Некоторые обобщения диаметра множества и задача Юнга. А.В.Акопян

Некоторые обобщения диаметра множества и задача Юнга.
А.В.Акопян
Аннотация
В работе даются некоторые обобщения понятия диаметра множества в метрическом пространстве и задачи Юнга о минимальном шаре. В частности, даётся
решение одной задачи Б. Грюнбаума.
Как известно (см. [1]), диаметром diam V ограниченного множества V в метрическом
пространстве M называется sup расстояний d(x, y) между точками x, y ∈ V , а чебышевским радиусом V ⊆ M называется величина
r(V ) = inf sup d(x, y).
x∈M y∈V
Константой Юнга JM (d) (см. [1]) пространства M называется величина
JM (d) =
sup
r(V ).
V ⊆B, diam V 6d
Очевидно, что d/2 6 JM (d) 6 d и обе эти границы достигаются даже в нормированном
пространстве.
Пусть M — нормированное пространство, тогда очевидно, что JM (d) = JM (1)d. Поэтому в нормированном пространстве константой Юнга называют величину JM (1) = JM .
Если M — n-мерное евклидово пространство En , то теорема Юнга (см. [1]) эквивалентна равенству
r
n
JEn = Jn =
.
2(n + 1)
Заметим, что величина Jn является радиусом описанной сферы правильного симплекса
с ребром 1 в En .
Аналогичная теорема имеет место в гиперболической и, при некоторых ограничениях,
в эллиптической геометриях: любое множеcтво диаметра d можно поместить в шар,
радиус которого равен радиусу описанной сферы правильного симплекса с ребром d (см.
[2]).
Боненбласт (см. [1]) для n-мерного нормированного пространства Bn доказал неравенство
n
JBn 6
,
n+1
а Лейхтвейс (см. [1]) установил, что для того, чтобы выполнялось равенство JBn = n/(n+
1), необходимо и достаточно существование такого симплекса S, что S + (−S) ⊆ C ⊆
(n + 1)S. Единичный шар в этом случае называется телом Лейхтвейса.
Нахождение констант Юнга для конкретных пространств является
задачей.
Pn трудной
j
n
n
Например, рассмотрим пространство l1 , т.е. R с нормой kxk1 = j=1 |x |. Единичным
шар этого пространства — n-мерный октаэдр.
Квадратная матрица A порядка n называется матрицей Адамара, если ее элементы
суть ±1, а строки попарно ортогональны. Для существования матрицы Адамара порядка
n > 2 необходимо, чтобы n ≡ 0( mod 4). Имеется гипотеза (проверенная для больших
1
n), что это условие не только необходимо, но и достаточно (см., например, [3]). В [4]
доказано, что
n
Jl1n =
,
n+1
тогда и только тогда, когда существует матрица Адамара порядка n+1, а также получен
критерий равенства, отличный от критерия Лейхтвейса.
Позже этот результат был обобщен в [5] (см. также [6]) P
на лебеговы пространства Lp
и их конечномерные аналоги lpn , т.е. Rn с нормой kxkp = { nj=1 |xj |p }1/p . В [5] доказано,
что
1/r
n
1
1
, где 1 6 p 6 ∞, r = min{p, p′}.
Jlpn ≤ √
=
и
J
√
L
′
p
r
r′
n
+
1
2
2
Точность этих оценок для 1 6 p 6 2 и, при условии существования матрицы Адамара
порядка n+1, следует из [4]. Задача Юнга тесно связана с задачами теории приближений
(см. [6]).
В этой работе рассматриваются некоторые обобщения понятия диаметра множества
и теоремы Юнга.
Если предположить, что в метрическом пространстве M каждые два замкнутых шара
B(x, r), B(y, r), радиуса r > d(x, y)/2, имеют непустое пересечение, то определение диаметра ограниченного
множества V в M можно дать следующим образом: diam V 6 d,
T
если B(x, r) B(y, r) 6= ∅, где x, y ∈ V и r ≥ d/2. Или, что эквивалентно, любые две
точки x, y ∈ V можно покрыть шаром радиуса d.
Определение. Точки x, y в метрическом пространстве M назовём d-близкими, если
d(x, y) 6 d и d-далёкими, если d(x, y) > d. Будем говорить, что множество V в M
(|V | > p) обладает (p, q, d)-свойством, если среди любых p точек множества V найдутся q попарно d-близких.
Определение. Будем говорить, что множество V ( |V | > p) в метрическом пространстве M обладает (p, q)r -свойством, если любые p точек этого множества можно
покрыть q шарами радиуса r.
Замечание. Очевидно, что если множество V ⊆ M обладает (p, p − 1)d/2 -свойством,
то оно обладает (p, 2, d)-свойством. Верно и обратное, если в M каждые два замкнутых шара B(x, r), B(y, r), радиуса r > d(x, y)/2, имеют непустое пересечение.
Определение. Будем говорить, что множество является (p, d)-разбиваемым в метрическом пространстве M, если его можно разбить не более чем на p частей с суммой
диаметров, не превосходящим pd.
Теорема 1. Если V ⊆ M в метрическом пространстве M обладает (p, 2, d)-свойством,
то в V является (p − 1, d)-разбиваемым.
Доказательство. Индукция по p. Для p = 2 утверждение очевидно. Пусть множество
V обладает (p, 2, d)-свойством (p > 2) и для p − 1 теорема доказана. Докажем, что V
является (p − 1, d)-разбиваемым.
Если d(x, y) 6 (p − 1)d для всех x, y ∈ V , то всё очевидно. Пусть найдутся такие
x, y ∈ V , что d(x, y) > (p − 1)d. ПустьTf (k) — максимальное количество попарно dдалеких точек в множестве V1 (k) = V B(x, kd). Докажем, что f (k − 1) = f (k) для
некоторого 1 6 k 6 p − 2.
2
В самом деле, имеем f (0) = 1 и f (k − 1) 6 f (k). Если f (k − 1) < f (k) для всех
натуральных k 6 p − 2, то k < f (k) для всех k 6 p − 2. Следовательно, p − 1 6 f (p − 2)
и в V1 (p − 2) найдётся p − 1 попарно d-далёких точек x1 , x2 , . . . xp−1 . Тогда в V найдутся
p попарно d-далеких точек y, x1, x2 , . . . xp−1 . Противоречие.
Итак, f (k − 1) = f (k) 6 p − 2, для некоторого k 6 p − 2. Пусть V2 (k) = V \ B(x, kd).
Докажем, что V2 (k) обладает (p − f (k), 2, d)-свойством.
В противном случае, в V2 (k) нашлось p − f (k) попарно d-далёких точек и в V1 (k − 1)
нашлось f (k) попарно d-далёких точек. Так как d(x, y) > (p − 1)d, то d(u, v) > d для
всех u ∈ V1 (k − 1) и v ∈ V2 (k). Поэтому объединение этих точек состояло из p попарно
d-далёких точек в V . Противоречие.
По предположению индукции, множество V2 (k) является (p−f
(k)−1, d)-разбиваемым
S
и V1 (k) является (f (k), d)-разбиваемым. Так как V = V1 (k) V2 (k), то V является (p −
1, d)-разбиваемым
Замечание. Оценка количества частей точная. Если взять p − 1 отрезков длины
d в En на достаточно большом расстоянии между собой, то концы этих отрезков
образуют множество, обладающее (p, 2, d)-свойством, которое не (p − 2, d)-разбиваемо.
Следствие 2. Если множество V в M обладает (p, 2, d)-свойством, то это множество можно покрыть 6 p − 1 шарами с суммой радиусов (p − 1) · JM (d).
Замечание. Оценка суммы радиусов точная. Если взять p − 1 правильных n-мерных
симплексом с длиной ребра d в En на достаточно большом расстоянии между собой,
то вершины симплексов образуют множество, обладающее (p, 2, d)-свойством, которое
нельзя покрыть шарами с суммой радиусов < (p − 1) · Jn d.
Следствие 3. Если в конечном графе из любых p вершин найдутся две, соединённые
ребром, то граф можно разбить не более чем на p − 1 подграфов с суммой диаметров
(по внутренней метрике частей) не более чем p − 1.
Доказательство. Расстояние между двумя вершинами графа из одной компоненты связности определяется стандартным путём (см. [7]), а для вершин из разных компонент,
расстояние между ними — достаточно большое число. Далее рассуждаем также как и в
доказательстве теоремы 1.
Легко, привести пример множества в E2 , обладающего (p, 2, d)-свойством, и, которое
нельзя разбить на p − 1 частей, каждая из которых будет иметь диаметр 6 d. Например,
множество состоящее из вершин правильного пятиугольника со стороной равной d, хоть
и обладает (3, 2, d)-свойством, на две части диаметра d разбить нельзя. Однако, на три
части диаметра d такие множества всегда разбить можно. Более общий результат дает
следующая теорема.
Теорема 4. Если V ⊂ E2 обладает (p, 2, d)-свойством, то его можно разбить на 3(p−2)
частей, диаметр каждой из которых не превосходит d.
Доказательство. Заметим, что можно считать V замкнутым, поскольку замыкание V ,
очевидно, тоже обладает (p, 2, d)-свойством.
Доказательство будем проводить индукцией по p.
Докажем, что для p = 3, V
√ действительно можно разбить на 3 части диаметр которых
не больше d. Если diam V 6 3d, то, по теореме Юнга, V можно покрыть кругом радиуса
3
d. В силу компактности V , этот круг можно выбрать так, что на его границе будут лежат
точки из V . Обозначим центр этого круга через X, а точку на границе через Y . Заметим,
что точки множества V \ B(Y, d) попарно d-близки, а значит диаметр
T этого множества не
превосходит d. Кроме того, отрезок [X, Y ] разбивает множество V B(Y, d) на две части
диаметр каждой из которых не превосходит d. Так мы получаем
√нужное нам разбиение.
Если же найдутся такие две точки X, Y ∈
TV , что d(X,
T Y ) > 3d, тогда легко понять,
что множества V \ B(X, d), V \ B(Y, d) и V B(X, d) B(Y, d) в объединении дают всё
V , и диаметр каждой из этих частей не превосходит d. Действительно, точки каждого из
множеств V \B(X, d) и V \B(Y, d) попарно d-близки, в силу (3, 2, d)-свойства
множества
V
T
T
и наличия точки удаленной от всех
точек
множества.
А
множество
V
B(X,
d)
B(Y,
d)
T
целиком лежит внутри B(X, d) B(Y, d), диаметр которого не больше d (и достигается
на отрезке соединяющим точки пересечения окружностей S(X, d) и S(Y, d)).
Осталось доказать шаг индукции, иначе говоря если любое множество обладающее
(p−1, 2, d)-свойством можно разбить на 3(p−3) части, то множество обладающее (p, 2, d)свойством можно разбить на 3(p − 2) части диаметра не превосходящего d.
Рассмотрим такие две точки X, Y ∈ V , что d(X, Y ) = diam(V ) (в силу замкнутости V
можно считать, что такие две точки существуют). Заметим, что множество V \ B(X, d)
обладает (p T
− 1, 2, d)-свойством, а значит его можно разбить на 3(p − 3) части. С другой
стороны, V B(X, d) целиком лежит в полукруге круга B(X, d), диаметр которого перпендикулярен отрезку [X, Y ] (иначе бы нашлась точка, расстояние от которой до Y было
π
бы больше d(X, Y )). Но полукруг можно разбить на три сегмента
T с углом 3 , и диаметр
этих частей, очевидно, не будет превосходить d. Поэтому и V B(X, d) можно разбить
этими сегментами на три части. Таким образом мы всё V разбили на 3(p − 2) части,
диаметр каждой из которых не превосходит d.
Теорему 1 можно обобщить на случай множеств обладающих (p, q, d)-свойством, при
q > 2. Сначала заметим, что если любая точка V — предельная, то из (p, q, d)-свойства
V следует ([ p−1
] + 1, 2, d)-свойство V . Действительно, если в V есть [ p−1
] + 1 попарно
q−1
q−1
d-далёких точек, то близко к каждой такой точке поместим q − 2 точек, так чтобы они
находились на расстоянии > d от всех остальных. Так как ([ p−1
] + 1)(q − 1) > p, то в V
q−1
найдутся p точек, среди которых нет q попарно d-близких. Поэтому из теоремы 1 можно
сделать следующее следствие.
Следствие 5. Если множество V обладает (p, q, d)-свойством и любая его точка предельная, то оно ([ p−1
], d)-разбиваемо.
q−1
На самом деле, аналогичное утверждение верно для любого множества обладающего
(p, q, d)-свойством. Его можно разбить на части с аналогичным суммарным диаметром,
однако число частей придется увеличить.
Теорема 6. Если множество V обладает (p, q, d)-свойством, то его можно разбить
].
на p − 1 частей с суммой диаметров 6 d[ p−1
q−1
Доказательство. Предположим, что V обладает (p, q0 , d)-свойством, и для всех q < q0
], 2, d)-свойством, то из теоремы 1 слетеорема доказана. Если множество обладает ([ qp−1
0 −1
p−1
дует, что его можно разбить на [ q0 −1 ] − 1 частей с суммой диаметров [ qp−1
] − 1.
0 −1
p−1
Пусть V содержит множество U из [ q0 −1 ] попарно d-далёких точек. Легко видеть,
что V \ U обладает (p − [ qp−1
], q0 − 1, d)-свойством. Действительно, если в V \ U взять
0 −1
4
S
множество W из p − [ qp−1
]
точек,
среди
которых
нет
q
−
1
попарно
d-близких,
то
U
W
0
0 −1
имеет p точек и среди них нет q0 попарно d-близких, так как в множество из q0 попарно
d-близких точек входит не более одной точки из U и 6 q0 − 2 точек из W .
], q0 −1)-свойством, то, по предположению
Так как множество V \U обладает (p−[ qp−1
0 −1
p−[
p−1
]−1
−1
индукции, его можно разбить на p − [ qp−1
] − 1 частей с суммой диаметров [ qq00−2
]d.
0 −1
p−1
p−1
p−1
Добавляя U из [ q0 −1 ] точек, получаем разбиение V на 6 p − [ q0 −1 ] − 1 + [ q0 −1 ] = p − 1
частей. Так как
p − [ qp−1
]−1
0 −1
q0 − 2
=
0 −2)
]
[ (p−1)(q
q0 −1
q0 − 2
]d.
то сумма диаметров этих частей 6 [ qp−1
0 −1
6
(p−1)(q0 −2)
q0 −1
q0 − 2
=
p−1
,
q0 − 1
Замечание. Оценка суммы диаметров частей точна. Например, можно рассмотреть
объединение [ p−1
] единичных отрезков в En на достаточно большом расстоянии.
q−1
Замечание. По-видимому, оценка минимального количества частей с суммой диа] равна p − q + 1, но доказательство этого факта автору неизвестно.
метров ≤ d[ p−1
q−1
Легко видеть, что если множество — связно и обладает (p, q, d)-свойством, то его
диаметр не превосходит d[ p−1
]. Следовательно, если множество из En , то оно содержится
q q−1
n
] · 2(n+1)
. Но на радиус шара на плоскости, в этом случае можно,
в шаре радиуса d[ p−1
q−1
получить лучшую оценку.
Теорема 7. Если связное множество V в E2 обладает (p, 2, d)-свойством и p > 2, то
оно содержится в круге диаметра d(p − 1).
Доказательство. Докажем, что любые три точки множества V содержатся в круге диаметра d(p − 1). Тогда из этого и теоремы Хелли (см. [1]) будет следовать наше утверждение.
Возьмем любые три точки A, B, C. Пусть сторона BC — наименьшая в △ABC, и
будем считать, что △ABC * B(A, d), иначе утверждение доказано. Сначала те части V ,
которые лежат вне △ABC, будем отражать относительно сторон, которые разделяют
треугольник и эти части. Так получится связное множество V ′ , лежащее в △ABC и
обладающее (p, 2, d)-свойством, так как расстояния между точками не увеличиваются.
Покроем V ′ 6 p − 1 кругами радиуса d(1 + ε) (ε > 0) следующим образом. Возьмём
круг B(A, d(1 + ε)). На его границе, в силу связности V ′ , должна быть точка X1 из V ′ .
Возьмем в качестве первого кругаT
B(X1 , d(1 + ε)). Так как сторона BC наименьшая, то
π
∠A 6 3 и значит,
B(A, d(1 + ε)) △ABC ⊂ B(X1 , d(1 + ε)). Поэтому или △ABC ⊂
S
B(A, d(1 + ε)) B(X1 , d(1 + ε)) или на границе B(X1 , d(1 + ε)), в силу связности V ′ ,
должна быть точка X2 из V ′ .
Если k кругов уже построено, то центром k + 1 круга будем брать точку Xk+1 из
′
V , лежащую на границе объединения уже построенных кругов. Очевидно, что Xk+1 ∈
/
′
B(A, d(1 + ε)). Если таких точек нет, то V уже покрыто. Этот процесс остановится, так
таких кругов не может быть больше чем p − 2, иначе их центры X1 , X2 . . . Xm и точка A
образовывали бы больше чем p − 1 попарно d-далёких точек.
5
Если центр круга ω1 радиуса r лежит в круге ω2 радиуса R, то оба этих круга содержатся в круге радиуса R + 2r . Поэтому
[
[ [
m+1
(1 + ε))
B(X1 , d(1 + ε)) B(X2 , d(1 + ε)) · · · B(Xm , d(1 + ε)) ⊂ B(Y, d
2
для некоторого Y , но
B(A, d(1 + ε))
\
△ABC ⊂ B(X1 , d(1 + ε)) ⊂ B(Y, d
m+1
2
(1 + ε)).
Следовательно, △ABC ⊂ B(Y, d p−1
(1 + ε)). Так как ε — произвольно, то △ABC ⊂
2
p−1
B(Z, d 2 ) для некоторого Z.
Замечание. Ясно, что оценка точная. В качестве примера можно взять отрезок
длины d(p−1). Этот отрезок обладает (p, 2, d)-свойством и его нельзя покрыть кругом
диаметра меньше d(p − 1).
Следствие 8. Если связное множество в E2 обладает (p, q, d)-свойством и p > 2q − 1,
].
то оно содержится в круге диаметра d[ p−1
q−1
Замечание. К сожалению, подобное рассуждение не верно в размерностях
больших 2,
T ′
так как не всегда
существует такая вершина A, что B(A, r) V ⊂ B(X, r) для всех
T
X ∈ S(A, r) V ′ (S(A, r) — радиуса r с центром в A). В этом случае диаметр шара
получается равным pd.
Следствие 9. Если связное множество в En обладает (p, q, d)-свойством, то его мож] + 1)d.
но поместить в шар диаметра ([ p−1
q−1
Эта теорема сразу следует из замечания перед теоремой 6, предыдущей теоремы и
замечания к ней.
Следующая теорема в некотором смысле симметрична предыдущим. Похожее ограничение дается на взаимное расположение фигур и делается вывод о размерах наименьшей
из них.
Теорема 10. Пусть V1 , . . . , Vn , n > 1, — такие непустые множества в E2 , что d(x, y) 6
π
1 для всех i, j и для всех x ∈ Vi и y ∈ Vj , где i 6= j. Тогда diam Vi 6 cos−1 2n
для некоторого
i.
Доказательство. Предположим противное, тогда для любого i найдутся такие точки
π
> 1. Так как d(Ai , Aj ) 6 1 и d(Ai , Bj ) 6 1, j 6= i, то
Ai , Bi ∈ Vi , что d(Ai , Bi ) > cos−1 2n
Bi не принадлежит выпуклой оболочке этих точек и точки Ai . Значит, точки Ai , Bi , где
i = 1, . . . , n, образуют выпуклый n-угольник.
Докажем, что для любых i и j отрезки [Ai , Bi ] и [Aj , Bj ] пересекаются. Понятно, что
выпуклая
T оболочка точек Ai , Aj , Bi , Bj является четырёхугольником. В случае, если
[Ai , Bi ] [Aj , Bj ] = ∅, то они будут сторонами этого четырёхугольника. Без ограничения
общности можно считать, что это четырёхугольник Ai Bi Aj Bj (вершины перечислены по
часовой стрелке). Один из углов этого четырёхугольника должен быть не острым. Пусть
это угол Ai . Тогда сторона Bi Bj — наибольшей
в △Ai Bi Bj . А значит, Ai Bi < Bi Bj 6 1.
T
Противоречие. Следовательно, [Ai , Bi] [Aj , Bj ] 6= ∅ для любых i и j.
6
Возьмём выпуклую оболочку точек
T Ai и Bi . Обозначим вершины этого многоугольника Xi , i = 1, . . . , 2n. Так как [Ai , Bi ] [Aj , Bj ] 6= ∅ для любых i и j, то по обе стороны от
прямой Ai Bi будет одинаковое количество точек, а именно n − 1. Следовательно, номера
Ai и Bi отличаются ровно на n.
π
У выпуклого многоугольника X1 X2 . . . X2n все главные диагонали > cos−1 2n
, а стороны и остальные диагонали 6 1. Рассмотрим углы вида ∠Xi+n Xi Xi+1 и ∠Xi+n Xi Xi−1
(полагаем, что X2n+i = Xi ). Их сумма (2n − 2)π, значит, один из них > n−1
π, без огра2n
ничения общности можно считать, что это ∠Xn+1 X1 X2 . Он — острый, иначе бы сторона
Xn+1 X2 максимальная в △Xn+1 X1 X2 , а значит d(Xn+1, X1 ) < d(Xn+1, X2 ) 6 1, что противоречит выбору точек Ai , Bi . По теореме синусов для △Xn+1 X1 X2 имеем,
X1 Xn+1 6
1
1
Xn+1 X2
π
6
6
= cos−1 .
n−1
sin ∠Xn+1 X1 X2
sin ∠Xn+1 X1 X2
2n
sin 2n π
π
. Значит, из какого-то мноНо X1 и Xn+1 выбраны так, что d(X1 , Xn+1 ) > cos−1 2n
жества Vi невозможно выбрать две таких точек. То есть его диаметр не превосходит
π
cos−1 2n
.
Замечание. Если в качестве множеств взять пары противоположных вершин праπ
вильного 2n-угольника со сторонами равными tg 2n
, диаметр всех множеств равен
−1 π
cos 2n , то есть оценка точна.
Замечание. Очевидно, что объединение множеств, удовлетворяющих теореме 10 можно накрыть кругом радиуса 1. Действительно, в силу теоремы Хелли достаточно показать, что любые три точки можно накрыть таким кругом. Любые три точки из
одного множества можно накрыть кругом радиуса 1 с центром в любой точке из
другого множества. В другом случае, одна из этих точек принадлежит множеству,
которому не принадлежат остальные две, поэтому расстояние от неё до остальных
двух не больше 1.
В заключение приведём несколько теорем, связывающих (p, 2)r -свойства и возможность покрытия множеств ограниченным числом кругов. Следующая теорема даёт ответ
на вопрос Б. Грюнбаума (см. [1] стр. 104).
Теорема 11. Если V ⊂ E2 обладает (4, 2)r -свойством, то его можно покрыть 4 кругами радиуса r. И число 4 наименьшее обладающее этим свойством.
Доказательство. Для начала покажем, что 4 кругами действительно можно покрыть
множество V . Не уменьшая общности, можно считать, что r = 1. Если diam V 6 12/5,
√ ) для некоторого A.
то, по теореме Юнга, V ⊂ B(A, 512
3
Поскольку,
r
r
12
144
48 √
√ =
=
< 2.
75
25
5 3
√ ) можно покрыть 4 кругами радиуса 1, центры которых
Следовательно, круг B(A, 512
3
√ ).
суть середины сторон квадрата вписанного в окружность S(A, 512
3
Пусть найдутся такие X, Y ∈ V , что d(X,
Y
)
>
12/5.
Возьмём
множества V1 = V \
T
B(X, 2), V2 = V \ B(Y, 2) и V3 = B(X, 2) B(Y, 2). Рассуждая как в доказательстве
теоремы 1 получаем, что и в V1 и в V2 любые три точки содержатся в круге радиуса 1.
Значит, V1 и V2 содержатся в двух кругах радиуса 1.
7
T
′
′
′
Легко понять
что
если
длина
отрезка
[X,
Y
]
<
[X
,
Y
],
то
B(X
,
2)
B(Y ′ , 2) ⊃
T
⊃ B(X, 2) B(Y, 2). Поэтому нам достаточно показать, что V3 можно покрыть двумя
единичными кругами, в случае если длина отрезка [X, Y ] = 12/5. Пусть A и B точки пересечения окружностей S(X, 2) и S(Y, 2), C и D точки пересечения окружностей B(X, 2)
и B(Y, 2) с отрезком [X, Y ], M середина [X, Y ], O такая точка на отрезке [A, M], что длина [O, A] = 1. Тогда, по теореме Пифагора, длина отрезка [A, M] = 8/5. Следовательно
длина [O, M] = 3/5, и таким образом [O, C] = [O, D] = 1. А значит O это центр описанной окружности треугольника ACD и радиус этой окружности равен 1. И получаем, что
круг B(O, 1) накрывает ACD, а вместе с ним и всю половину области V3 лежащую по
ту же сторону от [X, Y ], что и точка A. Аналогично накроем вторую половину области
V3 . И в этом случае V покрыто 4 кругами радиуса 1.
Осталось привести пример множества обладающего (4, 2)r -свойством, но которое нельзя покрыть 3 кругами радиуса r. Возьмем квадрат со стороной 2r. Около каждой вершины возьмем “галочки” состоящие из дуг окружностей с центрами в соседних вершинах
и радиуса 2r (рис. 1).
B
A
b
bC
b
b
D
Рис. 1
Получившееся множество будет обладать (4, 2)r -свойством. Действительно, возьмем
любые 4 точки из этого множества. Если они принадлежат разным “галочкам”, то их
можно накрыть двумя кругами первый из которых накрывает по одной точке из “галочек” A и B, второй точки из “галочек” C и D. Если в какой-то “галочке”, допустим
при вершине A, находится две точки, а расстояние между другими двумя превышает
2r (иначе их можно накрыть кругом радиуса r и этот случай разобран), значит они
принадлежат противоположным галочкам, то есть при вершинах B и D. Тогда одной
окружностью накроем точку при вершине D и одну из двух при вершине A, а другой
окружность оставшиеся две точки. Случай, когда в какой-то из “галочек” три или четыре
точки очевиден.
Объясним, почему это множество нельзя покрыть 3 кругами радиуса 2r. Заметим, что
круг не может полностью накрыть три дуги (точнее их концов при вершинах) из которых
состоят “галочки”. А поскольку таких дуг 8, какая-та дуга останется не покрытой.
Замечание. Из доказательства видно, что радиус кругов можно уменьшить.
Следствие 12. Пусть в E2 дано семейство равных кругов, обладающее свойством, что
из для любых четырех из них можно указать 2 точки, что каждый содержит хотя
бы одну из них. Тогда можно указать 4 точки, что каждый круг из этого семейства
содержит хотя бы одну из них.
Теорема 13. Если V ⊂ E2 обладает (3, 2)r -свойством, то его можно покрыть 6 кругами радиуса r.
8
Доказательство. Не уменьшая общности, можно считать, что r = 1. а V можно считать
замкнутым (поскольку замыкание V тоже будет обладать (3, 2)1 -свойством).
T Возьмем
такие X, Y ∈ V , что d(X, Y ) = diam V > 3. Если d(X,
T Y ) > 4, тоTB(X, 2) B(Y, 2) =
∅. Поэтому V можно разбить на два множества V B(X, 2) и V B(Y, 2) каждое из
которых имеет диаметр 1, а значит покрывается 3 кругами радиуса 1 (см. [8]). Значит
всё V можно покрыть 6 кругами радиуса 1 и в этом случае утверждение доказано.
Пусть d(X, Y ) < 4. Обозначим через V1 множество точек из V , которые находятся
ближе к X чем к Y . Аналогично, V2 — множество точек из V , лежащих ближе к Y , чем
к X. Полуплоскости на которые делит E2 серединный перпендикуляр к отрезку [X, Y ]
обозначим через EX и EY , первая та которая содержит точку X, вторая точку Y .
Множество V мы покроем 6 кругами следующим образом: мы выберем два круга
с центрами на серединном перпендикуляре к отрезку [X, Y ] и по два круга на каждое
множество V1 и V2 , которые вместе с первыми двумя кругами полностью покроют нашу
фигуру. Заметим, что V1 целиком лежит в полукруге круга B(X, 2), диаметр которого перпендикулярен отрезку [X, Y ]. Аналогичное верно и для V2 . Обозначим эти два
полукруга через B ′ (X, 2) и B ′ (Y, 2).
По теореме Юнга существует шар B(A, √23 ) накрывающий V1 , кроме того, можно
считать что A лежит внутри выпуклой оболочки V1 , а значит внутри рассматриваемого
нами полукруга. Наша цель покрыть шары Юнга для V1 и V2 .
Рассмотрим декартову систему координат с центром в X и осью абсцисс проходящей
через Y . Первые два круга ω1 и ω2 возьмем на серединном перпендикуляре к [X, Y ] с ординатами 0, 65 и −0, 65. Другие две пары кругов мы уже будем выбирать в зависимости
от того где лежат центры шаров Юнга. Без ограничения общности, можем считать, что
ордината A неотрицательна.
Тогда нам достаточно покрыть двумя кругами непокрытые
T
еще точки из B ′ (X, 2) EX ординаты которых больше чем − √23 . Для этого мы возьмем
два единичных круга ω3 и ω4 с центрами O3 = (0, 5; 1, 2) и O4 = (0, 52; −0, 43) соответственно. Нам достаточно показать, что они покрывают
наше
множество, в случае
T
S
S ′ если
′
′
′
длина отрезка [X, Y ] = 4, поскольку (B (X, 2) EX ) \ (ω1 ω2 ) ⊂ B (X, 2) \ (ω1 ω2 ), где
ω1′ и ω2′ круги с координатами (2; 0, 65) и (2; −0, 65) соответственно.
Wb
b
b
P
O3
ω3
O
b 1
Vb
X
b
b
b
b
b
T
O2
O4
ω4
Zb
ω1
Q
b
b
b
S
U
ω2
Рис. 2
На рисунке 2 видно, что выбранные круги покрывают нужное
√ нам
√ множество.
Покажем что это действительно так. Выберем
точки P = ( 2; 2), Q = (1, 05; 0, 4),
√
8
2
√
√
S = (1, 17; − 3 ), T = (1, 3; 0), R = (0; 0, 4), U = ( 3 , − √23 ), W = (0; 2), Z = (0; − √23 ). Если
показать, что круги содержат соответствующие точки, следовательно они содержат и
9
соответствующие области (на рис. 2 области отделены пунктирными линиями). Ниже
приведены подсчитанные (по теореме Пифагора) нужные нам расстояния (точнее их
квадраты, которые √
так же не
√ должны превосходить 1).
d(O1 , P )2 = (2 − 2)2 + ( 2 − 0, 65)2 < (2 − 1, 41)2 + (1, 42 − 0, 65)2 = 0, 3281 + 0, 5929 =
= 0, 921 < 1.
d(O1 , Q)2 = 0, 952 + 0, 152 = 0, 9025 + 0, 0225 = 0, 925 < 1.
d(O1 , T )2 = d(O2 , T )2 = 0, 72 + 0, 652 = 0, 49 + 0, 4225 = 0, 9125 < 1.
d(O2 , S)2 = 0, 832 + ( √23 − 0, 65)2 < 0, 832 + (1.16 − 0, 65)2 = 0, 6889 + 0, 2601 = 0, 949 < 1.
d(O2 , U)2 = (2 − √83 )2 + ( √23 − 0, 65)2 < (2 − 1, 63)2 + (1.16 − 0, 65)2 = 0, 1369 + 0, 2601 =
= 0, 397 < 1.
√
√
d(O3 , P )2 = ( 2 − 0, 5)2 + ( 2 − 1, 2)2 < (1, 42 − 0, 5)2 + (1, 42 − 1, 2) = 0, 8464 + 0, 0484 =
= 0, 8948 < 1.
d(O3 , Q)2 = 0, 552 + 0, 82 = 0, 3025 + 0, 64 = 0, 9425 < 1.
d(O3 , R)2 = 0, 52 + 0, 82 = 0, 25 + 0, 64 = 0, 89 < 1.
d(O3 , W )2 = 0, 52 + 0, 82 = 0, 25 + 0, 64 = 0, 89 < 1.
d(O4 , R)2 = 0, 522 + 0, 832 = 0, 2704 + 0, 6889 = 0, 9593 < 1.
d(O4 , Q)2 = 0, 532 + 0, 832 = 0, 2809 + 0, 6889 = 0, 9698 < 1.
d(O4 , T )2 = 0, 782 + 0, 432 = 0, 6084 + 0, 1849 = 0, 7933 < 1.
d(O4 , S)2 = 0, 652 +( √23 −0, 43)2 < 0, 652 +(1, 16−0, 43)2 = 0, 4225+0, 5329 = 0, 9554 < 1.
d(O4 , Z)2 = 0, 522 +( √23 −0, 43)2 < 0, 522 +(1, 16−0, 43)2 = 0, 2704+0, 5329 = 0, 8033 < 1.
Замечание. Из доказательства видно, что радиус кругов можно уменьшить. Однако
число кругов уменьшить нельзя. В качестве примера можно взять два достаточно
далеких друг от друга треугольника Рело с диаметром 2.
Следствие 14. Пусть в E2 дано семейство равных кругов, обладающее свойством, что
из для любых трех из них можно указать 2 точки, что каждый содержит хотя бы
одну из них. Тогда можно указать 6 точек, что каждый круг из этого семейства
содержит хотя бы одну из них.
К сожалению, автору не удалось ответить на вопрос о наименьшем числе кругов
достаточных для покрытия множества обладающего (p, 2)r -свойством при p > 4. Из теоремы 11 следует что оно не больше 4. Кроме того можно привести приме множества
обладающего (p, 2)r -свойством, но не покрываемым 2 кругами радиуса r. А именно, рассмотрим множество состоящее из вершин правильного (2k + 1)-угольника A1 A2 . . . A2k+1 ,
с диагональю A1 Ak равной 2r (k > 1). Все вершины кроме одной можно покрыть двумя кругами радиуса r, однако все вершины двумя кругами покрыть нельзя, покскольку
круг не может накрывать больше чем k вершин. Так как для любого p, найдется такое
k, что 2k + 1 > p, существует множество из вершин многоугольника, которое обладает
(p, 2)r -свойством, но двумя кругами это множество не покрывается.
10
Список литературы
[1] Данцер Л., Грюнбаум Б., Кли И. Теорема Хелли. — М.: Мир, 1968.
[2] Dekster B.V. The Jung Theorem for spherical and the hyperbolic spases. 1992. preprint.
[3] Конвей Дж., Слоэн Н. Упаковки шаров, решетки и группы. Т. 1. — М.: Мир, 1990.
[4] Дольников В.Л. О константе Юнга в l1n //Мат. заметки. 1987. Т. 42. №4. С. 519 –
526.
[5] Пичугов С.А. Константа Юнга пространства Lp //1988. Мат. заметки. Т. 43. №5.
С. 604 – 614.
[6] Иванов В.И, Смирнов О.И. Константы Джексона и константы Юнга в пространствах Lp . — Тула: Изд. ТулГУ, 1995.
[7] Харари Ф. Теория графов. — М.: Мир, 1973.
[8] Шклярский Д.О., Ченцов Н.Н., Яглом И.М. Геометрические оценки и задачи из
комбинаторной геометрии. — М.: Наука, 1974.
11