ДИНАМИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА

ДИНАМИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА
Момент силы и момент импульса
относительно неподвижной точки
Момент силы и момент импульса
относительно неподвижной точки
Изменение начала:
O

r

r0

r'
   
L  L'r0 , p
  
r  r 'r0
Ц-система:

p0
 
L  L'
O'
В Ц-системе момент импульса системы
материальных точек не зависит от выбора начала.
Момент силы и момент импульса
относительно неподвижной точки
Изменение начала:
  
r  r 'r0

  
M  M ' r0 , F



M  M'
F 0
 

F

F
Пара сил - совокупность двух параллельных друг другу сил, равных по
величине и противоположно направленных.
Момент пары сил не зависит от выбора начала и равен
произведению модуля одной из сил на плечо пары.
Плечо пары сил - кратчайшее расстояние между параллельными
прямыми, вдоль которых действуют силы, образующие пару сил.
Пара сил не имеет равнодействующей, т.е. совместное действие пары сил
нельзя заменить действием одной силы. Пара сил не изменяет
поступательное движение тела, а только вызывает его вращение.
При воздействии на тело, не имеющее закрепленной оси вращения, пара
сил вызывает его вращение вокруг оси, проходящей через центр масс
данного тела.
ДИНАМИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА
Момент силы и момент импульса
относительно неподвижной оси
Момент силы и момент импульса
относительно неподвижной оси
z

M
Mz
Момент силы относительно оси есть проекция на
эту ось момента силы относительно точки, лежащей на
этой оси.
z

F||
O
O
h

F

r
   
F  F||  Fn  F




M  M ||  M n  M

F

Fn
M || z  0
M nz  0
A
z

F

 
M z  Mz  M cos  r F cos  F h
 
M
O
h

r
Момент силы и момент импульса
относительно неподвижной оси
z

F
 
M
O

r
h
z
z

M

r

F

M

r

F
Момент силы и момент импульса
относительно неподвижной оси
Результирующий момент силы относительно оси равен
моменту тангенциальной составляющей этой силы
относительно точки оси, ближайшей к точке приложения силы.
Только тангенциальная составляющая силы способна
вызвать вращение тела вокруг закрепленной оси.
Чем дальше от оси расположена точка приложения
тангенциальной составляющей, тем легче осуществить
поворот вокруг этой оси.
Момент силы относительно оси характеризует способность силы
вращать тело относительно данной оси.
Момент силы относительно точки, в которой закреплено тело,
характеризует способность силы вращать тело вокруг этой точки.
Причем поворот произойдет вокруг оси, параллельной вектору
момента сил.
При вращательном движении силовое воздействие
характеризуется не силой, а моментом силы.
Момент силы и момент импульса
относительно неподвижной оси
Ось z:
Уравнение моментов относительно неподвижной оси z
dLz
 M zвнеш
dt
M zвнеш  0
Закон сохранения момента импульса
относительно неподвижной оси z
Lz   Lzi (t )  const
i
ДИНАМИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА
Вращение вокруг неподвижной оси
Вращение вокруг неподвижной оси
Движение материальной точки
по окружности
L  pr  mvr  mr
2
Вращение твердого тела вокруг
неподвижной оси z
Lz    mi ri
2
i
Lz  I z
L  I
Момент инерции
материальной
точки
I  mr
2
Уравнение динамики
вращ. движения мат. точки
d ( I )
M
dt
Момент инерции АТТ
(системы мат. точек)
I z   mi ri
2
i
I z   r 2 dm
Уравнение динамики вращения
АТТ вокруг неподвижной оси z
I z  M z
Вращение вокруг неподвижной оси
Iz  M z
Момент инерции – мера инертности тела при
вращательном движении.
Кинетическая энергия вращающегося АТТ вокруг неподвижной оси:
1
1
I z
Lz
2
2 2
K   mi vi   mi ri 

2 i
2 i
2
2I z
2
2
Работа внешних сил при вращении АТТ вокруг неподвижной оси:
 
A  F , dr  F ds  F rd  M z d


2
A   Md
1
d
A  M z d  I z
dt  I zd
dt
I z22 I z12
A12 

2
2
Вращение вокруг неподвижной оси
Поступательное движение
Масса
Скорость
Момент инерции
m

 dr
v
dt
Угловая скорость

 d 2r
a 2
dt

Сила
F


Импульс
p  mv

Основное уравнение  dp
F
динамики
dt
Работа
dA  FS dS
Ускорение
Кинетическая энергия
Вращательное движение
mv 2
2
I



d
dt

d 2
 2
dt

Момент силы
M


Момент импульса L  I

Основное уравнение 
dL
M
динамики
dt
Работа
dA  Md
Угловое ускорение

Кинетическая энергия I 2
2
ДИНАМИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА
Момент инерции
Момент инерции
I z   r dm
2
Момент инерции АТТ зависит от:
-массы тела;
-формы и размеров тела;
-распределения массы относительно оси вращения,
в частности, выбора оси вращения.
При переносе оси вращения или частей тела момент инерции
z
изменяется.
r
I z   r 2 dm   r 2 d ( V )  0  r 2 dV

I z  0   sin    2 sin  ddd
2
R

2
0
0
0
I z  0   4 d  sin 3 d  d
R5 
2
I z  0 2  1  cos  d cos  1
5
0
R5
4
I z  0 2
5
3
2
I z  mR 2
5
Момент инерции
Теорема Гюйгенса – Штейнера: Момент инерции I твердого тела
относительно произвольной оси равен сумме момента инерции IС
этого тела относительно оси, параллельной данной и
проходящей через центр масс тела, и произведения массы m
тела на квадрат расстояния a между осями.
I  I C  ma 2
Доказательство:
O

ri

a
mi
 2
I   mi ri   mi ri ' a 
2
i
i


2

I   mi ri ' 2 a ,  mi ri '   a  mi
i
 i

i



I  I C  2 a ,  mi ri '   ma 2
 i


 mi ri '  0
2

r 'i
C
 1

R   mi ri
m i
i
Момент инерции
Тело
Положение оси
Полый тонкостенный цилиндр (кольцо)
радиуса r и массы m
Ось цилиндра
Сплошной цилиндр (диск) радиуса r и
массы m
Ось цилиндра
Сплошной цилиндр массы m с
внешним радиусом r2 и внутренним
радиусом r1
Ось цилиндра
Сплошной цилиндр длины l, радиуса r
и массы m
Ось перпендикулярна к цилиндру и проходит через его
середину
Полый тонкостенный цилиндр (кольцо)
длины l, радиуса r и массы m
Ось перпендикулярна к цилиндру и проходит через его
середину
Момент инерции
Момент инерции
Тело
Положение оси
Прямой тонкий стержень длины l и
массы m
Ось перпендикулярна к стержню
и проходит через его середину
Прямой тонкий стержень длины l и
массы m
Ось перпендикулярна к стержню
и проходит через его конец
Тонкостенная сфера радиуса r и массы Ось проходит
m
через центр
сферы
Шар радиуса r и массы m
Ось проходит
через центр
шара
Момент инерции
ДИНАМИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА
Плоское движение твердого тела
Плоское движение твердого тела
Кинетическая энергия при плоском движении АТТ :
~ mVC
KK
2
2

VC
I C 2 mVC
K

2
2
2
ДИНАМИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА
Примеры сохранения момента
импульса
ДИНАМИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА
Гироскоп
Примеры сохранения момента импульса

dL 
 M внеш
dt

M внеш  0

L  I  const
Пируэт
Скамья Жуковского
Сальто
I11  I 22