Лекция 5. Автор Муравьев Сергей Евгеньевич кандидат физико-математических наук,

Лекция 5.
Автор:
Муравьев Сергей Евгеньевич
кандидат физико-математических наук,
доцент кафедры теоретической ядерной физики НИЯУ МИФИ
Домашняя работа
1. Показать на рисунке силу, с которой наклонная плоскость действует на помещенное на нее тело,
если тело: а) покоится; б) первоначально покоилось, но после полученного толчка соскальзывает,
замедляясь, вниз по наклонной плоскости; в) соскальзывает с наклонной плоскости с ускорением,
направленным вниз вдоль плоскости; г) первоначально покоилось, но после полученного толчка
скользит, замедляясь, вверх по наклонной плоскости.
2. С каким ускорением тело движется по наклонной плоскости, наклоненной под углом  к
горизонту, если по наклонной плоскости с углом наклона  (    ) тело движется равномерно?
3. Цепочка длиной l и массой m начинает соскальзывать со стола, если со стола свешивается на
третья часть ее длины. Найти коэффициент трения между цепочкой и столом.
4. На горизонтальную поверхность поместили брусок. Коэффициент трения
между поверхностью и бруском  . К бруску прикладывают силу F ,


направленную вниз под углом  с вертикалью. При каких значениях 
F
брусок будет оставаться неподвижным независимо от величины силы F ?
а
б
в
г
Домашняя работа

F
5. Тело массой m покоится на наклонной плоскости с углом наклона
 . Коэффициент трения между телом и плоскостью  . Какую минималь-

ную горизонтальную силу, направленную вдоль плоскости к нему надо приложить, чтобы тело начало двигаться?
6. На санки массой M , движущиеся со скоростью v по гладкой горизонтальной поверхности, пада
етВ вертикально
массой
, имеющий
перед ударом скорость u . После неупругого удара гру
сдвигающуюгруз
силу
даютmвклад
составляющие
движется
с санками.
Определить
скорость
санок с грузом после удара.
всех сил,вместе
направленные
вдоль
поверхности,
кроме
силы трения. В данном случае это составляющая
силы тяжести, параллельная плоскости и сила F .
Угол между этими векторами равен 90 , и, следовательно, модуль сдвигающей силы есть
F 2   mg sin  

F

mg
2
Сила реакции, действующая на тело на наклонной
плоскости равна N  mg cos  . Поэтому тело
начнет двигаться, если
F 2   mg sin    kN  kmg cos 
2
Решая неравенство, находим, что тело начнет двигаться по плоскости, если
F  mg k 2 cos2   sin2 

Работа силы
Работа силы:
Пусть по некоторой траектории движется тело, на
которое действует некоторая сила F .
Если сила постоянна, а тело движется по прямолинейной
траектории, то работой А этой силы называется величина:

A  Fr cos
- угол между векторами силы и перемещения
Работа силы
Пример 3. Тело медленно спускают с шероховатой наклонной
плоскости высотой h и углом наклона  , действуя на него силой,
направленной вдоль плоскости. Коэффициент трения между телом и поверхностью равен k . Найти работу сил тяжести, трения,
реакции опоры, внешней силы и равнодействующей всех сил в
случаях k  tg  и k  tg  . Что изменилось бы, если бы тело
спускали не медленно?
Работа силы
А. k  tg  . Внешняя сила направлена вниз
N
F  mg  k cos   sin  
Fтр
F
Работа силы тяжести. Угол между силой
тяжести и перемещением 90   , перемещение h / sin  .
h
Amg  mg
cos  90     mgh
sin 

mg

Работа силы
Работа силы трения. Угол между силой трения и перемещением -
180 , перемещение h / sin  .
Aтр  kmg cos 
h
cos180  kmgh ctg 
sin 
Работа силы реакции опоры. Угол между этой силой и
перемещением тела равен 90 , его косинус равен нулю
AN  0
Работа внешней силы F .
h
AF  mg  k cos   sin  
cos0  kmgh ctg   mgh
sin 
Работа силы
Работа равнодействующей силы. Поскольку тело спускают
медленно, его ускорение равно нулю, следовательно равна нулю
равнодействующая всех сил, действующих на тело, и,
следовательно, равна нулю ее работа:
Aравн  0
Этот же вывод можно было сделать и по-другому, складывая
работы всех действующих на тело сил. Из формул для работ всех
сил, действующих на тело, имеем
Aравн  Amg  Aтр  AN  AF  mgh  kmgh ctg   kmgh ctg   mgh  0
Работа силы
Если сила не постоянна, а перемещение не прямолинейно, то
1. траектория движения разделяется на небольшие (элементарные) участки
Δr, которые можно считать прямолинейными, а силу, действующую на
тело на каждом из этих участков, постоянной;
2. – для каждого элементарного участка вычисляется элементарная
работа
ΔA = FΔr cos
3. – работа A силы F на всём перемещении - это сумма элементарных
работ
A =ΣΔA
Работа силы
Вычисление работы переменной силы. Пусть на тело в
F (r )
процессе
движения действует
переменная сила F . Построим
Fi
график зависимости этой силы от
перемещения тела. С помощью
этого графика работе можно
придать определенный геометриri
r
ческий смысл. Действительно, малые элементы перемещения ri можно отложить с помощью отрезков
на оси перемещений. Силы Fi - как расстояние от оси перемещений
до графика. Произведения Fi ri численно равны площади малого
прямоугольника с основанием ri и высотой от оси перемещений до
графика. Сумма таких величин дает площадь под графиком зависимости модуля силы от перемещения тела.
Работа силы
Пример 4. Из колодца глубиной h достают воду ведром. Внизу ведро заполняется водой до краев. Из-за течи часть воды выливается
обратно в колодец. Считая, что подъем совершается равномерно, а
скорость истечения воды постоянна, найти работу по подъему ведра
A , если к концу подъема в ведре остается n -ая часть начальной
массы воды. Масса пустого ведра M , максимальная масса воды в
ведре m .
Работа силы
Внешняя сила в каждый
момент времени равна силе тяжести, действующей
на ведро с водой. Строим
график зависимости силы
от перемещения ведра.
Фигура под графиком трапеция с основаниями
 M  m g и  M  m / n  g и
(M  m) g
F
(M  m / n) g
r
h
высотой - h . Поэтому работа, которую должна совершить внешняя сила для того, чтобы
медленно поднять ведро, равна
m(n  1) 

A  gh  M 

2n 

Работа силы
Пример
5.
Найти
работу,
которую
нужно
совершить чтобы медленно растянуть пружину с
жесткостью k на величину l .
В каждый момент времени внешняя сила равна силе упругости. Сила меняется. Строим график зависимости
конца
силы
от
пружины.
k l
перемещения
x
Перемещение
конца - l , сила «начинается» из
нуля,
F
заканчивается
на
k l .
Работа – площадь под графиком
k l 2
A
2
l
Теорема об изменении
кинетической энергии
Зачем? Почему?
Теорема об изменении кинетической энергии
Изменение кинетической энергии тела на некотором отрезке пути
равно сумме работ всех сил, действующих на тело, на этом отрезке
пути
2
2
mvкон
mvнач

 AF1  AF2  AF3  ...
2
2
где vкон и vнач - величина скорости тела в конце и начале
рассматриваемого отрезка пути, AF1 , AF2 , AF3 ... - работы тех сил,
которые действовали на тело на этом отрезке пути.
Теорема об изменении
кинетической энергии
Пример 6. Тело падает на землю с высоты h без начальной скорости.
Найти скорость тела перед самым падением на землю.
Законы равноускоренного движения.
mv 2
 mgh
2
2
gt
2
v x (t )  gt
x (t ) 
В момент падения
gt12
h
2

Теорема…
t1 
Скорость перед падением
2h
vg
 2 gh
g
2h
g

v  2 gh
Теорема об изменении
кинетической энергии
Пример 7. Телу, лежащему на горизонтальной поверхности, толчком сообщают скорость v0 . Какой путь пройдет тело до остановки,
если коэффициент трения между телом и поверхностью k ? Какой
будет скорость тела, когда оно пройдет половину этого пути? Какой
путь пройдет тело к тому моменту, когда его скорость уменьшится
вдвое?
Теорема об изменении
кинетической энергии
По теореме об изменении кинетической энергии
mv02
K  
 AN  Amg  Aтр
2
где AN , Amg и Aтр - работы действующих на тело сил: реакции
опоры, тяжести и трения. AN  0 и Amg  0 . Работа силы трения
Aтр  kmgS , где S - перемещение тела.
v02
S
2kg
Теорема об изменении
кинетической энергии
В момент, когда тело пройдет половину этого расстояния
mv12 mv02
S
mv02

 kmg  
2
2
2
4
Откуда v1  v0 2 .
Для расстояния S1 , на котором скорость тела уменьшится вдвое:
mv02 mv02

 kmgS1 .
8
2
Откуда
3v02 3S
S1 

8kg
4
Теорема об изменении
кинетической энергии
Пример
8.
Между двумя кубиками
массой
m
находится пружина с коэффициентом жесткости k .
В начальный момент пружина сжата на величину l
по сравнению с недеформированным состоянием, а кубики связаны нитью. Нить перерезают. При каких значениях l нижний кубик
подпрыгнет в процессе дальнейшего движения?
Теорема об изменении
кинетической энергии
После перерезания нити пружина начнет разжиматься, поднимая
верхний кубик. По теореме об изменении кинетической энергии для
движения верхнего кубика до той точки, где он остановится, имеем:
k l 2 k l12
0

 mg  l  l1 
2
2
где
l1 - удлинение пружины, отвечающее точке остановки
верхнего кубика. Решаем квадратное уравнение
mg
m2 g 2 2mg l
2
l1  




l
k
k2
k
(второй корень является отрицательным).
Теорема об изменении
кинетической энергии
Чтобы нижний кубик подпрыгнул, сила упругости, действующая на
него со стороны пружины, должна быть больше mg . Поэтому
mg  m2 g 2  2mgk l  k 2l 2  mg
или
2 2
2
mg
3
m
g
l 2 
l 
0
2
k
k
Из квадратного неравенства находим
l 
3mg
,
k
l  
mg
k
Так как величина l должна быть положительной, то
l 
3mg
k
Законы сохранения в механике
Домашнее задание
1. Тело соскальзывает с гладкой горки высотой H , а затем движется по шероховатой
горизонтальной поверхности. Коэффициент трения между телом и поверхностью  . Какое
расстояние по горизонтальному участку пути пройдет тело до остановки?
2. Какую работу A нужно совершить, чтобы медленно втащить тело массой m на
шероховатую наклонную плоскость длиной l и углом наклона  и спустить его обратно,
действуя на тело силой, параллельной плоскости. Коэффициент трения между телом и
плоскостью равен  . Рассмотреть два случая: 1)   tg  и 2)   tg  .
3. Доска длиной l и массой m находится
на
горизонтальной
плоскости.
2
1
Коэффициент трения между доской и
плоскостью на одной ее половине равен
1 , на другой 2 . В начальный момент доска находится на той полуплоскости, где
коэффициент трения 1 , около границы полуплоскостей, перпендикулярно этой границе. Какую
работу необходимо совершить, чтобы медленно перетащить доску целиком на вторую
полуплоскость с помощью горизонтальной силы?
Законы сохранения в механике
4. Груз массой m подвешивают к свободному концу висящей невесомой пружины с коэффициентом жесткости k и отпускают. Найти максимальное перемещение груза относительно этого
положения и его максимальную скорость в процессе последующего движения.

5. На тело массой m , движущееся со скоростью v , начинает дейстF
вовать некоторая сила. Направление вектора силы не изменяется с
течением времени и составляет угол  с вектором начальной скорости v0 (    / 2 ), величина силы возрастает с течением времени.

v
Какую работу совершит над телом эта сила к тому моменту времени,
0
когда вектор скорости тела станет перпендикулярен вектору начальной скорости v0 ? Другие силы на тело не действуют.
Ответы
1. S 
H

.
2. И в том и в другом случае A  2mgl cos  .
2mg
m
4. l 
, vg
k
k
mv02
5. A 
tg2   1

2
3. A 
 1  2  mgl
2