ω0 - СПбГУ

Санкт-Петербургский государственный университет
Физический факультет
Первая физическая лаборатория
Учебно-методическое пособие
для студентов физического факультета
Санкт-Петербург
2008 г.
Гироскоп.
Лабораторная работа №7.
Предварительные замечания.
Гироскопом обычно называют быстровращающееся симметричное массивное твердое тело, ось вращения (ось симметрии) которого может изменять
свое направление в пространстве.
Свойствами гироскопа обладают вращающиеся небесные тела, электроны
в атомах, артиллерийские снаряды, роторы турбин, устанавливаемых на судах,
винты самолетов и т. д. В современной технике гироскоп - основной элемент
всевозможных гироскопических устройств или приборов, широко применяемых для автоматического управления движением самолетов, судов, торпед, ракет, для целей навигации (указатели курса, горизонта, стран света и пр.) и во
многих других случаях.
Простейшим гироскопическим прибором, который входит в качестве основной составной части в большинство гироскопических устройств, является
массивный диск (ротор гироскопа), закрепленный в кольцах так называемого
карданова подвеса (рис. 1.7).
рис. 1.7
В этом приборе имеются три оси вращения, взаимно перпендикулярные и пересекающиеся в одной точке: ось AA1 наружного кольца подвеса, ось BB1 внутреннего кольца и ось CC1 ротора гироскопа (ось гироскопа).
Если общий центр тяжести подвижных частей прибора - ротора и двух
колец - совпадает с точкой пересечения трех осей вращения прибора, то гироскоп сохраняет равновесие при любом положении его ротора - равновесие является безразличным. Такой гироскоп называется уравновешенным или астатическим.
Основные свойства гироскопа.
Если ротор уравновешенного гироскопа не вращается, то достаточно
слегка ударить по прибору, чтобы его ось вышла из первоначального положения и начала поворачиваться в соответствии с направлением силы удара. Это
движение будет продолжаться, пока силы трения не остановят прибор в какомто новом равновесном положении. Если же привести ротор гироскопа в быстрое вращение, то реакция его на действие внешних сил будет совершенно
2
иной. Теперь после резкого удара ось гироскопа не уходит далеко, а вращается
вокруг направления, близкого к первоначальному, описывая коническую поверхность. Такое движение называется нутацией. Чем быстрее вращается ротор
гироскопа, тем меньше амплитуда нутаций и тем больше их частота, так что если гироскоп вращается достаточно быстро, то нутации практически незаметны,
наблюдается лишь небольшое дрожание оси. Таким образом, ось гироскопа
приобрела устойчивость, и эта устойчивость тем больше, чем больше угловая
скорость вращения и момент инерции ротора.
Изменится и направление движения оси при длительном воздействии
внешних сил: если к вращающемуся гироскопу приложить пару сил, стремящихся повернуть его около оси, перпендикулярной к оси его вращения, то он
станет поворачиваться около третьей оси, перпендикулярной к первым двум. В
этом и заключается так называемый гироскопический эффект.
Эти, парадоксальные на первый взгляд, свойства гироскопа могут быть
поняты на основании следующего рассмотрения. Представим себе для простоты гироскоп в виде кольца KLMN, неизменно связанного с осью OO' (рис. 2.7) и
вращающегося вокруг этой оси в направлении, указанном стрелкой.
рис. 2.7
При поворачивании оси OO' в плоскости рисунка на малый угол ϕ она займет
положение О1O1', а кольцо KLMN перейдет в положение K1LM1N. При этом линейные скорости вращения всех точек кольца, кроме точек K и M, изменят
свои направления. В точках K и M векторы скорости сместятся лишь параллельно самим себе: изменения для них равны нулю. Для точек L и N изменение
r
скорости Δv будет наибольшим, причем для точки L вектор Δv будет направлен
3
вниз, а для точки N - вверх. Для промежуточных точек кольца численные изменения скорости будут лежать в пределах от 0 до Δv, причем для всей половины
кольца KLM эти изменения направлены вниз, а для всей половины кольца MNK
- вверх. Чтобы вызвать такие изменения скоростей, к оси надо приложить пару
сил F и F', лежащих в плоскости, перпендикулярной плоскости чертежа. Таким
образом, становится ясным, что для того, чтобы повернуть ось вращения гироскопа OO' вокруг направления LN, нужно приложить пару сил, стремящихся
повернуть его вокруг перпендикулярного направления KM; гироскоп стремится расположить ось своего вращения таким образом, чтобы она образовывала
возможно меньший угол с осью вынужденного вращения и чтобы оба вращения
совершались в одном и том же направлении.
Силы, приложенные к связям, удерживающим ось, равны силам F и F', но
направлены в противоположные стороны. Они носят название гироскопических
сил.
Рассмотрим движение гироскопа под действием внешних сил на примере
волчка, опирающегося на горизонтальную подставку в точке O и вращающегося вокруг своей оси OO' с угловой скоростью ω (рис. 3.7).
рис.3.7
Пусть в некоторый момент времени волчок занимает наклонное положение, как
показано на рисунке, и его ось составляет с вертикалью угол ϕ. На волчок действует пара сил F и F' (сила тяжести и реакция опоры, трением мы пренебрегаем) стремящаяся наклонить его ось еще больше, но благодаря гироскопическому эффекту ось отклоняется в перпендикулярном направлении, в результате чего волчок не падает, а начинает вращаться вокруг вертикальной оси так, что его
ось описывает коническую поверхность. Такое движение называется прецессией.
Для количественного описания прецессии введем понятия момента силы
и момента импульса и выведем уравнение, связывающее эти величины.
4
Рассмотрим материальную точку, движущуюся под действием силы F.
Пусть положение материальной точки относительно некоторой точки O, приняr
r
той за начало, характеризуется радиус-вектором r , а ее импульс - p .
Моментом силы, действующим на материальную точку, относительно
точки
O называется вектор
r
r r
M = [r , F ] (1.7)
r
r
- векторное произведение радиус-вектора r на силу F .
Моментом импульса материальной точки относительно точки O, называется
вектор
r r r
N = [r , p ] (2.7)
r
r
- векторное произведение радиус-вектора r на импульс p .
Рассмотрим теперь систему материальных точек (частным случаем такой
системы, когда расстояния между всеми точками остаются неизменными, является твердое тело).
Моментом силы, действующим на систему, относительно точки O называется
сумма
моментов
сил, приложенных к точкам системы:
r
r
r r
M = ∑ M i = ∑ [ri , Fi ] (3.7)
i
i
В силу третьего закона Ньютона моменты всех внутренних сил взаимно уничтожаются, поэтому в выражении (3.7) нужно учитывать только внешние силы.
Моментом импульса системы материальных точек относительно точки
O называется сумма моментов импульса материальных точек, составляющих
систему
r
r r
N = ∑ [ri , pi ] (4.7)
i
Для того чтобы найти связь между моментом силы и моментом импульса, продифференцируем
равенство (4.7) по времени.
r
r
r
dN
⎡ dri r ⎤
⎡ r dpi ⎤
= ∑ ⎢ , pi ⎥ + ∑ ⎢ri ,
(5.7)
dt
⎦ i ⎣ dt ⎥⎦
i ⎣ dt
r
⎛ dri ⎞ r
Учтем, что ⎜ ⎟ = vi - вектор скорости материальной точки, по направлению
⎝ dt ⎠
r
совпадающий с ее импульсом p . Так как векторное произведение двух парал-
лельных векторов равно нулю, то равен нулю и первый член правой части равенства (5). Второй же член выражает момент сил, поскольку в соответствии со
вторым законом Ньютона
r
dpi r
= Fi .
dt
В rрезультате уравнение (5.7) примет вид
r
dN
=M
dt
(6.7)
Это равенство называют уравнением моментов.
Рассмотрим теперь однородное твердое тело, имеющее ось симметрии
OO' и вращающееся вокруг этой оси с угловой скоростью ω (рис.4.7).
5
рис. 4.7
Выберем на оси произвольную точку O (безразлично, внутри тела или вне его)
и определим момент импульса тела относительно этой точки. Разобьем тело на
элементарные
объемы ΔVi с массой Δmi. Момент импульса такой частички буr
r
r r
дет N = Δmi [ri , vi ] . Это вектор, перпендикулярный радиус-вектору ri , опредеr
ляющему положение элементарной частички Δmi и ее скорости vi . Просуммируем
поr всем i
r
N = ∑ N i (7.7)
i
Учтем,
что в силу осевой симметрии фигуры, каждомуrэлементарному объему
r
ΔVi , будет соответствовать симметричный ему объем ΔVi′ с моментом импульса
r
r
r
ΔN i′ . При сложении векторов N i и N i′ составляющие, перпендикулярные оси,
взаимно уничтожатся, поэтому в сумме (7.7) нужно учитывать только составr
ляющие параллельные оси, равные N i sin ϕi , где ϕi - угол, который вектор ri составляет с осью. Следовательно
N = ∑ N i sin ϕi = ∑ Δmi ri vi sin ϕi = ∑ Δmi ri ⊥ vi
i
i
i
где ri - составляющая радиус-вектора ri, перпендикулярная оси, т.е. попросту
расстояние рассматриваемого элементарного объема от оси вращения Ri. Но по
определению угловой скорости vi=ωRi, причем угловая скорость ω для всех точек тела одинакова, поэтому
⊥
N = ∑ Δmi Ri2ω = ω ∑ Δmi Ri2 = Iω
i
i
Величину
I = ∑ Δmi Ri2
i
называют моментом инерции тела относительно оси OO'.
Если перейти к интегралу, то момент инерции определится так
I = ∫ ρR 2 dV ,
V
где ρ - плотность тела, V -rего объем.
Момент импульса N , как мы видели, направлен по оси вращения, как и
вектор
угловой скорости, поэтому в векторном виде можно записать
r
r
N = Iω (8.7)
Заметим, что если ось вращения не совпадает с осью симметрии тела (или симметрии вообще нет), то при суммировании в (7.7) составляющие, перпендику6
лярные оси, в общем случае не уничтожатся взаимно, и направление момента
импульса не совпадет с направлением угловой скорости.
Вернемся к нашему волчку. Найдем связь между угловой скоростью прецессии ω1 и моментом сил M. В нашем случае равенство (8.7) не вполне точно,
так как волчок участвует одновременно в двух вращательных движениях - вращении вокруг своей оси и прецессии около оси OZ. Но так как скорость
прецесr
сии невелика, её влиянием на величину и направление вектора N можно пренебречь.
Рассмотрим
уравнение (6.7). За бесконечно малый промежуток времени
r
dt вектор N получает перпендикулярное себе приращение dN=Nsinϕdα, лежащее в горизонтальной плоскости. Следовательно,
M = N sin ϕ
Но
dα
dt
dα
есть, очевидно, угловая скорость прецессии
dt
ω1. (Заметим, что, так как
момент сил в нашем случае – величина постоянная, то постоянной будет и угловая скорость прецессии). Подставив в последнее выражение N=Iω и
dα
= ω1
dt
будем иметь
M=Iωω1sinϕ,
а,r учитывая векторный характер величин, получим
r r
M = [ω1 , Iω ] (9.7)
По этой формуле можно определить величину и направление угловой скорости
прецессии, если известен момент сил, действующих на гироскоп. Из формулы
(9.7) следует, что момент сил определяет не угловое у с к о р е н и е (как это
было бы для не вращающегося гироскопа), а угловую с к о р о с т ь прецессии.
Значит, как только внешнее воздействие прекращается (M=0), прекращается и
прецессионное движение. Если воздействие было кратковременным, то ось успеет повернуться только на очень малый угол. Таким образом, становится понятной и устойчивость гироскопа.
Производство опыта и обработка результатов наблюдений.
Задачей работы является знакомство с гироскопическим эффектом и определение момента инерции гироскопа. В нашей работе телом гироскопа служит ротор электромотора, укрепленного на одном конце массивного стержня.
На другом конце стержня имеется противовес, могущий передвигаться вдоль
стержня. Стержень с мотором и противовесом закреплен в кардановом подвесе.
Мотор питается через реостат от источника постоянного стабилизированного
напряжения HY5003 (выставлено напряжение 22 В).
1. Знакомство с гироскопическим эффектом.
Уравновесьте гироскоп. Сделайте это на глаз или воспользуйтесь уровнем. С уравновешенным гироскопом проведите следующие наблюдения:
а) Убедитесь в том, что ось не вращающегося гироскопа смещается по направлению действующих сил.
б) Включите мотор на наибольшее число оборотов. Уточните положение противовеса, добиваясь отсутствия прецессии. Наблюдайте за поведением вра7
щающегося гироскопа: толкая ось в горизонтальном и вертикальном направлениях, проследите за её смещением. Результаты наблюдений оформите в виде
чертежа, схема которого показана на рис. 5. На рисунке: O – точка опоры, N момент количества движения гироскопа, F и F' - действующие силы. По направлению силы и момента количества движения определите (сначала
теоретиr
чески) направление приращения момента количества
движения ΔN . Проверьте
r
ваши ожидания на практике. Изобразите вектор ΔN на чертеже.
рис. 5.7
2. Определение момента инерции гироскопа.
Наблюдая прецессию неуравновешенного гироскопа определите момент
инерции I пользуясь соотношением (9.7).
В нашей работе прецессия гироскопа вызывается смещением противовеса
вдоль стержня. Таким образом, момент сил, вызывающих прецессию, M равен
разности моментов, создаваемых противовесом в неуравновешенном и уравновешенном состояниях, M=P(l-l0), где P есть вес противовеса вместе с контргайкой, l0 - плечо уравновешенного, а l - плечо неуравновешенного гироскопа.
Вес P определяется взвешиванием на технических весах, а l-l0 - разность
расстояний от конца стержня до края противовеса для уравновешенного и неуравновешенного гироскопа - измеряется штангенциркулем.
Скорость вращения мотора регулируется силой тока с помощью реостата
в цепи мотора. Измеряется она строботахометром. Принцип действия прибора и
правила работы с ним приведены в конце описания.
Силы трения в роторе не дают возможности получать малые скорости
вращения. Кроме того, чем больше скорость вращения, тем более устойчив гироскоп. Поэтому рекомендуется проводить измерения при скоростях не меньших, чем 1500 об/мин.
Угловая скорость прецессии ω1 определяется по периоду прецессии (измеряется секундомером).
Измерения периода прецессии нужно провести для нескольких значений
моментов M, для каждого M провести наблюдения при нескольких (5-6) скоростях вращения ротора гироскопа ω.
Результаты наблюдения следует представить графически, откладывая по
оси абсцисс частоту ω, а по оси ординат - произведение ωω1. Точки в пределах
ошибок наблюдения должны лежать на прямой, параллельной оси абсцисс (для
каждого значения M будет своя прямая). Из этих наблюдений нужно определить значение момента инерции гироскопа I.
8
Строботохометр СТ-МЭИ.
Основное назначение строботахометра - бесконтактное измерение скоростей вращения валов двигателей и других механизмов.
Устройство строботахометра схематически показано на рис.6.7.
Рис. 6.7
Конденсатор C подключен к источнику постоянного напряжения через
сопротивление R. Параллельно конденсатору включена импульсная газоразрядная лампа Л. Напряжение источника недостаточно для ионизации газа в
лампе, так что лампа не проводит тока до тех пор, пока на ее поджигающий
электрод не будет подано напряжение от генератора поджигающих импульсов
Г. Но когда газ в лампе уже ионизован, лампа продолжает проводить ток и после прекращения поджигающего импульса, одновременно возбужденные атомы
газа (ксенона) излучают свет. По мере разряда конденсатора C напряжение на
лампе постепенно снижается (сопротивление R настолько велико, что практически весь ток через лампу течет за счет разряда конденсатора). Через весьма
короткий промежуток времени после начала разряда напряжение падает до такой величины, что уже не может поддерживать ионизацию газа, и лампа гаснет.
Затем, пока лампа не горит, конденсатор вновь заряжается до напряжения источника. Следующий поджигающий импульс вновь вызывает вспышку лампы и
т.д. Частота вспышек определяется частотой следования поджигающих импульсов. Она регулируется ручкой "ДИАПАЗОНЫ" (переключатель на три положения) и ручкой плавной настройки (эта ручка двойная, допускающая как
более грубое, так и более плавное вращение). Отсчет частоты производится по
шкале, градуированной в об/мин.
Cтроботахометр представляет собой весьма ценный прибор. Для того
чтобы не вывести его из строя, нужно строго соблюдать указанные ниже
правила включения.
При включении тахометра в сеть нужно иметь в виду, что в его схему
входит тиратрон (газоразрядный триод), для которого опасно как слишком высокое, так и слишком низкое напряжение. Поэтому перед включением необходимо проверить, в какое из гнезд на задней стороне прибора ввинчен предохранитель. Он должен быть ввинчен в гнездо, соответствующее напряжению сети
220 В (если нет - самим не переключать, обратиться к дежурному инженеру!).
Перед включением в сеть убедитесь, что переключатель, расположенный с левой стороны передней панели, стоит в положении "ВЫКЛ". При включении
прибора нужно сначала перевести этот переключатель в положение "СЕТЬ",
9
при этом загораются сигнальная лампа и лампы освещения шкалы. Затем прибор должен прогреваться не менее 3-х минут, и только после этого можно
повернуть переключатель в следующее положение "ЛАМПА" (в противном
случае тиратрон выйдет из строя). Держать лампу включенной без надобности
не следует, при коротких перерывах в работе нужно переводить выключатель в
положение "СЕТЬ", а при длительных - совсем выключать прибор.
Включив тахометр, следует проверить калибровку генератора импульсов.
Для этой цели тахометр снабжен вибратором, колеблющимся с удвоенной частотой сети (100 гц). Осветив вибратор лампой тахометра, нужно установить
стрелку в положение "1000 об/мин", если калибруется шкала первого диапазона, "3000 об/мин" для второго диапазона и "12000 об/мин" для третьего диапазона. При этом, вибратор должен казаться неподвижным (при 12000 об/мин
должны быть видны 2 неподвижных изображения). Если этого не наблюдается,
то следует подстроить генератор (только в присутствии инженера!), вращая отверткой винты, расположенные в отверстиях на передней панели прибора.
Погрешность градуировки шкалы тахометра не превышает 1% от измеряемой величины.
Для измерения скорости вращения мотора на ось гироскопа насажен металлический диск, на котором наклеена узенькая белая полоска. Освещая вращающийся диск светом импульсного источника строботахометра, мы будем
видеть изображение полоски. При совпадении частоты импульсного источника
и скорости вращения диска мы увидим одно неподвижное изображение полоски. Если частота импульсного источника окажется больше в два, три раза, вообще окажется кратной частоте вращения мотора, мы увидим на диске два, три,
и т. д. изображений полоски. Но одно изображение мы будем видеть также, если частота вращения мотора будет больше частоты строботахометра в целое
число раз. Тогда одна вспышка источника будет приходиться на два, три и т. д.
оборота мотора. Поэтому, чтобы однозначно судить о быстроте вращения мотора по показаниям строботахометра, рекомендуется начать наблюдения за
изображением полоски на диске с больших частот строботахометра, когда видны несколько изображений. Уменьшая частоту строботахометра, мы, наконец,
увидим одно неподвижное изображение. Это и будет соответствовать равенству
частот строботахометра и диска. Измерение частоты ω следует производить
дважды, до и после наблюдения периода прецессии, причем в последнем случае
нужно пронаблюдать скорость вращения у прецессирующего гироскопа не останавливая его, подрегулировав частоту вспышек строботахометра.
Определение скорости полета пули методом баллистического
маятника.
Лабораторная работа № 34
Экспериментальная установка.
Баллистический маятник состоит из небольшого диска С (рис. 1.34), который
закреплен на длинной рейке. Рейка вместе с диском может свободно, с очень
10
малым трением, вращаться вокруг неподвижной оси. На рис. 1.34 эта ось вращения (точка опоры "О") перпендикулярна плоскости рисунка. Выстрел производится из духового ружья, укрепленного в станке так, чтобы вектор скорости
пули был направлен горизонтально по прямой, проходящей через центр диска
перпендикулярно оси его вращения. Поверхность диска покрыта пластилином.
Пуля, застревая в пластилине, теряет свою скорость и одновременно сообщает
маятнику некоторый импульс. В результате маятник отклоняется от вертикальной линии ОС на угол α, который измеряется методом "зеркала и шкалы" (см.
ниже).
рис.1.34
Вывод рабочей формулы.
Рассматривая процесс столкновения пули и диска как неупругий удар можно на
основании закона сохранения момента количества движения и закона сохранения энергии получить уравнение, необходимое для определения скорости пули
v.
Момент количества движения системы взаимодействующих между собой
пули и маятника относительно оси вращения до удара равен моменту количества движения пули mva, где m – масса пули, v – её скорость и a – расстояние от
оси вращения до точки удара пули. С другой стороны, момент количества движения маятника вместе с застрявшей в ней пулей после окончания удара (когда
пуля полностью затормозилась), равен (J+ma2)ω0, где ω0 – начальная угловая
скорость маятника после удара, ma2 – момент инерции пули, а J – момент
инерции маятника относительно оси вращения О. Таким образом
mva=(J+ma2)ω0. (1.34)
Хотя момент инерции пули значительно меньше момента инерции маятника, но
вторым членом в скобках в (1.34) можно пренебречь далеко не всегда. Вам необходимо будет на основании измерений показать (или опровергнуть) возможность такого упрощения.
Для того, чтобы определить начальную угловую скорость маятника ω0
применим к процессу, проходящему в системе после окончания удара, закон
11
сохранения энергии. Непосредственно после завершения процесса удара маятник вместе с засевшей в нем пулей будет иметь запас кинетической энергии
J + ma 2 2
ω0 ,
2
который затем, в момент наибольшего отклонения, превратится в потенциальную энергию, равную
(M+m(a/l))gh,
где M – масса маятника, h – высота поднятия его центра масс. Множитель
(a/l) учитывает, что центр масс пули не совпадает с центром масс маятника
(без пули).
Из рис.2.34 видно, что h = l − l cos α = l (1 − cos α ) = 2l sin 2
α
2
, где l – расстояние
от оси вращения О до центра масс маятника Z .
рис.2.34
Итак, получаем уравнение
a
1
α
( ma 2 + J )ω 02 = 2( M + m ) gl sin 2
l
2
2
откуда
ω 0 = 2 sin
α
2
a
( M + m ) gl
l
2
( ma + J )
(2.34)
Подставив выражение для ω0 из (2.34) в формулу (1.34) и решив полученное
уравнение относительно v будем иметь
v = 2 sin
α
2
a
( J + ma 2 )( M + m ) gl
l
ma
(3.34)
Все величины, входящие в правую часть выражения (3.34), могут быть
определены экспериментально.
12
Порядок выполнения работы.
1) Определяют массу маятника взвешивания его на технических весах.
2) Определяют положение центра масс маятника. Для этого кладут его на специальную призму. Перемещая рейку маятника на призме находят положение равновесия (рейка должна быть при этом горизонтальна!); измеряют по линейке расстояние l от точки касания рейки и призмы до оси вращения маятника.
3) Измеряют линейкой расстояние от оси вращения до центра диска (точки будущего удара пули). Строго говоря, из-за неточности прицеливания этот параметр нужно
определять после каждого выстрела - по месту попадания пули, а перед следующим
выстрелом заново разравнивать пластилин.
4) Момент инерции маятника находят по формуле, определяющей период колебания физического маятника T = 2π
J
. Для этого маятник слабыми толчками
Mgl
приводят в колебание. Когда колебания более или менее установятся (прекратятся боковые колебания) определяют период Т. Для этого с помощью секундомера замечают время t нескольких (20÷30) колебаний. Период равен T=t/N,
где N – число колебаний, происшедшее за время t. Таким образом, момент
инерции маятника J находится по формуле
MglT 2
J=
4π 2
5) Масса каждой пули определяется взвешиванием на аналитических весах.
6) Проводят несколько выстрелов, и каждый раз измеряют угол отклонения маятника α.
Измерение угла отклонения производится методом зеркала и шкалы. На
рейке маятника прикреплено маленькое зеркальце S (рис.1). На расстоянии 11,5м от него устанавливается вертикальная миллиметровая шкала. От маленького источника света W (в зависимости от варианта исполнения лабораторной
Рис.3.34.
работы это может быть лампа с коллиматором либо лазер-указка) излучение
направляется на зеркало S и, отражаясь от него, попадает на шкалу. При
13
повороте маятника световой “зайчик” смещается по шкале. Если при не отклоненном маятнике “зайчик” находился на отсчете n0, а после отклонения на угол
α – на отсчете n, то, как видно из рис. 3.34,
n − n0
= tg 2α ,
d
где d – расстояние от зеркала до шкалы. (При установке осветителя проверьте,
что при не отклоненном маятнике луч света перпендикулярен к поверхности
зеркала). Если угол α мал, то можно положить
tg2α≈2α. (4.34)
(Например, при 2α=0,1 значение tg2α≈0.1003, так что делая замену по формуле
(4.34) мы допускаем ошибку всего в 0,3%)
Принимая tg2α≈2α и sin
α
2
≈
α
2
≈
n − n0
получим формулу для расчета скорости
4d
пули в виде
v=
n − n0
2d
a
( J + ma 2 )( M + m ) gl
l
ma
(5.34)
Анализ рабочей формулы.
При обработке результатов сначала определим момент инерции маятника
J (и, естественно, погрешность ΔJ). Затем проанализируем формулу (5.34) и посмотрим, имеем ли мы право её упростить. Формула содержит две скобки
(J + ma ) и
2
a⎞
⎛
⎜ M + m ⎟ , которые очень неудобны для расчетов, т.к. содержат масl⎠
⎝
су пули m, и значит, для каждой пули их нужно вычислять заново. Рассмотрим
член (J+ma2). Если ma2 мало, по сравнению с J, то этой добавкой можно пренебречь. Достаточно, чтобы выполнялось неравенство ma2≤0.3ΔJ. Действительно, точность определения погрешности при элементарных методах обработки,
которые мы используем, не превышает 30%. (Подробнее см. в книге Соловьев
В.А., Яхонтова В.Е. «Руководство к лабораторным работам по физике», изд.
СПбГУ, 1997г., стр.33, 237). Поэтому малую добавку ma2 можно рассматривать
как часть погрешности, входящей в ΔJ. То же относится и к скобке (M+m(a/l));
если m(a/l)<0.3ΔM, то этой добавкой можно пренебречь. Даже если ma2>0.3ΔJ,
мы можем упростить формулу (5.34), введя вместо массы m отдельной пули
среднюю массу всех использованных пуль. Так как вес пули меняется не очень
сильно, отступление от среднего будет пренебрежимо мало. Тогда вместо J в
формулу нужно ввести J=J+mср.a2.
Таким образом, мы должны проверить, можно ли в формуле (5.34) пренебречь добавками внутри скобок. Если мы докажем, что это делать можно, то
формула примет более простой вид:
v=
n − n0
2d
JMgl
, (6.34)
ma
и расчет скорости пули проводится по упрощенной формуле (6.34).
Стоит также проверить, достаточно ли мала величина отклонения, чтобы
можно было использовать приближение (4.34).
Все указанные оценки следует привести в отчете по работе.
14
Основные закономерности движения простых колебательных
систем.
Лабораторная работа №36
Колебательными принято называть системы, в которых возможно возникновение колебательного движения. Необходимыми условиями для этого являются наличие инерции (массы) и существование положения устойчивого равновесия, т.е.
такого положения системы, отклонение от которого в любом направлении вызывает появление возвращающих, направленных к исходному положению, сил. Под
действием этих сил система, выведенная каким-либо воздействием из исходного
положения, придет в движение, стремясь вернуться к начальному состоянию. Но,
подойдя к исходному положению с конечной скоростью, она, благодаря инерции,
пройдет это положение, что вызовет вновь появление возвращающей силы, и т.д.
Такое движение называется колебательным.
Наиболее удобным и простым объектом для исследования колебательных процессов является механическая система с одной степенью свободы, т.е. такая система,
положение которой в пространстве в любой момент времени полностью определяется одним числом - координатой. Классическим примером такой системы является
груз, подвешенный на пружине таким образом, что он имеет возможность перемещаться, скользя по направляющим, вверх и вниз по вертикали (рис.1.36).
рис.1.36
Не следует думать, что системы с одной степенью свободы всегда очень просты. Так, например, шестицилиндровый двигатель внутреннего сгорания с жестко
укрепленным блоком цилиндров имеет вместе со всеми своими поршнями, шатунами, клапанами, валом и т.п. одну степень свободы, так как положение любой движущейся части определяется одним только числом - углом поворота коленчатого вала.
Колебательное движение, происходящее без действия внешних сил, под действием
одних только внутренних сил системы, представляет собой свободное колебание
(разумеется, внешняя сила необходима, чтобы вызвать первоначальное отклонение
от равновесия, но в дальнейшем её действие прекращается).
Колебания называются простыми гармоническими, если они описываются
уравнением
X=Acos(ωt+ϕ). (1.36)
Здесь x - смещение от положения равновесия, t - время, ω - круговая или угловая
частота, A - амплитуда, ϕ - начальная фаза. Всё выражение (ωt+ϕ) называется фазой колебания. Круговая частота связана с частотой ν - числом колебаний в единицу
15
времени - и периодом колебаний T формулами ω=2πν и ω=2π/T. Единица измерения круговой частоты ω - рад/с или просто с-1 (угол, измеренный в радианах безразмерная величина). Единицу частоты ν - одно колебание в секунду, Герц, Гц
- во избежание путаницы не следует обозначать с-1.
Свободное колебание системы является простым гармоническим, если возвращающая сила хотя бы в первом приближении (при малых смещениях) пропорциональна смещению, т.е. является квазиупругой силой. Тогда дифференциальное
уравнение движения может быть представлено в виде
m
d 2x
= − kx,
dt 2
(2.36)
где m - определяет инерцию системы, а -kx есть возвращающая сила (в обобщенном
смысле). Для системы, показанной на рис.1, m есть просто массе, груза, -kx- упругая
сила, действующая на него со стороны пружины. В других случаях коэффициенты
в уравнении (2.36) могут иметь другой, более сложный смысл. Так, для физического
маятника m - момент инерции, -kx - момент силы тяжести относительно точки подвеса (роль смещения x в этом случае играет угол поворота маятника).
Частота собственных колебаний связана с коэффициентами уравнения (2.36):
ω=
k
= ω 0 , (3.36)
m
что проверяется непосредственной подстановкой (I.36) в (2.36). Постоянные A и ϕ
при такой подстановке остаются неопределенными, они находятся из начальных
условий - значений смещения и скорости в момент t=0 (момент начала свободных
колебаний, т.е. момент прекращения действия вызывающих колебание внешних
сил).
Реальные системы никогда не подчиняются уравнению (2.36): в них всегда
действуют диссипативные силы, превращающие механическую энергию в тепловую. Простейшим, с математической точки зрения, примером таких сил являются
силы вязкого трения, возникающие при не очень быстром движении в жидкости
или газе: они пропорциональны скорости движения и направлены противоположно
скорости. С учетом таких сил дифференциальное уравнение движения будет иметь
вид
m
dx
d 2x
= −kx − r . (4.36)
2
dt
dt
Может показаться, что более простым случаем были бы силы сухого трения, не зависящие от скорости. В действительности этот случай очень сложен,
движение при этом пришлось бы описывать не одним уравнением, а двумя:
d 2x
= − kx − Fтр , когда dx/dt>0,
dt 2
d 2x
m 2 = − kx + Fтр , когда dx/dt<0,
dt
m
и каждый полупериод пришлось бы переходить от одного уравнения к другому.
Численный расчёт для какого-либо конкретного случая здесь не сложен, но общего
аналитического решения дать невозможно.
16
Система, изображенная на рис.1.36, будет подчиняться уравнению (4.36), если между грузом и направляющими поместить слой вязкой жидкости. Во многих
случаях можно считать, что уравнение (4.36) описывает систему хотя бы приближенно. Системы, для которых это имеет место, т.е. для которых возвращающую силу можно считать пропорциональной смещению, а диссипативную силу - пропорциональной скорости смещения, называются линейными, так как они описываются
линейным дифференциальным уравнением. Решение уравнения (4.36) при не очень
больших значениях коэффициента трения r имеет вид
x=A0e-βtcos(ωсвt+ϕ) (5.36)
(проверяется подстановкой, смотри ниже). Иначе говоря, свободное колебание при
наличии трения представляет собой затухающее гармоническое колебание. Действительно, движение, описываемое формулой (5.36), можно рассматривать как гармоническое колебание с экспоненциально убывающей амплитудой А,
A=A0e-βt, (6.36)
где A0 - начальная (в момент времени t=0) амплитуда.
Подстановка (5.36) в (4.36) даёт после сокращения на общий множитель уравнение, содержащее в левой части члены, пропорциональные cosωсвt и sinωсвt, а в
правой - нуль. Это уравнение может выполняться при любых t только, если суммы
коэффициентов при cosωсвt и sinωсвt по отдельности равна нулю. Отсюда получается
2
ω св =
β=
k ⎛ r ⎞
−⎜
⎟ , (7.36)
m ⎝ 2m ⎠
r
, (8.36)
2m
ω св = ω 02 − β 2
(9.36)
(проведите указанные расчеты самостоятельно).
Таким образом, частота свободных колебаний системы с трением ωсв несколько ниже, чем частота колебаний той же системы, но без трения. Последние
называются собственными колебаниями. Однако это различие становится заметным только тогда, когда затухание колебаний велико (β сравнимо с ω0). Величина
β называется показателем, или коэффициентом затухания. Согласно (6.36), её
можно определить, зная значения амплитуды колебаний А1 и А2 в какие-либо два
момента времени t1 и t2:
A1
A2
β=
. (10.36)
t 2 − t1
ln
Легко видеть, что коэффициент затухания плохо определяет степень отклонения колебания от простого гармонического: при одном и том же значении β
очень высокочастотное колебание можно считать почти гармоническим, а низкочастотное - нельзя. Поэтому обычно предпочитают скорость затухания относить не
к времени t, а к "периоду" свободного колебания Tсв=2π/ωсв, записывая формулу
(5.36) в виде
17
x = A0 e
−λ
t
Tсв
cos(ω св t + ϕ ).
(5а.36)
Величина λ называется логарифмическим декрементом затухания и
имеет смысл логарифма отношения двух последовательных отклонений, разделенных отрезком времени Tсв:
λ = ln
A(t )
. (11.36)
A(t + Tсв )
Из формулы (5а.36) видно, что величина 1/λ, обратная декременту (точнее,
целая часть этого числа), равна количеству колебаний, за которое амплитуда уменьшится в е=2,718... раз.
Сравнивая (5.36) и (5а.36), видам, что
λ=βTсв=2πβ/ωсв. (12.36)
При малых β, когда ωсв≈ω0, можно написать
λ ≈ 2π
ωr
r
r
β
=π
=π 0 =π
. (13.36)
mω 0
k
ω0
mk
При синусоидальном колебании x=Acosω0t, как нетрудно убедиться, kA есть амплитуда упругой силы, rω0A - амплитуда вязкой силы, mω20A - амплитуда силы
инерции. Таким образом, логарифмический декремент пропорционален отношению
амплитуды вязкой силы к амплитуде упругой силы или силы инерции.
Когда β≥ω0, очевидно, что уравнение (9.36) теряет смысл. Решение уравнения
(4.36) тогда имеет вид
x=(A+βt)e-βt, если β=ω0, (14.36)
х=(Aeαt+Be-αt)e-βt, если β>ω0, (15.36)
где α = β 2 − ω 02 а A и B - произвольные постоянные.
Уравнения (14.36) и (15.36) описывают апериодическое возвращение системы к положению равновесия. Случай β=ω0, разграничивающий периодический (колебательный) и апериодический режимы движения системы, называется критическим.
Он соответствует наиболее быстрому возвращению системы в равновесие.
Рассмотрим теперь вынужденные колебания, т.е. колебания, происходящие
под действием внешней силы. Пусть в колебательной системе (см. рис. 1.36), подчиняющейся уравнению (4.36), на груз действует периодически меняющаяся во
времени сила
F=F0cosωt (16.36)
(это простейший случай, более сложные случаи рассматривать не будем).
Уравнение движения запишем в виде
m
dx
d 2x
+r
+ kx = F0 cos ωt.
2
dt
dt
(17.36)
Это неоднородное линейное дифференциальное уравнение. Его общее решение
равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения (4.36),
т.е. свободного колебания (5.36), и частного решения уравнения (17.36), имеющего вид
x=Bcos(ωt+δ), (18.36)
18
т.е. вид гармонического колебания с частотой вынуждающей силы.
Для случая ω<<ωсв показано на рис.2.36
рис.2.36
Амплитуда и фаза свободного колебания определяются начальными условиями. Однако поскольку свободные колебания являются затухающими, они
через некоторое время практически исчезают, и остаются только вынужденные
колебания (18.36). Такое движение, устанавливающееся через достаточно длительное время t>>1/β после включения силы, называется установившимся или
стационарным, а начальная стадия, когда имеется наложение двух колебаний,
называется переходным процессом или процессом установления. Мы будем
рассматривать только установившийся процесс.
Вычисление В и δ из уравнения (17.36) проще всего провести, пользуясь
методом векторных диаграмм. Нетрудно видеть, что величину x при гармоническом колебании (18.36) можно рассматривать как проекцию на некоторую
ось вектора, имеющего длину В и составляющего сrэтой осью угол ωt+δ. Будем
говорить, что x "изображается" таким вектором B . Таким же образом будем
представлять и другие величины, колеблющиеся е той же частотой ω. При этом
сдвиги фаз изобразятся углами между соответствующими векторами. Такое
представление полезно в силу известной теоремы: проекция геометрической
сумма векторов на некоторую ось равна алгебраической сумме их проекций.
Поэтому решение уравнения (17.36) сводится к построению геометрической
суммы векторов, изображающих отдельные слагаемые левой части уравнения,
и приравниванию её к вектору, изображающему правую часть.
Построение показано на рис.3.36.
19
рис.3.36
При этом учтено, что величина
r
π⎞
dx
⎛
= − rωB sin (ωt + δ ) = rωB cos⎜ ωt + δ + ⎟, опережающая x по фазе на
dt
2⎠
⎝
, повернутым на π/2 относительно вектора В. Аналогично,
зится вектором
вектор
π/2, изобра-
- изображение величины m
π.
r
d 2x
повернут
относительно
B
на угол
dt 2
Из теоремы Пифагора для треугольника, отсеченного пунктиром, находим сразу
F02=(kB-mω2B)2+(rωB)2,
Откуда
B=
F0
(k − mω ) + (rω )
2 2
2
F0 k
=
⎛ ω2
⎜⎜1 − 2
⎝ ω0
2
⎞ ⎛ 2ωβ
⎟ +⎜ 2
⎟ ⎜ ω
⎠ ⎝ 0
⎞
⎟
⎟
⎠
2
.
(19.36)
Из того же треугольника
tgδ =
2 βω
rω
= 2
. (20.36)
2
mω − k ω − ω 02
Серия кривых частотной зависимости амплитуды В и фазы δ вынужденных колебаний для разных значений β показана на рис 4.36.
График зависимости амплитуды от частоты ω называется резонансной
кривой. Обратите внимание на следующие свойства резонансных кривых:
1. При низких частотах ω→0 амплитуда приближается к величине статического
смещения В0, вызываемого силой, равной F0: B →
20
F0
= B0 , а так как в этом случае
k
фаза δ→0, то x=F/k, т.е. смещение определяется только упругой силой, как при
статическом растяжении. Инерция и вязкое трение практически не играют роли.
Физическую причину этого легко понять, рассматривая уравнение (17.36). Подставляя в него выражение (18.36), для x получим
-mω2Bcos(ωt+δ)-rωBsin(ωt+δ)+kBcos(ωt+δ)=F0cosωt, (17а.36)
При ω→0 первый член (сила инерции) и второй член (сила трения) исчезают, и
внешняя сила должна преодолевать только упругую силу. Таким образом, при
низких частотах колебание происходит квазистатически.
рис.4.36
2. При увеличении частоты появляются и сила инерции и сила трения, тем не менее, если вязкие силы невелики, амплитуда больше, чем при статическом растяжении. Почему? (См. (17а.36)).
3. При ω=ω0 фаза δ=-π/2 и, как нетрудно убедиться, dx/dt=F/r , т.е. внешней силе
F приходится преодолевать только силу трения rdx/dt. Почему? (См. (17а.36)).
4. При высоких частотах ω→∞ амплитуда стремится к нулю как 1/ω2. Действительно, в этом случае можно пренебречь вторым и третьим членами в левой части
уравнения (17а.36). Внешняя сила должна преодолевать силу инерции, которая
оказывается большой, так что движение практически невозможно.
5. Если трение невелико, то амплитуда имеет максимум. Частота ωрез, соответствующая максимуму амплитуды, называется частотой резонанса (точнее - частотой
резонанса смещений). Её можно найти, дифференцируя (19.36) по ω:
ω рез = ω 02 − 2β 2 . (21.36)
При малом трении, β<<ω0, резонансная частота ωрез близка к собственной частоте
ω0. Амплитуда скорости имеет максимум всегда при частоте ω0, так что частоту ω0
можно назвать частотой резонанса скоростей.
6. Чем меньше трение, тем выше резонансный максимум (при β=0 амплитуда при
резонансе становится бесконечно большой).
21
Найдем выражение для амплитуды при резонансе Врез. Ограничимся случаем малого трения β<<ω0, когда можно считать ωрез. Подставив в выражение (19.36) ω=ω0,
получим
B рез ≈
F0 k
π
= B0 .
λ
2β ω 0
(22.36)
Отношение Врез/В0=Q называют добротностью колебательной системы. Формула (22.36) даёт связь добротности с логарифмическим декрементом.
7. Чем меньше трение, тем острее резонансный максимум. Для того чтобы характеризовать остроту максимума, найдем частоту, при которой амплитуда уменьшается в 2 раз по сравнению с резонансной. Рассмотрим случай малого трения
β<<ω0. Подставляя в (19.36) ωрез≈ω0, получаем
Врез≈F0/rω0.
Если пик на резонансной кривой узкий, то в пределах этого пика можно считать величину rω в формуле (19.36) почти постоянной и заменить её на rω0. Подкоренное
выражение в (19.36) будет вдвое больше, чем при резонансе (т.е. амплитуда в 2
раз меньше, чем при резонансе), когда |k-mω2|=rω0. С другой стороны,
k-mω2=m(ω02-ω2)=m(ω0-ω)(ω0+ω)≈2m(ω0-ω)ω0.
Итак, при частотах, определяемых уравнением
2
(ω − ω 0 )
ω0
≈
r
mω 0
≈
λ 1
= , (23.36)
π Q
амплитуда колебаний в 2 =1,414... раз меньше, чем при резонансе.
Выражение, стоящее в левой части уравнения (23.36), определяет ширину резонансной кривой на уровне 1 2 ≈ 0,707.
Отсюда непосредственно следует способ определения добротности, логарифмического декремента и коэффициента затухания колебательной системы из
резонансной кривой:
Q=
ω0
,
ω1 − ω 2
λ=
π
Q
,
β=
ω1 − ω 2
2
,
(24.36)
где ω1 и ω2 - частоты, для которых B =
1
2
B рез (ω1<ω0<ω2). Из формул видно,
что резонансная кривая тем уже, чем больше добротность. Подумайте, как это
согласовать с тем, что на рис.4.36 кривые для больших β (малые Q) лежат внутри кривых для малых β.
Формулы, которые следует помнить.
m
⎧0 − свободные колебания
d 2x
dx
+r
+ kx = ⎨
2
dt
dt
⎩ F0 cos ωt − вынужденные колебания
x = A0 e − βt cos(ω св t + ϕ ) = A0 e −λt Tсв cos(ω св t + ϕ )
β=
r
;
2m
ω св ≈ ω 0 =
k
;
m
Tсв =
1
ν св
=
2π
ω св
;
22
Q=
π
;
λ
Q=
B рез
B0
≈
ω0
ω1 − ω 2
(ω1 и ω2 соответствуют B =
B рез
2
).
Задача работы и экспериментальная установка.
Целью работы является изучение свободных и вынужденных колебаний
простой колебательной системы, экспериментальная проверка полученных выше соотношений и определение основных параметров системы.
Изучаемая колебательная система показана на рис.5.36. Она представляет
собой упругий стержень, жестко закрепленный одним концом в массивной подставке и нагруженный на свободном конце массой М (хомутик с зажимным винтом
и сменной гирькой), Длину свободной части стержня и величину нагружающей
массы можно произвольно менять; их следует выбирать по указанию преподавателя.
рис.5.36
рис.6.36
Коэффициент возвращающей силы k для такого вибратора определяется геометрическими размерами стержня и модулем Юнга материала, из которого он сделан. Если на свободный конец стержня длины l , ширины b и толщины d действует
изгибающая сила P, как показано на рис.6.36, то смещение второго конца x (стрела изгиба) равно
x=
4 Pl 3
.
Ebd 3
(Вывод этой формулы приведён в описании работы "Определение модуля Юнга по
изгибу стержня"). Следовательно,
P Ebd 3
. (25.36)
k= =
x
4l 3
Если модуль упругости материала неизвестен, то коэффициент возвращающей силы можно найти экспериментально, нагружая конец стержня различными грузами
и измеряя его смещение.
Колеблющаяся масса m была бы равна массе груза M только при полной невесомости стержня. На самом деле масса самого стержня μ тоже принимает уча23
стие в колебаниях. Однако не все части стержня колеблются с одинаковой амплитудой. Теория показывает, что когда масса стержня невелика, μ<<M, для учета
влияния инерции стержня можно прибавить к массе груза 23 % массы стержня.
Таким образом.
m=M+0.23μ.
На практике взвешивать, естественно, приходится весь стержень длиной L, включая зажатый конец. Тогда μ=μ′l/L. Таким образом, окончательно
m=M+0.23(l/L)μ′. (26.36)
Собственная частота колебаний системы ω0 определяется величинами k и m
и вычисляется по формуле (3.36).
Стержень с равномерно распределенной массой, строго говоря, не является
системой с одной степенью свободы. Его мгновенное состояние задано, если известны координаты всех его "частиц" (т.е. физически бесконечно малых элементов объёма). Поскольку число таких частиц практически бесконечно, то бесконечно и число степеней свободы стержня. Для решения задачи о колебаниях
стержня нужно рассматривать распространение в нём упругих волн. Стационарные колебания стержня представляют собой, в сущности, стоячие волны.
Наличие многих степеней свободы приводит к тому, что стержень имеет не одну резонансную частоту, а много (подобно основному тону и высшим гармоникам
струны). Частота, вычисленная по формуле (3.36) - это самая низкая из резонансных частот. Пока мы не переходим к частотам колебаний, близким к следующей резонансной частоте, можно с хорошим приближением рассматривать
стержень как систему с одной степенью свободы, для которой постоянные k и m
даются формулами (25.36) и (26.36).
Для наблюдения колебаний и для измерения амплитуды, а также для измерения смещения при определении коэффициента возвращающей силы, применяется длиннофокусный микроскоп с окулярной микрометрической шкалой (цена деления 0,1 мм). Микроскоп должен быть сфокусирован на стрелку-указатель, укрепленную на конце стержня.
Для возбуждения вынужденных колебаний применяется электромагнит, питаемый от генератора звуковых частот. Описание генератора выдается в лаборатории.
Схема питания магнита показана на рис.7.36. Источник питания (40В) применяется для создания постоянного тока подмагничивания. Если бы её не было,
вибратор колебался бы не с частотой генератора, а с удвоенной частотой, притягиваясь к магниту каждый полупериод, независимо от направления тока в магните.
рис.7.36
24
Магнит укрепляется в 5-6 мм под стержнем, у его основания, как показано на
рис.7.36.
Для определения частоты колебаний применяется строботахометр. Он
представляет собой генератор высоковольтных импульсов, питающий импульсную газоразрядную лампу. Частота следования импульсов может плавно меняться
в пределах от 5 до 500 Гц.
Если лампой тахометра освещать быстро вращающийся или колеблющийся
предмет, то при равенстве частоты вращения или колебания частоте следования
вспышек предмет будет казаться неподвижным - это так называемый стробоскопический эффект. Тогда по шкале частот тахометра можно отсчитать частоту изучаемого процесса.
Стробоскопический эффект имеет место не только тогда, когда частота следования вспышек равна частоте изучаемого процесса, но и тогда, когда она в целое
число раз меньше. Поэтому, если приблизительное значение частоты заранее не
известно, то надо начать настройку тахометра с самой высокой частоты и, постепенно её понижая, найти самую высокую из частот, при которой вибратор кажется
неподвижным. Это и будет частота его колебаний. При частотах, выражаемых
числами вида
m
ν , где ν - измеряемая частота, а m и n - целые числа, объект будет
n
виден одновременно в m неподвижных точках. Это обстоятельство полезно учитывать в процессе синхронизации.
Правила включения тахометра и работы с ним даны в приложении. Перед
работой обязательно ознакомьтесь с ними.
Порядок работы.
1.Определить геометрические размеры стержня L, b, d его массу μ′ и массу груза
M (длину свободной части стержня l и величину M выбрать по указанию преподавателя). Рассчитать колеблющуюся массу m.
2.Нагружая стержень различными грузами и измеряя с помощью микроскопа
стрелу изгиба, определить коэффициент возвращающей сипы k . Величина стрелы
изгиба не должна превосходить 5-6 мм.
Для проверки линейности упругих свойств стержня построить график зависимости стрелы изгиба от нагрузки, постоянную k определить по этому графику.
Чтобы исключить влияние остаточной деформации, измерения надо проводить при постепенном увеличении нагрузки и постепенном её уменьшении.
По найденным величинам k и m подсчитать частоту собственных колебаний ω0 и ν0=ω0/2π. По данным одного какого-либо измерения следует уже в лаборатории подсчитать ориентировочное значение собственной частоты колебаний ν0,
которое понадобится в дальнейшей работе.
3. Для изучения вынужденных колебаний собрать схему питания магнита. С разрешения преподавателя включить генератор, установить частоту по его шкале в
соответствии с расчетной собственной частотой ν0 и максимальную амплитуду выхода. Наблюдая за указателей в микроскоп, настроить генератор на резонансную
частоту стержня (колеблющийся указатель кажется размытым в полоску, граница
которой отмечает амплитуду колебаний). Помните, что после каждого измерения
частоты нужно выждать некоторое время (порядка 1/β), чтобы амплитуда приняла
25
стационарное значение. Когда резонанс будет достигнут, следует отрегулировать
положение магнита так, чтобы амплитуда при резонансе Врез равнялась 2-3 мм,
после чего можно приступать к измерениям.
При определении частоты не обращайте внимания на показания шкалы частот генератора. Измерять частоту следует стробоскопически, освещая лампой строботахометра указатель и измеряя частоту вспышек при кажущейся неподвижности указателя. Удобно подобрать комбинированное - стробоскопическое и обычное - освещение так, чтобы одновременно видеть и размытую полоску, отвечающую амплитуду колебаний, и мгновенное положение указателя при вспашках стробоскопа. Можно также попеременно включать обычное и стробоскопическое освещение и измерять амплитуду и частоту поочередно.
Для определения затухания нужно измерить разность частот ν1=ω1/2π и
ν2=ω2/2π, при которых амплитуда падает до B рез 2 . Эта разность очень мала, и
если измерять частоты ν1 и ν2 непосредственно, то разность ν1-ν2, будет лежать
в пределах ошибки измерений. Для преодоления этой трудности следует применять дифференциальный метод измерения частоты. Строботахометр настраивается на частоту νрез. Затем, наблюдая за колебаниями в микроскоп, настраивают генератор на частоту ν1 (ν1>νрез). Тогда при стробоскопическом освещении с частотой вспышек νрез указатель кажется колеблющимся с частотой,
равной ν1-νрез, которую легко измерить с помощью секундомера. Далее генератор настраивается на частоту ν2 (ν2<νрез) и точно так же измеряется кажущаяся
частота колебаний указателя, равная νрез-ν2. Искомая разность частот ν1-ν2 равна сумме этих кажущихся частот:
ν1-ν2=(ν1-νрез)+( νрез-ν2).
Поскольку при таком методе измерения частоты ν1 и ν2 неосредственно не отсчитываются по строботахометру, их разность измеряется с большой точностью. Важно только, чтобы частота вспышек оставалась строго постоянной, при
этом она может быть точно не равна νрез.
Из проведенных измерений следует определить следующие величины:
-резонансную частоту ωрез (измеряется непосредственно);
-добротность Q, логарифмический декремент λ и коэффициент затухания β
(формулы (24.36));
-собственную частоту ω0 (формула (21.36));
-коэффициент возвращающей силы k (формула (3.36));
-коэффициент трения r (формула (8.36)).
Если есть время, можно построить также полную резонансную кривую
вибратора, используя ручку "расстройка" генератора. Кривую следует построить как график зависимости амплитуды от (ν-νопорн )/ νопорн, где νопорн - частота,
установленная на шкале "частота Гц" генератора (см. описание прибора). Нужно стараться, чтобы νопорн было равно νрез, но небольшое отличив допустимо.
По резонансной кривой следует ещё раз найти Q, λ и β.
26
Резонансная кривая нашего прибора не вполне симметрична, это вызвано
отклонением его свойств от свойств идеальной линейной системы: вынуждающая сила является функцией не только времени, но и смещения x. Для уменьшения этого эффекта магнит следует располагать вблизи от зажатого конца
стержня, где амплитуда мала. По этой же причине зазор между стержнем и полюсом магнита следует делать по возможности большим, и для увеличения амплитуды колебаний подавать на магнит возможно более высокое напряжение
от генератора. Асимметрия резонансной кривой могла бы дать ошибку в расчете добротности, если бы Q вычислялось как 2(ω1-ω0)/ω0. При расчете же по
формуле (24.36) ошибка невелика.
4. Изучение свободных колебаний. Для получения свободных затухающих колебаний можно просто отвести стержень на 3 - 4 мм из положения равновесия и
отпустить его. Однако лучше возбудить с помощью магнита вынужденные колебания большой амплитуды (резонансные), а затем разомкнуть цепь магнита.
При таком способе возбуждения не возникнет колебаний других форм, которые
могут помешать измерениям.
Частоту свободных колебаний νсв=ω2/2π измеряют с помощью строботахометра. Если бы колебания были незатухающими, то указатель при совпадении частот колебаний и вспышек казался бы неподвижным. При затухающих
колебаниях такая неподвижность будет наблюдаться только, если вспышки
лампы случайно совпадут с моментом прохождения вибратора через положение
равновесия. В общем случае будет казаться, что указатель экспоненциально
движется к положению равновесия. Это и будет признаком синхронизации. Пока синхронизация не достигнута, будет казаться, что указатель совершает затухающие колебания с частотой, равной разности между частотой вспышек и частотой νсв.
Для определения коэффициента затухания нужно измерить с помощью
секундомера время, за которое амплитуда колебаний уменьшится в 2-3 раза, и
по формуле (10.36) подсчитать величину β. Практически для этого надо запустить и остановить секундомер в моменты, когда граница размытости полоски,
отмечающей амплитуду, проходит через какие-либо заранее выбранные деления шкалы микроскопа.
Можно также измерить амплитуду двух последовательных отклонений при
кажущихся колебаниях указателя, освещенного стробоскопически с частотой, отличающейся на 0,5-1 Гц от νсв; отдельно нужно измерить период этих кажущихся колебаний. Ввиду трудности измерения затуханий (колебания затухают очень быстро),
следует многократно провести измерения как первым, так и вторым методом.
Из измерений свободных колебаний следует определить:
- частоту свободных колебаний ωсв (непосредственно измеряется),
- коэффициент затухания β (формула (10.36)),
- собственную частоту ω0 (формула (9.36)),
- логарифмический декремент λ (формула (12.36)),
- добротность Q,
- коэффициент возвращающей силы k (формула (3.36)),
27
- коэффициент трения r (формула (8.36)).
Результаты всех измерений и вычислений следует свести в таблицу (прочеркнутые клетки не заполняются).
ωсв
Статический
Вынужденные
колебания
Свободные
колебания
среднее
-
ω0
ωрез
β
λ
-
-
-
Q
-
k
r
-
E
-
В последний столбец таблицы следует занести значение модуля
Юнга, вычисленное по формуле (25.36) из величин коэффициента возвращающей силы k, определенного различными методами. Все эти методы применяются на практике для измерения модуля Юнга различных материалов. Какой из
них является наиболее точным? Что является основным источником ошибок в
каждом случае?
Контрольные вопросы.
1. Постройте векторную диаграмму для вынужденных колебаний и вычислите амплитуду и сдвиг фаз между смещением x и силой F.
2. Нарисуйте резонансную кривую и опишите физические процессы, соответствующие каждому из характерных участков этой кривой.
3. Определите физический смысл и методы измерения коэффициента затухания,
логарифмического декремента и добротности колебательной системы из наблюдений свободных и вынужденных колебаний.
4. Что показывает фаза вынужденных колебаний?
5. В чём состоит дифференциальный метод измерения частоты?
Строботохометр СТ-МЭИ.
Основное назначение строботахометра - бесконтактное измерение скоростей вращения валов двигателей и других механизмов.
Устройство строботахометра схематически показано на рис.8.36.
Рис.8.36.
Конденсатор C подключен к источнику постоянного напряжения через
сопротивление R. Параллельно конденсатору включена импульсная газоразрядная лампа Л. Напряжение источника недостаточно для ионизации газа в
28
лампе, так что лампа не проводит тока до тех пор, пока на ее поджигающий
электрод не будет подано напряжение от генератора поджигающих импульсов
Г. Но когда газ в лампе уже ионизован, лампа продолжает проводить ток и после прекращения поджигающего импульса, одновременно возбужденные атомы
газа (ксенона) излучают свет. По мере разряда конденсатора C напряжение на
лампе постепенно снижается (сопротивление R настолько велико, что практически весь ток через лампу течет за счет разряда конденсатора). Через весьма
короткий промежуток времени после начала разряда напряжение падает до такой величины, что уже не может поддерживать ионизацию газа, и лампа гаснет.
Затем, пока лампа не горит, конденсатор вновь заряжается до напряжения источника. Следующий поджигающий импульс вновь вызывает вспышку лампы и
т.д. Частота вспышек определяется частотой следования поджигающих импульсов.
Частота вспышек регулируется ручкой "ДИАПАЗОНЫ" (переключатель
на три положения) и ручкой плавной настройки (эта ручка двойная, допускающая как более грубое, так и более плавное вращение). Отсчет частоты производится по шкале, градуированной в об/мин. Прибор имеет три диапазона:
1) 300-1200 об/мин (5-20Гц)
2) 1200-6000 об/мин (20-100Гц)
3) 6000-30000 об/мин (100-500Гц)
Cтроботахометр представляет собой весьма ценный прибор. Для того
чтобы не вывести его из строя, нужно строго соблюдать указанные ниже
правила включения.
При включении тахометра в сеть нужно иметь в виду, что в его схему
входит тиратрон (газоразрядный триод), для которого опасно как слишком высокое, так и слишком низкое напряжение. Поэтому перед включением необходимо проверить, в какое из гнезд на задней стороне прибора ввинчен предохранитель. Он должен быть ввинчен в гнездо, соответствующее напряжению сети
220В (если нет - самим не переключать, обратиться к дежурному инженеру).
Перед включением в сеть убедитесь, что переключатель, расположенный
с левой стороны передней панели, стоит в положении "ВЫКЛ". При включении
прибора нужно сначала перевести этот переключатель в положение "СЕТЬ",
при этом загораются сигнальная лампа и лампы освещения шкалы. Затем прибор должен прогреваться не менее 3-х минут, и только после этого можно
повернуть переключатель в следующее положение "ЛАМПА" (в противном
случае тиратрон выйдет из строя).
Держать лампу включенной без надобности не следует, при коротких перерывах в работе нужно переводить выключатель в положение "СЕТЬ", а при
длительных - совсем выключать прибор.
Включив тахометр, следует проверить калибровку генератора импульсов.
Для этой цели тахометр снабжен вибратором, колеблющимся с удвоенной частотой сети (100 Гц). Осветив вибратор лампой тахометра, нужно установить
стрелку в положение "1000 об/мин", если калибруется шкала первого диапазона, "3000 об/мин" для второго диапазона и "12000 об/мин" для третьего диапазона. При этом вибратор должен казаться неподвижным (при 12000 об/мин
29
должны быть видны два неподвижных изображения). Если этого не наблюдается, то следует подстроить генератор (только в присутствии инженера), вращая
отверткой винты, расположенные в отверстиях на передней панели прибора.
Погрешность градуировки шкалы тахометра не превышает 1% от измеряемой величины.
Измерение ускорения силы тяжести при помощи
оборотного маятника Катера.
Лабораторная работа N 41
Точные значения силы тяжести несут много информации о форме и о
внутреннем строении Земли, используются для поиска полезных ископаемых.
Поэтому чрезвычайно важно измерять g возможно точнее. Для измерения абсолютных значений g используются оборотные маятники.
Теория оборотного маятника.
Период колебаний физического маятника равен
T = 2π
I
, (1.41)
mga
где т - масса маятника, I - его момент инерции относительно оси подвеса, около которого совершаются колебания, а - расстояние от этой оси до центра
инерции, g - ускорение силы тяжести. Согласно теореме Штейнера
I=I0+та2, (2.41)
где I0 - момент инерции маятника относительно оси, проходящей через центр
инерции параллельно оси подвеса.
Подставляя (2.41) в (1.41) получаем формулу, описывающую зависимость
периода колебаний от положения точки подвеса:
T = 2π
I 0 + ma 2
mga
(3.41)
При очень больших a, когда та2>I0, T = 2π a g (математический маятник), при
очень малых а, когда та2 <I0, T = 2π I 0 mga и при а→0 период неограниченно
возрастает (маятник, подвешенный в центре тяжести находится в безразличном
равновесии).
Характер зависимости периода от координаты точки подвеса при её перемещении вдоль прямой, проходящей через центр тяжести, показан на
рис.1.41. Определяя периоды колебаний при двух разных значениях а, мы получим уравнения для двух неизвестных величин I0 и g:
mgT12 a1 = 4π (I 0 + ma12 ), (4.41)
(
)
mgT22 a 2 = 4π I 0 + ma 22 . (5.41)
30
Вычитая из уравнения (4.41) уравнение (5.41), исключим не интересующую нас
величину I0 и получим
a12 − a 22
. (6.41)
g = 4π
T12 a1 − T22 a 2
2
Точность, с которой определяется g по формуле (6.41), лимитируется довольно
большой погрешностью измерения a1 и a2 (трудно добиться высокой точности
определения положения центра инерции). Эту трудность можно обойти, выбрав
периоды Т1 и Т2 одинаковыми. Если при этом a1≠a2, формула (6.41) преображается к виду
g=
4π 2
(a1 + a 2 ) . (7.41)
T2
рис.1.41
Если две оси, периоды колебаний около которых совпадают, выбраны по
разные стороны от центра инерции (например, точки А и В на рис.1.41), то
а1+a2 есть просто расстояние между осями, которое можно измерить с большой
точностью. Периоды колебаний также можно измерить очень точно, отсчитывая достаточно большое число качаний маятника или используя дополнительные технические средства. Заметим, что период, определяемый формулой
(7.41), есть период колебаний математического маятника, имеющего длину
a1+a2. Если А -ось подвеса, то точка В называется центром качания маятника,
и наоборот. Оси А и В в этом случае называют взаимно сопряженными (напомним, что периоды колебания маятника около этих осей равны).
Из рис. 1.41 ясно, что область минимума T явно не годится для измерений,
поскольку a1+a2 может изменяться в широких пределах практически без изменения T. Тот факт, что это правило достижения наивысшей точности не следует
из анализа расчетной формулы (7.41), показывает её непригодность для оценки
погрешности измерений. Действительно, в ней отсутствует информация о точности уравнивания периодов T1 и T2.
Практически невозможно точно уравнять периоды качаний на двух подвесах. Возникают естественные вопросы: с какой точностью нужно стремиться
31
уравнивать периоды или как неточность в уравнивании периодов сказывается
на ошибке измерения g? Для ответа на эти вопросы нужно исходить из анализа
общей формулы (6.41), которую удобно преобразовать к такому виду, чтобы
разность периодов Т1-T2 входила в неё в качестве поправочного члена.
Введем сумму периодов T=T1+T2 и разность периодов τ = Т1-T2. Обозначим
a1+a2=a расстояние между осями; а1-а2 =b - разность расстояний от каждой из
осей до центра инерции, и будем считать для определенности, что а1 > a2, т.е.
b>0. Подставив все эти выражения в (6.41), получим
g = 4π 2
ab
⎛ 2
τ ⎞ a+b ⎛ 2
τ 2 ⎞ a−b
⎜⎜ T + τT + ⎟⎟ ∗
⎜
− ⎜ T − τT + ⎟⎟ ∗
4
2
4 ⎠
2
⎝
⎠
⎝
2
или
g=
4π 2 a
T2
1
aτ
τ2
+
1+
b T 4T 2
.
В эту формулу нужно ещё ввести поправку, связанную с конструкцией подвесов. Дело в том, что подвесы должны обеспечивать качание маятника около
фиксированных осей, расстояние между которыми удобно измерять. Для этого
обычно изготавливают подвесы в виде трехгранных призм, одно из ребер которых и должно служить осью качания. Практически, однако, невозможно изготовить призмы с идеально острыми и прямыми ребрами. Поэтому на самом деле маятник всегда качается не около оси, а катаясь на опорной площадке по какой-то опорной поверхности конечного радиуса кривизны, в общем случае переменного. В идеальном случае этот радиус кривизны может быть сделан достаточно малым, но если ребра на прямые, то форма поверхности становится
трудно определяемой (радиус кривизны может скачком увеличиться до очень
больших величин), что вносит существенные ошибки в точность определения
g. Поэтому в нашей лаборатории мы отказались от призм и заменили их шариками от шарикоподшипника (по два шарика на каждый подвес). Расчеты показывают, что при очень малых амплитудах период колебания маятника, если он
качается не около фиксированной оси, а касаясь цилиндрической поверхности
радиуса r, равен
I 0 + ma 2
mg (a + r )
T = 2π
а формула для g принимает вид
⎛
⎜
4π a ⎜
1
g=
2
τ (a + d ) τ 2
T ⎜
1
+
⋅
+
⎜
b
4T 2
⎝ T
2
⎞
⎟
⎟,
⎟
⎟
⎠
(8.41)
где d - диаметр шариков (d=8мм), укрепленных на подвесах. Если, как это
обычно бывает, τ настолько мало, что членом
32
τ2
4T 2
можно пренебречь, то
⎛
⎞
⎜
⎟
4π a ⎜
1
⎟
g=
τ (a + d ) ⎟
T2 ⎜
⎜1+ ⋅
⎟
b ⎠
⎝ T
2
(9.41)
Здесь нужно иметь в виду, что τ=T1-T2 может иметь любой знак, так что поправочный множитель может быть как больше, так и меньше единицы.
Вернемся к вопросу о погрешностях измерений.
Вывод формул погрешностей.
Вопрос о погрешностях измерений является одним из важнейших для любой экспериментальной работы. Мы приведем здесь подробный вывод формул
погрешностей и анализ этих формул, чтобы показать вам на этом примере весь
ход рассуждений и вычислений. Во всех остальных лабораторных работах вы
должны будете всё делать самостоятельно.
Расчет величины g мы делаем по формуле (9.41), однако для вычисления
погрешностей она неудобна, так как в эксперименте непосредственно измеряются не T и τ, а периоды колебаний около первого и второго подвесов Т1 и Т2,
не b, а расстояние одного из подвесов до центра инерции а1 и расстояние между подвесами а. В силу этого ошибки величин T и τ не являются независимыми
друг от друга (например, если мы в процессе измерений завысили величину T2,
то значение Т окажется завышенным, а значение τ - заниженным); при выводе
формул погрешностей исходя из расчетной формулы (9.41) нам пришлось бы
учитывать связь ошибок между собой. Чтобы избежать этого нужно в формуле
(9.41) заменить b,T и τ их выражениями через непосредственно измеряемые величины:
T=
T1 + T2
, τ=T1-T2, b=2a1-a.
2
Выражение для g примет вид
g=
16π 2 a
(T1 + T2 )
⋅
2
1
.
(
T1 − T2 ) (a + d )
1+ 2
⋅
(T1 + T2 ) (2a1 − a )
Обозначим
S=2
(T1 − T2 ) ⋅ (a + d ) = τ (a + d )
,
(T1 + T2 ) (2a1 − a )
Tb
тогда получим
g=
16π 2 a
(T1 + T2 )
⋅
2
1
. (10.41)
(1 + S )
Теперь можно приступить непосредственно к выводу формул погрешностей. В
данном случае удобно вычислять относительную погрешность:
2
2
2
2
2
⎛ Δg ⎞
⎛ Δg ⎞ ⎛ Δg ⎞
⎛ Δg ⎞
⎛ Δg ⎞
Δg
⎟⎟
⎟⎟ + ⎜⎜
⎟⎟ + ⎜⎜
⎟⎟ + ⎜⎜
⎟⎟ + ⎜⎜
= ⎜⎜
g
⎝ g ⎠ T1 ⎝ g ⎠ T2 ⎝ g ⎠ a ⎝ g ⎠ a1 ⎝ g ⎠ d
33
⎛ Δg ⎞
⎟⎟ - частная относительная погрешность g по аргументу Т1 и т.д. Ча⎝ g ⎠ T1
Здесь ⎜⎜
стные относительные погрешности удобно представлять в виде
⎛ Δg ⎞
∂ ln g
⎟⎟ = ΔT1
⎜⎜
,
∂T1
⎝ g ⎠ T1
где ∂ ln g ∂T1 - частная производная от lng по T1, ΔT1 -погрешность измерения
величины T1 и т.д.
Логарифмируем выражение (10.41):
lng=const+lna-2ln(T1+T2)-ln(1+S).
Ищем частную погрешность g по T1
⎛ Δg ⎞
∂S ∂T1
1
⎟⎟ = ΔT1 − 2
⎜⎜
−
(11.41)
(T1 + T2 ) 1 + S
⎝ g ⎠ T1
Но ∂S ∂T1 = S (∂ ln S ∂T1 ), а так как
lnS=ln2+ln(T1-T2)-ln(T1+T2)+ln(a+d)-ln(2a1-a) (12.41)
то следовательно
⎛
⎞
2T2
∂S
1
1
⎟⎟ = S
= S ⎜⎜
−
.
(T1 + T2 )(T1 − T2 )
∂T1
⎝ (T1 − T2 ) (T1 + T2 ) ⎠
Подставим это в выражение (11) и введем опять переменные T и τ:
⎛ Δg ⎞
T2
ΔT
S
1 (a + d ) T2
2
2
1
1 τ (a + d ) T2
⎟⎟ = ΔT1 −
⎜⎜
−
= ΔT1 +
=
1+
T1 + T2 (1 + S ) (T1 + T2 ) (T1 − T2 )
T (1 + S ) Tb Tτ
T
1+ S b T
⎝ g ⎠ T1
Будем считать, что а+d≅а, 1+S≅1, T2=T. Так как погрешность вычисляется с
малой точностью, то для того, чтобы можно было сделать два последних допущения, достаточно чтобы выполнялось S =
τ a
T b
≤
1
; таким образом, на точность
3
уравнивания периодов накладывается сравнительно слабое условие, если только b не слишком мало, т.е. измерения проводятся не около минимума периода
(см. рис. 1). Искомое выражение примет вид
⎛ Δg ⎞
ΔT
a
⎟⎟ = 1 1 +
⎜⎜
T
b
⎝ g ⎠ T1
⎛ Δg ⎞
⎟⎟ получим аналогично
⎝ g ⎠ T2
Для ⎜⎜
⎛ Δg ⎞
ΔT2
a
⎟⎟ =
⎜⎜
1−
T
b
⎝ g ⎠ T2
Точно так же получаем формулы и для остальных частных погрешностей.
⎛ Δg ⎞
1 ∂S ∂a
⎟⎟ = Δa −
⎜⎜
.
a 1+ S
⎝ g ⎠a
Используя (12) получим
⎛ 1
∂S
1 ⎞ τ (b − a − d )
⎟⎟ = ⋅
= S ⎜⎜
−
∂a
b2
⎝ a + d 2a1 − a ⎠ T
Подставим это в (13) и пренебрежем членом с малым множителем τ/Т:
34
⎛ Δg ⎞
1 τ a (b − a − d ) Δa
Δa
⎟⎟ =
⎜⎜
1−
.
⋅ ⋅
≅
a
a
1+ S T
b2
⎝ g ⎠a
Далее
2
⎛ Δg ⎞
∂S ∂a1
S
2
1 2τ (a + d ) Δa1 2 τ ⎛ a ⎞
⎟⎟ = Δa1
⎜⎜
= Δa1
⋅
= Δa1
⋅ ⋅
≅
⋅
⋅⎜ ⎟ .
a T ⎝b⎠
1+ S
1 + S 2a1 − a
1+ S T
b2
⎝ g ⎠ a1
и, наконец
⎛ Δg ⎞
∂S ∂d
S
1
Δd τ a
⎟⎟ = Δd
⎜⎜
= Δd
⋅
≅
⋅ .
1+ S
1+ S a + d
a T b
⎝ g ⎠d
Выпишем все формулы частных погрешностей
⎛ Δg ⎞
ΔT
a
⎟⎟ = 1 1 +
⎜⎜
T
b
⎝ g ⎠ T1
(14а.41)
⎛ Δg ⎞
ΔT2
a
⎟⎟ =
⎜⎜
1−
T
b
⎝ g ⎠ T2
(14b.41)
⎛ Δg ⎞
Δa
⎟⎟ =
⎜⎜
a
⎝ g ⎠a
(14c.41)
τ ⎛a⎞
⎛ Δg ⎞
Δa
⎟⎟ = 1 ⋅ 2 ⋅ ⎜ ⎟
⎜⎜
a
T ⎝b⎠
⎝ g ⎠ a1
⎛ Δg ⎞
Δd τ a
⎟⎟ =
⎜⎜
⋅
a T b
⎝ g ⎠d
2
(14d.41)
(14e.41)
Проанализируем эти формулы.
Анализ формул погрешностей.
Чем точнее производятся измерения, тем больше получают информации
об изучаемом явлении, поэтому всегда желательно измерять с возможно большей точностью. Однако трудоёмкость и затраты на измерения по мере увеличения точности растут, причем скорость этого роста резко увеличивается при
приближении к пределу, определяемому уровнем развития науки и техники.
Чем точнее нужно измерить какую-либо величину, тем лучше должны быть согласованы погрешности отдельных промежуточных измерений, тем тщательнее
изучены факторы, влияющие на погрешность окончательного результата, тем
большее число их должно быть рассмотрено и учтено.
Если все промежуточные измерения, проводимые с одинаковым уровнем
трудоёмкости и затрат, дают одинаковый вклад в общую погрешность результата и повышение точности этих промежуточных измерений одинаково трудоёмко, то естественно, что они должны производиться с точностью, дающей
одинаковый вклад в конечный результат, причем уровень точности определяется соотношением между требуемой точностью результата и допустимыми затратами времени и средств. Однако такой идеальный случай маловероятен.
Значительно чаще осуществляется ситуация, когда одно из промежуточных измерений доминирует над остальными по вкладу в общую погрешность. Тогда
естественно, что это измерение выполняется как можно более тщательно, а остальные проводятся с такой точностью, чтобы их вклад в общую погрешность
был меньше вклада доминирующего измерения, поскольку это нетрудно.
35
Большее увеличение точности остальных измерений бессмысленно, погрешности общего результата это всё равно существенно не уменьшит.
В нашем случае доминирующим является измерение расстояния между подвесами а. Действительно, из формулы (14с.41) следует - для уменьшения погреш⎛ Δg ⎞
⎟⎟ нужно выбирать а как можно больше, но это лимитируется длиной
⎝ g ⎠a
ности ⎜⎜
маятника, поэтому главное - измерять расстояние между подвесами как можно
точнее, так что практически всё определяется точностью того измерительного
прибора, который имеется в нашем распоряжении.
Рассмотрим, как нужно вести измерения, чтобы уменьшить остальные
погрешности, и до каких пор их выгодно уменьшать.
Формула (14d.41) показывает, что хотя обычно Δa1 значительно больше,
чем Δa, частную погрешность по а1 можно существенно уменьшить, если взять
малое τ, т.е. хорошо уравнять периоды. Уменьшать τ выгодно до тех пор, пока
⎛ Δg ⎞
⎛ Δg ⎞
⎟⎟ (Напомним: так как складываются квадраты частных
⎟⎟ ≤ 0.3⎜⎜
g
g
⎠a
⎝
⎠ a1
⎝
не станет ⎜⎜
погрешностей, а конечный результат округляется до одной значащей цифры, то
если одна из частных погрешностей составляет 0.3 от другой, её можно не учитывать). Подставив сюда значения по формулам (14d.41) и (14с.41), получим
Δa1 τ ⎛ a ⎞
Δa
2 ⎜ ⎟ ≤ 0.3
a T ⎝b⎠
a
2
Или
τ
T
2
≤ 0.15
Δa ⎛ b ⎞
⎜ ⎟ . (15.41)
Δa1 ⎝ a ⎠
Если, например, Δa/Δa1=0.1 и b/a=1/2, то |τ|/T≤0.00375, т.е. уравнивать периоды
нужно с точностью до 0.3%. При этом S =
τ a
⋅ = 0.00375 ⋅ 2 = 0.0075, а значит сдеT b
ланное нами при выводе формул погрешностей допущение 1+S≅1 правомерно.
Из сравнения формул (14е.41) и (14с.41) видно, что если τ мало, можно не
⎛ Δg ⎞
⎟⎟ .
⎝ g ⎠d
учитывать также и ⎜⎜
Наконец, рассмотрим формулы (14а.41) и (14b.41). Из этих выражений
видно, что поправочный множитель S вносит существенный вклад в значение
⎛ Δg ⎞
⎟⎟ (слагаемое |a/b| всегда больше единицы), причем этот вклад не зависит от
⎜⎜
⎝ g ⎠
значения τ и существенен даже при τ=0, когда расчет g проводится по формуле
(7.41), вообще не содержащей переменной b! Объясняется это тем, что само
уравнивание периодов возможно только с точностью до погрешности величины
τ. При измерениях нужно стремиться сделать b как можно больше - при этом не
только уменьшается слагаемое а/b, но, как видно из рис.1.41, одновременно
увеличивается период T, что также уменьшает погрешность. Проводить изме36
рения вблизи минимума периода крайне невыгодно - при уменьшении b до нуля
погрешность неограниченно возрастает.
Член а/b в одну из формул входит со знаком "+", в другую - со знаком "-".
Это легко понять, если посмотреть на точную формулу (6.41). Величина T2 умножается на малое число а2 и поэтому значение периода (а следовательно и погрешность его определения) мало влияет на результат, и это влияние тем меньше, чем меньше а2, т.е. чем меньше а/b. Величина Т1, наоборот, умножается на
сравнительно большое число а1. При увеличении а1 (что соответствует уменьшению а/b) роль член T12a1 в выражении для g увеличивается, следовательно
увеличивается и ошибка, которую мы допускаем, ошибаясь в значении Т1. Период Т2 можно измерять с меньшей точностью, чем Т1, однако при этом нужно
быть крайне внимательным, так как легко можно ошибиться в знаке. Безопаснее измерить оба периода с одинаковой точностью, ΔT2=ΔT1 и объединить обе
формулы:
2
2
⎛ Δg ⎞
⎛ Δg ⎞
⎛ ΔT ⎞
⎟⎟ = ⎜ 1 ⎟
⎟⎟ + ⎜⎜
⎜⎜
⎝ g ⎠ T1 ⎝ g ⎠ T2 ⎝ T ⎠
2
⎛ a2
⎜⎜1 + 2
⎝ b
⎞
⎟⎟.
⎠
Оценим, с какой точностью нужно измерять периоды. Необходимо, чтобы точность измерения периодов позволила удовлетворить условию (15.41),
значит должно быть
Δτ
2
Δa ⎛ b ⎞
≤ 0.15
⎜ ⎟ ,
T
Δa1 ⎝ a ⎠
но Δτ = ΔT12 + ΔT22 = ΔT1 2
(считаем, что Т1 и Т2 измерены с одинаковой точностью). Следовательно
2
ΔT1
Δa ⎛ b ⎞
≤ 0.11
⎜ ⎟ . (16.41)
T
Δa1 ⎝ a ⎠
При принятых нами ранее численных значениях величин получим ΔT1/Т≤
0.00275, т.е. измерять периоды нужно с точностью около 0.3%.
Если есть возможность, то имеет смысл увеличить точность измерения
периодов так, чтобы погрешность их измерения была незаметна в общем результате:
2
2
⎛ Δg ⎞
⎛ Δg ⎞
⎛ Δg ⎞
⎜⎜
⎟⎟ + ⎜⎜
⎟⎟ ≤ 0.3⎜⎜
⎟⎟ .
⎝ g ⎠ T1 ⎝ g ⎠ T2
⎝ g ⎠a
Предполагая, что ΔT1=ΔT2 получим
2
ΔT1
Δa
⎛a⎞
1 + ⎜ ⎟ ≤ 0.3
T
a
⎝b⎠
(17.41)
или, при а/b=2,
ΔT1
Δa
≤ 0.13 ,
T
a
то есть точность измерения периодов должна быть на порядок выше точности
измерения расстояния а.
37
При измерении периода колебаний маятника следует учитывать зависимость периода от амплитуды. Формула (1.41) является приближенной, так как
она выведена в предположении, что sinα=α (α - угловая амплитуда качаний).
Следующее приближение даёт T0=Tизм/(1+α2/16), где Тизм - период колебаний
при амплитуде α, Т0 - период при α→0. Если α< 1/25, то пренебрежение зависимостью T от α дает ошибку, меньшую 0.01%.
В реальном эксперименте кроме ошибок в значениях непосредственно
измеряемых величин (учтенных формулами погрешностей) существует ещё
множество разнообразных причин, влияющих на результат. Это, например,
влияние окружающего воздуха, трение в подвесах, деформация опоры и самого
маятника и т.д. и т.п. Все эти причины трудно учесть количественно, но они
могут проявляться в эксперименте как случайные ошибки.
Экспериментальная установка и измерения.
Измерение ускорения силы тяжести при помощи оборотного маятника Катера и механического секундомера.
Устройство маятника.
Схематический чертеж оборотного
инерции относительно плоскости
маятника приведен на рис. 2.41.
осей подвеса.
Подвесами служат шарики от шариМаятник подвешивается на
коподшипника 1, помещенные в опопорной площадке 11, укрепленной
равы (по два в каждой оправе). Диас помощью опорных винтов 12 на
привинченном к стене кронштейне
метр шариков d=8.0±0.05мм. Опра13. Непосредственно для опоры
вы зажимаются в держателях 2 с послужит привинченная к площадке 11
мощью винтов 3. Держатели могут
пластина из закаленной инструменперемещаться вдоль стержня 4 и
тальной стали с отшлифованной пофиксироваться в нужных положениверхностью.
ях зажимными винтами 5. На стержне нанесена шкала для отсчета перемещения держателей. Груз 6, укрепленный на винте 7 с помощью
контргайки 8, также перемещается
по стержню и закрепляется на нём
винтом 9. Назначение груза - сместить центр инерции ближе к одному из концов маятника, что позволяет увеличить асимметрию расположения сопряженных осей. Кроме того, смещая груз в плоскости, перпендикулярной стержню, можно вывести центр инерции на прямую, соединяющую середины оправ с шариками. Винты 10 служат для тонкой регулировки положения центра
Рис.2.41
38
Порядок работы.
1. Сборка и регулировка маятника.
2. Установление осей качания приблизительно в сопряженные положения.
3. Измерение расстояния между осями и от одной из осей до центра инерции.
4. Измерение периодов колебаний около обеих осей.
1. Сборка и регулировка маятника.
а) Установить горизонтально площадку 11. Для изменения ее наклона следует
отрегулировать винты 12. Положение площадки проверяется с помощью уровня, положенного на опорную поверхность.
б) При помощи угольника установить опоры с шариками, закрепленные в держателях 2, перпендикулярно стержню.
в) Установить один из держателей вблизи от конца стержня (при дальнейшей
настройке регулируется только положение другого держателя). При перемещении держателей следите, чтобы они находились в одной плоскости, для этого
на стержне нанесена черта, а на держателях - риски.
г) Отрегулировать положение груза в плоскости, перпендикулярной стержню.
Сначала регулируем его перемещением в направлении перпендикулярном к
стержню. Эту регулировку нужно производить, подвешивая маятник в положении, наиболее чувствительном к поперечным смещениям центра инерции. Для
этого подвижный держатель устанавливается вблизи центра инерции (на расстоянии 3-5см). Маятник подвешивают на горизонтальную шпильку, закрепленную в стене, пропустив её через поперечное отверстие 14 в держателе. Перемещают груз вдоль винта 7, пока стержень не займет вертикальное положение. Затем проводим регулировку поворота груза вокруг стержня. Для этого
нужно подвесить маятник в рабочем положении на подвижный держатель, и
поворотом винта 7 вокруг стержня добиться того, чтобы держатели шариков
находились в одной вертикальной плоскости. Эту установку следует выполнить
особенно тщательно, проверяя положение маятника по отвесу. Окончательная
тонкая регулировка производится с помощью винтов 10.
2. Выбор сопряженных осей.
Перемещая подвижный держатель следует измерить периоды колебаний
Т1 и Т2 около обеих осей при разных положениях держателя. По этим данным
строятся зависимости Т1 и T2 от положения х на стержне подвижного держателя
(рис. 3.41). Для выбора сопряженных осей необходимо подвижный держатель
установить в точке пересечения прямых.
рис.3.41
39
Рационально вести поиск сопряженных осей в следующем порядке:
1)
построить прямые Т1(х) и Т2(х) по двум грубо определенным точкам и
найти координату точки А пересечения прямых (в первом грубом приближении);
2)
с большей точностью провести измерения при 3-4 значениях x, лежащих
вблизи А (обязательно по обе стороны от А);
3)
построив участок вблизи А в увеличенном масштабе, определить координату пересечения прямых более точно;
4)
установить подвижный держатель в найденное положение. При этом
проверить с большой тщательностью параллельность осей подвеса и если нужно, окончательно отрегулировать положение центра инерции относительно
плоскости, проходящей через оси. В дальнейшем никакие детали маятника не
должны перемещаться.
Все измерения, а также график, приводятся в отчете.
3. Измерение расстояния между осями.
При точных измерениях g это расстояние следует измерять приборами
высокой точности. В нашей лаборатории предлагается измерять расстояние а
специальным штангенциркулем с ценой деления нониуса 0.1 мм, при этом
a=(869,3-С)мм, где С - показания, отсчитанные по нониусу штангенциркуля,
когда его "щеки" касаются шариков обоих держателей.
Определение положения центра инерции. Маятник уравновешивают на
ребре призматической подставки и измеряют расстояние а1 от центра инерции
до одного из подвесов с помощью линейки.
4. Измерение периода колебаний.
С помощью секундомера измеряется время, за которое маятник совершает N полных колебаний. Пуск и остановка секундомера производится в момент,
когда маятник проходит в заранее выбранном направлении (например, слева
направо) положение равновесия - это даёт наибольшую точность измерения периода. Положение равновесия должно быть отмечено каким-либо указателем –
например, нитью отвеса или хотя бы чертой на стене. Не забудьте, что при отсчете качаний следует момент пуска секундомера считать за "нуль", а не за
"один".
Выбор числа качаний N определяется требуемой точностью. В начале
процесса поиска сопряженных осей достаточно измерять период с точностью
до 2-3%, при более точном подборе положения оси следует повысить точность
до 0.5%, что обеспечит совпадение периодов в пределах 1%.
Погрешность измерения времени t между какими либо двумя прохождениями маятника через положение равновесия может быть записана как
2
Δt = (αt ) + Θ 2 , где α определяется неточностью хода секундомера, а Θ - неточность отсчета и ошибка наблюдателя при пуске и остановке секундомера. При
не очень больших t (<100с) можно принять Δt=Θ; при большой длительности
измерения αt>Θ и Δt=αt. Относительная ошибка измерения времени при этом
определяется точностью хода секундомера и равна в зависимости от типа се40
кундомера 10-3 - для обычного стрелочного секундомера - или 10-4 - для
двухстрелочного.
Если, например, Т=2с, Θ=0.2с, то в начале поиска сопряженных осей для
достижения нужной точности (2%) достаточно отсчитать 5 колебаний, а в конце поиска (требуемая точность 0.5%) - 20 колебаний.
Окончательное измерение периодов Т1 и Т2 для вычисления g должно
быть выполнено с точностью порядка 0.1%-0.01%, и тогда число колебаний
должно быть порядка 500. Подсчет такого большого числа колебаний крайне
утомителен и вероятность ошибки (просчета) велика. Поэтому нужно вести
измерения в несколько ступеней так, чтобы избежать прямого счета большого
числа колебаний. Это делается так:
1) Измерив время t1, за которое совершается какое-то не очень большое удобное
для счета число качаний N1, например 50, находят первое приближение для периода T(1)=t1/N1 с относительной погрешностью ΔT(1)/T(1)=Δt/t1 (например,
T(1)=(2.015+0.004)с).
2) Запускает секундомер в начале очередного колебания.
3) По истечении некоторого времени t2, величину которого оценим несколько
позже, останавливают секундомер в конце очередного колебания.
4) Определяют приближенное значение числа колебаний, произошедших за
время t2: v2=t2/T(1). Как правило, величина v2 отлична от целого, так как и t2 и
Т(1)- приближенные величины.
5) Число колебаний N2 можно получить, округляя v2 до ближайшего целого, если только ошибка в определении v2 меньше половины. Таким образом, выбор
времени t2 определяется условием Δv2<1/2.
⎛ Δt
ΔT (1) ⎞
Но Δv 2 = v 2 ⎜⎜ 2 + (1) ⎟⎟
T ⎠
⎝ t2
(определяем не среднюю, а предельную погрешность). Подставляя значения v2 и
ΔT(1)/T(1) и учитывая, что
Δv 2 =
t2
T (1)
Δt1 Δt 2
>
, получим
tt
t2
⎛ Δt 2 Δt1 ⎞ t 2 Δt1 1
⎜⎜
⎟<
+
2
<
t1 ⎟⎠ T (1) t1
2
⎝ t2
и, следовательно
t 2 < t1
T (1)
4Δt1
Если время t не очень велико, можно принять t k +1 = t k
T
, где Т - пример4Θ
ное значение периода. Например, если Т=1.8с и Θ=0.2с, то T/4Θ=2.25 и ряд
времен наблюдения может быть приблизительно таким: 18с; 40с; 90с; 200с;...
При больших t ошибка в отсчете времени определяется ходом часов:
Δt=αt и тогда t <
T
, т.е. увеличивать время наблюдения имеет смысл только до
4α
41
тех пор, пока не станет t=250T для однострелочного и t=2500T для двухстрелочного секундомера.
Запись результатов и обработку удобно проводить в такой форме.
t
0
18.2
39.8
95.6
200.2
431.2
0
41.6
…
v
N
T
ΔT/T
T±ΔT
21.86
52.8
110.98
239.02
10
22
53
111
239
1.82
1.8091
1.8037
1.836
1.8042
0.05
0.005
0.0021
0.001
0.0006
1.8±0.1
1.81±0.01
1.804±0.004
1.804±0.001
1.8042±0.0005
23.06
…
23
…
1.809
…
0.004
…
1.809±0.007
…
Проводятся несколько (4-5) серий наблюдений, здесь показана одна серия
и начало второй. Окончательные (наиболее точные) значения периодов, полученные из разных серий, усредняются.
Определение модуля Юнга по прогибу стержня.
Лабораторная работа №62
Задачей данной работы является изучение деформации прогиба стержня
под действием сосредоточенной силы, приложенной к его середине. Требуется
исследовать зависимость стрелы прогиба от длины стержня и от величины нагрузки и определить модуль Юнга материала стержня, а для стержня не квадратного сечения изучить зависимость стрелы прогиба от формы сечения.
Можно также исследовать форму деформированного стержня. Это последнее задание проводится только на установке с повышенной точностью измерений (см. ниже).
Деформация прогиба стержня.
Пусть стержень длиной L положен концами на две опоры, а на середину
его действует вниз сила F (рис.1.62). Тогда на концы стержня действуют вверх
силы реакции опор, равные F/2. В результате стержень прогибается. Требуется
определить стрелу прогиба S.
рис.1.62
42
В наших расчетах мы будем основываться на гипотезе, предложенной Бернулли, и заключающейся в том, что при изгибе стержня все его поперечные сечения остаются плоскими. Будем считать также стержень тонким (поперечные
размеры его малы по сравнению с длиной), а прогиб слабым (стрела прогиба
много меньше длины стержня S<<L).
Разделим мысленно стержень на тонкие слои, перпендикулярные действующим силам. При изгибе стержня его нижние слои удлиняются, верхние –
укорачиваются. Средний слой не меняет своей длины, он называется нейтральным слоем.
Для того, чтобы охарактеризовать силы, вызывающие деформацию, применим следующий прием. Рассечем мысленно стержень сечением АА’ на расстоянии x от середины. Для определенности будем считать, что сечение находится справа от точки подвеса груза F (в дальнейшем мы для определенности
всегда будем рассматривать лишь правую половину стержня, а все выводы для
левой половины можно будет получить из соображений симметрии).
Рассмотрим отрезок стержня от сечения АА’ до правой опоры. Выясним условия равновесия для грани АА’. Для равновесия требуется равенство суммы всех
действующих сил и моментов сил.
рис.2.62
На грань AA’ действуют внутренние силы со стороны молекул, прилегающих слева к сечению AA’, и внешняя сила – реакция правой опоры. Внутренние
силы образуют момент M’, стремящийся повернуть грань AA’ по часовой
стрелке (рис.2.62). С другой стороны, на эту грань действует момент внешних
сил М, равный
M =
F ⎛L
⎞
⎜ − x ⎟ , (1.62),
2 ⎝2
⎠
стремящийся повернуть её против часовой стрелки. Так как грань AA’ находится в равновесии, то сумма моментов должна равняться нулю, M’+M=0, откуда
получим: момент внутренних сил, действующих на грань AA’ со стороны молекул, прилегающих к этой грани с внешней стороны равен
43
M'= −
F ⎛L
⎞
⎜ − x⎟
2 ⎝2
⎠
(2.62)
Кроме равенства моментов для равновесия требуется равенство сил.
Внешняя сила, действующая на выделенный отрезок стержня, равна F/2 и направлена вверх. Такую же по величине составляющую (но направленную вниз)
должны иметь и внутренние силы. Однако она мала по сравнению с нормальной составляющей и практически не влияет на деформацию стержня. Поэтому
мы её не рассматриваем и считаем приближенно, что внутренние силы нормальны к сечению, а их сумма равна нулю.
Рассмотрим подробнее деформацию стержня под действием внутренних сил. Это упругая деформация и она описывается законом Гука. Согласно этому закону величина деформации пропорциональна действующей силе. Пусть, например, имеется однородный стержень длиной λ с поперечным сечением S, к концам которого приложены силы f, растягивающие стержень на величину Δλ . Тогда относительное удлинение
Δλ
λ
пропор-
ционально
силе, отнесенной к единице площади поперечного сечения
стержня
=
Δλ
λ
1 f
. Величина Е называется модулем Юнга. Модуль Юнга
E S
зависит только от свойств материала стержня, он описывает упругие свойства этого материала.
Вырежем (опять мысленно!) из нашего стержня кусочек малой длины λ.
При изгибе этот кусочек деформируется примерно так, как показано на
рис.3.62.
рис.3.62
Боковые его сечения, оставаясь плоскими, перестают быть параллельными
друг другу. Они составляют малый угол Δφ и пересекаются по прямой, перпендикулярной плоскости рисунка и проходящей через точку О. Тогда
44
Δϕ =
λ
R
, (3)
где R – радиус кривизны стержня в данном месте – расстояние от точки О до
нейтрального слоя. Удлинение слоя, находящегося на расстоянии y от ней-
λy
Δϕ
=−
. (Знак «-» означает, что для y>0 соответст2
R
вующий слой укорачивается, что соответствует Δλ < 0 ). Таким образом, относиΔλ
y
= − . Такая деформация предполагает, что на этот
тельное удлинение равно
λ
R
трального, равно Δλ = −2 y
слой действует сила df со стороны молекул, прилегающих к торцу слоя вне выделенной области. Согласно закону Гука эта сила равна
df = E
Δλ
dS = − E
λ
y
zdy .
R
Здесь Е – модуль Юнга, а dS=zdy – площадь поперечного сечения слоя шириной z и толщиной dy, находящегося на расстоянии y от нейтрального слоя
(рис.4.62). Момент этой силы равен
dM ' = ydf = −
E 2
zy dy
R
(4.62)
Полный момент внутренних сил, действующий на сечение, мы получим,
проинтегрировав выражение (4.62) по всей толщине стержня а
M'= −
E
R
a
2
∫ zy
−
2
dy = − I
a
2
E
, (5.62)
R
рис.4.62
Интеграл
I=
a
2
∫ zy
2
dy
(6.62)
a
−
2
45
имеет такой же вид, как выражение для момента инерции плоской фигуры,
совпадающей по форме с поперечным сечением стержня относительно оси,
проходящей через нейтральный слой (при поверхностной плотности, равной
единице). Величина I называется моментом инерции поперечного сечения.
Для стержня прямоугольного сечения a*b
Для стержня с круглым сечением диаметром а
a 3b
12
πa 4
I=
.
64
I=
Выведите эти формулы сами.
Момент внутренних сил связан с моментом внешней силы соотношением
(2.62). Сопоставляя выражения (2.62) и (5.62), получаем
−I
E
F
=−
2
R
⎛L
⎞
⎜ − x⎟,
⎝2
⎠
откуда следует выражение для радиуса кривизны деформированного стержня
(точнее – его нейтрального слоя) на расстоянии х от его середины
2 IE
. (7.62)
⎛L
⎞
F⎜ − x⎟
⎝2
⎠
R=
Определим теперь форму деформированного стержня.
Пусть уравнение, определяющее форму нейтрального слоя, будет y=f(x),
где y – отклонение точки с координатой x от её положения до деформации. Веα = arctg
личина
dy
представляет собой угол, который составляет направление
dx
касательной к нейтральной линии в точке с координатой x с осью X (рис.5.62).
Если учесть, что угол α очень мал (так как прогиб мы считаем слабым), то
dy
, а изменение направления касательной при переходе от точки х к точке
dx
α≈
x+dx будет равно
dα ≈
d2y
dx.
dx 2
Так как поперечные сечения всегда перпендикулярны к нейтральному
слою, то dϕ = dα ≈
d2y
d 2 y dϕ
dx
dx
или
≈
. Но dϕ = , следовательно
2
2
dx
dx
dx
R
d2y 1
= .
dx 2 R
Подставим сюда выражение для R из (7.62):
2
d y
=
dx 2
L
− x)
2
. (8.62)
2 EI
F(
Проинтегрировав выражение (8.62) два раза получим уравнение, описывающее
форму деформированного стержня. Интегрируя первый раз и учитывая, что при
dy
= 0 (в силу симметрии задачи), имеем
dx
x
x
d2y
dy
F ⎛L
F
⎞
2
∫0 dx 2 dx = dx = 2 EI ∫0 ⎜⎝ 2 − x ⎟⎠dx = 4 EI (Lx − x ) .
x=0,
46
Интегрируя вторично и считая y=0 при x=0 (начало координат находится в
центре нейтральной линии деформированного стержня) получим уравнение
кривой
Уравнение верно для x>0, т.е. для точек, лежащих справа от точки подвеса
груза. Выражение для x<0 можно получить исходя из соображений симметрии.
рис.5.62
Таким образом, форма кривой описывается уравнением
y( x) =
F 2⎛ L x ⎞
x ⎜ − ⎟ . (9.62)
4 EI ⎜⎝ 2 3 ⎟⎠
Особый интерес представляет величина S – стрела прогиба стержня. Подставляя в (9.62) x=L/2, получаем
S=
F
L3 (10.62)
48EI
Таким образом, стрела прогиба пропорциональна действующей силе и
кубу длины стержня и обратно пропорциональна модулю Юнга материала
стержня и моменту инерции его сечения.
Формулы (9.62) и (10.62) пригодны для любой формы сечения, важно
только, чтобы оси Y и Z были главными осями инерции сечения, иначе плоскость изгиба не совпадает с плоскостью XY.
Экспериментальная установка и порядок измерений.
В нашей лаборатории имеется два варианта установок; а) стандартная и
б) для более точных измерений. Они отличаются в основном измерительным
прибором, который используется для измерения прогиба стержня. Мы опишем
сначала стандартную установку, а затем укажем те изменения, которые присутствуют в установке для более точных измерений.
47
Стандартная установка.
Изучаемый стержень 1 (рис.6.62) кладется на две опоры 2 и 3, выполненные в виде призм. На стержень надевается обойма с крючком 4. На этот крючок
подвешиваются грузы. Опоры 2 и 3 смонтированы на рейтерах, которые могут
перемещаться вдоль рельса. Это позволяет изменять расстояние между опорами.
рис.6.62
Для измерения стрелы прогиба используется индикатор часового типа 5.
Основной его частью является измерительный стержень с наконечником из
твердого сплава Измерительный стержень передвигается вверх-вниз вращением головки 6, а величина его перемещения указывается стрелкой на круглой
шкале. Цена деления шкалы указана на приборе, обычно она равняется 0,01 мм.
Измерительный прибор и опора исследуемого стержня включены в электрическую цепь с индикатором тока 7. В момент касания наконечника и поверхности
стержня по цепи начинает проходить ток и стрелка указателя отклоняется. Этот
момент и указывает на то, что наконечник коснулся исследуемого стержня. При
измерениях вращением головки подводят наконечник к исследуемому стержню
и следят за показаниями индикатора. При появлении тока делают отсчет по
шкале.
При измерении стрелы прогиба сначала определяют положение наконечника при ненагруженном стержне, затем подвешивают груз и делают второй
отсчет. Такие измерения нужно проделать несколько раз.
Необходимо провести следующие измерения.
1. При максимальном возможном расстоянии между опорами исследовать
зависимость стрелы прогиба S от нагрузки F (построить график).
2. При максимальной нагрузке исследовать зависимость стрелы прогиба от
длины стержня (построить график зависимости S от L3 ).
3. Повернуть стержень на 90 градусов вокруг оси и проделать такие же измерения. Если Ваш стержень имеет круглое или квадратное сечение, то
полученные в п.3 данные можно нанести на уже имеющийся график (для
обозначения на графике использовать другие значки, чтобы можно было
сравнить два разных положения стержня). Если ваш стержень имеет пря48
моугольное (но не квадратное) сечение, удобнее построить отдельный
график.
Поперечные размеры стержня измеряются микрометром, расстояние между опорами – линейкой
По всем полученным данным нужно определить модуль Юнга материала
стержня.
Установка с повышенной точностью измерений.
Здесь для измерения стрелы прогиба используется вертикальный длиномер (типа ИЗВ-1) дающий точность до десятых долей мкм. Описание
прибора прочтите в книге: В.А. Соловьев и В.Е Яхонтова «Руководство к
лабораторным работам по физике», изд. СПУ, 1997г, стр. 75 – 78, или в более раннем издании: В.А. Соловьев и В.Е Яхонтова «Основы измерительной техники», Изд. ЛГУ,1980г, стр.50-52.
Использование более точного (по сравнению со стандартной установкой) прибора диктует и некоторые изменения в установке и в методах измерения. Кроме того, появляется возможность исследовать форму деформированного стержня.
В этой установке изучаемый стержень также кладется на две опоры, но
одна из них имеет форму призмы, а другая – конуса. Таким образом, стержень
лежит на трех точках, что исключает возможность поперечных качаний. Точность измерений позволяет учитывать деформацию опор (в стандартной установке точность измерений слишком мала для такого учета). Даже очень массивные опоры должны в какой-то мере деформироваться под действием нагрузки стержня. Для исключения возникающих при этом ошибок применяется
следующий приём. На изучаемый стержень с помощью опор такого же типа,
как описано выше (призма и конус) помещается вспомогательный стержень
(рис. 7.62).
рис.7.62
Нагружая основной стержень измеряют смещение вспомогательного
стержня S 2 . Затем снимают вспомогательный стержень и измеряют смещение
середины основного стержня S1 под действием того же груза. Стрела прогиба
основного стержня будет, очевидно, равна S = S1 − S 2 . Деформации опор полностью учитываются величиной S 2 и таким образом исключаются из результатов
измерений.
Для правильного измерения стрелы прогиба необходимо, чтобы опоры
вспомогательного стержня располагались точно над опорами основного стержня.
49
Если расположить опоры вспомогательного стержня на меньшем расстоянии l<L, то величина S даст нам не стрелу прогиба, а координату y деформированного стержня на расстоянии l/2 от середины (рис.8.62).
рис.8.62
Эту величину можно рассчитать, подставляя в формулу (9.62) значение
x=l/2. Таким образом, изменяя расстояние между опорами вспомогательного
стержня l можно определить форму линии прогиба стержня – проверить формулу (9.62). Практически удобен следующий порядок измерений.
Определяют длинномером положение вспомогательного стержня при отсутствии нагрузки.
Нагружают основной стержень и определяют положение вспомогательного стержня. Разность отсчетов равна S 2
Снимают вспомогательный стержень и измеряют положение основного
сначала с нагрузкой, а затем без неё. Разность отсчетов равна S1 . Стрела прогиба равна S = S1 − S 2 .
Подвешивать и снимать груз и перемещать вспомогательный стержень
нужно очень осторожно, чтобы не сдвинуть основной стержень.
Такие измерения с каждым грузом надо провести несколько раз. При
этом отсчеты положений стержней могут не воспроизводиться из-за небольших
ошибок в установке вспомогательного стержня, кроме того, в процессе установки легко сдвинуть и основной стержень. Поэтому усреднять нужно только
значения S1 и S 2 , а не самих отсчетов.
Необходимо провести все измерения, рекомендованные для стандартной
установки (но с учетом деформации опор!), а также определить форму кривой
прогиба стержня и сравнить с теоретической зависимостью. Для проверки формулы следует нанести экспериментальные точки на теоретический график
y=f(x), описываемый формулой (9.62).
50
Баллистический динамометр.
Лабораторная работа № 72.
Когда поверхности двух тел, движущихся с различными по величине и по
направлению скоростями, приходят в соприкосновение, то происходит явление
удара. Направление нормали в точке касания к обеим поверхностям называется
направлением удара. Удар называется центральным, когда это направление
проходит через центр тяжести тел. Удар шаров всегда центральный. Удар называется прямым или косым, смотря по тому, совпадает ли направление движения
тел до удара с направлением самого удара или нет.
Опыты с прямым ударом упругих шаров можно проделать, пользуясь
баллистическим динамометром.
Описание прибора.
Прибор состоит из двух стальных шаров А и В, шкалы S, двух электромагнитов R1 и R2 и стальной пластины, состоящей из двух частей С1 и С2, к которым прикреплены медные пластинки L′1, L′2, L′′1, L′′2 (рис.1.72, 2.72).
Все эти части закреплены на неподвижном штативе F. Каждый шар подвешен
на двух расходящихся нитях, продетых через два ушка, укрепленные на шаре
на коротком расстоянии одно от другого. Верхний конец каждой нити проходит
через маленькое отверстие в соответствующей пластинке L и кончается на одном из цилиндров n, при повороте которых длину нитей можно изменять. Поворот цилиндров производится при помощи винтов m. Винт N служит для изменения расстояния между пластинами С1 и С2. Электромагниты R1 и R2 предназначены для того, чтобы удерживать шары в смещенном положении.
рис.1.72
рис.2.72
51
Обозначим через А левый шар, через В – правый шар. Пусть m – масса
шара А, пусть М – масса шара В, v1 и v2 – скорости шаров А и В до удара, u1 и u2
– скорости этих шаров после удара. Пусть l – расстояние от оси подвеса до центра шара А и d – расстояние от оси подвеса до шкалы S.
Отклоним шар А от вертикального положения на угол θ0 (рис.3.72), при
этом его центр будет приподнят на высоту h0, потенциальная энергия Ер шара А
в этом положении равняется
Ep=mgh0. (1.72)
рис.3.72
Когда А достигнет своего низшего положения, его потенциальная энергия
перейдет в кинетическую Ek; по закону сохранения энергии мы можем написать:
1
2
Ep=Ek, mgh0 = mv12 , (2.72)
Откуда
(3.72)
В этом положении шар А ударяет шар В, который отклоняется на некоторый угол ψ.
После удара шар А может двигаться в том же направлении или пойти назад, отклоняясь на угол θ1.
На рис.3.72 видно, что
v1 = 2gh0
l − h0 = l cos θ 0 ,
h0 = l (1 − cos θ 0 ),
h0 = 2l sin 2
θ0
2
.
52
Подставляя значение h0 в формулу (3.72), имеем выражение для v1
θ0
v1 = 2 gl ⋅ sin
.
2
(4.72)
Аналогично мы можем получить выражение для скорости u1 шара А после удара:
u1 = 2 gl sin
θ1
2
,
(5.72)
и скорости u2 шара В:
u 2 = 2 gl sin
ψ
2
. (6.72)
Таким образом, пользуясь формулами (4.72), (5.72) и (6.72), по углу отклонения шаров до и после удара можно определить их скорость v1, u1 и u2.
Пусть для положения равновесия (когда шары висят неподвижно) отсчет
по шкале для нити шара А обозначим через а, а для нити В – через b.
Обозначим через а0 отсчет по шкале для нити шара А в его смещенном
положении и через а1 – в положении после удара; отсчет для нити шара В после
удара обозначим через b1.
Если шкала градуирована слева направо, то из рис.3.72 следует:
a − a0
,
d
a −a
tgθ 1 = 1
,
d
b −b
tgψ = 1
.
d
tgθ 0 =
Измерив по шкале величины а, а0, а1, b, b1, d, можно определить при помощи таблиц углы θ0, θ1 и ψ.
Если принять в расчет, что шар вращается вокруг точки привеса, то выражение
кинетической энергии надо записать так:
Ek =
1 2
Iω ,
2
где I – момент инерции шара относительно оси вращения и ω - его угловая скорость.
Момент инерции
I=
v
2
Mr 2 + Ml 2 и ω = ,
l
5
поэтому
2
2
⎞
1⎛2
1
2
2⎞v
2⎛ 2 r
E k = ⎜ Mr + Ml ⎟ 2 = Mv ⎜⎜ ⋅ 2 + 1⎟⎟.
2⎝5
2
⎠l
⎝5 l
⎠
Так как Ep=Ek, то выражение (2.72) можно переписать в следующем виде:
⎛ 2 r2
1
Mv 2 ⎜⎜1 + ⋅ 2
2
⎝ 5 l
⎞
⎟⎟ = Mgh0 .
⎠
Отсюда
53
v 2 = 2 gh0
1
,
2 r2
1+ ⋅ 2
5 l
⎛ 2 r2
v = 2 gh0 ⎜⎜1 + ⋅ 2
⎝ 5 l
⎛ 1⎞
⎜− ⎟
2⎠
⎞⎝
⎟⎟
⎠
или
⎛ 1 r2
v ≅ ⎜⎜1 − ⋅ 2
⎝ 5 l
⎞
⎟⎟ 2 gh0 .
⎠
Когда r/l меньше 1/25, первый множитель отличается от единицы меньше, чем на 1/3000, и тогда достаточно положить v = 2 gh0 .
В данной работе с помощью баллистического динамометра можно проделать следующие опыты.
1. Сравнить массы шаров.
По закону сохранения количества движения для случая удара шаров А и В
имеем:
mv1=mu1+Mu2,
причем
v2=0,
отсюда
u2
m
.
=
M v1 − u1
Принимая во внимание выражения скоростей (4.72), (5.72) и (6.72), получим:
m
=
M
sin
sin
θ0
2
ψ
2
− sin
θ1
. (7.72)
2
Из формулы (7.72) следует, что, определив величины углов ψ, θ0 и θ1,
можно найти отношение масс соударяющихся шаров.
2. Найти отношение k скорости шара после удара к скорости до удара; это
отношение характеризует упругие свойства материала шаров.
Для этой цели два равных шара отклоняются на равные углы и удерживаются в этих положениях двумя электромагнитами. После удара шары расходятся на разные расстояния, сближаются и сталкиваются опять.
Пусть v0 – скорость одного из шаров перед первым ударом и v1 – скорость
в противоположном направлении после удара. Эту же скорость нужно считать
скоростью непосредственно пред вторым ударом и в том же направлении, что и
v0.
Обозначим через v0, v1, …vn скорости шаров, соответствующие n ударам;
через θ0, θ1, …θn – углы отклонения шаров после этих ударов.
Тогда
V1=kv0,
V2=kv1,
54
.........
vn=kvn-1
и, следовательно,
vn=knv0,
откуда
k=n
vn
=n
v0
sin
sin
θn
2 . (8.72)
θ0
2
Число n берется произвольным.
4. Найти общую скорость u шаров после неупругого удара. Из теории следует, что
5.
u=
nv1 − Mv2
.
m−M
(9.72)
Если второй шар неподвижен, т.е. v2=0, то
u=
mv1
. (10.72)
m+M
При помощи динамометра следует проверить справедливость этой формулы опытным путем.
Порядок работы.
1.
Сравнение масс шаров.
1. Измеряют диаметр шаров штангенциркулем. Привязывают два шара к нитям так, как показано на рис.4.72, центрируя их (т.е. располагая центры шаров
на одной высоте). Это достигается изменением длины нитей при повороте винтов n (рис.2.72). Правильность подвеса определяют сначала на глаз: берут в руку маленький черный экран и помещают его позади одного из шаров (большего), глаз располагают на уровне этого шара так, чтобы второй шар был виден на
фоне первого. Свободной рукой регулируют длины нитей второго (меньшего)
шара так, чтобы он казался лежащим в середине большого. Чтобы проверить,
хорошо ли центрированы шары, отводят оба шара на произвольный угол и отпускают. Если центрирование выполнено достаточно хорошо, шары не должны
после удара поворачиваться; если же хотя для одного из шаров после удара будет обнаружен поворот, придется продолжить подгонку длины нитей.
рис.4.72
55
Шары должны быть привязаны к нитям по возможности крепко, иначе
вращение шаров будет происходить даже при выполнении всех остальных указаний. Концы нитей надо предварительно немного подрезать ножницами.
2. Делают плоскости пар нитей, удерживающих шары, параллельными; для этого раздвигают пластины С1 и С2 (рис.2.72) с помощью винта N настолько, чтобы расстояние между отверстиями в пластинах L′1 и L′2 равнялось сумме радиусов шаров (расстояние измеряют штангенциркулем); тогда плоскости нитей будут вертикальны и параллельны. Измеряют расстояние l от оси привеса до центра шара.
3. Останавливают шары в положении равновесия и успокаивают кусочком бумаги. Замечают положение нитей обоих шаров, когда они в покое, т.е. ту точку,
в которой плоскости нитей пересекают шкалу (нити должны покрывать друг
друга).
4. Шар А выводят из положения равновесия и удерживают в смещенном положении с помощью электромагнита R1 (рис.1.72), включая ток в его цепи. Для
этого электромагнит R1 устанавливают так, чтобы при контакте его с шаром А,
центр которого лежит в плоскости поддерживающих его нитей, ось магнита
проходила через центр шара. Электромагнит R2 отводят в сторону, чтобы он не
мешал колебаниям шара В.
5. Отмечают смещенное положение шара А и выключают ток. После удара шар
В отходит на некоторое расстояние. Это смещение, а также смещение шара А
после удара, нужно заметить, помня указание о перекрытии нитей. Сначала замечают приблизительно, до какого места шкалы доходит нить шара, фиксируют
глаз на это место и делают отсчет.
6. Повторяют тот же опыт, оставляя неподвижным шар А и смещая шар В,
удерживая его электромагнитом R2.
7. Вычисляют всякий раз по формуле (7.72) отношение масс и берут среднее из
этих двух результатов.
2. Определение отношения скоростей.
Чтобы найти k, пользуясь формулой (8.72) надо найти смещение шаров
равных масс после n-го удара.
3. Определение скоростей шаров при неупругом ударе.
Для этого взвешиваем глиняный и стальной шары, подвешивают их на
нитях, центрируют, отводят стальной шар на небольшой угол (иначе глиняный
шар после удара будет задевать шкалу), отмечают положение смещенного шара
и вычисляют его скорость. В формулу (10.72) подставляют значение масс шаров и скорости стального шара v1, найденные из уравнения (4.72), получают u и
сравнивают со скоростью, найденной опытным путем.
Для работы необходимо:
1) баллистический динамометр,
2) набор стальных шаров,
3) мягкая глина,
56
4)
5)
6)
7)
8)
ножницы,
штангенциркуль,
черный экран,
проволока,
линейка.
Определение моментов инерции тел.
Лабораторная работа №90
I.
Определение момента инерции тела приводимого во вращение
падающим грузом.
Описание прибора.
Схематический чертёж установки
показан на рис.1.90. Вертикальная
колонка 1 укреплена в середине чугунного треножника 2, снабженного
винтовыми ножками. В верхней части колонки в шарикоподшипниках
свободно вращается вертикальная
ось 3, на верхнем её конце имеется
площадка 4, куда помещается исследуемое тело 5. На оси 3 закреплен
также шкив 6, на который намотана
нить. Свободный конец нити пропущен через блок 7 и привязан к
грузу 8. При помощи особого спускового механизма (на рисунке не показан) груз может быть лишен опоры в любой точно фиксированный
момент времени. Во время своего
падения груз тянет нить и заставляет
вращаться шкив вместе с осью,
площадкой и помещенным на неё
телом. В нижней части колонки имеется полочка 9, о которую ударяется
груз в конце своего падения. Полочку можно перемещать по колонке и
закреплять в любом месте, тем самым, регулируя высоту падения груза.
рис.1.90
57
Вывод формулы.
Уравнение движения шкива имеет вид
Iβ=M. (1.90)
Здесь
β - угловое ускорение шкива,
I – момент инерции всей вращающейся части установки,
M – момент действующих сил.
Момент сил включает натяжение нити и силу трения:
M=m(g-a)r-μ, (2.90)
Где
m – масса падающего груза,
a – его ускорение,
g - ускорение силы тяжести,
r – радиус шкива, на который намотана нить,
μ - момент сил трения.
Подставив выражение (2.90) в формулу (1.90) получим
Iβ=m(g-a)r-μ. (3.90)
Линейное ускорение груза а связано с угловым ускорением шкива соотношением
a=βr. (4.90)
Подставив это в (3.90) и решив полученное уравнение относительно I получим
I=
mgr − μ
β
− mr 2
(5.90).
В этом уравнении кроме определяемой величины I есть еще два неизвестных – ускорение β и момент сил трения μ.
Мы будем предполагать, что действует сухое трение, не зависящее от абсолютной величины скорости. Тогда ускорение β постоянно (для данной массы
груза) и его можно вычислить, измерив время t падения груза с высоты h:
β=
2h
t 2r
(6.90)
Остаётся ещё неизвестным момент сил трения μ. Можно было бы попробовать
создать такие условия, чтобы трение мало влияло на результат. Для этого нужно взять достаточно массивный груз, такой, чтобы было mgr>>μ. Но при этом
уменьшиться время падения груза t. Следовательно, возрастает относительная
погрешность измерения времени так, что именно она будет вносить основной
вклад в общую погрешность измерения, и точность результата уменьшится.
Выгоднее взять не очень массивный груз, такой, чтобы он опускался медленно,
58
и чтобы время t можно было достаточно точно измерить, и провести дополнительные измерения с целью определить и исключить момент сил трения.
Ниже описываются два способа учета сил трения:
1. Измерения с разными грузами.
Измерение ускорения β проводятся для нескольких грузов с разными массами.
Из уравнения (5.90) получим
β=
mgr − μ
. (7.90)
I + mr 2
Второе слагаемое в знаменателе в (7.90) обычно мало по сравнению с первым.
Если бы им можно было пренебречь, то зависимость y=β от x=m была бы линейной. Записав её в виде
Y=A(x-x0) (8.90)
и построив график, можно определить параметры приближенно проведённой
через точки прямой – угловой коэффициент Аи начальную абсциссу x0. Используя эти величины, найдем
I (0 ) =
gr
, μ (0 ) = grx 0 . (9.90)
A
Здесь значком (0) отмечено так называемое нулевое – вероятно, ещё плохое –
приближение.
Из (7) видно, что если в качестве ординаты откладывать
⎛
mr 2 ⎞
⎟,
y = β ⎜⎜1 +
I ⎟⎠
⎝
(10.90)
то зависимость y от x будет в точности линейной. Если подставим в (10.90) в
качестве I величину I(0), то график будет ближе к прямой (8.90) и из него можно
будет найти лучшее – первое приближение:
I (0 ) =
gr
A
μ (1) = grx 0 . (11.90)
Далее можно подставить в (10.90) I=I(1) и повторить операцию, получив второе
приближение, и так до тех пор, пока точки на графике y(x) не перестанут смещаться. Это – так называемый метод последовательных приближений (итераций). Окончательно можно принять:
I=I(n), μ=μ(n), (12.90)
где n – номер последней итерации, заметно улучшающей график. (Значения μ(0),
μ(1),… можно не вычислять до этого последнего этапа.)
При нанесении точек на график можно для погрешности принимать
⎛
mr 2 ⎞
⎟ , пренебрегая, как это обычно делают, погрешностью поправочΔy = Δβ ⎜⎜1 +
I ⎟⎠
⎝
59
ного члена. Вместо y=β можно откладывать y =
1
, соответственно изменив
t2
формулы (9.90) и (11.90).
При недостатке времени для выполнения работы можно применить описанный здесь метод к измерению одного из моментов инерции вращающейся
системы (лучше при исследуемом теле максимальной массы). Для других исследуемых тел можно пользоваться для вычисления I формулой (7.90), вычисляя μ в соответствии с пропорцией
μ 1 (M 1 + M 0 )
=
, (13.90)
μ 2 (M 2 + M 0 )
где М1 и М2 – массы исследуемых тел, М0 – масса вращающейся части пустого
прибора. В нашей установке М0= (1,35±0,02)кг.
С разрешения преподавателя вы можете или заменить описанный здесь
метод последовательных приближений решением системы уравнений для I и μ
из измерений с двумя разными массами падающего груза, или –лучше – преобразовать формулу (7.90) так, чтобы она представлялась как линейная зависимость между вычисляемыми функциями измеряемых величин, и построить соответствующий график. Соответствующие преобразования проведите самостоятельно.
2. Измерения с замедленным вращением шкива.
Нить наматывается на шкив так, чтобы после того, как вся нить размоталась, конец её свободно соскальзывал со шкива. Во время падения груза нить
раскручивает установку (нить не должна проскальзывать!), и шкив вращается с
ускорением β1. После того, как груз достиг полочки и остановился, натяжение
нити исчезнет и шкив вращается под действием сил трения, т.е. движется замедлено, с ускорением -β (β >0), пока полностью не остановиться.
Уравнения движения будут:
Iβ1=m(g-a)r-μ (13.90)
Iβ2=μ (14.90)
Решив систему уравнений относительно I и μ, получим
m( g − a )r
(15.90)
β1 + β 2
m(g − a )rβ 2
μ=
= Iβ 2 (16.90)
β1 + β 2
I=
Найдем β1 и β2. Пусть t1 – время ускоренного движения шкива, t2 – время замедленного движения, ω - угловая скорость шкива в момент, когда натяжение
нити исчезает. Очевидно, что ω=β1t1=β2t2, а β1 определяется по (6.90):
β1 −
2h
.
t12 r
60
Тогда
t1
2h
=
(18.90)
t 2 rt1t 2
2h (t1 + t 2 )
β1 + β 2 =
(19.90).
r t12 t 2
β 2 = β1
Подставляя выражения (18.90) и (19.90) в формулы (15.90) и (16.90) получим
m(g − a )r 2 t12 t 2
I=
2h(t1 + t 2 )
m(g − a )rt1
μ=
.
(t1 + t 2 )
По этим формулам и определяются I и μ.
Содержание работы.
В этой части работы следует определить три момента инерции:
1) Момент инерции вращающейся части установки (шкив, ось и площадка) I0.
2) Момент инерции исследуемого тела I1 (это же тело будет затем исследовано
методом крутильных колебаний.
3) Момент инерции тела правильной геометрической формы (диск, кольцо) I2. В
этом случае нужно также определить массу и размеры тела, вычислить его момент инерции и сравнить измеренное и вычисленное значения.
Измерения.
При определении I1 и I2 исследуемое тело помещают на площадку и определяют их общий момент инерции I=I1+I0 и I=I2+I0, а затем вычисляют моменты инерции исследуемого тела.
Для определения массы груза m его взвешивают на технических весах.
Радиус шкива r измеряют штангенциркулем, высоту падения груза h – линейкой, время – секундомером.
При наматывании нити на шкив следите, что бы она была намотана в
один ряд. Следите также за тем, что бы груз при падении не совершал колебательных движений.
Время падения груза измеряют для нескольких (3-4) высот h, каждый раз
делая 5-7 измерений времени. Результаты представляют в виде графика t2=f(h),
из которого находят величину ускорения. Этот же график позволяет проверить
правильность предположения о независимости сил трения от скорости. (Если
времени на все измерения не хватает, измерения с разными высотами можно
сделать только для одного исследуемого тела и одного груза).
В зависимости от используемого Вами метода учета сил трения делают
измерения либо с разными грузами, либо измеряют как ускоренное, так и замедленное движение шкива.
61
II.
Определение момента инерции тела совершающего колебания на
закручивающейся проволоке.
Если тело, подвешенное на проволоке, повернуть и отпустить, оно начинает совершать крутильные колебания. Уравнение движения в этом случае будет
I
d 2ϕ
= M , (20.90)
dt 2
где I – момент инерции тела, ϕ - угол поворота вокруг оси и М – момент сил,
действующих на тело. Если угол не слишком велик, то
M=fϕ,
где f – модуль кручения проволоки, рассчитанный на полную её длину. Тогда
решение уравнения (20) имеет вид
ϕ=ϕ0cosωt, ω =
f
,
I
следовательно, тело будет совершать гармонические крутильные колебания с периодом
T = 2π
I
.
f
Для определения момента инерции тела методом крутильных колебаний на колонке прибора (рис.1.90) имеется кронштейн, на котором закреплен верхний
конец проволоки. На нижнем её конце укреплен диск, служащий подставкой
для исследуемого тела (всё это на рисунке не показано).
Положим исследуемое тело на диск и измерим период Т1 крутильных колебаний. Пусть I1 – момент инерции исследуемого тела, I0 – момент инерции
диска и нити, тогда
I1 + I 0 =
f
4π 2
T1 .
В этом уравнении кроме I1 есть ещё две неизвестные величины - I0 и f. Для их
определения нам понадобится тело, момент инерции I2 которого известен. Определим период Т2 колебаний подвеса с известным телом и Т3 – с обоими телами вместе. Получим ещё два уравнения. Теперь имеем систему трёх уравнений
с тремя неизвестными
I1 + I 0 =
f
T12
4π
f
I2 + I0 =
T22
2
4π
f
I1 + I 2 + I 0 =
T 2.
2 3
4π
2
Решая её, получаем
62
I1 = I 2
T32 − T22
T32 − T12
f = I2
4π 2
.
T32 − T12
В этой части работы требуется определить момент инерции I1 тела, которое уже
исследовать в первой части работы. Сравнить результаты. Требуется также модуль кручения f.
III.
Определение момента инерции тела, совершающего свободные
колебания, относительно некоторой оси.
Момент инерции тела, совершающего свободные колебания с периодом Т
около некоторой оси, которая находится на расстоянии а от его центра инерции, может быть определен по формуле:
mgT 2 a
4π 2
K=
(21.90)
где m – масса тела, g – ускорение силы тяжести.
Однако для объемных тел нахождение положения центра инерции и, следовательно, величины а затруднительно.
Измерения этой величины можно избежать, воспользовавшись теоремой
Штейнера, согласно которой:
K1 = K + (a12 − a 2 )m, (22.90)
где К – момент инерции тела относительно некоторой оси, находящейся на расстоянии а от центра инерции тела; К1 – момент инерции тела, относительно новой оси, параллельной первой и находящейся на расстоянии а1 от центра инерции.
Если измерить период колебаний Т1, соответствующий колебаниям около
новой оси, то для К1 можно написать:
mgT12 a1
.
4π 2
К1 =
Расстояние между осями l=a1-a легко измерить непосредственно, тогда из
последней формулы можно исключить величину а1:
mgT12 (a + l )
K1 =
. (23.90)
4π 2
Приравнивая правые части формул (22.90) и (23.90), будем иметь:
[
]
K + (a + l ) − a 2 m =
2
gT12 (a + l )
m. (24.90)
4π 2
Исключив из уравнений (21.90) и (24.90) величину а, получим окончательную
формулу:
K=
mgT 2l
gT12 − 4π 2l
⋅
.
4π 2 8π 2l − g T12 − T 2
(
)
63
Порядок работы.
1. Подвешивают исследуемое тело на приспособление, имеющееся с левой
стороны колонки, следя за тем, чтобы призмы вошли в углубления подвески стержня. Приводят тело в колебание и измеряют период с помощью
секундомера. Колебания должны иметь небольшую амплитуду, так как
иначе формула (21) перестанет быть точной.
2. Снимают тело с призм и прикрепляют его к особой проволоке, верхней
конец которой укрепляется на призмах. Снова приводят тело в колебание
и измеряют его период.
3. Измеряют длину проволоки линейкой с точностью до 1мм.
4. Взвешиванием находят массу тела. Таким образом, определяют для двух
тел.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Для работы необходимы:
прибор (см. рис. 1.90)
проволока
набор тел
линейка
весы и разновесы
секундомер.
64
Оглавление.
Лабораторная работа №7.
Гироскоп. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - стр.2
Лабораторная работа № 34.
Определение скорости полета пули методом баллистического маятника. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - стр.10
Лабораторная работа №36.
Основные закономерности движения простых колебательных
систем. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - стр.15
Лабораторная работа N 41.
Измерение ускорения силы тяжести при помощи оборотного маятника Катера. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - стр.30
Лабораторная работа №62.
Определение модуля Юнга по прогибу стержня. - - - - - - - - - - - стр.42
Лабораторная работа № 72.
Баллистический динамометр. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - стр.51
Лабораторная работа №90.
Определение моментов инерции тел. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - стр.57
65