Гродзенскага дзяржаунага ушвератэта iмя ЯнюКупалы

Гродзенскага дзяржаунага ушвератэта
iмя ЯнюКупалы
Матэматыка
Ф1з1ка
Тэхжка
(нфарматыка
Б1ялопя
Х[м1я
Экалопя
Эканом1ка
!2)
УДК 530.1
А.В.Белко
МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ФРАКТАЛЬНЫХ
КЛАСТЕРОВ С УЧЕТОМ РАЗЛИЧНЫХ
ПОТЕНЦИАЛОВ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
Рассмотрены методы и алгоритмы генерации кластеров с фрактальной структурой с уче­
том различных потенциалов взаимодействия.
Фрактальные кластеры являются основным стру ктурообразующим элемен­
том целого ряда макроскопических систем, возникающих в результате протека­
ния физико-химических процессов и явлений. М оделирование фрактальных
кластеров является одним из способов изучения таких макроскопических сис­
тем. Для получения достоверной структурозависимой информации необходимо
найти способ, позволяющий синтезировать агрегаты с ш ироким диапазоном
структурных параметров и выявить условия образования таких структур [1].
В работе предлагается модель образования фрактальных кластеров из час­
тиц с учетом различных потенциалов их взаимодействия. В этой модели в центр
области помещ ается зародыш евая неподвижная частица. Затем с периферии
области запускается новая частица. О на перемещается по области, взаимодей­
ствуя с зародышевой частицей, в соответствии с определенным потенциалом.
Частица считается присоединенной, когда расстояние между ней и ближайшей
к ней частицы кластера меньше или равно диаметру частицы. Далее запускает­
ся следующая частица, которая взаимодействует как с зародышевой частицей,
так и с присоединенной, и передвигается до тех пор. пока не достигнет расту­
щего кластера или границы области. Частицы, которые выходят за границы об­
ласти не рассматриваю тся, а в область запускается следующая частица. Про­
цесс происходит до тех пор, пока кластер не достигнет границы области.
Суммарный потенциал взаимодействия падающей частицы и частиц клас­
тера запишем в виде:
N
(О
х=1
где
- потенциал взаимодействия падающей частицы и г - частицы кластера.
В качестве потенциалов взаимодействия падающей частицы и частицы кла­
стера были взяты для разных вариантов несколько различных потенциалов вза­
имодействия; а), потенциал Л е н а р д а - Джонса; б) потенциал Кихары; в) потен­
циал Букингема; г) потенциал М орзе; д) потенциал ионного взаимодействия
частиц.
Потенциал Ленарда - Джонса был первоначатьно ориентирован на иссле­
дование термодинамических свойств инертных газов. Позднее он получил ши­
рокое распространение и для других газов. Наиболее употребительная форма
этого потенциала имеет вид [2]:
V/ ( г )
- 67 -
• В вст к
ГрД У С е р и я 2 N t 2 2 0 0 3
(2)
V (/-) = Ас
где е - глуоина потенциальной ямы; а - зна­
чение г, при котором V(r) обращается в 0.
Кластеры, полученные в рамках модели
представлены на рис. 1. Фрактальная размер­
Рис. 1. Ф рактальный кластер,
полученный с учетом потенциала Jleнарда - Джонса
ность кластеров D = 1,39 ± 0,03 .
Для того, чтобы учесть размеры молекул,
при образовании кластеров, удобно использо­
вать модификацию потенциала Л е н а р д а Джонса - это потенциал Кихары. Каждая мо­
лекула в таком потенциале представляется те­
лом вращения, а расстояние в молекулярном
потенциале берется между поверхностями этих
тел.
V(r) = e
Ро
Р
их?
Рис. 2. Фрактальный кластер, по­
лученный с учетом потенциала Кихары
- 2 Ро
Р
(3)
где г - наименьшее расстояние между «повер­
хностями» взаимодействующих молекул. Эта
величина зависит как от расстояния г между
центрами масс молекул, так и от размеров и
взаимного расположения молекул. го - рассто­
яние, отвечающее минимуму потенциальной
кривой; е - глубина потенциальной ямы. Фрак­
тальная размерность кластеров, полученных в
рамках этой модели, D = 1,42 ± 0,03 (рис. 2).
Следующим потенциалом взаимодействия
диффундирующих частиц и частиц кластера
был взят потенциал Букингема, который запи­
сывается в виде:
V(r) ~
1- 6 / а а
ехр а
г J
,(3 )
где тт - расстояние, отвечающее минимуму
потенциальной кривой; е - глубина потенци­
Рис. 3 Фрактальный кластер, по­
лученный с учетом потенциала Букин­
гема
альной ямы; а - крутизна экспоненциально­
го отталкивания. Фрактальная размерность
кластеров D = 1,43 ± 0,03 (рис. 3).
- 68 -
МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ Ф РАКТАЛЬН Ы Х КЛАСТЕРОВ
А .В .Б е л к о
Для получения кластеров можно воспользоваться также потенциалом Морзе.
Морзе отказался от степенной зависимости в потенциале, так как она не давала
экспериментально наблюдаемую последовательность энергетических уровней
и предложил записать потенциал в в и д е :.
V (r)
где
г„,
= 4 е х р ( - 2а
(г -
г , ) ) - 2 ех р (-
а (г
-
гт
))],
- расстояние, отвечающее минимуму потенциальной кривой,
(4)
е —
глуби­
на потенциальной ямы; а - крутизна экспоненциального отталкивания.
Изменяя параметр а в потенциале Морзе можно получать кластеры с ф рак­
тальной размерностью в пределах от ! ,3 до 1,8. На рис. 4 представленна зависи­
мость фрактальной размерности от крутизны экспоненциального отталкивания.
f
d
1
э
1 .2
-i---------------------------------------- --------------------- т-г-------- ,-------------------------------------------------------------------- ------------------ ------------------------* •
0.0
0.20.4 0.6
0.8
1.0 1.2
а. *10'
Рис. 4. Зависимость фрактальной размерности от крутизны экспоненциального отталкивания
Из графика видно, что фрактальная размерность кластеров убывает с уве­
личением крутизны экспоненциального отталкивания. Ф рактальные кластеры,
полученные с учетом потенциала Морзе для различных значений крутизны экс­
поненциального отталкивания, представлены на рис. 5.
Рис. 5. Фрактальные кластеры, полученные с учетом потенциала Морзе, в котором крутиз­
на экспоненциального отталкивания для случая: а) а = 8*I0'J; б) а = 1* 10*
Для получения кластеров в качестве потенциала взаимодействия был взят
такж е потенциал ионного взаимодействия:
- 69 -
•
В еси
ik ГрДУ
С еры й
2 № 2 2003
(5)
г
где VI - потенциал взаимодействия, к - коэффициент, q - заряд частицы кластера, q - заряд движу­
щейся частицы, г - расстояние между частицами.
Модель образования кластеров с учетом ион­
ного взаимодействия отличается от выше перечисI ленных тем, что частицам присваивается заряд. Кла1 стер ы , о б р азо ван н ы е в рам ках этой модели,
получен- получаются с высокой степенью анизотропности
Рис. 6 Кластер,
ный с учетом ионного взаимо- ( р и с . 6 ).
действия частиц с одинаковым
Фрактальная
по модулю зарядом
ны х
с
учетом
размерность кластеров, получен­
ионного взаи м од ей стви я.
D - 1,57 ± 0 ,0 3 . Анализ численных экспериментов по определению влияния
заряда частиц на фрактальную размерность показывает, что заряд частиц оказы­
вает слабое влияние на фрактальную размерность кластеров.
Изменение параметров в потенциалах взаимодействия Л енорда - Джонса,
Кихары, Букингема не оказывает влияния на фрактальную размерность класте­
ров. Ф рактальная размерность кластеров, полученных по механизму кластер -
частица с учетом потенциала Ленарда - Джонса -
D
= 1,39 ± 0,03 , потенциала
Кихары - D = 1,42 ± 0 ,0 3 , потенциала Букингема - D = 1,43 = 0,03 [4]. Ф рак­
тальная размерность кластеров, полученных с учетом потенциала Морзе для
различных значений крутизны экспоненциального отталкивания, изменяется в
пределах от 1,3 до 1,8.
Ф рактальная размерность кластеров зависит от вида потенциала взаимо­
действия, и потенциал взаимодействия частиц, из которых образуется кластер,
оказывает влияние на структуру кластера.
1. Михайлов Е Ф., Власенко С.С. Образование фрактальных структур в газовой фазе // Успе­
хи физических наук. - 1995. - Т . 165. - № 3. - С. 263 - 283.
2. Блэгчсчор Дж. Физика твердого тела /' Пер. с англ. - М.: Мир, 1988. - 608 с
3. к'рячко Е.С. Моделирование межмолекулярных взаимодействий в жидкостях и газах. Двух­
атомные потенциальные кривые. - Киев: ИТФ. 1980. - 35 с.
4. Белко А. В. Влияние потенциалов взаимодействия на образование кластеров с фрактальной
структурой И Тез. докл. XI Ргсп. науч конф. студентов, магистрантов и аспирантов «Физика
конденсированных сред». - Гродно: ГрГУ, 2003. - С. 21 - 22.
П оступила в редакцию 04.06.2003.
Methods and algorithms o f generation of clusters with fractal structure with given various interaction
potentials are considered.
Белко Александр Витальевич, аспирант физико-технического факультета ГрГУ им. Я.Купалы. Научный руководитель - кандидат технических наук, доцент кафедры теоретической физики
ГрГУ им. Я.Купалы А.В.Никитин.
- 70 -