Закон всемирного тяготения. Сила тяжести. Вес тела.

Глава
2.
Динамика материальной точки
§9. ЗАКОН ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИЯ
В
1685
г. Исаак Ньютон предположил, что движение земных объе1<тов и небесных тел
подчиняется общим закономерностям: все тела nритяrиваются друг 1< другу гравитационными
силами. Единый универсалы1ый закон тяготения справедлив для всей Вселенной: свободное
падение яблон.а на Землю и движение Луны имеют общую причину
-
гравитационное uри·rя ­
жение к Земле.
Радиус действия грави:тационвого притяжения неограничен. Выясним зависимость силы
притяжения от расстояния междУ телами ф. Для этого достаточно знать зависимость ускоре­
ния от расстояния междУ телами, так как
Fg =та .
Луна, вращаясь вокруг Земли с периодом Т = 27,2 сут = 2 , 36 · 10 6 с, находится на расстоя­
нии
r = 384000 :км от Земли, в 60 раз большем радиуса Земли ~ =6400 км:
R(f)
=_!_
r
60
Нормалъное (центростремительное) ускорение Луны, приобретаемое под действием грави ­
тационного притяжения Земли, ап = 4л: 2 r / Т 2 = 0,0027 м /с 2 , можно сравнить с ускорением свободного падения g
= 9,8 м /с 2
на Землю.
а" = 0,0027 = -1- = _1_2 =( ~ )
9,8
g
3600
60
2
r·
Это означает, что ус1<орение тела под действием гравитационной силы
Fg
обра·rво пропор ­
ционально квадрату расстояния между телами. Также изменяется с расстоянием и сила
Fg
гравитационного притяжения двух тел :
Закон всемирноzо тяготения:
Между яюбыми двумя материальными точ.ками действует сияа взаимн.оzо
притяжен.ия, прямо пропорцион.аяьн.ая произведению масс этих то-ч,ек, обратно
пропорчионаяьн.ая квадрату расстояния между ними, наnравяен.ная вдояь пря·
мой, соединяющей эти точки:
где
G -
zравитацион.ная постоян.пая (коэффициент пропорциональности, одинаковый для
всех тел) ~·
1798 г. гравитационная постоянная
дишем с помощью крутильных весов ® .
В
Два шарика
1,
имеющих одинаковую массу
подвешенного на упругой нити
ров
4 массой
была измерена английским физиком Генри Кавен­
3.
"11 ·
укреплены на концах легкого коромысла
Шарики находятся на расстоянии
r
2,
от более массивных ша­
т2 • Под действием сил притяжения малых шаров к большим коромысло повора-
чивается. По углу закручивания нити определяется сила гравитационного притяжения
}i 2
шариков массами т1 и ~. Кавендиш нашел числовое значение гравитационвой постоянной:
G = 6,67 ·10- 11 Н ·м 2 / к г 2 •
Гравитационная постоянная численно равна силе гравитационного при·rяжения двух тел,
массой по
1 кг каждое,
находящихся на расстоянии
1 модно от другого .
Закон всемирного тяготения
ГРАВИТАЦИОННОЕ ПРИТЯЖЕНИЕ
ЗАКОН ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИЯ
ф
Между то6ы w11 д~ wя ,wатер11а.1ь11N.м11 пrочка.1111 деШ:тгует
Совпадеиие 11ор.wи.1ы10.:о ус11."Орен11я Лхны, вращшощеii.ся
вокру.~ Зе.ч.щ с )'CKOfКНUt.\/, приобретаемы."' Луной
под дt!licm11ue.w си1ы npиntI01Cc11UJ1 к .k•c.ie
сила 11Заш1ного t1pиmJfЖe1111Jl. пря.110 пропорцио11аJьнШl
произведеиию .11осс
'Jm1« точек и обратио nро11орцио11а:Jьная
кваОрату paccmo11н1JJ1 чежду 111.c.w11
F.= G
а.
= 0,0027 м/t:/
где
r
=384 ООО км
g=
18м/с
G-
гравитационная постоянная (коэффициент
пропорциональности, одинаковый для всех тел)
1
Пр111111111тt1J1Ы1Ш1 с:хе.мо 011ьипt1 Каве11д1111ю
по m1peдl'.1/!llll/(I •'JJllRl/f/IOl/llQllllOri llQClllOЯllllQU
я. = 1
r
а.
а.
60
Крутиль11ые весы
4 п•
= -pi" г = 0,0027 мtс:'
-=
11
0.0027 \t 'cJ
9,8 м/с1
=
1
3600
( 1 )J 1
(..&.)'
г " 60 " 3600
1
а. - F, - -т
r
11З4-
шарики , имеющие одинаковую массу
m1
легкое коромысло
упругая нить
массивные шары массой т,
С1111" i'pa1111ma1111111moгo пр111ш1.же1111я dвух тел
обрат110 11ро11tJр1111011алы1а кмдрату расстояuия
,11('.JIC'()J' l/ILЩJ
Под действием сил притяжения малых шаров к большим
коромысло поворачивается . По углу закручивания нити
определяется сила гравитационного притяжения
шариков массами т и
1
F 12
m,
ЮПИТЕР СО СПУТНИКАМИ
G = 6,67 ·
10- 11 н м 2 /кг 2
Гровшпацио1111ая постон11нШ1 числе11но
ров11а силе .•рав11тоц1101111ого притяжения
двух тел. ,11оссой по
1 кr каждое,
11аходящ11хся 110 расстоя111ш
од110 от другого
1м
Глава
§10.
2.
Динамика материальной точки
СИЛА ТЯЖЕСТИ
Все тела притягиваются друг к другу гравитационными силами.
Сил.а тяжести -
гравитац.ион.ная сил.а, действующая на тел.о ф .
Например, на тело массой т, находящееся на высоте
h
над поверхностью З емли, действует
гравитационная сила притяжения Земли:
F = G т.МФ = G тМе; .
g
г2
(Rit + li) 2
Ускорение, приобретаемое телом под действием гравитационной силы , можно найти из
:второго закона Ньютона:
а
=G
g
Вблизи поверхности Земли
тМ
$
(R~ + h) 2
.
( h ~ Rw )
mMtfo
Fg = G- 2
R-±<
.
Следовательно (g),
Ускорение свободного nаден,ия (zравитацион,ное ускорен.ие)
-
ускорение, приоб­
ретаемое тел.ом под действием zравитациопн.ой сил.ы вблизи поверхности небес­
ных тел. (планет, звезд) .
Гравитационное ускорение у поверхности планет Солнечной системы зависит от массы и
радиуса планеты ®·
В отсутствие сопротивления воздуха все тела вблизи поверхности Земли падают с одинако­
вым ускорением
g . Анг лийсRИ:Й ученый Роберт
Бойль наблюдал синхронное падение различ-
ных предметов в сосуде, из которого был от1<ачан воздух @ . В -вакууме яблоко и перо падают
синхронно . Синхронное падение птичьего пера и молотка на поверхность Луны наблюдали аме­
риканские астронавты Д. Скотт и Дж. Ирвин..
В воздухе падение тел происходит иначе, чем в вакууме. На тело, движущееся в воздухе,
действует сила сопроти'Вления воздуха. Свободно падающее тело вначале движется, :как в ва­
кууме, с ускорением свободного падени.я, так как сила сопротивления воздуха пренебрежимо
мала при небольшой скорости. Увеличение скорости падения тела приводит к увеличению си­
лы сопротивления воздуха и соответственно к уменьшению ускорения тела. Когда сила сопро­
тивления воздуха становится равной силе притяжения тела к Земле, ускорение тела оказывает­
е.я равным нулю. Вблизи Земли тела, падающие с большой высоты, имеют постоянную ско ­
рость ®·
Легкие тела с большой площадью поверхности (снежинки, Щ1стья) через короткий проме­
жуток времени начина.ют двигаться в воздухе равномерно с небольшой скоростью.
Схорость тяжелых предметов при падении в атмосфере Земли возрастает в течение не­
скольких первых секунд, а затем остается постоянной (порядка
100 м/с).
Сила тяжести
СИЛА ТЯЖЕСТИ
УСКОРЕНИЕ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ
Гравитацион11ая с1та в поле тяжести Земли
При
R~
h <<
а, = g =
ф
F,
т
=G М
е = 9' 8 м/с 1
щ2
Ускоре11ие свобод11ого падения (грав11тацио11ное
ускоре11ие)
-
ускоретtе, приобретаемое тело.~1
под воздеtiств11еА1 грав11тациотt0й силы вблизи
поверх11остu 11ебес11ых тел (пла11ет, звезд)
ГРАВИТАЦИОННОЕ УСКОРЕНИЕ
НА ПЛАНЕТАХ СОЛНЕЧНОЙ СИСТЕМЫ
®
ГpatJ11maц11u1111oe
Плт1е111а
ускире11 11е,
м/с
Сила тяжести
-
Меркурий
3,7
Венера
Луна
8,9
9,8
1,6
Марс
3,7
Юпитер
26
12
11
12
Земля
F, = mg
гравитационная сила,
Сатурн
действующая иа тело
1
Уран
Нептун
ПАДЕНИЕ ТЕЛ В ОТСУТСТВИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ
ВОЗДУХА
ПАДЕНИЕ ТЕЛ В ВОЗДУХЕ
Скорость падеиия тел с боль шой высоты на Землю
®
®
Скорость паде11ия
Падающее
тело
р азл 11ч11ых т е.!/
с6ольщой
вwсоты 110 Землю.
м/с
Перо mицы
0,4
Лист бумаги
0.5
Снежинка
Парашютист (раскрытый
парашют)
7
Монета
9
Мышь
Парашютист
Си11.r:рон11ое свобод11ое паде1111е яблока
в вакуум е
u пера
1
13
(нераскрытый парашют)
60
Пуля (крупного калибра)
100
Большой камень
200
Глава
§11.
Динамика материальной точки
2.
СИЛА УПРУГОСТИ, ВЕС ТЕЛА
Внешнее механическое воздействие на тело может приводить к изменению его формы и
размеров. Восстановление первоначальных размеров и формы тела происходит в результате
действия силы упругости.
-
Сияа упругости
сияа, возн.икающая при малой деформации растяжен.ия
(сжатия) теяа, н.аправяен.ш~я противопояожпо смещению частиц тел.а при де­
формации.
Возникновение этой силы обусловлено силами электромаrнитного взаимодействия междУ
заряженными частицами, из которых состоят все макроскопические тела ф. В отсутствие
внешнего воздействия атомы находятся в равновесных положениях. Увеличение межатомного
расстояния
no
сравнению с равновесным приводит к их притяжению, а его уменьшение к от­
талкюзавию атомов. Поэтому простейшей механической моделью кристалла являются шарики,
соединенные пружинами. В э·гой модели шарики играют роль атомов, а связывающие их пру­
жины имитируют особенности элек1.'РОмаrнитного взаимодействия атомов. Предложенная мо­
дель позволяет просто объяснить упругие свойства твердых тел. При растяжении твердого тела
увещrчивается среднее расстояние между атомами (пружины растягиваются). Поэтому сум­
марная сила притяжения атомов (сила упругости пружин) стремится сжать тело до первона­
чальных размеров. В случае сжатия тела уменьшение межатомкъrх расстояний (сжатие пру ­
жин) приводит к возникновению силы отталкивания атомов (растягивающей упругой силы),
восстанавливающей первоначальную длину тела.
Если воздушный шарик прижимается
мальн.ой реакции опоры
N1
I<
стене с силой
F , то на PYI<Y действует сила н.ор­
сила упругости, действующая на тело со стороны опоры пер­
-
пендикулярно ее поверхности ~. О .величине силы упругости можно судить по степени растя­
жения или сжатия пружины.
Закон. Гука:
Модул.ь сияы упругости
FY"P'
возникающей при деформции пружины (тела),
пропорционален. ее удяимен.ию Лl = ll-Lo j,
где l -
длина пружины, lo - длина нерастянутой пружины ® :
3а~<он Гука справедлив пр:и малом удлине нии Лl
На тело массой т
ния Т
,
l0 .
подвешенное на пружине, действует сила тяжести тg и сила натяже­
®· Сияа натяжен.ия -
жины. В равновесии Т
«
сила упругости, действующая на тело со стороны нити или пру­
= тg . По третьему закону Ньютона на пружину со стороны тела дейст­
вует в направлении силы тяжести сила упругости, или вес, равный по модулю и противопо­
ложно направленный силе натяжения: Р = -Т . При подвешивании тела на подвес (пружину)
будет действовать упругая сила, направленная вниз .
Вес тела
-
суммарная сияа упругости тел.а, действующая при н.аяич.ии сияы
тяжести на все опоры, подвесы.
Вес тела на опоре ® определяется приростом суммарной силы отталкивания между атома­
ми, возникающим из-за сжатия тел силой тяжести. Сила тяжести приложена к телу, а вес к
опоре, подвесу.
Сипа упругости, вес тела
СИЛА УПРУГОСТИ - с11.10, воз11икающая 11р11 дефор.\lации тела
ВЕС ТЕЛА
и 11аправлен11ая противопо:1ож110 11011равлеиию с.11ещения
те.10. действующая при 11a.1uчuu сюы
частиц 11ри дeфop.\IOЦtllt
тяжесп111
-
ср1.11ар11ая cu,10 упругости
110 все 011оры . подвесы
ВОЗНИКНОВЕНИЕ СИЛЫ УПРУГОСТИ
УПРУГИЕ ДЕФОРМАЦИИ ТЕЛ
ПРИ ПОДВЕШИВАНИИ ТЕЛА
Сжо"'!!е возду~ш1ого шое.ика под дейстгие.u
Мехо11ич«каи .wоде.1ь кристаtло
силы
ф
F и CU/IЫ рео1о.-ц11и
N2 стены
Из.wерение веса те..10
Си.110 ретщии опоры
-
-
с1111а упругости,
действующая
110 тело
со сторо11ы опоры
Т = тg
----.-з._ перпе11дикуляр110
Р
ее поверх11ост11
Сили упругости восстпиавл11вае111
первоиа•1алы1111е
т
i
pa1A1t'pti1
11 фор.vу m l!l1a
Модi!Ль воэ1111х11ове1111R силы у11ругости
ЗАКОН ГУКА
Моду.1ь с1L1ы упругости
F.,,,,, возникающей при дефор.мац1ш те.1а,
пропорционалеи его уд.'1ш1ен11ю Лl
Frop =
где
k-
kЛl,
жесткость пружины. ,
дl
=ll - lo\=jдxj .
дl
<< l 0
Р= - Т
Упругие CWIЫ растяже1111я 11 С'Ж'аm11я в 11руж1111е 11од деriствием вue11111eli сц1ы
ВОЗНИКНОВЕНИЕ СИЛЫ УПРУГОСТИ
ПРИ РАЗМЕЩЕНИИ ТЕЛА НА ОПОРЕ
равновесие
Иэмере1111е иl!са тела
а) 11ерастя11утая пруж1та
х
б) растянутая r1руж1то
ЬWЬ:
х
Fупр=
в) сжатая пру.жzта
-
:---1.___:
·-------·
Модель 1Юз11икногениR сuлы упругости
kЛх
1~
6
P=-N
х
Р= тg
11