3.19. Объем шара

3.19. Объем шара. Задачи об измерении объема шара и площади его поверхности были
решены Архимедом в его сочинении “О шаре и цилиндре”. Вот как формулировал Архимед
доказанные им теоремы: “для всякого шара цилиндр, имеющий основанием большой круг этого
шара, а высотой - прямую, равную диаметру шара, и сам будет в полтора раза больше этого
шара, и поверхность его тоже в полтора раза больше поверхности шара” (рис.3.109).
Рис.3.109
Итак, Архимед утверждает, что объем шара радиуса R вычисляется по формуле
2
V= (πR2•2R)
3
т.е.
4
V= πR3,
(28)
3
а площадь его поверхности
2
S= (2πR•2R+2πR2),
3
т.е.
S=4πR2.
(29)
О площади сферы речь пойдет в следующем пункте, здесь же дадим обоснование
формулы (28).
Вывод формулы (28) у Архимеда весьма сложен и занимает десятки страниц. Мы
воспользуемся для вывода равенства (11) принципом, который сформулировал в ХУ11 веке
итальянский математик Бонавентура Кавальери (1598-1647). Этот принцип гласит: если два
тела могут быть помещены в такое положение, при котором всякая плоскость, параллельная
какой-либо плоскости и пересекающая оба тела, дает в сечении с ними равновеликие фигуры,
то объемы таких тел равны (рис.3.110).
Рис.3.110
Обоснование этому принципу, как и всей теории площадей и объемов криволинейных
фигур, дается в интегральном исчислении, созданным Исааком Ньютоном (1643-1727) и
немецким ученым Готфридом Лейбницем (1646-1716) в конце ХУ11 века. Архимед для
доказательства своих теорем предвосхитил методы интегрального исчисления на 2000 лет.
Архимед очень гордился этими открытиями и по его воле на его могильной плите был
изображен цилиндр с вписанным шаром, а эпитафия гласила, что их объемы относятся как 3:2.
Опираясь на принцип Кавальери, можно утверждать, что объем шара радиуса R равен
оставшийся части цилиндра С с высотой 2R и радиусом основания R, из которого удалили два
конуса, изображенные на рисунке 3.111.
Рис.3.111
Действительно, площади заштрихованных сечений (круга и кольца), как нетрудно
подсчитать, равны. Поэтому объем V шара радиуса R равен объему цилиндра С без удвоенного
объема конуса с высотой R и радиусом основания также R, т.е.
2 2
4
πR •R= πR3.
3
3
Равенство (28) установлено.
V= πR2•2R -
Вопросы для самоконтроля
1. Кто и когда вычислил объем шара?
2. Используя какой принцип, мы вычислили объем шара?
Задачи
Работаем с формулой. 19.1. Как изменился объем шара, когда его радиус:
а) увеличился в два раза; б) уменьшился в три раза?
19.2. Как изменить радиус шара, чтобы: а) его объем увеличился в 2 раза; б) уменьшился
в 5 раз?
Вычисляем. 19.3. Какую часть объема куба составляет объем вписанного в него шара?
(У)
19.4. Какую часть от объема шара составляет объем вписанного в него куба? (У)
19.5. Какую часть от объема шара составляет объем вписанного в него: а) цилиндра,
имеющего своим осевым сечением квадрат; б) конуса, имеющего своим осевым сечением
равнобедренный прямоугольный треугольник; в) конуса, имеющего своим осевым сечением
равносторонний треугольник? (У)
Оцениваем. 19.6. Из сплошного металлического шара радиусом 20 см выплавили
шарики радиусом 1 см. Сколько их получилось?
19.7. Какая часть объема шара радиуса R содержится между его сферой и
концентрической и нею сферой радиуса 0,9R?
19.8. Из сплошного металлического шара радиуса R изготовили полый шар, толщина
стенок которого 0,1R. Каков его радиус (внешний)? (У)
Применяем геометрию. 19.9. Что бы вы предпочли: съесть арбуз радиуса 15 см
вчетвером или съесть арбуз радиуса 20 см ввосьмером? (Р)
19.10.Диаметр Земли приблизительно в четыре раза больше диаметра Луны. Сравните
объемы Земли и Луны, считая их шарами. (Р)