Линейная теория ростa адиабатических возмущений плотности.

Линейная теория ростa адиабатических
возмущений плотности.
Согласно современным наблюдательным данным, Вселенная в высокой степени
однородна и изотропна на масштабах ≥ 300 мпк. Этот вывод основан на наблюдаемом распределении галактик,
радиогалактик и высокой степени изотропии ре¯
∆T ¯
−5
ликтового излучения T ¯ o ∼ 10 . Что позволяет использовать в качестве фоновой
10
модели (для исследования эволюции крупномасштабной структуры Вселенной) однородную и изотропную модель Фридмана (Ландау и Лифшиц, 1988), метрика которой
в пространственно-плоском случае может быть выписана в виде:
ds2F = dt2 − a2 (t)d~x2 = a2 (η)(dη 2 − d~x2 )
(1.1)
или в сферических координатах
³
´
ds2F = dt2 − a(t)2 dr2 + r2 sin2 θdθ2 dφ2 ,
(1.2)
где a(t) – масштабный фактор, t и η – соответственно, физическое и комформное время, (η, ~x) – комформные координаты или сопутствующие координаты Минковского.
Метрика Фридмана взаимно однозначно связана с наблюдаемым законом расширения Вселенной – законом Хаббла: H = v · R, где v – лучевая скорость объекта,
находящегося на расстоянии R от наблюдателя, H – универсальная постоянная. Этот
закон не зависит ни от направления наблюдений, ни от положения наблюдателя.
Динамика Вселенной определяется уравнениями Эйнштейна 1 :
Gij = 8πGTji ,
(1.3)
где Tji – тензор энергии-импульса материи, для которого справедлив локальный закон
сохранения:
j
Ti,j
= 0,
(1.4)
где ковариантная производная по координатам обозначена символом а Gij – тензор
Эйнштейна, образованный из нулевых, первых и вторых производных компонент
метрического тензора.
Для случая идеальной жидкости Tji = (ρ+P )ui uj −P gji , где ρ – плотность материи,
P – давление, ui = (1/a, 0, 0, 0) – невозмущенная 4-скорость материи, и уравнения
Эйнштейна принимают вид2 :
3H 2 = ρ,
(1.5)
- из уравнения Too = Goo , где H =
ȧ
a
– постоянная Хаббла;
ä
1
= − (ρ + 3P )H
ȧ
6
(1.6)
-из уравнения Tβα = Gαβ ).
Уравнения (1.4, 1.5, 1.6) называются уравненями Фридмана.
Из закона сохранения (1.4) следует:
ρ̇ = −3H(ρ + P )
1
(1.7)
Всюду греческие символы принимают значения 1,2,3; латинские 0,1,2,3 ; gik = diag(1, −, −, −);
подъем и опускание латинских индексов производится с помощью метрического фридмановского
тензора, а греческих – с помощью единичной матрицы δαβ .
2
В системе единиц 8πG = c = h̄ = 1
1
Значение величины Ωtot ≡ ρρc , где ρc = 3Ho2 определяет свойства глобальной геометрии мира – закрытую (Ωtot > 1), открытую(Ωtot < 1), плоскую (Ωtot = 1) глобальную
геометрию мира (Ландау и Лифшиц, 1998).
Задавая уравнение состояния P = P (ρ) и решая совместно уравнения (1.5),(1.6),
можно получить различные законы динамики масштабного фактора.
Например, для случая Ωtot = 1 и ΩΛ = 0:
• P = −ρc2 – де-Ситтеровская стадия:
a(t) = a0 eHt
H = const;
• P =
ρc2
3
– радиационно-доминированная (РД) стадия:
µ
a(t) = a0
t
t2
¶1
2
• P = 0 – материально-доминированная (МД) стадия:
µ
a(t) = a0
t
t3
¶2
3
Масштабный фактор a, полагаемый в настоящий момент равным 1, связан со
значением красного смещения z (определяемым из наблюдений) следующим соотноa0
шением: a(t)
= 1 + z(t) .
Впервые адиабатические возмущения плотности вещества в однородных и изотропных космологических моделях были исследованны Лифшицем (Лифшиц, 1946),
рассмотревшим возмущения метрики как поправку к фридмановской модели, т.е.
нашел решения уравнений Энштейна в метрике:
ds2 = ds2F + hij dxi dy j ,
(1.8)
ds2 = (gij0 + hij )dxi dxj = (1 + h00 )dt2 − a2 (δαβ + hαβ )dxα dxβ ,
(1.9)
или
где h00 – ньютоновский гравитационный потенциал.
Тензор возмущений метрики может быть разложен по неприводимым представлениям, классификация которых сводится к определению возможных типов волн, в
виде которых может быть представлен любой симметричный тензор второго ранга
hij :
1
hij = Qδij + P,ij + Si,j + Gij
(1.10)
2
для которого в координатном пространстве соблюдены следующие условия:
Si,i = 0
Gji δij = 0
Gji,j = 0
Смысл величин функций будет ясен из более подробного рассмотрения данной
классификации и условий на функции в фазовом пространстве.
2
1. С помощью скалярной функции: Q = ei~e~r можно составить тензоры
1
Qij = δji
3
kj k i
1
Pji = δji − 2 Q.
3
e
i
i
Эти тензоры определены так, что Qi = 1,Pi = 0. С помощью той же функции Q
можно составить вектор Pi = kki Q. Таким плоским волнам соответствуют возмущения, в которых наряду с гравитационным полем испытывают изменения
также и потенциальное поле скоростей и плотность материи, т.е. мы имеем дело
с возмущениями, сопровождающимися возникновением сгущений или разрежений материи. Возмущение hij выражается при этом через тензоры Qδij , P,ij ,
возмущение скорости vi – через вектор P,i , а возмущение плотности δρ – через
скаляр Q.
2. С помощью поперечной векторной волны:
~
Si = si eik~r ,
где вектор si определяется условием:
si k i = 0,
можно составить тензор Sji = k1 (k i Sj + kj S i ). Соответсвующего же скаляра не
существует, поскольку Sj k i = 0. Этим волнам соответствуют возмущения, в
которых наряду с гравитационным полем испытывает изменение также и поле
скоростей, но не плотности материи – это вращательные возмущения. Возмущение hij выражается при этом через тензор S,ji , а возмущение v i через вектор
S i.
3. Поперечная тензорная волна:
~
Gij = γji eik~r ,
где тензор γij определяется условием:
γij k j = 0.
С ее помощью нельзя составить ни вектора, ни скаляра (поскольку Gij ki = 0
, Gij kij = 0) . Этим волнам соответствуют возмущения гравитационного поля, при которых мaтерия остается неподвижной и однородно распределенной
в пространстве. Другими словами, это – гравитационные волны в изотропном
мире.
Необходимо отметить, что имеет смысл использовать приближение в котором рассматривается только первый и третий тип возмущений, т.к., согласно современным
наблюдательным данным, векторные возмущения чрезвычайно малы по амплитуде.
И с точки зрения инфляционных теорий, основанных на скалярных полях, векторные
возмущения не генерируются в первом порядке теории возмущений (но возможны в
теориях инфляции, основанных на векторных полях).
Подставляя в уравнения Эйнштейна компоненты δTij и δGij , выраженные через
hij , получим уравнение эволюции hij для первого типа возмущений (скалярных). В
частности, для динамики скалярных возмущений на материально-доминированной
3
стадии, имеем следующее линеаризованное уравнение (Лифшиц, 1946) (для плоской
Вселенной с ΩΛ = 0) :
Ã
0 0!
1
δρ
2a h
j,i
,i
=
hi,j − h,i +
,
ρo
2ρa2
a
где 0 означает производную по комформному времени, ρ0 – современная средняя
плотность Вселенной. Для скалярных возмущений hi,j выражается через скалярные
функции Q и P в соответствии с (1.10): 12 hij = Qδij +P,ij а его зависимость от времени
определяется "недиагональными"уравнениями Эйнштейна для hij . Т.е., уравнение
динамики возмущений плотности δ = ρδρo выглядит следующим образом:
1
∆P
δ̈ + 2H δ̇ + ρo δ = δ
,
2
ρ0 a2
(1.11)
где ∆P = 0 для изотропной среды.
Поскольку метрика в рассматриваемых небольших областях пространства является локально-минковской, то произвольное возмущение в каждой такой области в
линейном приближении может быть разложено по плоским волнам. Понимая под
~r сопутствующий радиус-вектор, можно написать пространственный периодический
~
множитель плоских волн в виде eik~r , где ~k – безразмерный волновой вектор, а k ≡ 2πa
λ
– сопутствующее волновое число.
Таким образом, разлагая δ по фурье-компонентам
δ(r, t) =
X
~
δk (t)eik~r
(1.12)
k
получим дифференциальное уравнение динамики для каждой из гармоник:
δ̈k + 2H δ̇k + ω 2 δk = 0,
где
Ã
kvs
1
ω = ρo −
2
a
(1.13)
!2
2
,
(1.14)
q
а vs = dP
– скорость звука. Необходимо отметить, что уравнение (1.9) требует
dρ
задания начальных условий для самой переменной и для ее первой производной.
Для барионной материи с ненулевым давлением уравнение (1.14) с нулевой правой
частью определяет в теории образования структуры важную величину – джинсовскую длину волны:
Ã
kvs
a
!2
1
= ρo =⇒ k =
2
s
ρo a
=⇒ λJ =
2vs2
s
4π 2 vs2
.
ρo
Волны с длиной волны λ < λJ распространяются во Вселенной в виде звуковых колебаний, волны же с длиной волны λ > λJ экспоненциально возрастают по-амплитуде
со временем, что соответствует возмущениям, коллапсирующим в объекты. Т.е., возмущения с λ > λJ растут со временем в соответствии с решением уравнения (1.13);
возмущения с λ < λJ – это затухающие звуковые волны.
Джинсовской длине волны соответсвует масса:
4
MJ = πλ3J ρo .
3
Согласно (Mueller and Seming, 1996), джинсовская масса до момента рекомбинации:
MJ ' 9 · 1016 (Ωtot h2 )−2 M¯ ;
4
сразу после рекомбинации:
MJ ' 1.3 · 105 (Ωtot h2 )−0.5 M¯ .
Последнее выражение получено в предположении мгновенности рекомбинации.
5