Методические материалы по физике

Методические материалы по физике
1. Механика
1.1. Шарик скользит без трения по наклонному желобу, а затем движется
по «мертвой петле» радиуса R. С какой силой шарик давит на желоб в
нижней точке петли, если масса шарика m = 100 г, а высота, с которой его
отпускают, равна 4R?
Решение. В соответствии со вторым законом Ньютона в нижней точке
петли
mg+N = ma ,
или N = ma + mg, где m и N — соответственно масса шарика и сила его
давления на желоб, а — центростремительное ускорение шарика. Причем
v2
a
,
R
где R и v — радиус петли и скорость шарика в нижней еѐ точке.
Согласно закону сохранения механической энергии,
mgh =
m v2
,
2
m v2
где h = 4R. Следовательно, N = mg +
= mg + 8mg = 9mg = 9 Н.
R
1.2. На наклонной плоскости находится
брусок, связанный с грузом перекинутой через
блок невесомый нерастяжимой нитью (см.
рисунок). Угол наклона плоскости к горизонту

А
равен  = 30°; масса бруска M = 2 кг,
коэффициент трения бруска о плоскость μ =
0,23, масса груза m = 0,2 кг. В начальный
момент времени брусок покоился на расстоянии x0 = 5 м от точки А у
основания плоскости. Определите расстояние x от бруска до точки А через t
= 2 с.
Решение. Брусок может двигаться
только вдоль наклонной плоскости, силы,
действующие на брусок, обозначены на
рисунке. Поскольку F1 = mg = 2 Н, Mg sinα
= 10 Н, а максимальное значение модуля
силы трения  Fтр  = Mgcos ≈ ≈3,98 Н, то
Х
х0
N
0
M T
T
Fтр
m

А
Mg
F1
сила трения направлена вверх по наклонной плоскости, а брусок движется
вниз по наклонной плоскости.
По второму закону Ньютона ускорение бруска
а = (Mg sinα –μMgcosα –mg)/(m+M).
Направим координатную ось Оx вниз вдоль плоскости, как показано
на рисунке. Координата бруска в момент времени t = 0 равна х0. Тогда в
момент времени t > 0 имеем:
x = x0 - at2/2; x = x0 - (Mg sinα –μMgcosα –mg)t2/2(m+M)  1,35 м.
1.3. Кусок пластилина сталкивается со скользящим навстречу по
горизонтальной поверхности стола бруском и прилипает к нему. Скорости
пластилина и бруска перед ударом направлены противоположно и равны
vпл = 15 м/с и vбр = 5 м/с. Масса бруска в 4 раза больше массы пластилина.
Коэффициент трения скольжения между бруском и столом  = 0,17. На какое
расстояние переместятся слипшиеся брусок с пластилином к моменту, когда
их скорость уменьшится в 2 раза?
Решение. Пусть m – масса куска пластилина, M – масса бруска, u0 –
начальная скорость бруска с пластилином после взаимодействия.
Согласно закону сохранения импульса:
Mvбр – mvпл = (M + m)u0.
Так как M = 4m и vбр =
1
vпл, то
3
1
4m vпл – mvпл = 5mu0,
3
4mvпл – 3mvпл = 15mu0 и u0 =
1
vпл.
15
По условию конечная скорость бруска с пластилином u = 0,5 u0.
По закону сохранения и изменения механической энергии:
 M + m  u02 =  M + m  u 2 + (M + m)gS.
2
2
В результате получаем:
2
2
1
1


5m  vпл 
5m  0,5  vпл 
 15
 =
15

 + 5mgS,
2
2
1 v 2 – 0,25 v 2 = gS,
пл
пл
2  152
2  152
2
3 15
3  vпл
=
 0,22 (м).
2
8 152  0,17 10
8  15  g
2
S =
1.4. Небольшая шайба после удара скользит
B
вверх по наклонной плоскости из точки А (см.
0
рисунок). В точке В наклонная плоскость без излома
R

переходит в наружную поверхность горизонтальной
A
трубы радиусом R. Если в точке А скорость шайбы
превосходит 0= 4 м/с, то в точке В шайба отрывается от опоры. Длина
наклонной плоскости АВ = L = 1 м, угол α = 30°. Коэффициент трения между
наклонной плоскостью и шайбой μ = 0,2. Найдите внешний радиус трубы R.
Решение. Изменение механической энергии шайбы за счет работы силы
трения:
m02
m B2
 mgL sin  
 mgL cos .
2
2
В точке В условием отрыва будет равенство центростремительного
ускорения величине нормальной составляющей ускорения свободного
падения:
 B2
R
 g cos ,   B2  gR cos .
Из полученных соотношений находим внешний радиус трубы R:
R
02
g cos 
 2 L(  tg)  0,3 м.
1.5. Шарик массой m = 0,1 кг на нити длиной L = 0,4 м раскачивают так,
что каждый раз, когда шарик проходит положение равновесия, на него в
течение короткого промежутка времени t = 0,01 с действует сила F = 0,1 Н,
направленная по скорости. Через сколько полных колебаний шарик на нити
отклонится на 60?
Решение. 1) Из выражения, связывающего изменение импульса шарика с
импульсом приложенной силы, найдем скорость шарика при прохождении
положения равновесия после N полных колебаний (учитывая тот факт, что за
одно полное колебание сила подействует дважды):
υ = 2N
Ft
.
m
2) Из закона сохранения механической энергии получим формулу,
связывающую высоту подъема шарика h со скоростью, полученной им после
действия силы; из геометрического построения установим связь между
высотой поднятия шарика и углом отклонения нити α:

m 2
= mgh = 2mgLsin2 .
2
2
3) Формула для искомой величины:

2 gL.
N
F t
Числовой ответ: N = 100 колебаний.
1.6. Под каким углом α к горизонту нужно бросить камень, чтобы
отношение максимальной высоты подъема камня к дальности его полета
составило n  3 /4 ?
m sin
О т в е т:   arctg(4n )  60 .
1.7. Воздушный шар поднимается с поверхности Земли. Скорость его
подъема постоянна и равна v 0 = 5 м/с. Благодаря ветру шар приобретает
горизонтальную компоненту скорости, которая пропорциональна в каждый
момент времени высоте шара над поверхностью Земли. Коэффициент
пропорциональности k = 0,2 с-1. На какое расстояние l переместится шар по
горизонтали, когда он достигнет высоты H = 100 м?
О т в е т: l 
k H2
= 200 м.
2v 0
1.8. Найдите ускорение свободного падения g M вблизи поверхности
планеты Марс. Масса Марса M = 6,41023 кг, его радиус R = 3390 км,
гравитационная постоянная G = 6,6710-11 Нм2/кг2.
О т в е т: g М 
GM
= 3,8 м/с2.
2
R
1.9. Гоночный автомобиль разгоняется в горизонтальном направлении с
ускорением по величине равным 3 g /4. Какова величина F результирующей
силы, с которой гонщик массой m = 70 кг действует при этом на кресло?
Ускорение свободного падения g = 10 м/с2.
О т в е т: F 
5
mg = 875 Н.
4
1.10. Тело массой m = 1 кг бросили под углом к горизонту. В высшей
точке траектории на высоте h = 20 м его кинетическая энергия Eк = 200 Дж.
Под каким углом  к горизонту бросили тело? Ускорение свободного
падения g = 10 м/с2. Сопротивлением воздуха пренебречь.
О т в е т:   аrctg
mgh
 450 .
Eк
2. Молекулярная физика
2.1. В калориметре находился 1 кг льда. Какой была первоначальная
температура льда, если после добавления в калориметр 15 г воды, имеющей
температуру 20С, в калориметре установилось тепловое равновесие при
2С? Теплообменом с окружающей средой и теплоемкостью калориметра
пренебречь.
Решение. Количество теплоты, необходимое для нагревания льда,
находящегося в калориметре, до температуры t:
Q  c1m1 (t  t1 ).
Количество теплоты, отдаваемое водой при охлаждении ее до 0С:
Q1  c 2 m 2 (t 2  0).
Количество теплоты, выделяющееся при отвердевании воды при 0С:
Q 2  m 2 .
Количество теплоты, выделяющееся при охлаждении льда, полученного из
воды, до температуры t:
Q3  c1m 2 (0  t ).
Уравнение теплового баланса:
Q  Q1  Q 2  Q 3 .
Объединяя все записанные уравнения, получаем:
t1 
m1c1t  m 2 (c 2 (t 2  0)    c1 (0  t ))
 5 С .
m1c1
2.2. Один моль идеального одноатомного газа
сначала нагрели, а затем охладили до первоначальной
температуры 300 К, уменьшив давление в 3 раза
(см. рисунок). Какое количество теплоты сообщено
газу на участке 1  2?
V
3
2
V
3
2
1
V
3
2
3
p
2 pp
0
V
Решение. Первый закон термодинамики в процессе 1-2 имеет вид
Q12  U12  A12 ,
где
3
U   R  T
2
и, в частности,
3
U12   R  T12
2
Для процесса 1-2 p  const , следовательно, процесс 1-2 – изобарный. Работу
газа A    pV  при p  const можно записать в виде:
A  p  V12 .
С учѐтом уравнения Менделеева-Клапейрона
pV   RT
можем записать:
A12   R  T12
Следовательно, формула для расчета количества теплоты имеет вид
3
5
Q12   R  T12   R  T12   R  T12 .
2
2
По условию задачи T3  T1 , значит,
5
Q12   R  T23 .
2
Для состояний 2 и 3 можно записать
p2 T2
 .
p3 T3
Учитывая условие p3 
1
p2 , имеем
3
1
T3  T2 или T2  3T3
3
и, соответственно,
T23  T2  T3  3T3  T3  2T3 .
Таким образом,
5
5
Q12   R  T23   R  2T3  5 RT3 ,
2
2
Q23  5 RT1  5 1  8,31  300  12465Дж  12,5 кДж.
2.3. Теплоизолированный сосуд объемом V = 2 м3 разделен
теплоизолирующей перегородкой на две равные части. В одной части сосуда
находится 2 моль He, а в другой – такое же количество моль Ar. Температура
гелия Т1 = 300 К, а температура аргона Т2 = 600 К. Определите парциальное
давление аргона в сосуде после удаления перегородки.
Решение. До удаления перегородки суммарная внутренняя энергия
газов
3
U1 = ν R T1 +T2  ,
2
где  – число молей и аргона, и гелия. После удаления перегородки
температура газов станет одинаковой и равной некоему значению Т. Тогда
внутренняя энергия смеси газов
3
U2 = 2ν RT .
2
Поскольку сосуд теплоизолированный, выполняется закон сохранения
энергии:
U1 = U2,
3
3
ν R T1 +T2  = 2ν RT .
2
2
Отсюда
Т=
Т1  Т 2
.
2
Парциальное давление аргона определяется на основе закона Дальтона из
уравнения Менделеева-Клапейрона:
pArV  RT =  R
T1  T2
.
2
Тогда
рAr 
 R(T1  T2 )
2V
= 3735 Па.
2.4. В теплоизолированном сосуде длительное время находилась вода с
плавающим в ней куском льда. В воду через трубку медленно впустили
порцию водяного пара, имеющего температуру 100 °С (так, чтобы пузырьки
пара не достигали поверхности воды). В результате масса куска льда
уменьшилась на 100 г. Определите массу впущенного пара.
Решение. Длительность нахождения куска льда в воде означает, что и
лѐд, и вода имеют температуру 0°С. Тот факт, что к концу опыта лед
растаял не весь, свидетельствует, что равновесная температура воды и льда
тоже равна 0°С.
Впускаемый в воду пар массой mп конденсируется, отдавая количество
теплоты Q1 = rmп (здесь r — удельная теплота парообразования воды).
Далее конденсировавшаяся вода той же массы остывает от t0 = 100 °С до
0 °С, отдавая количество теплоты Q2 = c mпt0, где с — удельная
теплоемкость воды. Так что в сумме пар и образовавшаяся из него вода
отдали количество теплоты
Q = rmп + c mпt0.
Поскольку сосуд теплоизолированный, а температура воды не
изменилась, то это количество теплоты пошло на таяние mл кг льда при
температуре его плавления, так что Q = λmл, гдеλ— удельная теплота
плавления льда.
Следовательно, rmп + cmпt0 = λmл., и mп =
 mл
r + сt0
≈ 1210 – 3 кг.
2.5. Воздушный шар объемом 2500 м3 с массой оболочки 400 кг имеет
внизу отверстие, через которое воздух в шаре нагревается горелкой. До какой
минимальной температуры нужно нагреть воздух в шаре, чтобы шар взлетел
вместе с грузом (корзиной и воздухоплавателем) массой 200 кг?
Температура окружающего воздуха 7С, его плотность 1,2 кг/м3. Оболочку
шара считать нерастяжимой.
Решение. Шар поднимет груз при условии
(М + m)g + mшg = Vg,
где M и m — масса оболочки шара и масса груза, mш — масса воздуха в
шаре и V = ma — масса такого же по объему воздуха вне шара. Сокращая
уравнение на g, имеем
M + m = ma – mш.
При нагревании воздуха в шаре его давление р и объем V не меняются.
Следовательно, согласно уравнению Клапейрона-Менделеева,
pV =
m
mш
RTш = а RTа ,
μ
μ
где  — средняя молярная масса воздуха, Тш и Та — его температуры
внутри и вне шара. Отсюда
mш = ma
Та
Та
,
= V
Тш
Тш
где  – плотность окружающего воздуха. Тогда
ma – mш = V(1 –
Та
);
Тш
M + m = V(1 –
Та
).
Тш
Следовательно,
(1 –
Та
M + m 400  200
)=
=
= 0,2;
Тш
V
1,2  2500
Та
= 1 – 0,2 = 0,8;
Тш
Тш =
Та
280
=
= 350 К.
0,8
0,8
2.6. Чему равна масса m азота, который содержится в воздухе комнаты
объемом V = 75 м3, если средняя квадратичная скорость молекул азота
Vкв = 500 м/с? Считайте, что воздух состоит из азота и кислорода.
Концентрация молекул азота в β = 4 раза больше концентрации молекул
кислорода. Атмосферное давление P0 = 105 Па.
О т в е т: m 
3P0V
 72 кг .
(1  )Vкв2
2.7. Определите работу A одного моля газа в
процессе 1-2-3-4-5. Температура газа в
состоянии 1 равна T0.
P
P0
5
О т в е т: A  RT0
2
2
3
1
5
4
V0
2V0
2P0
0
3V0
V
2.8.
При
изохорном
повышении
температуры идеального газа на T = 9 К его давление увеличилось на  = 3
%. Какой была начальная температура T газа?
О т в е т: T 
T 100%

= 300 К.
2.9. Масса пустой литровой бутылки равна M = 100 г. Во сколько раз эта
масса больше массы воздуха, заполняющего бутылку при давлении P = 100
кПа и температуре t = 17 0С. Молярную массу воздуха считать равной = 29
г/моль.
О т в е т:
M MRT

 83 , где V = 1 л.
m  PV
2.10. В закрытой бутылке находится некоторое количество воды при
температуре t = 20 0C. Во сколько раз концентрация молекул H 2 O в воде
больше концентрации этих молекул в паре над поверхностью воды?
Давление насыщенного пара при данной температуре P = 2,33 кПа.
О т в е т:
nв RT
4

 5,810 .
nп
P
3. Электромагнетизм.
3.1 Заряженный шарик массой m  1г подвешен на легкой
непроводящей нити и помещен в однородное электрическое поле, вектор
напряженности которого направлен горизонтально, а величина поля
E  100кВ / м . Сначала шарик удерживают в нижней точке, а затем осторожно
отпускают. Найдите заряд q шарика, если в процессе его колебаний
максимальное отклонение нити от вертикали составляет угол   60 ˚.
Сопротивлением воздуха пренебречь. Ускорение свободного падения
g  10 м / c 2 .
Решение.
На рисунке показано крайнее положение шарика
и стрелками обозначены силы, действующие на шарик:
mg - сила тяжести, T - сила натяжения и Fэ  qE электрическая сила. Пусть l - длина нити. Тогда шарик
поднялся на высоту l (1  cos  ) относительно нижней
точки и отклонился от вертикали на величину l  sin  .
Приняв нижнее положение за начало отсчета
потенциальной энергии шарика в поле силы тяжести, по закону изменения
энергии имеем:
mgl  (1  cos  )  A
Здесь A  qEl sin  - работа электрической силы. Для ее вычисления мы
воспользовались тем, что эта работа не зависит от формы пути, а
определяется начальным и конечным положениями заряда. Заметим, что
работа силы натяжения равна нулю, так как эта сила направлена
перпендикулярно скорости. Далее получим:
mgl (1  cos  )  qEl sin  ;

mg  2sin 2
mg (1  cos  )
2  mg  tg   5,8 108 Кл
q



E sin 
E
2
E  2sin  cos
2
2
3.2 Двум металлическим шарам с радиусами r1  10см и r2  15см ,
соединенным длинным тонким проводником, сообщили заряд Q  35нКл .
Затем первый шар поместили внутрь,
металлической
заземленной
сферы
радиусом R  20см (см. рис.). Найдите
какой заряд q перейдет при этом по
соединительному проводнику.
Решение.
Пусть q1 и q2 - заряды первого и второго шаров до помещения первого
шара в заземленную сферу. Их величины найдем из условий равенства их
потенциалов и сохранения заряда:
 kq1 kq2

;

r2
 r1
q  q  Q
 1 2
Здесь
получим:
k
- коэффициент пропорциональности в законе Кулона. Отсюда
q1 
Qr1
r1  r2
После помещения первого шара внутрь сферы, на ее поверхности
появляются индуцированные заряды q ' , вследствие чего изменяется
потенциал шара, что приводит к перераспределению зарядов между шарами.
Заряд q ' найдем из условия равенства нулю потенциала заземленной сферы,
учтя, что ее потенциал создают заряды сферы q ' и шара q1' :
kq1' kq '

0
R
R
Отсюда следует:
q '  q1'
Заряды шаров перераспределяются до выравнивания их потенциалов:
kq1' kq1' kq2'


,
r1
R
r2
а сумма зарядов шаров после их перераспределения остается прежней:
q1'  q2'  Q
Из последних двух уравнений найдем:
q1' 
QRr1
Rr1  Rr2  r1r2
По соединительному проводнику пройдет заряд:
q  q1  q1' 
Qr12 r2
 6нКл
(r1  r2 )( Rr1  Rr2  r1r2 )
3.3 Электрическая цепь состоит из источника с ЭДС
внутренним сопротивлением
и реостата,
r  2Ом
сопротивление которого можно изменять в пределах от
E  6В
с
до 5Ом . Чему равна максимальная тепловая мощность, выделяемая на
реостате?
1Ом
Решение.
Мощность, выделяемая на реостате сопротивлением R в заданной цепи,
равна P  I R , а по закону Ома для полной цепи I  E . Исключив
2
Rr
сопротивление, получим зависимость мощности
тока I :
P
от
P  EI  I 2 r
График этой функции показан на рисунке. Он
представляет собой параболу с характерным
максимумом и пересекает ось токов в точке E r . Это
значение является одним из корней уравнения EI  I 2 r  0 . Из симметрии
параболы следует, что максимальная мощность достигается при токе I m  E
2r
и равна
Pm  EI m  I m2 r  E 
E E2
E2
 2r
2r 4r
4r
Установим, при каком значении внешнего сопротивления
максимальна, воспользовавшись законом Ома для полной цепи:
Im 
R
мощность
E
E

R  r 2r
Отсюда следует, что максимальная мощность тока во внешней цепи
достигается при R  r .
Сравнение значения r  2Ом с пределами изменения сопротивления
реостата показывает, что максимальная тепловая мощность, выделяемая на
реостате, равна
Pm 
E2
 4,5Вт
4r
3.4 Прямой горизонтальный проводник длиной l  0, 5 м подвешен на
двух одинаковых невесомых пружинках жесткостью k  100 Н м и помещен в
однородное вертикальное магнитное поле с
индукцией B  0, 2Тл (см. рис.). Какой угол  будут
составлять оси пружинок с вертикалью, если по
проводнику пропустить ток I  10 A и при этом
пружинки удлинились на x  7 мм каждая. Считать,
что проводник находится в состоянии равновесия.
Решение.
На проводник с током в магнитном поле в условиях данной задачи
действуют силы: mg - сила тяжести; FA  IBl - сила
Ампера, Fy  k x - сила упругости со стороны каждой из
пружинок. Эти силы на приведенном рисунке
обозначены стрелками. Крестик означает, что ток
направлен от нас. При определении величины и
направления силы FA было учтено, что согласно закону
Ампера эта сила перпендикулярна проводнику и
вектору индукции магнитного поля B , а угол между
проводником и вектором B равен 90˚.
Из условия равновесия проводника следует, что векторная сумма всех
сил, действующих на проводник, равна нулю:
FA  mg  2 Fy  0
Отсюда следует, что
2 Fy  mg   FA
Изобразим геометрическое сложение векторов, соответствующие
последнему уравнению (см. рис.).
Из рисунка находим:
sin  
FA
IBl
1
1



,
2 Fy 2k x 1, 4
2
1
  45
 r2 
  arcsin 
3.5 В идеальном колебательном контуре амплитуда колебаний силы
тока в катушке индуктивности I m  5 мА , а амплитуда напряжения на
конденсаторе U m  2, 0 В . В некоторый момент времени t напряжение на
конденсаторе U  1, 2 В . Найдите силу тока I в катушке в этот момент.
Решение.
В идеальном колебательном контуре напряжение на конденсаторе
изменяется с течением времени по закону
U  U m sin wt
(1)
При этом заряд на конденсаторе
q  CU m sin wt ,
а ток в контуре найдем как производную от заряда по времени:
I  wCU m cos wt
Перепишем последнее выражение так:
I  I m cos wt
(2)
Здесь C - емкость конденсатора, w -циклическая частота колебаний, wCU m  I m ,
I -сила тока, которую и надо определить в момент времени t . Если в этот
момент напряжение на конденсаторе равно U  2, 0 В , то из выражения (1)
получим:
sin wt 
а cos wt 
катушке:
1  sin 2 wt  1  U U m 
2
U
,
Um
и из уравнения (2) найдем силу тока в
I  I m 1  (U U m ) 2  4 мА
3.6 Два шарика заряжены одинаковыми зарядами q  2 107 Кл и
закреплены на одной вертикали, проходящей через их центры, на расстоянии
H  50см друг от друга. Верхний шарик массой m  1г освободили, и он стал
подать вниз. На какое минимальное расстояние h верхний шарик
приблизится к нижнему? Коэффициент пропорциональности в законе Кулона
k  9 10 Hм / Кл , ускорение свободного падения g  10 м 2 . Гравитационным
9
2
2
с
взаимодействием шариков друг с другом и сопротивлением воздуха
пренебречь.
Ответ: h  kq 2 / (mgH )  7, 2см
3.7 В электрической цепи, показанной на рисунке, ЭДС
источника
емкость
конденсатора
C  2 мФ ,
E  12 В ,
индуктивность катушки L  5 мГн , сопротивление лампы
R1  5Ом и сопротивление резистора R2  3Ом . В начальный
момент ключ K замкнут. Какая энергия W выделится в лампе
после размыкания ключа? Внутренним сопротивлением
источника, сопротивлением катушки и проводов пренебречь.
Ответ: W 
E 2  CR22  L  R1
2 R22  R1  R2 
 0,12 Дж
3.8 В однородном магнитном поле с индукцией B  0,1Тл расположен
плоский виток проволоки, площадь которого S  103 см 2 , а сопротивление
R  2Ом . Плоскость витка перпендикулярна линиям магнитной индукции.
Виток замкнут на гальванометр. При повороте витка на некоторый угол через
гальванометр прошел заряд q  7,5 103 Кл . Определите, на какой угол 
повернули виток.
Ответ:
  arccos 1  qR / ( BS )   120
.
3.9 Идеальный колебательный контур состоит из конденсатора емкости
c1  1, 0 мкФ и катушки индуктивности L  0, 01Гн . Конденсатором какой
емкости c2 надо заменить конденсатор c1 , чтобы циклическая частота
колебаний энергии катушки в контуре увеличилась на   2, 0 104 c 1 ?
Ответ: c2  4c1 /  2   LC1   0, 25 мкФ
2
4. Оптика и строение атома.
4.1 Между точечным источником света и глазом помещают
плоскопараллельную стеклянную пластину толщиной d  15 мм . Пластинка
перпендикулярна линии, соединяющей источник и глаз. Определите
расстояние l между источником света и его изображением. Углы падения
считать малыми. Показатель преломления стекла n  1, 5 .
Решение.
Построим изображение S ' источника S с помощью двух лучей, один из
которых падает перпендикулярно пластине, а другой – под углом  (см. рис.).
Точка пересечения первого луча с продолжением второго, вышедшего из
пластинки, является изображением
источника. Из геометрии находим:
l  SS '  AS ' / sin 
AS '  BC  BD sin(   )
Здесь  и
преломления.

- углы падения и
BD  BE / cos    / cos 
Решая совместно полученные уравнения, найдем:
l

cos 
 sin     
 cos   sin  
1
sin   cos   cos   sin 

  1 

sin 
cos  sin 
 cos   sin  
Учтя, что по закону преломления
sin 
 n,
sin 
значит cos   cos   1 , окончательно получим:
1

l   1    5 мм
n

и что углы  и

малы, а
4.2 На экране с помощью тонкой линзы получено изображение стержня
с увеличением Г1  5 . Стержень и плоскость экрана расположены
перпендикулярно главной оптической оси линзы. Затем экран передвинули
на f  30см вдоль оптической оси и при неизменном положении линзы
передвинули стержень так, чтобы изображение снова стало резким. В этом
случае получилось изображение с увеличением Г 2  3 . Определите фокусное
расстояние F линзы.
Решение.
Построим изображения стержня для двух случаев, учтя, что линза
собирающая и что для того, чтобы изображение на экране уменьшилось, надо
уменьшить расстояние между экраном и линзой.
По формуле тонкой линзы для первого случая получим:
1
1
1


F d1 f1
Увеличение же Г1 
A' B '
AB

f1
. Из этих уравнений находим:
d1
f1  F  Г1  1
(1)
Аналогично получим для второго случая:
f1  f  F ( Г 2  1)
Из уравнений (1) и (2) получим:
(2)
F
f
 Г1  Г 2   15см .
4.3 От точечного монохроматического источника света S1 параллельно экрану
отодвигают такой же источник S2 до тех пор, пока в точке A на экране, где
наблюдается интерференция, не наступает потемнение (см. рис.). Расстояние
от источника S1 до экрана H  150см . На какое
минимальное расстояние H следует сместить
экран к источнику S1 , чтобы в точке A возник
интерференционный максимум?
Учесть, что расстояние между источниками
d
H
.
Решение.
На рисунке показано положение источников S1 и S2 , соответствующее
условию минимума интенсивности в точке A .
Разность хода волн, приходящих в точку A от
источников S1 и S2 равна:
S2 B  S2 A  S1 A  H 2  d 2  H
Учитывая то, что
d
H
, получим:

H 2  d 2  H 2 1  d 2 / H 2   H 1  d
Мы воспользовались тем, что при
H2
x

12
2

d2 
d2
 H 1 

H

2 
2H
 2H 
1  x 
1
n
 1  nx .
С учетом этого
H
d2
d2
H 
2H
2H
Из условия минимума интенсивности следует:
d2


2H 2
При смещении экрана на величину
получим для условия максимума:
(1)
H
к источнику аналогично
d2

2  H  H 
(2)
Решая совместно уравнения (1) и (2) найдем:
H 
H
 75см
2
4.4 Уровни энергии электрона в атоме водорода определяются
выражением
En  13, 6 / n 2 эВ ,
где n  1, 2, 3... При переходе атома из состояния E2 в состояние E1 атом
испускает фотон, который падает на поверхность фотокатода и выбивает
фотоэлектрон. Длина волны света, соответствующая красной границе
фотоэффекта для материала поверхности фотокатода кр  300нм . Чему равна
максимальная возможная скорость  фотоэлектрона? Масса электрона
m  9,11031 кг , скорость света в вакууме c  3 108 м , постоянная Планка
с
h  6, 6 1034 Дж  с , 1эВ  1, 6 1019 Дж .
Решение.
Согласно квантовым представлениям при переходе атома из состояния
E2 в состояние E1 он испускает фотон с энергией
1 3

h  E2  E1  13, 6 1    13, 6  10, 2 эВ
4 4

Попав на поверхность фотокатода, фотон выбивает фотоэлектрон. При
этом энергия фотона затрачивается на работу выхода электрона и сообщение
ему кинетической энергии в соответствии с уравнением Эйнштейна для
фотоэффекта:
h  A 
Работа выхода
A
mv 2
2
(1)
связана с длиной волны кр соотношением:
A
hc
кр
(2)
Решая совместно уравнения (1) и (2), получим:

2
hc 
6
 h    1, 46 10 м с
m
 
4.5 На рисунке изображены несколько энергетических уравнений
некоторого атома и указаны длины волн фотонов,
излучаемых и поглощаемых при переходах с одного
уровня на другой: 32  545нм , 24  400нм . Известно
также, что минимальная длина волны фотонов,
излучаемых при переходах между этими уровнями,
0  250нм . Определите длину волны 13 ,
соответствующую переходам между уровнями E1 и E3 .
Решение.
Энергия фотонов пропорциональна разности энергий уровней,
соответствующих переходам, и обратно пропорциональна длине волны.
Поэтому минимальная длина волны 0 соответствует переходам между
уровнями E4 и E1 , т.е.
ch
0
(1)
 E4  E1
Запишем такие же уравнения для других длин волн фотонов:
ch
24
ch
32
ch
13
 E4  E2
(2)
 E3  E2
(3)
 E3  E1
(4)
Умножив уравнение (2) на -1 и сложив почленно уравнения (1) – (3),
получим:
ch
0

ch
32

ch
24
Здесь c - скорость света в вакууме,
следует:
ch
13

ch
0
(5)
 E3  E1

h
ch
32
откуда получим, что длина волны
- постоянная Планка. Из (4) и (5)

ch
24
,
13 
1
0

1
1
32

1
 300нм .
24
4.6 Между предметом и экраном помещена собирающая линза с
фокусным расстоянием F  20см . Если линза находится на расстоянии d  25см
от предмета, то на экране наблюдается четкое изображение предмета. В
какую сторону и на какую величину d надо переместить линзу вдоль
главной оптической оси, чтобы на экране снова наблюдалось четкое
изображение предмета?
Ответ:
d 
d  2F  d 
 75см ,
d F
к экрану.
4.7 Монохроматический свет падает нормально на дифракционную
решетку с периодом d  4, 0 мкм . На расстоянии l  100см от решетки на экране
наблюдают дифракционную картину. При этом расстояние между двумя
симметрично расположенными максимумами интенсивности порядка m  2 на
экране равно x  25см . Определите по этим данным длину волны  света.
2
Ответ:   d x / 2 l 2   x   50 мкм
2


4.8 В сосуде находится разряженный атомарный водород. Атом
водорода в основном состоянии поглощает фотон и ионизируется. Электрон,
вылетевший из атома в результате ионизации, движется вдали от ядра со
скоростью   1000 км с . Какова частота  поглощенного фотона? Энергия
основного состояния атома водорода E1  13, 6эВ ; 1эВ  1, 6 1019 Дж , масса
электрона m  9,11031 кг . Постоянная Планка h  6, 6 1034 Дж  с . Энергией
теплового движения атомов пренебречь.

2

Ответ:   1  mv  E1   4 1015 Гц
h 2

4.9  - мезон массой m  2, 4 1028 кг распадается на два  - кванта.
Найдите модуль импульса p одного из образовавшихся  - квантов в системе
отсчета, в которой  - мезон до распада покоился. Скорость света в вакууме
c  3 108 м .
с
Ответ:
p
mc
 3, 6 1020 кг  м
с
2