1.10. Примеры взаимодействия зарядов 34

1.10. Примеры взаимодействия зарядов
Пример № 1. Два одинаковых заряда, находящиеся на маленьких телах сферической
формы, отстоят друг от друга в воздухе на расстоянии r = 0,1 м и взаимодействуют с
силой F = 5⋅10 4 Н. Определить величину взаимодействующих зарядов.
1. Полагая размеры заряженных тел много
меньшими расстояния между ними, заряды можно
рассматривать как точечные, что позволяет
применить закон Кулона
q1 ⋅ q 2
1
F1, 2 =
,
(1)
4πεε 0
r2
где ε0 ≅ 9⋅10 − 12 Кл2/Н⋅м2 − электрическая постоянная, ε ≅ 1 − диэлектрическая
проницаемость воздуха, q1, q2 − электрические заряды, r − расстояние между зарядами.
2. Перепишем уравнение (1) с учётом значений, входящих в него величин: q1 = q2; 1/4πε0
= k ≅ 9⋅109 Н⋅м2/Кл2
F1, 2 = k
q2
, ⇒ q=
r2
F1, 2 ⋅ r 2
≅
k
5 ⋅ 10 −4 ⋅ 10 −2
≅ 2,36 ⋅ 10 −8 Кл .
9
9 ⋅ 10
(2)
Пример № 2. На двух одинаковых капельках воды находится по одному лишнему
электрону, причём сила электрического отталкивания капелек уравновешивает силу их
взаимного тяготения. Определить радиусы капелек.
1.
Запишем
уравнения
электрического
и
гравитационного взаимодействия капелек воды
e2
m2
F1 = k 2 , F2 = G 2 ,
(1)
r
r
где r − расстояние между центрами капелек, 1/4πε0 = k ≅
9⋅109 Н⋅м2/Кл2, G = 6,7⋅10 − 11 м3/(кг⋅с2) − гравитационная
постоянная, е ≅ 1,6⋅10 − 19 Кл − заряд электрона.
2. По условию задачи силы электрического и гравитационного взаимодействия
уравновешивают друг друга, т.е. F1 = F2
ke 2 = Gm 2 .
(2)
3. Выразим из последнего уравнения массу капли
ke 2
9 ⋅109 ⋅ 2,56 ⋅10 −38
≅
≅ 1,85 ⋅10 −9 кг .
G
6,7 ⋅10 −11
4. Выразим далее массу капли через её радиус
m=
m=
m 3 1,85 ⋅10 −9
4 3
πr ρ, ⇒ r ≅ 3
≅
≅ 7,7 ⋅10 −5 м.
3
3
4ρ
4 ⋅10
(3)
(4)
Пример № 3. Два сферических тела малых размеров, несущие на себе одинаковые по
модулю электрические заряды, расположены в воздухе на расстоянии r = 0,1 м друг от
друга. Сила электрического взаимодействия тел F = 1⋅10 − 3 Н. Определить количество
некомпенсированных электронов на каждом теле.
34
1. Запишем уравнение закона Кулона, выразив заряды тел через заряд электрона е ≅
1,6⋅10 − 19 Кл
2
(eN )2 .
1 (eN )
F=
=
k
(1)
4πε 0 r 2
r2
2. Определим из уравнения (1) количество некомпенсированных электронов N
Fr 2 = ke 2 N 2 , ⇒ N =
Fr 2 r
=
ke 2 e
F
0,1
≅
k 1,6 ⋅ 10 −19
10 −3
≅ 4 ⋅ 1011 .
9 ⋅ 109
(2)
Пример № 4. Две капли воды массой m = 1,8⋅10 − 3 кг расположили на расстоянии r = 1 м
друг от друга. С какой силой станут взаимодействовать капли, если 10 % электронов из
одной капли переместить в другую?
1. Определим количество вещества ν в капле воды с
учётом значения её молярной массы μ = 18⋅10 − 3 кг/моль
m 1,8 ⋅ 10 −3
(1)
ν= =
= 0,1 моль .
μ 18 ⋅ 10 −3
2. Число молекул в капле воды
N = νN A ≅ 0,1 ⋅ 6 ⋅ 10 23 ≅ 6 ⋅ 10 22 .
(2)
3. Формула воды H2O, т.е. одна молекула включает в
себя два атома водорода и один атом кислорода. Молекула воды, таким образом, содержит
10 электронов. Число электронов в одной капле воды равно
N e = 10 N = 6 ⋅10 23 .
(3)
4. Заряд всех электронов в одной капле первоначально составляет
q 0 = e ⋅ N e ≅ 1,6 ⋅10 −19 ⋅ 6 ⋅10 23 ≅ 9,6 ⋅10 4 Кл .
(4)
5. Величина перемещаемого заряда
q i = 0,1q 0 ≅ 9,6 ⋅ 10 3 Кл .
(5)
6. Заряд капель после перемещения электронов
q1 = q 0 + q i ≅ 1 ⋅ 10 5 Кл, q 2 = q 0 − q i ≅ 8,6 ⋅ 10 4 Кл .
(6)
7. Сила электрического взаимодействия между каплями после перемещения электронов
q ⋅q
1 ⋅ 105 ⋅ 8,6 ⋅ 10 4
F = k 1 2 2 ≅ 9 ⋅ 10 9
≅ 8 ⋅ 1019 H .
(7)
r
1
Пример № .5. Предположим, что удалось разделить 3,2 см3 воды на элементарные
разноименные заряды, которые затем удалили друг от друга на расстояние 100 км. С какой
силой притягивались бы эти заряды?
1. Определим массу заданного объёма воды, приняв её плотность равной ρ = 1000 кг/м3 и
объём − V = 3,2⋅10 − 6 м3
m = ρV = 1 ⋅ 103 ⋅ 3,6 ⋅ 10 −6 = 3,610 −3 кг .
(1)
2. Количество молекул в заданном объёме воды
m
3,6 ⋅ 10 −3
(2)
N = NA
≅ 6 ⋅ 10 24
≅ 1,2 ⋅ 10 23 .
μ
18 ⋅ 10 −3
3. Каждая молекула воды состоит из двух атомов водорода с одним электроном в каждом
и одного атома кислорода, с ядром которого связаны восемь электронов, т.е. каждая
молекула воды Н2О имеет в своём составе 10 электронов. Таким образом, сумма зарядов
всех электронов в заданном объёме воды по модулю составит
q e = 10eN ≅ 10 ⋅ 1,6 ⋅ 10 −19 ⋅ 1,2 ⋅ 10 23 ≅ 2 ⋅ 10 5 Кл .
(3)
35
4. Поскольку в обычном состоянии суммарный отрицательный и положительный заряд
каждого атома с высокой степенью точности скомпенсированы, то сумма зарядов всех
электронов по модулю должна быть равна сумме зарядов всех ядер. Сила притяжения для
суммарного заряда всех ядер и электронов определится как
q2
4 ⋅ 10 25
F = k 2e ≅ 9 ⋅ 10 9
= 3,6 ⋅ 1010 Н .
(4)
25
r
1 ⋅ 10
Полученная величина силы эквивалентна движению массы в m = 1 кг с фантастическим
ускорением а = 3,6⋅1010 м/с2.
Пример № .6. Какой заряд приобрел бы 1 см3 железа, если бы удалось убрать 1%
содержащихся в нем электронов?
1. Определим количество молекул в объёме железа V = 1⋅10 − 6 м3 при плотности ρ =
7,87⋅103 кг/м3 и молярной массе μ ≅ 56⋅10 3 кг/моль
ρV
m
7,87 ⋅ 103 ⋅ 10 −6
(1)
= NA
≅ 6 ⋅ 10 23
N = NA
≅ 8 ⋅ 10 23 .
μ
μ
56 ⋅ 10 −3
2. Каждый атом железа имеет по ne = 26 электронов, т.е. суммарное количество
электронов в заданном объёме составляет
N e = n e N = 26 ⋅ 8 ⋅ 10 23 ≅ 2 ⋅ 10 25 .
(2)
3. Заряд заданного объёма железа при удалении 1/100 всех его электронов составит
N
q = e e ≅ 1,6 ⋅ 10 −19 ⋅ 2 ⋅ 10 23 ≅ 3,2 ⋅ 10 4 Кл .
(3)
100
Пример № 7. Определить массу воды m , содержащую Nе = 1027 электронов.
1. Примем следующие значения необходимых величин: молярная масса воды μ = 18⋅10 − 3
кг/моль; число Авогадро NA ≅ 6⋅1023 моль − 1; заряд электрона е ≅ 1,6⋅10 − 19 Кл; количество
электронов в одной молекуле воды Н2О n = (1+1+8) =10.
2. Количество молекул, таким образом, будет в n раз меньше чем заданное число
электронов, N = 0,1N e
3. Воспользуемся далее определением количества вещества
0,1N e m
N
m
ν=
= , ν=
= ,
(4)
NA μ
NA
μ
откуда искомая масса воды определится как
μN e
18 ⋅ 10 −3 ⋅ 10 27
m=
≅
≅ 3 кг .
(5)
10 N A
6 ⋅ 10 24
Пример № 8. Сколько избыточных электронов находится на каждой из двух пылинок,
если на расстоянии r = 1,6⋅10 − 2 м в воздухе они отталкиваются с силой F = 9⋅10 − 9 Н?
1. Сила электростатического взаимодействия между пылинками в воздухе (ε = 1)
определяется уравнением закона Кулона
(eN e )2 ,
1 q2
F=
=
k
(1)
4πεε 0 r 2
r2
где е ≅ 1,6⋅10 −19 Кл − заряд электрона, Ne количество избыточных электронов, ε0 ≅ 9⋅10 − 12
Кл2/(Н⋅м2) − электрическая постоянная, k = 9⋅10 9 (Н⋅ м2)/Кл2.
2. Выразим из уравнения (1) количество избыточных электронов
36
Ne =
r
e
F 1,6 ⋅ 10 −2
≅
k 1,6 ⋅ 10 −19
9 ⋅ 10 −9
≅ 1 ⋅ 108 .
9
9 ⋅ 10
(2)
Пример № 9. Два одинаковых металлических шарика, подвешенных в воздухе на
непроводящих нитях, закреплённых в одной точке, были заряжены первоначально
разноимёнными зарядами, причём по модулю заряды отличались в ζ = 5 раз. Шарики далее
привели в соприкосновение и развели на расстояние в два раза превышающее
первоначальное ξ =2. Во сколько раз изменится сила их кулоновского взаимодействия?
1. Пусть первоначально заряд одного из шариков был
равен –q, а второго − +ζq.
2. В положении 1 шарики притягивались друг к другу
с силой, равной по модулю
ζq 2
F1 = k 2 .
(1)
r
2. В момент соприкосновения шарики будут
представлять собой одно тело, заряд которого равен
алгебраической сумме первоначальных зарядов Q = ζq –
q = q(ζ − 1).
3. После разъединения, ввиду одинаковости
размеров, каждый шарик будет иметь заряд
q(ζ − 1)
.
(2)
q1 = q 2 =
2
4. Сила взаимодействия между одноимённо
заряженными шариками в положении 3 определится
уравнением
[q(ζ − 1)]2 = k q 2 (ζ − 1)2 .
F2 = k
(3)
4ξ 2 r 2
r 2 4ξ 2
5. Определим отношение кулоновских сил в положениях 3 и 1
2
(5 − 1)2 ≅ 0,4 .
F2 (ζ − 1)
=
=
F1
4ξ 2 ζ
2 ⋅ 22 ⋅ 5
(4)
Пример № 10. Два заряженных металлических шарика малых размеров
взаимодействуют в воздухе (ε1 = 1), находясь на расстоянии r1=0,1 м с силой F1. На каком
расстоянии следует расположить шарики в трансформаторном масле с диэлектрической
проницаемостью ε2 = 2, чтобы сила взаимодействия не изменилась, т.е. F2 = F1?
Решение
1. Сила взаимодействия заряженных шариков в воздухе при ε1 ≅ 1 определится как
1 q 1q 2
F1 =
.
(1)
4πε1ε 0 r12
2. При внесении шариков в трансформаторное масло сила взаимодействия будет
определяться уравнением
1 q 1q 2
F2 =
.
(2)
4πε 2 ε 0 r22
3. Запишем далее условие равенства сил
1 q1q 2
1 q1q 2
,
(3)
=
2
4πε1ε 0 r1
4πε 2 ε 0 r22
37
откуда следует, что
ε1r12 = ε 2 r22 , ⇒ r2 = r1 ε1 ε 2 ≅ 0,1 0,5 ≅ 0,071 м .
(4)
Пример № 11. Два заряда, расположенных в воздухе (ε = 1) взаимодействуют на
расстоянии r1 = 0,11 м с такой же силой, как и в скипидаре на расстоянии r2 = 0,074 м.
Определить диэлектрическую проницаемость скипидара.
1. Воспользуемся уравнением (4) предыдущей задачи
ε1r12 = ε 2 r22 ,
ε 2 = ε1
2
1
2
2
(1)
2
r
0,11
= 1⋅
≅ 2,21 .
r
0,074 2
(2)
Пример № 12. Две сферические капли ртути имеют одинаковые радиусы R = 1 мм.
Какое число электронов Ne необходимо удалить с каждой капли, чтобы сила их
кулоновского отталкивания в воздухе стала равной силе гравитационного взаимодействия?
т.е.
1. Определим массу капели ртути, приняв плотность ртути равной ρ = 13,5⋅103 кг/м3
4
m = πR 3ρ ≅ 4 ⋅ 1 ⋅ 10 −613,5 ⋅ 10 3 ≅ 0,054 кг .
(1)
3
2. Запишем уравнения электростатического и гравитационного взаимодействия капель
1 e2 N2
m2
F1 =
,
F
=
G
.
(2)
2
4πε 0 r 2
r2
3. По условию задачи силы F1 и F2 равны по модулю и противоположны по направлению,
ke 2 N 2 = Gm 2 , ⇒
N=
m
e
G
0,054
≅
k 1,6 ⋅ 10 −19
6,7 ⋅ 10 −11
≅ 3 ⋅ 10 7 .
9
9 ⋅ 10
(3)
Пример № 13. Два одноимённых положительных точечных заряда q1 = 10 нКл и q2 = 40
нКл находятся на расстоянии r = 0,1 м в воздухе. Между зарядами помещают третий
заряд q0, таким образом, что вся система зарядов находится в равновесии. Определить
величину, знак и местоположение третьего заряда.
1. Чтобы система трёх зарядов находилась в равновесии необходимо отрицательный
заряд q0 поместить между зарядами q1 и q2
2. Запишем уравнение сил, приложенных к заряду q0
qq
qq
F01 = r 0 2 1 , F02 = k 0 2 2 .
(1)
r1
(r − r1 )
2. Поскольку заряд q0 по условию задачи должен находиться в равновесии, то
qq
qq
2
F01 = F02 , k 0 2 1 = k 0 2 2 , ⇒ q1 (r − r1 ) = q 2 r12 .
(2)
r1
(r − r1 )
38
3. Уравнение (1) необходимо решать относительно расстояния r1, поэтому целесообразно
извлечь корни из правой и левой его части, все величины входящие в уравнение
положительны
(r − r1 ) q1 = r1 q 2 ,
(3)
откуда
r q1 − r1 q1 = r1 q 2 , ⇒
⇒ r1 =
r q1
0,1 ⋅ 10 ⋅ 10 −9
≅
≅ 0,031 м.
(4)
q1 + q 2
10 ⋅ 10 −9 + 50 ⋅ 10 −9
4. Для определения величины заряда q0 рассмотрим равновесие заряда q1 при условии F10
= F12
q1q 0
qq
, F12 = k 1 2 2 .
2
r1
r
5. Приравнивая уравнения (5), получим
F10 = k
2
(5)
2
q0 q2
⎛ 0,031 ⎞
⎛r ⎞
= 2 , ⇒ q 0 = q 2 ⎜ 1 ⎟ ≅ 4 ⋅ 10 −8 ⎜
⎟ ≅ 0,38 нКл .
2
r1
r
⎝r⎠
⎝ 0,1 ⎠
(6)
Пример № 14. Три положительных точечных заряда (q1 = q2 =q3= 1 нКл) расположены в
вершинах равностороннего треугольника. Какой заряд q0 и где необходимо расположить,
чтобы система находилась в равновесии?
1. Естественно предположить, что заряд q0 должен
быть отрицательным и расположен на равном удалении от
трёх остальных, т.е. в точке пересечения медиан
треугольника О. Если заряд будет положительным, то к
каждому из зарядов будет приложена сила, стремящаяся
«растащить» заряды.
2. Рассмотрим условие равновесия одного из зарядов,
расположенного, например, в точке В, к которому при
расположении q0 в точке О будут приложены три силы,
две силы {F1,F1} обусловлены взаимодействием с двумя
остальными положительными зарядами и сила F0,
вызванная взаимным притяжением с центральным зарядом.
Исследуемый заряд будет находиться в состоянии равновесия, если
геометрическая сумма двух первых сил R будет равна по модулю и
противоположна по направлению F0.
3.
Определим
по
правилу
параллелограмма
модуль
равнодействующей силы R
R = 2F12 + 2F12 cos 2α = F1 2(1 + cos 2α ) ,
(1)
где α =300, т.е.
R = F1 3 .
(2)
4. Запишем уравнения для модулей сил F1 и F0, воспользовавшись
уравнением закона Кулона
q2
F1 = k 2 ,
(3)
r
qq
q 0q
4 cos 2 αq 0 q
F0 = k 0 2 = k
=
.
(4)
k
r2
(OB)
(r 2 cos α )2
где r − длина стороны треугольника.
5. Приравняем уравнения (2) и (4) с учётом значения F1 из уравнения
39
(3) и определим величину q0
3q 2 q 0 q ⋅ 4 cos 2 α
=
,
r2
r2
3
q 3
q0 =
=q
≅ 0,58 нКл
2
4 cos α
3
(5)
(6)
Пример № 15. В вершинах квадрата расположены четыре одинаковых положительных
заряда q = 10 − 7 Кл. Какой заряд q0 и где необходимо расположить, чтобы система
находилась в равновесии в воздухе?
1. Заданная система зарядов симметрична относительно центра квадрата, поэтому заряд
q0 должен располагаться в центре квадрата, чтобы одинаково взаимодействовать с каждым
из четырёх положительных зарядов. Заряд q0 следует взять отрицательным.
2. Рассмотрим равновесие заряда, находящегося в точке D, считая сторону квадрата
равной r. На этот заряд действуют три силы, со стороны зарядов расположенных в вершинах
A, B и С
q2
q2
FCD = k 2 , FAD = k 2 ,
(1)
r
r
q2
FBD = k 2 .
(2)
2r
3. Определим далее равнодействующую этих сил с
учётом того, что линии действия сил FAD и FCD
перпендикулярны друг другу
q2
2
2
F1 = FCD
+ FAB
=k 2 2,
(3)
r
векторы сил F1 и FDB коллинеарные, с учётом этого
модуль равнодействующей всех трёх обсуждаемых сил
определится как
q2
q2
q2 ⎛
1⎞
F0 = F1 + FDB = k 2 2 + k 2 = k 2 ⎜ 2 + ⎟ . (4)
r
2r
r ⎝
2⎠
4. Чтобы заряд, расположенный в точке D
находился в равновесии, к нему необходимо
приложить
силу
равную
по
модулю
и
противоположную по направлению силе F0.
Математически это условие представиться следующим
образом
q 0q
q2 ⎛
1⎞
k
=
k
(5)
⎜ 2 + ⎟.
2
2
r ⎝
2⎠
⎛r 2⎞
⎜
⎟
⎜ 2 ⎟
⎝
⎠
5. Величина заряда q0, уравновешивающего заданную систему зарядов определится из
уравнения (5) следующим образом
1,91
q0 ≅
q ≅ 9,55 ⋅ 10 -8 Кл .
(6)
2
Пример № 16. Два заряда находятся в керосине (ε = 2) на расстоянии r = 1 см друг от
друга и взаимодействуют между собой с силой F = 2,7 Н. Величина одного из зарядов в ζ =
3 раза больше другого. Найти величину зарядов.
1. Силу электростатического взаимодействия заданной системы зарядов можно записать
40
следующим образом
F=
1 q ⋅ 3q
,⇒ q =
4πε 0 ε r 2
4πε 0 εr 2 F
≅ 4 ⋅ 9 ⋅ 10 −12 ⋅ 2 ⋅ 10 −4 ⋅ 2,7 ,
3
q1 = 1,4 ⋅ 10 −7 Кл, q 2 = 3q = 4,2 ⋅ 10 −7 Кл .
(1)
(2)
Пример № 17. Два шарика одинакового радиуса, массой m = 6⋅10 − 4 кг, подвешенные на
шёлковых нитях длиной l = 0,4 м, соприкасаются. Шарикам сообщают электрический
заряд, после чего они расходятся так, что нити образуют угол α = 600. Определить силу
взаимодействия шариков и величину сообщённого им заряда.
1. К каждому шарику в режиме электростатического
взаимодействия приложена комбинированная система сил
механической и электростатической природы: сила тяжести mg,
сила натяжения нити Т и сила электростатического взаимодействия
Fk.
2. Так как нити образуют угол 600, то расстояние между
центрами шариков будет равно длине нитей r = l = 0,4 м.
3. Определим равнодействующую Fm силы тяжести mg и силы
натяжения нити Т из прямоугольного треугольника {mg, T, Fm}
Fm = mg ⋅ tgβ .
(1)
4.
Запишем
уравнение
силы
электростатического
взаимодействия
Fk =
1 q2
.
4πε 0 ε r 2
(2)
r
r
5. Поскольку шарик находится в состоянии покоя, то Fm = Fk
1 q2
= mg ⋅ βtg, ⇒ q = mg ⋅ tgβ ⋅ 4πε 0 εr 2 ,
4πε 0 ε r 2
q = 6 ⋅ 10 -4 ⋅ 0,6 ⋅ 4 ⋅ 3,14 ⋅ 9 ⋅ 10 −12 ⋅ 1 ⋅ 0,16 ≅ 8 нКл .
6. Подставим полученное значение модуля заряда из уравнения (4) в уравнение (2)
Fk ≅ 3,4 мкН .
(3)
(4)
(5)
Пример № 18. В соответствии с первыми моделями атома водорода, его единственный
электрон по круговой орбите радиуса r ≅ 5⋅10 − 11 м вращался вокруг положительно
заряженного ядра. Оценить линейную скорость электрона.
1. Ядро водорода − протон, имеет
положительный заряд, равный по модулю заряду
электрона. Стационарное вращение электрона
возможно
только
при
равенстве
силы
электростатического притяжения
Fk силе
движением
вызванной
по
инерции
Fi,
криволинейной траектории
1 e2 me v2
=
,
(1)
4πε0 ε r 2
r
где е = 1,6⋅10 − 19 Кл − заряд электрона, mе ≅ 1⋅10
электрона, r = радиус орбиты.
2. Выразим из уравнения (1) скорость электрона
41
− 30
кг масса электрона, v − скорость
v=
e2
2,56 ⋅ 10 −38
м
≅ 2 ⋅ 10 6 .
≅
−12
−11
−30
4πε 0 rm e
12,56 ⋅ 9 ⋅ 10 ⋅ 5 ⋅ 10 ⋅ 10
с
(2)
Пример № 19. Два электрона расположены в вакууме на расстоянии r = 1 мкм друг от
друга. Какую скорость через τ = 1 мкс будет иметь один из электров, если второй
закрепить? Какое расстояние при этом будет пройдено, если полагать силовое
воздействие постоянным?
1. Сила, приводящая электрон в движение
e2
.
(1)
r2
2. Используя теорему об изменении импульса, определим скорость электрона, считая,
что движение началось из состояния покоя
F ⋅τ
ke 2
9 ⋅ 10 9 ⋅ 2,56 ⋅ 10 −38 ⋅ 10 −6
м
≅
≅ 2,3 ⋅ 108 .
(2)
Fk ⋅ τ = m e v, ⇒ v = k = 2
−12
−30
me
r me
10 ⋅ 10
с
3. Оценим приближённо пройденное расстояние
Δv τ 2 2,3 ⋅ 108 ⋅ 10 −6
s=
≅
≅ 115 м .
(3)
τ 2
2
Fk = k
Привет № 20. Два проводящих шарика размеры, которых существенно меньше длины
нитей подвеса, закреплённых в одной точке, несут первоначально одинаковые по модулю и
знаку заряды. Расстояние между центрами шариков, равно r1. Что произойдёт, если один
из шариков разрядить?
1. Пусть каждый шарик первоначально несёт на
себе заряд q, сила взаимодействия:
1 q2
F1 =
.
(1)
4πε0 r12
2. После того, как с одного из шариков сняли
заряд, сила Кулона исчезнет, под действием
результирующей силы тяжести mg и натяжения
нити T шарики придут в соприкосновение.
3. Заряд оставшийся на одном шарике
распределится на два, заряд каждого станет
равным q/2, сила Кулона станет равной
1 q2
F2 =
,
(2)
4πε 0 4r22
т.е. шарики разойдутся на расстояние r2 < r1.
Пример № .21. Одинаковые по модулю электрические
заряды q1 = q2 = 0,3 Кл расположены в воздухе в
вершинах
при
острых
углах
равнобедренного
прямоугольного треугольника на расстоянии r = 1 мм.
Определить
ускорение
движения
протона
p,
помещённого первоначально в вершине при прямом угле
треугольника. Как изменится результат для случая
одноимённых и разноимённых зарядов q1 и q2?
1. Рассмотрим первоначально случай одноимённых
42
зарядов, для чего определим расстояние между зарядами r из прямоугольного треугольника
r = r12 cos 450 ≅ 10 −3 ⋅ 0,707 ≅ 7 ⋅ 10 −4 м ,
и найдём результирующую силу F1
F1 = F132 + F232 = F13 2 .
3. Определим величину силы F13
q ⋅q
0,3 ⋅ 1,6 ⋅ 10 −19
F1 = k 13 2 3 2 ≅ 9 ⋅ 109
2 ≅ 0,012 H .
r
5 ⋅ 10 −8
4. Определим ускорение протона, обладающего массой покоя mp = 1,67⋅10 − 27 кг
→
→
q q
F
м
F1 = m p a , a = 1 = k 13 23 ≅ 7 ⋅ 10 24 .
mp
mpr
с
(1)
(2)
(3)
5. В случае расположения при острых углах
равнобедренного
прямоугольного
треугольника разноимённых зарядов геометрия
их расположения не изменяется, поэтому
r
r
F1 = F2 . Другими словами, ускорение протона
в обоих случаях будет одинаковым по модулю,
но различным по направлению. При
одноимённых зарядах протон начнёт двигаться
в направлении действия силы F1, т.е.
перпендикулярно линии, соединяющей заряды,
при разноимённых зарядах направление
движения
будет
параллельным
линии,
соединяющей заряды.
Пример № 22. Во сколько раз отличаются силы гравитационного и кулоновского
взаимодействия между двумя α − частицами?
1. α − частица представляет собой дважды ионизированный атом гелия. Масса α −
частицы рана mα ≅ 6,6⋅10 − 27 кг, заряд α − частицы положительный qα ≅ 2е ≅ 3,2⋅10 − 19 Кл.
2. Запишем уравнения для электростатического и гравитационного взаимодействия α −
частиц
q2
m2
(1)
Fгр = G 2α , Fk = k 2α .
r
r
3. Найдём отношение сил взаимодействия
kq α2
Fk
9 ⋅ 10 9 ⋅ 10 −37
=
≅
≅ 3 ⋅ 1035 .
(2)
Fгр Gm α2 6,7 ⋅ 10 −11 ⋅ 4,36 ⋅ 10 −53
43