Пособие по физике. «Механика». В 3

Федеральное агентство по образованию
Национальный исследовательский ядерный университет
«МИФИ»
А.Н. Долгов
Пособие по физике
«МЕХАНИКА»
Часть 1
КИНЕМАТИКА
В помощь учащимся 10—11 классов
Москва 2009
УДК 531(075)
ББК 22.2я7
Д 64
Долгов А.Н. ПОСОБИЕ ПО ФИЗИКЕ «МЕХАНИКА». В 3-х ч. Ч. 1. Кинематика. В помощь учащимся 10—11 классов. — М.: МИФИ, 2009. — 116 с.
В пособии дается систематическое изложение основного содержания школьного курса физики по разделу «Кинематика» в соответствии с требованиями образовательного стандарта для профильных классов общеобразовательных школ.
Подробно рассмотрено решение 37 задач, в том числе предлагавшихся на проводимой в МИФИ Всероссийской олимпиаде Федерального агентства по атомной
энергии. Пособие содержит 126 задач различной степени сложности для самостоятельного решения, которые снабжены ответами и указаниями. Звездочкой (*) отмечены задачи, требующие для успешного решения не только уверенного знания
школьного курса физики и математики, но и смекалки. Символами А, В и С отмечены задачи, примерно соответствующие по уровню сложности задачам, предлагаемым в частях Единого государственного экзамена по физике.
В части 2 будет рассмотрен раздел «Динамика. Статика», в части 3 — раздел
«Законы сохранения».
Пособие предназначено для углубленного изучения физики.
Работа с данным пособием поможет подготовиться к участию в олимпиадах и
поступлению в МИФИ.
Рецензент канд. физ.-мат. наук, доц. Д.Е. Прохорович
Рекомендовано к изданию редсоветом МИФИ
ISBN 978-5-7262-1154-1
© Национальный исследовательский ядерный
университет «МИФИ», 2009
Редактор Н.В. Шумакова
Оригинал-макет подготовлен Л.М. Бурлаковой
Подписано в печать 27.05.2009. Формат 60х84 1/16.
Уч.-изд.л. 7,25. Печ.л. 7,25. Тираж 3000 экз.
Изд.№ 042-1а. Заказ №
Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ».
115409, Москва, Каширское ш., 31
ЗАО «Типография САРМА».
142115, г. Подольск Московской обл., ул. Правды, 30
ВВЕДЕНИЕ
§ 1. Скалярные и векторные величины.
Сведения о векторах и действиях с ними
В дальнейшем мы будем иметь дело с двумя типами физических
величин: скалярными, которые характеризуются численным значением, и векторными, которые характеризуются численным значением и направлением, кроме того, складываются по правилу параллелограмма. Численное значение вектора называется его модулем.
Образно говоря, модуль вектора выражает его длину (для физических величин — в соответствующих единицах измерения).
На чертежах векторы изображаются в виде прямолинейных отрезков со стрелкой на конце. Длина отрезка определяет в установленном масштабе модуль вектора, а стрелка указывает направление
вектора. При письме векторы принято обозначать буквами со
r
стрелкой над ними, например, a . Такая же буква без стрелки, т. е.
a , используется для обозначения модуля вектора. При печати векторы иногда обозначают буквами жирного шрифта. В этом случае
такая буква обычного шрифта используется для обозначения модуля вектора. В дальнейшем мы будем придерживаться обозначений,
принятых при письме. Кроме того, мы будем пользоваться для обозначения модуля вектора алгебраическим символом для выражения
модуля числа — скобками в виде двух вертикальных черточек:
r
a= a .
Векторы, направленные вдоль параллельных прямых (в одну и
ту же или в противоположные стороны), называются коллинеарными. Векторы, которые лежат в параллельных плоскостях, называются компланарными. Посредством параллельного переноса коллинеарные векторы могут быть расположены вдоль одной и той же
3
прямой, а компланарные векторы — сведены в одну плоскость.
Совпадающие по модулю коллинеарные векторы, имеющие одинаковое направление, считаются равными друг другу.
Для сложения двух векторов, наr
r
пример, a и b по правилу параллелограмма необходимо путем параллельного переноса расположить указанные векторы в одной плоскости
так, чтобы совпадали их начала. ЗаРис. 1.1
r
r
тем из концов векторов a и b проводят прямые, параллельные парному вектору, до их пересечения,
r
r
т. е. строят параллелограмм, в котором векторы a и b являются
r
сторонами. Вектор c , построенный на диагонали параллелограмма,
как это показано на рис. 1.1, является суммой складываемых векторов:
r r
c = a +b .
Практически сложение векторов удобнее производить без построения параллелограмма — по правилу треугольника. Как видно
из рис. 1.2, такой же результат достигается, если начало второго
r
r
вектора b совместить с концом первого ( a ) , а затем из начала
( )
r
первого провести в конец второго результирующий вектор ( с ).
Рис. 1.2
Рис.1.3
r
r
r
Разностью двух векторов a и b называется такой вектор c , коr
r
торый в сумме с вектором b дает вектор a (рис. 1.3).
4
r
Проекция ax вектора a на ось OX
определяется как произведение модуля
r
вектора a = a на косинус угла α между
r
направлением вектора a и оси OX
(рис. 1.4):
r
ax = ПрOX a = a ⋅ cos α .
Рис. 1.4
(1.1)
Проекция вектора есть величина алгебраическая:
ax > 0, если α <
π
;
2
ax = 0, если α =
π
;
2
ax < 0, если α >
π
.
2
При сложении векторов складываются и их проекции. Модуль
вектора может быть выражен через проекции вектора на координатные оси декартовой системы координат:
a 2 = a x2 + a 2y + a z2 .
(1.2)
r
В результате умножения вектора a на скаляр β получается ноr
r
r
вый вектор b = β a , для которого b = β a . Направление вектора b
r
либо совпадает с направлением исходного вектора a (если β > 0 ),
r
либо противоположно направлению вектора a (если β < 0 ).
r
Любой вектор a может быть представлен в виде суммы его составляющих вдоль избранных направлений, например, координатных осей (рис. 1.5)
5
r r
r
r
a = a x + a y + az
(в общем случае) или через проекции
вектора {a x , a y , a z } на соответствующие оси декартовой системы координат
Рис. 1.5
r
r
r
r
a = a x ⋅ еx + a y ⋅ e y + a z ⋅ ez ,
(1.3)
r r r
где е x , e y , e z , — единичные, т. е.
r
r
r
еx = e y = ez = 1, безразмерные век-
торы, задающие направление в пространстве
координатных осей OX, OY и
Рис. 1.6
OZ и называемые ортами (рис. 1.6).
r
r r
Вместо приведенных обозначений ортов еx , e y и ez могут примеr
r r
няться эквивалентные (равнозначные) им обозначения i , j и k ,
r r
r r r r
т. е. i ≡ ex , j ≡ e y и k ≡ ez .
§ 2. Понятия предела, производной и интеграла
2.1. Понятие предела и производной. Одним из основных
свойств, характеризующих функцию, является скорость ее изменения. Пусть аргумент x функции f (x) получил приращение Δ x ,
т. е. начальное значение аргумента равно x , а конечное x + Δ x .
Приращением функции, которое обусловлено приращением аргумента, называют (в математике и физике) величину
Δ f ( x) = f ( x + Δ x ) − f ( x) .
(2.1)
Приращение — алгебраическая величина, которую нельзя
отождествлять
с
«увеличением».
Действительно,
если
f ( x + Δ x) < f ( x) , то Δ f ( x) < 0 , т. е. приращение — отрицательно.
К сожалению, в школьных учебниках общепринятый термин «при6
ращение» зачастую подменяют неопределенным понятием «изменение».
Средняя скорость изменения функции на участке от x до
x + Δ x вычисляется по формуле
Δ f ( x ) f ( x + Δ x) − f ( x )
=
.
Δx
Δx
а)
(2.2)
б)
Рис. 2.1
Средняя скорость изменения как характеристика функции обладает существенным недостатком, который иллюстрируется рис. 2.1.
Как видно из рисунка функции f1( x) и f 2 ( x) получили одинаковое приращение Δ y на одном и том же интервале значений аргумента от x до x + Δ x , следовательно, одинаковыми будут и средние скорости изменения функций f1( x) и f 2 ( x) на этом отрезке.
Между тем, из графиков видно, что функция f 2 ( x) меняется гораздо быстрее и резче, чем f1( x) . Поэтому в математике и физике
принято характеризовать функцию величиной, которую можно было бы назвать мгновенной скоростью изменения функции, а именно, производной.
Для производной принято обозначение (в случае функции коорdf
. По определению продинат) f ′(x ) или более универсальное
dx
7
изводной функции, т. е. f (x) в точке x называется предел отношеΔ f ( x)
при Δ x , стремящемся к нулю:
ния
Δx
d f ( x)
f ( x + Δ x) − f ( x)
= f / ( x) = lim
.
Δ
x
→
0
dx
Δx
(2.3)
Понятие предела проиллюстрируем на двух примерах.
Пример 1. Рассмотрим ряд (другими словами последовательn
, где номер числа an принимает последованость) чисел an =
n +1
1
2
тельно значения n = 1, 2, 3,..., т. е. ряд чисел: a1 = , a2 = ,
2
3
3
a3 = ,... Пределом данной последовательности чисел при n стре4
мящемся к бесконечности является число 1:
lim аn = 1 .
n →∞
Рис. 2.2
Это означает, что с возрастанием номера n числа в указанном
ряду разница между аn и пределом последовательности по вели1
будет неограниченно убывать, каждое послечине 1 − аn =
n +1
дующее число в указанном ряду будет неограниченно приближаться к числу 1 на числовой оси (рис. 2.2), т. е. при n стремящемся к
бесконечности отличие аn от предела указанной последовательности (ряда) чисел может быть сколь угодно малым.
8
Пример 2. Рассмотрим функцию
на отрезке
f ( x) = x 2
x ∈ [ 0, 2 ]
(рис. 2.3). Возьмем
последовательность
значений
аргумента такую, что 0 <
< x1 < x2 < ... < xn < ...< 2 , и соответствующую ей последовательность значений функции
y1 = f ( x1 ) , y2 = f ( x2 ) , ... , yn =
= f ( xn ) . При неограниченном
Рис. 2.3
приближении значения аргумента xn к точке x = 2 на оси OX зна-
чение функции yn = f ( xn ) будет неограниченно приближаться к
точке y = 4 на оси OY. Таким образом, пределом функции f (x) при
x стремящемся к 2 будет 4:
lim f x = lim x 2 = 4 .
x →2
x →2
Рассмотрим пример вычисления производной функции, исходя
из ее определения.
Пример 3. Пусть f ( x ) = x 2 . Тогда f ( x + Δ x ) = x 2 + 2 x ⋅ Δ x +
+ (Δ x) 2 , и
Δ f ( x) = f ( x + Δ x ) − f ( x) = 2 x ⋅ Δ x + ( Δ x ) 2 ,
Δ f ( x)
= 2x + Δ x .
Δx
Считая x произвольной фиксированной величиной (числом),
получим
Δ f ( x)
lim
= 2x ,
Δ x →0 Δ x
т. е.
df
= f ′( x) = 2 x при любом x ∈ ( − ∞ , + ∞) .
dx
9
2.2. Правила дифференцирования. Найти производную функции (чаще говорят «продифференцировать функцию») можно, воспользовавшись определением (2.3). Однако если запомнить производные простейших функций, то отыскать производную любой
элементарной функции можно с помощью нескольких несложных
приемов. Производные простейших функций приведены в табл. 1.
Таблица 1
№
f ( x)
1
x
2
e
/
f ( x)
μ
μx
x
e
μ −1
x
№
f ( x)
/
f ( x)
5
cos x
− sin x
6
tg x
1
2
cos x
3
ln x
4
sin x
1
7
x
ctg x
1
2
− sin x
cos x
Приведем основные правила дифференцирования более сложных выражений:
1) производная суммы функций равна сумме производных
функций;
2) если функция f (x) является произведением функций f1 ( x ) и
f 2 ( x ) , т. е. f ( x) = f1 ( x ) ⋅ f 2 ( x) , то
f ′( x ) = f1′( x ) ⋅ f 2 ( x ) + f1 ( x ) ⋅ f 2′ ( x) .
(2.4)
В частности, если f 2 ( x) = А = const , то f ′( x ) = A f1′( x) , поскольку производная от константы равна нулю;
3) производная «сложной» функции y ( x) = f (ϕ ( x) ) вычисляется в два этапа. Сначала вычисляют производную f по ϕ , при этом
временно рассматривают ϕ как независимую переменную (аргумент), а затем полученное выражение умножают на производную
ϕ по x , т. е.
10
y′( x) =
d f dϕ
⋅
.
dϕ dx
(2.5)
Проиллюстрируем эти правила дифференцирования функций на
примерах.
Пример 4. y ( x ) = x 2 ⋅ e x . Функция y (x) является произведением
функций f1 ( x ) = x 2 и f 2 ( x ) = e x . Обратившись к табл. 1 находим
f1′ ( x ) = 2 x , f 2′ ( x ) = e x и с помощью правила (2.4) получим
y′( x ) = 2 x ⋅ e x + x 2 ⋅ e x .
Пример 5. y ( x ) = cos a x , где a = const . y (x) является «сложной» функцией, которую можно представить в виде y = cos ϕ , где
ϕ = a x . Воспользовавшись формулой (2.5) и табл. 1, получим
y′( x) = ( − sin ϕ) ⋅ a = − a ⋅ sin a x .
Δf
= tg α , где α — угол, обΔx
разованный осью OX и прямой, проведенной через точки графика
функции y = f (x) , соответствующие значениям аргумента x и
x + Δ x . При стремлении Δ x к нулю точка 2 «скользит» по графику
Как видно из рис. 2.4, отношение
Рис. 2.4
11
функции в направлении, указанном стрелкой, приближаясь к точке 1. В результате прямая, проведенная через точки 1 и 2, будет
приближаться к касательной, проведенной через точку 1 графика.
Естественно, что производная функции f ′( x ) будет численно равна тангенсу угла β , образованного касательной к графику в данной
точке и осью OX: f ′( x ) = tg β .
В тех точках, где функция f (x)
достигает максимума или минимума, касательная к ее графику параллельна оси OX (рис. 2.5), угол β
между касательной и осью OX обращается в нуль и, следовательно,
tg β = 0 . Таким образом, чтобы найРис. 2.5
ти, в каких точках функция достигает максимума или минимума, следует решить уравнение
f ′( x ) = 0 .
(2.6)
2.3. Понятие определенного и неопределенного интеграла.
На рис. 2.6 изображен график функции y = f (x) , причем f ( x) > 0 .
Требуется найти площадь фигуры, ограниченной сверху графиком
функции f (x) , слева и справа — отрезками прямых, проведенных
через точки x = a и x = b параллельно оси ординат (OY), снизу —
осью абсцисс (OX).
Для вычисления площади
указанной фигуры разобьем
отрезок [ a , b ] на n отрезков
b−a
длиной Δ x =
каждый и
n
присвоим им номера i = 1, 2,
, ..., n , например, слева направо. Построим n прямоугольников с основанием равным Δ x
Рис. 2.6
и высотами f ( x1∗ ) , f ( x2∗ ) , …,
12
…, f ( xi∗ ) ,…, f ( xn∗ ) , где xn∗ — абсцисса любой точки, лежащей
внутри отрезка оси OX с номером i. Ясно, что искомая площадь S
приближенно равна сумме площадей прямоугольников. Площадь
прямоугольника с номером i очевидно равна Δ Si = f ( xi∗ ) ⋅ Δ x , следовательно,
S ≈ f ( x1∗ ) ⋅ Δ x + f ( x2∗ ) ⋅ Δ x + . . . + f ( xi∗ ) ⋅ Δ x + . . . + f ( xn∗ ) ⋅ Δ x =
n
= ∑ f ( xi∗ ) ⋅ Δ x .
(2.7)
i =1
Выражение, стоящее в правой части формулы (2.7), называется
интегральной суммой. Приближенное равенство в формуле (2.7)
будет выполняться тем точнее, чем меньше отрезок Δ x . Чтобы
получить точное выражение для площади S, следует взять предел
выражения (2.7), устремив длину отрезка Δ x к нулю, очевидно,
что число слагаемых при этом будет стремиться к бесконечности:
n
∑
Δ x→0
S = lim
i =1
f ( xi∗ ) ⋅ Δ x = lim
n
∑
n→∞
i =1
f ( xi∗ ) ⋅
b−a
.
n
(2.8)
Предел интегральной суммы (2.8) называется определенным интегралом от функции f (x) в пределах от a до b. Для обозначения
определенного интеграла принята запись
b
S = ∫ f ( x ) dx .
(2.9)
a
Перейдем теперь к вопросу о том, как на практике осуществить
вычисление определенного интеграла, не прибегая непосредственно к нахождению предела интегральной суммы, т. е., как говорят,
аналитически.
13
Если функции F (x) и f (x) связаны соотношением
F ′( x) =
dF
= f ( x) ,
dx
(2.10)
то функция F (x) называется неопределенным интегралом (или
первообразной) функции f (x) и обозначается следующим образом:
F ( x) = ∫ f ( x) d x .
(2.11)
В отличие от обозначения (2.9), в обозначении (2.11) отсутствуют пределы интегрирования.
Из формулы (2.10) следует, что неопределенный интеграл неоднозначен, действительно, если F (x) удовлетворяет соотношению
(2.10), то и функция F ( x) + С , где С — произвольная постоянная
величина, удовлетворяет соотношению (2.10). Отсюда и происходит термин «неопределенный интеграл».
Между определенным и неопределенным интегралами имеется
простая связь. Согласно формуле Ньютона—Лейбница
b
∫
f ( x ) d x = F (b ) − F ( a )
(2.12)
a
определенный интеграл от функции f (x) на интервале от a до b
равен приращению неопределенного интеграла (первообразной)
данной функции на указанном интервале. Иногда правую часть
(2.12) обозначают иначе:
F (b) − F ( a) = F ( x)
b
a
.
Таким образом, выражение определенного интеграла сводится к
нахождению неопределенного интеграла от подынтегральной
функции. Первообразные некоторых функций приведены в табл. 2.
14
Таблица 2
№
f ( x)
1
x
2
e
F ( x)
x
μ
f ( x)
4
sin a x
5
cos a x
μ+1
μ +1
аx
№
e
аx
1
−
cos а x
a
sin a x
a
а
3
F ( x)
ln x + a
x+a
При интегрировании следует помнить два правила:
1) интеграл суммы функций равен сумме интегралов от каждой
функции в отдельности:
F ( x) = ∫ [ f1 ( x ) + f 2 ( x )] d x = ∫ f1 ( x ) d x + ∫ f 2 ( x ) d x ;
(2.13)
2) постоянный множитель можно вынести из-под знака интеграла:
∫A
f ( x) d x = A ∫ f ( x) d x .
15
(2.14)
КИНЕМАТИКА
§ 3. Относительность механического движения.
Система отсчета. Траектория, путь и перемещение.
Материальная точка
Кинематика — раздел механики, изучающий движение тел без
рассмотрения причин, вызывающих движение.
Механическое движение — изменение с течением времени положения тел в пространстве относительно других тел. Характер
движения рассматриваемого тела зависит от того, относительно
каких иных тел рассматривается это движение.
Тело отсчета — тело, относительно которого рассматривается
положение других тел в пространстве.
Система отсчета — система координат, связанная с телом отсчета, и выбранный метод отсчета времени, т. е. часы.
Материальная точка (частица) — тело, размерами и формой
которого можно пренебречь в условиях данной задачи.
r
Радиус-вектор r — вектор, проведенный из начала системы
координат в интересующую нас точку пространства. Положение
материальной точки в пространстве может быть задано ее радиусвектором (рис. 3.1).
r
Радиус-вектор r можно разложить на составляющие вдоль координатных осей:
r
r
r
r
r (t ) = x(t ) ⋅ ex + y (t ) ⋅ e y + z (t ) ⋅ ez ,
16
(3.1)
где x (t ), y (t ), z (t ) — координаты точки, положение
которой задано радиусr
вектором (на рис. 3.1 r =
r
r
= x A ⋅ ex + y A ⋅ e y ).
Перемещение — вектор
соединяющий точку
пространства, в которой
Рис. 3.1
частица находилась в начальный момент движения
(в момент времени t1 ) , и точку, в которой частица находилась в
конечный момент (в момент времени t 2 , причем t2 > t1 ).
На рис. 3.1
r
Δr ,
r
r
r
Δ r = ( x B − x A ) ⋅ ex + ( y B − y A ) ⋅ e y .
(3.2)
r
С точки зрения математики перемещение Δ r — это приращеr
ние радиус-вектора r (за время движения t2 − t1 ). Модуль (величина) перемещения и, одновременно, расстояние между точками А и
В на плоскости XOY:
r
Δ r = ( xB − x A ) 2 + ( y B − y A ) 2 .
(3.3)
Траектория — линия, описываемая движущейся материальной
точкой в пространстве.
Путь — длина участка траектории от начального до конечного
положения материальной точки.
Очевидно, что величина перемещения и путь, пройденный материальной точкой за тот же промежуток времени, связаны соотношением (см. рис. 3.1)
r
Δr ≤ S ,
(3.4)
где S — путь, пройденный частицей при движении из точки пространства А в точку В.
17
Задачи
3.1. Средний радиус Земли равен приблизительно 6400 км. Выразите эту величину в метрах, сантиметрах, миллиметрах.
Ответ: 6,4 ⋅ 108 см .
3.2. Космический корабль «Восток-5» с космонавтом Валерием
Быковским на борту n = 81 раз облетел вокруг Земли. Считая радиус Земли R = 6400 км , орбиту круговой, высоту орбиты над поверхностью Земли H = 200 км , найти путь, пройденный космическим кораблем на орбите.
Ответ: S ≈ 3,36 ⋅ 109 м .
3.3. Возраст человека составляет 60 лет. Выразите длительность
этого интервала времени в месяцах, неделях, сутках, часах, минутах, секундах.
Ответ: 3,8 ⋅ 103 нед .
3.4А. Мяч с высоты h1 = 1 м над поверхностью земли был подброшен вертикально вверх еще на h2 = 2 м и упал на землю. Найти
r
путь S и величину перемещения Δ r мяча.
r
Ответ: S = 5 м ; Δ r = 1 м .
3.5А. Самолет пролетел на север l1 = 400 км , затем повернул на
восток и пролетел еще l2 = 300 км . Найти путь S и перемещение по
r
величине Δ r за все время полета, если высота полета не изменялась.
r
Ответ: S = 700 км ; Δ r = 500 км .
3.6. Двигаясь прямолинейно в плоскости XOY, частица переместилась из точки А в точку В (рис. 3.2). Определить путь S, модуль
r
перемещения Δ r , проекцию перемещения на оси OX и OY.
Решение. В данном случае в силу прямолинейности движения
без изменения его направления
r
S = Δr .
18
Рис. 3.2
r
Для нахождения проекций вектора перемещения Δ r на координатные оси можно, например, представить перемещение следующим образом (рис. 3.3):
r
r r
Δ r = OB − OA = rB − rA ,
r
r
где rA и rB — радиус-векторы точек А и В;
r
r
r
r
r
r
Δ r = − x A ⋅ ex − y A ⋅ ex + y B ⋅ e y = ( xB − x A ) ⋅ ex + ( y B − y A ) ⋅ e y ,
согласно формуле (3.2);
r
Δ r = ( x B − x A ) 2 + ( y B − y A ) 2 = 58 м ,
согласно формуле (3.3);
r
ПрOX Δ r = Δ x = xB − xA = − 50 м ;
r
ПрOY Δ r = Δ y = yB − y A = − 30 м ;
в соответствии с формулой (1.3).
Рис. 3.3
19
3.7. В момент времени t1 = 1 c частица находилась в точке пространства с координатами x1 = 2 м; y1 = 2 м. К моменту времени
t2 = 3 c частица переместилась в точку с координатами x2 = 3 м;
y2 = − 3 м. Чему равна проекция перемещения на оси OX и OY? Чему равен модуль перемещения частицы?
r
r
r
Ответ: ПрOX Δr =1 м ; ПрOY Δ r = − 5 м ; Δ r = 7 м .
Рис. 3.4
r
r
3.8. На рис. 3.4 показаны перемещения четырех тел: Δ r1 ; Δ r2 ;
r
r
Δ r3 ; Δ r4 . Найти: а) начальное и конечное положения каждого те-
ла; б) проекции перемещения каждой точки на координатные оси;
в) модуль перемещения каждого тела.
Ответ:
а) x1нач = −1 м , y 1нач = 2 м , x1кон = − 3 м , y1кон = 1 м ;
x 2нач = 1 м , y 2нач = 2 м , x 2 кон = 3 м , y 2кон = 3 м ;
x 3нач = − 2 м , y 3нач = −1 м , x 3кон = − 2 м , y 3кон = − 3 м ;
x 4нач = 2 м , y 4нач = −1 м , x 4кон = 4 м , y 4кон = − 3 м ,
20
б) Δ x1 = − 2 м , Δ y1 = −1 м ;
Δ x2 = 2 м , Δ y 2 = 1 м ;
Δ x3 = 0 м , Δ y3 = − 2 м ;
Δ x4 = 2 м , Δ y4 = − 2 м ,
r
в) Δ r1 = 2,2 м ;
r
Δ r2 = 2,2 м ;
r
Δ r3 = 2 м ;
r
Δ r4 = 2,8 м .
Рис. 3.5
3.9. На рис. 3.5 показана траектория движения материальной
точки. Ее начальное положение — точка А на плоскости XOY, конечное — точка С. Найти проекции перемещения тела на осях OX и
OY, модуль перемещения и путь пройденный телом.
Ответ: Δ x = 2,0 м ;
Δ y = 2,0 м ;
r
Δ r = 2,8 м ;
S = 4,0 м .
А
3.10 . Материальная точка движется по окружности радиуса
10,0 м. Найти путь и модуль перемещения, если тело прошло:
а) четверть окружности; б) пол-окружности; в) три четверти окружности; г) полную окружность.
r
Ответ: а) S = 7,85 м , Δ r = 14,1 м ;
r
б) S = 15,7 м , Δ r = 20,0 м ;
r
в) S = 23,6 м , Δ r = 14,1 м ;
r
г) S = 31,4 м , Δ r = 0 .
3.11. Частица, двигаясь в плоскости XOY, переместилась из точки А в точку В (рис. 3.6). Найти модуль приращения радиус-вектора
частицы и приращение модуля радиус-вектора частицы.
r
Ответ: Δ r = 2,00 м ;
r
Δ r = Δ r = 1,37 м .
21
Рис. 3.6
Рис. 3.7
3.12*. Частица совершает два последовательных перемещения в
плоскости XOY: величиной S1 , двигаясь прямолинейно под углом
α к оси OX, и величиной S2 , двигаясь прямолинейно под углом β
к оси OX (рис. 3.7). Найти путь, пройденный частицей, модули перемещения и проекции перемещения на оси OX и OY.
Ответ: S = S1 + S 2 ;
Δ x = S1 cos α + S 2 cos β ;
⎛π
⎞
⎛π
⎞
Δ y = S1 cos ⎜ − α ⎟ + S 2 cos ⎜ − β ⎟ = S1 sin α + S 2 sin β ;
⎝2
⎠
⎝2
⎠
r
Δ r = S12 + S 22 − 2 S1 S 2 cos (π − β + α ) = S12 + S 22 + 2 S1 S 2 cos (β − α ) .
3.13*. Частица совершает два
последовательных перемещения в
плоскости XOY: из начала координат, двигаясь прямолинейно под
углом α к оси OX и, затем, двигаясь прямолинейно под углом β к
оси OX (рис. 3.8). В результате частица оказалась на оси OY на расстоянии r от начальной точки
движения.
Найти путь, пройденный
Рис. 3.8
частицей.
r ⋅ cos β
r ⋅ cos α
r (cos α + cos β)
.
+
=
Ответ: S = S1 + S 2 = −
sin (β − α) sin (β − α)
sin (β − α)
22
3.14В. Движение
материальной
точки
описывается
уравнением
r
r
r
2
r (t ) = 2 t ⋅ e x − (t − 1) ⋅ e y . Найти урав-
нение траектории y (x) при t ≥ 0 .
Изобразить траекторию движения
тела графически в координатных
осях XOY.
Решение. Согласно условиям задачи и формуле (3.1) зависимость
координат тела от времени можно
выразить уравнениями:
Рис. 3.9
x
x2
⇒ y ( x) = −
+1 .
2
4
Полученному уравнению траектории y (x) на плоскости XOY
соответствует парабола, ветви которой направлены вниз (рис. 3.9).
В начальный момент времени t = 0 координаты тела x = 0 , y = 1 . В
дальнейшем при t > 0 координата x > 0 , следовательно, траектория движения тела при t ≥ 0 будет представлять собой правую
ветвь параболы.
3.15С. Движение материальной точки описывается уравнением
r
r
r
r = 2 t ⋅ ex + (2 + 3 t 2 ) ⋅ e y , где время t измеряется в секундах, а коx (t ) = 2 t и y (t ) = − ( t 2 − 1) ⇒ t =
ординаты тела — в метрах. Найти: а) модуль радиус-вектора в моменты времени t0 = 0 (начало движения), t1 = 1,0 с и t2 = 2,0 с ;
б) модуль перемещения за вторую секунду движения; в) уравнение
траектории движения y (x) .
r
r
r
Ответ: а) r0 = 2,0 м , r1 = 5,4 м , r2 = 14,6 м ;
r
б) Δ r12 = 9,2 м ;
3 2
x + 2 при x ≥ 0 .
4
r
3.16. Движение частицы описывается уравнением
r=
r
r
= R sin ω t ⋅ ex + R cos ω t ⋅ e y , где R и ω — известные положительв) y ( x) =
ные постоянные. Найти уравнение траектории частицы.
23
Ответ: траектория — окружность радиуса R с центром в начале координат. Уравнение траектории x 2 + y 2 = R 2 .
3.17*. Первая частица движется в плоскости XOY по траектории,
описываемой уравнением y = 5 x 2 . Движение второй частицы описывается уравнениями x = 2 t , y = 8 t , где время движения t измеряется в секундах, а координаты частиц x и y — в метрах. Возможна ли встреча этих частиц? Если да, то в какой момент времени и
каковы координаты их места встречи?
Ответ: время и координаты возможного места встречи частиц
t = 0,4 с , x = 0,8 м ; y = 3,2 м .
Указание. В момент встречи координаты тел совпадают.
3.18. Две материальные точки движутся так, что координаты
первой x1 = 2 ⋅ cos 2π t , y1 = 2 ⋅ sin 2π t , z1 = 0 , а радиус-вектор втоr
r
r
рой точки r2 = 4 t ⋅ ex + (1 − 4 t 2 ) ⋅ e y , где время t выражается в секундах, а координаты — в метрах. Определить расстояние l между
точками в момент времени t = 0,5 с после начала движения, если
точки начинают движение в момент t0 = 0 .
Ответ: l = 3 м .
3.19*. Две материальные точки движутся
по осям OX и OY (рис. 3.10). В момент времени t0 = 0 первая точка находилась на расстоянии l1 , а вторая — на расстоянии l2 , от
начала координат скорости точек v1 и v 2
соответственно. Каково будет минимальное
расстояние между точками?
Решение. Запишем квадрат расстояния
между
точками как функцию времени соРис. 3.10
гласно соотношению (3.3) f ( x) = S 2 =
= (l1 − v1 ⋅ t ) 2 + (l 2 − v 2 ⋅ t ) 2 ; используя дифференцирование по времени и уравнение (2.6), найдем
t min =
v1 ⋅ l1 + v 2 ⋅ l2
v12 + v 22
⇒ S min = l1 ⋅ v 2 − l2 ⋅ v1
24
v12 + v 22 .
§ 4. Средняя и мгновенная скорости.
Равномерное движение
r
Средняя скорость v определяется как отношение перемещеr
ния Δ r , совершенного телом за интервал времени t1 ÷ t 2 , к величине этого интервала Δ t = t 2 − t1 :
r
r Δr
v =
.
Δt
(4.1)
r
(Мгновенная) скорость v — векторная физическая величина,
характеризующая как быстроту движения, так и его направление в
данный момент времени, и равная, по определению, первой производной по времени от радиус-вектора движущейся частицы:
r
r
r
Δ r d r r&
v = lim
=
=r.
Δ t →0 Δ t
dt
(4.2)
r
Обозначение r& принято для производной по времени. Мгновенная скорость направлена по касательной к траектории частицы (рис. 4.1). Действительно, средняя скорость направлена
вдоль секущей АВ, совпадающей с перемещением. Если рассматриваемый
Рис. 4.1
интервал времени движения частицы
устремить к нулю Δ t → 0 , то в пределе
точки траектории А и В сольются в одну точку А и секущая превратится в касательную. Используя представление радиус-вектора и
вектора скорости через их проекции на координатные оси в декартовой системе координат, получим соотношение
25
r d
r
r
r
r
r
r
v=
( x (t ) ⋅ e x + y (t ) ⋅ e y + z (t ) ⋅ ez ) = x& ⋅ ex + y& ⋅ e y + z& ⋅ ez =
dt
r
r
r
= v x ⋅ ex + v y ⋅ e y + v z ⋅ ez ,
связывающее проекции вектора скорости частицы с ее координатами.
Средняя путевая скорость (средняя скорость прохождения пути) — скалярная величина, равная, по определению, отношению
пути Δ S , пройденному за промежуток времени t1 ÷ t 2 , к величине
этого промежутка
vS =
ΔS
.
Δt
(4.3)
(Мгновенная) путевая скорость равна первой производной пути
по времени
v S = lim
Δt → 0
ΔS dS &
=
=S.
Δt
dt
(4.4)
Из геометрии известно, что длина хорды, стягивающей дугу,
при стремлении длины дуги к нулю стремится к длине дуги, т. е.
r
Δ r → Δ S при Δ S → 0 .
Следовательно, мгновенная путевая скорость равна модулю
мгновенной скорости
r
Δr
r
ΔS
v S = lim
= lim
= v = v.
Δt → 0 Δt
Δt → 0 Δt
(4.5)
В силу равенства (4.5) термины «средняя путевая скорость» и
«мгновенная путевая скорость» являются редко употребляемыми.
26
Соответствующие величины обычно называют «средний модуль
скорости» и «модуль скорости», а часто, если из текста задачи ясно, что речь не идет о векторной величине, употребляются термины «средняя скорость» и «скорость».
Движением с постоянной скоростью называется движение, при
r
котором v = const . Если мы проинтегрируем левую и правую части
равенства (4.2) в пределе от t0 до t , где t0 и t — время, соответствующее началу и произвольному моменту движения, то получим
уравнение движения с постоянной скоростью:
t
∫
t0
r
r t
dr
dt = v ∫ dt ,
dt
t
0
согласно (2.12)
r
r
r
r (t ) − r (t0 ) = v ⋅ (t − t0 ) ,
r
r
обозначим r (t0 ) ≡ r0 , тогда
r
r r
r (t ) = r0 + v ⋅ (t − t0 ) ,
(4.6)
x (t ) = x0 + v x ⋅ (t − t0 ) .
(4.7)
или в проекции
При t0 = 0 , т. е. если отсчет времени начался в момент начала
движения, уравнение движения с постоянной скоростью принимает
вид
r
r r
r (t ) = r0 + v ⋅ t ,
(4.8)
x (t ) = x0 + v x ⋅ t .
(4.9)
или в проекции
27
r
Движение с постоянной по модулю скоростью v = v = const
называется равномерным движением. Если мы проинтегрируем
левую и правую части равенства (4.4), то получим уравнение равномерного движения
S (t ) = v ⋅ (t − t 0 ) ,
(4.10)
при t0 = 0 уравнение (4.10) принимает вид
S (t ) = v ⋅ t ,
(4.11)
Отметим, что в случае движения с постоянной скоростью средr
r
няя скорость равна мгновенной скорости v = v . В случае равномерного движения средний модуль скорости равен модулю мгноr
r
венной скорости v = v = v = v .
Задачи
4.1А. Движение частицы вдоль оси OX описывается уравнением
x = 10 t , где время t измеряется в секундах, а координата x — в
метрах. Найти модуль и направление скорости частицы. Найти перемещение и путь, пройденный частицей за любые Δ t = 2 с движения.
Решение. Согласно уравнению движения с постоянной скоростью (4.9) тело начало движение в момент времени t0 = 0 из точки
с координатой x0 = 0 со скоростью, проекция которой на ось OX
v x = 10 м/с . Следовательно, v = v x = 10 м/с . Проекция вектора
скорости на ось OX — положительна, отсюда делаем вывод о том,
что вектор скорости направлен вдоль оси OX. Путь, проходимый
телом за промежуток времени Δ t , в соответствии с соотношением
(4.10), равен
S = v ⋅ Δ t = 20 м .
28
Используя уравнение (4.7), можно определить перемещение тела (проекцию вектора перемещения на ось OX)
Δ x = v x ⋅ Δ t = 20 м .
4.2. Материальная точка движется равномерно вдоль оси OX
так, что в начальный момент времени t0 = 0 ее координата
x0 = 10 м , а через время Δ t = 2 мин ее координата x1 = 250 м . С
какой скоростью движется точка?
4.3А. Материальная точка движется равномерно вдоль оси OX
так, что в момент времени t1 = 1 с ее координата x1 = 5 м , а к моменту времени t2 = 5 с ее координата x2 = − 3 м . Найти скорость
движения точки. Найти перемещение и путь, пройденный точкой за
любые Δ t = 3 с движения.
Ответ. Точка движется против направления оси OX со скоростью v = 2 м/с , Δ x = − 6 м , S = 6 м .
4.4А. По оси OX движутся две частицы: первая по закону
x1 = 10 + 2 t , вторая по закону x2 = 4 + 5 t . Все размерные параметры приведены в единицах системы СИ. В какой момент времени
они встретятся? Какова координата места встречи?
Ответ: tвстр = 2 с ; xвстр = 14 м .
4.5В. Первый автобус выехал из пункта А в пункт В в момент
времени t1 = 9 ч 00 мин и двигался со скоростью v1 = 40 км/ч .
Второй автобус выехал из пункта В в пункт А в момент времени
t1 = 9 ч 30 мин и двигался по той же дороге со скоростью
v 2 = 60 км/ч . Расстояние между пунктами А и В, измеренное вдоль
дороги, составляет S = 120 км . В котором часу автобусы встретились? На каком расстоянии от пункта А произошла встреча?
Решение. Условия задачи позволяют нам рассматривать автобусы в качестве материальных точек, так как пройденные ими до
встречи расстояния заведомо много больше размеров движущихся
тел. Используя формулу (4.7), составим уравнения движения для
каждого автобуса (рис. 4.2) и учтем то обстоятельство, что при
29
встрече координаты движущихся тел совпадут. Получим систему
уравнений
⎧ x1 = v1 ⋅ ( t − t1 ) ;
⎪
⎨ x2 = S − v 2 ⋅ ( t − t1 ) ;
⎪x =x ,
2
⎩ 1
Рис. 4.2
решение которой дает нам значения искомых величин:
tвстр =
S + v1 ⋅ t1 + v 2 ⋅ t 2
= 10,5 ч ;
v1 + v 2
x1 ( tвстр ) = 60 км .
4.6В. Из пунктов А и В, расстояние между которыми равно S ,
одновременно навстречу друг другу начали двигаться два автомобиля: первый со скоростью v1 , второй со скоростью v 2 . Через какое время после начала движения автомобили встретятся? На каком расстоянии от пункта А произойдет их встреча?
S
v ⋅S
Ответ: tвстр =
; S2 = 2
.
v1 + v 2
v1 + v 2
4.7В. Первый автобус выехал из населенного пункта в момент
времени t1 = 9 ч 30 мин и двигался со скоростью v1 = 40 км/ч .
Второй автобус выехал из этого же населенного пункта в момент
времени t2 = 9 ч 30 мин и двигался той же дорогой и в том же направлении со скоростью v 2 = 60 км/ч . В котором часу второй автобус догнал первый? На каком расстоянии от населенного пункта
(измеренном вдоль дороги) произошла встреча?
Ответ: tвстр = 10 ч 30 мин ; S встр = 60 км .
30
4.8С. Пролетая над пунктом А пилот вертолета встретил воздушный шар, который сносило ветром по курсу вертолета. Через время
t = 0,5 ч пилот повернул назад и встретил шар на расстоянии
S = 30 км от пункта А. Какова скорость ветра?
Решение. В условии задачи предполагается, что скорость шара
относительно воздуха равна нулю, т. е. скорость шара относительно земли равна скорости ветра, скорость же вертолета относительно воздуха постоянна по величине. В силу того обстоятельства, что
вертолет движется вдоль направления ветра, в системе отсчета,
связанной с воздушным шаром (в которой шар неподвижен), вертолет движется равномерно вдоль фиксированной прямой, проходящей через шар, сначала удаляясь от него до точки поворота, а
затем приближаясь к нему. Из выше сказанного вытекает, что промежуток времени между моментом первой встречи вертолета и шара и моментом поворота совпадают по величине с промежутком
времени между поворотом и моментом второй встречи вертолета и
шара. Следовательно,
v ветра =
S
= 30 км/ч .
2t
4.9С. Маленький фонарик движется со скоростью v 0 в направлении, перпендикулярном стене. Фонарик светит под углом α к
направлению своего движения (рис. 4.3). Найти скорость светового
«зайчика» на стене.
Рис. 4.3
Рис. 4.4
31
Решение. Зададимся некоторым интервалом времени Δ t. За указанный интервал времени фонарик переместится из точки А в точку
А′, а световой «зайчик» — из точки С в точку С′ (рис. 4.4). Прямые
АС и А′С′ — параллельны. Восстановим в точке С′ перпендикуляр
к прямой С′С′ до пересечения с прямой АС в точке В. Так как прямая АА′ перпендикулярна прямой СС′ по условию задачи, то прямые АА′ и ВС′ окажутся параллельными, следовательно угол СВС′
равен углу ВАА′ и равен α . АА′С′В — параллелограмм, следовательно, отрезок АА′ равен отрезку ВС′ и равен по величине перемещению фонарика за время Δ t , т. е. равен v0 ⋅ Δ t . Отрезок СС′, в
свою очередь, равен перемещению светового «зайчика» за тот же
промежуток времени, т. е. равен v ⋅ Δ t , где v — искомая скорость
светового «зайчика».
Замечая, что в прямоугольном треугольнике ВСС′ отношение
сторон СС′ и ВС′ равно тангенсу угла α , можем составить уравнение
tg α =
v ⋅ Δt
,
v0 ⋅ Δ t
решение которого дает ответ на вопрос задачи:
v = v 0 ⋅ tg α .
4.10С. В системе, изображенной на
рис. 4.5, левый блок движется вниз со скоростью v1 , а правый — вверх со скоростью v 2 . Левый конец веревки, переброшенной через блоки, неподвижно закреплен, к правому концу прикреплен груз.
Найти скорость груза.
Ответ: v груза = 2 ⋅ ( v1 + v 2 ) .
Рис. 4.5
Указание. Задаться интервалом времени
Δ t и выразить изменение длины верти32
кальных участков веревки через Δ t , v1 и v 2 , учитывая постоянство длины веревки; принять во внимание то обстоятельство, что помимо изменения расстояния от груза до точки А правого блока,
произойдет перемещение точки А за время Δ t .
4.11С. Прямая АВ, образующая угол α с осью OX, движется со
скоростью v , причем вектор скорости параллелен оси OX
(рис. 4.6). С какой скоростью движется точка пересечения этой
прямой с осью OY?
Ответ: v′ = v ⋅ tg α .
Рис. 4.6
Рис. 4.7
4.12С. Прямая АВ, образующая угол α с осью OX, движется со
скоростью v , причем вектор скорости составляет прямой угол с
прямой АВ (рис. 4.7). С какой скоростью (v1 ) движется точка пересечения этой прямой с осью OX? С какой скоростью (v 2 ) движется
точка пересечения этой прямой с осью OY?
v
v
Ответ: v1 =
; v2 =
.
sin α
cos α
4.13*. Самолет летит горизонтально со скоростью v = 470 м/с .
Человек услышал звук от самолета через время t = 21 с после того,
как самолет пролетел над его головой. На какой высоте летит самолет? Скорость звука в воздухе c = 330 м/с .
33
Рис. 4.8
Решение. Рассмотрим процесс распространения звуковой волны
от летящего со сверхзвуковой скоростью самолета (рис. 4.8). При
своем движении самолет испускает звуковую волну последовательно из каждой точки пространства, лежащей на траектории (например, точек А, В, С и D на рис. 4.8). Испущенная из какой-либо
точки пространства звуковая волна распространяется по всем направлениям с одной и той же скоростью — скоростью звука. Совокупность точек пространства, до которых дошла звуковая волна от
точечного источника, образует волновой фронт, имеющий форму
сферической поверхности радиусом, равным с ⋅ t , где с — скорость звука, t — продолжительность распространения волны от
источника звука. Сливаясь друг с другом, волны, испущенные из
различных точек траектории движения самолета, формируют в результате волновой фронт, представляющий собой коническую поверхность с вершиной в той точке пространства, где в данный момент находится самолет (точка D на рис. 4.8). Стоит отметить, что
данная коническая поверхность является описанной по отношению
к формирующим ее сферическим волновым фронтам и, следовательно, образующие конуса являются касательными по отношению
к указанным сферическим поверхностям. На рис. 4.9 представлен
момент времени, когда конический волновой фронт АВ достает человека, находящегося в точке А, т. е. человек услышал звук от пролетающего самолета, который в этот момент находится в точке В.
Начало отсчета времени соответствует положению самолета в точке О на высоте h над головой человека. Отрезок ОС, перпендикулярный волновому фронту АВ, соответствует расстоянию, прой34
денному звуковой волной, испущенной из точки О за время t, которое потребовалось самолету для того,
чтобы переместиться из точки О в
точку В. Из подобия треугольников
ОСВ и ОАВ на рис. 4.9 следует:
с ⋅t
h
=
v⋅t
h2 + v2 ⋅ t 2
⇒ h=
⇒
Рис. 4.9
с⋅t
1 − с2 v2
= 9900 м .
4.14*. Сверхзвуковой «самолет» летит со скоростью v = 1000 м/с
на высоте H = 4 км над поверхностью Венеры. Звук от «самолета»
дошел до космонавтов, находящихся на поверхности планеты, через t = 3 с после того, как он пролетел над их головами. Какова
скорость звука в атмосфере Венеры?
Ответ: с = v 1 + v 2 ⋅ t 2 H 2 = 800 м/c .
4.15С. Автомобиль удаляется со скоростью v от стены, двигаясь
под прямым углом к ней. В момент времени, когда расстояние до
стены равно l, шофер подает короткий звуковой сигнал. Какое расстояние пройдет автомобиль до момента, когда шофер услышит
эхо? Скорость звука в воздухе равна с.
2l v
.
Ответ: S =
c−v
4.16В. Легковой автомобиль длиной l1 = 4 м двигается с постоянной скоростью v1 = 30 м/c по шоссе. В течении какого времени
автомобиль будет проезжать мимо автобуса длиной l2 = 16 м , идущего по встречной полосе со скоростью v 2 = 10 м/c ?
35
Рис. 4.10
Решение. На основании рис. 4.10 можно составить уравнение
l1 + l2 = v1 ⋅ t + v 2 ⋅ t
⇒ t=
l1 + l2
= 0,5 c .
v1 + v 2
Рассмотрим ситуацию, например, с точки зрения водителя автомобиля, т. е., другими словами, перейдем в систему отсчета, связанную с автомобилем. Как это следует из рисунка, в указанной
системе отсчета автобус (каждая точка автобуса) проходит путь
равный l1 + l2 . Из полученного выражения для времени проезда, а
интервал времени между двумя событиями одинаков во всех системах отсчета с точки зрения классической (ньютоновской) механики, получаем, что скорость автобуса в системе отсчета, связанной с автомобилем равна v1 + v 2 .
4.17В. Легковой автомобиль длиной l1 = 4 м , движущийся по
шоссе со скоростью v1 = 30 м/c , обгоняет автобус, длина и скорость которого равны l2 = 16 м и v 2 = 10 м/c , соответственно, едущий в том же направлении. В течение какого времени автомобиль
будет проезжать мимо автобуса? Какова скорость автобуса относительно автомобиля?
Ответ: t = 1 c , v = 20 м/c .
36
4.18*. Гидролокатор подлодки, погружающейся вертикально
вниз, излучает импульсы ультразвуковых волн длительностью Δ t0 .
Скорость звука в воде — с, скорость подлодки — v. Какова длительность отраженных от дна сигналов, принимаемых на лодке?
Гидролокатор, являющийся одновременно источником и приемником ультразвуковых волн, принять за материальную точку.
c−v
.
Ответ: Δ t = Δ t0 ⋅
c+v
4.19*. Теплоход длиной l = 300 м плывет с некоторой скоростью
v1 по озеру. Катер, движущийся со скоростью v 2 = 90 км/ч параллельно теплоходу, проходит от кормы к носу теплохода и возвращается к корме за полное время t = 37,5 с . Определить скорость
теплохода.
Ответ: v1 = v 2 ⋅ ( v 2 − 2 l t ) = 15 м/c = 54 км/ч .
Указание. Перейти в систему отсчета,
связанную с теплоходом.
4.20А. Двигаясь с запада на восток, пешеход прошел путь S1 = 3 км , затем, двигаясь с севера на юг, он прошел еще
S 2 = 4 км . Полное время движения составило t = 2 ч . Определить средний модуль
скорости и модуль средней скорости пешехода.
Рис. 4.11
Решение. Согласно определению (4.1)
модуль средней скорости (рис. 4.11)
r
Δr
S12 + S 22
r
v =
=
= 2,5 км/ч .
t
t
Согласно определению (4.3) и равенству (4.5) средний модуль
скорости
r
v
= v =
S1 + S 2
= 3,5 км/ч .
t
37
4.21В. На дорогу от Москвы до Кубинки, протяженностью S =
= 63 км , пассажир электрички тратит время t = 1 ч 10 мин . Средняя
скорость движения электрички v ср = 70 км/ч . Какое время зани-
мают остановки?
Решение: Из текста условия задачи следует, что при расчете v ср
во внимание принималось только время движения электрички, а
время t включает в себя время движения и время, затрачиваемое на
остановки. Отметим, что в условии данной задачи термином
«средняя скорость» обозначена величина, определяемая как средний модуль скорости:
v ср =
S
t − tост
⇒ tост = t −
S
= 16 мин .
v ср
4.22В. Автобус двигавшийся со скоростью v = 50 км/ч , простоял
перед закрытым железнодорожным переездом t = 1,5 мин . С какой
скоростью он должен продолжить движение, чтобы не выбиться из
расписания, если расстояние от переезда до ближайшей остановки
маршрута S = 3,75 км ?
Решение: Средняя скорость на маршруте должна остаться равной v, для этого скорость автобуса v′ на участке от переезда до
ближайшей остановки должна удовлетворять условию
v=
S
S
+t
v′
⇒ v′ =
v⋅S
= 75 км/ч .
S − v ⋅t
В данном случае, в отличие от предыдущей задачи, время прохождения пути, необходимое для расчета средней скорости, должно включать время, затраченное на остановку.
4.23В. Поезд прошел путь S = 200 км . В течение времени
t1 = 1 ч он двигался со скоростью v1 = 100 км/ч , а затем сделал ос-
38
тановку на время t2 = 30 мин . Оставшуюся часть пути он шел со
скоростью v 3 = 40 км/ч . Какова скорость поезда на всем пути?
Ответ: v = 50 км/ч .
4.24С. Автомобиль половину времени двигался со скоростью
v1 = 60 км/ч , еще треть времени — со скоростью v 2 = 40 км/ч и
остальное время — со скоростью v 3 = 80 км/ч . Найти среднюю
скорость автомобиля.
Решение: Обозначим все время движения автомобиля через t.
Тогда для средней скорости по определению (4.3) можем записать
v =
v1 ⋅
t
t
t
+ v 2 ⋅ + v3 ⋅
2
3
6 = v1 + v 2 + v 3 = 57 км/ч .
t
2
3
6
4.25С. Автомобиль половину пути прошел со скоростью
v1 = 60 км/ч , еще треть пути — со скоростью v 2 = 40 км/ч и оставшуюся часть пути — со скоростью v 3 = 80 км/ч . Найти среднюю скорость автомобиля на всем пути.
1
Ответ: v =
= 53 км/ч .
1
1
1
+
+
2 v1 3 v 2 6 v 3
4.26С. Найти среднюю скорость самолета, если известно, что
первую треть пути он летел со скоростью v1 = 700 км/ч , вторую
треть — со скоростью v 2 = 500 км/ч , а последнюю часть пути —
со скоростью, вдвое большей средней скорости на первых двух
участках пути.
12 v1 ⋅ v 2
= 700 км/ч .
Ответ: v =
5 ⋅ ( v1 + v 2 )
4.27*. Автомобиль проехал половину пути со скоростью
v1 = 36 км/ч , на оставшейся части пути первую половину времени
он ехал со скоростью v 2 = 18 км/ч , а вторую — со скоростью
v 3 = 90 км/ч . Определить среднюю скорость автомобиля.
Ответ: v = 43 км/ч .
39
4.28*. Материальная точка совершает два последовательных
одинаковых по величине перемещения в плоскости XOY: со скоростью v1 = 20 м/с под углом α = 60° к оси OX и со скоростью
v 2 = 40 м/с под углом β = 120° к оси OX. Найти модуль вектора
средней скорости тела.
β−α
2 ⋅ v1 ⋅ v 2 ⋅ cos
r
2
= 23 м/c .
Ответ: v =
v1 + v 2
Указание. Использовать теорему косинусов.
§ 5. Принцип сложения скоростей
в нерелятивистской механике
В некоторых задачах движение тел одновременно рассматривается по отношению к различным системам отсчета. Если скорости
тел много меньше скорости света в вакууме, то справедлив закон
или, другими словами, принцип сложения скоростей (рис. 5.1):
r
r r
v = v′ + v 0 .
(к )
( к ′)
Рис. 5.1
(5.1)
r
Скорость движения v материальной точки относительно системы отсчета (К), принимаемой за неподвижную (наблюдатель покоится относительно этой системы отсчета), равна векторной сумме
40
r
скорости движения v′ материальной точки в подвижной системе
отсчета (К ′) и скорости движения подвижной системы отсчеr
та (К ′) v 0 относительно неподвижной (К).
Задачи
5.1С. Пассажир поднимается по неподвижному эскалатору за
время t1 = 3 мин , а по движущемуся вверх — за t2 = 2 мин . Сможет ли он подняться по эскалатору, едущему вниз? Если сможет, то
какое время ему потребуется?
Решение. Примем длину эскалатора за S, скорость эскалатора
относительно земли — v 0 , скорость пассажира относительно эскалатора — v . При движении пассажира в направлении движения
эскалатора вектор скорости эскалатора (подвижная система отсчета) и вектор скорости пассажира относительно эскалатора (т. е. относительно подвижной системы отсчета) сонаправлены. Следовательно, модуль их векторной суммы, т. е. скорость пассажира относительно земли, будет равна v + v 0 . Если же пассажир движется по
эскалатору в направлении, противоположном направлению движения эскалатора относительно земли, то модуль векторной суммы
соответствующих скоростей будет равен v − v 0 , а ее проекция на
направление движения пассажира относительно эскалатора v − v 0 .
В случае v − v 0 > 0 пассажир сможет перемещаться относительно
земли в том же направлении, что и относительно эскалатора, т. е.
сможет подняться по эскалатору, едущему вниз.
Составим систему уравнений, описывающих условие задачи, и
проанализируем ее:
S
⎧
⎪⎪ t1 = v ;
⎨
⎪ t2 = S .
⎪⎩
v + v0
41
Разделим первое уравнение на второе:
v
t1
=1+ 0
t2
v
⇒
v 0 t1 − t 2 1
=
=
v
t2
2
⇒ v > v0 .
Следовательно, пассажир сможет подняться по эскалатору, едущему вниз.
Введем обозначение t3 — время, которое потребуется пассажиру, чтобы подняться по эскалатору, едущему вниз, тогда
⎧
⎧ 1 v
⎧ 1
S
⎪ t1 = ;
⎪ = ;
⎪ = x;
v
⎪
⎪ t1 S
⎪ t1
1 1 2
S
⎪⎪
⎪⎪ 1 v v
⎪⎪ 1
+ + .
; ⇒ ⎨ = + 0 ; ⇒ ⎨ = x+ y; ⇒
⎨ t2 =
t2 t3 t1
v + v0
⎪
⎪ t2 S S
⎪ t2
⎪
⎪ 1 v v0
⎪ 1
S
.
.
⎪ t3 =
⎪ = −
⎪ = x− y.
⎪⎩ t3
⎪⎩
⎪⎩ t3 S S
v − v0
t3 =
t1 ⋅ t2
= 6 мин .
2 t 2 − t1
5.2С. Эскалатор спускает идущего по нему вниз человека за
t1 = 1 мин . Если человек пойдем в 2 раза быстрее, то за t2 = 45 с .
Сколько времени будет спускаться человек по неподвижному эскалатору?
t ⋅t
Ответ: t3 = 1 2 = 3 мин .
t1 − t2
Указание. Условие «человек пойдет в 2 раза быстрее» следует
понимать так, что скорость человека относительно эскалатора возрастет в 2 раза.
5.3С. Расстояние между двумя пристанями А и В на реке равно S.
Двигаясь от А к В, катер затрачивает времени больше, чем двигаясь
от В к А на величину t. Скорость катера в стоячей воде равна v 0 .
Определить скорость течения реки.
Ответ: v = −
S
S2
+ 2 + v 02 .
t
t
42
5.4*. Человек бежит по движущемуся эскалатору в направлении
движения эскалатора. В первый раз он насчитал n1 = 50 ступенек,
двигаясь в 3 раза быстрее, он насчитал n2 = 75 ступенек. Сколько
ступенек он насчитает на неподвижном эскалаторе?
2 ⋅ n1 ⋅ n2
= 100 ступенек.
Ответ: n3 =
3 n1 − n2
Указание. Выразить путь человека в системе отсчета, связанной
с эскалатором, через количество ступенек и длину ступеньки. Приравнять время движения человека в системах отсчета, связанных с
эскалатором и с землей.
5.5В. Два катера отправляются от берега со скоростями v1 и v 2 , а направления
движения катеров составляют углы α и
β с линией берега (рис. 5.2). Какова скорость второго катера с точки зрения пасРис. 5.2
сажира, находящегося на палубе первого
катера?
Решение. Примем в качестве неподвижной системы отсчета берег, в качестве подвижной — первый катер. Согласно принципу
сложения скоростей (5.1), можем записать
r
r
r
v 2 = v 21 + v1 .
Второй катер выступает в качестве тела, которое движется со
r
скоростью v 21 относительно подвижной системы отсчета и со скоr
ростью v 2 относительно неподвижной системы отсчета. Подвижная система отсчета движется относительно неподвижной со скоr
ростью v1 . Рис. 5.3 иллюстрирует выше приведенное векторное
соотношение. Используя теорему косинусов получаем:
r
r
v 21 = v 21 = v12 + v 22 − 2 ⋅ v1 ⋅ v 2 ⋅ cos (π − (α + β) ) =
= v12 + v 22 − 2 ⋅ v1 ⋅ v 2 ⋅ cos (α + β) .
43
Еще один способ решения задачи
состоит в замене векторного соотношения на систему алгебраических
уравнений путем проецирования векторов на выбранные (см. рис. 5.3) координатные оси. Введем обозначения:
r
r
r
r
v x = Пр OX v 21 , v y = Пр OY v 21 , используем формулу (1.2)
Рис. 5.3
⎧
⎪OX :
⎪
⎨OY :
⎪
⎪
⎩
r
v 2 ⋅ cos α β = v x + v1 ⋅ cos α ;
r
v 2 ⋅ sin β = v y + v1 ⋅ sin α ;
⇒
v 21 = v 2x + v 2y .
r
r
⇒ v 21 = (v1 ⋅ cos α + v 2 ⋅ cos β) 2 + (v 2 ⋅ sin β − v1 ⋅ sin α) 2 =
= v12 + v 22 + 2 ⋅ v1 ⋅ v 2 ⋅ (cos α cos β − sin α sin β) =
= v12 + v 22 + 2 ⋅ v1 ⋅ v 2 ⋅ cos (α + β) .
5.6В. Поезд движется на север со скоростью
v1 = 20 м/с . Пассажиру вертолета, пролетающего над поездом, кажется, что поезд движется
на запад со скоростью v 2 = 20 м/с . Найти скорость вертолета и направление его полета.
r
Решение. Обозначим v 3 скорость вертолета
Рис. 5.4
относительно земли — неподвижной системы
отсчета. С точки зрения принципа сложения
r
скорости v1 — скорость тела относительно неподвижной системы
r
отсчета и v 2 — скорость тела (поезда) относительно подвижной
системы отсчета и
44
r
r
r
v1 = v 2 + v 3
(см. рис. 5.4).
Используя теорему Пифагора, находим v 3 = v12 + v 22 = 28 м/с ,
v1
= 45° , следовательно, вертолет летит в направv2
лении на северо-запад.
5.7С. Лодка пересекает реку под углом α к направлению течения со скоростью v1 относительно берега. Скорость течения реки — v 2 . Определить скорость лодки в стоячей воде.
далее α = arctg
Ответ: v отн = v12 + v 22 − 2 ⋅ v1 ⋅ v 2 ⋅ cos α .
Указание. Скорость лодки в стоячей воде в данном случае — то
же самое, что и скорость лодки относительно воды в реке. Воспользоваться теоремой косинусов.
5.8С. Лодка пересекает реку под углом α = 45° к направлению течения,
но держит курс в направлении, которое
составляет угол β = 30° с направлением движения. Скорость течения реки
v = 1 м/с . Какова скорость лодки относительно берега?
Рис. 5.5
sin (α + β)
= 1,4 м/с .
Ответ: v б = v ⋅
sin β
r
r
На рис. 5.5 v б и v в — скорости лодки относительно берега и
относительно воды соответственно.
Указание. Воспользоваться теоремой синусов.
5.9В. Лодка пересекает реку под прямым углом к направлению
течения. Скорость течения — v1 , скорость лодки в стоячей воде —
v 2 . Какова скорость лодки относительно берега?
Ответ: v = v 22 − v12 .
5.10А. Капли дождя на окнах неподвижного трамвая оставляют
полосы, наклоненные под углом α к вертикали, притом, что ветер
45
дует в направлении, параллельном поверхности стекла. Когда
трамвай движется со скоростью v , полосы от дождя — вертикальны. Какова скорость капель?
v
.
Ответ: v′ =
sin α
5.11*. Самолет в безветренную погоду взлетает со скоростью v1
под углом к горизонту равным α . Внезапно начинает дуть горизонтальный встречный ветер, скорость которого равна v 2 . Какой
стала скорость самолета относительно земли и какой угол составляет вектор скорости самолета с линией горизонта?
Ответ: v = v12 + v 22 − 2 ⋅ v1 ⋅ v 2 cos α ;
⎛ v1 ⋅ sin α ⎞
⎟⎟ .
β = arctg ⎜⎜
⎝ v1 ⋅ cos α − v 2 ⎠
5.12*. Поезд движется со скоростью v , при этом скорость ветра,
измеренная пассажиром поезда, равна v1 . Если поезд увеличит
свою скорость в 2 раза, сохраняя направление движения, то скорость ветра относительно поезда окажется равной v 2 . Определить
скорость ветра относительно земли.
Ответ: v 0 =
2 v 2 + 2 v12 − v 22 .
Рис. 5.6
5.13. Человек переплывает реку шириной H. Скорость течения
реки — v1 , скорость пловца в
стоячей воде — v 2 . Под каким
углом к направлению течения он
должен держать курс, чтобы переправиться на противоположный
берег за наименьшее время? Каково это время? Какой путь относительно берега он при этом проделает?
46
Ответ: под прямым углом;
t min = H v 2 ;
S = H ⋅ v12 + v 22 v 2 .
Указание. Условием задачи подразумевается, что берега реки
параллельны, скорость течения одинакова по всей ширине реки.
Пловец должен совершить перемещение вдоль оси OY, равное H.
Время, за которое совершается указанное перемещение, будет минимальным в том случае, когда максимальной будет составляющая
r
вектора скорости v относительно берега вдоль оси OY (рис. 5.6).
5.14С. Двигаясь параллельно берегу, катер удалился от буйка на
некоторое расстояние и затем вернулся к буйку, затратив время t1 .
Двигаясь поперек течения, катер удалился от буйка на то же расстояние и затем вернулся к буйку, затратив время t 2 . Считая известными скорость течения реки v1 и скорость катера в стоячей
воде v 2 , определить отношение t1 t 2 .
Ответ: t1 t 2 = v 2 v 22 − v12 .
5.15*. Две материальные точки А и В
движутся в некоторой плоскости с поr
r
стоянными скоростями v1 и v 2 , ортогональными друг другу. Начальное расстояние между точками А и В равно l, в
r
начальный момент времени вектор v1
направлен вдоль прямой АВ. Считая известными l, v1 и v 2 определить кратчайшее расстояние между точками А и В.
v2 ⋅ l
.
Ответ: S min =
2
2
v1 + v 2
Рис. 5.7
Указание. Перейти в систему отсчета,
связанную с материальной точкой А (рис. 5.7). Найти в указанной
системе отсчета расстояние от точки А до прямой, являющейся
траекторией точки В.
47
§ 6. Среднее и мгновенное ускорения.
Прямолинейное движение с постоянным ускорением.
Уравнения движения в проекциях. Граничные условия
r
Среднее ускорение a определяется как отношение приращеr
ния скорости Δ v , полученного за промежуток времени t1 ÷ t 2 , к
величине этого промежутка Δ t = t2 ÷ t1 :
r
r r
r
Δ v v (t 2 ) − v (t1 )
.
a =
=
Δt
t2 − t1
(6.1)
r
(Мгновенное) ускорение a — векторная физическая величина,
характеризующая быстроту изменения скорости по модулю и направлению, и равная по определению первой производной по времени от скорости или второй производной по времени от радиусвектора движущейся частицы:
r
r
r
r
r
Δ v d v r& d ⎛ d r ⎞ d 2 r &r&
⎜
⎟
a = lim
=
=r =
=
=v=
Δt →0 Δ t
dt
d t ⎜⎝ d t ⎟⎠ d t 2
r
r
r
r
r
r
= v& x ⋅ e x + v& y ⋅ e y + v& z ⋅ ez = a x ⋅ ex + a y ⋅ e y + a z ⋅ e z .
(6.2)
Движением с постоянным ускорением называется движение,
r
при котором a = const . Если мы проинтегрируем левую и правую
части равенства
r
r dv
a=
dt
по времени в пределах от t 0 до t при условии постоянства ускорения, то получим
48
r t
a ∫dt =
t0
t
∫
t0
r
dv
⋅ dt ;
dt
r
r
r
a ⋅ (t − t0 ) = v (t ) − v (t0 ) .
r
r
Обозначим v(t0 ) ≡ v 0 , тогда
r
r
r
v(t ) = v 0 + a ⋅ (t − t0 ) .
(6.3)
Проинтегрируем равенство (6.3) по времени в тех же пределах
t
∫
t0
r
r
dr
⋅ d t = v0
dt
t
∫
r
dt + a
t0
t
∫ (t − t0 ) d t .
t0
Интегрирование даст
r
r
r
r (t − t0 ) 2
r (t ) − r (t0 ) = v 0 ⋅ (t − t0 ) + a
.
2
r
r
Обозначим r (t0 ) ≡ r0 аналогично (4.6), тогда
r
r r
r (t − t0 ) 2
r (t ) = r0 + v 0 ⋅ (t − t0 ) + a
.
2
(6.4)
Система уравнений (6.3) и (6.4) называется уравнениями движения с постоянным ускорением, записанными в векторной форме.
Для того, чтобы с помощью уравнений (6.3) и (6.4) рассчитывать
положение материальной точки в пространстве и ее скорость в
произвольный момент времени, необходимо знать значение этих
параметров в какой-либо момент, например, в начальный момент
r
r
времени t0 , т. е. r0 и v 0 . Задание параметров, описывающих движение тела, в какой-либо момент движения называется граничными
условиями (в частном случае — начальными условиями).
49
Уравнения движения (6.3) и (6.4) можно записать в проекциях,
например, на ось OX:
ax
⎧
⋅ (t − t0 ) 2 ;
⎪ x (t ) = x0 + v x 0 ⋅ (t − t0 ) +
2
⎨
⎪ v x (t ) = v x 0 + a x ⋅ (t − t0 ) .
⎩
(6.5)
При t0 = 0 , т. е. если отсчет времени начался в момент начала
движения, уравнения движения с постоянным ускорением принимают вид:
⎧r
r
r t2
⎪ r (t ) = r0 + v 0 ⋅ t + a ⋅ ;
⎨
2
⎪ vr (t ) = vr + ar ⋅ t .
0
⎩
(6.6)
⎧
t2
⎪ x (t ) = x0 + v x 0 ⋅ t + a x ⋅ ;
⎨
2
⎪ v (t ) = v + a ⋅ t .
x0
x
⎩ x
(6.7)
или в проекциях
Прямолинейное движение с постоянным ускорением, при котором происходит увеличение модуля вектора скорости (или, что то
же, модуля проекции вектора скорости на направление движения)
принято называть равноускоренным. Если же происходит уменьшение модуля вектора скорости (модуля проекции вектора скорости на направление движения) — равнозамедленным. В первом
случае проекция вектора ускорения на направление движения положительна, во втором — отрицательна. Другими словами, если
ось OX направить по вектору скорости, при этом v x > 0 , то в случае равноускоренного движения a x > 0 , в случае равнозамедленного движения — a x < 0 .
50
Задачи
6.1В. Поезд при торможении движется с постоянным ускорением
a = 0,4 м/с 2 и останавливается через t = 50 c после начала торможения. Определить длину тормозного пути и начальную скорость
поезда.
Решение. Направим ось OX по направлению движения поезда;
координату точки, в которой началось торможение, примем равной
нулю; отсчет времени начнем с момента начала торможения. Таким
образом, при описании процесса торможения x0 = 0 , t0 = 0 . Кроме
того, в момент остановки поезда t его координата численно равна
длине тормозного пути, которую мы обозначим S, а проекция вектора скорости на ось OX равна нулю. С учетом выше сформулированных граничных условий уравнения движения в проекциях (6.7)
в момент остановки поезда можно записать следующим образом:
⎧
t2
⎪ S = v0 ⋅ t − a ⋅ ;
⎨
2
⎪0 = v −a⋅t ,
0
⎩
где учли, что a x = − a < 0 при торможении, обозначили v 0 начальную скорость на участке торможения. Решая систему уравнений,
находим:
v 0 = a ⋅ t = 20 м/с ;
S =a⋅
t2
= 500 м .
2
6.2В. По наклонной плоскости пустили снизу вверх маленький
шарик. На расстоянии l = 50 см от точки старта он побывал дважды: через время t1 = 1,0 с и t2 = 2,0 с после начала движения. Ускорение шарика постоянно. Найти величину ускорения и начальную
скорость шарика.
Решение. Направим ось OX по направлению вектора начальной
скорости шарика. Положим x0 = 0 , t0 = 0 . Обозначим v 0 началь51
ную скорость, а — величину ускорения. Учтем, что a x = − a < 0 . В
качестве граничных условий примем x (t1 ) = l и x (t 2 ) = l . Из уравнений движения (6.7) нам понадобится только одно — для координат. Таким образом, нам необходимо решить систему уравнений
⎧
t12
=
v
⋅
−
⋅
;
l
t
a
⎪
0 1
⎪
2
⎨
t 22
⎪
=
v
⋅
−
⋅
.
l
t
a
0 2
⎪⎩
2
Решение системы удобно проводить следующим образом. Сначала умножим первое уравнение на t 2 , а второе уравнение на t1 , и
вычтем из первого уравнения второе:
l ⋅ (t2 − t1 ) =
a t1 t2
⋅ (t2 − t1 )
2
⇒ a=
2l
= 0,5 м/с 2 .
t1 t2
Теперь умножим первое уравнение системы на t22 , а второе —
на t12 , и вновь вычтем из первого второе:
l ⋅ (t 22 − t12 ) = v 0 ⋅ t1 ⋅ t 2 ⋅ (t 2 − t1 )
⇒ v0 =
l ⋅ (t 2 + t1 )
= 0,75 м/с .
t1 ⋅ t 2
6.3А. Спускаясь с горы, лыжник прошел расстояние l = 100 м за
время t = 20 с . Найти скорость лыжника в конце спуска. Начальная
скорость лыжника равна нулю, ускорение постоянно.
Ответ: v = 1,0 м/с .
6.4А. Автомобиль, двигаясь равномерно, проходит за время
t1 = 5 с путь S1 = 25 м , после чего в течение следующих t2 = 10 с ,
двигаясь равноускоренно, проходит путь S 2 = 150 м . С каким ускорением двигался автомобиль?
Ответ: a = 2 м/с 2 .
52
6.5В. Автомобиль проезжает мимо неподвижного наблюдателя
со скоростью v = 10,5 м/с , имея постоянное ускорение a = 1 м/с 2 .
На каком расстоянии от наблюдателя он находился за время
Δ t = 1,0 с до того, как поравнялся с ним?
a
Ответ: 1) S = v ⋅ Δ t − ⋅ (Δ t ) 2 = 10 м в случае равноускорен2
ного движения;
a
2) S = v ⋅ Δ t + ⋅ (Δ t ) 2 = 11 м в случае равнозамедлен2
ного движения.
6.6С. Воздушный шар поднимается с постоянной скоростью
v 0 = 20 м/с . На высоте H = 10 м с него роняют груз. Принимая
ускорение свободного падения g = 10 м/с 2 , определить продолжительность падения и скорость груза в момент удара о землю.
Ответ: tпад = ( v 0 + v 02 + 2 g H ) g = 4,4 с ;
v пад = v 02 + 2 g H = 24 м с .
Указание. Под свободным падением следует понимать движение с постоянным ускорением, равным ускорению свободного падения g , т. е. без учета сопротивления воздуха. По условию задачи
груз роняют с воздушного шара, следовательно, в начальный момент свободного падения груз обладает начальной скоростью, равной по величине и направлению скорости воздушного шара. Удобно выбрать ось OX, на которую проецируется уравнение движения,
направленную вертикально вниз, тогда a x = g , v OX = − v 0 . Если
точку на оси, соответствующую началу свободного падения, принять за начало координат, тогда координата поверхности земли
окажется равной H. Скорость груза в момент удара о землю численно равна проекции скорости на ось OX.
53
6.7С. Тело свободно падает с
некоторой высоты. Последние
Δ H = 200 м оно проходит за
Δ t = 4 с . С какой высоты падало
тело? Ускорение свободного падения принять равным g =
Рис. 6.1
= 10 м/с 2 .
2
g ⎛ Δt Δ H ⎞
⎟ = 245 м .
⋅⎜
+
2 ⎜⎝ 2 g ⋅ Δ t ⎟⎠
Указание. Текст условия задачи следует понимать таким образом, что начальная скорость тела равна нулю, так как ничего не
сказано о том, что тело, например, бросили, сообщив ему начальную скорость, или уронили с движущейся платформы (воздушного
шара, вертолета и т. п.) Граничные условия можно записать, воспользовавшись чертежом на рис. 6.1. Из уравнений движения достаточно использовать уравнение для координаты, записав его дважды: для момента времени t − Δ t от начала движения, когда тело
находится на высоте Δ H (имеет координату H − Δ H на рис. 6.1),
и для момента времени t от начала движения, когда тело испытывает удар о поверхность земли (имеет координату H).
6.8С. Тело свободно падает с высоты H. Какой путь проходит тело за интервал времени равный Δ t , предшествующий падению тела на землю?
g ⋅ Δt ⎞
⎛
Ответ: S = ⎜ 2 g H −
⎟ ⋅ Δt .
2 ⎠
⎝
6.9В. Тело свободно падает с высоты H = 90 м . Какова средняя
Ответ: H =
скорость тела на второй половине пути? g = 10 м/с 2 .
Решение: Для записи граничных условий и составления уравнений движения воспользуемся чертежом на рис. 6.1, приняв
Δ H = H 2 и v = Δ H Δt :
54
⎧
t2
=
;
H
g
⎪
2
⎪
⎪H g
2
⎨ = (t − Δ t ) ;
⎪ 2 2
H
⎪
⎪ v = 2 ⋅ Δt ,
⎩
⇒
⎧
⎫
2H
;
⎪t =
⎪
2
⎪
⎪
⎬ ⇒ Δt =
⎪
⎪ t − Δt = H ; ⎪
⎨
g ⎪⎭
⎪
⎪
⎪ v = H , ⇒ v =
⎪⎩
2 ⋅ Δt
2(
⇒
H
⋅ ( 2 − 1) ;
g
gH
2 − 1)
= 37,5 м/с .
6.10С. За какое время свободно падающее тело проходит N-й
метр своего пути?
2l
Ответ: Δ t N =
⋅ N − N − 1 , где l = 1 м — размерный паg
раметр, введенный для получения необходимой размерности величины Δ t N .
6.11С. Известно, что материальная точка за время t = 10 с прошла путь S = 60 м , причем ее скорость увеличилась в п = 5 раз.
Определить ускорение, считая его постоянным.
2 ⋅ (n − 1) ⋅ S
Ответ: a =
= 0,8 м/c 2 .
2
(n + 1) ⋅ t
С
6.12 . Камень, брошенный по льду со скоростью v 0 = 5 м/c , останавливается на расстоянии S = 25 м от точки бросания. Определить путь, пройденный камнем за первые t1 = 2 c движения.
(
)
⎛ v ⋅t ⎞
Ответ: S1 = v 0 ⋅ t1 ⋅ ⎜⎜1 − 0 1 ⎟⎟ = 9 м .
4S ⎠
⎝
55
6.13*. Конькобежец проходит
путь S = 450 м с постоянной
скоростью v, а затем тормозит с
постоянным ускорением a =
= 0,5 м/c 2 до остановки. При каком значении скорости v общее
время движения конькобежца
Рис. 6.2
будет минимальным? Каково это
время?
Решение: Время движения конькобежца с постоянной скоростью можно выразить как
t1 =
S
.
v
Время движения на этапе торможения можно выразить из уравнения движения, записанного для момента остановки
0 = v − a t2
⇒ t2 =
v
.
a
Полное время движения, таким образом, составит
t = t1 + t 2 =
S v
+ .
v a
Можно рассмотреть полное время движения t как функцию скорости v и исследовать эту функцию с целью поиска экстремумов.
На рис. 6.2 приведен качественный вид графика зависимости
t ( v) =
S v
+ ,
v a
из которого очевидно, что функция t ( v) имеет минимум. Воспользуемся уравнением (2.6):
56
dt
S 1
=− 2 + =0 ⇒
dv
a
v
⇒
v min = a S = 15 м/c ⇒
S
= 60 c .
a
⇒ tmin = 2
Получить ответ на вопросы задачи можно и не прибегая к помощи дифференциального исчисления, а используя только алгебраические преобразования. Выделим в выражении для полного
времени движения полный квадрат
2
2
2
S v ⎛ S ⎞⎟ ⎛⎜ v ⎞⎟ ⎛⎜ S
v ⎞⎟
+⎜
=⎜
−
t = + = ⎜⎜
+ 2 aS .
⎟
⎟
v a ⎝ v⎠ ⎝ a⎠ ⎝ v
a ⎟⎠
Первое слагаемое во вновь полученном выражении неотрицательно, второе — положительно и постоянно. Следовательно, все
выражение минимально в том случае, когда первое слагаемое обращается в нуль, т. е. t min = 2 a S = 60 c при vmin = a S = 15 м/c .
6.14*. Первый вагон, тронувшегося с места поезда, прошел мимо
неподвижного наблюдателя, стоявшего у начала этого вагона, за
время t1 , последний — за t 2 . Считая движение поезда равноускоренным, поезд — длинным, вагоны — одинаковыми, промежутки
между ними — незначительными, найти время движения мимо наблюдателя всего поезда.
t2 + t2
Ответ: t = 1 2 .
2 t2
Указание. Перейти в систему отсчета, связанную с поездом, т. е.
рассмотреть движение наблюдателя как материальной точки, относительно поезда. Путь, проходимый материальной точкой можно
выразить через длину одного вагона и длину всего поезда.
57
6.15С. Тело бросили вертикально вверх с начальной скоростью
v 0 = 10 м/с . Какой путь пройдет тело за время t0 = 1,5 с после на-
чала движения? g = 10 м/с 2 .
Решение: Путь, пройденный телом, будет рассчитываться различным образом в зависимости от того, прошло тело к моменту
времени t0 верхнюю точку траектории или нет. Определим через
какое время после старта тело достигает верхней точки траектории
своего движения. В проекции на ось OX, направленную вертикально вверх, запишем уравнение движения для скорости с учетом того
обстоятельства, что в верхней точке траектории v x = 0 :
0 = v 0 − g ⋅ t1 ⇒ t1 =
v0
= 1 с , t0 > t1 .
g
Следовательно, путь, пройденный телом за время t0 после старта, будет рассчитываться как
S = x (t1 ) + ( x (t1 ) − x (t0 ) ) = 2 ⋅ x (t1 ) − x (t0 ) =
⎛
g t2 ⎞
g t2 ⎞ ⎛
= 2 ⋅ ⎜ v 0 ⋅ t1 − 1 ⎟ − ⎜ v 0 ⋅ t0 − 0 ⎟ = 6,25 м .
⎜
2 ⎟⎠ ⎜⎝
2 ⎟⎠
⎝
6.16С. С какой начальной скоростью нужно бросить вертикально
вниз тело с высоты H = 20 м , чтобы оно упало на Δ t = 1 с быстрее
тела, свободно падающего с той же высоты? g = 10 м/с 2 .
2
⎛ 2H
⎞
− Δ t ⎟⎟
2 H − g ⋅ ⎜⎜
⎝ g
⎠ = 5 м/с .
Ответ: v 0 =
⎛ 2H
⎞
− Δ t ⎟⎟
2 ⋅ ⎜⎜
⎝ g
⎠
6.17*. Материальная точка движется прямолинейно с постоянным ускорением величиной a = 3 м/с 2 , начальная скорость тела
составляет v 0 = 10 м/с . Направления векторов ускорения и началь58
ной скорости взаимно противоположны. Какой путь пройдет точка
за 4-ю секунду своего движения?
Ответ: S1 =
v 02
a (t12 + t 22 )
− v 0 ⋅ (t1 + t 2 ) +
= 0,83 м , где t1 = 3 с ,
a
2
t2 = 4 с .
Указание. Принять во внимание то обстоятельство, что тело меняет направление своего движения.
6.18*. Ракета стартует и движется вертикально вверх с ускорением a = 2 g . Через t0 = 20 с полета двигатель отключается. Через
какое время после старта ракета упадет на землю? Сопротивлением
воздуха пренебречь.
Ответ: t = t0 ⋅ (3 + 6 ) = 109 с .
6.19С. С поверхности земли вертикально вверх бросают два мяча. Наибольшая высота подъема одного из них оказалась в
n = 3 раза больше другого. Во сколько раз отличается у них продолжительность полета? Сопротивлением воздуха пренебречь.
H
t
Ответ: если 1 = n , то 1 = n = 3 .
H2
t2
С
6.20 . Два тела, расстояние между которыми равно l , начинают
одновременно двигаться навстречу друг другу: первое равномерно
со скоростью v, а второе из состояния покоя равноускоренно с ускорением а. Через какое время они встретятся?
Решение. Направим ось OX вдоль вектора скорости первого тела
Начало координат разместим в точке, из которой начинает движение первое тело, тогда координата точки, из которой начинает
движение второе тело, равна l. В момент встречи тел их координаты совпадут. Для ответа на вопрос задачи необходимо решить систему уравнений:
⎧ x1 = v ⋅ t ;
⎪
t2
⎪
2
2
⎛
⎞
⎨ x2 = l − a ; ⇒ a ⋅ t + 2 v 0 ⋅ t − 2 l = 0 , t = ⎜ − v 0 + v 0 + 2 a l ⎟ a .
⎝
⎠
2
⎪
⎪ x1 = x2
⎩
59
Второй корень квадратного уравнения — отрицательный — не
имеет физического смысла, отсчет времени начат в момент начала
движения тел.
6.21С. Два тела, расстояние между которыми равно l, начинают
двигаться в одном направлении вдоль одной и той же прямой: первое — равномерно со скоростью v, второе — из состояния покоя
равноускоренно с ускорением а догоняет первое. Через какое время
они встретятся?
Ответ: t = ⎛⎜ v 0 + v 02 + 2 a l ⎞⎟ a .
⎝
⎠
6.22. Два тела, расстояние между которыми равно l, начинают
двигаться одновременно в одном направлении вдоль одной и той
же прямой: первое — из состояния покоя с постоянным ускорением а, а второе, догоняющее первое, равномерно. При каких значениях скорости второе тело догонит первое?
Ответ. Координаты тел совпадут через время t = v + v 2 − 2 a l
после начала движения. Второе тело догонит первое, если
v ≥ 2 a l . Существует еще одно решение для момента времени,
когда координаты тел совпадут: t ′ = v + v 2 − 2 a l . Это решение
имеет физический смысл, если тела движутся параллельно. В этом
случае при v > 2 a l второе тело в момент времени t догоняет и
перегоняет первое, а затем в момент времени t ′ первое тело догоняет и перегоняет второе.
6.23С. Парашютист, спускающийся равномерно со скоростью
v1 = 5 м/с , бросает вертикально вверх небольшое тело со скоростью v 2 = 10 м/с относительно себя. Какое расстояние окажется
между парашютистом и телом, находящимся в высшей точке своего полета? Каким будет максимальное расстояние между парашютистом и телом? Через какое время после броска тело и парашютист вновь окажутся на одной высоте? Чему будет равна скорость
тела (относительно земли) в этот момент? На какой высоте относительно точки бросания это произойдет? Сопротивлением воздуха
телу пренебречь. g = 10 м/с 2 .
60
Ответ: 1) S =
v 22 − v12
= 3,75 м ;
2g
2) S max =
v 22
=5м;
2g
3) tвстр =
2 v2
=2с;
g
4) v x = − ( v1 + v 2 ) = − 15 м/c , ось OX направлена вертикально вверх;
5) Δ h = − 2 v1 v 2 g = − 10 м .
Указание. Некоторые из уравнений движения следует записывать в системе отсчета, связанной с парашютистом.
6.24*. Мячик роняют с высоты H . В то же время вертикально
вверх бросают с земли шарик с начальной скоростью v 0 . Определить время, через которое встретятся мяч и шарик. При какой скорости v 0 возможна их встреча до падения на землю? В каком направлении (вверх или вниз) движется шарик в момент встречи?
Решение. Направим ось OX вертикально, совместив начало координат с поверхностью земли. Запишем уравнения движения двух
тел и условие их встречи:
⎧
t2
x
H
g
;
=
−
⎪ 1
2
⎪
⎪⎪
t2
x
v
t
g
;
=
−
⎨ 2
0
2
⎪
⎪ x1 = x2
⎪
⎩⎪
⇒
tвстр =
H
g ⋅H2
; H встр = H −
.
v0
2 v 02
Условие того обстоятельства, что встреча тел произойдет до
момента падения на землю, можно записать как
61
H встр > 0 ⇒ H −
g ⋅H2
2 v 02
> 0 ⇒ v0 >
gH
.
2
Запишем уравнение движения для проекции скорости шарика в
момент встречи тел:
v x 2 (tвстр ) = v 0 −
⇒
gH
v0
=
(
)
1
⋅ v 02 − g H ; ⇒
v0
если v 0 = g H , то v x 2 (tвстр ) = 0 ;
если v 0 > g H , то в момент встречи шарик движется
вверх;
если
gH
< v 0 = g H , то в момент встречи шарик дви2
жется вниз.
6.25С. С поверхности земли с одинаковыми скоростями
v 0 = 20 м/с последовательно через промежуток времени Δ t = 1 с
бросают вертикально вверх из одной точки два мяча. На какой высоте они столкнутся? g = 10 м/с 2 .
v 02 − ( g Δt 2)2
= 18,75 м .
2g
Указание. При записи уравнений движения использовать: для
первого мяча формулу (6.7), для второго мяча формулу (6.5).
6.26*. Мимо поста автодорожной инспекции проехал нарушитель со скоростью v1 = 72 км/ч . Спустя t1 = 2 мин от поста вдогонку отправилась патрульная машина, которая в течение t2 = 25 с
разгонялась с постоянным ускорением и, достигнув скорости
v 2 = 90 км/ч , далее двигалась равномерно. На каком расстоянии от
поста патрульная машина догнала нарушителя?
v ⋅ v ⋅ (t + t 2)
= 13,25 км .
Ответ: S = 1 2 1 2
v 2 − v1
Ответ: hст =
62
6.27*. Человек, стоящий в лифте, движется вверх равноускоренно с ускорением a = 1 м/с 2 , в тот момент, когда скорость лифта составляет v 0 = 2 м/с , роняет с высоты H = 1 м монету. Какой путь
пройдет монета с момента начала свободного падения до момента
удара о пол лифта в системе отсчета, связанной с шахтой лифта?
g = 10 м/с 2 .
Ответ: S =
v 02 2 g H
8 v 02 H
+
−
= 0,17 м .
2g a + g
a+g
6.28*. Частица движется вдоль оси OX по закону x = 2 t 2 − 4 t ,
где координата x выражена в метрах, время t — в секундах. Найти
направление движения, величину скорости и ускорения в моменты
времени: а) t1 = 0,25 с ; б) t2 = 0,5 с .
Ответ: а) по оси OX, v1 = 0,25 м/с , a1 = 2 м/с 2 ;
б) против оси OX, v 2 = 1 м/с , a2 = 8 м/с 2 .
Указание. Воспользоваться формулами (4.2), (6.2).
§ 7. Графический способ задания условий задач
по кинематике и методы их решения
При решении некоторых кинематических задач оказывается полезным знать и использовать геометрический смысл физических
величин, таких как: проекции скорости, модуля скорости, проекции
ускорения, перемещения и пути, проходимого материальной точкой.
Согласно определению (4.4) и соотношению (4.5) модуль скорости v и путь, пройденный материальной точкой, связаны соотношением
v=
dS &
=S.
dt
63
(7.1)
Проинтегрируем левую и правую части выше приведенного равенства по времени от момента времени t1 до t 2 :
t2
S = ∫ v (t ) d t .
(7.2)
t1
Принимая во внимание геометрический
смысл определенного интеграла (см. § 2,
ч. 3), можем сформулировать следующее утверждение: путь S, пройденный телом за
промежуток времени t1 ÷ t 2 , численно равен
площади под графиком зависимости модуля
Рис. 7.1
скорости v (t ) от времени на этом промежутке (рис. 7.1). Так как модуль скорости в соответствии с (7.1) является производной пути по времени, то моменту
времени, в который модуль скорости обращается в нуль (точка t0
на рис. 7.1), соответствует экстремум зависимости пути от времени
S (t ) (см. § 2, ч. 2). Причем экстремум является локальным максимумом и точкой перегиба потому, что функция S (t ) не может убывать в силу того, что v 0 (t ) ≥ 0 (точка, в которой убывание производной сменяется ее возрастанием, либо наоборот).
Согласно выражению (4.2) проекция вектора скорости v x и координата x материальной точки связаны соотношением
vx =
dx
= x& .
dt
(7.3)
Проинтегрируем левую и правую части равенства (7.3) по времени от момента времени t1 до t 2 :
t2
Δ x = x (t 2 ) − x (t1 ) = ∫ v x (t ) d t .
t1
64
(7.4)
Таким образом, приращение координаты Δ x (или перемещение
по оси OX) тела за промежуток времени t1 ÷ t 2 , численно равно алгебраической сумме площадей под графиком зависимости проекции вектора скорости v x (t ) от времени на данном промежутке
(рис. 7.2), при этом численное значение площадей берется со знаком плюс («+»), если соответствующая фигура находится над осью
времени t (т. е. v x > 0 ), и со знаком минус («–»), если соответствующая фигура находится под осью времени t (т. е. v x < 0 ). Так
как проекция вектора скорости в соответствии с (7.3) является производной координаты по времени, то моменту времени, в который
проекция вектора скорости обращается в нуль (точка t0 на
рис. 7.2), соответствует экстремум зависимости x (t ) .
Рис. 7.2
Рис. 7.3
Согласно выражению (6.2) проекция вектора ускорения а x и
проекция вектора скорости v x материальной точки связаны соотношением
ax =
d vx
= v& x .
dt
(7.5)
Проинтегрируем левую и правую части равенства (7.5) по времени от момента времени t1 до t 2 :
t2
Δ v x = v x (t 2 ) − v x (t1 ) = ∫ a x (t ) d t .
t1
65
(7.6)
Таким образом, приращение проекции вектора скорости тела
Δ v x за промежуток времени t1 ÷ t 2 численно равно алгебраической
сумме площадей под графиком зависимости проекции вектора ускорения на ту же ось OX а x (t ) от времени (рис. 7.3). В соответствии с (7.5) в момент времени, в который проекция вектора ускорения обращается в нуль (точка t0 на рис. 7.3), зависимость v x (t )
достигает экстремума.
Задачи
7.1А. Может ли зависимость пути S от времени t изображаться
графиками, показанными на рис. 7.4?
а)
б)
в)
Рис. 7.4
Решение: а) путь не может быть отрицательной величиной по
определению; б) путь не может убывать по определению; в) может.
7.2С. Покажите графически характер зависимости от времени
t проекции вектора скорости v x (t ) , координаты x (t ) и пройденного пути S (t ) для материальной точки, движущейся вдоль оси
OX с постоянным ускорением a x > 0 . Начальные условия:
x0 = x (t = 0) < 0 , v x 0 = v x (t = 0) < 0 .
Решение. При движении с постоянным ускорением
v x (t ) = v x 0 + a x ⋅ t ;
x (t ) = x0 + v x 0 ⋅ t + a x ⋅
66
t2
.
2
а)
б)
Рис. 7.5
Зависимость v x (t ) носит линейный характер и ее графиком является прямая, так как коэффициент при t положителен a x > 0 , то
зависимость возрастающая. Зависимость x (t ) носит квадратичный
характер, и ее графиком является парабола, так как коэффициент
при t 2 положителен a x > 0 , то ветви параболы направлены вверх.
Соответствующие графики показаны на рис. 7.5. В точке t0 проекция скорости обращается в нуль v x (t0 ) = 0 и зависимость x (t )
достигает минимума xmin = x (t0 ) . На рис. 7.5 интервалы 0 ÷ t0 и
t0 ÷ t1 выбраны одинаковыми по длительности. Алгебраическая
сумма площадей под графиком v x (t ) на промежутке 0 ÷ t0 равна
нулю, следовательно, равно нулю приращение координаты на этом
промежутке, т. е. x0 = x (t1 ) . Для построения графика зависимости
пути от времени S (t ) предварительно необходимо построить график зависимости модуля скорости от времени v (t ) (рис. 7.6). График зависимости v (t ) состоит из двух прямолинейных участков,
каждый из которых соответствует линейной зависимости вида
v (t ) = A t + B , причем на первом участке 0 ÷ t0 коэффициент A < 0 ,
а на втором t > t0 коэффициент A > 0 . Чтобы проанализировать
характер зависимости S (t ) возьмем неопределенный интеграл от
функции v (t ) по времени (см. § 2, ч. 3):
67
S (t ) = A ⋅
t2
+ B ⋅t +C,
2
где С — постоянная интегрирования, которая может быть определена из граничных условий. На перРис. 7.6
вом участке 0 ÷ t0 в силу A < 0
график полученной функции —
парабола, ветвь которой направлена вниз, моменту времени t0 соответствует вершина параболы, так как v (t0 ) = 0 — локальный
максимум и точка перегиба. До момента t0 тело движется, не изменяя направления своего движения, путь, пройденный телом на
участке 0 ÷ t0 равен модулю перемещения по оси OX, т.е. равен
xmin − x0 . На втором участке t > t0 в силу A > 0 график зависимости пути от времени S (t ) — парабола, ветвь которой направлена
вверх, а моменту времени t0 соответствует вершина параболы. Так
как к моменту времени t1 тело возвращается в исходную точку
своего движения S (t1 ) = 2 ⋅ xmin − x0 (рис. 7.7).
Рис. 7.7
68
7.3С. На рис. 7.8 приведен график зависимости проекции вектора
скорости от времени v x (t ) для тела, движущегося вдоль оси OX.
Построить графики зависимости от времени проекции ускорения
а x (t ) , перемещения Δ x (t ) и пройденного пути S (t ) . Выразить
аналитически зависимости Δ x (t ) , S (t ) .
Рис. 7.8
Решение. В промежутке времени 0 ÷ 3 с зависимость v x (t ) носит линейный характер, следовательно, ускорение на этом участке
Δv x
= − 2 м/с 2 . В промежутке 3 ÷ 5 с скопостоянно и равно а x =
Δt
рость постоянна, и ускорение равно нулю. В промежутке 5 ÷ 7 с
зависимость v ( x) носит линейный характер и а x = 1 м/с 2 . На последнем участке 7 ÷ 10 с скорость не меняется и ускорение равно
нулю (рис. 7.9).
Перемещение тела в промежутке 0 ÷ 3 с определяется формулой
t2
= 4 t − t 2 (все величины, входящие в форму2
лу, измеряются в единицах СИ). График Δ x (t ) в данном интервале
Δ x (t ) = v x 0 ⋅ t + a x ⋅
представляет собой параболу ветвями вниз ( а x = − 2 м/с 2 < 0 ) с
вершиной при t = 2 с ( v x (t = 2 с) = 0 ). Так как площадь под графиком v x (t ) в промежутке 0 ÷ 2 с (площадь прямолинейного треугольника) равна перемещению на данном интервале, то
Δ x (t = 2 с) = 4 м .
69
Рис. 7.9
В промежутке 3 ÷ 5 с перемещение тела определяется формулой
Перемещение
Δ x (t ) = Δ x0 + v x ⋅ (t − t0 ) = Δ x (t = 3 c) + v x ⋅ (t − 3) .
тела на участке 0 ÷ 3 с Δ x (t = 3 c) = 3 м и равно площади под графиком v x (t ) на данном интервале, при этом надо учесть, что на
участке 0 ÷ 2 с площадь под графиком берется со знаком «+»
( v x > 0 ), а на участке 2 ÷ 3 с — со знаком «–» ( v x < 0 ). Кроме того,
необходимо помнить, что слова «площадь под графиком» имеют
смысл площади фигуры, ограниченной графиком v x (t ) , осью времени t и двумя перпендикулярами к оси времени, т. е. могут означать площадь фигуры, расположенной над графиком (см. рис. 7.2
и 7.3). Итак на интервале 3 ÷ 5 с перемещение определяется формулой Δ x (t ) = 3 − 2 ⋅ (t − 3) . Отсюда, к моменту окончания равномерного движения t = 5 с перемещение Δ x (t = 5 c) = − 1 м .
Аналогично, для третьего этапа движения 5 ÷ 7 с перемещение
Δ x (t ) = Δ x0 + v x 0 ⋅ (t − t0 ) + a x ⋅ (t − t0 ) 2 2 = − 1 − 2 ⋅ (t − 5) + 1⋅ (t − 5) 2 2 .
График — парабола ветвью вверх а x = + 1 м/с 2 > 0 с вершиной при
t = 7 с ( v x (t = 7 с) = 0 ).
На последнем этапе 7 ÷ 10 с тело неподвижно: Δ x = const =
= − 3 м (рис. 7.10).
Отметим, что при t = 3 с и t = 5 с график зависимости Δ x (t ) не
испытывает изломов: различные его участки плавно переходят
70
один в другой. Это обусловлено непрерывностью зависимости
v x (t ) : отсутствуют мгновенные изменения проекции скорости,
которая, напомним, является производной по времени от перемещения. Следовательно, на графике Δ x (t ) мгновенных изменений
угла наклона касательной к графику не происходит (см. § 2, ч. 2).
Рис. 7.10
Рис. 7.11
71
Что касается построения графика зависимости пути, пройденного телом, то, обратившись к решению задачи 7.2 данного параграфа, можно отметить следующее обстоятельство, которое облегчает
процедуру построения графика S (t ) . При любом изменении перемещения Δ x путь увеличивается, поэтому для построения графика
S (t ) необходимо убывающие участки графика Δ x (t ) симметрично
(зеркально) отразить вверх, сохраняя непрерывность графика
(рис. 7.11).
а)
б)
Рис. 7.12
7.4*. Координаты материальной точки x (t ) и y (t ) изменяются
со временем так, как это показано на рис. 7.12. Нарисовать траекторию движения тела на координатной плоскости XOY. Определить
средний модуль скорости и модуль среднего вектора скорости за
все время движения. Построить графики зависимостей проекций
скорости v x (t ) и v y (t ) от времени.
Ответ: траектория тела представлена на рис. 7.13;
r
v = 2 м/с ; v = 1,03 м/с ;
графики зависимостей v x (t ) и v y (t ) представлены на рис. 7.14.
72
Рис. 7.13
а)
б)
Рис. 7.14
7.5А. Для тел, движущихся прямолинейно вдоль оси OX, установить соотношение их скоростей ( < , = , > ) в момент времени t0 ,
если в момент времени t = 0 тела покоились. Проекция вектора
ускорения на ось OX — a x , изменяется со временем так, как показано на рис. 7.15, а, б, в, г.
Ответ: а) v1 < v 2 < v 3 ; б) v 3 < v 2 < v1 ;
в) v 2 < v1 < v 3 ; г) v 2 < v 3 < v1 .
73
а)
б)
в)
г)
Рис. 7.15
Рис. 7.16
7.6С. Вдоль оси OX движется материальная точка. В начальный
момент времени t = 0 проекция скорости точки v x 0 = 2 м/с . Проекция ускорения точки изменяется со временем так, как это показано на рис. 7.16. Построить графики зависимости от времени проекции скорости v x (t ) , перемещения Δ x (t ) и пройденного телом
пути. Определить среднюю проекцию ускорения
аx , среднюю
проекцию скорости v x и средний модуль скорости
время движения.
v (t ) − v x (tнач )
= − 0,8 м/с 2 ;
Ответ: а x = x кон
tкон − tнач
vx =
v =
Δ x x (tкон ) − x (tнач )
=
= − 1,4 м/с ;
tкон − tнач
Δt
S
= 2,4 м/с , где tнач = 0 , tкон = 10 c .
Δt
74
v
за все
Рис. 7.17
Рис. 7.18
Рис. 7.19
7.7С. В условиях предыдущей задачи (7.6) определить момент
времени, когда тело окажется на максимальном расстоянии от исходной точки движения. Каково это расстояние?
Ответ: t = 5 с ; lmax = 9 м .
7.8А. На рис. 7.20 показана зависимость пути, пройденного телом S, от времени.
Написать аналитическую зависимость модуля скорости тела v от
времени.
75
Рис. 7.20
Рис. 7.21
7.9. С воздушного шара, опускающегося вертикально вниз с постоянной скоростью v = 2 м/с , бросили вертикально вверх камень
со скоростью v 2 = 10 м/с относительно земли. Построить график
зависимости расстояния l между шаром и камнем от времени t. Каким будет максимальное расстояние между шаром и камнем lmax ?
Камень и шар принять за материальные точки. g = 10 м/с 2 .
Ответ: lmax =
( v1 + v 2 ) 2
= 7,2 м , график на рис. 7.21.
2g
76
Указание. Перейти в систему отсчета, связанную с шаром, тогда
t2
l (t ) = ( v1 + v 2 ) t − g .
2
7.10С. Тело движется вдоль оси OX. В момент времени t = 0
проекция вектора скорости на ось OX v x = − 3 м/с . Проекция вектора ускорения на ось зависит от времени следующим образом: в
интервале 0 ÷ 4 с а x = 1,5 м/с 2 , в интервале 4 ÷ 6 с а x = − 1,0 м/с 2 , в
интервале 6 ÷ 8 с а x = − 0,5 м/с 2 . Какой путь пройдет тело к моменту времени t = 8 с ?
Ответ: S (t = 8 с) = 11 м .
Указание. Построить графики зависимости от времени проекции
вектора скорости и модуля вектора скорости. Площадь под вторым
графиком даст значение пути.
7.11С. Частица движется вдоль оси OX согласно графику зависимости координаты от времени x (t ) на рис. 7.22. Участки графика
для интервалов времени 0 ÷ 1 с и 2 ÷ 3 с представляют собой отрезки прямых, участки графика для интервалов времени 1÷ 2 с и
3 ÷ 4 с — отрезки парабол. Описать аналитически зависимость координаты от времени.
Рис. 7.22
77
Ответ: 0 ÷ 1 с ⇒ x (t ) = 5 + 5 ⋅ t ;
1÷ 2 с ⇒ x (t ) = − 2,5 + 20 ⋅ t − 7,5 ⋅ t 2 ;
2 ÷ 3 с ⇒ x (t ) = 27,5 − 10 ⋅ t ;
3 ÷ 4 с ⇒ x (t ) = − 2,5 − 40 ⋅ t + 5 ⋅ t 2 ,
все величины, входящие в формулы, измеряются в единицах СИ.
Указание. На прямолинейных участках зависимость имеет вид
x (t ) = x0 + v x ⋅ (t − t0 ) ; на участках, представляющих собой отрезки
a
парабол x (t ) = x0 + v x 0 ⋅ (t − t0 ) + x ⋅ (t − t0 ) 2 , где t0 — момент
2
времени, соответствующий началу интервала,
x0 = x (t0 ) ,
v x 0 = v x (t 0 ) .
7.12*. Траектория движения материальной точки лежит в плоскости XOY. На рис. 7.23 приведены графики зависимости проекции
ее ускорения на ось OX (рис. 7.23, а) и проекции ее скорости на ось
OY (рис. 7.23, б) от времени. Проекция начальной скорости точки
на ось OX равна v x 0 = 2 м/с . Построить график зависимости модуля ускорения точки от времени.
Рис. 7.23
78
Ответ: график зависимости модуля ускорения тела от времени
а (t ) представлен на рис. 7.24.
Указание. Учесть, что а (t ) = a x2 (t ) + a 2y (t ) .
Рис. 7.24
7.13*. Частица движется в плоскости XOY. Ее скорость вдоль оси
OY постоянна и равна v y = 3 м/с , а вдоль оси OX — меняется. На-
чальное значение проекции скорости v x 0 равно нулю, а зависимость проекции ускорения на ось OX — а x (t ) представлена на
рис. 7.25. Найти максимальную величину скорости частицы.
Ответ: v max = 5 м/с .
Указание. v max =
vx
2
max
+ v 2y .
Рис. 7.25
79
7.14*. Расстояние между двумя
автобусными остановками равно S = 400 м . Автобус, отойдя
от остановки, разгоняется до
максимальной скорости v max =
= 36 км/ч , а перед следующей
остановкой тормозит. Какой
путь автобус прошел со скороРис. 7.26
стью v max , если движение от
одной остановки до другой заняло t = 1 мин , а разгон и торможение
автобуса проходили при постоянных (не обязательно равных) ускорениях.
Ответ: t1 = 20 с .
Указание. Проще всего дать графическое решение задачи, используя график зависимости скорости автобуса от времени v (t ) ,
площадь под которым равна пройденному автобусом пути S.
7.15*. Частица движется в плоскости XOY. По графикам зависимости от времени проекций скорости v x (t ) и v y (t ) (рис. 7.27) най-
ти путь, пройденный частицей за 4 секунды движения.
а)
б)
Рис. 7.27
Ответ: S = 3,9 м .
Указание. Использовать соотношение v =
v 2x + v 2y , пройден-
ный путь можно рассчитать как площадь под графиком v (t ) .
80
7.16*. Декартовы координаты частицы меняются следующим
образом: x (t ) = A cos ω t , y (t ) = A sin ω t , z (t ) = A ω t , где A и
ω — положительные постоянные величины. Какой путь пройдет
частица за время t0 , если A и ω заданы? Что представляет собой
траектория движения частицы?
Ответ: траектория движения частицы — спираль, навитая на
цилиндр радиуса A , осью симметрии которой является ось OZ
S = 2 ⋅ A ⋅ ω ⋅ t0 .
Указание. Использовать формулу (4.2).
§ 8. Движение материальной точки по окружности.
Угловая и линейная скорости.
(Угловое ускорение).
Центростремительное (нормальное, тангенциальное
и полное) ускорение
Понятия, помещенные в скобках в заголовке данного параграфа,
выходят за рамки школьного курса физики, однако часто встречаются в сборниках задач по физике для абитуриентов вузов и могут
оказаться полезными при решении задач, предлагаемых на олимпиадах.
Пусть частица движется по окружности радиуса R с центром в точке О. Возьмем на окружности произвольную точку
А за начало отсчета и зададим положительное направление движения (по часовой или против часовой стрелки). ПолоРис. 8.1
жение частицы на окружности определяется значением угла ϕ (измеренного в
радианах) между фиксированным радиусом ОА и радиусом, проведенным в точку М окружности, где находится в данный момент
времени частица (рис. 8.1). По определению, центральный угол,
равный одному радиану, стягивает дугу окружности длиной, равной радиусу, т. е. ϕ = S R , где S — длина дуги, стягиваемой центральным углом ϕ .
81
При перемещении частицы по окружности угол поворота
Δ ϕ = ϕ2 − ϕ1 радиуса, определяющего положение частицы, называют угловым перемещением. Для характеристики равномерного
движения частицы по окружности введены две специальные величины: частота и период обращения. Частотой обращения называют число оборотов материальной точки вокруг центра окружности
в единицу времени:
ν=
N
,
Δt
где N — число оборотов, совершенных за промежуток времени Δ t .
Периодом обращения называют время, в течение которого совершается один оборот материальной точки по окружности:
T=
Δt
N
⇒ T=
1
.
ν
(8.1)
Средняя угловая скорость ω определяется как отношение углового перемещения Δ ϕ = ϕ (t2 ) − ϕ (t1 ) к промежутку времени
Δ t = t2 − t1 , за который совершено это перемещение
ω =
Δϕ
.
Δt
(8.2)
(Мгновенная) угловая скорость ω определяется как производная от угла ϕ , определяющего положение материальной точки на
окружности, по времени
ω = lim
Δt → 0
Δϕ dϕ
=
= ϕ& .
Δt dt
(8.3)
Если частица движется по окружности равномерно, то численно
средняя угловая скорость и мгновенная угловая скорость совпада82
ют, в этом случае движение частицы характеризуют параметром
угловая скорость, величина которой определяется по формуле (8.2).
Ранее для описания произвольного движения материальной точr
ки вводилась векторная величина — скорость v . В случае движения тела по окружности ее называют линейной скоростью. Линейная скорость и угловая скорость связаны соотношением
v= ω ⋅R.
(8.4)
При равномерном движении материальной точки по окружности
ее линейная скорость, оставаясь постоянной по модулю, непрерывно изменяется по направлению. Но изменение скорости по направлению свидетельствует о том, что при равномерном движении тела
по окружности есть ускорение, которое и является причиной непрерывного изменения направления скорости. Это ускорение получило название центростремительного ускорения, вектор центростремительного ускорения перпендикулярен вектору скорости и
направлен к центру окружности, модуль его равен
aцс =
v2
= ω2 ⋅ R ,
R
(8.5)
где v — линейная скорость материальной точки, ω — угловая
скорость, R — радиус окружности, по которой движется тело.
Если движение материальной точки по окружности отличается
от равномерного, то вводят величину, которая называется угловое
ускорение, равное производной от угловой скорости по времени
β = lim
Δt →0
Δω dω
&,
=
=ω
dt
Δt
(8.6)
где Δ ω = ω (t 2 ) − ω (t1 ) — приращение угловой скорости, произошедшее за промежуток времени Δ t = t2 − t1 .
Кроме того, при неравномерном движении тела по окружности
его ускорение будет связано не только с изменением направления
83
вектора линейной скорости, но
также и с изменением модуля линейной скорости. Вектор ускорения
в этом случае (его называют вектором полного ускорения) удобно разложить на две взаимно перпендикулярные составляющие (рис. 8.2):
r r r
Рис. 8.2
a = a n + aτ .
r
Нормальное ускорение an характеризует изменение линейной скорости по направлению и перпендикулярно вектору скорости, т. е. точно так же, как и центростремительное ускорение направлено к центру окружности. Модуль
нормального ускорения также определяется выражением (8.5). Таким образом, центростремительное ускорение можно считать частным случаем нормального ускорения (для равномерного движения).
r
Тангенциальное ускорение aτ характеризует изменение линейной скорости по модулю и направлено по касательной к траектории
(как и вектор линейной скорости). Проекция вектора тангенциального ускорения на направление вектора скорости равна производной от модуля линейной скорости по времени
aτ = lim
Δt →0
Δv dv
=
= v& ,
Δt dt
(8.7)
где Δ v = v (t2 ) − v (t1 ) — приращение модуля линейной скорости,
произошедшее за промежуток времени Δ t = t2 − t1 . Если линейная
r
r
скорость по модулю возрастает, то aτ > 0 и векторы aτ и v наr
правлены в одну сторону, если убывает, то aτ < 0 и векторы aτ и
r
v направлены в противоположные стороны. Между тангенциальным и угловым ускорением материальной точки существует соотношение
aτ = β ⋅ R .
84
(8.8)
Если материальная точка движется по окружности с постоянным угловым ускорением, то угловое положение точки на окружности и угловая скорость меняются по следующим законам:
⎧
t2
⎪ϕ (t ) = ϕ0 + ω0 ⋅ t + β ⋅ ;
⎨
2
⎪ ω (t ) = ω + β ⋅ t ,
0
⎩
(8.9)
где t — время, ω0 = ω (t = 0) — начальная угловая скорость; ϕ0 =
= ϕ (t = 0) — угловой параметр, определяющий начальное положение тела на окружности ( ϕ , ϕ0 , ω , ω0 , β — алгебраические величины!).
Задачи
8.1А. Равномерно движущаяся по окружности точка делает полный оборот за T = 5 c . Чему равна угловая скорость точки? Чему
равно угловое перемещение точки за время Δ t = 2 c ?
Решение. Используем формулу (8.4):
ω=
v 2 πR T 2 π
=
=
≅ 1,26 рад/с .
R
R
T
Согласно определению (8.2) для равномерного движения получим:
Δ ϕ = ω ⋅ Δ t ≅ 2,52 рад ≅ 144° .
8.2А. Найти линейную скорость Луны, обусловленную ее движением по орбите вокруг Земли. Период обращения Луны
T = 27,3 сут . Расстояние от Земли до Луны R = 3,84 ⋅ 105 км . Орбиту считать круговой.
Ответ: v ≅ 1,02 км/с .
85
8.3А. Скорость точек рабочей поверхности шлифовального круга
не должна превышать v = 100 м/c . Найти предельную частоту вращения круга, диаметр которого d = 40 cм . Определить центростремительное ускорение точек рабочей поверхности круга.
Ответ: ν ≅ 80 Гц ;
aцс = 5 ⋅ 10 4 м/с 2 .
8.4. Диск равномерно вращается вокруг оси, проходящей через
его центр и ему перпендикулярной. Линейная скорость точек края
диска v1 = 3 м/c . У точек, расположенных на расстоянии l = 10 cм
ближе к оси, линейная скорость v 2 = 2 м/c . Какова частота вращения диска?
Решение. Воспользуемся формулой (8.4) для составления систе2π
= 2 πν :
мы уравнений, кроме того, что ω =
T
⎧ v1 = 2 πν ⋅ R ;
⎨
⎩ v 2 = 2 πν ⋅ ( R − l ) ,
где R — радиус диска,
⇒ ν=
v1 − v 2
≅ 3,2 Гц .
2π l
8.5В. Найти радиус вращающегося колеса, если известно, что
линейная скорость точек обода колеса в k = 2,5 раза больше линейной скорости точек, лежащих на расстоянии d = 5 cм ближе к
оси колеса.
Ответ: R ≅ 8,3 cм .
8.6. Два зубчатых колеса радиусами R1 = 32 cм и R2 = 24 cм
соединены цепной передачей. Первое колесо вращается с частотой
n1 = 120 об/мин (оборотов в минуту). С какой частотой вращается
второе колесо? Какова линейная скорость точек цепи? Цепь по колесам не проскальзывает.
86
Решение. Цепь в процессе движения не меняет свои размеры,
следовательно, линейная скорость всех точек цепи одинакова, а так
как отсутствует проскальзывание, то линейная скорость точек цепи
равна линейной скорости точек
на ободе каждого колеса. Заметим, что частота вращения n, выраженная в оборотах в минуту,
как это принято в технике, есть
не что иное как угловая скорость
ω , которую в физике принято
выражать в радианах за секунду
Рис. 8.3
(или обратных секундах с −1 ).
⎧ v = 2π n1 ⋅ R1 ;
⎪
n1 ⋅ R1
⎨
⎪ v = 2π n2 ⋅ R2 , ⇒ n2 = R = 160 об мин ;
2
⎩
v = 0,64 м/c .
8.7В. Ось с двумя бумажными дисками, закрепленными на расстоянии l = 0,5 м друг от друга, вращается с частотой n =
= 1600 об/мин. Пуля, летящая вдоль оси, пробивает оба диска, при
этом отверстие от пули во втором диске смещено относительно
отверстия в первом диске на угол ϕ = 12° . Найти скорость пули.
Ответ: v = 400 м c .
Указание. Частоту вращения n в данном случае удобно пересчитать в угловую скорость ω , выразив ее не в единицах СИ, а используя угловые градусы:
об
360 угл. град
угл. град
= 16 ⋅ 10 2 ⋅
= 96 ⋅ 102
.
мин
60
с
с
В этом случае угол поворота дисков за время пролета пули между ними ϕ можно в расчетной формуле выразить также в угловых
градусах.
ω = 16 ⋅ 10 2
87
8.8В. Две материальные точки М и К движутся по окружности
в одном направлении с угловыми скоростями ωМ = 0,2 рад с и
ω К = 0,3 рад с . В начальный момент времени угол между радиуπ
сами, проведенными в точки М и К, был равен ϕ0 = . Через какой
3
промежуток времени после начала движения точки встретятся первый раз?
Ответ: t1 ≅ 10,5 c ;
t2 ≅ 52,5 c .
Указание. Принять за начало отсчета угла ϕ , определяющего
положение точек на окружности, точку, в которой в начальный
момент времени находилась точка К, а за положительное направление отсчета угла принять направление движения точек К и М.
Для равномерного движения уравнение, определяющее положение
точек на окружности, имеет вид ϕ (t ) = ϕ (t = 0) + ω ⋅ t .
8.9В. Две материальные точки равномерно движутся по окружности. Первая точка, двигаясь по часовой стрелке, делает один
оборот за T1 = 5 мин , вторая точка, двигаясь против часовой стрелки, делает один оборот за T2 = 2 мин . Найти время между двумя
последовательными встречами точек.
Ответ: t = 1,4 мин .
Указание. Для составления уравнений удобно воспользоваться
тем обстоятельством, что при равномерном движении угловую
скорость можно выразить как
ω=
2π
.
T
Суммарное угловое перемещение точек составит между двумя
последовательными встречами 2 π .
8.10В. Две материальные точки равномерно движутся по окружности в одном направлении. Первая точка делает один оборот за
T1 = 5 мин , вторая точка — за T2 = 2 мин . Найти время между двумя последовательными встречами точек.
88
T1 ⋅ T2
= 3,3 мин .
T1 − T2
8.11. Найти интервал времени между двумя последовательными
встречами часовой и минутной стрелками часов.
Ответ: t ≅ 65 мин 27 с .
8.12С. На какой угол успевает повернуться часовая стрелка часов между двумя последовательными встречами минутной и часовой стрелок?
Ответ: ϕ ≅ 33° .
8.13С. Сколько раз за сутки встречаются часовая и секундная
стрелки часов, не считая исходного положения, когда стрелки находятся вместе?
2 ⋅ (Tч − Tс )
= 1438 раз .
Ответ: N =
Tс
8.14В. Спутник движется с периодом T = 120 мин по круговой
Ответ: t =
орбите с ускорением а = 0,92 м с 2 . Определить радиус этой орбиты.
Ответ: R ≅ 1,2 ⋅ 103 км .
8.15В. Считая орбиту Земли при ее движении вокруг Солнца окружностью радиуса R = 1,5 ⋅ 108 км , определить ускорение Земли.
Ответ: a ≅ 5,9 ⋅ 10 − 3 м c 2 , где T —
период обращения Земли вокруг Солнца.
8.16В. Найти линейную скорость и ускорение точек земной поверхности на широте ϕ = 60° (рис. 8.4), обусловленные
суточным вращением Земли. Радиус Земли принять равным R = 6380 км .
Ответ: v ≅ 232 м c ;
a ≅ 8,44 ⋅ 10 − 3 м c 2 ,
где Т — период суточного вращения Земли.
89
Рис. 8.4
8.17А. Материальная точка движется по окружности радиуса
R = 10 см . Пройденный путь зависит от времени по закону
S = A ⋅ t , где постоянная A = 1 м c . Найти линейную и угловую
скорости, ускорение точки и число оборотов, сделанных ею за первые t0 = 5 c после начала движения.
Ответ: v = 1 м c ;
ω = 10 рад с ;
a = 10 м c 2 ;
N = 8 об .
8.18*. Две материальные точки одновременно начали движение
в одном направлении с одинаковой скоростью v = 0,5 м c : одна по
окружности радиуса r = 5 м , другая по окружности радиуса
R = 10 м . Окружности лежат в одной плоскости и имеют общий
центр. В начальный момент времени обе точки находились на одном радиусе. Найти угол между векторами ускорений указанных
точек через время: а) t0 = 1 мин ; б) t1 = 2 мин после начала движения.
v ⋅ (R − r)
= 3 рад ;
Ответ: а) ϕ =
r⋅R
б) ϕ = 0,28 рад .
Указание. Угол между векторами не может превышать π рад .
8.19*. Материальная точка движется по окружности радиуса
R = 2 м по закону ϕ = 2 + 2 t − t 2 , где ϕ — угол, определяющий положение точки на окружности, все величины выражены в единицах
СИ. Определить путь, пройденный точкой до остановки. Определить центростремительное ускорение точки в момент времени
t1 = 0,5 с .
Ответ: S = ϕ (t0 ) ⋅ R = 6 м , где t0 — момент остановки материальной точки ω (t0 ) = 0 . Необходимо воспользоваться определением (8.3).
aцс = ω2 (t1 ) ⋅ R = 2 м c 2 .
90
8.20*. Частица начинает двигаться
по окружности с постоянным тангенциальным ускорением. Найти
угол между векторами скорости и
ускорения после первого оборота.
Рис. 8.5
Начальная скорость точки равна нулю.
r
Решение. Угол α между вектором скорости v и вектором (полного) ускорения может быть найден из соотношения (рис. 8.5)
tg α =
an
,
aτ
где an и aτ — нормальное и тангенциальное (точнее сказать их
модули) ускорения тела. При постоянном тангенциальном ускорении, исходя из определения (8.7) можем записать, что
v (t ) = aτ ⋅ t ⇒ an (t ) =
v 2 aτ2 ⋅ t 2
,
=
R
R
где R — радиус окружности.
Путь, пройденный телом за время t от начала движения, составит согласно формулам (4.4) и (4.5) при постоянном тангенциальном ускорении
S (t ) = aτ ⋅
t2
.
2
Путь, пройденный за один оборот, равен длине окружности
2 π R . Выразив время, можем получить формулу для расчета нормального ускорения в конце этого пути
an = 4 π aτ .
Окончательно получим
α = arctg 4π ≅ 85,5°.
91
8.21*. Материальная точка движется по окружности с постоянным угловым ускорением β = 1 рад с 2 . Найти угол между скоростью и ускорением точки через время t0 = 1 с после начала движения. Начальная скорость точки при t = 0 равна нулю.
Ответ: α = arctg (β ⋅ t 2 ) = 45°.
Указание. При постоянном угловом ускорении согласно формулам (8.9) ω (t ) = β ⋅ t , так как ω0 = 0 . Далее следует выразить нормальное ускорение an через угловую скорость ω и радиус окружности R по формуле (8.5), а тангенциальное ускорение aτ через
угловое ускорение и радиус окружности R согласно формуле (8.8).
Использовать схему решения задачи 8.20.
8.22*. Диск радиусом R = 0,5 м приводится во вращение с помощью намотанной на него веревки (рис. 8.6). Конец веревки тянут
с ускорением a0 = 0,1 м c 2 . Найти нормальное, тангенциальное и
полное ускорения нижней точки диска А спустя время t0 = 2 с после начала вращения.
Ответ: aτ = a0 = 0,1 м c 2 ;
an =
aτ2 t02 a02 t02
=
= 0,08 м с 2 ;
R
R
a = aτ2 + an2 = a0 ⋅ 1 +
Рис. 8.6
a02 t04
R
2
≅ 0,13 м c 2 .
Указание. Предполагается, что веревка
нерастяжима, следовательно, все ее точки, в том числе точка В, где
веревка касается диска, движутся с одинаковой по модулю скоростью. Точка В принадлежит одновременно веревке и диску. Значит
скорости всех точек на краю диска, в том числе точки А, движутся
со скоростью v (t ) = a0 ⋅ t . Далее необходимо использовать формулы (8.5), (8.7).
92
§ 9. Кинематика твердого тела.
Поступательное движение и вращение.
Принцип взаимной независимости движений
Ни одна физическая задача не может быть решена абсолютно
точно, всегда получают приближенное решение, хотя бы в силу
того обстоятельства, что невозможно принять во внимание все действующие факторы. Решая задачу приближенно, рассматривают
вместо реального объекта некоторый набор его основных
свойств — физическую модель объекта. Одной из физических моделей реальных тел, используемых в механике, является материальная точка. Еще одна широко используемая в механике модель — (абсолютно) твердое тело — тело, расстояние между любыми двумя точками которого остается неизменным при его движении. Понятия материальной точки и абсолютно твердого тела
позволяют исключить из рассмотрения деформацию, т. е. изменение формы и размеров тела при его движении.
Простейшими видами движения твердого тела являются поступательное движение и вращение относительно неподвижной оси
(вращательное движение).
Поступательное движение — движение, при котором отрезок
прямой, соединяющий любые две точки твердого тела, перемещается параллельно самому себе. При поступательном движении скорости и ускорения всех точек тела одинаковы (рис. 9.1).
Рис. 9.1
93
Вращение относительно неподвижной оси — движение, при котором все точки твердого тела
движутся по окружностям, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения,
а плоскости перпендикулярны
оси вращения. При вращательном
движении угловые скорости (и
угловые ускорения) всех точек
Рис.9.2
тела одинаковы (рис. 9.2).
Принцип взаимной независимости движений утверждает, что любое сложное движение твердого тела можно представить как суперпозицию двух простейших
движений: поступательного и вращательного. В частности, при
плоском движении, при котором траектории всех точек твердого
тела лежат в параллельных плоскостях, любое движение твердого
тела можно представить как результат двух движений: вращения
вокруг оси, перпендикулярной плоскости, параллельной траекториям точек тела, и поступательного движения со скоростью, равной скорости этой оси. Выбор оси вращения определяется удобством решения конкретной задачи.
Пусть некоторое тело движется в плоскости чертежа, представ-
Рис. 9.3
ленного на рис. 9.3. Мысленно проведем ось вращения для данного
момента времени через точку О перпендикулярно плоскости чертежа. Кстати, точка, через которую мы проводим ось вращения,
94
может лежать как в пределах рассматриваемого тела, так и за его
пределами. Скорость произвольной точки тела А согласно принципу взаимной независимости движений можно представить как
r
сумму двух векторов: скорости оси вращения v 0 , и это слагаемое
для всех точек тела будет одинаковым, поэтому его можно назвать
r
скоростью поступательного движения, и линейной скорости v вр ,
обусловленной вращением тела относительно выбранной оси:
r
r
r
v A = v вр + v пост .
(9.1)
Длина отрезка ОА равна расстоянию от точки А тела до выбранной оси вращения, и, следовательно, равна радиусу окружности, по
которой движется точка А в системе отсчета, связанной с выбранной осью. Отсюда в соответствии с формулой (8.4):
r
v вр = ω ⋅ ОА .
(9.2)
При решении задач бывает удобно рассматривать вращательное
движение тел относительно оси, проходящей через точки, скорость
которых равна нулю. Такая ось называется мгновенной осью вращения. В этом случае движение тела можно рассматривать как чисто вращательное.
Задачи
9.1А. Пропеллер самолета радиусом R = 1 м вращается с частотой n = 1000 об мин . Какова скорость точки на конце пропеллера
при посадке самолета, если посадочная скорость самолета v =
= 180 км ч ?
Ответ: v′ ≅ 116 м c .
Указание. Воспользоваться принципом взаимной независимости
движений. Скорость указанной точки пропеллера относительно
r r
r
r
r
r
r
земли v′ = v пост + v вр , причем v пост ⊥ v вр и v пост = v , v вр = ω R .
95
9.2В. Диск некоторого радиуса R катится без проскальзывания так, что
скорость его горизонтальной оси симметрии равна v 0 . Найти скорости точек диска B, C, D (рис. 9.4).
Решение. Условие непроскальзывания означает, что скорость точки А
диска, в которой происходит касание
диска с опорой, относительно опоры
равна нулю. Воспользуемся принциРис. 9.4
пом взаимной независимости движений. В качестве оси вращения выберем
горизонтальную ось симметрии диска. На рис. 9.5 приведена векторная диаграмма, которая демонстрирует из каких слагаемых
складываются скорости точек А, B, C и D в этом случае. Компонен-
Рис. 9.5
ты скорости всех указанных точек диска, обусловленные вращением вокруг выбранной оси, равны:
v вр = ω ⋅ R ,
96
где ω — угловая скорость вращения. Из условия непроскальзывания v A = 0 следует, что v 0 = ω R . Используя векторную диаграмму, получаем:
vB = vD =
2
v 02 + v вр
= 2 ⋅ v 0 , vC = v 0 + v вр = 2 v 0 .
Еще один возможный способ решения основан на использовании метода мгновенной оси вращения. Таковой является ось, проходящая через точку А перпендикулярно плоскости чертежа
(рис. 9.4). Движение диска в этом случае рассматривается как чисто
вращательное, поэтому
v 0 = ω ⋅ ОА = ω ⋅ R ⇒
v В = ω ⋅ АВ = ω ⋅ 2 ⋅ R = 2 ⋅ v 0 ;
vС = ω ⋅ АС = ω ⋅ 2 R = 2 v 0 ;
v D = ω ⋅ АD = ω ⋅ 2 ⋅ R = 2 ⋅ v 0 .
Заметим, что угловая скорость вращения вокруг двух различных
осей при использовании принципа взаимной независимости движений, оказалась одинаковой.
9.3С. Диск катится без проскальзывания по горизонтальной поверхности так, что скорость его горизонтальной оси симметрии
равна v 0 (рис. 9.4). Найти скорость точки Е диска. Угол α задан.
α
Ответ: v Е = 2 v0 ⋅ sin .
2
Указание. Использовать принцип взаимной независимости движений.
9.4*. Диск катится без проскальзывания по горизонтальной поверхности так, что скорость его горизонтальной оси симметрии
равна v 0 . Найти геометрическое место всех точек диска, скорость
которых равна v 0 .
Ответ: дуга окружности КОМ (рис. 9.4) с центром в точке А и
радиусом, равным радиусу диска.
Указание. Использовать метод мгновенной оси вращения.
97
9.5С. Колесо, пробуксовывая, катится по горизонтальной поверхности. Найти скорость центра колеса О, если известно, что
скорость его нижней точки А равна v1 , а верхней точки В — v 2
(рис. 9.6).
Решение. Используем принцип взаимной независимости движений в качестве оси, относительно которой будем
рассматривать вращение колеса, примем
ось, проходящую через центр колеса О
перпендикулярно плоскости чертежа.
Запишем в проекциях на ось OX соотношение (9.1) для точек колеса А и В:
⎧ − v1 = v 0 − ω R ;
⎨
⎩ v2 = v0 + ω R ,
Рис. 9.6
где R — радиус колеса; ω — угловая
скорость вращения,
⇒ v0 =
v 2 − v1
.
2
9.6С. Колесо катится по горизонтальной поверхности. В некоторый момент
времени скорость его нижней точки А
равна v1 = 2 м с , а верхней точки В —
v 2 = 6 м с (рис. 9.7). Найти скорость
Рис. 9.7
центра колеса О в этот момент времени.
Ответ: v 0 = 4 м с .
9.7С. Обруч, проскальзывая, катится по горизонтальной поверхности (рис. 9.7). В некоторый момент времени скорость нижней
точки обруча А — v1 = 2 м с , а скорость верхней точки В — v 2 =
= 6 м с . Определить скорость концов горизонтального диаметра
CD в тот же момент времени. Под какими углами к горизонту направлены соответствующие векторы?
98
v12 + v 22
r
≅ 4,5 м с ; вектор vC направлен
2
r
вверх под углом α к горизонту, вектор v D — вниз под углом α к
v −v
горизонту, где α = arctg 2 1 ≅ 27°.
v 2 + v1
Указание. Использовать принцип взаимной независимости движений. Выбрать в качестве оси вращения ось, проходящую через
центр обруча О перпендикулярно плоскости чертежа. Построить
векторную диаграмму скоростей для точек С и D обруча.
9.8С. Цилиндр радиуса R зажат между двумя параллельными горизонтальными рейками (рис. 9.8), которые движутся со скоростями v1 и v 2 в горизонтальном направлении в плоскости чертежа.
С какой угловой скоростью вращается цилиндр вокруг своей оси
симметрии? Проскальзывания нет,
v1 > v 2 . Рассмотреть два случая:
а) рейки движутся в одном направлении; б) рейки движутся в противоположных направлениях.
v −v
Ответ: а) ω = 1 2 ;
2R
Ответ: vC = v D =
Рис. 9.8
б) ω =
v1 + v 2
.
2R
9.9*. Шарик радиуса R катится без
проскальзывания по двум параллельным горизонтальным рейкам, расстояние между которыми равно 2 d .
Скорость центра шарика О равна v 0
(рис. 9.9). С какими скоростями движутся нижняя и верхняя точки шарика
А и В?
99
Рис. 9.9
⎛
⎞
R
Ответ: v A = v 0 ⋅ ⎜
− 1⎟ ;
⎜
⎟
2
2
⎝ R −d
⎠
⎛
⎞
R
v B = v0 ⋅ ⎜
+ 1⎟ .
⎜
⎟
2
2
⎝ R −d
⎠
9.10*. Катушка с намотанной на нее нитью лежит на горизонтальной поверхности и может катиться по ней без скольжения.
Внешний радиус катушки равен R, внутренний — r (рис. 9.10).
С какой скоростью и в каком направлении будет перемещаться ось
катушки О, если конец нити тянуть в горизонтальном направлении
со скоростью v ?
Решение. Точка В принадлежит одновременно нити и катушке и движется по
условию задачи вправо, следовательно, и
катушка покатится вправо, так как точка
катушки А неподвижна в силу условия
непроскальзывания.
Используем метод мгновенной оси
вращения. Ось вращения в этом случае
проходит через точку А перпендикулярно
Рис. 9.10
плоскости чертежа
⎧ vB = (R − r) ⋅ ω = v ;
⎨
⎩ v0 = R ⋅ ω ,
где ω — угловая скорость.
⇒ v0 = v ⋅
Рис. 9.11
R
.
R−r
9.11*. Катушка с намотанной на нее нитью лежит на горизонтальной поверхности и может катиться по ней без скольжения.
Внешний радиус катушки равен R, внутренний — r (рис. 9.11).
100
С какой скоростью и в каком направлении будет перемещаться ось
катушки О, если конец нити тянуть в горизонтальном направлении
со скоростью v ?
R
, вправо.
Ответ: v0 = v ⋅
R+r
9.12*. Два одинаковых диска расположены так, как показано на
рис. 9.12. Диск 1 неподвижен, а диск 2 катится по диску 1 без проскальзывания, двигаясь в плоскости чертежа. На какой угол повернется диск 2 относительно своей оси симметрии, перпендикулярной плоскости чертежа, обойдя один раз диск 1?
Решение. Очевидно, что искомый угол не зависит от того с постоянной или нет скоростью
диск 2 катится по диску 1. Рассмотрим ситуацию, когда движение носит равномерный характер. Пусть R — радиус дисков, ω — угловая
скорость вращения диска 2 вокруг своей оси,
ω′ — угловая скорость вращения отрезка прямой, соединяющей центры дисков. Для описания
движения диска 2 воспользуемся принципом
Рис. 9.12
взаимной независимости движений. В качестве
оси, относительно которой будем рассматривать
вращение диска 2, естественно выбрать его ось симметрии, перпендикулярную плоскости чертежа. Линейная скорость движения
указанной оси равна ω′ ⋅ 2 R . Тогда условие непроскальзывания в
точке касания дисков будет записываться следующим образом:
ω′ ⋅ 2 R = ω ⋅ R .
Домножив левую и правую части данного равенства на продолжительность одного оборота диска 2 вокруг диска 1 — T, получим
2 ⋅ ω′ ⋅ Т = ω ⋅ Т
⇒ 2 ⋅ 2π = α , т. е. α = 4 π ,
где α — искомый угол.
101
9.13*. Два диска расположены так, как показано на рис. 9.12. Радиус диска 2 вдвое больше радиуса диска 1. Диск 2 неподвижен, а
диск 1 катится по диску 2 без проскальзывания, двигаясь в плоскости чертежа. Сколько оборотов сделает диск 1, обойдя один раз
вокруг диска 2?
Ответ: N = 3 .
9.14*. Стержень АС движется в плоскости чертежа на рис. 9.13
таким образом, что в данный момент времени скорость точки А
направлена под углом к АС, а скорость точки В, делящей стержень
АС пополам, направлена вдоль стержня. Считая известной скорость
точки А — v A , определить скорость точки С в данный момент
времени.
Решение. Используем метод мгновенной оси вращения. В этом случае
движение стержня АС следует рассматривать как чисто вращательное.
Если точка О — след пересечения
мгновенной оси вращения и плоскости чертежа (ось перпендикулярна
r
плоскости чертежа), то ОА ⊥ v A и
r
ОВ ⊥ v В . Таким образом, точку О на
плоскости, в которой движется стержень АС, можем найти построением,
Рис. 9.13
проведя до пересечения перпендикуr
r
ляры к прямым, проходящим через векторы v A и v В , в точках А
и В соответственно. Треугольник ОАС — равнобедренный, т. е.
ОА = ОС . Скорости точек А и С можно выразить в данный момент времени как
⎧⎪ v A = ω ⋅ ОА ;
⇒ vC = v A ,
⎨
⎪⎩ vС = ω ⋅ ОС
где ω — угловая скорость вращения стержня АС вокруг мгновенной оси вращения.
102
9.15*. Стержень АС движется в некоторой плоскости таким образом, что в данный момент времени скорость точки А направлена
вдоль АС и v A = 3,0 м с , а скорость точки В, лежащей между точками А и С, направлена под некоторым углом к АС и v В = 4,0 м с .
АВ = 2,6 м и ВС = 1,4 м. Определить скорость точки С.
( АВ + ВС ) 2
⋅ (v2В − v 2А ) ≅ 4,9 м с .
Ответ: vС = v 2А +
2
АВ
Указание. Использовать теорему Пифагора для составления
уравнений.
9.16*. Нить, привязанную к бруску и
перекинутую через неподвижный блок
малого диаметра, тянут со скоростью v .
Брусок при этом скользит по горизонтальной поверхности. Какова будет скорость бруска в тот момент, когда учаРис. 9.14
сток нити, примыкающий к бруску, соα
с горизонтом
ставляет угол
(рис. 9.14)?
Решение. Рассмотрим малое перемещение бруска вблизи указанного в условии задачи момента времени (рис. 9.15).
Точка А, в которой нить крепится к бруску, совершает перемещение АА′. Точка
О блока, в которой нить касается блока,
Рис. 9.15
в силу малости его размера, практически
не меняет своего положения. Отложим отрезок ОВ = ОА′. При
стремлении интервала времени Δ t , за который происходит перемещение, к нулю, угол ϕ также стремится к нулю, а углы ОА′В,
π
ОВА′ и АВА′ — к . Поэтому можем записать соотношение между
2
перемещением бруска АА′ и перемещением участка нити справа от
блока (рис. 9.14), равного уменьшению длины участка нити слева
от блока, т. е. длине отрезка АВ:
AB ≅ AA′ ⋅ cos α .
103
Разделим левую и правую части соотношения на Δ t и устремим
Δ t к нулю. В пределе получим
v = v′ ⋅ cos α ⇒ v′ =
v
,
cos α
где v′ — скорость бруска.
9.16*. К телу, находящемуся на плоской поверхности, прикреплены две нити. Нити тянут
во взаимно перпендикулярных направлениях
вдоль поверхности со скоростями v1 и v 2 .
С какой скоростью тело скользит по поверхности?
Рис. 9.16
Ответ: v = v12 + v 22 .
Указание. Воспользоваться
решения предыдущей задачи.
результатами
§ 10. Движение тела, брошенного под углом к горизонту
Решение задач, в которых рассматривается кинематика тела,
брошенного под углом к горизонту, основано на применении векторных уравнений движения с постоянным ускорением (6.6):
⎧r
r r
r t2
⎪ r (t ) = r0 + v 0 ⋅ t + a ⋅ ;
⎨
2
⎪ vr (t ) = vr + ar ⋅ t .
0
⎩
Если в условии задачи не оговорено особо, то считается, что сопротивлением воздуха можно пренебречь, соответственно, тело
движется с постоянным ускорением, равным ускорению свободного падения.
104
Задачи
10.1С. С поверхности земли под углом α к горизонту бросают с
начальной скоростью v 0 мяч. Определить: продолжительность полета мяча tп ; дальность полета мяча S; максимальную высоту
подъема H; угол β , под которым в данный момент времени t летит
мяч; зависимость скорости от времени v (t ) .
Рис. 10.1
Решение. Используем декартову систему координат: ось OX направим горизонтально в направлении полета мяча, ось OY — вертикально, начало координат совместим с точкой бросания. Отсчет
времени начнем в момент броска. Систему векторных уравнений
движения (6.6) запишем в проекциях на оси OX и OY:
⎧ x (t ) = v 0 ⋅ cos α ⋅ t ;
⎪
2
⎪ y (t ) = v ⋅ sin α ⋅ t − g t ;
⎪
0
2
⎨
⎪ v (t ) = v ⋅ cos α ;
0
⎪ x
⎪⎩ v y (t ) = v 0 ⋅ sin α − g ⋅ t .
(10.1)
В момент падения мяча на землю его координата по оси OY равна нулю. Воспользуемся уравнением для y (t ) из системы (10.1) и
указанным граничным условием
105
⎧
t2
⎪ y (t ) = v 0 ⋅ sin α ⋅ t − g ;
⇒
⎨
2
⎪ y=0
⎩
t⎞
⎛
t ⋅ ⎜ v 0 ⋅ sin α − g ⎟ = 0 ⇒
2⎠
⎝
⎧ t1 = 0 ;
⎪
2 v 0 ⋅ sin α
⎨
.
⎪ t2 =
g
⎩
⇒
Первое из полученных решений соответствует моменту броска.
tп =
2 v 0 ⋅ sin α
.
g
Так как координата мяча по оси OX монотонно возрастает со временем, как это следует из первого уравнения системы (10.1), то
xmax = S = x (tп ) =
2 v 02 ⋅ sin α ⋅ cos α v 02
=
⋅ sin 2 α .
g
g
В момент достижения максимальной высоты подъема скорость
тела направлена горизонтально, так как в верхней точке траектории
касательная к ней горизонтальна, следовательно, проекция вектора
скорости на ось OY в верхней точке траектории равна нулю. Воспользуемся уравнениями для y (t ) , v y (t ) из системы (10.1) и указанным граничным условием
⎧
t2
⎪ y (t ) = v 0 ⋅ sin α ⋅ t − g ;
2
⎪⎪
⇒
⎨ v y (t ) = v 0 ⋅ sin α − g ⋅ t ;
⎪
⎪ vy = 0
⎩⎪
106
ymax = H =
v 02 ⋅ sin 2 α
.
2g
Кстати, время подъема до верхней точки траектории, в данном
случае, оказывается равным половине продолжительности полета.
Угол β будем считать положительным, если он отсчитывается
против часовой стрелке от горизонтали и отрицательным — если
по часовой. На чертеже, приведенном на рис. 10.1 видно, что в
этом случае
tg β =
v y (t )
v x (t )
=
v 0 ⋅ sin α − g t
gt
.
= tg α −
v 0 ⋅ cos α
v 0 ⋅ cos α
Используя теорему Пифагора, получим
v (t ) =
v 2x (t ) + v 2y (t ) =
v 02 − 2 ⋅ v 0 ⋅ g ⋅ sin α ⋅ t + g 2 ⋅ t 2 .
10.2В. Мяч бросают с поверхности Земли со скоростью v 0 под
углом α к горизонту, и он падает на крышу здания высотой H.
Определить продолжительность полета мяча и его скорость в момент удара о крышу.
Ответ: tп = ⎛⎜ v 0 ⋅ sin α + v 02 ⋅ sin α − 2 g Н ⎞⎟ g ;
⎝
⎠
v (tп ) =
v 02 − 2 g Н .
Указание. Если начало координат совместить с точкой бросания, то в момент падения на крышу y (tп ) = Н .
10.3С. Мяч бросают под углом α к
горизонту с одного края ямы на другой,
который ниже на H. Ширина ямы — S.
С какой минимальной начальной скоростью v 0 надо бросить мяч, чтобы перебросить яму (рис. 10.2)?
Ответ:
v0 =
g S2
2 ( S ⋅ tg α + H ) ⋅ cos 2 α
.
107
Рис. 10.2
Указание. Минимальной начальной скорости v 0 соответствует
падение мяча на противоположный край ямы. Если начало координат совместить с точкой бросания, то в момент падения координаты мяча будут равны x (tп ) = S , y (tп ) = − H .
10.4С. Тело бросают со скоростью v 0 = 20 м с из некоторой точки пространства под углом α = 30° к горизонту. Через какое время
тело будет двигаться под углом β = 60° к горизонту? g = 10 м с 2 .
v ⋅ cos α
Ответ: t = 0
⋅ ( tg β − tg α ) = 2 c .
g
10.5С. Тело бросают с поверхности
земли со скоростью v 0 = 20 м с под
углом α = 60° к горизонту. Через какое время тело будет видно из точки
бросания под углом β = 30° к горизонту (рис. 10.3)? g = 10 м с 2 .
Ответ:
2 v ⋅ cos α
t= 0
⋅ ( tg α − tg β) = 4 c.
g
Рис. 10.3
y (t )
.
Указание. tg β =
x (t )
10.6В. Тело, брошенное горизонтально на высоте Н = 80 м, упало
на землю на расстоянии S = 60 м по горизонтали. Какова была начальная скорость тела? Через какое время после броска скорость
тела увеличилась в 2 раза? Каково было по величине перемещение
тела за это время? g = 10 м с 2 .
Ответ: v 0 =
t=
g ⋅ S2
= 15 м c ;
2H
3S2
≅ 2,6 с ;
2g H
108
r
Δr =
21 ⋅ S 2
≅ 52 м .
4H
r
Указание. Δ r = x 2 (t ) + ( H − y (t )) 2 .
10.7В. С самолета, летящего горизонтально со скоростью
v 0 = 360 км ч на высоте Н = 320 м сброшен груз. На каком расстоянии S по горизонтали от места бросания груз упадет на землю?
Каково по величине перемещение груза к этому моменту времени?
r
Какой угол α составляет вектор перемещения Δ r с горизонтом?
Каково расстояние l между самолетом и грузом в момент падения
груза? Под каким углом β к горизонту и с какой скоростью упадет
груз на землю? g = 10 м с 2 .
Ответ: S =
g ⋅ v0 ⋅ H
= 800 м ;
g
r
2v 2 ⋅ H
Δr = H2 + 0
≅ 870 м ;
g
α = arctg
gH
2 v 02
≅ 22° ;
l = H = 320 м ;
β = arctg
v=
2g H
≅ 38° ;
v0
v 02 + 2 g H ≅ 128 м с .
10.8*. Пушка и цель находятся на одном уровне на расстоянии
S = 5,0 км друг от друга. За какое время снаряд с начальной скоро-
стью v 0 = 240 м с достигнет цели? g = 10 м с 2 .
109
Решение. Введем координатные оси аналогично чертежу на
рис. 10.1. Воспользуемся системой уравнений (10.1):
⎧ x (t ) = v 0 ⋅ cos α ⋅ t ;
⎪
2
⎪⎪ y (t ) = v ⋅ sin α ⋅ t − g t ;
0
⎨
2
⎪x=S;
⎪
⎪⎩ y = 0 ,
где α — угол, под которым к горизонту производится выстрел.
⇒ cos α =
S
v0 ⋅ t
S2
v 02 ⋅ t 2
+
, sin α =
g2 ⋅t2
4 v 02
gt
.
2v0
= 1.
Произведя необходимые алгебраические преобразования, получим уравнение
g 2 ⋅ t 4 − 4 v 02 ⋅ t 2 + 4 S 2 = 0
⇒ tп =
2 v0
g
⎛
g2 S2
⋅ ⎜1 ± 1 −
⎜
v 04
⎝
⎞
⎟.
⎟
⎠
Два решения tп1 ≈ 50 c и tп2 ≈ 17 c соответствуют двум возможным значениям угла α . Действительно, вспомним задачу 10.1. В
ходе ее решения было установлено, что дальность полета S тела,
брошенного под углом α к горизонту, определяется соотношением
S=
v 02 ⋅ sin 2α
.
g
110
При заданной начальной скорости v 0 и дальности полета S возможны два значения угла α , связанные соотношением
2 α1 = π − 2 α 2 .
10.9В. Какой начальной скоростью должна обладать сигнальная
ракета, выпущенная под углом α = 45° к горизонту, чтобы она
вспыхнула в наивысшей точке своей траектории? Время горения
запала ракеты t0 = 6 c , g = 10 м с 2 .
g t0
= 84 м с .
Ответ: v 0 =
sin α
10.10. Два тела брошены с земли под углом α1 = 30° и α 2 = 45°
к горизонту из одной точки. Каково отношение их начальных скоростей, если тела упали на землю также в одной точке?
v
Ответ: 01 ≅ 1,08 .
v 02
π
− α к горизонту с
2
одинаковой начальной скоростью. Найти отношение дальностей
полета тел и максимальных высот полета.
S
Н1
= tg 2 α .
Ответ: 1 = 1 ;
S2
Н2
10.12С. Под каким углом α к горизонту необходимо бросить тело, чтобы максимальная высота подъема была вдвое меньше дальности бросания?
Ответ: α = arctg 2 ≅ 63°.
10.13*. Тело брошено со скоростью v 0 = 20 м с под углом
α = 60° к горизонту. Найти координаты точек траектории тела, в
которых вектор скорости составляет угол β = 45° с горизонтом,
если начало координат совмещено с точкой бросания, ось OX направлена горизонтально в направлении движения тела, а ось OY —
вертикально.
10.11В. Два тела брошены под углами α и
111
Ответ: x1 =
v 02 ⋅ cos α ⋅ sin (α − β)
≅ 7,5 м ;
cos β
x2 = v 02 ⋅ cos α ⋅ sin (α + β) ≅ 28 м ;
y1 = y2 =
Рис. 10.4
(
)
v 02
⋅ sin 2 α − cos 2 α ⋅ tg 2 β ≅ 10 м .
2g
10.14*. Вниз по склону под
углом α к горизонту со скоростью v 0 бросили камень. На каком расстоянии от точки бросания камень упадет на склон, угол
наклона которого равен β
(рис. 10.4)?
Решение. Введем систему декартовых координат так, как это
показано на рис. 10.4. Запишем в
проекциях на выбранные координатные оси векторные уравнения движения (6.6):
⎧
t2
⎪ x (t ) = v 0 ⋅ cos (α + β) ⋅ t + g ⋅ sin β ⋅ ;
2
⎪
t2
⎪⎪
⎨ y (t ) = v 0 ⋅ sin (α + β) ⋅ t − g ⋅ cos β ⋅ ;
2
⎪
⎪ v x (t ) = v 0 ⋅ cos (α + β) + g ⋅ sin β ⋅ t ;
⎪
⎪⎩ v y (t ) = v 0 ⋅ sin (α + β) − g ⋅ cos β ⋅ t .
В момент падения камня на склон его координата по оси OY
равна нулю. Воспользуемся данным граничным условием и первыми двумя уравнениями из выше приведенной системы:
112
⎧
t2
x
t
t
g
(
)
=
v
⋅
cos
(
α
+
β
)
⋅
+
⋅
sin
β
⋅
;
⎪
0
2
⎪
⎪⎪
t2
y
t
t
g
(
)
=
v
⋅
sin
(
α
+
β
)
⋅
−
⋅
cos
β
⋅
;
⎨
0
2
⎪
⎪ y=0
⎪
⎪⎩
⇒ S = x ( y = 0) =
⇒
2 v 02 ⋅ sin (α + β) ⋅ cos α
.
g ⋅ cos β
10.15*. В условии предыдущей задачи определить максимальное
расстояние, на которое камень удалится от склона в процессе полета?
v 02 ⋅ sin 2 (α + β)
.
2 g ⋅ cos β
Указание. В интересующий нас момент времени вектор скорости направлен параллельно склону и, следовательно, его проекция
на ось OY равна нулю.
10.16*. Мячик бросили с высоты h под углом α = 30° к горизонту. Какова начальная скорость мяча, если он достиг максимальной
высоты 2h и упал на землю через время t0 = 4 с после броска?
Ответ: H = ymax =
g = 10 м с 2 .
( 2 − 1) ⋅ g ⋅ t0
= 32 м с .
sin α
10.17*. Мальчик бьет по мячу, лежащему на горизонтальной поверхности на расстоянии L = 4 м от вертикальной стены. Мяч
взлетает со скоростью v 0 = 10 м с под углом α = 45° в сторону
стены и испытывает абсолютно упругое соударение с ней. На каком расстоянии от стены мяч снова коснется горизонтальной поверхности, с которой начал движение? g = 10 м с 2 .
Ответ: v 0 =
113
v 02 ⋅ sin 2α
−L =6м.
g
Указание. При абсолютно упругом ударе о неподвижную поверхность тело отскакивает с той же самой по величине скоростью,
что оно имело непосредственно перед соударением. Кроме того,
углы между нормалью (перпендикуляром) к поверхности в точке
столкновения и вектором скорости тела до и после соударения совпадают. Нетрудно увидеть, что при указанных условиях участок
траектории мяча после столкновения со стеной является зеркальным отражением участка траектории, который стена помешала мячу пролететь.
10.18*. По мячу, лежащему на горизонтальном полу в спортивном зале, наносят удар, и он взлетает со скоростью v 0 под углом
α к горизонту. Мяч испытывает абсолютно упругий удар о горизонтальный потолок высотой H. На каком расстоянии от точки
старта мяч вновь коснется пола?
v 2 ⋅ sin 2α ⎛⎜
2 gН ⎞⎟
Ответ: S = 0
⋅ 1− 1− 2
.
2
⎜
⎟
g
⋅
α
v
sin
0
⎝
⎠
10.19*. Вертолет летит горизонтально со скоростью v1 =
= 160 км ч на высоте H = 500 м . С вертолета необходимо сбросить груз так, чтобы он упал на палубу катера, движущегося со
скоростью v 2 = 20 км ч встречным курсом. На каком расстоянии
по горизонтали от катера пилот вертолета должен сбросить груз?
Ответ: S =
g = 10 м с 2 .
Решение. На рис. 10.5 представлены кинематические величины в
момент сброса груза, S — искомое
расстояние. Запишем уравнения
движения для координат груза и
катера, которые мы будем считать
материальными точками. Кроме
того, учтем, что в момент столкновения координаты тел совпадают:
Рис. 10.5
114
⎧ x1 (t ) = v1 ⋅ t ;
⎪
2
⎪ y (t ) = Н − g ⋅ t ;
⎪ 1
2
⎪
⎨ x2 (t ) = S − v 2 ⋅ t ;
⎪ y (t ) = 0 ;
⎪ 2
⎪ x1 = x2 ;
⎪
⎩ y1 = y 2
⇒
S = (v1 + v 2 ) ⋅
2Н
= 500 м .
g
10.20*. Модель планера летит горизонтально с постоянной скоростью v1 . В нее бросают с поверхности земли камень с начальной
скоростью v 2 так, что вектор скорости камня в момент броска направлен на планер под углом α к горизонту. На какой высоте летела модель, если камень все-таки в нее попал?
2 v ⋅ ( v 2 ⋅ cos α − v1 )
Ответ: H = 1
⋅ tg 2 α .
g
115
СОДЕРЖАНИЕ
Введение .................................................................................................3
§ 1. Скалярные и векторные величины. Сведения о векторах
и действиях с ними .......................................................................3
§ 2. Понятия предела, производной и интеграла ..............................6
Кинематика .........................................................................................16
§ 3. Относительность механического движения.
Система отсчета. Траектория, путь и перемещение.
Материальная точка....................................................................16
§ 4. Средняя и мгновенная скорости. Равномерное движение ......25
§ 5. Принцип сложения скорости в нерелятивистской
механике ......................................................................................40
§ 6. Среднее и мгновенное ускорения. Прямолинейное
движение с постоянным ускорением. Уравнения
движения в проекциях. Граничные условия ............................48
§ 7. Графический способ задания условий задач
по кинематике и методы их решения........................................63
§ 8. Движение материальной точки по окружности.
Угловая и линейная скорости (Угловое ускорение).
Центростремительное (нормальное, тангенциальное
и полное) ускорение ...................................................................81
§ 9. Кинематика твердого тела. Поступательное
движение и вращение. Принцип взаимной
независимости движений ...........................................................93
§ 10. Движение тела, брошенного под углом к горизонту.............104