой является мир Минковского с сигнатурой (– + + +), а её внутренней стороной – мир Минковского с сигнатурой (+ – – –). Покажем, что сигнатур на самом деле не 256, а всего 265 : 16 = 16. Каждая сигнатура может быть получена 16-ю способами, т. е. 16-ю скалярными произведениями e i(а) e j(b). Подтвердим это утверждение на примере сигнатуры (– + – +). Рассмотрим все возможные скалярные произведения двух ортогональных 4-базисов ei(а) ej(b), приводящих к сигнатуре (– + – +) (см. рис. 10). Таких скалярных произведений оказывается 16. Действительно, если два единичных вектора, принадлежащих одной и той же оси данных 4-базисов коллинеарные, то их скалярное произведение равно + 1, или просто (+); а если неколлинеарные, то – 1, или просто (–). Из комбинаторики известно, что число различных размещений n = 2 различных элементов (знаков + и – ) в N = 4 различных ячейках (осях систем отсчета) равно Р = N n = 42 = 16. Точно так же 16-ю различными скалярными произведениями может быть получено каждая из 16 сигнатур, представленных в матрице сигнатур (+ + + + )00 (− − − + )01 sign(ds ( a ,b ) 2 ) = (+ − − + )02 (− − + −)03 (+ + + −)10 (− + + + )11 (+ + − − )12 (+ − + − )13 (− + + − )20 (− − + + )21 (+ − − −)22 (− + − − )23 (+ + − + )30 (− + − + )31 . (+ − + + )32 (− − − −)33 (25) Таким образом, сигнатуры, так же как стигнатуры, образуют антисимметричную матрицу (25) sign (ds(а , b) 2) = – sign (ds(b, а) 2), или (….)ab = – (....)ba . При этом действенными оказываются только 10 из 16 стигнатур. 2.5.2. Искривленные инферальные метрические подпространства Для случая искривленного (деформированного) согласованного куба λm÷n -вакуума (рис.8), интервалы (т. е. 4-векора) (14) и (15) будут теперь «искажены» ds(a)′ = e i(a)′ dx i(a)′ и ds (b)′ = e i(b)′ dx i (b) ′ . (26) При проектировании этих 4-векторов на решимо (подобно тому, как это делалось в п. 2.3) получим ds′ (a) = bin(a) en(а) α ij(a) dxj(а) = kin(a) en(a) dxj(a) = kin(a) en(a) dxi (27) ds′ (b) = bim(b) em(b) α ij(b) dxj(b) = kjт(b) em(b) dxj(b) = kjт(b) em(b)dxj, (28) и где xj – координатные оси решимо; en(a) – соответствующие исходные ортогональные 4-базисы; kin (a) = bjn(a) α ij (a) – компоненты аффинного тензора а-го искривленного аффинного пространства; kjm (b) = bim(b) αij (b) – компоненты аффинного тензора b-го искривленного аффинного пространства; Найдем теперь скалярное произведение «искаженных» 4-векторов (27) и (28) ds′ (a, b)2 = ds′ (a) ds′ (b) = kiт(a) kjn(b) en (a) em(b) dxj(a) dxj(b) = сji(a, b) dxj(a) dxj(b) = сji(a, b) dxj dxj , (29) где xj – координатные оси решимо; 15 xaoc.ru 12 января 2006г. сji(a, b) = kiт(a) kjn(b) en(a) em (b) – компоненты инфраметрического тензора (a, b)-го искривленного инферального метрического подпространства. Из (29) следует, что локальные искривления инферальных метрических подпространств полностью описываются произведениями компонентов kiт(a) kjn(b). При этом сигнатура (т. е. топологические свойства) искаженного участка (a, b)-го инферального метрических подпространства с инфраметрикой ds′ (a, b)2 = сji(a, b) dxj(a) dxj(b) cij( a ,b ) = cij( k ) где (k ) c 00 c (k ) = 01 (k ) c 02 c (k ) 03 (k ) c10 (k ) c 20 (k ) c11 (k ) c12 (k ) c13 (k ) c 21 (k ) c 22 (k ) c 23 или ds′ (k)2 = сji(k) dxj dxj , (k ) c30 (k ) c31 ; a,b = 1,…,16; (k ) c32 (k ) c33 (30) k = 1,…,256. (31) так же как в (24) определяется скалярным произведением векторов en(a) em(b), принадлежащих ортогональным 4-базисам (см. рис.5). Поэтому топология искривленного k-го инферального метрические подпространства совпадает с топологией того же k-го неискривленного подпространства и определяется одной из 16-и возможных сигнатур (+ + + + )00 (− − − + )01 sign(ds ′ ( k ) 2 ) = sign(ds ( k ) 2 ) = (+ − − + )02 (− − + −)03 2.4.3. (+ + + −)10 (− + + + )11 (+ + − − )12 (+ − + − )13 (− + + − )20 (− − + + )21 (+ − − −)22 (− + − − )23 (+ + − + )30 (− + − + )31 . (+ − + + )32 (− − − −)33 (32) Топологические свойства инферальных метрических подпространств Выявим топологические свойства 256 инферальных метрических подпространств (4-карт) с инфраметриками (30) и различными сигнатурами (32). Наиболее ярко топологические свойства 4-карт выявляются в случае диагонального вида метрических матриц (31) c ij( k ) (k ) c 00 (k ) c = 01 (k ) c 02 c (k ) 03 (k ) c10 (k ) c11 (k ) c12 (k ) c13 (k ) c 20 (k ) c 21 (k ) c 22 (k ) c 23 (k ) (k ) c 30 g 00 (k ) c 31 0 = (k ) c 32 0 (k ) c 33 0 0 (k ) g 11 0 0 0 0 (k ) g 22 0 . (k ) g 33 0 0 0 (33) Метрические матрицы квадратичных форм (31) всегда можно свести к диагональному виду, причем бесконечным количеством способов. Различные способы приводят к различным наборам диагональных элементов gij(k). Однако, как доказывается в алгебре матриц [3], число положительных, отрицательных и равных нулю коэффициентов gij(k) не зависит от способа приведения. Это свойство называется законом инерции квадратичных форм. По сути, закон инерции квадратичных форм означает, что любой способ приведения матриц (31) к диагональному виду оставляет сигнатуру инфраметрики 4-карты (30) неизменной. Поэтому исследование топологических свойств 4-карт на основании приведенных квадратичных форм, не только более наглядно, но и совершенно корректно. Приведение матриц (31) к диагональному виду (33), позволяет записать инфраметрики (30) всех 256 инферальных метрических подпространств (4-карт) в упущенном виде ds′ (k)2 = сij(k)dxi dx j = ± g00(k)dx02 ± g11(k)dx12 ± g22(k)dx22 ± g33(k)dx32 = 0 . (34) Для простоты избавимся так же в (34) от дифференциалов s(k)2 = ± g00(k)x02 ± g11(k) x12 ± g22(k) x22 ± g33(k) x32 = 0 , (35) поскольку топологические свойства бесконечно малых и глобальных участков протяженности 4-карты с одной и той же сигнатурой идентичны Запишем все 16 возможных типов квадратичных форм (35) с одной из 16 возможных сигнатур (32): 16 xaoc.ru 12 января 2006г. g00(к) x02 + g11(к) x12 + g22(к) x22 + g33(к) x32 = 0, (+ + + +) –g00(ак) x02 – g11(ак)x12 – g22(ак) x22 – g33(ак) x32 = 0, (– – – –) –g00(о) x02 – g11(о) x12 – g22(о) x22 + g33(о) x32 = 0, (– – – +) g00(ао)x02 + g11(ао)x12 + g22(ао) x22 – g33(ао)x32 = 0, g00(ж) x02 – g11(ж) x12 – g22(ж) x22 + g33(ж) x32 = 0, (+ – – +) – g00(аж)x02 + g11(аж)x12 + g22(аж) x22 – g33(аж)x32= 0, (– + + –) – g00(з) x02 – g11(з) x12 + g22(з) x22 – g33(з) x32 = 0, (– – + –) g00(аз)x02 + g11(аз)x12 – g22(аз) x22 + g33(аз) x32 = 0, (+ + – +) g00(г) x02 + g11(г) x12 – g22(г) x22 – g33(г) x32 = 0, –g00(аг)x02 –g11(аг)x12 + g22(аг) x22 + g33(аг) x32 = 0, (– – + +) (+ + – –) (+ + + –) – g00(с) x02 + g11(с) x12 – g22(с) x22 – g33(с) x32 = 0, (– + – –) g00(ас)x02 – g11(ас) x12 + g22(ас) x22 + g33(ас) x32 = 0, (+ – + +) g00(ф) x02 – g11(ф) x12 + g22(ф) x22 – g33(ф) x32 = 0, (+ – + –) _____________________________________________ g00(б) x02 – g11(б) x12 – g22(б) x22 – g33(б) x32 = 0, (+ – – –) –g00(аф)x02 + g11(аф) x12 – g22(аф)x22 + g33(аф)x32 = 0, (– + – +) ______________________________________________ –g00(ч)x02 + g11(ч) x12 + g22(ч) x22 + g33(ч) x32 = 0 , (– + + +) метрика мира Минковского, (36) метрика изнанки мира Минковского, (37) белый свет черный свет Индексы в скобках указывают на условный цвет (окраску) инферального метрического подпространства с соответствующей инфраметрикой (сигнатурой): к – красный; о – оранжевый; ж - желтый; з – зеленый; г – голубой; с – синий; ф – фиолетовый; б – белый. ак – анти-красный; ао – анти-оранжевый; аж – антижелтый; аз – анти-зеленый; аг – анти-голубой; ас – анти-синий; аф – анти-фиолетовый; ч – черный. При этом охватывается вся цветовая гамма белого и черного света. Белый свет с сигнатурой (+ – – –) является суперпозицией 7-ми светов с различными (цветными) сигнатурами в числителе ранжира (36). Черный свет с сигнатурой (– + + +) является суперпозицией 7-ми светов с различными (антицветными) сигнатурами в числителе ранжира (37). Отметим, что здесь обнаруживаются признаки суперсимметрии между 4-пространством и полем. С одной стороны 16 квадратичных форм (36) и (37) описывают распространение лучей света различного качества подобно интервалам ds(+)2= – c2dt 2 + dx2 + dy2 + dz 2= 0 или ds(–)2 = c2dt 2 – dx2 – dy2 – dz 2= 0. С другой сторны, эти же квадратичные формы (36) и (37) описывают протяжности 4-карты с различными топологическими свойствами. Метрики всех шестнадцати видов 4-карт (36) и (37) можно разбить на три основных класса. 1 класс: 4-карты с сигнатурами (+ + + +) и (– – – –) – называются «нулевыми поверхностями». Данный тип 4-мерных поверхностей характеризуется тем, что их сигнатуры состоят только из одинаковых знаков. g00(к) x02 + g11(к) x12 + g22(к) x22 + g33(к) x32 = 0 (38) Класс 1 –g00(ак) x02 – g11(ак)x12 – g22(ак) x22 – g33(ак) x32 = 0 У нулевых поверхностей только о дна действительная точка – в начале светового конуса. 2 класс: 4-карты с сигнатурами (– – – +); (– – + –); (– + – –); (+ – – –), и их антиподы с сигнатурами (+ + + –); (+ + – +); (+ – + +); (– + + +) – называются «овальными поверхностями». Второй класс характеризуется наличием 3-х одинаковых знаков и 1-го противоположного знак в сигнатуре. Овальные поверхности: а) эллипсоиды; б) эллиптические параболоиды; с) двуполостные гиперболойды. – g00(о) x02 – g11(о) x12 – g22(о) x22 + g33(о) x32 = 0 – g00(з) x02 – g11(з) x12 + g22(з) x22 – g33(з) x32 = 0 Класс 2 – g00(с) x02 + g11(с) x12 – g22(с) x22 – g33(с) x32 = 0 g00(б) x02 – g11(б) x12 – g22(б) x22 – g33(б) x32 = 0 (39) Овальные поверхности характеризуются тем, что в их сигнатурах содержится только один отличный от других знак. g00(ао)x02 + g11(ао)x12 + g22(ао) x22 – g33(ао)x32 = 0 g00(аз)x02 + g11(аз)x12 – g22(аз) x22 + g33(аз) x32 = 0 g00(ас)x02 – g11(ас) x12 + g22(ас) x22 + g33(ас) x32 = 0 –g00(ч)x02 + g11(ч) x12 + g22(ч) x22 + g33(ч) x32 = 0 17 xaoc.ru 12 января 2006г. 3 класс: 4-карты с сигнатурами (+ – – +); (+ + – –); (+ – + –), и их антиподы с сигнатурами (– + + –); (– – + +); (– + – +) – называются кольцеобразными поверхностями. В этом классе в сигнатурах присутствует по два одинаковых знака). g00(ж) x02 – g11(ж) x12 – g22(ж) x22 + g33(ж) x32 = 0 g00(г) x02 + g11(г) x12 – g22(г) x22 – g33(г) x32 = 0 Класс 3 g00(ф) x02 – g11(ф) x12 + g22(ф) x22 – g33(ф) x32 = 0 (40) Кольцеобразные (или тороидальные) поверхности. У кольцевых поверхностей сигнатуры содержат по два положительных и по два отрицательны знака. – g00(аж)x02 + g11(аж)x12 + g22(аж) x22 – g33(аж)x32= 0 –g00(аг)x02 –g11(аг)x12 + g22(аг) x22 + g33(аг) x32 = 0 –g00(аф)x02 + g11(аф) x12 – g22(аф)x22 + g33(аф)x32 = 0 Каждая инфраметрика (квадратичная форма) ds′ (k)2 = сji(k) dxj dxj = 0 задает одну из 256 инферальных метрических подпространств (4-карт) с соответствующей ей сигнатурой, а следовательно и топологией. Инферальные метрические подпространства (4-карты) с квадратичными формами типа (38) – (40) образуют атлас с 256-ю «листами», на которые расслаивается протяженность любого λm÷n -вакуума. Таким образом, вся бездонная толща протяженности Великого Вакуума расщепляются на иерархию продольных слоев – т. е. λm÷n -вакуумы с различными масштабными факторами. А сами λm÷nвакуумы в свою очередь расщепляются на поперечны, инферальные слои – 4-карты с различными сигнатурами (топологиями). Упрощенная иллюстрация влияния сигнатуры на топологию 2-мерной протяженности показана на рис.11. На этом рисунке приведены двухмерные метрические поверхности с различными сигнатурами (топологиями). a) sign (+ +) z = c1x12 + c2x22 б) sign (– +) z = c2x22 – c1x12 в) sign (+0) z = c1x12 + 0 x22 Рис.11. Иллюстрация двумерных протяженностей с различной сигнатурой (топологией) 2.4.3. Физическая интерпретация, развиваемого математического аппарата свето-геометрии В классической теории упругости актуальное состояние выделенного куба любой упруго-пластичной среды, как плавило, описывается только одной «вмороженной» в нее системой отсчета, что в итоге приводит к анализу изменений только одной квадратичной формы ds′ 2 = сji dx j dx j , (41) которую сравнивают с квадратичной формой ds02 = с0ij dx i dx j , (42) описывающей идеальное (исходное) состояние того же локального участка упруго-пластической среды. Вычитая метрику исходного состояния из метрики актуального состояния ds ′ 2 − ds 0 2 = (cij − cij0 )dxi dx j = ε ij dxi dx j , (43) определяют тензор деформаций 18 xaoc.ru 12 января 2006г. 1 (44) 2 который и является предметом изучения классической теорий упругости. Отличие представлений, развиваемой здесь алгебры сигнатур (Алсигны), заключается лишь в том, что исследуемый участок (куб) упруго-пластической среды описывается не одним базисом, связанным с одним из восьми углов исследуемого куба, а с 16-ю базисами – по два в каждом углу данного куба (см. рис.12). ε ij = (cij − cij0 ) . а) б) в) Рис.12 Данное обстоятельство привод к тому, что вместо одной метрики (42), в алгебре сигнатур фигурирует 256 инфраметрик ds(a, b)2 = с ij(a, b) dxi dx j , (где а = 1,2,3,…,16; b= 1,2,3,…,16) с различными сигнатурами. При этом не только значительно более точно осыпаются деформации следуемого участка упруго-пластической среды, но и вскрывается внутренняя структура пространства. Вместо девяти или шестнадцати чисел (компонент метрического тензора), фигурирующих в обычных 3-х и 4-х мерных теориях упругости, Алсигна описывает актуальное состояние исследуемого объема 256 × 16 = 4096 числами (компонентами инфраметрических тензоров) сji(a, b) . Откуда видим, что Алсигна предоставляет значительно более мощный и точный математический аппарат для исследования метрико-динамических свойств различных упруго-пластических сред и в частности λm÷n -вакуумов. 3. Компактификация дополнительных измерений Алгебра сигнатур оперирует с 256 инферальными метрическими подпространствами. При этом можно показать, что в этой теории фигурирует 16 измерений xj(a) (а = 1,2,3,…,16). Одной из основных проблем многомерных теорий является возможность компактификации дополнительных измерений до четырех явно наблюдаемых. Покажем, как это осуществляется в рамках Алгебры сигнатур. Вернемся к рис.10 , где на примере сигнатуры (– + – +) показано, что каждая из 16 сигнатур (32) может быть получена посредством 16 различных скалярных произведений 4-базисов (e i(а)⋅ e j(b)). Поэтому все 16 инфраметрик ds(a, b)2 = kiт(a) kjn(b) en (a) em(b) dx jdx j = сji(a, b) dx j dx j с одинаковыми сигнатурами можно арифметически усреднить. Например, для 16 инфраметрик с одинаковой сигнатурой (+ – – +) можно определить арифметически усредненную ультраметрику равную <ds(+ – – +) 2 > = 1/16 (kiт(a)kjn(1)ei(a)ej(1) + kiт(а)kjn(2)ei(а)ej(2) +…+ kiт(a) kjn(16) ei(a)ej(16)) dx i dx j = <сij(k) >dxi dx j , (45) где < cij( k ) > = (k ) c 00 (k ) c10 (k ) c 20 (k ) c30 (k ) c 01 (k ) c 02 (k ) c 03 (k ) c11 (k ) c12 (k ) c13 (k ) c 21 (k ) c 22 (k ) c 23 (k ) c31 (k ) c32 (k ) c33 c ( k1) 00 ( k 1) 1 c 01 = ( k1) 16 c 02 c ( k1) 03 ( k1) c10 ( k 1) c 20 ( k1) c30 ( k 2) c 00 ( k 2) c10 (k 2) c 20 ( k 2) c 30 ( k16 ) c 00 ( k16 ) c10 ( k 16) c 20 ( k1) c11 ( k1) c12 ( k1) c13 ( k 1) c 21 ( k 1) c 22 ( k 1) c 23 ( k1) c31 ( k1) c32 ( k1) c33 ( k 2) c 01 ( k 2) c 02 ( k 2) c 03 ( k 2) c11 ( k 2) c12 ( k 2) c13 (k 2) c 21 (k 2) c 22 (k 2) c 23 ( k 2) c 31 ( k 2) c 32 ( k 2) c 33 ( k16 ) c 01 ( k16 ) c 02 ( k16 ) c 03 ( k16 ) c11 ( k16 ) c12 ( k16 ) c13 ( k 16) c 21 ( k 16) c 22 ( k 16) c 23 + + ... + ( k 16) c 30 ( k 16) c 31 ( k 16) c 32 ( k 16) c 33 (46) Точно так же из 256 инфраметрик можно получить всего 256 / 16 = 16 усредненных ультраметрик со всеми 16-ю возможными сигнатурами 19 xaoc.ru 12 января 2006г. . <ds(+– – –)2> <ds(+ + + +)2> <ds(– – – +)2> <ds(+ – – +)2 <ds(– – + –)2> <ds(+ + – –)2> <ds(– + – –)2> <ds(+ – + –)2 <ds(– + + +)2> <ds(– – – – )2> <ds(+ + + <ds(+ + – +)2> <ds(– – + +)2> <ds(+ – + +)2> –)2 > > (47) > <ds (– + + –)2> <ds(– + – +)2 > Таким образом, первый этап компактификации позволят сократить 256 инферальных метрических подпространств до 16 усредненных утилитарных подпространств, каждое из которых имеет одну из 16 возможных топологий (сигнатур). На втором этапе компактификации найдем суперпозицию всех 16 усредненных (утилитарных) протяженностей (47) (здесь для краткости знаки усреднения опущены) dsΣ2 = ds(+– – –)2 + ds(+ + + +)2 + ds(– – – +)2 + ds(+ – + ds(– – + –)2 + ds(+ + – –)2 + ds(– + – –)2 + ds(+ – + ds(– + + +)2 + ds(– – – – )2 + ds(+ + + . –)2 – +)2 + + –)2 + (48) + ds (– + + –)2 + + ds(+ + – +)2 + ds(– – + +)2 + ds(+ – + +)2 + ds(– + – +)2 Или с учетом (30) XVI ds Σ2 = ∑ cij(k ) dx i dx j = cij( 00) dx i dx j + c ij(10) dx i dx j + cij( 20) dx i dx j + c ij(30) dx i dx j + k =I + c ij( 01) dx i dx j + c ij(11) dx i dx j + cij( 21) dx i dx j + c ij(31) dx i dx j + (49) + c ij( 02) dx i dx j + cij(12) dx i dx j + c ij( 22) dx i dx j + c ij(32) dx i dx j + + c ij( 03) dx i dx j + cij(13) dx i dx j + c ij( 23) dx i dx j + c ij(33) dx i dx j . где cij( mn) =< c ij( k ) >= ( mn ) c 00 ( mn ) c 01 ( mn ) c10 ( mn ) c11 ( mn ) c 20 ( mn ) c 21 ( mn ) c 30 ( mn ) c 31 ( mn ) c 02 ( mn ) c 03 ( mn ) c12 ( mn ) c13 ( mn ) c 22 ( mn ) c 23 ( mn ) c 32 ( mn ) c 33 (50) . (+ + + + )00 (− − − + )01 sign(c ij( mn) ) = (+ − − + )02 (− − + −)03 (+ + + −)10 (− + + + )11 (+ + − −)12 (+ − + −)13 (− + + −)20 (− − + + )21 (+ − − −)22 (− + − −)23 (+ + − + )30 (− + − + )31 . (+ − + + )32 (− − − −)33 (51) Выражение (49) – (51) называется обобщенной теоремой Пифагора. В случае совершенно не деформированного согласованного куба λm÷n -вакуума (рис.12 а, б) все матрицы (50) становятся диагональными, а входящие в них диагональные компоненты инфраметрических тензоров сii(k) оказываются равными ± 1 , в зависимости от их сигнатуры: 20 xaoc.ru 12 января 2006г. 1 0 0 0 cij( I ) = cij(00) = 0 1 0 0 0 0 1 0 cij( II ) ; = cij(10) = = c ij(30) = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 cij( III ) ; = cij( 20) −1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 −1 = 0 0 0 −1 0 0 0 1 cij( IV ) 1 0 0 cij(V ) ; = cij(01) −1 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 = 1 ; −1 0 0 0 cij(VI ) ; = cij(11) = 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ; (52) .......... .................... .................... .................... .................... .................... .................... .............................. ............... 0 0 −1 0 0 0 −1 0 0 0 0 −1 0 0 0 1 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 −1 0 0 0 0 −1 0 0 −1 1 cij( XIV ) = c ij(13) = 0 0 0 0 0 1 0 0 −1 ; cij( XV ) = cij(23) = c ij( XVI ) = cij(33) = ; ; При этом выражение (49) приобретает вид dsΣ2 = (dx0dx0 + dx1dx1 + dx2dx2 + dx3dx3) + (– dx0dx0 – dx1dx1 – dx2dx2 + dx3dx3 ) + (dx0dx0 – dx1dx1 – dx2dx2 + dx3dx3 ) + +(dx0dx0 – dx1dx1 – dx2dx2 – dx3dx3) + (– dx0dx0 – dx1dx1 + dx2dx2 – dx3dx3 ) + (– dx0dx0 + dx1dx1 – dx2dx2 – dx3dx3)+ +(dx0dx0 – dx1dx1 + dx2dx2 – dx3dx3) + (dx0dx0 – dx1dx1 – dx2dx2 – dx3dx3 ) + (–dx0dx0 – dx1dx1 – dx2dx2 – dx3dx3) + + (dx0dx0 + dx1dx1 + dx2dx2 – dx3dx3) + (–dx0dx0 + dx1dx1 + dx2dx2 – dx3dx3) + (– dx0dx0 +dx1dx1 +dx2dx2 + dx3dx3) + + (dx0dx0 + dx1dx1 – dx2dx2 + dx3dx3) + (dx0dx0 – dx1dx1+ dx2dx2 +dx3dx3) + (– dx0dx0 + dx1dx1 – dx2dx2 + dx3dx3) + + (–dx0dx0 + dx1dx1 +dx2dx2 + dx3dx3) = 0. (53) Действительно, открывая в выражении (53) скобки легко убедиться, что оно оказывается равным нулю, что полностью согласуется с представлениями Алсигны о Вакууме. Выражение (53) может быть представлено в эквивалентной ранжирной записи: (+ (– (+ (– (+ (– (+ (– (0 + – – – + + – + 0 + – – + – – + + 0 +) +) +) –) –) –) –) +) 0)+ + + + + + + + + (– (+ (– (+ (– (+ (– (+ (0 – + + + – – + – 0 – + + – + + – – 0 –) –) –) +) +) +) +) –) 0) + =0 =0 =0 =0 =0 =0 =0 =0 (54) 0 Легко убедиться, что сложение знаков, как по столбцам этих ранжиров, так и по их стокам, равно нулю. Ранжирное выражение (54) называется «аддитивным ращиплением нуля» и описывает топологическую структуру Пустоты. Пример записи суперпозиции квадратичных форм с различными сигнатурами + dx0dx0 + dx1dx1 + dx2dx2 + dx3dx3 – dx0dx0 – dx1dx1 – dx2dx2 + dx3dx3 + dx0dx0 – dx1dx1 – dx2dx2 + dx3dx3 + dx0dx0 – dx1dx1 – dx2dx2 – dx3dx3 – dx0dx0 – dx1dx1 + dx2dx2 – dx3dx3 Эквивалентная запись данной суперпозиции квадратичных форм (+ (– (+ (– (+ (– (+ (+ + – – – + + – – + – – + – – + – +) +) +) –) –) –) –) –)+ 21 xaoc.ru 12 января 2006г. – dx0dx0 + dx1dx1 – dx2dx2 – dx3dx3 + dx0dx0 – dx1dx1 + dx2dx2 – dx3dx3 ____________________________ dx0dx0 – dx1dx1 – dx2dx2 – dx3dx3 Ранжирное выражение (54) можно также представить в виде (+ (– (+ (– (+ (– (+ (+ + – – – + + – – + – – + – – + – +) +) +) –) –) –) –) –)+ + + + + + + + + (– (+ (– (+ (– (+ (– (– – + + + – – + + – –) + –) + –) – +) + +) + +) – +) + +)+ =0 =0 =0 =0 =0 =0 =0 =0 (55) где в знаменателе левого ранжира оказываются сигнатура (+ – – –) «внешнего» пространства Минковского, а в знаменателе правого ранжира – сигнатура (– + + +) «внутреннего» пространства Минковского (см. выражения (36) и (37)). Ранжирное выражение (55) получается из (54) посредством переноса сигнатуры (– + + +) из числителя левого ранжира в его знаменатель с инвертированием знаков, и переноса сигнатуры (+ – – –) из числителя правого ранжира в его знаменатель с так же с инвертированием знаков. Выражение (55) означает, что метрика «внешнего» пространства Минковского с сигнатурой (+ – – –) может быть представлена в виде суперпозиции 7 усредненных инфераметрик с сигнатурами (топологиями), входящими в числитель левого ранжира в выражении (55) ds(+– – –)2 = ds(+ + + +)2 + ds(– – – +)2 + ds(+ – – +)2 + ds(– – + –)2 + ds(+ + – –)2 + ds(– + – –)2 + ds(+ – + –)2 = 0 (56) Все эти 7 инферальных метрических подпространств (4-карт) аддитивно накладываясь друг на друга, образуют пространства Минковского с сигнатурой (+ – – –). а) б) Рис. 13. а) Пример мгновенной реализации замкнутого пространства Калаби-Яу; б) Замкнутые пространства Калаби-Яу в среднем свернуты таким образом, что образуется глобальное 4-мерное пространство Минковского [4]. Суперпозиция метрических пространств с различными сигнатурами (топологиями) приводит к тем же результатам, что и сворачивание замкнутых пространств Калаби-Яу (рис. 13) в теории струн [4]. А метрика «внутреннего» пространства Минковского с сигнатурой (– + + +) может быть представлена в виде суперпозиции 7 усредненных инферальных метрик с сигнатурами (топологиями), входящими в числитель правого ранжира в выражении (55) ds(– + + +)2 = ds(– – – – )2 + ds(+ + + –)2 + ds (– + + –)2 + ds(+ + – +)2 + ds(– – + +)2 + ds(+ – + +)2+ ds(– + – +)2 = 0 (57) Итак, алгебра сигнатур посредством двух операций: усреднения инфраметрик с одинаковыми сигнатурами и суперпозиции всех 16 получившихся усредненных инфраметрик с 16-ю различными топологиями, выделяет из своих глубин два пространства Минковского (внешнее и внутреннее) 22 xaoc.ru 12 января 2006г. ds(+– – –)2 = с2 dt 2 – dx2 – dy 2 – dz 2 = 0 (58) ds(– + + +)2 = – с2 dt 2 + dx2 + dy 2 + dz 2 =0 (59) Данное обстоятельство заставляет пересмотреть наше отношение к протяженности окружающей реальности. Теория показывает, что у нее две 4-мерных стороны: внешняя сторона с сигнатурой протяженности (+ – – –) и внутренняя сторона с сигнатурой протяженности (– + + +). Вместе, они удовлетворяют принципу отсутственности ds(+– – –)2 + ds(– + + +)2 = = (nij(–) + nij(+))dx idx j = (с2dt2 – dx2 – dy2 – dz2) + (– с2dt2 + dx2 + dy2 + dz2) = 0 (60) Вместе с тем, выражение (60) описывает суперпозицию двух встречных лучей света (прямого и обратного), которые полностью компенсируют проявления друг друга. Таким образом, вновь убеждаемся, что пространство и свет являются двумя сторонами диалектического единства. Познавая свойства пространства, мы одновременно постигаем свойства света. И наоборот, изучая свет – постигаем структуру пространства. 3.1. Цветные фотоны Современная физика рассматривает фотон как частицу, наделенную корпускулярными и волновыми свойствами. Волновые свойства фотона описываются монохроматической волной ехр{i(ω t – k⋅ r)} = ехр{i(ωt – k1х – k2y – k3z)}. (60а) В рамках представлений Алсигны фотон может родиться из вакуума только в паре с антифотоном ехр{– i(ωt – k⋅ r)} = ехр{i (–ωt + k1х + k2y + k3z)}. (60б) Будем условно называть выражение (60а) волной белого фотона, а выражение (60б) – волной черного фотона Если направления векторов k и r совпадают, то выражения (60а) и (60б) могут быть представлены в виде ехр{i (2π /λ) (сt – r )} = ехр{i (2π /λ) (сt – x – y – z )}, где аффинная протяженность сt – x – y – z = 0 имеет стигнатуру {+ – – –}, и ехр{i (2π /λ) (– сt + r )} = ехр{i (2π /λ) (– сt + x + y + z )}, со стигнатурой {– + + +}. Аналогично можно считать, что показатель экспоненты ехр{i(ωt – k1х – k2y – k3z) = ехр{i (k0х0 – k1х1 – k2х2 – k3х3)}. (60в) имеет стигнатуру {+ – – –}, а ехр{i (–ωt + k1х + k2y + k3z)} = ехр{i (– k0х0 + k1х1 + k2х2 + k3х3)}. (60г) стигнатуру {– + + +}. Стигнатуры {+ – – –} и {– + + +} могут быть выражены через ранжирное сложение 7 стигнатур {+ {– {+ {– {+ {– {+ {+ + – – – + + – – + – – + – – + – + }(1) + } (2) + } (3) – } (4) (60д) – } (5) – }(6) – } (7) – ) (8)+ {– {+ {– {+ {– {+ {– {– – + + + – – + + – + + – + + – + –} (– 1) – } (– 2) – } (– 3) +} (– 4) (60е) +} (– 5) +} (– 6) +} (– 7) + } (– 8)+ . Поэтому показатели экспонент (60в) и могут быть представлены в виде 23 xaoc.ru 12 января 2006г. k0х0 – k1х1 – k2х2 – k3х3 = ( k0х0 + k1х1 + k2х2 + k3х3 ) + + (– k0х0 – k1х1 – k2х2 + k3х3 ) + + ( k0х0 – k1х1 – k2х2 + k3х3 ) + + (– k0х0 – k1х1 + k2х2 – k3х3 ) + + ( k0х0 + k1х1 – k2х2 – k3х3 ) + + (– k0х0 + k1х1 – k2х2 – k3х3 ) + + ( k0х0 – k1х1 + k2х2 – k3х3 ) , (60ж) где знаки в каждой строке соответствуют знакам в соответствующей строке ранжира (60д). – k0х0 + k1х1 + k2х2 + k3х3 = (– k0х0 – k1х1 – + ( k0х0 + k1х1 + + (– k0х0 + k1х1 + + ( k0х0 + k1х1 – + (– k0х0 – k1х1 + + ( k0х0 – k1х1 + + (– k0х0 + k1х1 – k2х2 k2х2 k2х2 k2х2 k2х2 k2х2 k2х2 – k3х3 ) + – k3х3 ) + – k3х3 ) + + k3х3) + + k3х3 ) + + k3х3 ) + + k3х3 ) , (60з) где знаки в каждой строке соответствуют знакам в соответствующей строке ранжира (60е). Подставляя (60ж) и (60з) соответственно в (60в) и (60г), получим для волны белого фотона ехр{i (k0х0 – k1х1 – k2х2 – k3х3)} = ехр{i [ ( + (– +( + (– +( + (– +( k0х0 + k0х0 – k0х0 – k0х0 – k0х0 + k0х0 + k0х0 – k1х1 + k1х1 – k1х1 – k1х1 + k1х1 – k1х1 – k1х1 + k2х2 + k3х3 )+ k2х2 + k3х3 ) + k2х2 + k3х3 ) + k2х2 – k3х3 ) + k2х2 – k3х3 ) + k2х2 – k3х3 ) + k2х2 – k3х3 )]}; (60и) А для волны черного фотона ехр{i (– k0х0+ k1х1 + k2х2 + k3х3)}= ехр{i [( – k0х0 – k1х1 – k2х2 – k3х3 ) + + ( k0х0 + k1х1 + k2х2 – k3х3 ) + + (– k0х0 + k1х1 + k2х2 – k3х3 ) + + ( k0х0 + k1х1 – k2х2 + k3х3 ) + + (– k0х0 – k1х1 + k2х2 + k3х3 ) + + ( k0х0 – k1х1 + k2х2 + k3х3 ) + + (– k0х0 + k1х1 – k2х2 + k3х3 )]}. Выражение (60и) можно представить в виде ехр{i(k0х0 – k1х1 – k2х2 – k3х3)} = ехр { i (k0х0 × ехр { i (k0х0 × ехр { i (k0х0 × ехр {i (k0х0 (60к) + k1х1 + – k1х1 – + k1х1 – – k1х1 + k2х2 + k3х3)} × ехр { i (– k0х0 – k1х1 – k2х2 + k3х3) } × k2х2 + k3х3)} × ехр { i (– k0х0 – k1х1 + k2х2 – k3х3)} × k2х2 – k3х3)} × ехр{ i (– k0х0 + k1х1 – k2х2 – k3х3) } × k2х2 – k3х3)}. (60л) А выражение (60к) – в комплексно-сопряженном виде ехр{i (– k0х0+ k1х1 + k2х2 + k3х3)} = ехр {– i (k0х0 + k1х1 + k2х2 + k3х3)} × ехр{– i (– k0х0 – k1х1 – k2х2 + k3х3) } × × ехр{– i (k0х0 – k1х1 – k2х2 + k3х3) } × ехр{– i (– k0х0 – k1х1 + k2х2 – k3х3)} × × ехр (– i (k0х0 + k1х1 – k2х2 – k3х3 )} × ехр{– i (– k0х0 + k1х1 – k2х2 – k3х3) } × × ехр {– i (k0х0 – k1х1 + k2х2 – k3х3 )}. (60м) Выражения (60л) , (60м) являются тривиальными равенствами, не более чем простая арифметическая эквилибристика. Физика начинается с того момента, когда представим, что каждая из семи экспонент, входящих в правую часть выражения (60л), описывает некий цветной фотон, ходящий в состав белого фотона. По аналогии с цветными инферальными протяженностями (36) и (37) присвоим следующие названия 24 xaoc.ru 12 января 2006г. ехр { i (k0х0 + k1х1 + k2х2 + k3х3)} – красный фотон, со стигнатурой {+ + + + } ехр { i (– k0х0 – k1х1 – k2х2 + k3х3) } – оранжевый фотон, со стигнатурой {– – – + } ехр { i (k0х0 – k1х1 – k2х2 + k3х3)} – желтый фотон, со стигнатурой {+ – – ехр { i (– k0х0 – k1х1 + k2х2 – k3х3)} – зеленый фотон, со стигнатурой {– – ехр { i (k0х0 + k1х1 – k2х2 – k3х3)} {+ + – – голубой фотон, со стигнатурой ехр{ i (– k0х0 + k1х1 – k2х2 – k3х3) } – синий фотон, со стигнатурой +} + –} (60н) –} {– + – –} ехр {i (k0х0 – k1х1 + k2х2 – k3х3)} – фиолетовый фотон, со стигнатурой {+ – + –} С помощью стеклянной призмы обычный белый солнечный свет также разлагается на семь основных составляющих цвета: красный, оранжевый, желтый, зеленый, голубой, синий, фиолетовый. Выражение (60м) для черного фотона содержит 7 антицветных (комплексно сопряженных) фотонов с противоположными стигнатурами (60е). ехр { i (–k0х0 – k1х1 – k2х2 – k3х3)} – антикрасный фотон, со стигнатурой {– – – –} ехр { i (+ k0х0 + k1х1 + k2х2 – k3х3) } – антиоранжевый фотон, со стигнатурой {+ + + – } ехр { i (–k0х0 + k1х1 + k2х2 – k3х3)} – антижелтый фотон, со стигнатурой {– + + – } (60о) ехр { i ( k0х0 + k1х1 – k2х2 + k3х3)} – антизеленый фотон, со стигнатурой {+ + – +} ехр { i (– k0х0 – k1х1 + k2х2 + k3х3)} – антиголубой фотон, со стигнатурой {– – + +} ехр{ i ( k0х0 – k1х1 + k2х2 + k3х3) } – антисиний фотон, со стигнатурой {+ – + +} ехр {i (– k0х0 + k1х1 – k2х2 + k3х3)} – антифиолетовый фотон, со стигнатурой {– + – +} На основании стигнатурных и сигнатурных представлений можно развить цветную электродинамику которая позволит глубже проникнуть в природу света и 256 раз уплотнить каналы связи. Еще раз отметим, что стигнатурный и сигнатурный анализ показывают, что пространство и свет тесно переплетены в единое многообразие. С одной стороны можно полагать, что пространство как бы соткано из света, а с другой стороны – что пространство само непрерывно генерирует свет. 3.2. Взрыв измерений В предыдущих пунктах Алсигна препарировала метрику пространства Минковского с сигнатурой (+ – – –), представив ее в виде суперпозиции 7 метрик (56) ds(+– – –)2 = ds(+ + + +)2 + ds(– – – +)2 + ds(+ – – +)2 + ds(– – + –)2 + ds(+ + – –)2 + ds(– + – –)2 + ds(+ – + –)2 (61) с сигнатурами, из числителя левого ранжира (55) А метрику пространства Минковского с сигнатурой (– + + +) – в виде суперпозиции 7 метрик (57) ds(– + + +)2 = ds(– – – – )2 + ds(+ + + –)2 + ds (– + + –)2 + ds(+ + – +)2 + ds(– – + +)2 + ds(+ – + +)2+ ds(– + – +)2 (62) с сигнатурами, из числителя правого ранжира (55) Между тем мы получили теорию согласованную относительно нуля любого λm÷n -вакуума, расслоенного на усредненных 16 поперечных утилитарных подпространств с 16 возможными типами топологий (сигнатур) dsΣ2 = ds(+– – –)2 + ds(+ + + +)2 + ds(– – – +)2 + ds(+ – + ds(– – + –)2 + ds(+ + – –)2 + ds(– + – –)2 + ds(+ – . + ds(– + + +)2 + ds(– – – – )2 + ds(+ + + –)2 – +)2 + + –)2 + (63) + ds (– + + –)2 + 25 xaoc.ru 12 января 2006г. + ds(+ + – +)2 + ds(– – + +)2 + ds(+ – + +)2 + ds(– + – +)2 =0 Эквивалентной записью обобщенной теоремы Пифагора (63) является сбалансированный относительно нуля дуплет ранжиров (54) =0 (+ + + + ) + (– – – – ) =0 (– – – + ) + (+ + + – ) =0 (+ – – + ) + (– + + – ) =0 (– – + – ) + (+ + – +) =0 + (– – + +) (+ + – – ) =0 (– + – – ) + (+ – + +) =0 (+ – + – ) + (– + – +) =0 (+ – – –) + (– + + +) (0 0 0 0 ) + (0 0 0 0) + 0 Если учесть, что каждая из 16 усредненных ультраметрик, входящих выражение (63) содержит по 16 инфраметрик с теми же сигнатурами (см. п. 3) и каждая 256 возможных инфраметрик содержит по 4 штрихованных координаты x0(a), x1(a) , x2(a), x3(a) (где а = 1…256), то мы получаем теорию с 256 измерениями. Однако это сущий пустяк по сравнению с тем, что Алсигна открывает далее. Из 16 ультраметрик, входящих в состав выражения (63) всегда можно выделить дуплет ультраметрик с взаимно противоположными сигнатурами, например, ds(– – + –)2 с сигнатурой (– – + –) и ds(+ + – +)2 с антиподной сигнатурой (+ + – +) и выразить их в виде суперпозиции семи еще более глубинных, ультрагигаметрик с сигнатурами представленными в дуплете ранжиров (64) (– (+ (– (+ (– (+ (– (– – – + + – – + – – – + + + + – + –) –) –) –) +) +) +) –)+ (+ (– (+ (– (+ (– (+ (+ + + – – + + – + + + – – – – + – +) +) +) +) –) –) –) +)+ (64) Всего получится 16 ультрагигаметрик, которые вырождаются до 256 инфрагигаметрик. И среди 16 ультрагигаметрик можно будет выделить дуплет взаимно противоположных ультрагигаметрик, которые расщепляются на еще более глубинные подпространства и так до бесконечности. Таким образом, в развиваемой теории мало того Великий Вакуум расслаивается на бесконечное количество λm÷n -вакуумов (продольных подпространств), но и каждый из λm÷n -вакуумов расщепляется на бесконечное количество поперечных подпространств с в четыре раза большим количеством измерений. Но Вакуум (Мир бесконечной сложности) устроен так, что сложность всегда может быть ограничена с необходимой точностью. И всяки раз из бесконечно-мерной Пустоты (Мира Аризаля) можно получить замкнутый мир с нужным (но кратным четырем) числом измерений. 26 xaoc.ru 12 января 2006г. 4. Спинорная структура пространства-времени По мнению Роджера Пенроуза спинорное представление структуры пространства-времени является более фундаментальным, чем представление в виде квадратичных форм [8]. Квадратичная форма s2 = с2t2 – x2 – y 2 – z 2 = x02 – x12 – x22 – x32 = 0 , (61) с сигнатурой (+ – – –), описывающая распространение прямого луча света и вместе с тем гиперболическую поверхность, может быть представлена в виде эрмитовой 2×2-матрицы x 0 + x3 x1 − ix 2 x1 + ix 2 . x 0 − x 3 (62) В том, что эти матрицы эрмитовы легко убедиться прямым вычислением x 0 + x3 x1 − ix 2 + x1 + ix 2 x + x3 = 0 x 0 − x3 x1 − ix 2 x1 + ix 2 , x 0 − x 3 Детерминант эрмитовой 2 × 2-матрицы (62) равен исходной квадратичной форме (61) x 0 + x3 x1 − ix 2 x1 + ix 2 x + x3 = 0 x 0 − x 3 det x1 − ix 2 x1 + ix 2 = x 02 − x12 − x 22 − x 32 = 0 ; x 0 − x3 sign( + − − −) (63) С другой стороны матрица (62) может быть расписана следующим образом x0 + x3 x1 − ix 2 x1 + ix 2 1 0 0 − 1 0 − i − 1 0 = x 0 − x1 − x 2 − x3 ; x 0 − x 3 0 1 1 0 i 0 − 0 1 (64) В чем легко убедится, сложив все члены павой стороны выражения (64). Интересно, что матрицы, входящие в правую часть (64), σ 0( + − − −) 1 0 ; = 0 1 σ 1( + − − −) 0 − 1 ; = −1 0 σ 2( + − − −) 0 − i ; = i 0 σ 3( + − − −) −1 0 ; = 0 1 являются матрицами Паули, которые используются для описания спиноров. Аналогичные манипуляции можно проделать и с квадратичной формой s2 = – с2t2 + x2 + y 2 + z 2 = – x02 + x12 + x22 + x32 = 0, (65) с сигнатурой (– + + +), описывающей распространение обратного луча света. Для этого можно использовать 2×2-матрицу x0 + x3 ix1 − x 2 ix1 + x 2 − x 0 + x3 (66) При этом имеем 27 xaoc.ru 12 января 2006г. x0 + x3 ix1 − x2 ix1 + x2 = − x02 + x12 + x22 + x32 = 0 ; − x0 + x3 det x0 + x3 ix1 − x2 ix1 + x2 − 1 0 0 i 0 1 1 0 = − x0 + x1 + x2 − 1 0 + x3 0 1 ; 0 1 0 − x0 + x3 i sign(− + + +) (67) где σ 0( − + + +) − 1 0 ; = 0 1 σ1( − + + +) 0 i ; = i 0 σ 2( − + + +) 0 1 ; = −1 0 σ 3( − + + +) 1 0 ; = 0 1 являются уже матрицами Кэли, которые так же описывают спиноры только иного типа. Матрица (66) не является эрмитовой, но если транспонировать и произвести комплексное сопряжение ее элементов этой матрицы, то детерминант получившейся матрицы равен той же квадратичной форме x0 + x3 ix1 − x 2 + ix1 + x 2 − (ix1 + x 2 ) x + x3 = 0 = − x02 + x12 + x 22 + x32 = 0 ; − x0 + x3 det − (ix1 − x2 ) − x0 + x3 det sign(− + + + ) (66) Точно так же можно подобрать 2×2-матрицы для квадратичных форм со всеми 16-ю возможными сигнатурами (33). Результаты спинорного представления квадратичных форм сведены в табл.2. Таблица 2 1 x0 + ix3 ix1 − x2 ix1 + x2 = x02 + x12 + x22 + x32 = 0 ; x0 − ix3 det x0 + ix3 ix1 − x2 где ix1 + x2 1 0 0 i 0 1 i 0 = x0 + x1 + x2 + x3 ; x0 − ix3 0 1 0 1 0 i − 0 −i sign(+ + ++) 1 0 0 i 0 1 i 0 ; σ 1( + + + + ) = ; σ 2( + ++ + ) = ; σ 3( + + + + ) = ; 0 1 0 i − 1 0 0 −i σ 0( + ++ + ) = 2 x0 + x3 ix − x 1 2 ix1 + x2 = x02 + x12 + x22 − x32 = 0 ; x0 − x3 det x0 + x3 ix1 − x2 где ix1 + x2 1 0 0 i 0 1 −1 0 = x0 + x1 + x2 − x3 ; x0 − x3 0 1 i 0 − 1 0 0 1 1 0 0 i sign(+ + + −) 0 1 −1 0 ; 1 ; σ 1( + + + − ) = ; σ 2( + + + − ) = ; σ 3( + + + −) = σ 0( + + + − ) = 0 1 i 0 −1 0 0 3 x0 + ix3 ix1 − x2 ix1 + x2 = − x02 + x12 + x22 − x32 = 0 ; − x0 + ix3 det x0 + ix3 ix − x 1 2 где ix1 + x2 −1 0 0 i 0 1 −i 0 = − x0 + x1 + x2 − x3 ; − x0 + ix3 0 1 i 0 − 1 0 0 −i sign(− + + −) − 1 0 ( − + + −) 0 i 0 1 −i 0 ; σ 1 ; σ 2( − + + − ) = ; σ 3( − + + − ) = ; = 1 i 0 − 1 0 0 −i σ 0( − + + − ) = 0 28 xaoc.ru 12 января 2006г. 4 x0 + ix3 − x1 + x2 x1 + x2 = x02 + x12 − x22 + x32 = 0 ; x0 − ix3 det x0 + ix3 − x1 + x2 где x1 + x2 1 0 0 1 0 − 1 i 0 = x0 + x1 − x2 + x3 ; x0 − ix3 0 1 −1 0 −1 0 0 − i 1 0 0 sign(+ + − +) 1 0 ; σ 1( + + − + ) = ; σ 2( + + − + ) = σ 0( + + − + ) = 0 1 −1 0 −1 5 x 0 + x3 − ix1 + x 2 ix1 + x2 = − x02 − x12 − x 22 + x32 = 0 ; − x0 + x3 det x 0 + x3 − ix1 + x 2 где ix1 + x2 −1 0 0 − i 0 − 1 1 0 = − x0 − x1 − x2 + x3 ; − x0 + x3 0 1 i 0 −1 0 0 1 1 0 0 1 sign( − − − + ) 0 ; σ 1( − − − + ) = ; σ 2( − − − + ) = σ 0( − − − + ) = 0 1 −1 0 −1 6 − 1 i 0 ; σ 3( + + − + ) = ; 0 0 − i − 1 i 0 ; σ 3( − − − + ) = ; 0 0 −i x0 + x3 ix1 − x2 ix1 + x2 = − x02 + x12 + x22 + x32 = 0 ; − x0 + x3 det x0 + x3 ix1 − x2 где ix1 + x2 −1 0 0 i 0 1 1 0 = − x0 + x1 + x2 + x3 ; − x0 + x3 0 1 0 1 0 i − 0 1 sign (− + + + ) −1 0 0 i 0 1 1 0 ; σ 1( − + + + ) = ; σ 2( − + + + ) = ; σ 3( − + + + ) = ; 0 1 i 0 1 0 − 0 1 σ 0( − + + + ) = 7 x0 + x3 x1 − x2 x1 + x 2 = − x02 − x12 + x22 + x32 = 0 ; − x0 + x3 det x0 + x3 x1 − x2 где x1 + x 2 −1 0 0 − 1 0 1 1 0 = − x0 − x1 + x 2 + x3 ; − x0 + x3 0 1 −1 0 −1 0 0 1 sign(− − + + ) −1 0 0 − 1 0 1 1 0 ; σ 1( − − + + ) = ; σ 2( − − + + ) = ; σ 3( − − + + ) = ; 1 −1 0 −1 0 0 1 σ 0( − − + + ) = 0 x0 + x3 − x1 + x2 = − x02 + x12 − x22 + x32 = 0 ; x1 + x2 − x0 + x3 det sign(− + − + ) x0 + x3 − x1 + x2 − 1 0 0 − 1 0 − 1 1 0 = − x0 + x1 − x2 + x3 ; x + x − x + x 0 1 1 0 − 1 0 0 3 0 1 1 2 8 где σ 0( − + − +) − 1 0 ; σ1(− = 0 1 + − +) 0 − 1 ; σ 2(− = 1 0 + − +) 0 − 1 ; σ 3(− = −1 0 + − +) 1 0 ; = 0 1 29 xaoc.ru 12 января 2006г. 9 x0 − ix3 x1 + ix2 x1 − ix2 = x02 − x12 − x22 + x32 = 0 ; x0 + ix3 det x0 − ix3 x1 + ix2 где x1 − ix2 1 0 0 − 1 0 i − i 0 = x0 − x1 − x2 + x3 ; x0 + ix3 0 1 − 1 0 − i 0 0 i sign( + − − + ) 1 0 0 − 1 0 i − i 0 ; σ 1( + − − + ) = ; σ 2( + − − + ) = ; σ 3( + − − + ) = ; − − i 0 1 1 0 0 0 i σ 0( + − − + ) = 10 x 0 − x3 − x + x 1 2 x1 + x 2 = x02 + x12 − x22 − x32 = 0 ; x0 + x3 det x 0 − x3 − x + x 1 2 где x1 + x 2 1 0 0 1 0 − 1 1 0 = x0 + x1 − x2 − x3 ; x0 + x3 − 0 1 1 0 − 1 0 0 − 1 1 0 0 1 sign ( + + − − ) 0 ; σ 1( + + − − ) = ; σ 2( + + − − ) = σ 0( + + − − ) = 0 1 −1 0 −1 11 x 0 + x3 x1 − ix 2 x1 + ix 2 x + x3 = 0 x 0 − x 3 det x1 − ix 2 x 0 + x3 x1 − ix 2 где x1 + ix 2 1 0 0 − 1 0 − i − 1 0 = x 0 − x1 − x 2 − x 3 ; x 0 − x 3 0 1 −1 0 i 0 0 1 1 0 ; σ 0( + − − −) = 0 1 x1 + ix 2 x 0 − x3 0 σ 1( + − − −) = −1 = x 02 − x12 − x 22 − x 32 = 0 ; − 1 ; 0 0 − i ; 0 σ 2( + − − − ) = i x0 + ix3 x1 + x2 = x02 − x12 + x22 + x32 = 0 ; x1 − x2 x0 − ix3 det 12 − 1 1 0 ; σ 3( + + − − ) = ; 0 0 − 1 sign(+ − − −) − 1 0 1 σ 3(+ − − − ) = 0 sign(+ − + +) x0 + ix3 x1 + x2 1 0 0 − 1 0 1 i 0 = x0 − x1 + x2 + x3 ; x − x x − ix 0 1 − 1 0 − 1 0 0 3 0 − i 1 2 где σ 0(+ − + +) 1 0 ; σ1(+ = 0 1 − + +) 0 − 1 ; σ 2(+ = −1 0 − + +) 0 1 ; σ 3(+ = − 1 0 − + +) i 0 = ; 0 − i 13 30 xaoc.ru 12 января 2006г. − x0 + ix3 x1 − x2 x1 + x2 = − x02 − x12 + x22 − x32 = 0 ; x0 + ix3 det − x0 + ix3 x1 − x2 где x1 + x2 1 0 0 − 1 0 1 −i 0 = − x0 − x1 + x 2 − x3 ; x0 + ix3 0 − 1 −1 0 −1 0 0 −i 1 0 0 − 1 0 1 −i 0 ; σ 2( − − + − ) = ; σ 3( − − + − ) = ; 0 −1 0 0 −i ; σ 1( − − + − ) = σ 0( − − + − ) = 0 − 1 −1 14 x 0 − x3 x1 − x 2 x1 + x2 = x02 − x12 + x22 − x32 = 0 ; x0 + x3 det x 0 − x3 x − x 1 2 где x1 + x2 1 0 0 − 1 0 1 1 0 = x0 − x1 + x 2 − x3 ; x0 + x3 − − 0 1 1 0 1 0 0 − 1 1 0 0 ; σ 1( + − + − ) = σ 0( + − + − ) = 0 1 −1 15 sign( − − + −) sign( + − + −) − 1 0 1 1 0 ; σ 2( + − + − ) = ; σ 3( + − + − ) = ; 0 −1 0 0 − 1 − x0 + ix3 − x1 + x2 x1 + x2 = − x02 + x12 − x22 − x32 = 0 ; x0 + ix3 det − x0 + ix3 − x1 + x2 где x1 + x2 0 − 1 −i 0 1 0 0 1 = − x0 ; + x1 − x2 − x3 x0 + ix3 0 − 1 −1 0 −1 0 0 −i 1 0 0 1 sign(− + − −) 0 ; σ 1( − + − −) = ; σ 2( − + − − ) = σ 0( − + − − ) = −1 0 −1 0 − 1 16 − 1 −i 0 ; σ 3( − + − − ) = ; 0 0 −i − x0 + ix3 x1 − ix2 x1 + ix 2 = − x02 − x12 − x22 − x32 = 0 ; x0 + ix3 det − x0 + ix3 x1 − ix2 где x1 + ix 2 1 0 0 − 1 0 − i −i 0 − x1 − x2 − x3 ; = − x0 x0 + ix3 0 − 1 −1 0 i 0 0 −i 1 0 0 ; σ 1( − − − − ) = σ 0( − − − − ) = 0 − 1 −1 sign (− − − −) − 1 0 − i −i 0 ; σ 2( − − − − ) = ; σ 3( − − − − ) = ; 0 i 0 0 −i Спинорные (матричные) представления квадратичных форм с различными сигнатурами, приведенные в табл. 2, неединственные. Каждое из них может быть представлено множеством способов. Например, детерминант всех 36 ниже приведенных 2×2-матриц 31 xaoc.ru 12 января 2006г. x 0 + x3 x1 − ix 2 x1 + ix 2 x0 − x3 x 0 − x3 x1 + ix 2 x1 − ix 2 x0 + x3 x 0 + x3 x1 + ix 2 x1 − ix 2 x 0 − x3 x 0 − x3 x1 − ix 2 x1 + ix 2 x0 + x3 ix1 − x 2 x 0 + x3 − x 0 + x3 ix1 + x 2 x 0 + x1 x3 − ix 2 x3 + ix 2 x0 − x1 x 0 − x1 x3 + ix 2 x3 − ix 2 x0 + x1 x0 + x1 x3 + ix 2 x3 − ix 2 x0 − x1 x0 − x1 x3 − ix 2 x3 + ix 2 x 0 + x1 ix 2 − x1 x0 + x3 − x0 + x3 ix 2 + x1 x0 + x2 x1 − ix 3 x1 + ix3 x0 − x 2 x0 − x2 x1 + ix3 x1 − ix3 x0 + x 2 x0 + x 2 x1 + ix 3 x1 − ix3 x0 − x 2 x0 − x 2 x1 − ix3 x 0 + x3 x 2 − ix1 x 2 + ix1 x0 − x3 x 0 − x3 x 2 + ix1 x 2 − ix1 x0 + x3 x 0 + x3 x 2 + ix1 x 2 − ix1 x 0 − x3 x 0 − x3 x 2 − ix1 x 2 + ix1 x0 + x3 ix3 − x 2 x0 + x1 − x 0 + x1 ix3 + x 2 x 0 + x1 x 2 − ix3 x 2 + ix3 x0 − x1 x0 − x1 x 2 + ix3 x 2 − ix3 x0 + x1 x0 + x1 x 2 + ix3 x 2 − ix3 x0 − x1 x0 − x1 x 2 − ix 3 x 2 + ix3 x 0 + x1 ix 2 − x3 x0 + x1 − x0 + x1 ix 2 + x3 x0 + x2 x − ix 1 3 x3 + ix1 x0 − x 2 x0 − x 2 x + ix 1 3 x3 − ix1 x0 + x 2 x0 + x2 x + ix 1 3 x3 − ix1 x 0 − x 2 x0 − x 2 x − ix 1 3 ix 2 − x1 x 0 + x3 − x0 + x3 ix 2 + x1 ix 2 − x1 − x 0 + x3 x 0 + x3 ix 2 + x1 ix1 − x3 − x0 + x 2 x0 + x 2 ix1 + x3 x1 + ix3 x0 + x 2 x3 + ix1 x0 + x 2 ix1 − x3 x0 + x 2 ix 3 − x1 x + x 2 0 ix 2 − x3 x0 + x1 − x0 + x1 ix 2 + x3 − x0 + x 2 ix1 + x3 − x0 + x 2 ix3 + x1 ix3 − x1 − x0 + x2 x0 + x2 ix3 + x1 (68) равен одной и той же квадратичной форме x 02 − x12 − x 22 − x32 = 0 ; sign(+ − − −) . Точно также разветвляется (вырождается) анализ всех 16-ти квадратичных форм. Для определенности рассмотрим спинорные представления, приведенные в табл. 2. Откуда получаем 16 типов кватернионов с 16-ю возможными стигнатурами 1 0 0 i 0 1 i 0 - {+ + + +}; + x1 + x 2 + x 3 x 0 0 1 i 0 −1 0 0 − i 1 0 0 − 1 0 i − i 0 - {+ – – +}; − x1 − x2 + x3 x0 0 1 −1 0 − i 0 0 i 1 0 0 i 0 1 − 1 0 - {+ + + –}; + x1 + x 2 − x 3 x 0 0 1 i 0 −1 0 0 1 1 0 0 1 0 − 1 1 0 - {+ + – –}; + x1 − x2 − x3 x0 0 1 −1 0 −1 0 0 − 1 −1 0 0 i 0 1 − i 0 - {– + + –}; + x1 + x2 − x3 − x0 0 1 i 0 −1 0 0 −i 1 0 0 1 0 − 1 i 0 + x1 − x 2 + x3 ; x0 0 1 −1 0 −1 0 0 − i {+ + – +}; −1 0 0 − i 0 − 1 1 0 - {– – – +}; − x1 − x2 + x3 ; − x0 0 1 i 0 − 1 0 0 1 1 0 0 − 1 0 −i 1 0 - {+ – – –}; − x1 − x2 − x3 x0 0 1 −1 0 i 0 0 − 1 1 0 0 − 1 0 1 i 0 - {+ – + +}; − x1 + x2 + x3 x0 0 1 −1 0 −1 0 0 − i 1 0 0 − 1 0 1 − i 0 - {– – + –}; − x1 + x2 − x3 − x0 0 − 1 − 1 0 − 1 0 0 − i −1 0 0 i 0 1 1 0 + x1 + x2 + x3 ; - {– + + +}; − x0 0 1 i 0 −1 0 0 1 1 0 0 − 1 0 1 1 0 − x1 + x2 − x3 - {+ – + –}; x0 0 1 −1 0 −1 0 0 − 1 −1 0 0 − 1 0 1 1 0 - {– – + +}; − x1 + x2 + x3 ; − x0 0 1 −1 0 −1 0 0 1 1 0 0 1 0 − 1 − i 0 - {– + – +}; + x1 − x 2 − x3 − x0 0 − 1 −1 0 −1 0 0 − i −1 0 0 − 1 0 − 1 1 0 - {– + – +}; + x1 − x 2 + x3 ; − x0 0 1 1 0 −1 0 0 1 1 0 0 − 1 0 − i − i 0 - {– – – –}; − x1 − x 2 − x3 − x0 0 − 1 −1 0 i 0 0 − i (69) 32 xaoc.ru 12 января 2006г. Если учитывать, что для каждой из 16 стигнатур можно записать 24 кватерниона, то общее количество кватернионов, охватываемых Алсигной, равно 16 × 24 = 384. Напомним, что кватернионами называют гиперкомплексные числа [5] а = а0 + e1а1 + e2а2 + e3а3 где аi – вещественные числа, а орты ei перемножаются по правилу (70) ei ek = – δik 1 + εikn en 1ei = еi1, (71) где δik и εikn – символы Кронекера и Леви-Чивиты (i, k, n = 1,2,3). Этим условиям удовлетворяют все 16 выражений (69), где роль ортов еi выполняют 2×2-матрицы σ i (….). Кроме того, набор четырех матриц σ i (….) каждого из 16 кватернионов (69) удовлетворяют условиям матриц Паули-Кэли (....) σ i(....)σ (....) + σ (....) j j σi 0 0 = 1 2 0 0 при i ≠ j 0 (72) 0 при i = j 1 Из выражений (68) видно, что в развиваемой теории имеет место 16 типов единичных 2×2-матриц σ i (….) = (или ортов eij), которые соответствуют 16-и разновидностям матриц Паули-Кэли: 1 0 r e00 → σ 00 = 0 1 0 1 r e10 → σ 10 = 1 0 i 0 r e20 → σ 20 = 0 i 0 i r e30 → σ 30 = i 0 −1 0 r e01 → σ 01 = 0 1 0 −1 r e11 → σ 11 = 1 0 −i 0 r e 21 → σ 21 = 0 i 0 −i r e31 → σ 31 = i 0 1 0 r e02 → σ 02 = 0 −1 0 1 r e12 → σ 12 = −1 0 i 0 r e 22 → σ 22 = 0 −i 0 i r e32 → σ 32 = −i 0 −1 0 r e03 → σ 03 = 0 −1 0 −1 r e13 → σ 13 = −1 0 −i 0 r e23 → σ 23 = 0 −i 0 −i r e33 → σ 33 = −i 0 σij (73) При рассмотрении всех 384 кватернионов число возможных ортов не изменится. Шестнадцать ортов (73) образуют полную группу по операции матричного умножения. Мнимые единицы eij (т. е. модули ортов eij) могут принимать одно из двух значений 1 eij = − 1 (74) Значение 16-и мнимых единиц eij определяется квадратом модуля каждого орта eij из (73) 33 xaoc.ru 12 января 2006г. 2 e00 → 1 01 0 1 0 = → 1; 0 10 1 0 1 2 e10 → 0 10 1 0 1 = →1 1 01 0 1 0 2 e 20 → i 0 i 0 −1 0 = → −1 0 i 0 i 0 −1 2 e30 → 0 i 0 i −1 0 = → −1 i 0i 0 0 −1 2 e01 ` → 2 e 21 → 2 e02 → −1 0 −1 0 0 1 0 1 −i 0 −i 0 0 i 0 i 1 0 1 0 = = 0 −1 0 −1 = 1 0 −1 0 0 −1 1 0 0 1 2 e11 → → 1; 0 1 → −1 i 0 i 0 −1 0 = → −1 0 −i 0 −i 0 −1 2 e03 → −1 0 −1 0 1 0 = → 1; 0 −1 0 −1 0 1 −i 0 −i 0 0 −i 0 −i = −1 0 0 −1 1 → −1 0 1 0 i i 0 2 e32 → 0 1 0 = 1 −1 0 −1 0 −1 0 0 −1 1 0 0 1 = → −1 →1 −1 0 0 −1 → −1 0 i 0 i 1 0 = →1 −i 0 −i 0 0 1 2 e13 → 2 e33 → = 0 0 −i 0 −i 2 e12 → → 1; 2 e 22 → 2 e 23 → 2 e31 → 0 −1 0 −1 0 −1 0 −1 1 0 = →1 −1 0 −1 0 0 1 0 −i 0 −i −i 0 −i 0 = −1 0 0 −1 (75) → −1 Откуда следует e00 = e01 = e02 = e03 = e10 = e31 = e32 = e13 = 1 (76) e20 = e21 = e22 = e23 = e11 = e30 = e12 = e33 = − 1 (77) Равенства (76) и (77) показывают, что количество и величина мнимых единиц Алсигны сбалансированы относительно нуля. Таким образом математический аппарат алгебры сигнатур, развитый посредством «распаковывания» нуля, остается пригодным для описания метрико-динамических свойств полной пустоты (вакуума) и на языке кватернионов. 34 xaoc.ru 12 января 2006г. 5. Спинорная структура пространства Минковского Спинорное представление метрики пространства Минковского s2 = x02 – x12 – x22 – x32 = 0 с сигнатурой (+ – – –) задается любой из двадцати четырех 2 × 2-матриц (68). Поскольку все эти 2 × 2-матрицы эрмитовы, например, x 0 + x3 x1 − ix 2 + x1 + ix 2 x + x3 = 0 x 0 − x3 x1 − ix 2 x1 + ix 2 , x 0 − x 3 Получаем два одинаковых кватерниона x 0 + x3 x1 − ix 2 . x1 + ix 2 1 0 0 − 1 0 − i −1 0 = x 0 − x1 − x 2 − x 3 = 0; x 0 − x 3 0 1 −1 0 i 0 0 1 x0 + x3 x1 − ix 2 x1 + ix 2 1 0 0 − 1 0 − i −1 0 = x 0 − x1 − x 2 − x 3 = 0. x 0 − x 3 0 1 − 1 0 i 0 0 1 (78) + (79) Учитывая свойства матиц Паули (72) , входящих в эти выражения в качестве ортов 0 0 ; 0 0 1 0 . 0 1 σ i( + − − −)σ (j+ − − −) + σ (j+ − − −)σ i( + − − −) = σ i(+ − − −)σ i( + − − −) = (80) Найдем произведение матриц (78) и (79) x 0 + x3 x1 − ix 2 x1 + ix 2 x 0 + x3 x 0 − x3 x1 − ix 2 + x1 + ix 2 1 0 1 0 1 0 1 0 = x 02 − x12 − x 22 − x12 = 0 x 0 − x3 0 1 0 1 0 1 0 1 (81) Откуда имеем x02 − x12 − x22 − x30 0 0 0 0 = x02 − x12 − x22 − x30 0 0 (82) Это матричное выражение можно так же представить в виде x 02 − x12 − x 22 − x 32 0 0 0 0 = 2 2 2 2 0 0 − x 0 + x1 + x 2 + x 3 (83) Или x 02 − x12 − x 22 − x 32 0 − x 02 + x12 0 0 0 = 2 2 0 0 + x 2 + x3 (84) где x02 − x12 − x 22 − x32 = 0 ; (85) – метрика пространства Минковского с сигнатурой (+ – – –) 0 = − x 02 + x12 + x 22 + x32 ; (86) – метрика инвертированного пространства Минковского с сигнатурой (– + + +). Собственными векторами матрицы (84) являются спиноры x02 − x12 − x22 − x30 s ( + ) 2 = 0 0 и 0 0 2 ( −) 2 2 2 0= − x0 + x1 + x2 + x3 s (87) 35 xaoc.ru 12 января 2006г. Таким образом, обнаруживаем, что пространство Минковского, являющееся моделью идеального (недеформированного) участка λm÷n -вакуума, имеет две стороны: внешнюю с метрикой (85) и внутреннюю с метрикой (86). При этом каждая из этих сторон проявляет себя как верхнее и нижнее состояние единого изотопического спинора. 6. Переход в сферическую систему координат Выберем для примера метрику x 02 + x12 + x 22 + x32 = 0 с сигнатурой (+ + + +) и вернемся к рассмотрению одного из вариантов ее спинорного представления: x0 + ix3 ix1 − x2 ix1 + x2 = x02 + x12 + x22 + x32 = 0 ; x0 − ix3 det sign(+ + ++) (88) x0 + ix3 ix1 − x2 ix1 + x2 1 0 0 i 0 1 i 0 = x0 + x1 + x2 + x3 x0 − ix3 0 1 i 0 −1 0 0 − i Перейдем теперь в сферическую систему координат x0 = ct , x1 = r sin θ cos ϕ ; x 2 = r sin θ sin ϕ ; x3 = r cos θ . (89) При этом выражения (88) принимают вид 1. sign(+ + + +) x 0 + ix 3 ix1 − x 2 x 0 + ix 3 ix1 − x 2 ix1 + x 2 = ct 2 + r 2 (sin 2 θ cos 2 ϕ + sin 2 θ sin 2 ϕ + cos 2 θ ) = 0 ; x 0 − ix 3 det ix1 + x 2 1 0 0 i 0 1 i 0 = ct + r sin θ cos ϕ + sin θ sin ϕ + cos θ x 0 − ix 3 0 1 i 0 − 1 0 0 − i Выражение в фигурных скобках сводится к поляризационной матрице i cos θ sin θ (i cos ϕ + sin ϕ ) 0 i 0 1 i 0 + sin θ sin ϕ + cos θ = = sin θ cos ϕ − i cos θ i 0 − 1 0 0 − i sin θ (i cos ϕ − sin ϕ ) (90) i cos θ = sin θ e i (ϕ +π / 2) sin θ e −i (ϕ +π / 2) − i cos θ Проделаем аналогичные преобразования со всеми 15-ю оставшимися метрическими протяженностями с различными сигнатурами. 36 xaoc.ru 12 января 2006г. 2. sign(+ + + −) x 0 + x3 ix1 − x 2 x0 + x3 ix1 − x 2 ix1 + x 2 = ct 2 + r 2 (sin 2 θ cos 2 ϕ + sin 2 θ sin 2 ϕ − cos 2 θ ) = 0 ; x0 − x3 det ix1 + x 2 1 0 0 i 0 1 − 1 0 = ct + r sin θ cos ϕ + sin θ sin ϕ − cos θ , x 0 − x3 0 1 i 0 − 1 0 0 1 (91) где cos θ sin θ (i cos ϕ + sin ϕ ) 0 i 0 1 1 0 + sin θ sin ϕ + cos θ = = sin θ cos ϕ − cos θ i 0 − 1 0 0 − 1 sin θ (i cos ϕ − sin ϕ ) cos θ = i (ϕ +π / 2 ) sin θ e sin θ e i (ϕ +π / 2) ; − cos θ 3. sign( − + + −) x0 + ix3 ix1 − x 2 x 0 + ix3 ix1 − x 2 ix1 + x 2 = −ct 2 + r 2 (sin 2 θ cos 2 ϕ + sin 2 θ sin 2 ϕ − cos 2 θ ) = 0 ; − x0 + ix3 det ix1 + x 2 0 1 − i 0 − 1 0 0 i = −ct , + sin θ sin ϕ − cos θ + r sin θ cos ϕ − x0 + ix3 0 − i i 0 −1 0 0 1 (92) где i cos θ sin θ (i cos ϕ + sin ϕ ) i 0 0 i 0 1 = = + sin θ sin ϕ + cos θ sin θ cos ϕ i 0 1 0 0 i sin ( i cos − sin ) i cos θ − θ ϕ ϕ i cos θ = i (ϕ +π / 2) sin θ e sin θ e i (ϕ +π / 2) ; i cos θ 4. sign(+ + − +) x 0 + ix 3 − x1 + x 2 x 0 + ix 3 − x1 + x 2 x1 + x 2 = ct 2 + r 2 (sin 2 θ cos 2 ϕ − sin 2 θ sin 2 ϕ + cos 2 θ ) = 0 ; x 0 − ix 3 det x1 + x 2 1 0 0 1 0 − 1 i 0 = ct + r sin θ cos ϕ − sin θ sin ϕ + cos θ , x 0 − ix 3 0 1 − 1 0 − 1 0 0 − i (93) где i cos θ sin θ (cos ϕ + sin ϕ ) 0 1 0 1 i 0 + sin θ sin ϕ + cos θ = . sin θ cos ϕ i cos θ − 1 0 1 0 0 − i sin θ (− cos ϕ + sin ϕ ) 37 xaoc.ru 12 января 2006г. 5. sign(− − − + ) x0 + x3 − ix1 + x 2 ix1 + x 2 = −ct 2 − r 2 (sin 2 θ cos 2 ϕ + sin 2 θ sin 2 ϕ − cos 2 θ ) = 0 ; − x0 + x3 det ix1 + x 2 − 1 0 0 − i 0 − 1 1 0 = −ct − r sin θ cos ϕ + sin θ sin ϕ − cos θ , − x0 + x3 0 1 i 0 −1 0 0 1 x 0 + x3 − ix1 + x 2 (94) где − cos θ − sin θ (i cos ϕ + sin ϕ ) 0 − i 0 − 1 −1 0 + sin θ sin ϕ + cos θ = = sin θ cos ϕ i 0 − 1 0 0 − 1 sin ( i cos − sin ) − cos θ θ ϕ ϕ i cos θ = θ e −i (ϕ +π / 2) sin sin θ e −i (ϕ +π / 2) ; i cos θ 6. sign( − + + +) x 0 + x3 ix1 − x 2 ix1 + x 2 = −ct 2 + r 2 (sin 2 θ cos 2 ϕ + sin 2 θ sin 2 ϕ + cos 2 θ ) = 0 ; − x0 + x3 det ix1 + x 2 0 1 1 0 − 1 0 0 i = −ct , + sin θ sin ϕ + cos θ + r sin θ cos ϕ − x 0 + x3 i 0 1 0 − 1 0 0 1 x 0 + x3 ix1 − x 2 (95) где cos θ sin θ (i cos ϕ + sin ϕ ) 1 0 0 i 0 1 = = + sin θ sin ϕ + cos θ sin θ cos ϕ i i − 0 − 1 0 0 1 sin ( cos sin ) cos θ θ ϕ ϕ cos θ = sin θ e −i (ϕ +π / 2) sin θ e −i (ϕ +π / 2) ; cos θ 7. sign(− − + +) x0 + x3 x1 − x 2 x0 + x3 x1 − x 2 x1 + x 2 = −ct 2 + r 2 (− sin 2 θ cos 2 ϕ + sin 2 θ sin 2 ϕ + cos 2 θ ) = 0 ; − x 0 + x 3 det x1 + x 2 − 1 0 0 − 1 0 1 1 0 = −ct + r − sin θ cos ϕ + sin θ sin ϕ + cos θ , − x 0 + x 3 0 1 − 1 0 − 1 0 0 1 (96) где cos θ sin θ (cos ϕ + sin ϕ ) 0 − 1 0 1 1 0 + sin θ sin ϕ + cos θ = sin θ cos ϕ 1 0 1 0 0 1 sin θ (cos ϕ − sin ϕ ) cos θ − − 38 xaoc.ru 12 января 2006г. 8. sign(− + − + ) x 0 + x3 x1 + x 2 x 0 + x3 x1 + x 2 − x1 + x 2 = −ct 2 + r 2 (− sin 2 θ cos 2 ϕ + sin 2 θ sin 2 ϕ + cos 2 θ ) = 0 ; − x 0 + x 3 det − x1 + x 2 − 1 0 0 − 1 0 − 1 1 0 = −ct + r sin θ cos ϕ − sin θ sin ϕ + cos θ , − x 0 + x3 − 0 1 1 0 1 0 0 1 (97) где cos θ sin θ (− cos ϕ + sin ϕ ) 0 − 1 0 1 1 0 + sin θ sin ϕ + cos θ = sin θ cos ϕ + 1 0 1 0 0 1 sin θ (cos ϕ sin ϕ ) cos θ 9. sign( + − − +) x 0 − ix 3 x1 + ix 2 x 0 − ix 3 x1 + ix 2 x1 − ix 2 = ct 2 + r 2 (− sin 2 θ cos 2 ϕ − sin 2 θ sin 2 ϕ + cos 2 θ ) = 0 ; x 0 + ix 3 det x1 − ix 2 1 0 0 − 1 0 i − i 0 = −ct + r − sin θ cos ϕ − sin θ sin ϕ + cos θ , x 0 + ix 3 0 1 − 1 0 − i 0 0 i (98) где sin θ (cos ϕ − i sin ϕ ) − i cos θ 0 1 0 − i − i 0 + sin θ sin ϕ + cos θ = = sin θ cos ϕ i cos θ 1 0 i 0 0 i sin θ (cos ϕ + i sin ϕ ) − i cos θ = iϕ sin θ e sin θ e −iϕ ; i cos θ 10. sign( + + − −) x0 − x3 − x1 + x 2 x0 − x3 − x1 + x 2 x1 + x 2 = ct 2 + r 2 (sin 2 θ cos 2 ϕ − sin 2 θ sin 2 ϕ − cos 2 θ ) = 0 ; x 0 + x 3 det x1 + x 2 1 0 0 1 0 − 1 1 0 = ct + r sin θ cos ϕ − sin θ sin ϕ − cos θ , x 0 + x 3 0 1 − 1 0 − 1 0 0 − 1 (99) где − cos θ sin θ (cos ϕ + sin ϕ ) 0 1 0 1 − 1 0 + sin θ sin ϕ + cos θ = . sin θ cos ϕ cos θ − 1 0 1 0 0 1 sin θ (− cos ϕ + sin ϕ ) 39 xaoc.ru 12 января 2006г. 11. sign( + − − −) x1 + ix 2 = ct 2 + r 2 (sin 2 θ cos 2 ϕ − sin 2 θ sin 2 ϕ − cos 2 θ ) = 0 ; x 0 + x3 det x 0 − x3 x1 − ix 2 x 0 − x3 x1 − ix 2 x1 + ix 2 1 0 1 0 0 − 1 0 − i = ct , + r − sin θ cos ϕ − sin θ sin ϕ − cos θ x0 + x3 0 1 −1 0 i 0 0 − 1 (100) где − cos θ sin θ (cos ϕ + i sin ϕ ) 0 1 0 i −1 0 + sin θ sin ϕ + cos θ = = sin θ cos ϕ 1 0 − i 0 0 1 sin (cos − i sin ) cos θ θ ϕ ϕ − cos θ = − iϕ sin θ e sin θ e iϕ ; cos θ 12. sign ( + − + +) x 0 + ix 3 x1 − x 2 x 0 + ix 3 x1 − x 2 x1 + x 2 = ct 2 + r 2 (− sin 2 θ cos 2 ϕ + sin 2 θ sin 2 ϕ + cos 2 θ ) = 0 ; x 0 − ix 3 det x1 + x 2 1 0 0 − 1 0 1 i 0 (101) = ct + r − sin θ cos ϕ + sin θ sin ϕ + cos θ , x 0 − ix 3 0 1 −1 0 − 1 0 0 − i где i cos θ sin θ (cos ϕ + sin ϕ ) 0 1 0 1 i 0 + sin θ sin ϕ + cos θ = . sin θ cos ϕ 1 0 − 1 0 0 − i sin θ (cos ϕ − sin ϕ ) − i cos θ 13. 40 xaoc.ru 12 января 2006г. sign ( − − + −) − x 0 + ix 3 x1 − x 2 x1 + x 2 = −ct 2 + r 2 (− sin 2 θ cos 2 ϕ + sin 2 θ sin 2 ϕ − cos 2 θ ) = 0 ; x 0 + ix 3 det x1 + x 2 1 0 0 − 1 0 1 − i 0 = −ct + r − sin θ cos ϕ + sin θ sin ϕ − cos θ , x 0 + ix 3 0 1 1 0 1 0 − − − 0 − i − x 0 + ix 3 x1 − x 2 (102) где i cos θ sin θ (cos ϕ + sin ϕ ) 0 1 0 1 i 0 + sin θ sin ϕ + cos θ = sin θ cos ϕ . 1 0 1 0 0 i sin θ (cos ϕ sin ϕ ) i cos θ − − 14. sign ( + − + −) x0 − x3 x1 − x 2 x0 − x3 x1 − x 2 x1 + x 2 = ct 2 + r 2 ( − sin 2 θ cos 2 ϕ + sin 2 θ sin 2 ϕ − cos 2 θ ) = 0 ; x 0 + x3 det x1 + x 2 1 0 0 − 1 0 1 1 0 = ct + r − sin θ cos ϕ + sin θ sin ϕ − cos θ , x0 + x3 0 1 −1 0 −1 0 0 − 1 (103) где − cos θ sin θ (cos ϕ + sin ϕ ) 0 1 0 1 − 1 0 + sin θ sin ϕ + cos θ = = sin θ cos ϕ 1 0 1 0 0 1 sin θ (cos ϕ sin ϕ ) cos θ − − 15. sign( − + − −) − x 0 + ix 3 − x1 + x 2 − x 0 + ix 3 − x1 + x 2 x1 + x 2 = −ct 2 + r 2 (sin 2 θ cos 2 ϕ − sin 2 θ sin 2 ϕ − cos 2 θ ) = 0 ; x 0 + ix 3 det x1 + x 2 1 0 0 1 0 − 1 − i 0 = −ct − cos θ , + r sin θ cos ϕ − sin θ sin ϕ x 0 + ix 3 0 − 1 − 1 0 − 1 0 0 − i (104) где i cos θ sin θ (cos ϕ + sin ϕ ) 0 1 0 1 i 0 + sin θ sin ϕ + cos θ = . sin θ cos ϕ i cos θ −1 0 1 0 0 i sin θ (− cos ϕ + sin ϕ ) 16. 41 xaoc.ru 12 января 2006г. sign ( − − − −) − x0 + ix3 x1 − ix 2 − x0 + ix3 x − ix 2 1 x1 + ix 2 = −ct 2 + r 2 (− sin 2 θ cos 2 ϕ − sin 2 θ sin 2 ϕ − cos 2 θ ) = 0 ; x 0 + ix3 det x1 + ix 2 1 0 0 − 1 0 − i − i 0 = −ct + r − sin θ cos ϕ − 1 0 − sin θ sin ϕ i 0 − cos θ 0 − i , x0 + ix3 − 0 1 (105) где i cos θ sin θ (cos ϕ + i sin ϕ ) 0 1 0 i i 0 + sin θ sin ϕ + cos θ = = sin θ cos ϕ 1 0 i 0 0 i sin (cos i sin ) i cos θ − − θ ϕ ϕ i cos θ = sin θ e −iϕ sin θ e iϕ ; i cos θ Сведем все спиновые матрицы для квадратичных форм с различными сигнатурами (90) – (105) в табл. 3 Таблица 3 i cos θ sign( + + + + ) → sin θ e i (ϕ +π / 2) sin θ e −i (ϕ +π / 2) ; − i cos θ cos θ sign( + + + −) → i (ϕ +π / 2 ) sin θ e i cos θ sign(− + + −) → i (ϕ +π / 2 ) sin θ e sin θ e i (ϕ +π / 2) ; − cos θ sin θ e i (ϕ +π / 2) ; i cos θ − cos θ sin θ (cos ϕ + sin ϕ ) sign( + + − −) → ; sin ( − cos + sin ) cos θ θ ϕ ϕ − i cos θ sign ( + − − + ) → sin θ e iϕ sin θ e − iϕ i cos θ ; − cos θ sign( + − − −) → − iϕ sin θ e sin θ e iϕ ; cos θ i cosθ sin θ (cos ϕ + sin ϕ ) sign (+ + − + ) → ; i cosθ sin θ ( − cos ϕ + sin ϕ ) i cos θ sin θ (cos ϕ + sin ϕ ) ; sign( + − + +) → sin θ (cos ϕ − sin ϕ ) − i cos θ i cos θ sign(− − − +) → sin θ e −i (ϕ +π / 2) i cos θ sin θ (cos ϕ + sin ϕ ) sign( − − + −) → ; sin θ (cos ϕ − sin ϕ ) i cos θ sin θ e −i (ϕ +π / 2) ; i cos θ cos θ sign(− + + +) → −i (ϕ +π / 2) sin θ e sin θ e −i (ϕ +π / 2) ; cos θ cos θ sin θ (cos ϕ + sin ϕ ) sign( − − + + ) → ; sin θ (cos ϕ − sin ϕ ) cos θ − cos θ sin θ (cos ϕ + sin ϕ ) ; sign ( + − + −) → cos θ sin θ (cos ϕ − sin ϕ ) i cosθ sin θ (cos ϕ + sin ϕ ) ; sign( − + − −) → i cosθ sin θ ( − cos ϕ + sin ϕ ) 42 xaoc.ru 12 января 2006г. cos θ sin θ (− cos ϕ + sin ϕ ) ; sign(− + − + ) → cos θ sin θ (cos ϕ + sin ϕ ) i cos θ sign ( − − − −) → sin θ e −iϕ sin θ e iϕ ; i cos θ 7. Свойства спиновых матриц. Фотоны и антифотоны. Для определенности рассмотрим интервал (квадратичную форму) s2 = с2t2 – x2 – y 2 – z 2 = x02 – x12 – x22 – x32 = 0 , (106) с сигнатурой (+ – – –), описывающий распространение прямого луча света. Представим данный интервал в спинором виде. x 0 + x3 x1 + ix 2 x1 − ix 2 = ct 2 + r 2 (sin 2 θ cos 2 ϕ − sin 2 θ sin 2 ϕ − cos 2 θ ) = 0 ; x 0 − x 3 det (107) x1 − ix 2 1 0 0 1 0 − i 1 0 = ct + r sin θ cos ϕ + sin θ sin ϕ + cos θ , x 0 − x 3 0 1 i 1 0 0 0 − 1 x 0 + x3 x1 + ix 2 Выражение в фигурных скобках сводится к хорошо известной в квантовой механике спиновой матрице 0 1 0 − i 1 0 cos θ + sin θ sin ϕ + cos θ = sin θ cos ϕ iϕ 1 0 i 0 0 − 1 sin θ e sin θ e −iϕ − cos θ . (108) Собственные значения λ спиновой матрицы (108) определяются характеристическим уравнением [ ] cos θ − λ sin θ e iϕ sin θ e −iϕ = λ 2 − (cos 2 θ + sin 2 θ ) = 0 − cos θ − λ (109) Откуда λ1 = 1, λ2 = – 1. (110) Эти собственные значения соответствуют спину 1 или – 1. Рассмотрим случай, когда луч света распространяется вдоль оси z = x3 при этом угол θ = 0, и выражения (107) принимают вид x0 + x3 x1 + ix 2 x1 − ix 2 = ct 2 − r 2 = 0 ; x 0 − x 3 det (111) или x0 + x3 x + ix 2 1 x1 − ix 2 0 1 0 1 0 ct + r = ct + r , = 0 x 0 − x 3 0 1 0 − 1 ct − r (112) Откуда видим, что (112) описывает совокупность двух фотонов ехр{i (2π /λ) (сt – r )} (113) со стигнатурой {+ –}, и ехр{i (2π /λ) (сt + r )} (114) со стигнатурой {+ +}, распространяющихся вдоль оси z. В случае инвертированного, по отношению к (106), интервала x 0 + x3 ix1 − x 2 ix1 + x 2 = − x 02 + x12 + x 22 + x 32 = 0 ; − x 0 + x 3 det sign(− + + + ). (115) 43 xaoc.ru 12 января 2006г. Или x0 + x3 ix1 − x 2 ix1 + x 2 −1 0 0 i 0 1 1 0 = − x 0 + x1 + x 2 + x 3 − x 0 + x 3 0 1 i 0 −1 0 0 1 (116) Распространение вдоль оси z описывается кватернионом x0 + x3 ix1 − x 2 ix1 + x 2 0 1 0 1 0 ct + r = ct + r = − x 0 + x3 − ct + r 0 − 1 0 1 0 (117) который определяет два антифотона ехр {– i (2π /λ) (сt + r )} (118) ехр {– i (2π /λ) (– сt + r )} (119) со стигнатурой {+ +}, и со стигнатурой {– +}, распространяющихся вдоль той же оси z в обратном направлении. Средний луч света, распространяющийся вдоль оси z, в рамках сбалансированной относительно пустоты Алсингы, равен 1 x 0 + x 3 2 x1 + ix 2 x1 − ix 2 x 0 + x 3 − x 0 − x 3 ix1 − x 2 ix1 + x 2 1 ct + r = − x 0 + x 3 2 0 0 ct + r − − ct + r 0 0 0 0 = ct − r 0 0 (120) или 0 0 0 0 0 0 = (ct − r ) = 0 ct − r 0 1 0 0 (120) что соответствует одному наблюдаемому фотону ехр{i (2π /λ) (сt – r )} (121) При другом выборе 2×2-матриц (107) и (117) вместо (120) можно получить ct − r 0 1 0 0 0 = (ct − r ) = 0 0 0 0 0 0 (122) что соответствует тому же фотону (121), но с другим типом спиральности (спином). 8. Деформированные состояния метрических пространств (или описание искривленных лучей света) Спинорное представление метрических пространств допускает описание и некоторых видов деформаций их локальных участков. Для определенности рассмотрим 2 × 2-матрицу a00 x0 + a33 x3 a11 x1 − ia 22 x 2 a11 x1 + ia 00 x 2 2 2 2 2 = a00 x0 – a11 x1 – a22 x2 – a33 x3 = 0 a 00 x0 − a33 x3 (112) или ее же, но в виде кватернионного расщепления a 00 x 0 + a 33 x 3 a11 x1 − a 22 ix 2 a11 x1 + a 22 ix 2 1 0 0 − 1 0 − i − 1 0 = a 00 x 0 − a11 x1 − a 22 x 2 − a 33 x 3 ; a 00 x 0 − a 33 x3 0 1 1 0 0 − i 0 1 Здесь коэффициенты aii играют роль диагональных компонентов метрического тензора, описывающих отклонение метрической протяженности от идеального состояния, при кортом a00 = a11 = a22 = a33 = 1, и aij = 0 если i ≠ j . 44 xaoc.ru 12 января 2006г. 9. Поляризация цветных фотонов Подобно тому, как было показано в п. 7, кватернионы типа (69) с различными стигнатурами 1 0 0 i 0 1 i 0 - {+ + + +}; + x1 + x 2 + x 3 x 0 0 1 i 0 − 1 0 0 − i 1 0 0 − 1 0 i − i 0 - {+ – – +}; − x1 − x2 + x3 x0 0 1 − 1 0 − i 0 0 i 1 0 0 i 0 1 − 1 0 - {+ + + –}; + x1 + x 2 − x 3 x 0 0 1 i 0 − 1 0 0 1 1 0 0 1 0 − 1 1 0 - {+ + – –}; + x1 − x 2 − x3 x0 0 1 − 1 0 − 1 0 0 − 1 −1 0 0 i 0 1 − i 0 - {– + + –}; + x1 + x2 − x3 − x0 0 1 i 0 − 1 0 0 −i 1 0 0 1 0 − 1 i 0 + x1 − x 2 + x3 ; x0 0 1 −1 0 −1 0 0 − i {+ + – +}; 1 0 0 − 1 0 − i 1 0 - {+ – – –}; − x1 − x2 − x3 x0 0 1 −1 0 i 0 0 − 1 1 0 0 − 1 0 1 i 0 - {+ – + +}; − x1 + x2 + x3 x0 0 1 −1 0 −1 0 0 − i −1 0 0 − i 0 − 1 1 0 - {– – – +}; − x1 − x2 + x3 ; − x0 0 1 i 0 −1 0 0 1 1 0 0 − 1 0 1 − i 0 - {– – + –}; − x1 + x2 − x3 − x0 0 − 1 −1 0 −1 0 0 − i −1 0 0 i 0 1 1 0 + x1 + x2 + x3 ; - {– + + +}; − x0 −1 0 0 1 0 1 i 0 1 0 0 − 1 0 1 1 0 − x1 + x2 − x3 - {+ – + –}; x0 0 1 −1 0 −1 0 0 − 1 −1 0 0 − 1 0 1 1 0 - {– – + +}; − x1 + x2 + x3 ; − x0 0 1 −1 0 −1 0 0 1 −1 0 0 − 1 0 − 1 1 0 - {– + – +}; + x1 − x2 + x3 ; − x0 0 1 1 0 −1 0 0 1 1 0 0 1 0 − 1 − i 0 + x1 − x 2 − x3 − x0 0 − 1 −1 0 −1 0 0 − i {– + – +}; 1 0 0 − 1 0 − i − i 0 - {– – – –}; − x1 − x 2 − x3 − x0 0 − 1 −1 0 i 0 0 − i (113) Описывают 8 разновидностей цветных фотонов и антифотонов (60н) ехр { i (k0х0 + k1х1 + k2х2 + k3х3)} – красный фотон, со стигнатурой {+ + + + } ехр { i (– k0х0 – k1х1 – k2х2 + k3х3) } – оранжевый фотон, со стигнатурой {– – – + } ехр { i (k0х0 – k1х1 – k2х2 + k3х3)} – желтый фотон, со стигнатурой {+ – – ехр { i (– k0х0 – k1х1 + k2х2 – k3х3)} – зеленый фотон, со стигнатурой {– – ехр { i (k0х0 + k1х1 – k2х2 – k3х3)} {+ + – – голубой фотон, со стигнатурой ехр{ i (– k0х0 + k1х1 – k2х2 – k3х3) } – синий фотон, со стигнатурой +} + –} (114) –} {– + – –} ехр {i (k0х0 – k1х1 + k2х2 – k3х3)} – фиолетовый фотон, со стигнатурой {+ – + –} И 8 разновидностей цветных антифотонов (60о) ехр { i (–k0х0 – k1х1 – k2х2 – k3х3)} – антикрасный фотон, со стигнатурой {– – – –} ехр { i (+ k0х0 + k1х1 + k2х2 – k3х3) } – антиоранжевый фотон, со стигнатурой {+ + + – } ехр { i (–k0х0 + k1х1 + k2х2 – k3х3)} – антижелтый фотон, со стигнатурой {– + + – } ехр { i ( k0х0 + k1х1 – k2х2 + k3х3)} – антизеленый фотон, со стигнатурой {+ + – +} ехр { i (– k0х0 – k1х1 + k2х2 + k3х3)} – антиголубой фотон, со стигнатурой {– – + +} ехр{ i ( k0х0 – k1х1 + k2х2 + k3х3) } – антисиний фотон, со стигнатурой {+ – + +} (115) ехр {i (– k0х0 + k1х1 – k2х2 + k3х3)} – антифиолетовый фотон, со стигнатурой {– + – +} 45 xaoc.ru 12 января 2006г. Поляризацию цветных фотонов опишем на примере луча света, описываемого интервалом x 0 + x3 x1 + ix 2 x1 − ix 2 x + x3 = 0 x 0 − x 3 det x1 − ix 2 x1 + ix 2 = x 02 − x12 − x 22 − x 32 = 0 ; x0 − x3 sign(+ − − −) Или в кватернионом виде x 0 + x3 x1 + ix 2 x1 − ix 2 1 0 0 1 0 − i 1 0 = ct + x + y + z ; x 0 − x 3 0 1 1 0 i 0 0 − 1 где 0 1 0 − i ; 0 ; σ x = 1 0 σ y = i 1 0 σ z = 0 − 1 (116) матрицы Паули. Как было показано выше фотон имеет два состояния, которые можно представить в виде двухрядной волновой функции 2π a e −i λ (ct −r ) + (117) ψ = 2π i (ct − r ) λ a− e и эрмитово сопряженной функцией 2π 2π i (ct − r ) −i (ct − r ) = ψ = a +* e λ , a −* e λ где a+ и a– - амплитуды вероятности прямой и обратной волны Условие нормировки выражается равенством + ψ ψ ψ = a+ 2 + a− 2 =1 (118) (119) Теперь можно воспользоваться матрицами Паули и найти средние значения проекций спина фотона на оси координат 2π 2π a e −i λ (ct −r ) 1 0 * i 2π (ct −r ) −i (ct − r ) * a e λ = a 2 − a 2; + λ sz = ψ σ z ψ = ψ = (120) , a e − + − 2π + i (ct − r ) 0 − 1 λ a− e s x = ψ σ x ψ = a +* a − e i 4π λ (ct − r ) + a + a −* e −i 4π λ (ct −r ) ; (121) 4π 4π −i (ct − r ) i (ct − r ) . s y = ψ σ y ψ = i a + a −* e λ (122) − a +* a − e λ Начальная фаза колебаний учитывается комплексностью величин a+ и a– . Поэтому, не ограничивая общности, можно считать a+ и a– вещественными и записать формулы (120) - (121) s z = a+ 2 2 − a− ; (123) 4π s x = 2a + a − cos (ct − r ) = 2a + a − cos[2(tω − kr )] λ (124) 4π s y = 2a + a − sin (ct − r ) = 2a + a − sin[2(tω − kr )] λ (125) При a+ = a– Вместо (123) – (125) имеем sz = 0 ; sx = 2a +2 (123) cos[2(ωt − kr )] (124) 46 xaoc.ru 12 января 2006г. s y = 2a +2 sin [2(ωt − kr )] (125) Таким образом, у фотона, описываемого квадратичной формой или кватернионом (116), проекция спина на направление распространения луча света Z неизменна и равна нулю, а его проекция на плоскость XY, перпендикулярную направлению распространения луча, вращается вокруг оси Z с угловой скоростью ω = 4π с/λ. Точно так же могут быть получены проекции спина на оси координат всех цветных фотонов (114) и (115), которым соответствуют кватернионы (113) с подобающей стигнатурой. Итак, спинорное представление квадратичных форм, описывающих одновременно и лучи света разных «цветов» и метрические протяженности с различными топологиями, оказываются более фундаментальными поскольку содержат в себе так же информацию о спиновой структуре (поляризации) пространства-времени (света). В этом случае поляризация света и ее свойства являются не привнесенными параметрами как это имеет место в классической электродинамике а органическим свойством расщепленной пустоты (вакуума). 47 xaoc.ru 12 января 2006г. Список литературы 1. Козлов А. И., Логвин А. И., Сарычев В. А. Поляризация радиоволн. – М.: Радиотехника, 2005. 2.Павлов Д. Г. Обобщение аксиом скалярного произведения. // Гиперкомплексные числа в геометрии и физике №1. 2004. 3.Клиот-Дашинский М. И. Алгебра матриц и векторов. – С-Пб.: Лань, 2001. 4.Грин Б. Элегантная Вселенная. – М: УРСС, 2004. 5.Клейн Ф. Неевклидова геометрия. – М: УРСС, 2004. 6.Шипов Г. И. Теория физического вакуума. – М.: Наука, 1997. 7.Гаухман М. Х. Алгебра сигнатур. – М.: Издатель Гаухман М.Х., 2004. 8. Пенроуз Р. Структура пространства-времени. – Череповец: Меркурий-пресс, 2000. 9. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. – М.: Наука, 1988. –Т.2. 48