Вычисление средней длины - Балаковский Институт Техники

Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Саратовский государственный технический университет
Балаковский институт техники, технологии и управления
ВЫЧИСЛЕНИЕ СРЕДНЕЙ ДЛИНЫ
СВОБОДНОГО ПРОБЕГА МОЛЕКУЛ ГАЗА
ПО ВЕЛИЧИНЕ КОЭФФИЦИЕНТА
ДИНАМИЧЕСКОЙ ВЯЗКОСТИ
Методические указания
к выполнению лабораторной работы по физике
для студентов технических специальностей
всех форм обучения
Одобрено
редакционно-издательским советом
Балаковского института техники,
технологии и управления
Балаково 2008
1
Цель работы: изучение законов явлений переноса в газах на примере измерения коэффициента динамической вязкости воздуха и расчет молекулярно-кинетических параметров газа - длины свободного пробега и эффективного диаметра молекул на основе модели идеального газа.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Согласно представлениям молекулярно-кинетической теории, все физические тела состоят из мельчайших частичек вещества - молекул, находящихся в состоянии непрерывного беспорядочного, хаотического движения.
Интенсивность такого движения молекул зависит от температуры, поэтому
оно называется также тепловым. Изучение закономерностей теплового движения молекул обычно начинают с его рассмотрения в газах.
При давлениях порядка атмосферного или более низких средние расстояния между соседними молекулами газов очень велики по сравнению с
размерами самих молекул. Поэтому силы взаимодействия между ними настолько малы, что ими, в первом приближении, можно пренебречь, за исключением тех случаев, когда молекулы сближаются друг с другом практически вплотную (рис. 1). Точнее говоря, при больших расстояниях между
молекулами между ними действуют очень слабые силы взаимного притяжения, которые по мере сближения молекул вначале постепенно увеличиваются по модулю, а затем, начиная с определенного (очень малого) расстояния d
между центрами молекул (рис. 1), сменяются быстро возрастающими силами
взаимного отталкивания. Действие последних приводит к изменению направления движения ранее сближавшихся молекул и к их последующему
удалению друг от друга. Описанный процесс столкновения двух молекул газа весьма напоминает упругое соударение двух твердых шарообразных тел
диаметра d. Расстояние d, на которое сближаются при столкновении центры
молекул (рис.1), называется эффективным диаметром молекулы. Например,
для азота при нормальных условиях
2
Рис.1. Взаимное расположение двух одинаковых молекул гам, при котором заметно проявляются силы взаимодействия между ними (цифры показывают номера молекул)
В промежутках между соударениями молекулы движутся практически
свободно, поэтому путь, проходимый молекулой между двумя последовательными столкновениями, называется длиной свободного пробега l. В
одном и том же газе, даже при неизменных внешних условиях, величина l не
является постоянной величиной. Поэтому при статистическом описании
движения множества молекул эту величину усредняют и вводят понятие
средней длины свободного пробега lc, то есть среднего расстояния, проходимого между двумя последовательными столкновениями с другими молекулами.
Рассчитаем среднее число столкновений (Zc ), которые происходят в
единицу времени между какой-либо одной молекулой газа (например, молекулой 1, изображенной на рисунке 1) и другими молекулами (последние
мы вначале будем для простоты считать неподвижными). Пусть молекула 1 в
момент начала рассматриваемого интервала времени движется в направлении, перпендикулярном к плоскости рисунка 1, при этом модуль её
скорости равен средней арифметической скорости <v> теплового движения
молекул данного газа. Тогда за 1 секунду молекула 1 пройдет расстояние,
численно равное <v>, и испытает столкновения со всеми молекулами, центры
которых находятся внутри цилиндра с радиусом основания d и высотой <v>
(как, например, с молекулой 2, также изображенной на рисунке 1). Объем
указанного цилиндра (V) равен
, а число молекул с центрами
внутри него составляет:
(1)
где n - число молекул в единице объема газа.
3
Согласно сказанному выше, выражение (1) определяет среднее число
столкновений в единицу времени, рассчитанное при указанных допущениях.
Учёт движения всех молекул приводит к внесению в выражение (1) поправочного множителя, равного
, и к получению уточнённой формулы:
(2)
Очевидно, что средняя длина свободного пробега молекулы равна отношению среднего расстояния, проходимого ею за 1 секунду (равного <v>), к
среднему числу столкновений за то же время:
(3)
где
- постоянная Больцмана;
- давление газа;
- его абсолютная темпера-
тура. Покажем, что среднюю длину свободного пробега молекул газа можно
определить на основании результатов экспериментального измерения его коэффициента динамической вязкости η. Для этого рассмотрим газ, находящийся в состоянии движения в направлении оси Y (рис. 2), причём скорость
u этого направленного движения различных слоев газа убывает по модулю в
направлении оси X:
Рис.2. Зависимость скоростей направленного движения слоев газа от координаты X
4
Молекулы газа участвуют одновременно в двух движениях:
1) хаотическом, тепловом, средняя скорость которого равна <v>;
2) направленном движении каждого слоя как целого параллельно оси Y со
скоростью u, вследствие которого каждая молекула массой m обладает импульсом направленного движения, модуль которого равен mu (в данном случае эта величина, как и u, убывает в направлении оси X).
Рассмотрим участок плоской поверхности, расположенный параллельно
направлению течения слоев газа, площадь которого равна S (рис. 2). Благодаря хаотическому тепловому движению, молекулы газа могут переходить через этот участок как в направлении слева направо, так и в обратном направлении. В первом случае в более медленно движущемся слое правее участка S
часть молекул замещается молекулами, пришедшими слева, имеющими
большую скорость направленного движения и, следовательно, больший импульс; в результате импульс слоя справа от площадки S возрастает, а импульс
слоя слева от неё уменьшается. Нетрудно видеть, что переходы молекул
справа налево через указанную площадку приводят к такому же переносу
импульса направленного движения, при котором импульс более быстрого
слоя уменьшается, а импульс медленного - растет (это явление называется
внутренним трением).
Для расчета скорости переноса импульса между слоями газа учтем, что
при хаотическом тепловом движении молекул газа ни одно из направлений
такого движения в пространстве не имеет каких-либо преимуществ перед
другими, то есть вероятность теплового движения молекул в направлениях
осей X, Y и Z декартовой системы координат одинакова. Поэтому можно
принять, что одна треть всех молекул газа движется параллельно оси X, другая треть - параллельно оси Y, а остальные движутся параллельно оси Z. При
этом из тех молекул, которые движутся параллельно оси X, лишь половина
движется вправо (число таких молекул в единице объёма газа составляет одну шестую от общего числа молекул n в том же объёме). За время ∆t через
участок S (рис.2) слева направо перейдут все молекулы газа, находящиеся в
5
объёме
; число таких молекул равно
Импульс отдельной молекулы, который она переносит при переходе через площадку S - это тот импульс, которым молекула обладала при последнем столкновении перед площадкой, то есть на расстоянии порядка
средней длины свободного пробега от площадки. Если скорость направленного движения слоя газа на расстоянии lс слева от площадки равна u1
(рис.2), то импульс молекулы указанного слоя, связанный с этим движением,
равен mu1. Поэтому импульс К1, переносимый всеми такими молекулами слева направо за единицу времени через единицу площади поверхности S, составляет:
(4)
Соответственно импульс К2, переносимый молекулами газа справа налево
через ту же площадь за то же время, составляет:
(5)
где u2 - скорость направленного движения слоя газа, расположенного на
расстоянии lс справа от участка S (рис. 2).
Величина результирующего переноса импульса через единицу площади
рассматриваемого участка за единицу времени равна:
(6)
В пределах весьма малого интервала значений координаты X (ширина которого равна 2lс) можно считать, что величина и практически линейно зависит от X (рис.2), поэтому:
(7)
Отсюда
(8)
Подставив последнее выражение в (6), получим:
6
(9)
Сравнив полученное соотношение (9) с известной формулой:
(10)
найдем (при S = 1):
(11)
где
- плотность газа, равная суммарной массе всех молекул в единице объ-
ема (nm).Полученная формула (11) лежит в основе выполнения настоящей
работы.
ПЕРЕЧЕНЬ ОБОРУДОВАНИЯ
1. Лабораторная установка для определения средней длины свободного
пробега молекул газа.
2. Термометр (настенный).
3. Барометр.
4. График зависимости частоты вращения вала электродвигателя от приложенного напряжения.
МЕТОДИКА ЭКСПЕРИМЕНТА
Установка для измерения коэффициента динамической вязкости воздуха
схематически изображена на рис. 3.
Рис.3. Схема лабораторной установки
7
В установке имеется камера 1 с прозрачным окном на передней стенке.
Внутри камеры находятся два алюминиевых диска (2 и 3), расположенных
соосно и близко друг к другу (ширина воздушного зазора h между ними составляет 2 мм). Диск 2 закреплён на валу электродвигателя 4, а диск 3 - на валу подшипника качения 5 с малым моментом сил трения. Вал подшипника в
верхней части камеры прикреплён к центральному концу ленточной спиральной пружины 6, внешний конец которой укреплён на неподвижной стойке 7
(рис. 4).
Рис. 4. Вид диска 3 с пружиной и стойкой сверху
Диск 2 приводится электродвигателем во вращение с довольно большой
угловой скоростью ω и увлекает за собой прилегающие к нему слои воздуха
(то есть создаст направленное движение воздуха в зазоре между обоими параллельными дисками 2 и 3), а это, в свою очередь, приводит к повороту и
диска 3 на определённый угол
(величина этого угла ограничивается тормо-
зящим действием пружины 6). Частота вращения диска 2 зависит от напряжения, подаваемого на электродвигатель. Его величину можно изменять с помощью потенциометра R, ручка которого выведена на переднюю панель установки; она измеряется вольтметром В (рис. 3). Установка снабжена градуировочным графиком, с помощью которого по значению подаваемого напряжения можно определить частоту вращения диска 2. Угол поворота диска 3 измеряется по нанесенной на нём шкале с помощью указателя 8 (рис. 4).
Рассчитаем вращательный момент M3, действующий со стороны слоя воздуха в зазоре на диск 3. Для этого вначале найдём момент силы внутреннего
трения, действующий на элементарный (бесконечно малый) участок этого
8
диска, находящийся на расстоянии r от его центра, контуры которого условно
показаны на рис. 4 жирными линиями (указанный участок рассматривается в
полярных координатах: величина интервала значений координаты r для него
составляет dr, а интервал значений координаты
Тогда площадь этого участка dS равна
обозначен символом d ).
, а модуль элементарного мо-
мента силы dF, действующей на него, составляет
dM =
,
(12)
(так как вектор названной силы направлен по касательной к траектории вращения рассматриваемого участка, поэтому он перпендикулярен к его радиусвектору, проведённому из центра диска 3).
Применяя выражение (10) к рассматриваемому здесь случаю, считая, что
ось X направлена вертикально вверх (по оси вращения дисков), и учитывая,
что, согласно второму закону Ньютона, изменение импульса в единицу времени равно действующей на участок силе dF, получим из (12) следующее соотношение:
.
(13)
Для нахождения необходимого для расчёта градиента скорости направленного движения воздуха в зазоре между дисками учтём, что слой воздуха, непосредственно прилегающий к рассматриваемому участку диска 3,
после полной остановки поворота этого диска также покоится относительно
прибора (то есть для него
), а слой воздуха, находящийся в непосредст-
венной близости к поверхности диска 2 напротив рассматриваемого участка
(на таком же расстоянии r от центра диска 2), движется вместе с прилегающим
участком этой поверхности со скоростью
.
Тогда:
(14)
Подставив полученное соотношение в выражение (13) и проинтегрировав
его по всему диску 3 (на котором координата r изменяется в пределах от нуля
до радиуса всего диска
, а координата
9
— от нуля до
радиан), найдём
полный закручивающий момент указанного диска, создаваемый движением
слоев воздуха в зазоре:
.
(15)
После остановки поворота диска 3 указанный закручивающий момент
уравновешивается равным ему по модулю тормозящим моментом пружины
. Последний в условиях работы на данной установке (при которых механическое напряжение в материале пружины не превышает предела упругости)
практически прямо пропорционален углу закручивания (поворота) рассматриваемого диска
:
,
где
(16)
- коэффициент пропорциональности, равный
Нм/град.
Поэтому в состоянии равновесия диска 3 справедливо следующее выражение:
(17)
Поскольку угловая скорость вращения диска 3 связана с частотой вращения
известным соотношением
из (17) можно выразить коэффици-
ент динамической вязкости воздуха через известные или определяемые в опытах величины следующим образом:
(18)
Для дальнейшего расчёта искомой длины свободного пробега молекул
воздуха с помощью соотношения (11) необходимо знать плотность воздуха
в
условиях эксперимента. Её можно вычислить из уравнения МенделееваКлапейрона (поскольку при обычных лабораторных условиях воздух практически можно считать подчиняющимся законам идеальных газов):
,
где
(19)
- атмосферное давление;
- средняя молярная масса воздуха, которая принимается равной
10
кг/моль.
Кроме того, для расчетов по соотношению (11) необходимо вычислить
среднюю скорость теплового движения молекул воздуха. Это можно сделать
по известной формуле:
(20)
Подставив выражения (19) и (20) в соотношение (11), найдем из него:
(21)
Наконец, подставив в последнее выражение величину
из (18), получим
окончательно:
(22)
Соотношение (22) представляет собой рабочую формулу для расчета искомой величины средней длины свободного пробега молекул воздуха.
ТРЕБОВАНИЯ БЕЗОПАСНОСТИ ТРУДА
1. Перед началом работы на установке необходимо ознакомиться с назначением и расположением ей органов управления, проверить состояние сетевого шнура и вилки, убедиться в надёжности присоединения клеммы заземления корпуса к шине защитного заземления.
2. Включение установки производится только с разрешения преподавателя
или лаборанта и в их присутствии.
3. Необходимо учитывать, что в установке используется напряжение 220 В,
опасное для жизни, поэтому при работе следует соблюдать осторожность и
аккуратность, не допускать сгибания сетевого шнура, не трогать неизолированные выводы.
4. В случае возникновения неисправностей, посторонних звуков, гудения
необходимо немедленно отключить установку и сообщить об этом преподавателю или лаборанту.
11
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
1. После внимательного изучения настоящего методического руководства
и полного усвоения основных понятий, методики эксперимента и порядка
работы получите разрешение преподавателя на её включение и проведите
её внешний осмотр.
2. Установите регулятор напряжения в крайнее левое положение, а указатель угла поворота диска 3 на нулевое деление шкалы.
3.Включите установку в электрическую сеть.
4.По графику зависимости частоты вращения диска 2 от напряжения на
электродвигателе выберите желаемое число оборотов указанного диска в
секунду и установите регулятором необходимое напряжение, контролируя
его вольтметром.
5.Спустя 3 - 5 минут после прекращения поворота диска 3 измерьте угол
его поворота по шкале, нанесенной на поверхности диска, и запишите
его значение в таблицу.
6.Измените скорость вращения диска 2 путем повышения напряжения,
приложенного к электродвигателю, и повторите действия по пункту 5.
Выполняйте эту операцию 3-5 раз, последовательно увеличивая частоту
вращения диска вплоть до максимально достижимой (в последнем опыте).
7.Повторите действия по пункту 6 в обратном порядке, то есть при последовательном уменьшении напряжения на электродвигателе в каждом следующем опыте, проведя ещё 3-5 опытов.
8.Отключите установку.
9.Определите по настенному термометру температуру воздуха в лаборатории и по барометру - атмосферное давление, запишите значения этих величин в таблицу.
Рекомендуемая форма таблицы такова*:
12
Таблица 1
Значения величин, полученные при выполнении опытов и расчетов
м
,
T=…,
№
опыта
опыта
1
2
p=…,
V, B
3
4
*Примечание: число строк таблицы с результатами измерений должно соответствовать числу проведённых опытов.
ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТА
1. По формуле (19) рассчитайте , по формуле (20) вычислите
и вне-
сите эти данные во вторую строку таблицы.
2. С учетом значений постоянных величин, записанных в верхней строке
таблицы, и экспериментальных значений
динамической вязкости
вычислите коэффициент
по формуле (18) для каждого опыта и запишите
его значения в таблицу.
3. По формуле (22) рассчитайте значения
для каждого опыта и запишите
их в таблицу.
4. При помощи соотношения (3) рассчитайте значения d для каждого опыта
и запишите их в таблицу.
5. Сравните полученные значения
и d с имеющимися в справочной ли-
тературе, сделайте вывод о результатах такого сравнения.
6. Рассчитайте абсолютную погрешность определения величины
формуле:
(23)
13
по
где коэффициент k примите равным 1,1 (при доверительной вероятности
К, величину
0,95),
(абсолютную погрешность изме-
рения атмосферного давления) примите равной половине цены деления
используемого барометра.
7. Рассчитайте среднее арифметическое
из всех значений .
8. Представьте окончательный результат в следующем виде:
где величину
примите равной максимальному значению абсолютной
погрешности, рассчитанному в п. 6.
СОДЕРЖАНИЕ И ОФОРМЛЕНИЕ ОТЧЁТА
Письменный отчет о лабораторной работе должен содержать следующие
разделы:
1.Название работы, фамилию и инициалы исполнителя, дату ее выполнения.
2.Цель работы.
3.Основные понятия (кратко, только самое главное).
4.Методика эксперимента (с кратким описанием установки).
5.Порядок выполнения работы (с таблицей полученных результатов экспериментов).
6.Обработка результатов эксперимента (с подробными расчетами всех косвенно определяемых величин).
7.Выводы по работе.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
1. Что такое длина свободного пробега и эффективный диаметр молекулы
газа? Как связаны между собой эти величины?
2. От каких величин и как конкретно зависит среднее число столкновений
14
между молекулами газа в единицу времени?
3. От каких величин и как конкретно зависит средняя длина свободного
пробега молекул газа?
4. Что такое модель идеального газа?
5. Можно ли применять для описания свойств воздуха при нормальных условиях соотношения, выведенные для идеальных газов? Почему?
6. Что такое внутреннее трение в газе и чем оно обусловлено?
7. Дайте определение и объясните физический смысл коэффициента динамической вязкости газа.
8. От каких величин зависит коэффициент динамической вязкости газа?
9. Как связан коэффициент динамической вязкости воздуха с его плотностью, средней скоростью теплового движения его молекул и со средней
длиной свободного пробега молекул?
10.Выведите рабочую формулу.
11.Опишите устройство экспериментальной установки.
12.Опишите методику проведения эксперимента и порядок выполнения
работы.
13.Каковы источники возникновения погрешностей в данной работе и как
рассчитывается абсолютная погрешность определения средней длины
свободного пробега молекул воздуха в настоящей работе?
ВРЕМЯ, ОТВЕДЁННОЕ НА ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ
Подготовка к работе
1 академический час
Выполнение экспериментальной части работы
1 академический час
Обработка результатов эксперимента, подготовка
и сдача письменного и устного отчета
2 академических часа
15
ЛИТЕРАТУРА
1. Савельев И. В. Курс общей физики. Кн. 3. Молекулярная физика и термодинамика. - М.: Астрель, 2004. - С. 175 - 195.
2.Трофимова Т. И. Курс физики. - М.: Высшая школа, 2002. - С. 92 - 97.
3.Кикоин И. К., Кикоин А. К. Молекулярная физика. - М.: Физматгиз, 1963.
-С. 142-194.
4.Леонов П. В. Вычисление средней длины свободного пробега молекул
газа, исходя из величины коэффициента динамической вязкости-, методические указания. - Саратов: СГТУ, 1998.
5.Терешин Ю. В. Обработка результатов измерений: методические указания. - Саратов: СПИ, 1983.
СОДЕРЖАНИЕ
Цель работы…………………………………………………………...…...2
Основные понятия………………………………………………………...2
Перечень оборудования…………………………………………………..7
Методика эксперимента………………………………………………….7
Требования безопасности труда………………………………….…… 11
Порядок выполнения работы………………………………………… 12
Обработка результатов эксперимента………………………………. 13
Содержание и оформление отчета…………………………………… 14
Вопросы для самоконтроля…………………………………………… 14
Время, отведённое на выполнение работы…………………………… 15
Литература……………………………………………………………. 16
16
ВЫЧИСЛЕНИЕ СРЕДНЕЙ ДЛИНЫ СВОБОДНОГО ПРОБЕГА
МОЛЕКУЛ ГАЗА ПО ВЕЛИЧИНЕ КОЭФФИЦИЕНТА
ДИНАМИЧЕСКОЙ ВЯЗКОСТИ
Методические указания
к выполнению лабораторной работы по физике
для студентов технических специальностей и направлений
всех форм обучения
Составили: Леонов Петр Васильевич
Никифоров Виктор Васильевич
Рецензент Т.Н. Мищенкова
Редактор Л.В. Максимова
Корректор А.М. Рогачева
Подписано в печать
Формат 60*84
Бумага тип.
Усл. печ. л. 1,25 Уч.-изд. л. 1,2
Тираж 150 экз.
Заказ 99
Бесплатно
1/16
Саратовский государственный технический университет
410054, г. Саратов, ул. Политехническая, 77
Копипринтер БИТТиУ, 413840, г. Балаково, ул. Чапаева, 140
17