(2) из

ГБОУ СПО
«Прасковейский сельскохозяйственный техникум»
Математика
Сборник
практических занятий по математике.
2 курс .
Специальности:
080114 «Экономика и бухгалтерский учет»
( по отраслям)
100701 «Коммерция» ( по отраслям)
110812 «Технология производства и переработка
сельскохозяйственной продукции
260103 « Технология хлеба и хлебобулочных изделий»
260107 «Технология бродильных производств и виноделия».
с. Прасковея, 2014г.
2
Данное пособие является руководством
к решению задач по математике по всем
разделам программы для техникумов на
базе полной средней школы. Содержит
теоретический материал, который
сопровождается примерами,
изложенными в доступной для
понимания форме, а также практические
задания для решения в аудитории и для
расчетно-графической работы. Может
использоваться во время практических
занятий в качестве задачника для
самостоятельной работы и контроля
знаний студентов. Предназначено
преподавателям математики средних
специальных учебных заведений и
студентам вторых курсов. Рассчитано на
творческое использование.
Составитель: Алехина Л.Н. – преподаватель ГБОУ СПО
«Прасковейский сельскохозяйственный техникум»
3
Содержание.
Введение
6
Инструкционные карты к практическим занятиям:
Тема 1. Построение графиков основных элементарных функций.
7
Ознакомиться с разделом теоретические обоснования и
методические указания по решению задач.
Решить задачи самостоятельно
Ответить на вопросы для самоконтроля
Тема 2 Вычисление пределов.
11
Ознакомиться с разделом «Теоретическое обоснование и методические
указания по решению задач»
Решить задачи самостоятельно по вариантам 1 – 20
Ответить на вопросы для самоконтроля
Выполнить индивидуальное задание:
Тема 3 Вычисление производных.
17
Ознакомиться с разделом «Теоретическое обоснование и методические
указания по решению задач»
Решить задачи самостоятельно по вариантам 1 – 21
Ответить на вопросы для самоконтроля
Выполнить индивидуальное задание:
Тема 4 Исследование функций с помощью производных и построение
графиков.
21
Ознакомиться с разделом «Теоретическое обоснование и методические
указания по решению задач»
Решить задачи самостоятельно по вариантам 1 – 20
Ответить на вопросы для самоконтроля
Выполнить индивидуальное задание:
Тема 5 Нахождение неопределенного интеграла.
34
Ознакомиться с разделом «Теоретическое обоснование и методические
указания по решению задач»
Решить задачи самостоятельно по вариантам 1 – 20
Ответить на вопросы для самоконтроля
Выполнить индивидуальное задание:
Тема 6 Матрица. Действия с матрицами.
41
Ознакомиться с разделом «Теоретическое обоснование и методические
указания по решению задач»
Решить задачи самостоятельно по вариантам 1 – 20
Ответить на вопросы для самоконтроля
Выполнить индивидуальное задание:
Тема 7 Решение систем линейных уравнений методом Крамера и
методом Гаусса.
46
4
Ознакомиться с разделом «Теоретическое обоснование и методические
указания по решению задач»
Решить задачи самостоятельно по вариантам 1 – 20
Решить один из кроссвордов
Ответить на вопросы для самоконтроля
Тема 8 Построение математических моделей простейших экономических
задач.
56
Ознакомиться с разделом «Теоретическое обоснование и методические
указания по решению задач»
Решить задачи самостоятельно по вариантам
Ответить на вопросы для самоконтроля
Тема 9 Основные понятия комбинаторики: перестановки, сочетание,
размещения.
67
Ознакомиться с разделом «Теоретическое обоснование и методические
указания по решению задач»
Решить задачи самостоятельно по вариантам
Ответить на вопросы для самоконтроля
Тема 10 Действие над комплексными числами.
71
Изучить теоретическую часть темы.
Изучить практическую часть темы и выполнить практические задания.
Ответить на вопросы для самоконтроля.
11. Приложение 1
91
Приложение 2
Приложение 3
12.
Литература
94
13.
Заключение
95
5
Введение.
Каждая математическая теория становится более понятной и
доступной, если ее удается использовать для решения практических
задач. Настоящее методическое пособие позволяет каждому студенту
техникума, приобрести навыки использования теоретических знаний на
практике.
Основную часть практикума составляют 10 практических занятий,
соответствующих программе по математике для 2 курсов. Каждая
практическая работа состоит из теоретических обоснований и
методических указаний по решению задач, задач для самостоятельной
работы и вопросов для самоконтроля.
Решать задачи можно на уроках практических занятий или дома.
Рекомендуется решение задач оформлять в специальных тетрадях,
чертежи чертить карандашом и линейкой. Перед тем как приступить к
решению задачи, рекомендуется переписать ее текст вместе с числовыми
данными, изучить теоретический материал, составить план решения
задачи. Результаты вычислений следует оформлять в виде таблиц.
Основная задача дисциплины « Математика» для средних
специальных учебных заведений состоит в том, чтобы вооружить
студентов основами математических знаний, умений и навыков,
необходимым для их повседневной практической деятельности , для
усвоения общетехнических и специальных дисциплин, а также для
дальнейшего повышения квалификации путем самообразования.
При подборе теоретических сведений автор сознательно старалась
избежать дублирования учебников. Поэтому теория в пособии дается в
сжатой форме и служит в основном для того, чтобы при решении задач
можно было делать точные ссылки на нужные формулы , определения,
теоремы, правила.
В приложениях содержатся таблицы:
- формулы сокращенного умножения;
- таблица значений тригонометрических функций;
- правила и формулы дифференцирования функций;
- таблица основных интегралов.
6
ИНСТРУКЦИОННАЯ КАРТА
К ПРАКТИЧЕСКОМУ ЗАНЯТИЮ №1
Дисциплина: Математика
КУРС: 2
ТЕМА: Построение графиков основных элементарных функций.
ЦЕЛИ ЗАНЯТИЯ: Обобщить и систематизировать знания о функциях,
показать умения построения графиков основных элементарных функций.
ОТВОДИМОЕ ВРЕМЯ: 2 ЧАСА
ОБЕСПЕЧЕНИЕ РАБОЧЕГО МЕСТА: 1. Инструкционная карта;
2.Средства вычислительной техники.
3 .Мультимедийное устройство
ЛИТЕРАТУРА:
Баранова Е.С.: Практическое пособие по высшей математике. Типовые
расчеты. Учебное пособие. М. «Питер». 2008 г.;
Б.В. Соболь «Практикум по высшей математике. Высшее образование».
Издание – 4. Ростов – на – Дону «Феникс – 2007»;
Данко П.Е. «Высшая математика в уравнениях и задачах», Ч.1, Ч.2,
Москва, ОНИКС «Мир и образование – 2007»;
Музенитов Ш. А.: Математические основы экономики и методы
оптимизации, Ставрополь 2000 г.;
Богомолов Н.В.: Практическое занятие по математике. М.В. Ш., 1997 г.
ЗАДАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ
1.Ознакомиться с разделом «Теоретическое обоснование и методические
указания по решению задач» ( Приложение 1)
2.Решить задачи самостоятельно по вариантам ( Приложение 2)
3.Ответить на вопросы для самоконтроля ( Приложение 3)
4.Индивидуальное задание
а) подготовить презентацию: «Числовые функции и графики».
б) составить мини – конспект: «Графики элементарных функций».
Приложение 1
ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ.
Определение. Пусть даны два множества действительных чисел X и Y.
Функциональной зависимостью (функцией) называется закон, по
которому каждому значению величины х € Х , называемой аргументом,
ставится в соответствие некоторое (единственное) число у = f ( x ) из
7
множества Y. Множество X называется областью определения функции
(обозначается D (f) или Df ).
Множеством значений E(f) числовой функции f называется множество
всех а € R, для которых существует хотя бы одно x € D ( f ) такое что f ( x )
= а . Можно сказать иначе: E(f) состоит из тех значений а, при которых
уравнение f ( x ) = a имеет хотя бы одно решение. В простых случаях это
уравнение можно исследовать и тем самым отыскать E(f).
В математике словом "функция" называют и закон (правило) соответствия
f, и величину f(x).
Способы задания функций.
1. Аналитический - задание функции формулой, показывающей способ
вычисления значения функции по соответствующему значению
аргумента. Среди всего многообразия функций выделяют группу
функций, называемых элементарными - это алгебраические функции
(степенные с рациональным показателем, многочлены, рациональные) и
трансцендентные функции (степенные с иррациональным показателем,
показательные, логарифмические, тригонометрические и обратные
тригонометрические), а также функции, получаемые из названных с
помощью арифметических действий, (сложения, вычитания, умножения
и деления) и суперпозиций, применяемых конечное число раз.
При аналитическом способе задания функция может быть задана явно,
когда дано выражение у через х, т.е. формула имеет вид у = f(x\ неявно,
когда x и у связаны между собой уравнением вида F(x, у) = 0, а
также параметрически, когда соответствующие друг другу значения х и
у выражены через третью переменную величину t, называемую
параметром.
Например, два равенства х = 2t, y = 3t 2+4 определяют
3
параметрически через параметр функцию у = х2 + 4.
4
2.Табличный - указание значений функции от соответствующих значений
аргумента. Этот способ применяется в тех случаях, когда область
определения функции состоит из конечного числа значений. В виде
таблиц записывают результаты экспериментального исследования какихлибо процессов.
3.Графический. Для функции, заданной графиком, по чертежу находятся
значения у, отвечающие данным значениям х, разумеется, приближенно.
Композиция функций. Пусть заданы две функции x = g(t) и у = f(x\ причем
область определения функции f содержит область значений функции g,
тогда каждому значению t из области определения функции g
естественным образом соответствует у такое, что у = f(x) где x= g(t). Эта
функция, определяемая соответствием у = f(g (t)), называется сложной
функцией, или композицией (суперпозицией) функций.
8
Например, функция у = √cos 𝑥 представляется как сложная функция так:
у= √𝑢 , и =cos x
Свойства четной функции
Область определения четной функции симметрична относительно точки
х = 0 на координатной прямой О х .
Сумма, разность, произведение и частное четных функций являются
четными функциями.
Производная четной функции есть нечетная функция.
График четной функции симметричен относительно оси Оу.
График четной функции симметричен относительно оси Оу, а нечетной
функции - относительно начала координат.
Свойства нечетной функции.
Область определения нечетной функции симметрична относительно
точки х = 0 на координатной прямой О х . Сумма и разность нечетных
функций являются нечетными функциями, а произведение и частное двух
нечетных функций являются четными функциями.
Производная нечетной функции есть четная функция.
График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Приложение 2
Построить графики функций.
1 вариант
2 вариант
𝑦 = 4х, 𝑦 = −4𝑥
1.𝑦 = 3𝑥, 𝑦 =
8
8
−3х
2. . 𝑦 =
𝑦
=
,
𝑦
=
−
6
6
𝑥
𝑥
,𝑦 = −
𝑥
𝑥
𝑦 = −3𝑥 + 6
3.
𝑦 = 4𝑥 + 5
𝑦 = −𝑥 2 + 4𝑥 − 3
2
4.
𝑦 = 𝑥 − 6𝑥 + 7
𝑦 = 2𝑥 3
3
5.
𝑦 = 3𝑥
3 Вариант
𝑦 = 5𝑥, 𝑦 = −5𝑥
10
10
𝑦=
,𝑦 = −
𝑥
𝑥
𝑦 = −5𝑥 + 1
𝑦 = 𝑥 2 + 8𝑥 − 6
𝑦 = −2𝑥 3
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
Что называется функцией?
Что такое область определения и область значений функции?
Что называется функцией обратной данной?
Дать определение сложной функции.
Привести примеры обратимых функций.
Перечислить способы задания функций, их достоинства и недостатки.
Что называется графиком функции?
Каковы особенности графиков прямой и обратной функции?
От чего зависит область определения сложной функции?
9
ИНСТРУКЦИОННАЯ КАРТА
К ПРАКТИЧЕСКОМУ ЗАНЯТИЮ №2
Дисциплина: Математика
КУРС: 2
ТЕМА: ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ.
ЦЕЛИ ЗАНЯТИЯ:
А) Учебная, развивающая: закрепить умения и навыки, полученные в
процессе изучения темы, проверить степень усвоения знаний и
сформулированных умений.
Б) Воспитательная: продолжить формирования чувства
самокритичности в оценке результатов своей работы, что особенно
важно в процессе выполнения самостоятельной работы.
ОТВОДИМОЕ ВРЕМЯ: 2 ЧАСА
ОБЕСПЕЧЕНИЕ РАБОЧЕГО МЕСТА: 1. Инструкционная карта;
2.Средства вычислительной техники.
3.Справочная литература.
ЛИТЕРАТУРА:
Баранова Е.С.: Практическое пособие по высшей математике. Типовые
расчеты. Учебное пособие. М. «Питер». 2008 г.;
Б.В. Соболь «Практикум по высшей математике. Высшее образование».
Издание – 4. Ростов – на – Дону «Феникс – 2007»;
Данко П.Е. «Высшая математика в уравнениях и задачах», Ч.1, Ч.2,
Москва, ОНИКС «Мир и образование – 2007»;
Музенитов Ш. А.: Математические основы экономики и методы
оптимизации, Ставрополь 2000 г.;
Богомолов Н.В.: Практическое занятие по математике. М.В. Ш., 1997 г.
ЗАДАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ
1.Ознакомиться с разделом «Теоретическое обоснование и методические
указания по решению задач» ( Приложение 1)
2.Решить задачи самостоятельно по вариантам 1 – 20 ( Приложение 2)
3.Ответить на вопросы для самоконтроля ( Приложение 3)
4.Выполнить индивидуальное задание:
а). Подготовка презентации: «Теория пределов», подготовка рефератов
по теме: «Два замечательных предела», составление и решение
кроссвордов.
б).Домашняя работа по индивидуальным карточкам.
Приложение 1
ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
10
Общие сведения:
Число А называется пределом числовой последовательности {𝑎𝑛 }𝑛=−1 ,
если для любого 𝜀 > 0 существует такое натуральное число N, что для
всех 𝑛 > 𝑁 выполняется неравенство: |𝑎𝑛 − 𝐴| < 𝜀
Число А называется пределом функции 𝑓(𝑥) в точке x0 (при
стремлении х к х0), если для любого 𝜀 > 0 существует такое 𝛿 > 0, что для
всех х, удовлетворяющих условию |𝑥 − 𝑥0 | < 𝛿, 𝑥 → 𝑥0 выполняется
неравенство |𝑓(𝑥) − 𝐴| < 𝜀
Предел числовой последовательности {𝑎𝑛 }𝑛−1, обозначается lim 𝑎𝑛
𝑛→∞
т.е. 𝐴 = lim 𝑎𝑛 , предел функции f(x) в точке x0 при стремлении х к х0,
𝑛→∞
обозначается lim 𝑓 (𝑥 ); 𝐴 = lim 𝑓(𝑥).
𝑛→∞
𝑛→∞
Укажем те основные свойства пределов, которые будут
использованы при решении задач. Обозначим через С некоторую
постоянную.
Пусть 𝑓(𝑥) = 𝐶, тогда lim 𝑓(𝑥) = 𝐶(𝑎𝑛 = 𝐶, lim 𝑎𝑛 = 𝐶)
𝑥→𝑥0
𝑥→𝑥0
Если существуют конечные пределы
lim (𝑥), lim 𝑔(𝑥) lim 𝑎𝑛 , lim 𝑑𝑛 существуют и конечные пределы:
𝑥→𝑥0
𝑥→𝑥0
𝑥→∞
lim [𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)]
𝑥→𝑎
( lim [𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 ]
𝑥→∞
𝑥→∞
lim [𝐶 ∗ 𝑓(𝑥)]
lim [𝑓(𝑥) ∗ 𝑔(𝑥)]
𝑥→𝑎
𝑥→𝑎
lim [𝐶 ∗ 𝑎𝑛 ]
lim [𝑎𝑛 ∗ 𝑏𝑛 ])
𝑥→∞
𝑥→∞
Свойства пределов:
lim [𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] = lim 𝑓(𝑥), lim 𝑦(𝑥)
𝑥→𝑎
𝑥→𝑎
( lim [𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 ] = lim 𝑎𝑛 + lim 𝑏𝑛 )
𝑥→∞
𝑥→∞
𝑥→∞
lim [𝐶 ∗ 𝑓(𝑥)] = 𝐶 ∗ lim 𝑓(𝑥)
𝑥→𝑎
𝑥→𝑎
( lim [𝐶 ∗ 𝑎𝑛 ] = 𝐶 ∗ lim 𝑎𝑛
𝑥→∞
lim [𝑓(𝑥) ∗ 𝑔(𝑥)] = lim 𝑓(𝑥),
𝑥→𝑎
( lim [𝑎𝑛 ∗ 𝑏𝑛 ] lim 𝑎𝑛 ∗ lim 𝑏𝑛)
𝑥→∞
𝑥→∞
𝑥→∞
lim 𝑓(𝑥)
𝑓(𝑥) 𝑥→𝑎
lim
=
𝑥→𝑎 𝑔(𝑥)
lim 𝑔(𝑥)
𝑥→𝑎
𝑥→𝑎
𝑥→𝑎
𝑥→∞
lim 𝑦(𝑥)
𝑥→𝑎
lim 𝑎𝑛
𝑎𝑛 𝑥→∞
( lim
=
)
𝑥→∞ 𝑏𝑛
lim 𝑏𝑛
𝑥→∞
Приведем некоторые замечательные пределы, которые будут
использованы при решении задач:
𝑠𝑖𝑛𝑥
lim [1 + 𝑎]1/𝑎 = 𝑒
lim
=1
𝑥→0
𝑥→0 𝑥
ln(1 + 𝑥)
arcsin(𝑥)
lim
=1
𝑥→0
lim
=1
𝑥
𝑥→0
𝑥
𝑒𝑥 − 1
1 n
lim
=1
lim [1 + ] =e
𝑥→0
𝑥
𝑛
𝑥→∞
11
𝑡𝑔(𝑥)
𝑎𝑥 − 1
lim
=1
lim
= ln 𝑎,
𝑎>0
𝑥→0
𝑥→0
𝑥
𝑥
1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑥)
lim
lim
=1
𝑥→0 1
𝑥→0
𝑥
∗ 𝑥2
𝑥
1
2
lim [1 + ] = 𝑒
𝑥→∞
𝑛
log 𝑎 (1 + 𝑥)
1
lim
=
,
𝑎>0
𝑥→0
𝑥
ln 𝑎
Решение типовых задач
1 + 4 + 7 … (3𝑛 − 2)
lim
x→∞
4𝑛2
РЕШЕНИЕ: при n- имеет неопределенность вида. В числителе выражения
находится сумма членов арифметической прогрессии которая вычисляется
по формуле.
В нашем случае 𝑆𝑛 =
Следовательно lim
1+3𝑛−2
∗𝑛=
2
1+4+7…(3𝑛−2)
3𝑛−1
2
𝑆𝑛
3𝑛2 −𝑛
2
3−
3𝑛2 −𝑛
1
𝑛
3
= lim
= lim
=
8
𝑛→∞
𝑛→∞
𝑛→∞ 8𝑛2
𝑛→∞ 8
1 sin 𝑛!
𝑛 sin 𝑛!
0
lim 2
= lim 𝑛 𝑛 = = 0
1
𝑛→∞ 𝑛 + 1
𝑛→∞
1
1+ 2
𝑛
Разделим числитель n на знаменатель n2, после преобразования получим:
6
8
4𝑥 + 2 + 3 −∞
4𝑥 4 + 6𝑥 + 8
𝑥
𝑥 =
lim 3
= lim
= −∞
6
2
𝑛→∞ 3𝑥 + 6𝑥 + 2
𝑛→∞
3
3+ 2+ 3
𝑥
𝑥
6
2 8
3
Разделим числитель и знаменатель на x т.к. при отношении 2 ; 3; 3 → 0
4𝑛2
= lim
∗𝑛 =
4𝑛2
𝑥
𝑥
𝑥
1
√1 + 2 1
√𝑥 2 + 1
𝑥
lim
= lim
=
2
𝑛→∞ 3𝑥 + 2
𝑛→∞
3
3+
𝑥
Разделим числитель и знаменатель на х и после преобразования будем
иметь
3 5
9
+ 2+ 3 0
3𝑥 2 + 5𝑥 + 9
𝑥 𝑥
𝑥 = =0
lim 3
= lim
8
7
𝑛→∞ 6𝑥 + 8𝑥 + 7
𝑛→∞
6+ 2+ 3 6
𝑥
𝑥
3
Разделим числитель и знаменатель на x
𝑥 2 − 3𝑥 + 2
1−3+2
0
lim 2
= lim
=
=0
𝑛→1 𝑥 − 4𝑥 − 3
𝑛→1 1 − 4 − 3
−6
1
6
𝑥+3−6
𝑥−3
1
1
lim (
− 2 ) = lim 2 = lim (𝑥−3)(𝑥+3) = lim
=
𝑥−3
𝑥 −9
𝑥 −9
𝑥+3
6
𝑛→3
𝑛→3
𝑛→3
𝑛→3
Приведем выражение к общему знаменателю
12
𝑥 − 5 √𝑥 + 6
5+1
5+1
= { 𝑥 − 5√𝑥 + 6 = 0 } [√𝑥 =
= 2 √𝑥 =
= 3]
𝑛→4
𝑥−4
2
2
𝐷 = 25 − 24 = 1
(𝑥 − 4)(𝑥 − 9
= lim
= lim (𝑥 − 9) = 4 − 9 = −5.
𝑛→4
𝑛→4
𝑥−4
2
lim (√𝑥 − 𝑥 − 𝑥)
lim
𝑛→∞
= lim
(√𝑥 2 − 𝑥 − 𝑥)(√𝑥 2 − 𝑥 + 𝑥
√𝑥 2 − 𝑥 + 𝑥
𝑥 −𝑥−𝑥
−𝑥
1
= lim
= lim
=−
𝑛→∞ √𝑥 2 − 𝑥 + 𝑥
𝑛→∞ √𝑥 2 − 𝑥 + 𝑥
2
Умножим и разделим выражение в скобках на сопряженное
𝑡𝑔 𝑎𝑥
sin 𝑥 𝑎
𝑎
𝑠𝑖𝑛𝑎𝑥
1
𝑎
𝑎
lim
= lim
= lim
∗ lim
= = ∗ 1 , потому что
𝑛→∞
2
𝑛→0 𝑏𝑥
sin 𝑎𝑥
lim
𝑛→0
𝑎𝑥
𝑛→0 𝑏𝑥 cos 𝑎𝑥 𝑎
𝑏 𝑛→0 𝑎𝑥
𝑛→0 cos 𝑎𝑥
𝑏
𝑏
=1
первый знаменательный предел.
Приложение 2
РЕШИТЬ ЗАДАЧИ САМОСТОЯТЕЛЬНО
Вычислить пределы функций:
1.
2𝑥 3 +7𝑥 3 +2
а) lim
𝑥→∞ 6𝑥 3 −4𝑥+3
𝑥 2 +𝑥−12
b) lim
d)lim
1+4𝑥−𝑥 4
𝑥→∞ 𝑥+3𝑥 2 +2𝑥 4
𝑥 2 +𝑥−12
b) lim
𝑥 2 +2𝑥−8
𝑥→−4
√𝑥 2 +4−2
𝑥
e)lim (3 + 2𝑥)1+𝑥
𝑥 2 −5𝑥+6
a) lim
𝑥
4
𝑥→0 𝑥 2
𝑥→3
√5𝑥−𝑥
c)lim
𝑥→5 𝑥−5
2.
𝑠𝑖𝑛2
𝑥→1
d) lim
1−cos 3𝑥
𝑥2
𝑥→0
e) lim (2𝑥 + 3)(ln(𝑥 +
𝑥→∞
+2) − ln 𝑥)
c) lim
3.
𝑥→0 √𝑥 2 +16−4
3𝑥 2 +4𝑥−5
1−cos 𝑥
a) lim
d) lim
b) lim
e)lim (2 − 𝑥)1−𝑥
𝑥→0 𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥
𝑥→∞ 6𝑥 2 −2𝑥+1
𝑥 2 −3𝑥+2
𝑥→2 2𝑥 2 −5𝑥+2
3𝑥
2𝑥
𝑥→1
c) lim
4.
𝑥→0 √5+𝑥−√5−𝑥
4𝑥 5 −3𝑥 2 +8
a) lim
𝑥→∞ 2𝑥 5 +2𝑥−1
3𝑥 2 −4𝑥+1
b) lim
e) lim (3𝑥 − 2)(ln(2𝑥 − 1) −
𝑥→∞
ln(2𝑥 + 1))
𝑥→1 𝑥 2 −3𝑥+2
√2𝑥+7−5
c) lim
𝑥→9
d) lim
𝑥→0
3−√𝑥
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔3𝑥
5𝑥
13
5.
a) lim
3𝑥 4 −7𝑥 2 +4
d) lim
cos 3𝑥−1
𝑥→0 𝑥𝑡𝑔2𝑥
𝑥→∞ 3𝑥 4 +5𝑥−2
2𝑥 2 −9𝑥+4
3𝑥
e) lim(2𝑥 − 1)𝑥−1
b) lim
𝑥→4 𝑥 2 +𝑥−20
√2𝑥+1−3
𝑥→1
c) lim
6.
𝑥→4 √𝑥−2−√2
8𝑥 3 −4𝑥 2 +11
d) lim
b) lim
e) lim (𝑥 + 2)(ln(2𝑥 + 3) −
𝑥→∞ 2𝑥 3 +2𝑥−5
𝑥 2 −2𝑥−15
𝑥→5 𝑥 2 −7𝑥+10
2−√𝑥
c) lim
7.
cos 𝑥−𝑐𝑜𝑠 3 𝑥
a) lim
𝑥 sin 2𝑥
𝑥→0
𝑥→∞
ln 2𝑥 − 4))
𝑥→4 √6𝑥+1−5
3𝑥 3 +8𝑥+2
a) lim
d) lim 𝑥𝑐𝑡𝑔 3𝑥
b) lim
e) lim(3𝑥 − 2)𝑥2−1
𝑥→0
𝑥→∞ 𝑥 3 −2𝑥 2 +1
2𝑥 2 +5𝑥−7
5𝑥
𝑥→1
𝑥→1 3𝑥 2 −𝑥−2
𝑥−3
c) lim
8.
𝑥→3 √3𝑥−𝑥
8𝑥 4 −4𝑥 2 +3
a) lim
c)
9.
3𝑥 2 −4𝑥+1
𝑥→1
√1−3𝑥−√1−2𝑥
lim
𝑥+𝑥 2
𝑥→0
2
3𝑥 −5𝑥+1
1−𝑐𝑜𝑠8𝑥
𝑥→0 1−𝑐𝑜𝑠4𝑥
𝑥 4 +1
3𝑥 2 −𝑥−2
𝑥→∞
b) lim
d) lim
e) lim (3 − 𝑥)(ln(1 − 𝑥) −
𝑥→∞
ln(2 − 𝑥))
d) lim 𝑥 sin 2𝑥 ∗ 𝑐𝑡𝑔2 3𝑥
a) lim
𝑥→0
𝑥→∞ 6𝑥 2 +3𝑥−4
𝑥 3 +𝑥−2
3𝑥
e) lim (2𝑥 − 3)𝑥−2
b) lim
𝑥→2
𝑥→−2 𝑥 2 −𝑥−6
√𝑥+1−2
c) lim
10 .
𝑥→3 √𝑥−2−1
4𝑥 6 −𝑥 3 +2𝑥
a) lim
𝑥→∞
b) lim
2𝑥 6 −1
𝑥 2 +𝑥−6
2𝑥 2 −𝑥−21
𝑥→−3
√1+3𝑥 2 −1
c) lim
a) lim
arcsin 5𝑥
3𝑥
𝑥→0
e) lim (𝑥 − 4)(ln(2 − 3𝑥) −
𝑥→−∞
ln(5 − 3𝑥))
𝑥 2 +𝑥 3
𝑥 2 −1
𝑥→0
11 .
d) lim
d) lim
𝑥→1 𝑥 2 −6𝑥+5
𝑥 4 +2𝑥−5
√𝑥 2 +1
𝑥→0 𝑥−1
𝑡𝑔2 2𝑥
b) lim
e) lim
𝑥→∞ 𝑥 2 +5𝑥 4 +1
√𝑥 2 +49−7
𝑥
𝑥→0 𝑠𝑖𝑛2 3
c) lim
12 .
𝑥→0 √𝑥 2 +9−3
𝑥
5𝑥 3 +2 √
a)lim (
𝑥→0
b) lim
𝑥→∞
)
5𝑥
𝑥 3 +27
𝑥 2 +4𝑥+3
c) lim 𝑥𝑐𝑡𝑔 2𝑥
d) lim(𝑥 + 1)[ln(𝑥 + 3) −
𝑥→0
ln 𝑥]
e) lim
𝑥→∞ 2𝑥+7𝑥 3
𝑥→0
13 .
a) lim
√𝑥 2 +1−1
𝑥→0 √𝑥 2 +25−5
1−𝑐𝑜𝑠𝑥
b) lim
𝑥→0 𝑥𝑡𝑔 𝑥
𝑥 2 +6𝑥 3 +1
𝑥+2 2𝑥
c) lim ( )
𝑥+1
𝑥→∞
d) lim
√𝑥 2 +2
𝑥→∞ 2𝑥−1
14
e) lim (𝑥 + 𝑥 2 )𝑐𝑡𝑔𝑥
𝑥→0
14 .
𝑥 3 −27
a) lim
𝑥→3 𝑥 2 −7𝑥+12
b) lim 𝑥[ln(3𝑥 − 1) −
𝑥→∞
ln(3𝑥 + 2)]2
3𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥
c) lim
4𝑥
5𝑥+1 8𝑥−1
𝑥→0
15 .
2𝑥+2
d) lim
𝑥→−1 √4𝑥+8−√5𝑥+9
2𝑥 2 +4
e) lim
𝑥→∞ 5𝑥−𝑥 2
√4𝑥 2 +3
a) lim (
)
6+5𝑥
d) lim
b) lim
e) lim 𝑥[ln(𝑥 + 2) − ln 𝑥]
𝑥→∞
𝑥 2 +2𝑥−15
𝑥→3 𝑥 2 −7𝑥+12
𝑥+1
𝑥→∞
𝑥→∞
c) lim(𝑡𝑔2𝑥 + 𝑠𝑖𝑛3𝑥)𝑐𝑡𝑔𝑥
𝑥→0
16 .
a) lim
√𝑥 2 +5−3
𝑥→2 √𝑥 2 +32−6
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 2𝑥
b) lim
𝑥→0 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 5𝑥
10𝑥 2 +𝑥−1
d) lim
1−𝑐𝑜𝑠4𝑥
𝑥
𝑥→0 𝑥+1𝑥𝑠𝑖𝑛 3
5𝑥+6 2𝑥−1
e) lim (
)
2+5𝑥
𝑥→∞
c) lim
17 .
𝑥→∞ 3𝑥 2 +4𝑥−2
√3𝑥 2 +2
a) lim
𝑥+4
𝑥→∞
b) lim (8𝑥 + 7)[ln(3𝑥 − 2) −
𝑥→∞
ln 3𝑥]
𝑥→−1 𝑥 2 +3𝑥+2
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 3𝑥
a) lim
𝑡𝑔8𝑥
5𝑥−3 7𝑥
𝑥→0
b) lim (
)
1+5𝑥
𝑥→∞
𝑥 3 −8
c) lim
19 .
𝑥→∞ 𝑥 2 −6𝑥+8
√𝑥+9−√2𝑥+9
a)lim
𝑥→0
b) lim
2𝑥
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔2𝑥 𝑠𝑖𝑛 3𝑥
𝑥
𝑥→0
c) lim 2𝑥[ln(𝑥 + 5) − ln 𝑥]
𝑥→∞
20 .
x2 +1
7x2
a) lim (
x→∞
b) lim
e) lim
𝑥→∞ 𝑥 2 −3𝑥 4
𝑥 3 +1
c) lim
18 .
√𝑥+1−√4𝑥+1
𝑥
𝑥→0
𝑥 4 −10𝑥+1
d) lim
)
4+x2
d) lim
𝑥→∞ 3𝑥+2
𝑠𝑖𝑛 2𝑥−𝑠𝑖𝑛𝑥
e) lim
x→∞ 2x3 +2x−5
𝑡𝑔3𝑥
𝑥→0
𝑥 2 −5𝑥+2
d) lim
𝑥→∞ 𝑥−4𝑥 2
√𝑥 2 +9
e) lim
𝑥→∞ 1+7𝑥
d) lim
x→0
8x2 −4x2 +11
√6𝑥 2 −1
e) lim
cos x−1
tg3x
x2 −2x−15
x→5 x2 −7x+10
c) lim (2x + 9) ∗
x→∞
[ln(3x − 1) − ln 3x + 1)]
21 .
𝑥 2 +1
7𝑥 2
a) lim ( 2 )
4+𝑥
𝑥→∞
b) lim
8𝑥 2 −4𝑥 2 +11
𝑥→∞ 2𝑥 3 +2𝑥−5
c) lim (2𝑥 + 9) ∗
𝑥→∞
[ln(3𝑥 − 1) − ln(3𝑥 + 1)]
𝑐𝑜𝑠𝑥−1
d) lim
𝑥→0 𝑡𝑔3𝑥
𝑥 2 −2𝑥−15
e) lim
𝑥→5 𝑥 2 −7𝑥+10
15
22 .
𝑥 3 +𝑥 2 −2𝑥
a) lim
𝑥→∞ 5𝑥 3 −3𝑥 2 +𝑥+4
𝑥 2 −3𝑥+2
b) lim
𝑥→∞ 3𝑥 2 −4𝑥+4
c) lim(1 + 5𝑥)
23 .
𝑥→1 1−𝑥
𝑥 2 −6𝑥+9
𝑥→3
c) lim
24 .
𝑥 2 −9
2
𝑎 −𝑥 2
𝑥→𝑎 𝑎3 −𝑥 3
−𝑥 4 +6𝑥 2 +5
𝑥→
2
2
d) lim
e)
𝑠𝑖𝑛3𝑥
𝑥→0 𝑠𝑖𝑛4𝑥
1−√1−𝑥
lim
𝑥→0 𝑠𝑖𝑛4𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥−𝑐𝑜𝑠 3 𝑥
a) lim
d) lim
b) lim
e) lim ( )
𝑥+1
𝑥→∞ 4𝑥 4 −5𝑥 2 +3𝑥
3𝑥 2 −𝑥−14
c)
25 .
e) lim𝜋 ( − 𝑥) ∗ 𝑡𝑔𝑥
𝑥
a) lim
b) lim
𝑥→0 √1+𝑥−√1−𝑥
𝜋
8+𝑥
𝑥→0
1−𝑥 3
3𝑥
d) lim
𝑥→−2 𝑥 2 +8𝑥+12
√𝑥+4−3
lim
𝑥→5 √𝑥−1−2
𝑥 2 −1
𝑥→0
4𝑥∗𝑠𝑖𝑛𝑥
𝑥 2𝑥−3
𝑥→∞
4
𝑥
a) lim
d) lim (1 − )
5𝑥
b) lim
e) lim 𝑐𝑡𝑔5𝑥 ∗ 𝑠𝑖𝑛3𝑥
𝑥→1 𝑥 2 −8𝑥+7
𝑥 2 +6𝑥+1
𝑥→∞ 8𝑥+3𝑥 2 +2
√𝑥 2 +1−1
𝑥→∞
𝑥→∞
c) lim
𝑥→0 √𝑥 2+4 −2
Приложение 3
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
Что называется пределом функции в точке?
Что называется пределом последовательности?
Перечислите свойства пределов.
Назовите 1 знаменатель предела.
Назовите 2 знаменатель предела.
Какая функция называется непрерывной?
Что называется числовой последовательностью?
Чему равны предел суммы?
Какая величина называется бесконечно малой?
Чему равны пределы бесконечной малой величины?
16
ИНСТРУКЦИОННАЯ КАРТА
К ПРАКТИЧЕСКОМУ ЗАНЯТИЮ №3
Дисциплина: Математика
КУРС:2
ТЕМА: Дифференцирование сложной функции.
ЦЕЛИ ЗАНЯТИЯ:
а)Учебная, развивающая: научить дифференцировать сложную и
обратную функцию.
б)Воспитательная: развивать творческую активность студентов, привить
интерес к изучению математики в процессе применения формул.
ОТВОДИМОЕ ВРЕМЯ: 2 ЧАСА
ОБЕСПЕЧЕНИЕ РАБОЧЕГО МЕСТА: 1.
Инструкционная карта;
2.
Средства вычислительной техники.
ЛИТЕРАТУРА:
Баранова Е.С.: Практическое пособие по высшей математике. Типовые
расчеты. Учебное пособие. М. «Питер». 2008 г.;
Б.В. Соболь «Практикум по высшей математике. Высшее образование».
Издание – 4. Ростов – на – Дону «Феникс – 2007»;
Данко П.Е. «Высшая математика в уравнениях и задачах», Ч.1, Ч.2, Москва,
ОНИКС «Мир и образование – 2007»;
Музенитов Ш. А.: Математические основы экономики и методы
оптимизации, Ставрополь 2000 г.;
Богомолов Н.В.: Практическое занятие по математике. М.В. Ш., 1997 г.
ЗАДАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ
1. Ознакомиться с разделом «Теоретическое обоснование и
методические указания по решению задач» ( Приложение 1)
2. Решить задачи самостоятельно по вариантам 1 – 21 ( Приложение 2)
3. Ответить на вопросы для самоконтроля ( Приложение 3)
4. Выполнить индивидуальное задание:
а.
Решить кроссворд
17
б.
Составить карточку – консультацию
Приложение 1
ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
Общие сведения:
Основные правила дифференцирования.
(U+V-W)’=n’+V’-W’
(U*V)=U’*V+UV’
𝑈 ′
𝑈 ′ 𝑉+𝑈∗𝑉′
.( ) =
𝑉
𝑉2
Если y функция от и: 𝑦 = 𝑓(𝑛), где и, в свою очередь есть функцию от
аргумента 𝑦 = 𝜑(𝑥) то у называется сложной функцией от x 𝑦 = 𝑓𝜑(𝑥).
Производная сложной функции равна произведению ее производной по
промежуточному аргументу на производную этого аргумента по
независимой переменной. 𝑌 ′ (𝑥) = 𝑦 ′ (𝑢) ∗ 𝑢′ (𝑥Исходя из этого соотношения,
можно получить формулы
дифференцирования сложной функции.
1
1 ′
1
′
𝑥
′
𝑥−1
′
′
(𝑢 ) = 𝑥𝑢
∗𝑢
∗𝑢
(√𝑢) =
( ) = − 2 ∗ 𝑢′
𝑢
𝑢
2 √𝑢
Образцы решения примеров
𝑦 = (𝑥 2 − 5𝑥 + 8)8
(𝑥 2 − 5𝑥 + 8)′ = 8 ∗ (𝑥 2 − 5𝑥 + 8)7 *(2x-5)
𝑦 = 8(𝑥 2 − 5𝑥 + 8)7
1
𝑦 = 2 4 = (𝑥 2 − 1)-4
(𝑥 −1)
2
−8𝑥
𝑦 =−4(𝑥 − 1) ∗ (𝑥 2 − 1)′ = −4(𝑥 2 − 1)−5 ∗ 2𝑥 = (𝑥−1)5
𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛√3𝑥
1
1
1
′
𝑦′ =
∗ (√3𝑥) =
∗
∗3
√1 − 3𝑥
√1 − 3𝑥 2√3𝑥
𝑦 = ln∗ 𝑐𝑜𝑠𝑥
1
sin 𝑥
𝑦=
∗ (𝑐𝑜𝑠𝑥)′ = −
= −𝑡𝑔𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
cos 𝑥
Определение: Производной функции f(x) в точке х0 называется предел
отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее
стремиться к нулю.
𝑦 = lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥0 )
𝑥−𝑥0
= lim
△𝑦
△𝑥→𝑥0 △𝑥
, где △ 𝑦 = 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥0) △ 𝑥 = 𝑥 − 𝑥0
Основные правила дифференцирования:
а) (u+v-w)’=u’+v’-w’
б)(Cu)’=c*u’
18
в)(u*v)’=u’v+uv’
𝑢 ′
𝑢′ 𝑣+𝑢𝑣′
г)( ) =
𝑣
𝑣2
д)c’=0
е) x’=1
ж)(xn)’=n*xn-1
′
1
з)(√𝑥) =
2 √𝑥
Формулы дифференцирования тригонометрических функций:
а)(sin 𝑥)′ = cos 𝑥
б)(cos x)’=-sin x
1
в)(𝑡𝑔 𝑥)′ = 2
𝑐𝑜𝑠 𝑥
1
г)(ctgx)’= - 2
𝑠𝑖𝑛 𝑥
Формулы дифференцирования показательной, логарифмической функции:
а)(𝑒 𝑥 )′ = 𝑒 𝑥
1
б)(ln 𝑥)′ =
𝑥
в)(𝑎 𝑥 )′ = 𝑎𝑥 ∗ ln 𝑎
1
г)(log 𝑎 𝑥)′ =
𝑥∗ln 𝑎
Производные обратных тригонометрических функций:
1
а)(arcsin 𝑥)′ =
2
√1−𝑥
б)(arccos 𝑥)′ = −
в)(𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥)′ =
1
1
√1−𝑥 2
1+𝑥 2
Образцы решения задач:
𝑦 = −3𝑥 2 + 5𝑥 + 1
𝑦 ′ = −6𝑥 + 5
𝑦 = (3𝑥 2 − 1) ∗ 𝑠𝑖𝑛2𝑥
.𝑦 = (3𝑥 2 − 1)′ ∗ 𝑠𝑖𝑛2𝑥 + (3𝑥 2 − 1) ∗ 𝑠𝑖𝑛2𝑥 ′ = 6𝑥 ∗ 𝑠𝑖𝑛2𝑥 + (3𝑥 2 − 1) ∗
2𝑐𝑜𝑠2𝑥
−𝑥 2 + 2
𝑦=
𝑡𝑔𝑥
1
2
(−𝑥 2 + 2)′𝑡𝑔𝑥 − (−𝑥 2 + 2) ∗ (𝑡𝑔𝑥)′ −2𝑥𝑡𝑔𝑥 − (−𝑥 + 2) ∗ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
𝑦=
=
(𝑡𝑔𝑥)2
(𝑡𝑔𝑥)2
𝑦 = 𝑠𝑖𝑛2 𝑥
𝑦 ′ = 2𝑠𝑖𝑛𝑥 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝑥
Y= In3cos5x
1
Y’=3In2cos5x*
*(-sin5x)*5
𝑐𝑜𝑠5𝑥
𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛4𝑥 2
19
.𝑦 ′ =
1
√1−(4𝑥 2 )2
∗ (4𝑥 2 )′ =
8𝑥
√1−16𝑥 4
𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔3𝑥 2
.𝑦 ′ =
1
1+9𝑥 4
∗ (3𝑥 2 )′ =
6𝑥
1+9𝑥 4
Приложение 2
РЕШИТЬ ЗАДАЧИ САМОСТОЯТЕЛЬНО
№
Найти производные
№ Найти производные
Вари
вар
анта
иан
та
2
1
12
а)𝑦 = 2𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥
а)𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 𝑥
б)𝑓(𝑥) = ln² sin 𝑥
б)𝑦 = 4−𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔3𝑥
(𝑥 2 +1)′
в)𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑖𝑛2 𝑥
в)𝑦 = √3 − 7𝑥 + 𝑥 2 +
𝑥−7
г)𝑓(𝑥) = ln 𝑐𝑡𝑔𝑥
3𝑥+7
2
𝑐𝑜𝑠2𝑦
г)𝑦
=
+
5𝑥
−
2𝑥
+
√1
д)𝑓(𝑦) = 𝑒
(𝑥−1)3
3
д)𝑦 = (𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛7𝑥)
2
2
13
а)𝑓(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛 𝑥
а)𝑦 = ln⁵ 𝑐𝑜𝑠7𝑥
2
б)𝑓(𝑥) = ln 𝑐𝑜𝑠 𝑥
б)𝑦 = (5𝑥 + 1) ∗ 𝑠𝑖𝑛2𝑥
2
2
в)𝑓(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛 𝑡 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥
в)𝑦 = ln(𝑥 2 − 3𝑥)
𝑥 3 −4
г)𝑓(𝑧) = ln 𝑡𝑔2𝑥
г)𝑦 =
𝑐𝑜𝑠𝑥
д)𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑠𝑖𝑛𝑥
д)𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔8𝑥
3
14
а)𝑓(𝑧) = ln 𝑠𝑖𝑛2 𝑥4𝑧
а)𝑦 = ln⁷ 𝑠𝑖𝑛8𝑥
2 2
б)𝑦 = (2𝑥 − 3) ∗ (𝑥 3 + 5)
б)𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝑥 2 +1
в)𝑓(𝑥) = 2𝑠𝑖𝑛2 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥
в)𝑦 =
𝑡𝑔𝑥
г)𝜑(𝑥) = 𝑒 𝑠𝑖𝑛2𝑥 − 3𝑒 𝑐𝑜𝑠2𝑥
г)𝑦 = 𝑐𝑜𝑠4𝑥 − 𝑠𝑖𝑛5𝑥
д)𝑓(𝑒) = 𝑡𝑔2 3𝑦
д)𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠3𝑥
4
15
а)𝑦 = ln 𝑡𝑔3𝑥
а)𝑓(𝑡) = ln √𝑐𝑜𝑠 2 2𝑡
𝑐𝑜𝑠2𝑥
б)𝑦 = 4𝑠𝑖𝑛3 𝑥
б)𝑓(𝑥) = 𝑒
в)𝑦 = (2𝑥 4 + 1) ∗ 𝑡𝑔2𝑥
в)𝑓(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛4 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 4 𝑥
г)𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔4𝑥
г)𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑠𝑖𝑛2𝑥 − 2𝑒 𝑠𝑖𝑛2𝑥
5𝑥+1
д)𝑓(𝑥) = ln 𝑡𝑔2𝑥
д)𝑦 =
5
2
а)𝑓(𝑥) = ln 𝑡𝑔 2𝑥
б)𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 3
в)𝑓(𝑧) = 𝑠𝑖𝑛4 𝑧 − 𝑐𝑜𝑠 4 𝑧
г)𝑓(𝑧) = 𝑒 𝑠𝑖𝑛𝑧 − 𝑒 𝑐𝑜𝑠𝑧
д)𝑓(𝑒) = ln √𝑠𝑖𝑛𝑥
𝑠𝑖𝑛𝑥
16
а)𝑦 = log 5 (𝑥 + 1)𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔2 𝑥
б)𝑦 = ln(𝑥 2 − 3𝑥)𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔7𝑥
в)𝑦 = √3𝑥 2 − 5𝑥 + 7 +
3
7)5
г)𝑦 = √(𝑥 −
д)𝑦 = (𝑐𝑜𝑠𝑥)3
+
𝑥 2 +1
𝑥 2 +4
𝑥−1
𝑥 3 −7
20
6
7
8
а)𝑓(𝑧) = ln 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥4𝑧
б)𝑓(𝑡) = 4𝑐𝑜𝑠 2 𝑡
в)𝑓(𝑥) = 4𝑠𝑖𝑛5 2𝑡
г)𝑓(𝑧) = 𝑒 𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 𝑒 𝑐𝑜𝑠𝑧
д)𝑓(𝑦) = ln 𝑡𝑔2 3𝑦
17
а)𝑓(𝑥) = ln √𝑠𝑖𝑛2𝑥
б)𝜑(𝑡) = 𝑐𝑜𝑠 4 3𝑡
в)𝑓(𝑧) = ln √𝑡𝑔3𝑧
г)𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛4𝑥 + 𝑒 3𝑥
д)𝑓(𝑥) = 5𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠√𝑥
18
а)𝑦 = log 5 (𝑥 + 7)𝑡𝑔2 7𝑥
б)𝑦 = 3−𝑡𝑔𝑥 ln(𝑥 2 + 3𝑥 + 1)
19
г)𝑦 =
9
10
г)𝑦 = √(−3𝑥 2 )4 − 2
2𝑥 +𝑥+1
д)𝑦 = (𝑠𝑖𝑛𝑥)2
а)𝑦 = 5𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔3 𝑥
б)𝑦 = log 2 (𝑥 2 + 1)𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛7𝑥
2𝑥+3
в)𝑦 = √(𝑥 − 4)3 + 2
2𝑥 2
(𝑥 2 +1)′
+
𝑥−7
3𝑥+7
(𝑥−1)3
д)𝑦 = (𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥)
а)𝑦 = 2−𝑥 ∗ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔3 4𝑥
б)𝑦 = log 2 (𝑥 + 7)∗ 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛2 𝑥
8𝑥+1
в)𝑦 = √𝑥 5 + 3𝑥 − 1 −
3
4
(𝑥−5)
2𝑥−3
г)𝑦 = √5𝑥 2 − 4𝑥 + 1 +
(𝑥−5)2
20
𝑥 +3𝑥+1
2𝑥 3
д)𝑦 = (ln 𝑥)⁵
а)𝑦 = 5𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔3 𝑥
б)𝑦 = log 2 (𝑥 2 + 1)𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛7𝑥
2𝑥+3
в)𝑦 = √(𝑥 − 4)3 + 2
5
𝑥 +3𝑥+1
2𝑥 3
г)𝑦 = √𝑥 2 + 7𝑥 + 1 +
(𝑥−1)2
г)𝑦 = √𝑥 2 + 7𝑥 + 1 +
(𝑥−1)2
д)𝑦 = (𝑡𝑔𝑥)10
а)𝑦 = log 5 (𝑥 + 1)𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔2 𝑥
б)𝑦 = ln(𝑥 2 − 3𝑥)𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔7𝑥
д)𝑦 = (𝑐𝑜𝑠𝑥)8
а)𝑦 = log 5 (𝑥 + 7) ∗ 𝑡𝑔2 7𝑥
б)𝑦 = 3−𝑡𝑔𝑥 ∗ ln( 𝑥 2 + 3𝑥 + 1)
в)𝑦 = √3𝑥 3 − 5𝑥 + 7 +
3
11
д)𝑦 = (5𝑥 + 1) ∗ 𝑒 𝑥
а)𝑦 = 2𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥
б)𝑦 = 4𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔3𝑥
3
2𝑥
5
𝑡𝑔3𝑥
г)𝑦 = √1 + 5𝑥 −
в)𝑦 = √3𝑥 4 + 2𝑥 − 5 − (𝑥−1)2
3
𝑥 2 +1
в)𝑦 = √3 − 7𝑥 + 𝑥 2 +
𝑥2
3
а)𝑦 = ln √𝑐𝑜𝑠𝑥
б)𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛5𝑥
в)𝑦 = 𝑒 7𝑥
7)5
𝑥 2 +1
𝑥 2 +4
𝑥−1
г)𝑦 = √(𝑥 −
+ 3
𝑥 −7
д)𝑦 = (𝑡𝑔𝑥)5
а)𝑦 = 2−𝑥 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔3 4𝑥
б)𝑦 = log 2 (𝑥 + 7) 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛2 𝑥
8𝑥+1
в)𝑦 = √𝑥 5 + 3𝑥 − 1 +
2
4
21
𝑥2
3
в)𝑦 = √3𝑥 4 + 2𝑥 − 5 −
(𝑥−1)2
3
2𝑥
г)𝑦 = √(−3𝑥 2 )4 − 2
2𝑥 +𝑥+1
д)𝑦 = (𝑠𝑖𝑛𝑥)2
(𝑥+5)
2𝑥−3
г)𝑦 = √5𝑥 2 − 4𝑥 + 1 −
(𝑥−5)3
д)𝑦 = (𝑡𝑔𝑥)5
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
1.Что называется производной функций?
2.Перечислите основные правила дифференцирования.
21
ИНСТРУКЦИОННАЯ КАРТА
К ПРАКТИЧЕСКОМУ ЗАНЯТИЮ №4.
Дисциплина: Математика
КУРС:2
ТЕМА: Исследование функции и построение графиков с помощью
производной.
ЦЕЛИ ЗАНЯТИЯ:
А) Учебная, развивающая: формирование и закрепление умений и навыков
по вычислению производной проверить уровень усвоения материала;
научить находить характер поведения функций на интеграле; проверить
усвоение материала темы, научить использовать теоретический материал в
практической работе.
Б) Воспитательная: необходимо продолжить формировать чувства
ответственности за результат своего труда, самокритичности в оценке
результатов; привить интерес к математике, используя приложения к
производной; решение прикладных задач имеет большое
мировоззренческое значение, т.к. позволяет на простейших жизненных
ситуациях показать применение математической модели.
ОТВОДИМОЕ ВРЕМЯ: 2 ЧАСА
ОБЕСПЕЧЕНИЕ РАБОЧЕГО МЕСТА: 1. Инструкционная карта
2.Средства вычислительной техники;
ЛИТЕРАТУРА:
Баранова Е.С.: Практическое пособие по высшей математике. Типовые
расчеты. Учебное пособие. М. «Питер». 2008 г.;
Б.В. Соболь «Практикум по высшей математике. Высшее образование».
Издание – 4. Ростов – на – Дону «Феникс – 2007»;
Данко П.Е. «Высшая математика в уравнениях и задачах», Ч.1, Ч.2, Москва,
ОНИКС «Мир и образование – 2007»;
Музенитов Ш. А.: Математические основы экономики и методы
оптимизации, Ставрополь 2000 г.;
Богомолов Н.В.: Практическое занятие по математике. М.В. Ш., 1997 г.
22
ЗАДАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ
1. Ознакомиться с разделом «Теоретическое обоснование и
методические указания по решению задач» ( Приложение 1)
2. Решить задачи самостоятельно по вариантам 1 – 20 ( Приложение 2)
3. Ответить на вопросы для самоконтроля ( Приложение 3)
4. Выполнить индивидуальное задание:
а.Составить опорный конспект по теме «Производная»
б. Решить кроссворд
в. Решение типовых задач
г. Подготовка презентации «Производное и её приложение»
д. Домашняя работа по домашним тетрадям.
Приложение 1
ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
Уравнение касательной и нормали к кривой:
Касательная к графику дифференцированной функции f в точке с абсциссой
Х0 – это прямая, проходящая через точку (x0;f (x0)) и имеющая угловой
коэффициент fʹ(x0) fʹ(x0) - это тангенс угла наклона касательной к
положительному направлению оси абсцисс.
Уравнение касательной в точке с абсциссой х0 может быть записано в виде
y = f (x0) + fʹ(x0) (x-x0)
1
Уравнение нормали: y = y0 (x – x0), f (x0) ≠ 0
𝑓ʹ(𝑥₀)
Определим, какой тангенс угла наклона к положительному направлению оси
абсцисс имеет касательная к графику функции y = 2 cos x в точке с абсциссой
2𝜋
. Определим вид этого угла.
3
Решение
2𝜋
Искомый тангенс равен fʹ(x0), гдеf (x) = 3 cos x, x0 =
3
2𝜋
2𝜋
3√ 3
Так как fʹ(x)= (3 cos x)ʹ=-3 sin x, Τo fʹ(x0)= f ( )=-3 sin ( )= 3
3
2
Поскольку тангенс угла наклона касательной к положительному
направлению оси абсцисс отрицателен, этот угол – тупой.
Составим уравнение касательной, проведенной к графику функций в точке с
абсциссой 1.
Решение
Используем уравнение касательной: y = f (x0) + fʹ(x0) (x-x0).Здесь f (x) = x3-x,
x0=1.
Значит, fʹ(x) = (x3-x)ʹ= 3x2-1.Поэтому f(x0)= 13-1=0, fʹ(x0)= 3*12-1=2
Получаем уравнение y = 0+ 2 (x -1), т.е. y = 2x – 2
23
Физический смысл производной:
Точка движется прямолинейно по закону s = 2t3 + t2 - 4 . Найти значения
скорости и ускорения в момент времени t = 4.
𝑑𝑠
Найдем скорость движения точки в любой момент времени t: v = = 6t2 +2t.
𝑑𝑡
2
Вычислим скорость движения точки в момент t=4: v(4) = 6 . 4 + 2 . 4 = 104
(м/с)
𝑑𝑠
Найдем ускорение движения точки в любой момент времени t: a = = 12t +
𝑑𝑡
2.
Вычислим ускорение движения точки в момент времени t = 4: a (4) = 12* 4 +
2 = 50 (м/с2) .
Точка движется прямолинейно по закону s = 6t – t2. В какой момент времени
скорость точки окажется равной нулю?
𝑑𝑠
Определим скорость движения точки в любой момент времени t: v = = 6 –
𝑑𝑡
2t
Полагая v = 0, получим 6 – 2t = 0, откуда t = 3.
Таким образом, скорость точки равна нулю в конце 3-й секунды.
Закон изменения температуры Т тела в зависимости от времени t задан
уравнением T = 0.2t2 . С какой скоростью нагревается это тело в момент
времени t = 10?
При нагревании тела его температура Т изменяется в зависимости от
времени , т.е Т есть функция времени: T = f (t).
Скорость нагревания тела есть производная температуры по времени:
𝑑𝑇
𝑑𝑇
= 0.4t; ( )t=10 = 0.4 * 10 = 4
𝑑𝑡
𝑑𝑡
Итак, в момент времени тело нагревается со скоростью 4 град/с
Тело массой 10 кг. Движется прямолинейно по закону s = 3t2 + t + 4. Найти
кинетическую энергию тела(mv2/2) через 4 с после начала движения.
𝑑𝑠
Найдем скорость движения тела в момент времени t: v = = 6t + 1
𝑑𝑡
Вычислим скорость тела в момент t = 4; v(4) = * 4 + 1 = 25 (м/с)
Определим кинетическую энергию тела в момент t = 4; mv2/2 = 10 * 252/2 =
3125 (Дж)
Нахождение интервалов монотонности функции
Правило нахождения интервалов монотонности функции y=f(x)
Найти производную fʹ(x) данной функции, а затем определите точки, в
которых fʹ(x) равна нулю или не существует (критические точки).
Исследовать знак fʹ(x) в промежутках, на которые критические точки делят
область определения функции f(x). В тех интервалах, где fʹ(x)>0, функция
возрастает, а в тех интервалах, где fʹ(x)<0, - убывает.
1
Пример: Найти интервалы монотонности функции f(x) = x3 – 2x2 + 3x + 1
3
24
Решение
Находим произвольную и приравниваем ее к нулю: fʹ(x) = x2 – 4x + 3; x2-4x+3
=0, откуда x1 = 1 и x2 = 3. Этими точками числовая прямая разбивается на
интервалы
[ - ∞; 1], [1;3], [3;+ ∞], в каждом из которых производная сохраняет знак.
Определим знак производной f’(x) = (x -1) (x – 3) в этих интервалах.
Пусть x = 0, тогда f’(x) = (0 – 1) (0 – 3)>0; пусть x =2, тогда f’(x) = (2-1)(2-3)<0;
пусть x=4, тогда f’(x) = (4-1)(4-3)>0. Отсюда следует, что данная функция в
интервале
[-∞;1] возрастает, в интервале [1;3] убывает в интервале [3;+
∞] снова возрастает.
Нахождение экстремумов функции
Правило нахождения экстремумов функции y = f(x) с помощью первой
производной.
Найти критические точки функции т.е точки в которых или не существует.
Исследовать знак f’(x) в некоторой окрестности каждой из критических точек.
Если производная f’(x) изменяет знак при переходе через такую точку, то
функция f(x) имеет в этой точке экстремум, а если знак f’(x) не изменяется, то
функция в этой точке экстремума не имеет. При этом если при переходе
через рассматриваемую точку слева направо знак f’(x) изменяется с минуса
на плюс, то в этой точке достигается минимум, а если с плюса на минус – то
максимум.
2
Пример: Найдите экстремумы функции f (x) = x3 – x2 - 4x + 1.
3
Решение
Найдем производную f’(x) = 2x2 – 2x - 4. Далее имеем 2x2 – 2x – 4 = 0, откуда
x1 = -1, x2 = 2 – критические точки. Эти точки разбивают область определения
функции на три интервала [-∞;-1], [-1;2], [2;+ ∞].
Определим знаки производной в окрестностях критических точек. В
интервале [-∞;-1] возьмем произвольную точку x = -2 при x = -2 имеем f’(2)>0.
В интервале [-1;2] возьмем x=0; при x=0 имеем f’(0) = -4 <0. Так как
производная при переходе через точку x=-1 меняет знак с плюса на минус, то
функция x=-1 имеет максимум. Вычислим максимальное значение функций
1
f(-1) = 3 . Выше мы установили, что в интервале [-1 ;2] производная f’(x) <0.
3
Определим знак производной в интервале [2;+ ∞];полагая x=3, находим
f’(3)>0.
Так как производная при переходе через точку x=2 меняет знак с минуса на
плюс, то функция в точке x=2 имеет минимум. Вычислим минимальное
2
значение функции: f(2) = -5 .
3
Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции
Правило нахождения наибольшего и наименьшего значения функции f(x) на
отрезке [a;b].
25
Найти критические точки, принадлежащие данному отрезку.
Вычислить значения функции в этих точках, а также на концах отрезка, т.е. в
точках x=a и x=b. Сравнить все полученные значения; наибольшее и
наименьшее из них являются соответственно наибольшим и наименьшим
значениями функции на отрезке [a;b].
Пример: Найти наибольшее и наименьшее значение функции y=x3-1.5x2 -6x +
1 на отрезке [-2;0].
Решение
2
2
Находим y’=3x – 3x – 6; 3(x – x – 2) =0, откуда x1=2, x2=-1. Значение x=2 не
принадлежит отрезку [-2;0] и, следовательно, не удовлетворяют условию.
Найдем значение функции при x=-2, x=-1, x=0; имеем y(-2)= -1, y(-1) =4.5, y(0)
=1. Таким образом, наибольшее значение функции равно 4,5, а наименьшее
значение равно -1.
Нахождение интервалов выпуклости графика функции
Правило нахождения интервалов выпуклости графика функции f(x).
Найти вторую производную f’’(x) и определить точки, в которых f’’ (x)=0 или
f’’(x) не существует.
Исследовать знак f’’ (x) в интервалах, на которые найденные в п. 1 точки
делят область определения функции f(x). В тех интервалах, где f’’ (x)>0,
график функции является выпуклым вниз, а в тех интервалах, где f’’(x)<0 –
выпуклым вверх.
1
5
Пример: Найти интервалы выпуклости графика функции y = x4 - x3+ 3x2.
12
6
Решение
Находим вторую производную:
1
5
1
5
Y’ =( x4 - x3+2x2)’ = x3 - x2 + 6x;
12
1
6
3
2
5
Y’’=( x3 - x2 + 6x)’=x2 – 5x – 6
3
2
2
x – 5x+ 6 = 0,Откуда x1=2, x2=2. Эти точки разбивают область определения
функции на интегралы [−∞;2], [2;3] и [3;+ ∞].
Пусть x=0, тогда y’’>0; следовательно, в интеграле [-∞;2] график функции
5
является выпуклым вниз. Пусть x= , тогда y’’<0; поэтому в интервале [2;3]
2
график функции является выпуклым вверх. Пусть x=4, тогда y’’>0; значит, в
интервале [3;+ ∞] график функции является выпуклым вниз.
Построить график функции y = x3 – 6x2 + 9x – 3.
Функция определена на всей числовой прямой, т.е. D(y) =R.
Данная функция не является ни четной, ни нечетной; кроме того, кроме того
она не является периодической.
Найдем точку пересечения графика с осью Oy: полагая x=0, получим y = -3.
Точки пересечения графика с осью Ox в данном случае затруднительно.
Очевидно, что график функции не имеет асимптот.
26
Найдем производную y’ = 3x2 – 12x +9.
Далее, имеем (3x2 – 12x +9 = 0) ↔(x2 – 4x +
X=1,
X=3.
3 = 0)↔
Точки x=1 и x=3 делят область определения функции на три промежутка:
−∞ < 𝑥 < 1, 1 < 𝑥 < 3 и 3< x < ∞. В промежутках−∞ < 𝑥 < 1 и 3< x < ∞
y’>0, т.е. функция возрастает, а в промежутке 1 < 𝑥 < 3 y’ < 0 функция
убывает. При переходе через точку x=1 производная меняет знак с плюса на
минус, а при переходе через точку x= 3 - с минуса на плюс. Значит, ymax = y (1)
= 1, ymin=y(3) = -3.
Найдем вторую производную: y’’= 6x -12; 6x – 12 = 0, x = 2. Точка x = 2 делит
область определения функции на два промежутка −∞ < x < 2 и 2< x < +∞. В
первой из них y’’ < 0, а во втором y’’ > 0, в промежутке −∞ < x < 2 кривая
выпукла вверх, а в промежутке 2< x < +∞ выпукла вниз. Таким образом,
получаем точку перегиба (2;-1).
Используя полученные данные, строим искомый график.
𝑥²
Построить график функции y =
.
𝑥−3
Находим область определения функции:D(y) = −∞ < x < 3; 3 < x < +∞
Данная функция не является ни четной, ни нечетной, ни периодической.
При x = 0 получим y = 0, т.е. график проходит через начало координат.
Так как lim 𝑓(𝑥) = ±∞, то прямая x = 3 служит вертикальной асимптотой
𝑥 →3±0
графика.
Далее находим:K = lim
𝑓(𝑥)
𝑥→±∞ 𝑥
= lim
b = lim [𝑓(𝑥) − 𝑘𝑥] = lim [
𝑥→±∞
𝑥²
𝑥→±∞ 𝑥(𝑥−3)
𝑥2
𝑥→±∞ 𝑥−3
= 1,
− 𝑥] = lim
3𝑥
𝑥→±∞ 𝑥−3
=3
Следовательно, прямая 𝑦 = 𝑥 + 3 является наклонной асимптотой графика.
Находим
2𝑥(𝑥 − 3) − 𝑥² 𝑥² − 6𝑥 𝑥(𝑥 − 6)
𝑦′ =
=
=
(𝑥 − 3)²
(𝑥 − 3)² (𝑥 − 3)²
Производная y’ обращается в нуль в точках x=0 и x=6 и терпит разрыв при
x=3. Этими точками числовая прямая делится на четыре промежутка: -∞ <
𝑥 < 0, 0 < 𝑥 < 3, 3 < 𝑥 < 6, 6 < 𝑥 < ∞. Исследуем знак y’в каждом из них;
очевидно, что y’>0 в промежутках
-∞ < 𝑥 < 0 и 6 < 𝑥 < ∞ (в этих
промежутках функция возрастает) и y’<0 в промежутках 0 < 𝑥 < 3, 3 < 𝑥 < 6
(в этих промежутках функция убывает). При переходе через точку x=0
производная меняет знак с плюса на минус, т.е. это точка максимума, а при
переходе через x=6 – с минуса на плюс, т.е. это точка минимума.
Находим ymax = y(0) = 0, ymin = y(6)=12.
Находим
27
(2𝑥 − 6)(𝑥 − 3)2 − 2(𝑥 − 3)(𝑥 2 − 6𝑥)
18
𝑦 =
=
(𝑥 − 3)⁴
(𝑥 − 3)³
Вторая производная в нуль нигде не обращается и терпит разрыв при x=3. В
промежутке −∞ < 𝑥 < 3 имеем y’’<0, т.е. в этом промежутке кривая выпукла
вверх; в промежутке 3 < 𝑥 < ∞ имеем y’’>0, т.е. в этом промежутке кривая
выпукла вниз. Точек перегиба нет.
На основании полученных данных строим график функции.
′′
Приложение 2
РЕШИТЬ ЗАДАЧИ САМОСТОЯТЕЛЬНО
Вариант 1.
Найдите производную f’(x) если:
а)𝑓(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛4𝑥 − 𝑐𝑜𝑠4𝑥
б) 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔(𝑥 + 5)
Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функций:
𝜋
𝑦 = 𝑐𝑡𝑔 𝑥 в точке с абсциссой 𝑥 0 =
4
Напишите уравнение касательной к графику функции:
𝜋
𝑦 = sin 𝑥 + 1 в точке ( ; 2)
2
Решить задачу:
Найдите скорость и ускорение в указанные моменты времени для точки,
движущейся прямолинейно, если движение точки задано уравнением:
S = t3 + 5t2 + 4, t = 2
Найти промежутки монотонности функции
𝑦 = 𝑥³ − 16𝑥
Найти точки экстремума функции
𝑦 = 𝑥³ − 9𝑥² + 24𝑥 − 12
Найти наибольшее и наименьшее значение функции 𝑦 = 𝑥² − 6𝑥 + 13
x𝜖[0; 6]
Найти точки перегиба, промежутки выпуклости кривой 𝑦 = 𝑥 3 − 𝑥
Вариант 2.
Найдите производную f’(x) если:
а)𝑓(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛3𝑥 − 𝑐𝑜𝑠3𝑥
б) 𝑓(𝑥) = 2𝑡𝑔(2𝑥 − 5)
Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функций:
𝜋
𝑦 = 𝑐𝑡𝑔3 𝑥 в точке с абсциссой 𝑥 = −
12
Напишите уравнение касательной к графику функции:
28
𝜋
𝑦 = − cos 𝑥 + 1 в точке ( ; 1)
2
Решить задачу:
Найдите скорость и ускорение в указанные моменты времени для точки,
движущейся прямолинейно, если движение точки задано уравнением:
S = √𝑡, t = 1
Найти промежутки монотонности функции
𝑦 = 𝑥 4 − 4𝑥 + 3
Найти точки экстремума функции
𝑦 = 𝑥² − 2𝑥 − 3
Найти наибольшее и наименьшее значение функции 𝑦 = 8 − 0.5𝑥²
x𝜖[−2; 2]
Найти точки перегиба, промежутки выпуклости кривой
𝑦 = 𝑥 4 − 12𝑥³ + 54𝑥² − 50
Вариант 3.
Найдите производную f’(x) если:
а)𝑓(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛4𝑥 − 𝑐𝑜𝑠4𝑥
б) 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔(𝑥 + 5)
Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функций:
𝜋
𝑦 = 𝑐𝑡𝑔 𝑥 в точке с абсциссой 𝑥 = −
4
Напишите уравнение касательной к графику функции:
𝜋
𝑦 =sin x+1 в точке ( ; 2)
2
Решить задачу:
Найдите скорость и ускорение в указанные моменты времени для точки,
движущейся прямолинейно, если движение точки задано уравнением:
S =𝑡² + 11𝑡 + 30, t = 3
Найти промежутки монотонности функции
𝑦 = 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥
Найти точки экстремума функции
𝑦 = 2𝑥⁴ − 𝑥
1
1
Найти наибольшее и наименьшее значение функции 𝑦 = 𝑥² − 𝑥³
2
3
x𝜖[1; 3]
Найти точки перегиба, промежутки выпуклости кривой 𝑦 = 𝑥 4 + 𝑥³
Вариант 4.
Найдите производную f’(x) если:
а)𝑓(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛4𝑥 − 𝑐𝑜𝑠4𝑥
б) 𝑓(𝑥) = с𝑡𝑔(𝑥 + 1)
Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функций:
𝜋
𝑦 = 𝑡𝑔2 𝑥 в точке с абсциссой 𝑥 = −
8
Напишите уравнение касательной к графику функции:
𝜋
𝑦 = sin 𝑥 + 1 в точке ( ; 0)
2
Решить задачу:
29
Найдите скорость и ускорение в указанные моменты времени для точки,
движущейся прямолинейно, если движение точки задано уравнением:
𝑣 = 𝑡² + 𝑡 − 1, t = 3
Найти промежутки монотонности функции
𝑦 = 𝑥 4 − 4𝑥 − 6
Найти точки экстремума функции
1
𝑦 = 𝑥³ − 4𝑥
3
Найти наибольшее и наименьшее значение функции 𝑦 = 6𝑥² − 𝑥³
x𝜖[−1; 6]
Найти точки перегиба, промежутки выпуклости кривой
𝑦 = 𝑥³ − 1
Вариант 5.
Найдите производную f’(x) если:
а)𝑓(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛3𝑥 − 𝑐𝑜𝑠3𝑥
б) 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔(𝑥 + 4)
Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функций:
𝜋
𝑦 = 𝑐𝑡𝑔2 𝑥 в точке с абсциссой 𝑥 = −
8
Напишите уравнение касательной к графику функции:
𝑦 = cos 𝑥 + 1 в точке (𝜋; 0)
Решить задачу:
Найдите скорость и ускорение в указанные моменты времени для точки,
движущейся прямолинейно, если движение точки задано уравнением:
𝑣 = 𝑡² + 5𝑡 + 1t = 3
Найти промежутки монотонности функции
𝑦 = 𝑥³ − 3𝑥² + 1
Найти точки экстремума функции
𝑦 = −𝑥² + 2𝑥 + 3
Найти наибольшее и наименьшее значение функции 𝑦 = 𝑥² − 4𝑥 + 3
x𝜖[0; 3]
Найти точки перегиба, промежутки выпуклости кривой
1
𝑦 = 𝑥³ − 3𝑥² + 8𝑥 − 4
3
Вариант 6.
Найдите производную f’(x) если:
а)𝑓(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛4𝑥 − 𝑐𝑜𝑠4𝑥
б) 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔(𝑥 + 5)
Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функций:
𝜋
𝑦 = 𝑐𝑡𝑔 𝑥 в точке с абсциссой 𝑥 =
4
Напишите уравнение касательной к графику функции:
𝜋
𝑦 = 𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 1 в точке ( ; 2)
2
Решить задачу:
Точка движется прямолинейно по закону 𝑠 = 𝑡² − 8𝑡 + 4
30
В какой момент времени скорость точки окажется равной нулю?
Найти промежутки монотонности функции
𝑦 = 2𝑥³ − 9𝑥² + 12𝑥 − 15
Найти точки экстремума функции
1
𝑦 = 𝑥⁴
2
Найти наибольшее и наименьшее значение функции 𝑦 = 𝑥³ − 3𝑥² − 9𝑥 + 35
x𝜖[−4; 4]
Найти точки перегиба, промежутки выпуклости кривой
𝑦 = 𝑥 4 − 10𝑥³ + 36𝑥² − 100
Вариант 7.
Найдите производную f’(x) если:
а)𝑓(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛4𝑥 − 𝑐𝑜𝑠4𝑥
б) 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑡𝑔(𝑥 + 1)
Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функций:
𝜋
𝑦 = 𝑡𝑔2 𝑥 в точке с абсциссой 𝑥 = −
8
Напишите уравнение касательной к графику функции:
𝜋
𝑦 = sin 𝑥 + 1 в точке ( ; 0)
2
Решить задачу:
Температура тела T изменяется в зависимости от времени t по закону
𝑇 = 0.5𝑡² − 2𝑡
С какой скоростью нагревается это тело в момент времени t=5?
Найти промежутки монотонности функции
𝑦 = 𝑥 ³ − 3𝑥² + 1
Найти точки экстремума функции
𝑦 = 𝑥³ − 3𝑥
Найти наибольшее и наименьшее значение функции 𝑦 = −𝑥³ + 9𝑥² − 24𝑥 +
10
x𝜖[0; 3]
Найти точки перегиба, промежутки выпуклости кривой
𝑦 = 6𝑥² − 𝑥³
Вариант 8.
Найдите производную f’(x) если:
а)𝑓(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛3𝑥 + 𝑐𝑜𝑠3𝑥
б) 𝑓(𝑥) = 2𝑡𝑔(2𝑥 − 5)
Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функций:
𝜋
𝑦 = 𝑐𝑡𝑔3 𝑥 в точке с абсциссой 𝑥 = −
12
Напишите уравнение касательной к графику функции:
𝜋
𝑦 = − cos 𝑥 + 1 в точке ( ; 1)
2
Решить задачу:
Тело массой 100 кг движется прямолинейно по закону 𝑠 = 5𝑡² − 2
Найдите кинетическую энергию через 2с после начала движения.
Найти промежутки монотонности функции
31
𝑦 = 𝑥 3 − 3𝑥² + 7
Найти точки экстремума функции
𝑦 = 𝑥² + 3𝑥
Найти наибольшее и наименьшее значение функции 𝑦 = −𝑥² + 𝑥 + 6
x𝜖[−2; 3]
Найти точки перегиба, промежутки выпуклости кривой
𝒚 = 𝒙³ + 𝒙² − 𝟐
Вариант 9.
Найдите производную f’(x) если:
а)𝑦 = 𝐼𝑛 𝑐𝑜𝑠𝑥
б) 𝑦 = 𝑥² ∗ 𝑠𝑖𝑛𝑥
Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функций:
𝑓(𝑥) = 𝑥³ − 2𝑥 + 1 в точке с абсциссой 𝑥₀ = 1
Напишите уравнение касательной к графику функции:
𝑓(𝑥) = 2𝑥³ − 3𝑥 + 1в точке абсциссой x₀=1
Решить задачу:
Изменение силы тока I в зависимости от времени t дано уравнением
I = 2t²-5t (I - в амперах, t - в секундах)
Найдите скорость изменения силы тока в конце 10-й секунды.
Найти промежутки монотонности функции
𝑦 = −𝑥 2 + 4𝑥 + 1
Найти точки экстремума функции
1
𝑦 = 𝑥³ − 𝑥²
3
Найти наибольшее и наименьшее значение функции 𝑦 = 𝑥 4 + 3𝑥² − 4
x𝜖[1; 4]
Найти точки перегиба, промежутки выпуклости кривой
𝑦 = 𝑥² + 3𝑥 − 1
Вариант 10.
Найдите производную f’(x) если:
а)𝑦 = 𝑥 ∗ 𝑒 𝑥
б) 𝑦 = ln 3𝑥
Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функций:
𝑓(𝑥) = 𝑥³ + 1 в точке с абсциссой 𝑥 0 = −1
Напишите уравнение касательной к графику функции:
𝑓(𝑥) = 𝑥³ + 4𝑥в точке абсциссой x₀=2
Решить задачу:
1
Тело движется прямолинейно по закону 𝑠(𝑡) = 𝑡 4 − 4𝑡³ + 16𝑡²
4
(s - метрах, t - в секундах).
Определите, в какие моменты времени тело было в начальном пункте.
Найти промежутки монотонности функции
1
𝑦 = − 𝑥4 − 𝑥 + 1
4
Найти точки экстремума функции
32
𝑦 = −4𝑥³ + 3𝑥² + 36𝑥 + 5
1
Найти наибольшее и наименьшее значение функции 𝑦 = 𝑥 3 − 2𝑥² + 3𝑥 + 4
3
x𝜖[0; 5]
Найти точки перегиба, промежутки выпуклости кривой
𝑦 = 𝑥 4 − 2𝑥³ + 6𝑥 − 4
Приложение 3
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
Что называется производной функции?
Что показывает производная функция в точке?
Каков геометрический смысл производной?
Каков физический смысл производной?
Какие свойства производной вы знаете?
По каким формулам вычисляются производные тригонометрических
функций?
По каким формулам вычисляются производные степенной функции?
По каким формулам вычисляются производные показательной функции?
По каким формулам вычисляются производные логарифмической функции?
Как вычисляются производные сложной функции?
Что называется дифференциалом функции?
Что необходимо сделать, чтобы вычислить дифференциал функции?
Какой вид имеет уравнение касательной к графику функции y= (x)?
Каков геометрический смысл дифференциала?
Какая функция называется монотонно возрастающей?
Какая функция называется монотонно убывающей?
Как исследовать функцию на монотонность?
Какие точки называются критическими?
Что такое экстремум функции?
Как исследовать функцию на экстремум по первому правилу?
Как исследовать функцию По второму правилу?
Как исследовать функцию, чтобы построить её график?
Как вычислить наибольшее и наименьшее значение функции на
промежутке?
33
ИНСТРУКЦИОННАЯ КАРТА
К ПРАКТИЧЕСКОМУ ЗАНЯТИЮ №5
Дисциплина: Математика
КУРС: 2
ТЕМА: Метод непосредственного интегрирования.
ЦЕЛИ ЗАНЯТИЯ:
А) учебная, развивающая: закрепить знания и умения по нахождению
неопределенного интеграла.
Б) воспитательная: подчеркнуть важность изучаемого материала, научить
осознанному его усвоению, творческому применению.
ОТВОДИМОЕ ВРЕМЯ: 2 ЧАСА
ОБЕСПЕЧЕНИЕ РАБОЧЕГО МЕСТА: 1. Инструкционная карта;
2.Средства вычислительной техники.
ЛИТЕРАТУРА:
Баранова Е.С.: Практическое пособие по высшей математике. Типовые
расчеты. Учебное пособие. М. «Питер». 2008 г.;
Б.В. Соболь «Практикум по высшей математике. Высшее образование».
Издание – 4. Ростов – на – Дону «Феникс – 2007»;
Данко П.Е. «Высшая математика в уравнениях и задачах», Ч.1, Ч.2, Москва,
ОНИКС «Мир и образование – 2007»;
Музенитов Ш. А.: Математические основы экономики и методы
оптимизации, Ставрополь 2000 г.;
Богомолов Н.В.: Практическое занятие по математике. М.В. Ш., 1997 г.
ЗАДАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ
1. Ознакомиться с разделом «Теоретическое обоснование и
методические указания по решению задач» ( Приложение 1)
2. Решить задачи самостоятельно по вариантам ( Приложение 2)
3. Ответить на вопросы для самоконтроля ( Приложение 3)
4. Выполнить индивидуальное задание:
а.Составить историческую справку по теме: «Дифференциальное и
интегральное исчисление».
б.Составить глоссарий по теме: «Интеграл»
34
Приложение 1
ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
Понятие первообразной функции. Теорема о первообразных.
Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение
Производной f’(x) или дифференциала df=f’(x)dx функции f(x) . В
интегральном исчислении решается обратная задача. По данной функции
f(x) требует найти такую функцию F(x), что F’(x)=f(x) или dF (x)=F’(x)dx=f(x)dx.
Таким образом, основной задачей интегрального исчисления является
восстановление функции F(x) по известной производной (дифференциалу)
этой функции. Интегральное исчисление имеет многочисленные приложения
в геометрии, механике, физике и технике. Оно дает общий метод
нахождения площадей, объемов, центров тяжести и т.д.
Определение. Функция F(x), x⋹ 𝑋 ⊂ 𝑅, называется первообразной для
функции f(x) на множестве X, если она дифференцируема для любого x⋹X и
F’(x)=f(x) или dF(x)=f(x)dx.
Таким образом, основной задачей интегрального исчисления является
восстановление функции 𝐹(𝑥) по известной производной (дифференциалу)
этой функции. Интегральное исчисление имеет многочисленные приложения
в геометрии, механике, физике и технике. Оно дает общий метод
нахождения площадей, объемов, центров тяжести и т.д.
Определение. Функция 𝐹(𝑥), 𝑥 ⋹ 𝑋 ⊂ 𝑅 называется первообразной для
функции 𝑓(𝑥) на множестве X, если она дифференцируема для любого 𝑥 ∈ 𝑋
и 𝐹 ′ (𝑥) = 𝑓(𝑥) или dF(x)=f(x)dx
Теорема. Любая непрерывная на отрезке[a;b] функция f(x) имеет на
этом отрезке первообразную F(x).
Теорема. Если 𝐹₁(𝑥) иF₂(𝑥) – две различные первообразные одной и
той же функцииf(x) на множестве x , то они отличаются друг от друга
постоянным слагаемым, т.е. F₂(𝑥) = 𝐹₁(𝑥) +C, где C – постоянная.
Неопределенный интеграл, его свойства.
Определение. Совокупность𝐹(𝑥) + 𝐶 всех первообразных функций f(x) на
множестве X называется неопределенным интегралом и обозначается:
(1)
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝐶
В формуле (1) 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 называется подынтегральным выражением,
𝑓(𝑥) −подынтегральной функцией, x- переменной интегрирования, а C постоянной интегрирования.
Рассмотрим свойства неопределенного интеграла , вытекающие из его
определения.
Производная из неопределенного интеграла равна подынтегральной
функции, дифференциал неопределенного интеграла равен
подынтегральному выражению:
35
(∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥) = 𝑓(𝑥)и𝑑 (∫
𝑓(𝑥)𝑑𝑥) = 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен
сумме этой функции и произвольной постоянной:
∫ 𝑑𝐹(𝑥) = 𝐹(𝑥) + 𝐶
Постоянный множитель a (a≠0) можно выносить за знак
неопределенного интеграла:
∫ 𝑎𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑎 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа
функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций
∫(𝑓1 (𝑥) ± 𝑓2 (𝑥) ± ⋯ ± 𝑓𝑛 (𝑥))
= ∫ 𝑓1 (𝑥)𝑑𝑥 ± ∫ 𝑓2 (𝑥)𝑑𝑥 ± ⋯ ± ∫ 𝑓𝑛 (𝑥)𝑑𝑥
Если F(x) – первообразная функции f(x), то:
1
∫ 𝑓(𝑎𝑥 + 𝑏)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑎𝑥 + 𝑏) + 𝐶
𝑎
Любая формула интегрирования сохраняет свой вид, если переменную
интегрирования заменить любой дифференцируемой функцией этой
переменной:
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝐶 ⇒ ∫ 𝑓(𝑢)𝑑𝑢 = 𝐹(𝑢) + 𝐶
где u – дифференцируемая функция.
Таблица неопределенных интегралов.
Приведем основные правила интегрирования функций.
(∫(𝑢)𝑑𝑢) = 𝑓(𝑢).
d(∫ 𝑓(𝑢)𝑑𝑢) = 𝑓(𝑢)𝑑𝑢.
∫ 𝑑𝐹(𝑢) = 𝐹(𝑢) + 𝐶.
∫ 𝑎𝑓(𝑢)𝑑𝑢 = 𝑎 ∫ 𝑓(𝑢)𝑑𝑢.
∫(𝑓1 (𝑢) ± 𝑓2 (𝑢) ± ⋯ ± 𝑓𝑛 (𝑢))𝑑𝑢 = ∫ 𝑓1 (𝑢)𝑑𝑢 ± ∫ 𝑓2 (𝑢) ± ⋯ ± ∫ 𝑓𝑛 (𝑢)𝑑𝑢.
1
𝐹(𝑎𝑢 + 𝑏) + 𝐶
𝑎
Приведем таблицу основных неопределенных интегралов. (Отметим,
∫ 𝑓(𝑎𝑢 + 𝑏)𝑑𝑢 =
36
что здесь, как и в дифференциальном исчислении, буква u может обозначать
как независимую переменную (u=x), так и функцию от независимой
переменной (u=u(x)).)
𝑢𝑛+1
𝑢
∫ 𝑢𝑛 𝑑𝑢 = 𝑛+1 + 𝐶 (𝑛 ≠ −1)
∫ √𝑢2 + 𝑎2 𝑑𝑢 = √𝑢2 + 𝑎2
2
𝑎𝑢
2
𝑢
𝑎
∫ 𝑎 𝑑𝑢 =
+ 𝐶 (𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1)
+ ln|𝑢| + √𝑢2 + 𝑎2
ln 𝑎
2
𝑢
𝑢
+
𝐶
∫ 𝑒 𝑑𝑢 = 𝑒 + 𝐶
∫ √𝑎2 − 𝑢2 𝑑𝑢
𝑑𝑢
∫
= ln|𝑢| + 𝐶
𝑢
𝑢
= √𝑎 2 − 𝑢 2
2
∫ sin 𝑢𝑑𝑢 = − cos 𝑢 + 𝐶
𝑎2
+ 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖
2
∫ cos 𝑢𝑑𝑢 = sin 𝑢 + 𝐶
𝑑𝑢
= 𝑡𝑔𝑢 + 𝐶
𝑐𝑜𝑠 2 𝑢
𝑑𝑢
∫
= −𝑐𝑡𝑔𝑢 + 𝐶
𝑠𝑖𝑛2 𝑢
∫
∫ 𝑠ℎ𝑢𝑑𝑢 = 𝑐ℎ𝑢 + 𝐶
∫ 𝑐ℎ𝑢𝑑𝑢 = 𝑠ℎ𝑢 + 𝐶
𝑑𝑢
= 𝑡ℎ𝑢 + 𝐶
𝑐ℎ2 𝑢
𝑑𝑢
∫ 2 = −𝑐𝑡ℎ𝑢 + 𝐶
𝑠ℎ 𝑢
𝑑𝑢
1
𝑎+𝑢
∫ 2−𝑢2 =
ln |
|+𝐶
2𝑎
𝑎−𝑢
𝑎
𝑑𝑢
1
𝑢
∫ 𝑢2 +𝑎2 = 𝑎 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑎 + 𝐶
∫
∫
𝑑𝑢
𝑢2+𝑎
∫
2
(𝑎 ≠ 0)
1
𝑢−𝑎
=
ln |
| + 𝐶 (𝑎
2𝑎
𝑢+𝑎
≠ 0)
𝑑𝑢
√𝑢2± 𝑎2
= ln |𝑢 + √𝑢2 ± 𝑎2 |
+ 𝐶 (|𝑢| > |𝑎|)
𝑑𝑢
𝑢
∫
= 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛
𝑎
√𝑎2 − 𝑢2
+ 𝐶 (|𝑢| < |𝑎|)
37
Интегралы 1 – 17 называются табличными.
Некоторые из приведенных выше формул таблицы интегралов, не имеющие
аналога в таблице производных, проверяются дифференцированием их
правых частей.
Замена переменной и интегрирования по частям в неопределенном
интеграле.
Интегрирование подстановкой (замена переменной). Пусть требуется
вычислить интеграл∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥, который не является табличным. Суть метода
подстановки состоит в том, что в интеграле ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 переменную x заменяют
переменной t по формуле 𝑥 = 𝜑(𝑡), откуда 𝑑𝑥 = 𝜑 ′ (𝑡)𝑑𝑡.
Теорема. Пусть функция 𝑥 = 𝜑(𝑡) определена и дифференцируема на
некотором множестве T и пусть X - множество значений этой функции, на
котором определена функция f(x). Тогда если на множестве X функция f(x)
имеет первообразную, то на множестве Т справедлива формула:
(2)
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝜑(𝑡))𝜑′ (𝑡)𝑑𝑡
Формула (2) называется формулой замены переменной в
неопределенном интеграле.
Интегрирование по частям. Метод интегрирования по частям из
формулы дифференциала произведения двух функций. Пусть u(x) и y(x) - две
дифференцируемые функции переменной x. Тогда:
𝑑(𝑢𝑣) = 𝑢𝑑𝑣 + 𝑣𝑑𝑢
(3)
Интегрируя обе части равенства (3), получаем:
∫ 𝑑(𝑢𝑣) = ∫ 𝑢𝑑𝑣 + ∫ 𝑣𝑑𝑢
Но так как ∫ 𝑑(𝑢𝑣) = 𝑢𝑣 + 𝐶, то:
(4)
∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢
Соотношение (4) называется формулой интегрирования по частям. С
помощью этой формулы отыскание интеграла ∫ 𝑣𝑑𝑢. Применить её
целесообразно, когда интеграл в правой части формулы (4) более прост для
вычисления, нежели исходный.
В формуле (4) отсутствует произвольная постоянная С, так как в правой части
этой формулы стоит неопределенный интеграл, содержащий произвольную
постоянную.
Приведем некоторые часто встречающиеся типы интегралов, вычисляемых
методом интегрирования по частям.
Интегралы вида: ∫ 𝑃𝑛 (𝑥)𝑒 𝑘𝑥 𝑑𝑥, ∫ 𝑃𝑛 (𝑥)𝑠𝑖𝑛𝑘𝑥𝑑𝑥, ∫ 𝑃𝑛 (𝑥) cos 𝑘𝑥𝑑𝑥 (𝑃𝑛 (𝑥) −
многочлен степени n, k - некоторое число). Чтобы найти эти интегралы,
достаточно положить 𝑢 = 𝑃𝑛 (𝑥) и применить формулу (4) n раз.
Интегралы вида: ∫ 𝑃𝑛 (𝑥) ln 𝑥𝑑𝑥, ∫ 𝑃𝑛 (𝑥) 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥, ∫ 𝑃𝑛 (𝑥)𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥,
∫ 𝑃𝑛 (𝑥)𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥𝑑𝑥, ∫ 𝑃𝑛 (𝑥)𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔𝑥𝑑𝑥 (𝑃𝑛 (𝑥) − многочлен степени n
относительно x). Их можно найти по частям, принимая за и функцию,
являющуюся множителем при 𝑃𝑛 (𝑥).
38
Интегралы вида: ∫ 𝑒 𝑎𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑏𝑥𝑑𝑥, ∫ 𝑒 𝑎𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑏𝑥𝑑𝑥 (a, b - числа). Они
вычисляются двукратным интегрированием по частям.
Приложение 2
Решить задачи самостоятельно
№
Найти интеграл
варианта МЕТОД ТАБЛИЧНЫЙ
МЕТОД
ПОДСТАНОВКИ
𝑥
1
1 ∫(2 − 3𝑒 + 𝑥)𝑑𝑥
2 ∫(3𝑥 5 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 1)𝑑𝑥
𝑥𝑑𝑥
3 ∫(7𝑥 6 − 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 3)𝑑𝑥
∫
1
4 ∫(7 −
− 𝑥²)𝑑𝑥
√2𝑥² − 5
2𝑐𝑜𝑠²𝑥
5 ∫ (𝑥 4 −
2
∫(2 − 𝑥)²𝑑𝑥
0
1
2
+ 2)𝑑𝑥
3𝑠𝑖𝑛²𝑥
2
2
2 ∫(3𝑥 −
3
2
) 𝑑𝑥
2𝑥
1 ∫(3 −
3 ∫ (𝑥 −
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ
МЕТОД
1+𝑥 2
1
3√1−𝑥 2
− 5)𝑑𝑥
+ 2) 𝑑𝑥
4 ∫ 2𝑐𝑜𝑠𝑥 − 5𝑥 4 + 3)𝑑𝑥
5 ∫(5𝑒 𝑥 − 𝑥 3 − 4)𝑑𝑥
1 ∫ 3𝑠𝑖𝑛𝑥 + 4𝑥³ − 1)𝑑𝑥
3
2 ∫(5 −
+ 2𝑥 3 )𝑑𝑥
𝑐𝑜𝑠²𝑥
1
5
3 ∫2 − +
3
4
1+𝑥²
1
𝑥
3𝑥
5
4
𝑥
4 ∫ (5𝑥 −
∫ √3𝑥² − 1 𝑥𝑑𝑥
5 ∫ 2 − + )𝑑𝑥
∫(2√𝑥 − 𝑥²)𝑑𝑥
0
)𝑑𝑥
− 4) 𝑑𝑥
4
∫
𝑥𝑑𝑥
(𝑥 2 + 5)⁴
2
∫(1 + 𝑥)²𝑑𝑥
−2
39
4
5
1
1 ∫ (10𝑥 4 − − 2) 𝑑𝑥
2
5
(3𝑥
2∫
− 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 1)𝑑𝑥
3
𝑥
2
3 ∫(
− + )𝑑𝑥
5𝑐𝑜𝑠²𝑥
2
𝑥
4 ∫(𝑥 7 − 3𝑠𝑖𝑛𝑥 + 2)𝑑𝑥
5 ∫(9𝑥 8 − 3𝑒 𝑥 + 5)𝑑𝑥
𝑥
3
3
𝑥
𝑥³
3 ∫(
7
1
∫(5 − 𝑥 − 3𝑥 2 )𝑑𝑥
−1
1 ∫ ( − 5𝑒 𝑥 ) 𝑑𝑥
2 ∫ (6 −
6
𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥
∫
4 + 3𝑠𝑖𝑛𝑥
1
− 3𝑐𝑜𝑠𝑥) 𝑑𝑥
2
2√1−𝑥²
1
∫
+ 𝑥 − 4)𝑑𝑥
4 ∫(
− 𝑥 5 )𝑑𝑥
3𝑠𝑖𝑛²𝑥
5 ∫(5𝑒 − 3𝑠𝑖𝑛𝑥 + 4)𝑑𝑥
1 ∫(5 − 3𝑒 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠3𝑥)𝑑𝑥
2 ∫ 7𝑥 8 − 𝑠𝑖𝑛5𝑥 + 2)𝑑𝑥
1
3∫ + 4 − 𝑒 3𝑥 )𝑑𝑥
2𝑥
4 ∫ 4𝑥 𝑒 + 2𝑥 − 3)𝑑𝑥
1
5∫
+ 53𝑥 − 2𝑥 +
𝑐𝑜𝑠²3𝑥
1)𝑑𝑥
1 ∫(7𝑥 − 4𝑒 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛4𝑥)𝑑𝑥
2 ∫(8𝑥 7 − 𝑐𝑜𝑠3𝑥 + 5)𝑑𝑥
1
3 ∫ 𝑒 7𝑥 − + 7)𝑑𝑥
𝑥
𝑥𝑑𝑥
𝑥² + 1
1
∫(𝑥 2 − 2)𝑑𝑥
1
∫ 𝑐𝑜𝑠 4 𝑥 ∗ 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥
0
∫(𝑥 3 + 2𝑥)𝑑𝑥
−1
∫𝑒
𝑐𝑜𝑠𝑥
𝜋
2
∗ sin 𝑥𝑑𝑥
∫ 2 sin 𝑥𝑑𝑥
2
4 ∫ 53𝑥 − 3𝑥 + )𝑑𝑥
5∫
8
1∫
1
𝑠𝑖𝑛²𝑥
3
1+𝑥²
3
+ 8𝑥² + 3)𝑑𝑥
− 𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 5)𝑑𝑥
𝑥
2
2 ∫(
− + )𝑑𝑥
5𝑐𝑜𝑠²𝑥
2
𝑥
3 ∫(7𝑥 6 − 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 3)𝑑𝑥
4 ∫(𝑥 7 − 3𝑠𝑖𝑛𝑥 + 2)𝑑𝑥
1
5 ∫ (𝑥 4 − ) 𝑑𝑥
9
0
𝑥
3
∫ 2𝑥² 𝑥𝑑𝑥
∫
2
2𝑥
1
1 ∫(7 −
− 𝑥 2 )𝑑𝑥
2𝑐𝑜𝑠²𝑥
2 ∫(9𝑥 8 − 3𝑒 𝑥 + 5)𝑑𝑥
3 ∫(5𝑥 − 3𝑠𝑖𝑛𝑥 + 4)𝑑𝑥
4 ∫(2 − 3𝑒 𝑥 + 𝑥)𝑑𝑥
5 ∫(3𝑥 5 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 1)𝑑𝑥
∫
𝑑𝑥
√5𝑥 − 2
1 + 𝑥⁵
𝑑𝑥
𝑥⁴
16
∫ (√𝑥 − 2)𝑑𝑥
1
40
10
1 ∫(3𝑠𝑖𝑛𝑥 + 4𝑥 3 − 1)𝑑𝑥
2
2 ∫ (3𝑥 2 −
11𝑥 2
1
− 5) 𝑑𝑥
3 ∫(7 −
− 𝑥 2 )𝑑𝑥
2𝑐𝑜𝑠²𝑥
4 ∫ 3𝑥 5 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 1)𝑑𝑥
5 ∫ (5𝑥 4 −
11
1
∫ 𝑡𝑔 𝑥𝑑𝑥
− 4) 𝑑𝑥
3𝑥
8
3
∫(1 − 4√𝑥)𝑑𝑥
1
1 ∫ 5𝑥 − 3𝑠𝑖𝑛𝑥 + 4)𝑑𝑥
1
2 ∫2 −
− 𝑥⁵)𝑑𝑥
3𝑠𝑖𝑛²𝑥
𝑥
3
3
𝑥
𝑥3
𝑥
3 ∫( − + 5𝑒 )𝑑𝑥
4 ∫ (6 −
2
8
12
5 ∫ (5𝑥 4 −
1
𝑥
2𝑠𝑖𝑛²𝑥
1
3𝑥
1 ∫(2 − +
3
− 2)𝑑𝑥
1 ∫ (𝑥 −
5
1+𝑥 2
1
3√1−𝑥 2
2
2 ∫ 3𝑥² −
3 ∫3 −
1+𝑥²
1
3𝑠𝑖𝑛²𝑥
1
∫(3𝑥 3 − 4)²𝑥²𝑑𝑥
− 4) 𝑑𝑥
4
∫(2√𝑥 − 𝑥 2 )𝑑𝑥
0
)𝑑𝑥
2 ∫(5 −
+ 2𝑥 3 )𝑑𝑥
𝑐𝑜𝑠²𝑥
3 ∫(3𝑠𝑖𝑛𝑥 + 4𝑥 3 − 1)𝑑𝑥
4 ∫(5𝑒 𝑥 − 𝑥 3 − 4)𝑑𝑥
5 ∫ 2𝑐𝑜𝑠𝑥 − 5𝑥 4 + 3)𝑑𝑥
14
2
1 + 𝑥⁵
𝑑𝑥
𝑥⁴
𝑥
5 ∫ 9𝑥 − 3𝑒 + 5)𝑑𝑥
1 ∫(𝑥 7 − 3𝑠𝑖𝑛𝑥 + 2)𝑑𝑥
2 ∫ 2𝑐𝑜𝑠𝑥 − 3𝑥² − 3)𝑑𝑥
1
𝑥
2
3 ∫(
− + )𝑑𝑥
5𝑐𝑜𝑠²𝑥
2
𝑥
3
∫
− 3𝑐𝑜𝑠𝑥) 𝑑𝑥
4 ∫ 10𝑥 4 −
13
3
∫ 𝑐𝑜𝑠 4 𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥
∫3
2+𝑥²
4
𝑥𝑑𝑥
∫(1 − √𝑥)²𝑑𝑥
0
+ 2) 𝑑𝑥
− 5)𝑑𝑥
+ 2)𝑑𝑥
4 ∫ 𝑥 4 − − 4)𝑑𝑥
2𝑥
6
(7𝑥
5∫
− 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 3)𝑑𝑥
2
𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥
∫
4 + 3𝑠𝑖𝑛𝑥
∫ (2 − 𝑥)²𝑑𝑥
0
1
15
1 ∫(7 −
− 𝑥²)𝑑𝑥
2𝑐𝑜𝑠²𝑥
2 ∫(3𝑥 5 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 1)𝑑𝑥
3 ∫(2 − 3𝑒 𝑥 + 𝑥)𝑑𝑥
4 ∫(5𝑥 − 3𝑠𝑖𝑛𝑥 + 4)𝑑𝑥
5 ∫(𝑥 7 − 3𝑠𝑖𝑛𝑥 + 2)𝑑𝑥
∫
𝑑𝑥
√5𝑥 − 2
1
∫(5 − 𝑥 − 3𝑥 2 )𝑑𝑥
−1
Вопросы для самоконтроля:
1.Какое действие называется интегрированием?
41
2.Что называется первообразной?
3.Назовите методы интегрирования.
4.Назовите формулу Ньютона - Лейбница.
5.В чем геометрический смысл определенного интеграла?
42
ИНСТРУКЦИОННАЯ КАРТА
К ПРАКТИЧЕСКОМУ ЗАНЯТИЮ №6
Дисциплина: Математика
ТЕМА: Определитель второго и третьего порядка. МАТРИЦА
КУРС:2
ДЕЙСТВИЯ С
МАТРИЦАМИ.
ЦЕЛИ ЗАНЯТИЯ:
А) учебная, развивающая: дать понятие матрицы, состав матрицы, ранга
матрицы, научить выполнять действия над матрицами, показать значение
матриц для дальнейшего решения уравнений.
Б) воспитательная : ввести понятие матрицы, видов матриц, действиями над
матрицами, начать выполнять действия над матрицами.
ОТВОДИМОЕ ВРЕМЯ: 2 ЧАСА
ОБЕСПЕЧЕНИЕ РАБОЧЕГО МЕСТА: 1. Инструкционная карта;
2.Средства вычислительной техники.
ЛИТЕРАТУРА:
Баранова Е.С.: Практическое пособие по высшей математике. Типовые
расчеты. Учебное пособие. М. «Питер». 2008 г.;
Б.В. Соболь «Практикум по высшей математике. Высшее образование».
Издание – 4. Ростов – на – Дону «Феникс – 2007»;
Данко П.Е. «Высшая математика в уравнениях и задачах», Ч.1, Ч.2, Москва,
ОНИКС «Мир и образование – 2007»;
Музенитов Ш. А.: Математические основы экономики и методы
оптимизации, Ставрополь 2000 г.;
Богомолов Н.В.: Практическое занятие по математике. М.В. Ш., 1997 г.
1.
2.
3.
4.
ЗАДАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ
Ознакомиться с разделом «Теоретическое обоснование и
методические указания по решению задач» (см. Приложение 1)
Решить задачи самостоятельно по вариантам (см. Приложение 2)
Ответить на вопросы для самоконтроля (см. Приложение 3)
Выполнить индивидуальное задание:
а. Составить историческую справку по теме: «Матрица».
б. Составьте глоссарий по теме: «Матрица»
Приложение 1
43
ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
44
Действие над матрицами:
Свойства:
Сложение:
1.
2 3
1 2
3 5
1) A+B=B+A;(
)+(
) =(
)
1 0
3 1
4 1
Переместительны
1 2 3
2 4 1
(
)+(
)
й закон.
2 4 5
3 0 5
2)A+0=A;-Закон
3 6 4
=(
)
поглощения нуля.
5 4 10
Умножение матриц на число
3)А+(-А)=0;-Если к
2 3
14 21
матрице
(
)∗7=(
)
1 0
7
0
прибавить
Умножение матриц
обратную ей
𝑎11 a21
b11 b21
матрицу, то
(a
a22 ) ∗ (b12 b21 ) =
12
получим
a11 ∗ b11 + b12 + a21 ∗ b21 + a21
∗ b22 нуль
=(
матрицу. )
a12 ∗ b11 + a22 ∗ b12 + a21 ∗ b21 + a21 ∗ b22
2.
2
−8
−5
2 5 7
(1 3 4 ) ∗ (−1
3
3 ) 1)Am=mA;Переместительны
4 4 12
4 −18 −10
й закон.
=
2)А*0=0;-Закон
= 2*2+5(-1)+7*4*2(-8)+15+7-(поглощения нуля;
18)*2(-5)+15+7(-18)
3)(АВ)*С=А*(В*С);
2-3+16-2+9-72-5+9-40
8-9+48-32+27+12(-18)*20+27+120 - Сочетательный
закон.
4)m(A+B)=mA+mB;
Распределительн
ый закон.
5)А*Е=Е*=АЕ
единичня
матрица.
6)(АВ)=(ВА);Определители
равны.
7)АВ≠ВА;Переместительны
й закон для двух
матриц не
распространяется
.
Обратная матрица:
Если при умножении
двух квадратных
матриц, то одна из
них обратная.
А*А_1=Е.
Производная данной
матрицы равна
единичной
1
(𝑎𝑖𝑗),
𝐴−1 =
(𝐴)
(𝑎𝑖𝑗) −
Алгебраическом у
дополнению. Для
выраженной
матрицы
( ∆= 0 );
Обратная матрица не
существует.
Решить систему линейных уравнений матричным методом.
ОБРАЗЕЦ: А*Х=С, Х=А-1*С. - матричное уравнение.
45
x + 2y + z = 4
{ 3x − 5y + 3 z = 1
2x + 7y − z = 8
1
A = (3
2
2
1
−5 3 ) ,
7 −1
x
X = (y) , C = (4 1 8)
z
а) Метод Крамера.
1) Найдём определитель:
1 2
3
|𝐴| = |3 −5 3 |= 5+12+21 + 10-21+6=33;
2 7 −1
Так как ∆≠0, то данная система имеет решения.
4 2
1
33
∆𝑥 = |1 −5 3 |= 20+48+7+40+2-84=33 x= = 1
33
8 7 −1
1
∆𝑦 = |3
2
4 1
33
1 3 |= -1+24+24-2-24+12=33. у=33 = 1
8 −1
1 2 4
33
∆𝑧 = |3 −5 1|= -40+4+84+40-7-48=33 z= = 1
33
2 7 8
Ответ: ( 1; 1; 1).
б) Матричный метод.
|А| = 33;
Транспонируем матрицу A:
1
𝑇=| 2
𝐴 1
3
2
−5 7 |
3 −1
Найдём алгебраическое дополнение транспонированной матрицы.
.
2 7
−5 7
2−5
|
|− |
| |
|
1 −1
3 −1
1 3
−16 9
11
3 2
1 2
1 3
(aij)= − |
| |
|− |
| =( 9
−3
0 )
3 −1
1 3
1−1
31 −3 −11
3 2
1 2
1 3
|
|
−
|
|
|
|
( −5 7
2 7
2−5 )
46
Находим обратную матрицу.
16
9
11
33 33
33
9
3
0
=
−
33
33
0
31
3
11
−
−
( 33
33
33)
−
𝑎−1
Найдём X,
16
9
11
33
9
33
3
33
0
−
X=
33
31
−
33
3
0
11
−
−
33
33)
( 33
Проверка: 1+2+1= 4=4
4
∗ (1) =
8
−
64
33
36
33
124
(
33
+
−
−
9
33
3
33
3
33
+
88
33
0
+
−
0
88
=Ответ: (1; 1; 1;).
33)
Приложение 2
Решить задачи самостоятельно
С
А
№
варианта
1
С=2А-АВ
2
С=АВ-В
3
С=(А+В)2
4
С=АВ+2В
5
С=3А-АВ
6
С=ВА-2В
В
1
А= ( 0
−1
2 1
В=
5 −1)
0
5 −1
3 4
(2
3
0)
−1 −3 1
2 0 3
1 5
3
А=(4 3 1 )
В=(5 7
1)
0 3 −5
3 −3 −7
1 −2 −3
2 4 6
А=(3 −2 1 ) В=(10 2 4 )
2 1 −3
1 1 10
3 1 1
1 2 4
А=( 1 2 1)
В=(0 1 2)
−1 3 2
0 −1 2
1 0 2
0 6 1
А=(−1 4 3 ) В=(1 1 2)
2 3 −2
2 4 4
6 1 5
А=
В=(1 2 7)
1
2
5
(2
4 4 3
4 10 )
−1 −2 −5
47
7
С=-В+ВА
8
С=АВ-А
9
С=(3А-2В)2
10
С=(А+В)2
11
С=АВ+4А
12
С=5А-2ВА
1
А=(0
2
6
А=(2
3
А=
1
(0
−1
4
А=(0
0
1
А=(2
3
1
А=(2
3
0
1
0
5
2
3
2
−1
0
3
2
2
2
4
6
5
10
15
2
1)
2
7
4)
6
3
−2)
7
2
1)
3
3
6)
9
4
8)
12
1 3 0
В=(0 4 −1)
2 3 0
2 0 1
В=(0 1 0)
2 1 2
6
0 0
В=(−3 4 0)
0 −5 2
3
В=(1
1
1
В=(2
3
1
В=(2
3
5
2
3
3
2
1
1
3
5
7
3)
5
3
1)
2
2
1)
2
Приложение 3
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
1.Что называется матрицей, определителем?
2.Чем отличается матрица от определителя?
3.Назовите методы решения систем линейных уравнений с тремя
неизвестными?
4.Алгоритм нахождения обратной матрицы?
Что называется рангом матрицы?
48
ИНСТРУКЦИОННАЯ КАРТА
К ПРАКТИЧЕСКОМУ ЗАНЯТИЮ №7
Дисциплина: Математика
КУРС: 2
ТЕМА: Решение систем линейных уравнений методом Крамера и методом
Гаусса.
ЦЕЛИ ЗАНЯТИЯ:
А) учебная, развивающая: проверить и закрепить умение решать
определитель третьего и второго порядка.
Б) воспитательная: показать важность этой темы в математической
экономике.
ОТВОДИМОЕ ВРЕМЯ: 2 ЧАСА
ОБЕСПЕЧЕНИЕ РАБОЧЕГО МЕСТА: 1. Инструкционная карта;
2.Средства вычислительной техники.
ЛИТЕРАТУРА:
Баранова Е.С.: Практическое пособие по высшей математике. Типовые
расчеты. Учебное пособие. М. «Питер». 2008 г.;
Б.В. Соболь «Практикум по высшей математике. Высшее образование».
Издание – 4. Ростов – на – Дону «Феникс – 2007»;
Данко П.Е. «Высшая математика в уравнениях и задачах», Ч.1, Ч.2, Москва,
ОНИКС «Мир и образование – 2007»;
Музенитов Ш. А.: Математические основы экономики и методы
оптимизации, Ставрополь 2000 г.;
Богомолов Н.В.: Практическое занятие по математике. М.В. Ш., 1997 г.
ЗАДАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ
1.Ознакомиться с разделом «Теоретическое обоснование и методические
указания по решению задач» ( Приложение 1) и выучить опорный конспект.
2.Решить задачи самостоятельно по вариантам ( Приложение 2)
3.Решить один из кроссвордов ( Приложение 3)
4.Ответить на вопросы для самоконтроля.
Приложение 1
ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
Определители третьего порядка. Определителем третьего порядка
называется число, обозначенное символом и определяемое равенством.
49
Чтобы запомнить какие произведения в первой части равенства (1) будут со
знаком «+», а какие со знаком «-», полезно использовать следующее
правило треугольников.
Это правило легко позволяет записать формулу (1) и вычислить данный
определитель. Вычислить определители.
Свойства определителей n-го порядка.
1 .Определитель не изменится от замены строк на соответствующие по номеру столбцы.
2.0т перестановки двух строк (столбцов) определитель меняет знак на противоположный,
3.Определитель, имеющий два одинаковых столбца (строки) равен нулю.
4.Общий множитель всех элементов какой-нибудь строки (столбец) можно вынести за знак
определителя.
5.Определитель, в котором соответствующие элементы двух строк пропорциональны, равен (
нулю,
6.Если все элементы какой-нибудь отроки равны нулю, то определитель равен нулю,
7.Определитель не изменится, если к элементам некоторой строки прибавить соответствующие
элементы другой строки, умноженные на одно и то же число.
Вычислить определители:
2 0 5
3−2 1
1 2 0
2 1 0
2 –1 3
8. | – 2 1 3 | 9. | 0 1 3 | 10. |1 3 16 | 11. |−2 1 3 | 12.| 1 0 3 | 13.
0 – 1 10
5 0−1
0 5−1
2 0−2
0 2 5
𝑎 1 𝑎
|−1 𝑎 1 |
𝑎 –1 𝑎
Элементы линейной алгебры.
1. Определитель.
В основе решения задач линейного программирования лежат системы
линейных уравнений и линейных неравенств.
В курсе аналитической геометрии рассматривались системы линейных
уравнений с 2-мя, 3-мя неизвестными. Решались такие формулы с помощью
8
формул Крамера:
Х= 𝑥1 где 8 - определитель системы.
8
𝐴11 𝑋1 + 𝐴12 𝑋2 + 𝐴13 𝑋3= 𝐵1
или {𝐴11 𝑋1 + 𝐴12 𝑋2 + 𝐴23 𝑋3 = 𝐵1
𝐴11 𝑋1 + 𝐴12 𝑋2 + 𝐴33 𝑋3 = 𝐵1
∆ составлен из коэффициентов при неизвестных
8Х1 столбец при неизвестном Х 1 . в 8 заменяется столбцом свободных
членов;
8Х2 - столбец при неизвестном Х2. в 8 заменяется столбцом свободных
членов;
При вычислении ∆ используется правило:
𝐴 𝑋 + 𝐴12 𝑋2 = 𝐵1
{ 11 1
𝐴21 𝑋1 + 𝐴22 𝑋2 = 𝐵2
50
Определитель равен сумме произведений элементов любой строки на их
алгебраическом дополнении, т.е.
Чтобы вычислить определитель более высокого порядка, его необходимо
упростить, использую свойства определителей.
В общем случае расположение определителя по элементам первой строки
можно записать:
∆= a i1 A i1 + a i2 Ai2 +……+ a in A in
Где A ij . алгебраические дополнения элементов a ij в определители. Если в
определителе вычеркнуть 1-ю строчку и 1-й столбец, то останется
определить /П-1/-го порядка, который называется минором элемента a ij и
обозначается М ij и можно записать: А =(−1)i+j * М ij
ПРИМЕР: решить систему уравнений с помощью правила Крамера.
𝑋1 + 𝑋2 + 𝑋3 = 6
{ 2𝑋1 + 𝑋2 +𝑋3 = 3
𝑋1 + 𝑋2 + 𝑋3 = 5
1 1 1
−1 1
2 1
2 −1
∆=| 2 − 1 1 |=1 |
|− 1|
|+|
| = (−2 + 1) − (4 − 1) +
−1 2
1 2
1 −1
1 −2 2
(−2 + 1) = −5
Система имеет решение
6 1 1
Аналогично:∆ 𝑋1 | 3 − 1 1 | = −5
5 −1 2
Следовательно:
1 1 6
∆𝑋3 |2 − 1 3 | = −15
1 −1 5
1 6 1
∆𝑋2 | 2 3 2 | = −10
X1 = 1 X 2 = 2 X 3 = 3
1 5 2
Замечание: а) если ∆=0, но хотя бы один из определителей ∆ X1 не равно
0, то система не совместна (решений не имеет)
б) если = ∆ 0 и все ∆ Х1 состоящие в числителях также равны нулю, то
система имеет числительное множество решений.
Следовательно, правило Крамера используется, когда число неизвестных
равно число мнений, причем определитель системы отличен от нуля.
В задачах линейного программирования чаще встречаются системы, где
правило Крамера не применимо, поэтому представляется необходимым
создать такой математический аппарат, который бы позволял решать и
исследовать системы самого общего вида.
51
52
Приложение 2
Решить задачи самостоятельно
Задание 1
Вариант № 1
Вычислить определители.
1 1 1
0 1 1
5 6 3
1. |1 2 3 | 2. |1 0 1| 3. |0 1 0|
1 3 6
1 1
7 4 5
2 0 3
1 5 25
4. | 7 1 6 | 5. | 1 7 49 |
6 0 5
1 8 64
Вариант № 2
Вычислить определители.
𝑎 –𝑎 𝑎
3 −2−4
2 −3 1
5 2 1
0 𝑎 𝑏
1.| 4 − 1 − 2 | 2. | 7 5 3 | 3. | 𝑎 0 𝑎 | 4. |𝑎 − 𝑎 − 𝑎| 5. |6 − 6 2|
5−1 −3
2 −1 2
7 4 2
𝑏 𝑎 0
𝑎 − 𝑎 –𝑎
Вариант № 3
Вычислить определители.
1 8 4
1 3 8
−3 6 4
5 7 3
7 5−8
1.| 3 7 0 | 2. |0 6 4| 3. | 0 1 0 | 4. | 7 9 5 | 5. | 1 7 3 |
4 1 8
8 6 8
0 3 −9
3 5 −8
6 0 5
Вариант № 4
Вычислить определители.
1 0 1
6 4
5 0 1
1.| 1 6 0 | 2. | 0 0 0 | 3. |2 0
1 3
1 1 1
0 4 7
9
1 8 0
7 3 0
2| 4. | 7 6 3 | 5. | 5 0 2 |
7
9 6 3
1 4 2
Вариант № 5
Найти определитель.
1 −23
−1 1 0
3 4−2
1 2 −1
0 5 1
1| 0 − 5 6 | 2. | 2 0 2 | 3. |2 − 3 4| 4. |−1 2 3| 5. | 2 1 3 |
−3 2 − 1
0 3 4
1 0 6
4 2 0
1 0−2
53
Вариант № 6
Вычислить определители.
3 7 4
2 5 2
4 12 5
6 5 1
5 3 1
1.|1 3 1| 2. | 6 3 0 | 3. |4 − 2 − 3| 4. | 8 6 3 | 5. | 1 − 3 8 |
1−8 9
1 3 0
1 1 1
7 4 2
9 8 7
Вариант № 7
Вычислить определители.
0.1 0.2 0.6
0.3 0.0 0.4
2 5 2
4−5 7
4 12 5
1.| 0.3 0.7 1.0 | 2. | 1 3 1 | 3. | 1 − 4 9 | 4. | 0.5 0.1 0.7 | 5. | 8 6 3 |
0.6 1.3 0.9
0.8 0.3 0.6
1 3 0
−4 0 5
7 4 2
Вариант № 8
Вычислить определители.
2 1−2
3 2 6
5 1 6
1 6 5
0.5 1.0 0.0
1.| 1 6 5 | 2. | 3 0 9 | 3. |1 − 1 3| 4. |0.4 0.3 0.4| 5. |4 9 1|
3 1 1
5 4 5
3 0 9
5 1 6
0.2 0.1 0.7
Вариант № 9
Вычислить определители.
2 7 3
3 2 6
3 4 6
2 4 −5
2 4 −5
1.| 2 4 3 | 2. | 4 3 3 | 3. | 3 9 4 | 4. |3 4 1 | 5. | 7 8 1 |
1 5 5
8 4 5
−3 4 7
−3 4 7
5 18 4
Вариант № 10
Вычислить определители.
3 4 6
4 1 1
1−13
8 5 6
8 5 6
5 7 1
1.| 7 8 1 | 2. |3 4 − 1| 3. | 7 2 3 | 4. | 3 4 1 | 5. |4 4 − 3| 6. |2 1 − 2|
−3 4 7
8 1 5
3 3 1
6 4 1
6 4−1
1 3 1
Вариант № 11
Вычислить определители.
0.3 0.6 0.0
37 4
4−1 2
0.0 1.2 1.4
2 4 1
6 5 0
1. |0.5 0.1 0.4| 2. | 6 3 0 | 3. | 3 − 2 5 | 4. |0.3 0.6 0.8| 5. |1 − 3 8| 6. | 2 0 2 |
0.0 0.6 0.7
1 0 9
5 3 −2
0.2 0.1 0.4
4−15
9 0 7
Вариант № 12
54
Вычислить определители.
3 1 3
1 1−2
1 1−2
1 1 1
1 2−2
5 7 1
1. |4 3 − 3| 2. |−6 8 9| 3. |4 − 1 3| 4. |2 4 − 1| 5. | 1 1 2 | 6. | −4 0 3 |
7 5 0
3 4 1
2 1 3
0 1 1
4 1 1
1 3 1
Вариант № 13
Вычислить определители.
0.2 0.3 0.2
2 1−1
3 1 3
1 2−3
8 5 6
1. |0.4 0.5 0.0| 2. | 0 − 2 3 | 3. |−3 0 1| 4. |−6 8 9| 5. |2 − 1 4|
0.1 0.9 0.8
6 1 2
7 5 0
3 1−1
6 4 1
Вариант № 14
Вычислить определители.
1 0 1
6 4 9
1 8 0
7 3 0
5 0 1
1. |1 6 0| 2. |0 0 0| 3. |2 0 2| 4. |7 6 3| 5. |5 0 2|
1 3 7
9 6 3
1 1 1
1 4 2
0 4 7
Вариант № 15
Вычислить определители.
2 1 1
1 4 0
7 1 0
8 5 1
1 8 5
1. | 0 6 7 | 2. | 1 9 0 | 3. |5 7 0| 4. | 4 0 5 | 5. |4 3 9|
5 1 0
1 8 6
1 8 5
3 2 1
2 7 0
Вариант № 16
Вычислить определители.
4 3 6
−4 2 7
1 0
1. | 7 2 1 | 2. | 6 2 5 | 3. |5 3
2 4 8
9 0 1
5 7
0
2 3
2| 4. |1 6
0
2 0
1
0 42
8| 5. |6 5 0|
3
0 9 1
Вариант № 17
Вычислить определители.
0 8 4
1 3 8
−3 6 4
5 7 3
7 5−8
1. |3 7 0| 2. |0 6 4| 3. | 0 1 0 | 4. | 7 9 5 | 5. | 1 7 3 |
4 1 8
8 6 8
0 3−9
3 5−8
6 0 5
Вариант № 18
Вычислить определители.
55
7 9 0
−1 3 4
4 6 8
−5 7 1
5 9 0
1. | 3 5 0 | 2. | 0 8 0 | 3. |1 1 6| 4. | 6 9 5 | 5. |2 6 0|
3−7 5
7 0 2
1 9 7
6 9 0
0 9 7
Вариант № 19
Вычислить определители.
1 2 3
1−30
1−3−2
5 6 3
3 4−5
1. | 4 5 6 | 2. |5 7 3| 3. | 5 3 2 | 4. | 2 5 3 | 5. | 5 3 3 |
7 8 9
1 4 3
3 4 2
7 4 5
2−1
Вариант № 20
Вычислить определители.
4 −1 2
3−3 2
1 2 1
2−53
5 6 3
1. | 1 3 5 | 2. | −1 0 1 | 3. |4 3 − 5| 4. | 4 5 1 | 5. |3 − 5 3|
−4 − 2 3
5 6 3
2 7 1
1 2 −1
5 4−2
Задание 2
Решите систему линейных уравнений с двумя неизвестными.
а) методом сложения
б) методом подстановки
в) графическим методом
г) методом определителя
4𝑥 + 9𝑦 = 21
1. {
12𝑥 + 15𝑦 = 51
10𝑥 + 27𝑦 = 10
2. {
12𝑥 + 15𝑦 = −25
7𝑥 + 6𝑦 = 2
3. {
6𝑥 − 5𝑦 = 93
𝑥 + 7𝑦 = 3
4. {
3𝑥 − 2𝑦 = 32
4𝑥 − 3𝑦 = 32
5. {
= 3𝑥 + 11𝑦 = 4
4𝑥 + 3𝑦 = 43
6. {
5𝑥 − 7𝑦 = 43
𝑥 − 4𝑦 = 1
7. {
2𝑥 − 8𝑦 = 2
3𝑥 − 6𝑦 = 9
8. {
𝑥 − 2𝑦 = 3
3𝑥 − 𝑦 = −4
9. {𝑥 − 3 = −4
−4𝑥 − 𝑦 = −1
10. {−𝑥 − 2 = −2
3𝑥 − 2𝑦 = 1
11. {
6𝑥 − 4𝑦 = 2
4𝑥 − 3𝑦 = 23
13. {
3𝑥 + 11𝑦 = 4
𝑥 − 2𝑦 = 2
14. {
4𝑥 − 8𝑦 = 8
𝑦
𝑦
2𝑥 + 5𝑦 = 4
12. {
9𝑥 − 2𝑦 = −31
15. {
3𝑥 − 6 𝑦 = 9
𝑥 − 2𝑦 = 3
56
3𝑥 + 4𝑦 = 18
16. {
2𝑥 + 5𝑦 = 19
2𝑥 − 3𝑦 = 4
10𝑥 + 27𝑦 = 10
17. {
18. {−8 + 12 = 8
−25𝑥 + 17𝑦 = −25
𝑥
𝑦
2𝑥 + 2𝑦 = 7
19. {
𝑥+𝑦 =3
3𝑥 + 4𝑦 = −1
20. {
2𝑥 − 5𝑦 = 30
3𝑥 + 8𝑦 = 31
3𝑥 − 𝑦 = −4
23. {𝑥 − 3 = −4
−10𝑥 − 7𝑦 = −5
𝑦
Задание 3. Решить систему уравнений:
22. {
𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3 = 3
1. {2𝑥 − 𝑥2 + 𝑥3 = 0
𝑥1 − 2𝑥2 = 1
𝑥+𝑦 =0
21. {−2 − 2 = 0
𝑥
𝑦
24. {
2𝑥 − 3 𝑦 = 7
−4𝑥 + 6𝑦 = −14
2𝑥1 − 𝑥2 + 𝑥3 = 3
2. {𝑥1 + 3𝑥2 − 3𝑥3 = 1
𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 = 3
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 2
3 { 2𝑥1 − 3𝑥2 − 2𝑥3 = 2 .
3𝑥1 − 2𝑥2 + 4𝑥3 = −5
𝑥𝑖 − 4𝑥2 − 2𝑥3 = 3
4. { 3𝑥 + 𝑥2 + 𝑥3 = 5
3𝑥1 − 5𝑥2 − 6𝑥3 = −9
𝑥𝑖 + 𝑥2 + 2𝑥3 = 1
5. {2𝑥1 − 𝑥2 + 2𝑥3 = −4
4𝑥1 + 𝑥 + 4𝑥3 = −2
𝑥1 − 2𝑥2 + 𝑥3 = 1
6. { 𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 = 4
3𝑥1 − 3𝑥2 − 4𝑥3 = 8
2𝑥1 − 𝑥2 − 𝑥3 = −4
7. {3𝑥1 + 4𝑥2 − 2𝑥3 = 11
3𝑥1 − 2𝑥2 + 4𝑥3 = 11
𝑥1 + 2𝑥2 + 2𝑥3 = 1
8. {−𝑥1 + 3𝑥2 − 𝑥3 = 1
2𝑥 − 𝑥2 + 3𝑥3 = 0
𝑥1 − 𝑥2 − 𝑥3 = −2
9. { 𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 = 3
2𝑥1 + 𝑥2 − 3𝑥. = 7
𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3 = 1
10. {8𝑥1 + 3𝑥2 − 6𝑥3 = 2
4 𝑥1 + 𝑥2 − 3𝑥3 = 3
𝑥1 + 2𝑥2 + 4𝑥3 = 31
11. {5𝑥1 + 𝑥2 + 2𝑥3 = 20
5𝑥1 − 𝑥2 + 𝑥3 = 9
𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3 = 6
12. { 2𝑥1 + 3𝑥2 + 𝑥3 = 9
𝑥1 + 2𝑥2 + 4𝑥3 = −1
𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3 = 1
13. {2𝑥𝑖 + 𝑥2 + 2𝑥3 = 1
𝑥𝑖 + 𝑥2 + 3𝑥3 = 2
3𝑥1 − 𝑥2 = 5
14. { −2𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 0
2𝑥1 − 𝑥2 − 4𝑥3 = 15
𝑥1 + 2𝑥2 − 3𝑥3 = 10
16. {2𝑥1 + 𝑥2 − 2𝑥3 = 20
2𝑥1 − 𝑥2 = 40
4𝑥1 − 3𝑥2 + +2𝑥3 = 9
2𝑥1 − 4𝑥2 + 2𝑥3 = 12
17. { 3𝑥1 + 𝑥2 − 2𝑥3 = 1 18. { 2𝑥1 + 5𝑥2 − 3𝑥3 = 4
−𝑥1 + 𝑥2 − 2𝑥3 = 9
5𝑥1 + 6𝑥2 − 2𝑥3 = 18
3𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 = 5
15. { 2𝑥1 + 3𝑥2 + 𝑥3 = 1
2𝑥1 + 𝑥2 + 3𝑥3 = 11
Задание 4 Решить систему линейных уравнений: методом Крамера или
Гаусса.
3𝑥 − 2𝑦 + 2𝑧 = 11
1. { 𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 2
2𝑥 + 3𝑦 − 0 = 3
𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 2
2. {2𝑥 − 3𝑦 + 2𝑧 = 2
3𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 8
2𝑥 − 𝑦 + 4𝑧 = 15
3. { 3𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 8
−2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0
57
𝑥+𝑦+𝑧 =1
4. { 𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = −5
4𝑥 + 𝑦 + 4𝑧 = −2
2𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = −5
7. { 𝑥 + 4𝑦 − 5𝑧 = 3
4𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 = 3
𝑥+𝑦+𝑧 =2
10. { 2𝑥 − 𝑦 − 2𝑧 = 2
3𝑥 − 2𝑦 + 4𝑧 = −5
𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = −1
13. {2𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = −4
4𝑥 + 𝑦 + 4𝑧 = −2
𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = −1
16. { 𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 4
3𝑥 − 3𝑦 − 4𝑧 = 8
𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = −2
19. { 3𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 = 10
4𝑥 − 2𝑦 − 5𝑧 = 11
3𝑥 + 8𝑦 − 𝑧 = 36
5. { 2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 5
4𝑥 − 5𝑦 + 𝑧 = −3
2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 3
8. {𝑥 + 3𝑦 − 3𝑧 = 1
𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 8
𝑥 + 2𝑦 + 4𝑧 = 31
11. {5𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 20
3𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 9
𝑥+𝑦−𝑧 =6
14. { 2𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 9
𝑥 + 2𝑦 + 4𝑧 = −1
2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 4
17. { 3𝑥 + 4𝑦 − 2𝑧 = 11
3𝑥 − 2𝑦 + 4𝑧 = 11
𝑥 − 3𝑦 + 5𝑧 = 14
20. { 2𝑥 − 5𝑦 + 𝑧 = 9
−3𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 0
2𝑥 − 𝑦 + 4𝑧 = 15
6. {4𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = −1
𝑥 + 𝑦 − 4𝑧 = −9
𝑥+𝑦−𝑧 =3
9. { 2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 0
𝑥 − 2𝑦 − 2𝑧 = 1
𝑥 − 4𝑦 − 2𝑧 = −3
12. { 3𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 5
3𝑥 − 5𝑦 − 6𝑧 = −9
𝑥+𝑦+𝑧 =1
15. {2𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 1
𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 = 2
𝑥 − 2𝑦 + 2𝑧 = 1
18. { 𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 4
5𝑥 − 2𝑦 − 3𝑧 = 18
𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 8
21. {3𝑥 + 5𝑦 + 2𝑧 = 7
𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = −8
Приложение 3
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
Что называется определителем?
Как найти определитель второго порядка
Как найти определитель третьего порядка
Свойства определителя.
Перечислите методы решения систем линейных уравнений с двумя
неизвестными.
6. Запишите формулы Крамера.
7. Какова геометрическая интерпретация систем линейных уравнений с
двумя неизвестными.
1.
2.
3.
4.
5.
58
ИНСТРУКЦИОННАЯ КАРТА
К ПРАКТИЧЕСКОМУ ЗАНЯТИЮ №8
Дисциплина: Математика
КУРС: 2
ТЕМА: Построение математических моделей простейших экономических
задач.
ЦЕЛИ ЗАНЯТИЯ:
А) Учебная, развивающая: проверить умения решать задачи
геометрическим способом, применение графического способа
решения неравенств.
Б) Воспитательная: воспитать аккуратность, внимательность при
построении графиков.
ОТВОДИМОЕ ВРЕМЯ: 2 ЧАСА
ОБЕСПЕЧЕНИЕ РАБОЧЕГО МЕСТА: 1. Инструкционная карта;
2.Средства вычислительной техники.
ЛИТЕРАТУРА:
Баранова Е.С.: Практическое пособие по высшей математике. Типовые
расчеты. Учебное пособие. М. «Питер». 2008 г.;
Б.В. Соболь «Практикум по высшей математике. Высшее образование».
Издание – 4. Ростов – на – Дону «Феникс – 2007»;
Данко П.Е. «Высшая математика в уравнениях и задачах», Ч.1, Ч.2, Москва,
ОНИКС «Мир и образование – 2007»;
Музенитов Ш. А.: Математические основы экономики и методы
оптимизации, Ставрополь 2000 г.;
Богомолов Н.В.: Практическое занятие по математике. М.В. Ш., 1997 г.
ЗАДАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ
1.Ознакомиться с разделом «Теоретическое обоснование и методические
указания по решению задач» ( Приложение 1)
2.Решить задачи самостоятельно по вариантам ( Приложение 2)
3.Ответить на вопросы для самоконтроля ( Приложение 3)
Приложение 1
ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
Геометрический способ решения задач.
Требуется составить план выпуска двух видов изделий на четырёх
участках цеха, чтобы получить максимальную прибыль от сдачи этих
59
изделий. При этом накладываются следующие ограничения: время
работы на 1-м участке не превышает 16 ч., на 2-м участке 30 ч., на 3-м
участке 16 часов, на 4-м - 12 часов.
В таблице указано время (в часах), необходимое на изготовление каждого
из этих двух видов изделий на каждом из участков. Нуль означает, что
изделие на данном участке не изготовляется:
Изделие
Участки
1
1
2
Возм Время работы на
ожно участке.
е
врем
я
рабо
ты
2
3
4
4
3
0
2
2
6
4
0
16
30
16
12
Цеху начисляется прибыль: 3 руб. при реализация изделия 1 вида и руб. 2 руб.
при реализации одного изделия 2 вида.
Обозначаем через х1 число изделий 1 вида, а рез х2 число изделий 2
вида. На 1-м участке затрачивается 4х1 часов на изготовление
изделий 1 вида и на 2х2 часов на изготовление изделий 2 вида
т. е. всего 4х 1 +2х 2 часов. Так время работы на 1-м участке не
превышает 16 ч,
то 4х1+2х2<=16.
На 2-м участке затрачивается Зх 1 ч. на изделие 1 вида и 6х 2 часов на
изделия 2 вида , всего не более 30 ч, т. е. Зх 1 +6х 2 <=30.
На третьем участке затрачивается 0 часов на изделия 1 вида и 4х2
часов на изделие 2 вида т. е. 4х2<=16.
На 4-м участке затрачивается 2х 1 часов на изделия 1 вида и 0 ч. на
изделие 2 т. е. 2х1<=12.
60
От реализации изделий 1 вида цеху начисляется 3х 1 рублей прибыли
и от реализации х2 изделий 2 вида 4х 2 рублей прибыли.
Общая прибыль цеха составляет 3х1+4х1 (руб), где х1>=0 и х 2 >=0.
Математическая модель задачи описывается системой линейных
неравенств.
4х1+2х2<=16
Зх 1 +6х2 <=30
4х2<=16
2х1<=12
Х 1 >=0
х 2 >=0
На множестве решений этой системы неравенств требуется найти
наибольшее значение линейной формы Z=3х1+4x2.
Построив прямые 4х1+2х2=16, 3х 1 +6х 2 <=30, 4х2<=1 6, 2x 1 =12, получим
замкнутый многоугольник OABCD, вычислим координаты его вершин:
2х 1 =12
х2=0
2х 1 =12
А(6;0)
3х1+6х2=30 В(6;2)
3х1+6x2=30
4х2=16;
С(2;4)
4х2=16
х1=0
D(0;4)
Построив координаты вершин в выражении линейной формы, получим:
ZA =3*6+4*0=18
Zc =3*2+4*4=22
ZB =3*6+4*2=26
ZD=3*0+4*4=16
61
В точке В(6;2) линейная форма достигает максимума : Z m a x =26.
Таким образом, наибольшая прибыль от сдачи видов изделий составляет 26
руб. Она будет получена, если цех изготовит 6 изделий 1 вида 2 изделия 2
вида.
Задача линейного программирования с ограничениями сверху на максимум
целевой функции заключается в следующем.
Необходимо найти значение переменных X1 хn удовлетворяющие системе
неравенства ∑ 𝑎𝑖𝑗 Xj Bj (i = 1 ….m) и условие неотрицательности Xj 0(j = 1,
n) при которых целевая функция принимает максимальное значение
СИМПЛЕКСНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ.
Пусть задано:
8 9
144
А = (2 1)
B = ( 26 )
2 5
70
Тогда имеем следующую модель:
30
C=( )
30
8x1 + 9x2 = 144
{ 2x1 + x2 = 26
2x1 + 5x2 = 70
x1 0
x2 0
F=30x1 +20x2 max
Поскольку для использования симплекс — метода необходимо иметь
систему равенства, то введем фиктивные неизвестные S1 S2 S3 равные
разности правых и левых частей неравенств.. Отсюда
8𝑥1 + 9𝑥2 + 𝑆1 = 144
{ 2𝑥1 + 𝑥2 + 𝑆2 = 26
2𝑥1 + 5𝑥2 + 𝑆3 = 70
Фиктивные неизвестные в данном случае соответствуют неотрицательному
базисному
𝑆1= 144 − (8𝑋1 + 9𝑋2)
𝑆2 = 26 − (2𝑋1 + 𝑋2)
𝑆3 = 70 − (2𝑋1 + 5𝑋2 )
{𝐹 = 0 − (−30𝑋1 − 20𝑋2 )
решению, и можно выразить их и целевую функцию через остальные
неизвестные, взятые с обратным знаком:
Заполним Жорданову таблицу.
I
-x
-х2
S,
144
8
9
S2
26
2
1
S3
70
2
5
62
F0
- 30
- 20
Свободные неизвестные входят в верхнюю часть таблицы со знаком минус,
следовательно:
если коэффициент свободный неизвестной в целевой функции отрицателен,
то значение функции не максимально, т.е. план не оптимален, и такую
неизвестную следует ввести в базис.
расчет следует производить по правилам модифицированных Жордановых
исключений, в которых пункта б) и в) меняются местами по сравнению с
обыкновенными .
а)
размещение элементов заменяется на обратную величину
б)
элементы размещений строки делятся на размещающий элемент;
в)
элементы размещающего столбца делятся на разрешающий элемент.
г)
значение каждого из остальных элементов уменьшилось на величину,
равную произведению элементов.
В нашем случае в строке F оба коэффициента отрицательны. Следовательно,
решение не оптимально, и целесообразно ввести в базис переменную X] ,
т.к. коэффициент в целевой функции минимален (- 30, -20). Значит , столбец
- xi будет разрешающим ,
Для отыскивания разрешающей строки, чтобы не нарушилось условие
неотрицательности, необходимо рассмотреть положительные коэффициенты
разрешающего столбца и разделить на них соответствующие показатели
столбца 1; наименьшее частное укажет разрешающую строку и переменную
исключаемую из базиса. 144\8 =18 26\2= 13 70\2=35
min ( 18,13,35)= 13 . Таким образом, S 2 исключается из базиса и задает
разрешающую строку: найдем разрешающий элемент ( S 2, х,).
Приведем числовые расчеты модифицированного симплекс- метода по
строкам таблицы с указанием используемого правила.
26∗8
8
1. 144 −
= 40
2
26
4.
= 13
2
7. 5 −
2. − = −4
2
1
5. = 0.5
2
1∗2
=4
2
= 85
Заполняем вторую таблицу
S1
X1
S3
1
40
13
44
3. 9 −
1∗8
=5
26 ∗ 2
6. 70 −
= 44
2
2
26(−30)
−30
= 390
9. −
2
20
1(−30)
10. −20 −
= −5
2
8. 0 −
-S1
-4
0,5
-1
-х2
5
0,5
4
63
F
390
15
-5
План все еще не оптимален, т.к. коэффициент при х2 в строке F отрицателен (5). Столбец – Х2 будет разрешающим.
min ( 40\5 ; 13\0;,44\4 ) = 8 Откуда строка S1. разрешающая. Преобразования
приводят к следующем таблице.
Х2
X1
S3
F
I
8
9
12
-s2
-0,8
0,9
2.2
11
430
- s2
0,2
-0,1
-0,8
1
Отсутствие отрицательных коэффициентов в строке свидетельствует, что
план оптимален. Оптимальное решение.
Х1 = 9 ;
х2 = 8
S1=S2 ; -S3= 12
F max =430
ДЛЯ проверки подставим найденные значения в равенства и целевую
функцию:
8 * 9 + 9* 8 + 0= 144
144= 144
2*9 + 8 +0 = 26 26=26
2*9 + 5 * 8 + 12 = 70
70=70
= 30*9 + 20 *8
430 = 430
Проверка
показывает, что найденные решения соответствуют условия задач.
ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА.
Пункты
В1
в2
….
Вn
Запасы
Назначения
Отправления
А1
а2
….
Аm
Потребности
С11
Х11
С21
Х21|
….
Cm1
Am1
В1
С12
Х12
С22
Х22
….
Сm2
Хm2
В2
…..
….
….
……
….
С1n
X1n
С2n
Х2n
….
Сmn
Хmn
Вmn
A1
а2
…..
am
∑ 𝑎𝑖
= ∑ 𝑏𝑖
64
А-пункт отправления ( i = 1,2, 3,.... m )
В - пункты назначения (j = 1.2,
n)
X - количество однородной продукции, перевозимой из А пункт отправления
в В пункт
назначения.
С - стоимость перевозки одной единицы продукции из А отправления в В
пункт назначения.
а - количество продукции, имеющейся на А пункте отправления ( запасы)
в - количество продукции, необходимой В пункту потребления ( потребность)
Под С можно понимать также расстояния от пунктов отправления к пунктам
назначения, считая, что стоимость перевозок пропорциональная расстоянию
перевозимого груза.
Из таблицы запишем следующие условия - ограничения:
∑ 𝑥𝑖𝑗 = 𝑎𝑖 - из пунктов А вывезена вся продукция
∑ 𝑥𝑖𝑗 = 𝑏𝑖 - пункты назначения получили полностью необходимую продукцию
𝑥𝑖𝑗 0 - перевозимый груз положителен.
Целью задачи является получить наименьшие расходы на перевозку
продукции, т.е. минимизировать целевую функцию:
𝑆 = ∑ Cij Xij
Составление первого опорного плана обычно производится либо методом
северо- западного угла, либо методом наименьшей стоимости.
Решение транспортной задачи рассмотрим на примере.
Таблица 1
В1
в2
вз
В4
в5
Запасы
а1
6
13
14
18
14
160
а2
25
14
7
5
16
400
аз
11
4
10
18
9
240
Потреб. 170
190
140
180
120
800
1. Построение первого опорного плана
а) Метод наименьшей стоимости.
При этом методе на каждом шаге построения плана заполняется та клетка,
которая имеет наименьший тариф.
Таблица 2
B1
В2
в3
В4
В5
Запасы
а1
6 160
13
14 ~
18
14
160
65
а2
10
14
5 180
190
7
140
10
Аз
11
Потреб.
170
400
18
16
70
9 50
190
140
180
120
800
240
Получаем первый опорный план, Общий объем перевозок по этому плану
состоит:
S = 1 6 0 x 6 + 1 0 x 2 5 + 140x 7+ 180x5+ 70x16+ 190x4+50x9 = 5420 тонн-км
б) Метод северо- западного угла.
Составление первого опорного плана по этому методу начинается с
заполнением таблица 3, начиная с клетки К11 В эту клетку записывается
максимальное количество груза из запаса a1 чтобы удовлетворить
потребителя В 1 т.е. 160 ед..
Остальные 10 ед. запишем в клетку Х2] из запаса a2 Из оставшихся запасов
удовлетворяем потребителей В2 В3 и т.д.
Таблица 3
в2
13
a3
в1
6
160
25
10
11
14
190
4
140
10
Потреб.
170
190
140
a1
a2
b3
14
b4
18
5
60
18
120
180
b5
14
16
9
120
120
Запасы
160
400
240
800
y1
y2
y3
y4
y5
Общий объем перевозок по этому плану составит:
S = 160 х 6 + 10 х 25 + 190х 7 + 60 х 5 +120 х 18 + 120 х9 = 8390 тонн
Выясним, будет ли первый опорный план, составленный по методу
наименьшей стоимости, оптимальным.
Для этого выведем некоторые новые понятия.
2. Вычисление потенциалов поставщиков и потребителей.
Припишем каждой базе А , некоторое число и каждому потребителю В число . Эти числа называются потенциалами.
Потенциалы выбираем так, чтобы сумма их равнялась тарифу соответствующей загруженности клеток, т.е. чтобы выполнялось равенство
Ui + Yj = Cij
Для нашей задачи :
Ui + Yj = 6
U2 + Y2 = 14
U2+Y1 =25
U2 +Y2= 5
66
U3+-Y4= 18
U3 + У 5 = 9
Т.к. число неизвестных больше числа уравнений, то одному из неизвестных
можно дать произвольное значение. Например, положим U1 = О и найдем все
остальные значения Ui + Y j :
U1=0
U3 = 12
У2 = -8
Y4 =-14
U2 = 19
Y1 = 6
Y3 = -12
Y5 = -3
Теперь вычислим характеристики свободных клеток по формуле:
К ij = Сij - (Ui + Yj ), которые не должны быть отрицательными.
Наличие клеток с отрицательными характеристиками свидетельствует о том,
что план не оптимален.
Приложение 2
Решить задачи самостоятельно
ВАРИАНТ 1
Предприятие выпускает продукцию двух типов: ПL П2. Виды сырья, его
запасы, норма расхода сырья условную единицу продукции каждого типа
даны в таблице:
Виды сырья
Запас сырья
Норма расхода сырья на условную
единицу.
1
2
3
П1
П2
25
1
5
9
1
1
21
3
1
Доход производства от реализации продукции типа П1 равен 1 денежной
единицы, а типа П2 - 2 денежной единицы. Как следует спланировать выпуск
продукции, чтобы доход предприятия был небольшим.
ВАРИАНТ 2
На одном из предприятий производятся изделия двух типов, цех сборки
готовых изделий этого предприятия может выпустить за сутки 100 изделий
первого типа или 300 изделий второго типа. Отдел технического контроля
предприятия может проверить не более 150 изделий (любого типа) в сутки.
Известно, что одно изделие первого типа стоит в 2 раза дороже второго типа.
При этих условиях требуется составить такой план выпуска изделий каждого
из этих типов, чтобы предприятие получило наибольшую прибыль.
ВАРИАНТ 3
Заводу требуется составить план выпуска двух видов изделий при
определённых возможностях четырёх цехов. План надо составить так, чтобы
от продажи изготовленной продукции завод получил наибольшую прибыль.
67
Оба вида изделий последовательно обрабатывается в этих четырёх цехах. В
плане должно быть предусмотрено, что 1-й цех может обрабатывать эту
продукцию в течении 15 ч., 2-й цех-8 ч., 3-й 16 ч. 4-й - 12 ч.(Таблица 1)
Изделие
Цехи
1
2
3
4
1
2
1
4
0
2
3
2
0
4
8
16
12
Возможное время работы цеха, 15
ч.
Завод от продажи 1 вида получил 2 руб. прибыли, 2 -3 руб.
ВАРИАНТ 4
Предприятие выпускает продукцию двух типов: ПL и П2. Изготовляется одна
из четырёх типов сырья. Виды сырья, его запаса и норма расхода сырья на
условную единицу продукции каждого типа даны в таблице.
Виды сырья
Запас сырья
Норма расхода сырья на условную
единицу.
П1
п2
1
19
2
3
2
13
2
1
15
0
3
18
3
0
3
4
Доход предприятия от реализации условной единицы продукции типа П1
равен денежной единицы, а типа П2 - 5 денежным ед. Как следует
спланировать выпуск продукции, чтобы доход предприятия был небольшим?
ВАРИАНТ 5
Предприятие выпускает продукцию двух типов: П1 и П2. Виды сырья, его
запасы, расход сырья на условную единицу продукции каждого типа даны в
таблице.
Виды сырья
Запас сырья
Норма расхода сырья на условную
единицу.
П1
п2
1
9
1
3
2
8
2
1
Доход производства от реализации условной единицы продукции типа П1
равен денежной ед., а типа П2 - 2 денежным ед.
68
Как следует спланировать выпуск продукции, чтобы доход предприятия был
небольшим?
ВАРИАНТ 6
Для кондитерского цеха требуется рассчитать оптимальный план выпуска
карамели. Весь ассортимент карамели разделён на две однородные группы,
условно обозначенные К1 и К2. Для производства карамели требуется
сахарный песок, патока, фруктовое пюре. Запасы этих видов сырья равны
соответственно 8,20 и 5 т. Другие виды сырья, входящие в готовый продукт в
небольших кол-вах, не учитываются. В качестве критерия оптимальности
плана принять максимум прибыли. Уровень прибыли на единицу каждого
вида выпускаемой карамели ( в денежных ед. за 1 тонну): для К1-1, К2-2.
Нормы расхода сырья на единицу каждого вида карамели представлены в
таблице:
Сырьё
Расход сырья на 1 т. карамели
К1
К2
Сахарный песок
1
1
Патока
1
4
Фруктовое пюре
1
0
Требуется: 1) Построить математическую модель задачи;
2) Найти план, максимизирующий прибыль (задачу решить графическим и
симплексным методами.)
ВАРИАНТ 7
При производстве продукции П1 и П2 используется три вида сырья С1, С2, СЗ.
На выпуск продукции П1 расходуется 1 , 1 - 1 ед. сырья С1, С2, СЗ,
соответственно, а единицы продукции П2 - 6,2,0 ед. сырья С1, С2, СЗ
соответственно. Запасы сырья вида С1-24, С2-8, СЗ-12 ед. Предприятие
реализует единицу продукции П1 по цене 1 денеж. ед., П2 - 1 денеж. ед.
Требуется:
1.Записать условия задачи в виде таблицы;
2.Построить математическую модель задачи;
3.Найти план выпуска продукции, при котором выручка предприятия будет
максимальной (решить задачу графически и симплексным методом).
ВАРИАНТ 8
Для изготовления различных изделий А и В предприятие использует 3 вида
сырья. Нормы расхода сырья на производство одного изделия каждого вида,
цена одного вида изделия А и В, а также общее кол-во сырья каждого вида
приведены в таблице
69
Вид сырья
Нормы затрат на одно изделие /кг/
Общее кол-во
А
В
сырья
1
120
1
12
2
6
18
180
3
4
5
100
20
16
Цена одного
изделия /ден. ед./
Требуется составить математическую модель задачи (на максимальную
стоимость всей произведённой предприятием продукции) и найти
оптимальный план.
Задачу решить графически и симплексным методом.
Приложение 3
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
1.На чём основан геометрический метод решения задачи
линейного программирования?
2.Какие задачи линейного программирования можно
решать геометрическим методом?
3.Назовите алгоритм симплекс – метода.
4.Назовите алгоритм решения транспортной задачи.
70
ИНСТРУКЦИОННАЯ КАРТА
К ПРАКТИЧЕСКОМУ ЗАНЯТИЮ №9
Дисциплина: Математика
КУРС: 2
ТЕМА: Основные понятия комбинаторики: перестановки, сочетания,
размещения.
ЦЕЛИ ЗАНЯТИЯ:
А) учебная, развивающая: проверить и закрепить умение решать задачи
перестановки, сочетания, размещения.
Б) воспитательная: показать важность этой темы в математической
экономике.
ОТВОДИМОЕ ВРЕМЯ: 2 ЧАСА
ОБЕСПЕЧЕНИЕ РАБОЧЕГО МЕСТА: 1. Инструкционная карта;
2.Средства вычислительной техники.
ЛИТЕРАТУРА:
Баранова Е.С.: Практическое пособие по высшей математике. Типовые
расчеты. Учебное пособие. М. «Питер». 2008 г.;
Б.В. Соболь «Практикум по высшей математике. Высшее образование».
Издание – 4. Ростов – на – Дону «Феникс – 2007»;
Данко П.Е. «Высшая математика в уравнениях и задачах», Ч.1, Ч.2, Москва,
ОНИКС «Мир и образование – 2007»;
Музенитов Ш. А.: Математические основы экономики и методы
оптимизации, Ставрополь 2000 г.;
Богомолов Н.В.: Практическое занятие по математике. М.В. Ш., 1997 г.
ЗАДАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ
1.Ознакомиться с разделом «Теоретическое обоснование и методические
указания по решению задач» ( Приложение 1)
2.Решить задачи самостоятельно по вариантам ( Приложение 2)
3.Ответить на вопросы для самоконтроля ( Приложение 3)
Приложение 1
ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
Размещения и перестановки:
Число размещений из n элементов по k определяется по формулам:
𝐴𝑘𝑛 = 𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2) … (𝑛 − (𝑘 − 1));
(1)
𝑛!
𝐴𝑘𝑛 = (𝑛−𝑘)!,
(2)
где n!=1*2*3…n (n - натуральное число);0!=1.
Число перестановок из n элементов определяется по формуле
71
Справедливо соотношение 𝑃𝑛 = 𝐴𝑛𝑛 = 𝑛!
𝐴𝑘𝑛 𝑃𝑛−𝑘 = 𝑃𝑛
𝑃 −𝑃
𝑃
Пример 1. Вычислить: 1) 7 6 ;
2) 𝑛+1 𝑘
6!
3)
𝐴𝑘
𝑛+1 (𝑛+1−𝑘)!
𝑛!
3)
𝑃7 −𝑃6
=
7!−6!
6!
𝑘!(𝑘−𝑛)!
𝑃𝑘
𝑛+1
(𝑘+1)!(𝑘−𝑛)!
𝐴𝑘+1 𝑃𝑘−𝑛
𝑘
(𝑛+1)!
𝐴𝑛+1 (𝑛+1−𝑘)!
=
𝑛!
, где k≥ 𝑛;
, где 𝑘 ≤ 𝑛.
Решение. 1)
2)
𝐴𝑘+1 𝑃𝑘−𝑛
(3)
(4)
6!
= (𝑛+1−𝑘)!
=
=
1
6!(7−1)
6!
;
𝑘+1
(𝑛+1−𝑘)!
𝑛!
= 6;
=
(𝑛+1)!
𝑛!
= 𝑛 + 1.
Пример 2. Решить уравнение 𝐴6𝑥 = 28𝐴5𝑥−2 .
Решение. Здесь ОДЗ уравнения определяется неравенствами 𝑥 ≥ 6 и 𝑥 − 2 ≥
5, т.е. 𝑥 ≥ 7, где x - натуральное число. Воспользовавшись формулой(2),
получим:
𝑥!
(𝑥−6)!
= 28
(𝑥−2)! 𝑥(𝑥−1)
(𝑋−7)!
;
𝑥−6
= 28; 𝑥 2 − 𝑥 = 28𝑥 − 168; 𝑥 2 − 29𝑥 + 168 = 0,
откуда 𝑥1 = 8, 𝑥2 = 21. Оба ответа удовлетворяют уравнению, так как 𝑥 ≥ 7.
Пример 3. Из группы учащихся в количестве 25 человек необходимо выбрать
комсорга, профорга, старосту и физорга. Сколькими способами можно
выбрать актив группы, если каждый учащийся может быть выбран на одну
выборную должность и все учащиеся группы комсомольцы?
Решение. Поскольку по условию задачи актив группы может отличаться как
по составу, так и распределением обязанностей, количество способов равно
числу размещений из 25 по 4: 𝐴425 = 25 ∗ 24 ∗ 23 ∗ 22 = 301200.
Пример 4. Группа учащихся должна сдавать экзамены по четырем
предметам. Сколькими способами можно составить расписание экзаменов?
Решение. Так как всевозможные расписания включают одни и те же
предметы, то количество способов равно числу перестановок из четырех
элементов:
Р4=4=1*2*3*4=24.
Пример 5. На смотр самодеятельности представлено 4 вокальных номера и
художественное чтение. Сколькими способами можно произвести смотр?
Решение. Художественное чтение можно поставить в начале программы и
после любого вокального номера, т.е его можно расположить 𝐴15 способами,
а вокальные номера Р5 способами. Число всевозможных программ смотра
составляет 𝑃51 ∗ 𝑃5 = 5(1 ∗ 2 ∗ 3 ∗ 4 ∗ 5) = 600.
Сочетания.
Число сочетаний из n элементов по k определяется по формулам
𝑛(𝑛 − 1) … (𝑛 − (𝑘 − 1))
𝐶𝑛𝑘 =
;
(1)
𝑘!
𝑛!
𝐶𝑛𝑘 =
.
(2)
𝑘! (𝑛 − 𝑘)!
72
Справедливы следующие свойства сочетаний:
𝐴𝑘𝑛
𝑘+1
𝑘
(𝑘 ≤ 𝑛); 𝐶𝑛𝑘 = 𝐶𝑛𝑛−𝑘 (𝑘 ≤ 𝑛); 𝐶𝑛+1
𝐶𝑛 =
= 𝐶𝑛𝑘+1 + 𝐶𝑛𝑘 (𝑘 < 𝑛).
𝑃𝑘
𝑥−2
Пример1. Решить уравнение 2𝐶𝑥+2
= 𝐴2𝑥 .
Решение. Здесь ОДЗ уравнения есть 𝑥 ≥ 2. Используя формулы для числа
сочетаний и размещений, получим
(𝑥 + 2)!
𝑥!
2
=
; (𝑥 + 2)(𝑥 + 1) = 12; 𝑥 2 + 3𝑥 − 10 = 0,
4! (𝑥 − 2)! (𝑥 − 2)!
откуда 𝑥1 = −5, 𝑥2 = 2. Ясно, что 𝑥1 = −5 не годится и, следовательно,
𝑥2 = 2.
Пример 2. На шесть сотрудников выделены три одинаковые путевки в дом
отдыха. Сколькими способами их можно распределить?
Решение. Так как путевки одинаковы, то число способов их распределения
6!
6∗5∗4
равно числу сочетаний из 6 по 3: 𝐶63 =
=
= 20.
3!∗3!
3!
Пример 3. Для проведения итогов соц. соревнований из группы учащихся в
20 человек нужно выбрать комиссию в составе председателя, заместителя и
двух рядовых членов. Сколько существует способов проведения выборов?
Решение. Председатель комиссии и его заместители могут быть выбраны 𝐴220
способами. Из оставшихся 18 учащихся рядовых членов комиссии можно
2
выбрать 𝐶18
способами. Следовательно, всего существует
20!
18!
20 ∗ 19 ∗ 18 ∗ 17
2
𝐴220 ∗ 𝐶18
=
∗
=
58140
18! 16! ∗ 2!
2
способов проведения выборов.
Приложение 2
Решить задачи самостоятельно
Вариант 1.
1.Вычислите:а)
𝑃9 −8
𝑃7
;
б)
5 −𝐶 4 )
𝑃5 (𝐶11
11
(𝑥+1)!
𝐴512
.
3
2.Решить уравнение: а)
= (𝑥 − 1)!; б) 4С𝑛−1
𝑛+4 = 3𝐴𝑛+2
20
3.Сколькими способами в бригаде, состоящей из пяти работников, можно
распределить три путевки: в дом отдыха, в санаторий и на тур базу?
4.Сколькими способами можно увезти со склада 10 ящиков на двух
автомашинах, если на каждую автомашину грузят по 5 ящиков?
Вариант 2.
1.Вычислите:а)
𝐴39 +𝐴29
𝑃8
; б)
𝐴715 𝐴615
𝑥!
7
𝐶16
.
2
2.Решить уравнение: а)(𝑥−2)! = 56; б) 2𝐶𝑥+5
− 15𝐶𝑥1 = 75.
3.Группа из 28 учащихся обменялась фотокарточками. Сколько всего было
роздано фотокарточек?
73
4.В стройотряде 15 студентов. Сколькими способами их можно разбить на 3
бригады численностью 3,7 и5 человек?
Вариант 3.
1
1
1.Вычислите:а) − (𝑛+1)! ; б) 𝑃5 𝐶94 − 𝐴38 .
𝑛!
2
2.Решить уравнение: а) 𝐴3𝑥+1 𝑃𝑥−2 = 30𝑃𝑥 ; б) 3𝐶𝑥+5
− 14𝐶𝑥1 = 70.
3.В поезде вагонов. Сколькими способами можно распределить по вагонам
6 проводников, если за каждым вагоном, закрепляется один проводник?
4.Из 12 красных и 8 белых гвоздик надо составить букет так, чтобы в нем
были 3 красные и 2 белые гвоздики. Сколькими способами можно составить
такой букет?
Дополнительные задания.
Вычислите:
7!+8!
1 а)
б)
5!+6!
в)
1
6!
+
1
5!
−
42
7!
2
2
2. а) С17
; А17
в) С25 ;
А25
3.а) С227 − С226
в)
А68
А210
Решить уравнение
1. а) С3𝑥 = 2𝐶𝑥2
1
+
4!
г)
7
11
∗
10
5!
б)
630
6!
(10!)2 −(9!)2
2
б)С150
;
г) С48 ;
+
(8!)2 −(7!)2
2
А150
А48
А310
С310
5
6
г) С11
− С11
б) 𝐶𝑥𝑥−2 = 15
2
в)𝐶𝑥2 + 𝐶𝑥−1
= 49
г) С8𝑥 = 70
2.а) 𝐴5𝑥 = 18𝐴4𝑥−2
б) 𝐴2𝑥−1 − 𝐶𝑥1 = 79
в) С3𝑥 = 𝐴2𝑥
г) 𝐶𝑥4 = 𝐴2𝑥 + 𝐶𝑥3
Решите неравенства
1 а) 120 < А2𝑥−2 < 140
2
в) 𝐶10
< 𝐴2𝑥 < 60
б) С26 < А2𝑥 < 𝐶82
2
г) С19
< А2𝑥 + 𝐶𝑥2 < 250
74
Вопросы для самоконтроля:
1.Что называется вероятностью?
2.Что называется перестановками?
3.Что называется размещениями?
4.Что называется сочетаниями?
75
ИНСТРУКЦИОННАЯ КАРТА
К ПРАКТИЧЕСКОМУ ЗАНЯТИЮ №5
Дисциплина: Математика
КУРС:2
ТЕМА: Комплексные числа. Действия над комплексными числами.
ЦЕЛЬ ЗАНЯТИЯ: изучить теоретическую часть и проверить знания и умения по
практической части.
ОТВОДИМОЕ ВРЕМЯ: 2 ЧАСА
ОБЕСПЕЧЕНИЕ РАБОЧЕГО МЕСТА: 1. Инструкционная карта;
2. Средства вычислительной техники.
3. Мультимедийное устройство.
ЛИТЕРАТУРА:
Баранова Е.С.: Практическое пособие по высшей математике. Типовые
расчеты. Учебное пособие. М. «Питер». 2008 г.;
Б.В. Соболь «Практикум по высшей математике. Высшее образование».
Издание – 4. Ростов – на – Дону «Феникс – 2007»;
Данко П.Е. «Высшая математика в уравнениях и задачах», Ч.1, Ч.2, Москва,
ОНИКС «Мир и образование – 2007»;
Музенитов Ш. А.: Математические основы экономики и методы
оптимизации, Ставрополь 2000 г.;
Богомолов Н.В.: Практическое занятие по математике. М.В. Ш., 1997 г.
ЗАДАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ
1. Изучить теоретическую часть темы.
а) Основное понятие комплексных чисел.
б) геометрическое изображение комплексных чисел.
в) алгебраическая форма записи комплексных чисел.
г) тригонометрическая форма записи комплексных чисел.
д) показательная форма записи комплексных чисел.
е) решение уравнений на множестве комплексных чисел.
2. Изучить практическую часть темы и выполнить практические
задания.
3. Ответить на вопросы для самоконтроля.
Приложение 1
ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
Тема 1. Комплексные числа .
Основные понятия
Определение. Число, обладающее свойством, что его квадрат равен -1,
называется мнимой единицей.
Обозначение: i. Тогда i 2 = -1 или i =√−1
76
Введение мнимой единицы позволяет извлекать квадратные корни из
отрицательных чисел.
Пример. √−81=√81 ∗ (−1) = √81 * √−1 = 9i
Степени мнимой единицы
𝑖 1= i, i2=-1, i3=-i, i4=1,
𝑖 5= i, i6=-1, i7=-i, i8=1, …,
то есть степень числа i имеет период, равный 4.
Зная действительные числа и мнимую единицу, можно ввести новые числа.
Определение. Числа вида a + bi, где а и Ь - действительные числа, i - мнимая
единица, называются комплексными числами.
Обозначение: z = a + bi, где а - действительная часть, a b - мнимая часть
комплексного числа, а = Re (a + bi), b = Im(a + bi). Комплексные числа
образуют множество С.
Свойства комплексных чисел
Если b = 0 и а ≠ 0, то z = a- действительное число.
Если а = О и b ≠ 0 , то z = bi - мнимое число.
Если а = 0 и b = 0, то z = 0 + 0i; называется нулем и совпадает с нулем во
множестве действительных чисел.
Понятия «больше» и «меньше» не определены для комплексных чисел.
N >Z>Q>R>C.
Определение. Два комплексных числа называются равными, если равны
соответственно их действительные и мнимые части, то есть:
a1 + b1i = a2 +b2i ˂˃ а1 =а2 и b1=b2.
Определение. Числа а + bi и а- bi -называются комплексно- сопряженными.
Геометрическое изображение комплексных чисел
Каждое комплексное число z = a + bi можно изобразить точкой Z(a; b)
комплексной плоскости, ось абсцисс которой является действительной
осью, а ось ординат -мнимой осью На оси Ох находятся действительные
77
числа, на оси Оy - мнимые числа, а остальные комплексные числа - на
комплексной плоскости.
Точке Z(a; b) соответствует единственный радиус - вектор OZ͞ с началом в
точке 0(0; 0) и концом в данной точке. Вектор O͞Z͞ имеет две характеристики:
длину [𝑂𝑍] =r и направление, задаваемое углом 𝜑.
Определение. Модулем комплексного числа z называется длина радиус вектора этого комплексного числа.
Обозначение: r или |𝑧|
Модуль комплексного числа определим из прямоугольного треугольника, в
котором гипотенузой является величина r , а катетами - величины а и Ь. Тогда
r =√𝑎2 + 𝑏 2 , где r≥ 0
Модуль комплексного числа определяется однозначно.
Определение. Аргументом комплексного числа называется угол 𝜑, который
образует радиус - вектор точки Z(a; b) с положительным направлением оси
Ох. Обозначение: Arg z.
𝑏
Если z ≠ О, то аргумент можно найти из соотношения tg 𝜑 = .
𝑎
Аргумент определяется с точностью до слагаемого 2𝜋к, к ∈ Z.
Определение. Значение аргумента, удовлетворяющее условию - 𝜋 < 𝜑 ≤ 𝜋,
называется главным аргументом. Обозначение: arg z.
Множество всех значений аргумента комплексного числа определяется по
формуле
Arg z = arg z + 2𝜋к, к ∈ Z.
Замечания. 1. Если комплексные числа равны, то их модули равны, а
аргументы отличаются на слагаемое 2𝜋к, к ∈ Z.
2. Для числа z = 0 аргумент не определен.
Алгебраическая форма записи комплексного числа
Определение. Запись комплексного числа в виде z = a + bi называется
алгебраической формой комплексного числа.
Действия над комплексными числами в алгебраической форме
78
Правило: сложение, вычитание, умножение, деление комплексных чисел в
алгебраической форме осуществляются как действия над многочленами.
Даны два комплексных числа в алгебраической форме z1 =a1+b1 i и
z2 = a2 + b2i.
1.Сложение:
z 1 + z2 = (а1 + b1 i ) + (а2 + b2i) = (а, +а2) + (b1+ b2 ) i .
2.Вычитание: z 1 - z2 = (а1+ b1 i ) - (а2 + b2i) = (а, +а2) + (b1+ b2 ) i
3.Умножение: z 1 - z2 = (а1 + b1 i ) - (а2 + b2i) =a1 a2 +a1 b2i + a2 b1 i + b1 b2i =
(a1 a2 - b1 b2) + (a1 b2 + a2 b1 )i
Частный случай. Произведение комплексно - сопряженных чисел есть число
действительное, равное квадрату их модуля: (a + bi)(a - bi) = a2 + b2.
4.Деление.
𝑧1
𝑧2
=
a1+b1 i
𝑎2+ 𝑏 2 i
=
(a1+b1 i )(a2 + b2 i)
( a2+ b2 𝑖)( a2− b2 𝑖 )
(𝑎 1 𝑎2 + 𝑏1 𝑏 )+ (𝑎2 𝑏1− 𝑎
2
a2
2+ b 2
2
1 𝑏2
)i
=
=
𝑎1 𝑎2−𝑎
1 𝑏2 𝑖
+ a2 b1 i− b1−b 2
2 i
𝑎2
2− 𝑏 2 2
2𝑖
a1 a2+ b
1 b2
a2
2+ b 2
2
+
a2 b1− a
1 b2
2
a
2+ b 2
2
=
i
Возведение в степень n, где n ∈ N.
Выполняется как произведение комплексного числа само на себя n раз.
Извлечение арифметического корня.
В алгебраической форме это действие выполнить невозможно.
Тригонометрическая форма записи комплексного числа
͞ который
Комплексное число z = a + bi изображается радиус - вектором OZ,
имеет длину |𝑂͞𝑍|= r и образует угол 𝜑с положительным направлением оси
Ох. Из прямоугольного треугольника выразим гипотенузу и катеты с
помощью модуля и аргумента комплексного числа. Тогда r = √𝑎2 + 𝑏 2 ,
a = r cos 𝜑. b =r sin 𝜑. Подставим в формулу z = a + bi найденные выражения
для величин а и b. Получим z = r cos 𝜑+ ir sin 𝜑.
79
z= г (соs 𝜑 + i sin 𝜑) - тригонометрическая форма записи комплексного
числа.
Правило перехода от алгебраической формы к тригонометрической форме
комплексного числа
Найти модуль r =√𝑎2 + 𝑏 2
Геометрически определить четверть, в которой находится число z.
𝑏
Составить уравнение tg 𝜑 = | | найти из него значение утла 𝜑0, а затем с
𝑎
учетом четверти, в которой находится число z, определить угол - 𝜋 < 𝜑 ≤ 𝜋
Записать число в тригонометрической форме z = r ( cos𝜑 + i sin𝜑).
Действия над комплексными числами в тригонометрической форме
Даны два комплексных числа в тригонометрической форме
𝑧1 = 𝑟1(cos 𝜑1+i sin φ1) и 𝑧2 = 𝑟2(cos 𝜑2+𝑖 sin 𝜑2)
1.Умножение.
𝑧1 ∗ 𝑧2 = 𝑟1 𝑟2 (cos( 𝜑1 + 𝜑2 ) + 𝑖 sin( 𝜑1 + 𝜑2 ))
Доказательство
𝑧1 ∗ 𝑧2 = 𝑟1 (cos 𝜑1 + 𝑖 sin 𝜑1 ) 𝑟2 (cos 𝜑2 + 𝑖 sin 𝜑2 )
= 𝑟1 𝑟2 (cos 𝜑1 cos 𝜑2 + 𝑖 sin 𝜑1 cos 𝜑2
+ 𝑖 cos 𝜑1 sin +𝑖 2 sin 𝜑1 sin 𝜑2 )
= 𝑟1 𝑟2 (( cos 𝜑1 cos 𝜑2 − sin 𝜑1 sin 𝜑2 )
+ 𝑖(sin 𝜑1 cos 𝜑2 + cos 𝜑1 sin 𝜑2 )) = 𝑟1 𝑟2 (cos
+ 𝑖 sin( 𝜑1 + 𝜑2 ))
(𝜑1 + 𝜑2 )
2.Деление.
𝑧1 𝑟1
= (cos( 𝜑1 − 𝜑2 ) + 𝑖 sin( 𝜑1 − 𝜑2 ))
𝑧2 𝑟2
3.Возведение в степень n, где n € N.
𝑧 𝑛 = 𝑟 𝑛 (cos 𝑛𝜑 + isin 𝑛𝜑) - формула Муавра - Лапласа.
4.Извлечение арифметического корня степениn, где n € N, п≥2.
80
𝑛
𝑛
√𝑧 = √𝑟(cos
𝜑+2𝜋𝑘
𝑛
+ 𝑖 sin
𝜑+2𝜋𝑘
𝑛
) где 𝑘 = 0,1, … , 𝑛 − 1
𝑛
Среди значений корня √𝑧 различными будут только n корней.
Геометрически эти корни являются вершинами правильного n - угольника,
центр которого находится в начале координат на комплексной плоскости.
Показательная форма записи комплексного числа
Определение. Запись комплексного числа в виде 𝑧 = 𝑟𝑒 𝑖𝜑 , где r = |z|, 𝜑 =
arg z + 2𝜋 к, k € Z , называется показательной форма комплексного числа.
Для перехода от тригонометрической формы к показательной форме
комплексного числа применяется формула Эйлера: 𝑒 𝑖𝜑 = cos 𝜑 +1 sin 𝜑.
Функция 𝑒 𝑖𝜑 обладает свойствами показательной функции с
действительным показателем.
Действия над комплексными числами в показательной форме
Даны два комплексных числа в показательной форме 𝑧1 =
𝑟1 𝑒 𝑖𝜑1 и
𝑧2 = 𝑟2 𝑒 𝑖𝜑2
Умножение.
𝑧1 ∗ 𝑧2 = 𝑟1 𝑟2 𝑒 𝑖(𝜑1+𝜑2)
Деление.
𝑧1 𝑟1 𝑖(𝜑 −𝜑 )
= 𝑒 1 2
𝑧2 𝑟2
3. Возведение в степень n, где n € N .
𝑧 𝑛 = 𝑟 𝑛 𝑒 𝑖𝑛𝜑
4. Извлечение арифметического корня степени п, где п € N, п≥ 2.
𝑛
𝑛
√𝑧 = √𝑟𝑒 𝑖
𝜑+2𝜋𝑘
𝑛
,
где 𝑘 = 0,1,…, n-1
Рассмотрим формулу Эйлера
81
𝑒 𝑖𝜑 = cos 𝜑 + 𝑖 sin 𝜑
(1)
Найдем 𝑒 −𝑖𝜑 = cos(−𝜑) + 𝑖 sin(−𝜑) , тогда
(2)
𝑒 −𝑖𝜑 = cos 𝜑 − 𝑖 sin 𝜑
Складывая выражения (1) и (2), получим 2cos 𝜑 = 𝑒 𝑖𝜑 + 𝑒 −𝑖𝜑 . Вычитая (2) из
(1), запишем 2i sin 𝜑 = 𝑒 𝑖𝜑 − 𝑒 −𝑖𝜑 .
Тогда:
{
cos 𝜑 =
sin 𝜑 =
𝑒 𝑖𝜑 +𝑒 −𝑖𝜑
2
𝑒 𝑖𝜑 −𝑒 −𝑖𝜑
- формулы Эйлера.
2𝑖
Формулы Эйлера выражают тригонометрические функции действительного
аргумента через показательные функции мнимого аргумента.
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ.
Тема 1. Комплексные числа
Пример 1. Выполнить действия а) 𝑖 7 , б) 𝑖 5 (𝑖 100 + 𝑖 19)
Решение. Степень мнимой единицы имеет период, равный 4
Представим показатель степени в виде 4 n+p, тогда 𝑖 4∗𝑛+𝑝 = 𝑖 𝑝
а)𝑖 7 = 𝑖 4∗1+3 = 𝑖 3 = −𝑖
б)𝑖 5 (𝑖100 + 𝑖 19 ) = 𝑖 105 + 𝑖 24 = 𝑖 4∗26+1 + 𝑖 4∗6+0 = 𝑖 1 + 𝑖 0 = 𝑖 + 1
Пример 2. Во множестве комплексных чисел найти значение корня:
а)√−121 ,б)√−20
𝑛
Решение. Применим свойство арифметического корня 𝑛√𝑥 ∗ 𝑦 = √𝑥 ∗ 𝑛√𝑦
Тогда: а) √−121 = √121 ∗ √−1 = 11𝑖 , б) √−20 = √20 ∗ √−1 = 2√5𝑖
Пример 3. Указать действительную и мнимую части числа 𝑧 = 3𝑥𝑖 − 7𝑥𝑖 3 +
21𝑖 4 .
Решение. Упростим выражение, учитывая свойство степени мнимой
единицы.
82
𝑧 = 3𝑥𝑖 − 8𝑖 2 + 7𝑥𝑖 3 + 21𝑖 4 = 3𝑥𝑖 − 8 ∗ (−1) + 7𝑥 ∗ (−𝑖) + 21 ∗ 1
= 3𝑥𝑖 + 8 − 7𝑥𝑖 + 2
= 29 − 4𝑥𝑖
Тогда 𝑅𝑒 𝑧 = 29, 𝐼𝑚 𝑧 = −4𝑥.
Пример 4. Найти действительные числа х и у, если 2𝑥 + 7𝑦 + (3𝑥 − 2𝑦)𝑖 =
4 − 𝑥 + (4 + 8𝑥 − 𝑦)𝑖
Решение. Применяя условие равенства двух комплексных чисел, получим
систему: {
2𝑥 + 7𝑦 = 4 − 𝑥
3𝑥 − 2𝑦 = 4 + 8𝑥 − 𝑦
3𝑥 + 7𝑦 = 4
тогда {
5𝑥 + 𝑦 = −4
{
5𝑥 + 𝑦 = −4
−32𝑥 = 32
Отсюда х = -1, у = 1.
Геометрическое изображение комплексных чисел
Пример 1. Построить на комплексной плоскости точки, соответствующие
числам:
𝑧1 = −3 + 5𝑖, 𝑧2 = −4𝑖,
𝑧3 = 2,
𝑧4 = 2√3 − 2𝑖.
Решение. Запишем каждое число в виде z = a + b i , тогда на плоскости ему
будет соответствовать точка Z(a;b ) .
Пример 2. Найти модули и аргументы чисел:
a) z1 = -3+5i , б) z2 = -4i, в) z3 = 2, г) z4 = 2√3 − 2𝑖
Решение. Модуль каждого числа найдем по формуле 𝑟 = √𝑎2 + 𝑏 2
𝑏
Аргумент определим из уравнения tg 𝜑 = | | с учетом четверти, в которой
𝑎
находится точка
Z(a; b ) .
Пример 3. Изобразить на комплексной плоскости точки z, для которых:
𝜋
а) |𝑧| = 3, б)𝜑 = + 2𝜋𝑛, 𝑛€ 𝑍 , в) 1.5 < |𝑧| < 2.4 , г) |𝑧 + 4| =
6
|𝑧 − 𝑖√2|.
83
Решение. С геометрической точки зрения модуль |z| представляет собой
расстояние от точки Z(a; b) до начала координат, а аргумент 𝜑 - открытый
луч, выходящий из точки 0(0; 0) под углом 𝜑 к положительному направлению
оси Ох.
а) Для каждого z число |z| = |z - 0| равно расстоянию между точками z и 0(0;
0). Тогда условию |z| = 3 соответствуют все точки комплексной плоскости,
находящиеся на расстоянии r = 3 от начала координат. Эти точки
расположены на окружности с центром в точке 0(0; 0) и радиусом, равным 3.
б) Аргумент комплексного числа определяется неоднозначно, тогда на
𝜋
комплексной плоскости все значения 𝜑 = + 2𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍 будут
6
представлены открытым лучом с началом в точке 0(0; 0) и расположенным
под углом 𝜑 =
𝜋
6
= 30° к положительному направлению оси Ох. Луч
берется открытым, то есть точка 0(0; 0) выколота, так как в точке z =0
направление не определено.
в) Выражения |z| = 1,5 и |z| = 2,4 представлены на комплексной плоскости
окружностями с центром в точке 0(0; 0) и радиусами, равными 1,5 и 2,4
соответственно. Неравенство |z| > 1,5 определяет на комплексной плоскости
область вне круга с центром в точке 0(0; 0) и радиусом, равным 1,5.
Неравенство |z| < 2,4 определяет на комплексной плоскости область внутри
круга с центром в точке 0(0; 0) и радиусом, равным 2,4. Границы кругов в
решения неравенств не входят. Пересекаясь, эти области образуют кольцо.
г) Запишем выражения под знаком модуля как разность двух комплексных
чисел. Тогда модуль их разности есть расстояние между точками
комплексной плоскости, которые соответствуют этим числам.
Получим: |z + 4| = |z-(-4 + 0 * i ) | и |z –i √2 | = |𝑧 − 𝑖√2 |= |z - (0 + 𝑖√2 )
Условию |z + 4| = |z- 𝑖√2 |, то есть |z-(-4 + 0 * i )| = |z - (0 + 𝑖√2 )
удовлетворяют точки комплексной плоскости, которые одинаково удалены
от точек (-4; 0) и (0;√2 ). Искомые точки лежат на серединном
перпендикуляре к отрезку, соединяющему эти точки.
Алгебраическая форма записи комплексного числ. Пример. Выполнить
следующие действия, записав ответ комплексным числом в алгебраической
84
форме: а) (6 − 4𝑖) + (11 + 2𝑖),
9𝑖)(−2 + 6𝑖),
г)
13+4𝑖
7−5𝑖
б) (5 + 7𝑖) − (−4 − 9𝑖),
в) (10 −
, д) (8 − 3𝑖)3 , е)√3 + 4𝑖 .
Решение. Применим правило выполнения действий над комплексными
числами в алгебраической форме.
а) (6 − 4𝑖) + (11 + 2𝑖) = (6 + 11) + (−4 + 2)𝑖 = 17 − 2𝑖
б) (5 + 7𝑖) − (−4 − 9𝑖) = (5 − (−4)) + (7 − (−9))𝑖 = 9 + 16𝑖
в) (10 − 9𝑖)(−2 + 6𝑖) = 10 ∗ (−2) + 10 ∗ 6𝑖 + (−9𝑖) ∗ (−2) + (−9𝑖) ∗ 6𝑖 =
−20 + 60𝑖 + 18𝑖 − 54𝑖 2 = −20 + 78𝑖 − 54 ∗ (−1) = 34 + 78𝑖
г)
13+4𝑖
7−5𝑖
=
(13+4𝑖)(7+5𝑖)
(7−5𝑖)(7+5𝑖)
=
91+65𝑖+28𝑖+20𝑖 2
72 +52
=
71+93𝑖
74
=
71
74
+
93
74
𝑖
д) (8 + 3𝑖)3 = 83 − 3 ∗ 82 ∗ 3𝑖 + 3 ∗ 8 ∗ (3𝑖)2 − (3𝑖)3 = 512 − 576𝑖 − 216 +
27𝑖 = 296 − 549𝑖
е)
Для нахождения корня √3 + 4𝑖 в алгебраической форме общих формул
нет, поэтому введем обозначение √3 + 4𝑖 = а + bi. Тогда по определению
корня
получим (а + bi)2 =3+4i или а2 + 2abi -Ь2 = 3 + 4i.
2
2
Составим систему {𝑎 − 𝑏 = 3
2𝑎𝑏 = 4
и решим ее.
Возведем обе части каждого уравнения системы в квадрат:
4
2 2
4
{𝑎 − 2𝑎2 𝑏2 + 𝑏 = 9
4𝑎 𝑏 = 16
Сложим соответствующие части уравнений системы:
4
2 2
4
{𝑎 + 2𝑎 𝑏 + 𝑏 = 25
2𝑎𝑏 = 4
Тогда (а2 +b2)2 =25 или а2 +b2 = ±5. Так как выражение а2 +b2 ≥ 0, то оставляем
а2 +b2 = 5 .
2
2
Составим новую систему {𝑎2 − 𝑏 2 = 3
𝑎 +𝑏 =5
Отсюда 2а2 = 8 и 2b2 = 2.
85
Тогда а = ±2, b= ± I. Учитывая условие 2ab =4, приходим к выводу, что знаки а
и b должны совпадать. Следовательно, получим две пары чисел (2; 1) и (-2; 1). Окончательно, корень √3 + 4𝑖 имеет два значения 2 + i и - 2 - i.
Тригонометрическая форма записи комплексного числа
Пример 1. Даны числа 𝑧1 = 1 − 𝑖 𝑢 𝑧2 = −2 − 2𝑖 Записав числа в
тригонометрической форме, выполнить следующие действия: a)𝑧 1 ∗
𝑧 2,
б)
𝑧1
𝑧2
, в) 𝑧18 , г) 5√𝑧2
Решение. Запишем данные числа в тригонометрической форме.
1) z, =1 – I , тогда а= 1, b = -1.
Найдем модуль числа 𝑟 = √12 + (−1)2 = √2
Так как а = 1 > 0 и b = -1 <0, то число z1 находится в четвертой четверти.
𝑏
−1
𝜋
𝑎
1
4
Решим уравнение tg 𝜑 = | | = | | = 1 тогда 𝜑0 = . Но с учетом четверти,
в которой находится число z1, определим угол −𝜋 < 𝜑 ≤ 𝜋 . Получим 𝜑 =
𝜋
− .
4
Запишем число z1 в тригонометрической форме
𝜋
𝜋
𝑧1 = √2 (cos (− ) + 𝑖 sin (− ))
4
4
2) z2 = -2 - 2i, тогда а = -2, b = -2.
Найдем модуль числа 𝑟 = √(−2)2 + (−2)2 = 2√2
Так как а = -2 < 0 и b = -2 < 0, то число z2 находится в третьей четверти.
𝑏
−2
𝜋
𝑎
2
4
Решим уравнение tg 𝜑 = | | = | | = 1 тогда 𝜑0 = . Но с учетом четверти,
в
которой находится число z2, определим угол −𝜋 < 𝜑 ≤ 𝜋 . Получим 𝜑 =
−
3𝜋
4
.
Запишем число z2 тригонометрической форме
𝑧2 = 2√2 (cos (−
3𝜋
3𝜋
) + 𝑖 sin (− ))
4
4
86
Выполним действия.
𝜋
𝜋
a) 𝑧1 ∗ 𝑧2 = √2 (cos (− ) + 𝑖 sin (− )) ∗ 2√2 (cos (−
4
4
𝜋
4 (cos (− + (−
4
3𝜋
𝜋
)) + 𝑖 sin (− 4 + (−
4
3𝜋
4
3𝜋
) + 𝑖 sin (−
4
3𝜋
4
)) =
)) ) = 4(cos(−𝜋) + 𝑖 sin(−𝜋))
\Так как cos(−𝜋) = −1 𝑢 sin(−𝜋) = 0, то 𝑧1 ∗ 𝑧2 = −4
б)
𝑧1
𝑧2
1
𝜋
=
𝜋
√2(cos(− 4 )+𝑖 sin(− 4 ))
1
3𝜋
3𝜋
2√2(cos(− 4 )+𝑖 sin(− 4 ))
𝜋
𝜋
= (cos (− +
2
4
3𝜋
𝜋
) + 𝑖 sin (− 4 +
4
3𝜋
4
))=
𝜋
(cos 2 + 𝑖 sin 2 )
2
𝜋
𝜋
𝑧1
2
2
𝑧2
Так как cos = 0 𝑢 sin = 1, то
1
= 𝑖
2
𝜋
𝜋
4
4
в) 𝑧18 = (√2)8 (cos (− ∗ 8) + i sin(− ∗ 8)) = 16(cos(−2𝜋) + 𝑖 sin(−2𝜋))
Так как cos(−2𝜋) = 1 𝑢 sin(−2𝜋) = 0, то 𝑧18 = 16
5
г) √𝑧2 = √2√2 (cos
5
𝑖 sin
−3𝜋
+8𝜋𝑘
4
20
−3𝜋
+2𝜋𝑘
4
5
+ 𝑖 sin
−3𝜋
+2𝜋𝑘
4
5
5
) = √8 (cos
−3𝜋
+8𝜋𝑘
4
20
+
0, 4
), где 𝑘 = ̅̅̅̅̅̅
5
3𝜋
Укажем все значения корня:𝑘 = 0, тогда 𝑧0 = √8 (cos (− ) +
20
𝑖 sin (−
3𝜋
20
))
𝜋
𝜋
5
𝑘 = 1, тогда 𝑧1= √8(cos + 𝑖 sin )
4
4
5
𝑘 = 2, тогда 𝑧2= √8(cos
5
𝑘 = 3, тогда 𝑧3= √8(cos
13𝜋
13𝜋
+ 𝑖 sin
)
20
20
21𝜋
21𝜋
+ 𝑖 sin
)
20
20
87
5
𝑘 = 4, тогда 𝑧4= √8(cos
29𝜋
29𝜋
+ 𝑖 sin
)
20
20
Точки 𝑧0 , 𝑧1 , 𝑧2, 𝑧3, 𝑧4 являются вершинами правильного пятиугольника,
5
вписанного в окружность с центром в начале координат и радиусом r= √8
Пример 2. Представить в алгебраической и тригонометрической форме
комплексное число
𝑧=
7𝜋
7𝜋
+ 𝑖 sin )
3
3
5𝜋
5𝜋
cos
+ 𝑖 sin
6
6
𝑖 (cos
Решение,
𝑧=
7𝜋
7𝜋
+ 𝑖 sin )
3
3
5𝜋
5𝜋
cos
+ 𝑖 sin
6
6
7𝜋 5𝜋
= 𝑖 ∗ (cos(
− )
3
6
7𝜋 5𝜋
3𝜋
3𝜋
+ 𝑖 sin( − )) = 𝑖 ∗ (cos ( ) + 𝑖 sin( ))
3
6
2
2
𝑖 (cos
Запишем результат в алгебраической форме.
Учитывая, что cos
3𝜋
2
= 0 и sin
3𝜋
2
=1
, получим 𝑧 = 𝑖 ∗ (0 + 𝑖 ∗ (−1)), то
есть 𝑧 = 1. Представим результат в тригонометрической форме, применив
определение главного аргумента числа. Так как аргумент −𝜋 < 𝜑 ≤ 𝜋 , то
cos
3𝜋
2
𝜋
3𝜋
2
2
= cos(− ) иsin
𝜋
𝜋
= sin(− ), следовательно,
2
𝜋
𝜋
𝜋
𝑧 = 𝑖 ∗ (cos (− ) + 𝑖 sin(− )), или 𝑧 = − sin(− ) +𝑖 cos (− ) , или 𝑧 =
2
2
2
2
𝜋
𝜋
2
2
sin +𝑖 cos .
Показательная форма записи комплексного числа
Пример 1. Записать число 𝑧 = 15𝑒
тригонометрической форме.
7𝜋
𝑖
6
в алгебраической и
Решение. Данное число представлено в показательной форме, где r = 15,
𝜑=
7𝜋
6
88
Применяя формулу 𝑧 = 𝑟(cos 𝜑 + 𝑖 sin 𝜑),
𝑖 sin
7𝜋
6
получим 𝑧 = 15(cos
7𝜋
6
+
) − тригонометрическая форма данного числа.
Используя формулы 𝑎 = 𝑟 cos 𝜑 , 𝑏 = 𝑟 sin 𝜑 приходим к алгебраической
форме z = a + bi.
Имеем 𝑎 = 15 cos
7𝜋
6
= 15 ∗ (−
√3
)
2
= −7.5√3 𝑢 𝑏 = 15 sin
7𝜋
6
1
= 15 ∗ (− ) =
2
−7.5
Тогда 𝑧 = −7.5√3 − 7.5𝑖
- алгебраическая форма данного числа.
Пример 2. Даны числа 𝑧1 = 7(cos 135° + 𝑖 sin 135°) и 𝑧2 = 14(cos 330° +
𝑖 sin 330°)
Выполнить действия: a) 𝑧1 ∗ 𝑧2 ,
б)
𝑧1
𝑧2
в) 𝑧19 , г) 4√𝑧2
,
Ответ представить в показательной форме.
Решение. Данные числа представим в показательной форме, при этом
аргументы запишем в радианной мере. Получим:
𝑧1 = 7(cos 135° + 𝑖 sin 135°),
𝑟1 = 7, 𝜑1 = 135° =
3𝜋
3𝜋
, 𝑧1 = 7𝑒 𝑖∗ 4
4
𝑧2 = 14(cos 330° + 𝑖 sin 330°),
𝜋
𝜋
𝑖∗(− )
6
𝑟2 = 14, 𝜑2 = 330° = − , 𝑧2 = 14𝑒
6
Выполним действия:
3𝜋
а) 𝑧1 ∗ 𝑧2 = 7𝑒 𝑖∗ 4 ∗ 14𝑒
б)
𝑧1
𝑧2
=
3𝜋
𝑖∗
4
𝜋
𝑖∗(− 6 )
14𝑒
7𝑒
= 0.5𝑒
3𝜋 9
)
в) 𝑧19 = (7𝑒 𝑖∗ 4
4
г) 4√𝑧2 = √14𝑒
𝜋
6
𝑖∗(− )
= 98𝑒
3𝜋
𝜋
−(− ))
4
6
𝑖∗(
𝑖∗(
3𝜋
𝜋
+(− ))
4
6
7𝜋
= 98𝑒 𝑖∗ 12
11𝜋
= 0.5𝑒 𝑖∗ 12
3𝜋
27𝜋
4
= 79 𝑒 𝑖∗ 4 ∗9 = 4035607𝑒 𝑖∗
𝜋
6
𝑖∗(− )
4
= √14𝑒
𝜋
− +2𝜋𝑘
𝑖∗ 6
4
−𝜋+12𝜋𝑘
24
= √14𝑒 𝑖∗
4
, где 𝑘 = ̅̅̅̅̅̅
0, 3
Укажем все значения корня:
4
𝑘 = 0, тогда 𝑧0 = √14𝑒
𝜋
24
𝑖∗(− )
11𝜋
𝑘 = 1, тогда 𝑧1 = √14𝑒 𝑖∗ 24
4
89
23𝜋
𝑘 = 2,
тогда 𝑧2 = √14𝑒 𝑖∗ 24
𝑘 = 3,
тогда 𝑧3 = √14𝑒 𝑖∗ 24
4
35𝜋
4
Решение уравнений на множестве комплексных чисел
Пример 1. Решить уравнение на множестве комплексных чисел: х 2 + 2х + 5
= 0.
Решение. D = 4-20 = -16. Так как дискриминант D < 0, то уравнение
действительных корней не имеет. Найдем решение на множестве
комплексных чисел,
𝑥1,2 =
−2 ± √|16|𝑖 −2 ± 4𝑖
=
= −1 ± 2𝑖
2
2
Пример 2. Решить уравнение 𝑧 6 -16 = 0.
Решение. Запишем уравнение в виде z6 =16, где величина а = 16.
Тогда |a| = 16. Найдем аргумент числа а.
Так как 16 - действительное положительное число, то оно находится на
положительной части действительной оси комплексной плоскости. Поэтому
радиус - вектор числа 16 образует с осью Ох угол 𝜑= 0. Тогда запишем число
16 в показательной форме: 16 =16*𝑒 𝑖∗0 .
Найдем корни уравнения по формуле
0+2𝜋𝑘
6
Получим 𝑧 = √16𝑒 𝑖∗
6
𝑧 = √|𝑎|𝑒 𝑖∗
𝑛
𝜑+2𝜋𝑘
𝑛
, где 𝑘 = ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
0, 𝑛 − 1
𝜋𝑘
= √4𝑒 𝑖∗ 3 , где 𝑘 = ̅̅̅̅̅̅̅
0, 5
3
3
Укажем все значения корня: 𝑘 = 0, тогда 𝑧0 = √4,
𝜋
𝑘 = 1, тогда 𝑧1 = √4𝑒 𝑖∗ 3 ,
3
2𝜋
𝑘 = 2, тогда 𝑧2 = √4𝑒 𝑖∗ 3 ,
3
3𝜋
𝑘 = 3, тогда 𝑧3 = √4𝑒 𝑖∗ 3 = √4𝑒 𝑖𝜋 = −√4 ,
3
3
3
4𝜋
𝑘 = 4, тогда 𝑧4 = √4𝑒 𝑖∗ 3 ,
3
5𝜋
𝑘 = 5, тогда 𝑧5 = √4𝑒 𝑖∗ 3 ,
3
90
Точки z0, z1, z2, z3, z4, z5 являются вершинами правильного шестиугольника,
3
вписанного в окружность с центром в начале координат и радиусом 𝑟 = √4
Пример 3. Решить уравнение z5 + 243 𝑖 = 0.
Решение. Запишем уравнение в виде z5 = - 243𝑖 , где величина а = -243𝑖
Тогда |а| = 243. Найдем аргумент числа а.
Число а = -243𝑖 имеет только мнимую часть, которая является
отрицательной. Тогда оно находится на отрицательной части мнимой оси
комплексной плоскости. Поэтому радиус — вектор числа а = -243𝑖 образует с
осью Ох угол 𝜑 = −
𝜋
2
(значение главного аргумента должно соответствовать
неравенству −𝜋 < 𝜑 ≤ 𝜋). Тогда запишем число а = -243𝑖 в показательной
форме: -243𝑖 = 243 ∗ 𝑒
𝜋
2
𝑖∗(− )
Найдем корни уравнения по формуле 𝑧 = √|𝑎|𝑒 𝑖∗
𝑛
𝜋
5
Получим 𝑧 = √243𝑒
− +2𝜋𝑘
𝑖∗ 2
5
= 3𝑒
𝜋 2𝜋𝑘
)
10
5
𝑖∗(− +
𝜑+2𝜋𝑘
𝑛
, где 𝑘 = ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
0, 𝑛 − 1.
̅̅̅̅̅̅
где 𝑘 = 0,
4
Укажем все значения корня: 𝑘 = 0, тогда 𝑧0 = 3𝑒
𝜋
10
𝑖∗(− )
,
3𝜋
𝑘 = 1, тогда 𝑧1 = 3𝑒 𝑖∗ 10 ,
7𝜋
𝑘 = 2, тогда 𝑧2 = 3𝑒 𝑖∗ 10 ,
11𝜋
𝑘 = 3, тогда 𝑧3 = 3𝑒 𝑖∗ 10 ,
𝑘 = 4, тогда 𝑧4 =
3𝜋
𝑖∗
3𝑒 10
= −3𝑖,
Точки z0, z1, z2, z3, z4 являются вершинами правильного пятиугольника,
вписанного в окружность с центром в начале координат и радиусом r = 3.
Пример 4. Решить уравнение |𝑧| + 𝑧 = 2 + 𝑖
Решение. Запишем число 𝑧 в алгебраической форме 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 , тогда|𝑧| =
√𝑎2 + 𝑏 2 . Подставим эти выражения в данное уравнение.
√𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑎 + 𝑏𝑖 = 2 + 𝑖 или (√𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑎) + 𝑏𝑖 = 2 + 𝑖. Учитывая
условие равенства двух комплексных чисел, получим систему уравнений:
91
𝑏=1
или { 2
√𝑎 + 1 + 𝑎 = 2
2
2
{ √𝑎 + 𝑏 + 𝑎 = 2
𝑏=1
√𝑎2 + 1 + 𝑎 = 2, √𝑎2 + 1 = 2 − 𝑎, 𝑎2 + 1 = (2 − 𝑎)2 ,
𝑎2 + 1 = 4 − 4𝑎 + 𝑎2 , 4𝑎 = 3,
𝑎 = 0.75. Тогда 𝑧 = 0.75 + 𝑖
Приложение 2
Решить задачи самостоятельно.
Вычислить: a) 𝑖 231 , б) (𝑖 36 + 𝑖 17 ) ∗ 𝑖 23
в) (𝑖 64 + 𝑖 14 + 𝑖 13 + 𝑖 82 ) ∗
1
(𝑖 72 − 𝑖 34 ) г)
𝑖3
Найти значения x и у из равенств: а) 7𝑥 + 5𝑖 = 1 − 10𝑖𝑦, б) 𝑥 + (3𝑥 − 𝑦)𝑖 =
2−𝑖
Геометрическое изображение комплексных чисел
1.Изобразить на плоскости числа 𝑧1 = 5 , 𝑧2 = −3𝑖, 𝑧3 = 4 + 3𝑖, 𝑧4 = 5 − 𝑖,
𝑧5 = −2 + 6𝑖,
𝑧6 = −1 − 4𝑖, 𝑧7=
1
3 + 7𝑖
2.Изобразить на плоскости х Оу множество всех точек, для которых: 1) | z | =
1, 2) | z + 2| = 2,3) |2z-3|≤ 1, 4)
𝜋
4
≤ arg z ≤
2𝜋
3
,5) Im z>2.
Алгебраическая форма записи комплексного числа
Выполнить действия:
1)(−3 + 5𝑖) + (7 − 4𝑖), 2) (6 + 8𝑖)— 11 + 3, 3) (13 − 8𝑖) ∗ (2 + 5𝑖), 4) (4 −
9𝑖)2 , 5)
6)
7−𝑖
8+4𝑖
,
3 + 4𝑖 9 − 4𝑖
+
2 − 6𝑖 7 + 8𝑖
Тригонометрическая форма записи комплексного числа .Даны числа 𝑧1 =
−
3√2
2
−
3√2
𝑖
2
𝑢 𝑧2 = 5𝑖 Записать эти числа в тригонометрической форме.
Выполнить действия: a) 𝑧1 ∗ 𝑧2, б)
𝑧2
𝑧1
, в) 𝑧26 , г) 3√𝑧1 .
92
Показательная форма записи комплексного числа
1.Записать числа в тригонометрической и показательной форме:
а) 𝑧 = √3 + 𝑖, б) 𝑧 = −10,
в) 𝑧 = 5𝑖
2.Записать числа в алгебраической и тригонометрической форме:
𝜋
5𝜋
б) 𝑧 = 4𝑒 −3 𝑖
а) 𝑧 = 2.6𝑒 4 𝑖 ,
3. Найти z * z2 в показательной форме, если:
а) 𝑧1 = 2(cos
5𝜋
6
+ 𝑖 sin
5𝜋
6
𝜋
𝜋
2
2
) 𝑢 𝑧2 = 0.4 (cos + 𝑖 sin ),
б)𝑧1 = cos 45° + 𝑖 sin 45° 𝑢 𝑧2 = 3(cos 180° + 𝑖 sin 180°)
4. Найти
𝑧1
𝑧2
в показательной форме, если:
а) 𝑧1 = 0.6(cos 120° + 𝑖 sin 120°) 𝑢 𝑧2 = 3(cos 240° + 𝑖 sin 240°)
𝜋
𝜋
б) 𝑧1 = 4(cos 𝑖 sin )
3
3
𝑢
𝜋
𝜋
𝑧2 = 8(cos + 𝑖 sin )
6
6
Решение уравнений на множестве комплексных чисел
Решить уравнение:
а) 𝑥 2 − 4𝑥 + 13 = 0 б) 2.5𝑥 2 + 𝑥 + 1 = 0, в) 𝑧 5 − 32 = 0,
РЕШИТЬ ЗАДАЧИ САМОСТОЯТЕЛЬНО
Вариант 1
1. Представьте в виде периодической дроби числа:
5
5
1
, 6 , −3
7
9
3
2. Запишите в виде обыкновенной дроби:
0, (5);
0, (13);
0,2(3);
3,11(25)
3. Даны числа 𝓏1 = −7 − 7𝑖, 𝓏2 = 0.2 − 0.2𝑖
Найти: a)𝓏1 + 𝓏2 ; b)𝓏2 − 𝓏; c)𝓏1 − 𝑧2 ;
д) постройте их на плоскости;
е) запишите числа𝓏1 и 𝓏2 в тригонометрической форме.
4. Решите уравнение: 8𝑥 2 − 21𝑥 + 15 = 0
5. Составьте квадратное уравнение по корням:
𝑥1 = 2 − 𝑖;
𝑥2 = 2 + 𝑖.
93
Вариант 2
1. Представьте в виде периодической дроби числа:
3
5
1
, 3 , 3
7
9
3
2. Запишите в виде обыкновенной дроби:
0, (3);
0, (15);
0,2(4);
3,11(27)
3. Даны числа 𝓏1 = 7 − 7𝑖, 𝓏2 = 0.3 + 0,3𝑖
Найти: a)𝓏1 ∗ 𝓏2 ; b)𝓏2 + 𝓏; c)𝓏1 /𝑧2 ;
д) постройте их на плоскости
е) запишите числа в тригонометрической форме.
4. Решите уравнение: 𝑥 2 − 4𝑥 + 5 = 0
5. Составьте квадратное уравнение по корням:
𝑥1 = 5 − 𝑖;
𝑥2 = 5 + 𝑖.
Вариант 3
1. Представьте в виде периодической дроби числа:
4
5
5
, −9 , 3
7
9
7
2. Запишите в виде обыкновенной дроби:
0, (7);
0, (11);
0,4(9);
3,12(27)
Даны числа 𝓏1 = 8 − 8𝑖, 𝓏2 = 0.5 + 0,5𝑖
Найти: a)𝓏1 /𝓏2 ; b)𝓏2 − 𝓏; c)𝓏1 + 𝑧2 ;
д) постройте их на плоскости
е) запишите числа в тригонометрической форме.
4. Решите уравнение: 𝑥 2 + 2𝑥 + 3 = 0
5. Составьте квадратное уравнение по корням:
𝑥1 = 10 − 𝑖;
𝑥2 = 10 + 𝑖.
Вариант 4
1. Представьте в виде периодической дроби числа:
3
4
1
, 3 , 3
8
9
9
2. Запишите в виде обыкновенной дроби:
0, (7);
0, (17);
0,2(5);
3,11(17)
3.
3. Даны числа 𝓏1 = 7 + 7𝑖, 𝓏2 = 0.3 − 0,3𝑖
Найти: a)𝓏1 /𝓏2 ; b)𝓏2 − 𝓏; c)𝓏1 ∗ 𝑧2 ;
д) постройте их на плоскости
е) запишите числа в тригонометрической форме.
4. Решите уравнение: 𝑥 2 + 4 = 0
5. Составьте квадратное уравнение по корням:
𝑥1 = 9 − 𝑖;
𝑥2 = 9 + 𝑖.
94
Вариант 5
1. Представьте в виде периодической дроби числа:
3
2 1
5 , 1 ,
7
9 3
2. Запишите в виде обыкновенной дроби:
0, (8);
0, (9);
0,2(14);
3,11(7)
3. Даны числа 𝓏1 = 4 − 4𝑖, 𝓏2 = 1.3 + 1,3𝑖
Найти: a)𝓏1 + 𝓏2 ; b)𝓏2 + 𝓏; c)𝓏1 ∗ 𝑧2 ;
д) постройте их на плоскости
е) запишите числа в тригонометрической форме.
4. Решите уравнение:𝑥 2 − 4𝑥 + 8 = 0
5. Составьте квадратное уравнение по корням:
𝑥1 = 6 − 𝑖;
𝑥2 = 6 + 𝑖.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
1.Дайте определение комплексного числа.
2.Дайте определение мнимой единицы.
3.Назовите натуральные числа.
4.Назовите рациональные числа.
5.Назовите степени мнимой единицы.
6.Какие комплексные числа называются равными?
7.Какие комплексные числа называются сопряженными?
8.Какие комплексные числа называются противоположными?
9.Как изображаются комплексные числа геометрически?
10.Дайте определение комплексного числа.
11.Как найти аргументы комплексного числа?
12.Перечислите формы записи комплексных чисел.
13.Как выполнить действие над комплексными числами в алгебраической.
14.Чему равны корни квадратного уравнения с отрицательным
дискриминантом?
95
ПРИЛОЖЕНИЯ:
Приложение 1
Формулы сокращенного умножения
(а + b)2 = а2 + 2аb + b2
(a-b)2 = а2 - 2ab + b2
(а + b)3 = а3 +За2b+Заb2 +b3
(а-b)3 = а3 -3а2b + 3аЬ2 -b3
а3 + b3 = (а + b)(а2 -ab + b2)
а3 -b3 = (а-b)(а2 + аb + b2)
a2 -b2 = (а- b)(а+б)
96
Приложение2
Таблица значений тригонометрических функций
Мера
0°
30°
45° 60° 90° 120° 135°
𝝅
𝝅
𝝅
𝝅
𝟐𝝅
𝟑𝝅
угла
0
𝟔
𝟒
𝟑
𝟐
𝟑
𝟒
sin a
0
cos a
1
tga
0
ctga
𝟏
𝟐
√𝟑
𝟐
∞
210°
√𝟐
𝟐
√𝟐
𝟐
√𝟑 1
𝟑
√𝟑 1
225°
√𝟑 1
𝟐
𝟏 0
𝟐
√𝟑
√𝟑
𝟐
𝟏
−
𝟐
∞
√𝟑 0
𝟑
240°
150°
𝟓𝝅
𝟔
𝟏 0
𝟐
√𝟑 -1
−
𝟐
√𝟐
𝟐
√𝟐
−
𝟐
−√𝟑 -1
−
√𝟑 0
𝟑
∞
−√𝟑
−
√𝟑 -1
𝟑
270°
180°
𝝅
300°
315°
330°
360°
Мера
угла
𝟕𝝅
𝟔
𝟓𝝅
𝟒
𝟒𝝅
𝟑
𝟑𝝅
𝟐
𝟓𝝅
𝟑
𝟕𝝅
𝟒
𝟏𝟏𝝅
𝟔
√𝟐
𝟐
√𝟐
𝟐
−
𝟐𝝅
𝟎
sin а
𝟏
𝟐
√𝟑
−
𝟐
√𝟐
𝟐
√𝟐
−
𝟐
−
cos а
tga
ctga
√𝟑
𝟑
√𝟑
−
√𝟑
𝟐
𝟏
−
𝟐
−
1
√𝟑
1
√𝟑
𝟑
−
-1
0
∞
0
√𝟑
𝟑
𝟏
𝟐
−
−√𝟑
−𝟏
√𝟑
𝟑
−𝟏
−
𝟏
𝟐
√𝟑
𝟐
√𝟑
𝟑
−√𝟑
−
1
0
∞
97
Приложение3
Правила и формулы дифференцирования основных функций
1.
С’ = 0, С = const
2.
(u + v-w)’ = u' + v'-w'
3.
(uv)’ = U'V + uv'
(Си)’ =Сu’ , С = const
′
′
𝒖
𝒖 𝒗 − 𝒖𝒗′
4.
𝒖 ′ 𝒖′
𝑪 ′
𝑪𝒗′
( ) =
(
)
=
,
(
)
=
−
,
𝒗
𝒗𝟐
𝒄
𝑪
𝒗
𝒗𝟐
𝑪 = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕
5𝒖′𝒖 = 𝟏
𝒙′ = 𝟏
6.
(𝒖𝒏 )′ = 𝒏𝒖𝒏−𝟏 ∗ 𝒖′
(𝒙𝒏 )′ = 𝒏 𝒏−𝟏
𝟏
′
𝒖′
7.
′
(√𝒙) =
(√𝒖) =
𝟐√ 𝒙
𝟐√ 𝒖
(𝒂𝒖 )′ = 𝒂𝒖 ∗ 𝐥𝐧 𝒂 ∗ 𝒖′
(𝒂𝒙 )′ = 𝒂𝒙 ∗ 𝐥𝐧 𝒂
8.
(𝒆𝒖 )′ = 𝒆𝒖 ∗ 𝒖′
(𝒆𝒖 )′ = 𝒆𝒙
9.
𝒖′
𝒖′
10.(𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒖)′ = 𝒖 𝐥𝐧 𝒂
(𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒙)′ =
𝒙 𝐥𝐧 𝒂
𝒖′
𝟏
11. (𝐥𝐧 𝒖)′ = 𝒖
(𝐥𝐧 𝒙)′ =
𝒙
12. (sin u)’ = c o s u * u ’
(sinx)’ = COSX
13. (cosu)’ = -sin u*u'
(COS X)’ =-sinx
𝒖′
′
𝟏
14. (𝒕𝒈𝒖) = 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒖
(𝒕𝒈𝒙)′ =
𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙
𝒖
′
𝟏
15. (𝒄𝒕𝒈𝒖) = − 𝒔𝒊𝒏𝟐 𝒖
(𝒄𝒕𝒈𝒙)′ = −
𝒔𝒊𝒏𝟐 𝒙
𝒖′
𝟏
16. (𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒖)′ =
(𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙)′ =
√𝟏−𝒖𝟐
√𝟏 − 𝒙𝟐
𝟏
𝒖′
17.
(𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙)′ = −
(𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒖)′ = −
√𝟏 − 𝒙𝟐
√𝟏 − 𝒖𝟐
𝒖′
18. (𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈𝒖)′ = 𝟏+𝒖𝟐
𝒖′
19. (𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈𝒖)′ = − 𝟏+𝒖𝟐
20.
𝟏
𝟏 + 𝒙𝟐
𝟏
(𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈𝒙)′ = −
𝟏 + 𝒙𝟐
(𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈𝒙)′ =
(𝒖𝒗 )′ = 𝒗𝒖𝒗−𝟏 ∗ 𝒖′ + 𝒖𝒗 ∗ 𝐥𝐧 𝒖 ∗ 𝒗′
98
Перечень рекомендуемых учебных изданий и дополнительной литературы
(переносится из программы п. 3.2.)
Основные источники:
1. АПАНАСОВ П.Т Орлов М.И Сборник задач по математике.
2. Баранова Е.С.: Практическое пособие по высшей математики.
Типовые расчеты. Учебное пособие. М.»Питер». 2008 г
3. Владимирский Ю.Н.: Высшая математика. Краткий курс (Москва.
Окей – книга. 2010г
4. Б.В. Соболь «Практикум по высшей математике. Высшее
образование».
Издание – 4. Ростов – на – Дону «Феникс - 2007».
5. Данко П.Е. «высшая математика в уравнениях и задачах», Ч.1, Ч.2.
Москва
ОНИКС «Мир и образование – 2007».
6. Ильин В.А. «Высшая математика». Издательство «Проспект»,
издательство «Московский университет – 2008».
Дополнительные источники:
1. Музенитов Ш.А.: Математические основы. экономики и методы
оптимизации. Ставрополь 2000г.
2. Богомолов Н.В.: Практические занятия по математике. М.В.Ш.
1997г.
3. Балаян Э.Н. «Иррациональные уравнения и неравенства и системы».
Практику по решению задач». Ростов – на – Дону «Феникс – 2006».
4. Рациональные уравнения, неравенства и системы.
5. Тригонометрические уравнения, неравенства и системы.
6. Справочник по техническим дисциплинам. Высшая математика,
физика, химия. Ростов – на – Дону «Феникс – 2008».
Интернет-ресурсы
99
Заключение
Всякая реформа среднего специального математического образования
прежде всего характерна серьезными изменениями содержания обучения.
Это закономерно и происходит потому что, как правило, основным стимулом
реформы является несоответствие содержание математической подготовки
студентов тем требованиям, которые предъявляются к ней современной
наукой, техникой и производством.
Сущность современной модернизацией курса математики сводится к
тому, что теперь мы преподаем не традиционно элементарную математику.
Это означает, прежде всего, что мы открыто признаем и теоретическую
бесполезность многочисленных привычных вещей и утверждаем, что
математика, действительно полезна в наше время.
Что означает, совершенно особый подход к понятию строгости и
идейной насыщенности курса: мы должны теперь всюду, где это можно
вести студентов прямыми путями к современным методам решения задач,
мы должны уметь отчетливо мотивировать ведение тех или иных понятий,
четко обрисовывая перспективы их развития.
Поэтому в системе методов обучения математики должны найти место
такие методы как самостоятельная и творческая работа, практические
занятия, которые могли бы быть с успехом использованы в обучении
другими студентами. Таковы общие положения, которые по моему мнению,
следует иметь в виду при разработке конкретных методов современного
обучения математики.
100
Рецензия
на «Сборник практических занятий по математике»
2 курс.
Специальности: 080114 «Экономика и бухгалтерский учет»
100701 «Коммерция»
110812 «Технология производства и переработка
сельскохозяйственной продукции
260103 « Технология хлеба и хлебобулочных изделий»
260107 «Технология бродильных производств и виноделия».
Составленный: Алехиной Л.Н.
В данном сборнике практических занятий автор ставит своей целью
оказание помощи студентам средне – специальных учебных заведений в
организации самостоятельной работы по овладению системой знаний,
умений и навыков на практических занятиях в объеме программы 2 курса.
Данное методическое пособие позволяет студентам ознакомиться с
теоретическими обоснованиями и методическими указаниями по
выполнению практического задания, выделить главное и второстепенное,
понять на что надо особо обратить внимание при изучении дисциплины
«Математика».
Имеющийся указатель литературы позволит студентам быстро найти
необходимый материал.
С целью проверки полученных знаний по каждой теме предусмотрены
вопросы для самоконтроля, задачи для самостоятельного решения, вопросы
математического диктанта.
Автор дает подробные образцы решения типовых заданий. Практические
занятия имеют несколько вариантов, что позволяет осуществлять
дифференцированный контроль знаний студентов.
Данное методическое пособие будет полезно как для студентов,
так и для преподавателей математики.
Рецензент: _______________ Н.Г. Михайлова – преподаватель ГБОУ СПО
«Прасковейский сельскохозяйственный
техникум»
101