генерация течения и поведение частицы около пузырька в

на правах рукописи
Клименко Людмила Сергеевна
ГЕНЕРАЦИЯ ТЕЧЕНИЯ И ПОВЕДЕНИЕ ЧАСТИЦЫ
ОКОЛО ПУЗЫРЬКА В КОЛЕБЛЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ
Специальность 01.02.05 – “Механика жидкости, газа и плазмы”
Автореферат
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Пермь – 2011
Работа
выполнена
на
кафедре
теоретической
физики
Пермского
государственного национального исследовательского университета
Научный руководитель
доктор физико-математических наук,
профессор Любимов Дмитрий Викторович
Официальные оппоненты:
доктор физико-математических наук,
профессор Братухин Юрий Клавдиевич
кандидат физико-математических наук,
доцент Перминов Анатолий Викторович
Ведущая организация
Кубанский государственный университет,
г. Краснодар
Защита состоится _____________2011 г. в 1700 на заседании диссертационного совета Д212.189.06 в ФГБОУ ВПО «Пермский государственный национальный исследовательский университет» по адресу: 614990, г. Пермь, ул. Букирева, 15, зал заседаний Ученого совета ПГНИУ.
C диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Пермского государственного национального исследовательского университета; электронная версия доступна на сайте ПГНИУ по адресу: www.psu.ru.
Автореферат разослан “
” ноября 2011 г.
Ученый секретарь диссертационного совета
кандидат физико-математических наук,
доцент
В.Г. Гилев
2
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. Исследование вибрационного воздействия на поведение неоднородных гидродинамических систем, содержащих пузырьки, представляет фундаментальный интерес благодаря разнообразию наблюдаемых эффектов. Одним из таковых является возникновение осредненных течений, мало
меняющихся за период вибраций. Генерация таких течений хорошо изучена
около твердой поверхности и поверхности раздела, в то время как около свободной поверхности, которой является поверхность пузырька, вопрос исследован не
в полном объеме.
Дополнительный интерес к подобным гидродинамическим системам, содержащим пузырьки, обусловлен их широким использованием в различных технологических процессах. Так, при флотационном обогащении руды важную
роль играет взаимодействие пузырька с твердыми частицами, однако существующие теории процесса флотации либо носят эмпирический характер, либо не
содержат последовательного учета влияния внешних полей.
Названные причины обусловливают актуальность теоретического исследования генерации течений и поведения частиц около пузырьков в вибрационных
полях. Решению этих проблем и посвящена данная работа, выполненная в рамках развиваемого Пермской гидродинамической школой направления, связанного с изучением поведения неоднородных систем при воздействии вибраций.
Исследования, представленные в диссертации, выполнялись при поддержке
грантов РФФИ (06-01-00693, 07-01-00695) и НОЦ «Неравновесные переходы в
сплошных средах» (РЕ-009).
Целью диссертационной работы является построение теории взаимодействия пузырька с частицей во внешнем вибрационном поле и изучение механизмов генерации течений около пузырька.
Научная новизна работы заключается в том, что в ней впервые:
 получены выражения, описывающие среднее течение около газового пузырька в вязкой несжимаемой жидкости под действием малоамплитудных вибраций. Обнаружено существование среднего течения даже в условиях отсутствия деформаций поверхности;
3
 найдены эффективные граничные условия для касательных напряжений на
искривленной свободной поверхности;
 изучен вклад нового механизма в генерацию около искривленной поверхности раздела, получены эффективные граничные условия для скачка касательных скоростей и напряжений на искривленной поверхности раздела;
 исследовано влияние высокочастотных малоамплитудных вибраций на поведение твердой частицы около пузырька, найдена средняя сила, действующая
на частицу, и построены траектории ее движения;
 получено сечение захвата оседающих частиц пузырьком в зависимости от
типа колебаний пузырька и параметров вибраций.
Автор защищает:
 результаты исследования влияния вибраций на течение жидкости вблизи газового пузырька;
 аналитические выражения для эффективных граничных условий на искривленной свободной поверхности и искривленной поверхности раздела;
 результаты исследования течений около и внутри капли жидкости, помещенной в другую жидкость, под действием малоамплитудных вибраций;
 результаты исследования поведения твердой частицы в окрестности пузырька
в вибрационном и гравитационном полях.
Достоверность результатов диссертационной работы обусловлена корректностью физической и математической постановки задач, использованием
апробированных аналитических и численных методов, подтверждается сравнением результатов, полученных различными способами, согласием в предельных
случаях с результатами работ других авторов.
Научное и практическое значение работы. Полученные результаты расширяют существующие представления о механизмах генерации течений около
свободной поверхности и искривленной поверхности раздела. Аналитические
выражения для эффективных граничных условий могут быть использованы для
решения задач о генерации средних течений около поверхностей раздела любой
формы. Результаты исследования поведения частиц в пульсационном поле около
пузырька, могут быть использованы для совершенствования технологических
процессов, в частности, ультразвуковой флотации.
4
Публикации. Основные материалы диссертации опубликованы в 15 научных работах, из них 1 статья в научном журнале из перечня ВАК.
Личный вклад автора. Постановка задач, выбор метода решения, обсуждение и интерпретация результатов по первым двум главам проводились совместно с научным руководителем, по третьей главе совместно с научным руководителем и Т.П.Любимовой. Аналитические выкладки и численные расчеты проводились автором, за исключением учета монопольной моды колебаний пузырька, который был сделан совместно с научным руководителем и Т.П. Любимовой.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на отчетной научной конференции студентов и аспирантов ПГУ (Пермь, 2004); конференциях
НОЦ «Неравновесные процессы в сплошных средах» (Пермь, 2004-2007, 2010);
XIV, XV и XVII Зимних школах по механике сплошных сред (Пермь, 2005, 2007,
2011); Международной конференции «Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости и турбулентность» (Москва, 2008); конференции молодых
ученых «Фундаментальные и прикладные задачи нелинейной физики» в рамках
научной школы «Нелинейные волны» (Нижний Новгород, 2010); V Всероссийской конференции «Актуальные проблемы прикладной математики и механики», посвященной памяти академика А.Ф.Сидорова (Абрау-Дюрсо, 2010); семинаре лаборатории минералургии и окружающей среды Национального политехнического института Лотарингии (Нанси, Франция, 2011); на Пермском городском гидродинамическом семинаре имени Г.З. Гершуни и Е.М. Жуховицкого
(2010, 2011).
Содержание и структура диссертации. Диссертация состоит из введения,
включающего обзор литературы и общую характеристику работы, трех глав,
заключения, списка цитируемой литературы (115 наименований). Общий объем
диссертации составляет 174 страницы, включая 53 рисунка.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Введение. Во введении обосновывается актуальность темы и дается общая
характеристика работы. Представлен обзор экспериментальных и теоретических
работ, связанных с темой диссертационной работы. Обзор показывает, что, несмотря на большой объем исследований, остается неизученным влияние кривизны поверхности на генерацию средних течений около поверхности раздела и
влияние внешних вибраций на поведение твердых частиц около поверхности
5
пузырька. Сделан вывод о необходимости создания моделей и теорий, объясняющих и описывающих генерацию течений и поведение включений около пузырьков под действием вибраций.
Первая глава посвящена изучению генерации средних течений вблизи свободной искривленной поверхности.
Одно из интересных проявлений действия вибраций – возникновение осредненных эффектов. Так, в динамическом пограничном слое около твердой стенки,
обтекаемой неоднородным пульсирующим потоком, происходит генерация
средней завихренности. При этом на внешней границе пограничного слоя средняя касательная скорость отлична от нуля и ее значение может быть использовано в качестве граничного условия при нахождении среднего течения в основной
области движения. Для плоской поверхности раздела двух жидкостей дополнительно существует механизм генерации Дора, определяющий эффективные касательные напряжения. В случае свободной плоской поверхности оба указанных
выше механизма не работают, но при наличии деформаций поверхности появляется механизм генерации Лонге-Хиггинса, заключающийся в том, что средние
течения формируются бегущими по свободной поверхности волнами.
В диссертационной работе найден новый механизм генерации, связанный
исключительно со средней кривизной поверхности, нечувствительный к пульсационным деформациям.
Для этой цели исследовано поведение газового пузырька, взвешенного в заполняющей все пространство жидкости. Предполагалось, что вдали от пузырька
жидкость движется поступательно по гармоническому закону с амплитудой b и
частотой  . Вязкость и плотность газа в пузырьке считались исчезающе малыми, что позволяет пренебречь движением газа. Предполагалось, что окружающая жидкость и газ в пузырьке несжимаемы.
Задача характеризуется тремя управляющими параметрами:   b a – безразмерная амплитуда вибраций,   a 1   
1/2
– безразмерная толщина погра-
ничного слоя Стокса и число Вебера – We   2 a 3  , где  ,  – плотность и
кинематическая вязкость жидкости, a – радиус пузырька,  – коэффициент
поверхностного натяжения жидкости. Рассматривались вибрации малой амплитуды, что позволяет считать параметр  малым и искать решение в виде разло6
жения по этому параметру. Параметры  и We предполагались конечными.
Анализ проведен для двух вариантов геометрии: цилиндрического и сферического пузырьков.
В главном порядке разложения показано, что пузырек движется без искажения формы, определены скорость пузырька и пульсационное течение жидкости.
С увеличением вязкости жидкости от нуля до бесконечности отношение скоростей пузырька и окружающей жидкости убывает от трех до единицы.
Во втором порядке разложения вокруг пузырька возникает стационарное течение, причем пульсационные деформации поверхности не влияют на генерацию этого течения. Таким образом, среднее течение возможно и тогда, когда
поверхность недеформируемая.
Среднее течение генерируется в вязком пограничном слое около пузырька и
распространяется за его пределы. Картина течения имеет вид двух симметричных тороидальных вихрей (рис.1).
В пределе высокочастотных виб9
раций получены формулы, задающие
8
величину
7
внешней границе пограничного слоя.
6
Для случая сферического пузырька:
5
вязких
напряжений
на
UU   
 r  3 2
  ,
a2   
3/2
4
3
где U  3b sin  , U 
2
1
1 U
.
a 
Для цилиндрического пузырька
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Рис. 1. Картина среднего течения. Штриховкой
выделено сечение пузырька
выражение для эффективных касательных
напряжений
отличается
лишь числовым множителем. Эффективные напряжения, независимо
от рассматриваемой геометрии, пропорциональны квадрату кривизны поверхности и кубу толщины пограничного слоя Стокса. В отличие от генерации около
твердой поверхности вязкость существенно входит в результат: при вязкости,
стремящейся к нулю, исчезает и генерация. Таким образом, генерация среднего
течения возможна не только около твердой поверхности, но и около свободной
7
поверхности. Поскольку пограничный слой около свободной поверхности менее
выражен, а около плоской свободной поверхности вообще отсутствует, то априори можно было ожидать, что генерация должна быть слабее. Это действительно так, в чем можно убедиться, сделав простые оценки, основываясь на полученных выше результатах. Около твердой поверхности генерация описывается
формулой Шлихтинга, задающей величину касательной компоненты скорости
на поверхности
V  
31
UU .
4
Для касательной компоненты средней скорости на свободной поверхности
из выражения для эффективных касательных напряжений можно получить следующую оценку
V 
1
UU .
a
Видно, что отношение средних скоростей для свободной и твердой поверхностей пропорционально
d
, что является малой величиной. Принципиально,
a
однако, что генерация средней завихренности около свободной искривленной
поверхности все же отлична от нуля.
Во второй главе изучено влияние кривизны поверхности на генерацию
средних течений около поверхности раздела в ситуации, когда работают и
обычные механизмы, не связанные непосредственно с кривизной.
Изучение проводилось на примере конкретной задачи. Рассматривалась капля жидкости, взвешенная в заполняющей все пространство жидкости отличной
плотности. Течение жидкости внутри и снаружи капли создавалось внешним
вибрационным полем с амплитудой смещения жидких частиц b и частотой  .
Предполагалось, что как окружающая жидкость, так и жидкость в капле несжимаемы.
Как и в первой главе, рассматривались вибрации малой амплитуды, что позволило применить к нахождению среднего течения метод малого параметра, а
для нахождения эффективных граничных условий метод сращиваемых асимптотических разложений.
8
В результате получено, что внутри и снаружи капли возникает стационарное
течение, причем деформация поверхности не влияет на его генерацию. Таким
образом, как и для генерации около свободной искривленной поверхности,
среднее течение возможно и тогда, когда поверхность недеформируемая. Полученные картины среднего течения для разных наборов параметров показывают,
что прослеживается следующая тенденция: чем больше вязкость одной из сред,
тем более вероятно появление двухэтажной вихревой структуры в другой среде
(рис.2, рис.3).
9
0.9
8
0.8
7
0.7
6
0.6
5
0.5
4
0.4
3
0.3
2
0.2
1
0.1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0
9
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
Рис. 2. Изолинии функции тока окружающей и внутренней жидкости
при r 2
(r
1
+ r 2 ) = 0.8 , n2 (n1 + n2 ) = 0.8 , d = 0.1
9
0.9
8
0.8
7
0.7
6
0.6
5
0.5
4
0.4
3
0.3
2
0.2
1
0.1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0
9
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
Рис. 3. Изолинии функции тока окружающей и внутренней жидкости
При r 2
(r
1
+ r 2 ) = 0.2 , n2 (n1 + n2 ) = 0.2 , d = 0.1
9
Определены эффективные граничные условия для скачков касательных скоростей и касательных напряжений. Показано, что при сравнимых плотностях и
вязкостях жидкостей основные механизмы генерации аналогичны механизмам
Дора и Шлихтинга, в то время как влияние кривизны является вторичным фактором. Однако численные значения безразмерных коэффициентов в формулах
для скачков средних скоростей и напряжений зависят от формы поверхности,
поэтому перенос известных граничных условий для плоской поверхности1 на
искривленную поверхность ошибочен даже в случае большого радиуса кривизны.
Эффективные граничные условия для искривленной поверхности раздела
получены в векторном виде, что позволяет их использовать для поверхностей
любой формы:


1 1  1   2  2
u  
2 1  1   2  2


 n      

 
 V  V  2Vdiv
V   ,


2
 1
 
1 2  1  2  3 
1
V


V

Vdiv
V

2   .
2
2 1  1   2  2  2




Здесь V – скорость пульсационного движения внешней жидкости за преде-
лами пограничного слоя на поверхности раздела, div2 – двумерная дивергенция.
Чертой сверху обозначена операция осреднения за период вибраций.
В случае, когда отношение плотностей жидкостей является величиной второго порядка малости по сравнению с амплитудой вибраций, вклад механизма
генерации, описанного в первой главе и связанного с кривизной поверхности,
становится существенным и в случае поверхности раздела. Это было продемонстрировано на задаче о газовом пузырьке. В отличие от случая, рассмотренного
в первой главе, теперь учитывается движение газа внутри пузырька.
Методом сращиваемых асимптотических разложений получены выражения
для скачка касательных скоростей и напряжений на внешней границе погранич-
1
Любимов Д.В., Любимова Т.П., Черепанов А.А., Динамика поверхностей раздела в вибрационных полях.
М.: Физматлит, 2003, 216 с.
10
ных слоев, эти выражения могут быть использованы в качестве эффективных
граничных условий:
u1  u 2 
5
UU ,
4
1
2 2 3 1
 2 
   2UU

UU  1  ,
2
4

2a
  
3/2

1
r

2
r
где использовано обозначение U  3b sin  для амплитуды касательной скорости пульсационного движения внешней жидкости за пределами пограничного
слоя, U 
1 U
.
a 
Третья глава посвящена теоретическому изучению влияния вибраций на
поведение твердой частицы около колеблющегося пузырька. Интерес к данной
проблеме вызван не только ее фундаментальным значением, но также возможностью применить результаты для интенсификации процессов флотации с помощью ультразвукового воздействия.
Изучалось поведение одиночной
твердой тяжелой частицы вблизи
газового пузырька, помещенного в
несжимаемую жидкость (рис.4). Рассматриваемая
система
находилась
под действием силы тяжести и внешнего вибрационного поля. Вибрации
считались поступательными и гармоническими с амплитудой b и часРис. 4. Конфигурация задачи. 1 – твердая
частица, 2 – газовый пузырек.



Vvib  b j cos t – скорость вибраций, U –

скорость всплывания пузырька, g – ускорение
свободного падения
тотой  . Частота полагалась высокой, в том смысле, что толщина пограничного слоя, внутри которого
происходят диссипативные процессы
вязкости и теплопроводности, много
меньше как радиуса пузырька, так и частицы. Таким образом, для описания
11
пульсационного течения вокруг пузырька и частицы использовалась модель
идеальной жидкости.
На частицу действуют силы тяжести, Стокса, Архимеда и средняя сила, созданная вибрационным потоком2. Полное уравнение движения частицы с учетом
ее инертности, осредненное по временам, большим по сравнению с периодом
вибраций, имеет вид


1  d 2r 3  s  
9


 dr  
2
V 


U




g
,


s
 s    2  


2
1
2
dt
4
2
R
dt




p
s  
2
где  S – плотность частицы,  ,  – плотность и динамическая вязкость жидко

сти, R p – радиус частицы, U – скорость жидкости в отсутствие частицы, V –
скорость пульсационного потока около частицы.
Поле пульсационной скорости включает внешнее поле и рассеянные поля
монопольного и трансляционного движения:
 

 
 
V  Vvib  v r  v d  Vvib  Vvib  rb



  3Rb3 r
 2 Rb r  Rb3
 Vvib 3  Vvib  r
3
2
2
r
r
r4 r




0 




Здесь Vvib  b j cos t – скорость пульсационного потока вдали от пузырька,
b,  – амплитуда и частота вибраций, 0 
c
Rb
3 g

– собственная частота коле-
баний пузырька, Rb – радиус частицы,  g – плотность газа в пузырьке, c – скорость звука в газе.
Траектории движения частицы в вертикальной плоскости, проходящей через
направление вибраций, представлены на рис. 5. В отсутствие вибраций, на расстоянии от пузырька порядка его диаметра, влияние пузырька на движение частицы незначительно, траектории частицы почти вертикальны. Добавление вибрационного воздействия приводит к искажению траекторий, и при некотором
значении параметров вибраций частица начинает притягиваться к поверхности
пузырька.
2
Любимов Д.В., Заичкин Е.В. Вибрационные эффекты в гидродинамике. Пермь: Изд-е Перм. ун-та, 2001.
Вып. 2. С. 97-109.
12
Полную картину влияния
вибраций на эффективность
соударения можно получить,
используя понятие сечения
захвата, то есть области, при
попадании в которую частицы будут притягиваться к
поверхности пузырька (рис.
6). В отсутствие вибраций и
без учета инертности частиРис. 5. Траектории движения частицы. 1 – в отсутствие
цы сечение обладает осевой
внешнего течения, 2 – b  1.88 м/c, 3 – b  0.94 м/c, 4
симметрией. Вид такого се-
– b  0.62 м/c, 5 – b  0.47 м/c, 6 – в отсутствие вибра-
чения представлен на рис. 6
ций. При этом  S   2 . Вибрации направлены вдоль
(область 1). Добавление виб-
оси абсцисс, тяжесть – вдоль оси ординат
рации, даже небольшой ин-
тенсивности нарушает осевую симметрию и приводит к значительному росту
сечения захвата.
y

g
1
2
3
x

Vvib  t 
z
Рис. 6. Сечения захвата: область 1 – в отсутствие вибраций и инерции, область 2 – в
отсутствие вибраций и с учетом инерции, область 3 – с учетом вибраций и инерции
( b  0.62 м/c). Штриховая линия – проекция поперечного сечения пузырька
13
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ
 найден новый механизм генерации средних течений в пульсационном потоке
около свободной искривленной поверхности, не связанный с деформациями
поверхности;
 в высокочастотном случае получены эффективные граничные условия для
среднего течения, содержащие в явном виде вязкость жидкости и кривизну
поверхности;
 показано, что в случае поверхности раздела сред новый механизм генерации
сравним по эффективности с механизмами типа Дора и Шлихтинга при
большой разнице плотностей сред;
 вычислены силы, действующие на тяжелую частицу в жидкости около
пузырька в высокочастотном вибрационном и гравитационном полях, и
найдены траектории ее движения;
 показано, что умеренные вибрации могут приводить к многократному
увеличению сечения захвата осаждающихся частиц всплывающим пузырьком.
СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ
Статьи в журналах и трудах конференций
1. Клименко Л.С., Любимов Д.В. Генерация среднего течения в пульсационном потоке около искривленной поверхности раздела // Вестник
Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, №4. 2011. C.
951–953.
2. Клименко Л.С., Любимов Д.В. Генерация среднего течения пульсационным потоком около цилиндрического газового пузырька // Вестник Пермского государственного Университета. Серия: Физика, Пермь. 2011. Вып.
1(16), C. 9–13.
3. Любимов Д.В., Солдатова Л.С. Генерация среднего течения около свободной искривленной недеформируемой поверхности //Зимняя школа по
механике сплошных сред (пятнадцатая), Сборник статей, ч. 2, Пермь,
2007, C. 328–331.
4. Любимов Д.В., Солдатова Л.С. Генерация среднего течения около искривленной свободной поверхности, Гидродинамика: Межвуз. Сб. науч.
трудов. Пермь, 2007, Вып.16. C. 174–186.
5. Любимов Д.В., Клименко Л.С. Генерация среднего течения около искривленной свободной поверхности //Всероссийская конференция молодых
ученых (с международным участием) «Неравновесные процессы в сплош-
14
ных средах», материалы конференции, 2007. C. 222–225.
6. Любимов Д.В., Любимова Т.П., Клименко Л.С. Конвекция около тела в устойчиво-стратифицированной среде // Всероссийская конференция молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах», материалы
конференции, 2008. С. 155– 58.
7. Любимов Д.В., Клименко Л.С. Генерация среднего течения около искривленной поверхности раздела //Труды XVII Зимней школы по механике
сплошных сред, Пермь, 2011. C. 36–45.
Тезисы конференций
8. Любимов Д.В., Солдатова Л.С. Термокапиллярный дрейф в вибрационном
поле // Конференция молодых ученых «Неравновесные переходы в
сплошных средах». Тезисы докладов. Пермь, 2006. C. 70–71.
9. Lyubimov D.V., Lyubimova T.P., Soldatova L.S. Vibration effect on thermocapillary drift a bubble // ELGRA News. Bulletin of the European Low Gravity
Research Association. 2007, № 25, P. 89.
10.Любимов Д.В., Клименко Л.С. Генерация среднего течения около свободной искривленной поверхности // Межвузовская научно-практическая
конференция «Физика для Пермского края», Тезисы докладов. 2008. С.
17–18.
11.Любимов Д.В., Клименко Л.С. Генерация среднего течения пульсационным потоком около искривленной поверхности раздела // Научная школа
«Нелинейные волны», тезисы докладов, 2010. C.58.
12.Клименко Л.С., Любимов Д.В. Генерация среднего течения около искривленной поверхности раздела газ-жидкость в пульсационном потоке // V
Всероссийская конференция "Актуальные проблемы прикладной математики и механики", посвященная памяти академика А.Ф.Сидорова, 13-17
сентября, п. Дюрсо, тезисы докладов, 2010. C.45–46.
13. Klimenko L.S., Lyubimov D.V., Lyubimova T.P. Convection in steady thermal
stratified medium // The International Summer School “Advanced Problems in
Mechanics”, July 1 – 5, 2010, St. Petersburg (Repino), Russia, Book of abstracts, P. 53
14.Клименко Л.С., Любимов Д.В. Генерация среднего течения в пульсационном потоке около искривленной свободной поверхности и около искривленной поверхности раздела //Всероссийская конференция молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах». Тезисы докладов,
Пермь, 2010. С. 35.
15.Клименко Л.С., Любимов Д.В. Генерация среднего течения около искривленной поверхности раздела // XVII Зимняя школа по механике сплошных
сред, Тезисы докладов, Пермь, 2011. С. 157.
15