Электрический диполь и его поле

Электрический диполь
и его поле
Совокупность равных по величине и противоположных по знаку
двух точечных зарядов –q и +q, находящихся на расстоянии l
друг от друга, называется электрическим диполем.

l
€
+q


p = ql
−q
Если длина l мала по сравнению с расстоянием от диполя до
точки наблюдения, то диполь называется точечным.
€
Потенциал поля диполя
P

r−
Θ
−q l

r+
+q
q "1 1%
q r− − r+
ϕP =
−
=
=
$
'
4πε 0 # r+ r− & 4πε 0 r+r−
" l cosΘ %
  
2
2
r+ = r− − l r+ = r− − 2r−l cosΘ + l ≈ r− $1−
'
r
#
&
−

q l cosΘ
q (lr )
r− − r+ = l cosΘ ϕ P =
=
4πε 0 r 2
4πε 0 r 3

1 ( pr )
ϕP =
4πε 0 r 3
Напряженность поля диполя
 

E(r ) = −gradϕ (r )
 %

"
"
p
r
3
p
r)

1 ∂ ( )
1
px %
(
E x (r ) = −
$ 3 '=
$ 5 x− 3 '
4πε 0 ∂ x # r & 4πε 0 # r
r &

"
3
p
r)
py %

1
(
E y (r ) =
$ 5 y− 3 '
4πε 0 # r
r &

"
3
p
r)

pz %
1
(
E z (r ) =
$ 5 z− 3 '
4πε 0 # r
r &
   %
"
 
1 3 ( pr ) r p
E(r ) =
− 3'
$
5
4πε 0 # r
r &
 
r p
1 " 3 pr 2 p %
1 2p
E =
$ 5 − 3'=
4πε0 # r
r & 4πε0 r 3
 
r⊥p
E =
1 p
4πε0 r 3
Силовые линии поля диполя
z

p
€
dy dz
=
E y Ez

r
Θ
y
O
z
€
€
€
€
€
€
€

p
1 " 3pz 2 p %
Ez =
$ 5 − 3'
4πε 0 # r
r &
dy
dz
=
1 3pzy
1 " 3pz 2 p %
− 3'
$
5
5
4πε 0 r
4πε 0 # r
r &
1 3pzy
Ey =
4πε 0 r 5
y = r sin Θ z = r cosΘ
r = Const sin 2 Θ
y
Сила, действующая на диполь во внешнем поле
O

r−
€

−q l

r+
+q

 
 
F = q E(r+ ) − E(r− )
 
  
E(r+ ) = E(r− + l )
 
E x (r− + l ) = E x (x− + lx , y− + ly , z− + lz ) =
(
)
∂ Ex
∂ Ex
∂ Ex
≈ E x (x−, y−, z− ) +
lx +
ly +
lz
∂x
∂y
∂z
 
 
 
E(r+ ) = E(r− ) + l ∇ E

 

 
∂E
F = q l ∇ E = ( p∇) E ≡ p
∂l
( )
€
( )
Момент сил, действующих на диполь
+q
€
F−
€
−q
€ €
€
€

r−

r+ 
l
O

F+
€





M = !"r+ F+ #$ + !"r− F− #$ =







= q !"r+ E+ #$ − !"r− E− #$ = q !"r+ − r−, E #$ =
 


= q !"l , E #$ = !" p, E #$
(
)